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  1. 1. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 04) 8,5% de R$ 425.000,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA 05) 10,2% de R$ 510.000,00 06) 4,7% de R$ 940.000,00 OPERAÇÕES COMERCIAIS 07) Qual a percentagem obtida com aPorcentagem, taxas de acréscimo, venda por R$ 348,00 de uma máquina dedescontos, taxa de lucro ou margem calcular adquirida ao preço de custo de R$sobre o preço de custo e sobre o pre- 240,00?ço de venda 08) O preço de custo de um computa-Porcentagem dor é de R$ 3.600,00. Desejando obter um lucro bruto de 60%, qual seria o valor Porcentagem sobre a venda de venda? Porcentagem ou percentagem é a 09) Um negociante efetua compra derelação de determinado valor com ca- mercadorias no valor de R$ 27.000,00.da 100 unidades. Qual será o seu lucro se aplicar uma taxa de 90% desse valor e os seus gerais fo- Se mencionamos DEZ POR CENTO de rem de 20% sobre o preço de venda?um valor qualquer, estamos dizendo quede cada 100 partes desse valor tomamos 10) Um vendedor ganhou R$ 2.700,00.DEZ PARTES. Sendo a comissão de 9%, pergunta-se qual o valor de compra da mercadoria. DEZ POR CENTO, que é representadopor 10%, chama-se TAXA DE PERCENTA- Percentagem sobre a compraGEM. Desta forma, uma fração expressacom o denominador 100 seria uma per- A percentagem também pode sercentagem e o numerador seria a taxa de calculada sobre o preço de compra. Nesteporcentagem. caso, 100% é o preço de compra. Na razão 10/100 a taxa de porcenta- Exemplo:gem é 10. Lê-se DEZ POR CENTO. Uma mercadoria adquirida por R$Calcular 10% de R$ 500,00 750,00 foi vendida com um lucro de R$ 150,00. Pergunta-se qual a taxa lucro ou Pode ser calculado por regra de margem sobre o preço de custo e sobre otrês simples. preço de venda?Se em R$ 100,00 temos 10 Preço de custo: em R$ 500,00 teremos x R$ 750,00 – 100% 500,00 x 10 R$ 150,00 – x Logo, x será = -------------- = R$ 50,00 100 150, 00 x 100 X= = 20% é lucro sobre o Principal é o número ou a quantia 750sobre a qual se calcula a porcentagem. No preço de venda.exemplo dado, o principal é de R$ 500,00. Preço de venda:Exercícios: R$ 900,00 – 100%Calcular: R$ 750,00 - x01) 15% de R$ 30.000,0002) 25% de R$ 99.000,00 150x100 x= =16,66%03) 4% de R$ 70.400,00 900 5
  2. 2. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAExercícios: Uma impressora vendida por R$ 504,00 teve um desconto de 40%. Qual o valor01) Determine a porcentagem de lucro anunciado pela loja?sobre o valor de compra de uma merca-doria que custou R$ 480,00 e foi vendida 60% – 504,00 (se 60% equivale a R$ 504,00)por R$ 648,00. 100% - x (100% equivalerá a x)R. 35%. Logo:02) Sabendo que um bem vendido por1.261,50 custou R$ 870,00,00, determine 100%x504, 00 x= == 840,00 é o preço a-os percentuais sobre os preços de custo e 60de venda. nunciado pela loja, sem desconto.R. 45% e 31%. Exercícios:03) A venda de um automóvel por R$12.650,00 ensejou um lucro de 10% so- 01) O preço de um automóvel é de R$bre o preço de custo. Determine o custo. 24.000,00, mas, se pago a vista, o valor éR. R$ 11.500,00 reduzido para R$ 21.120,00. Qual a per- centagem de desconto?04) Tendo ganho R$ 330,00 na venda de R. 12%um computador por 2.530,00, qual foi aporcentagem sobre o preço de compra? 02) Ao pagar R$ 607,20 por uma merca-R. 15% doria que valia 660,00, qual foi o descon- to obtido?05) Uma venda por R$ 6.250,00 ensejou R. 8%um lucro de 20% sobre esse valor. Calcu-le a porcentagem sobre o preço de com- 03) Um bem vendido por 1.107,00 custoupra. 820,00. Qual o percentual de acréscimo?R. 25% R. 35%Venda com desconto 04) Ao pagar uma conta de R$ 1.450,00, desembolsei R$ 1.580,50. Qual foi a mora Uma mercadoria que constava na cobrada pelo atraso?vitrine por R$ 480,00 teve um desconto R. 9%de 20%.Pergunta-se quais os valores do desconto 05) Um bem que valia R$ 360,00 foi ad-e da venda? quirido por R$ 400,00. Qual o valor do ágio?100,00 – 20% (se em 100 o desconto é R. 11%de 20)480,00 - x (em 480,00 o desconto será de Taxa de porcentagemx) Considere o seguinte anúncio de jornal: “ 480, 00 x 20 Vendem-se tênis: desconto de 50%”.x= =R$ 96,00 (foi o valor do 100desconto) Observe que neste anúncio aparece a ex- pressão 50%, que se lê cinqüenta por480,00 – 96,00 = 384,00 (foi o valor de cento, e pode ser indicada por 50 em 100venda) 50 ou . A expressão “50% de desconto” 100Exemplo: pode ser entendida como um desconto de $ 50,00 em cada $ 100,00 do preço de uma mercadoria. 6
  3. 3. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA Expressão Leitura Significado O cálculo da taxa de porcentagem pode“18% não 18 por Em cada 100 ser realizado utilizando-se uma regra devotaram” cento não eleitores 18 não três simples. Vejamos algumas situações votaram votaram. onde esse cálculo é utilizado.“ 40% não 40 por Em cada 100vieram” cento não pessoas 40 não 1º situação vieram vieram Depositando-se $60,00 numa caderneta de poupança, ao final de um mês obtêm-As expressões 18% e 40% podem ser in- se $75,00. Vamos calcular a taxa de por-dicadas na forma de fração, por 18 e centagem desse rendimento:40 , respectivamente. Como essa fraçõespossuem denominadores iguais a 100, $ 60,00 é a quantia principal dosão denominadas frações centesimais. problema ;Os numerais 40% e 18% são taxas cen- $ 15,00 é o rendimento obtido notesimais ou taxas de porcentagens, período.pois expressam a razão que existe umagrandeza e 100 elementos do universo Organizamos uma regra de três simples,dessa grandeza . onde: $ 60,00 correspondem a 100% investi-Escreva as frações seguintes na for- dos;ma de taxa de centesimal: $ 15,00 correspondem a x% do que foi investido. 15a) . Essa regra de três simples é direta: 100 $ 60 100 37 ↓ ↓b) . $15 x 100 70 60 100 100.15c) . = ⇔Χ= ⇔ X = 25 100 15 Χ 60 81 portanto, a taxa de rendimento foi ded) . 25%. 100 Exercícios 3e) . 100 1. Calcule: 4 a) 20% de 1 000 pessoas,f) . 25 b) 70% de 80 cavalos. c) 9% de 10 000 doentes com dengue.Escreva cada taxa de porcentagem na d) 40% de 90 pregos.forma de fração centesimal: e) 7,5% de 200 ovos. f) 0,45% de 2 000 laranjas.a) 18%b) 52% 1. Resolva os seguistes problemas:c) 4% a) A quantia de $ 945,00 é igual a quan-d) 35% tos por cento de $ 4 500,00?e) 10%f) 100% b) E uma classe de 50 alunos, comparece- ram 35. Qual a taxa percentual de ausên-Cálculo da taxa de porcentagem cia? 7
