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Matematica financeira regular 2
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    Matematica financeira regular 2 Matematica financeira regular 2 Document Transcript

    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 AULA 02 – JUROS SIMPLES (Continuação) Olá, amigos! Tudo bem com vocês? Espero que tenham tentado resolver as questões propostas daaula passada. Nem eram assim tão difíceis, concordam? Mas o importante não era acertar, esim tentar! Acertar é algo imprescindível na prova! Em casa ou na sala de aula, sua obrigaçãoé de fazer o melhor possível para aprender! Passemos às resoluções. Dever de Casa03. (TRF 2006 ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias.a) R$ 2.000,00 d) R$ 2.400,00b) R$ 2.100,00 e) R$ 2.420,00c) R$ 2.120,00Sol.: Um enunciado fácil de ser compreendido. Sua leitura revela, de pronto, elementos de umaoperação de Juros. Fala-se em taxa, em rendimento (que é sinônimo de Juros), em tempo deaplicação, e pergunta-se o valor do Capital. Todos elementos nossos conhecidos. Só podemos resolver a questão de Juros quando identificarmos o regime, se simples oucomposto. Este enunciado foi deveras camarada, e nos revelou, expressamente, que estamostrabalhando no regime simples. Conclusão: trata-se de uma operação de Juros Simples e, como tal, será resolvida combase no esquema ilustrativo que aprendemos na aula passada. É o seguinte: M C 100+i.n 100 J i.n Lembramos também que para poder usar as equações oriundas do esquema acima, épreciso que taxa e tempo estejam na mesma unidade. Ou seja, é preciso que a exigênciauniversal esteja cumprida. Neste caso, temos uma taxa mensal (3,6% ao mês) e temos o tempo em dias (40 dias). Assim, você irá usar agora o bom senso, e escolher uma unidade mais conveniente paracompatibilizar taxa e tempo. Podemos usar a unidade dia. Para tanto, teremos que alterar a unidade da taxa, convertendo-a de mensal para diária.Faremos isso, conforme já é do nosso conhecimento, utilizando o conceito de TaxasProporcionais! Raciocinaremos assim: taxa ao mês para taxa ao dia; mês para dia; maior paramenor; do maior para o menor, dividimos. Um mês tem quantos dias? Trinta. Logo, dividiremospor 30. Teremos: 3,6% ao mês = (3,6/30) = 0,12% ao dia Uma vez observada a exigência universal, podemos criar a equação do esquemailustrativo e aplicá-la. Teremos: C J C 96 = = C=2.000,00 Resposta! 100 i.n 100 0,12 x 40 www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 204. (TRF 2006 ESAF) Um indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos.a) R$ 1.380,00 d) R$ 1.349,00b) R$ 1.371,00 e) R$ 1.344,00Sol.: A questão sugere que há um valor monetário conhecido numa data anterior (3 mesesatrás), e pretende descobrir o quanto valerá aquela quantia se projetada para o dia de hoje. Emsuma, pretendemos avançar na linha do tempo com um valor monetário conhecido. Conclusão: estamos diante de uma operação de Juros! O valor conhecido no início(Capital) era o valor da dívida (R$1.200) e o valor que a dívida representará no dia de hoje é oMontante que estamos procurando! Aqui também o enunciado foi explícito ao afirmar que estamos trabalhando no regimesimples. Usaremos o esquema ilustrativo, e o aplicaremos diretamente, uma vez que taxa etempo já estão na mesma unidade! Teremos: M C 100+i.n 100 J i.n Há duas possibilidades: podemos trabalhar com Capital e Montante; ou podemostrabalhar com Capital e Juros. No primeiro caso, encontraremos diretamente a respostaprocurada (Montante). No segundo, encontraremos uma resultado intermediário, os Juros, e osomaremos ao Capital para chegarmos, finalmente, ao Montante. Tanto faz um caminho ou outro. Para efeito de facilitação das contas, é recomendável,sempre que possível, trabalharmos com Capital e Juros. Ok? Façamos isso, então. Teremos: C J 1200 J = = J=180,00 100 i.n 100 5 x3 Agora, conhecendo o valor do Capital e dos Juros, somando-os, conheceremos também ovalor do Montante. Teremos: M=C+J M=1.380,00 Resposta!05. (CEF FCC) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa bimestral de 3%. Para que seja obtido um montante de R$ 19.050,00 , o prazo dessa aplicação deverá ser de :a) 1 ano e 10 meses d) 1 ano e 6 mesesb) 1 ano e 9 meses e) 1 ano e 4 mesesc) 1 ano e 8 mesesSol.: Outra questão de muito fácil entendimento. Aqui também o enunciado foi expresso notocante ao regime da operação: juros simples. Observemos apenas que a taxa fornecida foibimestral, e o tempo da aplicação é o que está sendo questionado! Assim, uma vez que aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples estamos supondoque taxa e tempo estão na mesma unidade, depreende-se que encontraremos um tempo embimestres, ou seja, na mesma unidade da taxa. Isso, obviamente, se resolvermos manter a taxa na unidade bimestral. Façamos isso! www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 3 Outro detalhe: sempre que o enunciado nos fornecer ao mesmo tempo o valor do Capitale o valor do Montante, teremos, nas entrelinhas, o valor de um terceiro elemento! Qual? OsJuros, é claro! Sabemos que: J=M-C. Daí: J=19.050-15.000 J=4.050,00 Aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos: M 15.000 100+i.n 100 4.050 3.n Conforme visto anteriormente, daremos, sempre que possível, preferência a trabalharcom Capital e Juros. Teremos: C J 15.000 4.050 = = n=9 100 i.n 100 3.n Mas 9 o quê? Ora, 9 bimestres! Uma vez que a taxa usada foi bimestral (3% a.b.). Entre as opções de resposta, todas elas estão com anos e meses. Transformando,teremos que: 9 bimestres = 18 meses = 12 meses + 6 meses = 1 ano e 6 meses Resposta!06. (Contador do Recife 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros simples a uma taxa de 3% ao mês. Em quanto tempo este capital aumentaria 14% em relação ao seu valor inicial?a) 3 meses e meio d) 4 meses e meiob) 4 meses e) 4 meses e 20 diasc) 4 meses e 10 diasSol.: Usaremos um truque para resolver esta questão. O enunciado não falou qual é o valor doCapital. Mas pretende que ele seja aumentado em 14%. Ora, como o aumento é um valor percentual, o truque será que diremos que o Capitalserá igual a 100 (cem). Isso mesmo! Por que faremos isso? Porque 100 é o melhor valor queexiste para se trabalhar quando se fala em aumentos (ou reduções) percentuais! Por exemplo: partindo de 100, em quanto chegaríamos com um aumento de 10%?Chegaríamos a 110. E partindo de 100, em quanto chegaríamos com um aumento de 30%?Chegaríamos em 130. E assim por diante! Logo, considerando o Capital igual a 100, teremos que um aumento de 14% fará comque esse Capital se transforme em 114. Correto? Já temos, portanto, o valor do Capital(C=100) e do Montante (M=114) desta operação! E uma vez conhecendo, simultaneamente, os valores do Capital e do Montante,chegamos também ao valor dos Juros, uma vez que J=M-C. Teremos: J=114-100 J=14. A taxa da nossa operação é mensal, logo, mantendo essa mesma unidade,encontraremos um tempo de aplicação em meses também! Usando o esquema ilustrativo dosJursos Simples, teremos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 4 M 100 100+i.n 100 14 3.n Teremos, pois, que: C J 100 14 = = n=(14/3)meses 100 i.n 100 3.n Fazendo a divisão, teremos: 14 3 2 4 Como houve esse resto (2), e o divisor é 3, podemos expressar o resultado dessa divisãoem duas partes: uma inteira (4) e uma fracionária (2/3). Agora, para transformar 2/3 de mês para dias, basta multiplicarmos por 30, já que cadamês tem 30 dias na Matemática Financeira. Teremos, portanto, que: n=4 meses e (2/3) de mês = 4 meses e 20 dias Resposta!07. (AFTN-91 ESAF) Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de:a) 51 d) 53,6b) 51,2 e) 68c) 52Sol.: Novamente neste enunciado, nossa preocupação consistirá apenas em colocar taxa etempo na mesma unidade. Podemos escolher, neste caso, a unidade diária e, assim, alterar aunidade fornecida (3,6% ao mês) para uma taxa na unidade dia. Usando o conceito de Taxas Proporcionais, teremos que: 3,6% ao mês = (3,6/30) = 0,12% ao dia Agora, aplicando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos: M 50 100+0,12x20 100 J 0,12x20 Para variar, trabalharemos diretamente com Capital e Montante. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 C M 50 M = = M=51,2 Resposta! 100 100 + i.n 100 100 + 0,12 x 2008. (TTN 89 ESAF) Uma certa importância foi aplicada a juros simples de 48% a.a. , durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a. , mantendo-se o mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que o último montante foi de R$ 207,36 , qual foi o capital inicial da primeira operação ?a) R$ 200,00 c) R$ 160,00 e) R$ 144,00b) R$ 180,00 d) R$ 150,00Sol.: Uma questão mais elaborada um pouco! (Nada complicado demais!). Aqui, em vez de uma aplicação de Juros Simples, nós temos duas! Anotando os dados deuma e de outra, teremos:Aplicação 1) C1=? ; i1=48% ao ano; n1=60 dias ; M1=?Aplicação 2) C2=M1 ; i2=60% ao ano; n2=120 dias ; M2=207,36 Vocês perceberam que o Capital 2 foi igual ao Montante 1 porque o enunciado falou queeste último foi reaplicado! Certo? Antes de começarmos a trabalhar as equações, é conveniente que cumpramos logo aexigência universal para as duas aplicações. Que tal? Teremos, então, que:Aplicação 1) C1=? ; i1=48% ao ano = 4% ao mês ; n1=60 dias = 2 meses ; M1=?Aplicação 2) C2=M1 ; i2=60% ao ano = 5% ao mês; n2=120 dias = 4 meses; M2=207,36 Ora, o enunciado pede que encontremos o valor do C1. Mas, para isso, temos queconhecer primeiro o valor do Montante da primeira operação. Este, por sua vez, só poderá serdescoberto se trabalharmos com a segunda aplicação! Daí, fazendo isso, teremos:Aplicação 2) 207,36 C2 100+5x4 100 J 5x4 Trabalhando com Capital e Montante, teremos: C2 M2 C2 207,36 = = C2=172,80 100 100 + i.n 100 100 + 5 x 4 Mas esta não é ainda a nossa resposta! O que nos pede a questão é o valor do C1. Assim, sabendo que o M1 é igual ao C2, e trabalhando com os dados da primeiraaplicação, teremos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 6Aplicação 1) 172,80 C1 100+4x2 100 J 4x2 Trabalhando novamente com Capital e Montante, teremos: C1 M2 C1 172,80 = = C1=160,00 Resposta! 100 100 + i.n 100 100 + 4 x 209. (TTN-92 ESAF) Um fogão é vendido por $600.000,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $542.880,00 após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação?a) 5% d) 16%b) 12% e) 20 %c) 15%Sol.: Uma questão facílima, mas interessante! O que teremos que fazer aqui é uma tradução!Ou seja, precisamos traduzir este enunciado não convencional para um que seja corriqueiro. Temos que enxergar, na situação trazida pela questão, uma operação de Juros. E isso é muito fácil. Senão, vejamos. O bem custa, à vista, $600.000,00. Alguém, no dia de hoje, pagou uma entrada de 22% dovalor à vista. Fazendo o cálculo da entrada, teremos: ⎛ 22 ⎞ ⎜ ⎟ x600.000 = 132.000,00 = “entrada” ⎝ 100 ⎠ Ora, se o bem custava R$600.000 e já se pagou por ele R$132.000 no dia da compra, entãoconclui-se que, naquele exato dia, restaria ainda pagar a diferença! Concordam?Ilustrativamente, teremos: À vista: R$600.000, Entrada: R$132.000, A pagar: R$468.000, Ocorre que este restante devido não será pago no dia da compra, e sim numa dataposterior. Quando? Trinta e dois dias após, de acordo com o enunciado. É dito ainda que, nestadata (32 dias após a compra), o comprador irá pagar a quantia de $542.880,00. No desenho, teremos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 À vista: R$600.000, Entrada: R$132.000, 542.880, A pagar: R$468.000, 0 32dias Pronto! Agora somos capazes de identificar