I UNIDAD: ALGEBRA EN LOS REALES.1.- RAZONES Y PROPORCIONESHoras : 6OBJETIVOS:• Utilizar propiedades de las razones y propo...
6. Descomponercdcaba −=−ddcbba −=−EJEMPLOS1) En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 5:4. Si el número...
NOTA: - Ley de Boyle: “A temperatura constante, el volumen de una masa de un gas idealvaría inversamente con la presión a ...
scmdtdh/24,0=EJERCICIOS PROPUESTOS DE RAZONES1) En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 3:2. Si el núm...
17) La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para llenarlo senecesitan 15 litros, ¿Cuál es la ...
_______________________________________________________________________________CLASIFICACIÓN DE PROPORCIONES:continua → ti...
 TIPOS DE PROPORCIONES:• Proporción directa: Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si alaumentar o disminu...
- combinación de proporción directa e inversa:Ej.: 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas en 18 días. ¿Cuántas máquin...
16. Las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros. Hallar elárea de un círculo de 9 cm de ...
37. En una industria textil se requiere trabajar con gran cantidad de agua destilada, para talefecto se dispone de un depó...
35. 21 77/240 HP 36. 40,5 kg. 37. a=105 b= 75 38. m = 8 39.x=15, y=25, z=10 40. 8, 12, 16 41. a=35, b=25 , c=10 42. x=24, ...
3) El metal Muntz se compone de 59,5% de cobre, 39,9% de zinc y 0,6% de plomo. ¿Cuántoskilos de cada metal hay en 432 kg. ...
7) Un motor cuyo rendimiento es del 86%, produce 10,75% Hp. ¿Cuántos Hp recibe?.III.- Qué tanto por ciento es un número de...
luego, 214 es el 7% mayor que 200.Ejemplo: ¿De que número, 276 es el 8% menos?Solución: 276 es el 8% menos de un número x....
III.−1.− a) 87,5% b) 256,9% c) 59,1% d) 15% e) 20%f) 1/8 % g) 20% h) 200% i) 6%2.− 85% 3.− 8% 4.− 1% 5.− 12,1% de plomo; 8...
ppx %25,6=solucióndeccsolutogrsolucióngrsolutodegrxvp1248100% =⇒solucióndeccx %45,6=Los resultados anteriores significan q...
d) Tasa de riesgo = es el n° de días efectivamente perdidos por accidentesincapacitantes y por enfermedades profesionales ...
B= 100%C= 34%X= cantidad de habitantes%34%100000.400 habitantesxhabitantes= ⇒ habitantesx 136=APLICACIÓN DE PROPORCIONES Y...
9. Un inversionista deposita una cierta cantidad de dinero en el banco al 15% de interés anual. Sial año retira, por dicho...
TEMA 2: CONJUNTOS NUMERICOSOBJETIVOS: Relacionar los conjuntos numéricos de dimensión unoOperar con potencias , raíces y l...
2) Números Naturales: son los números positivos que empiezan con launidad y que se forman a partir de los números dígitos....
2. Amplificar una fracciónbaequivale anbna⋅⋅3. Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor númeroque di...
13. Problemas con enunciado y de aplicación:Es conveniente considerar las siguientes recomendaciones generales paraformula...
períodoeltengacifrascomotantosdadadecimalcifradp9=Ej.:116995454,0 == (el período es 54)6. Conversión de un decimal semiper...
7) División de potencias de igual base: mnmnaaa −=:8) Potencia de otra potencia: ( mnmnaa ⋅=)9) Elevación de un producto a...
kilo K 1. 000 = 310hecto H 100 = 210deca D 10unidad 1deci d 0.1 = 110−centi c 0. 01 = 210−mili m 0. 001 = 310−micro µ 0. 0...
m) ( ) ( ) ( ) =++−−− 336125,025,05,0n)( )=−3331175,02) Propiedad Exponente fraccionario; de esta propiedad nacen la...
c) =43232ya d) ( ) =633,0 xe) =3254t f) ( ) =4051,0 ym5) Multiplicación de potencias de igual base:Ejemplo: ba...
8) División de potencias de igual exponente:Ejemplo:91313494311942222==÷=÷a) =÷3331025...
h) El diámetro de un glóbulo rojo de la sangre es de un cienmilésimo de metro.i) La sal de mesa está formada por iones de ...