  4. 4. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAc) Num exame de 110 questões, um aluno Conjunto de entradas e saídas, dispos-errou 10%. Quantas questões ele acer- tas ao longo do tempo, geralmente repre-tou? sentado por um diagrama, também cha- mado de horizonte financeiro, constituídod) Obtive 14% de desconto numa compra por um eixo horizontal, que representa ade $ 24.000,00. Quanto paguei? linha do tempo, tendo acima as entradas e abaixo as saídas, e vice-versa.e) O preço marcado de um produto era $2.500,00. Paguei apenas $ 2.000,00, pois Cálculo do número de diasobtive um abatimento. Qual foi a taxa deporcentagem do desconto? Ano comercial são os juros calculados com uma taxa diária a partir de 360 dias.f) Economizei $ 840,00 ao obter um des-conto de 12% na compra de uma roupa. Ano civil são os juros calculados com umaQual era o preço marcado inicialmente taxa diária a partir de 365dias.nessa roupa? Juros Exatos ou Regra do Banqueirog) Gastei 20% de meu salário em umamercadoria que me custou $ 5.000,00. São os juros calculados com uma taxaQual o valor do meu salário? diária a partir de um ano civil (365dias). CONCEITOS BÁSICOS Observação Por convenção, usam-se sempre osJuros, principal, montante, taxas de juros comercias, a não ser quando é ex-juros, fluxo de caixa, contagem de plícito o contrário.dias, anos comercial e civil, regra dobanqueiro Tempo Exato.Juros. Quando se considera o número exato de dias contados no calendário. Custo do capital durante determinadoperíodo de tempo. Tempo Aproximado.Taxa de Juros. Quando se considera qualquer mês Unidade de medida do juro que cor- como tendo 30 dias.responde à remuneração paga pelo uso docapital, durante um determinado período Taxas Proporcionais ou Nominais.de tempo. Indica a periodicidade dos ju-ros. Duas taxas se dizem proporcionais, quando há uma proporção entre as gran-Observação. dezas em que se expressam e as dura- ções dos períodos de tempo a que se refe- Em nosso curso usaremos a taxa uni- rem.tária para que o cálculo fique simplificado,quando estivermos utilizando fórmulas Como a proporção existente, neste ca-para realizar os cálculos. so, é inversa, temos:Montante. Calcular a taxa anual correspondente a 2,5% ao mês. Capital empregado mais o valor acu-mulado dos juros. → i1.n1 = i2. n2 → 2,5 . 12 = i . 1 → iFluxo de Caixa. = 30% a.a. 8
  5. 5. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAJuros simples Como são grandezas diretamente proporcionais em relação à grandeza doConsidere a seguinte situação: juro, podemos escrever:“ A importância de $ 100.000,00 foi em- 100 . 1 . 1 = 1 .prestado por um Banco ao cliente Epami- C I t jnondas da Silva. O Banco cobrará do cli-ente 10% e juros mensal. Quanto será J=Citcobrado? 100Vamos denominar e convencionar Vamos calcular o juros pago por uma pes-uma representação para cada dado do soa que tomou emprestada quantia de $problema: 50 000,00, durante 8 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês: O dinheiro emprestado, $100.000,00, chama-se quantia Dados principal. Representa-se por C. C = $ 50.000,00 j=Cit I = 1,2% ao mês 100 A retribuição periódica pela cessão t = 8 meses j = 50.000 . 1,2 . 8 do dinheiro, eu corresponde à j=? 100 quantia que será cobrada pelo Ban- j = 4.800 co, é o aluguel que se paga em ca- da período. Recebe o nome de juro foram pagos $ 4.800,00 de juro. e representa-se por j. Vamos, agora , determinar a quantia que A taxa de juro, 10% é a taxa que deve ser aplicada por uma pessoa a uma funciona como o aluguel que o cli- taxa de 6% ao ano, para que após 2 anos ente pata por 100 unidades de di- receba $ 18.000,00 de juro. nheiro que o Banco lhe empresta; representa-se por i. Dados A referência de tempo. Um mês em C=? j=C i t que o dinheiro ficou aplicado, re- I = 6% ao ano 100 presenta-se por t. t = 2 anos 18.000 = C . 6 . 2 j = $ 18.000,00 100Problemas desse tipo podem ser resolvi- 12 . C = 1. 800.000dos utilizando-se uma regra de três. Va- C = 18.000.000mos estabelecer um problema genérico e 12obter uma formula que permite obter a C = 150.000solução de problemas semelhantes. A quantia que deve ser aplicada é de $150.000,00.“Quem aplica $ 100,00 à taxa de 1% aoperíodo (ano, ou mês, ou dia etc.) recebe Exercíciono fim do período $ 1,00 de juros. Se a-plicasse um capital C à taxa i ao período, 1. Resolva os seguintes problemas :então receberia o juros j”. a) Qual o juro sobre $ 25.000,00 à taxa de 1% ao mês, em 16 meses?Monta-se uma regra de três compos-ta: b) A que taxa foi depositado o capital de $15.000,00 que em 4 anos produziu $ Capital taxa tempo juro 6.000,00 de juros? ↓ 100 ↓ 1 ↓1 ↓1 c) Qual o capital que, aplicado a 3% ao C i t j mês , produz $ 6.000,00 de juro em 10 meses? 9
  6. 6. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAd) Uma pessoa toma emprestado de um Fórmula tradicional para cálculo dosBanco $ 54.000,00 e após 6 meses e 15 jurosdias devolve $60.000,00. A que taxa foi Cit j=tomado o empréstimo? 100e) Uma pessoa empregou $ 50.000,00 . Fórmula AtualSabendo-se que após 10 meses ela iráreceber $ 100.000,00 calcule a que taxa j = Cin (sempre i/100)de juro foi empregado este dinheiro. MONTANTE (NOS JUROS SIMPLES)f) Qual o capital que aplicado a 8% aomês, num período de 6 meses, produz $ M=C+J24.000,00 de juro? Não tendo o valor dos juros, utilizar a suag) A que taxa foi empregado o capital de fórmula$25.000,00, sabendo M = C + Cinh) Uma pessoa toma emprestado $10.000,00 durante 5 meses. Qual a taxa Coloca-se C em evidênciade juro que essa pessoa pagou, sabendo-se que ela devolveu $ 15.000,00? M C Cin ---- = --- + ----- (Simplificando C:C= 1 e JUROS SIMPLES C C C Cin:C = in)Cálculo dos juros, do principal, da ta-xa, do prazo e do montante. M --- = 1 + in (C dividindo para o outro Como já vimos anteriormente, Juro C lado multiplicando)é a remuneração paga por um capital em-prestado, calculado sobre determinadataxa e período. Logo, a formula do montante nos ju- Nos juros simples, a remuneração ros simples :sempre é calculada sobre o principal ouvalor emprestado. M = C(1 + in)Exemplo: Exemplo 1: Um capital de R$ 1.000,00, em-prestado durante 5 anos a 10%a.a. Quanto receberá quem aplicar R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 5%a.m., durante um mês?PERÍODO SALDO JUROS MONTANTE INICIAL M = 100.000,00 (1+0,05.1) = 105.000,00 0 1.000,00 0 1.000,00 Obedecendo a hierarquia das ope- 1 1.000,00 100,00 1.100,00 rações, primeiro elimina-se os parêntesis. Para tanto, dentro deles, em primeiro lu- 2 1.100,00 100,00 1.200,00 gar efetuamos a multiplicação de 0,05 por 3 1.200,00 100,00 1.300,00 1 = 0,05. Após, soma-se ao número UM e o resultado é multiplicado pelos 4 1.300,00 100,00 1.400,00 100.000,00. 5 1.400,00 100,00 1.500,00 Exemplo 2: (prazo da operação diferente do prazo da taxa) 10
  7. 7. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA Qual será o montante de um capital Mde R$ 100.000,00, aplicado à taxa de ju- --- = 1 + inros de 5%a.m. durante 45 dias? C 45 M = 100.000, 00(1 + 0, 05. )107.500, 00 Inverte-se: 30(0,05 x 45 : 30 + 1) x 100.000,00 =107.500,00 M 1 + in = ---Cálculo com prazo fracionário: C Qual o montante produzido pelo Mcapital de R$ 5.000,00, à taxa de 2%a.m. in= ---- - 1e prazo de 45 dias? CCom taxa mensal o prazo é dividido por Logo:30: M ---- - 1 M = 5.000,00 (1 + 0,02.45/30) = CR$ 5.150,00 i = --------- nCom taxa anual o prazo é dividido por360. Utilizando os dados do problema an- terior: M = 2.000,00 (1 + 0,18 . 60/360)= 2.060,00 107.500,00 -------------- - 1 CAPITAL 100.000 i = ------------------- = 0,05 Se M = C(1+in) 45/30 M Se 1 equivale a 0,05 --- = C 100 equivalerá a x (1 + in) 100 x 0,05Ou, invertendo a ordem Logo: x = ------------- = 5% a.m. 1 M C = ------- PRAZO (1 + in) Utilizando os dados do problema Qual o capital que, aplicado durante anterior.45 dias, à taxa de juros simples de5%a.m., gerou um montante de R$ 107.500,00107.500,00? -------------- - 1 100.000,00 107.500,00 n = -------------------- = 1,5 mês C = --------------------- = 100.000,00 0,05 (1 + 0,05 . 45/30) Se 1 mês tem 30 dias 1,5 meses terá x diasTAXA 1,5 x 30Se M = C(1 + in) Logo: x = ------------ = 45 dias 1 11
