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Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos
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Terceiro seminario: Teoria de campos clássicos

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A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das …

A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das
equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o
aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever
as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante).
Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre
é implementada nestes campos.

Apresentação:
. Princípio de Hamilton para campos clássicos

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  • 1. ´ Campos de calibre classicos: Maxwell M.T. Thomaz mariateresa.thomaz@gmail.com Instituto de F´sica, UFF ı Resumo: ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes ¸˜ ´de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos ı ´e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, ¸˜ ¸˜estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e ¸˜escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos ´ ´ ˆ ´eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementadanestes campos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 28
  • 2. ¸˜ Apresentacao: ı ı ¸˜1. Princ´pio de m´nima acao ˜ ´ ´2. Revisao de topicos em Matematica ´ ¸˜3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell4. Espaco de Minkowski ¸ ´5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ´6. Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 28
  • 3. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´O que ja sabemos?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 28
  • 4. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´O que ja sabemos? ¸˜ As eqs. que governam a evolucao no tempo dos campos eletro- ´magneticos, E(x, t) e B(x, t) : ¸˜ As equacoes de Maxwell ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t), ∇ · B(x, t) = 0, 1 ∂ B(x, t) ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) 4π ∇ × B(x, t) = + (x, t), c ∂t c ´sendo ρ(x, t) a densidade de carga eletrica e (x, t) o vetor densidade ´de corrente eletrica.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 28
  • 5. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜ ˜Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao saoindependentes ⇒M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 28
  • 6. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜ ˜Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao saoindependentes ⇒⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 28
  • 7. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜ ˜Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao saoindependentes ⇒⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade. Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)) µ = 0, 1, 2, 3.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 28
  • 8. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜ ˜Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao saoindependentes ⇒⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade. Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)) µ = 0, 1, 2, 3. ˜ ´Para cada campo f´sico E(x, t) e B(x, t) o 4-potencial vetor nao e ıunico´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 28
  • 9. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜ ˜Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao saoindependentes ⇒⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade. Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)) µ = 0, 1, 2, 3. ˜ ´Para cada campo f´sico E(x, t) e B(x, t) o 4-potencial vetor nao e ıunico´ ⇒⇒ imporM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 28
  • 10. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜ ˜Os 6 graus de liberdade dos campos E(x, t) e B(x, t) nao saoindependentes ⇒⇒ usamos os potenciais: A0 (x, t), A(x, t): 4 graus de liberdade. Podemos escrever os potenciais escalar e vetor comoum 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)) µ = 0, 1, 2, 3. ˜ ´Para cada campo f´sico E(x, t) e B(x, t) o 4-potencial vetor nao e ıunico´ ⇒⇒ impor ¸˜ 1 condicao de calibre .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 28
