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    • Los presentes guiones sirven para el desarrollo del trabajo de laboratorio co-rrespondiente a la asignatura ”T´cnicas Experimentales B´sicas”, del 1er curso de e ala Licenciatura de Ciencias F´ ısicas. Se han elaborado en el Departamento de F´ ısica Aplicada de la Universidad deGranada, est´n basados en versiones anteriores existentes en el Departamento y, aasimismo, contienen nuevas pr´cticas de laboratorio. a Los profesores que han participado en la elaboraci´n de estos guiones pr´cticas o ahan sido: Cabrerizo V´ ılchez, Miguel Callejas Fern´ndez, Jos´ a e Castor D´ Yolanda ıez, Esteban Parra, Mar´ Jos´ ıa e Foyo Moreno, Inmaculada a e ´ Hern´ndez Andr´s, Javier (Dpto. Optica) Kowalski, Andrew (Coordinador del Laboratorio) Mart´ P´rez, Jos´ Antonio ın e e Mart´ınez Garc´ Rafael ıa, Mart´ınez L´pez, Francisco (Coordinador de la edici´n) o o Morente Chiquero, Juan Antonio Olmo Reyes, Francisco Jos´ e Port´ Dur´n, Jorge Andr´s ı a e Schmitt, Artur Vida Manzano, Jer´nimoo
    • ´Indice general ´TECNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO 1 ´0. ESTUDIO DEL PENDULO: MEDIDA DE g 111. LEYES DE NEWTON 152. CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS 193. MOMENTO DE INERCIA DE UN VOLANTE 23 ´4. CONSTANTE ELASTICA DE UN MUELLE 27 ´5. PENDULO DE KATER 31 ´6. ELASTICIDAD: FLEXION DE UNA BARRA 33 ´ ´7. PENDULO DE TORSION 37 ´ ´8. DETERMINACION DE DENSIDADES DE LIQUIDOS Y SOLIDOS 41 ´9. MEDIDA DE LA VISCOSIDAD POR EL METODO DE STOKES 47 ´ ´10.TERMOMETRO DE GAS A PRESION CONSTANTE 5111.EQUIVALENTE EN AGUA DE UN CALOR´ IMETRO 5512.CALOR DE FUSION DEL HIELO Y CALOR ESPEC´ ´ ´ IFICO DE SOLIDOS 5713.LEY DE BOYLE 6114.VELOCIDAD DEL SONIDO EN EL AIRE 65 ´ ´ ´15.ONDAS ACUSTICAS: INTERFERENCIA, REFLEXION Y DIFRACCION 69 ´16.ONDAS MECANICAS MONODIMENSIONALES 7717.LEY DE OHM 7918.LEYES DE KIRCHHOFF. PUENTE DE WHEATSTONE. 8719.CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR 9520.MEDIDA DE RESISTIVIDADES DE MATERIALES 9921.MANEJO DEL OSCILOSCOPIO 103 i
    • ii22.CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 113 ´23.CAMPOS MAGNETICOS EN LAS PROXIMIDADES DE CONDUCTO- RES 11924.MARCHA DE RAYOS 12325.LENTES Y SISTEMAS DE LENTES 127 ´26.DIFRACCION DE FRAUNHOFER 133Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • ´TECNICAS AUXILIARES DELABORATORIOERRORES Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una imprecisi´n inherente al proceso de omedida. Puesto que en ´ste se trata, b´sicamente, de comparar con un patr´n y esta comparaci´n e a o ose hace con un aparato (por simple que sea -una regla, por ejemplo- podemos incluirlo en ladenominaci´n generalizada de “aparato”), la medida depender´ de la m´ o a ınima cantidad que aquelsea capaz de diferenciar. Y esta cantidad va decreciendo con el progreso de la f´ ısica en un procesocontinuado, pero sin fin aparente. Es decir, que, aunque cada vez podamos dar la medida conm´s “decimales”, el siguiente “decimal” no podr´ saberse ... por el momento. a a Por lo tanto, podemos decir que las medidas de la f´ ısica son siempre “incorrectas”. Dicho deuna manera m´s “correcta”: si llamamos error a la diferencia que existe entre la medida y el avalor “verdadero” de la magnitud, siempre existir´ este error. Es, lo que podr´ a ıamos llamar un“error intr´ ınseco”, por inevitable. Pero, el valor de las magnitud f´ısicas se obtiene, como hemos indicado, experimentalmente. Esdecir, por medici´n, bien directa de la magnitud cuyo valor deseamos conocer o bien indirecta por omedio de los valores de otras magnitudes, ligadas con la magnitud problema mediante alguna leyo f´rmula f´ o ısica. Por lo tanto, debe de admitirse como postulado que, aparte del “error intr´ ınseco”que hemos se˜ alado anteriormente, el proceso experimental lleva en s´ otras imperfecciones que n ıhacen que resulte imposible (incluso si prescindi´ramos del “error intr´ e ınseco”) llegar a conocer elvalor exacto de ninguna magnitud f´ ısica, puesto que los medios experimentales de comparaci´n ocon el patr´n correspondiente en las medidas directas (las medidas “propiamente dichas”) viene osiempre afectado por imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible, en la pr´ctica, aencontrar el valor “verdadero” o “exacto” de una magnitud determinada, a los cient´ ıficos no lescabe duda de que existe; y nuestro problema consiste en establecer los l´ ımites dentro de los cualesestamos seguros de que se encuentra dicho valor (“cota de error”). ´CLASIFICACION DE LOS ERRORES El error se define, tal como hab´ ıamos dicho, como la diferencia entre el valor verdadero yel obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen est´ en am´ ltiples causas. u Atendiendo a las causas que lo producen, los errores se pueden clasificar en dos grandesgrupos: errores sistem´ticos y errores accidentales. a Se denomina error sistem´tico a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de amedida y, por tanto, afecta a todas las medidas de un modo definido y es el mismo para todasellas. Estos errores tienen siempre un signo determinado y las causas probables pueden ser: - Errores instrumentales (de aparatos); por ejemplo, el error de calibrado de los instrumentos. 1
    • 2 - Error personal: Este es, en general, dif´ de determinar y es debido a las limitaciones ıcil de car´cter personal. Como, por ejemplo, los errores de paralaje, o los problemas de tipo a visual. - Errores de m´todo de medida, que corresponden a una elecci´n inadecuada del m´todo de e o e medida; lo que incluye tres posibilidades distintas: la inadecuaci´n del aparato de medida, o del observador o del m´todo de medida propiamente dicho. e Se denominan errores accidentales a aquellos que se deben a las peque˜ as variaciones que naparecen entre observaciones sucesivas realizadas por el mismo observador y bajo las mismas con-diciones. Las variaciones no son reproducibles de una medici´n a otra y se supone que sus valores oest´n sometidos tan s´lo a las leyes del azar y que sus causas son completamente incontrolables a opara un observador. Los errores accidentales poseen, en su mayor´ un valor absoluto muy peque˜ o y si se rea- ıa, nliza un n´ mero suficiente de medidas se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. uY, aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valoresm´s concordantes con los reales, si pueden emplearse m´todos estad´ a e ısticos, mediante los cua-les se pueden llegar a algunas conclusiones relativas al valor m´s probable en un conjunto de amediciones. ´CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISION Y SENSI-BILIDAD En lo que se refiere a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamosa definir: exactitud, precisi´n y sensibilidad. o La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor “verdadero” y el expe-rimental. De manera que un aparato es exacto si las medidas realizadas con ´l son todas muy epr´ximas al valor “verdadero” de la magnitud medida. o La precisi´n hace referencia a la concordancia entre las medidas de una misma magnitud orealizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, una aparato ser´ preciso cuando ala diferencia entre diferentes mediciones de una misma magnitud sean muy peque˜ as. n La exactitud implica, normalmente, precisi´n, pero la afirmaci´n inversa no es cierta, ya que o opueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud, debido a errores sistem´ticos, acomo el “error de cero”, etc. En general, se puede decir que es m´s f´cil conocer la precisi´n de a a oun aparato que su exactitud (b´sicamente, debido a la introducci´n del t´rmino “verdadero”). a o e La sensibilidad de un aparato est´ relacionada con el valor m´ a ınimo de la magnitud que escapaz de diferenciar. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significaque, para masas inferiores a la citada, la balanza no acusa ninguna desviaci´n. Normalmente, se oadmite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la divisi´n m´s peque˜ a o a nde la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo err´neo, se toman como id´nticos los o econceptos de precisi´n y sensibilidad, aunque ya hemos visto que se trata de conceptos diferentes. o Lo que estamos hablando (y hablaremos todav´ un tiempo) de valores “verdaderos”, ıahabr´ que entenderlos como los que m´s tarde definiremos (b´sicamente, valores medios). a a aERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO Si medimos una cierta magnitud f´ısica cuyo valor “verdadero” es x0 , obteniendo un valor dela medida x, llamaremos error absoluto de dicha medida a la diferencia ∆x = x − x0 (1)en donde, en general, se supone que ∆x << |x0 |.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 3 El error absoluto nos da una medida de la desviaci´n, en t´rminos absolutos, respecto al o evalor “verdadero”. No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esadesviaci´n. Para tal fin, se usa el error relativo. o El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor “verdadero”: ∆x ε= (2) x0lo que, en forma porcentual se expresar´ como ε × 100 %. a Cuando indiquemos el resultado de una medida (o de un conjunto de medidas) de una mag-nitud, tendremos que indicar, siempre, el grado de incertidumbre de la misma, para lo cualacompa˜ amos el resultado de la medida de sus error absoluto; expresando el resultado as´ n ı x ± ∆x. (3) De ordinario, y dado el significado de la cota de imprecisi´n que tiene el error absoluto, este, odurante el transcurso de estas pr´cticas de laboratorio, no deber´ escribirse con m´s de una cifra a a asignificativa (admiti´ndose dos cifras si estas no sobrepasan 24, pero esto se quedar´ para cursos e aposteriores). Si el error se ha obtenido con m´s de una cifra, se deber´ a proceder a suprimir las a aposteriores, aumentando en una unidad la primera, si la segunda fuera 5 o mayor que 5. El valor de la magnitud debe de tener s´lo las cifras necesarias para que su ultima cifra o ´significativa sea del mismo orden decimal que la ultima del error absoluto, llamada cifra de ´acotamiento. Como ejemplo, damos las siguientes tablas de valores de distintas magnitudes (en la columnade la izquierda mal escritos y en la de la derecha correctos) para poner de manifiesto lo queacabamos de decir. Valores incorrectos Valores correctos 3, 418 ± 0, 123 3, 4 ± 0, 1 6, 3 ± 0, 09 6, 30 ± 0, 09 46288 ± 1551 (4, 6 ± 2) × 103 428, 351 ± 0, 27 428, 4 ± 0, 3 0, 01683 ± 0, 0058 0, 017 ± 0, 006Nota: Si un valor es le´ de una tabla o alg´n otro lugar (que no tengan ıdo uuna menci´n expresa del error cometido), se tomar´ como si todas sus o acifras fueran significativas. ´DETERMINACION DE ERRORES EN MEDIDAS DI-RECTAS Cuando realicemos la medida de cualquier magnitud, deberemos indicar siempre una estima-ci´n del error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor “verdadero” de la magnitud oque deseamos medir, habr´ que seguir ciertos procedimientos para hacer una estimaci´n, tan- a oto del valor “verdadero”, como de una cota de error, que nos indiquen la incertidumbre de lamedici´n realizada. o Distinguiremos dos casos bien diferenciados:(a) Si s´lo se puede realizar una sola medida, x, de la magnitud. o En este caso consideraremos que el error absoluto coincide con el valor absoluto de la sensibi-lidad (S) del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo, el resultado de la medidalo expresaremos as´ı: x±S (4)1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 4(b) Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud. Con el fin de alcanzar cierta validez estad´ ıstica en los resultados de las medidas, es muyconveniente repetir varias veces la determinaci´n del valor de la magnitud problema. Los resul- otados de las medidas individuales pueden presentarse poco o muy dispersas y, en funci´n de esta odispersi´n ser´ conveniente aumentar o no el n´ mero de mediciones de la magnitud. Para decidir o a uel n´ mero de determinaciones que hay que efectuar del valor de la magnitud f´ u ısica que deseamosmedir, seguiremos el siguiente procedimiento: Se realizan tres medidas de la magnitud (x1 , x2 y x3 ), se calcula el valor medio, x3 = ¯x1 +x2 +x3 3 , de las tres medidas y se halla su dispersi´n total,D; es decir, la diferencia entre los ovalores extremos de las medidas (valor m´ximo menos el valor m´ a ınimo). Finalmente, se obtieneel tanto por ciento de dispersi´n, T , que viene dado por: o D T = × 100 (5) x3 ¯(i) Ahora bien, puede suceder que el valor de la dispersi´n D no sea mayor que el valor de la osensibilidad del aparato de medida D ± S. (6)En este caso, tomaremos como estimaci´n del valor “verdadero” de la magnitud el valor medio ode las tres medidas, x3 , y como error absoluto la sensibilidad, es decir, ¯ x3 ± S ¯ (7)(ii) Ahora bien, si el valor de la dispersi´n D es mayor que la sensibilidad del aparato, o D>S (8)procederemos a aumentar el n´ mero de medidas de la magnitud. El criterio a seguir en esta uaumento viene condicionado por el valor del porcentaje dispersi´n T del modo indicado en la osiguiente tabla: T en las tres primeras medidas No total de medidas necesarias o T ≤ 2% Bastan las 3 medidas realizadas 2% < T ≤ 8% Hay que hacer 3 medidas m´s, hasta un total de 6 a 8 % < T ≤ 15 % Hay que hacer un total de 15 medidas 15 % < T Hay que hacer un m´ınimo de 50 medidasUna vez realizadas las medidas necesarias, se toma como valor de la magnitud el valor medio dela misma, calculado sobre el n´ mero total de medidas realizadas, y en cuanto al correspondiente uerror, se determina seg´ n los casos que sigue: u (1) Si se han realizado tres medidas, se toma como error absoluto el valor de la sensibilidad del aparato, es decir, lo que ya hemos indicado, ∆x = S (9) (2) Si se han realizado seis medidas, entonces se calcula el error de dispersi´n definido como o D6 /4 (la cuarta parte de la dispersi´n total de las seis medidas, es decir, la diferencia entre o la mayor y la menor de todas), y se asigna como error absoluto de las medidas, el mayor de entre este valor y la sensibilidad del aparato. Es decir, ∆x = m´x{D6 /4, S} a (10) (3) Si se han realizado m´s de 15 medidas; entonces el error absoluto puede calcularse por la a expresi´n: o 1/2 (xi − xN )2 ¯ ∆x = (11) NPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 5 que proporciona el llamado error cuadr´tico medio (puesto que es algo as´ como una media a ı del cuadrado de los errores), en donde xi son cada una de las medidas realizadas, xN es ¯ la media aritm´tica de todas las medidas individuales y N es el n´ mero total de medidas e u realizadas. El procedimiento seguido en este ultimo caso se debe a que, en una serie repetida de medidas ´de una misma magnitud, la distribuci´n estad´ o ıstica de ´stas alrededor del valor medio representa euna forma t´ ıpica, que recibe el nombre de distribuci´n gaussiana o distribuci´n normal. o o ´DETERMINACION DEL ERROR DE UNA MAGNITUDMEDIDA INDIRECTAMENTE Como ya hemos indicado, la medida indirecta de una magnitud se alcanza mediante la apli-caci´n de una f´rmula a un conjunto de medidas directas (variables independientes o datos), o oque las relacionan con la magnitud problema. Por eso tambi´n esta f´rmula ha de servirnos para e oobtener el error de dicha magnitud. Ahora explicaremos la manera de realizar esto. Antes que nada, debemos indicar que, si en la f´rmula citada aparecen n´ meros irracionales, o utales como π, e, etc., debemos elegir el n´ mero de cifras significativas con las que vamos a urealizar los c´lculos, de modo que los errores cometidos al aproximar estos n´ meros irracionales a uno afecten a la magnitud que queremos determinar (bastar´ con poner una cifra significativa am´s baja que la m´s baja de los datos). a a Supongamos que la magnitud problema F es funci´n de otras magnitudes f´ o ısicas (datos),estando relacionadas con ellas por F = F (x, y, z, . . .). (12)Supongamos, adem´s, que se han realizado medidas de las citadas variables x, y, z, . . . ; y se han adeterminado su valor medio (al que llamaremos con el mismo nombre x, y, z, . . . ) y sus erroresabsolutos (∆x, ∆y, ∆z, . . . ). Para realizar el c´lculo del error absoluto de F , en funci´n de los antedichos valores, se a oprocede as´ı: En primer lugar, se obtiene la diferencial total de F en funci´n de las variables x, y, z, ... o ∂F ∂F ∂F dF = dx + dy + dz + . . . (13) ∂x ∂y ∂z Si, a continuaci´n asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos y, adem´s, o aconsideramos que en el c´lculo del error de F debemos ponernos en el caso m´s desfavorable a a(siempre deseamos tener una cota de error, o sea un valor de la magnitud del que podamos estarseguros de que el valor “verdadero” est´ dentro de nuestro intervalo de “seguridad”), o sea, el amayor error posible. Lo que significa que consideraremos todos los errores como positivos, es decir,tomaremos, adem´s, los valores absolutos de las derivadas parciales, con lo que obtendremos el avalor del error de F , es decir, ∂F ∂F ∂F ∆F = ∆x + ∆y + ∆z + . . . (14) ∂x ∂y ∂z Esta es la f´rmula que se aplica cuando los errores son de tipo sistem´tico. Sin embargo, o acuando los errores son de tipo aleatorio, cosa que se ha de procurar, la f´rmula correcta es o 2 2 2 ∂F ∂F ∂F ∆F = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 + . . . (15) ∂x ∂y ∂zque es la que tiene una base estad´ ıstica.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 6 ´ ´CONSTRUCCION DE GRAFICAS La representaci´n gr´fica de los fen´menos f´ o a o ısicos que estudiaremos deber´ ajustarse a las asiguientes normas: (1) Gr´ficas en papel milimetrado (en el caso de que no est´n realizadas con ordenador) con a e los ejes bien trazados, indicando en sus extremos la magnitud representada en ese eje, as´ como la unidad en que ha sido medida. El t´ ı ıtulo de la gr´fica se pondr´, bien claro, en a a la parte superior. (2) La variable independiente del fen´meno estudiado se representar´ en abcisas y la depen- o a diente en ordenadas. (3) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura r´pida y sencilla. Para ello se a elegir´n las escalas con intervalos sencillos de 1, 2, 5, 10, 20, ... unidades. a (4) Sobre los ejes s´lo se indicar´n los valores correspondientes a las divisiones enteras de o a la escala (que quedar´n as´ uniformemente espaciadas). Nunca se se˜ alar´n los valores a ı n a correspondientes a las medidas realizadas. (5) Los valores medidos se representar´n sobre el papel milimetrado por el punto corres- a pondiente a sus dos coordenadas (“punto experimental”) y rodeado por el denominado rect´ngulo de error, cuya base abarca desde x − ∆x hasta x + ∆x, y cuya altura se extien- a de desde y − ∆y hasta y + ∆y, siendo x e y las coordenadas del punto experimental. (6) En el caso de que ∆x o ∆y sean despreciables en comparaci´n con la escala utilizada, el o rect´ngulo de error quedar´ reducido a un simple segmento vertical u horizontal (barra de a a error), seg´ n el caso. En el caso excepcional de que ambos errores sean simult´neamente u a despreciables, el punto experimental quedar´ reducido a un “punto”. ıa Las gr´ficas han de ser l´ a ıneas finas y “continuas”, nunca quebradas, que han de pasar portodos los rect´ngulos de error, aunque para ello dejen muchas veces de pasar por los puntos aexperimentales, que pueden quedar a derecha o a izquierda de la gr´fica. Si al hacer esta opera- aci´n, alguno de los rect´ngulos de error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la o agr´fica, es prueba de que esa medida es falsa, por alguna causa accidental, y deber´ repetirse. a ıa ´AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESION POR ELMETODO DE LOS M´ ´ INIMOS CUADRADOS Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresi´n matem´tica y = f (x) de o ala ley f´ ısica que rige el comportamiento de un determinado fen´meno, a partir de una serie de oN medidas, (xi , yi ), de las magnitudes x e y que lo caracterizan. Cuando la representaci´n gr´fica del fen´meno estudiado proporciona una distribuci´n de los o a o opuntos experimentales que parecen tener la forma de una curva plana determinada es convenienteobtener la ecuaci´n de esta curva que probablemente ser´ la expresi´n de la ley f´ o a o ısica que rigeel fen´meno estudiado. El m´todo m´s potente (y, sobre todo, el m´s simple) conocido es el de o e a aregresi´n por los m´ o ınimos cuadrados. Estos m´todos son aplicables a diversas curvas de distintos egrados, pero nosotros, en este primer curso de introducci´n, nos vamos a limitar a estudiar el ocaso m´s simple posible de una ley f´ a ısica lineal, es decir de una recta de regresi´n. o Dicha recta debe de cumplir la condici´n de que los puntos experimentales queden distribuidos osim´tricamente a ambos lados y lo m´s pr´ximos posible de la misma. Esta condici´n se cumple e a o osi se obliga a la recta, de ecuaci´n y = ax + b, cumpla con que la expresi´n o o 2 C(x, y) = (yi − (axi + b)) (16) iPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 7tenga un valor m´ınimo. Derivando respecto a a y a b, y haciendo ambas derivadas iguales a cero,tras una serie de operaciones, se obtiene: N xi yi − xi yi a= (17) N x2 − ( xi )2 i x2 i yi − xi xi yi b= (18) N x2 − ( xi )2 iSi la recta hubiera de pasar por el origen de coordenadas, el problema se simplifica notablemente,puesto que, al ser b = 0, resulta xi yi a= (19) x2ique proporciona directamente el valor de la pendiente de la recta. Adem´s de los valores de la pendiente y de la ordenada en el origen, es interesante obtener el adenominado coeficiente de correlaci´n lineal, r, que nos da una medida del grado de correlaci´n o o(de aproximaci´n) entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta que punto x e y est´n o arelacionados mediante una funci´n lineal. La expresi´n de r es o o N xi yi − xi yi r= (20) (N x2 i −( xi )2 ) (N 2 yi −( yi )2 )y que var´ entre cero (correlaci´n inexistente) y ±1 (correlaci´n completa). ıa o o Las expresiones correspondientes al c´lculo de error de la pendiente y de la ordenada en el aorigen son 1/2 (yi − axi − b)2 ∆a = (21) (N − 2) (xi − x)2 ¯ 1/2 1 x2 ¯ (yi − axi − b)2 ∆b = + (22) N (xi − x)2 ¯ N −2 ´INTERPOLACIONEN TABLAS DE SIMPLE ENTRADA La tablas de simple entrada nos proporcionan el valor de una variable dada x en funci´n de ootra z, y viceversa. Cuando se quiere determinar el valor de z que corresponde a uno de x no tabulado, o vice-versa, se supone que, para intervalos muy peque˜ os de las variables (como es usual en las tablas nde valores), la funci´n z = z(x) es lineal y por tanto los incrementos de las mismas son propor- ocionales. Esto nos permite dise˜ ar un procedimiento para encontrar estos valores no tabulados nllamado interpolaci´n lineal. o Para resolver el problema se determinan previamente los valores tabulados de x e y entre losque se encuentran los de nuestro problema (x1 < x < x2 ; z1 < z < z2 ), x1 z1 x2 z2 Entonces, la relaci´n que liga x con z puede escribirse, dentro de las aproximaciones antedi- ochas, seg´ n la f´rmula lineal u o z2 − z1 z = z1 + (x − x1 ) (23) x2 − x1que permite determinar z en funci´n de x, o viceversa. El error absoluto de z resulta ser o z2 − z1 ∆z = ∆x (24) x2 − x11er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 8EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA En las tablas de doble entrada, para cada pareja de valores x e y se suministra el valorcorrespondiente de una tercera variable relacionada con las dos anteriores mediante una funci´n oz = z(x, y). En este caso el trazo de tablas (cuyos intervalos se consideran ahora “triplemente” lineales),entre cuyos valores se encuentran el z buscado, presentan el aspecto (x1 < x < x2 ; y1 < y < y2), y1 y2 x1 z11 z12 x2 z21 z22 La relaci´n aproximada linealmente que permite el c´lculo es o a z21 − z11 z12 − z11 z = z11 + (x − x1 ) + (y − y1 ) (25) x2 − x1 y2 − y1y puede utilizarse tambi´n en la interpolaci´n inversa, es decir, en la determinaci´n de x o y, e o oconocidos los valores de (y, z) o de (x, z). El error de z resulta an´logamente de la expresi´n: a o z21 − z11 z12 − z11 ∆z = ∆x + ∆y (26) x2 − x1 y2 − y1NOTASCifras significativas El n´ mero de d´ u ıgitos con significado de una magnitud se llama n´ mero de cifras significativas. uEn general, ning´ n n´ mero puede tener m´s cifras significativas que las de los n´ meros a partir u u a ude los cuales se ha calculado. La regla para considerar un d´ıgito como significativo es la de que elerror absoluto de la medida debe de ser del orden de magnitud de este mismo d´ ıgito. Nosotros,para fijar ideas, adoptaremos el convenio de considerar que si una cifra es significativa, el errorabsoluto de la magnitud es al menos de una unidad de ese orden. Por ejemplo, si los n´ meros u300, 06 y 0, 00078 est´n escritos con todas sus cifras significativas, significar´ que sus errores son a a±0, 01 y ±0, 00001, respectivamente. En los c´lculos con n´ meros muy grandes o muy peque˜ os estas consideraciones se simplifican a u nen gran medida utilizando las potencias de diez (denominada a veces notaci´n cient´ o ıfica). Porejemplo, la distancia de la Tierra al Sol es aproximadamente de 149 000 000 000 m, pero alescribir el n´ mero de esta manera no se est´ indicando, evidentemente (¡no se puede medir esta u adistancia con una precisi´n de 1 m!), el n´ mero de cifras significativas. Si el error que hemos o ucometido es del orden de 1000 Km, podemos escribir este n´ mero as´ 149000 × 106 m. De esta u ı:forma es evidente que el n´ mero de cifras significativas es seis. uOrden de magnitud Cuando hablamos de orden de magnitud de un n´ mero nos estamos refiriendo al valor de un un´ mero que coincide aproximadamente con el orden de la primera cifra de aquel. Por ejemplo, uen 1387,24 la primera cifra es el 1, que es del orden de “los miles”; en 3, 5 × 107 el tres es delorden de “los diez millones”; en 0,00056, el cinco es del orden de “la diezmil´sima; etc. e Esto lo podemos expresar de una manera algo m´s sistem´tica de la manera siguiente: lla- a amaremos orden de magnitud de una medida a la potencia de diez m´s baja de las dos entre las aque est´ contenido el n´ mero. Por ejemplo, veamos los tres n´ meros citados m´s arriba: a u u a 1387,24 puede escribirse as´ 103 < 1387, 24 < 104 . Lo que quiere decir que de este n´ mero ı: udiremos que tiene un “orden de magnitud” de 103 o de “los miles”. An´logamente, 107 < 3, 5 × 107 < 108 . Es decir que de este n´ mero diremos que tiene un a u“orden de magnitud” de 107 o de “los diez millones”.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 9 Tambi´n, 10−4 < 0, 00056 < 10−3 . O sea, que de este n´ mero diremos que tiene un “orden e ude magnitud” de 10−4 o de “las diez mil´simas”. e Naturalmente, estos valores habr´ que tratarlos con sentido com´ n (no se trata de un concepto a upreciso, sino “una manera de hablar cient´ ıfica”). Por ejemplo, si consideramos dos n´ meros tales ucomo 99 y 101, la aplicaci´n de la regla anterior nos dir´ que el primero tiene un orden de o ıamagnitud 1 y el segundo, 2. ¡Cuando la diferencia entre los dos es de tan s´lo 2 unidades! oEst´ claro que, en este caso, lo sensato es decir que ambos tienen el mismo orden de magnitud a(y el l´gico ser´ el 2). o ıa1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 10Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 0 a ´ESTUDIO DEL PENDULO:MEDIDA DE gOBJETIVO Determinaci´n de la aceleraci´n de la gravedad mediante el uso de un p´ndulo simple. o o eMATERIAL P´ndulo simple. Cron´metro. Regla. e o ´FUNDAMENTO TEORICO Todo cuerpo capaz de girar alrededor de un eje horizontal, que no pase por su centro degravedad, constituye un p´ndulo. e Supongamos un cuerpo de masa m, suspendido de unpunto fijo O mediante un hilo de longitud L de masa des-preciable. En reposo, el hilo se encontrar´ en posici´n ver- a otical y el cuerpo ocupar´ la posici´n A de la figura, punto a oen el cual la fuerza peso, P = mg, se anula con la reacci´n odel hilo. Si desviamos el cuerpo un ´ngulo α respecto a asu posici´n de equilibrio A y lo llevamos a la posici´n B, o oel peso se descompone en una componente, Pn , normal ala trayectoria que describir´ la masa en su movimiento, ay en una componente, Pt , tangencial a dicha trayectoria.La componente normal se anula con la reacci´n del hilo omientras que la componente Pt tiende a devolver el cuer-po a su posici´n de equilibrio A. Esta fuerza siempre es oopuesta a la desviaci´n respecto del equilibrio, por ello oviene afectada de un signo negativo, y es la que da origenal movimiento peri´dico del p´ndulo. o e De la figura anterior se deduce mg Pt = −mg senα = − x = −kx (1) Ldonde L es la distancia entre el centro de gravedad y el centro de suspensi´n O. Esta ecuaci´n es o ov´lida para ´ngulos peque˜ os, caso en el que la trayectoria real que sigue el cuerpo, circular de a a nradio L, puede aproximarse por x, con lo cual la fuerza Pt se convierte en una fuerza recuperadora 11
