Cours acp mehdi_aman

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Une présentation aussi simplifiée que possible de l'Analyse en Composantes Principales avec une application en Marketing.

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  • 1. Royaume Du Maroc Université Ibn Zohr Ecole Nationale de Commerce et de Gestion d’AgadirANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES Mehdi AMAN Décembre 2012
  • 2. ANALYSE EN COMPOSANTESPRINCIPALESPRÉSENTATION DE LA MÉTHODE
  • 3. L’Analyse en Composantes Principales(ACP) L’analyse en composantes principales est une méthode d’analyse multidimensionnelle des données. Les variables sujettes à cette analyse sont des variables quantitatives. L’analyse en composantes principales repose sur l’analyse des relations entre un nombre important de variables
  • 4. Utilité de l’ACPCette méthode est utilisée pour identifier:1. Les dimensions ou les facteurs fondamentaux qui expliquent les corrélations entre plusieurs variables;2. Un nouvel et plus petit ensemble de variables non corrélées;3. Un ensemble plus petit des variables les plus déterminantes;
  • 5. Avec la condition de… G ARDER LE MAXIMUM D’INFORMATION POSSIBLE
  • 6. L’ ACP appliquée en MarketingCette méthode trouve de nombreuses applications dans ledomaine des études marketing:1. Segmentation du marché;2. Etudes de positionnement;3. En recherche produit;4. Etudes publicitaires;5. Etudes prix…
  • 7. Le Modèle d’ACP Le modèle d’ACP : Le score Factoriel 𝐹𝑖𝑗 = 𝑋 𝑖1 𝐴1 + 𝑋 𝑖2 𝐴2 + ⋯ + 𝑋 𝑖𝑗 𝐴 𝑗 Où: 𝑭 𝒊𝒋 : est le score de l’individu i sur le facteur j 𝑿 𝒊𝒋 : est la valeur centrée réduite de l’individu i sur la variable j 𝑨 𝒋 : Coefficients Factoriels* Nous avons autant de facteurs que de variables* Extraits des vecteurs propres
  • 8. Analyse des facteurs en commun ou ACP? 𝑋1 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋1 <1 𝑋2 <1 AF Communautés 𝑋2 𝑋3 <1ACP 𝑋3 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 Unités
  • 9. Glossaire ACP Tableau de données: Tableau croisant les individus i et les variables j; Matrice des corrélations: Corrélations entre l’ensemble des couples de variables; Matrice des corrélations reconstituée: A partir des composantes sélectionnées; Résidus: L’écart entre la matrice des corrélations et celle des corrélations reconstituée; Valeur propre: Représente la variance totale expliquée par chaque facteur, axe, composante; Vecteur propre: Représente les coefficients factoriels; Matrice des loadings: Corrélations entre les variables et les facteurs; Rotation: Technique qui consiste à pivoter les facteurs avec un angle θ;
  • 10. Glossaire ACP Contribution: Contribution de chaque variable/individu dans la formation de les axes; Représentation: A quel degré les variables/individus sont bien représentés sur les axes; Score factoriel: Pour chaque i, ce sont les nouvelles coordonnées sur les facteurs principaux; Test de coude ou Scree Test: Graphique des valeurs propres, pris dans leur ordre d’importance; Test de Sphéricité de Bartlett: Compare la matrice des corrélation à une matrice identité. Test Kaiser Mayer Olkin (KMO): Utilisé pour mesurer l’adéquation de l’ACP ou l’AF, il doit être compris en 0,5 et 1; Pourcentage de variance (inertie): Part de la variance totale attribuée à chaque facteur;
  • 11. ANALYSE EN COMPOSANTESPRINCIPALESPRE-REQUIS
  • 12. Notions sur les vecteurs Supposons les deux vecteur V1 et V2 : 2 V1 = 2 V2 = 2 1 2 Graphiquement les deux vecteurs se présentent comme suit: YV1 V2 X
  • 13. Notions sur les vecteurs Y Trois informations: vα vβ 1- La direction 2- Le sens X 3- La norme (longueur) 𝑥1 𝑥 Soit le vecteur V = 2 𝒗 𝜶 .𝒗 𝜷 . 𝑥𝑛 ProjVα Vβ = ( )𝒗 𝒂 𝒗𝜶. 𝒗𝜶 𝑽 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 2
  • 14. Rappel sur les statistiques descriptives 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏(𝒙 𝒊 − 𝒙)² 𝒏 𝒊=𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯+ 𝒙 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐𝒙= 𝒏 𝝈 𝒙² = 𝝈𝒙 = 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏(𝒙 𝒊 − 𝒙)(𝒚 𝒊 − 𝒚) 𝒓 𝒙𝒚 = 𝝈𝒙 𝝈𝒚