  • 11. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı´ ¸˜E poss´vel obter as 4 equacoes de Maxwell ı ´para os campos eletromagneticos a partir ´ ¸˜do calculo do extremo de uma acao(de um funcional)?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 28
  • 12. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıRelembrando: Quando estudamos o movimento de 1 part´cula: ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 28
  • 13. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıRelembrando: Quando estudamos o movimento de 1 part´cula: ı x : ´ variavelM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 28
  • 14. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıRelembrando: Quando estudamos o movimento de 1 part´cula: ı x : ´ variavel t : ˆ parametro.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 28
  • 15. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıRelembrando: Quando estudamos o movimento de 1 part´cula: ı x : ´ variavel t : ˆ parametro. A lagrangeana L do movimento da part´cula: ı ˙ L = L(x(t), x(t); t)sendo dx(t) ˙ x(t) = . dtM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 28
  • 16. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜A acao S do movimento de 1 part´cula durante o intervalo de tempo ı[t0 , tf ]:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 28
  • 17. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜A acao S do movimento de 1 part´cula durante o intervalo de tempo ı[t0 , tf ]: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 28
  • 18. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜A acao S do movimento de 1 part´cula durante o intervalo de tempo ı[t0 , tf ]: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 x(t) 2 1 3 t0 tf t Figura 1.1A trajetoria percorrida pela da part´cula classica entre as posicoes x(t0 ) ´ ı ´ ¸˜e x(tf ) e a que extremiza a acao S. ´ ¸˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 28
  • 19. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıComo aplicar o princ´pio de Hamilton para campos ı ´classicos?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28
  • 20. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıComo aplicar o princ´pio de Hamilton para campos ı ´classicos? ˜ Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(x, t). ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28
  • 21. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıComo aplicar o princ´pio de Hamilton para campos ı ´classicos? ˜ Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(x, t). ´ Para o campo Φ(x, t) temos: Φ : variavel do sistema f´sico; ´ ı x : parametro; ˆ t : parametro. ˆM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28
  • 22. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıComo aplicar o princ´pio de Hamilton para campos ı ´classicos? ˜ Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(x, t). ´ Para o campo Φ(x, t) temos: Φ : variavel do sistema f´sico; ´ ı x : parametro; ˆ t : parametro. ˆA funcao Φ(x, t) da a configuracao do campo ¸˜ ´ ¸˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28
  • 23. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıComo aplicar o princ´pio de Hamilton para campos ı ´classicos? ˜ Para simplificar as discussoes, vamos considerar apenas 1 campoclassico: Φ(x, t). ´ Para o campo Φ(x, t) temos: Φ : variavel do sistema f´sico; ´ ı x : parametro; ˆ t : parametro. ˆA funcao Φ(x, t) da a configuracao do campo em cada ponto do espaco ¸˜ ´ ¸˜ ¸x no instante t.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 28
  • 24. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıPara cada configuracao do campo Φ(x, t) associamos um numero ¸˜ ´ ´ ¸˜atraves do funcional da acao S:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 28
  • 25. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıPara cada configuracao do campo Φ(x, t) associamos um numero ¸˜ ´ ´ ¸˜atraves do funcional da acao S: tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t). t0 V∞ ´ ¸˜L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acao ˜tem dimensao de momento angular.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 28
