Quarto seminario: Teoria de campos clássicos

´ Campos de calibre classicos: Maxwell M.T. Thomaz mariateresa.thomaz@gmail.com Instituto de F´sica, UFF ı Resumo: ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸Ã partir do princ´pio de mńima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes ¸˜ ´de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos ı é o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, ¸˜ ¸˜estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e ¸˜escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos ´ ´ ˆ életrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementadanestes campos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 30

¸˜ Apresentacao: ı ı ¸˜1. Princ´pio de m´nima acao ˜ ´ ´2. Revisao de topicos em Matematica ´ ¸˜3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell4. Espaco de Minkowski ¸ ´5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ´6. Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando: Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando: Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando: Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı ´O tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ ´Cada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento f´sico: caracterizado por x e t. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando: Espaco de Minkowski ¸Mecanica nao-relativ´stica: v ≪ c, sendo c a velocidade da luz. ˆ ˜ ı Ó tempo e o mesmo em todos os referenciais inerciais. ˆ <Mecanica relativ´stica: v ∼ c. ı ´ Ćada referencial tem o seu conjunto de reguas e relogios.Evento f´sico: caracterizado por x e t. ı ´ ´ Á velocidade das ondas eletromagneticas (luz) no vacuo e c emtodos os referenciais ⇒ sistema relativ´stico. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 1 1 x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z, 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V β= cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 1 1 x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z, 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V β= ⇒ 0≤β≤1 cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 1 1 x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z, 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V 1 β= ⇒ 0≤β≤1 e γ= c 1 − β2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ Transformacoes de Lorentz y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2 ¸˜Relacao entre as quadri-coordenadas de um mesmo evento, escritasem dois referenciais inerciais que possuem movimento relativo ao longo ¸˜da direcao x: 0 1 1 1 x′ = γ(x0 − βx1 ), x′ = γ(−βx0 + x1 ), y′ = y e z′ = z, 0sendo x′ = ct′ e x0 = ct, e V 1 β= ⇒ 0≤β≤1 e γ= ⇒ 1 ≤ γ < ∞. c 1 − β2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Produto escalar no espaco de Minkowski ¸. d=2 (1+1)i) Vetores contra-variantes: xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x);ii) Vetores covariantes: xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x),sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Produto escalar no espaco de Minkowski ¸. d=2 (1+1)i) Vetores contra-variantes: xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x);ii) Vetores covariantes: xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x),sendo x0 = ct e x a coordenada x usual.Produto escalar no espaco de Minkowski: ¸ −x2 + c2 t2 = x0 x0 + x1 x1 1 = xµ xµ ≡ xµ xµ . µ=0 soma impl´cita ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell. d=4 (3+1) ¸˜.Quadri-vetor posicao: Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x); Vetor covariante: xµ = (x0 , −x).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell. d=4 (3+1) ¸˜.Quadri-vetor posicao: Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x); Vetor covariante: xµ = (x0 , −x). 3 µEscalar de Lorentz: µ=0 xµ x = xµ xµ = −x · x + c2 t2 .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell. d=4 (3+1) ¸˜.Quadri-vetor posicao: Vetor contra-variante: xµ = (x0 , x); Vetor covariante: xµ = (x0 , −x). 3 µEscalar de Lorentz: µ=0 xµ x = xµ xµ = −x · x + c2 t2 .Como relacionar os vetores covariantes econtra-variantes?   1 0 0 0  0 −1 0 0  xµ = gµν xν sendo gµν = gµν =  0 0 −1 0 .  0 0 0 −1M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: usando a matriz do tensor metrico gµν , mostre que: ı ´ gµν = gνµ e gµα gαβ = δµβ ,onde   1 0 0 0  0 1 0 0  δµ β =  0 , 0 1 0  0 0 0 1e a matriz identidade de dimensao 4 × 4.´ ˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes dequalquer ordem:i. 4-vetor: Bµ = gµν Bν ,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes dequalquer ordem:i. 4-vetor: Bµ = gµν Bν ,ii. tensor de ordem 2: Bµ1 µ2 = gµ1 ν1 gµ2 ν2 Bν1 ν2 ,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜A relacao entre tensores covariantes e contra-variantes dequalquer ordem:i. 4-vetor: Bµ = gµν Bν ,ii. tensor de ordem 2: Bµ1 µ2 = gµ1 ν1 gµ2 ν2 Bν1 ν2 ,iii. tensor de ordem n: Bµ1 µ2 ...µn = gµ1 ν1 gµ2 ν2 . . . gµn νn Bν1 ν2 ...νn .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Exemplos de 4-vetores de Lorentz:i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados ´ ´aos campos eletromagneticos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Exemplos de 4-vetores de Lorentz:i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados ´ áos campos eletromagneticos.ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)), ´ ´ ónde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de ćorrente eletrica.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Exemplos de 4-vetores de Lorentz:i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados ´ áos campos eletromagneticos.ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)), ´ ´ ónde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de ćorrente eletrica. ¸Ãs transformacoes de calibre: 0 1 ∂G(x,t) A′ (x, t) = A0 (x, t) − c ∂te A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),podem ser escritas na forma covariante:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell Exemplos de 4-vetores de Lorentz:i. 4-potencial vetor: Aµ (x, t) = (A0 (x, t), A(x, t)),onde A0 (x, t) e o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados ´ áos campos eletromagneticos.ii. 4-densidade de corrente: jµ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)), ´ ´ ónde ρ(x, t) e a densidade de carga eletrica e (x, t) e a densidade de ćorrente eletrica. ¸Ãs transformacoes de calibre: 0 1 ∂G(x,t) A′ (x, t) = A0 (x, t) − c ∂te A′ (x, t) = A(x, t) + ∇G(x, t),podem ser escritas na forma covariante: A′ µ = Aµ − ∂ µ G(x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Lagrangeana de campos classicos ¸Ãcao associada a uma partćula: ı tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ´ ´ ônde x e variavel e t e parametro.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Lagrangeana de campos classicos ¸Ãcao associada a uma partćula: ı tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ´ ´ ônde x e variavel e t e parametro.A acao associada a um campo Φ(x, t): ¸˜ tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t), t0 V∞onde x e t sao parametros e Φ e variavel. ˜ ˆ ´ ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Lagrangeana de campos classicos ¸Ãcao associada a uma partćula: ı tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ´ ´ ônde x e variavel e t e parametro.A acao associada a um campo Φ(x, t): ¸˜ tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t), t0 V∞onde x e t sao parametros e Φ e variavel. ˜ ˆ ´ ´ A acao S e a densidade de lagrangeana L de um sistema ¸˜relativ´stico e um escalar de Lorentz. ı ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´ Equacao para campos classicos Part´cula: ı Campo: ∂L ∂L −→ ∂x ∂Φ(x, t) 3 d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L −→ + i = ˙ dt ∂ x ∂t ∂ ∂Φ ∂t ∂x ∂ ∂Φi i=1 ∂x ∂L = ∂µ , ∂(∂µ Φ) ∂onde: ∂µ = ( 1 ∂t , ∇). cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´ Equacao para campos classicos Part´cula: ı Campo: ∂L ∂L −→ ∂x ∂Φ(x, t) 3 d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L −→ + i = ˙ dt ∂ x ∂t ∂ ∂Φ ∂t ∂x ∂ ∂Φi i=1 ∂x ∂L = ∂µ , ∂(∂µ Φ) ∂onde: ∂µ = ( 1 ∂t , ∇). c ¸˜Equacao de Euler-Lagrange: ∂L ∂L − ∂µ = 0. ∂Φ ∂(∂µ Φ)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ ´Campos eletromagneticos classicos: campos deMaxwell ¸˜A partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoesde Maxwell?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Ćampos eletromagneticos classicos: campos deMaxwell ¸Ã partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoesde Maxwell?Definimos o tensor Fµν : Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3, = −Fνµ (x, t), ∂onde ∂µ = ( 1 c ∂t , ∇) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Ćampos eletromagneticos classicos: campos deMaxwell ¸Ã partir de qual densidade de lagrangeana obtemos todas as equacoesde Maxwell?Definimos o tensor Fµν : Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3, = −Fνµ (x, t), ∂onde ∂µ = ( 1 c ∂t , ∇) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)). ˜ ´Quais sao as componentes do tensor Fµν ? Sera que elas podem ´ser escritas em termos dos campos eletromagneticos?