exatamente onde está se dando a operaçãode Juros! Qual é o valor menor que, com o passar do tempo, aumentará? Todos enxergaram?Nosso capital será C=468.000 e nosso montante será M=542.880. Logo, encontramos que osJuros serão J=M-C=542.880-468.000 J=74.880,00. O tempo da operação é de 32 dias e estamos em busca de uma taxa mensal. Ora, se deixarmos o tempo do jeito que está (em dias), e podemos fazer isso,chegaremos a uma taxa diária. Daí, basta multiplicarmos essa taxa ao dia por trinta (taxasproporcionais), e chegaremos à resposta! Teremos: 542.880, 468.000 100+32.i 100 74.880 32.i Trabalhando com Capital e Juros, teremos: C = J 468.000 74.880 = i= (74880 x100) 100 i.n 100 32.i (468000 x32) Atentemos para o seguinte: o resultado desta conta será uma taxa de alguma coisa porcento ao dia! Uma vez que estamos trabalhando com o tempo em dias. Ocorre que a questão está pedindo por uma taxa mensal. Daí, aplicando o conceito detaxas proporcionais, já podemos multiplicar essa conta por 30. Concordam? E aí nossoresultado já será a resposta procurada. Teremos: i= (74880 x100) x30 i=15% ao mês Resposta! (468000 x32)10. (AFRF 2002.2 ESAF) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00c) R$ 2.088,00 www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 8Sol.: Este enunciado foi usado duas vezes pela Esaf. A segunda delas foi nesta prova do AFRF2002/2. A primeira vez havia sido no ano anterior (2001), numa prova para o Serpro. Os textoseram praticamente idênticos, modificando-se apenas alguns valores numéricos. Bem, este enunciado fala de uma conta que deverá ser paga até o dia 8. Caso hajaqualquer atraso, o devedor arcará com dois encargos, representados por uma multa fixa de2%, e pelos juros simples de 0,2% ao dia útil de atraso! O cálculo da multa fixa é muito fácil. Aquela taxa de 2% incidirá sobre o valor da conta,e esse resultado será cobrado, independentemente de quantos dias seja o atraso! Por isso essamulta tem o nome de fixa. Teremos, portanto: (2/100) x 2.000 = R$40,00 Multa fixa! Com isso, já temos metade da resposta! Só falta saber o quanto iremos pagar de jurossimples a mais pelo atraso no pagamento da conta. Agora, precisaremos conhecer de quantos dias foi o atraso. Mais especificamente:precisaremos saber quantos foram os dias úteis de atraso. Por quê? Porque a taxa de jurossimples foi fornecida em termos de dias úteis, e nós sabemos que na matemática financeira,teremos sempre que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade. Para contarmos os dias úteis de atraso, é recomendável que façamos um pequeno erápido calendário. É fácil de se fazer na prova e não leva quase nenhum tempo. Observandoque foi dito que o dia 8 é uma segunda-feira, faremos: SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Como só nos interessam os dias úteis, vamos excluir sábados e domingos da contagemdos dias de atraso. Teremos: SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 E quanto ao dia 8? Ele conta como atraso? Claro que não! Se o enunciado falou que aconta deveria ser paga até o dia 8, então o primeiro dia de atraso é o próximo! Excluindo, pois,também o dia 8 da contagem dos dias úteis de atraso, teremos: SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 9 Enfim, contamos acima que houve, na verdade, 10 dias úteis de atraso no pagamentoda conta. Como os juros incidentes na operação são do regime simples, significa que a cada diaútil de atraso, o valor a ser pago a mais é sempre o mesmo. De modo que só precisaremosconhecer os juros por um dia útil de atraso, e multiplicarmos esse valor por 10. Teremos: Juros por dia útil de atraso: (0,2/100) x 2000 = R$4,00 Percebamos que, para calcular os juros simples de um único período, só temos quemultiplicar a taxa pelo capital, exatamente como fizemos. Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: Juros por todo o atraso: 10 x R$4,00 = R$40,00 Juros! Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores damulta fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: R$2.000,00 + R$40,00 + R$40,00 = R$2.080,00 Resposta! E aí, como se saíram com as questões? Espero que bem, pois foram questões fáceis, emsua maioria! Mesmo assim, trabalhando com questões fáceis, nosso objetivo vai sendoconstruído, uma vez que o que queremos é formar uma sólida base de conhecimento! Ademais, não se preocupem com nada. Deixem tudo comigo. Ao final do curso,estaremos aptos a resolver qualquer questão, seja fácil, média ou difícil. Ok? Na seqüência, trataremos de um assunto concernente aos Juros Simples, e que tambémtem sido, amiúde, cobrado em provas recentes: Juros Exatos. Vamos a ele.# Juros Exatos: Nada mais é que uma outra modalidade de Juros Simples. A primeira informação importante é a seguinte: só resolveremos a questão de JurosSimples usando os Juros Exatos quando o enunciado assim o determinar! Ok? Juros Exatosconsistem na modalidade da exceção. E como tal, terá que ser expresso no enunciado que outilizaremos! Outra informação imprescindível: resolvendo uma questão de Juros Exatos,trabalharemos sempre com a unidade diária! Ora, uma vez que taxa e tempo têm que estar namesma unidade, já sabemos que esta unidade será o dia, nos Juros Exatos. Aí é que entra o conceito: uma vez que contaremos o tempo em dias, ao fazê-lo,consideraremos cada mês como tendo o número de dias que consta no nosso calendárioconvencional. Ou seja, contaremos janeiro com 31 dias, fevereiro com 28, março com 31, abrilcom 30, maio com 31, junho com 30, julho com 31, agosto com 31, setembro com 30, outubrocom 31, novembro com 30 e dezembro com 31 dias. E o ano inteiro terá, portanto, 365 dias. Em suma: Juros Exatos são aquela modalidade de Juros Simples, segundo a qual acontagem dos dias se fará de acordo com o ano calendário convencional. Essa consideração difere da maneira que usamos para resolver as questões até omomento. Antes de falarmos nesses Juros Exatos, estávamos trabalhando com a modalidade daregra: os Juros Simples Comerciais ou Ordinários. Segundo a regra, todos os meses do ano têm30 dias, e o ano inteiro, portanto, 360 dias. Essa é a regra na Matemática Financeira! Sódeixaremos de considerar os meses com 30 dias cada se estivermos numa operação de JurosExatos! Só isso! Por meio do exemplo abaixo, aprenderemos a trabalhar os Juros Simples Exatos.Adiante. www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 10 11. Um capital de R$35.917,28 é aplicado do dia 25 de julho ao dia 11 de setembro do corrente ano, a uma taxa de juros simples exatos de 73% ao ano. Calcule os juros produzidos, como porcentagem do capital aplicado. Sol.: Este enunciado fala em elementos como Capital, que ficou aplicado do dia tal ao diatal, sob uma taxa de juros. Ou seja, estão presentes elementos de uma operação de Juros. Anovidade é que foi revelado expressamente que deveremos considerar, nesta resolução, queestamos trabalhando com a modalidade da exeção: os Juros Exatos! Imediatamente nos lembraremos que, nesta modalidade, adotaremos a unidade dia. Eque a contagem dos dias se fará considerando o nosso calendário convencional. Uma característica quase sempre presente neste tipo de questão (Juros Exatos) é que oenunciado não revela, de antemão, quantos dias durou a operação de Juros. Ela dirá apenas odia do início e o dia do final, e pedirá que você faça a contagem do tempo. Pois bem! Vamos tratar logo de fazer isso: de descobrir quantos dias durou a aplicação. O enunciado disse que ela teve início no dia 25 de julho e fim em 11 de setembro.Podemos, então, desenhar uma rápida tabela, com os meses e os dias que cada um possui (deacordo com o calendário convencional). Teremos: Julho 31 dias Agosto 31 dias setembro 30 dias Feito isso, resta-nos