    • 12y la ecuaci´n (1) en la ecuaci´n de un movimiento arm´nico simple de constante recuperadora o o ok = mg/L. De acuerdo con la f´rmula del periodo de un movimiento arm´nico simple, o o m T = 2π (2) kel periodo del movimiento pendular vendr´ dado por a L T = 2π (3) gque definiendo una nueva constante K mediante 2π K= √ (4) gse convierte en √ T =K L (5)f´rmula que relaciona el periodo de un p´ndulo con su longitud. o e ´METODOComprobaci´n del isocronismo o (1) Es interesante hacer notar que el periodo de un p´ndulo no depende de la amplitud de las e oscilaciones, es decir, las oscilaciones son is´cronas. Naturalmente esto es v´lido en tanto o a en cuanto la amplitud de las oscilaciones sea lo suficientemente peque˜ a como para poder n aproximar la trayectoria real por la magnitud x de la figura. (2) Se deber´ comprobar el isocronismo de las oscilaciones. Para ello, fijar la longitud del hilo a a un valor cercano al metro, separar el cilindro una ´ngulo aproximado de 5o y medir el a tiempo t necesario para que transcurran n oscilaciones. El periodoT vendr´ dado por la a relaci´n o t T = (6) n (3) Repetir la operaci´n para amplitudes crecientes aumentando de 5 en 5 grados hasta 30o , o ordenar en forma de tabla los resultados y construir una gr´fica representando el periodo a en funci´n del ´ngulo. Comentar los resultados. o aC´lculo anal´ a ıtico de la aceleraci´n de la gravedad o (4) La ecuaci´n (3) nos permite obtener la aceleraci´n de la gravedad una vez conocido el o o periodo de las oscilaciones para una determinada longitud del p´ndulo, relaci´n que viene e o dada por L g = 4π 2 2 (7) T (5) F´ ıjese de nuevo la longitud alrededor de 1 m y m´ ıdase el periodo del mismo modo que se hizo en el apartado anterior. Una vez hecho esto, hallar el valor anal´ ıtico para la aceleraci´n o de la gravedad.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 13Calculo gr´fico de la aceleraci´n de la gravedad a o (6) De la ecuaci´n (5) se deduce que, si representamos en papel milimetrado el periodo de un o p´ndulo en fuci´n de a, se obtendr´ una recta cuya pendiente p ser´ e o a a 2π p=K= √ (8) g ecuaci´n de la que resulta inmediato obtener g. o (7) Determinar el periodo T para diferentes longitudes del p´ndulo y hacer una representaci´n e √ o gr´fica de los mismos en papel milimetrado, colocando en abscisas L y en ordenadas a el periodo. Calcular la pendiente p ± ∆p de la recta que mejor se ajusta al conjunto de datos experimentales obtenidos. A partir de dicha pendiente, hallar un valor gr´fico para a la aceleraci´n de la gravedad. oRESULTADOS 1) Siguiendo las pautas descritas en el apartado anterior, ll´vense a cabo las medidas ne- e cesarias para la comprobaci´n del isocronismo del p´ndulo. Construya una gr´fica que o e a represente el fen´meno de forma adecuada. Com´ntense los resultados obtenidos. o e 2) En segundo lugar, determ´ ınese el valor de la aceleraci´n de la gravedad y su error mediante o el procedimiento anal´ ıtico descrito anteriormente. 3) Por ultimo, determ´ ´ ınese gr´ficamente el valor de la aceleraci´n de la gravedad y compare a o el resultado con el apartado anterior.En todos los apartados, y con el objeto de obtener una clara visi´n de los datos, oord´nense los mismos en forma de tabla. Asimismo, deber´ justificarse siempre el e an´ mero de medidas realizadas. Se incluir´ tambi´n cualquier c´lculo o comentario u a e aque se considere oportuno.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 14Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 1 aLEYES DE NEWTONOBJETIVO Estudio del movimiento rectil´ ıneo uniformemente acelerado. En particular, lo siguiente: 1. Desplazamiento en funci´n del tiempo. o 2. Velocidad en funci´n del tiempo. o 3. Aceleraci´n en funci´n de la masa acelerada. o o 4. Aceleraci´n en funci´n de la fuerza impulsora. o oMATERIAL Carril neum´tico con su compresor. Carrito deslizante con contactos. Hilo con portapesas. aPesas de distintas masas (1, 2, 5, 10, 20 y 50 g). Cinta m´trica (adosada al carril). Dispositivo ede cronometraje fotoel´ctrico. eFUNDAMENTO El dispositivo permite la medida de la velocidad instant´nea del m´vil, como se explicar´ m´s a o a aadelante. Seg´ n la segunda ley de Newton, cuando se aplica una fuerza constante a un cuerpo, ´ste u eadquiere una aceleraci´n constante (movimiento uniformemente acelerado), que es proporcional oa la fuerza aplicada, siendo la masa del cuerpo la constante de proporcionalidad entre la fuerzay la aceleraci´n; es decir, o F = ma (1) 2En donde, a = d 2 , siendo r = r(t) el vector de posici´n de la masa. dt r o En esta pr´ctica vamos a estudiar el movimiento uniformemente acelerado de un cuerpo aque desliza con rozamiento despreciable por un carril recto y horizontal, sometido a una fuerzaconstante (gravitatoria). Recordemos que, en un movimiento monodimensional de este tipo, la velocidad instant´neaaen funci´n del tiempo viene dada por o v(t) = v0 + a(t − t0 ) (2)y el desplazamiento en funci´n del tiempo por o 1 r(t) = ro + v0 (t − t0 ) + a(t − t0 )2 , (3) 2 15
    • 16en donde, t0 es el instante en que comienza el movimiento, y r0 y v0 son el desplazamiento y lavelocidad iniciales del cuerpo. Como al utilizar nuestro dispositivo experimental, vamos a empezar a contar el tiempo en elmomento en que el movimiento se inicie (t0 = 0) se tendr´ que v0 = 0, y las ecuaciones anteriores ase reducir´n a las siguientes: a v(t) = at (4) 1 r(t) = r0 + at2 (5) 2con F a= . (6) m En el dispositivo experimental, disponemos de un hilo que conecta un carrito deslizante (alque pueden a˜ ard´ n ırsele pesas y cuya masa total llamaremos m2 ), con un portapesas del quepodemos colgar distintas masas (de 1 a 50 g). Esto permite, a trav´s del hilo, aplicar al carrito ediferentes fuerzas impulsoras debido a la acci´n del peso o F = m1 g (7)del conjunto pesas-portapesas con masa m1 (aqu´ g es la aceleraci´n de la gravedad). La masa m1 ı oest´ unida, por tanto, a la masa m2 que se mueve con el carrito y, por consiguiente, la ecuaci´n a odel movimiento ser´: a (m1 + m2 )a = m1 g.Despejando la aceleraci´n, tendremos. o m1 a= g (8) m1 + m2Sustituyendo en (4), tendremos la expresi´n para la velocidad instant´nea en funci´n del tiempo: o a o m1 g v(t) = t (9) m1 + m2Y si sustituimos (8) en (5), tendremos tambi´n el desplazamiento (distancia recorrida) en funci´n e odel tiempo: 1 m1 g r(t) = r0 + t2 (10) 2 m1 + m2 ´DESCRIPCION DEL APARATO El carril neum´tico disponible para realizar esta pr´ctica (Fig. 1), est´ constituido, b´sica- a a a amente, por una barra met´lica hueca de secci´n triangular, de unos 200 cm de largo y montada a osobre un soporte del mismo material. Dicha barra posee numerosos orificios peque˜ itos en sus caras laterales por los que sale el naire inyectado a presi´n por uno de los extremos de la barra mediante un compresor. Tambi´n o edispone de una polea en el extremo contrario para poder hacer pasar por ella el hilo con elportapesas. Sobre la barra puede deslizar, pr´cticamente sin rozamiento debido al “colch´n de aire”, un a ocarrito deslizador met´lico (al que m´s bien deber´ a a ıamos llamar “trineo”) que se ajusta a la formade la barra. El sistema de medida de tiempos est´ constituido por un dispositivo fotoel´ctrico que consta a ede un disparador electromagn´tico, un reloj electr´nico y una “barrera” en forma de herradura. e oEl disparador sirve para retener el trineo hasta el momento de iniciar la medida (“disparo”)y la “barrera” contiene el mecanismo encargado de detener el reloj en el momento en que esatravesada por el trineo.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 17 Figura 1 Lo que detecta la barrera (mediante la ruptura de un rayo laser que cierra la ”herradura”) esel paso de una pantalla rectangular negra que lleva el carrito adosada en su parte superior. Enlas posiciones marcadas por la fila de botones superiores del reloj (”Normal”) la barrera detectael paso del borde delantero de la pantalla, marcando el tiempo t1 ; mientras que en las posicionesmarcadas por la fila inferior de botones (posici´n ”Invert”), detecta el paso del borde trasero ode la misma, marcando el tiempo t2 . Por esta raz´n, cada una de las medidas que se citar´n en o ael apartado ”M´todo”, ha de efectuarse en realidad con dos medidas con id´nticas condiciones e einiciales, pero una ”normal” (botones de arriba) y otra ”invert” (los de abajo). De esta formapodremos calcular para cada distancia (al menos en aquellas en que queramos medir la velocidadinstant´nea) la velocidad instant´nea del carrito, sin m´s que dividir la longitud de la pantalla a a a(∆s) por el tiempo ∆t = t1 − t2 en que la pantalla permanece bajo el haz de luz laser de laherradura: ∆t t1 + t2 ∆s v t1 + =v = (11) 2 2 ∆tSi la pantalla es peque˜ a (∼ 10 cm), el efecto de la aceleraci´n en la velocidad durante el tiempo n o∆t puede considerarse como despreciable.ADVERTENCIAS 1. Con el fin de no da˜ ar el dispositivo, no se debe de mover el carrito sobre el carril mientras n no est´ el compresor en marcha (el “coj´ de aire”). a ın 2. Para evitar que el portapesas se rompa o pueda da˜ ar procure pararlo antes de que golpee n el suelo o bien coloque un libro o carpeta en el suelo donde este caiga. ´METODO (1) Poner en marcha el compresor y el sistema de cronometraje (¡recordar que no se debe mover el carrito sin poner en marcha el compresor!). (2) Elegir la distancia que va a recorrer el carrito (utilizar al menos cinco distancias distintas a intervalos regulares) mediante la “herradura”, sabiendo que ´sta dispone de una lucecita e1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 18 roja que se apaga en el momento que la pantalla pasa por delante (y que coincide, por tanto, con la posici´n a la que se va a detener el reloj). o (3) Colocar una masa en el portapesas [m1 = masa del portapesas + masa de la(s) pesa(s)], anotando su valor y el de la masa m2 del carrito. Anotar tambi´n la distancia que reco- e rrer´ dicho carrito desde el disparador hasta la barrera. a (4) Poner el reloj a cero (tecla “null”) y disparar el m´vil, realizando as´ la primera medida. o ı Recordar que hay que repetir la misma medida con la posici´n “Invert” del reloj, anotando o los dos tiempos t1 y t2 . H´gase el n´ mero de medidas necesario. a u (5) Repetir el proceso anterior (acord´ndose de volver a poner el reloj de nuevo a cero) para a la misma masa m1 , pero para diferentes distancias de recorrido del carrito (cambiando la posici´n de la barrera). Hacerlo para, al menos, cinco posiciones diferentes, separadas una o de otra por 10 cm por lo menos. *(6) Tomando estas medidas como base, dibujar la curva que nos da el desplazamiento en funci´n del cuadrado del tiempo, r = r(t2 ). o *(7) Dibujar la gr´fica de la velocidad instant´nea en funci´n del tiempo, v = v(t). Recordar a a o que, para esta gr´fica, tenemos que calcular v como ∆s/∆t y adjudic´rsela al instante . a a *(8) A partir de la gr´fica v = v(t), deducir el valor de la aceleraci´n a [y comparar con el a o valor que se deduce de la f´rmula (8)], que coincide con la pendiente de la curva. Para los o c´lculos aplicar el m´todo de los m´ a e ınimos cuadrados. (9) Manteniendo constante la masa m1 , as´ como la distancia recorrida, variar m2 colocando ı sucesivamente pesas en los ganchitos que existen a ambos lados del carrito (de forma sim´trica). Medir los tiempos de recorrido, repitiendo esta medida para, al menos, cinco e masas diferentes entre 1 y 20 g. Calcular la aceleraci´n para cada m2 . o*(10) Dibujar ahora la gr´fica de la aceleraci´n en funci´n de la masa acelerada, a = a(m2 ). a o o (11) Vamos ahora a ver la relaci´n entre la aceleraci´n y la fuerza impulsora F , para lo que es o o necesario que la masa total (carrito + pesas + portapesas) permanezca constante. Para ello, una vez elegida la masa total a utilizar, habr´ que repartirlas entre el carrito (sim´tri- a e camente, no se olvide) y el portapesas. La primera medida se realiza con la masa m´s a peque˜ a posible sobre el portapesas. Manteniendo fija la distancia recorrida, se van trans- n firiendo tandas de 2 g (1 g de cada lado) del carrito al portapesas y se miden los respectivos tiempos de recorrido. m1 no deber´ exceder de 20 g. a*(12) Calcular las correspondientes aceleraciones y dibujar la gr´fica de estas en funci´n de la a o fuerza impulsora, a = a(F ). Verificar si la pendiente coincide con los valores que se deducen de la f´rmula (8). oDATOS Masa del portapesas: 1,42 ± 0,01 g Masa del carrito: 210,21 ± 0,01 g Anchura de la pantalla: ∆s = 100,75 ± 0., 01 mm.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 2 aCAIDA LIBRE DE LOSCUERPOSOBJETIVO Determinar el valor de la aceleraci´n local de la gravedad g, mediante la medida del tiempo ode ca´ de objetos, as´ como su dependencia de la masa. ıda ıMATERIAL Aparato de ca´ libre de 1 m, con electroim´n (ver figura). Contador digital de tiempos de ıda a0,1 ms. Cables de conexi´n. Dos bolas de acero de masas diferentes. oFUNDAMENTO Cuando dejamos un objeto moverse unicamente bajo la acci´n de la gravedad (ca´ libre), ´ o ıdase mueve con aceleraci´n constante, si no tenemos en cuenta las fuerzas de rozamiento que, para oel caso de esferas duras en el aire, tienen un efecto despreciable. La fuerzas gravitatorias obedecen a la Ley de Newton MT m Fg = G (1) r2en donde MT es la masa de la Tierra, m la masa del objeto que cae, r la distancia desdeel centro de gravedad del objeto al de la Tierra y G la constante de la gravitaci´n universal o(6,67 × 10−11 Nm2 /Kg2 ). A su vez, r = RT + h, siendo RT el radio de la Tierra y h la altura delobjeto respecto al nivel del mar. Como RT = 6380 Km y h ≈ 560 m, podemos escribir con unagran aproximaci´n r ≈ RT y, por tanto, o MT m Fg = G 2 (2) rTes decir, MT g=G 2 (3) rTque es la llamada aceleraci´n de la gravedad y o Fg = mg (4) 19
    • 20que es el peso del cuerpo. Como puede verse aqu´ g debe de ser, en principio, independiente de ı,la masa del cuerpo. De lo anterior se deduce que podemos despreciar la dependencia de g con la altura mientrassea h << RT , como es nuestro caso. Por lo tanto, en nuestro experimento, g es una constantedel movimiento, es decir, se va a tratar de un movimiento uniformemente acelerado. Ahora bien, si g = dv/dt(= const.), para un movimiento rectil´ ıneo, siendo v la velocidad delcuerpo en cualquier instante, podremos integrar esta expresi´n y obtener o v = v0 + g(t − t0 ) (5)siendo v0 la velocidad (inicial) en el instante t0 . Y, teniendo en cuenta que v = ds/dt , siendo sel desplazamiento del cuerpo, podemos volver a integrar para obtener 1 s = s0 + v0 (t − t0 ) + g(t − t0 )2 (6) 2siendo s0 el desplazamiento inicial. En nuestro caso, como suele hacerse, vamos a empezar acontar el tiempo (t0 = 0) en el momento en el que la masa m empieza a moverse, por lo quev0 = 0, y podremos escribir v = gt (7)y 1 2 s − s0 = gt . 2Pero (s− s0 ) no es m´s que la distancia vertical recorrida (altura), por lo que haremos s− s0 = h, ay nos quedar´ a 1 h = gt2 (8) 2y, eliminando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores, tendremos v 2 = 2gh. (9)Al final de este experimento, vamos a calcular g a partir de la ecuaci´n (8), poni´ndola en la o eforma 2h g= 2. (10) t Para calcular las velocidades finales, a partir de las medidas directas, usaremos la relaci´n o 2h v= . (11) tobtenida a partir de las ecuaciones (9) y (10). ´METODO (1) Conectar todos los elementos y encender el contador de tiempos. Presionar el bot´n o ”STOP” y despu´s el de ”RESET”, para poner a cero el contador. e (2) Escoger una de las dos bolas de acero de la cajita detr´s de la columna de medida y medir a su masa con la balanza del laboratorio. (3) Colocar la plataforma superior del la columna de medida en el punto m´s alto de la escala a (100 cm). (4) Presionar el bot´n ”START” del contador. La bola se soltar´ y caer´ sobre la placa inferior. o a a El contador empezar´ a contar el tiempo en el momento en que la bola se libera y se a detendr´ cuando la bola choque abajo; es decir, el tiempo marcado ser´ el tiempo de a a ca´ ıda.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 21 ADVERTENCIA: Las bolas, despu´s de golpear la placa inferior de la columna, e saldr´n rodando y habr´ que estar atentos para cogerla antes de que caiga al a a suelo y puedan estropearse tanto una como otro. (5) Repetir la medida tantas veces como sea necesario seg´ n el % de dispersi´n. u o (6) Descender la plataforma superior de 10 en 10 cm y repetir para cada altura la anterior serie de medidas. Real´ ıcense, al menos, cinco series (alturas) diferentes. (7) Cambiar ahora de bola y volver a realizar todas las diferentes medidas que se hicieron con la bola anterior. *(8) Hacer dos tablas (una para cada bola) en donde aparezcan h, t y t2 . *(9) Dibujar ahora la gr´fica h = h(t2 ) para cada bola y ajustarla mediante el m´todo de los a e m´ ınimos cuadrados.*(10) Comparar los valores de g obtenidos a partir de la regresi´n con los determinados anal´ o ıti- camente.*(11) Utilizando los valores de g obtenidos, real´ ıcese una nueva tabla (o reutil´ıcese alguna de las preexistentes) de la velocidad final (vf ) para cada altura a partir de la ecuaci´n (9) y o dib´ jese una nueva gr´fica v 2 = v 2 (h), comprob´ndose mediante c´lculos de regresi´n el u a a a o valor de g utilizado. Comentar esta gr´fica. a*(12) Calcular de nuevo las velocidades para cada altura, pero ahora con la ecuaci´n (11), con o sus correspondientes errores. Realizar una gr´fica v = v(t) y calcular g a partir de los a par´metros de ajuste de la recta de regresi´n a dicha curva. a o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 22Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 3 aMOMENTO DE INERCIA DEUN VOLANTEOBJETO Determinaci´n del momento de inercia de un volante. oMATERIAL Dispositivo con volante y portapesas. Cron´metro. Cinta m´trica (o escala milimetrada en o ela pared). Pesas.FUNDAMENTO Se va a determinar el momento de inercia de un volante (ver figura). El sistema utilizadoconsta de un volante en cuyo eje enrollaremos un hilo del que pende una masa m, la cual, alcomenzar a medir, situaremos a una cierta altura h0 sobre el suelo. Si, en ese momento, ladejamos en libertad, empezar´ a descender con un movimiento uniformemente acelerado. La aca´ de la masa provoca la rotaci´n del volante. El aumento de energ´ cin´tica de la masa y del ıda o ıa evolante se realiza a expensas de la disminuci´n de la energ´ potencial de la masa m, de modo o ıaque cuando est´ a la altura h, tendremos: a 1 2 1 Epi − Epf = Iω + mv 2 (1) 2 2siendo I el momento de inercia del volante, ω la velocidad angular del volante y v la velocidadlineal de la masa en el instante en que est´ a la altura h. a La relaci´n entre ambas velocidades (ya que no hay odeslizamiento) ser´ ωR = v siendo R el radio del eje del avolante . Por tanto, (1) se puede escribir como 1 v2 1 Epi − Epf = I 2 + mv 2 (2) 2 R 2Si la masa m recorre la distancia ∆h = h0 − h en untiempo t, la velocidad final valdr´ a 2∆h v= . t 23
    • 24Sustituyendo este valor en (2), tendremos: 1 4(∆h)2 1 4(∆h)2 Epi − Epf = I 2 2 + m (3) 2 t R 2 t2En esta ecuaci´n todos los par´metros pueden determinarse experimentalmente; deduci´ndose o a epor tanto el valor del momento de inercia del volante: 2 Epi − Epf − 2 m 4(∆h) 1 t2 2t2 R2 I= (4) 4(∆h)2 Si tomamos como origen de energ´ potenciales el punto m´s bajo alcanzado por la masa ıas am, Epf = 0 y Epi = mg∆h. Obtenemos entonces: 2m∆h mg − t2 t2 R 2 I= (5) 2∆hQuedando finalmente: t2 mgR2 − 2R2 m∆h I= (6) 2∆hY, si ahora expresamos t2 en funci´n de 1/m, tendremos: o 2∆hI 1 2∆h t2 = + (7) gR2 m gecuaci´n que nos permite calcular I a partir de la recta representada por esta ecuaci´n, que es o ode la forma: 1 t2 = a + b (8) m ´METODO (1) Fijar y medir la altura ∆h. Colocar el portapesas al altura h0 y medir el tiempo que tarda ´ste en recorrer la distancia ∆h. e (2) Repetir la operaci´n, a˜ adiendo al portapesas las masas de las pesas disponibles (cada una o n encima de la anterior) hasta agotarlas, con el fin de obtener seis parejas de valores de masa y tiempo. ADVERTENCIA: Hay que detener el descenso del portapesas una vez sobre- pasada la distancia h, con el fin de evitar el tir´n final y la posible rotura del o hilo de suspensi´n del portapesas. Por la misma raz´n, antes de empezar a o o medir, colocar debajo del recorrido del portapesas una banqueta (y un libro, libreta o carpeta), para amortiguar el golpe, en caso de que no lo podamos detener a tiempo, y evitar tambi´n la rotura del suelo. e (3) Medir los valores de las masas empleadas con la ayuda de la balanza com´ n del laboratorio. u Hay que tener cuidado en poner de acuerdo los tiempos medidos con las masas empleadas, ya que ´stas son muy diferentes y por lo tanto no son intercambiables. Recuerde que hay e que incluir en todos los c´lculos la masa del portapesas (cuyo valor estar´ anotado al lado a a del volante).*(4) Tabular adecuadamente los datos experimentales, incluyendo los valores de m, t, t2 y 1/m.*(5) Dibujar la gr´fica de t2 en funci´n de 1/m, utilizando los datos experimentales. a oPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 25*(6) Realizar el ajuste de la recta por el m´todo de los m´ e ınimos cuadrados y representar la recta obtenida de esta forma. Utilizar la pendiente de ´sta, a, para deducir el valor del momento e de inercia I (no olvidarse de medir el radio R del eje del volante), deducido de la f´rmula o (6), obteniendo asimismo una estimaci´n de su error por regresi´n ( a partir del ∆a). o o (7) Medir el di´metro del volante (D) con un metro. Estime la masa del volante (m) sabiendo a 1 que su momento de inercia es I = 2 mR2 .1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 26Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 4 a ´CONSTANTE ELASTICA DEUN MUELLEOBJETIVO Determinar la constante el´stica de un muelle por el m´todo est´tico y el din´mico. Deter- a e a aminar la masa efectiva del muelle.MATERIAL Soporte con un muelle vertical. Juego de pesas. Escala m´trica o catet´metro. Cron´metro. e o oFUNDAMENTO Cuando se cuelgan pesas en el extremo inferior de un muelle met´lico helicoidal, sujeto por asu extremo superior, el muelle se alarga y los alargamientos son, siempre que no se sobrepase ell´ ımite de elasticidad, proporcionales a las fuerzas aplicadas (ley de Hooke). Si es l la longitud del muelle y ∆l el alargamiento que le produce una fuerza de tracci´n F , ose tiene F = k∆l (1)Donde k es la llamada constante el´stica o recuperadora del muelle. a Para determinar el valor de dicha constante se puede seguir un procedimiento est´tico (di- arecto) o un procedimiento din´mico (indirecto). aProcedimiento est´tico a Se van colgando del muelle, sucesivamente, pesas enorden creciente, y se miden los alargamientos ∆l corres-pondientes. Representando gr´ficamente los resultados, F aen ordenadas y ∆l en abcisas, debe resultar una recta,cuya pendiente es la constante el´stica k(= F/∆l). aProcedimiento din´mico a Cuando del muelle colocado verticalmente se suspende una masa M , ´ste se alarga por eacci´n del peso (M g) hasta que se alcanza una posici´n de equilibrio, de forma que la fuerza o o 27
    • 28recuperadora del resorte iguale al peso, esto es k∆l = M g (2) Mediante la aplicaci´n de una fuerza adicional produ- ocimos un nuevo alargamiento x y abandonamos el sistema.El alargamiento del muelle ser´ ∆l + x, y la fuerza vertical ahacia arriba que ejerce el muelle sobre la masa (fuerza re-cuperadora) ser´ k(∆l+x), de modo que habr´ una fuerza a aneta sobre la masa F = M g − k(∆l + x) = −kx (3)y por la segunda ley de Newton d2 x −kx = M (4) dt2o bien d2 x M + kx = 0 (5) dt2que es la ecuaci´n del movimiento arm´nico simple, siendo x la distancia medida desde la posici´n o o ode equilibrio. La masa oscilar´ arm´nicamente con un periodo a o M T = 2π (6) k Salvo para el caso ideal de un muelle de masa nula, habr´ que hacer alguna modificaci´n a opor el hecho de que tambi´n el muelle oscila. Pero no es posible sumar simplemente la masa del emuelle a la del cuerpo suspendido, porque no todas las partes del primero oscilan con la mismaamplitud; la amplitud del extremo inferior es igual a la del cuerpo suspendido, mientras que ladel extremo superior es nula. Si designamos por m la masa del muelle, deberemos a˜ adir a la nmasa M del cuerpo suspendido, una fracci´n f de m, y ser´ o a d2 x (M + f m) + kx = 0 (7) dt2por lo que M + fm T = 2π (8) kdonde T ser´ el periodo real determinado experimentalmente. De la ecuaci´n anterior se obtiene a o 4π 2 4π 2 T2 = M+ fm (9) k k As´ si repetimos la experiencia para distintos valores ı,de M , y representamos gr´ficamente los valores obtenidos ade los cuadrados de los periodos (T 2 ) en funci´n de las ma- osas correspondientes (M ), la gr´fica resultante deber´ ser a auna recta. Del valor de la pendiente de dicha recta se pue-de deducir el de la constante el´stica k; la intersecci´n con a oel eje de abcisas ser´ la masa efectiva f m del muelle; con a´ste valor y el de m se deduce el de f .ePr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 29 ´METODOM´todo est´tico e a Para comenzar, se debe determinar, empleando la balanza, la masa de cada una de las pesasque se vayan a usar. (1) Colgar el portapesas y determinar en la escala m´trica la posici´n de equilibrio. A partir e o de ese punto se realizar´n las medidas de los alargamientos. a (2) Ir aumentando paulatinamente el peso suspendido (a˜ adiendo pesas), midiendo los alar- n gamientos correspondientes. Anotar los resultados en una tabla, incluyendo los correspon- dientes errores. *(3) Representar gr´ficamente los resultados anotados en la tabla, con la fuerza en ordenadas a y el alargamiento en abcisas, indicando los correspondientes rect´ngulos de error. a *(4) A partir de dicha gr´fica determinar el valor de la constante el´stica junto con la estimaci´n a a o de su error, para ello se debe obtener la recta de ajuste mediante el m´todo de m´ e ınimos cuadrados.M´todo din´mico e a (5) Cuelgue la primera pesa del extremo inferior del muelle. Una vez alcanzado el equilibrio, tire de la pesa suavemente hacia abajo, solt´ndola despu´s. a e (6) Deje que la masa realice algunas oscilaciones y cronometre despu´s el tiempo que emplea e en efectuar un cierto n´ mero de ellas (por ejemplo 20). Obtenga el valor del periodo. u (7) Repita la operaci´n aumentando paulatinamente las masas suspendidas (a˜ adiendo pesas) o n y lleve los resultados a una tabla. *(8) Construya una tabla con los valores de M y T 2 , lleve estos datos a una gr´fica, repre- a sentando T 2 en ordenadas y M en abcisas. No olvide representar los correspondientes errores. (9) Determine la masa del muelle m utilizando la balanza.*(10) A partir de los datos anteriores obtenga los valores de la constante el´stica k y de la fracci´n a o de la masa del muelle f . Para ello realice el ajuste por el m´todo de m´ e ınimos cuadrados.CUESTIONES 1. Compare los resultados de la constante el´stica obtenidos por ambos m´todos. a e 2. Demuestre que, te´ricamente, f = 1/3, de forma que la masa efectiva del sistema oscilante o es M + m/3. 3. ¿Se podr´ utilizar un muelle vertical como el de esta pr´ctica para determinar el valor de ıa a la aceleraci´n de la gravedad? ¿C´mo? o o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 30Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 5 a ´PENDULO DE KATEROBJETO Determinar la aceleraci´n de la gravedad con el p´ndulo reversible de Kater. o eMATERIAL P´ndulo de Kater, cinta m´trica, cron´metro y calibre. e e oFUNDAMENTO El p´ndulo de Kater est´ formado (ver figura) por una barra met´li- e a aca con dos cuchillas que sirven de centro de suspensi´n (E1 y E2 ). M´s o aall´ de las cuchillas, y entre ellas, hay dos cilindros iguales (A y B) que ase pueden mover a lo largo de la barra. Si hacemos oscilar el p´ndulo suspendi´ndolo de cada una de las e ecuchillas, de forma que los periodos T1 y T2 sean iguales, aplicando laf´rmula del p´ndulo compuesto tenemos: o e k 2 + h2 1 T1 = 2π (1) gh1 k 2 + h2 2 T2 = 2π (2) gh2siendo h1 y h2 las distancias de los centros de suspensi´n al centro de ogravedad, por lo tanto si T1 = T2 : (k 2 + h2 )h2 = (k 2 + h2 )h1 1 2 (3)o sea h1 h2 = k 2 y h2 + h1 l T = 2π = 2π (4) g gsiendo l la longitud del p´ndulo simple equivalente que en este caso eser´ igual a la distancia entre cuchillas. As´ podemos calcular g: a ı 4π 2 l g= . (5) T2 31
    • 32Bessel demostr´ que para la determinaci´n exacta de g, no es necesario el lento proceso que nos o ollevar´ hacer los dos periodos exactamente iguales. Es suficiente con que sea aproximadamente ıaiguales, es decir, que su diferencia sea muy peque˜ a. As´ de las expresiones de T1 y T2 podemos n ı,obtener: 2 gh1 T1 2 = h2 + k 2 1 (6) 4πy 2 gh2 T2 2 = h2 + k 2 2 (7) 4πRestando y ordenando tenemos: 4π 2 T 2 h1 − T 2 h2 2 = 1 2 2 (8) g h1 − h2 2 2 2 4π T + T2 T 2 − T22 = 1 + 1 (9) g 2(h1 + h2 ) 2(h1 − h2 )Si el centro de gravedad se encuentra mucho m´s cerca de una cuchilla que de la otra, entonces ala diferencia h1 − h2 no es peque˜ a, y puesto que T1 es aproximadamente igual a T2 , el segundo nt´rmino ser´ muy peque˜ o y por lo tanto es suficiente con una evaluaci´n aproximada de h1 − h2 . e a n o ´METODO: (1) Con la cinta m´trica se mide la distancia l = h1 + h2 . e (2) Suspender el p´ndulo de una de las cuchillas y determinar su periodo, para ello mediremos e el tiempo correspondiente a 20 oscilaciones, procediendo a continuaci´n a evaluar el periodo o y su error. (3) Suspender el p´ndulo de la otra cuchilla y ajustar A y B para obtener un periodo lo e m´s pr´ximo al anterior, midiendo tambi´n el tiempo correspondiente a 20 oscilaciones a o e completas. (4) Volver el p´ndulo a la otra cuchilla y recalcular el periodo, operando de esta forma, por e tanteo, hasta obtener dos periodos lo m´s pr´ximos posibles, actuando siempre sobre las a o masas m´viles A y B. o*(5) Una vez obtenido esto, calcular exactamente los periodos T1 y T2 midiendo ahora el tiempo de 100 oscilaciones.*(6) El centro de gravedad de la barra se determina suspendiendo ´sta, a forma de balanza e sobre la arista de cualquier objeto, con lo que obtenemos h1 y h2 , la distancia de este centro de gravedad a cada una de las cuchillas.*(7) Con los datos T1 , T2 , h1 y h2 obtener la aceleraci´n de la gravedad a partir de la expresi´n o o (7).Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 6 a ´ELASTICIDAD: FLEXION DEUNA BARRAOBJETO Verificar la ley de Hooke en el caso de la flexi´n y determinar el m´dulo de Young del material. o oMATERIAL Barra o varilla problema. Soporte. Colecci´n de pesas. Regla graduada. Calibrador y/o pal- omer. Reloj comparador.FUNDAMENTO Se dice que un cuerpo experimenta una deformaci´n el´stica cuando recupera su forma inicial o aal cesar la fuerza que produjo la deformaci´n. Robert Hooke (1635-1703) realiz´ numerosos o oexperimentos para estudiar la elasticidad de los materiales y, a partir de sus observacionesexperimentales, lleg´ a enunciar la ley que lleva su nombre: Para un material el´stico, dentro de o alos l´ ımites de elasticidad, la deformaci´n es proporcional a la fuerza aplicada. o Las caracter´ısticas el´sticas de una material homog´neo e is´tropo quedan completamente a e odefinidas por el conocimiento de su m´dulo de Young, E, y su coeficiente de Poisson, σ. En esta opr´ctica nos preocuparemos solamente del m´dulo de Young. a o Cuando se flexiona una varilla, ´sta experimenta un alargamiento por su parte convexa y una econtracci´n por la c´ncava. El comportamiento de la varilla est´ determinado por el m´dulo de o o a oYoung del material del que est´ hecha; de modo que el valor de dicho m´dulo puede determinarse a omediante experimentos de flexi´n. o Utilizaremos una varilla de secci´n transversal rectangular apoyada sobre cuchillas por sus odos extremos (o sobre placas, haciendo las veces de cuchilla el filo que toca con la varilla). Siaplicamos una fuerza vertical hacia abajo, F , en el punto medio de la varilla, la deformaci´n oel´stica que ´sta experimenta se traduce en un descenso de dicho punto, llamado flecha de flexi´n, a e oS, que, por la ley de Hooke, es proporcional a la fuerza aplicada, esto es S = kF (1)Siendo k una constante de proporcionalidad (constante el´stica) que depende de las caracter´ a ısti-cas geom´tricas de la varilla y del m´dulo de Young, E, del material. El c´lculo demuestra e o aque 1 L3 S= F (2) 4E ab3 33