  • 26. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıPara cada configuracao do campo Φ(x, t) associamos um numero ¸˜ ´ ´ ¸˜atraves do funcional da acao S: tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t). t0 V∞ ´ ¸˜L e a densidade de lagrangeana. Mostramos anteriormente que a acao ˜tem dimensao de momento angular. ´Princ´pio de Hamilton para a campo classico: ıObter a configuracao Φ(x, t), que comeca em Φ(x, t0 ) ¸˜ ¸e termina em Φ(x, tf ) e que extremiza a acao ¸˜S[Φ; t0 , tf ].M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 28
  • 27. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıImportante: ¸˜A acao de sistemas relativ´sticos, ı tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t) t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 28
  • 28. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıImportante: ¸˜A acao de sistemas relativ´sticos, ı tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t) t0 V∞e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma part´cula´ ´ ı ´ ¸˜percorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acao ´neste referencial. A trajetoria da mesma part´cula vista de outro ı ´referencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira por ¸˜ ´uma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser um ¸˜ ¸˜ ´m´nimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que a ıpart´cula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalar ı ´de Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria ¸˜(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produto ´dtdx e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambem ´tem que ser um escalar de Lorentz.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 28
  • 29. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıImportante: ¸˜A acao de sistemas relativ´sticos, ı tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t) t0 V∞e um escalar de Lorentz. Isto por que a trajetoria que uma part´cula´ ´ ı ´ ¸˜percorre, vista de um dado referencial inercial, e o extremo da acao ´neste referencial. A trajetoria da mesma part´cula vista de outro ı ´referencial inercial tem que ser aquela que e obtida da primeira por ¸˜ ´uma transformacao de Lorentz, e portanto tem que tambem ser um ¸˜ ¸˜ ´m´nimo da acao. Logo, o valor da acao associada a trajetoria que a ıpart´cula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalar ı ´de Lorentz de maneira a independer da particular forma que a trajetoria ¸˜(ou configuracao) tem em cada referencial inercial. Como o produto ´dtdx e um escalar de Lorentz, a densidade de lagrangeana L tambem ´tem que ser um escalar de Lorentz.´ ˜ ı ˜ ı ˜E por esta razao que para uma part´cula nao relativ´stica a lagrangeana nao ˆpode ser a energia mecanica total.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 28
  • 30. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ¸˜Seja φ(x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz as ¸˜condicoes de contorno:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 28
  • 31. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ¸˜Seja φ(x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz as ¸˜condicoes de contorno: φ(x, t0 ) = Φ(x, t0 )e φ(x, tf ) = Φ(x, tf ).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 28
  • 32. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ¸˜Seja φ(x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz as ¸˜condicoes de contorno: φ(x, t0 ) = Φ(x, t0 )e φ(x, tf ) = Φ(x, tf ). ¸˜ ´ ¸˜Para confirmar que a configuracao φ(x, t) e um extremo da acao , ¸˜ ¸˜ ˜comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenas ¸˜variacoes de φ(x, t):M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 28
  • 33. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ¸˜Seja φ(x, t) o campo classico que extremiza a acao S e que satisfaz as ¸˜condicoes de contorno: φ(x, t0 ) = Φ(x, t0 )e φ(x, tf ) = Φ(x, tf ). ¸˜ ´Para confirmar que a configuracao φ(x, t) e um extremo da acao , ¸˜ ¸˜ ¸˜ ˜comparamos o valor da acao para configuracoes que sao pequenas ¸˜variacoes de φ(x, t): Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t), ´ onde α e uma constante e α → 0. ¸˜ A funcao η(x, t) satisfaz as ¸˜ condicoes de contorno: η(x, t0 ) = η(x, tf ) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 28