PROPIEDADES:1) nnaa1=2) nnnabba =.3) nnnbaba=mnn maa .=.EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN1.- Calcular las siguientes expresione...
b) 3 6664 nmc) 416.81d) 26849 qrpe) 3 38125 baf) =642144.49.64 zyx4.- Descomponer las siguientes raíces:a) 243 b) 50 c)324...
c) 3 21mf) 3xzySOLUCIONES:1.- a) 343 b)4 c)25 d) 1/8 e)0,5 f) 0,2g) 2 h)1/22.-a)3 b) 25 c)4 d)2 e)mb f)xy g)2 h)23.-a)5x y...
Ejercicios de autoevaluación 1:Calcular el logaritmo, usando la definición:a) =16log4 b) =216log6 c) =729log3 d) 216log6e)...
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.1) 01log =b2) 1log =bb3) NMNM bbb loglog).(log +=4) NMNM bbb loglog)/(log −=5) ana bnb log.)...
De esta manera podemos calcular fácilmente cada uno de los logaritmos delcuociente, esto es:422 2log16log = y =8log2 log 3...
2.- Expresar como un solo logaritmo las siguientes expresiones:a) xlog2log +b) zx log3log2 +c) ba log31log21−d) zyx log2lo...
e)qnm35log3. a) 0,7781 b) 1,1760 c) 0,0792 d) 0,9770 e) 0,3869f) 0,1497 g) 3,5626EJERCICIOS PROPUESTOS DE LOGARITMOSI.- De...
II.- Desarrolle cada uno de los siguientes ejercicios como suma y resta delogaritmos:a) =5,075,032logdcbab) =−+ 5,02)32log...
a) xlog 125= -3 e) log x 36427−=b) xlog 49= -2 f) xlog 2363=c) log x 343−=g) log x 0,729= 3h) log x 0,25=.-2VI...
f) =5,04 32loglogaa31g) ( ) =÷ 04,0log5log 343−h) =+−24332log95log21675log log 2VIII.- Calcular el valor de los siguientes...
1. Si se depositan P dólares al 8 por 100 de interés, compuesto de forma continua, ¿cuánto tiempotardará en doblarse el ca...
¿A qué altura será igual la presión atmosférica a la mitad de la que existe al nivel del mar?Sugerencia : La presión al ni...
N°de horas: 6 horasDESARROLLO DE CONTENIDOS:ALGEBRA FUNDAMENTALEl álgebra es la rama de las matemáticas que permite expres...
c) 5x –11y –9 +20x –1 –y= d) 28a-(35a+23b)+45b=e) xy31+ xy61= f) ab53+ ab101=g) 0,25 a +41a = h) 2 yxxyxy 24,051++ =i) 2,5...
6) Multiplicación de polinomios:Recuerde que : a(b+c+d)= ab+ac+adAplicando la definición anterior , calcule:a) 4x ( 5x- 3x...
RESPUESTAS:1)a) 1635 234−−++ xxxx b) 3825 234−−++ zzzzc) 6596 234+−−+ aaaa d) 1210369412yyxyxyx +−−2) a) 0 b) 13a-13b c) 2...
c) ( )( )xyxy −− 33= d) ( )( )2233 zxyxyz ++ =e) ( )( )xmzzxm −− = f) ( )( )23323223 abbabaab −− =g) ++ 225,03...
d)3314,0 + nm =e)343125,0 − mm =f) ( )21,0 xxy − =g)325,032− yxm =h) ( )32..33,05,0 +c =III.- SUMA POR D...
3° Producto de los segundos términos1) Utilice el procedimiento más breve y directo para resolver los siguientesproductos:...
VI.- TRINOMIO CUADRATICO IMPERFECTO:Procedimiento: 1° Amplifique todo el trinomio por el coeficiente numérico del primerté...
e) )964)(32( 2+−+ xxx =f) =+−+ )252016)(54( 22yxyxyxg) =+−+ ))(( 844844bbaabaVIII.-CUADRADO DE TRINOMIO: ( ) acbcabcbacba ...
g) 0,25s+0,06t= h)1,5a-2,5b=i) 0,6m+0,8n= j) 75x+100y=k) 72m+ 48r= l) 120s-100k=II.- FACTOR LITERAL: se reconoce como la o...
m) 32862 xxx ++ = n) 2522yxyx nn +++ =ñ) 92536452 ++++− nnnaaa = o)bababa 96 23−+ =p) 3627891681xx−+ = q) =−+ +++ qmpmnmxx...
