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Tesis maestria radiacionderegioneshii
 

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Tesis para obtener el grado de Magister en ciencia Mención Física Milton Rojas

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    Tesis maestria radiacionderegioneshii Tesis maestria radiacionderegioneshii Document Transcript

    • UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE FÍSICAPROCESOS RADIATIVOS EN REGIONES HII MILTON ROJAS GAMARRA SANTIAGO – CHILE 2001
    • PROCESOS RADIATIVOS EN REGIONES HII MILTON ROJAS GAMARRA Trabajo de graduación presentado a la Facultad de Ciencia de la Universidad de Santiago de Chile,en cumplimiento parcial de los requisitos exigidos para optar el grado de: Magister en Ciencia con mención en Física. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE SANTIAGO – CHILE 2001
    • PROCESOS RADIATIVOS EN REGIONES HII MILTON ROJAS GAMARRAEste trabajo de graduación fue elaborado bajo la supervisión de los profesores guía:PhD. ALEJANDRO CLOCCHIATTI* y Dr. NORMAN CRUZ MARIN**.y a sido aprobado por los miembros de la comisión calificadora, del candidato. *PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE. **UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE. ----------------------------------- Comisión Calificadora PhD. Dante Minitri Del Barco. ----------------------------------- Comisión Calificadora Dr. Lautaro Vergara Cofre Universidad de Santiago de Chile --------------------------------------------- ------------------------------------- Director del Departamento de Física Profesor Guía PhD. Francisco Melo Hurtado. PhD. Alejandro Clocchiatti Garcia. Universidad de Santiago de Chile --------------------------------------------- ----------------------------------- Gefe del Programa de Post-Grado Profesor Guía del Departamento de Física Dr. Norman Cruz Marin. PhD. Jorge Gamboa Rios. Departamento de Física Universidad de Santiago de Chile Universidad de Santiago de Chile ii
    • AGRADECIMIENTOS- A Mis Padres: Vidal Rojas Cusihuaman y Luz Marina Gamarra Valenza.- A mis hermanos Carlos, Henry y Gabriela.- A mi familia.- A mi profesor Emilio Huaman Huillaca.- A mi profesor Alejandro Clocchiatti.- A la familia Ayala Chacmani.- A la familia Osorio Valenzuela.- A mis waikis.- A la memoria de mi amigo Wualberto O. iii
    • 1 1CONTENIDOCARÁTULA ------------------------------------------------------------------------ iAGRADECIMINENTOS --------------------------------------------------------- iiiLISTA DE FIGURAS Y TABLAS ---------------------------------------------- 3RESUMEN -------------------------------------------------------------------------- 6I- INTRODUCCION ---------------------------------------------------------- 7II- PROCESOS FÍSICOS BÁSICOS ---------------------------------------18 § II.1- Fundamentos de transferencia radiativa.---------------------------- 18 § II.1.1.-Flujo, Intensidad, Presión, Densidad de energía, y Brillo de la radiación de campo electromagnético.-------- 18 § II.1.2.- Emisión espontánea y Absorción. ------------------------ 30 § II.1.3.- Ecuación de transferencia de energía de radiación de campo electromagnético para emisión espontanea y absorción, y su solución. ---------------- 39 § II.1.4.- Radiación térmica, leyes de Kirchhoff. ------------------ 49 57 § II.2- Equilibrio de fotoionización. ---------------------------------------- § II.2.1- Introducción. --------------------------------------------- 57 § II.2.2- Números cuánticos y diagrama de los niveles en el átomo de H.------------------------------------------------- 59 § II.2.3- Fotoionización y recombinación en el H. -------------- 60 § II.2.4- Equilibrio térmico en nebulosas. -------------------------68 § II.3- Ecuación de Saha y Boltzmann. -----------------------------------71 § II.4- Espectro emitido por nebulosas gaseosas -----------------------74III- POBLACIÓN DE NIVELES ATÓMICOS. ---------------------------- 85 § III.1-Cálculo de los coeficientes de recombinación. ----------------- 85 § III.2-Cálculo de las probabilidades de transición. ------------------- 102 § III.3-Cálculo de las matrices cascada. ---------------------------------123 § III.4-Cálculo de las poblaciones en equilibrio termodinámico. (vía ecuación de Saha-Boltzmann) ------------------------------137
    • 2 § III.5-Cálculo de las poblaciones fuera de equilibrio termodinámico (vía Saha-Boltzmann con ayuda de los coeficientes de apartamiento y vía matrices cascada) -------------------- 139IV- RESULTADOS TEORICOS. -------------------------------------- 144 § IV-Cálculo de los coeficientes de emisión. -------------------- 144V- COMPARACIÓN CON LOS RESULTADOS EXPERIMENTALES ----------------------------------------------- 149V- CONCLUSIONES --------------------------------------------------- 169VI- APÉNDICE ----------------------------------------------------------- 172VIII- BIBLIOGRAFÍA. --------------------------------------------------- 202
    • 3 LISTA DE FIGURAS Y TABLASLISTA DE FIGURAS Pág.1. Fig. 1.1 Galaxia Andrómeda. -------------------------------------------------------- 82. Fig. 1.2 Galaxia espiral M 100. ------------------------------------------------------ 83. Fig. 1.3 Galaxia irregular NGC 56. ------------------------------------------------- 84. Fig. 1.4 Nebulosa NGC 6611. ------------------------------------------------------- 95. Fig. 1.5 Nebulosa de Orión M42. ---------------------------------------------------- 96. Fig. 1.6 Nebulosa Trífida M 20. ----------------------------------------------------- 97. Fig. 1.7 Nebulosa de la Cabeza de Caballo. --------------------------------------- 108. Fig. 1.8 Nebulosa con gigantes brazos de gas. ------------------------------------- 109. Fig. 1.9 Nebulosa planetaria Dumdell (NGC 6853 o M 27). -------------------- 1110. Fig. 1.10 Nebulosa planetaria NGC 6720 (M57). ----------------------------------- 1111. Fig. 1.11 Etapas de la expansión de la SN 1993J. ----------------------------------- 1212. Fig. 1.12 Nebulosa del Cangrejo. ------------------------------------------------------ 1313. Fig. 1.13 Nebulosa Cygnus Loop. ------------------------------------------------------1314. Fig. 2.1.1.1 Ley del inverso del cuadrado para el flujo radiativo.----------------------- 1915. Fig. 2.1.1.2 Brillo de un rayo de luz.-------------------------------------------------------- 2016. Fig. 2.1.1.3 21 Brillo de la fuente. --------------------------------------------------------------17. Fig. 2.1.1.4 Proyección del Flujo en la dirección normal al área. ---------------------------- 2218. Fig. 2.1.1.5 Flujo Neto a través de una sección. ------------------------------------------ 2219. Fig. 2.1.1.6 Presión de radiación. ---------------------------------------------------------- 2320. Fig. 2.1.1.7 Densidad de energía radiativa específica ------------------------------------- 2421. Fig. 2.1.1.8 Cantidad de movimiento transferido por un fotón ------------------------- 2622. Fig. 2.1.1.9 Radiación uniforme de una esfera sobre un punto P ----------------------- 2823. Fig. 2.1.2.1 Emisión Absorción y scatering ----------------------------------------------3024. Fig. 2.1.2.2 Modelo microscópico para entender la absorción ------------------------- 3425. Fig. 2.1.2.3 Camino óptico. ------------------------------------------------------------------3826. Fig. 2.1.3.1 Absorción de un rayo de luz. -------------------------------------------------4027. Fig. 2.1.4.1 Emisividad de cuerpo negro vs. Frecuencia y longitud de onda. ---------5428. Fig. 2.2.3.1 Diagrama de los niveles de energía de HI. ---------------------------------- 6129. Fig. 3.1.1 Gráficos para los coeficientes de recombinación vs. n y L . -------------- 9430. Fig. 3.1.2 Gráficos donde se muestra el coeficiente de recombinación en función del número cuántico principal, para una temperatura y un número cuántico orbital dados.--------------------------------------------- 9530. Fig. 3.1.3 Gráficos donde se muestra el coeficiente de recombinación en función del número cuántico orbital, para una temperatura y un número cuántico principal dados.------------------------------------------- 9730. Fig. 3.2.1 117 Coeficientes de Einstein vs. el número cuántico principal. ----------------31. Fig. 3.3.1 125 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso A. -------------------32. Fig. 3.3.2 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso B ------------------- 12533. Fig. 3.3.3 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales,
    • 4 caso A -------------------------------------------------------------------------------------------12634. Fig. 3.3.4 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales, caso B --------------------------------------------------------------------------------------------12635. Fig. 3.4.1 Poblaciones para diferentes niveles nL vs. la Temperatura --------------- 137  erg 36. Fig. 5.1 Espectro de la SN1944Y Tipo IIn F  2  cm  s  A     vs.  A . ------------15837. Fig. 5.2 Gráficos que muestran la elección del número de puntos de las líneas espectrales que se tomarán para ser integradas y del número de puntos que se tomaran para hallar las rectas por el MMC, las cuales serán las bases que restarán a las líneas espectrales. Se tienen las casos n  3  H  , 4  H   , 5  H  , 6, 7 y 8 . ------------------------------------------------ 15938. Fig. 5.3 Gráficos de comparación de los resultados teóricos con los observados en la SN 1944Y Tipo IIn (líneas relativas a H  ) ------------------------- 165LISTA DE TABLAS Pág.1. Tabla 3.1.1   / n2 y  para el coeficiente de recombinación ---------------------------- 882. Tabla 3.1.2 Coeficientes de recombinación para T=5000ºK, 10000ºK y 91 20000ºK --------------------------------------------------------------------------------------------3. Tabla 3.2.1 Probabilidades de transición espontánea por segundo (coeficientes de Einstein) Hasta n _ L  20 _19 . AnL,nL en  s 1  ---------------------------------------- 1034. Tabla 3.2.2 Probabilidades de transición espontánea, para algunos valores de nL . PnL,nL (adimensional) ----------------------------------------------------------------1145. Tabla 3.2.3 fuerza del oscilador para la absorción ------------------------------------------ 1206. Tabla 3.2.4 fuerza del oscilador para la emisión -------------------------------------------- 1207. Tabla 3.2.5 Probabilidad de poblar el nivel nL debido a colisión con 121 electrones.-----------------------------------------------------------------------------------------8. Tabla 3.2.6 Probabilidad de despoblar el nivel nL debido a colisión con 121 electrones.------------------------------------------------------------------------------------------9. Tabla 3.2.7 Probabilidad de poblar el nivel nL tomando en cuenta transiciones espontáneas y colisionales, para los casos A y B. ------------------------- 12110. Tabla 3.3.1 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso A---------------------- 12311. Tabla 3.3.2 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso B ----------------------- 12412. Tabla 3.3.3 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales, 125 caso A ------------------------------------------------------------------------------------------------13. Tabla 3.3.4 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales, 125 caso B ------------------------------------------------------------------------------------------------14. Tabla 3.4.1 poblaciones del hidrógeno en LTE en los diferentes niveles nL ----------- 13715. Tabla 3.5.1 poblaciones del hidrógeno en No-LTE en los diferentes niveles nL para el caso de transición espontánea para densidades electrónicas de 1, 10, y 100 electrones / cm3 y temperaturas de 1250, 2500, 5000, 10000,
    • 5 141 15000, 20000, 40000, y 80000ºK.----------------------------------------------------------------16. Tablas 3.5.2 poblaciones del hidrógeno en No-LTE en los diferentes niveles nL para el caso de transición espontánea y colisional con electrones para densidades electrónicas de 1, 10, y 100 electrones / cm3 y temperaturas de 1250, 2500, 5000, 10000,15000, 20000, 40000, y 80000ºK.------------------------------- 142 14217. Tablas 3.5.3 tablas de f (T) y g(T) ------------------------------------------------------------  erg 18. Tablas 4.1.1 tablas de los coeficientes de emisión jnn  2   cm  s  cm  145 para un gas en LTE ------------------------------------------------------------------------------  erg 19. Tablas 4.1.2 tablas de los coeficientes de emisión jnn  2   cm  s  cm  para un gas en Non-LTE ------------------------------------------------------------------------ 14720. Tabla 5.1 (longitud de onda en Ångström, -2.5log10 flujo específico) Filippenko, A.V. 1997, ARAA, 35, 309 Creadas y mantenidas por Douglas Leonard. Enviadas y autorizadas para su uso por: Alex Filippenko   Å  , 2.5log10 F  149 ------------------------------------------------------------------------ 34402  erg 21. Tabla 5.2 Resultados de las integrales  F  cm d   Å   2 sÅ  para las líneas n  n  n  2 con n  3  H  , 4  H   , 5  H  , 6, 7 y 8 ------------- 16322. Tabla 5.3 Tablas de comparación de los resultados teóricos con los observados 164 en la SN 1944Y Tipo IIn (líneas relativas a H  ) ------------------------------------------
    • 6 RESUMEN En el presente trabajo se ha encontrado teóricamente el espectro deemisión de líneas de una nebulosa formada por gas de Hidrógeno de baja(caso A) y relativamente mayor densidad (caso B), y ópticamente delgada;para éste cálculo se incluyó capturas de electrones desde el continuo,transiciones espontáneas hacia abajo y transiciones hacia arriba y abajo debidoa colisiones con electrones. Estas dependen de las densidades electrónica y latemperatura local de la SN. Estos valores fueron comparados con el espectro de la Supernova (SN):SN 1994Y (Tipo IIn) del 9 de enero de 1994, y de éstas, sepudieron indicar algunas las propiedades físicas de dicha SN, como son latemperatura y la densidad electrónica. Las tablas que resultaron son muy extensas y se incluyen en un CD,solo las más importantes se incluyen en el texto, también gráficos, yprogramas ejecutables en MATLAB; programa en donde se hicieron loscálculos de la memoria. Este cálculo generaliza las tablas encontradas en algunas literaturas, porej. “Astrophysics of Gaseous Nebulae and Active Galactic Nuclei” de D.E.Osterbrock texto que es muy citado para el estudio de estos temas y donde seencuentran los coeficientes de emisión para estas mismas líneas pero sóloincluyendo los efectos de captura desde el continuo y transicionesespontáneas. Existen también trabajos con estas generalizaciones pero que nohan sido aplicadas a la SN estudiada en esta memoria. Para alcanzar este objetivo se usaron algunas tablas ya halladas, de lascuales algunas de ellas se completaron, por tanto se volvieron a calcular;también se hicieron programas para hallar algunas tablas que no seencontraron, por ej. los coeficientes de recombinación, los coeficientes deEinstein para transiciones espontáneas, ambos hasta un nivel con númerocuántico principal igual a 20 y un orbital igual a 19, etc. La técnica que se usa aquí puede usarse para calcular las poblaciones enniveles excitados de nubes de gas en la propia tierra, y si se incluyen efectosde transferencia, también el espectro local emergente. Si se quieren hallar los coeficientes de emisión para otras temperaturasy densidades electrónicas, se pueden usar los programas que se incluyen en elCD.
    • 7§ I.- INTRODUCCIÓN En el éste trabajo se presenta un estudio teórico de los procesos físicosen regiones HII que tienen que ver con la radiación. Una región H es unaregión del espacio interestelar, donde existe un gas de partículas en el cualpredomina el Hidrógeno; si éste gas tiene a sus componentes en el estadoneutro  H 0  entonces a la región que ocupa éste gas se llama región HI y si elHidrogeno se encuentra ionizado  H   se llama región HII, la cual que esobjeto de nuestro estudio. Una región HII es muy importante por que de ella se puede sacar muchainformación directa sobre la evolución estelar, se puede observar también uninteresante equilibrio energético (energía que gana la nebulosa por radiaciónprincipalmente de fotones UV provenientes de estrellas cercanas y perdida portrituración de rayos por el fenómeno de cascada), además por que estasregiones tienen una baja densidad de materia, habiéndose encontrado por ej.regiones con 10 , así como también con 105 partículas 3 , que permiten el cmdesarrollo de procesos radiativos que son muy improbables en condicionesnormales. Recordemos que la atmósfera tiene una densidad promedio de2.5 1019 partículas 3 , es decir 1g de gas ocupa un espacio de 1m3 , mientras cmque 1g en una de estas regiones ocupa un volumen de 1Km3 . En el laboratoriose obtiene densidades de hasta 1016 partículas , y hasta en las mismas cm3atmósferas estelares se tienen densidades de 1012 partículas . La cm3aerodinámica de las ondas de choque o frentes de onda de la explosión convelocidades supersónicas son cruciales para la estructura de las regiones HII. Las Regiones HII, llamadas también nebulosas difusas, las podemosencontrar en muchas partes en el Universo. Así por ej. se encuentranfuertemente concentradas en brazos de galaxias espirales; son los mejoresobjetos para trazar la estructura de los brazos espirales en galaxias distantes.Además, las velocidades radiales de estas regiones dan información de lacinemática de objetos de poblaciones tipo I (objetos ricos en metales, por ej.estrellas cuya composición típica es la siguiente: 70% de hidrógeno, 28% dehelio y 2% de metales, incluyendo carbono, nitrógeno, oxígeno, neón, etc.), ennuestra y en otras galaxias, así por ej. en la galaxia Andrómeda (fig.1.1), lagalaxia M 100 (fig.1.2),
    • 8 Fig.1.1 M31 Galaxia Andrómeda, en el cual se encuentran regiones HII. Fotografía del telescopio Hubbleen el que se encuentra gas entre e 3 y 10% de su masa total. Así también seencuentran en las galaxias irregulares como es el caso de NGC56 fig.1.3. Fig. 1.2 Galaxia M100 Fig. 1.3 NGC 56. Galaxia irregular. El gas de galaxias irregulares, alcanza hasta un 30% de su masa total, , en cambio en las elípticas y espirales, 3 a 10% de su masa es gas. Un buen porcentaje de este gas, constituyen una región HIITambién podemos encontrar regiones HII, en cúmulos de estrellas, asítenemos el caso de la nebulosa difusa NGC 6611, fig.1.4, en el cual seobservan estrellas del tipo O excitando al gas, para así formar las regiones HII;
    • 9éstas nebulosas difusas tienen densidades típicas entre 10 y 104 partículas , cm3sus partículas tienen velocidades del orden de 10 Km s , además temperaturasdel orden 5000 o 20000K [11] pág. 4 y masas de 102 a 104 M s [11] pág. 7. Fig. 1.4 NGC 6611 (M16). Se ven estrellas del tipo O que están ionizando el gas circundante, resultando así una región HII. El ancho aproximado es de 20 pcTambién son El anchonebulosas es de 20 pc la gran nebulosa de Orión (M42) fig.1.5 ej. de aproximado difusas, resultando así una región HII.y la nebulosa M20 fig.1.6. Al lado o en el interior de éstas nebulosas queFig.1.5 Nebulosa de Orion (M42). Fig.1.6 Nebulosa Trífida (M20) (Observatorio de Hale) Se ven regiones que emiten (nebulosas de emisión) y regiones oscuras (nebulosas de absorción)
    • 10emiten en el espectro visible, por eso también llamadas nebulosas de emisión,casi siempre se encuentran regiones oscuras (nebulosas de absorción uopacas). Así tenemos por ej. a M42 (que se parece a un águila) y la Nebulosade la Cabeza de Caballo (en la constelación de Orión) fig.1.7 y las mangasgigantescas tomados por el telescopio Hubble fig.1.8 Fig. 1.7 Cabeza de Caballo. Complejo nebular que rodea a la estrella  Orionis, en la constelación de Orión, también se ve a las nebulosas IC 434 y NGC 2024, se ven varias zonas absorbentes (nebulosas absorbentes) Fig. 1.8 Gigantescas mangas nebulares. Fotografía tomada por el Hublle en largas exposiciones de tiempo
    • 11También podemos encontrar regiones HII, rodeando a una estrella o variasestrellas (estrellas múltiples, de 2 ó 3 componentes), éstas son el resultado dela explosión de otra estrella que dio lugar a la que queda en el centro. Así, porej. una estrella que tenga una masa equivalente a la del Sol, al colapsar,gracias a que la fuente de combustión del Hidrógeno ha terminado, producirápor implosión una enana blanca y gracias a la explosión, el materialexpulsado, dará lugar a una nebulosa planetaria. Así tenemos por ej. a lanebulosa NGC 7293 (fig.1.2 [11] pag.8), M27 fig.1.9 y a M57 fig.1.10. Fig.1.9 Nebulosa Planetaria Dumbell, NGC Fig.1.10 Nebulosa Planetaria NGC 6720 6853 (M27), en la constelación de Vulpecua (M57) , en la contelación de LiraÉstas contienen entre 0.1M s a 1.0M s , [11] pág. 9 y densidades de 102 a104 partículas , [11] pág. 9 y las estrellas que quedan en el centro tienen cm3temperaturas aproximadas entre 2 104K y 5 104K [11] pág. 7; la expansiónradial característica de éstas nebulosas es aproximadamente de 25 Km s [11] pág.7,y debido a que éstas partículas están siendo frenadas por el gas del entorno,estas decrecen en un tiempo aproximado de 104 años , breve para tiemposcósmicos. Ahora si las reacciones nucleares se producen después de lacombustión del Helio, Carbono, u otros elementos más pesados, hasta Fe 56(ocurre en estrellas de masas mayores a 8M s aproximadamente), se tendrátambién una explosión, pero más poderosa, llamada explosión de Supernova(SN), dando lugar gracias a la implosión, a estrellas de Neutrones, Pulsar o aAgujeros Negros y por la explosión, a nebulosas que también contienenregiones HII, cuyas características físicas encontradas hasta hoy sonaproximadamente las siguientes: por ej. si se tiene una nebulosa rodeando auna estrella cuya temperatura es de 40000K , se ve que la densidad a una
    • 12distancia de 5 pc de la estrella, será de 10 partículas (se encontraron hasta cm3104 partículas ), tendrá una temperatura entre 8000K y 12000K , y la cm3velocidad de expansión de ésta nebulosa será del orden de 10 Km s ; éstas yason nebulosas que se han frenado por el entorno cósmico; obviamente elmomento de la explosión y hasta un tiempo aproximado de 200 días, lasvelocidades y las temperaturas de la nebulosa son inmensas, llegando a tenervelocidades gigantescas (un ej. de expansión de SN tenemos en la fig.1.11), Fig. 1.11. Etapas de la expansión de la SN1993Jluego llegan a ser nebulosas difusas y tienen por tanto las característicasencontradas hasta hoy de 10 y 104 partículas 3 , velocidades del orden de cm10 Km , temperaturas del orden 5000 o 20000K [11] pag 4 y masas de 102 a 104 M s s[11] pag 7. Representantes típicos de nebulosas causadas por explosión de SN
    • 13son: La nebulosa del Cangrejo (Crab Nebula, NGC 1952) fig.1.12 y CygnusLoop (NGC 6960-6992-6995) fig.1.13. La nebulosa del Cangrejo es el ej. másclaro de un resto de SN. Globalmente ésta nebulosa se expande con unavelocidad correspondiente a un segundo de arco por año aproximadamente.Extrapolando en el tiempo dicha cifra se deduce que, exceptuando tal vez losprimeros años, la velocidad de expansión ha tenido que ser bastante constante.Por otro lado, la expansión continua provoca una dilución progresiva de lamateria de la nebulosa; de su bastante bien determinada densidad se deduceque dentro de unos 104 años el resto de ésta SN habrá alcanzado básicamente ladensidad del gas que lo rodea. Lo que intrigó de esta SN es la naturaleza notérmica de su espectro que fue identificada como radiación de sincrotrón, esdecir, la emisión de luz por electrones relativistas en campos magnéticos, éstemecanismo es el que proporciona los fotones observados, desde el espectro deradio hasta el intervalo del visible e incluso más allá de los rayos X. La fuentede esta vida tan prolongada de la nebulosa y su elevada luminosidad total,todavía hoy 105 veces más luminosa que el Sol, no puede ser la explosión de laobservada en 1054 (se sabe la fecha de explosión gracias a catálogos chinos).Durante mucho tiempo dicha fuente constituyó un misterio, pero hoy en día seconoce que es el pulsar existente en la nebulosa la que proporciona toda esaradiación, que ioniza y hace presión en la nebulosa. Ésta nebulosa aunque esuna de las más visibles y el ej. más claro de restos se SN, no es la más comúnde todas las observadas. Fig 1.13 Cygnus Loop. Fotografía del Hubble. Se ven estructuras filamentosas Al igual la nebulosa del Cangrejo, son los ejemplos más claros de restos de SN Fig. 1.12 Nebulosa del Cangrejo. se puede observar su gran estructura filamentosa y con una flecha se indica la localización de un pulsar
    • 14 Como vemos, las regiones HII aparecen en muy variados escenarios. Enel presente trabajo se estudia teóricamente una versión simplificada de losprocesos radiativos que ocurren en éstas regiones, ya que obviamente laradiación es la única magnitud física a la cual se puede tener acceso. Luego secalculan teóricamente los espectros de la radiación emitida por una región HII,después se explica como usar éstos resultados para encontrar parámetrosfísicos de éstas regiones, y luego se aplica a una nebulosa en particular, que esresultado de la explosión de SN. Una de las explosiones más colosales que ocurren en el Universo sonlas llamadas explosiones de SN, el estudio de éstas, es muy importante deentre muchas cosas, para la cosmología. Nosotros calculamos los coeficientesde emisión de las nubes resultantes de la explosión de SN ya en su estadotardío, es decir cuando el espectro de la nube se produce en zonas que no seexpanden con muy altas velocidades y tomando la hipótesis que sonópticamente delgadas y relativamente no muy densas. Los átomos en presencia de campos electromagnéticos, se ionizan, enlas nubes que consideramos los fotones que ionizan son esencialmente UV;los electrones que salen del átomo, vuelven a recombinarse en átomosvecinos, a cualquier nivel de energía, si éste nivel es el nivel base, el electróntratará de llegar a él; para esto, puede o no pasar por otros niveles, y en cadasalto emite fotones, fenómeno que se denomina cascada; éstos fotones tienenmenor energía de los fotones que ionizaron al principio el átomo, por tanto yano podrán ionizar átomos que se encuentran alrededor, a lo mucho los excitan,y así la radiación estará viajando hasta salir de la nebulosa y llegar a nosotros;al fenómeno de transformación de fotones UV en fotones de menos energía, sellama fenómeno de trituración de rayos, y al hecho de que la energíaemergente de la nube sea la misma que entro se llama equilibrio térmico oenergético, en donde la ganancia de energía térmica en el gas de electronesátomos e iones debido a la fotoionización es equilibrada por la pérdida debidoa recombinación, en donde por cada electrón recombinado se pierde unaenergía igual a 1 2 m 2 , que se transforma en fotones con menor energía que lade los fotones que ionizaron gracias al fenómeno de cascada; por excitacióncolisional, donde los fotones que resultan de la excitación, a la larga llegan aescapar de la nebulosa; y por radiación libre-libre (a la diferencia de laenergía ganada por fotoionización y la perdida por recombinación se ledenomina calentamiento efectivo), éste tema desarrollamos en la sección§II.2.4. Por otro lado, otro proceso físico que ocurre en ésta nebulosa es el deequilibrio de fotoionización, en donde consideramos que le número de
    • 15fotoionizaciones que causa la radiación incidente es el mismo que el derecombinaciones; esto se detalla en la sección § II.2. El modelo matemático que se usó para resolver éste problema, lo da laecuación de equilibrio estadístico, que indica que el número de electrones quellegan a un nivel excitado en átomos de la misma especie, es el mismo que losque salen. Así en un gas de Hidrógeno, si se tienen por ej. 103 electronesllegando al quinto nivel excitado en 103 átomos de Hidrógeno; se tendrántambién luego de un cierto tiempo, 103 electrones saliendo del quinto nivel enlos mismos 103 átomos. Un electrón, puede llegar al nivel por recombinación,cascada o por colisión con protones o electrones o fotones, y puede salir dedicho nivel gracias al efecto de cascada, o por colisión con protones oelectrones, o por el mismo campo electromagnético circundante, es decirgracias a colisión con fotones, todas estas causas, hacen que el electrón saltehacia arriba o hacia abajo, salvo en el caso de cascada, que solo se realizahacia abajo. En el límite de bajas densidades, los únicos casos a considerar sonlos de recombinaciones (capturas) y las transiciones radiativas hacia abajo,debido al efecto de cascada. Todo esto detallaremos en la sección § II.4. Éste cálculo se hace en forma teórica para luego compararla con losresultados experimentales, específicamente con el espectro de la SN 1994Y(Tipo IIn) del 9 de enero de 1994, pudiendo descifrar asíalgunas propiedades físicas de dicha SN, a saber, su temperatura y su densidadelectrónica. Para calcular los coeficientes de emisión, incluimos variosefectos, como son la radiación debido a capturas desde el continuo, laradiación debido a transiciones espontáneas y a causa de colisiones conelectrones. La forma de incluir estos efectos y calcular los espectros seencuentra en la sección § II.4, y en el capítulo III se indica paso a paso lasespecificaciones de estos cálculos y se dan algunos resultados en tablas y engráficos. Así, primero se calculan los coeficientes de recombinación, al mismotiempo que las probabilidades de transición espontánea (coeficientes deEinstein), y las probabilidades de transición colisionales y para éste ultimo sedebe calcular primero los coeficientes colisionales. Para encontrar loscoeficientes de recombinación programe la ecuación III.1.1 y para estoprimero tuve que completar las tablas de la RAS (provistas por el sistema dedatos astrofísicos de la NASA) para  l 1    nl ,0  1 y  l 1    nl , l  1 ,encontradas en la publicación de Burgess (1959) [5], programando lasformulas (III.1.3) y (III.1.4); teniendo así valores con números cuánticos
    • 16principal y orbital hasta 20 y 19 respectivamente. Para calcular lasprobabilidades de transición espontánea, programo la ecuación (III.2.1), lacual depende de los elementos de la matriz de momento dipolar que laobtengo de la tabla proporcionada en la publicación de Chandler, Louis &Patricia (1957). Para hallar las probabilidades de excitación y desexcitacióndebido a colisiones con electrones, programo las ecuaciones (III.2.3) y(III.2.7) respectivamente, y para esto uso el programa para hallar el coeficientede excitación dada por la fórmula (III.2.4), expresión que encontré en lamemoria de Deane Millar Peterson.(1969) [7], citada en la memoria deDouglas Alexander Swartz, B. S.(1989) [9]. Luego se calculan las probabilidades verdaderas de transiciónincluyendo todos estos efectos, como se indica en la sección § III.2, para locual programé la ecuación semigeralizada de (II.4.8), que es parte de laecuación (II.4.17) (hasta el segundo sumando en el numerador ydenominador), como se indica en la sección § IV.1. Luego se calculan laspoblaciones en los diferentes niveles nL , es decir la densidad numérica deátomos que tienen su electrón poblando el nivel electrónico con número  cuántico principal n y orbital L , dado en número de átomos 3 , dado por la cmsolución de la ecuación (II.4.16); esto se puede realizar de dos formas,primero usando los coeficientes de apartamiento de la población, dada por laecuación de Saha-Boltzmann en equilibrio termodinámico, ecuación (II.4.6), ousando el método de cascada, el cual se define como la multiplicación de lasprobabilidades de transición vía todas las rutas posibles, para lo cual programehasta el segundo sumando de la parte derecha de la ecuación generalizada(II.4.19). Luego recién extrapolando hasta el infinito o usando una buenacantidad de niveles electrónicos, podemos calcular los coeficientes deemisión, por tanto el espectro emergente, para lo cual programe la ecuación(II.4.12), que puede solucionarse para 2 casos, en equilibrio termodinámico(LTE), y fuera del equilibrio termodinámico (Non-LTE), dependiendoúnicamente de que valor se use para la abundancia. Así, para calcular el casode LTE puse la solución de (II.4.4) en (II.4.12), y para el caso de Non-LTEpuse la solución de (II.4.16) (hasta el segundo sumando) en (II.4.12). Elcálculo de las abundancias vía Saha-Boltzmann se incluyen en la sección § I.4,y vía cascada en la sección § III.5; y el de los coeficientes de emisión en elcapítulo IV. Las comparaciones de los resultados para los coeficientes de emisión sedan en el capítulo V, para ello hice varios programas para las conversiones,
    • 17gráficos y comparaciones; y en el VI las conclusiones. En el apéndice seexplica lo que contiene el CD y se incluyen algunos programas. Conocidos los coeficientes de emisión, la temperatura y la densidadelectrónica de la nebulosa, puede calcularse el espectro de emisión incluso sila nube no es ópticamente delgada, haciendo uso del formalismo detransferencia radiativa, parte de la cual se detalla en el capítulo II y en dondese incluyen los conceptos básicos sobre radiación que puede ser omitido porun lector que sepa lo básico sobre ella. Los programas incluidos en el CD servirán para encontrar nuevasabundancias y coeficientes de emisión para los casos de relativamente altas(caso B) y bajas (caso A) densidades dependiendo de la densidad electrónica ytemperatura deseada. Las tablas que se dan son para 8 temperaturas y 4densidades electrónicas. Además usted puede usar los programas paraencontrar temperaturas y densidades electrónicas de otras nebulosas, si éstosresultados son ilógicos por ej. que se tengan temperaturas y densidadesmayores a la de la estrella central, entonces la nebulosa a la cual se aplicaronlos programas, no reúne las características que se citaron para encontrarnuestro programa, es decir, no será ópticamente delgada, se tiene mucharadiación de otros elementos que no sean el Hidrógeno, la nube esta en laetapa recién de formación, luego de haber explosionado la estrella y/o no secumple en ellas el equilibrio de fotoionización, puede ser debido a laexistencia de otras fuentes más poderosas que no deja que existarecombinación, por tanto la nebulosa ya no emite fotones térmicos, o seadebido al fenómeno de cascada o fenómenos colisionales, sino a otro tipo deemisión, por ej. de sincrotrón.
    • 18§ II.- PROCESOS FÍSICOS BÁSICOS§ II.1.- FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA RADIATIVA. Para poder entender los procesos de trasferencia radiativa primeroanalizaremos los conceptos básicos sobre radiación en la sección  II.1.1; en lasección  II.1.2 veremos los fenómenos de emisión espontanea y absorción,para así en la sección  II.1.3 analizar el problema de transferencia radiativa;luego en  II.1.3 se verá los temas de radiación térmica y las leyes deKirchhoff, en la sección  II.2 y  II.3 comenzamos a analizar las bases físicasque cumplen estas nebulosas, y en  II.4 indicamos las ecuaciones que debensolucionarse para encontrar los coeficientes de emisión de estas nebulosas.§ II.1.1.-Flujo, Intensidad, Presión, Densidad de energía, y Brillo de la radiación de campo electromagnético.1º.- Las propiedades elementales de la radiación son: Rybiki & Lightman(1979) [13] pág. 1 c   ,  E  h , E T , donde  es la frecuencia, c es la velocidad de la luz en el vacío  es lacontante de Boltzmann, E la energía y T la temperatura.2º.- El flujo de energía de radiación electromagnética radiativa  [13] pág.2, esta dado por:
    • 19 dE  dA  dtdonde  es el flujo de energía de radiación de una fuente de radiaciónisotrópica (emite igual energía en todas direcciones), dE es la energía quepasa por dA en un tiempo dt , dA es la diferencial de área por donde pasa laenergía (depende de la orientación del elemento), dt es la diferencial detiempo que transcurre mientras pasa la energía por dA .    J   m s 2  El flujo radiativo cumple la ley del inverso del cuadrado de la distancia.Demostremos esto pasa por S Energía que Energía que pasa por S1 = pasa por S S  en t   t   t   1 rrr rr rrr ES1  ES r S1 r1 (r1 )4 r12  (r )4 r 2 fuente entonces: (r1 )  r12 cte (r )   2 FIG 2.1.1.1 Ley del inverso del cuadrado para r2 r el flujo radiativo3º.- La intensidad de energía de radiación electromagnética específica,intensidad específica o Brillo, (o brillo específico) y sus momentos, estándadas por [13] pág. 3:
    • 20 dE  I dAdtd d ,donde I es la Intensidad específica o Brillo, que depende de la localizaciónen el espacio, dirección y el área, dE es la energía que cruza dA en un tiempodt y A es el área de una superficie donde existe radiación isotrópica; puedeser la misma superficie de la fuente. rayo A normal d dA FIG 2.1.1.2 Brillo de un rayo de luz. Se ven rayos que entran y salen por A , de los que salen algunos aportan a d ,representado por un cono cuyo eje en este caso es perpendicular al area A I   energía s 1 m2 srad 1 Hz1 .La radiación que se tomo aquí es perpendicular a la sección que irradia.Notemos que la intensidad específica o Brillo será: d I  ,    . ddSi la sección que se toma en consideración no es perpendicular al área, omejor dicho, si el eje del cono, que representa al ángulo sólido que se toma encuenta, no es perpendicular a la sección de superficie que irradia, entonces laintensidad específica o Brillo será:
    • 21 d I  ,   cos ddonde, d  J  d    s  m2  Hz  d    A d dA fuente FIG 2.1.1.3 Brillo de la fuente Si la radiación es isótropa, (y viendo en un punto cualquiera donde yaexiste radiación que viene y sale en forma isotrópica, ya sea producido porvarias fuentes, o radiación que está confinada en una caja hipotética, o en unacaja negra) I  cte ,entonces el Flujo neto es cero   0
    • 22por que,    I cos d   I  cos  d  0Es la misma cantidad de energía que cruza dA en la dirección n y - n . A d  d  cos dA n n Fig. 2.1.1.4 Proyección del Flujo en la dirección normal al área. El flujo que pasa en la dirección n será el mismo que el que pasa por la dirección n Rayo  A Normal d dA Fig. 2.1.1.5 Flujo Neto a través de una sección
    • 234º.- La Presión de radiación de las ondas electromagnéticas la damosrecordando que el momento de un fotón esta dado por: [13] pág. 5 E p , cy que por definición la presión de radiación electromagnética específica (omomentum flux)está dado por dE dp  cdtdAd de donde d  dp  , cpor lo tanto I cos d dp  cos  . cEl nuevo cos aparece de la proyección del momento en la dirección normal adA ; esto se ve en la figura 2.1.1.6 p Observador  (Proyecto el área y tengo el área efectiva cos Proyecto el momento y tendré el otro  cos ) entonces: I cos 2 d dp  c Integrando obtenemos: I cos 2 d p   c  p   Nm 2 Hz 1  Fig. 2.1.1.6 Presión de radiación
    • 24 Note que  y p son momentos (multiplicaciones por potencias decos e integradas sobre d ) de la intensidad I . Podemos integrar sobre todas las frecuencias, y así obtener lasmagnitudes totales: [13] F   F d  Js 1m2    p   p d  Nm2    I   I d  Js 1m2 srad 1   5º-La densidad de energía radiativa específica esta definida por [13]:    dE , dVdddonde, dV = cdAdt , es el volumen elemental. Si consideramos un cilindro de largo cdt que contiene los rayos, como seve en la figura 2.1.1.7; dA d ds  cdt Fig. 2.1.1.7 Densidad de energía radiativa específicaEntonces tendremos:
    • 25    dE , dAcdtd dpero d dE I   . dd dAdtd dComparando estas dos ultimas expresiones, que son para el caso en que elángulo sólido es perpendicular al área tomada o que es lo mismo no estaproyectada, tenemos: I  ()  . cIntegrando tenemos: 1     ()d  c I d .Definiendo la Intensidad específica Media de radiación electromagnética por  I d  1 I d , J    d 4se optiene, comparando estas dos ultimas ecuaciones: 4   J . cY la densidad total de radiación electromagnética será: 4 4     d   J d  c J cque se mide en:      J  m  3
    • 26 6º.- La presión de radiación electromagnética, [13] pág.6, que crea uncampo de una fuente de radiación isotrópica sobre una región cerrada es untercio de la densidad de energía de radiación total que produce dicha fuente. Demostremos esto,  p i p f haz fuente Fig. 2.1.1.8 Cantidad de movimiento transferido por un fotón Cada fotón transfiere a la pared una cantidad de movimiento igual a:  P  Pf  ( P i )  2P    Por lo tanto integrando para una cantidad de fotones dentro de d, lapresión de radiación será:
    • 27 2 P   I cos d 2  c Como dijimos que la fuente de radiación electromagnética la tomaremosisotrópica entonces: I  constante ,entonces 2 P   I  cos 2 d , cintegrando en todo el espacio tendremos: 2  2  P   I   c  3 pero para una fuente de radiación isotrópica la intensidad de radiaciónelectromagnética específica es igual a la Intensidad media de radiaciónelectromagnética, ya que J   I d  I  d  I ,   d  dentonces 2  2  P   J   . c  3 Pero vimos que, 4   J , centonces  P  , 3
    • 28y también de aquí tendremos por definición que:  d  P   P d     3 3por lo tanto:  P , 3que es lo que queríamos demostrar. Este resultado es muy usado para ladiscusión de la radiación de cuerpo negro. 7º.- La Intensidad de radiación electromagnética específica se mantieneconstante en el viaje a través del espacio libre [13] I  constante a lo largo del rayo . Si ds es el elemento diferencial de longitud a lo largo del rayo, entoncestendremos: dI 0 ds 8º.- La intensidad de radiación electromagnética total que sale de lafuente y llega al punto P , se llama Brillo en el punto P (por su puesto, si noexiste ninguna otra fuente que irradie campo electromagnético a P ), laintensidad (o la energía) que sale de la fuente y no llega al punto P , no aportaal Brillo. P I=B Fig.2.1.1.9 Radiación  uniforme de una c esfera sobre un R r punto P.
