Your SlideShare is downloading. ×
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-Simons

1,110

Published on

A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das …

A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das
equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o
aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever
as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante).
Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre
é implementada nestes campos.

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
1,110
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
58
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Mini–Curso Campos de Gauge Cl´ssicos: Maxwell, Chern–Simons a Maria Teresa Thomaz† Instituto de F´ ısica Universidade Federal Fluminense o R. Gal. Milton Tavares de Souza s/n. Campus da Praia Vermelha Niter´i, R.J., 24210–340 o BRASIL ´ Indice1. Princ´ ıpio de M´ ınima A¸˜o ca 12. Campos Eletromagn´ticos: Equa¸˜es de Maxwell e co 73. Espa¸o de Minkowski c 134. Lagrangeana de Campos de Gauge Cl´ssicos a 22 4.1. Campos Eletromagn´ticos: Campos de Maxwell e 23 4.2. Campos de Gauge de Maxwell–Chern–Simons 375. Figuras 53Apˆndice A: Revis˜o de An´lise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes e a a 55Apˆndice B: Princ´ e ıpio de Hamilton para Campos Cl´ssicos a 57Referˆncias e 62 † E-mail: MTT@IF.UFF.BR 0
  • 2. 1. Princ´ ıpio de M´ ınima A¸˜o. ca Todos n´s aprendemos a descrever quantitativamente o movimento dos corpos que nos ocercam atrav´s da aplica¸˜o das trˆs Leis de Newton[1] : e ca e 1. Um corpo se mant´m em repouso ou em movimento retil´ e ıneo uniforme a menos queuma for¸a atue sobre ˆle. c e 2. Um corpo sobre o qual atua uma for¸a se move de tal forma que a taxa de varia¸˜o c cado momento ´ igual a essa for¸a. e c 3. Se dois corpos exercem for¸a um sobre o outro, essas for¸as s˜o iguais em intensidade c c ae dire¸˜o, mas tˆm sentidos opostos. ca e a A 2. Lei de Newton d´ a dinˆmica do movimento de uma part´ a a ıcula pontual: dp = F(t), (1.1) dtonde p(t) ´ o momento linear da part´ e ıcula no instante t e F(t) a for¸a que age sobre a part´ c ıcula aneste instante. Na descri¸˜o do movimento dos corpos, a 2. Lei de Newton relaciona a causa ca( a for¸a que age sobre a part´ c ıcula) com a consequˆncia ( o movimento induzido no corpo). ePortanto, se conhecemos a express˜o da for¸a que age sobre a part´ a c ıcula em todos os instantes ca ıcula, a partir da solu¸˜o da 2.a Lei dee os valores iniciais da posi¸˜o e velocidade da part´ caNewton determinamos a sua trajet´ria: x(t). Em alguns casos ´ poss´ obter a express˜o o e ıvel aalg´brica para essa trajet´ria, mas na maioria das vezes o que se obt´m ´ a solu¸˜o num´rica. e o e e ca e A equa¸˜o que d´ a dinˆmica de uma part´ ca a a ıcula de massa constante ´: e d2 x(t) m = F(t). (1.2) dt2 Vocˆs j´ estudaram v´rias aplica¸˜es[1] da 2. Lei de Newton; dentre elas destacamos: e a a co a Exemplo 1. Part´ ıcula sujeita a uma for¸a conservativa: neste caso definimos a fun¸˜o c capotencial V (x) cuja rela¸˜o com a for¸a que atua sobre a part´ ca c ıcula ´: e F(x) = − V (x). (1.3) Para part´ ıculas sujeitas a for¸as conservativas a equa¸˜o de movimento ´: c ca e 1
  • 3. d2 x(t) m = − V (x). (1.4) dt2 Exemplo 2. Part´ ıcula sujeita a uma for¸a conservativa descrita pela fun¸˜o potencial c caV (x) e uma for¸a F(t) dependente do tempo. Neste caso a equa¸˜o de movimento fica: c ca d2 x(t) m = − V (x) + F(t). (1.5) dt2 Ser´ que ´ poss´ a e ıvel obter atrav´s de um outro conjunto de postulados a eequa¸˜o (1.2) que descreve a dinˆmica de part´ ca a ıcula pontual? a c ıpio de Hamilton[2] em 1 dimens˜o espacial. A Vamos ent˜o come¸ar a discutir o Princ´ asua extens˜o para 2 e 3 dimens˜es espaciais ´ direta. a o e O princ´ ıpio de Hamilton n˜o vai dar nenhuma equa¸˜o de movimento nova para a a capart´ a ıstica1 . No entanto, o Princ´ ıcula n˜o–relativ´ ıpio de Hamilton ´ geral, de maneira que a epartir dele podemos obter as equa¸˜es que governam a evolu¸˜o dinˆmica tanto de part´ co ca a ıculasquanto de campos, como por exemplo os campos eletromagn´ticos. e Enunciado do Princ´ ıpio de Hamilton: Dentre todos os caminhos em que um sistema dinˆmico poderia se mover de um ponto a aoutro dentro de um intervalo de tempo fixo (consistente com todos os v´ ınculos que o sistemadeve satisfazer), o caminho escolhido por ele ´ aquele que minimiza a integral no tempo da efun¸˜o lagrangeana L: ca tf S[x(t); t0 , tf ] = dtL(x(t), x(t); t), ˙ (1.6) t0onde S ´ a a¸˜o. A cada trajet´ria x(t) entre os pontos fixos x(t0 ) e x(tf ) associamos um e ca on´mero que ´ o valor da a¸˜o. A a¸˜o ´ uma quantidade dimensional, e sua dimens˜o igual u e ca ca e a` dimens˜o do momento angular.a a Se xcl (t) ´ a trajet´ria que a part´ e o ıcula cl´ssica segue para ir da posi¸˜o x(t0 ) ` posi¸˜o a ca a cax(tf ) no intervalo de tempo (tf − t0 ), ent˜o qualquer trajet´ria que passe nestas mesmas a oposi¸˜es nestes mesmos instantes e que corresponda uma pequena modifica¸˜o na trajet´ria co ca ocl´ssica podem ser escritas como: a 1 Part´ ıcula n˜o–relativ´ a ıstica ´ aquela cuja velocidade ´ muito menor que a velocidade da e eluz. 2
  • 4. x(t; α) = xcl (t) + αη(t), (1.7a)onde α ´ uma constante e η(t) uma fun¸˜o arbitr´ria que corresponde a uma pequena e ca adeforma¸˜o da trajet´ria cl´ssica mas com os extremos fixos ( veja a Figura 1.1): ca o a η(t0 ) = η(tf ) = 0. (1.7b) A express˜o matem´tica correspondente ao Princ´ a a ıpio de Hamilton para trajet´rias que odifiram pouco da trajet´ria cl´ssica ´: o a e δS[x(t)] = S[x(t; α)] − S[xcl (t)] = S[xcl (t) + αη(t)] − S[xcl (t)] = 0. (1.8) Para entendermos porque o Princ´ ıpio de Hamilton ´ dado pela eq.(1.8) (δS[x(t)] = 0), enotemos que para t0 e tf fixos, a a¸˜o S[x(t); t0 , tf ] ´ uma fun¸˜o de α: ca e ca tf G(α) = dtL(xcl + αη, xcl + αη; t). ˙ ˙ (1.9) t0 Dizer que a trajet´ria xcl (t) minimiza a a¸˜o ´ equivalente a dizer que a fun¸˜o G(α) o ca e catem um m´ ınimo em α = 0. O que caracteriza o m´ ınimo de uma fun¸˜o ´ que a sua derivada ca eno ponto ´ zero. Portanto, e ∂G(α) ∂S ⇒ = 0. (1.10) ∂α α=0 ∂α α=0 Vejamos como obter a equa¸˜o de Lagrange a partir da condi¸˜o da a¸˜o ser um m´ ca ca ca ınimoquando expandimos as poss´ıveis trajet´rias em torno da trajet´ria cl´ssica. o o a A a¸˜o de qualquer trajet´ria representada pela eq. (1.7a) ´: ca o e tf S[x(t; α)] == dt L(xcl + αη, xcl + αη; t). ˙ ˙ (1.11) t0 Da condi¸˜o de extremo (1.10), obtemos que: ca tf ∂S ∂L ∂x ∂L ∂ x ˙ = dt + ∂α α=0 t0 ∂x ∂α ∂ x ∂α ˙ tf ∂L ∂L = dt η(t) + η(t) . ˙ (1.12) t0 ∂x ∂x ˙ 3
  • 5. Ao se escolher a fun¸˜o η(t) estamos tamb´m escolhendo a fun¸˜o η(t), de forma que os ca e ca ˙dois termos do lado direito (l.d.) da equa¸˜o (1.12) n˜o s˜o independentes entre si. Usamos ca a a 2ent˜o integra¸˜o por partes para reescrever o termo em η(t) no l.d. da eq.(1.12): a ca ˙ tf t=tf tf ∂L ∂L d ∂L dt η(t) = η(t) ˙ − dt η(t) t0 ∂x ˙ ∂x ˙ t=t0 t0 dt ∂ x ˙ tf d ∂L =− dt η(t), (1.13) t0 dt ∂ x ˙uma vez que o valor da fun¸˜o η(t) para t = t0 e t = tf ´ zero. ca e Finalmente, a condi¸˜o de extremo da a¸˜o ´ escrita como: ca ca e tf ∂S ∂L d ∂L = dt − η(t) = 0. (1.14) ∂α α=0 t0 ∂x dt ∂ x ˙ Para que a igualdade (1.14) seja v´lida para qualquer pequena deforma¸˜o η(t), cujo a cavalor em t = t0 e t = tf ´ nula, ´ necess´rio que o integrando seja identicamente nulo: e e a ∂L d ∂L − = 0, (1.15) ∂x dt ∂ x ˙onde, para o c´lculo das derivadas parciais, as vari´veis x(t) e x(t) da lagrangeana L s˜o a a ˙ atratadas como independentes. A equa¸˜o (1.15) ´ chamada de equa¸˜o de Lagrange. ca e ca Para que a equa¸˜o de Lagrange fa¸a algum sentido para n´s e possamos ver se ela re– ca c oobt´m, no caso das part´ e ıculas pontuais, a eq.(1.2), precisamos definir a lagrangeana em termosdas quantidades cinem´ticas (x(t), x(t)), que caracterizam de forma un´ a ˙ ıvoca o movimento dapart´ıcula. De uma maneira geral, a forma que se escolhe para a lagrangeana depende do sistemaque estamos tratando: part´ ıculas n˜o–relativ´ a ısticas, part´ıculas relativ´ısticas, campos eletro–magn´ticos, ... e Nesta se¸˜o vamos nos restringir a postular as lagrangeanas de part´ ca ıculas n˜o–relativ´ a ıs-ticas que correspondem aos dois exemplos que apresentamos no in´ da se¸˜o. ıcio ca A lagrangeana associada a um certo sistema ´ escolhida como fun¸˜o das quantidades e cacinem´ticas que caracterizam o sistema, de tal forma que a eq.(1.15) nos dˆ a equa¸˜o de a e camovimento cl´ssica (1.2) para part´ a ıculas n˜o–relativ´ a ısticas. 2 Integra¸ao por partes: c˜ udv = uv − vdu. ∂LEscolhemos no nosso caso: u = ∂x ˙ e dv = dt η. ˙ 4
  • 6. Exemplo 1. Part´ıcula sujeita a uma for¸a conservativa em 1 dimens˜o: a rela¸˜o entre a c a cafor¸a F (x) que atua na part´ c ıcula e a fun¸˜o potencial V (x) ´: ca e dV (x) F (x) = − . (1.16) dx A lagrangeana de part´ ıculas sujeitas a for¸as conservativas ´: c e 1 L(x(t), x(t); t) = ˙ mx(t)2 − V (x), ˙ (1.17a) 2pois, ∂L = mx, ˙ (1.17b) ∂x ˙ ∂L dV (x) =− . (1.17c) ∂x dxe, substituindo as eqs.(1.17b–c) na equa¸˜o de Lagrange (1.15), obtemos ca dV (x) d(mx)˙ d2 x(t) dV (x) − − =0 ⇒ m 2 =− . (1.18). dx dt dt dx Exemplo 2. Part´ ıcula sujeita a uma for¸a conservativa descrita pela fun¸˜o potencial c caV (x) e uma for¸a F (t) dependente do tempo. c A lagrangeana que descreve este sistema ´: e 1 L(x(t), x(t); t) = ˙ mx(t)2 − V (x) + F (t)x(t), ˙ (1.19a) 2pois, ∂L = mx, ˙ (1.19b) ∂x ˙ ∂L dV (x) =− + F (t). (1.19c) ∂x dxe substituindo as eqs. (1.19b–c) na equa¸˜o de Lagrange (1.15) obtemos ca dV (x) d(mx)˙ d2 x(t) dV (x) − + F (t) − =0 ⇒ m 2 =− + F (t), (1.20) dx dt dt dxque ´ idˆntica a eq.(1.5) em 1–dimens˜o. e e a Uma propriedade importante que se obt´m a partir do Princ´ e ıpio de Hamilton ´ que, se eduas lagrangeanas diferem entre si por uma derivada total, ou seja 5
  • 7. dG(x(t), x(t); t) ˙ L1 (x(t), x(t); t) = L(x(t), x(t); t) + ˙ ˙ , (1.21) dtent˜o as duas lagrangeanas dar˜o origem as mesmas equa¸˜es de movimento. a a co Para vermos isso, relacionemos as a¸˜es obtidas a partir das lagrangeanas L e L1 : co tf S[x(t); t0 , tf ] = dtL(x(t), x(t); t) ˙ (1.22a) t0e tf dG(x(t), x(t); t) ˙ S1 [x(t); t0 , tf ] = dt{L(x(t), x(t); t) + ˙ } t0 dt tf = dtL(x(t), x(t); t)+ ˙ t0 + G(x(tf ), x(tf ); tf ) − G(x(t0 ), x(t0 ); t0 ). ˙ ˙ (1.22b) Como as pequenas deforma¸˜es η(t) s˜o realizadas com as extremidades fixas, η(t0 ) = co aη(tf ) = 0, ent˜o a diferen¸a S1 − S ´ constante e independente do parˆmetro α (eq.(1.7a)) a c e auma vez que a contribui¸˜o da fun¸˜o G(x(t), x(t); t) para S1 em t = t0 e t = tf n˜o depende ca ca ˙ ade α. Portanto, ∂S ∂S1 = . (1.22c) ∂α ∂α Como a equa¸˜o de Lagrange ´ obtida a partir da condi¸˜o de m´ ca e ca ınimo da a¸˜o e como caas a¸˜es S e S1 tˆm o mesmo m´ co e ınimo, ent˜o ambas as a¸˜es dar˜o a mesma equa¸˜o de a co a caLagrange. As lagrangeanas dos Exemplos 1 e 2 foram escolhidas de forma a recuperar as equa¸˜es de comovimento cl´ssicas que j´ conhec´ a a ıamos. Portanto, o Princ´ de Hamilton n˜o traz nenhuma ıpio aF´ ısica nova para a Mecˆnica Cl´ssica. A primeira vista, tudo o que fizemos foi complicar o a aestudo de sistemas de part´ ıculas cl´ssicas. No entanto, s˜o os formalismos lagrangeano e a ahamiltoniano[3] que indicam como estender a teoria de forma a descrever sistemas quˆnticos. a A reinterpreta¸˜o dos formalismos lagrangeano e hamiltoniano nos permite formular a caMecˆnica Quˆntica[4] , que ´ a teoria atrav´s da qual descrevemos a F´ a a e e ısica do mundo mi-crosc´pico (´tomo, n´cleo, nucleon, etc ...). o a u 6
