Probabilidad final
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Probabilidad final Probabilidad final Presentation Transcript

  • PROBABILIDAD
  • Experimento Es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. ● ● Experimentos Determinísticos: casos una vez que se conoce el resultado del experimento en una repetición, entonces se sabe con certeza lo que ocurrirá en la siguiente repetición. Experimentos Aleatorios: Son aquellos en donde no se puede anticipar el resultado que ocurrirá
  • PROBABILIDAD
  • Espacio Muestral Es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. Representaremos el espacio muestral por S y cada elemento de él es llamado un punto muestral. S1 = { 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 } S2 = { C C , C X , X C , X X } S3 = {VVV,VVN,VNV,NVV,VNN, NNV, NVN,NNN}
  • Evento Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto. A: Que salga un número par al lanzar un dado. A = { 2,4,6} B: Que salga por lo menos una cruz. B = {C X ,X C ,XX}
  • Espacio Muestral y Evento
  • ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD
  • ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD Subjetivo Enfoques de la probabilidad Frecuencial Clásico
  • ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD ● La probabilidad subjetiva – es el grado de creencia o juicio personal.
  • ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD ● La probabilidad frecuencial – es el cociente entre la frecuencia observada de un suceso y el total de observaciones cuando un experimento se realiza un número grande de veces.
  • ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD ● La probabilidad clásica – se define como el cociente entre el número de resultados favorables y los posibles, si todos tienen la misma posibilidad de presentarse.
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS
  • Redondeo Notación sistematizada Notación Sigma Medidas y Análisis Notación Factorial. Notación Cientifíca
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Redondeo. Es un procedimiento que consiste en escribir un número que representa una cantidad con menos cifras de las que tiene, para tener una idea rápida de la cantidad. Por ejemplo, si en una obra determinada se invirtieron 2 458 606 pesos, en lugar de decir dicha cantidad se menciona “se invirtieron 2.5 millones de pesos”, la cual es una cifra redondeada.
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS En ocasiones se tienen cifras que se encuentran exactamente a la mitad de entre dos números, por ejemplo 2.235, se encuentra a la misma distancia de 2.23 y de 2.24. En estos casos se debe decidir por algún criterio que reduzca el error por redondeo acumulado cuando se tiene un gran número de datos. Por lo regular se sugiere que se redondee al par más cercano. En el caso de 2.235 se redondearía a 2.24; el número 3.225 se redondearía como 3.22.
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Notación sistematizada. Son las diferentes formas de escribir algunas de las cantidades que implican notaciones amplias, en estadística se manejan la notación sigma, factorial y científica.
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Notación sistematizada. Notación Sigma. Su notación se debe al nombre de la letra griega , que indica un conjunto de números o cantidades que deben ser sumadas. Se representa mediante Σ.
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Donde n = El subíndice del último número de la serie que debe ser sumada. xi = Variable con subíndice que representa el iésimo elemento del conjunto. = Letra griega sigma que indica que debe realizarse la sumatoria. i = El subíndice del primer elemento de la serie que va a ser sumada. Ejemplo. La suma de una variable es igual a la suma de cada una de ellas.
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Notación factorial. Es el resultado de multiplicar su número por todos los números enteros positivos menores que dicho número, se representa como n! y se lee “el factorial de n”. Ejemplo. El factorial de 5 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Notación científica. Es una manera de escribir en forma breve cifras muy grandes o muy pequeñas. La forma general es “a x 10”, en donde “a” es un número entre 1 y 9, “n” es un número entero. Ejemplo. El número 25 000 se escribe como 2.5 x 104, o el número 0.00025 se escribe como 2.5 x 10-4. Nota que si el punto decimal se desplaza a la izquierda el exponente de la base 10 es positivo e indica el número de lugares que se movió el punto decimal hacia la izquierda; en cambio, si se desplaza el punto decimal a la derecha, el exponente es negativo, e indica el número de lugares que se recorrió el punto decimal hacia la derecha.
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Cifras significativas. A los dígitos exactos que se utilizan para escribir una cifra, aparte de los ceros para localizar el punto decimal, se les llama cifras significativas del número. Ejemplo. 3.22 tiene tres cifras significativas. 0.0032, que se escribe como 3.2 x 10-3, tiene dos cifras significativas. 0.00320, que se escribe como 3.20 x 10-3, tiene tres cifras significativas.
  • Los datos estadísticos se obtienen a partir de diferentes fuentes, entre las cuales se encuentran: Encuesta Métodos de Recolección Experimento Investigación Documental
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Métodos de recolección. ● La encuesta consiste en recopilar datos mediante el uso
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Métodos de recolección. El experimento es un procedimiento utilizado en la investigación científica para obtener información que permita conocer el comportamiento de algún proceso.
  • MEDIDAS Y ANÁLISIS Métodos de recolección. ● La investigación documental es un procedimiento para obtener datos mediante la consulta de información ya escrita y concentrada en documentos que se localicen en libros o revistas en bibliotecas, hemerotecas, o en centros virtuales.
  • MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
  • Moda Medidas de tendencia Media Mediana
  • MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media. Es el valor promedio de la distribución. Se representa con la letra µ o con el símbolo (X testada) ; la primera es para representar la media de una población y la segunda para representar la media de una muestra de población. Ejemplo. Encuentra la media de 23, 24, 24, 25, 26, 28. .
  • MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Mediana. Es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales. Si el conjunto de datos es un número impar, la mediana se encontrará a la mitad de la lista ordenada, ubicándose en la posición (n + 1)/2. Ejemplo. La mediana de 21, 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 30, es 25 .
  • MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Moda. Es el valor que más se repite en una distribución. Puede no existir, o bien en caso de existir, puede haber uno o más valores que representen a la moda. Ejemplo. En el conjunto de datos de la tabla, ¿cuál es la moda? Como la frecuencia más alta es 10 y pertenece al 52, la moda es el número 52.
  • MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las dividen un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor. La medidas de posición son: ● ● ● Los dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Los dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los dividen la serie de datos en cien partes iguales.
  • MEDIDAS DE DISPERSIÓN
  • MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución. Las medidas de dispersión son: El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística. Se representa con la letra R (no debe confundirse con el rango de una función). Ejemplo. Determina el rango de los datos 21, 21, 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 30. R = 30 – 21 = 9
  • MEDIDAS DE DISPERSIÓN Cada dato tiene una cierta distancia respecto a la media; a la diferencia entre un valor xi, y la media , se le llama desviación o desvío. Ejemplo. Considerando el conjunto A, cuyos elementos son 5, 8, 10, 12, 15, y con media igual a 10. Determina los desvíos de cada uno de los datos respecto a la media.
  • MEDIDAS DE DISPERSIÓN La desviación media es una medida que intenta representar a los desvíos, empleando los valores absolutos de los mismos. Se calcula mediante la siguiente expresión:
  • MEDIDAS DE DISPERSIÓN La de un conjunto de datos es un estadístico que representa la variación que tienen los datos respecto a la media. Se representa con s2, si se trata de la varianza de una muestra. Para calcularla se utiliza la siguiente fórmula: Ejemplo. Determina el valor de la varianza del conjunto 21, 21, 23, 24, 24, 25, 26, 28, 29, 30, cuya media es 25.1
  • La desviación tipica o estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Ejemplo. Calcula la desviación típica del ejercicio anterior.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS Una distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS Absoluta Tipos de Frecuencias Acumulada Relativa Relativa Acumulada
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS Tipos de frecuencia: La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N. f1 + f2 + f3 +…+ fn = N Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega ∑.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS Tipos de frecuencia: La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS Ejemplo. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. fi=frecuencia absoluta Fi=frecuencia acumulada ni=frecuencia relativa Ni=frecuencia relativa acumulada
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados intervalos de clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS Límites de la clase. Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase. Amplitud de la clase. Es la diferencia entre el límite superior o inferior de la clase. Marca de clase. Es el punto medio de cada intervalo y es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS Ejemplo. Construye una tabla de datos agrupados con la siguiente distribución. 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.
  • DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS: ACUMULADAS Y RELATIVAS ACUMULADAS Primero se localizan los valores menor y mayor de la distribución. En este caso son 3 y 48. Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos que queramos poner. Es conveniente que el número de intervalos oscile entre 6 y 15. En este caso, 48 – 3 = 45, incrementamos el número hasta 50, dividido entre 5, nos quedan 10 intervalos. Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece , entonces se cuenta en el siguiente intervalo.
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS Histograma
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS Polígono de frecuencia
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS Ojiva
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS Gráfica de barras
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS Gráfico circular (Gráfica de pastel)
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS Diagramas de caja
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS Ejemplo. Utilizamos la ya usada distribución de frecuencias, que representan la edad de un colectivo de 20 personas. 36. 25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24 34 40 Para calcular los parámetros estadístico, lo primero es ordenar la distribución. 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45 Q1, el cuartil Primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribución. Como N = 20 resulta que N/4 = 5; el primer cuartil es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Q1=(24 + 25) / 2 = 24,5
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45 Q2, el Segundo Cuartil es, evidentemente, la mediana de la distribución, es el valor de la variable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10 ; la mediana es la media aritmética de dicho valor y el siguiente: Mediana = Q2 = (33 + 34)/ 2 =33,5
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS 20 23 24 24 24 25 29 31 31 33 34 36 36 37 39 39 40 40 41 45 Q3 , el Tercer Cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribución. En nuestro caso, como 3N / 4 = 15, resulta: Q2=(39 + 39) / 2 = 39
  • REPRESENTACIONES GRÁFICAS El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades ( Xmín, Q1) La primera parte de la caja a (Q1, Q2), La segunda parte de la caja a (Q2, Q3) El bigote de la derecha viene dado por (Q3, Xmáx).
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS Probabilidad de eventos simples. La probabilidad clásica de un evento E, se escribe p(E), se define como el número de resultados que componen al evento E, entre el número de resultados que componen el espacio muestral:
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS Probabilidad de eventos compuestos. Cuando calculas probabilidades, a menudo tienes que tomar en consideración dos o más eventos, conocidos como eventos compuestos. En un evento compuesto, si el segundo evento no depende del resultado del primer evento, entonces los eventos son independientes. Si el resultado de un evento compuesto influye en el otro evento, entonces los eventos son dependientes.
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS Probabilidad de dos eventos independientes. La probabilidad de que ocurran dos eventos independientes se calcula multiplicando la probabilidad del primer evento por la probabilidad del segundo evento. P(A y B) = P(A) . P(B)
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS Probabilidad de dos eventos dependientes. Si dos eventos A y B son dependientes, entonces la probabilidad de que ocurran los dos eventos es igual al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B después de ocurrir A. P(A y B) = P(A) . P(B dado A)
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS Probabilidad axiomática. La probabilidad desde el punto de vista axiomático, propone las reglas que el cálculo de las probabilidades debe satisfacer, para ello se basa en los siguientes 3 postulados y axiomas: La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que cero; P(A) 0. La probabilidad del total, Ω, es igual a 1; P(Ω) = 1. Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, que no ocurren simultáneamente, entonces la probabilidad del suceso compuesto por ambos es la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos; P(A1 ᴗA2) = P(A1) + P(A2)
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS Tomando en cuenta que la probabilidad de un evento, por definición, es la frecuencia relativa, entonces se tiene lo siguiente: Si A es un evento de un espacio muestral S, y p(A) es la probabilidad de A, entonces se satisfacen los axiomas de la probabilidad: Axioma 1. La probabilidad de un suceso A es un número real entre 0 y 1. 0 < p(A) < 1. Axioma 2. La probabilidad de S es igual a 1. P(S) = 1 Axioma 3. Si A1 y A2 son sucesos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la unión de ellos es la suma de sus probabilidades. P(A ᴗB) = P(A1) + P(A2).
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS Probabilidad condicional. Se denomina a la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como P(A/B). P(A/B) se lee “p de A dado B” y significa “la probabilidad del evento A, dado que el evento B ocurre”.
  • EXPERIMENTOS Y EVENTOS Ejemplo. Considera un cuadrado formado a su vez por 16 cuadritos. La probabilidad de que ocurra el cuadrito es 1/16. Sin embargo, la probabilidad de que ocurra el mismo cuadrito una vez que ya ha ocurrido en B, se escribe P(A/B), es ¼.
  • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
  • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Distribución normal. Es una distribución de variable continua que queda especificada por dos parámetros de los que depende su función de densidad y que resultan ser la media (µ) y su desviación típica (σ). Su función de densidad es:
  • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Distribución binomial La distribución binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo: ● ● ● Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos sólo la posibilidad de éxito o fracaso. La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o fracaso en las demás ocasiones. La probabilidad de obtener éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.
  • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES MUESTRALES. Cuando n es lo bastante grande, su distribución muestral también es una normal. El último resultado es cierto sea cual sea la distribución de los datos originales. Es decir, la distribución de la media muestral es normal sea cual sea la distribución original. Este resultado fundamental de la estadística tiene un nombre propio: el teorema del límite central.
  • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD El teorema del límite central dice que si una muestra es lo bastante grande (n > 30), sea cual sea la distribución de la variable de interés, la distribución de la media muestral será aproximadamente una normal. Además, la media será la misma que la de la variable de interés, y la desviación típica de la media muestral será aproximadamente el error estándar. Una consecuencia de este teorema es la siguiente: Dada cualquier variable aleatoria con esperanza m y para n lo bastante grande, la distribución de la variable es una normal estándar.
  • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Parámetro. Es una cantidad numérica calculada sobre una población y resume los valores que ésta toma en algún atributo. Intenta resumir toda la información que hay en la población en unos pocos números (parámetro). La altura media de los sujetos.
  • DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Estadístico. Es una cantidad numérica calculada sobre una muestra que resume su información sobre algún aspecto. Si un estadístico se usa para aproximar un parámetro también se le suele llamar estimador. Normalmente os interesa conocer un parámetro, pero por la dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la población, calculamos un estimador sobre una muestra y confiamos en que sean próximos.
  • REGLAS DE PROBABILIDAD Sucesos mutuamente excluyentes. Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos). Ejemplo. Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.
  • REGLAS DE PROBABILIDAD Regla de la adición. Si p1, p2, p3, … pn, son las probabilidades de n sucesos mutuamente excluyentes. La probabilidad P de que uno de estos sucesos se presente en un solo ensayo, estará da por la suma de las probabilidades de cada suceso, esto es P= p1 + p2 + p3 +…+pn P(A o B) = P(A) + P(B)
  • REGLAS DE PROBABILIDAD Sucesos compatibles. Dos o más eventos son compatibles, o que no son mutuamente excluyentes, cuando la ocurrencia de un suceso no impide la ocurrencia de un seceso no impide la ocurrencia del otro.
  • REGLAS DE PROBABILIDAD Sucesos independientes. Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independientes es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo. Regla de la multiplicación. Si p1, p2, p3, …pn, son las probabilidades de n sucesos independientes. La probabilidad P de que uno de estos sucesos se presente en un solo ensayo, estará dada por el producto de cada suceso, esto es:
  • REGLAS DE PROBABILIDAD Sucesos dependientes. Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no- ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (u otros). Cuando tenemos este caso empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(AB) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A si el evento B ya ocurrió.
  • ● Combinaciones, Variaciones y Permutaciones
  • Combinaciones ● ● ● ● Determinaciones de subgrupos de un conjunto de elementos a ser agrupados en n cantidad. Ejemplo Calcular las posible combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los grupos A={1,2,3} B={(1,2)(1,3)(2,3)}
  • Combinaciones
  • Variaciones ● Determinaciones de subgrupos de un conjunto de elementos a ser agrupados en n cantidad; considerando las diferencias y orden de los elementos.
  • Variaciones ● ● ● Ejemplo Calcular las posible variaciones de 2 elementos que se pueden formar con los grupos A={1,2,3} B={(1,2)(1,3),(2,1),(2,3),(3,1)(3,2)}
  • Variaciones ● Calcular las posible variaciones de 2 elementos que se pueden formar con los grupos A={1,2,3}
  • Permutaciones ● Determinaciones de subgrupos de un conjunto de elementos ; en donde se utilizan todos lo elementos de conjunto, por lo tanto lo que diferencia a cada grupo es el orden de los elementos.
  • Permutaciones ● ● Calcular las posible formas en que se pueden ordenar los numeros A={1,2,3} B=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)
  • Permutaciones ● ● Calcular las posible formas en que se pueden ordenar los numeros A={1,2,3} B=(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3), (2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)