    • 34para una varilla de secci´n rectangular, siendo L la longitud de la varilla (distancia entre las dos ocuchillas), a la anchura de la varilla y b la altura o grosor de la misma. Si F se mide en N (Newtons) y todas las longitudes en metros, el m´dulo de Young vendr´ ex- o a 2presado en N/m o Pascales.NOTA Las medidas se har´n cargando gradualmen- ate la barra con las pesas y midiendo las flechascorrespondientes. Una vez conseguida una defor-maci´n suficiente (es decir, cuando se agotan las opesas), se volver´n a realizar las medidas pero aahora descargando la barra gradualmente hastaregresar al estado inicial descargado. Si se ob-serva una diferencia sistem´tica (como es, usual- amente, el caso) entre las medidas “ascendentes”y “descendentes”, y si no se recobra el estadoinicial (dentro del margen de precisi´n de las omedidas) es una indicaci´n de que la varilla ha osufrido una deformaci´n permanente, seguramente debido a que se ha cargado excesivamente y ose ha rebasado el l´ ımite el´stico. a En este caso, o bien habr´ que repetir las medidas hasta que no se presenten anomal´ a ıaso bien habr´ que cargar menos la barra. En cualquier caso, como se sugiere en el “M´todo”, a epodr´ utilizarse un m´todo correctivo de promediado de medidas. a e ´METODOManejo del reloj comparador El reloj comparador posee un tallo central m´vil, que sirve para ”recibir” los desplazaminetos oque hay que medir. Al inicio de la pr´ctica, deber´ estar apoyado sobre la parte superior de la a avarilla que hay que medir, debi´ndose verificar que este apoyo no es demasiado intenso (la varilla eL en la figura), es decir, que la varilla s´lo est´ ligeramente doblada. o a Si la aguja no indica el cero, corr´ıgase, Para ello aflojar el tornillo lateral (en caso de que nolo est´). De este tornillo pende una laminita que sirve para fijar el cero, una vez colocado. Si no ees as´ g´ ı, ırese la tapa de cristal, hasta que coincidan cero y aguja. En este momento, se coloca lalaminita del tornillo lateral y se fija ´ste. e Obs´rvese entonces que a cada vuelta de la manecilla grande, la manecilla del ”reloj” peque˜ o e navanza una unidad, que es 1 mm. Po lo tanto, en la escala grande cada divisi´n vale 0,01 mm. oMediciones (1) Determ´ ınese la masa de cada una de las pesas con ayuda de la balanza del laboratorio. Si se trata de pesas “industriales” (es decir, todas aparentemente iguales), determ´ ınese la masa de una cualquiera de ellas y t´mense las dem´s con el mismo valor; el peque˜ o o a n error introducido mediante este procedimiento es despreciable frente a los dem´s errores a introducidos en el resto de la pr´ctica. a (2) Coloque la varilla en posici´n horizontal con ayuda del nivel, apoy´ndola de modo que las o a marcas grabadas cerca de sus extremos descansen sobre las cuchillas. (3) Vaya cargando gradualmente la varilla por su centro y midiendo las flechas de flexi´n o correspondientes (S ′ ). Anote los resultados en una tabla.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 35 (4) Una vez que considere haber obtenido una deformaci´n suficiente, descargue gradualmente o la varilla, midiendo y anotando las flechas de flexi´n correspondientes (S ′′ ) en la tabla o anterior. (5) Con los resultados obtenidos calcule el valor promedio (S) de los pares S ′ y S ′′ para cada carga, anot´ndolos tambi´n en la tabla. a e (6) Mida las caracter´ ısticas geom´tricas de la varilla que aparecen en la f´rmula (2): L, a y b e o con un Calibrador y un Palmer.*(7) Construya una gr´fica sobre papel milimetrado, llevando los valores de S en ordenadas y los a de F en abcisas. El resultado debe de ser una l´ ınea recta cuya pendiente es k. Determ´ ınese mediante ajuste por m´ ınimos cuadrados la constante k.*(8) Aplicando la ecuaci´n (2), y utilizando el valor de k obtenido anteriormente, determ´ o ınese el valor del m´dulo de Young, E, en Pascales. Compare el valor obtenido con el obtenido o en la Bibliograf´ ıa. (9) Si tiene tiempo, use varillas de diferentes materiales.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 36Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 7 a ´ ´PENDULO DE TORSIONOBJETIVO En esta pr´ctica se pretende determinar el momento de inercia de un p´ndulo de torsi´n, su a e oconstante de torsi´n y su m´dulo de rigidez. o oMATERIAL P´ndulo de torsi´n, cron´metro, regla graduada, calibrador, tornillo microm´trico y balanza. e o o eFUNDAMENTOTorsi´n o Consideremos una barra cil´ ındrica (o un alambre) suspendi-da verticalmente con su extremo superior fijo. Mediante un parde fuerzas F y −F (fig. 1), hacemos girar el extremo inferior,con lo cual los distintos discos horizontales en que podemosconsiderar dividida la barra deslizan unos respecto de otros.Una generatriz recta (AB) se convierte en una h´lice (AB’). Se e o ´dice que el cuerpo ha experimentado una torsi´n. Esta quedadefinida mediante el ´ngulo de giro φ del disco m´s bajo. Evi- a adentemente, se trata de un caso de cizalladura y la constanteD, que liga el ´ngulo de torsi´n φ con el momento M del par a oaplicado (que vale M = F d, siendo d el di´metro del disco ainferior), puede deducirse a partir de m´dulo de rigidez o de ocizalladura, G. Si r es el radio de la barra (o del alambre) y sulongitud l, se obtiene: πr4 G M= φ = Dφ (1) 2lsiendo D el momento director, o constante de torsi´n, que oest´ relacionada con el m´dulo de rigidez por a o πr4 G D= (2) 2l 37
    • 38Oscilaciones el´sticas. P´ndulo de torsi´n a e o Dentro del dominio de validez de la ley de Hooke, al deformar un cuerpo del modo que sea,aparece un esfuerzo recuperador proporcional a la deformaci´n que tiende a devolver al cuerpo su oforma primitiva. Si desaparece el esfuerzo deformante, el cuerpo se encuentra en las condicionesprecisas para iniciar un movimiento oscilatorio arm´nico. o Por el inter´s que presentan, estudiaremos las oscilaciones ede un cuerpo alargado sometido a una torsi´n inicial. Supon- ogamos, por ejemplo, que una barra de longitud l y radio r estadispuesta verticalmente, con su extremo superior fijo (fig. 2).El extremo inferior est´ sujeto a un dispositivo que se puede agirar libremente. Si imprimimos al cuerpo P un giro inicial entorno al eje AB, el momento exterior aplicado, M = Dφ, esneutralizado por un momento el´stico. Es decir, en el alambre, aa consecuencia de la torsi´n que ha experimentado, se desa- orrollan fuerzas el´sticas que tienden a devolver el alambre y al acuerpo P a la posici´n de partida. Pero, como el sistema m´vil o oadquiere cierta velocidad angular, en virtud de la inercia, se re-basa la posici´n de equilibrio y el sistema ejecuta oscilaciones oen torno a dicha posici´n, con torsiones alternativas en uno oy otro sentido. Se dice que el sistema constituye un p´ndulo ede torsi´n. Como se trata de un movimiento de rotaci´n, si o oel ´ngulo φ es peque˜ o, para que se cumpla la ley de Hoo- a nke, el momento de las fuerzas el´sticas valdr´ M = −Dφ, y a aser´ igual al producto del momento de inercia I del sistema am´vil (respecto al eje de giro) por la aceleraci´n angular: o o d2 φ −Dφ = I (3) dt2Por analog´ con el movimiento arm´nico, lo mismo que en el ıa ocaso del p´ndulo compuesto, el per´ e ıodo de oscilaci´n pendular ovaldr´: a I T = 2π (4) DDeterminaci´n del m´dulo de rigidez o o Si I es conocido se puede calcular D. Adem´s, con este valor y las dimensiones del alambre ase obtiene G mediante la ecuaci´n (2) o 2l G=D (5) πr4 De la ecuaci´n (4) podemos deducir I/D pero no I y D separadamente, por lo que, para oresolver este problema, se a˜ ade al sistema un cuerpo de momento de inercia conocido (I0 ) nrespecto al eje de rotaci´n. Haciendo oscilar el sistema tendr´ o ıamos un nuevo periodo dado por: I + I0 T = 2π (6) DPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 39 El momento de inercia I0 se puede determinar con mucha precisi´n oa partir de las dimensiones geom´tricas y la masa del cuerpo a˜ adido al e nsistema, si su forma geom´trica es sencilla. e Eliminando D entre (4) y (6) se obtiene: T2 I = I0 2 (7) T0 − T2y eliminando I entre las mismas ecuaciones: I0 D = 4π 2 2 (8) T0 − T2 Una vez obtenido el valor de D, el de G se calcula a partir de (5). ´METODO El p´ndulo de torsi´n que utilizamos est´ formado por un alambre de unos 100 cm de longitud, e o asujeto por su parte superior, y cuyo extremo inferior va unido a un disco met´lico, tal como se aindica en la figura. (1) Impr´ ımase a la masa pendular un giro inicial en torno al eje vertical. Al dejarlo en libertad, comenzar´ a oscilar en un plano horizontal. a (2) Mida con el cron´metro la duraci´n de 50 oscilaciones completas, repitiendo la operaci´n o o o tres veces y realizando los c´lculos de dispersi´n pertinentes para decidir el n´ mero de a o u medidas necesarias. (3) A˜ ada la pieza adicional y mida de nuevo el periodo T0 en la misma forma que antes. n (4) Determine la masa de esta pieza y sus dimensiones geom´tricas. e*(5) Calcule el momento de inercia I0 de la pieza. Para ello tenga en cuenta los vol´ menes de u la misma que han sido vaciados.*(6) Con le valor obtenido para I0 y los correspondientes de T y T0 calcule I, aplicando (7).*(7) Calcule el valor de D, sustituyendo los valores correspondientes en (8). (8) Mida con la regla la longitud l del hilo y con el calibre su di´metro. a*(9) Aplicando la ecuaci´n (5) calcule el m´dulo de rigidez del alambre. o oDATOS ρ(Fe) = 7,8 × 103 kg/m31er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 40Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 8 a ´DETERMINACION DEDENSIDADES DE LIQUIDOS Y ´SOLIDOSOBJETIVO Determinar la densidad de l´ ıquidos y s´lidos, a partir del principio de Arqu´ o ımedes usando labalanza de Mohr-Westphal y una balanza electr´nica, respectivamente oMATERIAL Para determinar la densidad de un l´ ıquido: Balanza de Mohr-Westphal, probeta, agua desti-lada y l´ ıquidos problemas. Para determinar la densidad de un s´lido: Balanza electr´nica, junto con su platillo, un o oestribo encajado al platillo, puente. Vaso de 250 cm3 , portaobjetos, agua destilada, term´metro oy s´lidos problema. o ´FUNDAMENTO TEORICODensidad Llamamos densidad absoluta o simplemente densidad, ρ, de un cuerpo homog´neo a su masa em, por unidad de volumen: m ρ= (1) VPrincipio de Arqu´ ımedes Este principio establece que todo cuerpo sumergido total o par-cialmente en un fluido experimenta una fuerza vertical hacia arriba,llamada empuje, cuyo valor es igual al peso del fluido desalojado ycuya l´ ınea de acci´n pasa por el centro de gravedad del fluido desa- olojado (ver figura). As´ si un cuerpo de volumen V se encuentra totalmente sumer- ı,gido en un l´ıquido de densidad ρ, el empuje que experimenta el 41
    • 42cuerpo es E = ρgV (2)Determinaci´n de la densidad de un l´ o ıquido Si sumergimos un mismo cuerpo sucesivamente en dos fluidos distintos de densidades ρ1 yρ2 , los empujes que experimenta se encuentran en la misma relaci´n que las densidades de los ol´ ıquidos, esto es E2 ρ2 = (3) E1 ρ1de modo que, si conocemos ρ1 , podemos determinar la densidad ρ2 del otro l´ ıquido.Balanza de Mohr-Westphal Esta balanza de brazos desiguales se utiliza para la de-terminaci´n de densidades de l´ o ıquidos m´s o menos densos aque el agua (ver figura). El brazo m´s corto termina en auna masa compacta P de peso fijo, provista de una agujaque debe ponerse al mismo nivel que otra aguja fija al cha-sis para obtener el equilibrio. Del extremo del brazo largopende, mediante un hilo delgado, un inmersor de vidrio I,que, normalmente, lleva incorporado un term´metro para omedir la temperatura del l´ ıquido cuya densidad de deseamedir (si no se dispone de este term´metro, t´mese como temperatura la ambiente). En el brazo o olargo hay marcadas diez muescas, numeradas del 1 al 10; aunque, realmente, esta numeraci´n odebe interpretarse como 0,1, 0,2,. . . , de modo que el 10 representa la unidad. Cuando el inmersor est´ colgado en el aire, su peso queda equilibrado por el contrapeso a(la balanza est´ equilibrada). Si se sumerge el inmersor en un l´ a ıquido, el empuje hidrost´tico adesequilibra la balanza, de tal forma que, si queremos reestablecer el equilibrio, deberemos colocarunas pesas en forma de horquilla, llamadas reiters (“jinetes”), a caballo sobre el brazo graduado,de forma que se compense exactamente el empuje hidrost´tico. a Como en la expresi´n s´lo aparece el cociente entre dos empujes, no tenemos que preocupare- o omos de cu´l sea la unidad para medir ´stos. As´ el reiter unidad (1/1) se ha elegido de modo que, a e ı,colocado en la divisi´n 10, equilibre exactamente el empuje que experimenta el inmersor cuando oest´ sumergido en agua pura (exenta de aire) a 4o C. Este reiter representa por tanto la unidad ade empuje cuando est´ colocado en la divisi´n 10. Los dem´s reiters tienen, respectivamente una a o amasa de 1/10, 1/100 de la del reiter unidad, de tal modo que colocados en la divisi´n 10 de la obalanza, representan 1/10 y 1/100 de la unidad de empuje. Cada reiter colocado en otra divisi´n, orepresenta tantas d´cimas de su valor (por ejemplo 0,1 en el caso del reiter unidad) como indica eel n´ mero de la muesca sobre la que se ha situado. As´ por ejemplo, los reiter 1/1, 1/10 y 1/100 u ısituados, respectivamente, en las muescas 7, 6 y 5, representan un empuje de 0,765 unidades.Puesto que la unidad de empuje corresponde al agua y la densidad de ´sta es bien conocida e 3(103 kg/cm a 4o C), la balanza de Mohr-Westphal permitir´ conocer la densidad de un l´ a ıquidoproblema, a partir de la simple lectura de la posici´n de los reiters necesarios para equilibrar la obalanza cuando el inmersor est´ completamente sumergido en el l´ a ıquido problema. No obstante,normalmente hay que proceder a efectuar la correcci´n instrumental de la balanza. oDeterminaci´n de la densidad de un s´lido o o Si pesamos un cuerpo una vez sumergido en un l´ ıquido de densidad ρ, su peso ser´ a p1 = pa − ρgV (4)Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 43donde pa es el peso del cuerpo en el aire, es decir, pa = δgV (5)siendo δ la densidad del s´lido que queremos determinar. Debe tenerse en cuenta que estamos odespreciando el empuje del aire. Por tanto, si podemos determinar el peso del s´lido en el aire, as´ como el empuje que o ıexperimenta en el seno de un l´ıquido de densidad ρ conocida, de las expresiones anteriores nosqueda pa δ= ρ. (6) EExisten factores que pueden afectar al resultado, pero su toma en consideraci´n depende de la oexactitud que le exijamos. Revisemos algunos de ellos.Temperatura La variaci´n de la densidad de los s´lidos con la temperatura es, en general, muy peque˜ a, o o ny, por tanto, normalmente despreciable. Por el contrario, para los l´ıquidos, la variaci´n de la odensidad con la temperatura es del orden de magnitud de 1 por mil por cada grado cent´ ıgrado.Puesto que las determinaciones de la densidad de los s´lidos se realizan mediante un l´ o ıquidoauxiliar en el que se sumergen, para determinar la densidad con una exactitud superior al 1 %debe de tenerse en cuenta el influjo de la temperatura en la densidad del l´ ıquido.Empuje del aire La densidad del aire es de un orden de magnitud de 1 Kg/m3 . As´ pues, cualquier cuerpo ısumergido en el aire, experimenta un empuje del orden de 10−3 del que experimenta en el senodel agua. Este fen´meno puede despreciarse en la determinaci´n de la densidad de un s´lido, o o opero, si se requiriera una gran precisi´n, ser´ necesario tenerlo en cuenta; siendo entonces la o ıa 3densidad verdadera mayor en 1 mg/cm que la calculada, aproximadamente.Profundidad de inmersi´n del cuerpo sumergible o El cuerpo sumergible est´ suspendido de un alambre de aproximadamente 0,2 mm de di´me- a atro. Por consiguiente, el alambre experimenta un empuje que depender´ de la longitud de alam- abre sumergida. Para minimizar el error introducido por este motivo, el portaobjetos debe estarsuspendido del estribo de igual forma en las dos operaciones de pesada necesarias para la deter-minaci´n de la densidad de un s´lido. o oTensi´n superficial del l´ o ıquido Los fen´menos de tensi´n superficial tambi´n pueden afectar las medidas realizadas durante o o ela pr´ctica. Para minimizar su influencia, se sumergir´ el portaobjetos de igual forma en las dos a aoperaciones de pesada.Burbujas de aire La adherencia de burbujas de aire al s´lido sumergido (al portaobjetos) influye sobre el oresultado, produciendo un empuje adicional; por lo que debe evitarse la presencia de las burbujas.Para ello se sacudir´ ligeramente el portaobjetos en la primera inmersi´n en el l´ a o ıquido, antes desuspenderlo del estribo, para desprender las posibles burbujas de aire adheridas.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 44 ´METODODeterminaci´n de densidades de l´ o ıquidos (1) Una vez montada la balanza, cuelgue el inmersor, limpio y seco, del gancho que hay en el extremo del brazo largo. La balanza debe quedar equilibrada. Si no es as´ act´ e con los ı, u tornillos A y B hasta conseguir que las dos agujas queden a la misma altura. (2) Llene la probeta con agua destilada y, elevando la parte m´vil de la balanza (tornillo o T) si fuera preciso, coloque el inmersor dentro del agua destilada, de modo que quede completamente sumergido, sin tocar el fondo ni las paredes. Si quedasen burbujas de aire adheridas al inmersor, ´ste debe sacudirse ligeramente para que se desprendan. e (3) La balanza se habr´ desequilibrado. Para restablecer el equilibrio, vaya colocando los a reiters, sirvi´ndose de las pinzas, empezando por los mayores y ensayando cada uno de e ellos en las distintas muescas, empezando en la diez y en sentido decreciente. Si al ensayar con un reiter, su peso resulta excesivo en una divisi´n y deficiente en la contigua, d´jese o e en esta ultima y comience a ensayar con el reiter siguiente. Proceda de esta forma hasta ´ conseguir equilibrar la balanza. Anote entonces el valor de ρ′ as´ obtenida. a ı (4) Lea la temperatura que marca el term´metro del inmersor y an´tela. Consultando una o o tabla de densidades del agua pura a distintas temperaturas, anote la densidad del agua ρa ρa a esa temperatura. El cociente f = ρ′ es el factor de correcci´n instrumental de la o a balanza. Calc´ lelo, junto con su error. u (5) Descargue la balanza y saque el inmersor del agua. L´ ımpielo y s´quelo con cuidado y vuelva e a colgarlo de nuevo. (6) Vac´ limpie y seque cuidadosamente la probeta y ll´nela con uno de los l´ ıe, e ıquidos problema. (7) Sumerja el inmersor en el l´ ıquido problema y proceda, como antes, a determinar su densi- dad. Sea ρ′ el resultado obtenido. An´telo. o (8) Aplique el factor de correcci´n instrumental f , obtenido en el punto 4, de modo que la o verdadera densidad determinada del l´ ıquido problema es ρ = f ρ′ . Anote el resultado. (9) Repita los pasos de 5 a 8 para otros l´ ıquidos problema.Determinaci´n de densidades de s´lidos o o La figura final muestra un esquema del procedimiento a seguir. (1) Limpie cuidadosamente el material y s´quelo. e (2) Llene con agua destilada el vaso hasta que el s´lido, una vez colocado en la cestita del o portaobjetos, est´ cubierto, como m´ e ınimo, con 1 cm de agua. Introduzca el term´metro. o Coloque el colgante en el centro del vaso, aproximadamente (3) Suspenda el portaobjetos. Sac´ dalo ligeramente en la primera inmersi´n, antes de suspen- u o derlo del estribo, para desprender las posibles burbujas. (4) Tare la balanza. Debe indicar exactamente cero. (5) Ponga el s´lido seco sobre la capsulita superior del portaobjetos, y anote su peso, pa . o (6) Tare de nuevo la balanza (con el s´lido en la capsulita). De nuevo debe dar una lectura o cero. (7) Saque el s´lido de la capsulita y p´ngalo en la cestita inferior dentro del agua. En la balanza o o aparecer´ el empuje E, con signo negativo. aPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 45 (8) Lea la densidad del agua destilada, a la temperatura T medida con el term´metro, en la o tabla de densidad del agua en funci´n de la temperatura (interpole si fuera necesario). o (9) Siga el mismo procedimiento, desde el apartado 1, para otros s´lidos problema. Anote los o resultados en una tabla, junto con sus errores.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 46Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 9 aMEDIDA DE LA VISCOSIDAD ´POR EL METODO DE STOKESOBJETIVO Determinaci´n del coeficiente de viscosidad de un l´ o ıquido por el m´todo de Stokes y compro- ebaci´n de la ley de Stokes. oMATERIAL Probeta de 1000 cm3 o tubo de vidrio de unos 5 cm de di´metro y al menos 60 cm de longitud, acerrado por un extremo (Fig. 1), esferas de acero, id´nticas, de un di´metro no superior a 2 mm, e al´ ıquido problema, cron´metro, term´metro, palmer y regla graduada en mil´ o o ımetros. ´FUNDAMENTO TEORICOArrastre sobre un cuerpo sumergido Cuando un cuerpo se mueve a trav´s de un fluido, aparece una fuerza esobre el cuerpo que se opone a dicho movimiento. Dicha fuerza, que recibe elnombre de fuerza de arrastre, tiene su origen en los esfuerzos tangenciales ynormales que ejerce el flujo sobre la superficie del cuerpo. La fuerza de arrastre sobre un cuerpo de geometr´ dada resulta muy ıadif´ de determinar anal´ ıcil ıticamente, ya que depende de gran n´ mero de fac- utores. Por eso es necesario recurrir b´sicamente a la adquisici´n de datos a oexperimentales y, con esta finalidad, es costumbre expresar dicha fuerza enla forma 1 2 FD = CD ρv A (1) 2donde v es la velocidad relativa del cuerpo en el fluido, ρ es la densidad delfluido, A es el ´rea de la secci´n transversal m´xima que el cuerpo ofrece al a o aflujo y CD es un par´metro emp´ a ırico llamado coeficiente de arrastre, cuyovalor depende de la forma geom´trica del cuerpo y de la orientaci´n de ´ste e o erespecto al flujo, as´ como del valor del n´mero de Reynolds asociado con el ı uflujo alrededor del cuerpo. Dicho n´ mero de Reynolds, que designaremos por u 47
    • 48R, es una magnitud adimensional definida en la forma ρvD R= (2) ηdonde ρ y v tienen el mismo significado que en [1], D es la longitud caracter´ıstica del cuerpo (eldi´metro, en el caso de una esfera) y η es el coeficiente de viscosidad del fluido, que se mide en apoises (P) en el sistema cegesimal (c.g.s.) y en DP en el S.I. En la figura la margen se ha represen-tado gr´ficamente la dependencia del coefi- aciente de arrastre con el n´ mero de Rey- unolds para el caso de una esfera lisa. Setrata de una gr´fica logar´ a ıtmica (log CD enfunci´n de log R). Como puede apreciarse, oel coeficiente de arrastre var´ de una for- ıama complicada conforme aumenta el valorde n´ mero de Reynolds. uLey de Stokes Para valores peque˜ os del n´ mero de Reynolds (R < 1), es posible determinar anal´ n u ıticamentela expresi´n de la fuerza de arrastre sobre una esfera lisa, obteni´ndose o e RD = 3πηDV (3)expresi´n que es conocida como ley de Stokes, en honor del f´ o ısico irland´s Sir George Stokes e(1819-1903), que la dedujo por primera vez en 1845. Esta ley establece que la fuerza de arrastreviscoso que se opone al movimiento de una esfera a trav´s de un fluido, cuando R < 1, es eproporcional a la viscosidad del fluido, al di´metro de la esfera y a la velocidad de la misma en ael seno del fluido. Teniendo en cuenta la definici´n del coeficiente de arrastre [1], puede comprobarse f´cilmente o aque 28 CD = para R < 1 (4) Rpara el caso de una esfera, lo que concuerda excelentemente con los resultados experimentales,como puede observarse en la Fig. 2.Medida de la viscosidad Podemos servirnos de la ley de Stokes para realizar unamedida precisa de la viscosidad de un fluido. Consideremosuna esfera lisa, de masa m y di´metro D, que cae en el seno ade un fluido viscoso (ver figura). Las fuerzas que act´ anusobre la esfera son: su peso mg, el empuje hidrost´tico aE y la fuerza de arrastre viscoso FD . La segunda ley deNewton nos permite escribir mg − E − FD = ma (5)Como consecuencia de la aceleraci´n de la esfera, su velo- ocidad aumenta; pero, puesto que la fuerza de arrastre FDes proporcional a la velocidad, tambi´n aumenta la resis- etencia al movimiento. As´ pues, la esfera llegar´ a alcanzar ı aPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 49una velocidad tal que la fuerza peso sea compensada por la suma del empuje hidrost´tico y la afuerza de arrastre. Entonces, la aceleraci´n de la esfera ser´ nula y su velocidad no seguir´ au- o a amentando. En estas condiciones, la esfera se mover´ con una velocidad constante que recibe el anombre de velocidad l´mite (vlim ). Si δ es la densidad de la esfera y ρ la del l´ ı ıquido, el peso dela esfera y el empuje hidrost´tico sobre ella vendr´n dados por a a 4 D π 3 mg = π δg = D δg (6) 3 2 6 4 D π 3 E= π ρg = D ρg (7) 3 2 6 (8)de modo que, una vez alcanzada la velocidad l´ ımite, tendremos mg = E + FD (9)o sea π 3 π D δg = D3 ρg + 3πηDvlim (10) 6 6de donde D2 (δ − ρ)g vlim = (11) 18ηrelaci´n que nos permite determinar el coeficiente de viscosidad de un fluido a partir de la medida ode la velocidad l´ ımite de ca´ de peque˜ as esferas a trav´s del mismo, con tal de que el n´ mero ıda n e ude Reynolds asociado al flujo alrededor de las esferas sea menor que la unidad. Con todo rigor, la expresi´n [9] solamente es v´lida para esferas que caen en el seno de un o al´ ıquido de extensi´n indefinida. En las condiciones experimentales, en las que las esferas caen oaxialmente a trav´s de un l´ e ıquido viscoso contenido en una probeta o en un tubo cil´ ındrico dedi´metro φ, hay que efectuar ciertas correcciones: a 1. Correcci´n debida a la longitud finita del tubo, en el sentido de que la esfera tiende asint´ti- o o camente al valor de la velocidad l´ ımite. En las condiciones en que se ha planificado nuestra experiencia, esta correcci´n puede despreciarse. o 2. Correcci´n de Ladenburg: El influjo de las paredes del tubo da lugar a una disminuci´n de o o la velocidad l´ ımite de ca´ ıda. Si llamamos vm a la velocidad medida experimentalmente, la velocidad corregida de este efecto es D vlim = 1 + 2,4 vm (12) φ donde φ es el di´metro interno del tubo. a Para un l´ ıquido dado, el valor del coeficiente de viscosidad depende extraordinariamente dela temperatura, por lo que es necesario especificar ´sta en el instante en que se determina la eviscosidad. ´METODOMedidas preliminares Para determinar la viscosidad del l´ ıquido problema ser´ necesario disponer de los datos asiguientes: La densidad δ y el di´metro D de las bolas. a1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 50 La densidad ρ del l´ ıquido problema. El di´metro interno φ de la probeta o tubo a La distancia l entre las marcas en la probeta o tubo. Si algunos de estos datos no figurasen en el Gui´n que acompa˜a el montaje experimental, o nel alumno deber´ realizar las medidas siguientes: a (1) Medir con el palmer los di´metros de las bolas id´nticas. Se tomar´ como valor de D el a e a valor medio de las medidas. Calcular el volumen medio de las bolas. Realizar los c´lculos a de error pertinentes. (2) Para determinar la densidad de las bolas, se pesar´n conjuntamente en la balanza de a precisi´n del laboratorio. o (3) La densidad del l´ ıquido problema puede determinarse con la balanza de Morh-Westphal del laboratorio (4) El di´metro interno de la probeta o tubo puede medirse con el palmer. a (5) La distancia entre las dos marcas de la probeta o tubo se medir´ con una regla milimetrada, a o con la escala auxiliar milimetrada dispuesta a tal efecto.Velocidad l´ ımite (6) Medir y anotar la temperatura del l´ıquido problema contenido en la probeta o tubo. Con- viene repetir esta medida varias veces en el transcurso de la experiencia para asegurarnos de que ´sta no cambia significativamente. e (7) Si fuese necesario, limpiar bien las bolas y secarlas. Resulta conveniente manejarlas con unas pinzas de madera. (8) Dejar caer una bola desde corta distancia sobre la superficie libre del l´ ıquido problema, en el centro de dicha superficie. La bola deber´ descender a lo largo del eje de la probeta o a tubo, lejos de las paredes. Para tal fin se usar´ el tubo de vidrio dispuesto en el montaje a seg´ n se indica en la Fig. 1. Medir y anotar el tiempo de tr´nsito de la bola entre las dos u a marcas se˜ aladas en la probeta o tubo. n (9) Repetir la operaci´n anterior las veces que sea preciso. o*(10) Determinar el valor medio de los tiempos de tr´nsito obtenidos anteriormente y, a partir a de ´ste, calcular la velocidad l´ e ımite de ca´ ıda.*(11) Aplicar la correcci´n de Ladenburg (12) para obtener la velocidad l´ o ımite corregida.Coeficiente de viscosidad*(12) Calcular el valor del coeficiente de viscosidad del l´ ıquido utilizando la expresi´n [9]. o*(13) Calcular el valor del n´ mero de Reynolds [2] y asegurarse de que se ha trabajado en las u condiciones de validez de la ley de Stokes.*(14) Calcular el valor del coeficiente de arrastre por medio de la expresi´n o 4 D δ CD = 2 g −1 (13) 3 vlim ρPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 10 a ´TERMOMETRO DE GAS A ´PRESION CONSTANTEOBJETIVO Determinar el coeficiente de dilataci´n a presi´n constante de un gas. Medida de Tempera- o oturas.MATERIAL Term´metro de gas a presi´n constante. Recipiente met´lico para el agua que rodea el bulbo o o ade term´metro. Resistencia de calefacci´n. o o ´FUNDAMENTO TEORICO El primer enunciado preciso de la ley que relaciona las variaciones de volumen de un gas conlas variaciones de su temperatura fue publicado por Gay-Lussac en 1802. Gay-Lussac midi´ lo oque ahora llamar´ ıamos coeficiente de dilataci´n de un cierto n´ mero de gases distintos, y al o uparecer fue el primero en reconocer que, al efectuar tales medidas con los gases, es esencialmantener la presi´n constante. Si no se hace esto, las variaciones de volumen originadas por los ocambios de presi´n no permitir´ conocer las variaciones de volumen debidas unicamente a los o ıan ´cambios de temperatura. La magnitud medida era, por consiguiente, el coeficiente de dilataci´n c´ bica a presi´n cons- o u otante. Los resultados experimentales quedan expresados por la siguiente relaci´no V = V0 [1 + α(T − T0 )] (1)siendo V0 el volumen a una temperatura de referencia T0 , V el volumen a la temperatura T , yα el coeficiente de dilataci´n. o Si, como en el caso corriente, se toma como temperatura de referencia la de cero gradoscent´ıgrados, la ecuaci´n (1) se convierte en o V = V0 [1 + α(T )] (2) El primer punto de inter´s es que el volumen es funci´n lineal de la temperatura. El segundo e oes que el coeficiente α tiene, muy aproximadamente, el mismo valor para todos los gases. Cuantom´s baja es la presi´n, con tanta mayor aproximaci´n coinciden los valores de α para los distintos a o ogases. Extrapolando las medidas hasta la presi´n cero, se obtiene el siguiente valor, com´ n a o utodos los gases: α = 0,003666oC−1 o sea, 1/α = 273,15o C 51