  8. 8. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAExercícios: dos não inteiros; utilização de tabelas para cálculos.01) Uma aplicação, com taxa de31,5%a.a., em dois anos e meio acusou São aqueles calculados sobre oum saldo de R$ 53.625,00. Qual o capital montante anterior.inicial? R. R$ 30.000,00. Exemplo:02) Um montante de R$ 11.115,00 foiformado à taxa de 7%a.a., em dois anos. O capital de R$ 100,00, a jurosQuais os juros? R. 1.365,00 compostos de 10%a.a., montará a quanto ao final de 4 anos?03) À taxa de juros de 8,5% e prazo dedois anos e seis meses foi formado um Ano Capital Juros Montantemontante de R$ 13.337,50. De quanto inicial anuaisforam os juros? R. 2.337,50. 0 - - 100,00 1 100,00 10,00 110,0004) Tendo recebido 821,84 após 91 dias 2 110,00 11,00 121,00de aplicação, à taxa de 0,9% a.m., calcu- 3 121,00 12,10 133,10lar os juros. R. 21,84 4 133,10 13,31 146,4105) Tendo pago 675,50 após 13 meses Pela fórmula dos juros simples temos:de ter efetuado uma compra por 500,00,qual foi a taxa praticada? R. 2,7% a.m. j = Cin06) Resgatei a importância de R$ Logo, a fórmula dos juros sim-1.388,80 após decorridos 3 meses da ples fica:venda de um carro por R$ 1.240,00. Quala taxa anual cobrada? 48% a. a. j = M – C (isolando M, fica)07) Quanto tempo será necessário para - M = - C – j (para que a incógnitaque R$ 4.000,00 seja transformado em “M” não fique negativa, substituímos oR$ 4.375,00, a taxa de 45% a.a.? R. 75 sinal de todos. Logo:dias. M=C+j08) Na aquisição de um bem por R$6.000,00, determinar qual o montante Substituindo "j" pela sua fórmula,após 180 dias e taxa de 7,%a.t. R. temos:6.900,00. M = C + C.i.n09) Sendo os juros de R$ 345,60, o ca-pital inicial de R$ 12.000,00 e o prazo de Colocando C em evidência:72 dias, determine a taxa mensal. R.1,2% M = C(1 + in)10) Apliquei R$ 2.400,00 ao prazo de Como "n" será sempre um = 1, que45 dias e taxa de 2,7%a.m. Qual o mon- é o período de capitalização, o "n" podetante da operação? ser eliminado da fórmula, porque qualquer número multiplicado por "1" = ao próprio JUROS COMPOSTOS número.Cálculo dos juros, do principal, da ta- M = C(1 + i)xa, do prazo e do montante; conven-ções linear e exponencial para perío- 12
  9. 9. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAExemplo: Logo, os juros serão: 5.107,89 – 4.000,00 = 1.107,89 Quanto receberei, se aplicar R$100,00, à taxa de juros compostos de Exemplo10%a.a., durante três anos? Qual o prazo necessário para que um de-M = 100 (1 + 0,1)(1 + 0,1)(1 + 0,1) pósito de 3.000,00, a taxa de 8%a.a., produza um montante de R$ 5.025,00?M = 100 (1,1)(1,1)(1,1) M 5.025,00Ou --- = ------------ = 1,675 a 3.000,00M = 100(1,1)3 = 133,10 Na Tábua II, o número 1,675 não existe A fórmula básica, no montante pe- na coluna de 8%. Esse número está com-los juros compostos, então, é: preendido entre os números 6 e 7. 1,5868743 corresponde a 6 anos M = C(1+i)n = 133,10 e 1,7138243 corresponde a 7 anos 0,1269500 corresponde a 1 anoEXEMPLOS COM PRAZO FRACIONÁRIO 0,0881257 corresponde a xExemplo x=1,675 – 1,5868743 =0,0881257 Sendo o capital inicial de R$4.000,00, determine os juros compostos 0,0881257 x 1 / 0,12695 = 0,6941764ao final de 4 anos, à taxa de 6,3%a.a. 0,6941764 x 360 / 1 = 249,9 dias 249,9 dias / 30 = 8,33 meses Para efetuarmos este cálculo,necessitamos recorrer à Tábua Financeira 0,33 x 30 / 1 = 9,9 (ou 10 dias)de Juros Compostos, utilizando 7 casasdecimais. Se 1 ano tem 360 dias A taxa de 6,3% não existe na tá- 0,6941764 do ano terá x diasbua. Ela está compreendida entre 6% e7% para 4 anos. (Tábua II) 1 mês tem 30 dias 0,33 meses terá x dias 6% ... 1,262.4770e 7% ... 1.310.7960 Logo a resposta será: 6 anos, 8 meses e 1% ... 0,048.3190 10 dias.Para acharmos o valor de 0,3%, para ser Exercícios: (as respostas serão apro-acrescentado aos 6%, efetuamos uma ximadas)regra de três: 1) Quanto receberei ao final de 32 dias se1% - 0.048.3190 aplicar R$ 200,00, à taxa de 2,4%a.a.? R.0,3% - x 205,00. X = 0,048319 x 0,3/1 = 0,01449570 2) Por quanto tempo um capital de R$ 50.000,00 ficou depositado , a juros de 5% a. a., gerando um montante de R$Então, o número correspondente a 6,3% é 65.000,00? R. 5a 4m 13d1,2624770 + 0,01449570 = 1,2769727 3) A que taxa devo aplicar R$ 60.000,00 aO montante será: 4.000 x 1,2769727 = juros compostos para, aos 10 anos rece-5.107,89 13
  10. 10. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAber o montante de 120.000,00? R 7,174% A taxa “i” (desconto racional) também éa.a. conhecida como “taxa efetiva” da opera- ção.4) Uma aplicação de R$ 20.000,00, a taxade juros compostos de 5%a.a, sem mo- Neste tipo de operação DC = DRvimento durante 9 anos terá um montan-te de quanto? R$ 31.026,60 Diferença entre os descontos:5) Qual o tempo necessário para um capi- D C = DR ⋅ (1 + i ⋅ n)tal qualquer duplicar à taxa de juros com-postos de 8% a.a.? R 9a 2d. Neste tipo de operação i = d.6) Determine qual o capital deverei aplicar QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI-à taxa de juros compostos de 6%a.a. pa- DA)ra, ao final de 6 anos, chegar a um mon-tante de R$ 17.765,00. R. 25.200,00. 01) TFC/2001 (ESAF) - Um indivíduo ob- teve um desconto de 10% sobre o valor7) A que taxa devo emprestar R$ de face de um título ao resgatá-lo um mês50.000,00 à taxa de juros compostos, pa- antes do seu vencimento em um banco.ra, em 5 anos, possuir um montante de Como esta operação representou um em-R$ 85.000,00. préstimo realizado pelo banco, obtenha a taxa de juros simples em que o banco a-8) Tendo aplicado R$ 42.500,00 e recebi- plicou os seus recursos nessa operação.do R$ 36.726,60, à taxa de juros compos- a) 9% ao mêstos de 5%a.a., qual foi o prazo da opera- b) 10% ao mêsção? R 3 anos. c) 11,11% ao mês d) 12,12% ao mês9) Efetuei uma aplicação de R$ 30.000,00 e) 15% ao mêsà taxa de juros compostos de 7%a.a. eprazo de 4 anos e 2 meses. Determine o Solução:montante. R 39.782,70. Se a taxa de DESCONTO é d = 10%, quer-se calcular a taxa de juros equiva-10) Tendo recebido R$ 80.000,00, à taxa lente para o prazo n = 1 mês. Usando ade juros compostos de 7,45%a.a. e 4 a- fórmula:nos de prazo, qual foi o capital aplicado?R. 60.000,00. d i=TAXAS 1 − d. nEquivalência entre taxas de desconto Substituindo-se os dados... 0,1 0,1 1 i= = = ≅ 0,111... ou 11,11% a.m.Nas operações de desconto COMERCIAL, 1 − 0,1 0,9 9haverá sempre uma taxa implícita de ju-ros, também chamada de “taxa efetiva” Resposta: letra c.da operação.Podemos encontrar a relação entre a taxa CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIALde desconto e a taxa efetiva (ou taxa im-plícita de juros) através das fórmulas a- As convenções são utilizadas quando ébaixo: pedido no problema a resolução através de uma das convenções e é dado o tempo i d fracionado, por exemplo: 2 meses e 5 diasd= ou i = (1 + i ⋅ n) (1 − d ⋅ n) ou 258 anos e 2 meses.... LINEAR-> Para resolvermos esse tipo de problema usa-se a fórmula M = C ( 1 + i ) 14