  • 8. 2. Campos Eletromagn´ticos: Equa¸˜es de Maxwell. e co Na presen¸a de campos el´tricos e magn´ticos, part´ c e e ıculas carregadas sofrem a a¸˜o da cafor¸a de Lorentz[5] , de maneira que sua equa¸˜o de movimento ´3 : c ca e d2 x(t) v(t) m 2 = eE(x, t) + e × B(x, t), (2.1) dt conde m ´ a massa da part´ e ıcula, e a sua carga el´trica e v(t) a sua velocidade no instante t. eE(x, t) ´ o vetor campo el´trico, B(x, t) o vetor campo magn´tico e c a velocidade da luz4 . e e eEstes campos tamb´m s˜o chamados de campos eletromagn´ticos. e a e No entanto, a presen¸a e o movimento de cargas el´tricas (correntes) geram campos c eel´tricos e magn´ticos. As equa¸˜es de Maxwell descrevem a evolu¸˜o no tempo dos campos e e co caeletromagn´ticos na presen¸a de cargas el´tricas e correntes. e c e As equa¸˜es de Maxwell[5] na sua forma global e local s˜o: co a E(x, t) · nds = 4πQ(t) ˆ ⇐⇒ · E(x, t) = 4πρ(x, t) (2.2a) S B(x, t) · nds = 0 ˆ ⇐⇒ · B(x, t) = 0 (2.2b) S 1 d 1 ∂ B(x, t) E(x, t) · dl = − B(x, t) · nds ˆ ⇐⇒ × E(x, t) = − (2.2c) Γ c dt S c ∂t 1 d 1 ∂ E(x, t) B(x, t) · dl = E(x, t) · nds + ˆ ⇐⇒ × B(x, t) = + (2.2d) Γ c dt S c ∂t 4π 4π + (x, t) · nds ˆ + (x, t) c S csendo ρ(x, t) a densidade de carga el´trica na posi¸˜o x e no instante t, e (x, t) a densidade de e cacorrente. Q(t) ´ a carga el´trica total contida dentro do volume V delimitado pela superf´ e e ıciefechada S: Q(t) = d3 x ρ(x, t). (2.3) V 3 Estamos usando o sistema de unidades CGS para escrever as equa¸˜es envolvendo os cocampos eletromagn´ticos[5] . e 4 A velocidade da luz ´: c= 299.792.456,2 ± 1,1 m/seg. e 7
  • 9. S B(x, t) · nds ´ o fluxo de campo magn´tico que atravessa a superf´ S no instante ˆ e e ıciete S E(x, t) · nds o fluxo de campo el´trico que atravessa a superf´ S no instante t. n ´ ˆ e ıcie ˆ eo vetor unit´rio normal ` superf´ S em cada ponto, ds ´ a ´rea infinitesimal e dl o vetor a a ıcie e ainfinitesimal tangente a curva Γ. A curva Γ ´ a fronteira da superf´ S. e ıcie Para obtermos as equa¸˜es de Maxwell na sua forma local a partir de sua formula¸˜o co caglobal bastar aplicar os Teoremas de Gauss e Stokes, que est˜o enunciados no Apˆndice A. a e Para resolver exatamente o problema do movimento da carga el´trica na presen¸a de cam- e cpos eletromagn´ticos e sua influˆncia sobre eles, ter´ e e ıamos de resolver simultaneamente as eqs.(2.1) e (2.2a–d). Entretanto, n˜o sabemos resolver esse conjunto de equa¸˜es acopladas. O que a cofaremos ´ estudar situa¸˜es f´ e co ısicas em que o efeito da varia¸˜o dos campos eletromagn´ticos ca e´ pequeno sobre o movimento das part´e ıculas com carga el´trica. Neste caso, vamos supor eque conhecemos a distribui¸˜o de cargas e correntes em todos os pontos do espa¸o em cada ca cinstante, e que estas distribui¸˜es n˜o s˜o afetadas pelos campos eletromagn´ticos. co a a e Durante o mini–curso iremos trabalhar com as equa¸˜es de Maxwell na sua forma local. co At´ agora temos chamado de campo aos vetores el´trico e magn´tico. A raz˜o de usarmos e e e aessa nomenclatura para esses vetores ´ que no caso de uma part´ e ıcula pontual, x(t) correspondea posi¸˜o que a part´ ca ıcula ocupa no instante t. Portanto x(t) representa uma unica posi¸˜o ´ cado espa¸o no instante t e ´ toda a informa¸˜o que vocˆ precisa para localizar a part´ c e ca e ıculaneste instante. No entanto, dizer que vocˆ conhece os campos eletromagn´ticos no instante e et implica que vocˆ sabe os valores dos vetores E(x, t) e B(x, t) em cada ponto x do espa¸o e cneste instante. Neste contexto o vetor x ´ um parˆmetro da mesma forma que o tempo, e e arepresenta um ´ ındice utilizado para localizar os diferentes pontos do espa¸o. c Na posi¸˜o do espa¸o que uma part´ ca c ıcula carregada eletricamente ocupa no instante t, afor¸a de Lorentz que ela sente ´: c e v(t) FL (x, t) = eE(x, t) + e × B(x, t), (2.4) csendo E(x, t) e B(x, t) os campos el´trico e magn´tico, respectivamente, na posi¸˜o da e e capart´ ıcula, e a sua carga el´trica e v(t) a sua velocidade. e Em resumo, temos que as componentes dos vetores eletromagn´ticos s˜o fun¸˜es definidas e a coem todos os pontos do espa¸o; da´ se dizer que s˜o campos. c ı a 8
  • 10. Para termos a for¸a de Lorentz (eq.(2.4)) que age sobre part´ c ıculas carregadas precisamosconhecer: E(x, t) e B(x, t), sendo que cada um desses vetores tem trˆs componentes. Logo, epara descrevermos a for¸a de Lorentz necessitamos de seis fun¸˜es. Entretanto, essas seis c cofun¸˜es n˜o s˜o independentes entre si, uma vez que as equa¸˜es de Maxwell (2.2a–d) acoplam co a a coos campos el´trico e magn´tico. A partir da eq. (2.2c) vemos que a varia¸˜o do fluxo do campo e e camagn´tico atrav´s da superf´ aberta S depende da integral de linha do campo el´trico ao e e ıcie elongo da fronteira Γ da ´rea S. Por outro lado, a varia¸˜o do fluxo do campo el´trico atrav´s a ca e eda superf´ aberta S depende da integral de linha do campo magn´tico ao longo da fronteira ıcie eΓ que delimita a ´rea S e o fluxo da densidade de corrente que atravessa a mesma ´rea S. Em a aresumo, temos que a evolu¸˜o no tempo dos campos el´trico e magn´tico ´ inter–relacionada. ca e e e Vamos introduzir campos auxiliares em que temos um n´mero menor de fun¸˜es a serem u codeterminadas e a partir das quais podemos determinar os campos E(x, t) e B(x, t). Para isso,usaremos as equa¸˜es de Maxwell na sua forma local e as propriedades de An´lise Vetorial co aque est˜o apresentadas no Apˆndice A. a e Da equa¸˜o (2.2b), temos que ca · B(x, t) = 0, (2.5a)que pela propriedade (A.5) da divergˆncia de um vetor implica em que e B(x, t) = × A(x, t). (2.5b)A(x, t) ´ denominado de potencial vetor. Substituindo a eq.(2.5b) na eq. (2.2c) obtemos que e 1 ∂ A(x, t) × E(x, t) + = 0. (2.5c) c ∂t Pela propriedade (A.6) do rotacional concluimos que 1 ∂ A(x, t) E(x, t) + = − A0 (x, t), (2.5d) c ∂tonde A0 (x, t) ´ denominado de potencial escalar. e 9
  • 11. Em resumo, temos que os campos f´ ısicos E(x, t) e B(x, t) que aparecem na for¸a de cLorentz (eq.(2.4)) podem ser obtidos a partir dos campos auxiliares A0 (x, t) e A(x, t) atrav´s edas rela¸˜es: co B(x, t) = × A(x, t) (2.6a)e 1 ∂ A(x, t) E(x, t) = − A0 (x, t) − . (2.6b) c ∂t Vamos mostrar agora que as quatro fun¸˜es: A0 , Ax , Ay e Az n˜o s˜o independentes co a aentre si. Para vermos isso usaremos o fato de que, dadas as fun¸˜es A0 (x, t) e A(x, t) atrav´s co edas rela¸oes (2.6a–b), obtemos um unico vetor E(x, t) e um unico vetor B(x, t); no entanto, c˜ ´ ´a opera¸˜o inversa n˜o ´ verdadeira, ou seja, dados os campos E(x, t) e B(x, t) temos um ca a econjunto infinito de pares de fun¸˜es (A0 (x, t), A(x, t)) que podem dar origem a esses campos cof´ ısicos. Vamos mostrar ent˜o que n˜o ´ poss´ inverter as rela¸˜es (2.6a–b). Para explorarmos a a e ıvel coessa ambiguidade, lembremos que pela propriedade (A.6), temos que × ( G(x, t)) = 0, (2.7)onde G(x, t) ´ uma fun¸˜o qualquer que n˜o possui singularidades. Ent˜o, o potencial vetor e ca a aA (x, t) definido como: A (x, t) = A(x, t) + G(x, t) (2.8a)d´ o mesmo campo magn´tico que o obtido pelo potencial vetor A(x, t), ou seja a e × A (x, t) = × A(x, t) + × ( G(x, t)) = × A(x, t). (2.8b) Entretanto, pela eq.(2.6b), temos que o potencial A (x, t) n˜o gera o mesmo campo ael´trico que o potencial vetor A(x, t), a menos que, simultaneamente, o potencial escalar seja emodificado para: 10
  • 12. 0 1 ∂G(x, t) A (x, t) = A0 (x, t) − . (2.8c) c ∂t Neste caso, 0 1 ∂ A (x, t) 1 ∂ A(x, t) − A (x, t) − = − A0 (x, t) − . (2.8d) c ∂t c ∂t 0 As fun¸˜es potenciais A (x, t) e A (x, t) geram os mesmos campos eletromagn´ticos co eE(x, t) e B(x, t) que os potenciais A0 (x, t) e A(x, t). Concluimos que os campos f´ ısicosE(x, t) e B(x, t) s˜o invariantes sob a transforma¸˜o simultˆnea (2.8a) e (2.8c). As trans- a ca aforma¸˜es (2.8a) e (2.8c) s˜o as chamadas transforma¸˜es de gauge: co a co 0 1 ∂G(x, t) A (x, t) = A0 (x, t) − (2.9a) c ∂te A (x, t) = A(x, t) + G(x, t), (2.9b)onde G(x, t) ´ uma fun¸˜o qualquer cujas derivadas espaciais e temporal est˜o definidas em e ca atodos os pontos do espa¸o e em qualquer instante. c Para podermos trabalhar com os potenciais escalar e vetorial precisamos impor umacondi¸˜o arbitr´ria adicional sobre estes campos. Esta condi¸˜o adicional ´ chamada de ca a ca efixa¸˜o de gauge. Como exemplo de condi¸˜es de gauge usualmente utilizadas temos: ca co i. Gauge de Coulomb: · A(x, t) = 0. (2.10a) ii. Gauge de Lorentz: 1 ∂A0 (x, t) · A(x, t) + = 0. (2.10b) c ∂t iii. Gauge de Weyl: A0 (x, t) = 0. (2.10c) 11
  • 13. Os potenciais escalar e vetorial tˆm que satisfazer as equa¸˜es de Maxwell e uma escolha e coarbitr´ria de gauge. As express˜es obtidas para A0 (x, t) e A(x, t) dependem da escolha a odo gauge; no entanto, os campos f´ ısicos E(x, t) e B(x, t) n˜o dependem da particular aescolha de gauge que se fa¸a. Da´ dizermos que as quantidade f´ c ı ısicas s˜o independentes da aparticular escolha que se faz para fixar o gauge e sermos ent˜o capazes de calcular as fun¸˜es a copotenciais: A0 (x, t) e A(x, t). Apesar dos campos A0 (x, t) e A(x, t) n˜o serem f´ a ısicos, ˆles s˜o importantes para a e adescri¸˜o da teoria, uma vez que a lagrangeana que descreve campos eletromagn´ticos inter- ca eagindo com part´ ıculas carregadas eletricamente ´ escrita atrav´s desses campos auxiliares, e ecomo veremos mais adiante. 12