    • 29 Si la radiación electromagnética que emana de una esfera es uniforme(Intensidad específica constante), entonces el flujo de ésta cumple con la leydel cuadrado inverso de la distancia (como el campo gravitatorio) sin oponersea la constancia de la intensidad específica. Entonces el Flujo de energía de radiación electromagnética que sale dela fuente, que en este caso es una esfera y llega al punto P será: 2 c    I cos d  B  d  sin cos d , 0 0donde  c esta dado por: R  c  arcsin r Como para este flujo, la intensidad es toda la que sale de la esfera yllega al punto P , entonces esta parte de la intensidad total que emana la fuenteserá igual por definición al Brillo de la esfera en el punto P : I BIntegrando la ecuación en los límites donde I  B , tenemos que:  1  cos 2  c    B 2     Bsin 2 c ,   2 entonces   Bsin 2 co 2 R   B  . rAsí podemos observar que  decrece con la distancia según la ley delcuadrado inverso.Si
    • 30 r  R,entonces obtenemos F  Bque es el flujo total de una esfera de brillo uniforme o de intensidad constante,sobre un punto situado exactamente de la superficie.§ II.1.2.- Emisión espontanea y Absorción [13]. Beam o Rayo de Luz Materia Fig. 2.1.2.1: Emisión Absorción y Scattering A 1º.- La energía de un rayo (conjunto de fotones que viajan en una dirección,imaginariamente como si estuvieran dentro de un cilindro) que pasa a travésde la materia, puede aumentar o disminuir, ya sea por emisión (espontánea oinducida) o absorción de fotones de la materia por donde pasa el rayo,respectivamente; por lo tanto la intensidad específica de la radiación de campoelectromagnética no permanecerá constante. Además de los efectos de emisión y absorción, existe otro mecanismopor el cual un rayo de radiación de campo electromagnético pasando a travésde la materia aumenta o disminuye su energía, es el caso del scattering.2º.-Emisión; es el mecanismo por el cual un átomo emite uno o variosfotones, ya sea en forma espontánea o inducida. Al estudiar la radiación espontánea se define el coeficiente de emisión j , como la energía emitida espontáneamente por unidad de tiempo, ángulosólido y volumen, así: dEemisiónespontánea j dVd dt
    • 31Para una emisión monocromática, podemos definir el coeficiente de emisiónespecífico como: dEemisiónespontanea j  , dVddtdcuyas unidades serán:  j     Joule  .  m  srad  s  Hz   3 En general el coeficiente de emisión depende de la dirección dentro del cualla emisión toma lugar. Si la emisión espontánea es isotrópica o que es lo mismo, esta orientadaaleatoriamente, entonces el coeficiente de emisión podrá escribirse como: 1 j  P ,  4donde P es la potencia radiada producida por la emisión espontánea porunidad de volumen y frecuencia.Demostremos ésta última afirmación. Por definición tenemos: dEemisiónespon tan ea j  dVd dtd dPot  dVd d dP  d d dP   dde donde, considerando la radiación en todo el ángulo sólido, es decir en todasdirecciones:
    • 32 P 4  P    j d , 0 0y como radiación isotrópica tendremos 4 P  j  d  0  j 4 ,por lo tanto, 1 j  P .  4 Para poder estudiar la emisión espontanea, en vez del coeficiente deemisión, también se puede usar el concepto de emisividad “”, que se definecomo la energía radiada espontaneamente por unidad de masa radiada, porunidad de tiempo en que se irradia, por unidad de frecuencia y por la razón dela diferencial de ángulo sólido donde está la energía radiada y el ángulo sólidototal alrededor de un punto cualquiera donde la radiación es isotrópica i.e.(d/4); así: dEemitida espontáneamente   dmdtd d  4La relación entre j y  es:  j  4donde  es la densidad de masa dada por, dm  . dVPara un rayo o un beam construido por fotones, emitidos solamente en formaespontánea, de sección transversal dA y que viaja una distancia ds , tenemos: dV  dAds .
    • 33Así la intensidad añadida al Beam o rayo original será: dI emisión espontanea  j ds .Demostremos esta última ecuación, dE emitida.espontaneamente dI  pore. misión .espontanea  dtdAdd dE emitidaespontaneamente  dV dt dd ds dE emitidaespontaneamente  ds dAddtd  j ds3º.- Absorción; es el mecanismo por el cual un átomo absorbe un fotónradiado por alguna fuente. Para estudiar la absorción se define el coeficientede absorción   m1  , que es la razón de la variación de intensidad específicade radiación electromagnética que incide a la intensidad específica incidenteque está siendo absorbida por unidad de distancia ds recorrida por el beam ensu absorción (desde que empieza a ser absorbido); así:  dI  s  por absorción   I  s  ds Este mecanismo, podemos entenderlo mediante un modelomicroscópico, en el cual por cada fotón absorbido, consideramos que se pierdeuna sección transversal de magnitud , si en total se absorben N f fotones,entonces se habrá absorbido un área total dAabsorbido de N f  . Así,
    • 34 dA absorbido  N f   N  f dV  dV  ndV   ndA absorbidods  Materia Rayo absorbido I que sale dA ds I incidente -dI por absorción = I absorbida Fig. 2.1.2.2 Modelo microscópico para entender la absorcióndonde n es la densidad de fotones absorbido, dV = dsdAabsorbido es el volumen dela región del espacio donde los fotones están siendo absorbidos y ds es ladistancia que recorre el fotón mientras esta siendo absorbido.Aquí notamos que: 1  n  ds ,la veracidad de esta afirmación se puede ver de la siguiente manera: dV 1 1 1 1  dV  dAabsorbidods  N f   ds  n  ds dV dV dV dV La intensidad perdida de la incidente, gracias a la absorción,obviamente será la misma que la intensidad absorbida, así: I sale - I ingresa =-(dI) perdida por absorción = (dI) por absorción,
    • 35también, el área que se pierde por absorción de la radiación incidente seráigual al área absorbida. Así, dAperdida por absorción =dAabsorbido =dAó dAperdida por absorción = n dAabsorbido ds  dI  ν  I nσ ds ν ν perdida.por.absorciónpor eso afirmamos que  dI   perdida.por.absorción dA perdida.por.absorción  I  dA absorbido  dI   perdida.por.absorción dA perdida.por.absorción  I  n  dA absorbidodso,  dI  absorción s   I s n  ds .Notemos que,   dI   s  dAperdida. por.absorciónd dtd  I  s  dAabsorbidod dtd perdida . por . absorción d  dE perdida porabsorción   dEsale  dEingresa  dEabsorbidaComparando las ecuaciones tenemos,    n .además notemos que,
    • 36 N f  N f  dA absorbida 1      dV dA absorbidads dA absorbidads dsVeremos más adelante que esto tiene que ver con el camino óptico, aquí ds esel camino recorrido por el rayo desde el momento en que está siendoabsorbido. Para que este cuadro microscópico tenga validez, existen algunascondiciones [13]:a.)- La escala lineal de la sección transversal debe ser mucho menor que ladistancia media entre partículas. Así: 1 1  2  d  n 3 ,de donde se tiene:   d  1 ,ya que, 1 1   2  n 3tendremos 1 1  2 n 3  1 Como:   n 1 2 1 1 n 3  1 2 no
    • 37 1 1 2 n 6  1 ,elevando al cuadrado tendremos, 1 n 3  1 .Ahora como: 1 dn 3 ,   d  1 ;que es lo que queríamos demostrar. Yb.)- Los materiales absorbentes deben ser independientes y deben estardistribuidas aleatoriamente. Afortunadamente, estas condiciones casi siempre se cumplen en losproblemas de astrofísica.4º.-Es lógico pensar que  será directamente proporcional a densidad de lamasa  que absorbe, entonces  también se suele escribir como:    donde  es la densidad de masa que absorbe, y el coeficiente deproporcionalidad   m2 g 1  es el coeficiente de absorción de masa, más  conocida como opacidad [13]. Otro concepto muy usado también es el de Camino Óptico  , que sueleusarse en vez de s , con el cual como veremos servirá para solucionar másfácil la ecuación de transferencia. El Camino Óptico es adimensional y sedefine por la siguiente relación:   dI  s   por absorción d  s   . I  s 
    • 38También es definido usando el coeficiente de absorción, de la siguientemanera: s   ( s)    ( s )ds  s0o d  (s)   (s)ds ,donde s0 es una marca arbitraria en el material, que indica el punto cero desdedonde se medirá el camino óptico. El camino óptico se mide sobre el camino del rayo que viaja; algunasveces es medida hacia atrás, en el mismo camino (desde el punto de dondesale el rayo de la materia, como por ej. desde el borde de la superficie de unaestrella hacia adentro, (se supone que la radiación que se emite mas adentro nosale, ya sea por que es absorbida u otros efectos)), en ese caso luego deintegrar, el camino óptico saldrá negativo. Algunas veces se toma un plano paralelo al viaje del rayo (recordemosque puede desviarse) en promedio. Un camino óptico típico o estándar se midea partir de este plano en la dirección perpendicular, así que ds es reemplazadopor dz y:      z  z   ( z )    ( s )ds  z0 La superficie de referencia puede ser el borde de una estrella dz  ds Z s0 Fig. 2.1.2.3 Camino óptico. s0 es arbitrario y fija el punto cero para la escala del camino
    • 39Si  < 1  El medio es llamado ópticamente grueso (u obscuro) u Opaco.Si  > 1  El medio es llamado ópticamente delgado (estrecho o enrarecido) o Transparente. Un medio esencialmente óptico, es aquel medio en el cual un fotóntípico de frecuencia , puede atravesar el medio sin ser absorbido. Mientrasque un medio Opaco es aquel medio en el cual un fotón de frecuencia , noatraviesa en promedio, ya que es absorbido. Se define la función fuente [13] como la razón del coeficiente deemisión sobre el coeficiente de absorción, así: j S  , con ésta definición podemos usar S en vez de j . Además con la definiciónde camino óptico, podemos usar  en vez de  , y con estas nuevasdefiniciones, es mas fácil resolver la ecuación de transferencia radiativatomando sólo los casos de emisión espontánea y absorción.§ II.1.3.-Ecuación de transferencia de energía de radiación de campo electromagnético para emisión espontanea y absorción; y su solución.1º.- Ecuación de transferencia radiativa [13]. Si un rayo incide en cierta dirección a la materia (o si se analiza un rayoque ya está propagándose dentro de la materia, y se lo toma como incidente)por ej. un gas de partículas, éste puede disminuir su energía (y por tanto suintensidad) por absorción, puede aumentar su energía por emisión de fotonesdesde la materia a la que incide (ya sea por emisión espontánea, o por emisión
    • 40inducida (por ella misma o por la espontánea)), y también puede aumentar odisminuir su energía (observando en cierta dirección del beam) por el efectode scattering.Así, tenemos que: I despues  I incidente  dIdonde: dI   dI emisión espontánea   dI emisión inducida   dI absorción   dI scattering Materia Beem después I después I incidente Fig. 2.1.3.1 Absorción de un rayo de luz.2º.-Si solo tomamos los casos de emisión espontanea y de absorción,entonces: dI  dI emisiónespontanea  dI absorciónEntonces por lo estudiado en 10º y 11º, tenemos: dI s  j sds    s I  s dsque es la ecuación de transferencia radiativa para absorción y emisiónespontánea. Si tomamos en cuenta los efectos de scattering (dispersión) la ecuaciónde transferencia se solucionara de manera más dificultosa, en general usando
    • 41las técnicas de análisis numérico, ya que ésta ecuación será integrodiferencial,debido a que la intensidad de emisión que se tomó dentro de d , estará en uninstante posterior dentro de otro d  . La tarea es resolver esta ecuación y encontrar la forma de estoscoeficientes para diferentes procesos físicos. Resolvamos la ecuación de transferencia. Para esto usamos S y  envez de j y  respectivamente, es decir en vez de los coeficientes de emisióny absorción, usamos la función fuente y el camino óptico, con estas nuevasdefiniciones, la ecuación de transferencia queda: dI     S     I    . d Demostremos esto:de la ecuación de transferencia tenemos: dI  s   j ds    I  s ds ,de donde: j dI s    ds  I s  ds como: j S  , y d  (s)   (s)ds entonces: dI s   S s d  (s)  I s d  s o dI     S   d   I (  ) d  ,
    • 42con lo cual demostramos la ecuación.Ahora multiplicando por e y definiendo las cantidades:     I    e  y    S  e , la ecuación de transferencia llegará a ser simplemente: d       , d cuya solución es:        0  0  d .   Poniendo nuevamente en términos de I y S , encontramos la solución formalde la ecuación de transferencia radiativa o ecuación de transferencia deenergía debido a radiación electromagnética para absorción y emisiónespontánea: I      I  0e  0 e  S  d .         Demostremos esto.Teníamos que dI     S     I    d multiplicando por e , tenemos:  dI     e  S   e  I    e    d ahora como
    • 43 dI   e  dI    I    e  e   ,   d  d entonces, dI     e  S   e  I    e    d de donde, dI   e   I    e  S   e  I    e ;    d teniendo así: dI   e   S   e .  d Ahora, usando las definiciones     I    e  y    S  e , encontramos que d       , d integrando desde donde   0 hasta  , tenemos que,     0  0  d ,   nuevamente en términos de I y S I    e  I  0e 0  0 e S  d -     
    • 44dividiendo por e tenemos que se cumple que,  I      I  0e  0 e  S  d      o  I    I  0  e   e S  d ,     0que es la ecuación que queríamos demostrar. Como  es adimensional, entonces e es un factor (modulador) que disminuye a la intensidad de radiación incidente y a la integral de la funciónfuente en forma exponencial conforme crece el camino óptico; así la ecuaciónde transferencia es interpretada como la suma de dos términos: 1º la intensidadinicial disminuida por el efecto de absorción y 2º la integral de la funciónfuente, que es directamente proporcional al coeficiente de emisión y quetambién está disminuida gracias al efecto de absorción.3º.- La ecuación de transferencia para el caso particular donde existe soloemisión espontánea (   0 ) será: dI s   j dsy su solución será : I  s   I  s 0   s j sds , s 0que nos dice que el incremento de Brillo, o el incremento de la intensidad enla energía que ingresa a la materia, que a su vez está emitiendoespontáneamente y absorbiendo, es igual al coeficiente de emisión espontáneade la materia integrado a lo largo de la línea de señal de la radiación, es decirla intensidad aumenta debido a que la materia también esta emitiendo.Demostremos ésta última ecuación.
    • 45 Se puede demostrar con la solución general ya encontrada y retomandoel coeficiente de absorción y luego haciéndolo cero, o directamente de laecuación de transferencia original dI  s   j ds    I  s ds , esto solamente integrando: I  s   dI s   s j sds , s I s0   0de donde inmediatamente sale la solución.4º.- la ecuación de transferencia para el caso particular donde existe sóloabsorción ( j  0 ) será: dI s     I  s dscuya solución será: s  s 0  s ds I  s   I  s 0 e 0o en términos del camino óptico: I      I  0e  que nos dice que el brillo del rayo de luz es decir la intensidad incidente enuna materia donde sólo existe absorción, disminuye en forma exponencialconforme crece el valor del camino óptico, a lo largo de la línea de señal de laradiación. La intensidad emergente I    es la misma que la incidente I  0 para cuando el camino óptico es cero, que ocurre cuando la integral delcoeficiente de absorción en s es igual que en s0 , es decir no existe absorción,la radiación que sale es la misma que la que entra. Esto se demuestra inmediatamente a partir de la solución general queesta en función del camino óptico:
    • 46 I      I  0e  0 e  S  d ,         haciendo la función fuente igual a cero, ya que, j S  , o integrando la ecuación original, dI  s   j ds    I  s dsdonde j  0 ;así tenemos: dI s     I  s ds ,de donde, dI s     ds I  s integrando, I  s  dI s  s  I s0  I s   s    s ds 0 obtenemos LnI  s   s    s ds I  s  s I  s 0  0llevando al límite, I  s  s Ln     s  ds I  s0  s0obtendremos
    • 47 s     s  ds I  s   I 0  s0  e s0 , que es lo que queríamos demostrar. Por definición de camino óptico, tambiéntenemos la solución: I     I  0  e , y en medio ópticamente delgado  I     I  0  , ya que   0 .5º.- En el caso en que la función fuente es constante, es decir la razón entre elcoeficiente de emisión espontanea y el coeficiente de absorción, permanececonstantes en el proceso, puede ser gracias a que jv y  permanezcan ambosconstantes a la vez, la solución de la ecuación de trasferencia será: I     I  0  e  S  1  e   S  e  I  0   S Esta ecuación que es muy importante, la demostraremos de la siguientemanera: Sabemos que la solución de la ecuación de transferencia de energía parala radiación de energía esta dado por: I      I  0e  0 e  S  d         Como la función fuente es constante, entonces I      I  0e  S 0 e         d   I  0e  S e     0 e d    I  0e   S e  e  1     I  0e-   S 1  e-    I  0e -   S  S  e - por lo tanto I    S  e  I  0  S que es la ecuación que queríamos demostrar.
    • 48 Vemos en esta ecuación que si     , entonces I     S .Recordemos que si la dispersión está presente, S contiene una contribución deI  , por lo tanto no es posible determinar a priori S  . Una de las formasdetratar éste caso se trata con la aproximación de Sobolev [9] pág. 102.6º.-El camino libre medio es un concepto muy usado y se define como ladistancia promedio que un fotón puede viajar en un medio absorbente antes deser absorbido [13]. Desde la ley exponencial para la absorción, s  s 0  s ds I  s   I  s 0 e 0 ,la probabilidad de que un fotón viaje un camino óptico igual a  , es e . El camino óptico medio viajado será así igual a la unidad:      e d  1 . 0a distancia física media viajada en un medio homogéneo se define como elcamino libre medio l y se define por:    l  1o 1 1 l   .  nAsí el camino libre medio l es simplemente el recíproco al coeficiente deabsorción para un material homogéneo. Si el material no es homogéneo podemos definir un camino medio localcomo el camino libre medio que resultaría si el fotón viajara a través de unaregión homogénea que tenga las mismas propiedades. Así en cualquier puntotendremos: 1 l  . 
    • 497º.- Cuando un medio absorbe radiación, ésta ejerce una fuerza en el medio,debido a que la radiación lleva consigo un momentum [13]. Primerodefinamos el vector flujo de radiación: F    I nd ,donde: n es un vector unitario a lo largo de la dirección del rayo. Recordemosque un fotón tiene un momento igual a E/c, así que el vector momento porunidad de área, tiempo y por unidad de longitud de camino absorbido por elmedio es: 1 c   F  dDado que: dAds  dV , es la fuerza por unidad de volumen impartida dentrodel medio por el campo de radiación. Notemos que la fuerza por unidad demasa del material esta dado por f   o: 1 c f   F  d . Estas dos últimas ecuaciones asumen que el coeficiente de absorción esisotrópico. También asumen que no se imparte momento debido a la radiacióndel propio material, y esto es debido a que la radiación es isotrópica.§ II.1.4.- Radiación térmica, leyes de Kirchhoff [14]. 1º.- Todos los cuerpos emiten en mayor o menor grado, radiaciónelectromagnética u ondas electromagnéticas (cuánticamente hablaríamos defotones). Por ejemplo, los cuerpos muy calientes, radian en el espectro de laluz visible, mientras que a temperaturas ordinarias sólo son fuentes invisiblesde radiación infrarroja, en el caso de los sólidos se genera gracias a las cargaseléctricas que se encuentran en la superficie, cuando éstas son aceleradas porel efecto de agitación térmica y en el caso de los gases por causas que yaindicamos.
    • 50 La radiación electromagnética que emite la substancia y que seproduce a expensas de su energía interna (se llama energía interna de uncuerpo o sistema termodinámico, a la energía que sólo depende del estadotermodinámico del cuerpo (sistema)) se llama térmica (podemos decirtambién que la radiación térmica es aquella radiación emitida por materia queesta en equilibrio térmico). Esta radiación depende únicamente de latemperatura y de las propiedades ópticas de los cuerpos que la emiten. Si laenergía que gasta el cuerpo en radiación térmica no se repone cediéndolecalor, su temperatura desciende paulatinamente y la radiación térmicadisminuye. Se denomina intercambio de calor por radiación el proceso espontáneode transmisión de energía en forma de calor de un cuerpo más caliente a otromenos caliente, que se efectúa mediante la radiación térmica y la absorción delas ondas electromagnéticas por estos cuerpos. 2º.- La radiación térmica es la única que puede estar en equilibriotérmico con la substancia. En estado de equilibrio, el gasto de energía delcuerpo en radiación térmica se compensa con la absorción por dicho cuerpo deuna cantidad igual de energía de la radiación que incide sobre él. La radiaciónen equilibrio se establece en un sistema adiabático cerrado (es decir, que nointercambia calor con el medio), en el cual todos los cuerpos se hallan a lamisma temperatura. Del segundo principio de la termodinámica se deduce que la radiaciónen equilibrio no depende del material de los cuerpos que forman el sistemacerrado en equilibrio termodinámico. La densidad volumétrica de la energíade radiación en equilibrio y su distribución según las frecuencias sonfunciones universales de la temperatura. 3º.- Como característica espectral de la radiación en equilibrio se usa ladensidad espectral    de la densidad volumétrica   de la energía de estaradiación: d  ( , T )  , ddonde d es la densidad de energía de la radiación en equilibrio confrecuencias desde  hasta  +d contenida en un volumen del campo deradiación.La densidad volumétrica de la energía de este campo será:
    • 51      ( , T )d . 0 La radiación en equilibrio es isótropa, o sea, no está polarizada y todassus direcciones de propagación son igualmente probables. La energía dEr de radiación en equilibrio en el vacío, con frecuenciasdesde  hasta   d , que incide por unidad de tiempo en la unidad de área dela superficie de cada uno de los cuerpos del sistema en equilibriotermodinámico, es: c dEr   ( , T )d , 4 4º.-Se llama emitancia energética (o emisividad integral) de un cuerpola magnitud física Re, numéricamente igual a la energía de las ondaselectromagnéticas de todas las frecuencias posibles (o de todas las longitudesde onda desde 0 hasta ) emitidas por la unidad de área de la superficie delcuerpo en la unidad del tiempo. Recibe el nombre de emisividad, poder emisivo o densidad espectral deemitancia energética de un cuerpo, la magnitud física numéricamente igual ala razón de la energía Er, radiada en la unidad de tiempo por la unidad de áreade la superficie del cuerpo, mediante ondas electromagnéticas en un estrechointervalo de frecuencias, desde  hasta   d (o de longitudes de onda en elvacío, desde  hasta   d  ), a la anchura de este intervalo: dEr r  d dE r  d c r  r 2 r (o r ) dependen de la frecuencia (o de la longitud de onda), de latemperatura, de la composición química del cuerpo y del estado de susuperficie.
    • 52 La emitancia energética del cuerpo está ligada con la emisividad pormedio de las relaciones:   Re   r d   r d . 0 0 5º.- El poder absorbente (o factor de absorción monocromática)de uncuerpo es una magnitud física adimensional a que indica la fracción deenergía de las ondas electromagnéticas con frecuencias desde  hasta d  ,incidentes sobre la superficie del cuerpo, que éste absorbe: dErabs a  1 , dErinca es función de la frecuencia  , temperatura T , composición química delcuerpo, y estado de su superficie. Se llama cuerpo negro el cuerpo que absorbe totalmente todas lasradiaciones que inciden sobre él, independientemente de la dirección quetenga la radiación incidente, de su composición espectral y de su polarización,sin reflejar ni transmitir nada: a  1. * 6º.- De acuerdo con el principio de equilibrio detallado [14], todoproceso microscópico que tenga lugar en un sistema en equilibrio debedesarrollarse con la misma velocidad que su inverso. Este principio de la físicaestadística permite hallar la relación entre el poder emisivo r y el poderabsorbente a de cualquier cuerpo opaco. Supongamos que el cuerpo entra enla composición de un sistema en equilibrio termodinámico que se encuentra atemperatura T . La energía radiada en la unidad de tiempo por unidad de áreade la superficie del cuerpo considerado en el intervalo de frecuencias desde hasta   d es
    • 53 dErad  r d .Durante ese tiempo, la misma porción de superficie del cuerpo absorbe laparte de energía radiada en equilibrio (p.3º) que incide sobre dichasuperficie. Esta parte será: c dEabs  a  ( , T )d . 4Como por el principio de equilibrio detallado dErad  dEabs ,resulta que: r c  r*   ( , T ) . a 4Esta ecuación expresa la ley de Kirchhoff, según la cual la razón del poderemisivo del cuerpo a su poder absorbente no depende de la naturaleza delcuerpo y es igual a la emisividad del cuerpo negro r* para los mismos valoresde la temperatura y de la frecuencia.La dependencia de r* respecto a  y T se llama función de Kirchhoff [14]: c r*  f ( , T )   ( , T ) . 4 7º.- De la ley de Kirchhoff se sigue que la emitancia energética de uncuerpo (p.4º) es:  Re   a r*d . 0 8º.-La radiación en equilibrio [14] a la temperatura T es idéntica a laradiación térmica del cuerpo negro a esa misma temperatura. Por esto, laradiación en equilibrio se suele llamar radiación negra. La relación entre la
    • 54emitancia energética del cuerpo negro y de la densidad volumétrica de laenergía de radiación negra tiene la forma:  c c R*  r    ( , T )d . 4 40 9º.- La ley de Stefan-Boltzmann [14] afirma que la emitancia energéticadel cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperaturaabsoluta: R*  T 4donde:   5.67*108 es la constante de Stefan-Boltzmann.Esta ley se puede deducir teóricamente analizando con los métodos de latermodinámica la radiación en equilibrio en una cavidad cerrada. 10º.- La dependencia de la emisividad del cuerpo negro r respecto a lafrecuencia  para varios valores constantes de la temperatura, se muestra en lasiguiente figura: Fig. 2.1.4.1 Emisividad de cuerpo negro vs. Frecuencia y longitud de onda[14].
    • 55En la región de frecuencias pequeñas, r*   2T , y en las frecuencias grandes(ramas de la derecha de las curvas alejadas de los máximos),   a1 r*   3e T ,donde a1 es un factor constante. La energía de radiación del cuerpo negro está distribuida irregularmentepor su espectro. El cuerpo negro casi no radia en las regiones de frecuenciasmuy pequeñas y muy grandes. A medida que aumenta la temperatura delcuerpo, el máximo de r* se desplaza al lado de frecuencias mayores, deacuerdo con la ley:  m  b1T ,en la que  m es la frecuencia correspondiente al máximo de r* para latemperatura T , y b1 es el factor constante.La dependencia de la emisividad del cuerpo negro, c r*  * r , 2  respecto de la longitud de onda  se puede apreciar en la figura anterior.Cuando la temperatura del cuerpo aumenta, el máximo de r* se desplaza haciael lado de lado de las longitudes de onda menores, de acuerdo con la ley dedesplazamiento de Wien. b m  Ten la que b  2.6*103 mK es la Cte. de Wien. 11º.- Todos los intentos de fundamentar teóricamente, dentro de losmarcos de la Física Clásica, la función de Kirchhoff r*  f  , T  , halladaexperimentalmente y representada en la figura, fueron inútiles. Así con losmétodos de la termodinámica se logró obtener la fórmula de Wien [14]:
    • 56  T , r*   3   en la que   T es una función incógnita de la relación  T . Basándose en las leyes de la electrodinámica y en la ley de la FísicaEstadística Clásica sobre la equipartición de energía según los grados delibertad del sistema en equilibrio se obtuvo la fórmula de Rayleigh-Jeans[14]: 2 2 r*  kT , c2en la que k es la constante de Boltzmann. La fórmula de Rayleigh-Jeans concordaba con los datos experimentalesúnicamente en la región de las frecuencias pequeñas. Además, de ella sededucía una conclusión absurda, según la cual, para cualquier temperatura, laemitancia energética del cuerpo negro Re y la densidad volumétrica de laenergía  de radiación en equilibrio eran infinitamente grandes. Esteresultado, a que llegó la Física Clásica en el problema de distribuciónespectral de la radiación en equilibrio, recibió el nombre de “catástrofeultravioleta” [14].
    • 57§II.2- EQUILIBRIO DE FOTOIONIZACIÓN§II.2.1.-INTRODUCCIÓN La emisión de radiación de energía electromagnética de las nebulosas,resulta de la fotoionización de la nube de gas difuso debido a fotonesultravioleta provenientes de una o varias estrellas. El equilibrio de ionización de cada punto en la nebulosa está fijado porel balance entre fotoionización y recombinación de los electrones con losiones. Ya que el Hidrógeno es el elemento más abundante, consideremos enprimera aproximación una nebulosa de puro hidrógeno bordeando una solaestrella. La ecuación de equilibrio de ionización estará entonces dada por(Osterbrock (1989)) [11]: 4 J a  H 0 d  N e N p  H 0 , T  ,  NH 0  0 hdondeJ es la intensidad media de radiación en el punto (en unidades de energía porunidad de área, tiempo, ángulo sólido e intervalo de frecuencia). Así,4 J , será el número de fotones incidentes por unidad de área, tiempo e hintervalo de frecuencia.a  H 0  es la sección transversal de ionización para el H debido a fotones conenergía h (sobre la energía umbral h 0 ). Por lo tanto, 4 J a  H 0 d representará el número de fotoionizaciones por átomo de  0 hhidrógeno y unidad de tiempo.  H 0 , T  es el coeficiente de recombinación, por lo tanto,
    • 58Ne N p  H 0 , T  será el número de recombinaciones por unidad de volumen ytiempo. AquíN e , N p y N H 0 son la densidad numérica de electrones, protones y átomosneutros por unidad de volumen respectivamente. Por lo tanto, podemos decirque las fotoionizaciones debidas al campo incidente deben ser iguales a lasrecombinaciones en cualquier punto de la nebulosa. En una primera aproximación, la intensidad media es simplemente laradiación emitida por una estrella reducida por el efecto del cuadrado inverso,así: R2 L 4 J   F  0    2 , r 2 4 rDonde,R es el radio de la estrella,  F  0  es el flujo en la superficie de la estrella.r es la distancia de la estrella al punto en cuestión, y L  es la luminosidad dela estrella por unidad de intervalo de frecuencia.Así tendremos: a  H 0 d  Ne N p  H 0 , T   L NH 0  0 4 r h 2 El campo de radiación ultravioleta es tan intenso que el hidrógeno decierta capa de la nebulosa es casi completamente ionizado. Ésta capa tieneaproximadamente un grosor de: 1 d  0.01 pc , N H 0 aestos fotones UV, no logran ionizar toda la nebulosa. Ésta profundidad esjustamente el camino libre medio de estos fotones.
    • 59 Tendremos así una primera región de la nebulosa que rodea a la estrellay que esta casi completamente ionizada a la cual se le llama “Strömgrensphere” o región HII, a ésta le sigue una pequeña capa de transición de gasneutro (pero con sus electrones excitados) llamada región HI, seguida de laúltima capa de gas neutro (con sus electrones no excitados). En ésta sección examinaremos la sección transversal de fotoionización ylos coeficientes de recombinación para el H, y entonces con esa informacióncalcularemos la estructura de esta región que hipotéticamente está constituidade puro hidrógeno.§II.2.2.-NÚMEROS CUÁNTICOS Y DIAGRAMA DE LOS NIVELESEN EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO El estado de excitación de un átomo se determina sabiendo los númeroscuánticos de los diferentes niveles y subniveles que pueblan los electrones, asípara caracterizar un nivel o un subnivel en el átomo se empieza dando elnúmero cuántico principal, designado por n que indica la capa del átomo, npuede ser: n  1, 2,3, 4,5,6,7,8...a las primeras capas se la designa por: K , L, M , O, P, Q,...respectivamente. Luego se caracteriza por el número cuántico orbital L que caracteriza alas subcapas y que toma valores dependiendo del número cuántico principalcomo sigue: L  0,1, 2,3,..., n 1 .Se sigue con el número cuántico magnético designado por m y que tomavalores dependiendo del número cuántico orbital: m  0, 1, 2, 3,...  L .
    • 60Luego se caracteriza por el número cuántico magnético de espín ms quesolamente puede tomar dos valores. ms   s, s,.....donde : s  1 2 Los electrones van poblando los niveles y subniveles de los átomos,tomando en cuenta el principio de exclusión de Pauli, que se enuncia en laforma más simple de la siguiente manera: “en todo átomo no puede haber doselectrones que se encuentren en dos estados estacionarios igualesdeterminados por el conjunto de los cuatro números cuánticos: principal n ,orbital L magnético m y de espín ms ”.§II.2.3.-FOTOIONIZACIÓN Y RECOMBINACIÓN PARA ELHIDRÓGENO. En el siguiente gráfico, Osterbrock (1989) [11] pag.15, se ven losniveles de energía para el átomo de hidrógeno tomando en cuenta los númeroscuánticos principal y orbital, a demás se gráfica con líneas continuas lastransiciones permitidas para los electrones según la regla de selección L  1 ;el único caso que se escapa a esta regla es la posibilidad de la transición 2s a1s teniendo el mismo L e igual a uno.
    • 61 Fig. 2.2.3.1 Diagrama de los niveles de energía de HI. Las líneas continuas indican todaslas transiciones posibles entre los niveles de energía hasta n  7 y L  5 , se ve que secumple la regla de transición L  1 excepto para la transición 2s a 1s . La probabilidad de transición desde un nivel nL a uno nL denotadopor: AnL,nL son del orden de 104 s 1 a 108 s 1 , teniendo a la excepciónnuevamente al proceso A2 s,1s  8.23s 1 . El tiempo de vida media del electrón enun nivel excitado nL esta dado por:
    • 62 1  nL     n n 1 L L 1 AnL ,nLpor lo tanto estas son del orden de 104 s a 108 s , con la única excepción para eltiempo de vida media en el nivel 2s dado por: 1  2s   0.12s . 8.23s 1Como vemos es muy improbable (comparado con los demás casos) que ocurrala transición de 2s a 1s , que hasta se podría tomarse como cero en loscálculos, pero una vez que el átomo se excita a dicho nivel, tiene un tiempo devida media grande comparada con los casos comunes. Pero incluso estetiempo de vida es a su vez pequeño comparado con el tiempo de vida mediadel hidrogeno antes de ser fotoionizado o simplemente excitado en la nube.Así, con muy buena aproximación podemos afirmar que en una nube dehidrógeno todos los átomos neutros tienen a su electrón en su estado base yque la fotoionización desde este nivel es balanceada por la recombinación atodo nivel y si la recombinación fue a un nivel excitado ésta es seguidarápidamente por transiciones de cascada hacia abajo. Esta básicaaproximación simplifica tremendamente los cálculos de condiciones físicas ennebulosas gaseosas. Cada nivel en un átomo neutro tiene una sección transversal defotoionización, cuanto mayor sea ésta, mayor será la probabilidad defotoionizarlo (ionizarlo mediante un fotón). Ésta sección dependerá tambiénde la frecuencia  del fotón ionizante y de la frecuencia umbral  1 (frecuenciamínima que debe tener el fotón para ionizar al átomo). Así por ejemplo lasección transversal de fotoionización del átomo de hidrógeno neutro (o engeneral para un ion hidrogénico de carga nuclear Z ) para el nivel 1s está dadopor [11]:  4arctan   4   A0   1  e    a  Z     2 para   1 , Z2     1 e donde
    • 63 28   1  2   a0  6.30*10 cm , 18 A0   2 3e4  137.0    1 , 1y h1  Z 2 h 0  13.60Z 2eVes la energía umbral (notar que: 1   0 para el hidrógeno neutro). Los fotones producidos por fotoionización tienen una distribución J ainicial de energía que depende de . Sin embargo, la sección transversal hpara dispersiones por colisión elástica entre electrones es realmente grande, 2  e2 del orden de 4  2   1013 cm2 , y estas colisiones tienden a establecer una  m distribución de Maxwel-Boltzmann para la energía. La sección transversal derecombinación y todas las otras secciones transversales que se presentan en lanebulosa son mucho más pequeñas. Así, con muy buena aproximación, ladistribución de los electrones fotoionizados se puede considerar como unafunción Maxweliana, y por lo tanto todos los procesos colisionales ocurren enrazones fijadas por la temperatura local definida por su maxweliana. Por lotanto el coeficiente de recombinación a cierto nivel especificado nL puede serescrito como  nL  H 0 , T     nL  H 0 ,  f   d ,  0donde 3  2 4  m  2 2  mkT f      e 2   2kT es la función de distribución de Maxwel-Boltzmann para las velocidades delos electrones, y
    • 64  nL  H 0 , es la sección transversal de recombinación al nivel nL en el hidrógeno neutro,para electrones con velocidad  . Esta sección transversal varíaaproximadamente como  2 , y el coeficiente de recombinación, el cual es 1 proporcional a  , por lo tanto varía como T . En el próximo capítulo 2calcularemos valores para el coeficiente de recombinación para los niveles connumero cuántico principal desde 1 a 20 y orbital desde 0 a 19, paratemperaturas de 1250ºK, 2500ºK, 5000ºK, 10000ºK, 15000ºK, 20000ºK, y40000ºK; para las temperaturas de 5000ºK, 10000ºK, 15000ºK, 20000ºK, lavelocidad media de los electrones es del orden de 5*107 cm s y la seccióntransversal de recombinación  para estas velocidades será del orden de1020 cm2 a 1021 cm2 [11] que es mucho menor comparado con la seccióntransversal geométrica del átomo de hidrógeno. En la aproximación nebular discutida previamente la recombinación acualquier nivel nL , es seguida por transiciones por cascada hacia abajo hastallegar rápidamente al nivel 1s , y el coeficiente de recombinación total es lasuma de las capturas a todo los niveles, comúnmente escrito como  A   nL  H 0 , T  n, L n 1   nL  H 0 , T  n L 0    n  H 0 , T  n 1donde  n es el coeficiente de recombinación para todos los niveles connúmero cuántico principal n . Un valor típico del tiempo de recombinación es 1 3*1012 105 r   s años , Ne A Ne Nedonde N e es la densidad de electrones; también las desviaciones desde elequilibrio de ionización decaen en el tiempo en ese orden de magnitud.
