Mecânica Clássica X Mecânica Quântica

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Física Quântica se propõe a descrever a natureza para distâncias a ordem de 10^(-8) cm (o átomo). Os fenômenos da natureza parecem ser tão distintos em diferentes escalas de tamanho. Para entender essas diferenças comparamos a cinemática e a dinâmica da Mecânica Clássica e de Mecânica Quântica.

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Mecânica Clássica X Mecânica Quântica

  1. 1. Mecânica Clássica X Mecânica Quântica Maria Teresa Thomaz (IF/UFF) mariateresa.thomaz@gmail.com Apresentação1. Mecânica Clássica X Mecânica Quântica2. Dinâmicas: clássica X quântica3. Equação de Schrödinger e suas consequências 3.1. Autoestados de energia 3.2. Tunelamento 1 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  2. 2. 1. Mecânica Clássica X Mecânica Clássica . Mecânica ClássicaO que significa na Mecânica Clássica descrever o estado deum objeto?Dada a posição inicial : r(0) e a velocidade inicial: v(0),somos capazes de saber qual é a posição do objeto emqualquer outro instante t : r(t). O que significa velocidade? 2 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  3. 3. Relembrando o significado geométrico: limite e derivada. . Limite :O limite de uma função f(x) é o valor para o qual ela seaproxima à medida que a variável x se aproxima de um valorestipulado, sem jamais ser igual a ele . { Ex. 1. f(x) = 2x2 lim x 2 f (x )  8 3 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  4. 4. Ex. 2. g(x) = { 2x 2 , x  2 10, x  2 lim x 2 g (x )  8 4 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  5. 5. Relembrando algumas relações do triângulo retângulo :C a catetos: b, cc hipotenusa : a θ a 2 b 2 c 2 A B b b sen ( )  c cos( )  a a sen ( ) c tg ( )  tg ( )  cos( ) b 5 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  6. 6. . Derivada : Consideramos um exemplo particular para entender o significado geométrico da derivada de uma função f(x) em relação a ponto pré-definido x. Continuamos com : f(x) = 2x2 . A derivada de f(x) no ponto x=2 é definida como: df (x ) f (x )  f (2 ) | x  2  lim dx x 2 x 2 f (3)  f (2 ) tg (1 )  32 f (x )  f (2 ) x f(x) x 2 3 18 10  10 1 2,1 8.82 0.82  8.2 0.12.000001 8.000008 0.000008  8.000002 0.00001Coeficiente angular da reta f (x )  f (2 ) df (x ) tg ( )   | 6tangente a curva f(x) em x=2 : x 2 x 2 dx x 2 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  7. 7. Outra maneira de escrever a derivada de uma função f(x)no ponto x=2: df (x ) f (x )  f (2 ) f (2  x )  f (2 ) dx | x  2  lim x 2  x lim x 2 x . x 2 x  0 Para f(x) = 2x2 : df (x ) 2  (2  x )2  2  2 2 2  [ 4  4x  ( x )2 ]  2  4 |   dx x  2 x  0 x x 8  x 2  ( x )2 df (x )    8  2  x  8  | x 2 x  0 x x x  0 x  0 dx A derivada de uma função g(x) calculada num ponto x: dg (x ) g(x  x )  g(x )  lim . dx x  0 x  tg () , coeficiente angular da 7 reta tangente . Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  8. 8. Algumas propriedades das derivadas: d (a ) 1.  0, dx d (a  f (x )) df (x ) 2. a  , dx dx d ( f (x )  g(x )) df (x ) dg (x ) 3.   , dx dx dxsendo que a é qualquer valor constante e f(x) e g(x) sãoquaisquer funções .Exercício: utilize a definição de derivada de uma funçãog(x) para mostrar as propriedades acima. 8 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  9. 9. Para simplificar a apresentação, vamos discutir o movimento em 1 dimensão, por ex. ao longo da direção x. A relação entre o momento linear p(t) de uma partícula de massa m e a sua velocidade v(t) é: p(t) = m . v(t) .A velocidade v(t) é uma medida de quanto a posição doobjeto durante um intervalo muito curto de tempo ∆t.Para um intervalo de tempo ∆t → 0, p (t ) x ( t  t )  x ( t ) v (t )   . m t  0 tVeja como é importante o conceito de limite no estudo domovimento. 