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t = Ei (x, t)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t = Ei (x, t)2) ∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t) Fij = − ∂xj ∂xiM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t = Ei (x, t)2) ∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t) Fij = − = ∇ × A(x, t) ∂xj ∂xi kM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellRelembrando os campos f´sicos E(x, t) e B(x, t) em termos dos ıpotenciais escalar (A0 (x, t)) e vetor (A(x, t)): 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = −∇A0 (x, t) − e B(x, t) = ∇ × A(x, t). c ∂tComponentes do tensor Fµν :1) 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = −∇A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t = Ei (x, t)2) ∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t) Fij = − = ∇ × A(x, t) ∂xj ∂xi kEscrevendo explicitamente as componentes de Fij : F12 = −Bz (x, t), F13 = By (x, t), F23 = −Bx (x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA matriz do tensor Fµν :   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA matriz do tensor Fµν :   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0 ˜ As componentes do tensor Fµν sao os campos f´sicos ı E(x, t) e B(x, t)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA matriz do tensor Fµν :   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0 ˜ As componentes do tensor Fµν sao os campos f´sicos ı E(x, t) e B(x, t)⇒ O tensor Fµν e invariante sob as transformacoes ´ ¸˜de calibre.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cObserve: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ (x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cObserve: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ (x, t). ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cObserve: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ (x, t). ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα ) ´Usando a metrica gµν temos: jµ Aµ = gµα jα gµβ Aβ = gµα gµβ jα Aβ δαβM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellTentativa:densidade de lagrangeana dos campos eletromagneticos: ´ ? 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c |E| 2 − | B |2 ·A = − ρA0 + . π cObserve: a densidade de lagrangeana depende dos 4-potenciaisAµ (x, t). ¸˜ Équacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα ) Úsando a metrica gµν temos: jµ Aµ = gµα jα gµβ Aβ = gµα gµβ jα Aβ ⇒ jµ Aµ = jα Aα . δαβ ¸˜ ˜ Ã troca de posicao dos ńdices que estao contra´dos nao altera ı ıo resultado.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂AαM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂AαComo: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν AµM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα ∂Fµν ∂FµνComo: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα ∂Fµν ∂FµνComo: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0. ´Alem disso: 1 ∂ 1 ∂Aµ 1 1 − jµ Aµ = − jµ = − jµ δ µ α = − jα c ∂Aα c ∂Aα c cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ´Equacao de Euler-Lagrange dos campos eletromagneticos: ∂L ∂L − ∂τ = 0, α = 0, 1, 2, 3. ∂Aα ∂(∂τ Aα )O primeiro termo do l.d. da eq. de Euler-Lagrange: ∂L ∂ 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂Fµν 1 ∂ = − F + Fµν − jµ Aµ . 16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα ∂Fµν ∂FµνComo: Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ ∂Aα = ∂Aα = 0. ´Alem disso: 1 ∂ 1 ∂Aµ 1 1 − jµ Aµ = − jµ = − jµ δ µ α = − jα c ∂Aα c ∂Aα c cPortanto: ∂L 1 = − jα . ∂Aα cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: Mostrar: ı ∂L 1 = Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3. ∂(∂τ Aα ) 4πM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: Mostrar: ı ∂L 1 = Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3. ∂(∂τ Aα ) 4π ¸˜ ˜ ¸˜As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento ´para os campos eletromagneticos: 4π α ∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3. cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExerc´cio: Mostrar: ı ∂L 1 = Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3. ∂(∂τ Aα ) 4π ¸˜ ˜ ¸˜As equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento ´para os campos eletromagneticos: 4π α ∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3. cAssim: Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes ¸˜ ¸˜ Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes ¸˜ ¸˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellExercćio: Mostrar: ı ∂L 1 = Fατ α, τ = 0, 1, 2, 3. ∂(∂τ Aα ) 4π ¸˜ ˜ ¸Ãs equacoes de Euler-Lagrange nos dao as equacoes de movimento ´para os campos eletromagneticos: 4π α ∂ τ Fτ α = j , α = 0, 1, 2, 3. cAssim: Equacoes de Maxwell ⇒ 8 equacoes ¸˜ ¸˜ Equacoes de Euler-Lagrange ⇒ 4 equacoes ¸˜ ¸˜ ¸˜ ˜Quais as equacoes de Maxwell estao representadas ¸ñas equacoes de Euler-Lagrange?