• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Tegangan
 

Tegangan

on

  • 8,642 views

 

Statistics

Views

Total Views
8,642
Views on SlideShare
8,642
Embed Views
0

Actions

Likes
2
Downloads
155
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Tegangan Tegangan Presentation Transcript

    • BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN1.1. Tegangan  Dalam mekanika bahan, pengertian tegangan tidak sama denganvektor tegangan. Tegangan merupakan tensor derajat dua, sedangkanvektor, vektor apapun, merupakan tensor derajat satu. Besaran skalarmerupakan tensor derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yangkeadaannya pada suatu titik dalam ruang, tiga dimensi, dapatdideskripsikan dengan 3n komponennya, dengan n ialah derajat tensortersebut. Dengan demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensipada suatu titik dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 3 2komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebutadalah σxx , σyy , σzz , txy , tyx , txz , tzx , tyz , dan tzy seperti ditunjukkanpada Gambar 1.1(a). Namun demikian, karena t xy = tyx , txz = tzx dantyz = tzy , maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan denganenam komponennya, σxx , σyy , σzz , txy , txz , tyz. Sedangkan untuktegangan bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikandengan 22 komponennya, Gambar 1.1(b), dan karena tij = tji untuk makatiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada titik
    • Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat diklasifikasikanmenjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi s ij , i = j, sertategangan geser dengan notasi tij , . Perhatikan penulisan padaparagrap di atas. Karakter indek yang pertama menyatakan bidangtempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek yang keduamenyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut. Tegangannormal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap bidang
    • pembebanan. Sedangkan tegangan geser ialah tegangan yang bekerja  sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam tegangan yang mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga tegangan normal, σxx , σyy , dan σzz , serta tiga tegangan geser, txy , tyz , dan tzx. Nilai tegangan bisa positif dan bisa pula negatif. Tegangan bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada bidang positif dengan arah positif, atau bekerja pada bidang negatif dengan arah negatif. Selain itu, nilainya negatif. Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. Sehingga secara matematis tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai F σ ij = n i=j (1a) A σ ij = tegangan normal rata-rata (N/mm2 = MPa) Fn = gaya normal yang bekerja (N) A = luas bidang (mm2) i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z
    • Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagai  F (1b) τ ij = t , i≠ j A τ ij = tegangan geser rata-rata (N/mm = MPa) 2 Ft = gaya tangensial atau sejajar bidang yang bekerja (N) A = luas bidang (mm2) i, j = x, y, zBila bidang yang menerima pembebanan tersebut dipersempit sampaiakhirnya mendekati nol, dalam artian limit maka akan didapat teganganpada suatu titik. Sehingga secara matematis tegangan normal padasuatu titik dapat dinyatakan ∆ Fn d Fn σ ij = lim = i=j (2a) ∆A → 0 ∆A dA
    • Sedangkan tegangan geser pada suatu titik, secara matematis dapat  dinyatakan sebagai ∆ Ft d Ft τ ij = lim = , i≠ j (2b) ∆A → 0 ∆A dA  1.2. Regangan
    • Seperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensor  derajat dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya. Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah e xx , eyy , ezz , gxy , gyx , gxz , gzx , gyz , dan gzy , sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.2(a). Regangan juga dapat diklasifikasikan menjadi dua, yakni regangan normal, dengan notasi eij , i = j, serta regangan geser dengan simbul γij , . Sebagaimana dengan tegangan, gxy = gyx , gxz = gzx dan gyz = gzy , maka keadaan regangan ruang pada suatu titik dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni exx , eyy , ezz , gxy , gyz , gzx. Sedangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan dengan 22 komponennya, dan karena gij = gji maka regangan bidang pada suatu titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen, Gambar 1.2(b).
