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Primeiro Seminario: Teoria Campos Clássicos

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A partir do princípio de mínima ação o reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das …

A partir do princípio de mínima ação o reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das
equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell.
Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noçãoo de tensores que utilizaremos para descrever
as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos elérico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre é implementada nestes campos.

Primeiro seminário:
1. Princípio de mínima ação
2. Revisão de tópicos em Matemática

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  • 1. ´ Campos de calibre classicos: Maxwell M.T. Thomaz mariateresa.thomaz@gmail.com Instituto de F´sica, UFF ı Resumo: ı ı ¸˜ ¸˜ ´ ´ ¸˜A partir do princ´pio de m´nima acao reobtemos as equacoes de movimento classicas reescritas atraves das equacoes ¸˜ ´de Lagrange. Mostramos como estender esse princ´pio para obter as equacoes de movimento dos campos classicos ı ´e o aplicamos ao caso dos campos eletromagneticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, ¸˜ ¸˜estudaremos a nocao de tensores que utilizaremos para descrever as leis de transformacao da Relatividade Restrita e ¸˜escrever as equacoes de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante). Finalmente discutiremos os campos ´ ´ ˆ ´eletrico e magnetico em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariancia de calibre e implementadanestes campos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 1 / 33
  • 2. ¸˜ Apresentacao: ı ı ¸˜1. Princ´pio de m´nima acao ˜ ´ ´2. Revisao de topicos em Matematica ´ ¸˜3. Campos eletromagneticos: equacoes de Maxwell4. Espaco de Minkowski ¸ ´5. Princ´pio de Hamilton para campos classicos ı ´ ´6. Campos eletromagneticos classicos: campos de MaxwellM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 2 / 33
  • 3. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ı ¸˜Princ´pio de m´nima acao ´Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento. ´ ´ ´Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado. ´Onde o objeto estara daqui a 3s?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 33
  • 4. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ı ¸˜Princ´pio de m´nima acao ´Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento. ´ ´ ´Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado. ´Onde o objeto estara daqui a 3s? ˆ ´ A Mecanica Classica utiliza as 3 leis de Newton para fazer esta ˜ previsao. Sir Isaac NewtonM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 33
  • 5. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ı ¸˜Princ´pio de m´nima acao ´Tem um objeto que eu quero saber onde ele esta em cada momento. ´ ´ ´Eu sei onde ele esta agora, e sei tambem que ele esta se movimentado. ´Onde o objeto estara daqui a 3s? ˆ ´ A Mecanica Classica utiliza as 3 leis de Newton para fazer esta ˜ previsao. Sir Isaac Newton As leis de Newton descrevem a ¸˜ evolucao do movimento de uma part´cula. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 3 / 33
  • 6. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao As 3 Leis de Newton:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 33
  • 7. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao As 3 Leis de Newton: ´1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retil´neo ıuniforme a menos que uma forca atue sobre ele. ¸M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 33
  • 8. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao As 3 Leis de Newton: ´1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retil´neo ıuniforme a menos que uma forca atue sobre ele. ¸2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma ¸ ¸˜ ´que a taxa de variacao do momento e igual a essa forca. ¸M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 33
  • 9. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao As 3 Leis de Newton: ´1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retil´neo ıuniforme a menos que uma forca atue sobre ele. ¸2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma ¸ ¸˜ ´que a taxa de variacao do momento e igual a essa forca. ¸3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcas ¸ ¸ ˜ ¸˜ ˆsao iguais em intensidade e direcao, mas tem sentidos opostos.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 33
  • 10. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao As 3 Leis de Newton: ´1. Um corpo se mantem em repouso ou em movimento retil´neo ıuniforme a menos que uma forca atue sobre ele. ¸2. Um corpo sobre o qual atua uma forca se move de tal forma ¸ ¸˜ ´que a taxa de variacao do momento e igual a essa forca. ¸3. Se dois corpos exercem forca um sobre o outro, essas forcas ¸ ¸ ˜ ¸˜ ˆsao iguais em intensidade e direcao, mas tem sentidos opostos. a ´ ˆA 2. Lei de Newton da a dinamica do movimento de uma part´cula ıpontual: dp(t) = F(t), dtonde p(t) = mv(t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 4 / 33
  • 11. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 12. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆVamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1). ˜ ˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 13. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆVamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1). ˜ ˜Relembrando o conceito de velocidade: = x(t + ∆t) − x(t) v(t) ∆t→0 ∆tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 14. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆVamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1). ˜ ˜Relembrando o conceito de velocidade: = x(t + ∆t) − x(t) = v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t. ∆tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 15. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆVamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1). ˜ ˜Relembrando o conceito de velocidade: = x(t + ∆t) − x(t) = v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t. ∆tPara conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t) ¸˜ ınecessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 16. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆVamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1). ˜ ˜Relembrando o conceito de velocidade: = x(t + ∆t) − x(t) = v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t. ∆tPara conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t) ¸˜ ınecessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).A 2a lei de Newton nos da: ´ F(t) = v(t + ∆t) − v(t) ∆t→0 m ∆tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 17. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆVamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1). ˜ ˜Relembrando o conceito de velocidade: = x(t + ∆t) − x(t) = v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t. ∆tPara conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t) ¸˜ ınecessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).A 2a lei de Newton nos da: ´ F(t) = v(t + ∆t) − v(t) = F(t) ∆t→0 ⇒ v(t + ∆t) ∆t→0 v(t) + ∆t. m ∆t mM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 18. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆVamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1). ˜ ˜Relembrando o conceito de velocidade: = x(t + ∆t) − x(t) = v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t. ∆tPara conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t) ¸˜ ınecessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).A 2a lei de Newton nos da: ´ F(t) = v(t + ∆t) − v(t) = F(t) ∆t→0 ⇒ v(t + ∆t) ∆t→0 v(t) + ∆t. m ∆t mA 2a lei de Newton determina v(t)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 19. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPor que a 2a lei de Newton da a dinamica do movimento? ´ ˆVamos fazer a discussao em uma dimensao espacial (D = 1). ˜ ˜Relembrando o conceito de velocidade: = x(t + ∆t) − x(t) = v(t) ∆t→0 ⇒ x(t + ∆t) ∆t→0 x(t) + v(t)∆t. ∆tPara conhecermos a posicao da part´cula no instante (t + ∆t) ¸˜ ınecessitamos conhecer a velocidade no instante t: v(t).A 2a lei de Newton nos da: ´ F(t) = v(t + ∆t) − v(t) = F(t) ∆t→0 ⇒ v(t + ∆t) ∆t→0 v(t) + ∆t. m ∆t mA 2a lei de Newton determina v(t) ⇒ nos permite conhecer x(t).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 5 / 33
  • 20. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Aplicacoes da a 2. Lei de Newton:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 33
  • 21. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Aplicacoes da a 2. Lei de Newton:Exemplo 1. Part´cula sujeita a uma forca conservativa: ı ¸ d2 x(t) F(x) = −∇V(x) =⇒ m = −∇V(x). dt2 ´x(t): trajetoria percorrida pela part´cula. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 33
  • 22. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Aplicacoes da a 2. Lei de Newton:Exemplo 1. Part´cula sujeita a uma forca conservativa: ı ¸ d2 x(t) F(x) = −∇V(x) =⇒ m = −∇V(x). dt2 ´x(t): trajetoria percorrida pela part´cula. ı ¸ ¸ ˆComo exemplo de uma forca conservativa, temos a forca harmonica da ¸˜mola que tem a seguinte funcao potencial:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 33
  • 23. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Aplicacoes da a 2. Lei de Newton:Exemplo 1. Part´cula sujeita a uma forca conservativa: ı ¸ d2 x(t) F(x) = −∇V(x) =⇒ m = −∇V(x). dt2 ´x(t): trajetoria percorrida pela part´cula. ı ¸ ¸ ˆComo exemplo de uma forca conservativa, temos a forca harmonica da ¸˜mola que tem a seguinte funcao potencial: V(x) = 1 kx2 2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 6 / 33
  • 24. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoExemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo: ¸ ¸ d2 x(t) m = −∇V(x) + F(t). dt2 ´x(t): trajetoria percorrida pela part´cula. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 33
  • 25. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoExemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo: ¸ ¸ d2 x(t) m = −∇V(x) + F(t). dt2 ´x(t): trajetoria percorrida pela part´cula. ıComo exemplo de uma funcao, em D = 1, dependente do tempo temos ¸˜ ¸˜ ´as funcoes periodicas:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 33
  • 26. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoExemplo 2. Forca conservativa e uma forca dependente do tempo: ¸ ¸ d2 x(t) m = −∇V(x) + F(t). dt2 ´x(t): trajetoria percorrida pela part´cula. ıComo exemplo de uma funcao, em D = 1, dependente do tempo temos ¸˜ ¸˜ ´as funcoes periodicas: F(t) = F0 cos(ωt)M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 7 / 33
  • 27. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSabemos que a 2a lei de Newton dp(t) = F(t), dtsendo p(t) = mv(t), nos da a relacao correta entre a causa (F(t)) e o ´ ¸˜ ¸˜efeito (a(t), aceleracao).M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 33
  • 28. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSabemos que a 2a lei de Newton dp(t) = F(t), dtsendo p(t) = mv(t), nos da a relacao correta entre a causa (F(t)) e o ´ ¸˜ ¸˜efeito (a(t), aceleracao).Sera que e poss´vel obter a 2a lei de ´ ´ ı ´Newton atraves de um outro conjunto depostulados????M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 33
  • 29. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSabemos que a 2a lei de Newton dp(t) = F(t), dtsendo p(t) = mv(t), nos da a relacao correta entre a causa (F(t)) e o ´ ¸˜ ¸˜efeito (a(t), aceleracao).Sera que e poss´vel obter a 2a lei de ´ ´ ı ´Newton atraves de um outro conjunto depostulados???? Pergunte ao Alexander Hamilton:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 33
  • 30. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSabemos que a 2a lei de Newton dp(t) = F(t), dtsendo p(t) = mv(t), nos da a relacao correta entre a causa (F(t)) e o ´ ¸˜ ¸˜efeito (a(t), aceleracao).Sera que e poss´vel obter a 2a lei de ´ ´ ı ´Newton atraves de um outro conjunto depostulados???? Pergunte ao Alexander Hamilton:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 8 / 33
  • 31. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˆ ´Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica, ´vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33