  11. 11. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAt x ( 1 + i t), onde t é a parte inteira e e efetiva é a taxa ajustada ao prazo cor-t é a fração. respondente.Obs: O termo linear refere-se ao fator ( 1+ it) que nada mais é do que uma função Por exemplo:linear ou de 1º grau. Um Banco informa que cobra 5% de juros ao mês. Entretanto, sua operação seráVamos exemplificar: liquidada em 35 dias.Se o tempo dado é 5 anos e 6 meses, a O cálculo que o Banco efetua é demons-taxa de juros é 10% a.a. e o capital é trado a seguir:R$35.600,00 , então:M= 35.600 [1 + (10 ÷ 100)]5 x [ 1 + (10 Taxa nominal = 5,00% a.m.÷ 100) x (6 ÷ 12)]M = 35.600 (1,6105) x (1,05) = Taxa efetivaR$60.200,49.EXPONENCIALA diferença da linear é que se utiliza aseguinte fórmula:M = C ( 1 + i ) t + t Substituindo:{[(((5/100)+1) ^ (35/30))]– 1}*100 = 5,86%Obs: O termo exponencial refere-se aofator (1 + i) t + t que é uma função ex- Note que agora a taxa representa os jurosponencial. cobrados pelo período. Diz-se então que a*Considerando os mesmos dados do pro- taxa é 5,86 % efetiva ou pelo período.blema anterior teremos:M = 35.600 [ 1 + (10 ÷ 100) ] 5 + (6 ÷ Taxas Proporcionais12)M = 35.600 ( 1,6891 ) = R$60.131,96 Taxas Proporcionais são taxas de juros simples, cuja razão possui a mesma cons- TAXAS tante de proporcionalidade que os respec- tivos tempos a que se referem.Nominal e efetiva; proporcionais en- i1 n1tre si; equivalentes entre si em juros =simples e em juros compostos; taxa i2 n2over; utilização de tabelas para cálcu-los. Exemplo: As taxas de 6% ao ano e 3% ao semestre Taxa Nominal e Efetiva são proporcionais, pois: 6% 12 mesesPara que você guarde a diferença entre a = 3% 6 mesestaxa de juros nominal e efetiva ai vai umadica: Taxas EquivalentesSempre que o prazo de capitalização for o Taxas Equivalentes são aquelas que,mesmo que o prazo a que a taxa se refere quando aplicadas ao mesmo capital, du-teremos uma taxa de juros efetiva. rante o mesmo intervalo de tempo, pro- duzirão o mesmo montante.Já se o prazo de capitalização for diferentedo prazo a que a taxa se refere teremos Em juros simples não há distinção entreuma taxa de juros nominal. taxas proporcionais e equivalentes, pois significam a mesma coisa.Taxa nominal é a expressão dos juros nãoconsiderando o prazo pelo qual ele incidirá 15
  12. 12. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAEx.: Aplicando-se, a juros simples, o capi- QUESTÕES DE CONCURSOS (RESOL-tal de R$ 100,00 (ou outro qualquer) a VIDAS)uma taxa de 24% a.a., durante um anoteremos o mesmo montante se o capital 01) BB/1998 (FCC) - Qual a taxa semes-for aplicado à taxa de 2% a.m., durante tral equivalente à taxa de 25% ao ano?12 meses. a) 11,8% b) 11,7% c) 11,6% d) 11,5% e) 11,4%Em juros compostos, a equivalência se dá Solução: Um problema simples de conver-pela fórmula do juro composto: são de taxas efetivas. Basta aplicarmos a fórmula: (1 + i1 ) = (1 + i2 ) (1 + i1)n1 = (1 + i2 )n2 n n"onde: i1 e i 2 ão as taxas a serem relacio- Relacionando “ano” com “semestre”, te-nadas; n’ e n” são os prazos, em unidades mos:compatíveis de tempo. n1 = 2 (pois há dois semestre em um a- no)Taxa Nominal n2 = 1Taxa Nominal é, na verdade, uma taxa de (1 + i1)2 = (1 + 0,25)1juros simples, cuja capitalização ocorreem período diferente do período de refe- Como a incógnita do problema é “i1”, de-rência da taxa. veremos extrair a raiz quadrada do se- gundo membro:Exemplo: taxa de 24% ao ano com capi-talização mensal. 1 + i1 = 125 ,Para convertermos uma taxa nominal em É óbvio que, sem usarmos calculadoraefetiva, utilizamos o critério da proporcio- eletrônica, é necessário termos uma tabe-nalidade. la financeira (que normalmente é forneci- da com provas que envolvem cálculos de Taxa Efetiva juros compostos). Mas, e no caso de não haver tabela naTaxa Efetiva é aquela cujo período de ca- prova? Teremos um pouquinho mais depitalização coincide com o período da pró- trabalho: iremos representar o 1,25 porpria taxa. Normalmente, costuma-se omi- 125tir o período de capitalização em uma taxa sua fração decimal: 100 . A seguir, iremosefetiva. decompor o 125 em fatores primos (en- contramos 53). E 100 = 102. SubstituindoExemplo: taxa de 2% ao mês com capi- na equação:talização mensal, ou, simplesmente, 2% 52 ⋅ 5 5ao mês. 1 + i1 = 2 ⇒ 1 + i1 = . 5 10 10 Taxa Real Nesse ponto, é útil lembrar dos valores aproximados das seguintes raízes:Taxa Real é aquela efetivamente paga emuma operação qualquer, após descontar- 2 = 1,414; 3 = 1,732; 5 = 2,236mos a inflação. Ficamos, então, com: 1 + i ap 1 + i1 = 1 . 5 ⇒ 1 + i1 = 2,236 ⇒ 1 + i1 = 1118 ⇒ i1 = 0,118 , 1 + ir = 2 2 1 + ii Sempre que calculamos a taxa, ela será dada na forma “unitária”. Para obtermos aonde: ir é a taxa real; i ap é a taxa apa- taxa “percentual”, basta multiplicarmos orente e i i é a taxa de inflação. 16
  13. 13. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAresultado encontrado por 100. Desse mo- mais próximas forem as taxas envolvidasdo, a taxa será: no cálculo. Também faz-se necessário quei1 = 11,8% as taxas envolvidas no cálculo não sejam muito grandes. Para taxas elevadas ouResposta: letra a para diferenças muito grandes entre as taxas esse raciocínio não funciona!02) BB/1999 (CESPE-UnB) - O valor deum aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de Resposta: letra a.julho de 1999 e foi reajustado para R$410,00 no dia 1º de agosto de 1999. Con- 03) BB/1998 (FCC) - Um investidor dispu-siderando que a inflação registrada no nha de R$ 300.000,00 para aplicar. Divi-mês de julho foi de 1%, é correto afirmar diu esta aplicação em duas partes. Umaque a taxa real de juros utilizada no rea- parte foi aplicada no banco alfa, à taxa dejuste do valor desse aluguel foi 8% ao mês, e a outra parte no banco Be-a) inferior a 1,5% b) igual a 1,5% ta, à taxa de 6% ao mês, ambas em jurosc) superior a 1,5% e inferior a 2,0%. compostos. O prazo de ambas as aplica-d) igual a 2,0% e) superior a ções foi de 1 mês. Se, após este prazo, os2,0% valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em reais,Solução: em cada banco, foram, respectivamente:Calculamos a variação percentual no valor a) 152.598,13 e 147.401,87do aluguel por meio de uma regra de três b) 151.598,13 e 148.401,87simples: c) 150.598,13 e 149.401,87 d) 149.598,13 e 150.401,87 400  100% e) 148.598,13 e 151.401,87 10  x Solução: Aplicamos a fórmula do Montan- 10 × 100X= = 2,5% . te nas duas aplicações. M = C. (1 + i) n 400Agora devemos "deflacionar” este valor, Como