  • 34. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜ ¸˜A condicao de que φ(x, t) extremiza a acao: = δS[Φ] ≡ S[φ(x, t) + αη(x, t)] − S[φ(x, t)] α→0 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 28
  • 35. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜ ¸˜A condicao de que φ(x, t) extremiza a acao: = δS[Φ] ≡ S[φ(x, t) + αη(x, t)] − S[φ(x, t)] α→0 0.Como no caso do sistema de 1 part´cula, definimos: ı tf G(α) ≡ dt d3 x L(φ + αη, ∂µ (φ) + α∂µ (η); x, t; α). t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 28
  • 36. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜ ¸˜A condicao de que φ(x, t) extremiza a acao: = δS[Φ] ≡ S[φ(x, t) + αη(x, t)] − S[φ(x, t)] α→0 0.Como no caso do sistema de 1 part´cula, definimos: ı tf G(α) ≡ dt d3 x L(φ + αη, ∂µ (φ) + α∂µ (η); x, t; α). t0 V∞Reescrevemos a condicao de extremo da acao, em α = 0, como: ¸˜ ¸˜ ∂G(α) ∂S[Φ; α] =0 ⇒ = 0. ∂α α=0 ∂α α=0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 28
  • 37. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜A condicao de extremo de S[Φ; α]: ∂S[Φ; α] = 0, ∂α α=0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 28
  • 38. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜A condicao de extremo de S[Φ; α]: ∂S[Φ; α] = 0, ∂α α=0 ` ¸˜aplicada a forma integral da acao: tf ∂S[Φ; α] ∂ = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t) ∂α ∂α t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 28
  • 39. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜A condicao de extremo de S[Φ; α]: ∂S[Φ; α] = 0, ∂α α=0 ` ¸˜aplicada a forma integral da acao: tf ∂S[Φ; α] ∂ = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t) ∂α ∂α t0 V∞ ∂Φ ∂Φ tf ∂L ∂Φ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂y 3 ∂x = dt d x + + t0 V∞ ∂Φ ∂α ∂ ∂Φ ∂x ∂α ∂ ∂Φ ∂y ∂α ∂Φ ∂Φ ∂L ∂ ∂z ∂L ∂ ∂t + ∂Φ + ∂Φ = 0, ∂ ∂z ∂α ∂ ∂t ∂αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 28
  • 40. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜A condicao de extremo de S[Φ; α]: ∂S[Φ; α] = 0, ∂α α=0 ` ¸˜aplicada a forma integral da acao: tf ∂S[Φ; α] ∂ = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t) ∂α ∂α t0 V∞ ∂Φ ∂Φ tf ∂L ∂Φ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂y 3 ∂x = dt d x + + t0 V∞ ∂Φ ∂α ∂ ∂Φ ∂x ∂α ∂ ∂Φ ∂y ∂α ∂Φ ∂Φ ∂L ∂ ∂z ∂L ∂ ∂t + ∂Φ + ∂Φ = 0, ∂ ∂z ∂α ∂ ∂t ∂αNa regra da cadeia tratamos: Φ, ∂t (Φ), ∂x (Φ), ∂y (Φ) e ∂z (Φ), como ´variaveis independentes.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 28
  • 41. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜Utilizamos a notacao de soma impl´cita para escrever de forma ıcompacta os termos do l.d. da integral: ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂y ∂L ∂ ∂L ∂ ∂x ∂z ∂t ∂Φ + ∂Φ + ∂Φ + ∂Φ ∂ ∂x ∂α ∂ ∂y ∂α ∂ ∂z ∂α ∂ ∂t ∂α ∂L ∂(∂µ Φ) = . ∂(∂µ Φ) ∂αonde µ = 0, 1, 2, 3. ˜Nao podemos esquecer: ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂0 = = ∂t ; ∂1 = = ∂x ; ∂2 = = ∂y ; ∂3 = = ∂z . ∂(ct) c ∂x ∂y ∂zM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 28
  • 42. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıLembrando: Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t) ⇒ ⇒ ∂µ (Φ(x, t; α)) = ∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t)),com µ = 0, 1, 2, 3.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 28
  • 43. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıLembrando: Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t) ⇒ ⇒ ∂µ (Φ(x, t; α)) = ∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t)),com µ = 0, 1, 2, 3.Assim: ∂(∂µ Φ) ∂ = [∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t))] ∂α ∂αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 28
  • 44. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıLembrando: Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t) ⇒ ⇒ ∂µ (Φ(x, t; α)) = ∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t)),com µ = 0, 1, 2, 3.Assim: ∂(∂µ Φ) ∂ = [∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t))] ∂α ∂α ∂ ∂α ∂ = [∂µ (φ(x, t))] + · ∂µ (η(x, t) + α [∂µ (η(x, t))]. ∂α ∂α ∂α 0 1 0Portanto:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 28
  • 45. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıLembrando: Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t) ⇒ ⇒ ∂µ (Φ(x, t; α)) = ∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t)),com µ = 0, 1, 2, 3.Assim: ∂(∂µ Φ) ∂ = [∂µ (φ(x, t)) + α ∂µ (η(x, t))] ∂α ∂α ∂ ∂α ∂ = [∂µ (φ(x, t))] + · ∂µ (η(x, t) + α [∂µ (η(x, t))]. ∂α ∂α ∂α 0 1 0Portanto: ∂(∂µ Φ) = ∂µ (η(x, t), µ = 0, 1, 2, 3. ∂αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 28
  • 46. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜Reescrevemos a condicao de extremo de S como: tf ∂L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) I ≡ dt d3 x η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ + t0 V∞ ∂Φ ∂ ∂x ∂x ∂ ∂y ∂y ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ = 0. ∂ ∂z ∂z ∂ ∂t ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 28
  • 47. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜Reescrevemos a condicao de extremo de S como: tf ∂L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) I ≡ dt d3 x η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ + t0 V∞ ∂Φ ∂ ∂x ∂x ∂ ∂y ∂y ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ = 0. ∂ ∂z ∂z ∂ ∂t ∂t ¸˜ ´ Para cada funcao arbitraria η(x, t), as suas derivadas: ∂t η(x, t), ˜ ˜ ¸˜∂x η(x, t), ∂y η(x, t) e ∂z η(x, t) nao sao necessariamente funcoeslinearmente independentes (l.i.) entre si e com η(x, t). Por issoM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 28
  • 48. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ¸˜Reescrevemos a condicao de extremo de S como: tf ∂L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) I ≡ dt d3 x η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ + t0 V∞ ∂Φ ∂ ∂x ∂x ∂ ∂y ∂y ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) + ∂Φ + ∂Φ = 0. ∂ ∂z ∂z ∂ ∂t ∂t ¸˜ ´ Para cada funcao arbitraria η(x, t), as suas derivadas: ∂t η(x, t), ˜ ˜ ¸˜∂x η(x, t), ∂y η(x, t) e ∂z η(x, t) nao sao necessariamente funcoeslinearmente independentes (l.i.) entre si e com η(x, t). Por isso ˜ ¸˜nao podemos fazer nenhuma afirmacao geral a partir daigualdade anterior!!!!M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 28
  • 49. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıVamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em ¸˜relacao as coordenadas espaciais na integral I.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 28
  • 50. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıVamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em ¸˜relacao as coordenadas espaciais na integral I.Consideramos o termo: tf tf L L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) dt d3 x ∂Φ = dt dy dz dx , t0 V∞ ∂ ∂x ∂x t0 −L −L ∂ ∂Φ ∂x ∂xonde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superf´cie que delimita ıo volume.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 28
  • 51. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıVamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em ¸˜relacao as coordenadas espaciais na integral I.Consideramos o termo: tf tf L L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) dt d3 x ∂Φ = dt dy dz dx , t0 V∞ ∂ ∂x ∂x t0 −L −L ∂ ∂Φ ∂x ∂xonde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superf´cie que delimita ıo volume. No limite de V∞ temos que L → ∞.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 28
  • 52. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıVamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em ¸˜relacao as coordenadas espaciais na integral I.Consideramos o termo: tf tf L L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) dt d3 x ∂Φ = dt dy dz dx , t0 V∞ ∂ ∂x ∂x t0 −L −L ∂ ∂Φ ∂x ∂xonde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superf´cie que delimita ıo volume. No limite de V∞ temos que L → ∞. ¸˜Para calcular a integral do l.d. utilizamos a integracao por partes, u dv = u · v − v du,onde escolhemos: ∂L ∂η u= ∂Φ e dv = dx . ∂ ∂x ∂xM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 28
  • 53. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıAssim: L x=L L ∂L ∂η ∂L ∂ ∂L dx ∂Φ ∂x = η(x, t) − dx η(x, t). −L ∂ ∂x ∂ ∂Φ ∂x x=−L −L ∂x ∂ ∂Φ ∂xM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 28