9 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  10. 10. Em resumo:O movimento de qualquer objeto está completamentedeterminado se damos sua trajetória : r(t) e v(t) emcada instante t. Note que r(t) e v(t) são funções dotempo t . . Cinemática da Mecânica Clássica : r(t) e v(t) trajetória 10 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  11. 11. . Mecânica QuânticaVamos tratar sistemas quânticos em 1-dimensão, por exemploao longo da direção x . Princípio da Incerteza de Heisenberg :  x .p  2 ∆ x : incerteza na posição da partícula ∆ p : incerteza no momento linear da partícula OBS: h : constante de Planck, mas energia: [mv2] → J h   1, 05 x 10 34 J .s momento: [mvr] → J. s 2 angular 11 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  12. 12. Consequência do Princípio da Incerteza de Heisenberg: para ∆t → 0 temos p (t ) x (t  t )  x (t )  . m t  0 t e pelo princípio da incerteza de Heisenberg,  x ( t  t )  x ( t )p  p ~ . 2.x ∆x→0 t ħ = 1,05 x 10-34 Js Conclusão: não podemos conhecer simultaneamente a posição x(t) e o momento linear p(t) de qualquer objeto quântico objetos quânticos não seguem trajetórias. Precisamos de uma nova cinemática para os sistemas quânticos. 12 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  13. 13. Relembrando o valor da cte de Planck: ħ = 1,05 x 10-34 Js O valor de ħ nos informa quando a natureza quântica é importante.Ex. : chute em uma bola de futebol(momento angular de um sistema macroscópico (dia-a-dia)) O momento angular da bola em relação ao ponto O (o pé do goleiro):      L  r  p  r m v  os vetores r e p formam um ângulo de 90º, L  r .mv m = 0,5kg, v = 20 m/s (~80km/h) e r = 2m L  0.5  20  2 Js  1.09  10 33  ! ! ! dia-a-dia: L >>> ħ.Qdo olhamos a areia da praia ela parece contínua, masquando cai um grãozinho no olho da gente ... Onde está ogrãozinho do mundo quântico? 13 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  14. 14. O princípio da Incerteza de Heisenberg tem alguma influência no movimento de um lápis apoiado sobre a sua ponta fina ?  x .p  2 O princípio da incerteza de Heisenberg aplicado ao centro de massa (CM) do lápis: m lápis = 5g ∆xCM = 0,1mm  Para simplificar as contas: p ~ x O lápis roda em torno da sua ponta qdo a linha vertical que passa pelo CM não passa por nenhuma parte deste ponto de apoio :  p ~ ~ mv ∆v ~2 x 10-26 cm/s = vCM x xDistância percorrida pelo CM antes de tombar: x ~  v CM t CM 2 tCM ~10+25s ; tUniver ~1.5x 10+17s tCM ~108x tUniv !! 14 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  15. 15. 2. Dinâmicas: clássica X quânticaO que a Física deseja em cada fenômeno ?Conhecido o estado inicial do objeto sob estudo, sercapaz de determinar o seu estado após ter decorrido umintervalo de tempo qualquer t. Vamos estudar a evolução no tempo (dinâmica) de sistemas conservativos (a energia total se conserva). Em sistemas conservativos não temos forças tipo força de atrito em que temos perda de energia do sistema. Sobre esses sistemas estudados agem apenas as forças conservativas. Exemplo de forças conservativas : força da gravidade força elástica/mola 15 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  16. 16. . Dinâmica Clássicai) condições iniciais : x(0) e v(0)ii) 2ª lei de Newton : m d 2x dt 2  F (t )  ma (t ) } } x(t), v(t) Ex. 1. Força de Hooke (força elástica da mola) F (x) = - kx x (t) = A sen (ωt + φ0) , onde x(0) = A sen (φ0) , v(0) = ωA cos(φ0) e k   m 16 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  17. 