ñ) 351622 aa − =o) xyyx 7512 3− =p) mnnm 2045 3− =q) abba 1805 3− =r) 25102++ yy =s) 108624 2−− hh =t) 2753 x− =u) 6483 a−...
m) )43(2 2xxx ++ n) )1(32yxyx nn +++ ñ) )52( 41252aaaa nnn+−++o) )96( 2−+ aabap) )381691(91 36xx −+ q) )( qpnmxxxx −+iv-a)...
g)652322+−+−xxxx= Rp:31−−xxh) 4331007525xxx−= Rp:x431−i)4542522−−−aaa= Rp:95−−aaj)15251142424−−−−xxxx= Rp:51722−−xxk)aaxax...
4.-ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESOBJETIVO:- Desarrollar ecuaciones lineales, cuadráticas, literales, exponenciales ei...
I.- ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADOSu forma general es :Ax+ B= 0, con A 0≠Esta ecuación se relaciona con la línea re...
7)  −= +36435132 xx148) 05132514233461253=+ −− +− − xxx21−9) −−=−−−273123x...
21) 2551444233332225=−−−−++−+−− xxxxxxxx1310222)6472944413272+−−−=−−+xxxxx2123) 29114331213121xxxxxx−−−=−−−++1424)13219632...
3) −=+ 143132axax17a4)xbbacxa+−= )(c15)axabbxba 2439−=− 3a+2b6) −= +−−2322)(412axaaxaxx17a7) 11)2)...
4. 23)5()32( 22−=+−− xx31;75. 222)2(319911)1( −−=++− xxxx 17;-126.611121=−−− xx4;-17.247185+−=−−xxxx25;48. 1511152−=+−xxx5...
20. 155 −=+ xx 5;1021. 5,25,16−= xx 311;1 −22. 5,0223−=xx34;3 −23. 82 12=− −−xx21±24.Raíces de la ec. de 2° : Determinar l...
5) 67657 =+ x 246) 37439 =− x7647) 175153 =+−x -18) 62)74(3=+x4179) )57(3)135(2 +=+ xx 110) 311518=− x911) 23153=+++ xx412...
22) 3246 =+++ x 2323) 2235 =−++ x 624) 77 =++ xx 925) 15195 −=−− xx 2026) xx 241313 =+− 927) 4816 −=+−− xx 17V.- ECUACIONE...
8. xxaaaa3237=219. xxaaaa 4758⋅= 310. 422432 −= xx7611.5613528125,05,0:4xxx−−−⋅=325−12. 155432125,03225,0:4 +−+−⋅= x...
22. xxx49669871544 −−−=⋅323. 12340625,032 −−= xx424. 6 4348 6927: −+−⋅= xxxaaaa4512225. ( ) 1: 5,45 7643=⋅−−aa...
1) 5loglog)215log()2log()43log( −++=++− xxxx 52) )log()log()log(log axaxaxx +−−=−−3a3) 0)1log(4log1log =+−++− xxx 54) 0)79...
19) 0)log(log)log()log( =−−−−++ axxbxaxbaab−220) 2,1log15log43log +=+++ xx331;4−21) 2)3log()5log( 2=++xx32−22) 3)2log()56l...
33) 3055 63=+ xx334) 19 1272=+− xx3;435) 3437 952=+− xx2;371
.SISTEMAS DE ECUACIONESI.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:1) 819287=−−=−yxyx2) 18)1(5)1(67)3(2)2(3−=+−−=−+−yxyxRp.: (10,9...
9)16251835723−=+−=+−=+zyxzyx10)864−=−−=−−=−yxzxzyzyxRp: (-1,-2,-3) Rp: (7,6,5)11)12027322053=−=++=−xzzyxyx12)2112+=+==++xz...
En general los sistemas de ecuaciones de segundo grado se puedenresolver en su mayoría por dos métodos que son:- por susti...
CASO III: Combinación de cuadrados, sumas y productos.Se ordenan e igualan coeficientes.Ejemplo:015403322=+−=−−xyyyxySoluc...
despejando x1713±=xsustituyendo en cualquier ecuación1716−±=yEJERCICIOS PROPUESTOS1) 3615==+xyyxRp: x=12 x=3 y=3 y=122) 85...
Datos: Ley de los gases:222111TVPTVP ⋅=⋅T° Kelvin= T° Celcius+273xPatmPcteltVVKTKT======+°==+°=21212193,1.1635327380293273...
es decir se necesitan 2 kilos de café del tipo A y 6 kilos de café del tipo B.5. Una empresa electrónica produce aparatos ...
PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES1) Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un qu...
12) Si el duplo del mayor de dos números se divide por el triple del menor, elcociente es 1 y el residuo 3, y si 8 veces e...
galones de cada tipo deberá mezclar para obtener 200 galones de una mezclaque contenga 18% de ácido?(Rp.: 60 gal con un 25...