    • 65 Luego de estudiar la recombinación (mediante el coeficiente derecombinación) ahora estudiemos la fotoionización (mediante el coeficiente deemisión). Consideremos el problema de una estrella rodeada de una nube de gasestática y homogénea conteniendo sólo hidrógeno al cual ioniza. Unicamentela radiación con frecuencia    0 es efectiva para la fotoionización delhidrógeno desde el nivel base, y la ecuación de equilibrio de fotoionización encada punto puede escribirse como [11] 4 J a d  N p N e A  H 0 , T   NH 0  0 hdonde J es la intensidad específica media de radiación electromagnética dela estrella y la que se produce por el efecto de cascada. La ecuación de transferencia de radiación con    0 puede escribirse enla forma [11] dI   N H 0 a I  j , dsdonde I es la intensidad específica de radiación y j es el coeficiente deemisión específica local (en unidades de energía por volumen, tiempo, ángulosólido y frecuencia) de la radiación ionizante. Conviene dividir el campo de radiación en 2 partes, una parte estelarque es resultado directo de la radiación que emite la estrella y una parte difusaresultado de la emisión del gas ionizado. I  I s  I d La radiación estelar decrece antes de llegar y al entrar a la nube debidoa la dilución geométrica (inversamente al cuadrado de la distancia) y a laabsorción. Dado que la única fuente es la estrella, esto puede escribirse como[11] R 2e 4 J s   F s  r    F s  R  r2
    • 66donde F  r  es el flujo de la radiación estelar por unidad de área, tiempo e sintervalo de frecuencia a una distancia r; F  R  es el flujo a una distancia de justo el radio R de la estrella, es decir en ssu superficie y es el camino óptico radial a una distancia r ,    N H  r   a dr  , r 0 0el cual también puede ser escrito en términos del camino óptico en elumbral  0 (comienzos de la nebulosa) como a   r   o r  . a 0La ecuación de transferencia para la radiación difusa I es d dI d   N H 0  r  a I d  j , dsy para kT  h 0 la única fuente de radiación ionizante son las recapturas delos electrones desde el nivel 1s, ya que es el fotón de mayor energía que seemite en la recombinación. El coeficiente de radiación para esta emisión es 3 h  0  2h 3  h 2  2  j T   2   a e kT N p Ne    0  , c  2 mkT el cual tiene un peak en el umbral    0  .El número total de fotones generados por recombinación al nivel base estádado por el coeficiente de recombinación mediante la siguiente relación: 4 J d  N p Ne1s  H 0 , T    0 h
    • 67y dado que 1s   A , en promedio el campo de radiación difusa J es más dpequeño que el campo de radiación estelar J , y podemos calcularlo por un sprocedimiento iterativo. Para una nebulosa ópticamente delgada, una primeramuy buena aproximación es tomar J  0. d Por otro lado, para nebulosas ópticamente gruesas, una primera buenaaproximación es el hecho de que no todos los fotones ionizantes puedenescapar de la nebulosa, así que todos los fotones del campo de radiacióndifuso generados dentro de la nebulosa son absorbidos en cualquier otro puntoen la nebulosa, hecho que se traduce en la siguiente ecuación: J a J d 4  dV  4  N H 0 dV , h hdonde la integración es en el volumen entero de la nebulosa. Esta relación sesatisface inmediatamente mediante la aproximación de punto spot(aproximación en el punto mismo) que se expresa mediante la siguienterelación local: j J d  , N H 0 aque indica que toda radiación que se genera en un punto dentro de la nebulosa,es absorbida en un punto muy cercano a él. Ésta aproximación es muy buenadebido a que los fotones del campo de radiación difusa tienen    0 , y estoimplica una gran sección transversal de fotoionización a y por lo tanto unpequeño camino libre medio para el fotón antes de ser absorbido. Tomando la aproximación on the spot y usando la ecuación de dilucióngeométrica y la del número total de fotones generados por fotoionización,entonces la ecuación de equilibrio de ionización será: N H 0 R2  F  R   a e d  N p Ne B  H 0 , T   r2  0 hdonde
    • 68  B  H 0 , T    A  H 0 , T   1s  H 0 , T     n  H 0 , T  . 2 El significado físico es que en las nebulosas ópticamente gruesas, laionización causada por fotones del campo de radiación estelar es balanceadopor recombinaciones a niveles excitados del hidrógeno, mientras querecombinaciones al nivel base generan fotones que a su vez pueden ionizar, yque por tanto son absorbidos en cualquier otro punto en la nebulosa, sin tenerun efecto neto en el balance de ionización global en la nebulosa. Paracualquier espectro estelar incidente  F  R  , la integral de esta última ecuaciónpuede ser tabulada como una función conocida de  0 dado que a y  sonfunciones conocidas de . Así, para cualquier distribución de densidadesasumida NH  r   NH 0  R   N p  r y distribución de temperatura T  r  , las ecuaciones N H 0 R2  F  R   a e d  N p Ne B  H 0 , T  y    N H  r   a dr   r r2  0 h 0 0pueden integrarse para encontrar N H 0  R  y N p  r   Ne  r  .§ II.2.4- Equilibrio térmico en nebulosas La temperatura en una nebulosa estática es fijada por el equilibrio entreel calentamiento por fotoionización y el enfriamiento por recombinación yradiación de la nebulosa [11]. Cuando un fotón de energía h es absorbidocausando una ionización del hidrógeno, el fotoelectrón producido tiene una 1 2energía inicial m  h   0  , y podemos pensar en un electrón que ha sido 2creado (está libre del átomo de hidrógeno) con dicha energía . Los electrones
    • 69así producidos son rápidamente termalizados, y en equilibrio de ionizaciónestas fotoionizaciones son balanceadas por igual número de recombinaciones. 1En cada recombinación un electrón térmico con energía m 2 desaparece, y 2un promedio de estas cantidades sobre todas las recombinaciones representa laenergía media que “desaparece” por recombinación. La diferencia entre laenergía media de un fotoelectrón creado nuevamente y la energía mediaperdida por un electrón recombinandose, representa la ganancia neta enenergía por el gas de electrones por el proceso de fotoionización. En equilibrioesta energía neta ganada es balanceada por la pérdida de energía por radiación,fundamentalmente por excitación del electrón del átomo, ya sea por colisióncon un electrón o un ion, llevando al electrón a niveles externos, seguido porla emisión de fotones que pueden escapar de la nebulosa. La emisión libre-libre o la de Bremsstrahlung, es otro mecanismo menos importante por el cualse pierde energía [11]. La energía entrante por fotoionización considerando una nebulosa quecontiene sólo hidrógeno (por unidad de volumen y tiempo) en cualquier puntoespecífico de la nebulosa esta dado por (Osterbrock [11]): 4 J h   0  a  H 0  d  G  H   NH 0  0 h  N p Ne A  H 0 , T  kTi 3 2 3la expresión kTi representa la temperatura inicial del fotoelectrón creado 2nuevamente. Desde esta ecuación puede verse que la energía media de unfotoelectrón creado nuevamente depende de la forma del campo de radiaciónincidente, pero no en absoluto de la intensidad de la radiación. La energía cinética perdida por el gas de electrones (por unidad devolumen y tiempo) en la recombinación puede escribirse como: LR  H   N p Ne kT  A  H 0 , T  ,donde
    • 70   A  H 0 ,T    n  H 0 ,T  n 1  n 1    nL  H 0 , T  , n 1 L  0con  nL  H 0 , T    nL  H 0 , T  m 2 f   d , 1  1 kT  0 2llamada coeficiente de enfriamiento por recombinación, dada en cm3 s , valorespara éste coeficiente se pueden encontrar en Osterbrock, D (1989) Pág. 51 En una nebulosa que contiene solamente hidrógeno y que no pierderadiación, la ecuación de equilibrio térmico podría escribirse como G  H   LR  H  ,y la solución para la temperatura nebular podría dar un T  Ti gracias alcalentamiento debido a la captura preferencial de electrones más lentos. Otros dos mecanismos menos importantes de enfriamiento son lasradiaciones libre-libre y las colisionales, así la ecuación de equilibrio térmicose escribirá: G  LR  LFF  LC .
    • 71§ II.3- Ecuación de Saha y Boltzmann. Entre las propiedades ópticas de los átomos, la más importante es el desu espectro de radiación, para un hidrogenoide (o hidrógeno isoelectrónico,ej. He+, Li++, Be+++, y otros) las frecuencias de las rayas en el espectro delineas (discreto) se define por la fórmula de Balmer-Rydberg [14]:  1 1    Z 2R   2 n m  2donde me4 R 2 3 (en el sistema SI) 8 0 hy 2 2 me4 R (en el sistema de Gauss). h3Las magnitudes R y R  R c son las constantes de Rydberg en s 1 ycm1 o m-1 respectivamente: R  3.2931193*1015 s 1 y R  1.0973731*107 m1 ; ym  n  1, n  2, n  3 etc. La energía para un ion hidrogenoide teniendo a su electrón en el estadocorrespondiente al número cuántico principal es Z 2 Rh En   n2 Se denomina energía de enlace del electrón en el átomo, la magnitudabsoluta de En . El valor mínimo E1 (para n  1 )corresponde al estadofundamental, normal o base del átomo. Todos los valores de la energía paran  1 caracterizan los estados excitados del átomo. El valor máximo Emáx  0 para n   corresponde a la ionización delátomo o ion, es decir a la separación el átomo de él. La energía de ionizaciónes igual a la energía de enlace del electrón en el átomo (o ion). El potencial de ionización de un hidrogenoide que se encuentre en elestado de número cuántico principal n (o que tenga a su electrón en eseestado), es
    • 72 Z 2 Rh  , en 2donde e , es la magnitud absoluta de la carga del electrón, y por tanto laenergía de ionización de un hidrogenoide que tiene a su electrón en el estadon será:  Z 2 Rh  Z 2 Rh EI  Emax  En  0    2   2  En ,  n  nque demuestra lo que se dijo anteriormente. En equilibrio termodinámico a temperatura T , los átomos estándistribuidos sobre sus niveles ligados de acuerdo a la ecuación de excitaciónde Boltzmann. Denotemos por nijk a la densidad numérica de átomos en el nivelexcitado i de estado de ionización j de la especie química k , donde i  0denota al estado base, i  1 al estado de excitación 1 (dependiente de todos losnúmeros cuánticos, no solamente con n  i ), y así sucesivamente, j  0 denotaal átomo neutro, j  1 denota al átomo una vez ionizado, etc. Sea  ijk la energía de excitación relativo al estado base del átomo(energía que se necesita para llevar un electrón desde su estado base al nivelexcitado i ) y sea gijk el peso estadístico asignado al nivel dado por ladegeneración de sus subniveles (ej. 2 j  1 estados en la ausencia de campomagnético). Entonces de acuerdo a la ley de Boltzmann, la población decualquier nivel excitado es: *  nijk  gijk  ijk  n    g e kT  0 jk  0 jkdonde el subíndice 0 denota el nivel base y * indica que ésta ecuación secumple en equilibrio termodinámico local (LTE). Para dos niveles excitados,m y l la ecuación de Boltzmann será: *  nmjk  g mjk   mjkkT ljk     e n  gljk  ljk  h lm g mjk   e kT , gljk
    • 73donde h ml es la energía del fotón que es igual a la diferencia de energía de losdos niveles. Las densidades numéricas de átomos e iones en estados sucesivos deionización puede hallarse desde la ecuación de Saha, la cual es una extensiónde la ecuación de Boltzmann para estados libres. La forma básica de la ecuación de Saha se da por la siguiente relación[8] (Mihalas 1978): 3 1  h 2  2  g0,0,k  kT k I ,0, n * n * n *   e 2  2 mkT   g 0,1,k  00 k 0,1, k e  donde  I , j ,k es el potencial de ionización. Esta ecuación aplicada entre dosestados sucesivos de ionización tiene la forma: 3 * 1 h 2  2  g0, j ,k  kTj ,k I, n*  n0, j 1,k ne  *   e 2  2 mkT   g 0, j 1,k  0 jk   Aplicando la ecuación de Boltzmann, podemos encontrar la población odensidad numérica de átomos en cualquier estado de excitación y por tanto yatendremos la población en cualquier estado de ionización y excitación entérminos de la temperatura, la densidad de electrones y la población en elestado base del átomo en estado de ionización j  1 (población del ion j  1 ), asaber: 3 * 1 h 2  2  gi , j , k   I , j ,kkTi , j ,k  nijk  n0, j 1,k ne  * *   e . 2  2 mkT   g0, j 1,k    Esta es la forma más usada de la ecuación de Saha. El superindice * enel lado derecho de la ecuación anterior se puede omitir, por que esta ecuaciónse puede usar para definir poblaciones en LTE en todas las ecuaciones endesequilibrio local termodinámico (non-LTE), pero siempre en equilibrioestadístico.
    • 74 § II.4- Espectro emitido por nebulosas gaseosas Las líneas de recombinación del espectro de las regiones HI o H0(Hidrógeno neutro) son producidas por saltos (del electrón capturado desde elcontinuo) entre los niveles; pasando por niveles excitados hasta el nivel base;éstos saltos son llamados por cascada hacia abajo. En el límite de bajasdensidades, los únicos procesos que necesitan ser considerados son los decapturas o recombinaciones y transiciones radiativas hacia abajo o cascada.Así la ecuación de equilibrio estadístico para cualquier nivel designado por nLpuede ser escrita como  n 1 N p Ne nL T     n n 1 L L 1 N nL AnL,nL  N nL   n1 L L 1 AnL,nL , (II.4.1)Note que en general la probabilidad de transición por segundo AnL,nL  0solamente si L  L  1 , teniendo a la única excepción al caso A2 s ,1s . El primer sumando del lado izquierdo de la ecuación (II.4.1) representala densidad numérica de electrones recombinándose (densidad numérica derecombinaciones) al nivel nL ; aquí  nL T  es el coeficiente de recombinaciónal nivel excitado nL . El segundo sumando indica a la densidad numérica deelectrones que llegan al nivel nL vía cascada desde niveles excitados másaltos. Aquí N nL es la densidad numérica de electrones que pueblan al nivelnL (población del nivel nL que está por encima del nivel nL ) y AnL,nL es laprobabilidad de transición de un electrón desde el nivel nL al nivel nL . Ellado derecho de la ecuación nos indica la densidad numérica de electrones quecaen por cascada desde el nivel nL a niveles de excitación inferiores. Aquí N nL es la densidad numérica de electrones poblando el nivel nL y AnL,nL es laprobabilidad por segundo de que ocurra la transición de un electrón quepuebla el nivel nL al nivel inferior nL . Así la ecuación (II.4.1) nos indica en resumidas cuentas que el númerode electrones que llegan al nivel nL , ya sea por recombinación o por cascadadesde niveles superiores, son los que tienen que caer por cascada a nivelesinferiores. No se toman en cuenta las transiciones por cascada hacia arriba porque se supone que la nube de gas no es densa así se supone que no existencolisiones que exciten a los átomos y lleven sus electrones ya sea a nivelessuperiores como inferiores y tampoco se toma en cuenta que la radiacióndentro de la nebulosa pueda excitar a los átomos llevando a sus electrones a
    • 75niveles superiores; la radiación estelar (la que proviene desde la estrella) seabsorbe ionizando directamente al átomo y creando radiación secundaria(efecto llamado trituración de los fotones) que son los fotones que se crean porcascada de los electrones que se recombinaron (por equilibrio defotoionización dijimos que todos los electrones fotoionizados se recombinannuevamente en cualquier punto de la nebulosa. Es más, en la aproximación depunto spot se absorbe en un lugar muy cercano al punto donde se fotocreo),estos fotones creados no tienen la energía suficiente para fotoionizar y portanto la nube es ópticamente delgada para ellos y son los que salen de lanebulosa y llegan a nosotros. Es conveniente expresar las poblaciones en términos de los factores sindimensión bnL que miden la desviación desde el equilibrio termodinámico atemperatura local T , N p y N e . Los motivos que llevan al desequilibrio sonprincipalmente los efectos colisionales y los de fotoexcitación. Dado que en equilibrio termodinámico tanto la ecuación de Saha 3 h N p Ne  2 mkT  2  kT0   e , (II.4.2)  h  2 N1sy la ecuación de Boltzmann X N nL  n   2 L  1 e kT (II.4.3) N1sse pueden aplicar, entonces a partir de estas ecuaciones (que son formasparticulares de las que dimos anteriormente para el átomo de H), podemosencontrar la población del nivel nL en equilibrio termodinámico, a saber: 3  h 2  Xn 2 N nL   2 L  1   e N p Ne , kT (II.4.4)  2 mkT donde h 0 X nL  h 0   n  (II.4.5) n2
    • 76es el potencial de ionización del nivel nL . Por lo tanto las poblaciones puedenser escritas en forma general como: 3  h2  2 X n N nL  bnL  2 L  1   e N p Ne , kT (II.4.6)  2 mkT y en el equilibrio termodinámico. bnL  1 Sustituyendo (II.4.6) en (II.4.1) podemos encontrar estas desviacionesdel equilibrio, teniendo así: 3 X  X  nL  2 mkT  2  kTn X   2 L  1  nkT n n 1 e    bnL AnL,nL   bnL   AnL,nL 2L  1  h2   e   n n 1 nK L  2L  1  n1 L L 1 (II.4.7) Podemos ver que esta ecuación puede resolverse por un procedimientosistemático al trabajar disminuyendo n ; como los bnL son conocidos para todon  nK , comenzando con un último nivel considerado, donde los AnL,nL paraniveles mayores se consideran cero; entonces las n ecuaciones (II.4.7), con L  0,1, 2,..., n  1 para n  nK  1 , tienen un único valor no conocido bnL y puedenser resueltas inmediatamente, y así sucesivamente hacia abajo. Al calcular losbnL en último nivel considerado no se necesitarán los bnL anteriores por que lasprobabilidades de transición espontáneas se consideran cero cuando latransición es en el mismo n . Otra forma más elegante de solucionar la ecuación de equilibrioestadístico (II.4.1) es vía las matrices de cascada CnL,nL , que se define como laprobabilidad de que la población de nL sea seguida por una transición a nLvía toda posible ruta de cascada. La matriz de cascada puede ser generadadirectamente desde la matriz de probabilidad PnL,nL que da la probabilidad quela población del nivel nL sea seguida por una transición radiativa directa alnivel nL , AnL ,nL PnL,nL  n 1 , (II.4.8)  n1 L L 1 AnL,nL
    • 77la cual es cero a menos que L  L  1a excepción del caso A2 s ,1s que no es ceropero que se lo podría considerar así por ser muy pequeño comparado con losdemás. Dado quepara n  n 1 , CnL,n1L  PnL,n1L ;para n  n  2 , CnL,n2 L  PnL,n 2 L   L L1 CnL,n 1L Pn 1L,n 2 Lpara n  n  3 CnL,n3L  PnL,n3 L   C L L1 P nL , n 1L n 1L, n 3 L  CnL,n2 L Pn2 L,n3 L etc. Así que si definimos: CnL,nL   LL (II.4.9)entonces en general tendremos: n CnL,nL    n n1 L L 1 CnL,nL PnL,nL (II.4.10) La solución de las ecuaciones de equilibrio (II.4.1) la escribimos abajo.Las poblaciones de los niveles nL serán fijadas por el balance entrerecombinaciones a todos los niveles n  n que caen por cascada a nL y portransiciones radiativas desde nL hacia niveles inferiores; Así tendremos(Osterbrock):  n1 n 1 N p Ne    nL T  CnL,nL  N nL   AnL,nL (II.4.11) n  n L   0 n1 L L 1
    • 78 Es conveniente expresar los resultados en esta forma debido a que unavez que se encuentra las matrices cascada, éstas pueden usarse para encontrarlos factores bnL o las poblaciones N nL a cualquier temperatura, o incluso paracasos en los cuales las poblaciones ocurren por otros procesos no radiativos,tal como la excitación debido a colisiones, ya sea por electrones o fotones,trasladando al electrón ya sea desde el nivel base o desde cualquier nivelexcitado que esté por encima, debajo o al mismo nivel que el nL (mismo n )considerado hasta nL . Si se toma un nmáx y se fitea los resultados para  nL yCnL, nL , se puede extrapolar los resultados para encontrar el valor para n   . Una vez que las poblaciones N nL han sido encontradas, los coeficientesde emisión en cada línea (intensidad desde n a otro n ) se pueden encontrarmediante la siguiente expresión h nn n 1 jnn    NnL AnL,nL . 4 L 0 L L 1 (II.4.12) La situación que se ha estado considerando es comúnmente llamadocaso A en la teoría de radiación de la línea de recombinación, donde se asumeque todos los fotones emitidos escapan de la nebulosa sin ser absorbidos y porlo tanto sin causar futuras transiciones hacia arriba. El caso A es así una buenaaproximación para nebulosas gaseosas que son ópticamente delgadas en todaslas líneas de resonancia HI, de hecho éstas nubes también son poco densas,débiles para ser observadas sencillamente. Las nebulosas que contienen cantidades observables de gasgeneralmente tienen un largo camino óptico, lo que quiere decir   1 en laslíneas de resonancia Lyman de HI. Esto puede verse en la ecuación de lasección transversal de la línea central de absorción, 1 3 3  m  2 a0  Ln   n1  H  Anp ,1s (II.4.13) 8  2 kT donde n1 es la longitud de onda de la línea (se tiene mayor camino ópticocuando menor es la sección transversal y para este caso cuanto menor es lalongitud de onda del fotón incidente y por tanto cuanto mayor sea la energíadel fotón, como es el caso de los fotones Lyman). Así a una temperatura típica
    • 79 4T  10000º K el camino óptico en L es alrededor de 10 veces el camino ópticoal límite Lyman    0 de la ionización al continuo. Y una nebulosa conionización limitada con  0  1, por lo tanto tiene:   L   104 ,   L   103 ,   L8  102 y   L18  10 .En cada dispersión existe una probabilidad finita de que un fotón de la serieLyman sea convertido en fotones de series más bajas (Balmer, Paschen,Brackett, Pfund, etc.), más un número más pequeño de fotones en la serieLyman. Así por ejemplo un átomo de hidrogeno neutro (HI) absorbe un fotónL este eleva a su electrón desde el nivel base al nivel 3 p , luego este electróntiene la probabilidad 0.882 de caer nuevamente al nivel 1s  P3 p,1s  P31,10  0.882 emitiendo otra vez un fotón H , y si sigue este proceso este fotón nuncaescaparía de la nebulosa, pero también tiene la probabilidad de que éste fotón L sea convertido en un fotón H con una probabilidad de P p,2 s  P  0.118 más 2 fotones en el continuo, debido a la transición 2s  1s . 3 31,20En este caso, de la nebulosa saldrán estos dos fotones más el fotón H y no elfotón L (después de 9 dispersiones en promedio, un fotón L se convierte enun fotón H ). Así mismo un fotón L tiene la probabilidad de generar otra vezun fotón L , en éste caso tampoco escaparía de la nebulosa por tener uncamino óptico largo siendo nuevamente absorbido por la nebulosa, perotambién tiene la probabilidad de convertirse en un fotón P más un fotón H ymás un fotón L , y también tiene la probabilidad de convertirse en un fotón H  , más dos fotones 2s  1s al continuo. Los fotones L continuamente sonabsorbidos y emitidos, sin crear otros fotones y sin escapar de la nebulosa. Asípodemos observar que para nubes relativamente densas, los fotones Lyman nopueden escapar de la nebulosa; sólo se escapan los fotones a los cuales setransforman, es decir a los fotones de las series más bajas, por lo tanto en estoscasos de largos caminos ópticos, una mejor aproximación que el caso A es elllamado caso B, en que se asume que los fotones Lyman no aportan alespectro que sale de la nebulosa. Sin embargo la situación real es intermedia,
    • 80y es similar al caso B para las líneas Lyman mas bajas, pero progresacontinuamente a una situación cercana al caso A cuando n   y   Ln   1 . Bajo condiciones del caso B, cualquier fotón emitido en una transiciónnp  1s (fotón Lyman), es inmediatamente absorbido en las cercanías delpunto de emisión en la propia nebulosa, así poblando el nivel n en algún otroátomo. Dado que en el caso B las transiciones hacia el nivel 1s no seconsideran, entonces en las ecuaciones (II.4.1), (II.4.7), (II.4.8), y (II.4.11)simplemente se hace n  n0  2 para considerar este caso; así, con estaconsideración no se sumaran los aportes de las líneas Lyman. Algunas veces es conveniente usar el coeficiente de recombinaciónefectivo, definido por n 1 4 jnn N p Ne nn   eff  N nL AnL,nL  (II.4.14) L  0 L L 1 h nn Para iones del tipo hidrogenoide de carga nuclear Z , toda lasprobabilidades de transición AnL,nL son proporcionales a Z 4 . Así, las matricesPnL,nL y CnL,nL son independientes de Z . Los coeficientes  nL escalan como  T   nL  Z , T   Z nL 1, 2  ;  Z el coeficiente de recombinación efectivo escala de la misma manera  T   nL  Z , T   Z nL 1, eff eff 2  ,  Z y dado que las energías h nn escalan como  nn  Z   Z 2 nn 1 ,entonces el coeficiente de emisión para un hidrogenoide será:  T  jnn  Z , T   Z 3 jnn 1, 2  . (II.4.15)  Z 
    • 81Así los cálculos que se efectuaran para HI a temperatura T, podrán seraplicados también al HII ( He ) (multiplicado por 23 ), ya que HI  T   jnn  2, T    23 jnn 1, 2  ; HeII  2 ahora si T   4T , entonces jnn  2, 4T   23 jnn 1, T  . HeII HIPara las regiones HeII también podemos considerar el caso B. Otro efecto que también hace cambiar la intensidad de las líneas, es lacolisión con electrones y protones que provoca transiciones debido al cambiode momento angular, además de estos efectos también existen transicionesdebido al campo de radiación electromagnética exterior y el que se genera enla propia nube de gas. Estas correcciones también pueden incluirse en laecuación de equilibrio estadístico (II.4.1) teniendo así la ecuación: N p N e nL T     n  n 1 L L 1 N nL AnL,nL   n 1   n n 1 L L 1 N nL NeqnL,nL  e   n n0 L L 1 N nL NeqnL,nL  e  n 1   n n 1 L L 1 N nL Npq p nL , nL    n n0 L L 1 N nL NpqnpL,nL   n 1   n n 1 L L 1 N nL BnL,nL J nL,nL    n  n0 L  L 1 N nL BnL,nL J nL,nL n 1 N nL [   AnL ,nL  n n0 L  L 1  n 1   n n 1 L L 1 NeqnL,nL  e   n n0 L L 1 NeqnL,nL  e  n 1   n n 1 L L 1 NpqnpL,nL    n n0 L L 1 NpqnpL,nL   n 1   n n 1 L L 1 BnL,nL J nL,nL    n n0 L L 1 BnL,nL J nL,nL ] (II.4.16)
    • 82Esta ecuación nos indica que la densidad numérica de átomos en los cuales seestá poblando su nivel nL es igual a la densidad numérica de átomos en loscuales se está despoblando su nivel nL . El primer término N p Ne nL T  de laecuación nos indica la población debido a capturas directas desde el continuo(transición libre - ligado). Aquí como dijimos  nL T  es el coeficiente de recombinación; el segundo término (término radiativo)   n n 1 L L 1 N nL AnL,nL nosindica las poblaciones debido a transiciones radiativas espontaneas hacia abajoaquí como dijimos AnL,nL es la probabilidad de transición espontanea desde elnivel nL al nivel nL , este salto espontáneo obviamente sólo puede ocurrirhacia abajo. El tercer y cuarto términos  n 1   n n 1 L L 1 N nL NeqnL,nL  e   n n0 L L 1 e N nL NeqnL,nL nos indican cambios en las poblaciones debidos a colisiones a electronescircundantes, el primero gracias a saltos hacia abajo (pierde energía en lacolisión), CneL,nL  NeqnL,nL con n  n será entonces la probabilidad de de- e eexcitación colisional debido a electrones y qnL,nL el coeficiente dedesexcitación colisional y el segundo gracias a saltos hacia arriba (ganaenergía en la colisión), CneL,nL  NeqnL,nL con n  n será entonces la e eprobabilidad de excitación colisional y qnL,nL el coeficiente de excitacióncolisional debido a colisiones con electrones. Más adelante indicaremos cómose hallan estos coeficientes; el cálculo de estos coeficientes se hacen en lasección § III.2- (Cálculo de las probabilidades de transición). El 5º y 6ºtérmino  n 1   n n 1 L L 1 N nL NpqnpL,nL    n n0 L L 1 N nL NpqnpL,nLtienen significado equivalente, pero con colisiones con protones, apareceránlos coeficientes CnpL,nL  NeqnL,nL n  n y CnpL,nL  NeqnL,nL n  n . e eEl 7º y 8º término (también términos radiativos)
    • 83  n 1   n n 1 L L 1 N nL BnL,nL J nL,nL    n n0 L L 1 N nL BnL,nL J nL,nLtienen el mismo significado, pero con colisiones con fotones, es decir sontransiciones que ocurren debido al campo electromagnético que puede ser lasuma del campo circundante generado por la misma nube y la del campoincidente desde el exterior de la nube, como puede ser la estrella o las estrellasa las que rodea la nebulosa. BnL,nL J nL,nL , es el coeficiente de-excitación graciasa la radiación inducida y el siguiente BnL,nL J nL,nL será el coeficiente excitaciónpor radiación inducida, que son diferentes debido a que están en diferentessumandos. Al lado derecho de la ecuación los significados son los mismos,pero esta vez despoblando el nivel nL (por eso sale como factor común N nL ). Para poder solucionar la ecuación de equilibrio estadístico (II.4.16)podemos usar los coeficientes de apartamiento del ETD bnL y tener unaecuación equivalente a (II.4.7). También podemos usar el método de cascada;así definiremos una nueva probabilidad equivalente a (II.4.8) AnL,nL  CnL,nL  CnpL,nL  BnL,nL J nL,nL e PnL,nL  n 1 n 1 n 1 n 1 .  n1 L L 1 AnL,nL    n1 L L 1 Ce nL, nL   n1 L L 1 C p nL, nL   n1 L L 1 BnL,nL J nL,nL (II.4.17)Las matrices cascada se hallan con la misma ecuación (II.4.10), pero ahoracon esta probabilidad, especificando ahora para los dos casos (transicioneshacia abajo y arriba) los límites de la primera sumatoria; así tendremos: max( n , n ) CnL,nL    n min( n , n ) 1 L L 1 CnL,nL PnL,nL . (II.4.18)Y para encontrar las abundancias use ecuación equivalente a (II.4.11), a saber:
    • 84  n1N p Ne    nL T  CnL,nL  N nL * n  n L   0  n 1 n 1 n 1 n 1     AnL,nL    CnL,nL    CnL,nL    BnL,nL J nL,nL  . (II.4.19) e p n1 L L 1 n1 L L 1 n1 L L 1 n1 L L 1 Y para hallar los coeficientes de emisión usamos la ecuación (II.4.12), con locual se tendrá teóricamente, con mucho más realismo y complejidad elespectro emergente de la nube de gas.