descobrir quantos dias de cada um desses meses foramefetivamente utilizados na operação de Juros. Ora, deixando de fora o mês do início e o mês dofinal, teremos que o mês do miolo foi integralmente aproveitado. Concordam? Teremos: Julho 31 dias Agosto 31 dias 31 dias setembro 30 dias Acerca do mês do final, basta fazermos um copiar-colar. Se a operação terminou no dia11 de setembro, diremos então que foram usados 11 dias naquele mês. Teremos: Julho 31 dias Agosto 31 dias 31 dias setembro 30 dias 11 dias Em relação ao mês do início, faremos uma subtração. O mês de julho tem 31 dias, e aoperação começou no dia 25. Logo, faremos: 31 menos 25 é igual a 6. Teremos: Julho 31 dias 6 dias Agosto 31 dias 31 dias setembro 30 dias 11 dias Finalmente, somamos a última coluna para descobrir qual foi o tempo n da nossaoperação. Teremos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 Julho 31 dias 6 dias Agosto 31 dias 31 dias setembro 30 dias 11 dias Total: 48 dias Ainda precisamos trabalhar com a unidade da Taxa. Sabemos que, nos Juros Exatos, aunidade adotada será sempre o dia. Assim, usando o conceito de Taxas Proporcionais, faremos: 73% ao ano = (73/365) = (1/5) = 0,2% ao dia Observem que consideramos, na divisão, que o ano tem 365 dias (e não 360), poisestamos trabalhando com os Juros Exatos (e não com Juros Comerciais)! Agora, os dados de nossa questão são os seguintes: C=35.917,28 i=0,2% ao dia n=48 dias J=? (como porcentagem do Capital). Já podemos resolver a questão? Ainda não! Por que não? Porque ainda nos resta fazeruma observação importantíssima! Vocês perceberam como se deu a pergunta da questão? Ela pediu: calcule os Juros comoporcentagem do Capital. Este formato de pergunta é muito comum em provas! Qual formato? Esse: calcule esteelemento como porcentagem deste outro. Quando isso ocorrer, usaremos um artifício: tomaremos este outro elemento, que é oelemento de referência, e adotaremos para ele o valor 100 (cem). Só isso! No caso da nossa questão, temos que o enunciado disse: calcule os Juros comoporcentagem do Capital. Quem é o elemento de referência? É este último: o Capital. E o quefaremos, então? Adotaremos para ele o valor 100. Mas, professor, a questão disse que o Capital é igual a R$35.917,28. Não tem problema! Se a pergunta da questão cai neste formato, não interessa se foiatribuído um valor diferente para o elemento de referência. Podemos ignorar este valor que foidado pela questão, e adotar o valor 100. Atenção: só podemos fazer isso quando a pergunta da questão vier no formato queestamos analisando agora (calcule este elemento como porcentagem deste outro). Ok? Assim, finalmente, os dados de nossa questão são os seguintes: C=100, i=0,2% ao dia n=48 dias J=? (como porcentagem do Capital). Usando o esquema ilustrativo dos Juros Simples, teremos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 12 M 100 100+0,2x48 100 J 0,2x48 Trabalhando com Capital e Juros, teremos: C J 100 J = = J=9,6 100 i.n 100 0,2 x 48 Ora, como a questão nos pede o valor dos Juros como porcentagem do Capital, e comoadotamos para o capital o valor de 100, basta acrescentarmos ao valor dos Juros que foiencontrado o sinal de porcentagem! Teremos: J=9,6% Resposta! Vejamos, no quadro abaixo, se o objetivo desta questão foi alcançado. Nesta questão aprendi: 1. Qual o artifício a usar quando a questão pergunta pelo valor de um elemento em função de um percentual de outro; 2. O que são juros exatos; 3. Qual a unidade a ser adotada sempre nos juros exatos; 4. Como proceder à contagem dos dias nos juros exatos. Na seqüência, apresentarei a vocês um tipo de questão de Juros Simples muitointeressante! Uma questão com características bem próprias e que é de muito fácil resolução,desde que conheçamos o caminho de atalho para resolvê-la! Vamos aprender agora esta teoria.