  • 14. 3. Espa¸o de Minkowski. c Estamos interessados em estudar neste mini–curso a lagrangeana dos campos de gauge deMaxwell (campos eletromagn´ticos), e os campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons. Em eparticular, os campos eletromagn´ticos (luz) possuem velocidade c em qualquer referencial, ede maneira que este ´ um sistema relativ´ e ıstico. Na Mecˆnica N˜o–Relativ´ a a ıstica o tempo ´ um parˆmetro que ´ o mesmo em qualquer e a ereferencial, o que n˜o ´ verdade com o vetor posi¸˜o da part´ a e ca ıcula medido a partir de diferentesreferenciais inerciais. Na Mecˆnica Relativ´ a ıstica cada referencial inercial tem o seu conjunto de r´guas e rel´gios e ocom os quais realiza as medidas dos fenˆmenos f´ o ısicos. Num sistema relativ´ ıstico o instanteem que a part´ ıcula ocupa uma certa posi¸˜o do espa¸o depende do referencial a partir do qual ca co movimento da part´ ıcula est´ sendo observado. Em cada referencial inercial o movimento ade uma part´ ıcula ´ descrito como um evento que cont´m quatro informa¸˜es: x(t), t. Desta e e coforma para sistemas relativ´ ısticos n˜o podemos dissociar o conceito de espa¸o do conceito de a ctempo, da´ usarmos a nomenclatura de espa¸o–tempo para representar o quadri–vetor (ct, x). ı cO quadri–vetor (ct, x) representa o instante t em que a part´ ıcula ocupa a posi¸˜o x. Todas caas componentes de um quadri–vetor tˆm que ter a mesma dimens˜o, da´ multiplicarmos o e a ıtempo t pela velocidade da luz c no quadri–vetor (ct, x). Lembrando que a velocidade da luz´ a mesma em qualquer referencial.e N˜o discutiremos a Relatividade Especial neste mini–curso; para aqueles que estejam ainteressados numa introdu¸˜o ao assunto sugerimos a leitura da referˆncia 6. ca e Em 1908 H. Minkowski propˆs um formalismo matem´tico em que o espa¸o e o tempo o a cformam um espa¸o com 4 dimens˜es. No espa¸o 4–dimensional o eixo do tempo ´ perpendicu- c o c elar aos eixos das coordenadas espaciais. Na linguagem de espa¸o–tempo fica simples descrever cas transforma¸˜es de Lorentz na Relatividade Especial. co Da An´lise Vetorial temos que o vetor n˜o depende de eixos coordenados para ser definido. a aQualquer que seja o conjunto de eixos coordenados que escolhemos para decompor o vetor emtermos de suas componentes, o m´dulo do vetor tem sempre o mesmo valor. Este resultado o´ um caso particular da invariˆncia do produto escalar entre dois vetores u e v quaisquer. Oe a 13
  • 15. ˆngulo relativo entre esses vetores ´ independente dos eixos coordenados que utilizamos. Sejaa eα o ˆngulo relativo entre os vetores u e v, o produto escalar entre esses dois vetores ´ a e u · v =| u | | v | cos α, (3.1)que escrito em termos das componentes num conjunto de eixos coordenados cartesianos(x, y, z) fica: u · v = ux vx + uy vy + uz vz . (3.2) Apesar da soma dos termos do l.d. da eq.(3.2) ser independente dos eixos coordenadosescolhidos, cada termo do l.d. da eq.(3.2) depende da escolha feita para estes eixos. Apenas para simplificar, exemplificaremos o que se segue com vetores no plano (vetoresbi–dimensionais). Vejamos como as componentes de um vetor bi–dimensional variam ao serem escritas emrela¸˜o a dois conjuntos de eixos coordenados cujas origens coincidem mas cujos eixos est˜o ca agirados de um ˆngulo θ. a Considere o vetor v na Figura 3.1. Os vetores unit´rios nas dire¸˜es x e y s˜o ˆ e  respectivamente. Os vetores unit´rios nas a co a ı ˆ adire¸˜es x e y s˜o ˆ e  respectivamente. O resultado do produto escalar entre os vetores co a ı ˆunit´rios ´: a e ˆ · ˆ = cos θ ı ı e ˆ ·  = − sin θ, ı ˆ (3.3a)  · ˆ = sin θ ˆ ı e  ·  = cos θ, ˆ ˆ (3.3b) O vetor v escrito em termos das componentes nos dois conjuntos de eixos coordenados: v = vxˆ + vy  ı ˆ (3.4a) = vxˆ + vy  . ı ˆ (3.4b) Para obtermos as componentes vx e vy em termos das componentes vx e vy , usamos que 14
  • 16. vx = v · ˆ ı e vy = v ·  , ˆ (3.4c)e os resultados (3.3a–b) dos produtos escalares dos vetores unit´rios, de maneira que, final- amente, escrevemos a transforma¸˜o das coordenadas numa forma matricial: ca vx cos θ sin θ vx = . (3.4d) vy − sin θ cos θ vy Todos os vetores satisfazem a lei de transforma¸˜o (3.4d) sob uma mudan¸a de eixos ca ccoordenados que corresponda a uma rota¸˜o r´ ca ıgida dos eixos de um ˆngulo θ. a A matriz cos θ sin θ R(t) = , (3.4e) − sin θ cos θ´ a matriz de rota¸˜o que liga as componentes de um mesmo vetor escrito em dois conjuntose cade eixos coordenados girados entre si de um ˆngulo θ. Para qualquer ˆngulo θ temos que a a det(R(θ)) = 1. (3.4f ) Para vermos porque as transforma¸˜es de Lorentz das coordenadas espa¸o–temporais co centre dois referenciais inerciais podem ser escritas como uma rota¸˜o no espa¸o–tempo, consi- ca cderemos as transforma¸˜es de Lorentz para a posi¸˜o da part´ co ca ıcula e para o instante em quea medida de posi¸˜o ´ feita. Por simplicidade, vamos supor que o movimento da part´ ca e ıcula ´ eao longo da dire¸˜o x que coincide com a dire¸˜o do movimento relativo entre os referenciais ca cainerciais (veja Figura 3.2). 15
  • 17. Na Figura 3.2, V = V ˆ ´ a velocidade do referencial inercial S medida por um observador ıeem repouso no referencial inercial S. Assumindo que no instante t = 0 as origens dos dois conjuntos de eixos coordenados(x, y) e (x , y ) coincidem, a transforma¸˜o de Lorentz ´[6,7] : ca e 0 x = γ(x0 − βx1 ), (3.5a) 1 x = γ(−βx0 + x1 ), (3.5b) 0 1onde x0 = ct e x1 = x, x = ct e x = x ,e c ´ a velocidade da luz. As constantes β e γ s˜o e adefinidas como sendo V 1 β= e γ= . (3.5c) c 1 − β2Das rela¸˜es (3.5c) temos que −1 ≤ β ≤ 1 e 1 ≤ γ ≤ ∞. co As transforma¸˜es de Lorentz escritas na forma matricial ficam: co 0 x γ −βγ x0 1 = , (3.6) x −βγ γ x1e possuem uma forma similar a rota¸˜o de vetores num plano5 tamb´m representada pela ca etransforma¸˜o (3.4d). ca Os elementos da matriz que aparecem do l.d. da express˜o (3.6) n˜o podem ser escritos a acomo fun¸˜es trigom´tricas, pois o produto βγ assume valores no intervalo [0, ∞), e os valores co ede γ est˜o no intervalo [1, ∞). a Como os valores que a constante β pode assumir est˜o no intervalo [−1, 1], podemos usar aa parametriza¸ao: c˜ β = tanh ζ, (3.7a)de maneira que 5 Girar os eixos coordenados (x , y ) de um ˆngulo θ em rela¸˜o aos eixos (x, y) ´ equivalente a ca edo ponto de vista de transforma¸˜o de coordenadas a manter os eixos coordenados (x, y) fixos cae rodar de −θ o vetor v em rela¸˜o a origem desses eixos. ca 16
  • 18. 1 1 γ= = ⇒ 1− β2 1 − tanh2 ζ ⇒ γ = cosh ζ, (3.7b)e βγ = tanh ζ · cosh ζ ⇒ ⇒ βγ = sinh ζ. (3.7c) Portanto, as transforma¸˜es de Lorentz (3.5) do espa¸o–tempo s˜o finalmente escritas co c acomo 0 x cosh ζ − sinh ζ x0 1 = . (3.8) x − sinh ζ cosh ζ x1 De forma an´loga ao produto escalar de vetores bi–dimensionais, no espa¸o de Minkowski a c´ poss´ definir uma opera¸˜o de produto escalar que obtenha como resultado um n´mero quee ıvel ca useja o mesmo em todos os referenciais inerciais6 . Podemos tentar obter a express˜o de escalares ade Lorentz atrav´s de v´rias tentativas de fun¸˜es das coordenadas e usar a transforma¸˜o e a co ca(3.8) para verificar se o resultado ´ independente do referencial inercial escolhido. e Mas ao inv´s de procedermos dessa maneira, utilizamos o postulado da Mecˆnica Rela- e ativ´ ıstica que afirma que a velocidade da luz ´ a mesma em qualquer referencial. A equa¸˜o de e cauma frente de onda luminosa em qualquer instante, vista de dois referenciais inerciais distintos´:e 0 = −x2 + c2 t2 (3.9a) 2 2 = −x + c2 t , (3.9b)de forma que o resultado da combina¸˜o (x0 )2 − (x1 )2 ´ o mesmo em qualquer referencial ca einercial. Logo, esta particular combina¸˜o das 4–coordenadas forma um escalar de Lorentz. ca Definimos um 4–vetor de Lorentz como aquele cujas componentes, sob uma transforma¸˜o cade Lorentz (3.5), satisfa¸am a rela¸˜o (3.8) . Ent˜o, para qualquer 4–vetor de Lorentz a c ca acombina¸˜o acima ´ tamb´m um escalar de Lorentz. ca e e 6 Um n´mero que ´ o mesmo em todos os referenciais inerciais cujas quadri-coordenadas u eest˜o relacionadas atrav´s das transformadas de Lorentz ´ denominado de escalar de Lorentz. a e e 17
  • 19. O produto escalar (3.9) n˜o pode ser escrito diretamente na forma (3.2). No entanto, se adefinimos os vetores contra–variantes xµ , µ = 0, 1, como[7] xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , x), (3.10a)e os vetores covariantes xµ , µ = 0, 1, como xµ = (x0 , x1 ) ≡ (x0 , −x), (3.10b)sendo x0 = ct e x a coordenada x usual, ent˜o o produto escalar no espa¸o de Minkowski ´ a c edefinido como: −x2 + c2 t2 = x0 x0 + x1 x1 1 = xµ xµ . (3.10c) µ=0 Definimos a regra da soma impl´ ıcita dizendo que somamos sobre ´ ındices repetidos nummesmo termo, ou seja, 1 xµ xµ ≡ xµ xµ . (3.10d) µ=0 Os ´ ındices somados (contra´ ıdos) est˜o ao longo da diagonal, ou seja, cada parcela da asoma (3.10d) ´ o produto da componente do vetor covariante pela componente do vetor econtra–variante. A extens˜o do que fizemos em d=2 (1+1) (uma dimens˜o espacial e uma dimens˜o a a atemporal) para d=4 (3+1) ( trˆs dimens˜es espaciais e uma dimens˜o temporal) est´ contida e o a anas Referˆncias 6 e 7. e De agora em diante trataremos o caso em d=4 (3+1) e utilizaremos a regra da somaimpl´ ıcita. Em quatro dimens˜es espa¸o–temporal o 4–vetor posi¸˜o ´ o c ca e xµ = (x0 , x) (3.11a) xµ = (x0 , −x). (3.11b) 18
  • 20. O produto escalar ´ ent˜o e a 3 xµ xµ = xµ xµ (3.11c) µ=0 = −x · x + c2 t2 . Como relacionar os vetores covariantes e os vetores contra–variantes? A partir dasdefini¸˜es (3.11a) e (3.11b), vemos que a rela¸˜o entre ˆsses vetores ´ linear homogˆnea, co ca e e ede maneira que podemos escrevˆ–la como: e xµ = gµν xν , (3.12a)onde estamos somando sobre o ´ ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3. A matriz gµν , tamb´m chamada de em´trica, em d=4 (3+1) ´ representada por e e   1 0 0 0 0 −1 0 0  gµν = g µν = . (3.12b) 0 0 −1 0 0 0 0 −1 A matriz gµν ´ sim´trica (par) pela troca dos ´ e e ındices ( gµν = gνµ ) e   1 0 0 0 0 1 0 0 gµν g ντ = δµτ = . (3.12c) 0 0 1 0 0 0 0 1 Seja B µ = (B 0 , B) um 4–vetor qualquer. A rela¸˜o entre a forma covariante e contra– cavariante de qualquer 4–vetor ´ dada pela eq. (3.12a), e Bµ = gµν B ν ⇒ Bµ = (B 0 , −B). (3.12d) Como exemplo de 4–vetores de Lorentz temos: i. 4–posi¸˜o: xµ = (ct, x) ca (3.13a) ii. 4–momento7 pµ = E , p , c (3.13b) 7 A express˜o da energia relativ´ a ıstica total da part´ ıcula livre ´: e 19
  • 21. onde E ´ a energia relativ´ e ıstica total da part´ ıcula. µ 0 iii. 4–potencial vetor: A (x, t) = (A (x, t), A(x, t)), (3.13c) 0onde A (x, t) ´ o potencial escalar e A(x, t) o potencial vetor associados aos campos eletro- emagn´ticos. e iv. 4–densidade de corrente: j µ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)) (3.13d)onde ρ(x, t) ´ a densidade de carga el´trica na posi¸˜o x no instante t e (x, t) ´ a densidade e e ca ede corrente el´trica na posi¸˜o x no instante t. e ca Os operadores diferenciais possuem uma defini¸˜o diferente da apresentada em (3.12d): ca ∂ ∂ ∂µ ≡ = , (3.14a) ∂xµ ∂x0e ∂ ∂ ∂µ ≡ = ,− . (3.14b) ∂xµ ∂x0 Comparando as express˜es (3.14a) e (3.14b) vemos que a rela¸˜o entre os operadores o cadiferenciais covariante e contra–variante ainda ´ dada pela rela¸˜o (3.12a), e ca ∂ µ = g µν ∂ν , (3.14c)onde estamos somando sobre o ´ ındice ν, ν = 0, 1, 2, 3. O operador diferencial d’Alambertiano, 2 1 ∂2 = − + , (3.15a) c2 ∂t2 2 ∂2 ∂2 ∂2onde = ∂x2 + ∂y 2 + ∂z 2 , pode ser escrito na forma = ∂µ ∂ µ . (3.15b) O operador diferencial d’Alambertiano aparece na equa¸˜o de ondas eletromagn´ticas ca ecomo veremos na se¸˜o 4.1. ca E2 E 2 =| p |2 c2 + m2 c4 ⇒ − | p |2 = m2 c2 = const. c E Portanto, a quantidade c ´ a componente zero do 4–vetor momento. e 20