    • 52Term´metro de gas a presi´n constante. o o El hecho de la dependencia lineal entre el volumen ocupado por un gas y la temperatura delmismo, as´ como la constancia del coeficiente de dilataci´n, nos permite utilizar la expresi´n (1) ı o opara la determinaci´n de temperaturas. o Utilizaremos el dispositivo de la figura, consistente enun recipiente de vidrio A (que contiene gas) comunica-do, por medio de una llave en T, con un tubo a un re-cipiente provisto de un ´mbolo. Este recipiente dispone ede una escala graduada en cm. Durante la realizaci´n de ola experiencia, el ´mbolo se ajusta autom´ticamente a las e avariaciones de volumen del gas, manteni´ndose la presi´n e oconstante. Este dispositivo nos servir´ para determinar el avalor del coeficiente de dilataci´n del gas contenido en A. oUna vez determinado el valor de α, podremos utilizar eldispositivo como term´metro (Term´metro de gas a pre- o osi´n constante). o Bastar´ conocer el volumen V0 del gas a la temperatura T0 y el volumen VE a la temperatura aTE (de ebullici´n del agua), y, entonces, de (1) se deduce: o VE − V0 α= . (3) V0 (TE − T0Si se coloca el recipiente A en un medio a temperatura conocida T , y medimos el volumencorrespondiente VT ocupado por el gas, manteniendo la presi´n constante, de (1) se obtiene o VT − V0 1 VT − V0 T − T0 = = (TE − T0 ) (4) V0 α VE − V0 Para que los resultados obtenidos de las expresiones (3) y (4) sean correctos, debemos teneren cuenta la dilataci´n que experimenta el recipiente as´ como que el aire contenido en el tubo de o ıconexi´n R y en el recipiente B no se encuentra a la misma temperatura que el contenido en el orecipiente A. Dado que este ultimo t´rmino es el m´s importante haremos unas consideraciones ´ e asobre la soluci´n del problema que plantea. oCorrecci´n de temperaturas o La correcci´n de temperaturas se basa en suponer que el aire se comporta como un gas ideal, ocomo hasta ahora hemos hecho, y en tener en cuenta que el n´ mero de moles total que hay dentro udel recipiente A, cuando la temperatura es T0 se reparte entre el recipiente A y el recipiente Bcuando la temperatura es otra cualquiera. Aplicando la ecuaci´n de los gases ideales y teniendo oen cuenta que se cumplir´a n = nA + nB (5)despejando los valores de n, nA y nB y aplicando la expresi´n, sucesivamente, a las temperaturas oTE y T se obtiene pV0 pV0 pVE n= = + (6) RT0 RTE RTa pV0 pV0 pV n= = + (7) RT0 RT RTadonde hemos supuesto que la temperatura del gas contenido en el recipiente B llega a ser la tem-peratura ambiente despu´s de un cierto tiempo. Simplificando t´rminos semejantes y dividiendo e euna ecuaci´n por la otra se llega, despu´s de despejar 1/T , a o e 1 1 hT 1 1 = − − (8) T T0 hE T0 TEPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 53donde hemos tomado V = hS, siendo h el desplazamiento del ´mbolo y S la secci´n uniforme e odel recipiente B (hE y hT ser´n los desplazamientos correspondientes a las temperaturas TE y aT respectivamente). La expresi´n (8) permite calcular la temperatura, incluyendo la correcci´n o odebida al gas que escapa del recipiente A. ´METODO Colocar la llave T de forma que se comunique el recipiente A con el recipiente B y la atm´sfera. o (1) En el recipiente met´lico que acompa˜ a al aparato colocar una mezcla de hielo y agua a n (“hielo fundente”), a fin de conseguir la temperatura 0 o C. Esperar unos minutos para que el aire contenido en el recipiente A alcance la temperatura de 0 o C. (2) Desplazar el ´mbolo hasta el final del recipiente B. El gas se encontrar´ confinado en el e a recipiente A y en los tubos de conexi´n R cuyo volumen despreciamos respecto al de V0 . o (3) Colocar la llave en T, de forma que se conecte el recipiente A con el recipiente B, aisl´ndolos a de la atm´sfera. o (4) Sustituir el ba˜ o de hielo por otro de agua del grifo. El ´mbolo se desplazar´ en el recipiente n e a B. Medir y anotar el desplazamiento hH2 O al cabo de unos minutos cuando se estime que el gas contenido en A haya alcanzado la temperatura del agua del grifo. (5) Retirar el ba˜ o con el agua y dejar que el recipiente A, expuesto al aire, alcance la tem- n peratura ambiente. Rep´ ıtase la operaci´n descrita en el apartado 5 para el desplazamiento o ha (que puede ser casi inapreciable, respecto al anterior) (6) Colocar de nuevo el ba˜ o con agua y conectar la resistencia para alcanzar la temperatura TE n de ebullici´n del agua. Repetir la operaci´n descrita en el apartado 5 para el desplazamiento o o hE . Anotar tambi´n los valores de los distintos desplazamientos para distintas temperaturas e intermedias entre Ta y TE . *(7) Aplicando la expresi´n (3) se calcular´ α y 1/α. o a *(8) Aplicando la expresi´n (4) se calcular´ la temperatura ambiente y la temperatura del agua o a del grifo. *(9) Aplicando la expresi´n (8) se calcular´n las temperaturas ambiente y la del agua del grifo. o a 3*(10) Calibrar en grados/cm la escala graduada sobre la rama B del term´metro de gas a presi´n o o constante, es decir, dibujar en una hoja dicha escala T = T (V ).DATOS V0 = 568,5 ± 0,3 cm3 S = 8,50 ± 0,03 cm21er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 54Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 11 aEQUIVALENTE EN AGUA DEUN CALOR´ IMETROOBJETIVO Determinar el equivalente en agua de un calor´ ımetro.MATERIAL Para realizar esta pr´ctica se dispone de un vaso de Dewar o vaso calorim´trico provisto de a eun term´metro, una resistencia de inmersi´n y un agitador. Vaso de precipitado. Hielo y papel o ode filtro o similar. ´FUNDAMENTO TEORICOVaso de Dewar Los vasos de Dewar, popularmente llamados ”termos”, son unos recipientes de dobles paredesde vidrio entre las cuales se ha realizado el vac´ El vaso suele venir embutido en una carcasa de ıopl´stico que sirve para protegerlo de peque˜ os golpes fortuitos. Como el vac´ que existe entre a n ıolas paredes no permite la conducci´n del calor, los vasos de Dewar conservan muy bien la tempe- oratura de los cuerpos colocados en su interior y, por ello, se utilizan como vasos calorim´tricos. ePara reducir las p´rdidas de calor por radiaci´n, la pared interior suele estar plateada, lo que le e oconfiere un aspecto met´lico. Pero no debemos olvidar la suma fragilidad del vaso de Dewar por alo que evitaremos los errores que a veces se cometen como machacar el hielo dentro del vaso,producir cambios repentinos de temperatura dentro del mismo, verter agua hirviendo en el vasoo dejar caer objetos pesados bruscamente en su interior (en la mayor´ de los que actualmente se ıavenden como termos, el pl´stico sustituye al vidrio y el poliuretano al vac´ Son mucho menos a ıo.aislantes, pero mucho m´s baratos y much´ a ısimo menos fr´giles). aEquivalente en agua de un calor´ ımetro Se llama as´ y se suele denotar por K, al producto de la masa del calor´ ı, ımetro por el calorespec´ıfico de la sustancia de la que est´ fabricado, esto es, a su capacidad calor´ a ıfica. Evidentemen-te, dado que la capacidad calor´ ıfica media del agua a temperaturas habituales es pr´cticamente ade 1 cal/go C, el valor de K representa la masa de agua que deber´ tener un calor´ ıa ımetro, hi-pot´ticamente construido con agua, para que cediera o absorbiera la misma cantidad de calor e 55
    • 56que el calor´ ımetro en cuesti´n. Por ello, con frecuencia, el equivalente en agua del calor´ o ımetrose expresa en gramos de agua. No obstante, las verdaderas unidades de K son calor´ o C. ıas/ Como en la pr´ctica calorim´trica no s´lo el vaso absorbe calor, sino tambi´n el agitador, a e o eel term´metro, etc., es preferible proceder a la determinaci´n experimental del equivalente del o oagua total del calor´ımetro con todos sus accesorios.M´todo de las mezclas e Cuando se mezclan dos sustancias, que se encuentran inicialmente a distintas temperaturas,el cuerpo a mayor temperatura cede calor al que est´ a menor temperatura, hasta que se alcanza auna temperatura de equilibrio id´ntica para las dos sustancias. El proceso debe ser tal que no ehaya flujo calor´ ıfico hacia o desde los cuerpos circundantes (medio ambiente), es decir, que elsistema est´ adecuadamente aislado. e Con el fin de minimizar esta ganancia o p´rdida de calor, se utilizan los vasos (de) Dewar, ya eque con ellos el intercambio calor´ ıfico con el medio ambiente es extremadamente reducido. Unprocedimiento para reducir a´ n m´s el efecto de este intercambio calor´ u a ıfico es comenzar con elcalor´ ımetro algo m´s caliente que el medio que lo rodea y acabar cuando su temperatura est´ por a adebajo de la del ambiente. En este caso, el calor que pierde el calor´ ımetro y su contenido cuandosu temperatura es superior a la del medio ambiente se ve compensada con el calor que ganamientras su temperatura es inferior a la de aqu´l. e Si colocamos en el interior del calor´ ımetro una cantidad M1 de agua a una temperatura T1 ydespu´s a˜ adimos una masa M2 de agua a una temperatura T2 , una vez efectuada la mezcla, se e nalcanzar´ una temperatura T de equilibrio, de modo que, si llamamos K al equivalente en agua adel calor´ımetro y accesorios y T2 < T < T1 , se verificar´ a (M1 c + K)(T1 − T ) = M2 c(T − T2 ) (1)de donde T − T2 k = M2 c − M1 c (2) T1 − T osiendo c el calor espec´ ıfico del agua (c = 0,998 cal/g C y una variaci´n inferior al 1 % para un ointervalo de temperaturas comprendido entre 0 y 100o C). ´METODO (1) Limpie cuidadosamente el interior del vaso de Dewar, s´quelo exterior e interiormente. e (2) Pese una cierta masa de agua, M1 , que le permita llenar el vaso de Dewar hasta poco m´sa de la mitad. A continuaci´n, conecte la resistencia hasta alcanzar una temperatura de unos o 10 ´ 15 o C por encima de la temperatura ambiente. An´tela (temperatura T1 ). o o (3) Coloque agua del grifo en el otro vaso. Para enfriarla ahora hasta una temperatura cercana a 0o C, a˜ ada unos cubitos de hielo y esp´rese a que todo el hielo se funda. Pese una cierta n e cantidad de este agua, M2 , y anote su temperatura, T2 . (4) Vierta cuidadosamente el agua fr´ en el interior del vaso de Dewar hasta un par de ıa cent´ ımetros por debajo de su borde. T´pelo y agite suavemente con el agitador con objeto a de favorecer la mezcla. Mientras, observe el descenso de temperatura en el calor´ ımetro. Cuando ´sta permanezca estacionaria y uniforme en todo el volumen del l´ e ıquido, anote su valor final T . (5) Repita el proceso tantas veces como considere oportuno.*(6) A trav´s de la ecuaci´n (2) determine el equivalente en agua del vaso de Dewar y sus acce- e o sorios. Incl´ yanse todas las medidas realizadas, la justificaci´n de su n´ mero, los c´lculos u o u a que considere oportunos y exprese el resultado con el error correspondiente.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 12 a ´CALOR DE FUSION DELHIELO Y CALOR ESPEC´ IFICO ´DE SOLIDOSOBJETIVO Determinar el calor latente de fusi´n del hielo utilizando el m´todo de las mezclas. Determinar o eel calor espec´ ıfico de s´lidos. oMATERIAL Para realizar esta pr´ctica se dispone de un vaso de Dewar o vaso calorim´trico provisto de a eun term´metro y un agitador, as´ como un cazo y hornillo para calentar agua, hielo y papel de o ıfiltro o similar. Caja con tres s´lidos diferentes en forma de pesa de balanza. oFUNDAMENTO ´CALOR DE FUSION DEL HIELO Se llama calor latente de fusi´n de una sustancia a la cantidad de calor que hay que sumi- onistrar a la unidad de masa de esa sustancia para que, a la temperatura del punto de fusi´n, o´sta cambie del estado s´lido al l´e o ıquido. El calor latente de fusi´n se suele medir en calor´ por o ıasgramo (cal/g), aunque su unidad SI es el J/Kg, y se suele representar por L. El calor puesto en juego en un proceso de cambio de estado puede determinarse por el m´todo e ´de las mezclas. Este se basa en el hecho de que cuando se mezclan dos sustancias que inicialmentese encuentran a distinta temperatura, la que est´ a mayor temperatura cede calor a la que se aencuentra a menor temperatura, hasta que se igualan las temperaturas en un valor de equilibriointermedio de las anteriores. El proceso anterior debe realizarse de tal forma que no haya intercambio de calor con elmedio circundante; lo que, de forma aproximada, se consigue utilizando los vasos de Dewar (verpr´ctica 11 para su descripci´n) y trabajando de modo que inicialmente el vaso de Dewar o vaso a ocalorim´trico y su contenido se encuentren a una temperatura algo superior a la del medio y, efinalmente, a una temperatura algo inferior a la del medio. Como consecuencia de esta precauci´n, oel calor cedido al medio por el vaso de Dewar y su contenido cuando la temperatura de ´stos ees superior a la del medio, se ve pr´cticamente compensado por el calor absorbido cuando la atemperatura del vaso y su contenido es inferior a la del medio. 57
    • 58 Como nuestro prop´sito es determinar el calor de fusi´n L del hielo, colocaremos en el interior o odel calor´ ımetro una masa conocida de agua, M , a una temperatura bien determinada, T0 , ydejaremos fundir en ella una masa, m de hielo a 0o C. As´ si utilizamos la siguiente nomenclatura: ı, M masa inicial de agua, m masa de hielo a˜ adido a 0o C, n K equivalente en agua del vaso de Dewar y accesorios (v´ase la pr´ctica 11), e a T0 temperatura inicial del agua en el vaso de Dewar, T temperatura final de equilibrio, o c calor espec´ıfico del agua (c = 0,998 cal/g C con una variaci´n inferior al 1 % para un o intervalo de temperaturas comprendido entre 0o C y 100oC) L calor latente de fusi´n del hielo, opodremos escribir la siguiente ecuaci´n de balance energ´tico: o e M c(T0 − T ) + K(T0 − T ) = mL + mc(T − 0) (1)de donde Mc + K L= (T0 − T ) − cT. (2) mN´tese que la temperatura T est´ indicada en grados cent´ o a ıgrados.CALOR ESPEC´ ´ IFICO DE SOLIDOS Supongamos que medimos el cambio de temperatura ∆T de un sistema de masa m cuando sele cede una cierta cantidad de calor Q, suponiendo, como en nuestro caso, la presi´n se mantiene ofija y no hay cambios de fase. Para peque˜ os cambios de temperatura, la experiencia demuestra nque el calor cedido al sistema y el cambio de temperatura son proporcionales. Tambi´n que, epara un cambio de temperatura dado, Q va a ser proporcional a la masa del sistema. Es decir,Q ∝ m∆T . La constante de proporcionalidad es una caracter´ ıstica de cada sustancia; se tratade la capacidad calor´fica espec´fica a presi´n constante, cp , que se define en el caso l´ ı ı o ımite decambios infinitesimales de temperatura como dQ = mcp dT (3) Generalmente se elimina la palabra “capacidad” y el nombre de esta magnitud queda sim-plemente como calor espec´fico, cuyas unidades en el SI ser´n J Kg−1 K−1 . Teniendo en cuenta ı aque un cambio de temperatura expresado en K es igual al mismo cambio expresado en o C, susunidades se expresan m´s usualmente como J Kg−1 o C−1 . a ´METODO ´CALOR DE FUSION DEL HIELO (1) Limpie cuidadosamente el interior del vaso de Dewar, s´quelo interior y exteriormente y e determine la masa M0 del vaso de Dewar y sus accesorios (term´metro y agitador). o ¡Atenci´n! Tenga en cuenta la suma fragilidad del interior del vaso de Dewar, o por lo cual no lo someta a golpes, cambios bruscos de temperatura y no caliente directamente el agua en el mismo. ımetro hasta poco menos de la mitad con agua calentada hasta una tempe- (2) Llene el calor´ ratura que exceda en unos 15o C a la del ambiente.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 59 ´ ¡ATENCION! Para calentar el agua se usan los vasos met´licos. Nunca se a calentar´ el agua poniendo el calor´ a ımetro sobre el infernillo o estufa. ımetro con el agua y sus accesorios. Si denotamos por M ′ a esta masa, ten- (3) Pese el calor´ dremos que la masa de agua vendr´ dada por M = M ′ − M0 . a (4) Tome unos cubitos de hielo del frigor´ ıfico del laboratorio y depos´ ıtelos en una mesa sobre papel de filtro, con objeto de que comiencen a fundir y alcancen la temperatura de fusi´n o del hielo (0o C), ya que, normalmente, salen del frigor´ ıfico a una temperatura inferior. ımetro y observe la temperatura que marca el term´me- (5) Agite con suavidad el agua del calor´ o tro sumergido en el agua. Repita la operaci´n varias veces hasta cerciorarse de que la o temperatura es uniforme en todo el volumen de agua. Esta temperatura es T0 . (6) A continuaci´n, tome un trozo(s) de hielo, s´quelo lo mejor posible e introd´ zcalo en o e u el calor´ımetro con cuidado de no salpicar agua hacia el exterior del mismo. Remueva cuidadosamente el agua del calor´ımetro y, tan pronto como haya fundido el trozo de hielo, lea la temperatura de la mezcla. (7) Repita la operaci´n anterior tantas veces como sea necesario para conseguir una tempera- o tura del agua unos 10 ´ 15o C por debajo de la temperatura ambiente. En este momento o deber´ determinar la temperatura de equilibrio T de la mezcla. a (8) Determine la masa M ′′ del vaso de Dewar con el term´metro, el agitador, el agua y el hielo o fundido. De esta manera, la masa m de hielo a˜ adido ser´: m = M ′′ − M ′ . n a (9) Repita la experiencia tantas veces como considere necesarias.*(10) A partir de la expresi´n (2), determine el calor latente de fusi´n del hielo. Incl´ yanse las o o u medidas realizadas, la justificaci´n de su n´ mero, los c´lculos que considere oportunos y o u a exprese todas las magnitudes con el error correspondiente.CALOR ESPEC´ ´ IFICO DE SOLIDOS (1) Limpie cuidadosamente el interior del vaso de Dewar, s´quelo interior y exteriormente y e determine la masa M0 del vaso de Dewar y sus accesorios (term´metro y agitador). o (2) Pese los s´lidos cuyo calor espec´ o ıfico va a determinar. (3) Llene el calor´ ımetro con una cantidad adecuada de agua del grifo (el alumno mismo deter- minar´ cu´l es esta cantidad realizando algunas pruebas previas) midiendo su temperatura. a a Cuando se estabilice, ´sta ser´ la temperatura inicial del agua, Ti . e a (4) Caliente ahora en un vaso agua, en la que habr´ introducido uno de los s´lidos cuyo a o calor espec´ ıfico hay que determinar; llev´ndola a ebullici´n y midiendo simult´neamente a o a la temperatura. Cuando esta se estabilice, sacamos el s´lido (cuya temperatura ser´ la o a anteriormente medida) y lo introducimos inmediatamente en el agua del calor´ımetro. (5) Ahora medimos la temperatura del agua hasta que se estabilice, anot´ndola entonces, Tf . a *(6) Mediante una sencilla ecuaci´n de balance energ´tico, del tipo de la ecuaci´n (1), y teniendo o e o en cuenta que ∆T = Tf − Ti , calcular el cp del s´lido utilizado. o (7) Rep´ ıtase el proceso, al menos dos veces m´s. a (8) Rep´ ıtase de nuevo todo lo anterior con los dos s´lidos restantes. o *(9) Determine el calor espec´ıfico de los tres s´lidos. Incl´ yanse las medidas realizadas, la jus- o u tificaci´n de su n´ mero, los c´lculos oportunos y exprese todas las magnitudes su error. o u a*(10) Consultando tablas de valores de cp sugiera de qu´ sustancia es cada s´lido medido. e o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 60Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 13 aLEY DE BOYLEOBJETIVO Verificaci´n de la ley de Boyle en el caso del aire. Determinaci´n de los coeficientes t´rmicos o o edel aire.MATERIAL Aparato para la ley de los gases. Sistema termost´tico. a ´FUNDAMENTO TEORICO En 1662, Robert Boyle descubri´ experimentalmente una relaci´n entre la presi´n y el vo- o o olumen de un gas encerrado en un recipiente: una masa dada de gas a temperatura constante,mantiene constante el producto de su presi´n por su volumen, o pV = cte. (1) Esta ley es rigurosamente cierta para gases ideales; para gases reales y a altas presiones, loserrores son apreciables. Sin embargo, la ley de Boyle es suficientemente precisa para cualquieraplicaci´n pr´ctica a presi´n atmosf´rica y temperaturas pr´ximas a la ambiente. Por lo tanto, o a o e osi tenemos un gas en condiciones que cumplan la ley de Boyle, la representaci´n gr´fica de su o aevoluci´n isoterma en un diagrama p-V, conduce a un arco de hip´rbola equil´tera que tiene o e apor as´ıntotas los ejes coordenados, mientras que, si se representa gr´ficamente el producto pV aen funci´n de p se obtendr´ una l´ o a ınea recta paralela al eje de abcisas. Por otra parte, cuando a un sistema termodin´mico le alteramos alguna de sus variables aque sirven para especificar su estado, esa variaci´n, en general, afecta a las dem´s variables de o aestado, y, en consecuencia, podemos hablar de la velocidad de cambio de una de sus variablescon respecto a otras. Para expresar estas velocidades de cambio, se introducen los coeficientes t´rmicos de un esistema, que se definen del siguiente modo: Coeficiente de dilataci´n t´rmica, de dilataci´n isob´rica o simplemente de dilataci´n, pues o e o a ocon cualquiera de las tres denominaciones se le denomina. F´ ısicamente, se define como la veloci-dad de cambio, por unidad de volumen, de esta magnitud a medida que se cambia la tempera-tura, permaneciendo constante la presi´n. Se suele representar por el s´ o ımbolo α y su definici´nose traduce en la expresi´n o 1 ∂V α= (2) V ∂T p 61
    • 62 Coeficiente piezom´trico. Expresa la rapidez de cambio, por unidad de presi´n, de esta magni- e otud a medida que var´ la temperatura permaneciendo constante el volumen. Se suele representar ıapor el s´ ımbolo β y se define por 1 ∂p β= (3) p ∂T V En la pr´ctica, este coeficiente es poco utilizado, ya que, experimentalmente, se determi- anan m´s f´cilmente las variaciones del volumen, con la temperatura o con la presi´n, que las a a ovariaciones de la presi´n con las dem´s variables termodin´micas. o a a Coeficiente de compresibilidad isotermo. Se define como la rapidez de cambio, con signonegativo, del volumen con respecto a la presi´n, por unidad de volumen, cuando permanece oconstante la temperatura. Se representa por χT y su definici´n matem´tica es o a 1 ∂V χT = − (4) V ∂p T Entre estos tres coeficientes, se puede deducir la siguiente relaci´n o α = βχT p (5) ´METODO Para llevar a cabo la experiencia, disponemos de dos recipientes A y B, unidos mediante untubo de tefl´n, que contienen mercurio (ver Fig. 1). Entre A y B hay una escala graduada G, oque puede utilizarse tanto para el recipiente A como para la diferencia de nivel entre A y B. Figura 1 Figura 2 (1) Cuando el nivel de mercurio en ambos recipientes est´ igualado, se puede observar en G la a altura del nivel correspondiente a la presi´n atmosf´rica p0 (p0 , en mil´ o e ımetros de mercurio, se mide con ayuda del bar´metro instalado en el laboratorio). Se mide el volumen V0 de o aire en el recipiente A (mediante G, como queda dicho), y que corresponde a la presi´n o atmosf´rica. e (2) Si se sube el recipiente B, el nivel de mercurio sube simult´neamente en A (ver Fig. 2) a y el desnivel de mercurio en ambos recipientes es h1 , medido en la escala G. El volumen ocupado por la masa de gas es ahora distinto, V1 , mientras que la presi´n es p0 + h1 o (expresada en mil´ ımetros de mercurio). Para diferentes elevaciones (o descensos) de B,Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 63 se obtienen distintos desniveles h2 , h3 , . . . (en el caso de descensos, estos valores ser´n a negativos) correspondientes a los vol´ menes V2 , V3 , . . . u Se ir´n midiendo de esta forma las presiones y los vol´ menes de la masa gaseosa encerrada a u en A, lo cual nos permitir´ comparar el comportamiento del gas respecto al de un gas ideal. a (3) Para poder determinar los coeficientes t´rmicos del gas, se repetir´n las mediciones ante- e a riores, pero manteniendo el recipiente A a diferentes temperaturas ayudados del sistema termost´tico. a (4) Medir unas 15 parejas (aproximadamente equidistantes entre si y abarcando hasta el ex- tremo superior de G) de p (o h) y de V para temperaturas de 25, 30, 35, 40, 45 y 50 o C, que fijaremos con ayuda del termostato y que mediremos con el term´metro auxiliar o (dibujado en R en las figuras, pero que, en el aparato real, est´ situado en la parte alta de a A). Se ha de tener la precauci´n de obtener, para dos temperaturas pr´ximas, los valores o o de presi´n correspondientes a vol´ menes iguales y los valores de volumen correspondientes o u a presiones iguales, imprescindibles para el c´lculo del coeficiente de dilataci´n is´bara y a o o del coeficiente piezot´rmico. e *(5) Construir una tabla en la que se reflejen los valores de p, V , pV y 1/V para las distintas temperaturas. *(6) Con los datos obtenidos se har´ una representaci´n gr´fica de la presi´n en funci´n del a o a o o volumen y del producto pV en funci´n de la presi´n para cada temperatura. o o *(7) Para el c´lculo del coeficiente de compresibilidad isotermo, hemos de tener en cuenta que a se trata de escoger un punto sobre la gr´fica p−V , determinar el valor de la pendiente de la a curva en ese punto y dividirla por el volumen correspondiente. Para determinar el valor de la pendiente, consideraremos un par de puntos sobre la isoterma suficientemente pr´ximos, o y asimilar la derivada al cociente incremental ∆V /∆p. Por esta raz´n se ha recomendado o m´s arriba variar la presi´n poco a poco de una medida a otra. La expresi´n a utilizar a o o ser´: a V2 − V1 χT ≈ (6) (p2 − p1 )V1 *(8) Calcular el coeficiente de compresiblidad isotermo para las diferentes temperaturas. *(9) En cuanto al c´lculo de α, tendremos en cuenta que, para una presi´n dada, se puede a o escribir: V2 − V1 α≈ . (7) (T2 − T1 )V1 Calcular el coeficiente de dilataci´n is´baro para tres presiones distintas, sustituyendo en o o (7) los datos de volumen correspondientes a dos temperaturas pr´ximas. o*(10) Igualmente, para un volumen dado, se obtiene: p2 − p1 β≈ . (8) (T2 − T1 )p1 Calcular el coeficiente piezot´rmico para tres vol´ menes distintos, sustituyendo en (8) los e u datos de presi´n correspondientes a dos temperaturas pr´ximas. o o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 64Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 14 aVELOCIDAD DEL SONIDO ENEL AIREOBJETIVO Estudiar el fen´meno de la resonancia, determinar la velocidad del sonido en el aire y el ocoeficiente adiab´tico del mismo. aMATERIAL Tubo de resonancia, dispuesto verticalmente y provisto de un sistema adecuado para variarel nivel de agua en el mismo. Diapasones. Martillo de caucho. Regla graduada.FUNDAMENTOVelocidad del sonido en el aire Entre la velocidad de propagaci´n v de una onda, su longitud λ y su frecuencia f existe la orelaci´n o v = λf (1)de modo que, si somos capaces de medir λ y f , tendremos determinada la velocidad de propa-gaci´n v. o Las ondas sonoras son ondas mec´nicas longitudinales, que pueden propagarse en los medios amateriales (s´lidos, l´ o ıquidos y gases). Si el medio en que se propaga la onda sonora es un gas,tal como el aire, la velocidad de propagaci´n viene dada por o β v= (2) ρsiendo β el m´dulo de compresibilidad del medio y ρ su densidad. o Si admitimos que las transformaciones que acompa˜ an a la propagaci´n del sonido en el n oaire (es decir, las compresiones y enrarecimientos) tienen car´cter adiab´tico (ya que son muy a ar´pidas) y que el aire se comporta como un gas ideal, entonces podremos escribir a β = γP (3)donde γ es el llamado coeficiente adiab´tico y representa el cociente entre los calores molares a apresi´n y a volumen constante (γ = cp /cv ) y P es la presi´n del gas (la presi´n atmosf´rica) o o o e 65