17. Ex. 2. Força da gravidade  F  mgz ˆ sendo g a aceleração da gravidade . A 2ª lei de Newton, para a força da gravi- dade, nos dá para qualquer instante posterior t : 1 z (t )   gt 2  v 0t  z ( 0 ) 2onde v0 é a velocidade com que o objeto passa na posição z(0).Resumo : conhecida a força F(t) que age sobre o objeto ea sua posição inicial x(0) e a sua velocidade inicial v(0),a 2ª lei de Newton nos determina exatamente a suaposição e velocidade em qualquer outro instante t a dinâmica clássica é determinista. 17 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  18. 18. . Dinâmica Quântica i) x(t) e p(t) não são as quantidades para descrever um sistema quântico : princípio da incerteza de Heisenberg. ii) a lei de conservação de energia continua válida no mundo quântico. A lei de conservação da energia total para uma partícula de massa m que possui momento linear p sob a ação de uma força conservativa é: p2 E   V (x ), 2mlembrando que p2/2m é a energia cinética (movimento) eV(x) é a energia potencial (que pode se transformar emmovimento). Qual a relação entre força conservativa e V(x)? [ V (x  x )  V (x )] dV (x ) F (x )     . x  0 x dx 18 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  19. 19. Exemplos de forças conservativas/energias potenciais : Ex. 1. Força de gravidade: dV (z ) F (z )   dz F(z) = -mg Ex. 2. Força da mola/elástica 1 V (x )  kx 2 2 dV (x ) F (x )   dx F(x) = - kx. 19 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  20. 20. Cinemática da Mecânica Quântica:Postulamos que as grandezas cinemáticas posição, momentoe energia deixam de ser funções para serem operadores :   = x , =- i e = i x t A lei de conservação de energia clássica, p2 E   V (x ), 2m passa a ser no nível quântico escrita em termos dos operadores anteriores:  2  2 (x , t )  (x , t )   V (x ) (x , t )  i 2m x 2 t Equação de Schrödinger 20 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  21. 21. A equação de Schrödinger:  2  2  (x , t )  (x , t )   V (x ) (x , t )  i 2m x 2 té uma equação de ondas .Ψ(x,t) : função de onda. Toda a informação que podemos tersobre a partícula. As funções de onda não são quantidades que podemos medir experimentalmente. Em geral são funções complexas. Como relacionar o que calculamos na Mecânica Quântica, ψ(x,t), e o que medimos nos laboratórios? A Mecânica Quântica descreve um sistema probabilístico: |ψ(x,t)|2 : probabilidade da partícula ser encontrada na posição x no instante t. 21 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  22. 22. O que é uma probabilidade ? Da Estatística temos:Suponhamos que fazemos uma medida de uma certa quan -tidade cujo o resultado nem sempre é o mesmo . Para fixarmos um exemplo podemos pensar num dado que jogamos sobre uma mesa. O lado do dado que fica para cima pode ser: {1,2,...,6} . Temos 6 saídas possíveis em cada jogada . Seja um conjunto cujos resultados tem várias saídas possíveis: { A, B, C,...} . P(A) : probabilidade de sair o resultado A dentre todas as saídas possíveis. Para um número MUITO GRANDE de tentativas : n º com resultado A P( A)  n º total tentativas 22 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  23. 23. O que caracteriza uma equação de onda ? O princípio da superposição . O que é esse princípio? Suponhamos que ψ1(x,t) é solução da eq. de Schrödinger :  2  1 (x , t ) 1 (x , t ) 2   V (x )1 (x , t )  i 2m x 2 t e ψ2(x,t) também é solução desta equação :  2   2 (x , t )  2 (x , t ) 2   V (x ) 2 (x , t )  i 2m x 2 t ψ(x,t) = a1 ψ1(x,t) + a2 ψ2(x,t) também é solução da equação de Schrödinger.Em que tipo de fenômeno temos o princípio de superposição? 