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).ii. α = 1 1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π + + = jx ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + . c c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).ii. α = 1 1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π + + = jx ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + . c c ∂t 4π 1 ∂Ey (x,t)iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).ii. α = 1 1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π + + = jx ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + . c c ∂t 4π 1 ∂Ey (x,t)iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t . 4π 1 ∂Ez (x,t)iv. α = 3 (∇ × B(x, t))z = c jz (x, t) + c ∂t .M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜As componentes das equacoes de Euler-Lagrange:i. α = 0: ∂j Fj0 (x, t) = 4πρ(x, t) ⇒ ∇ · E(x, t) = 4πρ(x, t).ii. α = 1 1 ∂F01 ∂F21 ∂F31 4π + + = jx ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ (∇ × B(x, t))x = jx (x, t) + . c c ∂t 4π 1 ∂Ey (x,t)iii. α = 2 (∇ × B(x, t))y = c jy (x, t) + c ∂t . 4π 1 ∂Ez (x,t)iv. α = 3 (∇ × B(x, t))z = c jz (x, t) + c ∂t . ¸˜ ¸˜ ˆAs equacoes de Euler-Lagrange reproduzem as equacoes inomogeneasde Maxwell.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a deﬁnicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ ,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a deﬁnicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ , ∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν AµM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a deﬁnicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ , ∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ ∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α AνM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a deﬁnicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ , ∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ ∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α Aν ∂ν Fαµ = ∂ν (∂α Aµ − ∂µ Aα ) = ∂ν ∂α Aµ − ∂ν ∂µ Aα ,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ˆComo obter as equacoes de Maxwell homogeneas, 1 ∂ B(x, t) ∇ · B(x, t) = 0 e ∇ × E(x, t) = − ? c ∂t ¸˜Usando a deﬁnicao do tensor Fµν : Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , µ, ν = 0, 1, 2 e 3,calculamos a soma: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ , ∂α Fµν = ∂α (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) = ∂α ∂µ Aν − ∂α ∂ν Aµ ∂µ Fνα = ∂µ (∂ν Aα − ∂α Aν ) = ∂µ ∂ν Aα − ∂µ ∂α Aν ∂ν Fαµ = ∂ν (∂α Aµ − ∂µ Aα ) = ∂ν ∂α Aµ − ∂ν ∂µ Aα ,e veriﬁcamos a identidade de Bianchi: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA identidade de Bianchi: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA identidade de Bianchi: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3. ¸˜Escrevendo as equacoes da identidade de Bianchi:i. α = 0, µ, ν = 1, 2, 3 (µ = ν) 1 ∂B(x, t) ∇ × E(x, t) = − . c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellA identidade de Bianchi: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, α, µ, ν = 0, 1, 2, 3. ¸˜Escrevendo as equacoes da identidade de Bianchi:i. α = 0, µ, ν = 1, 2, 3 (µ = ν) 1 ∂B(x, t) ∇ × E(x, t) = − . c ∂tiv. α = 1, µ = 2, ν = 3 ∇ · B(x, t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell 1Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ , c ¸˜se comporta sob uma transformacao de calibre:A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell 1Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ , c ¸˜se comporta sob uma transformacao de calibre:A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?Lembrando que:   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell 1Como a densidade de lagrangeana: L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − 16π Fµν Fµν − 1 jµ Aµ , c ¸˜se comporta sob uma transformacao de calibre:A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t)?Lembrando que:   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν =  −Ey Bz . 0 −Bx  −Ez −By Bx 0 ¸˜Sob uma transformacao de calibre: 1 ′ ′ µν 1 µ L(A′ , ∂ν A′ ) = − µ µ F F − jµ A′ 16π µν c 1 1 1 = − Fµν Fµν − jµ Aµ + jµ ∂ µ G. 16π c cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c c ¸˜Temos a conservacao ´ da carga eletrica: ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) = − ⇒ ∂t ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) + = 0. ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c c ¸˜Temos a conservacao ´ da carga eletrica: ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) = − ⇒ ∂t ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) + = 0. ∂t ⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c c ¸˜Temos a conservacao ´ da carga eletrica: ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) = − ⇒ ∂t ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) + = 0. ∂t ⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.Finalmente 1 L(A′ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [ jµ (x, t)G(x, t) ]. µ µ cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMas, 1 µ 1 1 jµ ∂ G = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)(∂ µ jµ (x, t)). c c c ¸˜Temos a conservacao ´ da carga eletrica: ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) = − ⇒ ∂t ∂ρ(x, t) ∇ · (x, t) + = 0. ∂t ⇒ ∂µ jµ (x, t) = 0.Finalmente 1 L(A′ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [ jµ (x, t)G(x, t) ]. µ µ cAs densidades de lagrangeanas L(Aµ , ∂ν Aµ ) e L(A′ , ∂ν A′ ) dao as µ µ ˜ ¸˜mesmas equacoes de movimento?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellAcao associada ao 4-potencial Aµ (x, t): ¸˜ tf S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t). t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellAcao associada ao 4-potencial Aµ (x, t): ¸˜ tf S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t). t0 V∞Acao associada ao 4-potencial A′ (x, t): ¸˜ µ tf S′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(A′ , ∂ν A′ ; x, t), µ µ t0 V∞onde A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t) ⇒M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellAcao associada ao 4-potencial Aµ (x, t): ¸˜ tf S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t). t0 V∞Acao associada ao 4-potencial A′ (x, t): ¸˜ µ tf S′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(A′ , ∂ν A′ ; x, t), µ µ t0 V∞onde A′ µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t) ⇒ 1 L(Aµ , ∂ν A′ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ [jµ (x, t)G(x, t) ]. ′ µ cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores: tf S ′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) + t0 V∞ tf 1 + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) c t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores: tf S ′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) + t0 V∞ tf 1 + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) c t0 V∞ tf 1 = S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)). c t0 V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ¸˜ ¸˜Relacao entre as acoes dos dois 4-potenciais vetores: tf S ′ [A′ ; t0 , tf ] = µ dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ (x, t)) + t0 V∞ tf 1 + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) c t0 V∞ tf 1 = S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)). c t0 V∞ ¸˜Fazendo a integracao por partes: tf 1 dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) = c t0 V∞ = d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )] V∞ tf + dt d3 x ∇ · [j(x, t)G(x, t)]. t0 V∞ S∞ ˆ ds n·[j(x,t)G(x,t)] = 0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ˜Entao: S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 , tf ] = µ = d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )]. V∞M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ˜Entao: S ′ [A′ ; t0 , tf ] − S[Aµ ; t0 , tf ] = µ = d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )]. V∞Como a diferenca das acoes S ′ [A′ ; t0 , tf ] e S[Aµ ; t0 , tf ] e um termo que ¸ ¸˜ µ é o mesmo para todas as configuracoes Aµ (x, t), entao se o 4-potencial´ ¸˜ Ãµ (x, t) extremiza a acao S[Aµ ; t0 , tf ] ⇒ 4-potencial A′ (x, t) ¸˜ µ ¸˜ ′ [A′ ; t , t ]. Como esses 4-potenciais estao liga-extremiza a acao S µ 0 f ˜ ¸˜ ˜dos por uma transformacao de calibre, entao ambas representam osmesmo campos f´sicos. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0. ¸˜ ´Equacoes de Maxwell no vacuo: 1 ∂ B(x, t) ∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) ∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = . c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0. ¸˜ ´Equacoes de Maxwell no vacuo: 1 ∂ B(x, t) ∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) ∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = . c ∂t ´Campo eletrico livre: 1∂ ∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒ c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0. ¸˜ ´Equacoes de Maxwell no vacuo: 1 ∂ B(x, t) ∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) ∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = . c ∂t ´Campo eletrico livre: 1∂ ∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒ c ∂t 1 ∂2 ⇒ ∇2 − 2 2 E(x, t) = 0. c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´ Campos eletromagneticos livres: ρ(x, t) = 0 e (x, t) = 0. ¸˜ ´Equacoes de Maxwell no vacuo: 1 ∂ B(x, t) ∇ · E(x, t) = 0, ∇ × E(x, t) = − , c ∂t 1 ∂ E(x, t) ∇ · B(x, t) = 0, ∇ × B(x, t) = . c ∂t ´Campo eletrico livre: 1∂ ∇ × (∇ × E(x, t)) + (∇ × B(x, t)) = 0 ⇒ c ∂t 1 ∂2 ⇒ ∇2 − 2 2 E(x, t) = 0. c ∂t ´De forma analoga, obtemos: 1 ∂2 ∇2 − 2 2 B(x, t) = 0. c ∂tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´Campo eletrico livre: 1 ∂2 ∇2 − E(x, t) = 0. c2 ∂t2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´Campo eletrico livre: 1 ∂2 ∇2 − E(x, t) = 0. c2 ∂t2 ¸˜Solucao de onda plana: Ei (x, t) = E i ei(k·x−ωt) , ¸˜ ´ ´que substituida na equacao de campo eletrico livre da: 1 ∂2 i ω2 ∇2 − E (x, t) = 0 ⇒ E i ei(k·x−ωt) (| k |2 − ) = 0. c2 ∂t2 c2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´Campo eletrico livre: 1 ∂2 ∇2 − E(x, t) = 0. c2 ∂t2 ¸˜Solucao de onda plana: Ei (x, t) = E i ei(k·x−ωt) , ¸˜ ´ ´que substituida na equacao de campo eletrico livre da: 1 ∂2 i ω2 ∇2 − E (x, t) = 0 ⇒ E i ei(k·x−ωt) (| k |2 − ) = 0. c2 ∂t2 c2 ´Para que a igualdade anterior possa ser satisfeita para campos eletricos ¸˜ ˜de amplitude diferente de zero, devemos ter a relacao de dispersao:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´Campo eletrico livre: 1 ∂2 ∇2 − E(x, t) = 0. c2 ∂t2 ¸˜Solucao de onda plana: Ei (x, t) = E i ei(k·x−ωt) , ¸˜ ´ ´que substituida na equacao de campo eletrico livre da: 1 ∂2 i ω2 ∇2 − E (x, t) = 0 ⇒ E i ei(k·x−ωt) (| k |2 − ) = 0. c2 ∂t2 c2 ´Para que a igualdade anterior possa ser satisfeita para campos eletricos ¸˜ ˜de amplitude diferente de zero, devemos ter a relacao de dispersao: ω2 =| k |2 , c2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´Campo eletrico livre: 1 ∂2 ∇2 − E(x, t) = 0. c2 ∂t2 ¸˜Solucao de onda plana: Ei (x, t) = E i ei(k·x−ωt) , ¸˜ ´ ´que substituida na equacao de campo eletrico livre da: 1 ∂2 i ω2 ∇2 − E (x, t) = 0 ⇒ E i ei(k·x−ωt) (| k |2 − ) = 0. c2 ∂t2 c2 ´Para que a igualdade anterior possa ser satisfeita para campos eletricos ¸˜ ˜de amplitude diferente de zero, devemos ter a relacao de dispersao: ω2 =| k |2 , c2 ´que e satisfeita por part´culas relativ´sticas de massa zero. ı ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMostramos que a densidade de lagrangeana: 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π cM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 28 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellMostramos que a densidade de lagrangeana: 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν Fµν − jµ Aµ 16π c ´ ¸˜ ´ ˜nos da as equacoes de Maxwell classicas, que sao ¸˜invariantes sob transformacoes de calibre e descreveuma part´cula relativ´stica de massa zero. ı ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 28 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´Por que utilizar o formalismo lagrangeano se ja ¸˜conhecemos as equacoes de movimento das ´part´culas e dos campos classicos? ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 29 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´Por que utilizar o formalismo lagrangeano se ja ¸˜conhecemos as equacoes de movimento das ´part´culas e dos campos classicos? ı Max Planck Albert EinsteinM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 29 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ´Por que utilizar o formalismo lagrangeano se ja ¸˜conhecemos as equacoes de movimento das ´partćulas e dos campos classicos? ı Max Planck Albert Einstein ´ ˆ ¸Õ mundo e quantico!!!! A quantizacao dos sistemas f´sicos ı ´ ´(partćulas e campos) e feito atraves do formalismo lagrangeano. ı ´ Ãs teorias classicas sao modelo efetivos, quando os efeitos ˆ ˜quanticos sao impercept´veis. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 29 / 30

´ ´ Campos eletromagneticos classicos: campos de Maxwell ˆ ´ ˜As transparencias deste seminario estao no blog: http://mttdivulgacao.blogspot.com ¸˜na seccao: ¸˜ ´ ”Divulgacao ja realizada em Universidades”M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 30 / 30

Quarto seminario: Teoria de campos clássicos

by Maria Teresa Thomaz

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