os Montantes das duas aplicaçõesou seja, procuramos aqui a "taxa real": deverão ser iguais: C1. (1 + 0,08) = C2 . (1 + 0,06) 1 1 [equação 1] e 1 + i ap1 + ir = C 1 + C 2 = 300000 [equação 2]. Isolando-se 1 + ii uma das variáveis da equação 1 e substi- tuindo-se na segunda, vem:onde: ir = taxa real; iap = taxa 1,08 × C1 108 × C 1 ,“aparente"; ii = taxa de inflação. C2 = ⇒ C1 + = 300000 ⇒Lembrando de colocar todas as taxas na 1,06 106 ,forma "unitária" antes de substituirmos na 106 × C 1 + 108 × C 1 = 300000 × 106 ⇒ , , ,fórmula acima, obteremos: 2,14 x C1 = 318000 ⇒ C1 = 148.598,13 ⇒ C2 = 300000 - 148598,13 = 151.401,87 1 + 0,025 1,0251 + ir = = = 1,01485 ⇒ 1 + 0,01 1,01 Resposta: letra eir = 1,01485 − 1 ⇒ ir = 1,485% 04) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensalObservação: O candidato não precisava de 2%, num regime de capitalização com-realizar o cálculo acima (é um pouco tra- posta. Após um período de 2 meses, osbalhoso...). Basta saber que, ao “deflacio- juros resultantes dessa aplicação serãonarmos” uma taxa, ela será menor do a) R$ 98,00que a diferença entre elas, ou seja: 2,5% b) R$ 101,00- 1% = 1,5%. Devemos, então, encontrar c) R$ 110,00um valor inferior a 1,5%. d) R$ 114,00A taxa resultante será tanto mais próxima e) R$ 121,00da diferença simples entre elas, quanto 17
  14. 14. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA montante de CR$ 126.023,60 no prazoSolução: de:C = 2.500,00; i = 2% a.m.; n = 2 meses; Observação: Se necessário, utilize a tabe-J = ? (Capitalização Composta) la seguinte:A fórmula do Montante no regime de capi- n 1,26ntalização composta é: M = C. (1 + i) 1 1,26000 n 2 1,58760Entretanto, o problema solicita que se cal- 3 2,00038cule os Juros. Não há uma fórmula especí- 4 2,52047fica para o cálculo direto dos juros em ca- 5 3,17580pitalização composta. Podemos deduzi-la,associando a fórmula acima a: M = C + J. 6 4,00150Mas não há muita utilidade nisto. Calcula- 7 5,04190remos, então, separadamente o valor do 8 6,35279montante com a primeira fórmula, e, pos- 9 8,00451teriormente, o valor dos juros com a a) 2 mesessegunda... b) 2 meses e meioM = 2500 . (1 + 0,02)2 ⇒ M = 2500 . c) 3 meses 1,022 ⇒ M = 2500 . 1,0404 ⇒ M = d) 4 meses 2601. e) 6 mesesM = C + J ⇒ J = M - C ⇒ J = 2601 - 2500 ⇒ J=101 Solução:Resposta: letra b Fórmula para cálculo do Montante a juros compostos: M = C.(1 + i) n . Substituindo-se05) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar- os dados do problema na fórmula (C =dar uma certa quantia para as festas de 50000; M = 126033,60; i = 26% a.m.):fim de ano, uma pessoa depositou R$ LEMBRE-SE de que a TAXA deve estar na2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em forma UNITÁRIA para ser substituída na05/09/97. Se o banco pagou juros com- fórmula!postos à taxa de 10% ao trimestre, em 126023,60 = 50000.(1 + 0,26) n ⇒05/12/97 essa pessoa tinha um total de 126023,60 (126) = 50000 ⇒ (126) = 2,520472 . n na) R$ 5 320,00 , ,b) R$ 5 480,00c) R$ 5 620,00 Agora, buscamos este valor (ou o MAISd) R$ 5 680,00 PRÓXIMO dele possível) na tabela dada.e) R$ 5 720,00 Assim procedendo, encontramos o valor de “n”: n = 4Solução: Resposta: letra d.Dados:C1 = 2000 n1 = 2 trimestres TESTES PROPOSTOS:C2 = 3000 n2 = 1 trimestrei = 10% ao trimestre 01) A aplicação de R$ 5.000 à taxa deUtilizando a fórmula do montante no re- juros compostos de 20% a.m. irá gerar,gime de juros compostos (ver problema após 4 meses, o montante de:anterior), para os dois depósitos, vem: a) R$ 10.358,00M = 2000 . (1,1)2 + 3000 . (1,1)1 ⇒ M = b) R$ 10.368,002000 . 1,21 + 3000 . 1,1 ⇒ M = 2420 + c) R$ 10.378,003300 ⇒ d) R$ 10.388,00M = 5720 e) R$ 10.398,00Resposta: letra e 02) Um investidor aplicou a quantia de R$06) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital de 20.000,00 à taxa de juros compostos deCR$ 50.000,00, aplicado a juros compos- 10% a.m. Que montante este capital irátos, à taxa de 26% ao mês, produzirá um gerar após 3 meses? a) R$ 26.420,00 18
  15. 15. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAb) R$ 26.520,00 Qual o desconto comercial simples àc) R$ 26.620,00 mesma taxa de 10% ao mês?d) R$ 26.720,00 a) CR$ 313,84e) R$ 26.820,00 b) CR$ 285,31 c) CR$ 281,2603) Um capital de US$ 2,000.00, aplicado d) CR$ 259,37à taxa de 5% a.m., em 1 ano produz um e) CR$ 251,81montante de:Dado: (1,05)12 = 1,79586 08) AFTN/1985 (ESAF) - Um capital dea) US$ 3.291,72 Cr$ 100.000 foi depositado por um prazob) US$ 3.391,72 de 4 trimestres à taxa de juros de 10% aoc) US$ 3.491,72 trimestre, com correção monetária trimes-d) US$ 3.591,72 tral igual à inflação. Admitamos que ase) US$ 3.691,72 taxas de inflação trimestrais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25% respec-04) A aplicação de um capital de Cz$ tivamente. A disponibilidade do depositan-10.000,00, no regime de juros compostos, te ao final do terceiro trimestre é de, a-pelo período de três meses, a uma taxa proximadamente:de 10% ao mês, resulta, no final do ter- a) Cr$ 123.065ceiro mês, num montante acumulado: b) Cr$ 153.065a) de Cz$ 3.000,00 c) Cr$ 202.045b) de Cz$ 13.000,00 d) Cr$ 212.045c) inferior a Cz$ 13.000,00 e) Cr$ 222.045d) superior a Cz$ 13.000,00e) menor do que aquele obtido por juros 09) AFCE/1995 (ESAF) - Para que se ob-simples tenha R$ 242,00 ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a.a., capitali-05) Um investidor aplicou a quantia de zados trimestralmente(*), deve-se inves-CR$ 100.000,00 à taxa de juros compos- tir hoje a quantia de:tos de 10% a.m. Que montante este capi- a) R$ 171,43tal irá gerar após 4 meses? b) R$ 172,86a) CR$ 140.410,00 c) R$ 190,00b) CR$ 142.410,00 d) R$ 200,00c) CR$ 144.410,00 e) R$ 220,00d) CR$ 146.410,00 (*) Ver o capítulo sobre taxas, a seguir.e) CR$ 148.410,00 10) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um inves-06) A caderneta de poupança remunera tidor dispunha de R$ 300.000,00 para a-seus aplicadores à taxa nominal de 6% plicar. Dividiu esta aplicação em duas par-a.a., capitalizada mensalmente, no regime tes. Uma parte foi aplicada no banco alfa,de juros compostos. Qual é o valor do juro à taxa de 8% ao mês, e a outra parte noobtido pelo capital de R$ 80.000,00 du- banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambasrante 2 meses? em juros compostos. O prazo de ambas asa) R$ 801,00 aplicações foi de 1 mês. Se, após esteb) R$ 802,00 prazo, os valores resgatados forem iguaisc) R$ 803,00 nos dois bancos, os valores de aplicação,d) R$ 804,00 em reais, em cada banco, foram, respec-e)R$ 805,00 tivamente: a) 152.598,13 e 147.401,8707) AFC/1993 (ESAF) - Um título de valor b) 151.598,13 e 148.401,87inicial CR$ 1.000,00 vencível em um ano c) 150.598,13 e 149.401,87com capitalização mensal a uma taxa de d) 149.598,13 e 150.401,87juros de 10% ao mês, deverá ser resga- e) 148.598,13 e 151.401,87tado um mês antes do seu vencimento. 19
