Probabilidades
1. Probabilidades El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicación entre las personas. Por ejemp...
Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más próxim...
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Ejemplo: En el lanzamiento de monedas, la cant...
Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio.  Ejemplo: Al lanzar 2 monedas, ¿...
2. Probabilidad clásica  Ejemplo1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo? Solución...
P(A) = Entonces: Casos favorables (números primos):  3   (2, 3, y 5)   Casos posibles:  6   (1, 2, 3, 4, 5 y 6) Por lo tan...
La probabilidad de que un suceso  NO  ocurra, o “probabilidad de un suceso contrario”, se obtiene a través de: 3. Propieda...
Ejemplo: Solución: P(no llueva) = 1 - P(llueva)   Si La probabilidad de que llueva es  , ¿cuál es la probabilidad de que  ...
Si se tiene certeza absoluta de que un evento  A  ocurrirá: P(A) = 1 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número natural...
Ejemplo: La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6). P(A) = 0 Casos posibles: ...
4. Probabilidad total Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B, siendo éstos  mutuamente excl...
De no ser  mutuamente excluyentes : Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que ...
Como  2  y  4  son menores que 5, y al mismo tiempo son pares, se estarían considerando como casos favorables dos veces.  ...
En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente,  A  y   B . 5. Probabilidad compuesta Corresponde a la probabilidad d...
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se obtengan dos números pares? Solución: Casos posibl...
Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que h...
Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y ...
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  1. 1. Probabilidades
  2. 2. 1. Probabilidades El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en la comunicación entre las personas. Por ejemplo: 1) El paciente tiene un 50% de probabilidad de sobrevivir a una operación determinada. 2) Los alumnos de Cpech tienen un 95% de probabilidades de ingresar a la universidad. En los ejemplos, se da la “medida” de la ocurrencia de un evento que es incierto (sobrevivir a la operación, o ingresar a la universidad), y ésta se expresa mediante un número entre 0 y 1, o en porcentaje. 1.1 Definición
  3. 3. Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a “1” o al 100%, y cuando menos probable, más se aproximará a “0”. De aquí se deduce que un hecho o evento que NO puede ocurrir tendrá probabilidad cero y uno cuya probabilidad es segura tendrá probabilidad uno . Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que: 0  P(A)  1
  4. 4. Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Ejemplo: En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados posibles se determina por el principio multiplicativo: 1 moneda 2 monedas 3 monedas n monedas 2 posibilidades 2 ·2 = 4 posibilidades 2 ·2·2 = 8 posibilidades 2 ·2·2·2···2= 2 n posibilidades Si un conjunto “A” tiene “m” elementos y un conjunto “B” tiene “n” elementos, entonces existen m·n elementos. 1.2 Espacio muestral (E)
  5. 5. Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un experimento aleatorio. Ejemplo: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? El espacio muestral (E) corresponde a: CC – CS – SC – SS (2 • 2 = 4 elementos) Solución: El suceso o evento pedido es que sean dos caras, entonces: CC (1 elemento) 1.3 Evento o Suceso
  6. 6. 2. Probabilidad clásica Ejemplo1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado común salga un número primo? Solución: El espacio muestral E, está dado por: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir, 6 casos posibles. Sea A, el evento o suceso: A: que salga un número primo, entonces se tiene que: A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casos favorables. Casos posibles Casos favorables P(A) =
  7. 7. P(A) = Entonces: Casos favorables (números primos): 3 (2, 3, y 5) Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6) Por lo tanto: Ejemplo2: Al lanzar 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean caras? Casos posibles: 4 Casos favorables (2 caras): 1 Entonces: P(2 caras) = = 3 6 1 2 1 4
  8. 8. La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o “probabilidad de un suceso contrario”, se obtiene a través de: 3. Propiedades 3.1 Tipos de sucesos Probabilidad de un suceso contrario (A): P(A) = 1 - P(A) A E A
  9. 9. Ejemplo: Solución: P(no llueva) = 1 - P(llueva) Si La probabilidad de que llueva es , ¿cuál es la probabilidad de que NO llueva? 2 5 P(no llueva) = 1 - 2 5 3 5 P(no llueva) =
  10. 10. Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá: P(A) = 1 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1 (6 de 6). Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 6 (1,2,3,4,5,6) Probabilidad de un suceso seguro: 6 6 P(natural) = = 1
  11. 11. Ejemplo: La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0 (0 de 6). P(A) = 0 Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 0 P(mayor que 6) = = 0 Probabilidad de un suceso imposible: Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá: 0 6
  12. 12. 4. Probabilidad total Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A ó el suceso B, siendo éstos mutuamente excluyentes : P(A  B) = P(A) + P(B) Ejemplo: Al lanzar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara o sello? Solución: = 1 y P(cara) ó P(sello) = P(cara) P(sello) U P(cara) = 1 2 1 P(sello) = 2 = P(cara) P(sello) + 1 2 = + 1 2
  13. 13. De no ser mutuamente excluyentes : Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par? Solución: Casos posibles 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables (menor que 5): 4 (1,2,3,4) Casos favorables (número par): 3 (2,4,6)   P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A B) U 4 6 P (menor que 5) = 3 6 P (número par) =
  14. 14. Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo son pares, se estarían considerando como casos favorables dos veces. Por lo tanto: La probabilidad de que salga un número menor que 5 ó un número par, al lanzar un dado se expresa como: = P(< 5) + P(par) – P(<5 y par) P (< 5) ó P(par) = P(<5) P(par) – P(<5 par) U U = + - 4 6 3 6 2 6 5 6 =
  15. 15. En este caso, ambos sucesos ocurren simultáneamente, A y B . 5. Probabilidad compuesta Corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B , siendo éstos dependientes o independientes. Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que: U A B P( ) = P(A) · P(B) A B U
  16. 16. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se obtengan dos números pares? Solución: Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 3 (2,4,6) Entonces: P(dos pares) = P(par) y P(par) = P(par) · P(par) = 3 6 · 3 6 = 1 4
  17. 17. Corresponde a la probabilidad de B tomando como espacio muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. Solución: B : Sacar 4 A : Número par = { 2,4,6 } Ejemplo1: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 4 sabiendo que ha salido par? Caso 2: Cuando A y B son eventos dependientes corresponde a la Probabilidad Condicionada . U P(A B) P(A) P (B/A) = P (B/A) = 1 3
  18. 18. Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 pelotitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? Solución: Casos posibles: 30 Casos favorables: 12 Entonces: P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca) = P(blanca) · P(blanca) Casos posibles: 29 Casos favorables: 11 Primera extracción Segunda extracción (Sin reposición) 30 29 = 12 · 11
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