  • 32. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˆ ´Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica, ´vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional. ´O que e um funcional? ¸˜ ´ Uma operacao que e realizada sobre ¸˜funcoes.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33
  • 33. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˆ ´Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica, ´vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional. ´O que e um funcional? ¸˜ ´ Uma operacao que e realizada sobre ¸˜funcoes.Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33
  • 34. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˆ ´Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica, ´vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional. ´O que e um funcional? ¸˜ ´ Uma operacao que e realizada sobre ¸˜funcoes.Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como: 1s K(0, 1s) ≡ ˙ dt P(x(t); t) 0sendo que (x(t))2 ˙ ˙ P(x(t); t) ≡ . 2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33
  • 35. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˆ ´Antes de apresentarmos uma nova formulacao da Mecanica Classica, ´vamos discutir um novo objeto matematico denominado de funcional. ´O que e um funcional? ¸˜ ´ Uma operacao que e realizada sobre ¸˜funcoes.Exemplo: Consideramos o funcional K(0, 1s) definido como: 1s K(0, 1s) ≡ ˙ dt P(x(t); t) 0sendo que (x(t))2 ˙ ˙ P(x(t); t) ≡ . 2 ¸˜ ˙O funcional K(0, 1s) transforma a funcao x(t) num unico numero. ´ ´M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 9 / 33
  • 36. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˙Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33
  • 37. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˙Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s: m ˙ x(0) = 0 e ˙ x(1s) = 1 . sM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33
  • 38. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˙Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s: m ˙ x(0) = 0 e ˙ x(1s) = 1 . sou seja, ˙ m x1 (t) = 1 s2 · t, m m ˙ x2 (t) = 2 s3 · t2 − 1 s2 · t.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33
  • 39. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˙Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s: m ˙ x(0) = 0 e ˙ x(1s) = 1 . sou seja, ˙ m x1 (t) = 1 s2 · t, m m ˙ x2 (t) = 2 s3 · t2 − 1 s2 · t.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33
  • 40. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ˙Vamos considerar duas funcoes x(t) em que ambas possuem o mesmovalor em t = 0 e t = 1s: m ˙ x(0) = 0 e ˙ x(1s) = 1 . sou seja, ˙ m x1 (t) = 1 s2 · t, m m ˙ x2 (t) = 2 s3 · t2 − 1 s2 · t. ˙Qual o valor do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e ¸˜˙x2 (t)?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 10 / 33
  • 41. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 42. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜ ˙ mi) x1 (t) = 1 s2 · tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 43. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜ ˙ mi) x1 (t) = 1 s2 · t 1s 1 m 2 K1 (0, 1s) = dt 1 2 ·t 0 2 sM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 44. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜ ˙ mi) x1 (t) = 1 s2 · t 1s 1 m 2 K1 (0, 1s) = 1 2 ·t dt 0 2 s m 2 t3 1s = 1 2 · s 6 0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 45. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜ ˙ mi) x1 (t) = 1 s2 · t 1s 1 m 2 K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t 0 2 s m 2 t3 1s = 1 2 · s 6 0 1 m2 = · . 6 sM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 46. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜ ˙ mi) x1 (t) = 1 s2 · t 1s 1 m 2 K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t 0 2 s m 2 t3 1s = 1 2 · s 6 0 1 m2 = · . 6 s m m ˙ii) x2 (t) = 2 s3 · t2 − 1 s2 ·tM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 47. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜ ˙ mi) x1 (t) = 1 s2 · t 1s 1 m 2 K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t 0 2 s m 2 t3 1s = 1 2 · s 6 0 1 m2 = · . 6 s m m ˙ii) x2 (t) = 2 s3 · t2 − 1 s2 · t 1s 1 m m 2 K2 (0, 1s) = dt 2 3 · t2 − 1 2 · t 0 2 s sM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 48. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜ ˙ mi) x1 (t) = 1 s2 · t 1s 1 m 2 K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t 0 2 s m 2 t3 1s = 1 2 · s 6 0 1 m2 = · . 6 s m m ˙ii) x2 (t) = 2 s3 · t2 − 1 s2 · t 1s 1 m m 2 K2 (0, 1s) = dt 2 3 · t2 − 1 2 · t 0 2 s s 1s 1 m2 m2 m2 = dt 4· · t4 + 1 · · t2 − 4 · · t3 0 2 s6 s4 s5M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 49. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˙ ˙Calculo do funcional K(0, 1s) para cada uma das funcoes x1 (t) e x2 (t): ´ ¸˜ ˙ mi) x1 (t) = 1 s2 · t 1s 1 m 2 K1 (0, 1s) = dt1 2 ·t 0 2 s m 2 t3 1s = 1 2 · s 6 0 1 m2 = · . 6 s m m ˙ii) x2 (t) = 2 s3 · t2 − 1 s2 · t 1s 1 m m 2 K2 (0, 1s) = dt 2 3 · t2 − 1 2 · t 0 2 s s 1s 1 m2 m2 m2 = dt 4· · t4 + 1 · · t2 − 4 · · t3 0 2 s6 s4 s5 1 m2 = · . 15 sM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 11 / 33
  • 50. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPrinc´pio de Hamilton: ı ˆDentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia semover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-sistente com todos os v´nculos que o sistema deve satisfazer), ı ´o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempo ¸˜da funcao lagrangeana L: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ¸˜onde S e a acao.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 33
  • 51. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPrinc´pio de Hamilton: ı ˆDentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia semover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-sistente com todos os v´nculos que o sistema deve satisfazer), ı ´o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempo ¸˜da funcao lagrangeana L: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ¸˜onde S e a acao. ¸˜ ´ A acao e uma quantidade dimensional. Mais adiante verificaremos ˜ ´ ` ˜que a sua dimensao e igual a dimensao do momento angular.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 33