  16. 16. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA11) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um aplica- b) superior a R$ 200.000,00 e inferior ador aplica R$ 10.000,00 em um CDB do R$ 205.000,00.Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e c) superior a R$ 205.000,00 e inferior auma taxa prefixada de 3% ao mês. Consi- R$ 210.000,00.derando o Imposto de Renda de 20% no d) superior a R$ 210.000,00 e inferior aresgate, o valor líquido a ser resgatado R$ 215.000,00.pelo aplicador, em reais, e a taxa de ren- e) superior a R$ 215.000,00.tabilidade efetiva da aplicação são, res-pectivamente: 15) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital dea) 10.300,00 e 2,40% CR$ 50.000,00, aplicado a juros compos-b) 10.240,00 e 2,45% tos, à taxa de 26% ao mês, produzirá umc) 10.240,00 e 2,40% montante de CR$ 126.023,60 no prazod) 10.240,00 e 2,35% de:e) 10.200,00 e 2,35% Observação: Se necessário, utilize a tabe- la seguinte:12) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal n 1,26nde 2%, num regime de capitalização com- 1 1,26000posta. Após um período de 2 meses, os 2 1,58760juros resultantes dessa aplicação serão 3 2,00038a) R$ 98,00 4 2,52047b) R$ 101,00 5 3,17580c) R$ 110,00 6 4,00150d) R$ 114,00 7 5,04190e) R$ 121,00 8 6,35279 9 8,0045113) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar-dar uma certa quantia para as festas defim de ano, uma pessoa depositou R$ a) 2 meses2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em b) 2 meses e meio05/09/97. Se o banco pagou juros com- c) 3 mesespostos à taxa de 10% ao trimestre, em d) 4 meses05/12/97 essa pessoa tinha um total de e) 6 mesesa) R$ 5 320,00b) R$ 5 480,00 16) PMPA/1993 (PMPA) - Urna inflaçãoc) R$ 5 620,00 mensal de 26% acarreta uma inflação a-d) R$ 5 680,00 cumulada no semestre, aproximadamen-e) R$ 5 720,00 te, igual a: Observação: Se necessário, utilize a tabe-14) BB/1999 (CESPE-UnB) - Na tabela la da questão anterior.abaixo, que apresenta três opções de um a) 156%plano de previdência privada com inves- b) 200%timentos mensais iguais por um período c) 250%de 10 anos, a uma mesma taxa de juros, d) 300%capitalizados mensalmente, o valor de x e) 400%será 17) TCDF/1994 (CESPE-UnB) - No Brasil, Valor (em reais) as cadernetas de poupança pagam, além investido men- a receber após da correção monetária, juros compostos à salmente 10 anos taxa nominal de 6% a.a., com capitaliza- 200,00 41.856,00 ção mensal. A taxa efetiva bimestral é, 500,00 104.640,00 então, de: 1.000,00 X a) 1,00025% b) 1,0025%a) inferior a R$ 200.000,00. c) 1,025% 20
  17. 17. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAd) 1,25%e) 12,5% 23) TCDF/1995 (CESPE-UnB) - A renda nacional de um país cresceu 110% em um18) BACEN/1994 (ESAF) - A taxa de 30% ano, em termos nominais. Nesse mesmoao trimestre, com capitalização mensal, período, a taxa de inflação foi de 100%. Ocorresponde a uma taxa efetiva bimestral crescimento da renda real foi então de:de: a) 5%a) 20% b) 10%b) 21% c) 15%c) 22% d) 105%d) 23% e) 110%e) 24% Gabarito19) AFTN/1991 (ESAF) - Uma aplicação érealizada no dia primeiro de um mês, ren- 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8-dendo uma taxa de 1% ao dia útil, com b c d d d b a ccapitalização diária. Considerando que o 9- 10 11 12 13 14 15 16referido mês possui 18 dias úteis, no fim d -e -c -c -e -c -d -ddo mês o montante será o capital inicial 17 18 19 20 21 22 23aplicado mais: -b -b -b -b -d -e -aa) 20,324%b) 19,6147% OVERc) 19,196%d) 18,174% A taxa de “Over Night”, mais comumentee) 18% chamada de taxa de “over”, é a taxa de juros de um dia útil, multiplicada por 3020) TCU/1992 (ESAF) - Um certo tipo de (convenção de mercado, pois um mês temaplicação duplica o valor da aplicação a 23 dias úteis). É uma forma de expressarcada dois meses. Essa aplicação renderá a taxa de juros muito usada no mercado700% de juros em: financeiro, mais especificamente no mer-a) 5 meses e meio cado aberto (open market)b) 6 mesesc) 3 meses e meio Muitos produtos do mercado tem suad) 5 meses rentabilidade ou custo expresso na taxae) 3 meses de OVER (exemplo, CDI, HOT MONEY).21) AFTN/1996 (ESAF) - A taxa de 40% Toda taxa nominal “over’ deve informarao bimestre, com capitalização mensal, é o número de dias úteis que os jurosequivalente a uma taxa trimestral de: serão capitalizados de forma que se possaa) 60,0% apurar a taxa efetiva do período.b) 66,6%c) 68,9% Exemplod) 72,8%e) 84,4% Suponha que a taxa “over” em determi- nado momento esteja definida em 5,4%22) AFTN/1996 (ESAF) - Uma empresa a.m.. No período de referência da taxa,aplica $ 300 à taxa de juros compostos de estão previstos 22 dias úteis.4% ao mês por 10 meses. A taxa quemais se aproxima da taxa proporcional Qual a taxa efetiva do período?mensal dessa operação é:a) 4,60% Soluçãob) 4,40% Como a taxa “over” é geralmentec) 5,00% definida por juros simples (taxa nominal),d) 5,20% a taxa diária atinge:e) 4,80% 21
  18. 18. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 5, 4 % Por ser nominal, e definida men- i= = 0 ,18 % 30 ao dia salmente, a taxa “over” é obtida pelo produto da taxa descapitaliza- da pelo número de dias corridos dotaxa nominal mês. Aplicando-se esses procedimentos na ilus- Sabendo que no período de refe- tração, tem-se:rência dessa taxa existem 22 dias úteis, ataxa efetiva é obtida pela capacitação i = 4,04% ao mêscomposta, ou seja: du = 22 dias úteis 1 i = (1 + 0,0018) 22 – 1 = 4,04% i = (1,0404) 22 − 1 = 0,18% ao dia útila.m. OVER = 0,18% x 30 = 5,4% a.m. Em outras palavras, pode-se con-cluir que 4,04% representam a taxa efeti- A formula de cálculo da taxa “over”, dadava para 22 dias úteis, ou mesmo para os uma taxa efetiva de juros, pode ser de-30 dias corridos do mês. senvolvida da seguinte forma: Em resumo, os procedimentos de  1 apurar a taxa efetiva dada uma taxa no- over = (1 + i ) du − 1 x30  minal de juros “over” são os seguintes: Substituindo os valores ilustrativos acima,Dividir a taxa de “over” geralmente men- chega-se aos 5,4% a.m., ou seja:sal, pelo número de dias corridos no perí-odo para se obter a taxa nominal diária;  1  over = (1,0404 ) 22 − 1 x30Capitalizar a taxa diária pelo número de   = 5,4% a.m.dias úteis previsto na operação. DESCONTO BANCÁRIO SIMPLESA expressão básica de cálculo da taxa efe-tiva é: du Taxa de desconto, cálculo do valor do  over  desconto e cálculo do valor descon-i (efetiva ) = 1 +  −1  30  tado (valor presente); taxa efetiva ou implícita em juros compostos dasendo: “over” a taxa nominal mensal “o- operação de desconto bancáriover”, du o número de dias úteis previsto simples; utilização de tabelas parano prazo da operação. cálculos. Por outro lado, muitas vezes é inte- É a operação de crédito em que sãoressante transformar uma taxa efetiva em negociados títulos mediante o abatimen-taxa de “over”. No exemplo acima, foi de- to, no ato, de um percentual.finida uma taxa nominal “over” de 5,4%a.m. para um período com 22 dias úteis. VALOR NOMINAL é o valor ex-Com isso, calculou-se a taxa efetiva de presso no título.4,04% a.m.. VALOR ATUAL é o Valor Nominal Se fosse dada a taxa efetiva para menos o desconto.se transformar em “over”, o procedimentode cálculo seria o inverso, ou seja: VALOR LÍQUIDO é o valor efeti- vamente pago ao emitente do título. Descapitalizar exponencialmente a taxa efetiva para cada dia útil pre- A fórmula básica do desconto é visto na operação; d = VN . i . n 22