  • 15. ANALYSE EN COMPOSANTESPRINCIPALESPRINCIPE
  • 16. Principe de base dans l’estimation desfacteurs  Nuage d’individus ACP Normée: menée sur des données centrées et réduites
  • 17. Principe de base dans l’estimation des facteurs  Nuage de variablesLe cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs est égal au coefficient de corrélation entre ces deux vecteurs
  • 18. Principe de base dans l’estimation desfacteurs  Ajustement du nuage d’individus: Projection des i
  • 19. Principe de base dans l’estimation desfacteurs  Ajustement du nuage des individus: Projection des d²(i , l)
  • 20. Principe de base dans l’estimation desfacteurs  Ajustement du nuage des variables
  • 21. ANALYSE EN COMPOSANTESPRINCIPALESMener une ACP sur SPSS
  • 22. Mener une ACP sur SPSS Calculer la Calculer les EstimerFormuler le Extraire les Interpréter matrice des scores l’adéquation problème facteurs les facteurs corrélations factoriels du modèle
  • 23. I- Formuler le problème Objectif(s) de l’étude; Variables d’études; Echelle; Taille de l’échantillon;
  • 24. Etude de casLes avantages fondamentaux recherchés par les consommateurs lors de l’achat d’un dentifrice
  • 25. I- Formuler le problème• Le sondage est réalisé sur un échantillon de 30 personnes dans un centre commercial, ces dernières ont donné leur avis sur les affirmations suivantes, sur une échelle de 1 à 7 (1: En total désaccord; 7: entièrement d’accord):  V1: Il est important d’utiliser un dentifrice qui prévient la formation des caries;  V2: Un dentifrice doit rendre les dents brillante;  V3: Un dentifrice doit renforcer les gencives;  V4: Un dentifrice doit rafraîchir l’haleine;  V5: La prévention ces caries n’est pas un avantages important du dentifrice  V6: Un dentifrice doit, avant tout, donner de belles dents;
  • 26. I- Formuler le problèmeSaisie des données sur SPSSRépondant V1 V2 V3 V4 V5 V6 1 7 3 6 4 4 2 2 1 3 2 4 5 4 3 6 2 7 4 1 3 4 4 5 4 6 2 5 … 30 2 3 2 4 7 2
  • 27. I- Formuler le problèmeSaisie des données sur SPSS
  • 28. Lancer l’ACP sur SPSS
  • 29. Lancer l’ACP sur SPSSBouton Descriptives
  • 30. Lancer l’ACP sur SPSSBouton Extraction
  • 31. Lancer l’ACP sur SPSSBouton Rotation
  • 32. Lancer l’ACP sur SPSSBouton Facteurs
  • 33. II- Calculer la matrice des corrélation
  • 34. II- Calculer la matrice des corrélation
  • 35. III- Extraire les facteurs et déterminer leurnombre
  • 36. III- Extraire les facteurs et déterminer leur nombre Détermination a priori ou considérations théoriques; Détermination fondée sur les valeurs propres; Scree-Test; Pourcentage de la variance; Test de fiabilité de deux sous-échantillons; Signification statistiques des valeurs propres;
  • 37. IV- Interpréter les facteurs
  • 38. IV- Interpréter les facteurs
  • 39. IV- Interpréter les facteursContribution des variables en % Représentation des variablesAprès rotation Facteur 1 Facteur 2 Facteur 1 Facteur 2 V1 34,407 0,019 V1 0,926 0,000 V2 0,146 31,815 V2 0,004 0,719 V3 32,490 0,868 V3 0,874 0,020 V4 0,400 32,238 V4 0,011 0,728 V5 32,332 0,358 V5 0,870 0,008 V6 0,225 34,702 V6 0,006 0,784 V1: Il est important d’utiliser un dentifrice qui prévient la formation des caries; V2: Un dentifrice doit rendre les dents brillante; V3: Un dentifrice doit renforcer les gencives; V4: Un dentifrice doit rafraîchir l’haleine; V5: La prévention ces caries n’est pas un avantages important du dentifrice V6: Un dentifrice doit, avant tout, donner de belles dents;
  • 40. IV- Interpréter les facteurs V1: Prévention de la formation des caries;Bienfaits sociaux V2: Dents brillantes; V3: Renforce les gencives; V4: Rafraîchit l’haleine; V5: La prévention des caries (NI) V6: De belles dents; Hygiène & santé des dents
  • 41. V- Calcul des scores factoriels
  • 42. V- Calcul des scores factoriels
  • 43. VI- Déterminer l’ajustement du modèle Une comparaison entre la matrice des corrélations initiale et la matrice des corrélations reconstituée à partir des facteurs Evaluation de la significativité des résidus
  • 44. VI- Déterminer l’ajustement du modèle
  • 45. Quelques références