  • 22. A rela¸ao entre tensores covariantes e contra–variantes de qualquer ordem ´: c˜ e i. 4–vetor: B µ = g µν Bν , (3.16a) ii. tensor de ordem 2: B µ1 µ2 = g µ1 ν1 g µ2 ν2 Bν1 ν2 (3.16b) iii. tensor de ordem n: B µ1 µ2 ...µn = g µ1 ν1 g µ2 ν2 . . . g µn νn Bν1 ν2 ...νn . (3.16c) Para concluirmos esta se¸ao, notemos que as transforma¸˜es de gauge (2.9a–b), ou seja c˜ co 0 1 ∂G(x, t) A (x, t) = A0 (x, t) − (3.17a) c ∂te A (x, t) = A(x, t) + G(x, t), (3.17b)pode ser escrita na forma covariante µ A = Aµ − ∂ µ G(x, t). (3.18) A condi¸˜o de gauge de Lorentz (eq. (2.10b)) ´ escrita como um escalar de Lorentz: ca e 1 ∂A0 (x, t) · A(x, t) + =0 ⇒ ∂µ Aµ = 0. (3.19) c ∂t 21
  • 23. 4. Lagrangeana de Campos de Gauge Cl´ssicos. a Nesta se¸˜o aplicaremos o Princ´ ca ıpio de Hamilton a campos cl´ssicos. Exemplificaremos aessa aplica¸˜o considerando campos de gauge de Maxwell e de Maxwell–Chern–Simons. Os cacampos de Maxwell s˜o aqueles que at´ este momento temos chamado de campos eletro- a emagn´ticos (luz), enquanto os campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons s´ existem (se e oexistirem) quando estamos em dimens˜o espa¸o–temporal ´ a c ımpar. Para uma part´ ıcula, associamos a cada trajet´ria um n´mero atrav´s da defini¸˜o da o u e caa¸˜o (eq. (1.6)): ca tf S[x(t); t0 , tf ] = dt L(x(t), x(t); t). ˙ (4.1) t0 No caso de part´ ıcula, o unico parˆmetro da trajet´ria ´ o tempo. Entretanto, no caso ´ a o ede campos, como por exemplo os campos eletromagn´ticos que discutimos na se¸˜o 2, as e cacoordenadas espaciais s˜o parˆmetros assim como o tempo. De forma an´loga ao sistema de a a auma part´ ıcula, queremos associar a cada configura¸˜o do campo que evolui num intervalo de catempo fixo um n´mero a que chamamos de a¸˜o. u ca Para simplificar a discuss˜o vamos supor um unico campo que denotaremos por Φ(x, t). a ´A a¸˜o associada a cada configura¸˜o ´ definida como: ca ca e tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t), (4.2) t0 V∞onde L ´ a densidade de lagrangeana associada ao campo. Em (4.2) integramos sobre todos os epontos do espa¸o uma vez que os campos tˆm uma dependˆncia espacial. Al´m da dependˆncia c e e e ena derivada temporal, L em geral depende tamb´m das derivadas espaciais. e No Apˆndice B mostramos como derivar a equa¸˜o de Euler–Lagrange para campos e cacl´ssicos. Aqui nesta se¸˜o, apresentaremos apenas as tradu¸˜es dos termos que aparecem a ca cona equa¸˜o de Lagrange, que descreve o movimento de uma part´ ca ıcula, para os termos queaparecem na equa¸˜o de Euler–Lagrange, que d˜o a equa¸˜o dinˆmica para campos cl´ssicos. ca a ca a a Um ponto importante a ser discutido ´ que a a¸˜o de sistemas relativ´ e ca ısticos ´ um escalar ede Lorentz. Isto por que a trajet´ria que uma part´ o ıcula percorre, vista de um dado referencialinercial, ´ o m´ e ınimo da a¸˜o neste referencial. A trajet´ria da mesma part´ ca o ıcula vista de outro 22
  • 24. referencial inercial tem que ser aquela que ´ obtida da primeira por uma transforma¸˜o de e caLorentz, e portanto tem que tamb´m ser um m´ e ınimo da a¸˜o. Logo, o valor da a¸˜o associada ca caa trajet´ria que a part´ o ıcula percorre num dado referencial inercial tem que ser um escalar deLorentz de maneira a independer da particular forma que a trajet´ria (ou configura¸˜o) tem o caem cada referencial inercial. Como o produto dtdx ´ um escalar de Lorentz, a densidade de elagrangeana L tamb´m tem que ser um escalar de Lorentz. e Obtemos a equa¸˜o de Euler–Lagrange a partir da equa¸˜o de Lagrange fazendo as ca caseguintes substitui¸˜es: co ∂L ∂L −→ (4.3a) ∂x ∂Φ(x, t) 3 d ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L −→ + = dt ∂ x ˙ ∂t ∂ ∂Φ ∂t i=1 i ∂Φ ∂x ∂ ∂xi ∂L = ∂µ (4.3b) ∂(∂µ Φ) A evolu¸˜o no tempo dos campos cl´ssicos ´ dada pela equa¸˜o de Euler–Lagrange (eq. ca a e ca(B.16)) ∂L ∂L − ∂µ = 0. (4.3c) ∂Φ ∂(∂µ Φ)4.1. Campos Eletromagn´ticos: Campos de Maxwell e Antes de come¸armos a discutir a densidade de lagrangeana L a partir da qual obtemos as cequa¸˜es de Maxwell (2.2a–d), discutiremos o tensor covariante de ordem 2 definido como[8] : co Fµν (x, t) = ∂µ Aν (x, t) − ∂ν Aµ (x, t), µ, ν = 0, 1, 2, 3, (4.1.1)onde ∂µ = ( 1 ∂t , c ∂ ) e Aµ (x, t) = (A0 (x, t), −A(x, t)). Note que Fµν ´ um tensor anti– e ındices (Fµν = −Fνµ ). Portanto, dos 16 elementos do tensor8 Fµν ,sim´trico pela troca dos ´ e 8 Usamos a conven¸˜o de que os ´ ca ındices gregos: α, µ, τ, ... assumem os valores 0,1,2,3, 23
  • 25. temos 4 elementos nulos (os elementos da diagonal s˜o nulos) e apenas 6 elementos podem aser distintos entre si. Relacionaremos esses 6 elementos distintos com as componentes doscampos eletromagn´ticos E(x, t) e B(x, t), e 1 ∂Ai ∂A0 1 ∂ A(x, t) F0i = − − i = − A0 (x, t) − i c ∂t ∂x c ∂t i = E (x, t), i = 1, 2, 3, (4.1.2a) ∂Ai (x, t) ∂Aj (x, t) Fij = − . ∂xj ∂xi Comparando a express˜o acima para Fij , com a express˜o (2.5b) para o campo magn´tico, a a eB k (x, t) = ( × A(x, t))k = εkij ∂i Aj , k = 1, 2, 3, obtemos que F12 = −Bz (x, t), F13 = By (x, t), F23 = −Bx (x, t). (4.1.2b) Portanto, o tensor Fµν escrito em termos das componentes dos campos el´trico e magn´- e etico fica,   0 Ex Ey Ez  −Ex 0 −Bz By  Fµν = . (4.1.4) −Ey Bz 0 −Bx −Ez −By Bx 0 O tensor de Levi–Civita, εkij , est´ definido no Apˆndice A. a eExerc´ ıcio: Determine os elementos do tensor F µν . Utilize a eq.(3.16b) para obter as componentesdo tensor F µν a partir da express˜o (4.1.4). aenquanto os ´ ındices ar´bicos: i, j, k, ... assumem os valores 1,2,3, ou seja a µ, ν, τ, . . . = 0, 1, 2, 3 e i, j, k, . . . = 1, 2, 3. 24
  • 26. A densidade de lagrangeana dos campos eletromagn´ticos tem que ser um escalar de eLorentz. Queremos representar atrav´s da densidade de lagrangeana, os campos eletro- emagn´ticos e sua intera¸˜o com part´ e ca ıculas que possuem carga el´trica, de maneira que as eequa¸˜es de Euler–Lagrange nos dˆ as equa¸˜es de Maxwell. co e co Seja j µ a 4–densidade de corrente el´trica, j µ (x, t) = (cρ(x, t), (x, t)), onde ρ(x, t) ´ e ea densidade de carga el´trica e (x, t) a densidade de corrente el´trica. A densidade de e elagrangeana para campos eletromagn´ticos (campos de Maxwell) interagindo com mat´ria e ecarregada eletricamente ´[9] : e 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν F µν − jµ Aµ (4.1.5a) 16π c 2 2 |E| −|B| ·A = − ρA0 + . (4.1.5b) 8π cExerc´ ıcio: Usando o tensor Fµν na forma (4.1.4) mostre que: Fµν F µν = 2(| B |2 − | E |2 ). Verifiquemos se a densidade de lagrangeana L (eq.(4.1.5a)) substitu´ na equa¸˜o de ıda caEuler–Lagrange (eq.(4.3c)) d´ as equa¸˜es de Maxwell (2.2a–d). A equa¸˜o de Euler–Lagrange a co cano caso dos campos de Maxwell fica, ∂L ∂L − ∂τ = 0. (4.1.6) ∂Aα ∂(∂τ Aα ) Calculemos os termos que aparecem no l.e. da eq.(4.1.6). O primeiro termo do l.e. da eq.(4.1.6) fica, ∂L ∂ 1 1 = − Fµν F µν − jµ Aµ ∂Aα ∂Aα 16π c 1 ∂Fµν µν ∂F µν 1 ∂ =− F + Fµν − jµ Aµ . (4.1.7a) 16π ∂Aα ∂Aα c ∂Aα 25
  • 27. Como ∂Fµν ∂F µν Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ = = 0. (4.1.7b) ∂Aα ∂Aα Al´m disso9 e 1 ∂ 1 ∂Aµ 1 − jµ Aµ = − j µ = − j µ δµ α c ∂Aα c ∂Aα c 1 ∂ 1 ⇒ − jµ Aµ = − j α . (4.1.7c) c ∂Aα c Portanto, temos que ∂L 1 = − jα. (4.1.7d) ∂Aα c Calculando as derivadas de L em rela¸˜o a ∂τ Aα ca ∂L ∂ 1 1 = − Fµν F µν − jµ Aµ ∂(∂τ Aα ) ∂(∂τ Aα ) 16π c 1 ∂Fµν ∂F µν 1 ∂ =− F µν + Fµν − jµ Aµ 16π ∂(∂τ Aα ) ∂(∂τ Aα ) c ∂(∂τ Aα ) 1 ∂Fµν 1 ∂Aµ = − F µν − jµ . (4.1.8a) 8π ∂(∂τ Aα ) c ∂(∂τ Aα ) Entretanto, como ∂Fµν ∂(∂µ Aν ) ∂(∂ν Aµ ) Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ⇒ = − ∂(∂τ Aα ) ∂(∂τ Aα ) ∂(∂τ Aα ) ∂Fµν ⇒ = δµ τ δν α − δν τ δµ α . (4.1.8b) ∂(∂τ Aα ) 9 Devemos notar que pela rela¸˜o (3.16a), temos que: ca jµ Aµ = gµα j α g µτ Aτ = gµα g µτ j α Aτ = δα j α Aτ = j α Aα . τ A troca da posi¸˜o dos ´ ca ındices que est˜o sendo contra´ a ıdos n˜o altera o resul- atado. 26
  • 28. Consequentemente temos que 1 µν ∂Fµν 1 − F = − F µν (δµ τ δν α − δν τ δµ α ) 8π ∂(∂τ Aα ) 8π 1 1 = − (F τ α − F ατ ) = − F τ α , (4.1.8c) 8π 4πuma vez que F τ α ´ um tensor anti–sim´trico. e e Al´m disso temos que e 1 ∂Aµ − jµ = 0. (4.1.8d) c ∂(∂τ Aα ) Substituindo os resultados (4.1.8c–d) em (4.1.8a) decorre que ∂L 1 1 ατ = − F τα = F . (4.1.8e) ∂(∂τ Aα ) 4π 4π Usando os resultados (4.1.7d) e (4.1.8e) a equa¸˜o de Euler–Lagrange para os campos caeletromagn´ticos obtida ´: e e 4π α ∂τ F τ α = j , α = 0, 1, 2, 3. (4.1.9) c Observando atentamente a eq.(4.1.9) notamos que ela representa apenas 4 equa¸˜es, coenquanto que as equa¸˜es de Maxwell (2.2a–d) s˜o 8 equa¸˜es!!! co a co Vejamos quais das equa¸˜es de Maxwell s˜o descritas pela eq.(4.1.9). Na verdade como co ado l.d. da eq.(4.19) temos j µ , ent˜o s˜o as equa¸˜es inomogˆneas de Maxwell (2.2a) e (2.2d) a a co eque s˜o reproduzidas pelas suas componentes. Para vermos isto, reescrevemos a eq.(4.1.9) em atermos das componentes do tensor Fµν : i. α = 0 ∂j F j0 (x, t) = 4πρ(x, t), (4.1.10a)onde o ´ ındice j, sobre o qual estamos somando implicitamente, assume os valores: j = 1, 2, 3. Mas, 27
  • 29. ∂Ex (x, t) ∂Ey (x, t) ∂Ez (x, t) ∂j F j0 (x, t) = + + ∂x ∂y ∂z = · E(x, t). (4.1.10b) A componente α = 0 da eq.(4.1.9) nos d´ a lei de Gauss: a · E(x, t) = 4πρ(x, t). (4.1.10c) ii. α = 1 1 ∂F 01 ∂F 21 ∂F 31 4π + + = jx . (4.1.11a) c ∂t ∂y ∂z c Reescrevendo os elementos de F µν em termos dos campos eletromagn´ticos, a eq.(4.1.11a) epassa a ser 1 ∂Ex (x, t) ∂Bz (x, t) ∂By (x, t) 4π − + − = jx (x, t) ⇒ c ∂t ∂y ∂z c 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ ( × B(x, t))x = jx (x, t) + . (4.1.11b) c c ∂t Procedendo de forma an´loga, para α = 2 e α = 3 encontramos que a iii. α = 2 4π 1 ∂Ey (x, t) ( × B(x, t))y = jy (x, t) + , (4.1.11c) c c ∂t iv. α = 3 4π 1 ∂Ez (x, t) ( × B(x, t))z = jz (x, t) + . (4.1.11d) c c ∂t As componentes espaciais (α = 1, 2, 3) da eq.(4.1.9) nos d˜o a lei Amp`re corrigida10 : a e 10 4π A lei de Amp`re original ´: e e ×B = c . Entretanto, Maxwell adicionou a esta rela¸˜o ca 1 ∂Eo termo de corrente de deslocamento c ∂t de forma a fechar de forma auto–consistente as quehoje s˜o conhecidas como as leis de Maxwell[10] . a 28
  • 30. 4π 1 ∂ E(x, t) × B(x, t) = (x, t) + , (4.1.11e) c c ∂t Como obter as equa¸˜es homogˆneas de Maxwell (2.2b) e (2.2c)? co e Na verdade as equa¸˜es homogˆneas de Maxwell decorrem da defini¸˜o do tensor Fµν em co e catermos do 4–potencial vetor Aµ , ou seja, Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , (4.1.12)que satisfaz a seguinte identidade: ∂α Fµν + ∂µ Fνα + ∂ν Fαµ = 0, (4.1.13)v´lida para qualquer configura¸˜o Aµ (x, t). a ca A identidade (4.1.13) ´ conhecida como a identidade de Bianchi. eExerc´ ıcio: Usando a express˜o (4.1.12) para o tensor Fµν mostre a identidade de Bianchi (4.1.13). a Para obtermos as equa¸˜es de Maxwell (2.2b) e (2.2c) a partir das componentes da coeq.(4.1.13), calcule–mo–la explicitamente para conjuntos distintos de valores de (α, µ, ν): i. α = 0, µ = 1, ν = 2 1 ∂Bz ∂Ey ∂Ex ∂0 F12 + ∂1 F20 + ∂2 F01 = 0 ⇒ − − + =0 c ∂t ∂x ∂y 1 ∂Bz ⇒ ( × E(x, t))z = − . (4.1.14a) c ∂t ii. α = 0, µ = 1, ν = 3 1 ∂By ∂Ez ∂Ex ∂0 F13 + ∂1 F30 + ∂3 F01 = 0 ⇒ − + =0 c ∂t ∂x ∂z 1 ∂By ⇒ ( × E(x, t))y = − . (4.1.14b) c ∂t 29