23 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  24. 24. Qual a diferença entre Mecânica Clássica e Mecânica Quântica? Mecânica Clássica : jogamos pedras através de dois buracos. P12  P1  P2 P1: probabilidade da pedra passar pelo buraco 1 com o buraco 2 fechado. P2: probabilidade da pedra passar pelo buraco 2 com o buraco 1 fechado. P12: probabilidade da pedra passar pelo buraco 1 ou pelo buraco 2. Os 2 buracos estão abertos . 24 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  25. 25. Mecânica Quântica: : um feixe de elétrons incidindo sobre uma parede com dois furos.A função de onda para pontos após passar pelo anteparo éa soma coerente de funções de onda que atravessam os furos1 e 2:  (x , t )  a 11 (x , t )  a 22 (x , t ) A probabilidade de encontrar um elétron na posição x e no instante t é: |  (x , t ) |2 | a 1 |2 | 1 (x , t ) |2  | a 2 |2 | 2 (x , t ) |2  2 Re[a 1 a 21 (x , t ) 2 (x , t )] * * termo de 25 interferência Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  26. 26. Temos algum efeito análogo a este na Física ? Eletromagnetismo : interferência de feixes de luz coerente. .       E P (x , t )  E 1 (x , t )  E 2 (x , t )   E 1 (x , t ) : campo elétrico em P devido ao furo 1.   E 2 (x , t ) : campo elétrico em P devido ao furo 2. O que medimos ? A intensidade da luz em cada ponto P:        IP (x , t ) ~| E P (x , t ) | | E 1 (x , t )  E 2 (x , t ) |2 2      IP (x , t ) ~| E 1 (x , t ) |  | E 2 (x , t ) |2 2     2 | E 1 (x , t ) || E 2 (x , t ) | cos( ) 26 termo deP Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt... interferência
  27. 27. Qual a consequência do termo de interferência na intensidadeda luz que vemos sobre uma superfície?Relembrando:      IP (x , t ) ~| E 1 (x , t ) |2  | E 2 (x , t ) |2     2 | E 1 (x , t ) || E 2 (x , t ) | cos( ) termo de interferência 27 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  28. 28. 3. Equação de Schrödinger e suas consequências Relembrando a eq. de Schrödinger :  2  2 (x , t )  (x , t )   V (x ) (x , t )  i 2m x 2 t Como tiramos informações desta equação ? 3.1. Autoestados de energia Funções de onda com energia total definida : iEt   (x , t )   (x ) e i  (x , t )  E  (x , t ) t  A eq. de Schrödinger para estados com energia definida :  2  2 (x , t )   V (x ) (x , t )  E  (x , t ) . 2m x 2 28 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  29. 29. A eq. de Schrödinger para estados com energia definida :  2  2 (x , t )   V (x ) (x , t )  E  (x , t ) 2m x 2Para cada sistema quântico calculamos os valores possíveisda energia E . Para estados ligados do sistema os valorespossíveis de energia E são discretos : 1ª Quantização . Vejamos alguns sistemas quânticos simples (mola, átomo de hidrogênio) e seus respectivos espectros de energia. 29 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  30. 30. Exemplos de sistemas quânticos com estados ligados : 1. Oscilador harmônico (mola/elástico) Clássico Quântico 1 E n  (n  )  , n= 0, 1, 2, ... 2 p2 1 k E   kx 2   2m 2 m p   2m (E  V (x )) Energia de ponto zero:  principio dax< -A e x>A : região clássica E0  proibida 2 incerteza de 30 Heisenberg Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  31. 31. Temos regiões proibidas em sistemas quânticos ? x 2 ( )Na região classicamente proibida :  (x ) ~ ...  e a 31 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  32. 32. 2. Átomo de hidrogênio Energia potencial sentida pelo elétron pela presença do próton.: 2 e V (r )   r |e| : módulo da carga elétrica do elétron. r : distância do elétron ao próton . Átomo de hidrogênio clássicoSuponha que o elétron possua momento angular l, ele vaisentir a energia potencial efetiva : e2 l2 Vef (r )    r 2mr 2 Estado ligado: rm  r  rM E m  E  0 , a energia varia continuamente . 