    •   Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan   ∆ li ui ε ij = = , i=j (3) li li
    •   ε ij = regangan normal rata-rata ∆l = u = perubahan panjang pada arah (mm) l = panjang awal pada arah (mm) i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z. Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial.Regangan geser bernilai positif bila sudut pada kuadran I dan ataukuadran III pada sistem koordinat sumbu silang mengecil, Gambar1.3(a), sedangkan selain itu bernilai negatif.1.3. Transformasi Tegangan Bidang  Tegangan dapat ditransformasi dari suatu set sumbu koordinat keset sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari setsumbu koordinat pada suatu titik yang memberikan tegangan utamadari kondisi tegangan yang telah diketahui di titik itu. Yang dimaksuddengan tegangan utama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidaknol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol. Dengan demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari sistemkoordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.4(a), ke sistem koordinatpolar (r, q, z), Gambar 1.4(b).
    •   Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan gaya- gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar 1.5(b) berikut.
    • Σ Fx = 0σ x x . A − ( τ xy . A sin θ) cos θ − (σ yy . A sin θ) sin θ − ( τ xy . A cos θ) sin θ −( σ xx . A cos θ) cos θ = 0σ xx = σ xx cos2 θ + σ yy sin2 θ +2 τ xy sin θ cos θ  (1.4a)
    • Dengan memasukkan harga (90o + θ) untuk harga θ padapersamaan (1.4a), sehingga dengan identitas-identitas:cos (9 0 + θ) = (cos9 0 cos θ − sin 9 0 sin θ ) = si n θ 2 o o o 2 2sin ( 9 0o + θ ) = (sin 9 0o cos θ + cos 9 0o sin θ ) 2 = co s2 θ 2sin(9 0o + θ) cos(9 0o + θ) = (sin 9 0o cos θ + cos 9 0o sin θ)(cos 9 0o cos θ − sin 9 0o sin θ) = − sin θ cosθakan didapat σ y y = σ yy cos2 θ + σ xx sin2 θ −2 τ xy sin θ cos θ (1.4b)Σ Fy = 0τ x y . A + ( τ xy . A sin θ) sin θ − (σ yy . A sin θ) cos θ − ( τ xy . A cos θ) cos θ +( σ xx . A cos θ) sin θ = 0τ x y = τ xy (cos2 θ − sin 2 θ) − ( σ xx − σ yy) sin θ cos θ (1.4c)
    • Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c) bisaditulis σ xx + σ yy σ xx − σ yy (1.5a) σ x x = + cos 2θ + τ xy sin 2θ 2 2  σ xx + σ yy σ xx − σ yy σ yy = − cos 2θ − τ xy sin 2θ (1.5b) 2 2  σ xx − σ yy τ x y =− sin 2θ + τ xy cos 2θ (1.5c) 2 1.4. Transformasi Regangan Bidang Perhatikan Gambar 1.6(a) pada halaman berikut. Elemen OABCpada keadaan awal tanpa beban, lalu mengalami deformasi dandistorsi menjadi O’A’B’C’ akibat mendapat beban s xx , syy dan txy.Analisis transformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar 1.6(b, c,d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangannormal arah sumbu y serta regangan geser pada bidang xy. DariGambar 1.6(b) didapat
    • dx dy dx = = , ∆ x1 = ∆x.cos θ , cos θ sin θDari Gambar 1.6(c) akan didapat ∆ x2 = ∆y.sin θ,Dan dari Gambar 1.6(d) diperoleh ∆ x 3 = γ xy . dy.cos θ ,
    •   Dengan demikian total perubahan panjang dx’ akibat adanya regangan pada sistem koordinat awalnya adalah   ∆x’ = ∆x1’ + ∆x2’ + ∆x3’ Sedangkan
    • ∆x ∆x.cos θ ∆y.sin θ γ xy . dy.cos θ ε x x = = + +  dx dx dy dy cos θ sin θ sin θSehingga ε x x = ε xx . cos2 θ + ε yy . sin2 θ + γ xy .cos θ.sin θ (1.6a) Selanjutnya, εy’ dapat diperoleh dengan mensubstitusikan harga (90 o +θ) untuk harga θ pada persamaan (1.6) di atas, kemudian menerapkanidentitas trigonometri. Sehingga akan didapatε y y = ε xx . cos2 (9 0o + θ) + ε yy . sin2 (9 0o + θ) + γ xy .cos(9 0o + θ).sin(9 0o + θ)ε y y = ε yy . cos2 θ + ε xx . sin2 θ − γ xy .cos θ.sin θ (1.6b)  Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar1.7 di bawah. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal iniperubahan regangan geser oleh masing-masing regangan yang terjadiditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua olehsumbu y menjadi dx1 dan dx2.