  • 31. iii. α = 0, µ = 2, ν = 3 1 ∂Bx ∂Ez ∂Ey ∂0 F23 + ∂2 F30 + ∂3 F02 = 0 ⇒ − − + =0 c ∂t ∂y ∂z 1 ∂Bx ⇒ ( × E(x, t))x = − . (4.1.14c) c ∂t iv. α = 1, µ = 2, ν = 3 ∂Bx ∂By ∂Bz ∂1 F23 + ∂2 F31 + ∂3 F12 = 0 ⇒ − − − =0 ∂x ∂y ∂z ⇒ · B(x, t) = 0. (4.1.14d) Em resumo, as eqs.(4.1.14a–c) nos d˜o a lei de Faraday a 1 ∂ B(x, t) × E(x, t) = − (4.1.15), c ∂te, a eq.(4.1.14d) nos d´ a equa¸˜o de Gauss para o campo magn´tico, a ca e · B(x, t) = 0. (4.1.16) A eq.(4.1.16) representa a ausˆncia de monop´los magn´ticos nas equa¸˜es de Maxwell. e o e co Portanto, a partir da densidade de lagrangeana (4.1.5) e da defini¸˜o do tensor Fµν caobtemos todas as equa¸˜es de Maxwell (2.2a–d). co Todos n´s j´ ouvimos falar na conserva¸˜o da carga el´trica. Vamos mostrar que essa lei o a ca ede conserva¸˜o ´ uma consequˆncia das equa¸˜es de Maxwell (eqs. (2.2a–d) ou (4.1.9)). ca e e co Usando as equa¸˜es de Maxwell escrita na forma covariante (eq.(4.19)), co 4π α ∂τ F τ α = j , α = 0, 1, 2, 3, (4.1.17) ccalculamos a sua derivada em rela¸˜o a xα , e somamos sobre α, de forma que ca 4π ∂α ∂τ F τ α = ∂α j α . (4.1.18a) c 30
  • 32. Como os ´ ındices α e τ no l.e. da eq.(4.1.18a) s˜o ´ a ındices mudos (´ ındices sobre os quaisestamos somando), ent˜o podemos mudar o nome dessas vari´veis, de maneira que se fazemos a aa mudan¸a de vari´veis: α c a τ , o l.e. da eq.(4.1.18a) n˜o se modifica, ou seja, a ∂α ∂τ F τ α = ∂τ ∂α F ατ = −∂τ ∂α F τ α = −∂α ∂τ F τ α ⇒ ∂α ∂τ F τ α = 0, (4.1.18b)onde usamos que ∂α ∂τ = ∂τ ∂α mas que F τ α = −F ατ . Consequentemente podemos escrever a eq.(4.1.18a) como sendo ∂ρ(x, t) ∂α j α (x, t) = 0 ⇒ + · (x, t) = 0, (4.1.18c) ∂tque nos d´ a lei de conserva¸˜o da carga el´trica. A partir da equa¸˜o de conserva¸˜o da a ca e ca cacarga el´trica temos que a varia¸˜o da densidade de carga el´trica na posi¸˜o x no instante t ´ e ca e ca eigual a menos o fluxo da densidade de corrente el´trica que no instante t atravessa um volume einfinitesimal que cont´m o ponto x. Para e ·  > 0 temos um fluxo positivo atravessandoo volume infinitesimal. Essa rela¸˜o descreve a situa¸˜o em que temos mais corrente saindo ca cado volume infinitesimal, que cont´m o ponto x, do que entrando. Essa quantidade maior de ecorrente que sai, se d´ as custas da diminui¸˜o da densidade de cargas el´tricas dentro do a ca evolume infinitesimal que cont´m o ponto x. No processo inverso, fluxo negativo, temos um eaumento de carga el´trica em x, que corresponde a um ac´mulo de carga el´trica neste ponto. e u e A densidade de lagrangeana L (4.1.5) n˜o ´ invariante sob transforma¸˜es de gauge (eq.- a e co(3.18)) uma vez que ´ proporcional a Aµ . Apesar disso as equa¸˜es de movimento para os e cocampos s˜o invariantes sob essas transforma¸˜es. Qual o mecanismo da teoria que garante a a coinvariˆncia das equa¸˜es de movimento? a co Vejamos como a densidade de lagrangeana l(4.1.5a) se modifica sob transforma¸˜es de cogauge A µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t). (4.1.19) 31
  • 33. Note que a transforma¸˜o de gauge (4.1.19) corresponde a dizer que todas as con- cafigura¸˜es Aµ (x, t) s˜o modificadas, sendo que a cada uma delas ´ subtra´ o 4–gradiente da co a e ıdomesma fun¸˜o G(x, t). ca A densidade de lagrangeana (4.1.5a) sob a transforma¸˜o (4.1.19) fica: ca 1 µν 1 µ L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν F − jµ A 16π c 1 1 1 =− Fµν F µν − jµ Aµ + jµ ∂ µ G. (4.1.20a) 16π c cExerc´ ıcio: Os elementos do tensor Fµν (eq.(4.1.4)), s˜o as componentes dos campos f´ a ısicos E(x, t)e B(x, t). Os campos f´ ısicos s˜o invariantes sob a transforma¸˜o de gauge (4.1.19). a ca µν Prove que Fµν = Fµν e, portanto, que Fµν F = Fµν F µν . Usando a conserva¸˜o da carga el´trica, eq.(4.1.18c), temos que ca e 1 1 1 jµ (x, t)∂ µ G(x, t) = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) − G(x, t)∂ µ jµ (x, t) c c c 1 = ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)). (4.1.20b) c Usando o resultado (4.1.20b) em (4.1.20a), obtemos que a densidade de lagrangeana doscampos de Maxwell se transforma sob transforma¸˜o de gauge como ca 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = L(Aµ , ∂ν Aµ ) + ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)). (4.1.20c) c Vemos que a densidade de lagrangeana dos campos eletromagn´ticos s´ ´ invariante sob e oetransforma¸˜o de gauge na ausˆncia de part´ ca e ıculas com carga el´trica. No entanto, na presen¸a e cde cargas e correntes el´tricas, a densidade de lagrangeana sob uma transforma¸˜o de gauge e case modifica por uma derivada total. O fato da densidade de lagrangeana se modificar, sobuma transforma¸˜o de gauge, por uma derivada total, ´ consequˆncia da lei de conserva¸˜o ca e e cada carga el´trica. e Da eq.(4.2) temos que a a¸˜o associada a configura¸˜o do 4–potencial vetor ´, ca ca e 32
  • 34. tf S[Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t). (4.1.21a) t0 V∞ A a¸˜o associada aos campos Aµ obtidos de Aµ a partir da transforma¸˜o de gauge ca ca(4.1.19) ´ e tf S [Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t). (4.1.21b) t0 V∞ Utilizando–se o resultado (4.1.20c), relacionamos S [Aµ ] e S[Aµ ] tf tf 1 S [Aµ ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Aµ , ∂ν Aµ ; x, t) + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) t0 V∞ c t0 V∞ tf 1 = S[Aµ ; t0 , tf ] + dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)). (4.1.21c) c t0 V∞ Entretanto, tf tf 1 ∂ dt d3 x ∂ µ (jµ (x, t)G(x, t)) = d3 x dt (ρ(x, t)G(x, t))+ c t0 V∞ V∞ t0 ∂t tf 1 + dt d3 x · (j(x, t)G(x, t)) c t0 V∞ tf 1 = d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )] + dt G(x, t)j(x, t) · ds V∞ c t0 S∞ = d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )]. (4.1.21d) V∞ Para passarmos da primeira linha para a segunda linha da express˜o anterior utilizamos ao Teorema de Gauss (eq.(A.9)). Para escrevermos o resultado final (4.1.21d) utilizamos ahip´tese de sistema fechado e portanto (x, t) = 0, em qualquer ponto da superf´ S∞ que o ıciedelimita o volume V∞ . Finalmente, podemos escrever que S [Aµ ; t0 , tf ] = S[Aµ ; t0 , tf ] + d3 x [ρ(x, tf )G(x, tf ) − ρ(x, t0 )G(x, t0 )]. (4.1.22) V∞ 33
  • 35. A segunda integral que aparece do l.d. da express˜o (4.1.22) ´ a mesma para qual- a equer configura¸ao de Aµ (x, t). Portanto, as configura¸˜es que correspondem ao m´ c˜ co ınimo deS [Aµ ] s˜o aquelas que foram obtidas de Aµ por uma transforma¸˜o de gauge e que s˜o as a ca aconfigura¸˜es que d˜o os m´ co a ınimos de S[Aµ ]. Como Aµ e Aµ est˜o ligadas por uma trans- aforma¸˜o de gauge, ent˜o ambas as configura¸˜es geram os mesmos campos eletromagn´ticos. ca a co eComo consequˆncia da a¸˜o variar da mesma quantidade para todas as configura¸˜es, os e ca co4–potenciais vetores que minimizam cada uma das a¸˜es, apesar de diferentes, representam coos mesmos campos f´ ısicos. Por tudo isso, as equa¸˜es de movimento obtidas pela aplica¸˜o do co caPrinc´ ıpio de Hamilton ` densidade de lagrangeana (4.1.5) s˜o invariantes sob transforma¸˜es a a code gauge. Cabe ressaltar mais uma vez que foi fundamental para demonstrar a invariˆncia da aequa¸˜o de movimento dos campos eletromagn´ticos sob transforma¸˜es de gauge a lei de ca e coconserva¸ao da carga el´trica. c˜ e Para concluir esta se¸˜o, consideraremos as equa¸˜es de Maxwell numa regi˜o distante ca co ada regi˜o onde est˜o as cargas e correntes el´tricas que geraram os campos eletromagn´ticos. a a e eNa regi˜o em que estamos interessados em estudar a evolu¸˜o no tempo dos campos eletro- a camagn´ticos, as equa¸˜es de Maxwell s˜o: e co a · E(x, t) = 0, (4.1.23a) · B(x, t) = 0, (4.1.23b) 1 ∂ B(x, t) × E(x, t) = − , (4.1.23c) c ∂t 1 ∂ E(x, t) × B(x, t) = . (4.1.23d) c ∂t Para obtermos a equa¸˜o de movimento das componentes do campo el´trico E(x, t) cal- ca eculamos o rotacional da eq.(4.1.23c), 1 ∂ ×( × E(x, t)) + ( × B(x, t)) = 0. (4.1.24a) c ∂t Usando a rela¸˜o (A.7) e substituindo a eq.(4.1.23d) na express˜o anterior, obtemos que ca a 34
  • 36. 2 1 ∂ 2 E(x, t) ( · E(x, t)) − E(x, t) = − ⇒ c2 ∂t2 2 1 ∂2 − E(x, t) = 0. (4.1.24b) c2 ∂t2 Utilizamos que · E(x, t) = 0 para escrevermos (4.1.24b) na sua forma final. A eq.(4.1.24b) ´ v´lida para cada componente do campo el´trico: e a e 2 1 ∂2 − E i (x, t) = 0, i = 1, 2, 3. (4.1.24c) c2 ∂t2 1 ∂2Usamos a nota¸˜o: E 1 = Ex , E 2 = Ey e E 3 = Ez . O operador ( ca 2 − c2 ∂t2 ) ´ o operador ed’Alambertiano ( ) que definimos na eq.(3.15a). Usando a nota¸˜o covariante do operador cad’Alambertiano (eq.(3.15b)), a equa¸˜o de movimento das componentes do campo el´trico ca elivre fica: ∂µ ∂ µ E i (x, t) = 0. (4.1.24d) Procedendo de forma an´loga, mas agora usando as eqs.(4.1.23d) e (4.1.23c) obtemos as amesmas equa¸˜es para as componentes do campo magn´tico livre, co e 2 1 ∂2 − B i (x, t) = 0 ⇒ c2 ∂t2 ⇒ ∂µ ∂ µ B i (x, t) = 0. (4.1.25) Estudemos agora as solu¸˜es de onda plana da eq.(4.1.24c), ou equivalentemente, da coeq.(4.1.25). Supomos que essas equa¸˜es tˆm solu¸˜o da forma co e ca E i (x, t) = E i ei(k·x−ωt) , (4.1.26a)onde E i ´ uma constante que d´ a amplitude do campo el´trico, k ´ o vetor de onda que e a e edetermina a dire¸˜o e o sentido em que a onda plana se propaga e ω sua frequˆncia angular. ca eNo entanto, n˜o ´ para qualquer valor de | k | e ω que a solu¸˜o tentativa (4.1.26a) ´ solu¸˜o da a e ca e caequa¸˜o diferencial (4.1.24c). Substituimos a solu¸˜o (4.1.26a) em (4.1.24c) para encontrarmos ca caque rela¸˜o | k | e ω devem satisfazer para que (4.1.26a) seja sua solu¸˜o. Assim, ca ca 35
  • 37. 2 1 ∂2 ω2 − 2 2 E i (x, t) = 0 ⇒ i i(k·x−ωt) E e 2 (| k | − 2 ) = 0. (4.1.26b) c ∂t c Como a igualdade (4.1.26b) tem que ser verdadeira em todos os pontos do espa¸o e em ctodos os instantes, ent˜o a unica forma de garantirmos isto ´ impondo que a ´ e ω2 =| k |2 . (4.1.26c) c2 c˜ a e ıculas de massa zero[4] . A rela¸ao de dispers˜o (4.1.26c) ´ satisfeita por part´ Podemos nos perguntar: como a densidade de lagrangeana (4.1.5a) deve ser modificadapara que a luz possua massa? Em 1936, A. Proca foi o primeiro a propor uma modifica¸˜o na densidade de lagrangeana ca [7](4.1.5a) para que a luz tivesse massa. A densidade de lagrangeana 1 1 µ LP roca (Aτ , ∂ν Aτ ) = − Fτ ν F τ ν − jα Aα + Aα Aα , (4.1.27a) 16π c 8π´ conhecida como a densidade de lagrangeana de Proca.e A equa¸ao de movimento obtida a partir de (4.1.27a) ´, c˜ e 4π α ∂τ F τ α + µ2 Aα = j , α = 0, 1, 2, 3 (4.1.27b) c A eq.(4.1.27b) escrita em termos dos 4–potenciais Aα , no gauge de Lorentz (∂α Aα ) e naausˆncia de 4–correntes externas, fica e 2 1 ∂2 ( − Aα (x, t) − µ2 Aα (x, t) = 0, α = 0, 1, 2, 3. (4.1.28a) c2 ∂t2 A solu¸ao tipo onda plana (eq.(4.1.26a)), c˜ Aα (x, t) = Aα ei(k·x−ωt) , (4.1.28b)substituida na eq.(4.1.28a), leva a rela¸˜o de dispers˜o: ca a ω2 =| k |2 +µ2 . (4.1.28c) c2 36