¿Dependiendo del fabricante y su capacidad de abastecer los pedidos cual es la utilidad esperadapor un determinado mes?- E...
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  1. 1. I UNIDAD: ALGEBRA EN LOS REALES.1.- RAZONES Y PROPORCIONESHoras : 6OBJETIVOS:• Utilizar propiedades de las razones y proporciones en la resolución deproblemas.• Aplicar el concepto de variación proporcional directa , inversa y conjunta en laresolución de problemas con enunciado.• Aplicar propiedades y conceptos de porcentajes en la resolución de problemascon enunciado.RESUMEN DE CONTENIDOS:• RAZONES: es la comparación de dos números mediante el cuociente o división. Estácompuesta de dos elementos que son el antecedente y el consecuente.Antecedente → aConsecuente → b- se lee “a es a b”.- en la razón geométrica existen infinitos pares de números que cumplen con la razón dada.• PROPORCIONES: es la igualdad de dos razones equivalentes. Está compuesta de dostérminos medios y dos términos extremos.- Toda proporción puede escribirse de dos maneras:dcba= o bien dcba :: =- En toda proporción se cumple que el producto de medios es igual al producto de extremos. Propiedades de las proporciones:1. Alternar extremos:acbd=2. Alternar mediosdbca=3. Permutarbadc=4. Invertircdab=5. Componercdcaba +=+ddcbba +=+1
  2. 2. 6. Descomponercdcaba −=−ddcbba −=−EJEMPLOS1) En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 5:4. Si el número de damas es 8.¿Cuál es el número de alumnos?Solución:Sea a = número de varonesb = número de damas=8a + b = Nº de alumnosla razón es45=bareemplazando los datos se tiene:458=a10=⇒ael número total de alumnos resulta de a+b =10+8 = 18 alumnos.2) En 1999 la utilidad neta de una empresa fue de $53.126 siendo su activo total de $134.930.¿Cuál fue la razón de la utilidad neta al activo total?Solución: 39,0930.134126.53= la utilidad neta fue de 39,03) Una librería, cuya existencia promedio de mercancía es de $30.000 obtuvo una utilidad de$36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el año anterior. Encontrar:a) la razón del total de ventas al inventario promedio.b) la razón de la utilidad a la venta total.Solución:a) 6000.30000.180==promedioinventariototalventala razón es de 3 a 1b)103000.180000.36==ventasutilidadla razón es de 1 a1034) El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 mm. Porminuto, en tanto que el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte de 13,5mm/min . Hállese la razón de las velocidades de corte.Solución:Sea a= aceroh= hierrose forma la razón 4,05,136==haluego la razón es 4 a 9.5) La masa de oxígeno ocupa 500 lt a presión de 740 mm de Hg. Determinar el volumen de esamasa a presión normal, permaneciendo constante la temperatura.2
  3. 3. NOTA: - Ley de Boyle: “A temperatura constante, el volumen de una masa de un gas idealvaría inversamente con la presión a que se somete un gas”.2211 VPVP ⋅=⋅- Presión normal = 1 atmósfera = 760 mm de HgSolución:2760500740 VHgdemmltHgdemm ⋅=⋅2112PVPV⋅=ltV 4872 =6) Un vaso de papel en forma de cono, se llena con agua a razón de 3 cc. por seg. La altura delvaso es de 10 cm y el radio de la base es de 5 cm. ¿Qué tan rápido sube el nivel del aguacuando es 4 cm?.Nota: - volumen del cono hrV 231π=Solución: formando la proporcióncmhcmr105=2105 hhr ==variación del volumen de agua c/r al tiempo es353cmV = cuando h=4cmpor tanto 32121231hhhV ππ ⇒=como el volumen de agua varía c/r al tiempo se aplica la regla de la cadena formándose( )312hdtddtdV π= = dtdhh2312π=dtdhh42πal sustituir53 3cmdtdV= y h=4 cm se obtienedtdh=π433
  4. 4. scmdtdh/24,0=EJERCICIOS PROPUESTOS DE RAZONES1) En un curso, la razón entre el número de varones y damas es 3:2. Si el número de damas es10.¿Cuál es el número de alumnos en total?2) La razón entre las velocidades de un avión y un tren es de 15:2. Si la velocidad del tren de 60km./h. ¿Cuál es la velocidad del avión?3) La razón entre dos cantidades es 0,8. Si el antecedente es 4, ¿Cuál es el consecuente?4) Calcular el antecedente en una razón cuyo valor es 1,5 y el consecuente es 6.5) Calcular el consecuente de una razón cuyo valor es 1,5 y el antecedente es 6.6) Calcular el valor de las siguientes razones, desarrollando mecánicamente las divisiones ycomprobándolas con calculadora:a) 0,064 : 1,6 b) 1: 0,002 c) 0,3: 0,03 d) 0,5:2e) 0,04: 10 f) 4: 10 g) 0,003:0,1 h) 0,2: 100i) 5: 0,0005 j) 2,5: 0,05 k) 24: 0,12 l) 0,36: 1,87) Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. ¿En que razón están susvolúmenes?8) Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10m y 20 m. ¿En que razónestán sus áreas?9) La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20 m respectivamente.En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm ¿Cuál es la altura de la ventana?10) La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto quela mayor hace 80.