  • 52. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoPrinc´pio de Hamilton: ı ˆDentre todos os caminhos em que um sistema dinamico poderia semover de um ponto a outro dentro de um intervalo de tempo fixo (con-sistente com todos os v´nculos que o sistema deve satisfazer), ı ´o caminho escolhido por ele e aquele que extremiza a integral no tempo ¸˜da funcao lagrangeana L: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ´ ¸˜onde S e a acao. ¸˜ ´ A acao e uma quantidade dimensional. Mais adiante verificaremos ˜ ´ ` ˜que a sua dimensao e igual a dimensao do momento angular. ¸˜ ´ ¸˜ Note que a acao S e um funcional de L. A funcao L depende daposicao ¸ ˙ ˜ (x(t)) e da velocidade (x(t)) da part´cula no instante t. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 12 / 33
  • 53. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˜Revisao: condicao de extremo de uma funcao. ¸˜ ¸˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 33
  • 54. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˜Revisao: condicao de extremo de uma funcao. ¸˜ ¸˜ Seja a funcao f (x), ¸˜ f (x) = 2x3 − 5x2 − 9x + 18M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 33
  • 55. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˜Revisao: condicao de extremo de uma funcao. ¸˜ ¸˜ Seja a funcao f (x), ¸˜ f (x) = 2x3 − 5x2 − 9x + 18 Os extremos (m´nimo e maximo) da funcao f (x) sao obtidos da ı ´ ¸˜ ˜ ¸˜condicao: df (x) f (x + ∆x) − f (x) = =0 ⇐⇒ ∆x→0 0. dx ∆x ´ ˆ ´ ¸˜ Devemos notar que x e o parametro/variavel da funcao.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 13 / 33
  • 56. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ´Variacao do caminho classico para aplicar ao Princ´pio ıde Hamilton: x(t) 2 1 3 t0 tf t Figura 1.1xcl (t): trajetoria da part´cula classica ´ ı ´x(t; α): trajetoria que corresponde a uma pequena variacao a xcl (t) com ´ ¸˜extremidades fixas, ou seja, x(t; α) = xcl (t) + αη(t) onde η(t0 ) = η(tf ) = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 14 / 33
  • 57. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Acao: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α), t0 ¸˜Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao? ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33
  • 58. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Acao: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α), t0 ¸˜Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao? ı = δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] α→0 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33
  • 59. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Acao: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α), t0 ¸˜Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao? ı = δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] α→0 0. ¸˜ ¸˜ou, condicao de extremo da acao: ∂G(α) ∂S =0 ⇒ = 0. ∂α α=0 ∂α α=0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33
  • 60. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Acao: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α), t0 ¸˜Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao? ı = δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] α→0 0. ¸˜ ¸˜ou, condicao de extremo da acao: ∂G(α) ∂S =0 ⇒ = 0. ∂α α=0 ∂α α=0 ¸˜ ¸˜ Pela definicao de derivada de uma funcao: ∂G(α) = G(α) − G(0) ⇒ ∂α α=0 α→0 α ∆α→0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33
  • 61. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜Acao: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t) ≡ G(α), t0 ¸˜Como implementar o Princ´pio de Hamilton na acao? ı = δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] α→0 0. ¸˜ ¸˜ou, condicao de extremo da acao: ∂G(α) ∂S =0 ⇒ = 0. ∂α α=0 ∂α α=0 ¸˜ ¸˜ Pela definicao de derivada de uma funcao: ∂G(α) = G(α) − G(0) ∂S = S(α) − S(0) ⇒ ∆α→0 . ∂α α=0 α→0 α ∂α α=0 ∆α ∆α→0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 15 / 33
  • 62. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoMas: S(α) − S(0) = ∆α tf ˙ ˙ [L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = dt . t0 ∆αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 33
  • 63. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoMas: S(α) − S(0) = ∆α tf ˙ ˙ [L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = dt . t0 ∆α ˜Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral: ˙ ˙[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = ∆αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 33
  • 64. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoMas: S(α) − S(0) = ∆α tf ˙ ˙ [L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = dt . t0 ∆α ˜Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral: ˙ ˙[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = ∆α ∆x ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ αη = ×· ∆α αηM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 33
  • 65. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoMas: S(α) − S(0) = ∆α tf ˙ ˙ [L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = dt . t0 ∆α ˜Vamos manipular a razao que aparece dentro da integral: ˙ ˙[L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = ∆α ∆x ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ αη = ×· ∆α αη ˙ ˙ ˙ [L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ αη+ ×· . ∆α ˙ αη ˙ ∆xM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 16 / 33
  • 66. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoTratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33
  • 67. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoTratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos: ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ αη ×· = ∆α αη ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ ∆x = ×· ∆x ∆αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33
  • 68. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoTratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos: ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ αη ×· = ∆α αη ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ ∆x = ×· ∆x ∆α = ˙ ∂L(x, x; t) ∂x ∆α→0 · , ∂x ∂αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33