    •   d x1 dy dx2 dy  Dari Gambar 1.7 didapat d y1 = = dan d x2 = = sin θ cos θ cos θ sin θ Selanjutnya perhatikan Gambar 1.7(a), akibat terjadinya deformasi normal pada arah sumbu x saja. AD − ∆ x1 .cos θ − ∆ x1 γ 1a = = = sin θ.cos θ = − ε xx .sin θ.cos θ dy 1 d x1 d x1 sin θ CE − ∆ x 2 .sin θ − ∆ x 2 γ 1b = = = sin θ.cos θ = − ε xx .sin θ.cos θ dx 2 d x2 d x2 cos θ γ x y 1 = γ 1a + γ 1b = −2 ε xx .sin θ.cos θ
    •   Gambar. 1.7. Transformasi Regangan Geser   Akibat deformasi normal arah sumbu y saja seperti ditunjukkan pada Gambar 1.7(b) akan diperoleh
    • AD ∆y.sin θ ∆y γ 2 a = = = .sin θ.cos θ = ε yy .sin θ.cos θ dy 1 dy dy  cos θ CE ∆y.cos θ ∆y γ 2 b = = = .sin θ.cos θ = ε yy .sin θ.cos θ dx 2 dy dy sin θ γ x y 2 = γ 2 a + γ 2 b = 2ε yy .sin θ.cos θ Sedangkan dari Gambar 1.7(c), akibat terjadinya regangan geser saja, akan didapat A D AA .cosθ γ xy . dy γ 3a = = = . cos2 θ = γ xy . cos2 θ d y 1 dy dy cos θ CE CC .sin θ γ xy . dy γ 3b = = =− . sin2 θ = − γ xy . sin2 θ d x 2 dy dy sin θ γ x y 3 = γ 3a + γ 3b = γ xy (cos2 θ − sin2 θ)
    • Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada setsumbu koordinat yang baru, sebagai berikutγ x y = γ x y 1 + γ x y 2 + γ x y 3 = −( ε xx − ε yy) sin θ.cos θ + γ xy (cos2 θ − sin 2 θ) ...(1.6c)Selanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri persamaan-persamaan (1.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut = (ε xx + ε yy ) + (ε xx − ε yy ) cos 2θ + γ xy .sin 2θ (1.7a) ε xx 2 2 2 ( ε xx + ε yy ) (ε xx − ε yy ) γ xy ε yy = cos 2θ + − .sin 2θ (1.7b) 2 2 2 γ xy (ε xx − ε yy ) γ xy ε x y = =− sin 2θ + .cos 2θ (1.7c) 2 2 2
    • 1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress and Strain)serta Tegangan dan Regangan Geser Maksimum Tegangan Utama (Principal Stress) dan Tegangan Geser Maksimum Tegangan Utama (principal stress) adalah tegangan normalyang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yangmenghasilkan tegangan geser nol. Tegangan-tegangan tersebutditunjukkan sebagai s1 dan s2 pada Gambar 1.10. Perlu dicatatbahwa s1 selalu diambil lebih besar dari s2. Sudut transformasi yangmenghasilkan tegangan utama tersebut dengan sudut utama (principalangle). Secara analitik, besar tegangan utama dan sudut utama dapatditurunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c). Menurut pengertian tentang tegangan utama, dari persamaan(1.5c) akan didapat σ xx − σ yy 0=− .sin 2θ + τ xy .cos 2θ 2
    • atau    sin 2 θ p 2 τ xy = tan 2 θ p = (1.8) cos 2 θ p σ xx − σ yy   Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di atas ke persamaan (1.5a) akan didapat
    • 2 σ xx + σ yy σ xx − σ yy σ xx − σ yy 2 τ xy σ x x = + + 2 2 2 ( σ xx − σ yy ) + 4 τ xy 2 2 ( σ xx − σ yy ) + 4 τ xy 2 σ xx = σ xx + σ yy 2 + 1 2 2. (σ xx − σ yy ) + 4 τ xy 2 { 2 ( σ xx − σ yy ) +4 τ xy 2 }Sehingga  σ xx = σ xx + σ yy 1 2 + 2. { 2 (σ xx − σ yy ) +4 τ xy } 2Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap persamaan(1.5b), akan didapat σ yy = σ xx + σ yy 1 2 − 2. { 2 (σ xx − σ yy ) +4 τ xy } 2Dengan mengingat bahwa secara matematik haruslah σ1 > σ2 , makakedua persamaan tersebut di atas dapat dituliskan menjadi satu dengan
