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Estatistica regular 2

  1. 1. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 3 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO AULA 02 Olá, amigos! Tudo bem com vocês? E aí, revisaram a aula passada? Espero que sim. Bemcomo espero que tenham resolvido as questões que ficaram pendentes! A propósito, vamos iniciar nossa aula de hoje comentando-as. Vamos a elas. Dever de Casa Identificar a coluna de freqüência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer otrabalho necessário para chegar aos valores da freqüência absoluta simples fi.01. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências Acumuladas (%) 2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100Sol.: Esta Distribuição de Freqüências fornecida pela prova acima apresentou-nosduas colunas: a das classes e uma outra, a qual chamou de freqüências acumuladas,seguido de um sinal de porcentagem. Ora, aprendemos que este sinal de porcentagem é um indicativo de queestamos diante de uma freqüência relativa. Uma vez que foi revelado, expressamente,que se trata de freqüências acumuladas, restaram-nos duas alternativas: Freqüência relativa acumulada crescente (Fac); ou Freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). Para saber se é uma ou outra, basta examinarmos os valores da coluna: elesestão crescendo ou decrescendo? Crescendo! Daí, matamos a charada: a freqüênciafornecida na tabela foi a Fac – Freqüência Relativa Acumulada Crescente. Esse será sempre o primeiro passo: identificar a freqüência trazida pela prova. O segundo passo é fazer o trabalho preliminar, que consiste em migrar dafreqüência apresentada na tabela para a coluna da freqüência absoluta simples fi. Relembrando o desenho das transformações que criamos na aula passada,teremos: www.pontodosconcursos.com.br
  2. 2. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 4 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO De simples para acumulada: somar com a diagonal fac (iguais na primeira classe) fi fad (iguais na última classe) (comparam-se os dois somatórios) Fac (iguais na primeira classe) Fi Fad (iguais na última classe) De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior Nosso trabalho preliminar se fará, neste caso, em dois passos: 1º) Passaremos da Fac para a Fi (freqüência relativa simples); 2º) Passaremos da Fi para a fi. Fazendo isso, teremos: Classes Fac Fi 2.000 – 4.000 5% 5% 4.000 – 6.000 16% 11% 6.000 – 8.000 42% 26% 8.000 – 10.000 77% 35% 10.000 – 12.000 89% 12% 12.000 – 14.000 100% 11% Sabemos que nesta transformação que fizemos acima, as duas freqüências(Fac e Fi) são iguais na primeira classe, e o restante da coluna da Fi se constróisubtraindo: próxima acumulada menos a acumulada anterior. Ficou claro para todos? (Isso aprendemos na aula passada!). Agora vamos aos finalmentes: partindo da Fi construiremos a coluna da fi. Aprendemos que, de simples para simples, teremos apenas que nos concentrarno somatório destas duas colunas! Lembrados? Sabemos que o somatório da colunada freqüência relativa simples (Fi) será sempre igual a 100%. E que o somatório dafreqüência absoluta simples (fi) é sempre igual a n (número de elementos doconjunto). www.pontodosconcursos.com.br
  3. 3. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 5 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO É nesse instante que nos cabe reler o enunciado, para ver o que foi dito acercadeste n. Foi dito alguma coisa no enunciado? Não! A questão não revelou quantoselementos há neste conjunto! O que fazer agora? Neste caso, adotaremos n=100. Essa foi a pergunta de uma colega do Fórum. Embora talvez sem o destaque necessário, essa informação foi apresentada naaula 1. Ok? Para frisar mais adequadamente este fato, ei-lo novamente: Sempre que estivermos trabalhando com as duas colunas freqüências simples,construindo a fi a partir da Fi, precisaremos conhecer o n (número de elementos doconjunto). Caso este n não tenha sido fornecido pelo enunciado, adotaremos apenasque n=100. Certo agora? Daí, facilmente verificamos que os valores da fi (freqüência absoluta simples)serão iguais aos da Fi (freqüência relativa simples), apenas tirando o sinal deporcentagem! Teremos: Classes Fac Fi fi 2.000 – 4.000 5% 5% 5 4.000 – 6.000 16% 11% 11 6.000 – 8.000 42% 26% 26 8.000 – 10.000 77% 35% 35 10.000 – 12.000 89% 12% 12 12.000 – 14.000 100% 11% 11 100% n=100 É isso! Está feito. Próxima questão.02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100Sol.: Este enunciado apresentou-nos, além da coluna das classes, uma outra que foidita freqüência acumulada. Pergunta: houve algum sinal indicativo de freqüência relativa? O enunciadofalou expressamente que é relativa? Não! Existe sinal de porcentagem no cabeçalhoda coluna? Não! Existe sinal de porcentagem ao longo dos valores da coluna? Não! Conclusão inicial: não se trata de uma freqüência relativa, mas absoluta! www.pontodosconcursos.com.br
  4. 4. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 6 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Foi dito expressamente que é uma freqüência acumulada. Assim, sabendo queé absoluta e que é acumulada, restam-nos duas alternativas: ou será freqüência absoluta acumulada crescente (fac); ou freqüência absoluta acumulada decrescente (fad). Para saber qual das duas, basta vermos os valores da coluna, se estãoaumentando ou diminuindo. E aí? Estão aumentando! Conclusão final: estamos diante de uma coluna de freqüência absolutaacumulada crescente (fac). Uma perguntinha: de antemão, apenas olhando para os valores desta nossafac, já é possível afirmar quem é o n (número de elementos do conjunto)? O que você responde? SIM. Pois a fac termina sempre com o n. Daí, já sabemos que n=100 elementos. Ok? Pois bem! Precisaremos agora realizar o trabalho preliminar, no sentido detransformarmos a fac na fi (freqüência absoluta simples). Fazendo isso, teremos: Classe fac fi 129,5-139,5 4 4 139,5-149,5 12 8 149,5-159,5 26 14 159,5-169,5 46 20 169,5-179,5 72 26 179,5-189,5 90 18 189,5-199,5 100 10 Qual o indicativo de que acertamos nos valores da fi? Ora, somando os seusvalores, o resultado da soma terá que ser igual a n. E n, conforme vimos acima, éigual a 100. Vamos conferir? Classe fac fi 129,5-139,5 4 4 139,5-149,5 12 8 149,5-159,5 26 14 159,5-169,5 46 20 169,5-179,5 72 26 179,5-189,5 90 18 189,5-199,5 100 10 n=100 Está feito! Próxima!03. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize oenunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como uminteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 www.pontodosconcursos.com.br
  5. 5. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 7 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10Sol.: Nossa análise começará sempre no sentido de sabermos se a coluna fornecidana tabela da prova é de freqüências absolutas ou relativas. Certo? No caso acima, não está presente nenhum sinal indicativo de freqüênciasrelativas. Daí, concluímos que se trata de uma freqüência absoluta! Ora, diante disso, temos ainda três possibilidades: ou será freqüência absoluta simples (fi); ou freqüência absoluta acumulada crescente (fac); ou freqüência absoluta acumulada decrescente (fad). Foi dito em algum lugar do enunciado que esta coluna é de freqüênciasacumuladas? Não! Logo, por via de exceção, estamos diante de uma freqüênciaabsoluta simples (fi). Assim sendo, não há qualquer trabalho preliminar exigido para esta tabela. Jápoderíamos começar a resolver a prova! Ok? Curiosamente, esta coluna de freqüência absoluta simples fornecida nestaDistribuição de Freqüências é exatamente a mesma a qual chegamos no exemploanterior. Perceberam? Uma mera coincidência! Pois bem. Está feito! O quarto exercício que eu havia deixado para casa, por displicência minha (peçodesculpas!) foi o repeteco da questão 2. Não tem problema. Creio que frisei convenientemente a importância disso tudoo que aprendemos na aula passada! Saber reconhecer a necessidade de realizar otrabalho preliminar – e saber fazê-lo – é algo que se tornou a alma da prova! Bem. O fato é que já conhecemos a alma da prova, mas ainda não sabemosresolver nenhuma questão dela sequer...! Não seja por isso. Vamos aprender agora! Suponhamos que estamos diante de uma Distribuição de Freqüências, querepresenta os pesos de um grupo de crianças. Ok? Teremos: Classes fi (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 n=20 É o mesmo exemplo que usamos na aula anterior. Se eu lhes perguntar quantas crianças deste conjunto apresentam peso abaixode vinte quilos, o que você me responderia? Ora, você iria analisar a tabela, econcluiria que as duas primeiras classes participam desta resposta. Concordam? www.pontodosconcursos.com.br
  6. 6. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 8 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO A primeira classe contempla crianças com peso de zero a dez quilos. (Abaixo,portanto, de vinte quilos). A segunda classe contempla crianças com peso de dez avinte quilos (vinte exclusive!). São pesos abaixo de vinte quilos. Certo? Da terceira classe em diante, os pesos contemplados já superam aquele valor(20kg). Assim, ficou fácil verificar que são nove as crianças do conjunto com pesoinferior a vinte quilos! (Três crianças na primeira classe, e seis na segunda). Até aqui tudo bem? Essa não será a pergunta da prova! Vou propor outra questão: quantas crianças neste conjunto apresentam pesoacima de vinte quilos? Ora, uma rápida olhada na tabela já nos fará concluir queparticiparão desta resposta os elementos contidos na terceira e na quarta classe! Todos viram isso? Daí, responderemos que há onze crianças com peso superiora vinte quilos: sete na terceira classe, e quatro na última. Esta também não será a pergunta da prova! Professor, deixe de suspense e diga logo como virá na prova! Na prova viráassim: Quantos elementos (crianças) desse conjunto apresentam peso abaixode doze quilos? Vamos ver mais de perto nossa Distribuição de Freqüências: Classes fi (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 n=20 Esta é uma pergunta típica de prova! Para respondê-la, faremos a seguinteanálise: Abaixo de doze quilos: a primeira classe participa da resposta? O que vocêdiz? Sim! Mas participa de forma integral ou apenas parcialmente? Vemos que a primeira classe participa integralmente do resultado!Concordam? Claro! Se ela contempla pesos que vão de zero a dez quilos, significa queseus elementos todos apresentam pesos abaixo de doze quilos. Certo? Adiante. Abaixo de doze quilos: a segunda classe participa da resposta? Olhe, analisee responda! Diremos que sim, que a segunda classe participa da resposta!Parcialmente ou integralmente? Parcialmente, uma vez que esta classe contemplapesos que vão de 10 a 20 quilos. Daí, abaixo de 12 quilos, teremos apenas uma partedesta classe! Até aqui, tudo bem? Pois bem! Descoberta qual é a classe que entra apenas parcialmente noresultado, trabalharemos com ela para descobrir justamente qual é esta participação! Façamos um desenho desta classe. Teremos: 10 !-------- 20 www.pontodosconcursos.com.br
  7. 7. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 9 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO O que faremos agora é uma regra de três: amplitude da classe (h) está parafreqüência absoluta simples (fi). Teremos: 10 !-------- 20 h ---------- fi Na primeira linha da regra de três, trabalharemos com a classe inteira! Qual é aamplitude (h) desta classe inteira? É h=10. Concordam? E nesta classe inteira, háquantos elementos? Temos que fi=6. Daí, já dispomos dos valores da primeira linha. Teremos: 10 !-------- 20 h ---------- fi 10 -------- 6 Já na segunda linha da regra de três, trabalharemos com a classe quebrada! Oque é a classe quebrada? É só o pedaço da classe que nos interessa! E qual é a parteque nos interessa nesta classe? Apenas os pesos abaixo de 12 quilos. Assim, teremos: 10 !--12---- 20 Qual é a amplitude desta classe quebrada? Ora, de 10 até 12, teremosamplitude igual a 2. E neste pedaço menor (que nos interessa), quantos elementoshá? Não sabemos! Vamos chamar de x. Assim, nossa regra de três completa será a seguinte: h ---------- fi 10 -------- 6 2 --------- x Agora basta multiplicarmos cruzando, para descobrirmos o valor do x. Este seráexatamente a participação da segunda classe no resultado. Teremos: 10x=12 x=12/10 x=1,2 Ou seja, nesta segunda classe, o número de crianças com peso abaixo de dozequilos é apenas de 1,2. Resta-nos ainda compor o resultado. Teremos: Classes fi (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 entra integralmente no resultado: 3 elementos 10 !--- 20 6 entra parcialmente no resultado: 1,2 elementos 20 !--- 30 7 Total: 4,2 elementos 30 !--- 40 4 n=20 www.pontodosconcursos.com.br
  8. 8. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 10 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Chegamos à resposta: estima-se que 4,2 crianças desse conjunto apresentampeso abaixo de doze quilos! Duas observações a se fazer. Primeiro: este cálculo que fizemos acima é umamera estimativa! Claro! Quem pode garantir que as seis crianças que participam dasegunda classe não pesam, todas elas, 18 quilos, por exemplo? Ninguém podegarantir nada! Assim, estaremos trabalhando com valores estimados! Ok? A segunda observação surge de uma pergunta que sempre alguém faz em salade aula. (Geralmente, é pergunta de alguma garota, que se vê muito penalizada coma situação!). Professor, pode partir a criança no meio? Claro! Não só ao meio, comoem vários pedacinhos pequenos! E ninguém vai chamar você de Herodes por isso! Sãoapenas cálculos estatísticos! Ok? O que eu ainda não disse a vocês é o título que se dá a este assunto! A rigor,esta questão de prova iria lhes perguntar da seguinte maneira: Calcule a estimativado número de elementos (crianças) desse conjunto que apresentam pesoabaixo de doze quilos, usando a interpolação linear da ogiva! É isso mesmo! Ora, fazer a interpolação linear da ogiva é, nada mais, quefazer a regra de três que aprendemos acima! O nome do assunto é muito mais difícil que a própria resolução da questão! Mas, professor, o que é esse negócio de ogiva? A ogiva é um tipo de gráficoestatístico. Na hora certa e no momento oportuno eu a apresentarei a vocês. Ok? Porhora, não precisamos deste conceito. Ficou demonstrado que você pode (e vai!)acertar essa questão, mesmo sem conhecer a tal da ogiva. Passemos a outro exemplo, trabalhando com a mesma tabela que acabamos deusar. Ok? Vamos lá.Exemplo: Considerando a Distribuição de Freqüências abaixo, determine quala estimativa da porcentagem de elementos (crianças) do conjunto queapresentam peso acima de 28 quilos, usando a interpolação linear da ogiva? Eis novamente a nossa Distribuição de Freqüências: Classes fi (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 n=20 Vocês perceberam que está em destaque no enunciado a palavra porcentagem.A questão não quer saber um número de elementos, e sim um valor percentual!Assim, teremos que trabalhar com a coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi). Já sabemos como construir a Fi, partindo da freqüência absoluta simples (fi).Basta compararmos os dois somatórios. Teremos: Classes fi Fi (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 15% 10 !--- 20 6 30% www.pontodosconcursos.com.br
  9. 9. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 11 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 20 !--- 30 7 35% 30 !--- 40 4 20% n=20 100% x5 Pois bem! Esse trabalho já era nosso conhecido. Agora vamos analisar aquiloque a questão quer saber: pesos acima de 28 quilos. Acima de 28 quilos: a primeira classe participa da resposta? Não! Nemintegralmente, nem parcialmente; Acima de 28 quilos: a segunda classe participa da resposta? Também não!Nem integralmente, nem parcialmente; Acima de 28 quilos: a terceira classe participa da resposta? Sim! Só que deuma forma parcial. Concordam? Já que essa classe contempla pesos que vão de 20 a30 quilos, teremos que só uma parte dela estará acima de 28 quilos. Acima de 28 quilos: a quarta classe participa da resposta? Sim,integralmente, com 20% das crianças! Daí, o que nos resta fazer é trabalhar com a classe que entra só parcialmenteno resultado (a terceira classe), a fim de descobrirmos qual é esta participação! Novamente, faremos uma regra de três. A única diferença deste exemplo parao anterior, é que aqui estamos interessados em um valor percentual. Destarte, emvez de usar a freqüência absoluta simples (fi) na regra de três, usaremos aFreqüência Relativa Simples (Fi). Somente isso! Teremos: 20 !-------- 30 h ---------- Fi A primeira linha da regra de três será formada levando-se em consideração aclasse inteira! Teremos, na classe inteira, uma amplitude de h=10 e 35% doselementos do conjunto. Daí: 20 !-------- 30 h ---------- Fi 10 -------- 35% A segunda linha da regra de três levará em conta apenas a classe quebrada, ouseja, aquele pedaço da classe que nos interessa! E o que nos interessa aqui?Elementos com peso acima de 28 quilos. Teremos: 20 !----28--30 Nesta classe quebrada, a amplitude é 2 e o percentual de elementos nestaamplitude é desconhecido, de sorte que o chamaremos de x. Assim, nossa regra de três completa será a seguinte: h ---------- Fi www.pontodosconcursos.com.br
  10. 10. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 12 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 10 -------- 35% 2 --------- x% Multiplicando em cruz, teremos que: X=(70/10) X=7% Este X é a própria participação (em termos percentuais) da terceira classe noresultado que procuramos! Compondo o resultado inteiro, teremos: Classes fi Fi(pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 15% 10 !--- 20 6 30% 20 !--- 30 7 35% entra parcialmente no resultado: 7% dos elementos 30 !--- 40 4 20% entra integralmente no resultado: 20% dos elementos n=20 100% Total: 27% dos elementos Chegamos à resposta: estima-se que 27% das crianças desse conjuntoapresentam peso acima de vinte e oito quilos. Ficou claro? Passemos a mais um exemplo!Exemplo: Considerando a Distribuição de Freqüências abaixo, determine qualo valor da variável X (qual o peso) que não é superado por cerca de 70% dasobservações? Mais uma vez aqui está a Distribuição de Freqüências: Classes fi (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 10 !--- 20 6 20 !--- 30 7 30 !--- 40 4 n=20 Este tipo de enunciado é diferente dos que vimos até aqui! Nos anteriores, a questão fornecia um limite qualquer dentro de uma dasclasses, e perguntava ou pelo número de elementos ou pelo percentual de elementosque havia acima ou abaixo daquele limite. Agora o raciocínio é inverso: a questão fornece um valor percentual qualquer, equer saber, em outras palavras, qual é o valor dentro das classes que correspondeàquele percentual. Precisamos agora aprender a fazer a tradução da pergunta desta questão. Éfácil: sempre que o enunciado perguntar Qual é o valor da variável X que não ésuperado por tanto por cento...?, nós traduziremos esta pergunta da seguinte forma: www.pontodosconcursos.com.br
  11. 11. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 13 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHOQual é o valor, inserido numa das classes, que corresponde a um acumulado de tantopor cento? Entendido? Vamos devagarzinho, para que todos entendam. Nossa questão pergunta: qual o valor do peso não superado por 70% dasobservações? Nossa tradução é esta: qual o valor, inserido numa das classes, quecorresponde a um acúmulo de 70%? Uma vez compreendido como se faz a tradução, vamos construir agora emnossa tabela as colunas da Fi e da Fac. Teremos: Classes fi Fi Fac (pesos, em Kg) 0 !--- 10 3 15% 15% 10 !--- 20 6 30% 45% 20 !--- 30 7 35% 80% 30 !--- 40 4 20% 100% n=20 100% Vamos pensar! Começando pela primeira classe, se avançarmos até o seu limite superior (10),já teremos acumulado quantos por cento dos elementos do conjunto? Ora, teremosacumulado até aí 15% dos elementos. Confere? Daí, se a questão estivesse perguntando: qual o valor dentro das classes quenão é superado por 15% das observações?, nossa resposta seria: 10. Mas não é esta a pergunta da questão! Adiante! Se avançarmos agora toda a segunda classe, chegando até seu limite superior(20), já teremos acumulado quantos por cento dos elementos? Ora, esta segundaclasse sozinha possui 30% dos elementos. Confere? Daí, atingindo seu limite superior,já passamos a acumular 45% dos elementos do conjunto! Daí, se a questão estivesse perguntando: qual o valor dentro das classes quenão é superado por 45% das observações?, nossa resposta seria: 20. Mas esta também não foi a pergunta da questão! Adiante! Avançando agora toda a terceira classe, até chegarmos ao seu limite superior(30), já teremos acumulado que percentual dos elementos do conjunto? 80%.Confere? Ora, mas eu não quero acumular 80%. Quero acumular apenas 70%. Daí, você conclui: o peso que corresponde a um acúmulo de 70% doselementos do conjunto é um valor inserido na terceira classe! Claro! Analisemos os limites desta classe: Limite inferior: 20 corresponde a um acumulado de 45% dos elementos; Limite superior: 30 corresponde a um acúmulo de 80% dos elementos. Logo, correspondendo a um acumulado de 70% (que é o que a questão estápedindo), haverá um valor qualquer inserido nesta classe! Ufa...! Todos entenderam por que a resposta que procuramos mora na terceiraclasse? Pois bem! Sabendo disso, tomaremos a classe descoberta e faremos umaregra de três simples. A seguinte: 20 !-------- 30 www.pontodosconcursos.com.br
  12. 12. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 14 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO h ---------- Fi A primeira linha desta regra de três já é nossa conhecida. Será preenchidaconsiderando-se a classe inteira. Teremos: 20 !-------- 30 h ---------- Fi 10 -------- 35% A segunda linha é que será novidade. Teremos agora que fazer a linha doavanço! Como é isso? Ora, já havíamos acumulado, até chegarmos ao limite inferiordesta classe (20), um total de 45% dos elementos do conjunto. Certo? Assim, de 45%, teremos que avançar mais quantos por cento até atingirmosum acúmulo de 70%? Ora, de 45% para 70%, teremos que avançar mais 25%,dentro daquela classe! Daí, um avanço de 25% na terceira classe corresponderá Ea um avanço de x. A regra de três completa será, pois, a seguinte: h ---------- Fi 10 -------- 35% x --------- 25% Multiplicando em cruz, teremos que: X=(250/35) X=7,14 Esse x que obtivemos é o valor que terá que ser somado ao limite inferior daterceira classe! É o valor do avanço! Assim, teremos que: Linf + 7,14 = 20 + 7,14 = 27,14 Eis a nossa resposta! Esse peso – 27,14 quilos – corresponde a um acúmulo de70% dos elementos do conjunto! É o peso não superado por 70% dos elementos! É isso! Por meio do entendimento dos três exemplos comentados acima, você jáestá apto a resolver qualquer questão que trate deste assunto – a interpolação linearda ogiva. São todos enunciados repetitivos! Recaem todos eles nestes três modelos queapresentamos nos exercícios anteriores. Ok? Então, convém que você revise com carinho esta aula de hoje e, em seguida,que você tente resolver as questões que deixarei propostas para esta semana! Ok? www.pontodosconcursos.com.br
  13. 13. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 15 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO Na seqüência, apresento-lhes o nosso Dever de Casa. Um forte abraço a todos, bons estudos e até semana que vem! Dever de Casa03. (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa Classes de Salário Freqüências Acumuladas (3 ; 6] 12 (6 ; 9] 30 (9 ; 12] 50 (12 ; 15] 60 (15 ; 18] 65 (18 ; 21] 68Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir deuma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizandointerpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuaisiguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção quecorresponde a este número.a) 150 b) 120 c) 130 d) 160 e) 18004. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa deobservações de X menores ou iguais a 145. a) 62,5% d) 45,0% b) 70,0% e) 53,4% c) 50,0%05. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Classes Freqüência www.pontodosconcursos.com.br
  14. 14. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 16 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO (f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos napopulação com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que50,5. a) 700 d) 995 b) 638 e) 900 c) 82606. (AFRF 2003) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes Freqüências Acumuladas (%) 2.000 – 4.000 5 4.000 – 6.000 16 6.000 – 8.000 42 8.000 – 10.000 77 10.000 – 12.000 89 12.000 – 14.000 100Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuiçãoamostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações.a) 10.000 d) 11.000b) 12.000 e) 10.500c) 12.50007. (IRB-Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-139,5 4 139,5-149,5 12 149,5-159,5 26 159,5-169,5 46 169,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, donúmero de observações menores ou iguais ao Valor 164.a) 46 b) 26 c) 72 d) 35 e) 2008. (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) – em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. Classes F 29,5 - 39,5 2 39,5 - 49,5 6 www.pontodosconcursos.com.br
  15. 15. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 17 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 49,5 - 59,5 13 59,5 - 69,5 23 69,5 - 79,5 36 79,5 - 89,5 45 89,5 - 99,5 50Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva,que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. a) 82,0 b) 80,0 c) 83,9 d) 74,5 e) 84,509. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. Classes de Salário Freqüências (5.000-6.500) 12 (6.500-8.000) 28 (8.000-9.500) 52 (9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500) 100Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional quenão é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essaestimativa. a) R$ 10.000,00 d) R$ 11.000,00 b) R$ 9.500,00 e) R$ 11.500,00 c) R$ 12.500,0010. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classes P 4 – 8 20 8 – 12 60 12 – 16 80 16 – 20 98 20 – 24 100Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa deobservações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos.a) 65% d) 60%b) 50% e) 70%c) 80%11. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 2003/ ESAF) O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%. Classes R$ Freqüências 350 – 380 3 380 – 410 8 www.pontodosconcursos.com.br
  16. 16. CURSOS ON-LINE - ESTATÍSTICA BÁSICA – CURSO REGULAR 18 PROFESSOR SÉRGIO CARVALHO 410 – 440 10 440 – 470 13 470 – 500 33 500 – 530 40 530 – 560 35 560 – 590 30 590 – 620 16 620 – 650 12a) 530 b) 560 c) 590 d) 578 e) 575 www.pontodosconcursos.com.br

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