  19. 19. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA VALOR ATUAL = VALOR NOMI- Utilizando os dados do proble-NAL– DESCONTO ma anterior: VA = VN - d 97,60 Substituindo o "d" pela sua 1 - ---------fórmula: 100,00 i = ------------- = 2%a.m. VA = VN - VN.i.n 36/30 Colocando VN em evidência, che- PRAZOga-se à fórmula básica do Valor Atual: VA VA = VN (1 − in ) 1− n= VN iExemplo Utilizando os dados do problema an- Qual o Valor Atual de títulos que terior:perfazem o total de R$ 100,00, desconta-dos à taxa de 2%a.m. e prazo de 30 di- 97,60as? 1 - ------ 100,00 VA = 100,00 (1 - 0,02.1) n = ------------ = 1,2 meses (visto a taxa ser 0,02 mensal) VA = 100,00 (0,98) = 98,00 Se 1 mês tem 30 diasExemplo com prazo fracionário 1,2 meses terá x dias X = 30 x 1,2 / 1 = 36 dias Qual o Valor Atual dos títulos queperfazem o total de R$ 100,00, desconta- Sendo o prazo médio dos títulos de 24dos à taxa de 2%a.m. e prazo de 36 di- dias, o somatório dos seus valores R$as? 1.050,00 e a taxa de 1,4%a.m., qual será VA = 100,00 (1 - 0,02 . 36/30) o Valor Atual? VALOR NOMINAL VA = 1.050 (1 - 0,014 . 24/30) = 1.038,24 VA VN = Por quanto tempo serão descontados títu- (1 − in ) los que perfazem R$ 5.540,00, desconta- dos à taxa de 2,2%a.m., se o Valor Atual for de R$ 5.401,87? Utilizando os dados do exemploanterior: 5.401,86 1 - ------------ 5.540,00 97,60 n = ----------------- = 1,1334099 VN = --------------------- = 100,00 0,022 (1 - 0,02 . 36/30) Se 1 mês tem 30 dias TAXA 1,1334099 terá x dias VA 1,1334099 x 30 = 34 dias 1− i= VN Desconto Simples n 23
  20. 20. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRADesconto Comercial ou “por fora” Fórmula: DC = N ⋅ d ⋅ n Denomina-se Desconto Comercial 6Simples de um título de crédito aos juros DC = 5000 ⋅ ⋅ 2 = 600simples calculados sobre seu valor Nomi- 100nal. DC = 600 Resposta: R$ 600,00 Fórmulas 2) Calcular o valor atual comercial DC = N ⋅ d ⋅ n de um título cujo valor nominal é R$ 1.200,00 à taxa de 15% a.a., descontado 8 meses antes do vencimento. onde: DC é o desconto; N é o va-lor nominal do título, d é a taxa de des- Solução:conto e n é o prazo de antecipação do Dados: N = 1200título n = 8 meses i = 15% a.a. AC = N − DC AC = ? onde: AC é o valor atual comerci- Temos taxa ao ano e prazo emal; N é o valor nominal do título, DC é o meses → iremos converter o prazo paradesconto comercial. “ano”, por meio de uma regra de três simples: Por uma simples manipulação al-gébrica, podemos “reunir” as duas fórmu-las acima: 1 ano  12 meses x  8 meses AC = N ⋅ (1 − d ⋅ n ) 8 2 x= = ano 12 3 LEMBRE-SE das observações feitas no capítulo de juros simples (elas Podemos realizar os cálculos de valem para qualquer problema de duas formas: (1) calculamos o valor do Matemática Financeira): desconto, e, a seguir, o valor atual (sub- 1. Taxa e o prazo devem estar traindo o desconto do valor nominal do SEMPRE na mesma referência título); (2) calculamos o valor atual dire- de tempo tamente pela fórmula (6.2.3). 2. A taxa deve estar na forma U- Utilizaremos o procedimento dado NITÁRIA. em (1): Exemplos: Fórmulas: DC = N ⋅ d ⋅ n e 1) Qual é o desconto comercial (oubancário) sobre um título de R$ 5.000,00, AC = N − DCresgatado 2 meses antes do seu venci- 15 2mento à taxa de 6% a.m.? DC = 1200 ⋅ ⋅ = 120 100 3 Solução: AC = 1200- 120 = 1080 Dados: N = 5000 Resposta: R$ 1.080,00 n = 2 meses i = 6% ao mês 3) Uma promissória foi descontada DC = ? à taxa de 45% a.a., 1 mês e 12 dias antes de seu vencimento. Qual o valor nominal Temos taxa e prazo em meses → desse título se o desconto comercial foi denão é necessário fazer transformações de R$ 105,00.unidades! 24
  21. 21. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA Solução: conto; n é o prazo de antecipação. Te- mos: N = 10000; n = 3 meses; d = 4% Dados: DC = 105 ao mês. n = 1 mês 12 dias 4 i = 45% a.a. DC = 10000 × × 3 = 1200 100 N=? Resposta: letra c. O prazo de antecipação não está TESTES PROPOSTOS: compatível, em unidade de tempo, com a 01) Uma duplicata foi descontada por fo- taxa. Temos aqui: n = (30 + 12) dias, ou ra, 3 meses e 10 dias antes do seu ven- n = 42 dias. Por meio de uma regra de cimento, à taxa de 10% a.m., produzindo três, passaremos esse prazo para “ano”: um desconto de R$ 40,00. O valor nomi- nal da duplicata era (R$): 1 ano  360 dias a) 120 b) 100 c) 90 x  42 dias d) 110 e) 80 42 7 02) Um título com valor de face de R$ x= = ano 360 60 240,00 foi descontado a 4,5% a.m., 6 meses antes de seu vencimento. Qual o Fórmula: DC = N ⋅ d ⋅ n valor do desconto? (R$) a) 63,60 b) 64,80 c) 62,00 d) 65,60 e) 65,00 45 7 3 7105 = N ⋅ ⋅ ⇒ 105 = N ⋅ ⋅ ⇒ 100 60 100 4 03) Uma duplicata foi resgatada em 21 105 ⋅ 400 16/09/99, quando seu vencimento estava105 = N ⋅ ⇒N= ⇒ N = 2000 400 21 marcado para 10/11/99. O desconto foi de R$ 440,00 e a taxa foi de 6% a.m. O valor Resposta: R$ 2.000,00 nominal da duplicata é (R$): a) 2000 b) 2500 c) 3000 QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI- d) 4000 e) 3500 DA)1 04) Um título com vencimento em 01) TFC/2001 (ESAF) - Um título de valor 04/08/01 foi descontado em 12/05/01, a nominal de R$ 10.000,00, a vencer exa- uma taxa de 5% a.m. O valor nominal do tamente dentro de 3 meses, será resgata- título era R$ 3.500,00. Nestas condições, do hoje, por meio de um desconto comer- seu valor atual é (R$): cial simples a uma taxa de 4% ao mês. O a) 2830 b) 2960 c) 3200 desconto obtido é de d) 3000 e) 3010 a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 05) Uma duplicata foi descontada 1 mês e c) R$ 1.200,00 18 dias antes do vencimento, à taxa de d) R$ 2.000,00 4,5% a.m. O valor líquido foi de R$ e) R$ 4.000,00 203,00. Então, o valor de face da duplica- ta era de (R$): Solução: a) 220,00 b) 219,65 c) 199,50 Um problema de aplicação direta da fór- d) 210,00 e) 218,75 mula do Desconto Comercial Simples: DC = N .d .n , onde: 06) Em 25/07/99, descontou-se em um banco uma duplicata de R$ 600,00, cujo DC é o desconto comercial simples; N é o vencimento era para 23/10/99. A taxa da valor nominal do título; d é a taxa de des- operação foi de 48% a.a. Nesta condições, qual foi o valor líquido do título? (R$) 1 a) 480,00 Teste extraído do livro: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - 500 questões de concursos resolvidas e comen- b) 528,00 tadas, de autoria do prof. Milton Araújo. 25