    • 85III.- POBLACIÓN DE NIVELES ATÓMICOS.§ III.1-Cálculo de los coeficientes de recombinación. Para calcular los coeficientes de emisión necesitaremos primeramentecalcular los coeficientes de recombinación, éstos los calculamos programandola relación Burgess (1959) (para cualquier ion hidrogenoide): 1 3  2  2  8 a0  k 2 3 2  nl  Z       T f nl T  4 2 (III.1.1)     3c m 2 donde 2 e2  ches la constante de estructura fina, 2 a0  me2es el radio de Bohr, e es la carga del electrón, m su masa, c la velocidad de laluz, h la constante de Planck, y: e xn f nl T   2 l l21 xn l1 El 1  xn    l  1  l21 xn l1 El 1  xn      (III.1.2) ndonde:  l 1    nl ,0  1y  l 1    nl , l  1 ,se calcularon desde las siguientes fórmulas (Burgess, A),
    • 86 1  2  2 nl  l  2 2 n (n  l   2)! n l 1   nl , 0l      2 n e  qt Ft (n, l ) , (2l   1)! t 0 (III.1.3)  (n  l )!(n  l  1)!y n l 1  pK t t l (l   1)(2l   1)   nl , l    2   1  t 0 n l 1  1 , (III.1.4) 6n 2 3(l   1)  qt F (n, l ) t 0donde q0  1 , l  l  1   n  t  n  t  1 qt  qt 1 ,  t  1 , 2t  n  l   t  3 pt   l   n  t  4  l   n  t  3 qt , l   l   1  n  l   n  t  2   Kt  Ft 1  n, l      F n, l   1 ; t 1    l   1 2l   3y donde: Ft  n, l   1 F1  l   n  t  1, 2l   2;2n   M  a, b; z es la Función Hypergeométrica Confluente, definida por la serie:Abramowitz and Stegun (1965) (Kummer’s function):  a 1 z  a 2 z 2  a n z n M  a, b; z   1    ...   ... (III.1.5)  b 1 1!  b 2 2!  b n n !donde  a n y  b n tienen la forma:  a n  a  a  1 a  2 ... a  n 1 ,  a 0  1 .Y El 1  xn  es la función incompleta gamma:
    • 87  El 1  xn     2 l1 e d (III.1.6) xn I n 15.788donde xn   (III.1.7) kT tn2con Tº K t 104 Los programas de éste cálculo se dan en el Apéndice I (para calcular lafunción incompleta gamma se uso el programa computacional Maple V) y losresultados de  l 1    nl ,0  1 y  l 1    nl , l  1 se dan en la siguiente tabla dadapor Burgess, A (1959) y completada por nuestros cálculos hasta n  20 , asaber:(Las tablas se encuentran en CD en la direcciónD:/Tesis_CD/tablas/ matrices_RecombinationCoeff)
    • 88
    •  n2 89       n l l` n2 n l l` n2 n l l` n213 0 1 1,1992 2,1543 15 4 5 1,6058 2,2665 17 4 5 1,5501 2,2249 1 0 0,8690 2,3333 5 4 0,3778 3,002 5 4 0,4107 2,9249 1 2 1,3598 2,1226 5 6 1,6276 2,412 5 6 1,5886 2,3336 2 1 0,7142 2,4741 6 5 0,2282 3,2487 6 5 0,3245 1,1377 2 3 1,4999 2,1386 6 7 1,592 2,6196 6 7 1,5832 2,4916 3 2 0,5725 2,6480 7 6 0,2125 3,5362 7 6 0,2498 3,3828 3 4 1,6027 2,2043 7 8 1,4934 2,8969 7 8 1,5279 2,7046 4 3 0,4464 2,8570 8 7 0,1503 3,8713 8 7 0,1865 3,6651 4 5 1,6646 2,3335 8 9 1,3328 3,2551 8 9 1,4208 2,9788 5 4 0,3369 3,1053 9 8 0,1009 4,2617 9 8 0,1343 3,9902 5 6 1,6565 2,5338 9 10 1,1199 3,6933 9 10 1,2648 3,3205 6 5 0,2446 3,3993 10 9 0,0634 4,7161 10 9 0,0925 4,3644 6 7 1,5716 2,8153 10 11 0,8733 4,2289 10 11 1,0694 3,7362 7 6 0,1691 3,7470 11 10 0,0365 5,2434 11 10 0,0603 4,7945 7 8 1,4068 3,1885 11 12 0,6190 4,8677 11 12 0,8497 4,2324 8 7 0,1096 4,1583 12 11 0,0187 5,8533 12 11 0,0367 5,2877 8 9 1,1713 3,6643 12 13 0,3861 5,6181 12 13 0,6254 4,8158 9 8 0,0657 4,6442 13 12 0,0080 6,5556 13 12 0,0204 5,8515 9 10 0,8885 4,2540 13 14 0,1997 6,4889 13 14 0,4177 5,4932 10 9 0,0350 5,2168 14 13 0,0025 7,3600 14 13 0,0100 6,4934 10 11 0,5944 4,9689 14 15 0,0742 7,4889 14 15 0,2451 6,2712 11 10 0,0156 5,8886 16 0 1 1,1418 2,1738 15 14 0,0041 7,2212 11 12 0,3305 5,8205 1 0 0,8635 2,3333 15 16 0,1190 7,1569 12 11 0,0051 6,6726 1 2 1,2776 2,1368 16 15 0,0012 8,0427 12 13 0,1322 6,8205 2 1 0,7312 2,4517 16 17 0,0414 8,156914 0 1 1,1781 2,1614 2 3 1,4017 2,1329 18 0 1 1,1113 2,1841 1 0 0,8675 2,3333 3 2 0,6079 2,5946 1 0 0,8588 2,3333 1 2 1,3289 2,1274 3 4 1,5050 2,1667 1 2 1,2350 2,1457 2 1 0,7211 2,4656 4 3 0,4955 2,7638 2 1 0,7380 2,4408 2 3 1,4639 2,1341 4 5 1,5774 2,2433 2 3 1,3497 2,1348 3 2 0,5861 2,6277 5 4 0,3951 2,9608 3 2 0,6244 2,5693 3 4 1,5705 2,0879 5 6 1,6087 2,3688 3 4 1,4486 2,1550 4 3 0,4649 2,8213 6 5 0,3072 3,1893 4 3 0,5196 2,7196 4 5 1,6350 2,2959 6 7 1,5900 2,5492 4 5 1,5240 2,2102 5 4 0,3585 3,0496 7 6 0,2319 3,4539 5 4 0,4248 2,8932 5 6 1,6441 2,4659 7 8 1,5153 2,7914 5 6 1,5679 2,3049 6 5 0,2674 3,3178 8 7 0,2319 3,4539 6 5 0,3403 3,0925 6 7 1,5869 2,7065 8 9 1,5153 2,7914 6 7 1,5731 2,4439 7 6 0,1916 3,6326 9 8 0,1179 4,1153 7 6 0,2664 3,3208 7 8 1,5488 3,0267 9 10 1,2011 3,4892 7 8 1,5337 2,6325 8 7 0,1305 4,0020 10 9 0,0780 4,5260 8 7 0,2031 3,5825 8 9 1,2638 3,4358 10 11 0,9806 3,9592 8 9 1,4471 2,8758 9 8 0,0834 4,4354 11 10 0,0482 5,0003 9 8 0,1500 3,8822 9 10 1,0172 3,9433 11 12 0,7423 4,5201 9 10 1,3145 3,1797 10 9 0,0489 4,9427 12 11 0,0273 5,5464 10 9 0,1067 4,2255 10 11 0,7451 4,5590 12 13 0,5103 5,1792 10 11 1,1423 3,5497 11 10 0,0255 5,5346 13 12 0,0137 6,1729 11 10 0,0726 4,6184 11 12 0,4807 5,2929 13 14 0,3084 5,9442 11 12 0,9420 3,9917 12 11 0,0112 6,2223 14 13 0,0057 6,8885 12 11 0,0466 5,0671 12 13 0,2574 6,1548 14 15 0,1544 6,8229 12 13 0,7294 4,5116 13 12 0,0035 7,0170 15 14 0,0017 7,7018 13 12 0,0279 5,5782 13 14 0,0991 7,1548 15 16 0,0555 7,8229 13 14 0,5228 5,115515 0 1 1,1591 2,1679 17 0 1 1,1259 2,1792 14 13 0,0153 6,1584 1 0 0,8656 2,3333 1 0 0,8612 2,3333 14 15 0,3398 5,8092 1 2 1,3020 2,1321 1 2 1,2554 2,1413 15 14 0,0074 6,8147 2 1 0,7267 2,4582 2 1 0,7350 2,4459 15 16 0,1939 6,5989 2 3 1,4313 2,1330 2 3 1,3746 2,1336 16 15 0,0030 7,5538 3 2 0,5978 2,6102 3 2 0,6167 2,5813 16 17 0,0915 7,4907 3 4 1,5365 2,1758 3 4 1,4757 2,1599 17 16 8,59E-04 8,3827 4 3 0,4811 2,7905 4 3 0,5083 2,7404 17 18 0,0309 8,4907
    • 90 n l l`  n2  n l l`  n2 19 0 1 1,0978 2,1887 20 12 11 0,0673 4,7117 1 0 0,8563 2,3333 12 13 0,9031 4,0353 1 2 1,2163 2,1499 13 12 0,0446 5,1399 2 1 0,7405 2,4361 13 14 0,7110 4,5237 2 3 1,3268 2,1364 14 13 0,0278 5,6233 3 2 0,6311 2,5586 14 15 0,5249 5,085 3 4 1,4233 2,1514 15 14 0,0162 6,1673 4 3 0,5298 2,7011 15 16 0,3582 5,7242 4 5 1,4991 2,1983 16 15 0,0085 6,7775 5 4 0,4375 2,8650 16 17 0,2214 6,4462 5 6 1,5472 2,2811 17 16 0,0040 7,4594 6 5 0,3548 3,0525 17 18 0,1199 7,2560 6 7 1,5608 2,4042 18 17 0,0015 8,2187 7 6 0,2819 3,2663 18 19 0,0537 8,1583 7 8 1,5345 2,5719 19 18 4,2982E-04 9,0608 8 7 0,2187 3,5100 19 20 0,0172 9,1583 8 9 1,4651 2,7892 9 8 0,1651 3,7880 9 10 1,3529 3,0609 10 9 0,1206 4,1050 10 11 1,2018 3,3923 11 10 0,0848 4,4661 11 12 1,0206 3,7884 12 11 0,0569 4,8770 12 13 0,8219 4,2545 13 12 0,0360 5,3434 13 14 0,6211 4,7961 14 13 0,0212 5,8714 14 15 0,4341 5,4184 15 14 0,0114 6,4671 15 16 0,2750 6,1270 16 15 0,0054 7,1367 16 17 0,1527 6,9272 17 16 0,0021 7,8863 17 18 0,0702 7,8246 18 17 6,0707E-04 8,7221 18 19 0,0231 8,824620 0 1 1,0852 2,1930 1 0 0,8538 2,3333 1 2 1,1989 2,1539 2 1 0,7424 2,4320 2 3 1,3056 2,1383 3 2 0,6370 2,5489 3 4 1,3997 2,1489 4 3 0,5390 2,6845 4 5 1,4755 2,1887 5 4 0,4492 2,8399 5 6 1,5266 2,2614 6 5 0,3682 3,0168 6 7 1,5470 2,2707 7 6 0,2962 3,2179 7 8 1,5315 2,5207 8 7 0,2334 3,4461 8 9 1,4768 2,7156 9 8 0,1794 3,7052   / n2 y 9 10 1,3821 2,9600 10 9 0,1341 3,9994 Tabla 3.1.1  para 10 11 1,2501 3,2582 11 10 0,0969 4,3332 el coeficiente de recombinación 11 12 1,0871 3,6151
    • 91y los coeficientes de recombinación se dan en las siguientes matrices para 3temperaturas características: (el número de la fila representa al númerocuántico principal “ n ” y el de la columna al número cuántico orbital “ L ”)  cm3 Coeficientes de recombinación en  :  s Tabla 3.1.2 Coeficientes de recombinación para T=5000ºK, 10000ºK y 20000ºKA.- Para T=5000ºK 18 7.8261e-016 8.2452e-016 17 3.1434e-018 6.2976e-019 19 6.8457e-016 7.3540e-016 18 5.5760e-018 1.5312e-018 20 6.0162e-016 6.5765e-016 19 8.4699e-018 2.8490e-018nl 0 1 20 1.1639e-017 4.5158e-018 6 71 2.2808e-013 7 5.4030e-016 16 172 3.3786e-014 8.3628e-014 8 9.6025e-016 2.0112e-016 17 6.5847e-0203 1.1395e-014 3.2299e-014 9 1.1802e-015 4.1366e-016 18 2.9279e-019 2.9130e-0204 5.3042e-015 1.5608e-014 10 1.2585e-015 5.6743e-016 19 7.5097e-019 1.3739e-0195 2.9291e-015 8.7655e-015 11 1.2548e-015 6.6011e-016 20 1.4658e-018 3.7171e-0196 1.7978e-015 5.4337e-015 12 1.2070e-015 7.0652e-016 18 197 1.1859e-015 3.6087e-015 13 1.1376e-015 7.2153e-016 19 1.3038e-0208 8.2466e-016 2.5220e-015 14 1.0590e-015 7.1578e-016 20 6.5199e-020 5.9190e-0219 5.9680e-016 1.8326e-015 15 9.7870e-016 6.9733e-01610 4.4584e-016 1.3748e-015 16 9.0024e-016 6.7099e-01611 3.4181e-016 1.0555e-015 17 8.2564e-016 6.3996e-01612 2.6775e-016 8.2842e-016 B.- Para T=10000ºK 18 7.5614e-016 6.0686e-01613 2.1358e-016 6.6188e-016 19 6.9204e-016 5.7290e-01614 1.7302e-016 5.3688e-016 0 1 20 6.3329e-016 5.3920e-016 1 1.5827e-01315 1.4208e-016 4.4132e-01616 1.1806e-016 3.6700e-016 2 2.3703e-014 5.4063e-01417 9.9118e-017 3.0832e-016 3 8.0148e-015 2.1320e-014 8 9 4 3.7163e-015 1.0434e-01418 8.4002e-017 2.6144e-016 9 6.7039e-01719 7.1793e-017 2.2352e-016 5 2.0376e-015 5.8953e-015 10 1.7789e-016 2.9608e-017 6 1.2399e-015 3.6596e-01520 6.1832e-017 1.9255e-016 11 2.6873e-016 7.6941e-017 7 8.1066e-016 2.4272e-015 12 3.3758e-016 1.2666e-016 8 5.5886e-016 1.6912e-015 2 3 13 3.8492e-016 1.7051e-0163 3.0678e-014 9 4.0109e-016 1.2240e-015 14 4.1275e-016 2.0558e-016 10 2.9732e-016 9.1455e-0164 1.9790e-014 1.1206e-014 15 4.3064e-016 2.3225e-0165 1.2415e-014 1.0321e-014 11 2.2631e-016 6.9854e-016 16 3.2725e-016 2.5148e-016 12 1.7610e-016 5.4572e-0166 8.1609e-015 8.0174e-015 17 4.3605e-016 2.6449e-0167 5.6248e-015 6.0802e-015 13 1.3960e-016 4.3396e-016 18 4.3018e-016 2.7288e-016 14 1.1244e-016 3.5041e-0168 4.0326e-015 4.6445e-015 19 4.2075e-016 2.7747e-0169 2.9867e-015 3.6010e-015 15 9.1848e-017 2.8679e-016 20 4.0881e-016 2.7917e-016 16 7.5946e-017 2.3752e-01610 2.2712e-015 2.8356e-01511 1.7661e-015 2.2663e-015 17 6.3486e-017 1.9879e-016 10 11 18 5.3577e-017 1.6794e-01612 1.3992e-015 1.8360e-015 11 1.1725e-01713 1.1266e-015 1.5057e-015 19 4.5610e-017 1.4307e-016 12 3.3606e-017 4.7414e-018 20 3.9130e-017 1.2280e-01614 9.1959e-016 1.2481e-015 13 5.9816e-017 1.4855e-01715 7.5994e-016 1.0449e-015 14 8.5638e-017 2.8351e-01716 6.3476e-016 8.8255e-016 2 3 15 1.0880e-016 4.3066e-017 3 1.7902e-01417 5.3525e-016 7.5129e-016 16 1.2833e-016 5.7387e-01718 4.5528e-016 6.4434e-016 4 1.1932e-014 5.8884e-015 17 1.4412e-016 7.0383e-017 5 7.6834e-015 5.6387e-01519 3.9029e-016 5.5632e-016 18 1.5673e-016 8.1869e-01720 3.3697e-016 4.8332e-016 6 5.1478e-015 4.5353e-015 19 1.6653e-016 9.1751e-017 7 3.5955e-015 3.5422e-015 20 1.7401e-016 1.0017e-016 8 2.6005e-015 2.7705e-015 4 5 9 1.9365e-015 2.1883e-015 12 13 10 1.4772e-015 1.7482e-0155 4.0637e-015 13 1.9561e-0186 4.9012e-015 1.4748e-015 11 1.1504e-015 1.4127e-015 14 6.6325e-018 8.1950e-019 12 9.1171e-016 1.1541e-0157 4.5544e-015 2.2024e-015 15 1.3541e-017 2.9991e-0188 3.9272e-015 2.3802e-015 13 7.3354e-016 9.5223e-016 16 2.1711e-017 6.5097e-018 14 5.9803e-016 7.9290e-0169 3.3071e-015 2.2991e-015 17 3.0225e-017 1.0970e-01710 2.7679e-015 2.1158e-015 15 4.9340e-016 6.6600e-016 18 3.8557e-017 1.5975e-017 16 4.1135e-016 5.6377e-01611 2.3200e-015 1.9043e-015 19 4.6339e-017 2.1147e-01712 1.9531e-015 1.6959e-015 17 3.4621e-016 4.8073e-016 20 5.3454e-017 2.6256e-017 18 2.9384e-016 4.1265e-01613 1.6534e-015 1.5034e-01514 1.4076e-015 1.3304e-015 19 2.5132e-016 3.5640e-01615 1.2056e-015 1.1777e-015 20 2.1644e-016 3.0956e-016 14 1516 1.0383e-015 1.0438e-015 15 3.4943e-01917 8.9906e-016 9.2658e-016 16 1.3698e-018 1.5102e-019
    • 92 4 5 20 4.2284e-018 1.6244e-018 20 2.3639e-016 2.3939e-0165 1.9458e-0156 2.4379e-015 6.5411e-016 16 17 6 77 2.3525e-015 1.0100e-015 17 2.3693e-020 7 8.8860e-0178 2.1000e-015 1.1306e-015 18 1.0541e-019 1.0468e-020 8 1.6640e-016 3.0658e-0179 1.8230e-015 1.1308e-015 19 2.7057e-019 4.9394e-020 9 2.1701e-016 6.5261e-01710 1.5661e-015 1.0756e-015 20 5.2388e-019 1.3225e-019 10 2.4750e-016 9.3759e-01711 1.3418e-015 9.9781e-016 11 2.6422e-016 1.1486e-01612 1.1504e-015 9.1298e-016 18 19 12 2.7177e-016 1.3010e-01613 9.8840e-016 8.2854e-016 19 4.6824e-021 13 2.7295e-016 1.4102e-01614 8.5186e-016 7.4836e-016 20 2.3112e-020 2.0919e-021 14 2.6950e-016 1.4859e-01615 7.3693e-016 6.7430e-016 15 2.6275e-016 1.5355e-01616 6.3992e-016 6.0681e-016 16 2.5361e-016 1.5635e-01617 5.5794e-016 5.4588e-016 17 2.4273e-016 1.5717e-01618 4.8831e-016 4.9119e-016 18 2.3076e-016 1.5639e-01619 4.2899e-016 4.4228e-016 C.- Para T=20000ºK 19 2.1831e-016 1.5429e-01620 3.7825e-016 3.9864e-016 20 2.0567e-016 1.5116e-016 0 1 6 7 1 1.0814e-013 8 97 2.2590e-016 2 1.6547e-014 3.3237e-014 9 1.1002e-0178 4.1217e-016 8.0440e-017 3 5.6225e-015 1.3633e-014 10 2.6328e-017 4.1191e-0189 5.2176e-016 1.6870e-016 4 2.5947e-015 6.8309e-015 11 4.1021e-017 1.0878e-01710 5.7412e-016 2.3680e-016 5 1.4102e-015 3.9046e-015 12 5.3471e-017 1.8266e-01711 5.9090e-016 2.8267e-016 6 8.4971e-016 2.4351e-015 13 6.3661e-017 2.5214e-01712 5.8629e-016 3.1112e-016 7 5.5001e-016 1.6155e-015 14 7.1938e-017 3.1350e-01713 5.6872e-016 3.2675e-016 8 3.7566e-016 1.1235e-015 15 7.8752e-017 3.6741e-01714 5.4372e-016 3.3335e-016 9 2.6723e-016 8.1032e-016 16 4.9602e-017 4.1501e-01715 5.1486e-016 3.3376e-016 10 1.9653e-016 6.0343e-016 17 8.8837e-017 4.5646e-01716 4.8404e-016 3.2959e-016 11 1.4851e-016 4.5869e-016 18 9.2310e-017 4.9316e-01717 4.5283e-016 3.2223e-016 12 1.1478e-016 3.5673e-016 19 9.4944e-017 5.2613e-01718 4.2192e-016 3.1245e-016 13 9.0440e-017 2.8245e-016 20 9.6761e-017 5.5577e-01719 3.9207e-016 3.0103e-016 14 7.2442e-017 2.2712e-01620 3.6350e-016 2.8849e-016 15 5.8872e-017 1.8512e-016 10 11 16 4.8454e-017 1.5273e-016 11 1.5892e-018 8 9 17 4.0324e-017 1.2733e-016 12 4.5978e-018 6.3010e-0199 2.9577e-017 18 3.3890e-017 1.0718e-016 13 8.2864e-018 1.9847e-01810 6.9840e-017 1.1201e-017 19 2.8742e-017 9.1000e-017 14 1.2058e-017 3.8167e-01811 1.0730e-016 2.9386e-017 20 2.4579e-017 7.7877e-017 15 1.5652e-017 5.8644e-01812 1.3754e-016 4.8992e-017 16 1.8980e-017 7.9473e-01813 1.6025e-016 6.6839e-017 2 3 17 2.1974e-017 9.9194e-01814 1.7665e-016 8.1883e-017 3 9.6874e-015 18 2.4697e-017 1.1757e-01715 1.8825e-016 9.4274e-017 4 6.8097e-015 2.8443e-015 19 2.7259e-017 1.3510e-01716 1.9595e-016 1.0422e-016 5 4.5702e-015 2.8758e-015 20 2.9693e-017 1.5203e-01717 2.0071e-016 1.1218e-016 6 3.1549e-015 2.4313e-01518 2.0292e-016 1.1840e-016 7 2.2488e-015 1.9794e-015 12 1319 2.0318e-016 1.2318e-016 8 1.6489e-015 1.6002e-015 13 2.5603e-01920 2.0169e-016 1.2667e-016 9 1.2385e-015 1.2964e-015 14 8.7055e-019 1.0594e-019 10 9.5010e-016 1.0564e-015 15 1.7879e-018 3.8896e-019 10 11 11 7.4222e-016 8.6642e-016 16 2.8987e-018 8.5173e-01911 4.3623e-018 12 5.8901e-016 7.1569e-016 17 4.0730e-018 1.4424e-01812 1.2599e-017 1.7459e-018 13 4.7408e-016 5.9552e-016 18 5.2387e-018 2.1039e-01813 2.2579e-017 5.4845e-018 14 3.8634e-016 4.9902e-016 19 6.3868e-018 2.8064e-01814 3.2614e-017 1.0509e-017 15 3.1842e-016 4.2110e-016 20 7.5156e-018 3.5312e-01815 4.1934e-017 1.6073e-017 16 2.6511e-016 3.5768e-01616 5.0159e-017 2.1596e-017 17 2.2273e-016 3.0566e-01617 5.7342e-017 2.6821e-017 18 1.8867e-016 2.6276e-016 14 1518 6.3462e-017 3.1558e-017 19 1.6105e-016 2.2716e-016 15 4.4815e-02019 6.8721e-017 3.5837e-017 20 1.3845e-016 1.9744e-016 16 1.7718e-019 1.9400e-02020 7.3144e-017 3.9622e-017 17 4.0766e-019 8.1027e-020 18 7.2124e-019 1.9587e-019 12 13 4 5 19 1.1000e-018 3.6532e-01913 7.1284e-019 5 8.5832e-016 20 1.5275e-018 5.8467e-01914 2.4194e-018 2.9597e-019 6 1.1276e-015 2.6985e-01615 4.9578e-018 1.0854e-018 7 1.1419e-015 4.3197e-016 16 1716 7.9860e-018 2.3619e-018 8 1.0668e-015 5.0388e-016 17 8.4313e-02117 1.1221e-017 4.0121e-018 9 9.6356e-016 5.2535e-016 18 3.7177e-020 3.6788e-02118 1.4410e-017 5.8641e-018 10 8.5661e-016 5.2084e-016 19 9.5495e-020 1.7368e-02019 1.7457e-017 7.7971e-018 11 7.5491e-016 5.0166e-016 20 1.8833e-019 4.7552e-02020 2.0267e-017 9.6930e-018 12 8.2921e-016 1.4479e-015 13 5.7995e-016 4.4342e-016 18 19 14 5.0764e-016 4.1078e-016 19 1.6408e-021 14 15 15 4.4468e-016 3.7819e-016 20 8.3183e-021 7.5413e-02215 1.2552e-019 16 3.9014e-016 3.4671e-01616 4.9278e-019 5.4013e-020 17 3.4293e-016 3.1674e-01617 1.1399e-018 2.2725e-019 18 3.0212e-016 2.8879e-01618 2.0260e-018 5.5312e-019 19 2.6687e-016 2.6298e-01619 3.0849e-018 1.0305e-018
    • 93 Con estas tablas e interpolando por el método de mínimos cuadradosencontramos los coeficientes de recombinación para cualquier otratemperatura; éstos se usarán para hallar los coeficientes de emisión. Para la interpolación usamos una curva del tipo potencial  nl T   aT bque es la que mejor se ajustó a los datos, luego se linealiza, para obtener: ln  nl   b ln T  ln a ,ecuación a la que se aplica el método de regresión lineal de mínimoscuadrados.Los resultados de esta aproximación, se pueden graficar para todos los casosde nL , por ejemplo tenemos:Los resultados de los gráficos se encuentran en CD en la dirección:D:/ Tesis_CD/gráficos /III-1Gráficos de los coeficientes de recombinacióny el programa tiene el nombre deplot_coef_recomb20_mmc_nL10_T
    • 94Fig. 3.1.1 Gráficos para los coeficientes de recombinación vs. n y LPara: nL =10Para: nL =42
    • 95donde las estrellas azules son los calculados vía la formula (III.1.1) para5000ºK 10000ºK y 20000ºK y la línea continua es la fiteada. Es interesante notar cómo varía el coeficiente de recombinación enfunción del número cuántico principal n para una temperatura constante ypara un l fijo; por ejemplo:Fig. 3.1.2 Gráficos donde se muestra el coeficiente de recombinación en función delnúmero cuántico principal, para una temperatura y un número cuántico orbital dados.Para T=10000ºK y L =0 y 1 (en CD plot_CoRec_vs_n_L01yTfijo)
    • 96L =2 y 3 (en CD plot_CoRec_vs_n_L23yTfijo)L =4 y 5 (en CD plot_CoRec_vs_n_L45yTfijo)
    • 97L =6 y 7 (en CD plot_CoRec_vs_n_L67yTfijo)También es interesante notar cómo varía el coeficiente de recombinación enfunción al número cuántico orbital L para una temperatura y número cuánticoprincipal n fijo; aquí tenemos algunos gráficos para T=10000ºK:Fig.3.1.3 Gráficos donde se muestra el coeficiente de recombinación en función del númerocuántico orbital, para una temperatura y un número cuántico principal dados.
    • 98n =1, 2 y 3 (en CD plot_CoRec_vs_L_n123yTfijo) n =4, 5 y 6 (en CD plot_CoRec_vs_L_n456yTfijo)
    • 99n =7, 8 y 9 (en CD plot_CoRec_vs_L_n789yTfijo)
    • 100n =13, 14 y 15 (en CD plot_CoRec_vs_L_n13_14_15yTfijo)
    • 101n =16, 17 y 18 (en CD plot_CoRec_vs_L_n16_17_18yTfijo) Los programas para encontrar éstas tablas y resultados se incluyen en elCD adjunto con los nombres.:recom_coeff_CalculoDirecto20alfa_tabla20, etc.
    • 102 § III.2-Cálculo de las probabilidades de transición. Otro paso importante para poder calcular los coeficientes de emisión, eshallar las probabilidades espontáneas de radiación por segundo, que no es otracosa que calcular los coeficientes de Einstein para la transición espontáneanL  nL . Esta la calcularemos desde la fórmula Burgess (1959), 4 3  8 a0  max  L, L  2   nL, nL  2 AnL,nL  2   (III.2.1) Z  3c  2 L  1 2donde  es la constante de estructura fina, a0 es el radio de Bohr y    nL, nL   P  nL, r  rP  nL, r  dr (III.2.2) 0es el elemento de matriz que representa al momento dipolar (en unidadesatómicas), P  nL, r  y P  nL, r  son las funciones de onda normalizadas de losestados nL y nL respectivamente. En Chandler, Louis & Patricia (1957) sepueden encontrar estos elementos de matriz del momento dipolar en extensastablas, los cuales usamos para encontrar estas probabilidades de transiciónespontáneas, que no dependen de la temperatura. Así tenemos los siguientesresultados:
    • 103 Tabla 3.2.1 Probabilidades de transición espontanea por segundo (coeficientes de Einstein) Hasta n _ L  20 _19 AnL,nL en s  1 nL =30 n LnL =10 0 1 4 0 n L 0 1 5 7.3751e+005n L0 1 6 4.4582e+005 3 0 7 2.8293e+0051 1 4 3.0665e+006 8 1.8983e+0052 8.23 6.2677e+008 5 1.6384e+006 9 1.3332e+0053 1.6733e+008 6 9.5552e+005 10 9.7152e+0044 6.8217e+007 7 6.0281e+005 11 7.2956e+0045 3.4391e+007 8 4.0397e+005 12 5.6168e+0046 1.9737e+007 9 2.8369e+005 13 4.4159e+0047 1.2367e+007 10 2.0677e+005 14 3.5344e+0048 8.2585e+006 11 1.5531e+005 15 2.8727e+0049 5.7874e+006 12 1.1960e+005 16 2.3664e+00410 4.2124e+006 13 9.4053e+004 17 1.9724e+00411 3.1612e+006 14 7.5292e+004 18 1.6613e+00412 2.4328e+006 15 6.1207e+004 19 1.4123e+00413 1.9121e+006 16 5.0427e+004 20 1.2107e+00414 1.5301e+006 17 4.2037e+004 nL =4115 1.2435e+006 18 3.5410e+00416 1.0242e+006 19 3.0106e+00417 8.5366e+005 20 2.5810e+00418 7.1896e+005 n L nL =3119 6.1118e+005 0 1 220 5.2392e+005 4 0nL =20 n L 0 1 2 5 6 6.4536e+005 3.5840e+005 1.4864e+006 8.6257e+005 7 2.1747e+005 5.3402e+005 3 0 8 1.4202e+005 3.5261e+005n L0 1 4 1.8362e+006 7.0407e+006 9 9.7987e+004 2.4495e+005 5 9.0509e+005 3.3930e+006 10 7.0528e+004 1.7711e+0052 0 6 5.0740e+005 1.8786e+006 11 5.2491e+004 1.3224e+0053 2.2458e+007 7 3.1296e+005 1.1501e+006 12 4.0144e+004 1.0136e+0054 9.6723e+006 8 2.0677e+005 7.5618e+005 13 3.1399e+004 7.9422e+0045 4.9505e+006 9 1.4383e+005 5.2426e+005 14 2.5029e+004 6.3396e+0046 2.8596e+006 10 1.0413e+005 3.7865e+005 15 2.0278e+004 5.1416e+0047 1.7980e+006 11 7.7831e+004 2.8253e+005 16 1.6660e+004 4.2279e+0048 1.2030e+006 12 5.9715e+004 2.1648e+005 17 1.3856e+004 3.5189e+0049 8.4421e+005 13 4.6824e+004 1.6957e+005 18 1.1649e+004 2.9602e+00410 6.1502e+005 14 3.7398e+004 1.3532e+005 19 9.8882e+003 2.5139e+00411 4.6184e+005 15 3.0347e+004 1.0974e+005 20 8.4656e+003 2.1531e+00412 3.5560e+005 16 2.4965e+004 9.0225e+004 nL =4213 2.7960e+005 17 2.0786e+004 7.5088e+00414 2.2380e+005 18 1.7490e+004 6.3161e+00415 1.8192e+005 19 1.4858e+004 5.3636e+00416 1.4988e+005 20 1.2728e+004 4.5936e+00417 1.2493e+005 n L1 2 31819 1.0523e+005 8.9469e+004 nL =32 4 020 7.6702e+004 5 1.8854e+005 2.5856e+006 6 9.4210e+004 1.2876e+006 n L1 2 3nL =21 7 8 5.3931e+004 3.3974e+004 7.3432e+005 4.6127e+005 3 0 9 2.2887e+004 3.1010e+005 4 3.4769e+005 1.3794e+007 10 1.6200e+004 2.1915e+005n L 0 1 2 5 1.4960e+005 4.5442e+006 11 1.1910e+004 1.6093e+005 6 7.8276e+004 2.1470e+006 12 9.0253e+003 1.2184e+0052 0 7 4.6382e+004 1.2076e+006 13 7.0093e+003 9.4558e+0043 6.3164e+006 6.4680e+007 8 2.9874e+004 7.5422e+005 14 5.5562e+003 7.4913e+0044 2.5793e+006 2.0634e+007 9 2.0426e+004 5.0554e+005 15 4.4812e+003 6.0391e+0045 1.2892e+006 9.4296e+006 10 1.4608e+004 3.5665e+005 16 3.6682e+003 4.9417e+0046 7.3532e+005 5.1473e+006 11 1.0822e+004 2.6162e+005 17 3.0417e+003 4.0963e+0047 4.5886e+005 3.1324e+006 12 8.2467e+003 1.9792e+005 18 2.5508e+003 3.4343e+0048 3.0554e+005 2.0532e+006 13 6.4325e+003 1.5352e+005 19 2.1606e+003 2.9083e+0049 2.1369e+005 1.4209e+006 14 5.1164e+003 1.2158e+005 20 1.8464e+003 2.4849e+00410 1.5531e+005 1.0250e+006 15 4.1378e+003 9.7978e+004 nL =4311 1.1642e+005 7.6421e+005 16 3.3947e+003 8.0154e+00412 8.9520e+004 5.8521e+005 17 2.8200e+003 6.6429e+00413 7.0315e+004 4.5820e+005 18 2.3685e+003 5.5685e+00414 5.6238e+004 3.6555e+005 19 2.0088e+003 4.7149e+00415 4.5693e+004 2.9635e+005 20 1.7185e+003 5.4981e+004 n L2 3 416 3.7616e+004 2.4361e+00517 3.1342e+004 2.0270e+005 4 01819 2.6390e+004 2.2429e+004 1.7048e+005 1.4475e+005 nL =40 5 6 5.0499e+004 2.1459e+004 4.2561e+006 1.3734e+00620 1.9224e+004 1.2396e+005 7 1.1244e+004 6.4613e+005 8 6.7094e+003 3.6446e+005
    • 1049 4.3606e+003 2.2899e+005 5 010 3.0103e+003 1.5460e+005 6 3.9097e+004 1.1062e+006 n L1 2 311 2.1733e+003 1.0990e+005 7 1.9129e+004 5.4840e+00512 1.6245e+003 8.1227e+004 8 1.0889e+004 3.1361e+005 6 013 1.2485e+003 6.1894e+004 9 6.8663e+003 1.9816e+005 7 5.1066e+004 2.5953e+00514 9.8148e+002 4.8339e+004 10 4.6443e+003 1.3417e+005 8 3.0417e+004 1.7265e+00515 7.8635e+002 3.8527e+004 11 3.3052e+003 9.5537e+004 9 1.9563e+004 1.1781e+00516 6.4022e+002 3.1236e+004 12 2.4446e+003 7.0687e+004 10 1.3410e+004 8.3751e+00417 5.2851e+002 2.5697e+004 13 1.8638e+003 5.3902e+004 11 9.6388e+003 6.1679e+00418 4.4156e+002 2.1409e+004 14 1.4562e+003 4.2119e+004 12 7.1839e+003 4.6768e+00419 3.7283e+002 1.8033e+004 15 1.1609e+003 3.3582e+004 13 5.5100e+003 3.6329e+00420 3.1776e+002 1.5339e+004 16 9.4145e+002 2.7235e+004 14 4.3445e+003 2.8798e+004 17 7.7464e+002 2.2411e+004 15 3.4623e+003 2.3224e+004nL =50 18 19 6.4547e+002 5.4377e+002 1.8674e+004 1.5732e+004 16 17 2.8168e+003 2.3240e+003 1.9009e+004 1.9009e+004 20 4.6256e+002 1.3383e+004 18 1.9409e+003 1.3215e+004 19 1.6382e+003 1.1192e+004n L 0 1 nL =54 20 1.3959e+003 9.5634e+003 nL =635 06 2.4306e+0057 1.5916e+005 n L3 4 58 1.0716e+0059 7.5239e+004 5 0 n L2 3 410 5.4775e+004 6 1.1378e+004 1.64556e+00611 4.1094e+004 7 4.6531e+003 5.08934e+005 6 012 3.1613e+004 8 2.3894e+003 2.33930e+005 7 2.5250e+004 3.7653e+00513 2.4837e+004 9 1.4111e+003 1.3028e+005 8 1.3625e+004 2.2632e+00514 1.9868e+004 10 9.1271e+002 8.1315e+004 9 8.2517e+003 1.4480e+00515 1.6140e+004 11 6.2912e+002 5.4735e+004 10 5.4340e+003 9.8521e+00416 1.3291e+004 12 4.5441e+002 3.8880e+004 11 3.7966e+003 7.0321e+00417 1.1074e+004 13 3.4022e+002 2.8754e+004 12 2.7712e+003 5.2099e+00418 9.3249e+003 14 2.6207e+002 2.1944e+004 13 2.0921e+003 3.9760e+00419 7.9255e+003 15 2.0659e+002 1.7173e+004 14 1.6222e+003 3.1085e+00420 6.7927e+003 16 1.6601e+002 1.3720e+004 15 1.2857e+003 2.4795e+004 17 1.3557e+002 1.1151e+004 16 1.0378e+003 2.0114e+004nL =51 18 19 1.1225e+002 9.4069e+001 9.1980e+003 7.6832e+003 17 18 8.5063e+002 7.0653e+002 1.6554e+004 1.3796e+004 20 7.9662e+001 6.4888e+003 19 5.9365e+002 1.1624e+004 20 5.0386e+002 9.8893e+003n L0 1 2 nL =605 0 nL =646 2.6829e+005 4.4969e+0057 1.6180e+005 2.9037e+005 n L0 18 1.0404e+005 1.9342e+005 n L3 4 59 7.0964e+004 1.3474e+005 6 010 5.0660e+004 9.7524e+004 7 9.7939e+004 6 011 3.7480e+004 7.2846e+004 8 6.7821e+004 7 1.1107e+004 5.3251e+00512 2.8536e+004 5.5849e+004 9 4.7702e+004 8 5.2392e+003 2.5790e+00513 2.2243e+004 4.3762e+004 10 3.4680e+004 9 2.9238e+003 1.4561e+00514 1.7684e+004 3.4932e+004 11 2.5974e+004 10 1.8237e+003 9.1390e+00415 1.4296e+004 2.8330e+004 12 1.9951e+004 11 1.2264e+003 6.1692e+00416 1.1725e+004 2.3295e+004 13 1.5656e+004 12 8.7036e+002 4.3894e+00417 9.7378e+003 1.9388e+004 14 1.2511e+004 13 6.4322e+002 3.2496e+00418 8.1772e+004 1.6309e+004 15 1.0155e+004 14 4.9058e+002 2.4817e+00419 6.9340e+003 1.3850e+004 16 8.3566e+003 15 3.8374e+002 1.9431e+00420 5.9314e+003 1.1862e+004 17 6.9592e+003 16 3.0645e+002 1.5530e+004 18 5.8570e+003 17 2.4901e+002 1.2626e+004nL =52 19 29 4.9760e+003 4.2633e+003 18 19 2.0534e+002 1.7148e+002 1.0417e+004 8.7028e+003 20 1.4479e+002 7.3509e+003n L1 2 3 nL =61 nL =655 06 9.5976e+004 7.2358e+005 n L0 1 27 5.3097e+004 4.3331e+005 n L4 5 68 3.2469e+004 2.7548e+005 6 09 2.1441e+004 1.8606e+005 7 1.2657e+005 1.7049e+005 6 010 1.4969e+004 1.3178e+005 8 8.1079e+004 1.1800e+005 7 3.3556e+003 7.4111e+00511 1.0898e+004 9.6899e+004 9 5.4500e+004 8.2765e+004 8 1.3062e+003 2.1766e+00512 8.1987e+003 7.3416e+004 10 3.8471e+004 6.0002e+004 9 6.5004e+002 9.6775e+00413 6.3324e+003 5.7005e+004 11 2.8231e+004 4.4831e+004 10 3.7609e+002 5.2725e+00414 4.9981e+003 4.5177e+004 12 2.1364e+004 3.4366e+004 11 2.3999e+002 3.2426e+00415 4.0174e+003 3.6429e+004 13 1.6577e+004 2.6923e+004 12 1.6394e+002 2.1610e+00416 3.2795e+003 2.9814e+004 14 1.6577e+004 2.1485e+004 13 1.1771e+002 1.5246e+00417 2.7132e+003 2.4718e+004 15 1.0587e+004 1.7420e+004 14 8.7795e+001 1.1225e+00418 2.2711e+003 2.0725e+004 16 8.6636e+003 1.4321e+004 15 6.7470e+001 8.5412e+00319 1.9206e+003 1.7552e+004 17 7.1821e+003 1.1917e+004 16 5.3118e+001 6.6723e+00320 1.6391e+003 1.4998e+004 18 6.0218e+003 1.0022e+004 17 4.2661e+001 5.3254e+003 19 5.0999e+003 8.5101e+003 18 3.4839e+001 4.3270e+003nL =53 20 4.3578e+003 7.2876e+003 19 20 2.8859e+001 2.4201e+001 3.5693e+003 2.9826e+003 nL =62n L2 3 4 nL =70
