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Capítulo iii   equilibrio
 

Capítulo iii equilibrio

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    Capítulo iii   equilibrio Capítulo iii equilibrio Document Transcript

    • CAPÍTULOIII: EquilibrioOBJETIVO DEL CAPÍTULO: Analizar la estabilidad de una estructura isostática, y calcular sus reacciones en sus apoyos.INTRODUCCIÓNSe sabe que una partícula está en equilibrio si permanece en estado de reposorelativo (v=0) o si se mueve con velocidad relativa uniforme (v=cte) respecto aun sistema de referencia inercial.Un cuerpo está en equilibrio si todas las partículas que lo conforman están enequilibrio.En el presente capítulo sólo nos ocuparemos del equilibrio de los cuerpos enreposo. Las fuerzas que hacen que el cuerpo esté en reposo, estánconstituidas por: fuerzas externas o cargas que pueden ser puntuales odistribuidas provenientes de la acción directa de otros cuerpos. Por acciónindirecta, producidas por vínculos que los unen a otros cuerpos denominadasreacciones. Por acción del propio peso del cuerpo, que en ocasiones llega adespreciarse por tener un valor pequeño comparado con las cargas yreacciones.Es necesario aislar un cuerpo o una parte de él para lograr su análisis. Uncuerpo aislado se denomina cuerpo o sólido libre y para una correcta solucióndel problema implica haber aislado correctamente el sólido.Un cuerpo sólido o cuerpo rígido, es aquel que no se deforma ante la acción defuerzas. SÓLIDO SIN CARGAS SÓLIDO SÓLIDO RIGIDO DEFORMABLE
    • 1.1 DIAGRAMA DE CUERPO LIBREEs la idealización de un sistema complejo en un sistema más simple, a fin deque éste pueda ser analizado de una manera muy aproximada a lo real y sesujete a la solución de ecuaciones matemáticas simples.Por ello debemos estar seguros que los resultados de las sustituciones queproponemos tienen correlación razonable con la realidad.En el campo del diseño en ingeniería, se debe recurrir a esta técnica, lo quehace que los cálculos no sean rutinarios, sino que contienen imaginación,ingenio y conocimiento de comportamientos físicos.Los principios fundamentales de idealización en la mecánica son: Continuidad: Se puede suponer una distribución continua de la materia, en lugar de un conglomerado de partículas diminutas y discretas con sus características particulares y sus espacios intermoleculares. En la mayor parte de los problemas, estamos interesados en las manifestaciones medibles de los cuerpos. Cuerpo Rígido: En este caso, el cuerpo jamás sufre algún tipo de deformación. En realidad todo cuerpo llega a deformarse en mayor o menor medida bajo la acción de las fuerzas sin embargo esta deformación es pequeña para alterar el análisis. Fuerza Puntual: Constituye una fuerza finita que carece de área de contacto, es decir, se transmite a través de un punto. Partícula: Cuando se considera que el objeto no tiene tamaño pero sí masa (centro de masa).
    • Ejemplos de idealizaciones de sistemas estructurales.1. Pórtico:
    • 1. Tanque en espiral.
    • 1.2 REACCIONES EN APOYOS Y CONEXIONES EN ESTRUCTURAS BIDIMENSIONALES.Son restricciones para que el cuerpo conectado a ellos no pueda moverse en determinada dirección. DETALLE TIPO SIMBOLO FUERZAS APOYO ARTICULADO FIJO APOYO SIMPLE MOVIL
    • APOYO DE EMPOTRAMIENTO APOYO MONODESLIZANTE BIELA Impide el desplazamientorelativo entre sólidos, en la dirección del eje de ésta.