    • 66 Sustituyendo la expresi´n (3) en la (2) y utilizando la ecuaci´n de estado del gas ideal o o(P V = nRT ) obtenemos γRT v= (4) Mdonde R es la constante universal de los gases, M es la masa molecular del gas (la masa molecularmedia del aire es 28,9g/mol) y T su temperatura absoluta. Conocida la velocidad v del sonido en el aire a la temperatura ambiente T (K), podemoscalcular el valor de la velocidad vo a 0o C, utilizando dos veces la expresi´n anterior y dividiendo omiembro a miembro. Obtenemos entonces: T0 v = vo (5) TResonancia Si, mediante una fuente sonora (un diapas´n, por ejem- oplo) producimos una vibraci´n de frecuencia conocida cer- oca del extremo abierto de un tubo (cerrado por el otro ex-tremo), las ondas que se propagan a trav´s de la columna ede aire contenida en el tubo se reflejan en sus extremos. Sila longitud de la columna de aire se ajusta de modo quesea igual a un cuarto de la longitud de onda del tono emi-tido por el diapas´n, la onda reflejada llegar´ al extremo o aabierto precisamente en fase con la nueva vibraci´n del odiapas´n (en la reflexi´n en el extremo cerrado se produce o oun salto de fase de 180o) produci´ndose una intensifica- eci´n en el sonido emitido. Este fen´meno es conocido con o oel nombre de resonancia. En la columna de aire se establece una onda estaciona-ria, producida por la interferencia entre el tren de ondasincidente y reflejado, con un nodo en el extremo cerradoy un vientre o antinodo en el extremo abierto. En general, la columna de aire entrar´ en resonancia siempre que su longitud sea exactamente aun m´ ltiplo impar de cuartos de longitud de onda, esto es u λ L = (2n − 1) (n = 1, 2, 3, . . .), (6) 4as´ que la distancia que separa dos nodos (o dos antinodos) consecutivos ser´ de media longitud ı ade onda. En realidad, la posici´n del primer vientre no coincide exacta- omente con el extremo abierto del tubo, sino que se encuentra a unacierta distancia e, fuera del mismo. En la figura se indican las con-diciones de vibraci´n para las dos primeras posiciones de resonancia oy a partir de ellas podemos escribir: λ 3λ L1 + e = L2 + e = (7) 4 4de modo que si medimos L1 y L2 ser´ a λ = 2(L2 − L1 ) (8) L2 − 3L1 e= (9) 2y as´ determinado el valor de la longitud de onda, λ, y conocida ı,la frecuencia del diapas´n (especificada por el fabricante), podemos odeterminar la velocidad del sonido utilizando la expresi´n (1). oPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 67Tubo de resonancia El aparato utilizado en esta pr´ctica consiste en un tubo de vidrio, de unos 100 cm de largo y aunos 3 cm de di´metro interior, colocado en una posici´n vertical y comunicado por su extremo a oinferior mediante un tubo de caucho, con un dep´sito de agua cuya altura puede regularse a fin de ohacer variar el nivel de agua en el tubo resonante. En lugar del dep´sito, puede conectarse el tubo ode caucho a un grifo del laboratorio, intercalando una llave en T para hacer posible el vaciadodel tubo resonante. La longitud de la columna de aire se puede as´ modificar introduciendo o ısacando agua del tubo resonante. ´METODO (1) Fije el diapas´n cerca del extremo superior del tubo de resonancia, de modo que, al vibrar, o lo haga seg´ n el eje del tubo y que casi roce con el borde del mismo. u (2) Llene de agua el tubo hasta cerca de su borde. (3) Excite el diapas´n golpe´ndolo con su martillo de caucho. Mientras el diapas´n est´ vi- o a o a brando, haga descender lentamente el nivel del agua en el tubo hasta que se produzca la resonancia. que se reconoce porque se produce una intensificaci´n del sonido, f´cilmente o a audible, a´ n cuando el sonido que procede directamente del diapas´n apenas lo sea. u o (4) Una vez que haya determinado aproximadamente la posici´n del primer punto de resonan- o cia, proceda a su determinaci´n lo m´s exacta posible, unas veces subiendo lentamente el o a nivel de agua y otras veces baj´ndolo lentamente. Entonces anote la distancia L1 de dicho a punto hasta el borde del tubo. (5) Proceda an´logamente a lo indicado en 3) y 4) para localizar el segundo punto donde se a encuentra resonancia. Sea L2 la distancia de dicho punto al borde superior del tubo. *(6) Utilice las expresiones (7) y (8) para determinar la longitud de onda, λ, del sonido emitido y la correcci´n del extremo e. o *(7) Con el valor de λ as´ determinado y con la frecuencia f del diapas´n (que viene grabado ı o sobre el mismo), determine la velocidad v del sonido en el aire, utilizando la expresi´n (1) o (8) Lea en el bar´metro del laboratorio la presi´n atmosf´rica y la temperatura ambiente. o o e Utilizando la expresi´n (5), calcule la velocidad del sonido en el aire a 0o C. o *(9) Utilice las expresiones (3) y (4) para calcular, a partir de los resultados anteriores, el valor del coeficiente adiab´tico (γ) y el m´dulo de compresibilidad (β) del aire (ponga mucha a o atenci´n en las unidades utilizadas) o*(10) A partir del valor de γ determinado en este experiencia y de las relaciones γ = cp /cv y cp − cv = R, determine los calores molares a presi´n y volumen constante para el aire o (exprese el resultado en J mol−1 K−1 )1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 68Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 15 a ´ONDAS ACUSTICAS:INTERFERENCIA, ´ ´REFLEXION Y DIFRACCIONOBJETIVO Estudio de los fen´menos de interferencia, reflexi´n y difracci´n usando ondas sonoras. Ob- o o oservaci´n y descripci´n de los fen´menos observados. Descripci´n te´rica de los experimentos. o o o o oMATERIAL Generador de ondas ac´ sticas (senoidales, sierra y cuadradas) con una frecuencia compren- udida entre 0,1 y 105 Hz. Altavoces (2). Micr´fono de medida. Osciloscopio. Pantallas reflectoras. oRegla. Cables de conexi´n. o Figura 1 69
    • 70 ´FUNDAMENTO TEORICO Los fen´menos observados se deben a la existencias de ondas mec´nicas, que verifican la o aecuaci´n general de ondas (en una dimensi´n): o o ∂ 2 Ψ(x, t) ∂ 2 Ψ(x, t) 2 = v2 (1) ∂t ∂x2En donde x y t son el punto del espacio y el instante que estamos considerando. Ψ(x, t) es lamagnitud caracter´ ıstica del tipo de onda (para las ondas mec´nicas suele ser el desplazamiento ade los elementos del medio en el que se propaga), que se suele llamar funci´n de onda. La soluci´n o om´s simple de esta ecuaci´n es una onda arm´nica monocrom´tica (una sola frecuencia) de la a o o aforma: Ψ(x, t) = A0 sin(ωt − kx + φ) (2)en donde A0 es la amplitud de la onda (desplazamiento m´ximo), ω es la frecuencia angular de ala onda, φ es la denominada fase inicial y k = 2π/λ es el n´mero de onda (siendo λ la longitud ude onda, es decir, la distancia m´ ınima en la que la onda se “repite”). El signo menos supone quela onda se propaga hacia la derecha (sentido positivo del eje x); cuando se propaga en sentidocontrario, el signo debe de ser positivo.Interferencia Cuando, en un punto de un medio, se superponen en la misma direcci´n dos o m´s ondas o ade la misma frecuencia, pero con diferente fase, la funci´n de onda resultante tiene tambi´n la o emisma frecuencia y longitud de onda que las originales pero, dependiendo de la diferencia de fase(siempre que ´sta sea constante) entre ellas, la amplitud resultante puede ser bastante mayor e(interferencia constructiva) o cero (interferencia destructiva).Coherencia Se dice que dos ondas son coherentes cuando las dos mantienen una diferencia de fase cons-tante. Normalmente, las ondas que se emiten por dos fuentes de ondas no son coherentes, por locual es imposible observar los fen´menos de interferencias en la vida ordinaria. Sin embargo, y ocomo era de esperar, las fuentes que vamos a utilizar en esta pr´ctica si son coherentes. a En nuestra pr´ctica, ver Fig. 1, dos altavoces, conectados a un generador de se˜ ales en a nparalelo o en serie, son las fuentes ac´ sticas. La distribuci´n de la presi´n ac´ stica (variable en u o o uel espacio) en el medio se va a medir mediante un micr´fono, el cual se desplazar´ paralelamente o aa la l´ ınea que une a los altavoces. Debido a que las distancias r1 y r2 entre el micr´fono y olos altavoces son variables y que, por lo tanto, tambi´n var´ las distancias recorridas por e ıanlas ondas, ´stas interfieren en el punto de medida con distintas diferencias de camino. Si los ealtavoces emiten con la misma fase (coherentes), las diferencias de fase en el punto de medida sedeben exclusivamente a la diferencia de caminos recorridos por las dos ondas ac´ sticas. Si esta udiferencia es una m´ ltiplo entero de la longitud de onda λ, u ∆r = nλ, n = 0, 1, 2, . . . (3)se suman los incrementos de presi´n oscilante. En los lugares en los que se satisface esta condici´n, o ola presi´n es m´xima. Por otra parte, si la diferencia de caminos es un m´ ltiplo impar de la o a usemilongitud de onda, (2n − 1)λ ∆r = , n = 0, 1, 2, . . . (4) 2los valores instant´neos de la presi´n ac´ stica oscilatoria tiene distinto signo. En este caso la a o uamplitud total es la diferencia de las amplitudes componentes y el resultado es un m´ ınimo.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 71 Seg´ n la figura 2 se obtiene la relaci´n aproximada (para d << l) para la diferencia de camino u oentre las dos ondas: r2 + r1 = 2s (5) ad ∆r = (6) sy, con , ∆r = d senα (7)Se obtienen as´ los ´ngulos para los que ocurren los picos y los m´ ı a ınimos de la presi´n ac´ stica: o u nλ senαmax = , n = 0, 1, 2, . . . (8) d (2n − 1)λ senαmin = , n = 1, 2, 3 . . . (9) 2d Los puntos de observaci´n se calculan mediante la expresi´n o o A = l tg α (10) Figura 2Reflexi´n. Ondas estacionarias o Cuando dos ondas “viajeras” de la misma amplitud y de la misma frecuencia, pero de sentidocontrario se encuentran en una misma regi´n, se produce un fen´meno de interferencia conocido o ocomo ondas estacionarias, que ya no son “viajeras”, como su propio nombre indica. Aparecenentonces puntos fijos en los que no exista movimiento (nodos) y otros, tambi´n fijos, de desplaza- emiento m´ximo (vientres o antinodos). Las ondas ac´ sticas emitidas por un altavoz se reflejan de a uforma reverberativa en una pantalla met´lica, es decir, las ondas ac´ stica se reflejan sin cambio a ude fase. Se mide entonces un pico de intensidad en la placa met´lica (ver figura 3). Las ondas aincidente y reflejada cumplen la relaci´n o ct − x ct + x I = A sen 2π + A sen 2π (11) λ λbajo la hip´tesis ideal de que las amplitudes de las dos ondas son iguales. Si convertimos esta osuma en un producto, obtenemos: 2πx 2πct I = 2A cos sen . (12) λ λEsta relaci´n muestra que las part´ o ıculas oscilantes pasan por un cero en el instante nλ n t= = T, n = 1, 2, 3, . . . (13) 2c 21er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 72La amplitud, que s´lo depende de la posici´n, es o o 2πx 2A cos (14) λy muestra picos cuando se cumple que: n x= λ n = 1, 2, 3, . . . (15) 2 Figura 3Difracci´n o Seg´ n se ve en la figura 4, cuando un frente de onda plano se encuentra una rendija cuya uanchura es un m´ ltiplo de su longitud de onda, de acuerdo con principio de Huygens, la superficie ulimitada por la rendija puede considerarse como el lugar geom´trico de m´ ltiples puntos de e uradiaci´n secundaria. Las ondas elementales emitidas por ellos interfieren entre s´ y llenan el o ıespacio posterior a la rendija con una distribuci´n de m´ximos y m´ o a ınimos de la presi´n ac´ stica o uoscilatoria.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 73 Figura 4 La posici´n espacial de la estructura de las interferencias puede calcularse si se imagina la orendija subdividida en un cierto n´ mero de bandas de la misma anchura. Seg´ n sea el n´ mero n u u ude bandas, las ondas elementales que provienen de los puntos secundarios de emisi´n, interfieren obajo ´ngulos definidos αn , de forma que las ondas correspondientes se amplifican o se anulan amutuamente. La anulaci´n para una rendija de anchura d y una onda ac´ stica de longitud de o uonda λ tiene lugar cuando se cumple que nλ senα = , n = 1, 2, 3, . . . (16) dLa amplificaci´n tiene lugar en la direcci´n de propagaci´n de la onda ac´ stica, es decir, para o o o uα = 0, al igual que para el ´ngulo α con a (2n − 1)λ senα = , n = 1, 2, 3, . . . (17) 2des decir, los m´ximos y m´ a ınimos est´n situados sobre l´ a ıneas rectas que pasan por en medio de larendija. Los ´ngulos en los que ocurren los m´ximo y m´ a a ınimos pueden calcularse seg´ n la figura u5 mediante a tg α = (18) ly puede con las relaciones anteriores. ´METODO ¡IMPORTANTE! Para una onda ac´ stica, si es c la velocidad del sonido, se tiene uλ = c/ν, donde ν es la frecuencia. Para poder detectar todos estos fen´menos, debe oevaluar el orden de magnitud de la frecuencia. Pregunte al Profesor si tiene dudas. (1) La fuente de se˜ ales (las que van a los altavoces) tiene diversas posibilidades. El bot´n de n o la izquierda nos permite elegir el intervalo de frecuencia de la se˜ al (desde 0,1 a 10000 Hz). n El siguiente nos permite multiplicar la frecuencia anterior por el factor correspondiente. El siguiente nos da el tipo de se˜ al peri´dica de salida (senoidal, en diente de sierra y n o cuadrada). Y el ultimo a la derecha nos permite graduar la amplitud de la se˜ al. ´ n1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 74 (2) En cuanto al micr´fono, tiene un bot´n de puesta en marcha (“ON”) y un cursor para o o adaptarlo al tipo de se˜ al emitido. La se˜ al medida por el micr´fono se detecta en el n n o osciloscopio, los cambios en la amplitud de la se˜ al son los que nos informan de los diferentes n fen´menos: interferencias, reflexi´n y difracci´n. o o o (3) La regla, colocada en la base del micr´fono, nos permite medir en qu´ punto del espacio o e tenemos aumento o disminuci´n de presi´n. o o (4) Seg´ n sea el tipo de experimento, habr´ de conectarse uno o dos altavoces. Si se conectan u a los dos, se har´ en serie, cuidando de hacer las conexiones en el mismo orden en los dos a altavoces. Para el caso de las interferencias, se deber´n colocar los dos altavoces (conectados en a paralelo) separados en una l´ ınea normal al observador y el micr´fono a una cierta distancia o de ellos (hacia la derecha) y mover este ultimo a lo largo de una l´ ´ ınea tambi´n normal e al observador. Esta l´ınea tambi´n se puede cambiar a un lado o a otro para volver a e desplazarla normalmente. En el caso de las ondas estacionarias, se utilizar´ un solo altavoz, que se colocar´ cerca del a a borde de la mesa, se dirigir´ en sentido contrario al observador y enfrentado a la pantalla a (situada paralelamente a la mesa). El micr´fono se situar´ al lado del altavoz, tambi´n o a e normal a la pantalla y se desplazar´ normalmente a la misma. a En el caso de la difracci´n, se situar´ un solo altavoz a la izquierda del observador, dirigido o a paralelamente a la mesa. A continuaci´n, a una distancia prudencial, se colocar´n las dos o a pantallas una en direcci´n normal al observador y las dos en el mismo plano, dejando una o “rendija” (un espacio) entre ellas. El micr´fono se colocar´ a la derecha de las pantallas, o a en direcci´n paralela a la mesa y se mover´ paralelamente a las pantallas. o a (5) Con estas disposiciones se˜ aladas, el alumno har´ las pruebas que considere oportunas n a para establecer el mejor modelo posible (longitudes de onda, distancias entre m´ximos y a m´ınimos, situaci´n de los mismos, nodos y vientres, etc) de los fen´menos de interferencias, o o ondas estacionarias y difracci´n de las ondas estudiadas. oADVERTENCIAS En el caso de que un experimento vaya a durar mucho, se recomienda trabajar con fre- cuencias ac´ sticas por encima del l´ u ımite de audici´n (aproximadamente, 16 KHz), si las o condiciones experimentales lo permiten, para mantener las perturbaciones debidas al ruido tan peque˜ as como sea posible. n Si se modifican las condiciones geom´tricas, el campo ac´ stico deber´ explorarse al principio e u a mediante desplazamientos largos para poder hacerse una idea de dichos campos ac´ sticos. u Las vibraciones de la parte alta del intervalo generan ondas ac´ sticas que pueden distor- u sionar los resultados de las medidas. Estas perturbaciones pueden evitarse en gran medida si fuentes de se˜ ales y los aparatos de medida se colocan tan lejos como sea posible con la n instalaci´n. o Las perturbaciones pueden provenir no s´lo de fuentes ac´sticas exteriores, sino tambi´n o u e de las ondas ac´ sticas reflejadas. Por lo tanto, las experiencias deber´n llevarse a cabo u a tan lejos como sea posible de paredes, vitrinas, etc. Los reflejos provenientes de la mesa de laboratorio pueden amortiguarse cubriendo la mesa con un material absorbente, como tela o gomaespuma entre los altavoces y el micr´fono. O tambi´n colocando altavoces y o e micr´fono en los bordes de dos mesas separadas. oPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 75 La longitud de onda λ y la frecuencia f de la onda ac´ stica se relacionan meidante la u velocidad del sonido c. La velocidad del sonido misma depende de la temperatura T y puede calcularse de acuerdo con la f´rmula o T c(T ) = 333,1 1 + m/s (19) 273 en donde T debe expresarse en o C. El ruido puede reducirse si la medida se lleva a cabo con confirmaci´n manual de los valores o medidos con valores medios m´s altos (< average >= 30). aBIBLIOGRAF´ IA Gettys, S´ller, Skove; F´ e ısica C´sica y Moderna, McGraw-Hill, 1991. a Alonso, Finn; F´ ısica; Addison-Wesley Iberoamer., 1995. Berkeley Physics Course, vol I: Mec´nica; Ed. Revert´, 1968. a e1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 76Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 16 a ´ONDAS MECANICASMONODIMENSIONALESOBJETIVO Estudio de la propagaci´n de ondas en una dimensi´n en s´lidos. Observaci´n y descripci´n o o o o ode los fen´menos observados. Descripci´n te´rica de los experimentos. o o oMATERIAL Vibrador electromagn´tico alimentado mediante un generador de funciones (oscilatorias) digi- etal, mediante el cual se pueden obtener frecuencias variables hasta de 50 KHz.(el vibrador puedeutilizarse en horizontal o en vertical). Cuerda de goma de 2 m. Muelle. Resortes laminares.Alambres de resonancia circular. ´FUNDAMENTO TEORICO1 Los fen´menos observados se deben a la existencias de ondas mec´nicas, que verifican la o aecuaci´n general de ondas: o ∂ 2 Ψ(x, t) ∂ 2 Ψ(x, t) 2 = v2 (1) ∂t ∂x2En donde x y t son el punto del espacio y el instante que estamos considerando yΨ(x, t) es lamagnitud caracter´ıstica del tipo de onda (para las ondas mec´nicas suele ser el desplazamiento ade los elementos del medio en el que se propaga). La soluci´n m´s simple de esta ecuaci´n es o a ouna onda arm´nica monocrom´tica (una sola frecuencia) de la forma: o a Ψ(x, t) = A0 sen(ωt − kx) (2)en donde A0 es la amplitud de la onda (desplazamiento m´ximo), ω es la frecuencia angular de ala onda, y k = 2π/λ es el n´ mero de onda (siendo λ la longitud de onda, es decir, la distancia um´ınima en la que la onda se “repite”). El signo menos supone que la onda se propaga hacia laderecha (sentido positivo del eje x); cuando se propaga en sentido contrario, el signo debe de serpositivo. A su vez, la velocidad v de propagaci´n est´ relacionada con la densidad lineal de masa ρ o a(para el caso de cuerdas o muelles) y la fuerza de tensi´n T mediante la expresi´n: o o T v= (3) ρ 1 Ver pr´ctica 15. a 77
    • 78 Cuando dos ondas “viajeras” de la misma amplitud y de la misma frecuencia, pero de sen-tido contrario se encuentran en una misma regi´n, se produce un fen´meno de interferencia o oconocido como ondas estacionarias, que ya no son “viajeras”, como su propio nombre indica.Aparecen entonces puntos fijos en los que no exista movimiento (nodos) y otros, tambi´n fijos, ede desplazamiento m´ximo (vientres o antinodos). a Se pretende que, en cada caso concreto, sea el alumno el que desarrolle el forma-lismo te´rico necesario para poder explicar los fen´menos que va a estudiar y que o opodr´ encontrar en cualquier texto de F´ a ısica General, como por ejemplo los dadosal final en la bibliograf´ıa. ´METODOCuerda el´stica a (1) Pese la cuerda en la balanza del laboratorio. Ate un extremo al generador de vibraciones y el otro a una varilla (por ejemplo, a un v´stago de la mesa). Ponga el vibrador en el modo a senoidal. Comience por las frecuencias m´s bajas (pr´ximas a cero) y vaya aumentando a o progresivamente la frecuencia. Observe, mida y anote lo que ocurra, como, por ejemplo: ¿tipo de ondas? ¿m´ximos? ¿puntos de amplitud nula? ¿relaci´n entre esto y la longitud a o de la cuerda? (2) Repita el proceso anterior, pero ahora aumentando la tensi´n de la cuerda, manteniendo o la misma longitud que antes. Hecho esto, explique te´rica y pr´cticamente los fen´menos o a o observados. Calcule todas las magnitudes que crea relevantes para la descripci´n correcta o y completa de los fen´menos. oCuerda no el´stica (hilo) a (3) Repita todo el proceso descrito en (1) y (2) con este hilo no extensible. Var´ la tensi´n de ıe o la cuerda y repita el proceso.Varillas de diferentes longitudes (4) Mida la longitud de cada varilla y p´sela. e (5) Inserte el conjunto de varillas (completo si no son separables; de una en una, si lo son) en el generador de vibraciones y contin´ e con el Modo anterior. u (6) Como anteriormente, comience por frecuencias bajas y vaya aument´ndola progresivamen- a te. Observe, mida y anote los fen´menos observados., Como por ejemplo, ¿tipo de ondas? o ¿m´ximos? ¿puntos de amplitud nula? ¿posible relaci´n entre esto y la longitud de la a o varilla? (7) Realizar los mismos pasos que en los apartados anteriores.Anillo: (8) Mida la longitud del anillo, as´ como su masa. ı (9) Ins´rtelo ahora en el generador de frecuencias en el mismo modo que anteriormente y e proceda tambi´n como en los apartados anteriores. ePr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 17 aLEY DE OHMOBJETIVO Aprender el manejo de un pol´ ımetro y realizar con ´l las siguientes tareas: Comprobar que euna resistencia sigue la ley de Ohm. Comprobar experimentalmente las reglas b´sicas que se autilizan en la asociaci´n de resistencias. oMATERIAL Fuente de c.c, placa de montaje, pol´ ımetro y resistencias de distinto valor. ´FUNDAMENTO TEORICO Seg´ n la ley de Ohm (pr´ctica 17), la ca´ de tensi´n, V , a trav´s de una resistencia, R, por u a ıda o ela que circula una intensidad de corriente, I, viene dada por V = IR (1)Esta expresi´n permite determinar el valor de una resistencia a trav´s de sendas medidas de V o ee I, o conocer I a trav´s de la medida de V , si conocemos R. e En muchos casos, las resistencias que aparecen en un circuito se encuentran formando agru-paciones. A veces ser´ posible considerar dicha agrupaci´n como resultado de dos asociaciones a ob´sicas de resistencias: la asociaci´n serie y la asociaci´n paralelo. La figura 1 esquematiza tanto a o ola conexi´n como la resistencia equivalente para cada caso. o Figura 1 79
    • 80 As´ una aplicaci´n sucesiva de agrupaciones serie y paralelo puede permitir la sustituci´n de ı, o oun grupo de resistencias por una sola resistencia equivalente, reduci´ndose entonces la topolog´ e ıade los circuitos. En la figura 2 se muestra un ejemplo de agrupaci´n de resistencias que, tras osucesivas simplificaciones, se reduce a una sola resistencia equivalente. Figura 2DISPOSITIVOS DE MEDIDAPol´ ımetro. El pol´ımetro es el instrumento de medida fundamental en cualquier experiencia de teor´ de ıacircuitos. En la figura 3 se muestra un esquema de pol´ ımetro digital. Las lecturas aparecen en unapantalla de cristal l´ ıquido [1]; se conecta y desconecta mediante un conmutador de encendido yapagado [2] y otro conmutador [3] permite seleccionar si las lecturas ser´n de corriente continua a(AC) o alterna (DC). Mediante un conmutador de intervalos [4] se selecciona tanto el tipo demedida (resistencia, tensi´n, corriente, etc.) como el m´ximo valor de la se˜ al que el pol´ o a n ımetroes capaz de medir en esa posici´n (fondo de escala). Con el fin de evitar posibles aver´ nunca o ıas,deber´ usarse una escala cuyo fondo est´ por debajo de la se˜ al a medir. Finalmente, cuatro a e nterminales de entrada y dos z´calos permitan conectar el pol´ o ımetro con los circuitos o elementosa medir. Figura 3Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 81 Medidas de tensi´n: Uno de los cables o punta de prueba se conecta al terminal [9] oetiquetado COM (suele utilizarse el cable negro). Este terminal es el que sirve de referencia ala medida. La punta de prueba roja se conecta al terminal [10] V-Ω-Hz. Seleccione la posici´n oadecuada del conmutador [3] DC/AC. Hacer un c´lculo aproximado de la tensi´n esperada y a ocolocar el conmutador de funciones [4] en una escala de tensiones superior a este dato. Si sedesconoce este dato poner la escala mayor. Se conectan entonces las dos puntas de prueba enparalelo con los puntos entre los que se quiere determinar la tensi´n, procediendo a la lectura en ola pantalla. Medidas de intensidades: Desconectar la fuente de tensi´n. Col´quese el cable negro en o oel terminal [9] COM. Cuando se midan intensidades comprendidas entre 0 y 200 mA con´ctese eel cable rojo al terminal [7] mA y, al terminal [8] 20 A, para intensidades superiores. Seleccionela posici´n adecuada del conmutador [3] DC/AC. Haga una estimaci´n previa de la intensidad o oesperada y coloque el conmutador de funciones [4] en la zona adecuada. Conecte los dos cablesdel pol´ ımetro en serie con la rama el´ctrica por la que se quiere medir la corriente y conecte la efuente de tensi´n procediendo entonces a la lectura. oNOTA: El coraz´n del pol´ o ımetro es una peque˜ a bobina de hilo muy delgado que nse mueve en el seno de un campo magn´tico cuando una corriente el´ctrica pasa por e eella. Al medir intensidades de corriente, la bobina no puede protegerse frente a sobre-cargas y si la corriente a medir es superior al fondo de escala, se producir´ un de-aterioro o destrucci´n de la bobina, quedando el pol´ o ımetro inservible. Por esta raz´n ono haremos medidas directas de intensidad de corriente en esta pr´ctica, procurando hacer esta amedida indirectamente a trav´s de la tensi´n en una resistencia de valor conocido. e oADVERTENCIA: Es frecuente que un alumno poco informado pretenda medir algo concep-tualmente err´neo como es la intensidad de corriente de una fuente de tensi´n, colocando el o opol´ ımetro directamente entre los terminales de la fuente, con los cursores en posici´n de medida ode intensidad de corriente. En este caso, pr´cticamente, se est´ haciendo un cortocircuito a la a afuente, una gran intensidad circular´ por el pol´ a ımetro que autom´ticamente quedar´ fuera de a aservicio. La corriente que suministra una fuente es funci´n de la resistencia con la que estamos ocargando sus terminales. Medidas de resistencias: Aislar la resistencia o grupo de resistencias a medir del restodel circuito. De este modo nos aseguraremos de que medimos la resistencia deseada y no laresistencia equivalente del resto del circuito. De nuevo, uno de los cables se conecta al terminal [9]etiquetado COM. El otro cable se conecta al terminal [10] V-Ω-Hz. Hacer un c´lculo aproximado ade la resistencia esperada y colocar el conmutador de funciones [4] en una escala de resistenciassuperior a este dato. Conectar ambos cables en paralelo con la resistencia y proceder a la lectura.Si se elige un fondo de escala inferior a la resistencia a medir, aparecer´ un 1 en la pantalla del apol´ımetro. Medidas de frecuencia: Conectar los cables en los terminales [9] COM y [10] V-ω-Hz yponer el selector de escalas [4] en una posici´n de frecuencia. Conectar los cables en paralelo con olos puntos a medir y l´ase la pantalla. e Medidas de capacidad de condensadores: Insertar el condensador en el z´calo para ocondensadores [6]. En caso de condensadores electrol´ ıticos insertarlos con la polaridad correcta.Seleccione la posici´n del conmutador [4] adecuada en la zona Cx y proceda a la lectura en el ovisor.Fuente de tensi´n. o En la figura 4 se muestra el esquema de la fuente de tensi´n. Consiste de tres fuentes inde- opendientes, una de tensi´n e intensidad ajustables y dos de tensi´n fija (5 V y ± 15 V). o o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 82 Figura 4 Puesta en marcha: Antes de proceder a la puesta en marcha de la fuente, debe tenerse cui-dado con que entre los terminales no haya conectado nada extra˜ o. Nunca conecte los terminales nde salida de la fuente de tensi´n a la red el´ctrica. o e ´METODOa) Medidas de resistencias. Elegir cinco resistencias, que enumeraremos por R1 a R5 . Determ´ ınese mediante el c´digo ode colores el valor nominal de las mismas y comp´rese el resultado con el obtenido mediante amedici´n directa con el pol´ o ımetro. Las resistencias est´n marcadas con una serie de l´ a ıneas dediferentes colores que permiten identificar su valor sin necesidad de medirlas, as´ como el margen ıde incertidumbre o tolerancia de este valor. Al final del gui´n de esta pr´ctica se incluye un o aesquema del c´digo de colores. ob)Medida de resistencias equivalentes. A continuaci´n ll´vese a cabo las agrupaciones representadas en la figura 5. o e Figura 5 Calc´ lese, a partir del c´digo de colores, el valor esperado de la resistencia equivalente de u ocada agrupaci´n. Elija un fondo de escala superior al mismo y mida con el pol´ o ımetro el valor dela resistencia equivalente. Comp´rese el resultado experimental y el te´rico. a o Constr´ yase la asociaci´n de resistencias de la figura 2 y compare el valor te´rico, obteni- u o odo a partir del conocimiento del valor de las resistencias individuales (a partir del c´digo de ocolores), con el medido directamente por el pol´ ımetro. No olvide realizar el c´lculo de errores acorrespondiente.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 83c) Medida de tensiones. Utilizando las agrupaciones de resistencias del apartado anterior y una fuente de tensi´n ocontinua, se construyen los circuitos (a) y (b) de la figura 6. En el circuito serie de la figura 6.a, m´ con el pol´ ıda ımetro la tensi´n V , entre los terminales ode la fuente, y compruebe, midiendo las tensiones V1 , V2 y V3 , que en la agrupaci´n en serie se ocumple V = V1 + V2 + V3 (2)Compru´bese que la corriente que circula por cada uno de los elementos que componen una easociaci´n serie es la misma; es decir, I = I1 = I2 = I3 . Como no realizaremos en esta pr´ctica o amedida directa de intensidades, comprobaremos experimentalmente lo anterior verificando que V V1 V2 V3 = = = (3) R R1 R2 R3con R = R1 + R2 + R3 . A continuaci´n construimos el circuito de la figura 6.b. En primer lugar, verificamos que oI = I1 + I2 + I3 , para lo cual comprobaremos que, con las medidas de tensi´n obtenidas con el opol´ ımetro en este circuito, se cumple V V1 V2 V3 = + + (4) R R1 R2 R3donde ahora 1 1 1 1 = + + . (5) R R1 R2 R3Tambi´n comprobaremos que V = V1 = V2 = V3 . e Figura 6d) Comprobaci´n de la ley de Ohm. o Para comprobar la ley de Ohm, dada por la ecuaci´n (1) de este documento, construiremos oel circuito de la figura 7. Si es posible, se utilizar´n resistencias con valores superiores a 1 kΩ, amidiendo sus valores con el pol´ ımetro antes de la construcci´n del circuito. o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 84 Figura 7 Se medir´ la tensi´n V entre los extremos de la resistencia R directamente con el pol´ a o ımetro y la corriente I que pasa por R se medir´ a trav´s del cociente V0 /R0 , ya que por ambas resistencias a e circula la misma corriente, por estar en serie. Dando diez valores diferentes a Vs , se construir´ una a tabla con Vs , V e I. Con los datos de tensi´n V e intensidad I, se construir´ una gr´fica en o a a papel milimetrado, colocando las intensidades en abscisas y las tensiones en ordenadas. Seg´ n u la ecuaci´n (1), est´ gr´fica ser´ una recta, cuya pendiente es precisamente R. Determ´ o a a a ınese gr´ficamente la pendiente de dicha recta y su error para obtener un valor gr´fico de R, que a a involucra a las diez medidas utilizadas en la construcci´n de la gr´fica. Comp´rese el resultado o a a con el obtenido por medida de la resistencia con el pol´ ımetro y con el obtenido del c´digo de o colores. RESULTADOS (1) Ll´vense a cabo todos y cada uno de los pasos descritos en los apartados anteriores, com- e parando los resultados experimentales con los que cabe esperar a partir del conocimiento del valor de las resistencias por el c´digo de colores y de la tensi´n en los terminales de la o o fuente de alimentaci´n. Todos los resultados deben ser expresados con su cota de error. o (2) La gr´fica del apartado para la comprobaci´n experimental de la ley de Ohm, debe ser a o ajustada mediante la t´cnica de m´ e ınimos cuadrados. La pendiente de este ajuste dar´ el a valor de la resistencia que ser´ comparado con el obtenido midiendo R directamente con a el pol´ ımetro y con el c´digo de colores. oNOTA Cada medida vendr´ acompa˜ ada del correspondiente error que vendr´ dado por el error a n a instrumental que presenta el pol´ ımetro en dicha escala. Debido al car´cter est´tico de las a a medidas y a la precisi´n del pol´ o ımetro, no ser´ necesario llevar a cabo tres medidas a de cada magnitud ni calcular dispersiones. Compruebe, en un solo caso, que, efec- tivamente, la repetici´n de las medidas conduce a valores despreciables de la dispersi´n y o o por ello es justificable efectuar una sola medida. ´ APENDICE Identificaci´n de resistencias. C´digo de colores. o o Con el fin de identificar el valor de una resistencia sin necesidad de medirla con un pol´ ımetro, ´stas vienen marcadas con cuatro franjas de color, pintadas sobre su superficie, que determinan e el valor nominal de la resistencia y la tolerancia de variaci´n del valor real sobre el valor nominal. o Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 85 Las tres primeras franjas determinan el valor nominal y pueden ser de diez colores, asign´ndo- ase a cada color una cifra seg´ n el esquema siguiente: u Negro Marr´n o Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 La ultima franja suele ser de color dorado o plateado y est´ asociada a la tolerancia. Si es de ´ acolor dorado indica que la tolerancia (error) es del 5 %, mientras que si es plateada la toleranciaes del 10 %. Para medir una resistencia por el c´digo de colores procedemos de la siguiente omanera: Tomamos la resistencia de manera que la franja dorada o plateada quede a la derecha.La franja de tolerancia suele estar m´s separada de la franja vecina que las otras tres franjas aentre s´ Si las cifras asociadas a los colores de las tres primeras franjas son, por este orden, a, ı.b y c, los dos primeros d´ıgitos del valor de la resistencia ser´n ab, mientras que c representa la apotencia de diez por la que hay que multiplicar a las dos primeras cifras, o, dicho de un modom´s simple, el n´ mero de ceros que debemos a˜ adir a ab para encontrar el valor nominal. a u n Por ejemplo, si las franjas de una resistencia tienen los colores: naranja, marr´n, rojo y oplateado, Naranja (3) Marr´n (1) o Rojo (2) Plateado (10 %) 3 1 00 310el valor de la resistencia ser´ R = (3100 ± 300) Ω = (3,1 ± 3) kΩ. Notar como el error absoluto ıaha sido redondeado para que s´lo aparezca una sola cifra significativa. o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 86Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 18 aLEYES DE KIRCHHOFF.PUENTE DE WHEATSTONE.OBJETIVO El objetivo de esta pr´ctica es el estudio y aplicaci´n de las leyes o reglas de Kirchhoff, de a ogran importancia pr´ctica en Electricidad y Electr´nica. Basadas en estas leyes, estudiaremos el a oan´lisis de mallas, para aprender a sistematizar el estudio de un circuito el´ctrico, y aplicaremos a elo anterior al an´lisis de circuitos simples como el puente de Wheatstone. aMATERIAL Fuentes de c.c, placa de montaje, pol´ ımetro, potenci´metro y resistencias de distinto valor. o ´FUNDAMENTO TEORICOLeyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff son una consecuencia directa de las leyes b´sicas del Electromagnetismo a(Leyes de Maxwell) para circuitos de baja frecuencia. Aunque no tienen validez universal, formanla base de la Teor´ de Circuitos y de gran parte de la Electr´nica. Pueden enunciarse en la forma ıa osiguiente:Ley de Kirchhoff para los nudos o de las corrientesLa suma algebraica de las corrientes que inciden en un nudo1 , consideradas todas ellas entranteso todas ellas salientes, es cero (ley de conservaci´n de la carga). o 1 Un nudo en un circuito es un punto en el que confluyen varias corrientes. 87
    • 88 Figura 1 La aplicaci´n de esta ley al nudo de la figura 1.a puede expresarse en la forma o I1 + I2 + I3 + I4 + I5 = 0La consideraci´n de que una corriente es entrante o saliente se hace en principio de una forma ototalmente arbitraria, ya que si una corriente I es entrante, se puede sustituir por una corriente−I saliente y viceversa. El sentido real de la corriente depender´ de cual de los dos signos sea anum´ricamente el correcto. En el nudo de la figura 2.b, las corrientes I3 e I5 se han supuesto esalientes, por lo que −I3 y −I5 ser´ entrantes. La ley que discutimos nos proporciona en este ıancaso la siguiente expresi´n: o I1 + I2 + (−I3 ) + I4 + (−I5 ) = 0o bien I1 + I2 + I4 = I3 + I5 Por tanto, esta ley se podr´ enunciar en la forma equivalente: En un nudo, la suma de las ıacorrientes entrantes ha de ser igual a la suma de las salientes. De forma an´loga a la ley anterior, podremos expresarla simb´licamente a o nudo Ij = 0 jdonde Ij es la corriente que entra por la rama j-´sima. eLey de Kirchhoff para las mallas o de las tensionesEn un circuito cerrado o malla, la suma algebraica de las diferencias de potencial entre los extre-mos de los diferentes elementos, tomadas todas en el mismo sentido, es cero(ley de conservaci´n ode la energ´a). ıPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 89 Figura 2 La aplicaci´n de esta ley a la malla de la figura 2 puede expresarse matem´ticamente en la o aforma siguiente: (Va − Vb ) + (Vb − Vc ) + (Vc − Vd ) + (Vd − Ve ) + (Ve − Va ) = 0donde las diferencias de potencial se han tomado en el sentido indicado por la flecha de lacorriente de malla de la figura 2. Esta ley se puede expresar simb´licamente como: o nudo Vi = 0 isiendo Vi la diferencia de potencial entre los extremos del elemento i-´simo. eAn´lisis de mallas. a Para analizar un circuito como el de la figura 3, supondremos una corriente para cada mallaindependiente y plantearemos un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones e inc´gni- otas como mallas independientes haya. Figura 31er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 90 Este circuito tiene dos mallas independientes, por las que suponemos que circulan las corrien-tes I1 e I2 en el sentido de las agujas del reloj, tal como se indica en la figura. Por el elementoR2 circular´n tanto I1 como I2 en sentidos contrarios, por tanto la corriente real que circula por a´l es la superposici´n de ambas: I1 − I2 .e o La primera ecuaci´n la obtendremos aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones a la primera omalla: V1 = I1 R1 + (R1 − I2 )R2 + I1 R3 .La segunda ecuaci´n se obtendr´ aplicando la misma ley a la segunda malla: o a −V2 = −I2 R4 + (I2 − I1 )R2 .Reagrupando t´rminos, encontramos un sistema de dos ecuaciones con dos inc´gnitas, que son e olas intensidades de malla, I1 e I2 : V1 = I1 (R1 + R2 + R3 ) − I2 R2 −V2 = −I1 R2 + I2 (R2 + R4 )que puede ser expresado en forma matricial como R1 + R2 + R3 −R2 I1 V1 = −R2 R2 + R4 I2 −V2 A la vista del resultado anterior, el planteamiento del sistema se puede sistematizar en laforma siguiente: - Se plantean tantas ecuaciones como mallas independientes. Estas ecuaciones pueden ex- presarse como el producto de una matriz cuadrada de impedancias o resistencias, por una matriz columna de intensidades de malla (inc´gnitas del sistema), que se iguala a una o matriz columna de tensiones (t´rminos independientes). e - Cada t´rmino de la matriz de tensiones (t´rminos independientes del sistema) es la suma e e de las fuentes de tensi´n de dicha malla, tomando como positivas las que favorezcan a la o corriente y negativas las que se opongan a ella. - Los t´rminos de la matriz cuadrada de coeficientes se obtiene de la forma siguiente: Los e t´rminos de la diagonal principal son la suma de todos los elementos pasivos (impedancias e o resistencias) que tiene la malla. Los que est´n fuera de la diagonal principal se forman su- a mando los elementos comunes a las dos mallas relacionadas con ese coeficiente y cambiando la suma de signo. - Finalmente, resolviendo el sistema, se obtendr´ las corrientes inc´gnitas. ıan o Supongamos, por ejemplo, que los elementos del circuito anterior tienen los siguientes valores:R1 = 1 kΩ; R2 = 2 kΩ; R3 = 3 kΩ; R4 = 4vΩ; V1 = 1 V; V2 = 2 V. Sustituyendo, el sistema deecuaciones es: 6000 −2000 I1 1 = −2000 6000 I2 −2con I1 e I2 en A(amperios), o bien 6 −2 I1 1 = −2 6 I2 −2con I1 e I2 en mA. Este sistema tiene como soluci´n: o 1 −2 −2 6 6−4 2 I1 = = = = 0,0625 mA 6 −2 36 − 4 32 −2 6Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 91e 6 1 −2 −2 −12 + 4 −10 I2 = = = = −0,3125 mA 6 −2 36 − 4 32 −2 6I2 ha resultado negativa El sentido real de I2 es contrario al representado en la figura.El puente de Wheatstone El puente de Wheatstone es un circuito frecuentemente utilizado cuando se quieren medirpeque˜ as desviaciones de una magnitud el´ctrica respecto de un valor nominal. Su estructura se n erepresenta en la figura 4. Figura 4 Se dice que un puente de Wheatstone est´ equilibrado cuando no circula corriente por la arama central b − c; es decir cuando Vb = Vc y el volt´ ımetro que forma la rama central marca cero(V = 0). Se puede demostrar f´cilmente que el puente est´ en equilibrio cuando se cumple a a R1 R3 = R2 R4Como por la rama b − c s´lo interesa saber si pasa o no corriente, el volt´ o ımetro se suele sustituirpor un galvan´metro. oMATERIAL El material necesario ser´ un pol´ a ımetro y una o dos fuentes de tensi´n continua. Ambos odispositivos fueron descritos en la pr´ctica anterior, as´ como el c´digo de colores necesario para a ı oconocer el valor de una resistencia. Se dispondr´ tambi´n de una placa base para montar los a ecircuitos y diferentes resistencias el´ctricas. Como se puede observar en la figura 4, la resistencia eR4 est´ cruzada por una flecha, indicando que se trata de una resistencia variable. a1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 92 Un potenci´metro, cuyo esquema se muestra en el figura 5, es una resistencia el´ctrica sobre la o eque se han tomando tres terminales, uno de ellos, el central, es deslizante. Entre los terminales 1y 3, siempre tendremos la misma resistencia, pero entre los terminales 1 y 2 y entre los terminales2 y 3, la resistencia el´ctrica variar´ conforme desplacemos el contacto deslizante. Una resistencia e avariable puede obtenerse utilizando el terminal central y cualquiera de los extremos. Figura 5Nota: Si el contacto deslizante est´ en un extremo, una de las dos resistencias avariables que podemos formar con un potenci´metro es cero o cercana a cero. Si osometemos esta resistencia a una tensi´n, circular´ por esta peque˜ a resistencia una o a nelevada corriente, que puede deteriorar el potenci´metro. Por tanto, es aconsejable, oal comenzar a trabajar con un potenci´metro, colocar el cursor deslizante en una oposici´n intermedia. o ´METODOLeyes de Kirchhoff Si se dispone de dos fuentes de tensi´n continua, montar el circuito de la figura 3. Si s´lo o o se dispone de una fuente de tensi´n continua se monta el circuito de la figura 3, pero o sustituyendo la fuente V2 por una resistencia. Compru´bese que se cumple la ley de Kirchhoff de las corrientes en el nudo donde confluyen e las resistencias R1 , R2 y R4 . Para ello se medir´ las tensiones en estas resistencias y se a obtendr´ las corrientes que fluyen por ellas dividiendo estas tensiones por el valor de a la resistencia medida en cada una de ellas con el pol´ ımetro. Pr´stese atenci´n sobre la e o polaridad de la tensi´n en las resistencias para averiguar la direcci´n que sigue cada una o o de las corrientes. Compru´bese que se cumple la ley de Kirchhoff de las tensiones en las dos mallas que e forman el circuito. Para ello se medir´ con el pol´ a ımetro la ca´ de tensi´n en todos los ıda o elementos que forman el circuito.An´lisis de mallas a Midiendo las tensiones en las resistencias R1 y R4 del circuito de la figura 3, y conocido el valor de estas resistencias, medidas con el pol´ ımetro, calc´ lense las corrientes de malla u I1 e I2 que circulan por el circuito. Pr´stese atenci´n a la polaridad de la tensi´n en las e o o resistencias para averiguar la direcci´n que sigue cada una de las dos corrientes. Haga el o c´lculo te´rico del circuito y compruebe con los resultados experimentales. a oPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 93Puente de Wheatstone Utilizando una fuente de tensi´n, un pol´ o ımetro utilizado como volt´ ımetro, tres resistencias fijas y un potenci´metro para obtener la resistencia variable, constr´ yase el circuito de la o u figura 4. Cambie el cursor del potenci´metro, hasta conseguir equilibrar el puente, haciendo que o el volt´ ımetro marque cero. Conseguido el equilibrio, deshaga el circuito y mida con el pol´ ımetro el valor de la resistencia variable, R4 , que ha equilibrado el puente.RESULTADOS (1) Siga los pasos que se describen en la secci´n anterior en los apartados 1 y 2. Compare o las medidas experimentales que se obtienen con el pol´ ımetro, con las medidas te´ricas o obtenidas a partir de la medida de las resistencias con el c´digo de colores y el valor de la o tensi´n en los terminales de las fuentes de alimentaci´n, obtenidas con el pol´ o o ımetro. Todas las medidas deben de ir acompa˜ adas de su correspondiente cota de error. n (2) Monte el puente de Wheatstone que se describe en al figura 4 y equil´ ıbrelo. Compru´bese e que en el equilibrio, y dentro de los m´rgenes de error, se cumple la relaci´n dada por la a o ecuaci´n (11). o (3) Demu´strese te´ricamente la ecuaci´n de equilibrio (11). Para esto ultimo, t´ngase en e o o ´ e cuenta que, al no circular corriente por la rama central, la corriente Iab es la misma que la Ibd , y la corriente Iac es igual que la Icd . As´ Iab (R1 + R2 ) debe ser igual a Iac (R3 + R4 ), ı, ya que la diferencia de potencial o tensi´n en los extremos de ambas ramas es la misma o porque sus extremos est´n unidos y esta tensi´n viene dada por la fuente V0 . a o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 94Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 19 aCARGA Y DESCARGA DE UNCONDENSADOROBJETO Estudiar los procesos de carga y descarga en un condensador.MATERIAL Un pol´ ımetro, una fuente de tensi´n continua y algunas resistencias y condensadores. Un ocron´metro. oFUNDAMENTOCarga de un condensador Consideremos el circuito de la figura 1, en el cual el condensador se encuentra inicialmentedescargado y supongamos que se cierra el interruptor en t = 0. Figura 1 Por simple aplicaci´n de la primera ley de Kirchhoff, y tras un proceso de integraci´n, se o opuede demostrar que la intensidad que circula por el circuito adquiere un valor inicial Vo /R y 95
    • 96despu´s decrece exponencialmente de la forma e Vo −t I(t) = e RC (1) RAl valor τ = RC, que tiene dimensiones de tiempo, se le denomina constante de tiempo delcircuito y representa el tiempo que ha trascurrido mientras que la corriente ha disminuido hastala fracci´n 1/e de su valor m´ximo inicial. Por tanto, la intensidad a trav´s del condensador es o a e Vo −t I(t) = eτ (2) R La ca´ de tensi´n en el condensador viene dada por ıda o −t VC (t) = Vo (1 − e τ ) (3)De nuevo nos encontramos ante un comportamiento exponencial, pero esta vez creciente desdeun valor inicial nulo hasta un valor m´ximo Vo , que se alcanza cuando la corriente a trav´s del a ecircuito es nula y, por tanto, la ca´ tensi´n a trav´s de la resistencia tambi´n lo es y toda ıda o e ela tensi´n de la alimentaci´n est´ aplicada entre las placas del condensador. En este caso, la o o aconstante de tiempo es el tiempo necesario para que la tensi´n en el condensador alcance el valor o1 − 1/e del valor final. La figura 2 muestra, de forma cualitativa, la evoluci´n de la tensi´n e intensidad en la carga o ode un condensador. Figura 2Descarga de un condensador Supongamos ahora que, una vez cargado el condensador, desconectamos la fuente de ali-mentaci´n; y, en t = 0, cerramos el interruptor de la figura 3. Las cargas almacenadas en el ocondensador originar´n una corriente en sentido inverso al anterior, la cual, a su paso por la aresistencia, disipar´ energ´ por efecto Joule, con la consiguiente disminuci´n de corriente, per- a ıa omitiendo la descarga del condensador.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 97 Figura 3 La corriente producida en la descarga tambi´n viene expresada por la ecuaci´n (2), mientras e oque la tensi´n en bornes del condensador es o −t VC (t) = Vo e τ (4) La figura 4 muestra la evoluci´n temporal de la tensi´n e intensidad en el proceso de descarga o ode un condensador. Figura 4Nota: Antes de realizar ninguna medida, el alumno deber´ remitirse al correspon- adiente apartado de la pr´ctica anterior con el fin de familiarizarse con el pol´ a ımetroy la fuente de tensi´n continua, as´ como de las precauciones a seguir al tomar o ımedidas con el pol´ ımetro. ´METODOProceso de carga del condensador (1) El alumno dispondr´ de una resistencia de unos 10 kΩ y un condensador de 4700 µF , a que deber´ conectar seg´ n indica la figura 1, cerrando a continuaci´n el circuito. De este a u o modo, se asegurar´ que el condensador se encuentra descargado antes de realizar cualquier a medida. (2) A continuaci´n deber´ montarse el circuito de la figura 1, con el pol´ o a ımetro en disposici´n de o medir la ca´ de tensi´n VR (t) en la resistencia. Con esta configuraci´n, se podr´ obtener ıda o o a1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 98 la tensi´n en el condensador mediante la expresi´n o o Vc (t) = Vo − VR (t) (5) y, con esta misma medida, la intensidad que atraviesa la resistencia y el condensador mediante VR (t) I(t) = IC (t) = IR (t) = (6) R (3) Una vez montado el circuito, cerrar el interruptor al mismo tiempo que se pone en marcha el cron´metro. Se tomar´n medidas de VR (t) a intervalos regulares (por ejemplo, 15 s), o a hasta que la tensi´n haya bajado a un 5 % de su valor inicial. o *(4) Con los datos obtenidos, y utilizando las ecuaciones (5) y (6), obtener los datos de tensi´n o e intensidad del condensador para los distintos tiempos. Hacer una tabla con los datos obtenidos y una representaci´n gr´fica de VC (t) poniendo los tiempos en abcisas y las o a tensiones en ordenadas. *(5) Compru´bese el comportamiento exponencial representando el logaritmo de la se˜ al en e n funci´n del tiempo. Si representa la se˜ al adecuada deber´ observarse una recta de cuya o n ıa pendiente se puede obtener la constante de tiempo del circuito mediante el m´todo de e regresi´n lineal (“m´ o ınimos cuadrados”). *(6) Repita la operaci´n, representando el tiempo en abscisas y la intensidad en ordenadas. o De nuevo, compruebe el comportamiento exponencial y calcule la constante de tiempo del circuito.Proceso de descarga (7) Desconectando la fuente, disp´ngase el circuito como se indica en la figura 3 y m´ o ıdase, de nuevo a intervalos regulares de unos 15 s, la tensi´n en los extremos de la resistencia, hasta o que ´sta alcance un valor estable. e *(8) A trav´s de estas medidas, y con las ecuaciones (5) y (6), se confeccionar´ una tabla en e a la que aparezcan las tensiones e intensidades a trav´s del condensador para los distintos e tiempos. *(9) Real´ıcense de nuevo las gr´ficas de tensiones e intensidades en funci´n del tiempo descri- a o tas en el proceso de carga y compru´bese tanto el comportamiento exponencial como la e constante de tiempo experimental del circuito.*(10) Finalizar la pr´ctica, comparando esta constante con el valor te´rico que puede obtenerse. a oNOTA: NO OLVIDE CALCULAR LA CONSTANTE DE TIEMPO DEL CIRCUI-TO USANDO EL METODO DE LOS M´ ´ INIMOS CUADRADOS.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 20 aMEDIDA DE RESISTIVIDADESDE MATERIALESOBJETO Determinaci´n de la resistividad y de la resistencia de diversos materiales por aplicaci´n o odirecta de la ley de Ohm.MATERIAL Fuente de alimentaci´n de corriente continua. Caja de resistencias. Pol´ o ımetro. 2 barras met´li- acas. Hilos de constant´n de diversos di´metros. Cables de conexi´n. Cinta m´trica. Palmer. a a o eFUNDAMENTO Si aplicamos una diferencia de potencial (ddp) V entre los extremos de un conductor lineal,tal como un alambre met´lico, se producir´ una corriente I en el conductor. El valor de la ddp a anecesaria para producir una corriente dada depende de una propiedad del conductor particularque utilicemos. Esta propiedad es su resistencia el´ctrica, R, que se define como e V R= (1) I Para muchos conductores y para ddp moderadas, la I a trav´s de un conductor es directa- emente proporcional a la V , de forma que su resistencia es independiente de V (o de I). En estecaso, la R de la ecuaci´n (1) ser´ una constante y se conoce como Ley de Ohm. Los materiales o aque la obedecen se llam´n ohmicos (y los que no, no-´hmicos) a ´ o La resistencia de un trozo de conductor depende de su tama˜ o, forma y composici´n. Para n olos conductores m´s usuales, los hilos o alambres met´licos, se encuentra experimentalmente que a aR es proporcional a la longitud l de los mismos e inversamente proporcional a su secci´n A, es odecir, R ≈ l/A. La constante de proporcionalidad, ρ, s´lo depende del material utilizado y se oconoce con el nombre de resistividad del material. Entonces podremos escribir: l R=ρ (2) A De (1) se deduce que si, para un material ´hmico, representamos en una gr´fica V en funci´n o a ode I, se debe de obtener una recta cuya pendiente ser´ R. a 99
    • 100 ´METODO La figura muestra el esquema del circuito el´ctrico de la pr´ctica, que ya debe de estar mon- e atado. Uno de los pol´ ımetros, que est´ actuando como amper´ a ımetro (A), la resistencia problemaR y la caja de resistencias R’, est´n conectadas en serie, mientras que el otro pol´ a ımetro (V)est´ conectado en paralelo con los bornes de la resistencia problema para medir la ddp entre los amismos.ADVERTENCIA: El pol´ ımetro A no deber´ desconectarse nunca de su posici´n. a o En esta pr´ctica se va a trabajar con ddp muy peque˜ as (del orden de 10−4 V). a n Los extremos del circuito anterior se conectan (si no est´n conectados) a la fuente de alimen- ataci´n, de fem , que suministra la ddp constante al mismo. Al cambiar la resistencia R′ , var´ la o ıaintensidad en el circuito y, por lo tanto, tambi´n entre los extremos de R. e Si no tenemos en cuenta las resistencias internas de los aparatos (que se suponen desprecia-bles), se tiene VA − VB E I= = (3) R+R ′ R + R′ VA − VC = IR (4)La escala adecuada que se ha de utilizar con el pol´ ımetro (A) es la de 10 A, cuidando que laintensidad no sobrepase los 2,5 A durante la realizaci´n de la pr´ctica. La escala adecuada en la o aque debe de operar el otro pol´ımetro (V ) es la de m´xima sensibilidad. a (1) Montar el circuito (si no est´ montado ya) y/o verificar que el montaje es correcto y las a escalas de los aparatos son las adecuadas. (2) Una vez conseguida la estabilidad del sistema (esperando un tiempo prudencial), y variando cada vez la resistencia R′ , se empieza a realizar las medidas de I en funci´n de V = VA −VC . o Se deber´n tomar al menos diez pares de medidas. Hacer la correspondiente tabla (R′ , I y a V ).*(3) Dibujar la correspondiente gr´fica, V = V (I). a*(4) Calcular y dibujar la correspondiente recta de regresi´n (¡sin suponer que tenga que pasar o por el origen!).Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 101 *(5) Dar los valores de la pendiente de la recta (que debe de coincidir con el de R), el de la ordenada en el origen (y sus respectivos errores, por supuesto) y del coeficiente de correlaci´n. o (6) Mida la longitud y el di´metro de los hilos utilizados. a *(7) A partir del valor de la resistencia obtenido, calcular el valor de la resistividad del material (y, mirando la bibliograf´ aventurar su composici´n). ıa, o *(8) Verificar, para el caso del constant´n, y mediante una gr´fica, la dependencia inversa de a a la resistencia con la secci´n. o *(9) Calcular ahora ρ a partir de una sola de las parejas de valores (la que corresponda al valor m´s alto de V e I obtenidos). Comparar este resultado con los obtenidos en el apartado a anterior. Si hubiera alguna diferencia, ¿a qu´ ser´ debida? e ıa*(10) Comparar los resultados obtenidos con los valores de la bibliograf´ Si se encuentran ıa. diferencias, ¿a qu´ se podr´ achacar? e ıan*(11) Es sabido que la resistividad de los metales y, por lo tanto, su resistencia el´ctrica var´ e ıan con la temperatura. ¿Por qu´ no se ha tenido en cuenta este efecto para estas medidas? e1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 102Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 21 aMANEJO DEL OSCILOSCOPIOOBJETO El objeto de esta pr´ctica es la familiarizaci´n del alumno con el fundamento y manejo a odel osciloscopio. Dada la complejidad de este aparato, no se pretende en este gui´n hacer un otratamiento exhaustivo, present´ndose tan solo una breve descripci´n del fundamento y manejo, a oque consideramos ser´ de gran ayuda, siempre que sea completado con una explicaci´n in situ a opor parte del profesorMATERIAL Adem´s del osciloscopio y del generador de funciones se dispondr´ de resistencias, condensa- a adores y una placa de conexiones en la que montar el circuito con el que hay que medir.FUNDAMENTOOSCILOSCOPIO El osciloscopio es un aparato de gran utilidad en el an´lisis de circuitos ya que permite arepresentar y medir variaciones de tensi´n con el tiempo. Al igual que el volt´ o ımetro, el osciloscopiose coloca en paralelo entre los puntos de la se˜ al que se va a medir. n El componente b´sico del osciloscopio es un tubo de rayos cat´dicos como el representado en a ola figura 1. Un haz de electrones se emite en un c´todo caliente y se acelera hacia un ´nodo, que a atiene un peque˜ o orificio por el que pasa parte de este haz, form´ndose un ca˜ on de electrones. n a n´Este haz se hace pasar por dos pares de placas dispuestas perpendicularmente llamadas placasdeflectoras horizontal (H) y vertical (V ). La aplicaci´n de una d.d.p. a los pares de placas odeflectoras produce un campo el´ctrico transversal a la direcci´n de propagaci´n del haz. Este e o ocampo act´ a sobre el haz de electrones y lo desv´ de una forma determinada, dependiendo de u ıala intensidad del campo el´ctrico; siendo esta desviaci´n controlada la que permite visualizar las e ose˜ ales en la pantalla fluorescente. n 103
    • 104 Figura 1 Veamos, muy someramente, c´mo se consigue “congelar” la imagen de la se˜ al objeto de o nan´lisis. Existen amplificadores vertical y horizontal acoplados a las placas de desviaci´n vertical a oy horizontal antes mencionadas. En su modo de funcionamiento m´s usual, se aplica la forma ade onda en estudio a los terminales de entrada vertical. El amplificador vertical aumenta laamplitud lo suficiente para ocasionar una desviaci´n vertical apreciable del haz electr´nico. La o odesviaci´n horizontal del haz se consigue con un generador de barrido que, generalmente, se ollama “base de tiempos”. Su misi´n es elaborar tensiones en “diente de sierra” que son las que o“mueven” el haz horizontalmente. Si el per´ ıodo de la se˜ al a estudiar (vertical) es el mismo nque la se˜ al elaborada por la “base de tiempos”, la imagen en la pantalla aparece “fija”. La nfigura 2 representa en la parte superior (curva a), las variaciones peri´dicas en el tiempo de una otensi´n de per´ o ıodo T , aplicada a las placas de deflexi´n vertical, es decir Y = Y (t). En las placas ode deflexi´n horizontal, el generador de barrido suministra una se˜ al en diente de sierra con el o nmismo per´ ıodo T (curva b), o sea , X = X(t). Para conseguir una imagen estable, la base detiempos debe dispararse “sincr´nicamente” con la se˜ al a medir. A veces esto se hace derivando o nde la se˜ al vertical amplificada un pulso disparador hacia el generador de barrido y otras veces nconviene disparar el generador de barrido con una se˜ al externa. No entramos en esos detalles. n Figura 2 La figura 3 muestra el osciloscopio de rayos cat´dicos que se utilizar´ en esta pr´ctica. Este o a aosciloscopio permite visualizar de forma simult´nea dos se˜ ales en funci´n del tiempo, oscilos- a n ocopio de dos canales, por lo que tiene duplicados un cierto n´mero de mandos. Este modo de ufuncionamiento se denomina modo X-T. El osciloscopio tambi´n permite visualizar la compo- esici´n de dos se˜ ales introducidas por los dos canales de entrada y, en este caso, se dice que el o nosciloscopio est´ operando en modo X-Y. Aplicando a ambos canales sendas funciones sinusoi- aPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 105dales, el modo X-T mostrar´ en pantalla dos funciones tipo seno, mientras que en modo X-Y ıase obtendr´ una elipse en el canal II. ıa A continuaci´n se describen los controles b´sicos del mismo necesarios para el funcionamiento o ab´sico. a Figura 3Mandos generalesPOWER.[1]- Mando de encendido del aparato.INTENS- FOCUS.[2,3]- Accionando estos controles, se ajusta tanto la intensidad como elenfoque de las se˜ ales en la pantalla. nMandos de control vertical (tensiones) Los tres mandos siguientes se encuentran duplicados, pues existe uno para cada canal.POSITION.[21,37]- Mando de posici´n vertical variable. oINVERT. [22,36]- Al tirar del mismo, la se˜ al se invierte. nAC-GND-DC.[25,33]- Controla el llamado acoplamiento de la se˜ al. Las distintas opciones nson: ´ - AC A la se˜ al de entrada se le sustrae la componente continua. Util para medir rizados n peque˜ os que se encuentran en una se˜ al continua muy grande. n n - GND La se˜ al puesta a tierra. Sirve para ajustar el cero. n - DC La se˜ al mantiene su componente de continua. nVOLT/DIV.-[26,27,31,32] Es un doble bot´n. Su parte exterior permite seleccionar la escala odeseada, indicando qu´ tensi´n corresponde a una divisi´n de la pantalla. El bot´n interior es e o o oun mando que permite variar la amplitud del canal (hasta 2.5 veces el valor indicado en laescala exterior). Para medir, el bot´n interno debe encontrarse en su posici´n extrema izquierda, o opues el aparato se calibra en esta posici´n. La posici´n elegida determina la sensibilidad o error o oinstrumental del aparato en lo que respecta a medidas de tensiones.CH I-CH II-DUAL-ADD.-[28,29,30] Selector de los modos X-T. - CH I.- S´lo se ve el canal I en la pantalla. o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 106 - CH II.- S´lo se ve el canal II en la pantalla. o - DUAL.- Pulsado, permite el funcionamiento bicanal. Sin pulsar, permite el funcionamiento monocanal. - ADD.- Indica la suma de ambos canales. Si el canal II se invierte, indica la resta.X-Y [5]- Conmutador de modo X-T (mando sin pulsar) a modo X-Y (mando pulsado).Mandos de control horizontal (tiempos)TIME/DIV. [12,13] En el modo de funcionamiento X-T, selecciona la escala de tiempos ade-cuada seg´ n la se˜ al a medir. Es un doble bot´n: Su parte exterior permite seleccionar la escala u n ode tiempos deseada. El bot´n interior es un mando que permite variar la escala de tiempos (hasta o2.5 veces el valor indicado en la escala exterior). Para medir, el bot´n interno debe encontrarse oen su posici´n extrema izquierda, pues el aparato se calibra en esta posici´n. En modo X-T, el o ovalor de la escala elegida determina la sensibilidad o error instrumental del aparato en lo que serefiere a medidas de tiempo.X POSITION. [6] Controla la posici´n horizontal. oMandos de control de disparo Para obtener una visualizaci´n estable, adem´s de seleccionar la posici´n adecuada del mando o a oTIME/DIV, debe indicarse al osciloscopio una posici´n de referencia. Esto se hace mediante la ose˜ al de activaci´n o disparo (“Trigger”). Esta se˜ al, al llegar a cierto nivel, con una pendiente n o npositiva o negativa, seg´ n la posici´n del mando LEVEL, indica al osciloscopio la posici´n de u o oreferencia. De esta forma se logra la estabilizaci´n de la se˜ al en la pantalla. Al nivel al que o ndebe llevar la se˜ al de disparo, junto a su pendiente, para que se establezca la referencia del nosciloscopio, se les denomina “condici´n de disparo”. o Los controles relacionados con la se˜ al de disparo son: nEXT[14] Pulsado selecciona el disparo por se˜ al externa. En esta pr´ctica dejaremos el bot´n n a osin pulsar, utilizando el disparo interno.AT-NORM [16] Disparo autom´tico (sin pulsar), disparo normal (tecla pulsada). En la pre- asente pr´ctica, activaremos el modo autom´tico. a aTRIG [10] Este conmutador permite elegir la frecuencia de la se˜ al de disparo n - AC-DC Para frecuencias de disparo de hasta 10 MHz - HF Para altas frecuencias de disparo (mayores de 10 MHz). - LF Para bajas frecuencias de disparo (inferiores a 1 KHz).LEVEL.[17] Una vez que con la tecla [16] se ha seleccionado el modo de disparo normal, estatecla selecciona la pendiente y el nivel a partir del cual se produce el disparo.HOLD OFF.[7] Permite inhibir la condici´n de disparo durante un tiempo, evitando as´ dobles o ıim´genes en pantalla. aNota: Con la tecla AT-NORM [16] pulsada, disparo normal, los dosultimos controles son determinantes en la obtenci´n de una se˜al estable´ o nen pantalla.Medidas con el osciloscopioModo X-T En la figura 4 se presenta un ejemplo de pantalla en modo X-T, en el que se introducen dosse˜ ales sinusoidales de igual frecuencia f que se encuentran desfasadas un ´ngulo φ. La forma n ageneral de estas se˜ ales ser´ n a Va (t) = Va cos(2πf t) (1) Vb (t) = Vb cos(2πf t + φ) (2)Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 107en donde Va y Vb son las amplitudes de las correspondientes se˜ ales y φ el desfase entre ellas. n Supondremos que el mando VOLTS/DIV del canal CH1 se encuentra en la posici´n 0,5 V y el odel canal CH2 en 50 mV. En cuanto al mando TIME/DIV supondremos que se ha seleccionadola posici´n 20µs. o Figura 4 Para medir la amplitud de la se˜ al A, obs´rvese que ´sta abarca (3,2±0,2) divisiones verticales n e ede la pantalla. Como cada divisi´n equivale a 0,5 voltios, resulta que la amplitud Va de la otensi´n introducida por el canal CH1 es justamente la mitad de este valor, luego 2 × Va = o(3,2 ± 0,2) × 0,5 V = (1,6 ± 0.l) V y Va = (0,80 ± 0,05) V. Del mismo modo, para la amplitudde la se˜ al del canal B, 2 × Vb = (4,0 ± 0,2) × 50 mV es decir, Vb = (100 ± 5) mV. n En cuanto al periodo de V (t), obs´rvese en la figura que un periodo de la se˜ al comprende e n(3,6 ± 0,2) divisiones horizontales; lo que, dado que una divisi´n equivale a 20 µs, nos lleva oa que el periodo es T = (72 ± 4) µs = (72 ± 4) × 10−6 s. La frecuencia ser´ el inverso, luego af = 1/T = 13889 Hz, y su error ∆f = (f /T )∆T = 772 Hz ≈ 800 Hz. Con este error la frecuenciaobtenida es f = (139 ± 8) × 102 Hz. Una magnitud util en corriente alterna es la frecuencia angular ω definida por ω = 2πf . ´En nuestro caso ω = 87336,3 rad/s. En cuanto a su error correspondiente, ∆ω = 2π∆f =5026,5 Hz ≈ 5000 rad/s. Con este error, la frecuencia angular final es ω = (87 ± 5) × 103 rad/s. La medida del desfase se obtiene de forma parecida. En la figura 4, la diferencia entre lasposiciones horizontales de los m´ximos es de 0,4 ± 0,2 divisiones lo que equivale a un tiempo at = 8 ± 4 µs. Como una diferencia de tiempos igual a un periodo, corresponder´ a un desfase de ıa2π rad, resulta que el desfase φ es φ = 2πt/T y su error ∆φ/φ = (∆t/t + ∆T /T ). En este casoφ = 0,6981 rad e ∆φ = 0,39 rad ≈ 0,4 rad; luego φ = (0,7 ± 0,4) rad. En definitiva, las dos se˜ ales medidas se podr´n expresar como n a Va (t) = 0,80 cos(87 kHzt) V (3) Vb (t) = 0,10 cos(87 kHzt + 0,7 rad) V (4)Modo X-Y Supongamos ahora dos se˜ ales sinusoidales de la misma frecuencia y desfasada la una respecto nde la otra x = x cos(ωt) (5) y(t) = Y cos(ωt + φ) (6)1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 108 Representando, para cada tiempo, los puntos (x(t), y(t)) en un plano, se obtendr´ una elipse, aque, en algunos casos, podr´ convertirse en una recta o una circunferencia. Esta representa- aci´n se puede obtener en la pantalla del osciloscopio seleccionando el modo de funcionamien- oto X-Y. Para ello, se conecta cada se˜ al a un canal, se selecciona la posici´n II del mando n oCH1/CH2/DUAL/ADD y, presionando el conmutador X-Y, tecla [5] pulsada, se visualizar´ la aelipse correspondiente (ver figura 5). Figura 5 Este modo de funcionamiento es muy util, porque permite medir el desfase entre ambas ´se˜ ales, pues este desfase es tal que se cumple n OC CC ′ φ = arcsen = arcsen (7) OD DD′Los puntos C, C ′ , D y D′ descritos en la figura son f´cilmente medibles y, por tanto, se puede adeterminar el desfase entre ambas se˜ ales. nGENERADOR DE FUNCIONES Un generador de se˜ ales permite generar una se˜ al peri´dica, pudi´ndose controlar su am- n n o eplitud, su frecuencia y, dependiendo del modelo, su forma (cuadrada, sinusoidal, triangular).Disponen de controles de amplitud y de selectores de frecuencia. El tipo de se˜ al, sinusoidal o ncuadrada a generar se controla mediante el correspondiente conmutador.SONDAS Las impedancias de entrada de la mayor´ de los osciloscopios est´n normalizadas a ciertos ıa avalores est´ndar, que resultan de poner en paralelo una resistencia de 1 MΩ con un condensador ade 25 − 30 pF. Para ciertas aplicaciones, tales valores se muestran insuficientes, ya que no permi-ten medir con garant´ espectros amplios de frecuencias y, por tanto, es necesario modificarlos. ıaEso se consigue mediante las sondas. As´ pues, una sonda de osciloscopio es, aparte del soporte ıPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 109f´ ısico por el que llega la se˜ al a medir, un atenuador suplementario, que modifica la impedancia nde entrada del osciloscopio. Es muy habitual atenerse a la relaci´n de atenuaci´n 10. o oAjuste de las Sondas El desajuste de la compensaci´n de la sonda es una causa frecuente de oerrores en la medida. Las sondas atenuadas est´n provistas de un ajuste de compensaci´n. Para a ogarantizar mediciones en condiciones ´ptimas, acost´ mbrese a comprobar la compensaci´n de la o u osonda antes de efectuar las medidas. Conectar una sonda (×10) a la entrada CH I [24], no pulsar tecla alguna, conmutar elacoplamiento de entrada a DC, mando de control vertical en 5 mV/cm y conmutador TIME/DIVen 0,2 ms/cm (ambos ajustes finos en la posici´n de calibrado) y conectar la punta de la sonda ocon ganchito a la corcheta CAL [19] correspondiente (sonda 10 : 1 a la corcheta 0,2 voltios.En la pantalla del osciloscopio debe aparecer una onda cuadrada con una amplitud de cuatrodivisiones. Figura 6 Si la onda cuadrada se ve deformada, ajuste el ‘trimmer’ de la sonda hasta que los techosde la se˜ al rectangular vayan exactamente paralelos a las l´ n ıneas horizontales de la ret´ ıcula, (verfigura Figura 7 Repita el proceso para el canal CH2, cada uno con su propia sonda. Ahora el osciloscopio est´ listo para ser utilizado. a ´METODOMedidas b´sicas en el modo X-T a (1) Antes de proceder a la medida de se˜ ales en un circuito, y para que el alumno se familiarice n con el funcionamiento del osciloscopio, se proceder´ a visualizar una se˜ al directamente a n obtenida del generador. La visualizaci´n se llevar´ a cabo en funci´n del tiempo y, por o a o tanto, el osciloscopio funcionar´ en modo X-T. a (2) Conecte un extremo del cable o sonda suministrada con el osciloscopio al canal I del mismo. El otro extremo de la sonda se conectar´ a la salida del generador. Deber´ tenerse cuidado a a de conectar la tierra de la sonda, cable m´s corto, al conector de tierra del generador, para a no invertir la polaridad.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 110 (3) Una vez hecho esto, se conectar´ el generador eligiendo una amplitud y frecuencia de salida a determinadas. Seleccione el modo autom´tico de disparo, tecla AT-NORM [16] sin pulsar. a Elija la posici´n adecuada de los mandos VOLT/DIV y TIME/DIV y estabilice la se˜ al o n en pantalla. (4) M´ ıdase la amplitud y el periodo de dicha se˜ al por el procedimiento descrito anteriormente. n A partir del periodo, se calcula la frecuencia, que hay que comprar con el valor medido en el visor de generador de funciones. Figura 8Circuito RC serie (5) Montar el circuito RC de la figura 8. Te´ricamente, si la tensi´n de entrada Ve es del tipo o o senoidal Ve (t) = Ve cos(2πf t) (8) la tensi´n en bornes del condensador tambi´n ser´ de tipo senoidal de la misma frecuencia, o e a pero vendr´ afectada de un desfase, de forma que la expresi´n de esta tensi´n es a o o VC (t) = Vc cos(2πf t + φ) (9) donde la amplitud VC es Ve Vc = (10) 1 + (2πf )2 R2 C 2 y el desfase φ entre las se˜ ales de entrada y la del condensador n φ = − arc tg(2πf RC) (11) (6) Una vez montado el circuito, con´ctese la sonda del canal I en los extremos del generador e para medir Ve (t) y la sonda del canal II en los bornes del condensador para medir VC (t). Nota: Las tierras de ambas sondas deber´n conectarse al mismo punto para a obtener una medida correcta. (7) Mediante el mando CH1/CH2/DUAL/ADD, seleccione el modo DUAL con el que se vi- sualizar´n ambas tensiones de forma simult´nea. Ajuste, con el mando VOLTS/DIV, las a a escalas verticales adecuadas para apreciar con claridad toda la amplitud de las se˜ ales. n (8) A continuaci´n ajuste, mediante el control TIME/DIV, la escala de tiempos para visualizar o uno o dos periodos de la se˜ al. n (9) Si estuviese trabajando con la tecla AT-NORM [16] pulsada, la estabilizaci´n en pantalla o de la se˜ al se consigue accionando los controles LEVEL y HOLD OFF. nPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 111Figuras de Lissajous(10) Las figuras de Lissajous (ver cualquier texto de F´ısica General) aparecen cuando se su- perponen, en un mismo punto, dos movimientos arm´nicos en direcciones perpendiculares. o ´ Estos pueden tener o no la misma frecuencia y/o fase.(11) Esto puede visualizarse con el osciloscopio de la siguiente forma. Se seleccionan dos ten- siones sinusoidales y, cada una de ellas se aplica en un canal. Una cualquiera se utiliza como referencia, y se opera tal como se indica en el apartado anterior (Medidas con el osciloscopio: Modo XY). As´ podemos comparar el desfase entre dos se˜ ales de la misma ı n frecuencia (ver figura 4).(12) Si las frecuencias de las se˜ ales son diferentes, dependiendo del cociente entre ellas, pueden n obtenerse figuras cerradas o no en la pantalla del osciloscopio.(v´anse los textos citados e anteriormente).Resultados(13) Siguiendo las indicaciones anteriores lleve a cabo diversas medidas de amplitud y frecuen- cia de se˜ ales directamente obtenidas del generador de se˜ ales. Utilice ondas cuadradas n n y sinusoidales. Construya una tabla con los resultados, acompa˜ ando los mismos de su n correspondiente error. Incluya en la tabla los valores de frecuencia medidos con el oscilos- copio y los medidos en el generador de se˜ ales. Compare los valores de frecuencia medidos n con el osciloscopio y los indicados por el generador de se˜ ales. n(14) Fijando una frecuencia alrededor de 7 kHz en el generador, determine la tensi´n pico-pico, o la amplitud, el periodo y la frecuencia de la se˜ al. Usando los selectores de banda, cambie la n d´cada de la frecuencia, sin alterar el valor indicado en la pantalla del generador. Determine e las caracter´ ısticas de las se˜ ales para, por lo menos, tres d´cadas diferentes. Compare los n e valores obtenidos.(15) Represente en la pantalla del osciloscopio una se˜ al de aproximadamente 1 kHz con una n amplitud elevada. Determine todas las caracter´ ısticas de la se˜ al (tensi´n pico-pico, am- n o plitud, periodo y frecuencia). Repita estas medidas para todas las combinaciones posibles de los tres botones del atenuador de salida del generador. Calcule la atenuaci´n de la se˜ al o n (cociente entre la amplitud atenuada y la sin atenuar) y compare el resultado con los va- lores indicados por el atenuador de salida. Para ello es conveniente expresar la atenuaci´n o en decibelios (dB).(16) Monte el circuito de primer orden de la figura 8, aplique una onda sinusoidal y mida con el osciloscopio la amplitud y frecuencia de la tensi´n en bornes del generador y del o condensador. Determine tambi´n el desfase entre ambas se˜ ales. Compare los resultados e n con los predichos te´ricamente. Repita la operaci´n con varias frecuencias. o o(17) Observaci´n de las figuras de Lissajous. oNota: Debido al car´cter estacionario de las medidas, sucesivas medidas de la misma magnitud aproducen dispersiones despreciables. Por este motivo ser´ suficiente tomar una sola medida de acada magnitud. Compruebe, en un caso, que la dispersi´n de las tres primeras medidas de una oamplitud es despreciable, justific´ndose as´ el hecho de tomar una sola medida. a ı1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 112Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 22 aCIRCUITOS DE CORRIENTEALTERNAOBJETIVO Estudiar los circuitos en serie RL, RC y RLC en corriente alterna. Aplicaci´n al c´lculo de o aL y C.MATERIAL Generador de se˜ ales alternas. Pol´ n ımetro u osciloscopio. Resistencias. Condensadores. Auto-inducciones: bobina. Placa de montaje y cables de conexi´n. oFUNDAMENTO Cuando a los extremos de una resistencia ´hmica se oaplica una tensi´n alterna, V = VM senωt, la intensidad ode la corriente que se origina se deduce a partir de la leyde Ohm: VM I= sin ωt = IM senωt (1) Rresultando que la intensidad tambi´n var´ sinusoidalmen- e ıate con el tiempo, con la misma frecuencia que la tensi´n oaplicada, y que su valor m´ximo vale a VM IM = (2) RPor tanto, cuando un circuito s´lo contiene resistencia oo´hmica, la intensidad de la corriente no presenta diferen-cia de fase respecto a la tensi´n aplicada que la origina o(fig. 1). En general, en los circuitos de corriente alterna se suelen utilizar otros elementos adem´s de alas resistencias ´hmicas. Supongamos que existan, conectadas en serie con una resistencia R, una obobina L y un condensador C. Al aplicar una tensi´n alterna a los extremos de dicho circuito en oserie, se establece, una vez desaparecidos los efectos transitorios de corta duraci´n, una corriente oestacionaria que viene expresada por I = IM sen(ωt + φ) (3) 113
    • 114en la que se pone claramente de manifiesto que la frecuencia f = ω/2π de la intensidad es lamisma que la correspondiente a la tensi´n, pero que la intensidad est´ desfasada en un ´ngulo o a aφ (´ngulo de desfase o desfase) respecto a la tensi´n. a o Los valores instant´neos de una intensidad de corriente, f.e.m. o diferencia de potencial aalternas, var´ de un modo continuo desde un valor m´ximo en un sentido, pasando por cero, ıan ahasta un valor m´ximo en el sentido opuesto, y as´ sucesivamente. El comportamiento de un a ıdeterminado circuito en serie queda expresado por los valores m´ximos de la intensidad (IM ) ay de la tensi´n (VM ) (tambi´n del valor del desfase φ), pero es mucho m´s interesante estudiar o e alos circuitos de corriente alterna en funci´n de los valores eficaces, Ief y Vef , en lugar de los ovalores m´ximos, porque los valores que se miden con los volt´ a ımetros y amper´ımetros de c.a. sonprecisamente los eficaces. La intensidad eficaz de una corriente alterna se define como el valor de la intensidad de unacorriente continua que desarrollase la misma cantidad de calor en la misma resistencia y en elmismo tiempo. Se demuestra que IM Ief = √ = 0,707IM (4) 2y an´logamente, la tensi´n eficaz, a o VM Vef = √ = 0,707VM (5) 2 De ahora en adelante, se interpretar´ que las letras I y V sin sub´ a ındices hacenreferencia a los valores eficaces de las magnitudes correspondientes. La intensidad m´xima IM est´ relacionada con la tensi´n m´xima VM por una expresi´n que a a o a otiene la misma forma que la que expresa la ley de Ohm para corrientes continuas VM IM = (6) Zdenomin´ndose la magnitud Z, impedancia del circuito, que es una generalizaci´n de la resis- a otencia R de la ley de Ohm en corriente continua. Naturalmente, dividiendo los dos miembros de √(6) por 2 , se obtiene para los valores eficaces V I= (7) ZLa relaci´n que existe entre la impedancia Z del circuto RLC en serie y las caracter´ o ısticas R, Ly C de los tres elementos considerados es 2 1 Z= R2 + ωL − (8) ωCque, introduciendo las siguientes simplificaciones, 1 XL = ωL XC = X = XL + XC (9) ωCse escribe Z= R2 + X 2 (10)Por otra parte, el desfase , viene dado por la expresi´n o X φ = arc tg (11) R La magnitud X recibe el nombre de reactancia; XL y XC son la reactancia inductiva oinductancia y la reactancia capacitativa o capacitancia, respectivamente. Tanto la impedanciacomo la reactancia se miden en ohmios (Ω).Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 115 Los papeles de la inductancia y de la capacitancia son contrapuestos, tanto en lo que se refierea la limitaci´n de la corriente, como al desfase que introducen entre la intensidad y la tensi´n. o oAs´ mientras que un aumento de inductancia reduce la intensidad, un aumento de capacitancia la ı,hace aumentar. Adem´s, la inductancia retrasa la intensidad respecto a la tensi´n, en tanto que a ola capacitancia la adelanta. Tanto la inductancia como la capacitancia dependen de la frecuenciade la tensi´n alterna aplicada. o La relaci´n que existe entre la impedancia Z de un ocircuito RLC en serie y los valores de R, XL y XC pue-de representarse gr´ficamente considerando estas magni- atudes como vectores. La resistencia R se representa porun vector situado sobre el eje OX en sentido positivo delmismo; y las reactancias XL y XC , por vectores situa-dos sobre el eje OY , en los sentidos positivo y negativo,respectivamente. La impedancia Z ser´ el vector suma de alos tres vectores. V´ase la figura 2, denominada diagrama edel vector impedancia del circuito. En dicha figura, se haconsiderado el caso en que XL > XC , y por tanto X espositiva, y tambi´n es positivo el desfase . Diremos que el ecircuito representado por dicho diagrama es ”inductivo”.En el caso contrario, esto es XC > XL , el circuito ser´ ıa”capacitivo”. Como casos especiales, es evidente que si el circuito s´lo contiene una resistencia pura, en- otonces X = 0; Z = R y φ = 0, y la intensidad est´ en fase con la tensi´n aplicada. a o Si el circuito contiene autoinducci´n pura, ser´ R = 0, Z = XL = ωL y φ = +π/2, y la o aintensidad se retrasa 90o respecto a la tensi´n aplicada. o Pero si el circuito se compone de capacidad pura, se tendr´ R = 0, Z = XC = 1/ωC y aφ = −π/2, y la intensidad adelanta en un ´ngulo de 90o a la tensi´n. a o La intensidad de la corriente tiene la misma fase en todas las partes de un circuito en serie.Es decir: es m´xima en la resistencia, autoinducci´n y condensador al mismo tiempo; nula en a olos tres un instante despu´s; m´xima, pero de sentido opuesto, otro instante todav´ posterior, e a ıay as´ sucesivamente. ı La diferencia de potencial (ddp.) entre dos puntos cua-lesquiera de un circuito es igual al producto de la inten-sidad por la impedancia del mismo entre los dos puntosconsiderados, siempre que no exista ninguna f.e.m. com-prendida entre dichos puntos. As´ ı, Vab = IZab (12)La diferencia de fase φ entre Va b e I ser´ a Xab φ = arc tg (13) Rab En la figura 4, la impedancia Zab entre a y b es R y, por consiguiente, Vab = IR y φ =arc tg 0 = 0. Esto es, la ddp. entre los terminales de una resistencia pura est´ en fase con la aintensidad de la corriente.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 116 Entre los puntos b y c es Zbc = XL , Vbe = IXL y φ = arc tg ∞ = π/2. Esto es, la ddp. entrelos terminales de una autoinducci´n pura est´ adelantada 90o respecto a la intensidad. o a Entre los puntos c y d es Zcd = XC , Vcd = IXC y φ = arctan −∞ = −π/2. Esto es, la d.d.p.entre los terminales de una capacidad pura est´ retrasada 90o respecto a la intensidad. a Debido a estos desfases, la suma de la diferencia de po-tenciales eficaces entre los extremos de un cierto n´ mero ude elementos de un circuito en serie no es igual a la diferen-cia de potencial entre los extremos del conjunto. La sumade tensiones deber´ efectuarse geom´tricamente, como se a eindica en la figura 5, donde VR , VL y VC son las tensionesentre los extremos de la resistencia R, autoinducci´n L y ocapacidad C, respectivamente, y V es la tensi´n entre los oextremos de la asociaci´n en serie RLC. o ´METODO En todos los casos, use frecuencias del orden de 500-1000 Hz.Circuito RL en serie (1) M´ıdase con el ´hmetro (o con un puente de Wheatstone) la resistencia R de la resistencia o suministrada para esta pr´ctica. An´tese el valor medido. a o (2) Proc´dase, an´logamente, a medir la resistencia ´hmica de la bobina, RL . An´tese. e a o o (3) M´ntese el circuito de la figura 6. Ci´rrese el interruptor. o e (4) Con el volt´ımetro (o con el osciloscopio), m´ ıdanse las diferencias de potencial eficaz entre los extremos de la resistencia, VR , de la autoinducci´n, VL , y del conjunto, V . An´tense o o los resultados. (5) M´ ıdase, con el miliamper´ ımetro, la intensidad eficaz, I, del circuito. *(6) Calc´ lese la intensidad eficaz del circuito a partir de la f´rmula (12). u o *(7) Utilizando la ec. (12), determ´ ınese la inductancia, XL , de la bobina y, a partir de dicho valor, calc´ lese la autoinducci´n, L, de la misma. u o *(8) Determ´ ınese la impedancia Z del circuito RL en serie a partir de los valores de V e I. *(9) Calc´ lese la impedancia Z del circuito RL a partir de la f´rmula (10). u o*(10) Calc´ lese el desfase entre la intensidad y la tensi´n a partir de (11). u o*(11) Dib´ jense los diagramas vectoriales de impedancias y de tensiones. uPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 117Circuito RC en serie (12) M´ntese el circuito de la figura 7. Ci´rrese el interruptor. o e (13) M´ıdase la tensi´n eficaz entre los extremos de la resistencia, VR , de la capacidad, VC , y del o conjunto RC, V . (14) M´ ıdase la intensidad eficaz del circuito, I, con el miliamper´ ımetro.*(15) Aplicando la ec. (12), calc´ lense la capacitancia del condensador y la capacidad del mismo. u*(16) Determ´ ınese la impedancia Z del circuito RC en serie a partir de los valores de V e I.*(17) Calc´ lese el desfase entre la intensidad y la tensi´n aplicada. u o*(18) Dib´ jense los diagramas vectoriales de impedancias y de tensiones. uCircuito RLC en serie (19) M´ntese el circuito de la figura 8. Ci´rrese el interruptor. o e (20) M´ıdanse las tensiones eficaces entre los extremos de la resistencia, VR , de la autoinducci´n, o VL , del condensador, VC , y del montaje RLC en serie. (21) M´ ıdase con el miliamper´ ımetro la intensidad eficaz en el circuito.*(22) Calc´ lese, aplicando la ec. (12), la intensidad eficaz en el circuito. u*(23) Calc´ lense XL , XC , L y C, como en los circuitos anteriores. u*(24) Calc´ lese la impedancia Z del circuito RLC en serie a partir de los valores de la intensidad u I y de la tensi´n total V . o*(25) Calc´ lese la impedancia del circuito RLC en serie aplicando la ec. (10). u*(26) Determ´ ınese el desfase entre la intensidad y la tensi´n total. o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 118*(27) Dib´ jense los diagramas vectoriales de impedancias y de tensiones. u*(28) Repres´ntesen gr´ficamente las funciones intensidad instant´nea, I, y tensi´n instant´nea, e a a o a V , en funci´n del tiempo para cada uno de los circuitos estudiados en la pr´ctica. o aPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 23 a ´CAMPOS MAGNETICOS ENLAS PROXIMIDADES DECONDUCTORESOBJETIVO Medida del campo magn´tico en el aire cerca de conductores rectil´ e ıneos y circulares concorrientes. Comprobaci´n de la ley de Biot-Savart. oMATERIAL Fuente de alimentaci´n. Transformador. Transformador de intensidad, Tesl´metro. Sondas o aHall (axial y transversal). Conjunto de cuatro conductores de corriente de diversas formas.Pol´ ımetro. Regla. Pinzas. Cables de conexi´n y soportes. oFUNDAMENTO Una corriente que circula por un conductor produce un campo magn´tico en su vecindad. El ecaso m´s simple es el de un conductor largo en el vac´ (en el aire es igual), para el cual, si I es a ıola intensidad que lo atraviesa y r la distancia a la que se mide el campo magn´tico B, la ley de eBiot-Savart nos da su m´dulo: o µ0 I B= (1) 2π ren donde µ0 es la permeabilidad magn´tica del vac´ (tambi´n del aire, y vale 4π10−7u.S.I) La e ıo edirecci´n de B es perpendicular tanto a la direcci´n de la corriente como del vector de posici´n o o or. A efectos pr´cticos, la expresi´n anterior puede usarse a ocuando la longitud del cable conductor es mucho mayorque la distancia r. En cambio, cuando ambos valores sondel mismo orden de magnitud, deberemos de usar la ex-presi´n alternativa: o µ0 I B= (cosφ1 − cos φ2 ) (2) 2π rsiendo φ1 y φ2 los ´ngulos que pueden observarse en la afigura. 119
    • 120 Cuando lo que se tiene es una espira de corriente, la expresi´n que permite calcular el m´dulo o odel campo magn´tico a una cierta distancia r sobre el eje de la misma viene dada por: e µ0 Ia2 B= 2 + a2 )3/2 (3) 2 (xen donde a es el radio de la espira y x la distancia al plano de la espira medida sobre el eje ycon origen en su centro.MONTAJE EXPERIMENTAL La figura de abajo nos muestra el dispositivo de medida. Una corriente alterna se origina enuna fuente de alimentaci´n y se hace circular por el primario de un transformador. El secundario ode este transformador se coloca en serie con el circuito que crea el campo magn´tico, que ser´ uno e acualquiera de las 4 conductores que hay en la pr´ctica. La regla y el Tesl´metro, junto con las a asondas Hall, nos servir´n para medir la distancia r y medir el campo, respectivamente. a Para medir valores aceptables del campo magn´tico, se han de tener intensidades de corriente ebastante grandes, como puede verse por c´lculo directo en la expresi´n (1). Por ese motivo, se a orecurre a un procedimiento que disminuya los riesgos de trabajar con intensidades tan altas y queconsiste en utilizar el llamado “transformador de intensidad” (que es el aparato negro de formatoroidal y dos bornes). Se trata de otro transformador, en el que el primario es el circuito cuyaintensidad de corriente se quiere medir (cualquiera de los 4 que disponemos) y cuyo secundarioes un n´ cleo anular provisto de una sola espira que rodea una vez al primario (ver figura 2). uEste n´ cleo tiene una salida por dos bornes, a los que se conecta el amper´ u ımetro de medida(pol´ ımetro) con el que leeremos una corriente Iti . En nuestro caso, el dise˜ o experimental es tal nque cumple la relaci´no I = 100Iti (4)ADVERTENCIA¡PELIGRO! El transformador de intensidad siempre debe de estar conectado al am-per´ ımetro. En caso contrario, es decir, con el secundario abierto, se pueden inducir ´entre sus bornes PUNTAS DE TENSION muy elevadas y peligrosas. Por lo tanto,Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 121estando en r´gimen de trabajo, es decir, circulando corriente en todos los conducto- eres de la pr´ctica, bajo ning´ n concepto abra el circuito que forma el transformador a ude intensidad en serie con el amper´ ımetro, ni siquiera para cambiar el amper´ımetro.Para cualquier incidencia consulte con el Profesor.Por lo tanto, cuando haya que cambiar el conductor objeto de estudio (rectangu-lares, cuadrados, espiras,...) y manipular el transformador de intensidad, APAGUEPRIMERO LA FUENTE DE ALIMENTACION. ´Manejo del Tesl´metro a Este aparato permite medir el campo magn´tico B mediante las llamadas sondas Hall (re- ecordar el efecto Hall o estudiarlo en cualquier libro de F´ısica General). Una de ellas, “sondaaxial”, est´ especialmente preparada para medir campos que se encuentran axialmente orien- atados respecto al soporte de sondas (es decir, cuyos campos se supone que est´n en la misma adirecci´n que la varilla de la sonda o portasondas). La segunda, “sonda transversal”, mide los ocampos que se encuentran orientados normalmente a la varilla del portasondas. El Tesl´metroaposee tres intervalos de medida, conmutables de uno a otro: (a) desde 0 a 20 mT; (b) desde0 a 200 mT; y (c) desde 0 a 1000 mT. El aparato puede medir tanto campos continuos comoalternos. En nuestro caso la corriente que origina el campo es alterna, de tipo senoidal, y, por lotanto, vamos a medir siempre campos magn´ticos alternos. El valor que, entonces, suministra la esonda es el “valor eficaz” del correspondiente campo magn´tico senoidal en un punto dado. Una econsecuencia de este hecho es que no necesitamos realizar un ajuste de cero del Tesl´metro. Para ael alumno que est´ interesado en ampliar detalles sobre este dispositivo, consulte la fotocopia eque se encuentra en la pr´ctica. a ´METODO Para cada circuito siga rigurosamente los siguientes pasos: (1) Fuente de alimentaci´n y Tesl´metro desconectados. o a (2) Coloque el circuito de prueba en serie con el secundario del transformador. No olvide pasar el conductor elegido por el “agujero central” del transformador de intensidad. (3) Conecte los cables del pol´ımetro con el secundario del transformador de intensidad. No olvide poner el pol´ ımetro en el modo “intensidad de corriente alterna”. (4) Conecte Fuente de Alimentaci´n y Tesl´metro. o a (5) Selecciones una intensidad en la Fuente, con lo que ya est´ todo dispuesto para medir con a las sondas. (6) Para empezar, ser´ conveniente que el alumno observar´ las figuras de campos magn´ticos ıa a e de circuitos simples que siempre traen los libros de F´ısica General. De esta manera, tendr´ ıa una idea m´s clara de lo que intenta medir. Una vez hecho esto, deber´ estudiar lo primero a a los diferentes tipos de circuitos que se suministran con la pr´ctica y la forma de los campos a que se va a encontrar, es decir, las expresiones (1), (2) y (3). (7) Se sugiere que el alumno comience con la espira (y, se pueden tratar como tales, tanto el bucle circular como el cuadrado), ya que s´lo hay una l´ o ınea en donde se pueda medir y comparar con la teor´ıa. (8) Hay todav´ dos tipos diferentes de medidas que se pueden realizar: ıa ıneo: Estudiar la dependencia del campo magn´tico tanto (i) Cerca de un conductor rectil´ e con la intensidad de corriente como de la distancia al conductor.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 122 (ii) Cerca de dos conductores rectil´ ıneos: (a) Corrientes en el mismo sentido. (b) Corrientes en sentido contrario. (c) Asimismo, y en cada uno de los casos, estudiar la dependencia del campo magn´ti- e co tanto con la intensidad de corriente como con la distancia a los conductores. (9) Comparar los resultados experimentales obtenidos con los valores y dependencias que se deducen de las expresiones (1), (2) y (3).Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 24 aMARCHA DE RAYOSOBJETIVO El objetivo principal de esta pr´ctica es visualizar la marcha de los rayos en algunos com- aponentes ´pticos elementales (lentes, espejos, l´minas planoparalelas y prismas), observando o acualitativamente diversos fen´menos que ocurren en aquellos. Si no se requiere una precisi´n ex- o ocesiva, es tambi´n posible medir algunos par´metros ´pticos de dichos componentes (potencias e a ode las lentes, ´ ındices de refracci´n, etc.) oMATERIAL Fuente luminosa con soporte y carcasa. Fuente de alimentaci´n. Diafragmas. Lentes. Espejos. oL´mina planoparalela. Prismas. Todos estos componentes poseen fijaciones magn´ticas para a epegarlos a una base met´lica. a ´FUNDAMENTO TEORICO La figura adjunta muestra un posible montaje de este dispositivo. Sobre la superficie de labase met´lica que sostiene todos los componentes podr´n visualizarse las trayectorias luminosas a ade los distintos rayos. En los siguientes apartados se dan algunas indicaciones para el estudio elemental y porseparado de lentes, espejos, l´minas y prismas. Pueden realizarse tambi´n otras observaciones y a econstruir otros sistemas ´pticos con los elementos de que se dispone. oLENTES Dado que el objetivo principal de la pr´ctica es la vi- asualizaci´n de la trayectoria de los rayos podr´ construir- o ıase un colimador que produjera un haz paralelo y estrechode luz utilizando una fuente luminosa en el foco objetode una lente convergente. Sin embargo, para la ralizaci´n ode la pr´ctica se dispone de una fuente que genera varios arayos laser paralelos con lo que se facilita enormemente lavisualizaci´n. o 123