  • 69. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoTratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos: ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ αη ×· = ∆α αη ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ ∆x = ×· ∆x ∆α = ˙ ∂L(x, x; t) ∂x ∆α→0 · , ∂x ∂αe ˙ ˙ ˙ [L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ αη ×· = ∆α ˙ αη ˙ ˙ [L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ ˙ ∆x = ×· ∆x˙ ∆αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33
  • 70. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoTratando cada um dos termos do l.d. da igualdade anterior, temos: ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ αη ×· = ∆α αη ˙ ˙ ˙ [L(xcl + αη, xcl + αη; t) − L(xcl , xcl + αη; t)] ˙ ∆x = ×· ∆x ∆α = ˙ ∂L(x, x; t) ∂x ∆α→0 · , ∂x ∂αe ˙ ˙ ˙ [L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ αη ×· = ∆α ˙ αη ˙ ˙ [L(xcl , xcl + αη; t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ ˙ ∆x = ×· ∆x˙ ∆α = ˙ ˙ ∂L(x, x; t) ∂ x ∆α→0 · . ∂x˙ ∂αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 17 / 33
  • 71. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoJuntando todos os resultados anteriores: ˙ ˙ [L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = ∆α = ˙ ∂L(x, x; t) ∂x ˙ ∂L(x, x; t) ∂ x˙ ∆α→0 · + · . ∂x ∂α ∂x˙ ∂α ˙ ´Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x sao ˙ ˜ ´tratadas como variaveis independentes.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 33
  • 72. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoJuntando todos os resultados anteriores: ˙ ˙ [L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = ∆α = ˙ ∂L(x, x; t) ∂x ˙ ∂L(x, x; t) ∂ x˙ ∆α→0 · + · . ∂x ∂α ∂x˙ ∂α ˙ ´Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x sao ˙ ˜ ´tratadas como variaveis independentes.Devemos lembrar que ∂x x(t) = xcl (t) + α · η(t) ⇒ = η(t) ∂α ˙ ∂x ˙ ˙ x(t) = xcl (t) + α · η(t) ˙ ⇒ = η(t). ˙ ∂αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 33
  • 73. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoJuntando todos os resultados anteriores: ˙ ˙ [L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = ∆α = ˙ ∂L(x, x; t) ∂x ˙ ∂L(x, x; t) ∂ x˙ ∆α→0 · + · . ∂x ∂α ∂x˙ ∂α ˙ ´Nas derivadas parciais da lagrangeana L(x, x; t) as variaveis x e x sao ˙ ˜ ´tratadas como variaveis independentes.Devemos lembrar que ∂x x(t) = xcl (t) + α · η(t) ⇒ = η(t) ∂α ˙ ∂x ˙ ˙ x(t) = xcl (t) + α · η(t) ˙ ⇒ = η(t). ˙ ∂αAssim: ˙ ˙ [L(xcl (t) + αη(t), xcl (t) + αη(t); t) − L(xcl (t), xcl (t); t)] ˙ = ∆α = ˙ ∂L(x, x; t) ˙ ∂L(x, x; t) ∆α→0 · η(t) + ˙ · η(t). ∂x ∂x˙M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 18 / 33
  • 74. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ` ¸˜ ¸˜Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como: tf ˙ ˙ ∂S ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t) = dt · η(t) + · η = 0. ˙ ∂α α=0 t0 ∂x ∂x˙Na expressao anterior as η e η = dη(t) nao sao independentes, por isso ˜ ˙ dt ˜ ˜ ˜ ˜nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 33
  • 75. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ` ¸˜ ¸˜Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como: tf ˙ ˙ ∂S ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t) = dt · η(t) + · η = 0. ˙ ∂α α=0 t0 ∂x ∂x˙Na expressao anterior as η e η = dη(t) nao sao independentes, por isso ˜ ˙ dt ˜ ˜ ˜ ˜nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior. ¸˜Utilizamos a integracao por partes, u dv = u · v − v du, ¸˜ ¸˜para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 33
  • 76. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ` ¸˜ ¸˜Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como: tf ˙ ˙ ∂S ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t) = dt · η(t) + · η = 0. ˙ ∂α α=0 t0 ∂x ∂x˙Na expressao anterior as η e η = dη(t) nao sao independentes, por isso ˜ ˙ dt ˜ ˜ ˜ ˜nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior. ¸˜Utilizamos a integracao por partes, u dv = u · v − v du, ¸˜ ¸˜para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao: tf ˙ tf ˙ dη ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t) dt · = dη t0 dt ∂x˙ t0 ∂x˙ dv uM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 33
  • 77. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ` ¸˜ ¸˜Voltando a condicao de extremo da acao, a reescrevemos como: tf ˙ ˙ ∂S ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t) = dt · η(t) + · η = 0. ˙ ∂α α=0 t0 ∂x ∂x˙Na expressao anterior as η e η = dη(t) nao sao independentes, por isso ˜ ˙ dt ˜ ˜ ˜ ˜nao temos nenhum conclusao geral da igualdade anterior. ¸˜Utilizamos a integracao por partes, u dv = u · v − v du, ¸˜ ¸˜para reescrever o segundo termo do l.d. da variacao da acao: tf ˙ tf ˙ dη ∂L(x, x; t) ∂L(x, x; t) dt · = dη t0 dt ∂x˙ t0 ∂x˙ dv u ˙ tf ˙ ∂L(x, x; t) tf d ∂L(x, x; t) = η(t) · − dt η(t) . ∂x˙ t0 t0 dt ∂x˙ η(t0 )=η(tf )=0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 19 / 33
  • 78. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoFinalmente temos: tf ˙ tf ˙ dη ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t) dt · =− dt η(t) , t0 dt ∂x˙ t0 dt ∂x˙M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 33
  • 79. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoFinalmente temos: tf ˙ tf ˙ dη ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t) dt · =− dt η(t) , t0 dt ∂x˙ t0 dt ∂x˙ ¸˜ ¸˜e a condicao de extremo da acao fica: tf ˙ ˙ ∂S ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t) = dt − · η(t) = 0. ∂α α=0 t0 ∂x dt ∂x˙M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 33
  • 80. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoFinalmente temos: tf ˙ tf ˙ dη ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t) dt · =− dt η(t) , t0 dt ∂x˙ t0 dt ∂x˙ ¸˜ ¸˜e a condicao de extremo da acao fica: tf ˙ ˙ ∂S ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t) = dt − · η(t) = 0. ∂α α=0 t0 ∂x dt ∂x˙ ¸˜Para que a integral seja nula para qualquer deformacao η(t) e paraqualquer intervalo de tempo [t0 , tf ], devemos ter: ˙ ∂L(x, x; t) d ˙ ∂L(x, x; t) − = 0, ∂x dt ∂x˙M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 33