    • 105 8 8.4726e+003 2.0928e+005 13 1.0414e+004 1.2661e+004n L0 1 9 4.4150e+003 1.2427e+005 14 8.1626e+003 1.0088e+004 10 2.6222e+003 7.8997e+004 15 6.5264e+003 8.1683e+0037 0 11 1.7072e+008 5.3595e+004 16 5.3061e+003 6.7070e+0038 4.5366e+004 12 1.1849e+003 3.8228e+004 17 4.3758e+003 5.5752e+0039 3.2742e+004 13 8.6172e+002 2.8341e+004 18 3.6532e+003 4.6850e+00310 2.3815e+004 14 6.4937e+002 2.1662e+004 19 3.0830e+003 3.9750e+00311 1.7797e+004 15 5.0327e+002 1.6970e+004 20 2.6265e+003 3.4018e+00312 1.3639e+004 16 3.9899e+002 1.3568e+0041314 1.0682e+004 8.5230e+003 17 18 3.2230e+002 2.6451e+002 1.1035e+004 9.1058e+003 nL =8215 6.9096e+003 19 2.2002e+002 7.6087e+00316 5.6799e+003 20 1.8516e+002 6.4276e+00317 4.7260e+003 n L1 2 31819 3.9747e+003 3.3748e+003 nL =75 8 020 2.8900e+003 9 1.7045e+004 5.2801e+004 10 1.1221e+004 3.9400e+004 n L4 5 6nL =71 11 7.7567e+003 2.9314e+004 12 5.6204e+003 2.2293e+004 7 0 13 4.2233e+003 1.7331e+004 8 3.8574e+003 2.8073e+005 14 3.2651e+003 1.3740e+004n L0 1 2 9 1.7415e+003 1.3151e+005 15 2.5829e+003 1.1079e+004 10 9.4530e+002 7.2633e+004 16 2.0820e+003 9.0655e+0037 0 11 5.7888e+002 4.4918e+004 17 1.7051e+003 7.5140e+0038 6.5729e+004 7.5448e+004 12 3.8447e+002 3.0019e+004 18 1.4154e+003 6.2988e+0039 4.4095e+004 5.4820e+004 13 2.7055e+002 2.1214e+004 19 1.1887e+003 5.3332e+00310 3.0695e+004 3.9954e+004 14 1.9879e+002 1.5635e+004 20 1.0086e+003 4.5561e+00311 2.2278e+004 2.9872e+004 15 1.5102e+002 1.1905e+0041213 1.6723e+004 1.2898e+004 2.2891e+004 1.7922e+004 16 17 1.1783e+002 9.3946e+001 9.3044e+003 7.4290e+003 nL =8314 1.0171e+004 1.4294e+004 18 7.6269e+001 6.0378e+00315 8.1698e+003 1.1584e+004 19 6.2870e+001 4.9816e+00316 6.6664e+003 9.5186e+003 20 5.2506e+001 4.1636e+003 n L2 3 417 5.5136e+003 7.9174e+003 nL =7618 4.6142e+003 6.6568e+003 8 019 3.9015e+003 5.6506e+003 9 1.0205e+004 7.1430e+00420 3.3293e+003 4.8377e+003 10 6.2600e+003 5.1401e+004 11 4.1350e+003 3.7212e+004 n L5 6 7nL =72 12 2.9023e+003 2.7716e+004 13 2.1305e+003 2.1204e+004 7 0 14 1.6180e+003 1.6598e+004 8 1.1905e+003 3.7265e+005 15 1.2622e+003 1.3248e+004n L1 2 3 9 4.3918e+002 1.0356e+005 16 1.0062e+003 1.0751e+004 10 2.1056e+002 4.4308e+004 17 8.1658e+002 8.8506e+0037 0 11 1.1863e+002 2.3485e+004 18 6.7278e+002 7.3770e+0038 2.8742e+004 1.1016e+005 12 7.4258e+001 1.4156e+004 19 5.6152e+002 6.2162e+0039 1.8107e+004 7.8419e+004 13 5.0012e+001 9.2949e+003 20 4.7395e+002 5.2887e+00310 1.2120e+004 5.6239e+004 14 3.5533e+001 6.4855e+0031112 8.5637e+003 6.3055e+003 4.1530e+004 3.1522e+004 15 16 2.6294e+001 2.0087e+001 4.7349e+003 3.5800e+003 nL =8413 4.7933e+003 2.4495e+004 17 1.5744e+001 2.7831e+00314 3.7378e+003 1.9419e+004 18 1.2602e+001 2.2131e+00315 2.9761e+003 1.5661e+004 19 1.0266e+001 1.7932e+003 n L3 4 516 2.4113e+003 1.2818e+004 20 8.4885e+000 1.4762e+00317 1.9828e+003 1.0626e+004 8 0 nL =8018 1.6514e+003 8.9095e+003 9 6.0645e+003 9.4463e+00419 1.3907e+003 7.5451e+003 10 3.4031e+003 6.3030e+00420 1.1827e+003 6.4467e+003 11 2.1218e+003 4.3269e+004 12 1.4303e+003 3.1001e+004 n L0 1nL =73 13 1.0191e+003 2.3031e+004 14 7.5666e+002 1.7624e+004 8 0 15 5.7988e+002 1.3816e+004 9 2.3279e+004 16 4.5574e+002 1.1051e+004n L2 3 4 10 1.7343e+004 17 3.6562e+002 8.9900e+003 11 1.2954e+004 18 2.9838e+002 7.4198e+0037 0 12 9.8998e+003 19 2.4706e+002 6.2008e+0038 1.5938e+004 1.5367e+005 13 7.7324e+003 20 2.0713e+002 5.2388e+0039 9.2466e+003 1.0307e+005 14 6.1555e+0031011 5.8764e+003 4.0075e+003 7.0918e+004 5.0829e+004 15 16 4.9812e+003 4.0886e+003 nL =8512 2.8760e+003 3.7730e+004 17 3.3979e+00313 2.1447e+003 2.8823e+004 18 2.8548e+00314 1.6478e+003 2.2547e+004 19 2.4219e+003 n L4 5 615 1.2967e+003 1.7990e+004 20 2.0726e+00316 1.0407e+003 1.4597e+004 8 017 8.4917e+002 1.2016e+004 9 3.3284e+003 1.2315e+005 nL =8118 7.0271e+002 1.0015e+004 10 1.6666e+003 7.1562e+00419 5.8862e+002 8.4390e+003 11 9.6509e+002 4.4832e+00420 4.9831e+002 7.1798e+003 12 6.1778e+002 3.0115e+004 13 4.2379e+002 2.1336e+004 n L0 1 2nL =74 14 3.0568e+002 1.5747e+004 15 2.2903e+002 1.2001e+004 8 0 16 1.7678e+002 9.3854e+003 9 3.6788e+004 3.7363e+004 17 1.3976e+002 7.4966e+003n L3 4 5 10 2.5595e+004 2.8140e+004 18 1.1269e+002 6.0946e+003 11 1.8329e+004 2.1124e+004 19 9.2371e+001 5.0296e+0037 0 12 1.3612e+004 1.6186e+004 20 7.6785e+001 4.2044e+003
    • 106 12 5.1229e+003 1.6399e+004nL =86 13 14 3.7913e+003 2.8988e+003 1.2765e+004 1.0120e+004 n L 6 7 8 15 2.2741e+003 8.1571e+003 16 1.8215e+003 6.6720e+003 9 0n L5 6 7 17 1.4843e+003 5.5279e+003 10 6.8973e+002 9.5320e+004 18 1.2272e+003 4.6322e+003 11 2.8318e+002 4.1235e+0048 0 19 1.0274e+003 3.9208e+003 12 1.4375e+002 2.1483e+0049 1.5455e+003 1.5896e+005 20 8.6937e+002 3.3485e+003 13 8.3812e+001 1.2718e+00410 6.6572e+002 7.1650e+004 14 5.3648e+001 8.2229e+003 nL =9311 3.4989e+002 3.8497e+004 15 3.6703e+001 5.6651e+00312 2.0938e+002 2.3334e+004 16 2.6386e+001 4.0935e+00313 1.3673e+002 1.5364e+004 17 1.9676e+001 3.0692e+00314 9.5011e+001 1.0738e+004 18 1.5170e+001 2.3699e+00315 6.9148e+001 7.8472e+003 n L2 3 4 19 1.1968e+001 1.8742e+00316 5.2154e+001 5.9372e+003 20 9.6346e+000 1.5117e+00317 4.0466e+001 4.6179e+003 9 0 nL =9818 3.2128e+001 3.6735e+003 10 6.6930e+003 3.6613e+00419 2.5998e+001 2.9773e+003 11 4.2922e+003 2.7659e+00420 2.1378e+001 2.4514e+003 12 2.9262e+003 2.0786e+004 13 2.1041e+003 1.5946e+004 n L7nL =87 14 2.7957e+003 1.2495e+004 8 9 15 1.2150e+003 9.9768e+003 16 9.6047e+002 8.0974e+003 9 0 17 7.7442e+002 6.6658e+003 10 2.1793e+002 1.1882e+005n L6 7 8 18 6.3473e+002 5.5556e+003 11 7.2045e+001 2.9543e+004 19 5.2753e+002 4.6810e+003 12 3.1827e+001 1.1630e+0048 0 20 4.4370e+002 3.9822e+003 13 1.6848e+001 5.7849e+0039 4.8361e+002 2.0367e+005 14 1.0049e+001 3.3192e+003 nL =9410 1.6886e+002 5.3520e+004 15 6.5161e+000 2.0964e+00311 7.7762e+001 2.1976e+004 16 4.4922e+000 1.4182e+00312 4.2512e+001 1.1294e+004 17 3.2446e+000 1.0100e+00313 2.6007e+001 6.6498e+003 18 2.4306e+000 7.4838e+00214 1.7208e+001 4.2873e+003 n L3 4 5 19 1.8749e+000 5.7229e+00215 1.2058e+001 2.9490e+003 20 1.4812e+000 4.4896e+00216 8.8253e+000 2.1287e+003 9 0 nL =10_017 6.6835e+000 1.5950e+003 10 4.2844e+003 4.7288e+00418 5.2020e+000 1.2310e+003 11 2.5464e+003 3.4006e+00419 4.1405e+000 9.7314e+002 12 1.6509e+003 4.3805e+00420 3.3577e+000 7.8475e+002 13 1.1453e+003 1.8370e+004 14 8.3444e+002 1.4081e+004 n L0 1nL =90 15 16 6.3066e+002 4.9046e+002 1.1048e+004 8.8414e+003 10 0 17 3.9025e+002 7.1945e+003 11 7.6276e+003 18 3.1640e+002 5.9389e+003 12 5.9480e+003n L0 1 19 2.6060e+002 4.9637e+003 13 4.6214e+003 20 2.1752e+002 4.1939e+003 14 3.6538e+0039 0 15 2.9393e+003 nL =9510 1.2919e+004 16 2.4011e+00311 9.8705e+003 17 1.9877e+00312 7.5334e+003 18 1.6648e+00313 5.8643e+003 19 1.4087e+00314 4.6506e+003 n L4 5 6 20 1.2029e+00315 3.7567e+003 nL =10_116 3.0772e+003 9 017 2.5531e+003 10 2.6237e+003 6.0254e+00418 2.1422e+003 11 1.4191e+003 3.9653e+00419 1.8153e+003 12 8.6427e+002 2.6963e+00420 1.5520e+003 13 5.7339e+002 1.9192e+004 n L0 1 2 14 4.0402e+002 1.4197e+004 15 2.9758e+002 1.0833e+004 10 0nL =91 16 17 2.2675e+002 1.7747e+002 8.4779e+003 6.7750e+003 11 12 1.3635e+004 1.0011e+004 1.16236e+004 9.19889e+003 18 1.4195e+002 5.5097e+003 13 7.4849e+003 7.20411e+003 19 1.1560e+002 4.5479e+003 14 5.7603e+003 5.72487e+003n L0 1 2 20 9.5586e+001 3.8023e+003 15 4.5422e+003 4.62139e+003 16 3.6539e+003 3.78446e+003 nL =969 0 17 2.9883e+003 3.13870e+00310 2.1857e+004 2.0153e+004 18 2.4785e+003 2.63248e+00311 1.5662e+004 1.5602e+004 19 2.0804e+003 2.2300e+00312 1.1482e+004 1.1990e+004 20 1.7646e+003 1.9058e+00313 8.6924e+003 9.3722e+003 n L5 6 7 nL =10_214 6.7593e+003 7.4576e+00315 5.3720e+003 6.0305e+003 9 016 4.3473e+003 4.9461e+003 10 1.4665e+003 7.6053e+00417 3.5720e+003 4.1076e+003 11 7.0399e+002 4.3005e+00418 2.9734e+003 3.4490e+003 12 3.9611e+002 2.6409e+004 n L1 2 319 2.5032e+003 2.9244e+003 13 2.4838e+002 1.7479e+00420 2.1284e+003 2.5013e+003 14 1.6780e+002 1.2247e+004 10 0 15 1.1965e+002 8.9638e+003 11 6.8299e+003 1.5658e+004nL =92 16 17 8.8860e+001 6.8126e+001 6.7881e+003 5.2829e+003 12 13 4.7963e+003 3.4820e+003 1.2416e+004 9.7170e+003 18 5.3576e+001 4.2043e+003 14 2.6238e+003 7.7084e+003 19 4.3023e+001 3.4085e+003 15 2.0364e+003 6.2109e+003n L1 2 3 20 3.5154e+001 2.8071e+003 16 1.6181e+003 5.0769e+003 17 1.3104e+003 4.2036e+003 nL =979 0 18 1.0782e+003 3.5204e+00310 1.0580e+004 2.7741e+004 19 8.9902e+002 2.9783e+00311 7.2162e+003 2.1427e+004
    • 10720 7.5833e+002 2.5424e+003 19 2.2064e+001 2.3986e+003 20 1.7613e+001 1.9354e+003 nL =11_3nL =10_3 nL =10_8 n L2 3 4n L2 3 4 n L7 8 9 11 010 0 12 3.1079e+003 1.1900e+00411 4.5047e+003 2.0248e+004 10 0 13 2.1294e+003 9.5660e+00312 2.9951e+003 1.5847e+004 11 3.3501e+002 5.9912e+004 14 1.5243e+003 7.5650e+00313 2.0966e+003 1.2254e+004 12 1.3111e+002 2.4847e+004 15 1.1388e+003 6.0541e+00314 1.5388e+003 9.6233e+003 13 6.4203e+001 1.2528e+004 16 8.7911e+002 4.9152e+00315 1.1709e+003 7.6885e+003 14 3.6402e+001 7.2283e+003 17 6.9620e+002 4.0451e+00316 9.1604e+002 6.2406e+003 15 2.2793e+001 4.5781e+003 18 5.6272e+002 3.3698e+00317 7.3272e+002 5.1368e+003 16 1.5320e+001 3.1021e+003 19 4.6252e+002 2.8379e+00318 5.9680e+002 4.2806e+003 17 1.0856e+001 2.2113e+003 20 3.8554e+002 2.4131e+00319 4.9351e+002 3.6060e+003 18 8.0132e+000 1.6397e+00320 4.1338e+002 3.0672e+003 19 20 6.1087e+000 4.7802e+000 1.2544e+003 9.8444e+002 nL =11_4nL =10_4 nL =10_9 n L3 4 5n L3 4 5 11 0 n L8 9 10 12 2.1849e+003 1.4829e+00410 0 13 1.4120e+003 1.1659e+00411 3.0416e+003 2.5648e+004 10 0 14 9.7124e+002 9.0486e+00312 1.8929e+003 1.9423e+004 11 1.0661e+000 7.3060e+004 15 7.0472e+002 7.1300e+00313 1.2674e+003 1.4631e+004 12 3.3408e+001 1.7210e+004 16 5.3202e+002 5.7152e+00314 9.0078e+002 1.1253e+004 13 1.4153e+001 6.4943e+003 17 4.1397e+002 4.6538e+00315 6.6888e+002 8.8416e+003 14 7.2468e+000 3.1234e+003 18 3.2987e+002 3.8426e+00316 5.1344e+002 7.0798e+003 15 4.2078e+000 1.7440e+003 19 2.6798e+002 3.2117e+00317 4.0448e+002 5.7627e+003 16 2.6694e+000 1.0774e+003 20 2.2122e+002 2.7135e+00318 3.2539e+002 4.7576e+003 17 1.8073e+000 7.1563e+0021920 2.6632e+002 2.2116e+002 3.9766e+003 3.3599e+003 18 19 1.2860e+000 9.5138e-001 5.0194e+002 3.6721e+002 nL =11_5 20 7.2613e-001 2.7780e+002nL =10_5 n L4 5 6 nL =11_0 11 0n L4 5 6 12 1.5162e+003 1.8252e+004 n L0 1 13 9.1386e+002 1.3760e+00410 0 14 5.9930e+002 1.0331e+00411 2.0034e+003 3.2072e+004 11 0 15 4.1986e+002 7.9280e+00312 1.1506e+003 2.2872e+004 12 4.7350e+003 16 3.0855e+002 6.2211e+00313 7.2977e+002 1.6467e+004 13 3.7554e+003 17 2.3504e+002 4.9784e+00314 4.9868e+002 1.2232e+004 14 2.9619e+003 18 1.8410e+002 4.0518e+00315 3.5943e+002 9.3521e+003 15 2.3730e+003 19 1.4747e+002 3.3460e+00316 2.6954e+002 7.3264e+003 16 1.9314e+003 20 1.2031e+002 2.7983e+00317 2.0842e+002 5.8582e+003 17 1.5942e+0031819 1.6514e+002 1.3347e+002 4.7658e+003 3.9347e+003 18 19 1.3321e+003 1.1250e+003 nL =11_620 1.0968e+002 3.2901e+003 20 9.5914e+002 n L5 6 7nL =10_6 nL =11_1 11 0 12 1.0148e+003 2.2274e+004n L5 6 7 n L0 1 2 13 5.6255e+002 1.5669e+004 14 3.4827e+002 1.1163e+00410 0 11 0 15 2.3386e+002 8.2258e+00311 1.2479e+003 3.9745e+004 12 8.8570e+003 7.0762e+003 16 1.6636e+002 6.2504e+00312 6.4952e+002 2.5654e+004 13 6.6375e+003 5.6988e+003 17 1.2351e+002 4.8738e+00313 3.8535e+002 1.7192e+004 14 5.0463e+003 4.5348e+003 18 9.4753e+001 3.8832e+00314 2.5087e+002 1.2105e+004 15 3.9389e+003 3.6541e+003 19 7.4612e+001 3.1505e+00315 1.7430e+002 8.8800e+003 16 3.1440e+003 2.9862e+003 20 6.0011e+001 2.5959e+00316 1.2701e+002 6.7335e+003 17 2.5562e+003 2.4722e+0031718 9.5982e+001 7.4641e+001 5.2444e+003 4.1758e+003 18 19 2.1102e+003 1.7648e+003 2.0703e+003 1.7516e+003 nL =11_719 5.9403e+001 3.3866e+003 20 1.4924e+003 1.4954e+00320 4.8185e+001 2.7897e+003 n L6 7 8 nL =11_2nL =10_7 11 0 12 6.3922e+002 2.7010e+004 n L1 2 3 13 3.1996e+002 1.7036e+004n L6 7 8 14 1.8462e+002 1.1214e+004 11 0 15 1.1770e+002 7.7842e+00310 0 12 4.5605e+003 9.3609e+003 16 8.0465e+001 5.6467e+00311 7.0588e+002 4.8925e+004 13 3.2818e+003 7.5777e+003 17 5.7891e+001 4.2434e+00312 3.2462e+002 2.6831e+004 14 2.4283e+003 6.0383e+003 18 4.3304e+001 3.2812e+00313 1.7711e+002 1.6094e+004 15 1.8585e+003 4.8658e+003 19 3.3397e+001 2.5973e+00314 1.0852e+002 1.0460e+004 16 1.4615e+003 3.9743e+003 20 2.6400e+001 2.0965e+00315 7.2017e+001 7.2255e+003 17 1.1744e+003 3.2878e+0031617 5.0639e+001 3.7192e+001 5.2288e+003 3.9240e+003 18 19 9.6038e+002 7.9698e+002 2.7512e+003 2.3257e+003 nL =11_818 2.8260e+001 3.0318e+003 20 6.6968e+002 1.9842e+003
    • 108 15 1.7328e+003 3.9050e+003n L7 8 9 16 1.3443e+003 3.1885e+003 17 1.0694e+003 2.6348e+003 n L7 8 99 0 18 8.6786e+002 2.2023e+00310 3.6463e+002 3.2588e+004 19 7.1595e+002 1.8599e+003 12 013 1.6064e+002 1.7299e+004 20 5.9876e+002 1.5853e+003 13 3.4767e+002 1.8844e+00414 8.4894e+001 1.0113e+004 14 1.6737e+002 1.1588e+0041516 5.0746e+001 3.3024e+001 6.4393e+003 4.3747e+003 nL =12_3 15 16 9.3833e+001 5.8506e+001 7.4730e+003 5.1027e+00317 2.2856e+001 3.1232e+003 17 3.9294e+001 3.6520e+00318 1.6572e+001 2.3180e+003 18 2.7868e+001 2.7141e+00319 1.2458e+001 1.7745e+003 n L2 3 4 19 2.0601e+001 2.0795e+00320 9.6410e+000 1.3932e+003 20 1.5734e+001 1.6336e+003 12 0nL =11_9 nL =12_9 13 2.1939e+003 7.3492e+003 14 1.5418e+003 6.0323e+003 15 1.1250e+003 4.8574e+003 16 8.5350e+002 3.9483e+003n L8 9 10 17 6.6734e+002 3.2491e+003 n L8 9 10 18 5.3424e+002 2.7056e+00311 0 19 4.3586e+002 2.2774e+003 12 012 1.7422e+002 3.9161e+004 20 3.6119e+002 1.9356e+003 10 1.9959e+002 2.2365e+00413 6.5044e+001 1.5568e+004 14 8.4284e+001 1.1480e+0041415 3.0710e+001 1.6915e+001 7.5897e+003 4.2614e+003 nL =12_4 15 16 4.3120e+001 2.5120e+001 6.5316e+003 4.0677e+00316 1.0345e+001 2.6398e+003 17 1.6010e+001 2.7134e+00317 6.8211e+000 1.7562e+003 18 1.0892e+001 1.9079e+00318 4.7572e+000 1.2330e+003 n L3 4 5 19 7.7848e+000 1.3981e+00319 3.4648e+000 9.0268e+002 20 5.8199e+000 1.0588e+00320 2.6119e+000 6.8322e+002 12 0 nL =12_10 13 1.5920e+003 9.0312e+003nL =11_10 14 1.0617e+003 7.3043e+003 15 7.4724e+002 5.8031e+003 16 5.5197e+002 4.6627e+003 17 4.2278e+002 3.7995e+003 n L9 10 11n L9 10 11 18 3.3294e+002 3.1377e+003 19 2.6804e+002 2.6225e+003 12 011 0 20 2.1968e+002 2.2154e+003 13 9.5864e+001 2.6460e+00412 5.5747e+001 4.6904e+004 14 3.4178e+001 1.0087e+0041314 1.6586e+001 6.7402e+000 1.0486e+004 3.7944e+003 nL =12_5 15 16 1.5559e+001 8.3197e+000 4.7526e+003 2.5947e+00315 1.7655e+000 1.7637e+003 17 4.9659e+000 1.5703e+00316 1.8842e+000 9.5762e+002 18 3.2083e+000 1.0246e+00317 1.1681e+000 5.7796e+002 n L4 5 6 19 2.1996e+000 7.0759e+00218 7.7577e-001 3.7648e+002 20 1.5790e+000 5.1080e+00219 5.4284e-001 2.5975e+002 12 0 nL =12_1120 3.9624e-001 1.8739e+002 13 1.1492e+003 1.0964e+004 14 7.2063e+002 8.6089e+003nL =12_0 15 4.8604e+002 6.6722e+003 16 3.4784e+002 5.2532e+003 17 2.5997e+002 4.2096e+003 n L 10 11 12 18 2.0077e+002 3.4281e+003n L0 1 19 1.5908e+002 2.8318e+003 12 0 20 1.2868e+002 2.3685e+003 13 3.0807e+001 3.1221e+00412 0 14 8.7171e+000 6.6363e+0031314 3.0637e+003 2.4647e+003 nL =12_6 15 16 3.4002e+000 1.6271e+000 2.3043e+003 1.0352e+00315 1.9690e+003 17 8.9330e-001 5.4630e+00216 1.5956e+003 18 5.4076e-001 3.2190e+00217 1.3120e+003 n L5 6 7 19 3.5196e-001 2.0546e+00218 1.0928e+003 20 2.4217e-001 1.3931e+00219 9.2067e+002 12 0 nL =13_020 7.8334e+002 13 8.0969e+002 1.3211e+004 14 4.7219e+002 9.8657e+003nL =12_1 15 3.0277e+002 7.3512e+003 16 2.0867e+002 5.6088e+003 17 1.5147e+002 4.3815e+003 n L0 1 18 1.1428e+002 3.4943e+003n L0 1 2 19 8.8849e+001 2.8365e+003 13 0 20 7.0746e+001 2.3379e+003 14 2.0526e+00312 0 15 1.6714e+0031314 5.9528e+003 4.5396e+003 4.5034e+003 3.6800e+003 nL =12_7 16 17 1.3501e+003 1.1050e+00315 3.5015e+003 2.9675e+003 18 9.1673e+00216 2.7670e+003 2.4198e+003 19 7.6981e+00217 2.2324e+003 1.9986e+003 n L6 7 8 20 6.5330e+00218 1.8321e+003 1.6703e+003 nL =13_119 1.5251e+003 1.4108e+003 12 020 1.2850e+003 1.2028e+003 10 5.4762e+002 1.5816e+004 14 2.9286e+002 1.0934e+004nL =12_2 15 1.7674e+002 7.6822e+003 16 1.1643e+002 5.5987e+003 n L0 1 2 17 8.1598e+001 4.2166e+003 18 5.9866e+001 3.2644e+003 13 0n L1 2 3 19 4.5494e+001 2.5859e+003 14 4.1193e+003 2.9745e+003 20 3.5548e+001 2.0882e+003 15 3.1889e+003 2.4606e+00312 0 16 2.4909e+003 2.0067e+00313 3.1355e+00314 2.3037e+003 5.8661e+003 4.8281e+003 nL =12_8 17 18 1.9898e+003 1.6206e+003 1.6532e+003 1.3781e+003
    • 10919 1.3412e+003 1.1614e+003 18 7.8202e+001 3.0998e+003 18 7.8488e+00220 1.1249e+003 9.8841e+002 19 5.8356e+001 2.4581e+003 19 6.5636e+002 20 4.4966e+001 1.9862e+003 20 5.5515e+002nL =13_2 nL =13_8 nL =14_1n L1 2 3 n L7 8 9 n L0 1 213 014 2.2113e+003 3.8234e+003 13 0 14 015 1.6540e+003 3.1899e+003 14 3.1121e+002 1.1458e+004 15 2.9232e+003 2.0276e+00316 1.2620e+003 2.6125e+003 15 1.6057e+002 7.7653e+003 16 2.2927e+003 1.6948e+00317 9.9079e+002 2.1572e+003 16 9.4390e+001 5.3679e+003 17 1.8108e+003 1.3958e+00318 7.9624e+002 1.8006e+003 17 6.0925e+001 3.8602e+003 18 1.4604e+003 1.1602e+00319 6.5198e+002 1.5186e+003 18 4.2012e+001 2.8755e+003 19 1.1996e+003 9.7505e+00220 5.4210e+002 1.2929e+003 19 3.0420e+001 2.2059e+003 20 1.0002e+003 8.2784e+002 20 2.2868e+001 1.7342e+003nL =13_3 nL =14_2 nL =13_9n L2 3 4 n L1 2 3 n L8 9 1013 0 14 014 1.5813e+003 4.7300e+003 13 0 15 1.5948e+003 2.5762e+00315 1.1356e+003 3.9476e+003 14 1.9876e+002 1.3455e+004 16 1.2114e+003 2.1739e+00316 8.4255e+002 3.2263e+003 15 9.2064e+001 8.0546e+003 17 9.3601e+002 1.7994e+00317 6.4788e+002 2.6568e+003 16 5.0124e+001 5.0813e+003 18 7.4269e+002 1.5002e+00318 5.1232e+002 2.2116e+002 17 3.0536e+001 3.4069e+003 19 6.0233e+002 1.2632e+00319 4.1412e+002 1.8604e+002 18 2.0126e+001 2.4016e+003 20 4.9715e+002 1.0738e+00320 3.4072e+002 1.5802e+002 19 1.4054e+001 1.7623e+003 20 1.0255e+001 1.3358e+003 nL =14_3nL =13_4 nL =13_10 n L2 3 4n L3 4 5 n L9 10 11 14 013 0 15 1.1614e+003 3.1523e+00314 1.1771e+003 5.7430e+003 13 0 16 8.4985e+002 2.6666e+00315 8.0623e+002 4.7477e+003 14 1.1466e+002 1.5752e+004 17 6.3979e+002 2.2066e+00316 5.7880e+002 3.8434e+003 15 4.6452e+001 7.8150e+003 18 4.9788e+002 1.8373e+00317 4.3427e+002 3.1380e+003 16 2.3004e+001 4.3238e+003 19 3.9770e+002 1.5446e+00318 3.3690e+002 2.5925e+003 17 1.3053e+001 2.6308e+003 20 3.2427e+002 1.3109e+00319 2.6818e+002 2.1667e+003 18 8.1402e+000 1.7210e+00320 2.1789e+002 1.8300e+003 19 20 5.4382e+000 3.2654e+000 1.1904e+003 8.6016e+002 nL =14_4nL =13_5 nL =13_11 n L3 4 5n L4 5 6 14 0 n L 10 11 12 15 8.8296e+002 3.7873e+00313 0 16 6.1876e+002 3.1859e+00314 8.7635e+002 6.8938e+003 13 0 17 4.5194e+002 2.6189e+00315 5.6810e+002 5.5781e+003 14 5.5303e+001 1.8392e+004 18 3.4378e+002 2.1669e+00316 3.9245e+002 4.4321e+003 15 1.8853e+001 6.7283e+003 19 2.6975e+002 1.8113e+00317 2.8609e+002 3.5620e+003 16 8.2779e+000 3.0639e+003 20 2.1680e+002 1.5295e+00318 2.1700e+002 2.9039e+003 17 4.2964e+000 1.6258e+0031920 1.6964e+002 1.3581e+002 2.3998e+003 2.0074e+003 18 19 2.5013e+000 1.5823e+000 9.6064e+002 6.1414e+002 nL =14_5 20 1.0655e+000 4.1682e+002nL =13_6 n l 4 5 6 nL =13_12 14 0n L5 6 7 15 6.7394e+002 4.5004e+003 n L 11 12 13 16 4.4939e+002 3.7280e+00313 0 17 3.1693e+002 3.0216e+00314 6.4187e+002 8.2106e+003 13 0 18 2.3479e+002 2.4697e+00315 3.9029e+002 6.4045e+003 14 1.7835e+001 2.1428e+004 19 1.8044e+002 2.0426e+00316 2.5775e+002 4.9379e+003 15 4.8083e+000 4.3387e+003 20 1.4260e+002 1.7090e+00317 1.8163e+002 3.8717e+003 16 1.8017e+000 1.4469e+0031819 1.3417e+002 1.0268e+002 3.0927e+003 2.5125e+003 17 18 8.3366e-001 4.4486e-001 6.2841e+002 3.2228e+002 nL =14_620 8.0774e+001 2.0717e+003 19 2.6285e-001 1.8532e+002 20 1.6755e-001 1.1584e+002 n L5 6 7nL =13_7 nL =14_0 14 0 15 5.0882e+002 5.3075e+003n L6 7 8 16 3.2042e+002 4.2781e+003 n L0 1 17 2.1700e+002 3.3876e+00313 0 18 1.5589e+002 2.7150e+00314 4.5674e+002 9.7218e+003 14 0 19 1.1693e+002 2.2087e+00315 2.5764e+002 7.1659e+003 15 1.4166e+003 20 9.0620e+001 1.8223e+00316 1.6135e+002 5.2829e+003 16 1.1656e+00317 1.0924e+002 3.9960e+003 17 9.5065e+002
    • 110nL =14_7 14 0 15 3.4497e+001 1.5100e+004 n L5 6 7 16 9.9058e+000 2.9176e+003n L6 7 8 17 3.4606e+000 9.3550e+002 15 0 18 1.0158e+000 3.9295e+002 16 4.0470e+002 3.5474e+00314 0 19 4.0778e-001 1.9585e+002 17 2.6259e+002 2.9331e+00315 3.7618e+002 6.2242e+003 20 8.4275e-002 1.0989e+002 18 1.8174e+002 2.3726e+00316 2.2174e+002 4.8081e+003 19 1.3278e+002 1.9358e+003 nL =15_017 1.4324e+002 3.6769e+003 20 1.0096e+002 1.5990e+00318 9.9281e+001 2.8637e+003 nL =15_719 7.2391e+001 2.2749e+00320 5.4827e+001 1.8398e+003 n L0 1nL =14_8 15 0 n L6 7 8 16 1.0029e+003 17 8.3288e+002 15 0n L7 8 9 18 6.8503e+002 16 3.0830e+002 4.1251e+003 19 5.6997e+002 17 1.8857e+002 3.3016e+00314 0 20 4.8001e+001 18 1.2509e+002 2.5983e+00315 2.6956e+002 7.2672e+003 19 8.8471e+001 2.0716e+003 nL =15_116 1.4708e+002 5.2734e+003 20 6.5553e+001 1.6781e+00317 8.9900e+001 3.8374e+003 nL =15_818 5.9734e+001 2.8714e+00319 4.2126e+001 2.2075e+00320 3.1054e+001 1.7373e+003 n L0 1 2 n L7nl  =14_9 15 0 8 9 16 2.1204e+003 1.4201e+003 17 1.6823e+003 1.1977e+003 15 0 18 1.3418e+003 9.9480e+002 16 2.2945e+002 4.7766e+003n L8 9 10 19 1.0915e+003 8.3343e+002 17 1.3112e+002 3.6449e+003 20 9.0335e+002 7.0549e+002 18 8.2809e+001 2.7584e+00314 0 19 5.6399e+001 2.1295e+003 nL =15_215 1.8470e+002 8.4548e+003 20 4.0552e+001 1.6792e+00316 9.1974e+001 5.6069e+003 nl  =15_917 5.2639e+001 3.8066e+00318 3.3265e+001 2.6965e+00319 2.2548e+001 1.9834e+003 n L1 2 320 1.6096e+001 1.5054e+003 15 0 n L8 9 10nL =14_10 16 17 1.1730e+003 9.0328e+002 1.7861e+003 1.5216e+003 15 0 18 7.0570e+002 1.2710e+003 16 1.6529e+002 5.5120e+003 19 5.6526e+002 1.0687e+003 17 8.7265e+001 3.9303e+003n L9 10 11 20 4.6220e+002 9.0678e+002 18 5.2038e+001 2.8180e+003 19 3.3909e+001 2.0823e+003 nL =15_314 0 20 2.3537e+001 1.5840e+00315 1.1851e+002 9.8076e+003 nL =15_1016 5.2850e+001 5.7100e+00317 2.7940e+001 3.5197e+00318 5.1238e+001 2.3145e+003 n L2 3 419 1.0742e+001 1.6050e+00320 7.3788e+000 1.1614e+003 15 0 n L9 10 11 16 8.6762e+002 2.1644e+003nL =14_11 17 18 6.4537e+002 4.9215e+002 1.8515e+003 1.5482e+003 15 16 1.1375e+002 0 6.3426e+003 19 3.8708e+002 1.3014e+003 17 1.4392e+001 4.1111e+003 20 3.1200e+002 1.1035e+003 18 3.0473e+001 2.7378e+003n l 10 11 12 19 1.8844e+001 1.9079e+00314 0 nL =15_4 20 1.2546e+001 1.3839e+003 nL =15_1115 6.8640e+001 1.1348e+00416 2.6701e+001 5.4419e+00317 1.2802e+001 2.9264e+003 n L3 4 518 7.0730e+000 1.7384e+00319 4.3137e+000 1.1144e+003 15 0 n L 10 11 1220 2.8279e+000 7.5749e+002 16 6.7138e+002 2.5764e+003 17 4.7995e+002 2.1980e+003 15 0nL =14_12 18 19 3.5590e+002 2.7406e+002 1.8299e+003 1.5313e+003 16 17 7.3260e+001 3.1479e+001 7.2808e+003 4.1208e+003 20 2.1724e+002 2.9206e+003 18 1.6160e+001 2.4801e+003 19 9.3850e+000 1.5981e+003n L 11 12 13 nL =15_5 20 5.9442e+000 1.0891e+003 nL =15_1214 015 3.3218e+001 1.3103e+00416 1.0843e+001 4.6036e+003 n L4 5 617 4.5941e+000 2.0267e+00318 2.3144e+000 1.0451e+003 15 0 n L 11 12 1319 1.3138e+000 6.0264e+002 16 5.2309e+002 3.0342e+003 15 020 8.1340e-001 3.7729e+002 17 3.5738e+002 2.5607e+003 16 4.2568e+001 8.3403e+003 18 2.5664e+002 2.1094e+003 17 1.5918e+001 3.8667e+003nl  =14_13 19 20 1.9285e+002 1.4994e+002 1.7484e+003 1.4637e+003 18 19 7.3910e+000 3.9759e+001 2.0208e+003 1.1715e+003 20 2.3704e+000 7.3542e+002n L 12 13 14 nL =15_6
    • 111nL =15_13 17 18 4.6727e+001 1.9363e+001 5.4943e+003 3.0202e+003 n L4 5 6 19 9.6545e+000 1.7754e+003 20 5.4724e+000 1.1203e+003n L 12 13 14 16 015 0 17 18 4.0987e+002 2.8602e+002 2.1034e+003 1.8020e+003 nL =16_1316 1.8488e+001 9.5369e+003 19 2.0868e+002 1.5044e+00317 6.4654e+000 3.2215e+003 20 1.5880e+002 1.2617e+00318 2.9939e+000 1.3716e+003 n L 12 13 14 nL =16_619 1.9472e+000 6.8741e+00220 4.0901e-001 3.8675e+002 16 0 17 2.7224e+001 6.2392e+003nL =15_14 n l 5 6 7 18 19 4.0481e+001 1.4616e+001 2.7977e+003 1.4210e+003 20 3.8570e+000 8.0380e+002 16 0n L 13 14 15 17 18 3.2356e+002 2.1542e+002 2.4403e+003 2.0587e+003 nL =16_1415 0 19 1.5195e+002 1.6944e+00316 6.6981e+000 1.0888e+004 20 1.1268e+002 1.4032e+00317 1.6479e+000 2.0111e+003 n L 13 14 15 nL =16_718 5.7152e-001 6.2060e+00219 2.4757e-001 2.5226e+002 16 020 1.2483e-001 1.2221e+002 17 1.3243e+001 7.0741e+003 18 3.9793e+000 2.2998e+003 n L6nL =16_0 7 8 19 1.5733e+000 9.4756e+002 20 7.4724e-001 4.6159e+002 16 0n L0 1 17 18 2.5250e+002 1.5939e+002 2.8164e+003 2.3171e+003 nL =16_15 19 1.0818e+002 1.8658e+00316 0 20 7.7880e+001 1.5163e+00317 7.2611e+002 n L 14 15 16 nL =16_818 6.0784e+00219 5.0370e+002 16 020 4.2199e+002 17 4.3028e+000 8.0100e+003 18 1.0138e+000 1.4168e+003 n L7nL =16_1 8 9 19 3.3880e-001 4.2121e+002 20 1.4212e-001 1.6578e+002 16 0n L0 1 2 17 18 1.9356e+002 1.1500e+002 3.2372e+003 2.5664e+003 nL =17_0 19 7.4687e+001 2.0029e+00316 0 20 5.1964e+001 1.5855e+00317 1.5682e+003 1.0183e+003 n L0 1 nL =16_918 1.2569e+003 8.6557e+00219 1.0113e+003 7.2432e+002 17 020 8.2897e+002 6.1104e+002 18 5.3608e+002 19 4.5196e+002 n L8nL =16_2 9 10 20 3.7704e+002 16 0n L1 2 3 17 18 1.4478e+002 8.0228e+001 3.7088e+003 2.7901e+003 nL =17_1 19 4.9520e+001 2.0859e+00316 0 20 3.3121e+001 1.5936e+00317 8.7803e+002 1.2692e+003 n L0 1 2 nL =16_1018 6.8432e+002 1.0902e+00319 5.3997e+002 9.1791e+002 17 020 4.3618e+002 7.7746e+002 18 1.1798e+003 7.4545e+002 19 9.5423e+002 6.3796e+002 n L9nL =16_3 10 11 20 7.7380e+002 5.3739e+002 16 17 1.0473e+002 0 4.2374e+003 nL =17_2n L2 3 4 18 5.3525e+001 2.9648e+003 19 3.1135e+001 2.0917e+00316 0 20 1.9887e+001 1.5244e+003 n L1 2 317 6.5821e+002 1.5249e+003 nL =16_1118 4.9672e+002 1.3168e+003 17 019 3.8315e+002 1.1110e+003 18 6.6761e+002 9.2166e+00220 3.0424e+002 9.4162e+002 19 5.2594e+002 7.9728e+002 20 4.1870e+002 6.7595e+002 n L 10nL =16_4 11 12 16 0 nL =17_3 17 7.2329e+001 4.8299e+003n L3 4 5 18 3.3607e+001 3.0574e+003 19 1.8226e+001 1.9954e+003 n L2 3 416 0 20 1.1025e+001 1.3667e+00317 5.1706e+002 1.8003e+003 17 0 nL =16_1218 3.7614e+002 1.5537e+003 18 5.0634e+002 1.0988e+00319 2.8269e+002 1.3075e+003 19 3.8704e+002 9.5647e+00220 2.2006e+002 1.1048e+003 20 3.0163e+002 8.1322e+002 n L 11 nL =17_4 12 13nL =16_5 16 0
    • 112 20 3.0501e+002 7.0784e+002n L3 4 5 n L 11 12 1317 0 17 0 nL =18_418 4.0297e+002 1.2877e+003 18 4.7293e+001 3.7283e+00319 2.9769e+002 1.1221e+003 19 2.1248e+001 2.3038e+00320 2.2642e+002 9.5294e+002 20 1.1219e+001 1.4726e+003 n L3 4 5nL =17_5 nL =17_13 18 0 19 3.1752e+002 9.4023e+002 20 2.3781e+002 8.2601e+002n L4 n L 12 nL =18_5 5 6 13 1417 0 17 018 3.2416e+002 1.4939e+003 18 3.0632e+001 4.2076e+00319 2.3045e+002 1.2956e+003 19 1.2252e+001 2.2497e+003 n L4 5 620 1.7052e+002 1.0939e+003 20 7.1678e+000 1.2895e+003 18 0nL =17_6 nL =17_14 19 2.5869e+002 1.0838e+003 20 1.8696e+002 9.4960e+002n L5 6 7 n L 13 14 15 nL =18_617 0 17 018 2.6027e+002 1.7212e+003 18 1.7888e+001 4.7416e+003 n L5 6 719 1.7722e+002 1.4758e+003 19 6.2011e+000 2.0575e+00320 1.2712e+002 1.2321e+003 20 2.7044e+000 1.0158e+003 18 0 19 2.1072e+002 1.2409e+003nL =17_7 nL =17_15 20 1.4635e+002 1.0782e+003 nL =18_7n L6 7 8 n L 14 15 1617 0 17 0 n L6 7 818 2.0717e+002 1.9731e+003 18 8.7192e+000 5.3362e+00319 1.3439e+002 1.6592e+003 19 2.5187e+000 1.6714e+003 18 020 9.3064e+001 1.3611e+003 20 9.6300e-001 6.6680e+002 19 1.7055e+002 1.4140e+003 20 1.1330e+002 1.2101e+003nL =17_8 nL =17_16 nL =18_8n L7 8 9 n L 15 16 17 n L7 8 917 0 17 018 1.6265e+002 2.2531e+003 18 2.8380e+000 5.9983e+003 18 019 9.9894e+001 1.8401e+003 19 6.4140e-001 1.0176e+003 19 1.3654e+002 1.6051e+00320 6.6464e+001 1.4718e+003 20 2.0674e-001 2.9178e+002 20 8.6309e+001 1.3422e+003nL =17_9 nL =18_0 nL =18_9n L8 9 10 n L0 1 n L8 9 1017 0 18 0 18 018 1.2528e+002 2.5646e+003 19 4.0270e+002 19 1.0768e+002 1.8164e+00319 7.2310e+001 2.0099e+003 20 3.4168e+002 20 6.4361e+001 1.4698e+00320 4.5966e+001 1.5529e+003 nL =18_1 nL =18_10nL =17_10 n L0 1 2 n L9 10 11n L9 10 11 18 0 18 017 0 19 9.0125e+002 5.5572e+002 19 8.3253e+001 2.0503e+00318 9.4074e+001 2.9115e+003 20 7.3493e+002 4.7847e+002 20 4.6703e+001 1.5861e+00319 5.0571e+001 2.1563e+00320 3.0501e+001 1.5904e+003 nL =18_2 nL =18_11nL =17_11 n L1 2 3 n L 10 11 12 18 0 18 0n L 10 11 12 19 5.1481e+002 6.8213e+002 19 6.2715e+001 2.3093e+003 20 4.0948e+002 5.9373e+002 20 3.2721e+001 1.6819e+00317 018 6.8278e+00119 3.3799e+001 3.2979e+003 2.2621e+003 nL =18_3 nL =18_1220 1.9178e+001 1.5688e+003 n L2 3 4 n L 11 12 13nL =17_12 18 0 18 0 19 3.9448e+002 8.0766e+002 19 4.5645e+001 2.5961e+003
    • 11320 2.1899e+001 1.7445e+003 nL =19_4 nL =19_14nL =18_13 n L3 4 5 n L 13 14 15n L 12 13 14 19 0 20 2.5276e+002 6.9913e+002 19 018 0 20 2.1710e+001 2.3030e+00319 2.7287e+001 2.9137e+003 nL =19_520 1.3780e+001 1.7571e+003 nL =19_15nL =18_14 n L4 5 6 n L 14 15 16 19 0n L 13 14 15 20 2.0822e+002 8.0118e+002 19 0 20 1.4119e+001 2.5650e+00318 0 nL =19_619 2.0573e+00120 7.9501e+000 3.2654e+003 1.6894e+003 nL =19_16 n L5 6 7nL =18_15 n L 15 16 17 19 0 20 1.7173e+002 9.1221e+002 19 0n L 14 15 16 20 8.2750e+000 2.8536e+003 nL =19_71819 1.2037e+001 0 3.6549e+003 nL =19_1720 4.0246e+000 1.5358e+003 n L6 7 8 n L 16 17 18nL =18_16 19 0 20 1.4098e+002 1.0337e+003 19 0 20 4.0469e+000 3.1714e+003n L 15 16 17 nL =19_818 0 nl  =19_1819 5.8778e+000 4.0861e+00320 1.6344e+000 1.2343e+003 n L7 8 9 n L 17 18 19nL =18_17 19 0 20 1.1474e+002 1.1671e+003 19 0 20 1.3211e+000 3.5215e+003n L 16 nL =19_9 17 18 nL =20_018 0 n L8 9 1019 1.9162e+000 4.5635e+00320 4.1602e-001 7.43640e+002 n L 0 19 0 20 9.2261e+001 1.3138e+003 20 0nL =19_0 nL =19_10 nL =20_1n L0 1 n L9 10 11 n L 119 020 3.0722e+002 19 0 20 0 20 7.3020e+001 1.4754e+003nL =19_1 nL =20_2 nL =19_11n L0 1 2 n L 2 n L 10 11 1219 0 20 020 6.9801e+002 4.2106e+002 19 0 20 5.6625e+001 1.6533e+003 nL =20_3nL =19_2 nL =19_12 n L 3n L1 2 3 n L 11 12 13 20 0;19 020 4.0207e+002 5.1346e+002 19 0 y así para éste caso tenemos: 20 4.2769e+001 1.8492e+003 A20 L,20 L  0 ,nL =19_3 nL =19_13 L y L = 0,1,2,3,...,19n L2 3 4 n L 12 13 1419 020 3.1090e+002 6.0417e+002 19 0 20 3.7732e+000 2.0651e+003