    • 124 Si se hace incidir el haz colimado emergente sobre distintas lentes, se obtendr´n haces emer- agentes convergentes o divergentes. Usando un calibre o una cinta m´trica podremos medir apro- eximadamente la distancia focal imagen f ′ de las distintas lentes, sabiendo que, si las lentes sondelgadas, la distancia focal imagen f ′ es la distancia desde la lente al plano focal imagen de lalente F ′ (plano donde convergen los rayos a la salida de la lente, o sus prolongaciones). Unavez estimada la distancia focal imagen f ′ , calcule la potencia de las distintas lentes, teniendoen cuenta que se denomina potencia de una lente a la inversa de la distancia focal (medida enmetros). La potencia se expresa en dioptr´ y viene dada por: ıas 1 φ′ [D] = (1) f ′ [m] Seleccione un solo rayo del haz colimado y, haci´ndolo incidir sobre la lente, observe el ediferente efecto que tiene el desplazamiento de la lente (perpendicularmente al eje ´ptico) si es oconvergente o es divergente. Observe tambi´n que los rayos que pasan por el centro ´ptico de la e olente no se desv´ ıan. Utilizando la lente convergente de mayor potencia, puede observarse la aberraci´n crom´tica o a(distorsi´n de la imagen que colorea la luz blanca, debido al diferente ´ o ındice de refracci´n que otiene cada componente de esta luz). Obs´rvese que el foco correspondiente a la luz azul est´ m´s e a apr´ximo a la lente que el correspondiente a la luz roja. oESPEJOS Con el espejo plano y la ayuda de un transportador dea´ngulos (o una regla), puede verificar el cumplimiento dela ley de la reflexi´n. Tambi´n puede comprobar que, si el o eespejo gira un ´ngulo α, el rayo reflejado efect´ a un giro a ude ´ngulo 2α. En particular, si el angulo de incidencia en a ´el espejo es α = 45o el rayo reflejado sale perpendicular-mente al incidente (2α = 90o ). Haciendo incidir un haz colimado sobre el espejoc´ncavo, podemos observar que el foco imagen F ′ se sit´ a o uaproximadamente a una distancia del v´rtice igual a la mi- etad del radio, como se sabe. Haga incidir sobre el espejoc´ncavo distintos rayos paralelos al eje ´ptico, a diferente o oPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 125altura, y observe en qu´ punto(s) cortan los rayos refleja- edos al eje ´ptico del sistema. o Se propone tambi´n la comprobaci´n de que un espejo e oc´ncavo puede dar una imagen real o virtual de un ob- ojeto real, dependiendo de d´nde se sit´ e el objeto. Como o uobjeto real puede usarse el foco imagen obtenido al in-terponer una lente convergente en la trayectoria del hazcolimado inicial. Si dicho foco est´ pr´ximo al v´rtice del a o eespejo (concretamente, dentro de la distancia focal), se ob-servar´ que el haz reflejado es divergente, o sea, la imagen aque produce el espejo es virtual. Finalmente, utilizando el mismo espejo curvo pero por el otro lado, pueden analizarse algunasde las caracter´ ısticas de la imagen producida por un espejo convexo. Comente las observacionesrealizadas y analice toda la casu´ıstica. ´LAMINA PLANOPARALELA Haciendo incidir con un cierto ´ngulo un unico rayo a ´sobre una de las caras de la l´mina planoparalela, puede aobservarse como experimenta dos refracciones consecuti-vas y el rayo finalmente emergente es paralelo al inicial. Elefecto global de la l´mina es por tanto un desplazamiento alateral t del haz incidente. Adem´s de la refracci´n en ca- a oda una de las dos caras, podemos comprobar tambi´n que euna parte de la luz se refleja en ambas caras. Estudie cualitativa y cuantitativamente c´mo var´ la o ıatraslaci´n del rayo t con el aumento o disminuci´n del o oa´ngulo de incidencia en la primera cara, ayud´ndose para aello de una regla o papel milimetrado.PRISMAS Utilizando el prisma, puede observarse la desviaci´nosufrida por un haz o un rayo incidente. Modifique el ´ngu- alo de incidencia de la luz sobre el prisma y compruebeque hay un ´ngulo de m´ a ınima desviaci´n (o de desviaci´n o om´ınima) y haga una estimaci´n de su valor en funci´n del o oa´ngulo de incidencia del haz, vali´ndose de papel milime- etrado. A partir del valor anterior puede hacer una estima-ci´n del ´ o ındice de refracci´n para el prisma dado por la oexpresi´n: o sen δm2 +α n= α (2) sen 2donde α es el ´ngulo de refringencia del prisma que, para aun prisma equil´tero, vale α = 60o . a1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 126 Cabe tambi´n observar el fen´meno de la dispersi´n de e o ola luz en el prisma. Compruebe que la desviaci´n sufrida opara las longitudes de onda cortas de la luz blanca inci-dente es mayor que para las longitudes de onda largas, porlo que la luz resulta coloreada. Puede verse tambi´n que ela dispersi´n angular aumenta cuando el haz final emerge orasante de la segunda cara del prisma. ´OTROS SISTEMAS OPTICOS Los elementos de que dispone en esta pr´ctica le pueden permitir realizar m´ ltiples combi- a unaciones y observar la marcha de rayos que se produce en algunos instrumentos ´pticos cl´sicos: o aanteojo astron´mico, anteojo de Galileo, microscopio compuesto, espectroscopio, etc. Elija un oinstrumento ´ptico cualquiera y observe y haga un esquema de la marcha de rayos en el mismo. oCUESTIONES (1) Si un rayo paralelo al eje ´ptico incide en una lente y ´sta se mueve perpendicularmente al o e eje ´ptico, el rayo emergente se desv´ de forma distinta seg´ n que la lente sea convergente o ıa u o divergente. Justifique te´ricamente el motivo de este hecho, que puede observarse en la o realizaci´n de la pr´ctica. o a (2) Si todos los rayos incidentes paralelos al eje ´ptico de un espejo c´ncavo no se cortan, tras o o reflejarse, en un unico punto, ¿c´mo podemos hablar del foco imagen de un espejo? ´ o (3) Si cree que se podr´ determinar el ´ ıa ındice de refracci´n del vidrio de la l´mina planoparalela o a usada con el material disponible en la pr´ctica, indique c´mo lo har´ y las causas de error a o ıa que afectar´ a su medida. ıan (4) ¿Podr´ construir un colimador con una lente divergente? Justifique su respuesta. ıa (5) Con la l´mina planoparalela simule la reflexi´n total. Razone si, a partir de la medida a o del ´ngulo de reflexi´n total, se podr´ determinar el ´ a o ıa ındice de refracci´n de la l´mina o a planoparalela.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 25 aLENTES Y SISTEMAS DELENTESOBJETIVO Estudiar la formaci´n de im´genes mediante una lente convergente. Medida de la distancia o afocal de una lente delgada convergente y de una divergente.MATERIAL Banco ´ptico provisto de fuente de iluminaci´n, soportes deslizantes y pantalla. Lentes con- o overgente y divergente. Objeto. ´FUNDAMENTO TEORICO Una lente es un sistema ´ptico constituido generalmente por un cristal limitado por dos osuperficies esf´ricas, y que tiene la propiedad de formar im´genes de objetos. La imagen de un e aobjeto producida por una lente depende de muchos factores, como puede ser la iluminaci´n deloobjeto, el tama˜ o del mismo, el material constituyente de la lente (´ n ındice de refracci´n), las ocaracter´ ısticas geom´tricas de la lente (espesor y radios de curvatura de cada una de sus caras). eLas lentes con las que vamos a trabajar en esta pr´ctica se considerar´n delgadas, es decir, que a asu espesor se puede despreciar en comparaci´n con el tama˜ o de los radios de curvatura de o nsus superficies externas. Adem´s, nuestras lentes van a estar sumergidas en aire1 , puesto que el amedio que rodea a la lente por ambas caras va a ser el aire. Desde el punto de vista de la formaci´n de im´genes, las lentes delgadas quedan caracterizadas o apor un par´metro llamado distancia focal, que permite hacer c´lculos sobre la posici´n y el a a otama˜ o de los objetos e im´genes a trav´s de la lente. n a e 1 En el caso de que la lente no est´ sumergida en aire ni las ecuaciones mostradas aqu´ ni los razonamientos e ıson v´lidos a 127
    • 128 Figura 1 Consideremos un objeto O (ver figura 1) situado a una distancia a de una lente delgada L.Esta lente formar´ una imagen del objeto O′ a una distancia a′ cumpli´ndose la relaci´n: a e o 1 1 1 − + ′ = ′ (1) a a fdonde f ′ es la distancia focal de la lente Esta expresi´n es v´lida siempre que los ´ngulos con los que se trabaja en el sistema ´ptico o a a osean peque˜ os (en nuestro caso, gran distancia del objeto a la lente con respecto a su tama˜ o n ny peque˜ as aberturas). Cuando esto suceda, diremos que estamos trabajando en el dominio de n ´la Optica Paraxial. Para hacer uso de la f´rmula [1], debemos tener en cuenta los siguientes oindicaciones o criterios: a) Siempre consideramos que la luz incide de izquierda a derecha. En nuestro caso, si hallamos la imagen de un objeto a trav´s de la lente, el objeto estar´ situado a la izquierda de la e a lente. b) Se sit´ a el origen de coordenadas en el centro de la lente. Las distancias con respecto a u ´ dicho origen se miden con el convenio de signos de la Optica Paraxial ordinario: positivas hacia la derecha, negativas hacia la izquierda. c) Los objetos son reales si est´n situados a la izquierda de la lente (a < 0) y virtuales si a lo est´n a la derecha de la lente (a > 0). Las im´genes son reales si est´n situadas a la a a a derecha de la lente (a′ > 0) y virtuales si lo est´n a la izquierda de la lente (a′ < 0). a Veamos algunos ejemplos sencillos que pueden aclaran los conceptos de real (objeto e imagen)y virtual (objeto e imagen): 1) Una c´mara fotogr´fica consta, b´sicamente, de una lente delgada que forma la imagen de a a a un objeto (real) en una pantalla o pel´ ıcula fotogr´fica (tambi´n real). a e 2) Si nos miramos en un espejo, ´ste formar´ una imagen de nuestro rostro (objeto real) que e a ser´ virtual (los rayos parecen provenir de detr´s del espejo), no siendo posible recoger a a dicha imagen, por ser virtual, en una pantalla. 3) La imagen de un objeto dada por un espejo puede servir a su vez de objeto (dependiendo de la experiencia realizada) para una lente delgada, siendo por tanto para ´sta un objeto e real. Hay que tener en cuenta que en los ejemplos con espejos la expresi´n [1] no es v´lida o a y debe sustituirse por: 1 1 1 2 + = ′ = (2) s s′ f RPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 129 donde s es la distancia del espejo al objeto, s′ la del espejo a la imagen, f ′ la distancia focal (imagen) de la lente y R el radio de curvatura del espejo (positivo si es convexo y negativo si es c´ncavo). o 4) Una lente delgada es convergente si su distancia focal imagen f ′ es positiva, y es divergente si dicha distancia es negativa. Podemos obtener el valor de la distancia focal imagen f ′ a trav´s de la expresi´n [1], sin m´s e o aque sustituir los valores de a y a′ (que se pueden determinar experimentalmente). Este m´todoepara conocer el valor de f ′ se conoce como m´todo de Gauss. e Se llama potencia de una lente a la inversa de la distancia focal (medida en metros). Lapotencia se expresa en dioptr´ (D) y viene dada por: ıas 1 ψ ′ [D] = (3) f ′ [m]La determinaci´n de la posici´n y tama˜ o de la imagen de un objeto formado por una lente o o ndelgada puede hallarse gr´ficamente de forma sencilla. El m´todo consiste en determinar la a eintersecci´n de dos rayos procedentes de un mismo punto ya que podemos suponer que todos los odem´s rayos que salgan del mismo punto del objeto (independientemente de su direcci´n) que a opasen por la lente formar´n su imagen en el mismo punto imagen (trabajando en el dominio de a ´la Optica Paraxial). Para ello utilizaremos 3 rayos (aunque ser´ suficiente con dos) cuyo trazado es f´cil de ıa adeterminar: 1. Rayo paralelo al eje. Despu´s de refractarse en la lente, este rayo debe pasar por el foco e imagen F’ (punto situado sobre el eje ´ptico y a una distancia de la lente delgada igual a o la distancia focal f ′ ). Si la lente es divergente, es la prolongaci´n del rayo la que pasa por o el foco imagen F’ (ya que el foco imagen en una lente divergente est´ a la izquierda de la a lente). 2. Rayo que pasa por el foco objeto F de una lente (el foco objeto en una lente delgada est´ situado a la misma distancia de la lente que el foco imagen pero al otro lado de la a misma). Despu´s de refractarse en la lente, este rayo debe emerger paralelamente al eje de e la lente (eje ´ptico). o 3. Rayo que pasa por el centro de la lente delgada: este rayo no se desviar´ al atravesar una a lente delgada.Con la ayuda de estos rayos, siempre es posible hallar gr´ficamente la imagen de un objeto a atrav´s de una lente delgada o conjunto de lentes delgadas. En la figura 1 se ha trazado la marcha ede rayos correspondiente a un objeto situado a la izquierda de una lente convergente y a unadistancia mayor que la distancia focal f ′ . En la figura 2 se ha trazado la marcha de rayos correspondiente a un objeto situado frente auna lente divergente a una distancia menor que el foco imagen.1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 130 Figura 2 ´METODO Se utilizar´ un banco ´ptico, una fuente a ode luz, un diafragma, un objeto (con formade flecha), una pantalla y dos lentes delga-das (una convergente y otra divergente). El banco ´ptico consta de una base ode aproximadamente un metro de longitudcon una ranura en su parte central, dondese situar´n las componentes ´pticas sobre a ojinetillos (ver figura) y una escala milime-trada para medir distancias relativas. Sobre uno de los soportes existe una l´mina met´lica, en la que se ha practicado una pe- a aque˜ a abertura en forma de flecha, que constituye el objeto real cuando se ilumina desde atr´s n amediante una bombilla unida a un soporte. El diafragma circular, cuyo soporte se insertar´ en un jinetillo, sirve para limitar los haces ade luz que parten del objeto, evitando luces par´sitas que puedan distorsionar la imagen recogida a ´en pantalla y asegur´ndonos que trabajamos en el dominio de la Optica Paraxial (recuerde: aa´ngulos peque˜ os). Para ello se situar´ entre el objeto y la lente. n a La imagen producida por el sistema ´ptico se formar´ sobre una pantalla (s´lo en el caso o a ode que se trate de una imagen real). Las lentes convergente y divergente (cuyas distancias focales habr´ que determinar) ase situar´n en el banco ´ptico a trav´s de sus correspondientes jinetillos, dependiendo de la a o eexperiencia que se tenga que realizar. Antes de comenzar cualquier experiencia, debe tener la precauci´n de alinear previamente el osistema ´ptico, de modo que la incidencia de rayos sea normal al objeto y a la altura adecuada. oAdem´s, la disposici´n de las lentes ha de ser tal que sus centros est´n alineados entre s´ y con a o e ıel objeto.Determinaci´n de la distancia focal de la lente convergente o (1) Se sit´ an las componentes opticas y la lente convergente en situaci´n similar a la que se u ´ o muestra en la figura 1. (2) Fijada la pantalla y moviendo la lente (o viceversa), podr´ formar la imagen n´ a ıtida delPr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 131 objeto sobre la pantalla. Para llegar a este punto de la pr´ctica, debe tener en cuenta a ciertas consideraciones: (*) Si la distancia objeto-lente fuese menor que la distancia focal de la lente la imagen ser´ virtual (¿por qu´?) y no la podr´ ıa e ıamos recoger en pantalla. (*) Si el sistema no est´ correctamente alineado, a medida que alejemos la pantalla del a objeto, la imagen no se formar´ en la pantalla o no se observar´ n´ a a ıtidamente (3) A partir de los valor de a y a′ se puede obtener el valor de la distancia focal de la lente convergente utilizando la expresi´n [1]. Determine la distancia focal y la potencia de la o lente realizando los c´lculos de errores pertinentes. aDeterminaci´n de la distancia focal de la lente divergente o (4) Para el c´lculo de la focal de la lente divergente se puede emplear el m´todo anterior con a e alguna modificaci´n. Si delante de una lente divergente situamos un objeto real, la imagen o es siempre virtual (¿por qu´?) y por tanto no la podremos recoger en pantalla. A fin de e resolver este problema y conseguir una imagen final real, tenemos que conseguir trabajar con un objeto virtual, lo cual puede conseguirse mediante la lente convergente (a la que previamente le hemos calculado su distancia focal), como se muestra en la siguiente figura . (5) Coloquemos en un extremo del banco el objeto y seguidamente la lente convergente de modo que se forme su imagen real, que localizaremos con ayuda de la pantalla (que no deber´ estar situada al final del banco). a (6) Seguidamente situaremos la lente divergente entre la convergente y la pantalla (cercana a ´sta ultima). La imagen que genere esta lente divergente habr´ que enfocarla moviendo la e ´ a pantalla. (7) Aplicamos de nuevo la ecuaci´n de Gauss (expresi´n [1]) a la lente divergente para obtener o o el valor de la distancia focal imagen de la lente divergente. (8) Determine la distancia focal de la lente divergente y su potencia realizando los c´lculos de a errores pertinentes. (9) Demu´strese que la distancia focal puede expresarse tambi´n como e e aa′ f′ = (4) a − a′1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 132(10) Para finalizar, use papel milimetrado y para ambas lentes (utilizando las distancias focales calculadas), determine la distancia a la que se forma la imagen de un objeto situado en una de las posiciones utilizadas en la realizaci´n pr´ctica. Compruebe que, gr´ficamente y o a a anal´ ıticamente, obtiene resultados similares.CUESTIONES 1. Muestre mediante un trazado de rayos que si tenemos una lente convergente y situamos el objeto real a una distancia de la lente menor que la distancia focal de la lente la imagen que se forma es virtual. 2. Muestre mediante un trazado de rayos que la imagen de un objeto real a trav´s de una e lente divergente es siempre virtual. Analice los distintos casos. 3. Resuma en una tabla el tipo de imagen obtenida (m´s peque˜a o m´s grande, directa o a n a invertida, real o virtual) para las distintas experiencias realizadas.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • Pr´ctica 26 a ´DIFRACCION DEFRAUNHOFEROBJETIVO Observaci´n del fen´meno de la difracci´n de la luz por distintos objetos y medida de la o o olongitud de onda de un haz l´ser. aADVERTENCIA Va a trabajar con luz l´ser, por tanto no mire directamente el haz. Obs´rvelo a esiempre sobre la pantalla, NUNCA de forma directa. Tome precauciones paraque las reflexiones especulares (luz reflejada en cualquier superficie) no se dirijanhacia otros puestos de trabajo en el laboratorio.MATERIAL Haz l´ser. Juego de tres rendijas de distinta anchura. Tres redes de difracci´n. Banco ´ptico. a o oPantalla. Cinta m´trica. Calibre. e ´FUNDAMENTO TEORICO Se denomina difracci´n a la propagaci´n no rectil´ o o ınea de la luz que no puede interpretarsecomo reflexi´n o refracci´n. Para poder explicar la difracci´n hay que recurrir a la naturaleza o o oondulatoria de la luz. Supongamos una fuente de luz con la que iluminamosuna pantalla. Si entre la fuente y el plano de observa-ci´n (ver figura) colocamos una pantalla opaca en la que ose haya practicado, por ejemplo, una abertura circular, yadmitimos la propagaci´n rectil´ o ınea de la luz, en el planode observaci´n deber´ aparecer una zona iluminada se- o ıamejante a la abertura, con contornos n´ ıtidos y bien deli-mitados entre las regiones de luz y sombra. Sin embargo, si la abertura es lo suficientemente pe-que˜ a, no observaremos una sombra de l´ n ımites claramentedefinidos, sino una transici´n de luz a oscuridad gradual. o 133
    • 134 Si la fuente de luz que utilizamos es bastante puntual ybastante monocrom´tica, podremos apreciar incluso una aserie de anillos claros y oscuros (si la abertura es circular)que se extienden a trav´s de toda la sombra geom´trica de e ela pantalla. En la figura mostramos un ejemplo de la figurade difracci´n debida a una abertura circular de 0,5 mm ode di´metro. Una figura similar se obtendr´ si, en lugar a ıade la abertura circular, colocamos un peque˜ o obst´culo n acircular y opaco. Este fen´meno, que no puede explicarse mediante la opropagaci´n rectil´ o ınea de la luz, se denomina difracci´noy es consecuencia natural del car´cter ondulatorio de la amisma. En la vida ordinaria existen muchos fen´menos ode difracci´n, como puede ser, por ejemplo, el hecho de oque las estrellas o las farolas distantes, en lugar de versen´ıtidas en nuestra retina, se vean como si fuesen im´genes aestrelladas debido la difracci´n que produce la pupila de onuestro ojo que act´ a como una abertura circular. u Los fen´menos de difracci´n se acent´ an a medida que los obst´culos y los diafragmas se o o u ahacen m´s peque˜ os, en comparaci´n con la longitud de onda de la luz utilizada, y a medida a n oque la fuente de luz es m´s monocrom´tica. a a El estudio matem´tico de la difracci´n es bastante complejo, dado que la intensidad de la a oluz que se observa en la pantalla depende de m´ ltiples factores (longitud de onda de la luz uutilizada, tama˜ o y forma del obst´culo o abertura difractante, distancia del objeto difractante n aa la pantalla de observaci´n, ´ngulo con el que incide la luz sobre el objeto). Sin embargo, estos o ac´lculos se simplifican un poco cuando la distancia de la pantalla al objeto difractor es muy agrande (pudiendo considerarla infinita) denomin´ndose r´gimen de difracci´n de Fraunhofer o a e ode campo lejano.Difracci´n por una rendija o En este apartado describiremos cu´l es la figura de difracci´n que se obtiene cuando un haz a ode luz monocrom´tica pasa por una rendija (una abertura rectangular en la que la dimensi´n a ode uno de los lados es muy peque˜ a respecto del otro). Si la luz incide perpendicularmente, nse observar´n en la pantalla una serie de bandas de muy peque˜ a altura, sim´tricas respecto a n ea la banda central, que es de doble anchura que las laterales (ver figura abajo) y en direcci´n operpendicular a la rendija. Esta banda central, en difracci´n de Fraunhofer, tiene una anchura oangular (´ngulo que forma la banda central respecto a la rendija θ) que viene dado por: a λ θ= (1) adonde λ es la longitud de onda de la luz usada y a es la anchura de la rendija.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 135Difracci´n por una red de difracci´n o o Una red de difracci´n es un dispositivo formado por omuchas rendijas paralelas y de la misma anchura, regu-larmente espaciadas. Si un haz de luz monocrom´tico y aparalelo incide perpendicularmente sobre una red de di-fracci´n, observaremos en la pantalla (si ´sta est´ lo su- o e aficientemente alejada para que podamos aplicar la apro-ximaci´n de Fraunhofer) una serie de franjas oscuras y oclaras alternadas. La causa de estas franjas est´ en las in- aterferencias que se producen entre las distintas ondas di-fractadas en cada una de las rendijas que componen unared de difracci´n. o Consideremos el esquema de la figura, en la que el hazdifractado forma un ´ngulo θ con el incidente, escogido de atal modo que entre dos rayos consecutivos exista una dife-rencia de camino que sea m´ ltiplo de la longitud de onda uλ. En estas condiciones, la diferencia de camino recorridoentre los sucesivos rayos procedentes de las distintas rendi-jas ser´n m´ ltiplos de λ, es decir, mλ, con m = ±1, ±2, . . ., a uy, por tanto, se reforzar´n debido a la interferencia cons- atructiva. Como consecuencia de esta interferencia m´ ltiple uconstructiva tendremos en pantalla un m´ximo de inten- asidad. Si denominamos d a la distancia entre los bordeshom´logos de dos rendijas consecutivas, la condici´n de o om´ximo equivale a: a mλ senθ = . (2) dVariando m, obtenemos los distintos valores de θ para losque se obtiene un m´ximo. a La distribuci´n de la intensidad en la pantalla de ob- oservaci´n se ha representado en la figura. Naturalmente, olas franjas centrales son las m´s luminosas. a Usualmente, en las redes de difracci´n se especifica el on´ mero de rendijas por unidad de distancia (por ej. 600 ul´ ıneas por mm), lo que se denomina constante de la red.A partir de ese dato se determina el valor de d utilizadoen la expresi´n (2). o Observe que el ´ngulo θ es tanto mayor cuanto mayor aes la longitud de onda de la luz monocrom´tica empleada. aSi en lugar de utilizar luz monocrom´tica, empleamos luz ablanca, en cada uno de los puntos de m´xima intensidad ase obtendr´ un espectro, pues el ´ngulo de desviaci´n θ ıa a odepende de la longitud de onda. De la expresi´n (2) tambi´n se deduce que, para luz monocrom´tica, la separaci´n angular o e a oentre dos m´ximos de iluminaci´n consecutivos aumentar´ al aumentar el n´ mero de rendijas a o a upor unidad de longitud, es decir, al aumentar la constante de la red. Podemos utilizar la expresi´n (2) para deducir la longitud de onda de una luz monocrom´tica. o aEn efecto, si conocemos el n´ mero de rendijas por unidad de longitud, podemos determinar la udistancia d entre dos rendijas consecutivas. Midiendo el ´ngulo para un m´ximo de intensidad a ade orden m dado, podemos determinar la longitud de onda de la radiaci´n monocrom´tica. De o a1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a
    • 136la figura se deduce: D sin θ = √ (3) D 2 + L2siendo D la distancia entre el m´ximo central y el del orden escogido y L la distancia entre la ared de difracci´n y la pantalla. Sustituyendo [3] en [2] obtenemos el valor de la longitud de onda: o D λ= √ (4) D 2 + L2 d ´METODO Para la realizaci´n de esta pr´ctica contar´ con una serie de elementos que le permitir´n la o a a aconstrucci´n de los diferentes montajes experimentales. o A continuaci´n nos limitaremos a se˜ alar algunas de las recomendaciones que le ayudar´n o n aen su trabajo.Rendija de anchura variable (1) Haremos incidir el haz l´ser situado sobre el banco ´ptico sobre las distintas rendijas de a o que dispone, y recogeremos la figura de difracci´n sobre la pantalla milimetrada que hay o disponible al final del banco. (2) Realice esta operaci´n para una misma rendija variando la distancia de la pantalla respecto o a la rendija, describiendo el fen´meno observado. Posteriormente, repita la misma operaci´n o o con el resto de rendijas. (3) Haga un resumen de los fen´menos observados; justific´ndolos a partir de la interpretaci´n o a o de la expresi´n (1). o (4) A partir de las medidas realizadas, determine la anchura de cada una de las tres rendijas que ha usado (rendijas A, B y C). Realice los c´lculos de error correspondientes. aDeterminaci´n de la longitud de onda de un haz l´ser. o a (5) Para poder determinar la longitud de onda del haz l´ser que est´ utilizando seleccionaremos a a una de las redes de difracci´n y situaremos el haz l´ser sobre la plataforma de manera que o a incida perpendicularmente sobre la red seleccionada.Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a 1er curso de Licenciado en F´ ısica
    • 137 Redes de difracci´n. o (6) Podremos ajustar la perpendicularidad de la incidencia, consiguiendo que la porci´n del o haz que refleja la red incida justamente en el orificio de donde emerge el haz. (7) En esta situaci´n, en la pantalla, el m´ximo central no se desviar´ si alejamos o acercamos o a a la pantalla. Se puede determinar para el primer orden (m = 1) u ´rdenes superiores o (m = 2, 3, . . .). Una vez calculada la longitud de onda para una red, usando la ecuaci´no (2), repetiremos la operaci´n con el resto de redes de difracci´n de que dispone. o o (8) Compare el valor de la longitud de onda para las distintas redes y determine finalmente su valor medio. Presente los datos tabulados apropiadamente y realice los c´lculos de error a pertinentes.CUESTIONES 1. Conocida la constante de la red de difracci´n, ¿c´mo calcular´ d (la distancia entre los o o ıa bordes hom´logos de dos rendijas consecutivas)? o 2. Imagine que no dispone de la informaci´n sobre la constante de la red. ¿C´mo podr´ o o ıa utilizar dos haces l´ser de distinta longitud de onda (pero tambi´n desconocida) para a e determinar la constante de la red?. 3. A la vista de los resultados obtenidos en la determinaci´n de la anchura de las tres rendijas, o discuta si el m´todo utilizado, basado en la difracci´n, es preciso. e o 4. ¿En qu´ cambiar´ el formalismo y la ecuaci´n (2) si la incidencia del haz l´ser sobre la e ıa o a red no fuese perpendicular, sino oblicua? 5. Sobre un folio blanco realice una peque˜ a abertura circular y observe su figura de difracci´n. n o Describa el fen´meno. o1er curso de Licenciado en F´ ısica Pr´cticas T´cnicas Experimentales B´sicas a e a