    •       σ 1, 2 = σ xx + σ yy 1 2 ± 2. { } (σ xx − σ yy ) 2 +4 τ xy 2 (1.9) Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c). Untuk suatu titik dan jenis pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi, harga-harga σxx , σyy dan τxy adalah tetap atau konstan, sehingga τx’y’ merupakan suatu fungsi θ, atau τx’y’ = f(θ). Harga ekstrim fungsi tersebut akan diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut terhadap θ sama dengan nol. Jadi dτ x y σ xx − σ yy =− .sin 2θ + τ xy .cos 2θ = 0 dθ 2 atau   sin 2 θ max σ xx − σ yy = tan 2 θ max = − (1.10) cos 2 θ max 2 τ xy   Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya sebagai berikut:
    •   Dengan substitusi harga-harga sin 2θ dan cos 2θ pada gambar di atas ke persamaan (1.5c) akan didapat 2 σ xx − σ yy − ( σ xx − σ yy ) 2 τ xy τ xy =− + 2 2 ( σ xx − σ yy ) + 4 τ xy 2 2 ( σ xx − σ yy ) + 4 τ xy 2 = 1 2 2. (σ xx − σ yy ) + 4 τ xy 2 { 2 ( σ xx − σ yy ) +4 τ xy } 2
    • Sehingga     τ x y =   1 2. { 2 ( σ xx − σ yy ) +4 τ xy 2 } Persamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di depan sudut 2θ adalah (σxx − σyy) dan panjang sisi di sampingnya adalah -2τxy. Kondisi ini akan memberikan τ x y =− 1 2. { (σ xx − σ yy ) 2 +4 τ xy 2 } Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi satu sebagai τ max =± 1 2. { 2 (σ xx − σ yy ) +4 τ xy } 2 (1.11)   Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum
    • Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan  utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan setengah regangan geser nol. Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai ε1 dan ε2 pada Gambar 1.11. Demikian juga, ε1 selalu diambil lebih besar dari ε2 , serta sudut transformasinya juga disebut sudut utama (principal angle). Secara analitik, dengan penerapan prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk persamaan- persamaan (1.7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil berikut. sin 2 θ p γ xy = tan 2 θ p = (1.12a) cos 2 θ p   ε xx − ε yy ε1,2 = ε xx + ε yy 1 2 ± 2. { ( ε xx − ε yy ) + γ xy 2 } 2 (1.12b) qp = sudut utama e1,2 = regangan-regangan utama gxy = 2exy = regangan geser
    • sin 2 θ max ε xx − ε yy = tan 2 θ max = − (1.13a) cos 2 θ max γ xy   γ max 2 =± 1 2. { (ε xx − ε yy ) + γ xy 2 } 2 (1.13b) θmax = sudut regangan geser maksimum γxy = 2εxy = regangan geser1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang  Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, OttoMohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasitegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan tiga dimensimaupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaransumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu padalingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalahmenunjuk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari titik A, positif bilaberlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. Pada bagianini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan danregangan dua dimensi.
    • Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang σx + σy  Pada persamaan (1.5a), bila suku dipindahkan ke ruas 2 kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat 2 2  σ x+σ y   σ x−σ y   co s 2θ + τ xy si n 2θ + ( σ x − σ y) τ xy sin 2θ cos 2θ 2  σx −  = 2 2  2   2  ………(1.14a) Sedangkan pada persamaan (1.5c), bila dikuadratkan akan didapat 2    σx −σ y   si n 2θ − ( σ x − σ y) τ xy sin 2θ cos 2θ 2 2 τ x y = τ xy co s 2θ +  2 2  2  ………(1.14b)  Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b) menghasilkan 2 2  σ x+σ y  2  σ x −σ y  2  σ x −  + τxy =   + τ xy  2   2  (1.15) Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang pusatnya di dengan jari-jari . Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.8 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut:
    • 1. Buatlah sumbu σij , horisontal.  2. Periksa harga tegangan normal, σxx atau σyy , yang secara matematis lebih kecil. Bila bernilai negatif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukis, sedangkan bila positif maka titik yang mendekati batas kiri adalah titik σij = 0. 3. Periksa harga tegangan normal, σxx atau σyy , yang secara matematis lebih besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis, sedangkan bila negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah titik σij = 0. 4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai dengan skala yang telah ditentukan.
    • 5. Tentukan letak titik-titik σij = 0 dan sumbu τ, serta σij terkecil  dan σij terbesar bila belum terlukis pada sumbu σij . 6. Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar sehingga diperoleh pusat lingkaran, P. 7. Tentukan letak titik A pada koordinat (σij terbesar , τxy ). 8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan jari-jari PA. 9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (σij terkecil , τxy ). Garis AB menunjukkan sumbu asli, θ = 0, elemen tersebut. Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani, menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa, tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada bidang tersebut sebesar 120 MPa.
    • Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr.  b. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10). c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas. d. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan (1.8). e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.
    • Penyelesaian: a. Lingkaran Mohr:  1) Buat sumbu sij , horisontal. 2) Tegangan normal terkecil, syy = -40 MPa, negatif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kiri. 3) Tegangan normal terbesar sxx = 280 MPa, positif, sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian ditentukan titik s yy = - 40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa di sebelah kanan yang berjarak (sxx + syy) dari titik syy di sebelah kiri. 5) Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan titik s yy . 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak syy ke sxx akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (sxx , txy ) = (280,120). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran
    •   Gambar 1.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang   b. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat θmax = 0,5 x 2 θmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2θmax = − (280 + 40) / (2 x 120) = − 4/3 2θmax = − 53o 08’ atau θmax = − 26o 34’
    • c. Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr τmax = 5 x 40 MPa = 200 MPa.  Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat d. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat θp = 0,5 x 2θp = 0,5 x 37o = 18o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2θp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4 2θp = − 36o 52’ atau θmax = − 18o 26’ e. Besar tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohr σ1 = 8 x 40 MPa = 320 MPa. σ2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa. Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat 280 − 40 1 σ1 = + ( 280+ 40) 2 2 + 120 = 320MPa 2 2 280 − 40 1 σ2 = − ( 280+ 40) 2 + 1202 = −80 MPa 2 2
    • Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang ε xx + ε yyPada persamaan (1.7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri 2dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat  2 2 2 ε xx + ε yy   ε xx − ε yy   γ xy   γ xy  ε x x − 2   =  2   cos 2θ +  2  2  2 ( )  sin 2θ + ε xx − ε yy   2   sin 2θ cos 2θ ………(1.16a)Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan didapat  γ  2  γ  2 2 γ x y  ε xx − ε yy   x y  =  xy  cos2 2θ +   2   2   2   sin 2 2θ − ( ε xx − ε yy 2 )sin 2θ cos 2θ     ………(1.16b) Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b) menghasilkan
    • 2 2 2 2  ε xx + ε yy   ε x y   ε xx − ε yy   ε x y  (1.17)  ε x x −  +  =  +    2   2   2   2  γ Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang ε 2 2  ε xx − ε yy  2  ε xx − ε yy   γ xy  yang pusatnya di  ,0 dengan jari-jari   +   2   2   2  Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.9 di bawah ini, yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuk tegangan dengan mengganti σxx , σyy dan τxy berturut-turut menjadi εxx , εyy dan γxy / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2 pada halaman 21. 1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan   Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan antara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas proporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi regangan spesifik.
    • Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum  Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut: 1 ε xx = E ( σ xx − ν σ yy − ν σ zz) 1 ε yy = ( σ yy − ν σ xx − ν σ zz) (1.18) E 1 ε zz = ( σ zz − ν σ xx − ν σ yy ) E Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada deformasi geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya adalah: τ xy ( 1 + ν) τ xy γ xy ε xy = = = 2 2G E γ τ = xz = xz = ( 1 + ν) τ xz (1.19) ε xz 2 2G E γ yz τ yz ( 1 + ν) τ yz ε yz = = = 2 2G E
    • Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila regangan  normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui, digunakan persamaan-persamaan: σ xx = E ( 1 + ν)( 1 − 2 ν) { ( 1 − ν) ε xx + ν( ε yy + ε zz) } E σ yy = ( 1 + ν)( 1 − 2 ν) { ( 1 − ν) ε yy + ν( ε xx + ε zz) } (1.20) σ zz = E ( 1 + ν)( 1 − 2 ν) { ( 1 − ν) ε zz + ν( ε xx + ε yy ) } Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke adalah: E E τ xy = ε xy = γ xy = G γ xy 1+ ν 2( 1 + ν) E E τ xz = ε xz = γ xz = G γ xz 1+ ν 2( 1 + ν) (1.21) E E τ yz = ε yz = γ yz = G γ yz 1+ ν 2( 1 + ν)
    • Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga  diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi yang dimaksud. Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengan sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka perbanding-an Poisson, n = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan, G = E / 2(1 + n). Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terjadi. b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi. c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10). d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas.
    • e. Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil ini dengan persamaan(1.8). f. Besar regangan-regangan utama menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan- persamaan (1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.Penyelesaian:a) Dari persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat: 1 ε xx = ( 280 + 0,29.40 − 0,29.0) = 0,001458 = 1458µε 200000 1 ε yy = ( −40 − 0,29.280 − 0,29.0) = −0,000606 = −606µε 200000 γ xy ( 1+ 0,29 ) .120 ε xy = = = 0,000774 = 774 µε atau γ xy = 1548µε 2 200000b. Lingkaran Mohr: 1) Buat sumbu eij horisontal. 2) Regangan normal terkecil, eyy = -606me, sehingga merupakan titik di dekat batas kiri.
    • 3) Regangan normal terbesar exx = 1458me, sehingga  merupakan titik di dekat batas kanan. 4) Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian ditentukan titik eyy = -606me di sebelah kiri, exx = 1458me di sebelah kanan dan berjarak (exx + eyy) dari titik eyy di sebelah kiri. 5) Lukis sumbu t yang berjarak 606me di sebelah kanan titik eyy . 6) Dengan membagi dua sama panjang jarak eyy ke exx akan didapat titik P. 7) Menentukan letak titik A pada koordinat (exx , exy ) = (1458,774). 8) Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis. 9) Dengan menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan di dapat kedudukan titik (e yy , exy ) = (-606,-774).
    •  
    • c. Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat  θmax = 0,5 x 2 θmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2θmax = − (1458 + 606) / (2 x 774) = − 4/3 2θmax = − 53o 08’ atau θmax = − 26o 34’   d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr εxy-max = 5,2 x 250µε = 1300µε. Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat γ max 1 = ε xy − max = ± (1458 + 606)2 +1548 2 = ±1290µε 2 2 e. Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur, didapat θp = 0,5 x 2θp = 0,5 x 37o = 18o 30’. Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapat tan 2θp = (2 x 120) / (280 + 40) = 3/4 2θ = − 36o 52’ atau θ = − 18o 26’
    • f. Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohrε1 = 6,9 x 250µε = 1725µε.ε2 = -3,5 x 250µε = -875µε Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat 1458 − 606 1 ε1 = + ( 1458+ 606) 2 +15482 = 1716µε 2 2 1458 − 606 1 ε2 = − ( 1458+ 606) 2 +15482 = −864 µε 2 2