    • 114 Ahora con esta tabla podemos hallar las verdaderas probabilidadesde transición espontánea, que la definimos en (II.4.8) por medio de larelación: AnL ,nL PnL,nL  n 1  n1 L L 1 AnL,nLAsí tenemos los siguientes resultados:Tabla 3.2.2 Probabilidades de transición espontánea, para algunos valores de nL . PnL,nL (adimensional)nl  =10 n l 0 1 2 6 7 0.2714 0.2449 0 0 0.2237 0.2157 8 0.2284 0 0.2103 2 0 0 0 9 0.2173 0 0.2065n l 0 1 3 1.0000 0 1.0000 10 0.2094 0 0.2037 4 0.5841 0 0.7456 nl  =321 1.0000 0 5 0.4540 0 0.65672 1.0000 1.0000 6 0.3933 0 0.61293 0 0.8817 7 0.3591 0 0.58744 0 0.8390 8 0.3375 0 0.57105 0 0.8177 9 0.3229 0 0.5597 n l 1 2 36 0 0.8053 10 0.3123 0 0.55157 0 0.7972 11 0.3045 0 0.5454 3 08 0 0.7917 12 0.2984 0 0.5407 4 0.0043 0 1.00009 0 0.7877 13 0.2937 0 0.5370 5 0.0036 0 0.637410 0 0.7847 14 0.2898 0 0.5331 6 0.0032 0 0.514911 0 0.7824 15 0.2867 0 0.5316 7 0.0030 0 0.455612 0 0.7806 16 0.2841 0 0.5295 8 0.0029 0 0.421413 0 0.7791 17 0.2819 0 0.5278 9 0.0028 0 0.399514 0 0.7779 18 0.1572 0 0.5264 10 0.0027 0 0.384415 0 0.7770 19 0.2784 0 0.52511617 0 0 0.7761 0.7754 20 0.2770 0 0.5240 nl  =40 nl  =3018 0 0.774819 0 0.7743 n l 0 120 0 0.7743 n lnl  =20 0 1 4 0 5 0 0.0175 3 0 6 0 0.0182 4 0 0.0377 7 0 0.0182n l 0 1 5 0 0.0390 8 0 0.0182 6 0 0.0390 9 0 0.01812 0 0 7 0 0.0389 10 0 0.01813 0 0.1183 8 0 0.038745 0 0 0.1190 0.1177 9 10 0 0 0.0386 0.0385 nl  =416 0 0.1167 11 0 0.03847 0 0.11598 0 0.1153 12 0 0.0384 n l 0 1 2 13 0 0.03839 0 0.1149 14 0 0.038310 0 0.1146 4 0 15 0 0.0382 5 0.2273 0 0.103511 0 0.1143 16 0 0.038212 0 0.1141 6 0.1917 0 0.1027 17 0 0.0382 7 0.1702 0 0.100113 0 0.1139 18 0 0.038214 0 0.1138 8 0.1569 0 0.0981 19 0 0.0381 9 0.1480 0 0.096515 0 0.1137 20 0 0.038116 0 0.1136 10 0.1418 0 0.0953 nl  =3117 0 0.113518 0 0.1134 nl  =4219 0 0.113320 0 0.1134 n l 0 1 2 n l 1 2 3nl  =21 3 0 0 0 4 0 4 0.4159 0 0.2544 5 0.0045 0 0.3626 5 0.3187 0 0.2363 6 0.0038 0 0.3088
    • 11578 0.0035 0.0033 0 0 0.2770 0.2577 6 0 nl  =729 0.0031 0 0.2450 7 0 0.006310 0.0030 0 0.2362 8 0 0.0065 9 0 0.0065 n l 1 2 3nl  =43 10 0 0.0065 7 0 nl  =61 8 0.0028 0 0.0615 9 0.0025 0 0.0620n l 2 3 4 10 0.0023 0 0.06064 0 n l 0 1 2 nl  =735 0.0035 0 1.00006 0.0026 0 0.5539 6 07 0.0021 0 0.4104 7 0.0991 0 0.03208 0.0019 0 0.3428 8 0.0896 0 0.0328 n l 2 3 49 0.0017 0 0.3044 9 0.0823 0 0.032610 0.0016 0 0.2802 10 0.0774 0 0.0323 7 0 8 0.0044 0 0.1445nl  =50 nl  =62 9 0.0036 0 0.1370 10 0.0032 0 0.1285n l 0 1 n l 1 2 3 nl  =745 0 6 06 0 0.0099 7 0.0033 0 0.0979 n l 3 4 57 0 0.0103 8 0.0029 0 0.09658 0 0.0103 9 0.0027 0 0.0931 7 09 0 0.0102 10 0.0025 0 0.0903 8 0.0047 0 0.298010 0 0.0102 9 0.0035 0 0.2502 nl  =63 10 0.0028 0 0.2168nl  =51 nl  =75 n l 2 3 4n l 0 1 2 n l 4 5 6 6 05 0 7 0.0047 0 0.23926 0.1435 0 0.0535 8 0.0038 0 0.2129 7 07 0.1266 0 0.0544 9 0.0033 0 0.1925 8 0.0036 0 0.56338 0.1149 0 0.0538 10 0.0029 0 0.1785 9 0.0023 0 0.37379 0.1072 0 0.0531 10 0.0017 0 0.281510 0.1019 0 0.0525 nl  =64 nl  =76nl  =52 n l 3 4 5 n l 5 6 7n l 1 2 3 6 0 7 0.0042 0 0.5113 7 05 0 8 0.0029 0 0.3672 8 0.0017 0 1.00006 0.0039 0 0.1735 9 0.0023 0 0.2932 9 0.0009 0 0.39457 0.0034 0 0.1635 10 0.0020 0 0.2508 10 0.0006 0 0.23058 0.0031 0 0.15399 0.0029 0 0.1470 nl  =65 nl  =8010 0.0028 0 0.1420nl  =53 n l 4 5 6 n l 0 1 6 0 8 0n l 2 3 4 7 0.0021 0 1.0000 9 0 0.0032 8 0.0012 0 0.4367 10 0 0.00325 0 9 0.0009 0 0.27506 0.0047 0 0.4461 10 0.0007 0 0.20437 0.0036 0 0.3483 nl  =8189 0.0030 0.0027 0 0 0.2950 0.2635 nl  =7010 0.0025 0 0.2431 n l 0 1 2 n l 0 1nl  =54 8 9 0.0556 0 0 0.0147 7 0 8 0 0.0043 10 0.0515 0 0.0151n l 3 4 5 9 0 0.0045 10 0 0.0044 nl  =825 067 0.0027 0.0018 0 0 1.0000 0.4887 nl  =71 n l 1 2 38 0.0013 0 0.33319 0.0011 0 0.2623 n l 0 1 2 8 010 0.0010 0 0.2232 9 0.0023 0 0.0417 10 0.0021 0 0.0425nl  =60 7 0 8 0.0726 0 0.0210 9 0.0666 0 0.0216 nl  =83 10 0.0617 0 0.0215n l 0 1
    • 116 9 0 11 0.0048 0 0.2335n l 2 3 4 10 0.0046 0 0.1298 nl  =10_689 0.0040 0 0 0.0950 nl  =9510 0.0034 0 0.0931 n l 5 6 7 n l 4 5 6nl  =84 10 0 9 0 11 0.0040 0 0.3956 10 0.0048 0 0.2335n l nl  =10_7 nl  =96 3 4 58 09 0.0048 0 0.1902 n l 6 7 810 0.0037 0 0.1730 n l 5 6 7 10 0nl  =85 9 0 11 0.0027 0 0.6404 10 0.0040 0 0.3956 nl  =10_8n l 4 5 6 nl  =978 0 n l 7 8 99 0.0044 0 0.3499 n l 6 7 810 0.0030 0 0.2773 10 0 9 0 11 0.0011 0 1.0000nl  =86 10 0.0027 0 0.6404 nl  =10_9 nl  =98n l 5 6 7 n l 8 9 108 0 n l 7 8 99 0.0031 0 0.6055 10 010 0.0018 0 0.3727 9 0 11 0.0011 0 1.0000 10 0.0011 0 1.0000nl  =87 nl  =11_0 nl  =10_0n l 6 7 8 n l 0 1 n l 0 18 0 11 09 0.0014 0 1.0000 10 0 12 0 0.002410 0.0007 0 0.3596 11 0 0.0024 nl  =11_1nl  =90 nl  =10_1 n l 0 1 2n l 0 1 n l 0 1 2 11 09 0 10 0 12 0.0440 0 0.010810 0 0.0024 11 0.0440 0 0.0108 nl  =11_2nl  =91 nl  =10_2 n l 1 2 3n l 0 1 2 n l 1 2 3 11 09 0 10 0 12 0.0020 0 0.029910 0.0440 0 0.0108 11 0.0020 0 0.0299 nl  =11_3nl  =92 nl  =10_3 n l 2 3 4n l 1 2 3 n l 2 3 4 11 09 0 10 0 12 0.0036 0 0.066310 0.0020 0 0.0299 11 0.0036 0 0.0663 nl  =11_4nl  =93 nl  =10_4 n l 3 4 5n l 2 3 4 n l 3 4 5 11 09 0 10 0 12 0.0046 0 0.129810 0.0036 0 0.0663 11 0.0046 0 0.1298 nl  =11_5nl  =94 nl  =10_5 n l 4 5 6n l 3 4 5 n l 4 5 6 11 0 10 0 12 0.0048 0 0.2335
    • 117 n lnl  =11_6 nl  =11_9 1 20 0n l 5 6 7 n l 8 9 10 nl  =20_211 0 11 012 0.0040 0 0.3956 12 0.0011 0 1.0000 n l 2nl  =11_7 nl  =11_10 20 0n l 6 7 8 n l 10 11 12 nl  =20_310 0 11 011 0.0027 0 0.6404 12 0.0011 0 1.0000 n l 3 nl  =20_0 20 0nl  =11_8 n l 0 y así para éste caso tenemos: P20l ,20l   0 , l y l  =0,1,2,3,...,19. 20 0n l 7 8 9 Por tanto también en el caso nl  =20_1 particular: l  l .11 012 0.0011 0 1.0000 Valores más completos y también para el caso B podemos encontraren el CD anexo, en la dirección:D:/tesis_CD/III-2Tablas de las probabilidades de transición/ matrices_ProbabilyTransition_P /matrices_P_espontanea_A/caso_A yD:/tesis_CD/III-2Tablas de las probabilidades de transición// matrices_ProbabilyTransition_P /matrices_P_espontanea_A/caso_BAlgunos gráficos interesantes de observar debido a su dependencia son losde AnL,nL vs. n o L . (A no es función de T).Figuras. 3.2.1 Coeficientes de Einstein vs. Numero cuántico principal.En los siguientes 3 gráficos se muestra los coeficientes para diferentes transiciones, enel primero hasta el nivel base nL  10 , con número cuántico principal igual a uno yorbital igual a cero, el cual se indica al final del subíndice de A en el gráfico,similarmente se pueden interpretar los siguientes dos gráficos, y también los del CD.
    • 118En el eje de las ordenadas se encuentra el coeficiente de emisiónespontánea.
    • 119 Más gráficos podemos encontrar en el CD en la dirección:D:/tesis_CD/III-2Gráficos de las probabilidades de transición/matrices_EinsteinCoeff_A. Como se explico en la sección § II.4 (Espectro emitido por nebulosasgaseosas), podemos tener espectros más precisos incluyendo varios efectos,uno de ellos es el de las transiciones debido a las colisiones con electrones;para calcular la intensidad con la incorporación de éste efecto, hallemosprimero las probabilidades de excitación y desexcitación debido a colisióncon electrones, y para esto los coeficientes de excitación y de desexcitacióncolisional, a saber: ( ij  nL _ nL  excitation y ji  nL _ nL  de _ excitation )Para la excitación: CnL,nL  NeqnL,nL e e (III.2.3) 2.186 1010 1 EnL,nL   EnL,nL   EnL,nL  EnL,nL    qnL,nL  e f nL,nLTe2  E1    0.148 E5    nL,nL kTe   kTe   kTe  kTe    (III.2.4)Donde: 1 1  nL,nL   n,n   2, n n 2  1 1  EnL,nL  En,n  h n,n  hZ 2 R  2  2  ,  n n  R R , cR y R son las constantes de Rydberg en s 1 y cm1 respectivamente. R  3.2931193 1015 s 1 , R  1.0973731105 cm1 , 1 gn f nL,nL  AnL,nL (III.2.5) 3 cl g nes la fuerza del oscilador,
    • 120 gi  2ni2 la degeneración, 8 2e2 2 8 2e2  cl   (III.2.6) 3me c3 3mec 2Classical damping Constant, y  e zt R  z   0, En  z    dt , 1 tn n  0,1, 2,... EnL,nLes la función exponencial integral , en este caso z   . kTeY para la de_excitación tenemos: 2 g  kTije E C C  i e e  e  CnL,nL e n  n  n . (III.2.7) ji g ij   j  Valores para la fuerza del oscilador f vienen incluido en el CDanexo, para el caso de la absorción fij  f nL,nL en la dirección:Tabla 3.2.3 fuerza del oscilador para la absorciónTesis_CD/tablas/III-2Tablas de las probabilidades de transición/ matrices_ce_collisional_coefficient /oscillator_strenght_f/absorciony para el caso de emisión, en la dirección:Tabla 3.2.4 fuerza del oscilador para la emisiónTesis_CD/tablas/III-2Tablas de las probabilidades de transición/ matrices_ce_collisional_coefficient /oscillator_strenght_f/emision. En estas se tiene según el nombre de la matriz, la fuerza de latransición para las transiciones desde niveles nL o nL indicados por laposición del elemento de la matriz hacia el nivel nL indicado por el nombrede la matriz. Así también incluimos los valores para las probabilidades detransición debido a la colisión con electrones C e , para el caso de poblacióndel nivel nL , sea desde un nivel inferior nL (por absorción) o desde unnivel superior nL (por emisión), en la dirección:
    • 121Tabla 3.2.5 Probabilidad de poblar el nivel nL debido a colisión con electrones.Tesis_CD/tablas/III-2Tablas de las probabilidades de transición/ matrices_ce_collisional_coefficient/poblaciones_emabsy para el caso de despoblación desde el nivel nL a otro cualquiera en:Tabla 3.2.6 Probabilidad de despoblar el nivel nL debido a colisión con electrones.Tesis_CD/tablas/III-2Tablas de las probabilidades de transición/ matrices_ce_collisional_coefficient/despoblaciones_emabs. La posición en la matriz 20*20 de los elementos indican el lugardesde donde cae o sube el electrón en la transición colisional, y el nombrede la matriz indica el lugar donde se puebla o despuebla, la fila representaal número cuántico principal n y la columna al número cuántico orbital L .En todas estas tablas se tiene para las temperaturas de 1250, 2500, 50000,10000, 15000, 20000, 40000 y 80000ºK Luego de haber hallado las probabilidades de transición colisional,podemos hallar las probabilidades de transición incluyendo los efectostransición espontánea y por colisión con electrones con ayuda de la fórmulaII.4.17: AnL,nL  CnL,nL e PnL,nL  n 1 n 1  n1 L L 1 AnL,nL    n1 L L 1 e CnL,nL Valores para estas probabilidades se tienen en el CD anexo, en ladirección:Tabla 3.2.7 Probabilidad de poblar el nivel nL tomando en cuenta transicionesespontaneas y colisionales, para los casos A y B.Tesis_CD/tablas/ III-2Tablas de las probabilidades de transición/ matrices_ProbabilyTransition_P/matrices_P_espontanea_colisional_Ane/para el caso A en / caso_A ypara el caso B en / caso_B. En ambos casos se da para las temperaturas de 1250, 2500, 50000, 10000,15000, 20000, 40000, y 80000ºK y densidades electrónicas de 1, 10 y100 electrones 3 , las que fueron hallados en los programas: cm
    • 122fun_tabla_p_ab_emabs_pob_espne=f(casoAB,Ne,T),fun_prob_p(casoAB,Ne,T,nn,ll),que a su vez llaman a otros sub-programas y que también se incluyen en elCD que puedan ser usados para encontrar las probabilidades paratemperaturas y densidades electrónicas deseadas.
    • 123 § III.3-Cálculo de las matrices cascada. Como vimos en la sección § II.4, las matrices cascada las calculamosusando la relación (II.4.10), sea para el caso de transición espontáneasolamente o incluida las transiciones debido a colisiones con electrones, asaber: n CnL,nL    n n1 L L 1 CnL,nL PnL,nL ,con ayuda de la definición (II.4.9): CnL,nL   LL .Los resultados se dan en forma de matrices C= ( CnL,nL ) donde nL es fijo ynL que da la fila y la columna de la matriz respectivamente, nos indicatodos los posibles niveles desde donde cae el electrón al nivel nL fijo. Los resultados son los siguientes: (valores con mas precisión se danen el CD en D:/tablas/matrices_cascada/cascada_A/caso_a)Tabla 3.3.1 matricegs cascada para transiciones espontáneas caso A 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000CnL,10 =c20a_nl_1_0 = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 1 through 7 Columns 15 through 20 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Columns 8 through 14 CnL,20 =c20a_nl_2_0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 1 through 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1183 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0492 0.1190 0.0301 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0.0648 0.1187 0.0403 0.0109 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0.0720 0.1185 0.0451 0.0163 0.0049 0 0 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0.0760 0.1183 0.0478 0.0194 0.0077 0.0025 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0.0785 0.1182 0.0495 0.0213 0.0095 0.0041 0.0014 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0.0803 0.1181 0.0506 0.0226 0.0107 0.0052 0.0024 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0.0815 0.1180 0.0514 0.0235 0.0116 0.0059 0.0030 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0824 0.1179 0.0520 0.0242 0.0122 0.0065 0.0035 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0831 0.1179 0.0524 0.0247 0.0127 0.0072 0.0039 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0837 0.1178 0.0528 0.0251 0.0131 0.0073 0.0043 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0841 0.1178 0.0530 0.0254 0.0134 0.0075 0.0045
    • 124 0.0845 0.1178 0.0532 0.0257 0.0136 0.0078 0.0047 0.4635 0.0561 0.6645 0.9077 1.0000 0 0 0.0848 0.1177 0.0534 0.0259 0.0138 0.0079 0.0048 0.4094 0.0629 0.6270 0.8632 0.9588 1.0000 0 0.0850 0.1177 0.0536 0.0261 0.0140 0.0081 0.0050 0.3796 0.0668 0.6061 0.8380 0.9352 0.9790 1.0000 0.0999 0.1177 0.0537 0.0262 0.0139 0.0082 0.0051 0.3611 0.0693 0.5932 0.8222 0.9202 0.9656 0.9881 0.0854 0.1177 0.0538 0.0264 0.0140 0.0083 0.0052 0.3486 0.0710 0.5846 0.8115 0.9101 0.9565 0.9801 0.0856 0.1177 0.0539 0.0235 0.0141 0.0084 0.0052 0.3397 0.0723 0.5785 0.8040 0.9029 0.9500 0.9743 0.3331 0.0733 0.5741 0.7985 0.8976 0.9453 0.9701Columns 8 through 14 0.3280 0.0740 0.5708 0.7944 0.8937 0.9391 0.9669 0.3241 0.0746 0.5682 0.7911 0.8905 0.9389 0.9641 0 0 0 0 0 0 0 0.3209 0.0751 0.5666 0.7886 0.8881 0.9366 0.9622 0 0 0 0 0 0 0 0.3183 0.0755 0.5645 0.7865 0.8861 0.9349 0.9606 0 0 0 0 0 0 0 0.3161 0.0758 0.5632 0.7848 0.8845 0.9334 0.9593 0 0 0 0 0 0 0 0.3143 0.0761 0.5621 0.7834 0.8831 0.9322 0.9582 0 0 0 0 0 0 0 0.2002 0.0764 0.5612 0.7823 0.8839 0.9311 0.9573 0 0 0 0 0 0 0 0.3114 0.0765 0.5604 0.7813 0.8829 0.9303 0.9565 0 0 0 0 0 0 0 0.3103 0.0766 0.5597 0.8046 0.8820 0.9296 0.9559 0 0 0 0 0 0 0 0.0008 0 0 0 0 0 0 Columns 8 through 14 0.0015 0.0005 0 0 0 0 0 0.0019 0.0009 0.0004 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0022 0.0013 0.0006 0.0003 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0025 0.0015 0.0009 0.0005 0.0002 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0027 0.0017 0.0010 0.0006 0.0003 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0029 0.0018 0.0012 0.0007 0.0004 0.0002 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0.0030 0.0020 0.0013 0.0008 0.0005 0.0003 0.0002 0 0 0 0 0 0 0 0.0032 0.0021 0.0014 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0 0 0 0 0 0 0 0.0033 0.0022 0.0015 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 1.0000 0 0 0 0 0 0 0.0033 0.0022 0.0015 0.0011 0.0007 0.0005 0.0004 0.9928 1.0000 0 0 0 0 0 0.0034 0.0023 0.0016 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.9877 0.9954 1.0000 0 0 0 0 0.9839 0.9920 0.9969 1.0000 0 0 0Columns 15 through 20 0.9810 0.9894 0.9946 0.9979 1.0000 0 0 0.9788 0.9874 0.9927 0.9962 0.9985 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0.9770 0.9858 0.9913 0.9949 0.9972 0.9989 1.0000 0 0 0 0 0 0 0.9755 0.9845 0.9901 0.9938 0.9963 0.9980 0.9992 0 0 0 0 0 0 0.9744 0.9834 0.9892 0.9929 0.9955 0.9972 0.9985 0 0 0 0 0 0 0.9734 0.9826 0.9884 0.9922 0.9948 0.9966 0.9979 0 0 0 0 0 0 0.9725 0.9818 0.9877 0.9916 0.9942 0.9961 0.9974 0 0 0 0 0 0 0.9718 0.9812 0.9871 0.9911 0.9938 0.9956 0.9970 0 0 0 0 0 0 0.9712 0.9806 0.9866 0.9906 0.9933 0.9953 0.9966 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 15 through 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0001 0.0001 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0001 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0002 0.0002 0.0001 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0CnL,21 =c20a_nl_2_1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Columns 1 through 7 1.0000 0 0 0 0 0 0.9994 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9988 0.9995 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0.9984 0.9991 0.9996 1.0000 0 0 1.0000 0 1.0000 0 0 0 0 0.9980 0.9987 0.9993 0.9997 1.0000 0 0.5841 0.0420 0.7456 1.0000 0 0 0 0.9977 0.9984 0.9990 0.9994 0.9997 1.0000 Los valores de las demás matrices se encuentran en el CD, en ladirección:Para el caso A (nubes ópticamente delgadas)Tabla 3.3.1 matrices cascada para transiciones espontáneas caso AD:/ Tesis_CD/tesis/tablas/ III-3Tablas de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_A/caso_APara el caso B (nubes ópticamente gruesas)Tabla 3.3.2 matrices cascada para transiciones espontáneas caso BD:/ Tesis_CD/tesis/tablas/ III-3Tablas de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_A/caso_B
    • 125 En éstas matrices la posición del elemento indica el nivel desdedonde cae por cascada el electrón al nivel indicado por el nombre de lamatriz; éste valor será la multiplicación de todas las probabilidades detodos los casos posibles vía todas las rutas posibles de caída. Para el caso en que se incluye los efectos de las transicionescolisionales por electrones, la fórmula que nos permite hallar los valores delas cascadas es la misma relación (II.4.10), los resultados se presentan en elCD en las direcciones:Para el caso A en: Tabla 3.3.3 matrices cascada para transiciones espontáneas ycolisionales, caso AD:/ Tesis_CD/tesis/tablas/ III-3Tablas de las matrices cascada/ matrices_cascada/cascada_ANe/hasta 20/caso_APara el caso B en: Tabla 3.3.4 matrices cascada para transiciones espontáneas ycolisionales, caso BD:/ Tesis_CD/tesis/tablas/ III-3Tablas de las matrices cascada/ matrices_cascada/cascada_ANe/hasta 20/caso_B Las posiciones de los elementos indican lo mismo que para el casoen que se toma las transiciones espontáneas solamente. En ambos casos se da para temperaturas de 1250, 2500, 50000, 10000,15000, 20000, 40000 y 80000ºK y una densidad electrónica de 10 electrones 3 . cm El análisis de estas matrices CnL,nL es importante para poder hacer unaextrapolación hasta infinito en n manteniendo constante L , n y L y asíhacer una corrección hasta infinito para tener valores mas precisos, por quecuanto mayor es el número cuántico principal tomado, mayor es laprecisión. Más de 600 gráficos que se usaron para afirmar esto, varios deellos se encuentran en el CD adjunto, en las siguientes direcciones:Para el caso en que se toma transiciones espontaneas solamente:Caso A en: Gráficos 3.3.1 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso AD:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_A/Caso_ACaso B en: : Gráficos 3.3.2 matrices cascada para transiciones espontáneas, caso BD:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_A/ Caso_BY para el caso que se incluyen a demás las transiciones colisionales:
    • 126Caso A en:Gráficos 3.3.3 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales, caso AD:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_ANe/ Caso_ACaso B en:Gráficos 3.3.4 matrices cascada para transiciones espontáneas y colisionales, caso BD:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_ANe/ Caso_BEstos gráficos fueron encontrados en gracias al programa:plot_matrices_cascada20.mque también se incluye en el CD. Veamos algunos gráficos, (los textos que se ponen en los gráficosindican en orden los valores de L , n y L ).Para el caso en que se toma transiciones espontáneas solamente:Caso A:
    • 127
    • 128
    • 129Caso B:
    • 130Y para el caso que se incluyen a demás las transiciones colisionales:Caso A: Ne=10 y T=10000ºK Ne=10 y T=15000ºK
    • 131Caso B: Ne=10 y T=20000ºK Ne=10 y T=5000ºK
    • 132 Podemos ver cual será el valor en el infinito para las cascadas, esdecir el valor Cinf l,nl , para esto usé el método de mínimos cuadrados MMCpara una curva potencial de la forma. y  axb  c ,para éste caso CnL,nL  n  anb  Cinf L,nL .Así algunos valores de Cinf L,nL se dan en los gráficos incluidos en el CD, enla dirección:D:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/ matrices_cascada/ cascada_A/Caso_A /extrapolacion_hasta_infinitoTenemos por ejemplo los siguientes gráficos, que muestran el ajusteexponencial para poder encontrar los valores en el infinito. Aquí las líneasverdes son resultado del ajuste y los tres últimos números del subíndice deC indican en orden los valores de L , n y L .
    • 133
    • 134
    • 135
    • 136Se pueden encontrar más gráficos haciendo correr el programa:plot_pot_matrices_cascada_mmc20Que también se incluyen en el CD.También se hizo un ajuste exponencial de la forma: y  aebx  cen el programa:plot_exp_matrices_cascada_mmc20que para éste caso sería: CnL,nL  n  aebn  Cinf L,nL ,pero no se ajusta tan bien como para el caso de la regresión potencial.
    • 137§ III.4-Cálculo de las poblaciones en equilibrio termodinámico. (vía ecuación de Saha-Boltzmann) Para calcular las poblaciones en equilibrio termodinámico usamos larelación (II.4.6) hallada en la sección §2.4, a saber: 3  h2  2 X n N nL  bnL  2 L  1   e N p Ne , kT  2 mkT donde el coeficiente de apartamiento de equilibrio termodinámico bnL  1 . Tablas para algunas temperaturas densidades electrónicas en unanube de hidrógeno de dan en el CD anexo, en la dirección:Tabla 3.4.1 poblaciones del hidrógeno en LTE en los diferentes niveles nL .Tesis_CD/tesis/III-4Tablas poblaciones LTE/vía Saha-Boltzmann.,Tablas que fueron halladas haciendo correr el programa:fun_poblaciones_SB_LTE(T,Np,Ne) Es interesante saber cómo es el gráfico de las poblaciones conrespecto a la temperatura,Fig. 3.4.1 Poblaciones para diferentes niveles nL vs. La Temperatura, manteniendo fijola abundancia electrónica, que debe ser igual a la abundancia de protones por que lanube es de hidrógeno.
    • 138Más gráficos podemos encontrar en el CD anexo en la dirección:Tesis_CD/Gráficos/ III-4Gráficos poblaciones LTE/ vía Saha-Boltzmann
    • 139§ III.5-Cálculo de las poblaciones fuera de equilibrio termodinámico (vía Saha-Boltzmann con ayuda de los coeficientes de apartamiento y vía matrices cascada) Para poder calcular los coeficientes de emisión, que es nuestroobjetivo, tenemos que calcular las poblaciones en los diferentes niveles nLde excitación del átomo, ya que de él mucho depende. Ésta la podemoshallar de dos formas como se indicó en la sección §II.4. Una es vía laecuación de Saha-Boltzmann (II.4.6), a saber: 3  h2  2 X n N nL  bnL  2 L  1   e N p Ne , kT  2 mkT donde b  1 es el coeficiente de apartamiento del equilibrio nLtermodinámico, el cual se halla para el caso donde se incluyen transicionesespontáneas solamente. Sustituyendo (II.4.6) en la ecuación de equilibrioestadístico (II.4.1), es decir en  n 1 N p Ne nL T     n n 1 L L 1 N nL AnL,nL  N nL   n1 L L 1 AnL,nL ,se obtiene 3 X n  X n  nL  2 mkT  2  kTn X   2 L  1  n 1   e    bnL AnL,nL  e  bnL   AnL,nL . kT  2L  1  h  2 n n 1 nK L  2L  1  n1 L L 1Para el caso en que se incluyen además las transiciones debido a la colisióncon electrones, sustituyendo el mismo (II.4.6) en la ecuación de equilibrioestadístico  N p N e nL T     n  n 1 L  L 1 N nL AnL,nL   n 1    n  n 1 L  L 1 N nL NeqnL,nL  e   n  n0 L  L 1 e N nL NeqnL,nL n 1 (III.5.1)  N nL [   AnL ,nL  n  n0 L  L 1  n 1    n  n 1 L  L 1 NeqnL,nL  e   n  n0 L  L 1 e NeqnL,nL ]y usando un procedimiento recursivo donde los coeficientes para el últimonivel considerado se tomarán como cero, y los demás se hallan a partir de
    • 140ellos. Así, luego de tener los coeficientes de apartamiento, éstos sesustituyen en la ecuación de Saha-Boltzmann, teniendo así las poblacionespara los diferentes estados de excitación. El otro método más elegante es, como dijimos, el de cascada. Para el caso que se toman transiciones espontáneas solamente,hallamos las poblaciones por medio de la fórmula (II.4.11):  n1 n 1 N p Ne    nL T  CnL,nL  N nL   AnL,nL n  n L   0 n1 L L 1de donde N p N e nL T  eff N nL  , (III.5.2) AnLdonde   nL T    f n,nL T  eff (III.5.3) n nes el coeficiente de recombinación efectivo, n1 f n,nL    nL T  CnL,nL (III.5.4) L 0y n 1 AnL    AnL,nL (III.5.5) n1 L L 1representa la probabilidad total de transición radiativa para el nivel nL .Para el caso que se incluyen las transiciones colisionales, estas cantidadesserían, desde (II.4.19):  n1  n1 n 1  N p Ne    nL T  CnL,nL  N nL    AnL,nL    CnL ,nL  e (III.5.6). n  n L   0 n1 L L 1 n1 L L 1 De donde
    • 141  n1 N p N e    nL T  CnL,nL N nL  n 1 n  n L  0 n 1 , (III.5.7)  n1 L L 1 AnL ,nL    n1 L L 1 C e nL , nLen el cual se definen las cantidades equivalentes a las del caso en que setoman transiciones espontáneas solamente:   nL T    f n,nL T  eff n n n1 f n,nL T     nL T  CnL,nL L 0igual que en el anterior caso, pero ahora son otros CnL,nLy n 1 AnL    AnL,nL n1 L L 1 n 1 CnL    e CnL,nL (III.5.8) n1 L L 1Para nuestros cálculos tomamos un n _ max  20 en vez de infinito, teniendoasí los siguientes resultados:Para el caso en que se consideran transiciones espontáneas solamente, setiene las siguientes matrices:Tablas 3.5.1 poblaciones del hidrógeno en No-LTE en los diferentes niveles nL para elcaso de transición espontánea para poblaciones electrónicas de 1, 10, y 100 elec/cm^3 ytemperaturas de 1250, 2500, 5000, 10000,15000, 20000, 40000, y 80000ºK.Caso ATesis_CD/tesis/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones_A/hasta 20/casoA,Caso BTesis_CD/tesis/ III-5Tablas poblacones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _A/hasta 20/casoB,
    • 142Y para el caso en que a demás de las espontáneas se incluyen lascolisionales, se tieneTablas 3.5.2 poblaciones del hidrógeno en No-LTE en los diferentes niveles nL para elcaso de transición espontánea y colisional con electrones para densidades electrónicasde 1, 10, y 100 elec/cm^3 y temperaturas de 1250, 2500, 5000, 10000,15000, 20000,40000, y 80000ºK.Caso ATesis_CD/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _ANe/hasta 20/casoA,Caso B vectores_f_np_nlTesis_CD/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _ANe/hasta 20/casoB,Tablas y gráficosLos programas se incluyen en el CDAdemás de estos cálculos hasta n  20 se hizo hasta infinito víaextrapolación; se sigue un procedimiento similar al dado en Pengelly(1964) pág. 151. Sacamos los resultados directamente para los coeficientesde emisión (caso emisión espontanea), para esto se hicieron las tablas f n,nL T  n1intermedias de f n,nL T  y g n,nL T   , con  n T     nL T  , dados  n  T  L 0en la dirección:Tablas 3.5.3 tablas de f (T) y g(T)Tesis_CD/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _A/vectores_f_np_nlyTesis_CD/ III-5Tablas poblaciones No-LTE/vía cascada/ poblaciones _A/vectores_g_np_nl El método de extrapolación que se usa es el de mínimos cuadradospara una curva potencial, teniendo la forma: (diferente a la tomada porPengelly(1964) ecuaciones 22 y 26) CnL,nL  CL,nL  n  aL,nL  n L,nL  CL,nL b
    • 143 gn,nL  gnL  n  anL  n nL  g,nL bel valor de la asíntota se halla en el programaplot_pot_vectores_g_mmc20para esto se analizan los gráficos dados en la direcciónD:/ Tesis_CD/ III-3Gráficos de las matrices cascada/cascada_A/Caso_A/extrapolacion_hasta_infinitocomo se indican en la sección (§ III.3).Todos estos valores se reemplazan en la ecuación: Ne N p  19 1   N nL T     f n,nL   g 20,nL  g,nL    n T   ,    AC nL nn 2 n 20 donde n 1 n 1  AC nL    AnL,nL    e CnL,nL , n1 L L 1 n1 L L 1que es la generalización de AnL . En este caso las cascadas también tendránque hallarse por el procedimiento generalizado para transicionesespontáneas y colisionales con electrones a la ves, como se indico. Usando estas ecuaciones hallamos los coeficientes de emisión que sedan en las tablas dada en la dirección:D:/Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/cascada_Ane/hasta infinito/casoA Se hicieron para una abundancia de 10 electrones y temperaturas cm3de 1250, 2500,5000,10000,15000, 20000, 40000 y 80000º K para el caso_A, y nomás por que además de que el análisis es muy tedioso por que se tienen quever gráficos caso a caso para todos los números cuánticos usados (400), deellos sacar los valores de las cascadas en el infinito vía interpolación yrecién así ponerlos en las ecuaciones de las poblaciones, para luegoponerlos en las del coeficiente de emisión, sus resultados no difieren encasi nada con los que se toma hasta el número cuántico n  20 . Así que losdemás casos se hizo con aproximación hasta n  20 .