    • 1.3 ECUACIONES DE EQUILIBRIOSea un sólido rígido (S.R.) sometido a la acción de cargas, a la acciónindirecta producida por apoyos y sometido también a la acción de su propiopeso.Si el S.R. se encuentra en equilibrio, la resultante de fuerzas R y la resultantede momentos Mcon respecto a cualquier punto deben ser nulos. ΣF = 0 ΣMA = 0Ambas resultantes pueden ser expresadas en función de sus componentesrectangulares. Así: ΣFx = 0 ΣFy= 0 ΣFz = 0 ΣMAx = 0 ΣMAy = 0 ΣMAz = 0 ΣMA = 0En el plano estas ecuaciones se reducen a: ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMAz= 0GRADO DE HIPERESTACIDAD DE LAS ESTRUCTURASEs el exceso del número de incógnitas (reacciones) respecto al número deecuaciones del equilibrio estático. G.H. = Nº incógnitas – Nº de ecuaciones estática.De donde:
    • GH = 0, la estructura es isostática. GH > 0, la estructura es hiperestática. GH < 0, la estructura es hipoestática.Ejemplos: Calcular el grado de hiperestaticidad de las siguientes estructuras.1. GH = Nº Incognitas – Nº Ecuac. Equilib. GH = 6 – 3 = 3 Sistema hiperestático de 3º grado.2. GH = Nº Incognitas – Nº Ecuac. Equilib. GH = 3 – 3 = 0 Sistema isostático3. GH = Nº Incognitas – Nº Ecuac. Equilib. GH = 3 – 3 = 0 Sistema isostáticoCASOS ESPECIALES:
    • G.H. EN ESTRUCTURAS PLANAS Aquí el número de ecuaciones del equilibrio son 3, por tanto: G.H. = Nº incógnitas – Nº de ecuaciones estática. G.H. = Nº incógnitas – 3 ECUACIONES ESPECIALES: existen cuando los elementos de una estructura se encuentran unidos por pasadores o rótulas. El número de estos vínculos proporciona el número de ecuaciones especiales para determinar el grado de hiperestaticidad de la estructura. Así: G.H. = Nº incógnitas – (Nº de ecuaciones estática + Nº ecuaciones especiales).Ejemplo: G.H. = Nº incógnitas – (Nº de ecuaciones estática + Nº ecuaciones especiales). G.H. = 4 – (3 + 1) = 0 SISTEMA ISOSTATICO1.4 ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS PLANOS.
    • Se dice que un sistema es inestable, si no existe restricción al movimiento enuna determinada dirección.Consideremos la siguiente barra rígida: El único apoyo de rodillo obviamente no es suficiente para garantizar la estabilidad de la barra. Esta se moverá horizontalmente y girará. (02 grados de libertad)Agreguemos otro apoyo de rodillo a la barra: El giro será evitado con este apoyo adicional, sin embargo loa barra puede desplazarse aún horizontalmente. (04 grados de libertad.)Agreguemos un apoyo de rodillo más a la barra y analicemos su estabilidaden cada caso.En este caso, el sistema sigue Aquí el sistema es estable.siendo inestable.En general, se puede afirmar que, el número de reacciones no garantiza laestabilidad de la estructura, la determina también su posición. Sin embargo, siésta es hipostática, se puede afirmar que es inestable.ANALISIS DE ALGUNOS CASOS:
    • 1.Este sistema particular es inestable para un sistema general de cargas. Eneste caso, no es posible hallar las reacciones utilizando las ecuaciones deequilibrio. ΣFx = 0 ΣFy = 0; R1 + R2 + R3 = P ……(1) ΣM1= 0; P(a) = R2(a) + R3(L) .. (2) Las ecuaciones (1) y (2), no pueden solucionarse.2. Cuando las reacciones son CONCURRENTES ΣFx = 0 R1 + R2= 0 ……(1) ΣFy = 0; R3 = P ΣM2= 0; P(b) = 0 ΣM1= 0; P(a) = R3(L) R3 = Pa/L3. La línea de acción de la resultante de reacciones se corta en un punto.En general, si expresamos las ecuaciones del equilibrio como undeterminante, a11X1 + a12X2 + a13X3 + = C1 a21X1 + a22X2 + a23X3 + = C2 a31X1 + a32X2 + a33X3 + = C3La solución para X1, X2, X3 está dado por:
    • X1 =| D1| / |D |: C1+ a12 + a13 C2+ a22+ a23 C3 + a32 + a33 a11+ a12 + a13 a21+ a22+ a23 a31+ a32 + a33El sistema tendrá solución si D ≠ 0 (basta con determinar D). Para X2 =| D2| / |D| a11+ C1 + a13 a21+ C2+ a23 a31 + C3 + a33 a11+ a12 + a13 a21+ a22+ a23 a31+ a32 + a33 Para X3 =| D3| / |D | a11+ a12 + C1 a21+ a22+ C2 a31+ a32 + C3 a11+ a12+ a13 a21+ a22+ a23 a31+ a32+ a33Luego, puede concluirse en: Si el número de reacciones es menor que el número de ecuaciones de equilibrio, el sistema es inestable. Si el número de reacciones es igual que el número de ecuaciones de equilibrio, el sistema es estable, si puede hallarse una solución única para las reacciones, es decir,D≠ . Si D = 0, el sistema es inestable. Cuando el número de reacciones es mayor que el número de ecuaciones de equilibrio, el sistema es hiperestático pudiendo ser inestable.Ejemplos.