32 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  33. 33. . Átomo de hidrogênio quântico e2 V (r )   . r Para estados ligados, E<0, os níveis de energia permitidos : 13.6eV En   , n  1, 2, 3, ... n 2 Estado fundamental : E0 = -13.6 eV (1eV = 1.6 x 10-19 J)A comparação das escalas da energia atômica e das energiasenvolvidas no que ocorre no nosso dia-a-dia : m = 1g, v= 2m/s 1 E c  mv 2  2  10 7 J 2 Logo : | E0 | 1.6x 10  19 J Ec  ~ 10  12 | E 0 |~ . 33 Ec 2x 10 J 7 1.000.000.000.000 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  34. 34. Os orbitais do átomo de hidrogênio nos dão a densidade de probabilidade de localizar o elétron dentro do átomo de hidrogênio : | nlm (r , ,  ) |2 . 34Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  35. 35. Mostramos que as energias atômicas são da ordem de um trilhonésimo das energias do nosso dia-a-dia.Será que temos como verificar experimentalmente se a MecânicaQuântica descreve o mundo dentro do átomo? A MecânicaClássica ou a Mecânica Quântica descreve corretamente o átomode hidrogênio ?Espectros do átomo de hidrogênio obtidos experimentalmente: As frequências emitidas e absorvidas pelo hidrogênioPela Física Clássica a frequência de emissão/radiação do átomo de hidrogênio deveriavariar continuamente : ERRADA !!! 35 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  36. 36. Como calcular a partir da Mecânica Quântica a frequênciada luz absorvida/emitida por átomos de hidrogênio ? Energia do fóton/luz : E   ,   2 . f , f é a frequência da luz. Conservação da energia do sistema “átomo + fóton” : E iel  E f  E  elníveis eletrônicos do hidrogênio 13 .6 eV 13 .6 eV     n i 2 n 2 f Finalmente : 13 .6 eV 1 1  (  2) .  n f2 n i O espectro de emissão/absorção de cada elemento é a sua “impressão digital”. 36 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  37. 37. 3.2. Tunelamento barreira de potencial : E>0 .i) partícula clássica : p2 Conservação de energia total : E   V (x ) 2m p 2  E  V (x )  0 2m Movimento clássico OU x  a x a 37 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  38. 38. ii) partícula quântica : Conservação de energia do sistema quântico:  2  2 (x , t )   V (x ) (x , t )  E  (x , t ) 2m x 2O movimento de uma partícula quântica sob a ação de umaenergia potencial tipo barreira : efeito de tunelamento 38 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  39. 39. É possível medir experimentalmente o “efeito detunelamento” ?Emissão de partícula α (núcleo do átomo de Hélio 4H2)por núcleos atômicos: 39 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  40. 40. Temos em alguma outra área da Física um fenômeno análogo ao tunelamento na Mecânica Quântica? No Eletromagnetismo: ondas evanescentes . Temos reflexão total quando ninc > nrefrpara ângulos de incidência θmaiores que o ângulo crítico θcr , n refr θ> θcr , sendo sen (cr )  . n inc ondas evanescente : aparecem quando tratamos a luz como uma onda eletromagnética . 40 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  41. 41. AgradecimentoProf. Dr. Paulo Acioly M. dos Santos 41Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...
  42. 42. Obrigada pela sua atenção !!!Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt... 42
  43. 43. As transparências deste seminário estão no blog:http://mttdivulgacao.blogspot.comna secção“Atividades já realizadas junto a professores” 43 Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...

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