    • 144IV.- RESULTADOS TEORICOS. § IV.1-Cálculo de los coeficientes de emisión. Nuestro objetivo es hallar los coeficientes de emisión (es decir laintensidad de radiación) de la nebulosa incluyendo efectos de recombinación,radiación espontánea y debido a la colisión con electrones. Para esto tenemosque calcular mediante procedimientos computacionales la fórmula (II.4.12); asaber: h nn n 1 jnn    NnL AnL,nL . 4 L 0 L L 1Como vemos, para calcular esta ecuación necesitamos las poblaciones en losdiferentes niveles nL considerados. Nosotros consideraremos hasta el nivelcon número cuántico principal n igual a 20 y con número cuántico orbital Ligual a 19 (cuanto más niveles se consideren será mejor), y para algunos casosse hizo hasta infinito. De la forma cómo se encuentren las abundancias setendrán todos los casos. Para el caso en donde se incluyen recombinacionesdesde el infinito y transiciones espontáneas solamente, estas poblaciones losencontramos resolviendo la ecuación (II.4.11) en §III.1:  n1 n 1 N p Ne    nL T  CnL,nL  N nL   AnL,nL . n  n L   0 n1 L L 1Para resolver ésta ecuación hemos usado los resultados que se tienen para loscoeficientes de emisión  nL T  calculados en §III.1 y los resultados que setienen para las probabilidades de transición espontánea por segundo AnL,nLque se tienen en §III.2. Además, calculamos las matrices de cascada, para locual resolvimos por un procedimiento recursivo la ecuación (II.4.10): n CnL,nL    n n1 L L 1 CnL,nL PnL,nLcon ayuda de la relación
    • 145 CnL,nL   LL ,que es el caso para el mismo n ; y para resolver esto tenemos que hallar lasprobabilidades de transición espontanea, definidas mediante la relación(II.4.8): AnL ,nL PnL,nL  n 1 ,  n1 L L 1 AnL,nLque se calcula mediante las probabilidades de transición espontánea porsegundo (coeficientes de Einstein) calculadas en §III.2. También resolvimos en forma generalizada, cuando las poblaciones delos niveles ocurren también por colisiones con electrones; como se indicóanteriormente en la sección §II.4, tomaremos como nueva definición: AnL,nL  CnL,nL  CnpL,nL  BnL,nL J nL,nL ePnL,nL  n 1 n 1 n 1 n 1  n1 L L 1 AnL,nL    n1 L L 1 CnL,nL   e  n1 L L 1 CnpL,nL    n1 L L 1 BnL,nL J nL,nL Los cálculos para encontrar éstas abundancias se hicieron en lassecciones §III.4 y §III.5 y los resultados de los coeficientes de emisión  erg  jnn  2   cm  s  cm para transiciones desde el nivel n al n , se dan en tablas en forma de matricesdonde n indica la fila y n indica la columna, y son:I. PARA UN GAS EN EQUILIBRIO TERMODINÁMICO (LTE):  erg Tablas 4.1.1 tablas de los coeficientes de emisión jnn  2  para un gas en LTE  cm  s  cm 1 vía Saha-Boltzmann LTE (único caso)
    • 146Todos para: Ne  10 electrones y cm3 T  1250, 2500,5000,10000,15000, 20000, 40000 y80000º K1.1 caso AD:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía Saha-Boltzmann LTE/casoAY se incluye para éste caso gráficos en:D:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Gráficos coeficientes de emisión/ vía Saha-Boltzmann LTE/casoAAsí tenemos por ej.
    • 1471.1 caso BD:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía Saha-Boltzmann LTE/casoBII. PARA UN GAS FUERA DE EQUILIBRIO TERMODINÁMICO (Non-LTE):  erg Tablas 4.1.2 tablas de los coeficientes de emisión jnn  2  para un gas en Non-LTE  cm  s  cm 1 Vía CascadaTodos para: Ne  1,10,100 electrones y cm3 T  1250, 2500,5000,10000,15000, 20000, 40000 y80000º K1.1 Tomando en cuenta transiciones espontáneas1.1.1 Hasta n  20 _ L  191.1.1.1 caso AD:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/ cascada_A/hasta 20/casoA1.1.1.2 caso BD:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/cascada_A/hasta 20/casoB1.2 Tomando en cuenta transiciones espontáneas y colisionales con electrones1.2.1 Hasta n  20 _ L  191.2.1.1 caso AD:/Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/ cascada_ANe/hasta 20/casoA
    • 1481.2.1.2 caso BD:/ Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/cascada_ANe/hasta 20/casoB1.2.2 Hasta n  1.2.2.1 caso A Para: Ne  10 electrones y cm3 T  1250, 2500,5000,10000,15000, 20000, 40000 y80000º KD:/Tesis_CD/tablas/ IV-1Tablas coeficientes de emisión/ vía cascada/cascada_Ane/hasta infinito/casoA De éstos se eligió al que más se acerca a las observaciones, y se puso enel capítulo V.
    • 149V.- COMPARACIÓN CON RESULTADOS EXPERIMENTALES. El espectro que se tiene para comparar es el espectro de la Super-NovaSN 1994Y (Tipo IIn) 9 de Enero de 1994, que fue enviaday autorizada para su uso por el Dr. Alex Filippenko, están ubicadas enFilippenko, A.V. 1997, ARAA, 35, 309 (creadas y mantenidas por DouglasLeonard). Éste espectro se da en una matriz de 2 columnas, en la primeravan las longitudes de onda en Ångström   Å  y en la segunda  erg 2.5log10 F donde: F  2  es el flujo específico, i.e.  cm  s  Hz    Å  , 2.5log 10 F 34402 , el cual está en el CD con el nombre: logsn1994y enla dirección:Tesis_CD/Gráficos/V-Tablas comparaciones con experimentos.Tabla 5.1 (longitud de onda en Ångström, -2.5log10 flujo específico) Filippenko, A.V. 1997, ARAA, 35, 309 Creadas y mantenidas por Douglas Leonard Enviadas y autorizadas para su uso por: Alex Filippenko    Å  , 2.5log10 F 34402 3093.54 14.8361 3178.81 14.9857 3264.08 14.8966 3349.35 14.9063 3434.63 14.9256 3095.53 14.8174 3180.80 14.9549 3266.07 14.9267 3351.34 14.8968 3436.61 14.9266 3097.51 14.8406 3182.78 14.9413 3268.05 14.9409 3353.32 14.9095 3438.59 14.9229 3099.49 14.9121 3184.76 14.9233 3270.03 14.9158 3355.30 14.9101 3440.57 14.9213 3101.47 14.9280 3186.75 14.9450 3272.02 14.9077 3357.29 14.8960 3442.56 14.9189 3103.46 14.9326 3188.73 14.9724 3274.00 14.9316 3359.27 14.8925 3444.54 14.9191 3105.44 15.0371 3190.71 14.9842 3275.98 14.9418 3361.25 14.8990 3446.52 14.9359 3107.42 15.0970 3192.69 14.9929 3277.97 14.9390 3363.24 14.9059 3448.51 14.9396 3109.41 15.0352 3194.68 14.9707 3279.95 14.9000 3365.22 14.8927 3450.49 14.9272 3111.39 14.9622 3196.66 14.9538 3281.93 14.8738 3367.20 14.8894 3452.47 14.9196 3113.37 14.8976 3198.64 14.9551 3283.91 14.8899 3369.19 14.9169 3454.46 14.9276 3115.36 14.8795 3200.63 14.9504 3285.90 14.8721 3371.17 14.9257 3456.44 14.9300 3117.34 14.8778 3202.61 14.8936 3287.88 14.8321 3373.15 14.9182 3458.42 14.9163 3119.32 14.9169 3204.59 14.8317 3289.86 14.8392 3375.13 14.9216 3460.41 14.9031 3121.31 14.9868 3206.58 14.8324 3291.85 14.8462 3377.12 14.9060 3462.39 14.9101 3123.29 15.0185 3208.56 14.8833 3293.83 14.8453 3379.10 14.8905 3464.37 14.9268 3125.27 15.0393 3210.54 14.9668 3295.81 14.8604 3381.08 14.9134 3466.35 14.9119 3127.25 15.0849 3212.53 15.0099 3297.80 14.8851 3383.07 14.9323 3468.34 14.8960 3129.24 15.1090 3214.51 15.0029 3299.78 14.9153 3385.05 14.9313 3470.32 14.8976 3131.22 15.0494 3216.49 15.0053 3301.76 14.9213 3387.03 14.9175 3472.30 14.8946 3133.20 14.9521 3218.47 15.0359 3303.74 14.9229 3389.02 14.9067 3474.29 14.8911 3135.19 14.9131 3220.46 15.0684 3305.73 14.9297 3391.00 14.9110 3476.27 14.8916 3137.17 14.9309 3222.44 15.0308 3307.71 14.9293 3392.98 14.9136 3478.25 14.8880 3139.15 14.9143 3224.42 14.9742 3309.69 14.9242 3394.96 14.9136 3480.24 14.8829 3141.14 14.8987 3226.41 14.9367 3311.68 14.9099 3396.95 14.9165 3482.22 14.8910 3143.12 14.9686 3228.39 14.9169 3313.66 14.8685 3398.93 14.9140 3484.20 14.8941 3145.10 15.0115 3230.37 14.9213 3315.64 14.8650 3400.91 14.8997 3486.18 14.8857 3147.08 15.0105 3232.36 14.9107 3317.63 14.8911 3402.90 14.9041 3488.17 14.8777 3149.07 14.9956 3234.34 14.9244 3319.61 14.8912 3404.88 14.9235 3490.15 14.8741 3151.05 14.9388 3236.32 14.9388 3321.59 14.8968 3406.86 14.9369 3492.13 14.8519 3153.03 14.9012 3238.30 14.9382 3323.58 14.8881 3408.85 14.9487 3494.12 14.8461 3155.02 14.8511 3240.29 14.9551 3325.56 14.8832 3410.83 14.9345 3496.10 14.8669 3157.00 14.8512 3242.27 14.9725 3327.54 14.9018 3412.81 14.9267 3498.08 14.8726 3158.98 14.9115 3244.25 14.9765 3329.52 14.9058 3414.80 14.9312 3500.07 14.8780 3160.97 14.9503 3246.24 14.9872 3331.51 14.9058 3416.78 14.9284 3502.05 14.8758 3162.95 14.9504 3248.22 15.0011 3333.49 14.9243 3418.76 14.9230 3504.03 14.8730 3164.93 14.9474 3250.20 15.0045 3335.47 14.9229 3420.74 14.9083 3506.02 14.8694 3166.92 15.0196 3252.19 14.9755 3337.46 14.9225 3422.73 14.9168 3508.00 14.8594 3168.90 15.0788 3254.17 14.9192 3339.44 14.9367 3424.71 14.9134 3509.98 14.8735 3170.88 15.0855 3256.15 14.8798 3341.42 14.9307 3426.69 14.9053 3511.96 14.8857 3172.86 15.0816 3258.14 14.8559 3343.41 14.9310 3428.68 14.9127 3513.95 14.8911 3174.85 15.0630 3260.12 14.8491 3345.39 14.9339 3430.66 14.9109 3515.93 14.9035 3176.83 15.0397 3262.10 14.8663 3347.37 14.9261 3432.64 14.9201 3517.91 14.8987
    • 1503519.90 14.8896 3690.44 14.8772 3860.98 14.8084 4031.52 14.8447 4202.06 14.93203521.88 14.8905 3692.42 14.8769 3862.96 14.7965 4033.50 14.8430 4204.05 14.92843523.86 14.8996 3694.40 14.8689 3864.95 14.7860 4035.49 14.8408 4206.03 14.92823525.85 14.8934 3696.39 14.8639 3866.93 14.7961 4037.47 14.8453 4208.01 14.93233527.83 14.8898 3698.37 14.8712 3868.91 14.7975 4039.45 14.8478 4209.99 14.93413529.81 14.8998 3700.35 14.8715 3870.89 14.7894 4041.44 14.8574 4211.98 14.93033531.79 14.8982 3702.34 14.8698 3872.88 14.7858 4043.42 14.8596 4213.96 14.92643533.78 14.9139 3704.32 14.8680 3874.86 14.7795 4045.40 14.8501 4215.94 14.92463535.76 14.9154 3706.30 14.8641 3876.84 14.7734 4047.39 14.8500 4217.93 14.92603537.74 14.9077 3708.29 14.8576 3878.83 14.7661 4049.37 14.8542 4219.91 14.93123539.73 14.9143 3710.27 14.8544 3880.81 14.7535 4051.35 14.8583 4221.89 14.93083541.71 14.9061 3712.25 14.8623 3882.79 14.7394 4053.33 14.8664 4223.88 14.92203543.69 14.8989 3714.23 14.8529 3884.78 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15.11148761.07 15.0821 8931.61 15.1297 9102.15 15.1314 9272.70 15.0960 9443.24 15.09098763.05 15.0988 8933.60 15.1513 9104.14 15.1267 9274.68 15.1062 9445.22 15.10568765.04 15.1174 8935.58 15.1636 9106.12 15.1365 9276.66 15.1091 9447.20 15.15078767.02 15.1292 8937.56 15.1740 9108.10 15.1377 9278.64 15.0985 9449.19 15.17718769.00 15.1327 8939.54 15.1750 9110.09 15.1347 9280.63 15.1038 9451.17 15.20078770.99 15.1305 8941.53 15.1604 9112.07 15.1317 9282.61 15.1284 9453.15 15.22088772.97 15.1260 8943.51 15.1377 9114.05 15.1304 9284.59 15.1542 9455.14 15.24498774.95 15.1157 8945.49 15.1315 9116.04 15.1298 9286.58 15.1684 9457.12 15.25878776.94 15.1081 8947.48 15.1369 9118.02 15.1304 9288.56 15.1816 9459.10 15.23638778.92 15.1011 8949.46 15.1392 9120.00 15.1340 9290.54 15.1582 9461.08 15.17308780.90 15.0936 8951.44 15.1452 9121.98 15.1342 9292.53 15.0760 9463.07 15.14638782.88 15.0840 8953.43 15.1482 9123.97 15.1317 9294.51 15.0434 9465.05 15.12838784.87 15.0744 8955.41 15.1448 9125.95 15.1279 9296.49 15.0651 9467.03 15.12528786.85 15.0717 8957.39 15.1372 9127.93 15.1237 9298.48 15.1023 9469.02 15.14138788.83 15.0718 8959.38 15.1294 9129.92 15.1188 9300.46 15.1113 9471.00 15.17058790.82 15.0796 8961.36 15.1200 9131.90 15.1124 9302.44 15.1077 9472.98 15.19938792.80 15.0996 8963.34 15.1091 9133.88 15.1040 9304.42 15.1058 9474.97 15.25248794.78 15.1169 8965.32 15.0924 9135.87 15.0963 9306.41 15.0888 9476.95 15.26318796.77 15.1243 8967.31 15.0802 9137.85 15.0867 9308.39 15.0915 9478.93 15.24308798.75 15.1267 8969.29 15.0786 9139.83 15.0800 9310.37 15.1257 9480.92 15.21268800.73 15.1356 8971.27 15.0840 9141.82 15.0832 9312.36 15.1721 9482.90 15.16928802.72 15.1492 8973.26 15.0978 9143.80 15.0982 9314.34 15.1929 9484.88 15.11898804.70 15.1606 8975.24 15.1267 9145.78 15.0983 9316.32 15.1989 9486.86 15.1012
    • 157 9488.85 15.1115 9574.12 15.0897 9659.39 15.2756 9744.66 15.2607 9829.93 15.2595 9490.83 15.1122 9576.10 15.0717 9661.37 15.2490 9746.64 15.2597 9831.91 15.2838 9492.81 15.1110 9578.08 15.0525 9663.35 15.2418 9748.63 15.2667 9833.90 15.3242 9494.80 15.1140 9580.07 15.0655 9665.34 15.2541 9750.61 15.2805 9835.88 15.3739 9496.78 15.1276 9582.05 15.1254 9667.32 15.2666 9752.59 15.2931 9837.86 15.4502 9498.76 15.1489 9584.03 15.1537 9669.30 15.2637 9754.57 15.3163 9839.85 15.5270 9500.75 15.1475 9586.02 15.1592 9671.29 15.2516 9756.56 15.3230 9841.83 15.5517 9502.73 15.1422 9588.00 15.1534 9673.27 15.2428 9758.54 15.3054 9843.81 15.5361 9504.71 15.1080 9589.98 15.1394 9675.25 15.2287 9760.52 15.2843 9845.79 15.5087 9506.69 15.0331 9591.97 15.1120 9677.24 15.2223 9762.51 15.2862 9847.78 15.4632 9508.68 14.9661 9593.95 15.1062 9679.22 15.2248 9764.49 15.3122 9849.76 15.3987 9510.66 14.9332 9595.93 15.1170 9681.20 15.2302 9766.47 15.3007 9851.74 15.3048 9512.64 14.9170 9597.91 15.1231 9683.19 15.2343 9768.46 15.2539 9853.73 15.2084 9514.63 14.9204 9599.90 15.1297 9685.17 15.2474 9770.44 15.2242 9855.71 15.1546 9516.61 14.9707 9601.88 15.1316 9687.15 15.2263 9772.42 15.2208 9857.69 15.1168 9518.59 14.9834 9603.86 15.1186 9689.13 15.1547 9774.41 15.2234 9859.68 15.1050 9520.58 14.9637 9605.85 15.0894 9691.12 15.1244 9776.39 15.2012 9861.66 15.1256 9522.56 14.9253 9607.83 15.0782 9693.10 15.1476 9778.37 15.1527 9863.64 15.1500 9524.54 14.8681 9609.81 15.0700 9695.08 15.1931 9780.35 15.1345 9865.62 15.1718 9526.53 14.7727 9611.80 15.0753 9697.07 15.2134 9782.34 15.1190 9867.61 15.1967 9528.51 14.7727 9613.78 15.0970 9699.05 15.2193 9784.32 15.1308 9869.59 15.2234 9530.49 14.8754 9615.76 15.1301 9701.03 15.2420 9786.30 15.1912 9871.57 15.2656 9532.47 14.9348 9617.75 15.1674 9703.02 15.2791 9788.29 15.2827 9873.56 15.2811 9534.46 14.9379 9619.73 15.2165 9705.00 15.3131 9790.27 15.3231 9875.54 15.2836 9536.44 14.9140 9621.71 15.2630 9706.98 15.3468 9792.25 15.3341 9877.52 15.2656 9538.42 14.8832 9623.69 15.3317 9708.96 15.3749 9794.24 15.3320 9879.51 15.2133 9540.41 14.8184 9625.68 15.3682 9710.95 15.3657 9796.22 15.2996 9881.49 15.1391 9542.39 14.8064 9627.66 15.3502 9712.93 15.3006 9798.20 15.2697 9883.47 15.1229 9544.37 14.8222 9629.64 15.3035 9714.91 15.2837 9800.18 15.2556 9885.46 15.1495 9546.36 14.8559 9631.63 15.2766 9716.90 15.2991 9802.17 15.2475 9887.44 15.1696 9548.34 14.9245 9633.61 15.2390 9718.88 15.3061 9804.15 15.2287 9889.42 15.2076 9550.32 15.0105 9635.59 15.2289 9720.86 15.2861 9806.13 15.1950 9891.40 15.2329 9552.30 15.0367 9637.58 15.2440 9722.85 15.2532 9808.12 15.1799 9893.39 15.2171 9554.29 15.0003 9639.56 15.2590 9724.83 15.2370 9810.10 15.1800 9895.37 15.1710 9556.27 14.9997 9641.54 15.2671 9726.81 15.2170 9812.08 15.1838 9897.35 15.1464 9558.25 15.0002 9643.52 15.2731 9728.79 15.2229 9814.07 15.1851 9899.34 15.1091 9560.24 15.0146 9645.51 15.2711 9730.78 15.2671 9816.05 15.1875 9901.32 15.1080 9562.22 15.0562 9647.49 15.2570 9732.76 15.3048 9818.03 15.1887 9903.30 15.1589 9564.20 15.1156 9649.47 15.2512 9734.74 15.3025 9820.01 15.1825 9905.29 15.2152 9566.19 15.1378 9651.46 15.2474 9736.73 15.2751 9822.00 15.1905 9907.27 15.2165 9568.17 15.1333 9653.44 15.2482 9738.71 15.2676 9823.98 15.2176 9909.25 15.1689 9570.15 15.1274 9655.42 15.2586 9740.69 15.2667 9825.96 15.2471 9911.23 15.1976 9572.13 15.1088 9657.41 15.2775 9742.68 15.2647 9827.95 15.2602 9913.22 15.3107Para poder comparar con nuestros resultados ésta debemos convertirla a:       Å  , F  cm2  s  Hz   erg    34402luego a:   erg      Å  , F  cm2  s  Å      34402o a:   erg     cm  , F  cm2  s  cm      34402usando las relaciones: F d   F d y   ctenemos:
    • 158 d c  2 ; d y para convertir las unidades en F :  erg   erg    10 F  2 8 F  2   cm  s  cm   cm  s  Å  El gráfico del espectro de la Supernova 1994Y Tipo IIn yaconvertido es el siguiente:Fig. 5.1 Espectro de la SN1944y Tipo IIn Filippenko, A.V. 1997, ARAA, 35, 309  erg  F  2  vs.   Å   cm  s  Å Luego, debemos integrar las líneas de interés, y para esto primero restar labase en el espectro. Los valores de estas integrales son los que secompararán con los valores de los coeficientes de emisión jnn y lo haremosrelativo a H  .
    • 159 En este gráfico podemos distinguir las líneas de Balmer (llamadastambién líneas H ) para el hidrógeno neutro o HII, hasta 8, es decir vemoslas transiciones: n  n  n  2donde: n  3  H  , 4  H   ,5  H  ,6,7 y8 Para integrar primero se vio el número de puntos que tiene cadalínea, luego con los puntos extremos a estas líneas se construyó una rectapor el MMC, la cual reemplazara a la base del espectro que restará a lalínea. Los gráficos que se hicieron para realizar estas elecciones y las restasson los siguientes: Fig. 5.2 Gráficos que muestran la elección del número de puntos de las líneasespectrales que se tomarán para ser integradas y del número de puntos que se tomaranpara hallar las rectas por el MMC, las cuales serán las bases que restarán a las líneasespectrales. Se tienen las casos n  3  H  , 4  H   ,5  H  ,6,7 y8 .  erg Se ven sobre el gráfico del Espectro de la SN1944y Tipo II F  2  vs.   Å   cm  s  Å 
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    • 163Así por el método de Simpson integramos las líneas para cada caso,teniendo los siguientes resultados:  erg Tabla 5.2 Resultados de las integrales  F  cm d   Å   2 sÅ  para las líneas n  n  n  2 con n  3  H  , 4  H   ,5  H  ,6,7 y8n3  H  n6 2.1450e+006 1.6996e+007 n7n4 H   7.3204e+005 9.5839e+006 n 8n  5  H  5.1429e+005 5.2597e+006 Para ésta integración se usó la fórmula de parábolas de Simpson: h  y0  4 y1  2 y2  4 y3  ...  2 yn2  4 yn1  yn  b a ydx  3 para: n  par Estos resultados se pueden ver en las tablas (5.3); en las dos primerastablas se muestra las razones de las líneas observadas en la SN1994Y Tipo IIny las teóricas para los casos A y B para una temperatura y densidadelectrónica dadas; y en la que sigue, se da una comparación para los casosA y B, de las razones dadas en Ostrerbrock (1989) y las nuestras. De entrelas diferentes combinaciones entre 8 temperaturas y 4 abundanciaselectrónicas, se eligió la que estaba más de acuerdo con las observaciones,y ésta fue para una densidad electrónica de Ne  10000 electrones 3 y cmtemperatura de T  10000º K . Para esta elección se tomo la suma de losvalores absolutos de los restos o diferencias entre las razones observadas ylas teóricas. Mas tablas de resultados podemos encontrar en la dirección:D:/tesis_CD/tablas/ V-Tablas comparaciones con experimentos.
    • 164Tabla 5.3 Tablas de comparación de los resultados teóricos con los observados en la SN 1944y Tipo IIn (líneas relativas a H  ).Línea Observado en Caso A Caso A Caso AHn la SN1994y T  10000º K T  15000º K T  80000º K H Type IIn e e e Ne  10000 Ne  100 3 Ne  100 cm 3 cm cm3H 1.7734 2.7214 2.7739 2.3781 HH 0.5488 0.4815 0.4914 0.5237 HH 0.2238 0.2738 0.2831 0.3155 HH 0.0764 0.1725 0.1799 0.2068 HH8 0.0537 0.1164 0.1221 0.1432 HLínea Observado en Caso B Caso B Caso BHn la SN1994y T  10000º K T  15000º K T  80000º K H Type IIn e e e Ne  10 Ne  100 3 Ne  100 cm 3 cm cm3H 1.7734 2.7874 2.7136 2.5178 HH 0.5488 0.4759 0.4834 0.5069 HH 0.2238 0.2674 0.2742 0.2968 HH 0.0764 0.1668 0.1721 0.1901 HH8 0.0537 0.1116 0.1156 0.1292 HLínea Observado en Caso A Caso A Caso B Caso BHn la SN1994y (Osterbrock) T  80000º K (Osterbrock) T  80000º K H Type II T  10000º K e T  10000º K e Ne  100 3 Ne  100 cm cm3H 1.7734 2.86 2.3781 2.87 2.5178 HH 0.5488 0.470 0.5237 0.466 0.5069 HH 0.2238 0.262 0.3155 0.256 0.2968 HH 0.0764 0.159 0.2068 0.158 0.1901 HH8 0.0537 0.107 0.1432 0.105 0.1292 H
    • 165 Los siguientes gráficos muestran también la comparación de lasrazones de líneas observadas en el espectro de la SN1994Y Tipo IIn y lasrazones halladas. En éstos gráficos las estrellas rojas representan a los resultadosteóricos y los círculos azules a los observados. En el eje de las ordenadasestán los valores relativos y en el de las abscisas se da la longitud de ondaen Ångström o el número cuántico principal.Fig. 5.3 Gráficos de comparación de los resultados teóricos con los observados en la SN 1944Y Tipo IIn (líneas relativas a H  )
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    • 167
    • 168 Mas gráficos de comparación se pueden encontrar en la dirección:D:/tesis_CD/gráficos/ V-Gráficos comparaciones con experimentos.Y se hallan usando el programa:fun_plot_spec_obs_teo_sn1994yLos valores dentro de éstos gráficos indican los valores que se usaron parahacer el gráfico, así los 3 últimos números indican en orden el caso A(=1) oB(=2) la densidad electrónica y la temperatura.
    • 169VI.- CONCLUSIONES. En el presente trabajo se analizaron los procesos radiativos que ocurrenen regiones HII, se hallaron los coeficientes de emisión para nubesópticamente delgadas, casos A y B, y además se vio que los resultadosteóricos para la razón de intensidades de las líneas espectrales, concuerdan conlos observados en la SN 1994Y Tipo IIn, algunos más que otros dependiendode la temperatura y densidad electrónica elegida, como se pueden observar enlos gráficos (5.3). Se ve, además, la posibilidad de poder averiguar cantidades físicas muyimportantes de la nube, como son la densidad electrónica y la temperatura, quepara el análisis de la SN elegida, SN 1994Y (Tipo IIn) del 9 deenero de 1994, fue de T  10000K y Ne  10000 electrones 3 . Podemos cmnotar que la temperatura y la densidad electrónica son relativamente elevadas;por tanto, para ésta SN un cálculo más realista sería, incluyendo efectos detransiciones gracias a colisiones con protones y fotones del campoelectromagnético exterior y de la propia nube, así como los efectos debido alfenómeno de transferencia radiativa. En éste modelo teórico se supuso conuna nube de hidrógeno (Región HII), ópticamente delgada, de baja yrelativamente alta densidad; examinando los procesos radiativos que ocurrenen ella, como son las capturas electrónicas, transiciones espontáneas y graciasa colisión con electrones, para poder hallar así los coeficientes de emisión. La introducción del concepto de cascada es un método muy útil,elegante y alternativo al de los coeficientes de apartamiento para calcular lasabundancias en los diferentes niveles nL del átomo. La técnica usada aquí puede servir para otras partes de la ciencia comopara analizar gas en las nubes de nuestra atmósfera, para esto, se deben incluirademás los efectos de trasferencia radiativa. En la mayoría de los textos y publicaciones revisadas se encuentrancálculos incluyendo sólo los efectos de capturas desde el infinito ytransiciones espontáneas. Para calcular el espectro emergente en este trabajose vieron los efectos de capturas desde el infinito, transiciones espontáneas ydebido a colisiones con electrones, en la fórmula (II.4.16) se ve además laposibilidad de incluir colisiones con protones y transiciones debido a laradiación de un campo externo o de otras partes de la misma nube; se puedenincluir también como se dijo efectos de transferencia radiativa en nubesestáticas y con movimiento conjunto. Así para resolver con más realismo ésteproblema, debe hallarse la intensidad de radiación I a partir de laecuación dada en el capítulo II, a saber,
    • 170 dI     S     I    , (6.1) d cuya solución formal es:  I    I  0  e   e S  d     0 (6.2)donde S   es la función fuente,  es el camino óptico,  es el j coeficiente de recombinación y j es el coeficiente de emisión. Para una nubeque sea homogénea S  0 , la solución de esta ecuación será I     I  0  e  S  1  e  (6.3)en donde se ve que la intensidad que emergerá de la nube o de la cáscara quese analice será la suma de la radiación incidente a la nube modulada por elfactor e que hace que disminuya exponencialmente gracias a la absorción,más la función fuente modulada por el factor  1  e  , es decir, gracias a ladefinición de S , la intensidad de la radiación emergente será mayor cuandomayor sea el coeficiente de emisión, y éste es mayor básicamente cuando laemisión espontánea de la misma cáscara es mayor, también pueden aportar alcoeficiente de emisión las radiaciones colisionales de átomos o iones conelectrones y protones, la radiación de otras partes de la propia nube (o cáscara)y la misma radiación incidente del exterior de la nube (o cáscara), todas estasradiaciones son debido a transiciones de los electrones en los diferentesniveles de energía del átomo; otros aportes que puede tener j son laradiación libre-libre, de frenado o de Bremsstrahlung, (electrones en camposeléctricos) y la de Sincrotrón (electrones relativistas en campos magnéticos). Si uno quiere resolver el problema de transferencia radiativaautoconsistentemente, uno debe resolver la ecuación (6.2) incluyendo todoslos efectos mencionados para el coeficiente de emisión y para poder integrardebería saberse cual es el valor de éste y por tanto de la función fuente en todopunto o capa delgada de la nebulosa; el problema no es fácil sabiendo que lafunción fuente depende también del mismo campo de radiación I   endicho punto, exactamente de I  0  e , donde ya estará disminuido al efecto de absorción y del campo de radiación de la propia nube.
    • 171 Cuando consideramos una nube ópticamente delgada,   0 , y por tantode la ecuación (6.2), I     I  0  , si tomamos una cáscara de la nube paraanalizar, la intensidad emergente de ésta cáscara será la misma que la queincidió de la capa anterior de la misma nube (en la primera capa ya setrituraron los fotones UV que envió la estrella progenitora), y si la radiaciónque manda la capa anterior es la que se indicó para hallar el coeficiente deemisión (radiación espontanea, colisional, etc.), ya que en una nube dondeexiste pura emisión dI s  j ds , donde s es una distancia sobre la línea deluz, desde un punto arbitrario s0 , así en un medio homogéneo I  s   j s ;entonces las razones de éstas líneas podremos compararlas o con las nubesobservadas en donde se cumpla con cierta aproximación que sean homogéneasy ópticamente delgadas. Podemos decir también que se encontró loscoeficientes de emisión de una capa delgada de la nube, en donde latemperatura y la densidad de electrones, protones o iones, permanezcanconstantes. Uno puede ver de antemano, si puede aplicar el método para hallar latemperatura y densidad electrónica descrito en esta memoria, simplementegraficando el espectro tomado experimentalmente; allí se puede ver laprofundidad que existe en el lado corrido al azul de la línea, cuanto menosárea tenga ésta profundidad, más aplicable será nuestro método, ya que éstaprofundidad corresponde a la absorción, y cuanto menos absorción exista, mástransparente será el medio a la radiación, y por tanto la nube se dice que esópticamente delgada. Una representación esquemática de la formación deestas líneas en atmósferas expandiéndose, se puede encontrar en la memoria lamemoria de Douglas Alexander Swartz, B. S.(1989) [9] Pág. 8. Resolver el problema trasferencia es lo mismo a averiguar cómo varía ladensidad y la temperatura cuando varía la distancia r desde el centro de laestrella, es decir, averiguar las funciones   r  y T  r  . Resolvercompletamente la fórmula (II.4.16) y el problema de transferencia radiativa,serán temas que incluiré en trabajos futuros.
    • 172 APÉNDICE I PROGRAMAS (Los programas originales se dan en el CD) En la dirección: D:/Tesis_CD/programas_rutina/solo_programas PROGRAMAS A PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE RECOMBINACIÓN  nL T  PROGRAMA A-01 (programa alfa_tabla20.m)%************************************************************************% HALLA LOS COEFICIENTES DE RECOMBINACIÓN PARA CUALQUIER TEMPERATURA% (POR MMC)% Devuelve una matriz alfa_new_T_N=alfa_new(n*l)%% Se carga con 3 matrices para las temperaturas de 5000 10000 y 20000ºK% halladas anteriormente y por el MMC para una curva potencial, se halla% los coeficientes de recombinación para cualquier temperatura.%% alfa_new%************************************************************************function alfa_new=f(T_N);load coef_recom20_nl_5.txt;load coef_recom20_nl_10.txt;load coef_recom20_nl_20.txt;alf_1=coef_recom20_nl_5;alf_2=coef_recom20_nl_10;alf_3=coef_recom20_nl_20;n_max=20; %LINEALIZANDOfor i=1:n_max; for j=1:i; ln_alf_1(i,j)=log (alf_1(i,j));
    • 173 ln_alf_2(i,j)=log (alf_2(i,j)); ln_alf_3(i,j)=log (alf_3(i,j)); endend%ln_alf_2%alf_2%pause;T=[5000 10000 20000];%se da todas las componentes de la matriz 1*3%o que es lo mismo un vector tÍpico filafor i=1:3; ln_T(i)=log (T(i));end;%ln_Tcoef_A=zeros(n_max,n_max);coef_B=zeros(n_max,n_max);for i=1:n_max;%USANDO MMC PARA UNA LINEA for j=1:i; A=[ln_alf_1(i,j) ln_alf_2(i,j) ln_alf_3(i,j)]; b=polyfit(ln_T,A,1); coef_A(i,j)=b(1); coef_B(i,j)=b(2); end;end;%recupernado la forma exponencialfor i=1:n_max; for j=1:i; aa(i,j)=exp(coef_B(i,j)); bb(i,j)=coef_A(i,j); alfa_new(i,j)=(aa(i,j))*((T_N)^(bb(i,j))); end;end;alfa_new; PROGRAMA A-02 PROGRAMA QUE CALCULA LOS COEFICIENTES DE RECOMBINACIÓN (para 3 temperaturas) (programa recom_coeff_CalculoDirecto20.m) Primero se calcularon los subprogramas para calcular el momentodipolar (sigma), gamma, y para estos la función hipergeométrica confluente yel factorial, luego el coeficiente de recombinación hasta n_L=10_9 luego enrecom_coeff_CalculoDirecto20.m hasta n_L=20_19.