# Questão Denorex: Vocês se lembram deste nome “Denorex”? Na sala de aula, os alunos até que lembram, mas ninguém quer admitir, porque é umnegócio meio antigo... (e ninguém quer entregar a idade, sabe como é...). Denorex é um produto que ficou famoso nas propagandas do milênio passado com oseguinte slogan: PARECE, MAS NÃO É. Lembraram? Ah! Agora, sim! Pois bem! Estudaremos agora a questão Denorex. E por que ela tem esse nome? Porquesuas características são quase idênticas às de uma questão de Rendas Certas. Ora, RendasCertas são um assunto do Regime Composto, que estudaremos quase no final do nosso Curso. Uma questão de Rendas Certas, a título de adiantamento, apresentará sempre asseguintes três características: 1ª) Parcelas de mesmo valor; 2ª) Intervalo de tempo igual entre as parcelas; 3ª) Taxade Juros Compostos. A questão Denorex, por sua vez, apresenta também três características próprias, duasdas quais as mesmas das Rendas Certas. Vejamos: www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 13Características da Questão Denorex: 1ª) Parcelas de mesmo valor; 2ª) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas; 3ª) Taxa de Juros Simples. Perceberam o destaque para a terceira característica? É apenas ela que diferencia umaquestão de Rendas Certas da questão Denorex! A questão Denorex é, na verdade, uma questão de Juros Simples! Nas questões que resolvemos até aqui, havia sempre um único Capital, que seriaaplicado durante um período de tempo, e se transformaria em um valor maior, chamadoMontante! Não é assim? Pois bem! Na questão Denorex haverá não apenas um, e sim vários Capitais. É essa adiferença! Se quiséssemos, poderíamos trabalhar cada Capital individualmente, projetando-opara a data do resgate, e descobrindo o respectivo Montante. Depois, bastaria somarmos osMontantes (de cada Capital), e estaríamos com a resposta da questão. Só que esse não é o melhor caminho, uma vez que muito demorado! Aprenderemos umartifício, um caminho de atalho, por meio do qual redesenharemos a questão, transformandovários Capitais e apenas um. Aprendamos por meio de um exemplo. Vamos a ele. 14. Uma pessoa realizou sete aplicações mensais e sucessivas, no valor de R$1000 cada. Considerando uma taxa de juros simples de 4% ao bimestre, determine o valor a ser resgatado, em decorrência de todas essas aplicações, cinco meses após a data da última parcela:Sol.: De acordo com o previsto neste enunciado, desenharemos nossa questão. Ok? Diz o textoque foram aplicadas sete parcelas mensais, de R$1000 cada uma. Teremos: 1000 1000 1000 As setas apontam para baixo apenas para efeitos didáticos. O fato é que o enunciadoprevê que estas aplicações estão sendo realizadas com um objetivo. Qual? O de resgatar umvalor maior no futuro. Em qual data? Qual data? Cinco meses após a data da última parcela.Desenhemos isso: X 1000 1000 1000 O desenho da questão está concluído! Interessa-nos descobrir o valor do X. www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 14 Que tipo de questão é essa? É uma questão de Juros Simples: a questão Denorex. Vejamos novamente, no desenho e no enunciado, a presença das três características pormeio das quais identificaremos a questão Denorex: 1ª) parcelas de mesmo valor (são asparcelas de R$1000); 2ª) Intervalos de tempo iguais entre as parcelas (são parcelas mensais);3ª) Taxa de juros simples (de 4% ao bimestre, conforme indica a leitura da questão). Diante de uma questão Denorex, usaremos um artifício para transformar o desenho! Em três passos:1º Passo) Numeraremos as parcelas de mesmo valor, atribuindo à primeira delas o valor zero, eseguindo adiante, até chegarmos à última parcela igual. Teremos: X 0 1 2 3 4 5 6 1000 1000 1000 Viram? A contagem foi de zero a seis. Até aqui, tudo bem? Então, adiante!2º Passo) Dividiremos o valor atribuído à última parcela por dois. Qual foi o valor atribuído