  • 81. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoFinalmente temos: tf ˙ tf ˙ dη ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t) dt · =− dt η(t) , t0 dt ∂x˙ t0 dt ∂x˙ ¸˜ ¸˜e a condicao de extremo da acao fica: tf ˙ ˙ ∂S ∂L(x, x; t) d ∂L(x, x; t) = dt − · η(t) = 0. ∂α α=0 t0 ∂x dt ∂x˙ ¸˜Para que a integral seja nula para qualquer deformacao η(t) e paraqualquer intervalo de tempo [t0 , tf ], devemos ter: ˙ ∂L(x, x; t) d ˙ ∂L(x, x; t) ¸˜ Equacao de Lagrange. − = 0, ∂x dt ∂x˙M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 20 / 33
  • 82. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜A funcao lagrangeana L depende do sistema que ı ˜estamos tratando: part´culas nao-relativ´sticas, ı ı ı ´part´culas relativ´sticas, campos eletromagneticos, ...M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 33
  • 83. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜A funcao lagrangeana L depende do sistema que ı ˜estamos tratando: part´culas nao-relativ´sticas, ı ı ı ´part´culas relativ´sticas, campos eletromagneticos, ... ¸˜Como escolher a funcao langreagena?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 33
  • 84. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜A funcao lagrangeana L depende do sistema que ı ˜estamos tratando: part´culas nao-relativ´sticas, ı ı ı ´part´culas relativ´sticas, campos eletromagneticos, ... ¸˜Como escolher a funcao langreagena? ¸˜ ´A funcao lagrangeana L e escolhida de tal forma que ´ ¸˜a eq. de Lagrange da as equacoes de movimento ´classicas!!!! Joseph Louis LagrangeM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 21 / 33
  • 85. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ˜ Part´culas nao-relativ´sticas: ıA velocidade da luz, c ≈ 3×108 m , nos da uma escala para sabermos s ´ ı ´ ˜ ı ı ı ˜se uma part´cula e ou nao uma part´cula relativ´stica. Part´culas nao- ˜ ¸˜relativ´sticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 33
  • 86. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ˜ Part´culas nao-relativ´sticas: ıA velocidade da luz, c ≈ 3×108 m , nos da uma escala para sabermos s ´ ı ´ ˜ ı ı ı ˜se uma part´cula e ou nao uma part´cula relativ´stica. Part´culas nao- ˜ ¸˜relativ´sticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c. ıExemplo 1. Forca conservativa: ¸ ı ˜Part´culas nao-relativ´sticas sujeitas a forcas conservativas: ı ¸ 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2pois,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 33
  • 87. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ˜ Part´culas nao-relativ´sticas: ıA velocidade da luz, c ≈ 3×108 m , nos da uma escala para sabermos s ´ ı ´ ˜ ı ı ı ˜se uma part´cula e ou nao uma part´cula relativ´stica. Part´culas nao- ˜ ¸˜relativ´sticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c. ıExemplo 1. Forca conservativa: ¸ ı ˜Part´culas nao-relativ´sticas sujeitas a forcas conservativas: ı ¸ 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2pois, ∂L ∂L dV(x) ˙ = mx e =− . ˙ ∂x ∂x dx ˙ ∂L(x,x;t) d ˙ ∂L(x,x;t) ¸˜Substituindo na equacao de Lagrange ∂x − dt ˙ ∂x =0 ,obtemos:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 33
  • 88. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ˜ Part´culas nao-relativ´sticas: ıA velocidade da luz, c ≈ 3×108 m , nos da uma escala para sabermos s ´ ı ´ ˜ ı ı ı ˜se uma part´cula e ou nao uma part´cula relativ´stica. Part´culas nao- ˜ ¸˜relativ´sticas sao aquelas cuja a velocidade satisfaz a condicao: v ≪ c. ıExemplo 1. Forca conservativa: ¸ ı ˜Part´culas nao-relativ´sticas sujeitas a forcas conservativas: ı ¸ 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2pois, ∂L ∂L dV(x) ˙ = mx e =− . ˙ ∂x ∂x dx ˙ ∂L(x,x;t) d ˙ ∂L(x,x;t) ¸˜Substituindo na equacao de Lagrange ∂x − dt ˙ ∂x =0 ,obtemos: dV(x) d(mx)˙ d2 x(t) dV(x) − − =0 ⇒ m 2 =− . dx dt dt dxM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 22 / 33
  • 89. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ˜A lagrangeana de part´culas nao-relativ´sticas sujeitas a forcas ı ¸ ´conservativas e: 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2 ´sendo V(x) a energia potencial a que a part´cula esta sujeita. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 33
  • 90. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ˜A lagrangeana de part´culas nao-relativ´sticas sujeitas a forcas ı ¸ ´conservativas e: 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2 ´sendo V(x) a energia potencial a que a part´cula esta sujeita. ı ı ˜ ı ˜Observem que a lagrangeana de part´culas nao-relativ´sticas NAO´ ˆe a energia mecanica total da part´cula, ı 1 Etotal = mx(t)2 + V(x). ˙ 2M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 33
  • 91. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ı ˜A lagrangeana de part´culas nao-relativ´sticas sujeitas a forcas ı ¸ ´conservativas e: 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2 ´sendo V(x) a energia potencial a que a part´cula esta sujeita. ı ı ˜ ı ˜Observem que a lagrangeana de part´culas nao-relativ´sticas NAO´ ˆe a energia mecanica total da part´cula, ı 1 Etotal = mx(t)2 + V(x). ˙ 2 ˜ ˆ Por que a lagrangeana L nao poderia ser a energia mecanica total ı ˜da part´cula nao-relativ´stica? ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 23 / 33
  • 92. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ¸˜Exerc´cio: Mostre que para uma part´cula sob a acao da superposicao ı ıde uma forca conservativa e de uma forca dependente do tempo, a ¸ ¸ ı ˜lagrangeana que descreve o movimento desta part´cula nao-relativ´stica ı ´e: 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x) + F(t)x(t), ˙ ˙ 2 ´sendo V(x) a energia potencial a que a part´cula esta sujeita e F(t) a ıforca dependente do tempo que age sobre esta mesma patt´cula. ¸ ıLembrando a eq. de Lagrange: ˙ ∂L(x, x; t) d ˙ ∂L(x, x; t) − = 0. ∂x dt ∂x˙M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 24 / 33