  • 54. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıAssim: L x=L L ∂L ∂η ∂L ∂ ∂L dx ∂Φ ∂x = η(x, t) − dx η(x, t). −L ∂ ∂x ∂ ∂Φ ∂x x=−L −L ∂x ∂ ∂Φ ∂x ´ ˜ Como estamos considerando que o sistema e fechado, entao os ˜campos na superf´cie que delimita o volume V∞ sao nulos. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 28
  • 55. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıAssim: L x=L L ∂L ∂η ∂L ∂ ∂L dx ∂Φ ∂x = η(x, t) − dx η(x, t). −L ∂ ∂x ∂ ∂Φ ∂x x=−L −L ∂x ∂ ∂Φ ∂x ´ ˜ Como estamos considerando que o sistema e fechado, entao os ˜campos na superf´cie que delimita o volume V∞ sao nulos. ı Φ(± L, y, z, t; α) = 0 e η(± L, y, z; t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 28
  • 56. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıPortanto: L L ∂L ∂η ∂ ∂L dx ∂Φ =− dx η(x, t). −L ∂ ∂x ∂x −L ∂x ∂ ∂Φ ∂xM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28
  • 57. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıPortanto: L L ∂L ∂η ∂ ∂L dx ∂Φ =− dx η(x, t). −L ∂ ∂x ∂x −L ∂x ∂ ∂Φ ∂x ´ ´ ¸˜Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28
  • 58. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıPortanto: L L ∂L ∂η ∂ ∂L dx ∂Φ =− dx η(x, t). −L ∂ ∂x ∂x −L ∂x ∂ ∂Φ ∂x ´ ´ ¸˜Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z. ¸˜Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacaoao tempo: tf t=tf tf ∂L ∂η ∂L ∂ ∂L dt ∂Φ = η(x, t) − dt η(x, t). t0 ∂ ∂t ∂t ∂ ∂Φ ∂t t=t0 t0 ∂t ∂ ∂Φ ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28
  • 59. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıPortanto: L L ∂L ∂η ∂ ∂L dx ∂Φ =− dx η(x, t). −L ∂ ∂x ∂x −L ∂x ∂ ∂Φ ∂x ´ ´ ¸˜Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z. ¸˜Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacaoao tempo: tf t=tf tf ∂L ∂η ∂L ∂ ∂L dt ∂Φ = η(x, t) − dt η(x, t). t0 ∂ ∂t ∂t ∂ ∂Φ ∂t t=t0 t0 ∂t ∂ ∂Φ ∂tComo:η(x, t0 ) = η(x, tf ) = 0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28
  • 60. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıPortanto: L L ∂L ∂η ∂ ∂L dx ∂Φ =− dx η(x, t). −L ∂ ∂x ∂x −L ∂x ∂ ∂Φ ∂x ´ ´ ¸˜Este resultado e valido para os termos das derivadas em relacao ay e z. ¸˜Tratamos em separdo o termo da integral I com a derivada em relacaoao tempo: tf t=tf tf ∂L ∂η ∂L ∂ ∂L dt ∂Φ = η(x, t) − dt η(x, t). t0 ∂ ∂t ∂t ∂ ∂Φ ∂t t=t0 t0 ∂t ∂ ∂Φ ∂tComo: tf tf ∂L η ∂ ∂Lη(x, t0 ) = η(x, tf ) = 0 ⇒ dt ∂Φ =− dt η(x, t). t0 ∂ ∂t ∂t t0 ∂t ∂ ∂Φ ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 28
  • 61. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıFinalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como: ¸˜ ¸˜ tf ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L dt d3 x − − − t0 V∞ ∂Φ ∂x ∂ ∂Φ ∂x ∂y ∂ ∂Φ ∂y ∂ ∂L ∂ ∂L − − η(x, t) = 0. ∂z ∂ ∂Φ ∂z ∂t ∂ ∂Φ ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 28
  • 62. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıFinalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como: ¸˜ ¸˜ tf ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L dt d3 x − − − t0 V∞ ∂Φ ∂x ∂ ∂Φ ∂x ∂y ∂ ∂Φ ∂y ∂ ∂L ∂ ∂L − − η(x, t) = 0. ∂z ∂ ∂Φ ∂z ∂t ∂ ∂Φ ∂tComo este resultado tem que ser valido para qualquer configuracao ´ ¸˜η(x, t),M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 28
  • 63. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıFinalmente escrevemos a condicao de extremo da acao S como: ¸˜ ¸˜ tf ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L dt d3 x − − − t0 V∞ ∂Φ ∂x ∂ ∂Φ ∂x ∂y ∂ ∂Φ ∂y ∂ ∂L ∂ ∂L − − η(x, t) = 0. ∂z ∂ ∂Φ ∂z ∂t ∂ ∂Φ ∂tComo este resultado tem que ser valido para qualquer configuracao ´ ¸˜η(x, t), ¸˜ equacao de ∂L ∂L − ∂µ = 0. ∂Φ ∂(∂µ Φ) Euler - LagrangeM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 28
  • 64. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´Temos a eq. de Euler-Lagrange para campos cassicos: ∂L ∂L − ∂µ = 0. ∂Φ ∂(∂µ Φ)Devemos lembrar que a densidade de lagrangeana L tem que serum escalar de Lorentz.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 28
  • 65. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´Temos a eq. de Euler-Lagrange para campos cassicos: ∂L ∂L − ∂µ = 0. ∂Φ ∂(∂µ Φ)Devemos lembrar que a densidade de lagrangeana L tem que serum escalar de Lorentz.Escrevendo explicitamente os termos da soma imp´cita na eq. de ıEuler-Lagrange temos: ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L − − − − = 0. ∂Φ ∂x ∂ ∂Φ ∂x ∂y ∂ ∂Φ ∂y ∂z ∂ ∂Φ ∂z ∂t ∂ ∂Φ ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 28