  • 38. A rela¸˜o (4.1.28c) ´ igual a rela¸˜o de dispers˜o satisfeita por part´ ca e ca a ıculas livres rela-tiv´ ısticas de massa |µ|. A partir da eq.(4.1.27b), vemos que a equa¸˜o de movimento obtida do modelo de Proca cadepende explicitamente dos campos Aα (x, t), de maneira que ela n˜o ´ mais invariante sob a a etransforma¸˜o de gauge (4.1.19). Com a perda da invariˆncia de gauge, os campos Aα (x, t) ca aperdem o seu carater auxiliar e passam a ser campos f´ ısicos, o que vai contra o fato deserem os campos el´trico e magn´tico os campos f´ e e ısicos, enquanto que os 4-potencias veto-rias foram introduzidos apenas para levar em conta que campos eletromagn´ticos possuem einterdependˆncia. e Portanto, ´ preciso procurar outro mechanismo que a Natureza possa ter lan¸ado m˜o e c apara dar massa a luz, mas sem abrir m˜o da invariˆncia de gauge da teoria. a a A densidade de lagrangeana dos campos de Maxwell (campos eletromagn´ticos) e 1 1 L(Aµ , ∂ν Aµ ) = − Fµν F µν − jµ Aµ , (4.1.29) 16π cpode ser escrita em qualquer dimens˜o espa¸o–temporal. Na se¸˜o 4.1 apresentamos os a c cac´lculos em d=4(3+1). Entretanto, a forma da equa¸˜o de movimento n˜o muda se con- a ca asideramos dimens˜es de espa¸o–tempo iguais a: d=2 (1+1), d=3 (2+1). o c4.2. Campos de Gauge de Maxwell-Chern–Simons. Os f´ ısicos te´ricos nunca est˜o satisfeitos com a densidade de lagrangeana que ˆles tˆm a o a e e a ´m˜o. E parte de sua natureza especular como seria o universo se a densidade de lagrangeanativesse outros termos. Que novos fenˆmenos a Natureza lhe revela nestes novos termos de sua ot˜o amada densidade de lagrangeana? a A Teoria Eletromagn´tica n˜o foge ` regra de provocar esta incans´vel curiosidade que e a a aos te´ricos possuem. A regra que temos que seguir para tentar adicionar novos termos ` o adensidade de lagrangeana dos campos eletromagn´ticos (eq. (4.1.29)) ´ de que ela tem que e econtinuar a ser um escalar de Lorentz. Al´m disso, na ausˆncia de part´ e e ıculas que possuamcarga el´trica, a densidade de lagrangeana ´ invariante sob transforma¸˜es de gauge. Portanto e e co 37
  • 39. uma id´ia poss´ que se tem para estender a densidade de lagrangeana (4.1.29), na ausˆncia e ıvel ede part´ ıculas carregadas eletricamente, ´ adicionar–lhe o escalar de Lorentz e εγναβ Fγν Fαβ . (4.2.1a) A lagrangeana estendida dos campos eletromagn´ticos passaria a ser e 1 1 Lest (Aγ , ∂ν Aγ ) == − Fγν F γν − jγ Aγ + gεγναβ Fγν Fαβ , (4.2.1b) 16π conde g ´ uma constante e εγναβ ´ o tensor de Levi–Civita em 4 dimens˜es1 1. e e o Entretanto, o termo εγναβ Fγν Fαβ ´ igual a uma derivada total, ou seja, e εγναβ Fγν Fαβ = ∂ν Ων . (4.2.1c)Exerc´ ıcio: Mostre que: εγναβ Fγν Fαβ = ∂ν Ων ,onde Ων = 2ενγαβ Aγ Fαβ . Lest difere da lagrangeana (4.1.29) por uma derivada total. Pelo que mostramos nase¸˜o 1, densidades de lagrangeanas que difiram por uma derivada total geram o mesmo caconjunto de equa¸˜es de movimento. Portanto, ao adicionarmos o termo (4.2.1a) a (4.1.29) co 1 1 O tensor de Levi–Civita εγναβ ´ definido de forma an´loga ao tensor de Levi–Civita em e a3 dimens˜es ( Apˆndice A); ε0123 = 1, assim como para todas as permuta¸˜es pares dos ´ o e co ındice(0, 1, 2, 3) , -1 para todas as permuta¸˜es ´ co ımpares dos ´ ındices (0, 1, 2, 3) e 0 se dois ou mais´ındices forem iguais. 38
  • 40. n˜o estamos descrevendo nenhum fenˆmeno f´ a o ısico novo. Por simplicidade, usamos a densidadede lagrangeana (4.1.29 ) para descrever os campos eletromagn´ticos. e Em dimens˜es espa¸o–temporal ´ o c ımpar podemos definir os termos de Chern–Simons. Ostermos de Chern–Simons n˜o s˜o invariantes sob transforma¸˜es de gauge (eq. (4.1.19)); a a coentretanto, veremos que as equa¸˜es de movimento dos campos obtidas, continuam invariantes comesmo com a adi¸˜o desses termos. ca Neste mini–curso nos restringiremos a discutir o termo de Chern–Simons abeliano emd=3(2+1). Em d=3(2+1) o movimento dos campos e part´ ıculas est´ restrito a um unico a ´plano, que chamaremos de plano (x, y). A densidade de lagrangeana do termo de Chern–Simons abeliano em d=3(2+1) ´: e µ γνα LC−S (Aγ , ∂ν Aγ ) = ε Fγν Aα , (4.2.2) 4sendo εγνα o tensor de Levi–Civita (Apˆndice A) em 3 dimens˜es12 . e o A lagrangeana dos campos de gauge, incluindo o termo de Chern–Simons, fica sendo 1 µ LG (Aγ , ∂ν Aγ ) = − Fγν F γν + εγνα Fγν Aα , (4.2.3) 16π 4 [11,12]que ´ conhecida na literatura e como a densidade de lagrangeana de Maxwell–Chern–Simons. Os dois primeiros termos do l.d. de (4.2.3) s˜o chamados de densidade de lagrangeana ade Maxwell. A a¸˜o tem dimens˜o de momento angular: ca a M L2 [S] = , (4.2.4) Tonde M representa a dimens˜o de massa, L a dimens˜o de comprimento e T a dimens˜o de a a atempo. Como todos os termos de uma express˜o tˆm que ter a mesma dimens˜o, ent˜o a a e a apartir da a¸˜o podemos determinar em d=3(2+1) a dimens˜o do 4–potencial vetor Aν e da ca aconstante de Chern–Simons µ. Usando a express˜o geral (4.2) da a¸˜o para campos cl´ssicos, temos que em d=3(2+1) a ca aa a¸˜o para os campos de Maxwell-Chern–Simons ´, ca e 12 Definimos ε012 = 1. 39
  • 41. tf S[Aγ ; t0 , tf ] = dt d2 x LG (Aγ (x, t), ∂ν Aγ (x, t); x, t). (4.2.5) t0 V∞ A an´lise dimensional para se determinar a dimens˜o de Aµ e µ ´ a seguinte: a a e i. a partir da densidade de lagrangeana de Maxwell: M L2 [Aγ ]2 [S] = = T L2 [Fγµ F γµ ] = T L2 2 ⇒ T L 1 1 M 2L [Aγ ] M2 ⇒ [Aγ ] = ; [Fγν ] = = . (4.2.6a) T L T ii. as densidades de Maxwell e de Chern–Simons tˆm a mesma dimens˜o: e a [Fγν ]2 = [µ][Aγ][Fγν ] ⇒ [µ] = L−1 . (4.2.6b) A constante de Chern–Simons µ tem dimens˜o do inverso do comprimento. O modelo de a 1Maxwell–Chern–Simons tem uma constante que caracteriza um comprimento: µ, ao contr´rio ada teoria de Maxwell que na ausˆncia de cargas e correntes el´tricas n˜o possui nenhuma e e aconstante com dimens˜o. a O termo de Chern–Simons (4.2.2) n˜o ´ invariante sob transforma¸˜es de gauge (4.1.19) a e couma vez que depende diretamente de Aγ ; por´m, como a densidade de lagrangeana LC−S se emodifica sob transforma¸˜es de gauge (4.1.19)? co Sob a transforma¸˜o de gauge (4.1.19) ca A µ (x, t) = Aµ (x, t) − ∂ µ G(x, t). (4.2.7)a densidade de lagrangeana de Chern–Simons passa a ser µ γνα LC−S (Aγ , ∂ν Aγ ) = ε Fγν (Aα − ∂α G) 4 µ = LC−S (Aγ , ∂ν Aγ ) − εγνα Fγν ∂α G. (4.2.8) 4 Mas, εγνα Fγν ∂α G = εγνα ∂α (GFγν ) − εγνα G∂α Fγν . (4.2.9a) 40
  • 42. Por´m, como Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ , ent˜o, e a εγνα G∂α Fγν = G[εγνα ∂α ∂γ Aν − εγνα ∂α ∂ν Aγ ] = 0, (4.2.9b)uma vez que somamos sobre os ´ ındices (α, γ) no primeiro termo do l.d. de (4.2.9b) e sobre(α, ν) no segundo termo da mesma express˜o e εγνα ´ um tensor ´ a e ımpar (εγνα = −εγαν ),enquanto que ∂α ∂γ e ∂α ∂ν s˜o tensores pares (∂α ∂γ = ∂γ ∂α , e, ∂α ∂ν = ∂ν ∂α ). a Logo, εγνα Fγν ∂α G = ∂α (εγνα GFγν ). (4.2.9c) Finamente, podemos afirmar que sob uma transforma¸˜o de gauge a densidade de la- cagrangeana de Maxwell–Chern–Simons se transforma como: µ LC−S (Aγ , ∂ν Aγ ) = LC−S (Aγ , ∂ν Aγ ) − ∂α (εγνα Fγν G). (4.2.10) 4 Como no caso dos campos de Maxwell a densidade de lagrangeana de Maxwell–Chern–Simons se modifica por uma derivada total sob uma transforma¸˜o de gauge (4.2.7). Mostra- camos na se¸˜o 4.1 que neste caso a a¸˜o que descreve o sistema gera equa¸˜es de movimento ca ca coinvariantes sob transforma¸˜es de gauge. A grande diferen¸a entre as duas teorias ´ que a co c edensidade de lagrangeana de Chern–Simons n˜o ´ invariante sob transforma¸˜es de gauge a e conem mesmo na ausˆncia de intera¸˜o com part´ e ca ıculas. Entretanto o que ´ importante ´ que a e elagrangeana gera equa¸˜es de movimento que s˜o invariantes sob transforma¸˜es de gauge. co a co Antes de discutirmos as equa¸˜es de movimento decorrentes da densidade de lagrangeana code Maxwell-Chern–Simons com os campos de gauge Aν acoplados a correntes e cargas el´- etricas, vejamos as componentes do tensor Fγν em termos dos campos eletromagn´ticos em ed=3(2+1). Como o tensor Fγν tem a mesma defini¸˜o em qualquer dimens˜o espa¸o–temporal, ca a c Fγν (x, t) = ∂γ Aν (x, t) − ∂ν Aγ (x, t), γ, ν = 0, 1, 2, (4.2.11) 41
  • 43. em d=3(2+1) o tensor Fγν tem 3 componentes independentes de um total de 9 elementos.Lembramos que os elementos da diagonal do tensor Fγν s˜o nulos. a Os elementos independentes do tensor Fγν (x, t) s˜o: a 1 ∂Ai ∂A0 F0i (x, t) = − − = E i (x, t), i = 1, 2, (4.2.12a) c ∂t ∂xie ∂A2 ∂A1 ∂Ax ∂Ay F12 (x, t) = − + = − = −B(x, t). (4.2.12b) ∂x1 ∂x2 ∂y ∂x Das express˜es (4.2.12a–b), vemos que em d=3(2+1) o campo el´trico ´ um vetor com o e eduas componentes contidas no plano (x, y) enquanto que o campo magn´tico ´ um escalar. e eNote que F12 em d=4(3+1) corresponde a componente z do campo magn´tico; em d=3(2+1) ea componente z ´ perpendicular ao plano fixado de maneira que em d=3(2+1) o campo emagn´tico ´ um escalar. e e O tensor Fγν escrito na sua forma matricial fica,   0 Ex Ey Fγν =  −Ex 0 −B  . (4.2.12c) −Ey B 0 Em resumo, temos que i 1 ∂Ai ∂A0 E (x, t) = F0i (x, t) = − − (4.2.13a) c ∂t ∂xie B(x, t) = −F12 (x, t) = εij ∂i Aj , (4.2.13b)onde εij , i, j, = 1, 2, ´ o tensor de Levi–Civita em duas dimens˜es (ε12 = 1, ε21 = −1, ε11 = e oε22 = 0). Iremos derivar agora as equa¸˜es de movimento obtidas da densidade de lagrangeana coLG dos campos de Maxwell–Chern–Simons acoplados a corrente e carga el´tricas. Neste caso etemos que a densidade de lagrangeana que descreve o sistema ´: e 42
  • 44. 1 L(Aγ , ∂ν Aγ ) = LG (Aγ , ∂ν Aγ ) − jγ Aγ c 1 µ γνα 1 =− Fγν F γν + ε Fγν Aα − jγ Aγ . (4.2.14) 16π 4 c Substituindo a densidade de lagrangeana (4.2.14) na equa¸˜o de Euler–Lagrange ca(eq.(4.1.6)), ∂L ∂L − ∂τ = 0, (4.2.15) ∂Aα ∂(∂τ Aα )obtemos a equa¸˜o de movimento dos campos de gauge de Maxwell–Chern–Simons na presen¸a ca cde carga e corrente el´tricas. e Dos resultados (4.1.7d) e (4.1.8e) temos que ∂ 1 1 1 − Fγν F γν − jγ Aγ = − j α (4.2.16a) ∂Aα 16π c c ∂ 1 1 1 ατ − Fγν F γν − jγ Aγ = F . (4.2.16b) ∂(∂τ Aα ) 16π c 4π Al´m disso, e ∂ µ λνγ µ µ ε Fλν Aγ = ελνγ Fλν δγ = ελνα Fλν , α (4.2.16c) ∂Aα 4 4 4e ∂ µ λνγ µ ∂Fλν ε Fλν Aγ = ελνγ Aγ ∂(∂τ Aα ) 4 4 ∂(∂τ Aα ) µ λνγ = ε Aγ (δλ τ δν α − δν τ δλ α ) 4 ν = Aγ (ετ αγ − εατ γ ) 4 µ τ αγ = ε Aγ . (4.2.16d) 2 Usamos o resultado (4.1.8b) para escrevermos a segunda linha da express˜o (4.2.16d). a Substituindo os resultados (4.2.16a–d) na eq.(4.2.15), obtemos que 43