  • 93. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoFinalmente, desejamos mostrar que duas lagrangeanas que diferementre si por uma derivada total, ˙ dG(x(t), x(t); t) ˙ ˙ L1 (x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) + , dt ˜ ¸˜dao origem as mesmas equacoes de movimento.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 33
  • 94. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoFinalmente, desejamos mostrar que duas lagrangeanas que diferementre si por uma derivada total, ˙ dG(x(t), x(t); t) ˙ ˙ L1 (x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) + , dt ˜ ¸˜dao origem as mesmas equacoes de movimento.Antes, vejamos o exemplo de duas funcoes f (x) e g(x) que diferem por ¸˜uma constante,M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 33
  • 95. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoFinalmente, desejamos mostrar que duas lagrangeanas que diferementre si por uma derivada total, ˙ dG(x(t), x(t); t) ˙ ˙ L1 (x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) + , dt ˜ ¸˜dao origem as mesmas equacoes de movimento.Antes, vejamos o exemplo de duas funcoes f (x) e g(x) que diferem por ¸˜uma constante, f (x) = 2x3 − 5x2 − 9x + 18 g(x) = f (x) + 20 Os valores de x em que temos os extremos de f(x) e de g(x) ˜ sao os mesmos: df (x) dg(x) dx = dx = 0.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 25 / 33
  • 96. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSejam duas lagrangeanas que diferem entre si por uma derivada total, ˙ dG(x(t), x(t); t) ˙ ˙ L1 (x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) + . dtM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 33
  • 97. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSejam duas lagrangeanas que diferem entre si por uma derivada total, ˙ dG(x(t), x(t); t) ˙ ˙ L1 (x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) + . dt ¸˜ ` ˙Seja S a acao associada a lagrangreana L(x(t), x(t); t), tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 33
  • 98. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSejam duas lagrangeanas que diferem entre si por uma derivada total, ˙ dG(x(t), x(t); t) ˙ ˙ L1 (x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) + . dt ¸˜ ` ˙Seja S a acao associada a lagrangreana L(x(t), x(t); t), tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ¸˜ ` ˙e S1 a acao associada a lagrangreana L1 (x(t), x(t); t), tf S1 [x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L1 (x(t), x(t); t). t0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 33
  • 99. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSejam duas lagrangeanas que diferem entre si por uma derivada total, ˙ dG(x(t), x(t); t) ˙ ˙ L1 (x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) + . dt ¸˜ ` ˙Seja S a acao associada a lagrangreana L(x(t), x(t); t), tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t), t0 ¸˜ ` ˙e S1 a acao associada a lagrangreana L1 (x(t), x(t); t), tf S1 [x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L1 (x(t), x(t); t). t0 ¸˜ ¸˜Qual a relacao entre as acoes S e S1 , se as calculamos para as ´trajetorias: x(t) = xcl (t) + α · η(t) com η(t0 ) = η(tf ) = 0?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 26 / 33
  • 100. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSeja: tf S1 [x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L1 (x(t), x(t); t). t0 tf tf ˙ dG(x(t), x(t); t) = ˙ dt L(x(t), x(t); t) + dt t0 t0 dt S[x(t)=xcl +αη(t);t0 ,tf ] G(x(tf )) G(x(t0 )) dG = S[xcl + αη(t); t0 , tf ] + [G(x(tf )) − G(x(t0 ))] G(xcl (tf )) G(xcl (t0 )) S1 [xcl + αη(t); t0 , tf ] = S[xcl + αη(t); t0 , tf ] + G(xcl (tf )) − G(xcl (t0 )). ¸˜ funcao independente de αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 33
  • 101. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSeja: tf S1 [x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L1 (x(t), x(t); t). t0 tf tf ˙ dG(x(t), x(t); t) = ˙ dt L(x(t), x(t); t) + dt t0 t0 dt S[x(t)=xcl +αη(t);t0 ,tf ] G(x(tf )) G(x(t0 )) dG = S[xcl + αη(t); t0 , tf ] + [G(x(tf )) − G(x(t0 ))] G(xcl (tf )) G(xcl (t0 )) S1 [xcl + αη(t); t0 , tf ] = S[xcl + αη(t); t0 , tf ] + G(xcl (tf )) − G(xcl (t0 )). ¸˜ funcao independente de α ¸˜ ¸˜As condicoes de extremo das duas acoes: ∂S ∂S1 = = 0, ∂α ∂αM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 33
  • 102. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acaoSeja: tf S1 [x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L1 (x(t), x(t); t). t0 tf tf ˙ dG(x(t), x(t); t) = ˙ dt L(x(t), x(t); t) + dt t0 t0 dt S[x(t)=xcl +αη(t);t0 ,tf ] G(x(tf )) G(x(t0 )) dG = S[xcl + αη(t); t0 , tf ] + [G(x(tf )) − G(x(t0 ))] G(xcl (tf )) G(xcl (t0 )) S1 [xcl + αη(t); t0 , tf ] = S[xcl + αη(t); t0 , tf ] + G(xcl (tf )) − G(xcl (t0 )). ¸˜ funcao independente de α ¸˜ ¸˜As condicoes de extremo das duas acoes: ∂S ∂S1 = = 0, ∂α ∂αe a mesma trajetoria xcl (t) extremiza as duas acoes S e S1 . ´ ¸˜M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 27 / 33
  • 103. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˜ ¸˜Qual a dimensao da lagrangeana L e da acao S?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 28 / 33
  • 104. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˜ ¸˜Qual a dimensao da lagrangeana L e da acao S? ˜ ´No caso de part´cula nao-relativ´stiva, a lagrangeana deste sistema e: ı ı 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2 ´sendo V(x) a energia potencial a que a part´cula esta sujeita. ıM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 28 / 33
  • 105. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˜ ¸˜Qual a dimensao da lagrangeana L e da acao S? ˜ ´No caso de part´cula nao-relativ´stiva, a lagrangeana deste sistema e: ı ı 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2 ´sendo V(x) a energia potencial a que a part´cula esta sujeita. ı ˜A dimensao da lagrangeana L: mx2 ˙ Ml2 [L] = ⇒ [L] = , 2 T2 ˜ ˜sendo M a dimensao de massa, l a dimensao de comprimento e T a ˜dimensao de tempo.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 28 / 33