  • 66. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıModelo mais simples de campos: campo escalar livre ´A densidade de lagrangeana do campo escalar livre e: 1 1 L(φ, ∂µ φ(x, t); x, t) = (∂µ φ(x, t))(∂ µ φ(x, t)) − m2 φ(x, t)2 , 2 2onde µ = 0, 1, 2, 3.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 28
  • 67. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıModelo mais simples de campos: campo escalar livre ´A densidade de lagrangeana do campo escalar livre e: 1 1 L(φ, ∂µ φ(x, t); x, t) = (∂µ φ(x, t))(∂ µ φ(x, t)) − m2 φ(x, t)2 , 2 2onde µ = 0, 1, 2, 3.A eq. de Euler-Lagrange ∂L ∂L − ∂µ =0 ∂φ ∂(∂µ φ) ´ ¸˜da a equacao de movimento do campo φ(x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 28
  • 68. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28
  • 69. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:1) ∂L 1 ∂ = (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2 ∂φ 2 ∂φM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28
  • 70. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:1) ∂L 1 ∂ = (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2 ∂φ 2 ∂φ 1 ∂L = − × 2m2 φ ⇒ = −m2 φ. 2 ∂φM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28
  • 71. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:1) ∂L 1 ∂ = (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2 ∂φ 2 ∂φ 1 ∂L = − × 2m2 φ ⇒ = −m2 φ. 2 ∂φ2) ∂L 1 ∂ = (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2 ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28
  • 72. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:1) ∂L 1 ∂ = (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2 ∂φ 2 ∂φ 1 ∂L = − × 2m2 φ ⇒ = −m2 φ. 2 ∂φ2) ∂L 1 ∂ = (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2 ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ) 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . 2 ∂(∂µ φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28
  • 73. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´Calculo dos termos que contribuem para a eq. de Euler-Lagrangedo campo escalar livre:1) ∂L 1 ∂ = (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2 ∂φ 2 ∂φ 1 ∂L = − × 2m2 φ ⇒ = −m2 φ. 2 ∂φ2) ∂L 1 ∂ = (∂ν φ) (∂ ν φ) − m2 φ2 ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ) 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . 2 ∂(∂µ φ) ∂L 1 ∂ ⇒ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 28
  • 74. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜Entao: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28
  • 75. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜Entao: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)2.1) seja µ = 1(x): ∂L 1 ∂ = (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ) ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) +(∂3 φ) (∂ 3 φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28
  • 76. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜Entao: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)2.1) seja µ = 1(x): ∂L 1 ∂ = (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ) ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) +(∂3 φ) (∂ 3 φ) 1 ∂ = (∂1 φ) (∂ 1 φ) . 2 ∂(∂x φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28
  • 77. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜Entao: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)2.1) seja µ = 1(x): ∂L 1 ∂ = (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ) ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) +(∂3 φ) (∂ 3 φ) 1 ∂ = (∂1 φ) (∂ 1 φ) . 2 ∂(∂x φ)Lembrando: ∂µ = (∂0 , ∇) e ∂ µ = (∂0 , −∇).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28
  • 78. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜Entao: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)2.1) seja µ = 1(x): ∂L 1 ∂ = (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ) ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) +(∂3 φ) (∂ 3 φ) 1 ∂ = (∂1 φ) (∂ 1 φ) . 2 ∂(∂x φ)Lembrando: ∂µ = (∂0 , ∇) e ∂ µ = (∂0 , −∇). Assim: ∂L 1 ∂(∂x φ) ∂(−∂x φ) = (−∂x φ) + ∂x (φ) . ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) ∂(∂x φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28