  • 45. µ γνα 1 1 ατ µ τ αγ ε Fγν − j α − ∂τ F − ε Aγ = 0. (4.2.16e) 4 c 4π 2 Entretanto, µ τ αγ µ ε ∂τ Aγ = − εατ γ ∂τ Aγ + εαγτ ∂γ Aτ 2 4 µ ατ γ = − ε (∂τ Aγ − ∂γ Aτ ) 4 µ ατ γ µ = − ε Fτ γ = − εαγν Fγν (4.2.16f ) 4 4 Substituindo (4.2.16f) em (4.2.16e), encontramos que a equa¸˜o de movimento dos cam- capos de Maxwell–Chern–Simons ´ e 1 µ 1 ∂γ F γα + εαγν Fγν = j α , α = 0, 1, 2. (4.2.17) 4π 2 c Note que as equa¸˜es de movimento (4.2.17) s´ dependem do 4–potencial vetor atrav´s co o edo tensor Fγν ; logo elas s˜o invariantes sob transforma¸˜es de gauge (4.2.7). a co Reescrevendo as componentes da equa¸˜o de movimento em termos dos campos E(x, t) cae B(x, t) temos: i. Lei de Gauss : α = 0 1 µ ∂i F i0 + ε0ij Fij = ρ(x, t) ⇒ · E(x, t) − 4πµB(x, t) = 4πρ(x, t). (4.2.18a) 4π 2 ii. α = 1 1 µ 1 1 1 ∂F 01 ∂F 21 1 ∂γ F γ1 + ε1γν Fγν = j 1 (x, t) ⇒ + − µF02 = j 1 (x, t) 4π 2 c 4π c ∂t ∂y c ∂B(x, t) 4π 1 ∂Ex (x, t) ⇒ − 4πµEy (x, t) = jx (x, t) + . (4.2.18b) ∂y c c ∂t iii. α = 2 1 µ 1 1 1 ∂F 02 ∂F 12 1 ∂γ F γ2 + ε2γν Fγν = j 2 (x, t) ⇒ + + µF01 = j 2 (x, t) 4π 2 c 4π c ∂t ∂x c ∂B(x, t) 4π 1 ∂Ey (x, t) ⇒ − + 4πµEx (x, t) = jy (x, t) + . (4.2.18c) ∂x c c ∂t 44
  • 46. ˆ Seja k um vetor unit´rio constante perpendicular ao plano (x, y). As eqs.(4.2.18b) e a(4.2.18c) podem ser reescritas como: ˆ ˆ 4π 1 ∂ E(x, t) × (B(x, t)k) + 4πµk × E(x, t) = (x, t) + , (4.2.18d) c c ∂t Como a defini¸˜o do tensor Fγν ´ a mesma que para os campos de gauge de Maxwell, a ca eeq.(4.1.13) (identidade de Bianchi) continua sendo v´lida, a ∂α Fγν + ∂γ Fνα + ∂ν Fαγ = 0. (4.2.19a) A unica escolha que temos para os trˆs ´ ´ e ındices α, γ, ν distintos ´: α = 0, γ = 1 e ν = 2. eNeste caso a identidade de Bianchi fica, ∂Ey ∂Ex 1 ∂B ∂0 F12 + ∂1 F20 + ∂2 F01 = 0 ⇒ − =− ∂x ∂y c ∂t ˆ 1 ∂B(x, t)k ⇒ × E(x, t) = − . (4.2.19b) c ∂t Em resumo temos que as equa¸˜es que governam os campos de gauge Maxwell–Chern– coSimons s˜o: a · E(x, t) − 4πµB(x, t) = 4πρ(x, t), (4.2.20a) ˆ ˆ 4π 1 ∂ E(x, t) × (B(x, t)k) + 4πµk × E(x, t) = (x, t) + , (4.2.20b) c c ∂t 1 ∂B(x, t)kˆ × E(x, t) = − , (4.2.20c) c ∂t ˆ eonde k ´ um vetor unit´rio constante perpendicular ao plano (x, y). Da lei de Gauss (eq. a(4.2.20a)) vemos que, para os campos de Maxwell–Chern–Simons, as cargas el´tricas s˜o e afontes tanto para o campo el´trico quanto para o campo magn´tico. e e Para µ = 0 em (4.2.20a–c) re–obtemos as equa¸˜es de Maxwell em d=3(2+1). co Mostraremos agora que a eq.(4.2.17) tamb´m leva a conserva¸˜o da 4–densidade de cor- e carente el´trica. e A equa¸ao de movimento dos campos de Maxwell–Chern–Simons ´ (eq.(4.2.17)) c˜ e 45
  • 47. 1 µ 1 ∂γ F γα + εαγν Fγν = j α , α = 0, 1, 2. (4.2.21) 4π 2 cde forma, que calculando a derivada covariante ∂α de ambos os lados da express˜o anterior aobtemos: 1 µ 1 ∂α ∂γ F γα + εαγν ∂α Fγν = ∂α j α . α = 0, 1, 2. (4.2.22a) 4π 2 c Em (4.1.18b) mostramos que o primeiro termo l.e. da express˜o acima ´ zero. Analisemos a eo segundo termo do l.e. da eq.(4.2.22a), µ αγν µ ε ∂α Fγν = εαγν (∂α ∂γ Aν − ∂α ∂ν Aγ ) 2 2 = 0. (4.2.22b) Portanto, das eqs.(4.1.18b) e (4.2.22b) decorre a conserva¸˜o da 4–densidade de corrente cael´trica: e ∂ρ(x, t) ∂α j α (x, t) = 0 ⇒ + · (x, t) = 0. (4.2.22c) ∂t As equa¸˜es de Maxwell–Chern–Simons (4.2.20a–c) tamb´m acoplam os campos el´trico co e ee magn´tico. No caso de campos livres ( ausˆncia de carga e corrente el´tricas) as equa¸˜es e e e codesses campos podem ser desacopladas. O desacoplamento das equa¸˜es dos campos f´ co ısicoslivres fica mais simples se definimos o dual do tensor Fαν , εναγ F ν (x, t) ≡ Fαγ (x, t). (4.2.23) 2Exerc´ ıcio: Usando o fato de que o tensor εναγ ´ anti–sim´trico pela troca de dois ´ e e ındices, εναγ =−εανγ ,e que Fαγ = ∂α Aγ − ∂γ Aα , mostre que ∂ν F ν (x, t) = 0. 46
  • 48. A rela¸ao (4.2.23) pode ser invertida usando a identidade: c˜ εανβ εαγτ = δ ν γ δ β τ − δ ν τ δ β γ . (4.2.24) Para isso basta multiplicar ambos os lados da eq.(4.2.23) por ενγλ e somar sobre o ´ ındiceν que obtemos Fγλ (x, t) = εγλν F ν (x, t). (4.2.25)Exerc´ ıcio: Mostre a igualdade: εανβ εαγτ = δ ν γ δ β τ − δ ν τ δ β γ . Usando a defini¸˜o (4.2.23) escrevemos as componentes do vetor dual em termos das cacomponentes do campos el´trico e magn´tico, e e 1 021 F0 = ε F12 + ε012 F21 = F12 ⇒ F 0 = −B (4.2.26a) 2 1 F 1 = ε102 F02 + ε120 F20 = F20 ⇒ F 1 = −Ey (4.2.26b) 2 1 201 F 2 = ε F01 + ε210 F10 = F01 ⇒ F 2 = Ex . (4.2.26c) 2 Portanto, o vetor dual ao tensor Fγν tem componentes F ν (x, t) = (−B(x, t), −Ey (x, t), Ex (x, t)). (4.2.26d) Para desacoplarmos as equa¸˜es dos campos livres, consideremos a eq.(4.2.21) na ausˆncia co e ıculas carregadas (j α = 0),de part´ 47
  • 49. 1 µ 1 ∂γ F γα + εαγν Fγν = 0 ⇒ ∂γ F γα + µF α = 0. (4.2.27a) 4π 2 4π Usando a eq.(4.2.25) para reescrever a equa¸˜o dos campos (4.2.27a) em termos do vetor cadual F α , temos ent˜o que a 1 γαλ ε ∂γ Fλ + µF α = 0. (4.2.27b) 4π Multiplicando ambos os lados da eq.(4.3.27b) por εαντ , somando sobre o ´ ındice α eusando a igualdade (4.2.24) obtemos que 1 εαντ εγαλ ∂γ Fλ + µεαντ F α = 0 ⇒ 4π 1 ⇒ [∂τ Fν − ∂ν Fτ ] + µFντ = 0. (4.2.27c) 4π Derivando (4.2.27c) em rela¸˜o a ∂ ν e somando sobre o ´ ca ındice ν, temos que 1 [∂τ ∂ ν Fν − ∂ν ∂ ν Fτ ] + µ∂ ν Fντ = 0. (4.2.27d) 4π No entanto, usando que ∂ ν Fν = 0 e a eq.(4.2.27a), a equa¸˜o anterior ´ reescrita como: ca e 1 ν − ∂ ∂ν Fτ − 4πµ2 Fτ = 0 ⇒ ( +(4πµ)2 )Fτ (x, t) = 0, (4.2.27e) 4πonde τ = 0, 1, 2. Devemos lembrar que as componentes do vetor dual Fτ s˜o os campos f´ a ısicos E(x, t) eB(x, t). A eq.(4.2.27e) ´ a equa¸˜o dos campos f´ e ca ısicos livres de Maxwell–Chern–Simons. A presen¸a do termo de Chern–Simons na teoria acarreta algumas modifica¸˜es em c corela¸˜o a teoria de Maxwell pura. Para vermos isto, consideremos a equa¸˜o de movimento ca cados campos livres de Maxwell–Chern–Simons (eq.(4.2.27e)), 1 ∂2 ( +(4πµ)2 )E i (x, t) = 0 ⇒ 2 − − (4πµ)2 E i (x, t) = 0. (4.2.28a) c2 ∂t2 48
  • 50. Como no caso dos campos de Maxwell, vamos procurar solu¸˜es de ondas plana para a coeq.(4.2.28a), ou seja, E i (x, t) = E i ei(k·x−ωt) , (4.2.28b)onde E i ´ uma constante que d´ a amplitude do campo el´trico, k ´ o vetor de onda que e a e edetermina a dire¸˜o e o sentido em que a onda plana se propaga e ω a sua frequˆncia angular. ca eSubstituimos (4.2.28b) em (4.2.28a) para saber que rela¸˜o | k | e ω devem satisfazer para que caa onda plana (4.2.28b) seja solu¸˜o dos campos livres de Maxwell–Chern–Simons em todos caos pontos do espa¸o e em todos os instantes. Assim, c ω2 E i ei(k·x−ωt) (− | k |2 + 2 − (4πµ)2 ) = 0. (4.2.28c) c Para que a igualdade anterior seja verdadeira para qualquer posi¸˜o x e em qualquer cainstante t, temos que ter ω2 =| k |2 +(4πµ)2 . (4.2.28d) c2 Esta rela¸ao de dispers˜o ´ satisfeita por part´ c˜ a e ıculas que possuem massa. A partir da(4.2.28d) o valor da massa dos campos f´ ısicos de Maxwell–Chern–Simons ´: e 4π¯h mC−S = | µ |, (4.2.29) c hsendo ¯ = h 2π e h ´ a constante de Planck11 . e Os campos de Maxwell–Chern–Simons possuem massa, mas apesar disso, a teoria ´ in- evariante sob transforma¸˜es de gauge (4.2.7). co Esse mecanismo de gerar massa para os campos de gauge sem abrir m˜o da invariˆncia a ade gauge da teoria, ´ certamente uma das caracter´ e ısticas mais apreciadas desse modelo. A partir da eq.(4.2.22a), ap´s algumas manipula¸˜es alg´bricas, mostra–se que na pre- o co esen¸a de carga el´trica pontual est´tica (ρ(x, t) = ρδ(x)), (x, t) = 0) a equa¸˜o do campo c e a camagn´tico ´: e e 11 Veja a Referˆncia [4] para saber como relacionar a eq.(4.2.28d) e a massa da part´ e ıcula.O valor da constante de Planck ´: h = 6, 626 × 10−34 Jseg. e 49
  • 51. 2 − (4πµ)2 B(x) = (4π)2 µρδ(x), (4.2.30)sendo ρ uma constante que d´ a intensidade da densidade de carga el´trica em x = 0. a e A solu¸˜o de (4.2.30) nos d´ a fun¸˜o de Green[13] da equa¸˜o do campo magn´tico e ca a ca ca epermite determinar B(x) para qualquer distribui¸˜o ρ(x). ca Usando a transformada de Fourier do campo ´ simples mostrar que a solu¸˜o da equa¸˜o e ca cadiferencial n˜o–homogˆnea (4.2.30) ´: a e e d2 k ρ B(x) = −(4π)2 µ 2 e−ik·x (2π) | k | 2 +(4πµ)2 2|µ| 1 1 ∼ 2πρ 2 e−4π|µ|r , para r , (4.2.31) r 4π|µ|sendo que r = |x|.Exerc´ ıcio: Seja B(k) a transformada de Fourier de B(x) definida como: 1 B(x) = d2 k B(k)e−ik·x . (2π)2 A transformada de Fourier da fun¸˜o δ–Dirac em duas dimens˜es espaciais ´ ca o e 1 δ(x) = d2 k e−ik·x . (2π)2 Mostre que a eq.(4.2.30) escrita no espa¸o dos k ´ c e ρ | k |2 +(4πµ)2 B(k) = −(4π)2 µρ ⇒ B(k) = −(4π)2 µ . | k |2 +(4πµ)2 A presen¸a da massa 4πµ no denominador da eq.(4.2.31), faz com que o campo magn´tico c edo modelo de Maxwell–Chern–Simons seja de curto alcance. No caso das componentes docampo el´trico, elas tamb´m v˜o a zero para | x |→ ∞ mais rapidamente que na teoria de e e aMaxwell pura, uma vez que Ei ∼ e−4π|µ|r para | x |→ ∞. 50
  • 52. Vejamos como o 4–potencial vetor Aν se comporta na fronteira do plano infinito (| x |→∞). Para isso, consideremos a lei de Gauss (eq.(4.2.20a)) do modelo de Maxwell–Chern–Simons, · E(x, t) − 4πµB(x, t) = 4πρ(x, t), (4.2.32a)que integrando sobre todos os pontos do plano fica, d2 x · E(x, t) − 4πµ d2 x B(x, t) = 4πQ(t), (4.2.32b) S∞ S∞sendo Q(t) a carga el´trica total contida no plano (x, y), e Q(t) = d2 x ρ(x, t). (4.2.32c) S∞ Usando o Teorema de Gauss (eq.(A.9)) em duas dimens˜es espaciais, temos que o E(x, t) · dl − 4πµ d2 x B(x, t) = 4πQ(t), (4.2.32d) Γ∞ S∞sendo Γ∞ o contˆrno da que delimita a ´rea S∞ . o a Mostramos anteriormente que o campo el´trico vai a zero para | x |→ ∞, de maneira que ea integral de linha do campo el´trico ao longo de Γ∞ ´ nula. Assim, a lei de Gauss escrita na e eforma global ´, e −4πµ d2 x B(x, t) = 4πQ(t). (4.2.32e) S∞ Entretanto, o campo magn´tico pode ser escrito como sendo e B(x, t) = ( × A(x))z , (4.2.32f )sendo z a dire¸˜o perpendicular ao plano (x, y). Substituindo (4.2.32f) em (4.2.32e) e apli- cacando o Teorema de Stokes (eq.(A.10)), obtemos finalmente que −µ A(x, t) · dl = Q(t), (4.2.32g) Γ∞ 51
  • 53. que mostra que apesar dos campos f´ ısicos serem de curto alcance, o 4–potencial vetor ´ de elongo alcance. A solu¸˜o assint´tica dos 4–potenciais vetores que satisfazem a (4.2.32g) ´: ca o e Q(t) x A(x, t) −→ − 2µ arctan . (4.2.32h) |x|→∞ 8π y ˆ O potencial vetor A(x, t) ´ localmente um campo de gauge puro. Ele possui o mesmo ecomportamento do efeito Aharanov–Bohm[14] . 52
  • 54. 5. Figuras. x(t) 2 1 3 t0 tf t Figura 1.1Figura 1.1: A curva 1 representa a trajet´ria cl´ssica, enquanto que as curvas 2 e 3 repre- o asentam curvas que diferem da trajet´ria cl´ssica por pequenas deforma¸˜es. o a coFigura 3.1: Os vetores i e j s˜o os vetores unit´rios dos eixos coordenados(x, y), e, i’ e j’ s˜o a a aos vetores unit´rios dos eixos coordenados(x , y ). O vetor V ´ o mesmo nos dois conjuntos a ede eixos coordenados, enquanto que as suas componentes dependem dos eixos coordenadosque utilizamos para obtˆ–las. e 53
