Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
Introducción             Ecuación logística            Puntos de mezcla             Polinomios críticos          Conclusio...
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Identificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística

  1. 1. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones Identificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística Miguel Rebollo Taller de Caos Máster en Física de Stmas. Complejos Univ. Politécnica de Madrid Enero, 2012@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  2. 2. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesIntroducción Además de las bifurcaciones, el los mapas de sistemas dinámicos discretos aparecen otros puntos que son importantes en el estudio del comportamiento de los sistemas punto de Feigenbaum-Myrberg: punto de acumulación de los desdoblamiento de periodo 1,2,4,8,. . . punto de Misiurewicz: puntos en los que cambia el perido puntos vacíos o puntos de mezcla Objetivo En este trabajo se estudian los puntos de mezcla y cómo calcularlos a partir de sistemas de polinomios@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  3. 3. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesContenidos 1 Introducción 2 Ecuación logística 3 Bifurcaciones inversas y puntos de mezcla 4 Identificación de los puntos de mezcla mediante polinomios críticos 5 Conclusiones@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  4. 4. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesMapas logísticos Modelo de crecimiento de poblaciones creado por Verhulst (1845) xn+1 = r · xn (1 − xn ) múltiples aplicaciones en diversos campos interés por el comportamiento caótico que emerge a partir de ciertos valores del parámetro r@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  5. 5. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesPuntos de mezcla en el digrama de bifurcación@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  6. 6. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesHistograma de bifurcación En el punto que pasa de una órbita de periodo 6 a una de perido 3 las barras están agrupadas por parejas@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  7. 7. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesIdentificación de puntos vacíos Cuando r = 4 los puntos se distribuyen por toda la banda. A partir de r = 3,6785 . . . esta banda se desdobla en 2. Puede verse el hueco en la serie temporal y en el histograma@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  8. 8. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesPolinomios críticos Definition (Polinomios críticos (Zeng et al., 1984)) Sea un mapa unidimensional xn+1 = f (r , xn ) y x0 un punto inicial que produce órbitas superestables. Los polinomios críticos son un sistema de polinomios de la forma Pn+1 = f (r , Pn ) En el caso del mapa logístico Pn+1 = rPn (1 − Pn ) P0 = 1/2 P1 = r 1/2(1 − 1/2) = r /4 P2 = r · r /4(1 − r /4) = r 2 (1 − r /4)/4 = r 2 /4 − r 3 /16 P3 = . . .@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  9. 9. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesPuntos de mezcla como cruces de los polinomios críticos@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  10. 10. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesSuperposición de los polinomios críticos@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  11. 11. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesCálculo de los puntos de mezcla Puntos de mezcla en la intersección de 2 polinomios Los puntos de mezcla se encuentran en la intersección de al menos 2 polinomios críticos Pi y Pj . Para hallarlos, basta con calcular las raíces de Pi − Pj = 0, siendo Pi el polinomio de mayor grado Por ejemplo, en la figura, el punto de mezcla de la banda caótica de periodo 1 con la banda caótica de periodo 2 se encuentra en la primera intersección entre P3 y P4 .@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  12. 12. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesAproximación al diagrama de bifurcación Si aumentamos el número de polinomios obtenemos un diagrama semejante al de bifurcación (imagen generada con 500 polinomios)@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  13. 13. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesAproximación al diagrama de bifurcación@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística
  14. 14. Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos ConclusionesConclusiones Los puntos de mezcla tienen propiedades interesantes en el estudio de las bifurcaciones los puntos de mezcla son intersecciones de dos o más polinomios críticos hallar los puntos de mezcla es equivalente a obtener las raíces de un polinomio inconveniente: el grado de dichos polinomios crece muy rápidamente (2n + 1)@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística

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