  • 79. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜Entao: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)2.1) seja µ = 1(x): ∂L 1 ∂ = (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ) ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) +(∂3 φ) (∂ 3 φ) 1 ∂ = (∂1 φ) (∂ 1 φ) . 2 ∂(∂x φ)Lembrando: ∂µ = (∂0 , ∇) e ∂ µ = (∂0 , −∇). Assim: ∂L 1 ∂(∂x φ) ∂(−∂x φ) = (−∂x φ) + ∂x (φ) . ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) ∂(∂x φ) = −∂x (φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28
  • 80. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˜Entao: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] . ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)2.1) seja µ = 1(x): ∂L 1 ∂ = (∂0 φ) (∂ 0 φ) + (∂1 φ) (∂ 1 φ) + (∂2 φ) (∂ 2 φ) ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) +(∂3 φ) (∂ 3 φ) 1 ∂ = (∂1 φ) (∂ 1 φ) . 2 ∂(∂x φ)Lembrando: ∂µ = (∂0 , ∇) e ∂ µ = (∂0 , −∇). Assim: ∂L 1 ∂(∂x φ) ∂(−∂x φ) = (−∂x φ) + ∂x (φ) . ∂(∂x φ) 2 ∂(∂x φ) ∂(∂x φ) = −∂x (φ) = ∂ 1 (φ).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 28
  • 81. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 28
  • 82. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)   gνα (∂α φ) 1  ∂(∂ φ) ν ∂( ∂ ν (φ) ) (∂ ν φ) + (∂ν φ)   =   2  ∂(∂µ φ) ∂(∂µ φ)  δνµM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 28
  • 83. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)   gνα (∂α φ) 1  ∂(∂ φ) ν ∂( ∂ ν (φ) ) (∂ ν φ) + (∂ν φ)   =   2  ∂(∂µ φ) ∂(∂µ φ)  δνµA definicao da delta ¸˜ de Kronecker e: ´ = 1, µ = ν δνµ = = 0, µ = νM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 28
  • 84. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı2.2) seja µ = 0, 1, 2, 3: ∂L 1 ∂ = [(∂ν φ) (∂ ν φ)] ∂(∂µ φ) 2 ∂(∂µ φ)   gνα (∂α φ) 1  ∂(∂ φ) ν ∂( ∂ ν (φ) ) (∂ ν φ) + (∂ν φ)   =   2  ∂(∂µ φ) ∂(∂µ φ)  δνµA definicao da delta ¸˜ de Kronecker e: ´ = 1, µ = ν δνµ = = 0, µ = νAssim:     ∂L  1   1 ∂(∂α φ)  = (∂ µ φ) + (∂ν φ) gνα  = (∂ µ φ) + (∂ν φ) gνµ  .   ∂(∂µ φ) 2  ∂(∂µ φ)  2 gµν δαµM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 28
  • 85. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıOu seja,   ∂L 1  µ µν  = (∂ φ) + (∂ν φ) g  . ∂(∂µ φ) 2 (∂ µ φ) ∂L ⇒ = ∂ µ (φ). ∂(∂µ φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 28
  • 86. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıOu seja,   ∂L 1  µ µν  = (∂ φ) + (∂ν φ) g  . ∂(∂µ φ) 2 (∂ µ φ) ∂L ⇒ = ∂ µ (φ). ∂(∂µ φ)Em resumo: ∂L ∂L = −m2 φ e = ∂ µ (φ), ∂φ ∂(∂µ φ) ∂L ∂Lque substituindo na eq. de Euler- Lagrange ∂φ − ∂µ ∂(∂µ φ) =0 :M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 28
  • 87. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıOu seja,   ∂L 1  µ µν  = (∂ φ) + (∂ν φ) g  . ∂(∂µ φ) 2 (∂ µ φ) ∂L ⇒ = ∂ µ (φ). ∂(∂µ φ)Em resumo: ∂L ∂L = −m2 φ e = ∂ µ (φ), ∂φ ∂(∂µ φ) ∂L ∂Lque substituindo na eq. de Euler- Lagrange ∂φ − ∂µ ∂(∂µ φ) =0 : −m2 φ − ∂µ (∂ µ φ) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 28
  • 88. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıA eq. de Euler-Lagrange do campo escalar: ¸˜ Equacao de ∂µ (∂ µ φ) + m2 φ = 0. Klein-GordonM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 28
  • 89. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıA eq. de Euler-Lagrange do campo escalar: ¸˜ Equacao de ∂µ (∂ µ φ) + m2 φ = 0. Klein-GordonLembrando: 1 ∂2 ∂µ ∂ µ = − ∇2 , c2 ∂t2 ´sendo c a velocidade da luz no vacuo.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 28
  • 90. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ıA eq. de Euler-Lagrange do campo escalar: ¸˜ Equacao de ∂µ (∂ µ φ) + m2 φ = 0. Klein-GordonLembrando: 1 ∂2 ∂µ ∂ µ = − ∇2 , c2 ∂t2 ´sendo c a velocidade da luz no vacuo. ´A eq. de Klein-Gordon para o campo escalar livre e: 1 ∂ 2 φ(x, t) ∇2 φ(x, t) − − m2 φ(x, t) = 0. c2 ∂t2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 28
  • 91. ´ Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ˆ ´ ˜As transparencias deste seminario estao no blog: http://mttdivulgacao.blogspot.com ¸˜na seccao: ¸˜ ´ ”Divulgacao ja realizada em Universidades”M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 28 / 28

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