  22. 22. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRAc) 400,00 13) Utilizando o desconto bancário, o va-d) 426,00 lor que deve ser pago por um título come) 540,00 vencimento daqui a 6 meses, se o seu07) Jaime descontou duas duplicatas em valor nominal for de $ 295,00 e com taxaum banco, à uma taxa de 15% a.a. A de 36% ao ano, é de:primeira venceria em 9 meses e a segun- a) 240,00 b) 275,00 c) 188,00da em 5 meses e 10 dias, sendo essa úl- d) 241,90 e) 250,00tima de valor nominal 50% superior àprimeira. O total dos descontos foi de R$ Gabarito382,50. Qual era o valor nominal do títuloque produziu o maior desconto? (R$) 1- 2- 3- 4 5 6 7 8 9 10a) 1.500 b) 2.000 c) 1.200 b b d - - - - - - -cd) 2.400 e) 1.800 e e b e b c 11 12 1308) Um título de R$ 5.000,00 foi descon- -c -a -dtado por R$ 3.000,00, à uma taxa de120% a.m. Qual foi o prazo de antecipa- Desconto Racional ou “por dentro”ção?a) 8 dias O Desconto Racional Simples é calculadob) 10 dias sobre seu valor Atual.c) 12 diasd) 9 dias Fórmulase) 11 dias N ⋅i ⋅n DR =09) Uma promissória de R$ 200,00 foi (1 + i ⋅ n )descontada por R$ 120,00, 4 meses antesdo seu vencimento. A taxa mensal da o- onde: DR é o desconto; N é o valor nomi-peração é: nal do título, i é a taxa de juros e n é oa) 12% b) 15% c) 10% prazo de antecipação do títulod) 18% e) 20% AR = N − DR10) João descontou 2 duplicatas em umbanco. A primeira, de R$ 560,00, com onde: AR é o valor atual racional; N é ovencimento para 35 dias e a segunda, de valor nominal do título, DR é o descontoR$ 450,00, para vencimento em 40 dias. racional.O valor atual da primeira superou o dasegunda em R$ 109,60. A taxa de descon- Por uma simples manipulação algébrica,to foi de: podemos “reunir” as duas fórmulas acima:a) 15% a.a. b) 18% a.a. c) 9% a.a.d) 24% a.a. e) 12% a.a. N AR =11) Um título de valor nominal R$ (1 + i ⋅ n )12.000,00 sofre um desconto à taxa de6% a.a., 120 dias antes do vencimento. LEMBRE-SE das observações feitas noQual o valor do desconto? (R$) capítulo de juros simples):a) 260 b) 300 c) 240 1. Taxa e o prazo devem estar SEM-d) 850 e) 680 PRE na mesma referência de tempo 2. A taxa deve estar na forma UNITÁ-12) Qual o valor atual de uma duplicata RIA.que sofre um desconto por fora de R$500,00, a 50 dias de seu vencimento, à Exemplos:taxa de 3% ao mês? (R$) 1) Qual é o desconto sobre um título dea) 9.500 b) 9.600 c) 10.500 R$ 1.500,00, resgatado 9 meses antes dod) 12.000 e) 10.000 seu vencimento à taxa de juros 6% a.a.? 26
  23. 23. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRASolução: Observe que a taxa dada foi de Taxa Implícita de Juros do DescontoJUROS, o que nos leva a calcular o Des- Bancárioconto RACIONAL.Dados: N = 1500 n = 9 meses Um título é descontado num banco i = 6% a.a. três meses antes de seu vencimento. A DR = ? taxa de desconto definida pelo banco é deTemos taxa ao ano e prazo em meses → 3,3 % ao mês. Sendo de R$ 25.000,00 opor meio de uma regra de três, encon- valor nominal desse título, e sabendo-setramos n = 3/4 ano. que o banco trabalha com o sistema de desconto por fora, pede-se calcular a taxa N ⋅i ⋅n implícita de juros simples desta operação.Fórmula: DR = (1 + i ⋅ n ) O desconto simples, racional ou comercial são aplicados somente aos títulos de cur- 1500 ⋅ 0, 06 ⋅ 0, 75 to prazo, geralmente inferiores a 1 ano.DR = = 64,59 (1 + 0, 06 ⋅ 0, 75 ) Quando os vencimentos têm prazos lon-Resposta: DR = R$ 64,59 gos, não é conveniente transacionar com esses tipos de descontos, porque podem2) Calcular o valor atual racional de uma conduzir a resultados que ferem o bomdívida de R$ 1.500,00 à taxa de 6% a.a., senso. Observe o exemplo:vencível em 9 meses.Solução: ExemploDados: N = 1500 Calcular o desconto comercial de um títu- n = 9 meses (0,75 ano) lo de R$ 100.0000,00 com resgate para i = 6% a.a. 5 anos, à taxa de 36% ao ano.AR = ? SOLUÇÃOTemos taxa ao ano e prazo em meses →iremos converter o prazo para “ano”, por Fórmula: d = N i nmeio de uma regra de três simples: N = R$ 100.000,00 i = 36% a.a. = 0,36 a.a. n= 5 anos d = 100.000 . 0,36 . 5 = 180.000 1 ano  12 meses x  9 meses ANUIDADES (SÉRIE DE PAGA- MENTOS IGUAIS) 9 3 x= = = 0, 75 ano 12 4 Postecipadas, antecipadas e diferidas; cálculo do valor atual, da prestação e N da taxa de juros; utilização de tabelasFórmula: AR = para cálculos. (1 + i ⋅ n ) Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos 1500 tanto a nível de financiamentos quan-AR = ≅ 1435, 41 (1 + 0, 06 ⋅ 0, 75) to de investimentos. Se a renda possui um número finito deResposta: R$ 1.435,41 termos será chamada de temporária caso contrário é chamada de permanente. Ape-Observação: Associa-se o Desconto sar da opinião de alguns mutuários daComercial à taxa de desconto, enquan- Caixa Econômica , o financiamento da ca-to que o Desconto Racional está ligado sa própria é temporária, apesar de ter umà taxa de juros. termo de conclusão bem longo. 27
  24. 24. NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRASe os termos da renda certa forem iguais São aquelas na qual o primeiro pagamen-é chamada de renda certa de termo cons- to é feito após um determinado período.tante ou renda certa uniforme; senão é Exemplo: promoções do tipo, compre hojeuma renda certa de termo variável. Quan- e pague daqui a x diasdo o período entre as datas corresponden-tes aos termos tiverem o mesmo intervalo A diferença entre esses e os casos dede tempo , diz-se que a renda certa é pe- Renda Certa , é que nesse útimo você cal-riódica ; caso contrário é não periódica. cula quanto teve de juros , sobre uma ba- se de cálculo fixa, podendo a mesma serExemplo: dividida em n parcelas; no caso dos Juros Compostos e Descontos Compostos, a ba-Um financiamento de casa própria é um se de cáculo varia por período.caso de renda certa temporária, de termovariável (sujeito à variação da TR) e peri- Calculando Valor Atual em casos deódica. Rendas CertasUm financiamento de eletrodoméstico é Para se calcular o Valor Atual num caso deum caso de renda certa temporária, de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizadatermo constante (você sabe quanto paga- depende de ser postecipada , antecipadará de juros) e periódica. ou diferida. Assim , se for:Já a caderneta de poupança pode se con- Postecipada a fórmula é : V=T.an¬isiderar como um caso de renda certa per-pétua (pelo menos enquanto o dinheiro Antecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬iestiver à disposição para aplicação ), determo variável e periódica. Bico, como Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)mpode ver. E já que é bico, mais algumasdefinições: m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda éAs rendas periódicas podem ser divi- diferida de 3 meses, m será 2 .didas em : Para saber o valor de an¬i , você pode: Postecipadas -usar as tabelas Antecipadas -calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + Diferidas i)n.As Postecipadas Tabelas de FatoresSão aquelas na qual o pagamento no fim As tabelas abaixo relacionadas estão dis-de cada período e não na origem. Exem- poníveis para valores de i de 1 a 10% eplo: pagamento de fatura de cartão de de n de 1 a 10.créditoAs AntecipadasSão aquelas na qual os pagamentos sãofeitos no início de cada período respectivo.Exemplo: financiamentos com pagamentoà vistaAs Diferidas 28

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