    • 174%************************************************************************% CALCULA LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ PARA EL COEFICIENTE DE% RECOMBINACIÓN(20)%% Se da el momento dipolar, gama, y la temperatura(5000,10000y20000ºK)% usando sub_programas para sigma y gamma y Maple para la integral;% la matriz 10*10 ya fue hallada en recom_coeff_CalculoDirecto.m,% allí se hallaron las matrices coef_recom20_nl_5,10y20% Usa la formula (12) de: A.Burges #118 1959 pag.179% American Astronomical Society. Provided by the NASA Astrophysics Data% System%% recom_coeff_CalculoDirecto20.m%************************************************************************ PROGRAMA A-03 (programa recom_coeff_CalculoDirecto.m)%************************************************************************%CALCULA LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ PARA EL COEFICIENTE DE RECOMBINACIÓN% DADOS: el momento dipolar, gama, y la temperatura%% encuentra las matrices 10*10 de los coeficientes de recombinación% para las temperaturas 5000 10000 y 20000ºK%% recom_coeff_CalculoDiecto%************************************************************************Salva las matrices con:save coef_recom20_nl_5.txt coef_recom20_nl_5 -ascii -double -tabs;save coef_recom20_nl_10.txt coef_recom20_nl_10 -ascii -double -tabs;save coef_recom20_nl_20.txt coef_recom20_nl_20 -ascii -double -tabs; Para estos 2 programas que completan la matriz 20*20 de loscoeficientes de recombinación se uso los siguientes subprogramas: PROGRAMA A-04 (programa sigma.m)function sigma=f(n,l,lp); PROGRAMA A-05 (programa gamm.m)function gamm=f(n,l,lp);
    • 175 PROGRAMA A-06 (programa factorial.m)%********************************% HALLA EL FACTORIAL DE UN NÚMERO% DADO EL NÚMERO%% factorial%********************************function factorial=f(i);for j=1:i; a(j)=j; %de menos a más %a(j)=i+1-j; %de más a menosendfactorial=1;for j=1:i; factorial=factorial*a(j);end PROGRAMA A-07 (programa c_hyperg_fun.m)%****************************************************************%CALCULA LA FUNCIÓN HIPERGEOMÉTRICA CONFLUENTE OK!!!%% calculated for the Kummer`s Function%% M(a,b,z)=1+az/b+(a)_2z^2/(b)_22!+...+(a)_nz^2/(b)_nn!+...% donde: (a)_n y (b)_n tienen la forma:% (a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1), y (a)_0=1.%% ecuation 13.1.2 of [1]%% Para: abs(z)<inf% Donde: g=Lim(m tend. a inf de)(1+1/2+1/3+...+1/m-ln(m))% =0.5772156649... is the Euler`s constan%% [1] M. Abramowitz and I.A. Stegun, "Handbook of Mathematical% Functions", Dover Publications, 1965, Ch. 5.%****************************************************************function c_hyperg_fun=f(alf,bet,z);c_hyperg_f=0;alfa=alf;beta=bet;for i=0:50; if i==0; aa(1)=1; else if i==1;
    • 176 aa(2)=(alf*z)/bet; else al(i+1)=alf+i-1; be(i+1)=bet+i-1; alfa=alfa*al(i+1); beta=beta*be(i+1); aa(i+1)=(alfa*z^(i))/(beta*factorial(i)); end end c_hyperg_f=c_hyperg_f+aa(i+1); %para la convergencia (con nuestros valores siempre converge) %aux=(a(i+1)/c_hyperg_fun)*100 %if abs(aux)>1; % c_hyperg_fun=c_hyperg_f; %endendc_hyperg_fun=c_hyperg_f; PROGRAMAS B PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE EINSTEIN Anl ,nl PROGRAMA B-01 (programa ProbEspCalcDirecto20.m)%************************************************************************% CALCULA LAS PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESPONTANEA COMOCIENDO LOS% ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE MOMENTO DIPOLAR%% Los elementos de la matriz momento dipolar se sacan de:% OSCILLATOR STRENGTHS AND MATRIX ELEMENTS FOR THE ELECTRIC DIPOLE MOMENT% FOR HYDROGEN% Louis C. Green, Patricia P. Rush and Carolyn D. Chandler% 1957 AsJS ...3...37G% American Astronomical Society. Provided by the NASA Astrophysics Data% System y se usa la fórmula (3) de: A.Burges #118 1959 pag.179%% ProbEspCalcDirecto20%************************************************************************ PROGRAMAS C PROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES COLISIONALES e q nl ,nl
    • 177 PROGRAMA C-01 (programa fun_tabla_q_emabs_pobdesp_ne.m)%************************************************************************% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES%% q=Probabilidad de transición colisional debido a electrones/% por electrón y unidad de volumen% C=excitation rate coefficient%% en función de la temperatura T(ºK)%% C_ji=n_e*q_ji, C_ij=n_e*q_ij%% usamos la expresión para C_ij dada en la pag.85 de la disertación de:% DOUGLAS ALEXANDER SWARTZ, B.S.% (THE UNIVERSYTY OF TEXAS AT AUSTIN)(1989)% MODELLING LATE-TIME ATMOSPHERES OF SUPERNOVAE.%% sacada de la memoria de:(esta más detallado)(Pag33 ec. II-30)% Deane Millar Peterson% HARVARD UNIVERSITY% Departament of Astronomy% THE BALMER LINES IN EARLY TYPE STARS%% para una emisión (de-exitación) ji=21=nplp-nl=transición hacia abajo Y% para una absorción (exitación) ij=12=nsls-nl=transición hacia arriba% pensando en poblar por emisión y absorción el nivel nl (ns<n<np)% sale de j=nplp=njlj y llega (cae) a i=nl=nili nj>ni y% sale de i=nsls=nili y llega (sube) a j=nl=njlj nj>ni%% LOS CASOS A Y B son los mismos, coloque: para nl=10 i.e.% qe_emabs_pob_neNe_T_1_0=(0) y% qe_emabs_despob_neNe_T_1_0=(0)% no importa no tenerlo por que en el programa del numerador ydenominador% de 4.8 Osterb. lo hace cero este caso, y por tanto en adelante%% Se lama a las funciones:% fun_q_emabs_pob_ne(n_max,casoAB,T,n,l) y% fun_q_emabs_despob_ne(n_max,casoAB,T,n,l);%% fun_tabla_q_emabs_pobdesp_ne%************************************************************************function fun_tabla_q_emabs_pobdesp_ne=f(n_max,casoAB,T); PROGRAMA C-02 (programa fun_q_emabs_pob_ne.m)
    • 178%************************************************************************% CALCULA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES%% en función a la temperatura T(ºK)%% q_ji y q_ij%%% Se lama a las funciones:% fun_q_abs_ij_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj) y% fun_q_em_ji_ne(n_max,casoAB,T,nj,lj,ni,li)%% fun_q_emabs_pob_ne%************************************************************************function fun_q_emabs_pob_ne=f(n_max,casoAB,T,n,l); PROGRAMA C-03 (programa fun_q_emabs_despob_ne.m)%************************************************************************% CALCULA LA MATRIZ COEFICIENTES q DE DESPOBLACIÓN DEL NIVEL nl% POR EMISIÓN Y ABSORSIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES%% en función a la temperatura T(ºK)%% q_ji y q_ij%% Se lama a las funciones:% fun_q_em_ji_ne(n_max,casoAB,T,nj,lj,ni,li) y% fun_q_abs_ij_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj)%% fun_q_emabs_despob_ne%************************************************************************function fun_q_emabs_despob_ne=f(n_max,casoAB,T,n,l); PROGRAMA C-04 (programa fun_q_abs_ij_ne.m)%************************************************************% CALCULA EL COEFICIENTE DE EXITACIÓN (ABSORCIÓN) DEBIDO A% COLISIONES CON ELECTRONES% (elemento de matriz)% q_ij%% q_ij=Probabilidad de transición (por absorción) debido a la% colisión con un electrón/por electrón y por unidad de volumen% =Coeficiente colisional con un electrón (por excitación)%% se da la temperatura T(ºK) y los 4 números cuánticos de los niveles% no se toma la densidad de electrones Ne, que
    • 179% se toma ya para hallar C_ij i.e. la probabilidad%% NOTA: C_ij=n_e*q_ij%% Se halla integrando la sección transversal sobre una distribución% maxweliana%% sale de i=nsls=nili y llega a j=nl=njlj nj>ni% no se habilita los CASOS A Y B%% llamamos a las funciones:% funcion_energ_npn(n_max)% fun_oscillator_strenght_abs(n_max,casoAB,ni,li,nj,lj)%% fun_q_abs_ij_ne%************************************************************function fun_q_abs_ij_ne=f(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj); PROGRAMA C-05 (programa fun_q_em_ji_ne.m)%************************************************************% CALCULA EL COEFICIENTE DE DE-EXITASIÓN (EMISIÓN) DEBIDO A% COLISIONES CON ELECTRONES% (elemento de matriz)% q_ji%% q_ji=Probabilidad de transición (por emisión) debido a la% colisión con un electrón/por electrón y por unidad de volumen% =Coeficiente colisional con un electrón (por de-exitación)%% se da la temperatura T(ºK) y los 4 números cuánticos.%% notar que la relación con la probabilidad es:%% C_ji=n_e*q_ji=Cij(i/j)^2exp(E_ij/KT)%% sale de j=nplp=njlj y llega (cae) a i=nl=nili nj>ni (np>n>ns)% no se habilita los CASOS A Y B%% llamamos a las funciones:% funcion_energ_npn(n_max)% fun_q_abs_ij_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj)%% fun_q_em_ji_ne%************************************************************function fun_q_em_ji_ne=f(n_max,casoAB,T,nj,lj,ni,li);
    • 180 PROGRAMA C-06 (programa fun_oscillator_strenght_abs.m)%*****************************************************% OSILLATOR STRENGH FOR ABSORTION f_ij%% Astrophysical Quantities 1973 pag. 58%% g_2*A_21=3*cdc*g_1*f_12=-3*cdcg_2*f_21%% cdc=(8*pi^2*e^2*mu^2)/(3*m*c^3)=(8*pi^2*e^2)/(3*m*c*lambda^2)% 12=ij%% se uso la función:% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)%% fun_oscillator_strenght_abs%*****************************************************function fun_oscillator_strenght_abs=f(n_max,casoAB,ni,li,nj,lj) PROGRAMA C-07 (programa fun_energ_npn.m)%***********************************************************% Calcula la energía del fotón absorbido, que provoca una% transición hacia arriba i-j ó nplp-nl ó np-n% notar que es la misma energía que se emitiría en una% transición hacia abajo nl-nplp%% USA:% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)%% fun_energ_npn%***********************************************************function fun_energ_npn=f(n_max); PROGRAMA C-08 (programa lon_onda_amstr_transition_mn.m)%=========================================================================% HALLA LAS LONGITUDES DE ONDA EN AMSTRONG A PARTIR DE m y n (ENMATRICES)%calcula los valores vía la fórmula:%frec=Z^2*R(cm^-1)*(1/n^2-1/m^2) y frec=c/LongOnda%y lo convierte a amstrong% lon_onda_amstr_transition_mn%=========================================================================function lon_onda_amstr_transition_mn=f(n_max)
    • 181Rp=1.09737331e5; %cm^-1lon_onda_amstr_transition_mn=zeros(n_max,n_max);for n=1:n_max-1; for m=n+1:n_max; lon_onda_amstr_transition_mn(m,n)=1e8/(Rp*((1/n^2)-(1/m^2))); endend%save lon_amstrong.txt lon_amstrong -ascii -double -tabs; PROGRAMA C-09 (programa fun_oscillator_strenght_em.m)%*****************************************************% OSILLATOR STRENGH FOR EMISSION f_ji%% Astrophysical Quantities 1973 pag. 58%% g_2*A_21=3*cdc*g_1*f_12=-3*cdcg_2*f_21%% cdc=(8*pi^2*e^2*mu^2)/(3*m*c^3)=(8*pi^2*e^2)/(3*m*c*lambda^2)% 12=ij%% se uso la función:% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)%% fun_oscillator_strenght_em%*****************************************************function fun_oscillator_strenght_em=f(n_max,casoAB,nj,lj,ni,li); PROGRAMA C-10 (programa fun_tabla_ce_emabs_pobdes_ne.m)%************************************************************************% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES% (excitation rate coefficient)%% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)%% C_ji=n_e*q_ji, C_ij=n_e*q_ij%% usamos la expresión para C_ij dada en la pag.85 de la disertación de:% DOUGLAS ALEXANDER SWARTZ, B.S.% (THE UNIVERSYTY OF TEXAS AT AUSTIN)(1989)% MODELLING LATE-TIME ATMOSPHERES OF SUPERNOVAE.%% sacada de la memoria de:(esta más detallado)(Pag33 ec. II-30)% Deane Millar Peterson% HARVARD UNIVERSITY
    • 182% Departament of Astronomy% THE BALMER LINES IN EARLY TYPE STARS%% para una emisión (de-exitación) ji=21=nplp-nl=transición hacia abajo Y% para una absorción (exitación) ij=12=nsls-nl=transición hacia arriba% pensando en poblar por emisión y absorción el nivel nl (ns<n<np)% sale de j=nplp=njlj y llega (cae) a i=nl=nili nj>ni y% sale de i=nsls=nili y llega (sube) a j=nl=njlj nj>ni%% LOS CASOS A Y B son los mismos colo que: para nl=10 i.e.% ce_emabs_pob_neNe_T_1_0=(0) y% ce_emabs_despob_neNe_T_1_0=(0)% no importa no tenerlo por que en el programa del numerador ydenominador% de 4.8 Osterb. lo hace cero este caso, y por tanto en adelante%% Se lama a las funciones:% fun_ce_emabs_pob_ne(n_max,casoAB,Ne,T,n,l) y% fun_ce_emabs_despob_ne(n_max,casoAB,Ne,T,n,l);%% fun_tabla_ce_emabs_pobdesp_ne%************************************************************************function fun_tabla_ce_emabs_pobdesp_ne=f(n_max,casoAB,Ne,T); PROGRAMA C-11 (programa fun_ ce_emabs_pob_ne.m)%************************************************************************% CALCULA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES%% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)% C_ji=n_e*q_ji, C_ij=n_e*q_ij%% Se lama a la función:% fun_q_emabs_pob_ne(n_max,casoAB,T,n,l)%% fun_ce_emabs_pob_ne%************************************************************************function fun_ce_emabs_pob_ne=f(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l); PROGRAMA C-12 (programa fun_ ce_emabs_despob_ne.m)%************************************************************************% CALCULA LA MATRIZ PROBABILIDAD DE DESPOBLACIÓN DEL NIVEL nl% POR EMISIÓN Y ABSORSIÓN DEBIDO A COLISIONES CON ELECTRONES%% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)% C_ji=n_e*q_ji, C_ij=n_e*q_ij%
    • 183% no existe el CASOS B%% Se lama a la función:% fun_q_emabs_despob_ne(n_max,casoAB,T,n,l)%% fun_ce_emabs_despob_ne%************************************************************************function fun_ce_emabs_despob_ne=f(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l); PROGRAMA C-13 (programa fun_ c_abs_ij_ne.m)%************************************************************% CALCULA LA PROBABILIDAD DE EXITACIÓN (ABSORCIÓN) DEBIDO A% COLISIONES CON ELECTRONES% (elemento de matriz)%% se da la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)% y los 4 números cuánticos% C_ij=n_e*q_ij%% sale de i=nsls=nili y llega a j=nl=njlj nj>ni% no se habilita los CASOS A Y B% USA:% fun_q_abs_ij_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj)%% fun_c_abs_ij_ne%************************************************************function fun_c_abs_ij_ne=f(n_max,casoAB,Ne,T,ni,li,nj,lj); PROGRAMA C-14 (programa fun_ c_em_ji_ne.m)%************************************************************% CALCULA LA PROBABILIDAD DE DE-EXITASIÓN (EMISIÓN) DEBIDO A% COLISIONES CON ELECTRONES% (elemento de matriz)%% se da la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)% y los 4 números cuánticos%% C_ji=n_e*q_ji=Cij(i/j)^2exp(E_ij/KT)%% USA:% fun_q_em_ji_ne(n_max,casoAB,T,ni,li,nj,lj)%% fun_c_em_ji_ne%************************************************************function fun_c_em_ji_ne=f(n_max,casoAB,Ne,T,nj,lj,ni,li);
    • 184 PROGRAMAS D PROGRAMAS QUE CALCULAN LAS PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN PnL,nL PROGRAMA D-01 (programa fun_tabla_p_ab_emabs_pob_espne.m)%************************************************************************% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ PROBABILIDAD "P" DE POBLAR EL NIVEL nl% POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A TRANSICIONES ESPONTANEAS Y COLISIONES% CON ELECTRONES%% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)%% P= ELEMENTO posibilidad/SUMATORIA de todas las posibilidades%% Generalizamos la ecuación (4.8) del Osterbrock%% Se lama a las funciones:% fun_prob_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,nn,ll)% fun_sum_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)%% el nombre que se da a la matriz al salvarla indica la probabilidad de% poblar el nivel nl ya sea por emisión (cae de arriba espontáneamente opor colisión con electrones)% o por absorción (salta de abajo, por colisión con elec.)a temperatura T%% fun_tabla_p_ab_emabs_pob_espne%************************************************************************function fun_tabla_p_ab_emabs_pob_espne=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T); PROGRAMA D-02 (programa fun_prob_p.m)%**************************************************************************% CALCULA LA PROBABILIDAD "P" DE HACER UN ATRANSICIÓN nplp-nl% PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl%% los elementos de la matriz indican con su posición (nplp), la% probabilidad de saltar al nivel nl% para los CASOS A y B no se cambia nada% pero ver si se llama a la función o a las matrices ya creadas para% colisiones con electrones% habilitar las funciones fun_sum_p(Ne,T); si no se tiene creada% el denominador de 4.8 Osterbrock generalizado y también% fun_c_emabs_pob_ne(Ne,T,n,l);
    • 185%% llama las funciones:% fun_numerador_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)% fun_sum_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);%% fun_prob_p.m%**************************************************************************function fun_prob_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,nn,ll); PROGRAMA D-03 (programa fun_sum_p.m)%**************************************************************% CALCULA EL DENOMINADOR DE LA PROBABILIDAD P% PARA TRANSICIONES ESPONTÁNEAS, COLISIONALES Y RADIATIVAS%% Los elementos de la matriz son la suma de las despoblaciones% desde el nivel nplp y están ubicados allí mismo (nplp)% solo dependerá de Ne y T(ºK)%% USA:% fun_ce_emabs_despob_ne(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l)%% fun_sum_p.m%**************************************************************function fun_sum_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T); PROGRAMA D-04 (programa fun_numerador_p.m)%************************************************************************% CALCULA EL NUMERADOR DE LA PROBABILIDAD "P" DE HACER UN ATRANSICIÓN% nplp-nl% NUMERADOR DE LA PROBABILIDAD DE POBLAR EL NIVEL nl%% los elementos de la matriz indican con su posición (nplp), la% probabilidad de saltar al nivel nl% para los CASOS A y B no se cambia nada% pero ver si se llama a la función o a las matrices ya creadas para% colisiones con electrones%% llama las funciones:% fun_a_pob_nl(n_max,casoAB,Ne,T,n,l)% fun_ce_emabs_pob_ne(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l)% fun_cp_emabs_pob_np(casoAB,Ne,T,n,l);%futura creación% fun_cem_emabs_pob_cem(casoAB,Ne,T,n,l);%futura creación%% fun_numerador_p.m%************************************************************************function fun_numerador_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l);
    • 186 PROGRAMA D-05 (programa fun_a_pob_nl.m)%********************************************************************% CALCULA LA MATRIZ DE POBLACIÓN DEL NIVEL nl%% como se lo creo a mano, entonces solo lo carga%% fun_a_pob_nl%********************************************************************function fun_a_pob_nl=f(n_max,casoAB,n,l); PROGRAMA D-06 (programa fun_ce_emabs_pob_ne.m)function fun_ce_emabs_pob_ne=f(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l); PROGRAMA D-07 (programa fun_ce_emabs_despob_ne.m)function fun_ce_emabs_despob_ne=f(via,n_max,casoAB,Ne,T,n,l); PROGRAMAS E PROGRAMAS QUE CALCULAN LAS MATRICES CASCADA CnL,nL PROGRAMA E-01 (programa fun_tabla_c_ab_emabs_pob_espne.m)%************************************************************************% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ PROBABILIDAD "P" DE LLEGAR POR CASCADA% AL NIVEL nl POR ABSORSIÓN Y EMISIÓN DEBIDO A TRANSICIONES ESPONTANEAS Y% COLISIONES CON ELECTRONES%% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)%% Generalizamos la ecuación (4.10) del Osterbrock%% Solo llama la función fun_cascada_c(Ne,T) para diferentes Ne y T% y es en ella donde salva las matrices para cada nl que se crea en esa% función.%% Se lama a la función:
    • 187% fun_cascada_c(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);%% fun_tabla_c_ab_emabs_pob_espne%************************************************************************function fun_tabla_c_ab_emabs_pob_espne=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T); PROGRAMA E-02 (programa fun_cascada_c.m)%****************************************************************% CÁLCULO DE LAS MATRICES CASCADA%EN NUBES OPTICAMENTE DELGADAS Y NO DENSAS VÍA MATRICES CASCADA% (CASOS A Y B)%% vía la ecuación generalizada de 4.10 Osterbrock%% USA:% fun_prob_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,i,j)%% fun_cascada_c%****************************************************************function fun_cascada_c=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T) PROGRAMA E-03 (programa fun_prob_p.m)function fun_prob_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,nn,ll); PROGRAMAS F PROGRAMAS QUE CALCULAN LAS POBLACIONES (Non-LTE) N nL PROGRAMA F-01 (programa fun_tabla_poblaciones.m)%************************************************************************% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ ABUNDANCIAS N_nl% DEBIDO A TRANSICIONES ESPONTANEAS Y ESPONTANEAS-COLISIONES% CON ELECTRONES CASOS A Y B%% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)%% Generalizamos la ecuación (4.11) del Osterbrock%% Se lama a la función:% fun_poblaciones_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)
    • 188%% fun_tabla_poblaciones%************************************************************************function fun_tabla_poblaciones=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T); PROGRAMA F-02 (programa fun_poblaciones_nl.m)%*******************************************************************% REGRESA LA MATRIZ DE ABUNDANCIAS DADA LA TEMPERATURA T Y ABUNDANCIA% ELECTRONICA Ne%% sin corrección al inf., usando f=sum(alf*C) y 4-11 osterb. o% la mitad de (29) pengelly n=fila l=columna%% ve los casos de transición espontanea y transición espontanea y% colisional unidas, para los casos A Y B%% usa la función:% fun_sum_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)(suma del denominador de (4.8))% o también usando la matriz ya creada.% fun_fm_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)(debe habilitarse la suma en nphasta 20)%% fun_poblaciones_nl%*******************************************************************function fun_poblaciones_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T); PROGRAMA F-03 (programa fun_sum_p.m)function fun_sum_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T); PROGRAMA F-04 (programa fun_fm_nl.m)%*******************************************************************% REGRESA LA MATRIZ f DADO LA TEMPERATURA T_N% n=fila l=columna%% es la suma de los elementos del vector dado por fun_fv_np_nl%% se llama a la función:% fun_fv_np_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)%% fun_fm_nl%*******************************************************************function fun_fm_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)
    • 189 PROGRAMA F-05 (programa fun_fv_np_nl.m)%*******************************************************************% REGRESA EL VECTOR f DADO LA TEMPERATURA T_N, n y l% CASOS A Y B% parte de la ecuación 4.11 Osterbrock% sumatoria (en lp de 0 a np-1) de alfa_nplp(T)*C_nplp,nl% USA:% alfa_tabla20(T_N)% fun_cascada_c_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)%para c/matriz(crear)% fun_fv_np_nl%*******************************************************************function fun_fv_np_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l) PROGRAMA F-06 (programa alfa_tabla20.m)function alfa_new=f(T_N); PROGRAMA F-07 (programa fun_cascada_c_nl.m)function fun_cascada_c_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)crear PROGRAMAS G PROGRAMAS QUE CALCULAN LAS POBLACIONES (LTE vía SB) N nL PROGRAMA G-01 (programa fun_tabla_poblaciones_sb_LTE.m)%************************************************************************% HALLA LAS TABLAS PARA LA MATRIZ ABUNDANCIAS N_nl EN LTE%% En función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)% No importa las transiciones por que es LTE% Ecuación Saha-Boltzmann (4.4) Osterbrock.%% Se lama a la función:% fun_poblaciones_SB_LTE(T,Np,Ne)%% fun_tabla_poblaciones_sb_LTE%************************************************************************function fun_tabla_poblaciones_sb_LTE=f(T,Np,Ne);
    • 190 PROGRAMA G-02 (programa fun_poblaciones_SB_LTE.m)%***********************************************************************% CALCULA LA MATRIZ DE ABUNDANCIAS N_ nl en LTE% (equilibrio termodinámico) vía la ecuación de% SAHA-BOLTZMANN%% se da la temperatura T y% las densidades numéricas de protones y electrones% Np (#protones/cm^3) y Ne (#electrones/cm^3)%% Ecuación Saha-Boltzmann (4.4) Osterbrock.%% los valores de las poblaciones en el nivel nl% se indica por la posición n=fila y l=columna de la matriz%% fun_poblaciones_SB_LTE%***********************************************************************function fun_poblaciones_SB_LTE=f(T,Np,Ne); PROGRAMAS HPROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN (Non-LTE) jnL PROGRAMA H-01 (programa fun_tabla_emision_coeff_nnp.m)%************************************************************************% HALLA LAS TABLAS PARA LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN% DEBIDO A TRANSICIONES ESPONTANEAS Y ESPONTANEAS-COLISIONES% CON ELECTRONES CASOS A Y B%% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)%% Generalizamos la ecuación (4.12) del Osterbrock%% Se lama a la función:% fun_emision_coeff_nnp(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T);%% fun_tabla_emision_coeff_nnp%************************************************************************function fun_tabla_emision_coeff_nnp=f(via,n_max);
    • 191 PROGRAMA H-02 (programa fun_emision_coeff_nnp.m)%************************************************************************% CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN (MATRICES(n*np))%% para cada transición en función a la temperatura% usamos f=sum(alfa*C), 4-11 y 4-12 Osterbr.%% líneas 74 y 75 habilitar para casos 4.12 osterb. generalizado o no% no importa que se cargo de más las los a20_nplp (para el caso% generalizado no lo uso).%% usa las funciones:% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)% fun_abundancias_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)% fun_numerador_p(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l)%% fun_emision_coeff_nnp%************************************************************************function fun_emision_coeff_nnp=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T); PROGRAMA H-03 (programa fun_poblaciones_nl.m)function fun_poblaciones_nl=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T); PROGRAMA H-04 (programa fun_numerador_p.m)function fun_numerador_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l); PROGRAMA H-05 (programa lon_onda_amstr_transition_mn.m)function lon_onda_amstr_transition_mn=f(n_max) PROGRAMAS IPROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN (LTE) jnL PROGRAMA I-01
    • 192 (programa fun_tabla_emision_coeff_SB_LTE.m)%************************************************************************% HALLA LAS TABLAS PARA LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN EN LTE (vía SB)%% en función a la densidad de electrones Ne, la temperatura T(ºK)%% Ecuación (4.12) del Osterbrock%% Se lama a la función:% fun_emisscoeff_SB_LTE(casoAB,T,Np,Ne) o tablas%% fun_tabla_emisscoeff_SB_LTE%************************************************************************function fun_tabla_emisscoeff_SB_LTE=f(T,Np,Ne); PROGRAMA I-02 (programa fun_emision_coeff_SB_LTE.m)%***********************************************************************% CALCULA LA MATRIZ DE ABUNDANCIAS N_ nl en LTE% (equilibrio termodinámico) via la ecuación de% SAHA-BOLTZMANN%% se da la temperatura T y% las densidades numéricas de protones y electrones% Np (#protones/cm^3) y Ne (#electrones/cm^3)%% las abundancias se llaman vía la función fun_abundancias_SB_LTE% y los coeficiente de emisión con fun_emisscoeff_SB_LTE% que las calculo vía la ecuación de Saha-Bolztmann para el LTE% las posiciones de la matriz se indican con n y np j(n,np)%% USA:% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)% fun_abundancias_SB_LTE(T,Np,Ne) o tablas%% fun_emisscoeff_SB_LTE%***********************************************************************function fun_emisscoeff_SB_LTE=f(casoAB,T,Np,Ne); PROGRAMA I-03 (programa fun_poblaciones_SB_LTE.m)function fun_poblaciones_SB_LTE=f(T,Np,Ne); PROGRAMA I-04 (programa fun_numerador_p.m)
    • 193function fun_numerador_p=f(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T,n,l); PROGRAMA I-05 (programa lon_onda_amstr_transition_mn.m)function lon_onda_amstr_transition_mn=f(n_max) PROGRAMAS JPROGRAMAS QUE CALCULAN LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN (Non-LTE hasta el infinito) jnL PROGRAMA J-01 (programa funcion_emision_coeffinf_nnp.m)%************************************************************************% CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE EMISIÓN (MATRICES(n*np))% para cada transición en función a la temperatura% usamos f=sum(alfa*C), 4-11 y 4-12 Osterbr.% USA:% funcion_abundancias_g_nl(Ne,T)% lon_onda_amstr_transition_mn(n_max)%% funcion_emision_coeffinf_nnp%************************************************************************function funcion_emision_coeffinf_nnp=f(Ne,T); PROGRAMA J-02 (programa funion_abundancias_g_nl.m)%*******************************************************************% REGRESA LA MATRIZ DE POBLACIONES DADA LA TEMPERATURA T_N% con corrección al inf., usando f=sum(alf*C) y (29) pengelly% n=fila l=columna% CASOS A Y B% USA:% funcion_fm_nl(via,n_max,trans,casoAB,Ne,T)% alfa_20_inf(T_N)% fun_gm_20_nl(T_N)% fun_gm_inf_nl(T_N)%% funcion_poblaciones_g_nl%*******************************************************************
    • 194function funcion_abundancias_g_nl=f(casoAB,Ne,T); PROGRAMAS K PROGRAMAS QUE SIRVEN PARA CONPARAR CON LA SN1994Y TYPE IIn OTROS PROGRAMAS ÚTILES PROGRAMA 01 (programa fun_mmc_regresion_exponencial.m) y  aebx  c%**************************************************************% REGRESIÓN PARA LA CURVA PONENCIAL Y=a*e^(b*x)+c% regresa los parámetros a, b y c% dados los vectores x_v e y_v%% fun_mmc_regresion_exponencial%**************************************************************function fun_mmc_regresion_exponencial=f(x_v,y_v);i_max=length(x_v);%LINEALIZANDO%hallando primero cx1=x_v(1);x2=x_v(2);x3=0.5*(x1+x2);resta=abs(x_v(3)-x3);r=1;s=1;t=1;for i=1:i_max; x1=x_v(i); for j=1:i_max; if j==i; ss=5; else x2=x_v(j); for k=1:i_max; if k==i; ss=5; else if k==j; ss=5; else aux=x_v(k); x3=0.5*(x1+x2); resta_ijk=abs(aux-x3); if resta_ijk<resta; resta=resta_ijk;
    • 195 r=i; s=j; t=k; else ss=5; end end end end end endendy1=y_v(r);y2=y_v(s);y3=y_v(t);c1=(y1*y2-y3*y3)/(y1+y2-2*y3);for i=1:i_max; positivo(i)=abs(y_v(i)-c1); ln_y(i)=log (positivo(i));%si sale imaginario a,b y c es por log(#-)~=end%USANDO MMC PARA UNA LINEAd=polyfit(x_v,ln_y,1);coef_A=d(1);coef_B=d(2);%HALLANDO LOS PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN ORIGINALb=coef_A;if b<0; %único caso con asíntota en c sea creciente o decreciente if y_v(3)>y_v(1);%curva creciente, si y solo si b<0 (y-c<0) a=-exp(coef_B); else %curva decreciente (y-c>0) a=exp(coef_B); endelse %b>0también existe asintota en c pero se acerca en el lado neg. de x if y_v(3)>y_v(1);%curva creciente si y solo si b>0 (y-c>0) a=exp(coef_B); else %curva decreciente (y-c<0) a=-exp(coef_B); endend%CALCULANDO DE NUEVO c COMO UN PROMEDIO DE y-a*e^(b*x)sum=0;for i=1:i_max; sum=sum+(y_v(i)-a*exp(b*x_v(i)));end;c=sum/i_max;%c=0 %habilitar para caso Y=a*e^(b*x)fun_mmc_regresion_exponencial=[a b c]; PROGRAMA 02 (programa fun_mmc_regresion_potencial.m) y  axb  c
    • 196%**************************************************************% REGRESIÓN PARA LA CURVA PONENCIAL Y=a*x^b+c% regresa los parámetros a, b y c% (también caso c=0)%% fun_mmc_regresion_potencial%**************************************************************function f=fun_mmc_regresion_potencial(x_v,y_v);i_max=length(x_v);%LINEALIZANDO%hallando primero cx1=x_v(1);x2=x_v(2);x3=sqrt(x1*x2);resta=abs(x_v(3)-x3);r=1;s=1;t=1;for i=1:i_max; x1=x_v(i); for j=1:i_max; if j==i; ss=5; else x2=x_v(j); for k=1:i_max; if k==i; ss=5; else if k==j; ss=5; else aux=x_v(k); x3=sqrt(x1*x2); resta_ijk=abs(aux-x3); if resta_ijk<resta; resta=resta_ijk; r=i; s=j; t=k; else ss=5; end end end end end endendy1=y_v(r);y2=y_v(s);y3=y_v(t);
    • 197c1=(y1*y2-y3*y3)/(y1+y2-2*y3);%c1=0 %habilitar para caso Y=a*x^bfor i=1:i_max; positivo(i)=abs(y_v(i)-c1); ln_y(i)=log (positivo(i));%si sale imag a,b y c es por log(#-)~= ln_x(i)=log (x_v(i));end%USANDO MMC PARA UNA LINEAd=polyfit(ln_x,ln_y,1);coef_A=d(1);coef_B=d(2);%HALLANDO LOS PARÁMETROS DE LA FUNCIÓN ORIGINALb=coef_A;if b<0; %único caso con asintota en c sea creciente o decreciente if y_v(3)>y_v(1);%curva creciente si y solo si b<0 (y-c<0) a=-exp(coef_B); else %curva decreciente (y-c>0) a=exp(coef_B); endelse %b>0 no existe asintota if y_v(3)>y_v(1);%curva creciente si y solo si b>0 (y-c>0) a=exp(coef_B); else %curva decreciente (y-c<0) a=-exp(coef_B); endend%CALCULANDO DE NUEVO c COMO UN PROMEDIO DE y-a*x^bsum=0;for i=1:i_max; sum=sum+(y_v(i)-a*x_v(i)^b);end;c=sum/i_max;%c=0 %habilitar para caso Y=a*x^b%fun_mmc_regresion_potencial=[a b c];f=[a b c]; PROGRAMA 03 (programa fun_plot_mmc_exponencial.m)%************************************************% plot original y PLOT POR MMC Y=a*e^(b*x)+c%% USA:% fun_mmc_regresion_exponencial(x_v,y_v)%% fun_plot_mmc_exponencial%************************************************function fun_plot_mmc_exponencial=f(x_v,y_v);i_max=length(x_v);abc=fun_mmc_regresion_exponencial(x_v,y_v);%******************************************% CALCULO
    • 198%******************************************a=abc(1);b=abc(2);c=abc(3);for j=1:i_max; y_v_mmc(j)=a*exp(b*x_v(j))+c;end;%*******************************************% PLOT%*******************************************plot(x_v,y_v,.r);hold on;plot(x_v,y_v_mmc,dg);xlabel(X);ylabel(Y);title(MMC Y=a*e^(^b^*^x^)+c);%gtext(texto_en_el_grafico);hold on;%print Nombre_del_grafico -djpeg PROGRAMA 04 (programa fun_plot_mmc_potencial.m)%************************************************% plot original y Plot por MMC Y=a*x^b+c%% USA:% fun_mmc_regresion_potencial(x_v,y_v)%% fun_plot_mmc_potencial%************************************************function fun_plot_mmc_potencial=f(x_v,y_v)i_max=length(x_v);abc=fun_mmc_regresion_potencial(x_v,y_v);%******************************************% CALCULO%******************************************a=abc(1);b=abc(2);c=abc(3);for j=1:i_max; y_v_mmc(j)=a*x_v(j)^(b)+c;end;%*******************************************% PLOT%*******************************************plot(x_v,y_v,.r); %plot originalhold on;plot(x_v,y_v_mmc,dg);%plot por MMCxlabel(X);ylabel(Y);title(MMC Y=a*x^(^b^)+c);
    • 199%gtext(C_n_2_,_3_2);hold on;%print nombre_del _grafico -djpeg PROGRAMA 05 (programa gamma_function.m)%****************************************************************% CALCULA LA FUNCIÓN GAMMA%% calculated for the Euler`s Infinite Product% 1/G(z)=ze^(gz)pit(en n de 1 a inf de)((1+1/z)e(-z/n))% ecuation 6.1.3 of [1]%% Para: abs(z)<inf% Donde: g=Lim(m tend. a inf de)(1+1/2+1/3+...+1/m-ln(m))% =0.5772156649... is the Euler`s constan%% [1] M. Abramowitz and I.A. Stegun, "Handbook of Mathematical% Functions", Dover Publications, 1965, Ch. 5.%% gamma_function%****************************************************************function gamma_function=f(a);g=0.5772156649;aux=a*exp(g*a);pit=1;for i=1:500000; pit=pit*((1+a/i)*exp(-(a/i)));end;inv_gam_fun=aux*pit;gamma_function=1/inv_gam_fun; PROGRAMA 06 (programa fun_expint.m)function fun_expint=f(x,n);%fun_expint Exponential integral function (n-esima).% Y = fun_expint(x,n) is the exponential integral function for each% element of x. The exponential integral is defined as:%% fun_expint(x,n) = integral from 1 to Inf of (exp(-t)/t^n)dt, for x>0.%% for the E_1 we use the program expint of the toolbox of the Matlab% nex we use the recurrence relation%% E_n+1(x)=(1/n)(e^(-x)-xE_n(x)) ecuation 5.1.14 of [1]%% [1] M. Abramowitz and I.A. Stegun, "Handbook of Mathematical% Functions", Dover Publications, 1965, Ch. 5.
    • 200for i=1:n; E_n(i)=0;endE_n(1) = expint(x); %toolbox MATLABfor i=1:n-1; E_n(i+1)=(1/i)*(exp(-x)-x*E_n(i));endfun_expint=E_n(n);%OK!!!! PROGRAMA 07 (programa fun_integral_simpson_pts.m)%************************************************************************% CALCULA LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN DADA POR MEDIO DE% PUNTOS APLICANDO LA REGLA DE SIMPSON DE LAS PARABOLAS%% int_a_b_(y)dx=h/3(y_0+4y_1+2y_2+4y_3+...+2y_(n-2)+4y_(n)) n=par%% a=x_0% b=x_n%% entre 2 puntos distanciados en h de la función a integrar% y=f(x) aproxima una parábola de la forma:% y=ax^2+bx+c%% x_v y y_v deben ser de número impar de componentes y% cada componente de x_v deben estar a igual distancia "h"%%% cuanto menos sea h y l sea mayor, es mejor%% Pag.447 MANUAL DE MATEMÁTICAS% I. Bronshtein, K. Semendiaev (1997)% Editorial Mir Moscu%% fun_integral_simpson_pts%************************************************************************%function fun_integral_simpson_pts=f(x_v,y_v)function integral=fun_integral_simpson_pts(x_v,y_v)%flata ver si l es impar si no lo es quitarle la ultima componente%a x_v y y_v, pero yo vere que siempre se de l impar%con estos nuevos x_v y y_v recién se trabajará%verificando si los vectores en x e y son del mismo tamañoif ~isequal(size(x_v),size(y_v)) error(X and Y vectors must be the same size.)end
    • 201l=length(x_v);h=abs(x_v(2)-x_v(1));%verificando que la distancia en x entre los puntos sea la misma%for i=1:l-2; %desabilito por que con en grado de precisión por efectos% a=abs(x_v(i+1)-x_v(i)); %de aproximación difícil encontrar iguales% b=abs(x_v(i+2)-x_v(i+1));%pero viendo mi SN si lo son% if ~isequal(a,b)% error(los intervalos entre puntos deben ser iguales.)% end%endsuma_impar=0;suma_par=y_v(1);%f(x_0)for i=1:l/2;%impar j=2*i-1; suma_impar=suma_impar+4*y_v(j);endfor i=1:l/2;%par j=2*i; suma_par=suma_par+2*y_v(j);endsuma=suma_impar+suma_par;integral=(h/3)*suma;%fun_integral_simpson_pts=(h/3)*suma;%x_v=[1,3,6];y_v=[1,2,4];int=fun_integral_simpson_pts(x_v,y_v) Los que no se incluyen, se encuentran en el CD-ROM de la contratapa. Para que funciones el hipervinculo, el CD debe estar en la unidad D desu computadora.
    • 202 BIBLIOGRAFÍA[1] Abramowitz M. and Stegun, Handbook of Matematical Function (1965)[2] Allen C. W. (1973) Astrophysical quantities 3º Edition University of London[3] Brocklehurst, M (1971) M.N.R.A.S 153 pag.471.[4] Bronshtein I., Semendiaev K. (1977) Manual de Matemáticas. Editorial Mir Moscú[5] Burgess, A (1959) M.N.R.A.S 118 pag.477.[6] Chandler, C. D, Louis C. Patricia P. (1957) Ap. J. Suppl. Series, 3 pag.37 Oscillator Strenths and Matrix Elements For The Electric Dipole Moment For Hidrogen[7] Deane Millar Peterson.(1969) Reserch in Space Science S.A.O Special Report #293 Departament of astronomy Harvard University The Balmer Lines in Early Type Stars (Memory)[8] Dimitri Mihalas (1978) Stellar Atmospheres 2º edition[9] Douglas Alexander Swartz, B. S.(1989) The University of Texas At Austin Modelling Late-Time Atmospheres of Supernovae (Dissertation)[10] Kennetn R. Lang (1974) Astrophysical Formulae A Compendium for the Physicist and Astrophysicist Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
    • 203[11] Osterbrock, D (1989) Astrophysics of Gaseous Nebulae and Active Galactic Nuclei University Science Books Mill Valley. California.[12] Pengelly, R. M. (1964) M.N.R.A.S 127 pag.145.[13] Rybiki & Lightman (1979) Radiative Proces in Astrophysics Harvard – Smithsonian Center for Astrophysics[14] Yavorski B. M., Deflaf A. A. Prontuario de Física Editorial Mir Moscú-Ap. J. (Astrophysical Journal)-M.N.R.A.S (Royal Astronomical Society)La mayoría de los paper se encontraron en:*Astrophysics Data System (A.D.S) (NASA).