à última parcela? Foi seis. Então, faremos: (6/2)=3. Esse resultado (3) é uma data! Encontraremos esta data no nosso desenho, e nela subiremos uma seta. É o terceiropasso!3º Passo) Localizaremos, no desenho, a data do passo anterior, e nela, subiremos uma seta, aqual receberá um valor. Que valor? O valor da soma de todas as parcelas iguais. Teremos: X 0 1 2 3 4 5 6 1000 1000 1000 Esta seta que subimos na data três meses (resultado do segundo passo) receberá ovalor que corresponde à soma de todas as parcelas de R$1000. Quantas parcelas de R$1000havia? Sete. Logo, somando-as, teremos R$7000. www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 15 Ora, uma vez calculada, essa parcela R$7.000 representará todas as parcelas deR$1000. De sorte que desaparecerão do desenho as parcelas de R$1000, restando apenas a deR$7000 que as representa. Assim, o desenho definitivo de nossa questão, pós artifício, será o seguinte: X 7.000 E agora, sim: estamos diante de um desenho convencional e corriqueiro de umaoperação de Juros. Um Capital para um Montante! De acordo com o desenho acima, os novos dados da questão são os seguintes: C=7.000,00 n = 8 meses i = 4% ao bimestre M=? Viram como ficou fácil? Podemos dar seqüência, trabalhando agora a questão da exigência universal daMatemática Financeira. Para pôr taxa e tempo na mesma unidade, podemos simplesmente dizerque oito meses é o mesmo que quatro bimestres (8m=4b). Ok? Pronto! Resolvido. Já podemosaplicar o esquema ilustrativo dos Juros Simples. Teremos: M 7.000 100+4x4 100 J 4x4 Trabalhando com Capital e Juros, teremos: C J 7000 J = = J=1.120,00 100 i.n 100 4 x 4 E conhecendo Capital e Juros, diremos que: M=C+J M=8.120,00 Resposta! Obviamente que poderíamos, caso quiséssemos, trabalhar direto com Capital eMontante, e chagar diretamente à resposta da questão! Este artifício que aprendemos para trabalhar a questão Denorex é a forma mais rápidade resolvê-la! E é sempre a solução mais rápida a que nos interessa! www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho
    • CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA 16 Vejamos se os objetivos da questão Denorex foram alcançados: Nesta questão aprendi: 1. O que é a questão Denorex (parece, mas não é); 2. Qual o artifício a ser usado para resolvê-la rapidamente. Por hoje é só de teoria! Na seqüência, deixo-lhes algumas questões (não muitas!) dos assuntos vistos na aula dehoje. O fato de não haver muitas questões propostas para hoje não quer dizer que você nãotem trabalho a fazer. Tem sim! O de revisar, carinhosamente, nossas duas primeiras aulas. Daqui pra frente, o bonde andará sempre mais rápido, e os assuntos irão se acumulandocada vez mais. As informações relevantes se avolumarão! Não estou, absolutamente, querendo assustar ninguém. Estou apenas relatando os fatos! Então, faça o que estou pedindo, Ok? Revisem estas duas primeiras aulas, refaçam todasas questões que foram trabalhadas até aqui. E fiquem tranqüilos quanto ao resto. Segue o nosso dever de casa! Um forte abraço a todos e fiquem com Deus! Dever de Casa12. (Auditor Fiscal de Fortaleza 1998 ESAF) Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como porcentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.a) 4,70% d) 4,88%b) 4,75% e) 4,93%c) 4,80%13. (AFRF-1998) A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos dodia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, àtaxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.a) R$ 705,00 d) R$ 720,00b) R$ 725,00 e) R$ 735,00c) R$ 715,0015. (AFRF-2003) Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com ocredor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar adívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês.a) R$ 11.800,00 d) R$ 12.800,00b) R$ 12.006,00 e) R$ 13.486,00c) R$ 12.200,00 www.pontodosconcursos.com.br – Prof.Sérgio Carvalho