    • 1.5 REACCIONES EN APOYOS Y CONEXIONES EN ESTRUCTURASTRIDIMENSIONALES. Apoyos que impiden el desplazamiento en un sentido SUPERFICIE RODILLO LISA BIELA Apoyos que impiden el desplazamiento en dos sentidos RUEDA SOBRE CARRIL SUPERFICIE RUGOSA Apoyos que impiden desplazamientos en tres sentidos BIELAS
    • Apoyos que impiden desplazamientos y giros COJINETE PASADOR EMPOTRAMIENTO BISAGRAEJEMPLOS DE APLICACION1.6 MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL EN ESTRUCTURAS PLANAS.Anteriormente se ha discutido el equilibrio en función de las ecuacionesvectoriales ΣF= 0 y ΣM = 0. Galileo percibió que el equilibrio de undeterminado sistema puede interpretarse a partir de desplazamientosimaginarios (que no existen), calculándose el trabajo efectuado por el sistemade fuerzas siendo éste igual a cero al no existir desplazamientos reales.En 1717, John Bernoulli desarrolló este punto de vista y lo denominó principiode las velocidades virtuales lo que hoy es conocido como principio del trabajovirtual. Este método tiene aplicación en el desarrollo de estructuras deingeniería. Trabajo efectuado por una fuerza. Trabajo efectuado por un par.Sea:
    • F F F a dr b dθ θ Fig. 2 F Fig.1En la Fig. 1 dU = F drcosθ OdU = F.drdonde, θ es el ángulo entre F y dr. Luego; U = ∫ F. drEn la fig. 2 dU = C.dθLuego: U = ∫ C.dθ Trabajo y desplazamientos virtuales.Consideremos que la partícula se encuentra en equilibrio bajo la acción de lasfuerzas F1, F2, F3…Fn.Supongamos ahora, que a la partícula se le da un desplazamiento infinitesimal∂r, separándola de su posición de equilibrio. A este desplazamiento lellamaremos desplazamiento virtual el cual es imaginario de manera quepodamos calcular el trabajo virtual realizado sobre la partícula.Este desplazamiento debe ser un desplazamiento posible, es decir que nodebe seguir la dirección de las reacciones.El principio del trabajo virtual establece que: para una partícula en equilibrio, eltrabajo virtual efectuado durante un desplazamiento infinitesimal arbitrario,compatible a las restricciones, es cero. Esto es: ∂U = 0Nota:
    • Debe tenerse en cuenta, que cada una de las componentes de ∂r ≠ 0. Además R no debe ser perpendicular al desplazamiento virtual ∂r.Ejemplos: 1. Determinar el valor de θ para que la estructura se halle en equilibrio. θ Grado de libertad Fig. 1 Fig. 2 El valor de θ debe calcularse en función de un desplazamiento posible en la estructura. Ésta tiene 1 grado de libertad en el apoyo O, que corresponde a un giro, por tanto es posible calcular el trabajo virtual siguiendo este desplazamiento virtual en la estructura (Fig. 2). En el cálculo del trabajo virtual sólo intervienen las fuerzas externas o activas, no las reacciones ni el rozamiento. En la fig. 2, las fuerzas activas son: Q y P y con ellas se calcula el trabajo virtual. ∂U = Σ Fi . dri = 0Fuerzas DiferencialF1= Pî ∂r1= L(-senθdθ î –Vector cosθdθ ĵ)Posiciónr1=L(cosθ î -senθ ĵ)F2= -Qĵ r2=L/2(cosθ î - senθ ĵ) ∂r2= L/2(-senθdθ î – cosθdθ ĵ) ∂U = ΣFi . dri = 0. Reemplazando valores; Pî . L(-senθdθ î – cosθdθ ĵ) + (-Qĵ) . L/2(-senθdθ î – cosθdθ ĵ) = 0 De aquí: tan θ = Q / 2P Ejemplos de Aplicación: