Estatistica regular 12

CURSO ONLINE REGULAR ESTATÍSTICA BÁSICA – PROF. SÉRGIO CARVALHO

AULA 12 – MOMENTOS ESTATÍSTICOS, ASSIMETRIA E CURTOSE
Olá, amigos!
Tudo bem com vocês?
Antes de mais nada, quero desejar a todos vocês um ano novo realmente muito feliz!
Que 2007 venha cheio de renovação das nossas forças e nossas energias, e de muita saúde,
sobretudo, para que tenhamos coragem de enfrentar todos os desafios da vida, e superar todas
as dificuldades, com a ajuda de Deus!
Aliás, 2007 está prometendo ser um ano de muitos e bons concursos públicos! Muitas
vagas serão preenchidas no serviço público, e uma delas, certamente, será sua! Já pensou, que
maravilha! A fila da aprovação vai andar a passos largos no ano que está nascendo, e sua vez
de passar se aproxima a cada dia! Eu não tenho nenhuma dúvida disso!
Pois bem. Voltemos à Estatística. Fazendo a revisão das questões propostas para o
nosso Curso, tomei um susto, pois vi que houve um salto nos enunciados dos assuntos:
Momentos Estatísticos, Assimetria e Curtose.
Mas não tem problema: veremos agora!
Na verdade, estes três assuntos foram retirados do programa do AFRF no último edital,
o de dezembro de 2005. Mas, como sempre foram objeto da prova do Fiscal da Receita (em
1996, 1998, 2001, 2002-1, 2002-2 e 2003), é inteiramente possível que retornem ao próximo
concurso! Nada impede!
Assim, parece-me muito conveniente que aprendamos logo! Não é verdade? Sobretudo
em se tratando de assuntos de compreensão tão fácil.
Vamos lá, então!

# Momentos Estatísticos:
Quem tenta estudar esse assunto por livros acadêmicos, em geral, faz uma salada na
cabeça. A primeira confusão é que o leitor acaba por não entender o que significa esse tal de
momento. Ou seja, não entende para que ele serve ou a que se aplica.
Então, para tentar dirimir qualquer espécie de atrapalho, simplifiquemos: o momento
estatístico é apenas uma fórmula, a qual será utilizada, eventualmente, no estudo de dois outros
assuntos: Assimetria e Curtose!
Ora, quando formos estudar, ainda hoje, a Assimetria e a Curtose, você irá compreender
perfeitamente o que ambos significam.
E o momento? O momento é, repito, meramente uma fórmula, que se fará necessária aos
cálculos de assimetria e curtose.
Resumindo: o momento é um assunto meio, para chegamos aos dois assuntos fim:
assimetria e curtose. Ok?
Só isso! Você não vai pegar no Momento. Não vai senti-lo. Vai simplesmente aplicá-lo.
Ok?
Assim, a respeito deste tema – Momentos Estatísticos – só precisaremos conhecer a
fórmula, e mais adiante veremos quando ela será aplicada. Mais nada!
A rigor, existem três tipos de momentos estatísticos. Porém, para efeito de resolução de
uma questão de prova, só iremos aplicar um deles.
É o seguinte.

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# Momento Centrado na Média Aritmética:

É este o tipo de Momento que precisamos conhecer, e bem. Será exatamente ele que
encontraremos nas nossas fórmulas de Assimetria e Curtose. Vejamos como se calcula este
Momento para rol, dados tabulados e distribuição de freqüências. Teremos:

Para o rol:

Usaremos o seguinte:

∑ (Xi − X )
r

mr =
n

Se durante nossa prova precisarmos determinar o Momento de Ordem 2 Centrado na
Média, para um determinado conjunto, como ficaria nossa fórmula? Da seguinte forma:

∑ (Xi − X )
2

m2 =
n

Agora olhemos bem para a fórmula acima. É semelhante a uma medida que já
conhecemos, que é justamente a Variância. Daqui, extraímos mais esta conclusão: O Momento
de Segunda Ordem Centrado na Média Aritmética de um conjunto é o mesmo que a sua
Variância.

Em praticamente todas as questões de prova de estatística, quando eventualmente
precisarmos trabalhar com o cálculo do Momento, o faremos quando o conjunto vier
apresentado sob a forma de uma Distribuição de Freqüências. Então, vamos ganhar tempo e
apresentar as outras fórmulas, deixando os exemplos para o caso da Distribuição de
Freqüências.

Para Dados Tabulados:

Teremos que:

∑ (Xi − X ) . fi
r

mr =
n

Creio que todos já tenham percebido: da fórmula do momento para um rol para a
fórmula dos dados tabulados, seguimos aquela nossa velha conhecida transição! A mesma
transição que usamos para memorizar cálculos da média, do desvio absoluto, do desvio padrão,
da variância etc.
A mesma transição, obviamente, vai-se verificar também na transição da fórmula dos
dados tabulados para a da distribuição de freqüências. Teremos:

Para Distribuição de Freqüências:

∑ (PM − X ) . fi
r

mr =
n

Observação: Notemos que as fórmulas dos Momentos não sofrem a Correção de Bessel.
Recordando um pouco, a correção de Bessel nada mais é do que o “menos 1”, colocado no
denominador das fórmulas do Desvio-Padrão e da Variância, quando o conjunto trazido pela
questão representar uma amostra. Portanto, não esqueçamos disso: Correção de Bessel é
somente para Desvio Padrão (S) e para Variância (S2).


Exemplo: Consideremos o conjunto abaixo.

Xi fi
0 -- 4 1
4 -- 8 2
8 --12 2
12 -- 16 1

Determinemos o valor do Terceiro Momento Centrado na Média para o conjunto acima.

Sol.: Para o que a questão solicitou, nossa fórmula será a seguinte:

∑ (PM − X ) . fi
3

m3 =
n

Ora, como o Momento será centrado na Média, o primeiro passo será, necessariamente,
calcular o X.

A pergunta: para essa distribuição de freqüências apresentada, precisaremos fazer contas
para determinar o valor da Média? Percebamos que se trata de uma distribuição simétrica.

Daí, sem maiores dificuldades, encontramos que: X = 8 .

Como próximo passo, construiremos a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos,
portanto:
Xi Fi PM
0–4 1 2
4 -- 8 2 6
8 --12 2 10
12 -- 16 1 14

Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X ). Teremos:

Xi fi PM (PM- X )
0 -- 4 1 2 -6
4 -- 8 2 6 -2
8 --12 2 10 2
12 -- 1 14 6
16

Prosseguindo, encontraremos a coluna [(PM- X )3]. Ficaremos com:

Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )3
0 -- 4 1 2 -6 -216
4 -- 8 2 6 -2 -8
8 --12 2 10 2 8
12 -- 16 1 14 6 216

Observemos que não é preciso “decorar” esta seqüência de passos. Basta olharmos para
a fórmula – que será nossa guia – e veremos o que já dispomos e o que precisamos encontrar.
Daí, saberemos imediatamente qual será nosso passo seguinte.

O que nos falta agora é acharmos a coluna do [(PM- X )3.fi] e determinarmos seu
somatório. Teremos, portanto:



Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )3 (PM- X )3.fi
0 -- 4 1 2 -6 -216 -216
4 -- 8 2 6 -2 -8 -16
8 --12 2 10 2 8 16
12 -- 16 1 14 6 216 216
n=6 0

Finalmente, aplicando a fórmula do Terceiro Momento, teremos:

∑ (PM − X ) . fi
3
0
m3 = m3 = =0 Resposta!
n 6

Exemplo: Para o mesmo conjunto abaixo, determinemos o valor do Momento Centrado na
Média de Ordem 4. Eis o conjunto:

Xi fi
0 -- 4 1
4 -- 8 2
8 --12 2
12 -- 16 1

Nossa fórmula adaptada seria a seguinte:

∑ (PM − X ) . fi
4

m4 =
n

Uma vez que se trata do mesmo conjunto do exemplo anterior, saltaremos aqui os
passos iniciais e apresentaremos já a coluna do (PM- X ). Teremos:

Xi fi PM (PM- X )
0 -- 4 1 2 -6
4 -- 8 2 6 -2
8 --12 2 10 2
12 -- 16 1 14 6

Na seqüência, encontraremos a coluna (PM- X )4:

Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )4
0-4 1 2 -6 1296
4–8 2 6 -2 16
8 – 12 2 10 2 16
12 – 16 1 14 6 1296

E agora a coluna (PM- X )4.fi:

Xi fi PM (PM- X ) (PM- X )4 (PM- X )4.fi
0-4 1 2 -6 1296 1296
4–8 2 6 -2 16 32
8 – 12 2 10 2 16 32
12 – 16 1 14 6 1296 1296
n=6 2656

Daí, aplicando a fórmula, teremos o seguinte:



∑ (PM − X ) . fi
4
2656
m4 = m4 = = 442,67 Resposta!
n 6

Fizemos questão de apresentar dois exemplos, com m3 e m4 (terceiro e quarto
Momentos), porque serão precisamente estes os que serão exigidos em cálculos de Assimetria e
Curtose, como veremos oportunamente.

Daí, conclusões finais:
- Usaremos esta teoria dos Momentos como suporte para chegarmos aos valores de
Assimetria e Curtose;
- O momento centrado na Média de segunda ordem é o mesmo que a Variância;
- Daremos ênfase ao m3 e m4 para efeito de utilização das fórmulas (que
aprenderemos adiante) de Assimetria e de Curtose.

# Resumo das Fórmulas de Momento:

Momento Centrado na Média Aritmética:

∑ (Xi − X ) ∑ (Xi − X ) . fi ∑ (PM − X ) . fi
r r r

mr = ; mr = ou mr =
n n n

# Medidas de Assimetria:

Avançaremos agora na matéria e aprenderemos a calcular os índices de Assimetria de um
conjunto. Este assunto, conforme dito já hoje, não constou mais no programa do último
concurso do AFRF. Mas, já que estamos aqui mesmo, melhor é aprender de vez!
A respeito deste assunto, já tivemos uma noção inicial, uma vez que aprendemos
anteriormente que há uma relação estreita entre o comportamento da curva no tocante à sua
assimetria, e entre as Medidas de Tendência Central.
Naquela ocasião, vimos que existem três situações distintas sob as quais um conjunto
pode apresentar-se, em termos de assimetria. E ainda, qual seria o comportamento da Média,
Moda e Mediana para cada uma daquelas situações.
Recordando um pouco:

Distribuição Assimétrica à Direita (ou de Assimetria Positiva):

Moda < Mediana < Média



Distribuição Assimétrica à Esquerda (ou de Assimetria Negativa):

Média < Mediana < Moda

Distribuição Simétrica:

Média=Mediana=Moda

Somente este conhecimento já seria suficiente para acertarmos uma questão que
perguntasse apenas se o conjunto é simétrico, ou assimétrico à esquerda ou à direita.

Porém, se o enunciado vier solicitando o valor do índice (ou coeficiente) de
assimetria, então precisaríamos conhecer as fórmulas necessárias para chegarmos a essa
resposta.

Existem cinco formas distintas de determinarmos índices de Assimetria.

Na questão, nossa primeira preocupação será saber qual dos métodos está sendo
requerido. E a segunda, naturalmente, será conhecer a fórmula solicitada.

Índice Quartílico de Assimetria:

Será calculado pela fórmula seguinte:

A=
(Q3 + Q1 − 2Md )
(Q3 − Q1)
Onde:
- Q1 é o primeiro Quartil;
- Q3 é o terceiro Quartil;
- Md é a Mediana.

Uma boa forma de memorizar esta fórmula, seria usando as seguintes etapas:



1o) Começando apenas o Q3 e o Q1:

A= Q3 Q1
Q3 Q1

2o) Depois, acrescentando o “mais e menos”:

Q3 + Q1
A=
Q3 − Q1

3o) Completando, finalmente o numerador com o “menos duas Medianas”:

Q3 + Q1 − 2 Md
A=
Q3 − Q1

Naturalmente que essa é apenas uma sugestão.

Acerca desta fórmula, convém sabermos que se o índice der positivo, isso indica uma
Curva de Assimetria Positiva (Curva Assimétrica à Direita). Se negativo, teremos uma Curva de
Assimetria Negativa (Curva Assimétrica à Esquerda).

No mais, precisaremos saber como calcular os Quartis, que são um tipo de Medida
Separatriz. Adianto a vocês que as medidas separatrizes – Quartis, Decis e Percentis – são
obtidas pelo mesmíssimo procedimento que se usa para determinar o valor da Mediana de um
conjunto. A Mediana, em si, já é também uma medida separatriz. (Além de ser uma medida de
tendência central).
Como o próprio nome sugere, medida separatriz é aquela que separa. Ela divide o
conjunto em um número de partes iguais.
Já sabemos que a Mediana divide o conjunto ao meio, de sorte que só existe uma
mediana.
O Quartil, por sua vez, divide o conjunto em quatro partes. Assim, existem três quartis: o
Q1 (primeiro quartil), o Q2 (segundo quartil) e o Q3 (terceiro quartil).
O Decil divide o conjunto em dez partes iguais. De sorte que existem nove decis. Claro!
Só precisamos marcar nove pontos em uma reta para ela seja dividida em dez partes!
Concordam? Assim, haverá o D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D9 e D10.
Finalmente, o Percentil (ou Centil) divide o conjunto em cem partes iguais. Existem,
portanto, noventa e nove percentis (P1, P2, P3, ..., P99).
Vamos aprender de vez como se calculam estas medidas separatrizes.
Estão todos lembrados que para calcular a Mediana de uma distribuição de freqüências,
nós utilizamos uma fração logo no início do procedimento? Sim? Trata-se da fração da Mediana,
que é a (n/2).
Pois bem! Cada uma das demais separatrizes terá sua própria fração. E é somente isso!
Conhecida a fração da medida separatriz que se deseja calcular, todo o restante do
procedimento é idêntico ao que já conhecemos para calcular a mediana!
E é muito fácil saber qual é esta fração! Senão vejamos.
Qual a fração do primeiro quartil (Q1)?
Ora, o quartil divide o conjunto em quantas partes? Em quatro partes. Daí, faremos logo:
n/4.
O 1 do Q1 vai acompanhar o n do numerador. Assim, teremos:
Fração do Q1 = 1n/4.
Este 1 multiplicando não precisa aparecer. Então fica só (n/4) mesmo!

E a fração do Q3, qual será?
Ora, o quartil divide o conjunto em quatro partes. Daí, o começo da fração é: n/4.
Só que estamos interessados no Q3. Assim, esse 3 vai para o numerador, acompanhar o
n. Ficaremos, pois, que a fração do Q3 é: (3n/4).
E assim por diante!
Vejamos a fração do primeiro decil D1, por exemplo. O decil divide o conjunto em dez
partes iguais. Logo, o início da fração é (n/10). O 1 do D1 vai para o numerador, e teremos:
(1n/10), que fica apenas (n/10).
Qual a fração do sétimo decil (D7)? Já adivinhou? Começamos com n/10, uma vez que o
decil divide o conjunto em dez partes. Agora, o 7 do D7 vai para o numerador, e teremos,
enfim, que a fração do D7 é (7n/10).
Creio que agora tudo ficou esclarecido. Sim?
Vejamos. Eu quero que você me diga qual a fração do P35 (trigésimo quinto percentil).
Você saberia dizer qual é? Claro! Primeiro, pensaremos que o percentil divide o conjunto em
cem partes iguais. Assim, começaremos por n/100. E agora, o 35 do P35 vai para o numerador,
e teremos, finalmente, que a fração do P35 é (35n/100).
Certo? Tudo entendido?
Ótimo! Uma vez sabendo qual a fração que inicia o cálculo da medida separatriz
desejada, o restante, conforme dito há pouco, é só seguir a receita de bolo que aprendemos
para calcular a mediana!
Com o exemplo resolvido abaixo, estou certo que tudo ficará ainda mais compreendido!
AFRF-2002.2: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:
Classes Freqüência (fi)
29,5 – 39,5 4
39,5 – 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10

Assinale a opção que dá o valor do coeficiente quartílico de assimetria:
a) 0,080
b) –0,206
c) 0,000
d) –0,095
e) 0,300

Sol.: Comecemos pela Mediana.
1o Passo) Determinamos n pelo somatório da coluna do fi e calculamos (n/2):

29,5 – 39,5 4
39,5 – 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10
n=100

Daí, teremos n=100 e (n/2)=50


2o Passo) Construiremos a coluna da freqüência absoluta acumulada crescente (fac):

Classes fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4
39,5 – 49,5 8 12
49,5 – 59,5 14 26
59,5 – 69,5 20 46
69,5 – 79,5 26 72
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100
3o Passo) Passamos às perguntas comparativas dos valores da fac com o valor de referência
(n/2). Teremos:

Classes fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 50? Não!
39,5 – 49,5 8 12 12 é ≥ 50? Não!
49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 50? Não!
59,5 – 69,5 20 46 46 é ≥ 50? Não!
69,5 – 79,5 26 72 72 é ≥ 50? SIM!
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100

Daí, nossa Classe Mediana será a quinta classe (69,5 – 79,5).
Feito isso, teremos:

10

X

Limites da Classe: 69,5 Md 79,5
fac associadas: 46 50 72
4

26

Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:

10 x
26 4
Multiplica-se cruzando, e teremos: X=(4x10)/26 X=1,54
Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao
valor do X que acabamos de calcular. Teremos:
Md=69,5+1,54 Md=71,04



Este valor vai ficar guardado, de molho, esperando o final da resolução! Adiante!

Agora, vamos à procura do Primeiro Quartil – Q1:

1o Passo) Determinemos o valor da fração do Q1, ou seja, de (n/4):

Como n=100, teremos que (n/4)=25

2o Passo) Como já dispomos da coluna da fac, passamos às perguntas comparativas:

Classes fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 25? Não!
39,5 – 49,5 8 12 12 é ≥ 25? Não!
49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 25? SIM!
59,5 – 69,5 20 46
69,5 – 79,5 26 72
79,5 – 89,5 18 90
89,5 – 99,5 10 100
n=100

Daí, a classe do Q1 é a terceira classe (49,5 – 59,5). Resta-nos fazer o desenho.
Teremos:
10

X

Limites da Classe: 49,5 Q1 59,5
13

14


10 x
14 13
Somando este x com o limite inferior da classe, teremos:
Q1=49,5+9,29 Q1=58,78

Este resultado também aguardará o final da resolução! Adiante!

Finalmente, resta-nos encontrar o valor do Terceiro Quartil, Q3:


1o Passo) Calculamos o valor da fração do Q3, que é, conforme sabemos: (3n/4).

Como n=100, teremos: (3n/4)=75

2o Passo) Uma vez que já temos a coluna da fac, passemos às perguntas de praxe:

Classes fi fac↓
29,5 – 39,5 4 4 4 é ≥ 75? Não!
39,5 – 49,5 8 12 12 é ≥ 75? Não!
49,5 – 59,5 14 26 26 é ≥ 75? Não!
59,5 – 69,5 20 46 46 é ≥ 75? Não!
69,5 – 79,5 26 72 72 é ≥ 75? Não!
79,5 – 89,5 18 90 90 é ≥ 75? SIM!
89,5 – 99,5 10 100
n=100

Achamos nossa Classe do Terceiro Quartil: é a penúltima classe (79,5 – 89,5). Daí,
construindo o desenho, teremos:

10

X

Limites da Classe: 79,5 Q3 89,5
3

18


10 x
18 3
Somando x com o limite inferior da classe, teremos:
Q3=79,5+1,67 Q3=81,17

Agora, vamos relacionar os valores das medidas encontradas por nós:

Q1=58,78 ; Q3=81,17 e Md=71,04

Daí, aplicando a fórmula do Índice Quartílico de Assimetria, teremos:


Q3 + Q1 − 2Md 81,17 + 58,78 − 2 x71,04
A= A=
Q3 − Q1 81,17 − 58,78

E: A = −0,095 Resposta!

À primeira vista, parece ser uma questão bem mais demorada do que fato é. Na hora da
prova, com o candidato já bastante “treinado”, realmente não se perde muito tempo nesta
resolução. Mesmo porque é um procedimento bastante repetitivo, e que deverá estar,
certamente, automatizado pelo aluno.

# Coeficientes de Assimetria de Pearson:

Veremos agora duas outras maneiras de calcular o índice de assimetria de um conjunto,
as quais envolvem as Medidas de Tendência Central. São as seguintes:

Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson:

Dado pela fórmula que se segue:

A=
(X − Mo)
S
Onde:
- X é a Média Aritmética;
- Mo é a Moda; e
- S é o Desvio-Padrão do conjunto.

Observando bem esta fórmula que define o Primeiro Coeficiente de Pearson, verificamos
que o sinal da assimetria será definido pelo seu numerador. Assim, apenas comparando os
valores da Média Aritmética e da Moda, saberemos qual o tipo de assimetria da distribuição.

Assim, de acordo com este coeficiente, teremos:

→ Se X = Mo → Assimetria Nula! Ou seja, distribuição Simétrica!
→ Se X > Mo → Assimetria Positiva! Curva Assimétrica à Direita!
→ Se X < Mo → Assimetria Negativa! Curva Assimétrica à Esquerda.

Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:

Será calculado da seguinte maneira:

A=
(
3 X − Md )
S

Onde:
- X é a Média Aritmética;
- Md é a Mediana; e
- S é o Desvio-Padrão do conjunto.

Aqui, para este Segundo Coeficiente de Pearson, observamos que o sinal da assimetria
será definido apenas comparando os valores da Média Aritmética e da Mediana do conjunto.
Teremos, portanto:

→ Se X = Md → Assimetria Nula. Ou seja, distribuição Simétrica.
→ Se X > Md → Assimetria Positiva. Curva Assimétrica à Direita.
→ Se X < Md → Assimetria Negativa. Curva Assimétrica à Esquerda.



Estes dois Coeficientes de Assimetria de Pearson não costumavam ser muito exigidos em
provas de Estatística Básica dos concursos. Tal foi, portanto, a surpresa dos candidatos que
enfrentaram a prova do AFRF 2002.1. Vejamos a questão abaixo:
AFRF-2002.1: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu
a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais
e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes
com os extremos das classes.

Classes P (%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 – 210 100

Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de
assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson.

a) 3/S
b) 4/S
c) 5/S
d) 6/S
e) 0

Sol.: Para resolvermos esta questão, precisaríamos inicialmente trabalhar com as colunas de
freqüências, para chegarmos à freqüência absoluta simples – fi. O resultado deste
procedimento, já realizado para este enunciado em aulas anteriores, é o seguinte:

Classes Fac↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10

Agora o que nos resta é apenas recordarmos da fórmula do Primeiro Coeficiente de
Assimetria de Pearson:

A=
(X − Mo)
S

Se observarmos as opções de resposta, veremos que elas vêm com o Desvio-Padrão – S
– no denominador. Ou seja, só precisaremos nos preocupar com o numerador da fórmula.

Na primeira questão desta prova, já havia sido exigido o cálculo da Média. Inclusive já a
fizemos, em oportunidade anterior, na página 6 da nossa aula 5, para ser mais preciso!

Vamos transcrever aquela solução:



1º) Descobrir o valor do primeiro Ponto Médio:
Classes Fac Fi fi PM
70-90 5% 5% 10 80
90-110 15% 10% 20 .
110-130 40% 25% 50 .
130-150 70% 30% 60 .
150-170 85% 15% 30 .
170-190 95% 10% 20 .
190-210 100% 5% 10 .
100% n=200

2º) Construir a coluna de transformação da variável:
Classes Fac Fi fi PM (PM − 80) = Yi
20

70-90 5% 5% 10 80 0
90-110 15% 10% 20 . 1
110-130 40% 25% 50 . 2
130-150 70% 30% 60 . 3
150-170 85% 15% 30 . 4
170-190 95% 10% 20 . 5
190-210 100% 5% 10 . 6
n=200

3º) Construir a coluna do fi.Yi e fazer seu somatório:
Classes Fac Fi fi PM (PM − 80) = Yi fi.Yi
20

70-90 5% 5% 10 80 0 0
90-110 15% 10% 20 . 1 20
110-130 40% 25% 50 . 2 100
130-150 70% 30% 60 . 3 180
150-170 85% 15% 30 . 4 120
170-190 95% 10% 20 . 5 100
190-210 100% 5% 10 . 6 60
n=200 580

4º) Calcular a média da variável transformada: Y
580
Y= = 2,9
200
5º) Fazer o desenho de transformação da variável, e percorrer as operações do caminho
de volta, para chegarmos à resposta! Teremos:
1º)-80 2º)÷20

Xi Yi Y = 2,9

2º)+80 1º)x20

2,9 x 20 = 58,0 e 58,0 + 80 = 138


Agora, tudo o que temos a fazer é descobrir o valor da Moda desta distribuição de
freqüências. Seguiremos os passos já nossos conhecidos para isso:

Classes fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10

1º Passo) Determinaremos da Classe Modal:

Xi fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50
130 – 150 60 Classe Modal! (a de maior fi)
150 – 170 30
170 – 190 20
190 – 210 10

Para a qual teremos: linf=130 e h=10

2º Passo) Calcularemos os elementos da fórmula de Czuber: Δa e Δp

Xi fi
70 – 90 10
90 – 110 20
110 – 130 50 Classe Anterior: Δa=60-50 Δa=10
130 – 150 60 Classe Modal!
150 – 170 30 Classe Posterior: Δp=60-30 Δp=30
170 – 190 20
190 – 210 10

3º Passo) Aplicaremos a fórmula da Moda de Czuber:

⎛ Δa ⎞
Segundo Czuber, teremos que: Mo = l inf + ⎜
⎜ Δa + Δp ⎟ ⋅ h
⎟
⎝ ⎠

⎛ 10 ⎞
Daí: Mo = 130 + ⎜ ⎟ ⋅ 20 E: Mo=135
⎝ 10 + 30 ⎠

Finalmente, dispondo já de todos os elementos que procurávamos, aplicaremos a fórmula
do Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson. Teremos:

A=
(X − Mo) A=
(138 − 135)
S S

3
A= Resposta!
S


# Índice Momento de Assimetria:

Este é o quarto método pelo qual aprenderemos a determinar o valor do grau de
Assimetria de um conjunto.
Será dado pela seguinte fórmula:

m3
A=
S3
Onde:
- m3 é o Terceiro Momento Centrado na Média Aritmética; e
- S3 é o Desvio-Padrão, elevado à terceira potência.

Para efeitos mnemônicos, lembraremos deste cálculo como sendo a Fórmula do 3, uma
vez que é o único algarismo que aparece nela.

Trata-se de um índice cuja aplicação não é das mais rápidas. Vamos relembrar como se
calculam os elementos deste índice.

No numerador, teremos m3, que é terceiro momento (ou momento de terceira ordem),
cuja fórmula aprendemos já nesta aula de hoje, e que é dado por:

∑ (PM − X ) . fi
3

m3 =
n

E, no denominador, o Desvio-Padrão ao cubo, que poderá ser encontrado da seguinte
maneira:

∑ (PM − X ) . fi ⎟
3
⎛ 2 ⎞
⎜
S =⎜
3
⎟
⎜ n ⎟
⎝ ⎠

Daí, teremos que a fórmula completa do Índice Momento de Assimetria será:

∑ (PM − X ) . fi
3

A= n

∑ (PM − X ) . fi ⎟
3
⎛ 2 ⎞
⎜
⎜ ⎟
⎜ n ⎟
⎝ ⎠

Percebemos, portanto, que para encontrar o Índice Momento de Assimetria teríamos que
trabalhar o numerador e o denominador da fórmula isoladamente, para em seguida chegar ao
resultado. Exatamente como se fossem duas questões em uma só.

O que pode acontecer, é de a prova já fornecer uma tabela de freqüências bastante
completa, de forma que já nos estivessem disponíveis todas as colunas que precisaríamos para
usar na fórmula. Por exemplo, suponhamos que o enunciado da questão nos fornecesse uma
distribuição nos moldes dessa abaixo:

Classes fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )3 (PM- X )3.fi
... ... ... ... ... ... ... ...
Σ n E F

Vejam que escolhi algumas letras (E e F) para os somatórios das colunas que nos
interessarão, somente para efeitos de desenvolvermos o raciocínio a seguir.


Nossa resolução, neste caso, se resumiria quase a uma transposição dos dados da tabela
para a fórmula. Teríamos, portanto:

F
A= n
3
⎛ E⎞
⎜ ⎟
⎜ n⎟
⎝ ⎠

# Índice Decílico de Assimetria:
Uma quinta e última maneira de se determinar a assimetria de um conjunto é por este
índice decílico. Nesta fórmula, só estarão presentes decis. Vejamos:
D9 + D1 − 2Md
A=
D9 − D1

# Resumo das Fórmulas de Assimetria:

Segue, abaixo, um sumário das fórmulas dos índices e coeficientes de Assimetria que
aprendemos hoje, e que seguramente poderão ser, eventualmente, cobrados nas próximas
provas de estatística dos concursos.

Índice Quartílico de Assimetria:

A=
(Q3 + Q1 − 2Md )
(Q3 − Q1)
Índice Decílico de Assimetria:
D9 + D1 − 2Md
A=
D9 − D1

Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson:

A=
(X − Mo)
S

Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson:

A=
(
3 X − Md )
S

Índice Momento de Assimetria:

∑ (PM − X ) . fi
3

m3 n
A= A=
∑( )
3
S3 ⎛ ⎞2
⎜ PM − X . fi ⎟
⎜ ⎟
⎜ n ⎟
⎝ ⎠



# Medidas de Curtose:

Este é um assunto de fácil compreensão e muito freqüente em provas de estatística dos
concursos públicos.

O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose? Significa apenas verificar o “grau
de achatamento da curva”. Ou seja, saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto é
mais “afilada” ou mais “achatada” em relação a uma curva padrão, chamada curva normal.

Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes
possibilidades:

Curva Leptocúrtica

Curva Mesocúrtica

Curva Platicúrtica

Logo, como vemos acima, uma curva (um conjunto) poderá ser, quanto à sua Curtose:

- Mesocúrtica: ou de curtose média. “Meso” lembra meio. Esta curva está no meio
termo: nem muito achatada, nem muito afilada;

- Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu desenho lembra o de um prato emborcado.
Então, “prato” lembra “plati” e “plati” lembra “platicúrtica”;

- Leptocúrtica: é a curva mais afilada.

Em capítulos anteriores, vimos que existe uma relação estreita entre o valor das Medidas
de Tendência Central (Média, Moda e Mediana) e o comportamento da Assimetria de um
conjunto.

Todavia, quando se trata de Curtose, não há como extrairmos uma conclusão sobre qual
será a situação da distribuição – se mesocúrtica, platicúrtica ou leptocúrtica – apenas
conhecendo os valores da Média, Moda e Mediana.

Outra observação relevante, e que já foi bastante explorada em questões teóricas de
provas anteriores, é que não existe uma relação entre as situações de Assimetria e as situações
de Curtose de um mesmo conjunto. Ou seja, Assimetria e Curtose são medidas independentes e
que não se influenciam mutuamente.

Aprenderemos duas distintas maneiras de calcular o Índice de Curtose de um conjunto.

Índice Percentílico de Curtose:

Encontraremos este índice usando a seguinte fórmula:

C=
(Q3 − Q1 )
2(P90 − P )
10
Onde:
- Q3 é o terceiro quartil;
- Q1 é o primeiro quartil;
- P90 é o nonagésimo percentil e
- P10 é o décimo percentil.


Podemos ainda, levando em consideração a relação que há entre as medidas
separatrizes, dizer que o Índice Percentílico de Curtose será dado por:

C=
(Q3 − Q1 )
2(D9 − D1 )

Onde:
- Q3 é o terceiro quartil;
- Q1 é o primeiro quartil;
- D9 é o nono decil; e
- D1 é o primeiro decil.

Ou seja, trabalharemos aqui com duas Medidas Separatrizes – o Quartil e o Decil.

Vejamos uma questão resolvida deste assunto.

AFRF-2002.1: Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X), foram
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu
a tabela de freqüência abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e
a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes
com os extremos das classes.

Classes P(%)
70 – 90 5
90 – 110 15
110 – 130 40
130 – 150 70
150 – 170 85
170 – 190 95
190 - 210 100

Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em geral medido
em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada pelo quociente k = Q / (P90-
P10), onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os percentis de
90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da curtose k para a distribuição
de X.
a) 0,263
b) 0,250
c) 0,300
d) 0,242
e) 0,000
Sol.:
No enunciado, o elaborador tentou complicar um pouco a compreensão da fórmula do
índice percentílico de Curtose. Além disso, usou Percentis em lugar de Decis. Todavia, sabemos
perfeitamente que Décimo Percentil (P10) é o mesmo que Primeiro Decil (D1), e que
Nonagésimo Percentil (P90) é a mesma coisa que Nono Decil (D9).
Daí, tudo esclarecido. Usaremos, de fato, para encontrar esta resposta, o Índice
Percentílico de Curtose, exatamente da forma como o conhecemos:

C=
(Q3 − Q1 )
2(D9 − D1 )

Aproveitaremos que todo esse trabalho de encontrar os Quartis (Q1 e Q3) e os Decis (D1
e D9) já foram feitos para este mesmo enunciado, e reproduziremos aqui a resolução desta
questão.

Obviamente que todos perceberam que havia um trabalho preliminar a ser realizado, que
era exatamente o de chegarmos à coluna da freqüência absoluta simples – fi.



Como já foi falado exaustivamente sobre este procedimento de usar o Caminho das
Pedras para chegar às freqüências desejadas, expomos a seguir o resultado destas operações e,
finalmente, a coluna da fi.

Classes Fac↓ Fi fi
70 – 90 5% 5% 10
90 – 110 15% 10% 20
110 – 130 40% 25% 50
130 – 150 70% 30% 60
150 – 170 85% 15% 30
170 – 190 95% 10% 20
190 – 210 100% 5% 10

Cálculo da fração do Primeiro Quartil – Q1:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/4):

Xi fi
70 !--- 90 10
90 !--- 110 20
110 !--- 130 50
130 !--- 150 60
150 !--- 170 30
170 !--- 190 20
190 !--- 210 10
n=200

Daí, achamos que n=200, portanto, (n/4)=50

2º Passo) Construímos a fac:

Xi fi fac↓
70 !--- 90 10 10
90 !--- 110 20 30
110 !--- 130 50 80
130 !--- 150 60 140
150 !--- 170 30 170
170 !--- 190 20 190
190 !--- 210 10 200
n=200

3º Passo) Comparamos os valores da fac com o valor de (n/4), fazendo a pergunta de praxe,
adaptada ao primeiro quartil:

Xi fi fac↓
70 !--- 90 10 10 10 é maior ou igual a 50? NÃO!
110 !--- 130 50 80 80 é maior ou igual a 50? SIM!
130 !--- 150 60 140
150 !--- 170 30 170
170 !--- 190 20 190
190 !--- 210 10 200
n=200

Como a resposta foi afirmativa na terceira fac, procuramos a classe correspondente
(110 !--- 130) e dizemos que esta será nossa Classe do Primeiro Quartil.

4º Passo) Fazendo o desenho adequado, teremos:



20

X

Limites da Classe: 110 Q1 130
20

50


20 x
50 20
Q1=110+8 Q1=118,0

Cálculo do Terceiro Quartil: Q3

Sol.:
1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (3n/4):

Xi fi
70 !--- 90 10
90 !--- 110 20
110 !--- 130 50
130 !--- 150 60
150 !--- 170 30
170 !--- 190 20
190 !--- 210 10
n=200

Daí, achamos que n=200 e, portanto, (3n/4)=150

2º Passo) Já dispondo da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de (3n/4),
fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao terceiro quartil:


Xi fi fac↓
170 !--- 190 20 190
190 !--- 210 10 200
n=200

Como a resposta SIM surgiu na fac da quinta classe (150 !--- 170), diremos que esta
será nossa Classe do Terceiro Quartil.

3º Passo) Faremos o desenho adequado para descobrir o Q3. Teremos:

20

X

Limites da Classe: 150 Q3 170
10

30


20 x
30 10
Q3=150+6,67 Q3=156,67

Cálculo do Primeiro Decil: D1

1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (n/10):

Daí, achamos que n=200 e, portanto, (n/10)=20

2º Passo) Conhecedores da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de
(n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao primeiro decil:


Xi fi fac↓
110 !--- 130 50 80
130 !--- 150 60 140
150 !--- 170 30 170
170 !--- 190 20 190
190 !--- 210 10 200
n=200

Achamos, portanto, que a classe correspondente (90 !--- 110) será nossa Classe do Primeiro
Decil!

3º Passo) Fazer o desenho. Teremos:

20

X

Limites da Classe: 90 D1 110
10

20


20 x
20 10
D1=90+10 D1=100,0

Finalmente, encontraremos o Nono Decil – D9:

1º Passo) Encontraremos n e calcularemos (9n/10):

Daí, achamos que n=200 e, portanto, (9n/10)=180



2º Passo) Conhecedores da coluna da fac, comparamos os valores da fac com o valor de
(9n/10), fazendo a pergunta de praxe, adaptada ao nono decil:

Xi fi fac↓
190 !--- 210 10 200
n=200

Achamos, portanto, que a classe correspondente (170 !--- 190) será nossa Classe do
Nono Decil.

3º Passo) Faremos o desenho adequado, e teremos que:

20

X

Limites da Classe: 170 D9 190
10

20


20 x
20 10
D9=170+10 D9=180,0

Agora sim! Chegou o momento de reunirmos os valores encontrados, para compormos a
fórmula da Curtose! Teremos, portanto:

C=
(Q3 − Q1 ) C=
(156,6 − 118) C = 0,242 Resposta!
2(D9 − D1 ) 2(180 − 100)


Interpretação do Resultado do Índice Percentílico de Curtose:

A questão acima foi resolvida pela mera aplicação da fórmula do índice percentílico.
Todavia, questões haverá que solicitarão não apenas o resultado do índice, mas questionarão a
situação de curtose em que se encontra aquele conjunto. Ou seja, desejarão saber se a
distribuição será Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica.

Daí, teremos que saber interpretar o resultado do índice de Curtose.

No caso deste Índice Percentílico, a leitura que faremos do resultado é a seguinte:

Se C<0,263 A distribuição é LEPTOCÚRTICA;

Se C=0,263 A distribuição é MESOCÚRTICA;

Se C>0,263 A distribuição é PLATICÚRTICA.

Para a questão que resolvemos acima, por exemplo, tendo encontrado C=0,242,
concluiríamos que se tratava de uma distribuição Leptocúrtica, caso isso estivesse sendo
perguntado pela questão.

# Índice Momento de Curtose:

Será dado pela seguinte fórmula:

m4
C=
S4
Onde:
- m4 é o Momento de 4a Ordem Centrado na Média Aritmética; e
- S4 é o Desvio-Padrão do conjunto, elevado à quarta potência.

Como só aparece número “4” nesta fórmula, lembraremos dela como sendo a fórmula do
4.

Esta nos parece tão trabalhosa quanto a primeira (a do índice percentílico). Pois, na
verdade, teríamos que encontrar isoladamente o valor do numerador (que já é uma questão em
si) e depois o valor do denominador. As fórmulas seriam as seguintes:

O numerador (m4): Quarto Momento Centrado na Média:

∑ (PM − X ) . fi
4

m4 =
n

O denominador (S4): Quarta potência Desvio-Padrão:

( )
2
⎡
∑ PM − X . fi ⎤
2

S4 = S( )2 2
=⎢ ⎥
⎢ n ⎥
⎣ ⎦

Como vimos acima, a quarta potência do Desvio-Padrão é a mesmíssima coisa que o
quadrado da Variância.

Então, nossa fórmula completa do índice momento de Curtose seria a seguinte:



∑ (PM − X ) . fi
4

C= n
( )
2
⎡
∑ PM − X . fi ⎤
2

⎢ ⎥
⎢ n ⎥
⎣ ⎦

Questão de prova que venha a exigir o cálculo deste índice Momento de Curtose deverá,
naturalmente, fornecer uma tabela já bastante completa, de modo que, apenas pelas colunas
fornecidas na distribuição, já tivéssemos condições chegar ao resultado.

Caso a prova nos dê na questão apenas uma tabela com a coluna das classes e a coluna
da freqüência absoluta simples, teríamos que fazer um trabalho bastante demorado para
chegarmos à resposta.

Vejamos um exemplo ilustrativo dos passos que precisaríamos seguir.

A tabela abaixo representa os dados fornecidos pelo enunciado:

Classes fi
... ...

Daí, como primeiro passo, teríamos que encontrar o valor da Média do conjunto.
Provavelmente, seria mais rápido determinarmos o X se utilizarmos o método da Variável
Transformada. Então, construiríamos a coluna dos Pontos Médios – PM:

Classes fi PM
... ... ...

Em seguida, a Coluna de Transformação da Variável:

Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi
h
... ... ... ...

Daí, faríamos a coluna do (Yi.fi):

Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi
h
... ... ... ... ...

E aplicaríamos a fórmula da Média da Variável Transformada:

Y=
∑ Yi. fi
n

E, com este resultado, percorreríamos o Caminho de Volta da transformação, fazendo:

( Y x h ) e {( Y x h)+ 1ºPM} = X

Neste ponto, construiríamos a coluna (PM- X ):

Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X
h
... ... ... ... ... ...



E a coluna (PM- X )2 :

Classes fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X (PM- X )2
h
... ... ... ... ... ... ...

E a coluna [(PM- X )2.fi]:

Xi fi PM (PM-1ºPM)=Yi Yi.fi PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi
h
... ... ... ... ... ... ... ...

E a coluna (PM- X )4 : (Desaparecerão aqui a coluna de transformação e a coluna do
(Yi.fi) apenas por uma questão de espaço).

Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4
... ... ... ... ... ... ...

E, finalmente, a coluna [(PM- X )4.fi]:

Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4 (PM- X )4.fi
... ... ... ... ... ... ... ...

Daí, vamos designar nomes aos somatórios das colunas que nos interessam, só para
enxergarmos melhor como será nossa conclusão:

Xi fi PM PM- X (PM- X )2 (PM- X )2.fi (PM- X )4 (PM- X )4.fi
... ... ... ... ... ... ... ...
n E F

Para concluir a questão, aplicaríamos a fórmula do 4:

∑ (PM − X ) . fi
4

C= n
( )
2
⎡
∑ PM − X . fi ⎤
2

⎢ ⎥
⎢ n ⎥
⎣ ⎦
E encontraríamos que:
⎛F⎞
⎜ ⎟
C = ⎝ ⎠2
n
Resposta da Questão!
⎛E⎞
⎜ ⎟
⎝n⎠

Aprenderemos, na seqüência, como interpretar o resultado do índice Momento de
Assimetria e, após, faremos uma questão extraída da prova do AFRF-2002.2, para termos uma
noção mais precisa de como este assunto tem sido cobrado.

Interpretação do Resultado do Índice Momento de Curtose:

Novamente aqui precisaremos conhecer como analisar o resultado do índice de Curtose, a
fim de podermos definir nossa distribuição como Mesocúrtica, Leptocúrtica, ou Platicúrtica.


Interpretaremos o Índice Momento de Curtose da seguinte maneira:

Se C > 3 A distribuição é LEPTOCÚRTICA;

Se C = 3 A distribuição é MESOCÚRTICA;

Se C < 3 A distribuição é PLATICÚRTICA.

É, portanto, de suma importância que tenhamos bem memorizados estes valores de
referência, a partir dos quais poderemos dizer em qual das situações de Curtose se encontra
determinado conjunto.

Passemos à questão.

AFRF-2002-2: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências
seguinte:

29,5 – 39,5 4
39,5 – 49,5 8
49,5 – 59,5 14
59,5 – 69,5 20
69,5 – 79,5 26
79,5 – 89,5 18
89,5 – 99,5 10

Para a distribuição de freqüências do atributo X, sabe-se que:

∑ (Xi − X ) . fi = 24.500 ∑ (Xi − X ) . fi = 14.682.500
2 4
e

Nessas expressões os Xi representam os pontos médios das classes e X a média amostral.

Assinale a opção correta. Considere para sua resposta a fórmula da curtose com base nos
momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado é populacional.

a) A distribuição do atributo X é leptocúrtica.
b) A distribuição do atributo X é platicúrtica.
c) A distribuição do atributo X é indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose.
d) A informação dada se presta apenas ao cálculo do coeficiente de assimetria com base
nos momentos centrados de X.
e) A distribuição de X é normal.

Sol.: A questão foi bastante clara, ao definir que o índice de curtose a ser empregado será o
índice Momento. Daí, teremos que relembrar a fórmula:

∑ (PM − X ) . fi
4

m4 n
C= C=
S4
( )
2
⎡
∑ PM − X . fi ⎤
2

⎢ ⎥
⎢ n ⎥
⎣ ⎦

Agora, reparemos nos dados fornecidos pelo enunciado. Observemos que o que ele
chamou de Xi é o nosso Ponto Médio, que chamamos de PM. Daí, não resta dúvida: já nos foram
fornecidos o numerador do m4 e o numerador do S4.



Ora, o n – número de elementos do conjunto – será obtido somando a coluna da fi. E
chegaremos ao valor de n=100. Daí, concluímos: já dispomos de todos os elementos da
fórmula. Resta-nos transpô-los.

Assim, teremos:

∑ (PM − X ) . fi
4
14.682.500
C= n C= 100 C = 2,44
( )
2 2
⎡ ⎡ 24.500 ⎤
∑ PM − X . fi ⎤
2

⎢ ⎥ ⎢ 100 ⎥
⎣ ⎦
⎢ n ⎥
⎣ ⎦

E agora passamos à interpretação do resultado. Se utilizamos o índice Momento de
Curtose, e encontramos que C=2,44 (portanto, um valor menor que 3) concluímos que a
distribuição é platicúrtica!

Logo: Opção b Resposta da Questão!

É isso!
Esta aula já se tornou por demais repleta de informações!
Foi nosso penúltimo encontro! Na próxima aula, que será a última do nosso Curso,
resolverei as questões que ficarão pendentes de nosso dever de casa de hoje, e falarei sobre
mais alguma coisa que tenha sido esquecida.
Ok?
Forte abraço a todos! E fiquem com Deus!

Dever de Casa

84. (AFPS-2002/ESAF) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente
de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três μ3 .
Assinale a opção correta.

a) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação
à média.
b) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em
relação à média.
c) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação
à média.
d) O valor de μ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da
média dos cubos das observações.
e) O valor de μ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação
à média.

85. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado
forneceram os seguintes sumários: média aritmética = $1,20 , mediana = $0,53
e moda = $0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta:

a) A distribuição é assimétrica à direita.
b) A distribuição é assimétrica à esquerda.
c) A distribuição é simétrica.
d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a
melhor medida de tendência central.
e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25.



86. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram
obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa
bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.

4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15,
15, 16, 16, 18, 23

Pode-se afirmar que:
a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa
b) a distribuição amostral dos preços tem assimetria positiva
c) a distribuição amostral dos preços é simétrica
d) A distribuição amostral dos preços indica a existência de duas sub-
populações com assimetria negativa
e) nada se pode afirmar quanto à simetria da distribuição amostral dos preços

87. (AFTN-98) Pede-se a um conjunto de pessoas que executem uma tarefa manual
específica que exige alguma habilidade. Mede-se o tempo T que cada uma leva
para executar a tarefa. Assinale a opção que, em geral, mais se aproxima da
distribuição amostral de tais observações.
a) Espera-se que a distribuição amostral de T seja em forma de U, simétrica
e com duas modas nos extremos.
b) Espera-se que a distribuição amostral seja em forma de sino.
c) Na maioria das vezes a distribuição de T será retangular.
d) Espera-se que a distribuição amostral seja assimétrica à esquerda.
e) Quase sempre a distribuição será simétrica e triangular.

88. (AFTN-94) Assinale a alternativa correta:
a) Toda medida de posição ou de assimetria é um momento de uma variável
aleatória.
b) A média aritmética é uma medida de posição, cuja representatividade independe
da variação da variável, mas depende do grau de assimetria da distribuição de
freqüência.
c) Em qualquer distribuição de freqüência, a média aritmética é mais
representativa do que a média harmônica.
d) A soma dos quadrados dos resíduos em relação à média aritmética é nula.
e) A moda, a mediana e a média aritmética são medidas de posição com valores
expressos em reais que pertencem ao domínio da variável a que se referem.

89. (AFTN-94) Indique a opção correta:
a) O coeficiente de assimetria, em qualquer distribuição de freqüência, é menor
do que o coeficiente de curtose.
b) O coeficiente de assimetria, em uma distribuição de freqüência, é um real no
intervalo [-3, 3].
c) O coeficiente de curtose, em uma distribuição de freqüência, é igual a três
vezes o quadrado da variância da distribuição.
d) O coeficiente de curtose é igual a três em uma distribuição normal padrão.
e) Em uma distribuição simétrica, o coeficiente de curtose é nulo.

90. (AFTN-98) Assinale a opção correta.
a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das
observações relativamente à média for negativa, a distribuição
amostral terá assimetria negativa.
b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em que
as observações amostrais são medidas.
c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média
de cada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está
definido.
d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que
95% das observações amostrais estarão compreendidas entre a média
menos dois desvios padrões e a média mais dois desvios padrões.
e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda
pesada e curtose excessiva.



91. (AFPS-2002/ESAF) A tabela abaixo dá a distribuição de freqüências de um
atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observações foram agrupadas em 9
classes de tamanho 5. Não existem observações coincidentes com os extremos das
classes.

Classes Freqüências
4-9 5
9-14 9
14-19 10
19-24 15
24-29 12
29-34 6
34-39 4
39-44 3
44-49 2

Sabe-se que o desvio padrão da distribuição de X é aproximadamente 10. Assinale a
opção que dá o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que é baseado na
média, na mediana e no desvio padrão.
a) -0,600 c) 0,709 e) -0,610
b) 0,191 d) 0,603


Estatistica regular 12

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