  • 55. y S y’ S’ V x’ x Figura 3.2Figura 3.2: O referencial inercial S’ se desloca com velocidade V= V i em rela¸˜o ao refer- caencial S.Agradecimentos: Desejo agradcer a M.C. Batoni Abdalla e E. Abdalla por discuss˜es sobre invariˆncia o ade gauge na Eletrodinˆmica Cl´ssica, a J.S. S´ Martins pela leitura do texto, corre¸˜es e a a a cosugest˜es, e, a A. T. Costa Jr. pela ajuda na coloca¸˜o das figuras no texto. Tenho um o caagradecimento especial ao International Center for Theoretical Physics, Trieste, It´lia, onde aparte deste texto foi pensado e escrito. 54
  • 56. Apˆndice A: Revis˜o de An´lise Vetorial e Teoremas de Gauss e Stokes e a aA.1) Revis˜o de An´lise Vetorial[15] : a a Seja v(x) um vetor com componentes escritas em coordenadas cartesianas: ı  ˆ v(x) = vx (x)ˆ + vy (x)ˆ + vz (x)k; (A.1)ı ˆ ˆ aˆ,  e k s˜o vetores unit´rios nas dire¸˜es x, y e z respectivamente. a co O operador gradiente escrito em coordenadas cartesianas ´: e ∂ ∂ ˆ ∂ =ˆ ı + ˆ +k . (A.2) ∂x ∂y ∂zi. Divergˆncia de um vetor em coordenadas cartesianas: e ∂vx (x) ∂vy (x) ∂vz (x) · v(x) = + + . (A.3) ∂x ∂y ∂zii. Rotacional de um vetor em coordenadas cartesianas: ∂vz (y) ∂vy (x) ∂vx (x) ∂vz (x) ˆ ∂vy (x) ∂vx (x) × v(x) = ˆ ı − + ˆ − +k − ) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = εijk ∂j v k , i, j, k = 1, 2, 3, (A.4) ıcita e a nota¸˜o: v 1 = vx , v 2 = vy e v 3 = vz .onde estamos usando a regra da soma impl´ ca εklm ´ o tensor de Levi–Civita, e ´ definido como: e e ε123 = ε231 = ε312 = 1, ε213 = ε132 = ε321 = −1, εklm = 0 se dois ou mais ´ndices f orem iguais. ı 55
  • 57. iii. Propriedades gerais da divergˆncia e rotacional: e ·( × v(x)) = 0, (A.5) × ( g(x)) = 0, (A.6) 2 ×( × v(x)) = ( · v(x)) − v(x), (A.7)onde g(x) ´ uma fun¸˜o n˜o–singular e e ca a 2 ∂2 ∂2 ∂2 = + 2+ 2 (A.8) ∂x2 ∂y ∂zA.2) Teorema de Gauss[16] . Seja f (x) um vetor definido em todos os pontos dentro de um volume V e na ´rea fechada aS que delimita este volume. O Teorema de Gauss nos d´ que: a d3 x · f (x) = f (x) · nds, ˆ (A.9) V Sonde ds ´ uma ´rea infinitesimal sobre a superf´ S e n ´ um vetor unit´rio perpendicular e a ıcie ˆ e aem cada ponto ` superf´ S. O vetor n aponta para fora do volume delimitado. a ıcie ˆA.3) Teorema de Stokes[17] . Seja Γ uma linha fechada e S qualquer superf´ delimitada pela linha Γ. Seja f (x) um ıcievetor definido em todos os pontos da superf´ S inclusive ao longo da linha Γ. Pelo Teorema ıciede Stokes temos que: ds n · ( ˆ × f (x)) = f (x) · dl, (A.10) S Γonde dl ´ um vetor infinitesimal tangencial a linha Γ e n ´ o vetor unit´rio perpendicular em e ˆe acada ponto ` superf´ S. O sentido dos vetores n e dl ´ dado pela regra da m˜o direita. a ıcie ˆ e a 56
  • 58. e ıpio de Hamilton para Campos Cl´ssicos[18] .Apˆndice B: Princ´ a Ao discutirmos os campos eletromagn´ticos na se¸˜o 2, vimos que, no caso em que estamos e cadescrevendo um campo, a posi¸˜o x ´ um parˆmetro para indexar os pontos do espa¸o da ca e a cmesma forma que o tempo t o ´ para representar a que instante vocˆ se refere. Portanto, ao e econtr´rio do que temos no caso de part´ a ıculas, as coordenadas x n˜o s˜o vari´veis dinˆmicas a a a ado problema, mas sim parˆmetros para indicar em que ponto do espa¸o vocˆ est´ medindo o a c e aseu campo, este sim a sua vari´vel dinˆmica. a a Apenas como simplifica¸˜o, vamos supor que temos um unico campo que denominaremos ca ´por: Φ(x, t). Φ(x, t) representa a configura¸˜o do campo em todos os pontos x do espa¸o no ca cinstante t. Como no caso de part´ ıculas, queremos associar a cada configura¸˜o Φ(x, t) um n´mero ca uque chamamos de a¸˜o. Na defini¸˜o da a¸˜o no caso de campos, precisamos integrar no ca ca caintervalo de tempo fixado e em todos os pontos do espa¸o, uma vez que os campos ctamb´m possuem uma dependˆncia espacial: e e tf S[Φ; t0 , tf ] = dt d3 x L(Φ(x, t), ∂µ Φ(x, t); x, t), (B.1) t0 V∞onde L ´ a densidade de lagrangeana associada aos campos. Como os campos dependem das ecoordenadas espaciais, em geral L depende n˜o apenas das derivadas do campo em rela¸˜o a caao tempo, mas tamb´m de suas derivadas espaciais, todas elas representadas pela derivada ecovariante ∂µ Φ(x, t), µ = 0, 1, 2, 3. Como no caso de part´ ıculas, a a¸˜o tamb´m tem a mesma ca edimens˜o que o momento angular. a Para obter a equa¸˜o de movimento para os campos Φ(x, t), vamos proceder de forma caan´loga ao que fizemos na se¸˜o 1 para derivar a equa¸˜o de Lagrange para part´ a ca ca ıculas. Desejamos obter a equa¸˜o satisfeita pelo campo cl´ssico que parte da configura¸˜o inicial ca a caΦ(x, t0 ), e, que em t = tf tem a configura¸˜o Φ(x, tf ), sendo que ambas s˜o, por hip´tese, ca a oconhecidas. Chamemos φ(x, t) o campo cl´ssico para o qual a a¸˜o ´ m´ a ca e ınima. O campo φ(x, t) satisfazas condi¸oes de contˆrno: c˜ o 57
  • 59. φ(x, t0 ) = Φ(x, t0 ) (B.2a)e φ(x, tf ) = Φ(x, tf ). (B.2b) As configura¸˜es que coincidem com Φ(x, t0 ) e Φ(x, tf ) em t = t0 e t = tf respectivamente comas que tenham pequenas modifica¸˜es em rela¸˜o a φ(x, t), podem ser escritas como, co ca Φ(x, t; α) = φ(x, t) + αη(x, t), (B.3)onde η(x, t) ´ uma fun¸˜o infinitesimal qualquer da posi¸˜o e que varia de instante para e ca cainstante. A fun¸˜o η(x, t) satisfaz as condi¸˜es de contˆrno: ca co o η(x, t0 ) = η(x, tf ) = 0. (B.4)α ´ uma constante arbitr´ria. e a O Princ´ ıpio de Hamilton (se¸˜o 1) aplicado a trajet´rias que diferem pouco da trajet´ria ca o ocl´ssica implica em que a δS[Φ] ≡ S[φ(x, t) + αη(x, t)] − S[φ(x, t)] = 0. (B.5) Como na discuss˜o do Princ´ a ıpio de Hamilton para part´ ıculas (se¸˜o 1) definimos ca tf G(α) = dt d3 x L(φ + αη, ∂µ φ + α∂µ η; x, t; α), (B.6) t0 V∞que ´ uma fun¸˜o de α. Como φ(x, t) minimiza a a¸˜o, isto corresponde a dizer que G(α) tem e ca caum m´ ınimo em α = 0. A condi¸˜o de Hamilton (B.5) corresponde a esta condi¸˜o de m´ ca ca ınimode G(α) em α = 0: ∂G(α) ∂S[Φ; α] =0 ⇒ = 0. (B.7) ∂α α=0 ∂α α=0 A diferen¸a est´ em que, agora, a densidade de lagrangeana L depende n˜o apenas do c a acampo e de sua derivada temporal, mas tamb´m das suas derivadas espaciais. A imple- ementa¸˜o da eq. (B.7) ´: ca e 58
  • 60. ∂Φ∂S[Φ; α] tf 3 ∂L ∂Φ ∂L ∂ ∂Φ ∂x ∂L ∂ ∂y = dt d x + + + ∂α t0 V∞ ∂Φ ∂α ∂ ∂Φ ∂x ∂α ∂ ∂Φ ∂y ∂α ∂Φ ∂Φ ∂L ∂ ∂z ∂L ∂ ∂t + ∂Φ + ∂Φ = 0. (B.8) ∂ ∂z ∂α ∂ ∂t ∂α Como estamos considerando campos Φ(x, t) que s˜o representados pela eq. (B.3), ent˜o a asubstituindo–a na eq. (B.8), temos tf ∂L ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) dt d3 x η(x, t) + ∂Φ + + t0 V∞ ∂Φ ∂ ∂x ∂x ∂ ∂Φ ∂y ∂y ∂L ∂η(x, t) ∂L ∂η(x, t) + ∂Φ + = 0. (B.9) ∂ ∂z ∂z ∂ ∂Φ ∂t ∂t N˜o podemos fazer nenhuma afirma¸˜o geral sobre o integrando da eq. (B.9) uma vez a caque as fun¸˜es η(x, t) e ∂µ η(x, t) n˜o s˜o fun¸˜es independentes. Vamos reescrever os termos co a a codo lado esquerdo (l.e.) da eq. (B.9) e coloc´–la de forma mais conveniente. a Vamos tratar apenas de um dos termos que envolve derivadas em rela¸˜o as coordenadas caespaciais. Os outros dois termos que envolvem derivadas espaciais s˜o tratados de forma asimilar. Consideremos o termo: tf tf L L ∂L ∂η(x, t) 3 ∂L ∂η(x, t) dt d x ∂Φ = dt dydz dx , (B.10) t0 V∞ ∂ ∂x ∂x t0 −L −L ∂ ∂Φ ∂x ∂xonde x, y, z = ±L correspondem aos pontos na superf´ que delimita o volume. No limite ıciede V∞ temos que L → ∞. Para realizar a integra¸˜o por partes a integral em x do l.d. da eq. (B.10), escolhemos ca ∂L ∂η u= ∂Φ e dv = dx (B.11a) ∂ ∂x ∂xde maneira que a integral passa a ser: L x=L L ∂L ∂η ∂L ∂ ∂L dx ∂Φ = η(x, t) − dx η(x, t), (B.11b) −L ∂ ∂x ∂x ∂ ∂Φ ∂x x=−L −L ∂x ∂ ∂Φ ∂x 59
  • 61. ∂ ∂Londe, ao calcularmos a derivada parcial ∂x ∂ ∂Φ , estamos tomando y, z e t constantes. ∂x Os termos η(±L, y, z; t) correspondem a valores da fun¸˜o η(x, t) na superf´ que de- ca ıcielimita o volume V dentro do qual os campos evoluem. Assumiremos a hip´tese de sistema ofechado, que corresponde a supor que nenhum campo atravessa a superf´ que delimita o ıcievolume V em que ocorre o fenˆmeno. Por essa hip´tese temos ent˜o que o o a η(±L, y, z; t) = 0, (B.12)pois o campo cl´ssico e suas pequenas deforma¸˜es s˜o nulas na superf´ que delimita o a co a ıcievolume V . Incluindo a hip´tese de sistema fechado, a rela¸˜o (B.11) passa a ser o ca L L ∂L ∂η ∂ ∂L dx ∂Φ =− dx η(x, t). (B.13) −L ∂ ∂x ∂x −L ∂x ∂ ∂Φ ∂x Fazendo agora a integra¸˜o por partes do termo com a derivada do campo em rela¸˜o ao ca catempo, onde escolhemos as vari´veis u e v de forma similar a eq. (B.11a) obtemos que a tf t=tf tf ∂L ∂η ∂L ∂ ∂L dt ∂Φ = η(x, t) − dt η(x, t). (B.14a) t0 ∂ ∂t ∂t ∂ ∂Φ ∂t t=t0 t0 ∂t ∂ ∂Φ ∂t A fun¸ao η(x, t) no l.d. da eq. (B.14a) est´ definida nos instantes t = t0 e t = tf . Como a c˜ afun¸˜o η(x, t) satisfaz a condi¸˜o (B.4), ent˜o a express˜o (B.14a) pode ser finalmente escrita ca ca a acomo: tf tf ∂L η ∂ ∂L dt ∂Φ =− dt η(x, t). (B.14b) t0 ∂ ∂t ∂t t0 ∂t ∂ ∂Φ ∂t Substituindo os resultados (B.13) e (B.14b) na eq. (B.9), obtemos que tf ∂L ∂ ∂L ∂ ∂L dt d3 x − − − t0 V∞ ∂Φ ∂x ∂ ∂Φ ∂x ∂y ∂ ∂Φ ∂y ∂ ∂L ∂ ∂L − − η(x, t) = 0. (B.15) ∂z ∂ ∂Φ ∂z ∂t ∂ ∂Φ ∂t 60
  • 62. A unica forma da eq. (B.15) ser verdadeira para qualquer fun¸˜o infinitesimal η(x, t) ´ ´ ca eque o integrando seja identicamente nulo. Escrevendo o integrando na sua forma covariantetemos ent˜o a equa¸˜o de Euler–Lagrange para campos cl´ssicos: a ca a ∂L ∂L − ∂µ = 0. (B.16) ∂Φ ∂(∂µ Φ) 61
  • 63. ˆ REFERENCIAS a 1. H. Moys´s Nussenzveig; Curso de F´ e ısica B´sica, 1–Mecˆnica, 2. edi¸˜o, Edgard Bl¨cher a a ca u Ltda (1992), cap. 4. 2. Jerry B. Marrion; Classical Dynamics of Particles and System, 3rd edition, Academic Press (1988), cap.6. 3. Herbert Goldstein; Classical Mechanics, 2nd edition, Addison–Wesley (1980), cap. 7. 4. Dentre as poss´ ıveis referˆncias para uma introdu¸˜o a Mecˆnica Quˆntica, sugerimos: e ca a a A.P. French; An Introduction to Quantum Physics, W.W. Norton & Co (1978). 5. Edward Purcell; Electricity and Magnetism, Berkeley Physics Course–vol. 2, cap. 7 e Apˆndice, Mcgraw–Hill Co (1965). e 6. A.P.French; Special Relativity, Thomas Nelson and Sons Ltd. (1968), cap.3. nd 7. John D. Jackson; Classical Electrodynamics, 2. edition, John Wiley & Sons(1975), se¸˜o ca 11.3. 8. Referˆncia 7, se¸˜o 11.9. e ca 9. Referˆncia 7, se¸˜o 12.8, e ca Referˆncia 3, p´g. 366. e a10. Referˆncia 5, cap. 7. e11. J. Schonfeld; A Mass Term for Three–Dimensional Gauge Fields, Nucl. Phys. B185 (1981) 157.12. S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton; Topological Massive Gauge Theories, Ann. of Phys. 140 (1982) 372.13. Referˆncia 7, se¸˜es 1.7 e 1.10; e co Referˆncia 2, se¸˜o 3.10. e ca14. Y. Aharanov, D. Bohm; Significance of Electromagnetic Potencials in the Quantum Theory, Phys. Rev. 115 (1959) 485; R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands; The Feynman Lectures on Physics, vol. II, Addison–Wesley Publ. Co. (1972), cap. 15.15. Referˆncia 5, cap. 2. e16. Referˆncia 5, se¸˜es 1.9 e 1.10. e co17. Referˆncia 5, se¸˜es 2.15 e 2.16. e co18. Referˆncia 3, cap. 11. e 62

×