Análisis de redes comercio mediante procesos de consenso
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Análisis de redes comercio mediante procesos de consenso

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Trabajo final de máster. Máster en física de sistemas complejos (UPM). Extensión del algoritmo de consenso de Olfati y Murray para incluir redes dinámicas. Aplicación al cálculo de precios en redes......

Trabajo final de máster. Máster en física de sistemas complejos (UPM). Extensión del algoritmo de consenso de Olfati y Murray para incluir redes dinámicas. Aplicación al cálculo de precios en redes de exportadores

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  • 1. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso Miguel Rebollo Dirigida por: Javier Galeano y Rosa M. Benito Trabajo Final de Máster Máster en Física de Stmas. Complejos Univ. Politécnica de Madrid Septiembre, 2013 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 2. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Contenidos 1 Introducción 2 Procesos de consenso en redes 3 Consenso en redes dinámicas 4 Caso de estudio: Comtrade 5 Conclusiones @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 3. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Consenso ¿qué es el consenso? @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 4. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Consenso ¿para qué sirve? @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 5. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Algoritmo de consenso 1. cada nodo tiene un valor inicial 1 2 3 4 x1 = 0.4 x2 = 0.2 x3 = 0.3 x4 = 0.9 x1 = 0.4 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 6. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Algoritmo de consenso 2. pasa su valor a sus vecinos 1 2 3 4 x1 = 0.4 x2 = 0.2 x3 = 0.3 x4 = 0.9 x1 = 0.4 x1 = 0.4 x1 = 0.4 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 7. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Algoritmo de consenso 3. recibe los valores de los vecinos 1 2 3 4 x1 = 0.4 x2 = 0.2 x3 = 0.3 x4 = 0.9 x2 = 0.2 x4 = 0.9 x3 = 0.3 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 8. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Algoritmo de consenso 4. calcula el nuevo valor con x(t+1) = x(t)+ε j∈Ni [xj(t) − xi (t)] < m«ıni 1 di 1 2 3 4 x1 = 0.45 x2 = 0.425 x3 = 0.325 x4 = 0.6 x1 = 0.4 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 9. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Proceso de consenso 0 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x = 0.45 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 10. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cálculo de valores agregados. Push-Sum Limitación del algoritmo de consenso: no funciona para valores agregados hay una familia de algoritmos (gossip) que lo hace el proceso de convergencia es más lento suelen introducir un elemento aleatorio Eliminar aletoriedad + fórmula matricial + combinación con consenso @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 11. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Algoritmo Push-Sum 1 Sean {(ˆsr , ˆwr )} todos los pares enviados a i en el paso t − 1 2 si (t) ← r ˆsr 3 wi (t) ← r ˆwr 4 se escoge un destino fi (t) al azar de manera uniforme 5 se envía el par 1 2 si (t), 1 2 wi (t) a fi (t) y a i (sí mismo) 6 si (t) wi (t) es el valor estimado para el paso t @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 12. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Eliminar componente aleatorio de Push-Sum Repartir el valor de un nodo entre TODOS los vecinos si (t + 1) = si (t) di + 1 + j∈Ni sj(t) dj + 1 La velocidad de convergencia es equivalente al modelo original @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 13. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Formulación matricial La fórmula de Push-Sum es equivalente a G = (I + A)(I + D)−1 Con lo que puede calcularse como s(t + 1) = Gs(t) w(t + 1) = Gw(t) Que converge a l«ım t→∞ s(t) w(t) = i s(0) N , l«ım t→∞ s(t) w(t) = i s(0) @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 14. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Consenso usando Push-Sum 0 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 iter x @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 15. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Combinación Push-Sum + consenso. PageRank Supongamos que queremos usar el valor de PageRank como peso PRi = 1 − d N + d j∈Mi PRj Li Problema: N es el tamaño de la red ¿cómo se obtiene? @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 16. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Combinación Push-Sum + consenso. PageRank Algoritmo s = 1, w = 0, w1 = 1 repetir s = Gs, w = Gw hasta que N = s/w converge PRi = 1/N repetir PRi = 1−d N + d j∈Mi PRj Li hasta que PR se estabiliza repetir xi = xi + ε PRi j∈Ni (xj − xi ) hasta que x converge @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 17. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Problemática con el consenso El proceso de consenso asume que la red permanece invariable mientras se completa cambios en los valores de los nodos cambios en los pesos inserción/borrado de nodos valor global del factor de aprendizaje ε cambios en ε por cambios estructurales @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 18. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Idea central Conservación de la suma s = i xi (0) = i xi (t) ∀t los cambios dinámicos alteran la suma buscamos correcciones locales a esas desviaciones expresión como matrices de transformación @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 19. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cambio en el valor inicial Es el caso más simple xi (0) pasa a zi (0) zi (t) = xi (t) + (zi (0) − xi (0)) @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 20. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cambio en los pesos El consenso pesado sigue la fórmula xi (t + 1) = xi (t) + ε wi j∈Ni [xj(t) − xi (t)], ε < m«ın wi di No se puede anular la influencia de i en sus vecinos con el peso anterior wi zi (t) = xi (t) + (vi − wi ) [xi (0) − xi (t)] vi O su expresión matricial Tw = (v − w)(x0 − x)v−1 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 21. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Inserción y borrado de nodos La inserción es trivial: basta con añadir el nuevo nodo y comenzará a actualizarse Problema En el modelo matricial, afecta a la matriz de adyacencia, luego la L y P también se ven afectadas Borrado: Para que se conserve la suma hay que devolver a la red el excedente xi (0) + j∈Ni xi (t) − xi (0) di o de forma matricial Td = xi (t) − xi (0) di Ai @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 22. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cambio en el factor de aprendizaje Estimación inicial Problema El algoritmo de consenso asume la existencia de un ε global Puede resolverse haciendo previamente un consenso por mínimos εi (t + 1) = m«ın εi (t), m«ın j∈Ni εj(t) O en su expresión matricial E = diag m«ın j E(I + A) como fase previa al consenso @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 23. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cambio en el factor de aprendizaje Corrección por cambios ¿Qué ocurre si cambios estructurales o de peso de los nodos hacen que ε no sea válido? El algoritmo no converge Es un problema crítico si no se corrigen las desviaciones anteriores converge a un valor distinto a la media si no se corrige el cambio en ε el algoritmo no acaba nunca @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 24. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cambio en el factor de aprendizaje Corrección por cambios Solución semejante a la usada en los pesos xi (t + 1) = xi (t) + 1 wi j∈Ni ε[xj(t) − xi (t)] xi (t + 1) = xi (t) + ε j∈Ni 1 wi (t) [xj(t) − xi (t)] Lo que nos lleva a corregirlo como z(t) = x(t) + 1 ei − 1 εi [xi (0) − xi (t)] 1 ei O con mla expresión matricial Te = (I − DE D−1 E )(x0 − x) @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 25. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cálculo de volumen de exportaciones ¿Que hay en Comtrade? Información sobre transacciones comerciales entre países, desglosadas por tipos de productos. desde 2010 incluye información mensual datos: exportación de vino entre 2010 y 2012 Objetivo Usar consenso para poder obtener la misma información de forma descentralizada @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 26. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Características de la red 287 países 5.582 transacciones (enlaces) 4.519 transacciones útiles densidad de enlaces del 5,58 % grado medio 15,74 grado máximo 202 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 27. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Características de la red 0 50 100 150 200 250 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Partner Reporter Wine Trade Export 2010−2012 5 10 15 20 25 30 35 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 28. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cálculo del valor medio 0 20 40 60 80 100 0 500 1000 1500 2000 2500 Consenso sobre el precio (100 iteraciones) 0 200 400 600 800 1000 0 500 1000 1500 2000 2500 iter precio Consenso sobre el precio (1000 iteraciones) @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 29. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Cálculo del valor medio ponderado 0 20 40 60 80 100 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Consenso sobre el precio pesado (100 iteraciones) 0 200 400 600 800 1000 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 iter precio Consenso sobre el precio pesado (1000 iteraciones) @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 30. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Consenso incremental con corrección 0 20 40 60 80 100 120 0 1 2 3 4 5 x 10 6 precio iter Exportaciones 2010−01 a 2010−02 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 31. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Consenso sobre los datos globales 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 x 10 6 precio iter Exportaciones 2010−01 a 2010−02 @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 32. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Interrupción antes de estabilizarse 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 x 10 6 Exportaciones 2010−01 a 2010−02 iter precio @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 33. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Conclusiones formulación matricial de Push-Sum combinación con consenso corrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios de valores, pesos y estructura ajuste del factor de aprendizaje ε aplicación a Comtrade como caso de estudio @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 34. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Trabajos futuros estudio teórico de la convergencia extensión a redes dirigidas extensión a modelos multivariable aplicación en redes multiplex @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso
  • 35. Introducción Procesos de consenso Redes dinámicas Caso de estudio: Comtrade Conclusiones Conclusiones formulación matricial de Push-Sum combinación con consenso corrección de desviaciones para redes dinámicas: cambios de valores, pesos y estructura ajuste del factor de aprendizaje ε aplicación a Comtrade como caso de estudio @mrebollo MFSC. UPM Análisis de redes de comercio mediante procesos de consenso