  • 106. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ˜ ¸˜Qual a dimensao da lagrangeana L e da acao S? ˜ ´No caso de part´cula nao-relativ´stiva, a lagrangeana deste sistema e: ı ı 1 L(x(t), x(t); t) = mx(t)2 − V(x), ˙ ˙ 2 ´sendo V(x) a energia potencial a que a part´cula esta sujeita. ı ˜A dimensao da lagrangeana L: mx2 ˙ Ml2 [L] = ⇒ [L] = , 2 T2 ˜ ˜sendo M a dimensao de massa, l a dimensao de comprimento e T a ˜dimensao de tempo. ˜ ˆNote que apesar da lagrangeana L nao ser a energia mecanica total, ˜ela tem dimensao de energia.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 28 / 33
  • 107. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ´A acao S e: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t). t0M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 29 / 33
  • 108. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ´A acao S e: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t). t0 ˜ ¸˜Dimensao da acao S: Ml2 Ml2 [S] = [L] · [t] ⇒ [S] = ·T ⇒ [S] = . T2 TM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 29 / 33
  • 109. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ´A acao S e: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t). t0 ˜ ¸˜Dimensao da acao S: Ml2 Ml2 [S] = [L] · [t] ⇒ [S] = ·T ⇒ [S] = . T2 T ˜Qual a dimensao do momento angular?M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 29 / 33
  • 110. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ´A acao S e: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t). t0 ˜ ¸˜Dimensao da acao S: Ml2 Ml2 [S] = [L] · [t] ⇒ [S] = ·T ⇒ [S] = . T2 T ˜Qual a dimensao do momento angular? ¸˜O vetor momento angular L de uma part´cula localizada na posicao x e ı ´com momento linear p e: Ml Ml2 L=x×p ⇒ [L] = l · ⇒ [L] = . T TM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 29 / 33
  • 111. ı ı ¸˜ Princ´pio de m´nima acao ¸˜ ´A acao S e: tf S[x(t); t0 , tf ] = ˙ dt L(x(t), x(t); t). t0 ˜ ¸˜Dimensao da acao S: Ml2 Ml2 [S] = [L] · [t] ⇒ [S] = ·T ⇒ [S] = . T2 T ˜Qual a dimensao do momento angular? ¸˜O vetor momento angular L de uma part´cula localizada na posicao x e ı ´com momento linear p e: Ml Ml2 L=x×p ⇒ [L] = l · ⇒ [L] = . T T ¸˜ ˜ Verificamos que a acao S tem dimensao de momento angular.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 29 / 33
  • 112. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em Matematica Operadores diferenciaisM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 30 / 33
  • 113. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em Matematica Operadores diferenciaisVetor: v(x) = vx (x)ˆ + vy (x)ˆ + vz (x)ˆ ı  k.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 30 / 33
  • 114. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em Matematica Operadores diferenciaisVetor: v(x) = vx (x)ˆ + vy (x)ˆ + vz (x)ˆ ı  k. ¸˜i. Gradiente ∇ de uma funcao em coordenadas cartesianas: ∂f (x) ∂f (x) ˆ ∂f (x) ∇f (x) = ˆ ı + ˆ +k . ∂x ∂y ∂zM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 30 / 33
  • 115. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em Matematica Operadores diferenciaisVetor: v(x) = vx (x)ˆ + vy (x)ˆ + vz (x)ˆ ı  k. ¸˜i. Gradiente ∇ de uma funcao em coordenadas cartesianas: ∂f (x) ∂f (x) ˆ ∂f (x) ∇f (x) = ˆ ı + ˆ +k . ∂x ∂y ∂z ˆii. Divergencia de um vetor em coordenadas cartesianas: ∂vx (x) ∂vy (x) ∂vz (x) ∇ · v(x) = + + . ∂x ∂y ∂zM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 30 / 33
  • 116. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em Matematica Operadores diferenciaisVetor: v(x) = vx (x)ˆ + vy (x)ˆ + vz (x)ˆ ı  k. ¸˜i. Gradiente ∇ de uma funcao em coordenadas cartesianas: ∂f (x) ∂f (x) ˆ ∂f (x) ∇f (x) = ˆ ı + ˆ +k . ∂x ∂y ∂z ˆii. Divergencia de um vetor em coordenadas cartesianas: ∂vx (x) ∂vy (x) ∂vz (x) ∇ · v(x) = + + . ∂x ∂y ∂ziii. Rotacional de um vetor em coordenadas cartesianas: ∂vz (x) ∂vy (x) ∂vx (x) ∂vz (x) ∇ × v(x) = ˆ ı − +ˆ − + ∂y ∂z ∂z ∂x ∂vy (x) ∂vx (x) + ˆ k − . ∂x ∂yM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 30 / 33
  • 117. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em Matematica ¸˜Exerc´cio: Usando a definicao dos operadores diferenciais em ıcoordenadas cartesinas, mostre as propriedades gerais da ˆdivergencia e do rotacional: ∇ · (∇ × v(x)) = 0, ∇ × (∇g(x)) = 0, ∇ × (∇ × v(x)) = ∇(∇ · v(x)) − ∇2 v(x), ˜ ¸˜ ˜onde as componentes do vetor v(x) e g(x) sao funcoes nao-singularese ∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2. ∂x ∂y ∂zM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 31 / 33
  • 118. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em MatematicaTeorema de Gauss Seja f(x) um vetor definido em todos os pontos dentro de um volume V e na ´ area fechada S que delimita este volume. ´ O Teorema de Gauss nos da que: Carl Friedrich GaussM.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 32 / 33
  • 119. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em MatematicaTeorema de Gauss Seja f(x) um vetor definido em todos os pontos dentro de um volume V e na ´ area fechada S que delimita este volume. ´ O Teorema de Gauss nos da que: Carl Friedrich Gauss V d3 x ∇ · f(x) = S f(x) ˆ · nds, ´ ´ ˆ ´onde ds e uma area infinitesimal sobre a superf´cie S e n e um vetor ı ´ ` ˆunitario perpendicular em cada ponto a superf´cie S. O vetor n aponta ıpara fora do volume delimitado.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 32 / 33
  • 120. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em MatematicaTeorema de Stokes. Seja Γ uma linha fechada e S qualquer superf´cie delimitada pela linha Γ. Seja ı f(x) um vetor definido em todos os pontos da superf´cie S inclusive ao ı longo da linha Γ. George Gabriel Stokes Pelo Teorema de Stokes temos que:M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 33 / 33
  • 121. ˜ ´ ´ Revisao de topicos em MatematicaTeorema de Stokes. Seja Γ uma linha fechada e S qualquer superf´cie delimitada pela linha Γ. Seja ı f(x) um vetor definido em todos os pontos da superf´cie S inclusive ao ı longo da linha Γ. George Gabriel Stokes Pelo Teorema de Stokes temos que: S ds ˆ n · (∇ × f(x)) = Γ f(x) · dl, ´ ˆ´onde dl e um vetor infinitesimal tangencial a linha Γ e n e o vetor unitario ´ `perpendicular em cada ponto a superf´cie S. O sentido dos vetores n e ı ˆ ´ ˜dl e dado pela regra da mao direita.M.T. Thomaz (Instituto de F´sica, UFF) ı C AMPOS ´ DE CALIBRE CL A SSICOS 33 / 33

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