¿Cuál es la razón de sus velocidades?11) Dos ruedas que engranan tienen velocidades que guardan una razón de 2:3. Suponiendo quela menor haga 75 revoluciones por minuto ¿cuántas revoluciones por minuto hará la mayor?(La razón de sus velocidades es la inversa de la razón de sus diámetros).12) Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que un aeroplano vuela a 300km./h. Hállese la razón de sus velocidades.13) Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de diámetro tiene una resistencia de 8,6 ohmios,en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo diámetro tiene una resistencia de 15ohmios. ¿Cuál es la razón de las dos resistencias?14) El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estaño. Hállese lacantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg.?.15) El metal Britannia consiste en dos partes de antimonio, una parte de bismuto y una parte deestaño. ¿Cuántos kilos de cada metal hay en una pieza fundida que pesa 24 kg.?.16) La longitud de una circunferencia de 2,75 cm de diámetro es 8,6394 cm. Hallar la razón de lacircunferencia al diámetro. Indicar la respuesta con cuatro decimales.4
  5. 5. 17) La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para llenarlo senecesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque?18) Se efectúa una partición de los bienes de una cierta sociedad. Se deja explícita referencia quela diferencia entre los socios es de $750.000. Si se sabe que la razón en que dichos bienesson asignados es de 3:5. Determine la cantidad de dinero que corresponde a cada uno deellos.Rp.: A:$1.125.000 ; B: $1.875.00019) Se está proyectando la construcción de un cinematógrafo, las dimensiones entre el largo y elancho de la sala es de 10:18. Se considera que cada espectador debe ocupar 0,55 2m paraestar cómodo. Si la sala tiene un ancho de 20 m. ¿Cuál será la capacidad de espectadores enun cine?Rp.: 404 espectadores20) Se desea adquirir un terreno. Hay un sitio cuyo fondo es de 7 m. Se desconoce la dimensióndel frente, pero la razón entre sus dimensiones es de 4:6 respectivamente. Si el metrocuadrado vale 300 UF. Determinar cuanto se pagará por el terreno.Rp.:220.500UF.21) Una empresa comercializadora de ropa usada importada, recibe dos fardos de ropa usada, losque son calificados, de primera categoría y de segunda categoría. Se disponen ofertas por: dosartículos de primera y tres de segunda por $28.800. Si los precios de los artículos están enrazón de 3:4 y el valor de los artículos de cada categoría es igual. ¿Cuál es el valor de losartículos de cada clase en esta oferta?Rp.: A:$4.800 ; B:$6.40022) En un examen de selección de personal para operadores de un específico sistema deinformación, se aplicó el test de Dr.Jhonson. Un postulante usando el artefacto paraoperaciones pudo ejecutar 8 operaciones en 20 seg. ¿Cuál es la razón correspondiente dedichas operaciones por minuto? Rp.: 24 operaciones por minuto23) La razón entre dos números es 8:3 y su diferencia es 55.calcular los números.24) Dos números están en la razón 5:2. Si sumados dan 42. Calcular los números.25) Se desea cortar un tubo de acero de 12 m de la longitud en razón de 2:3. Calcule la longitud decada parte.26) Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos están en la razón de 2:5, entre 120obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada sección.27) Dos personas se reparten $18.000 tal que sus partes están en la razón de 8:4.¿Cuánto recibecada uno?Soluciones:1) 25 alumnos 2) 450 km./h 3) 5 4) 9 5) 46) a) 0,04 b) 500 c) 10 d) 0,25 e) 0,004 f) 0,4g) 0,03 h) 0,002 i) 10.000 j) 50 k) 200 l) 0,2 l) 0,27)1:8 8) 1 : 4 9) 4 cm 10) 3:111) 112,5 12)4:15 13) 113 a 150 14) 8,515)12 kg. Sb,6 kg. Bi,6 kg. 16) 3,1416 17) 30 litros5
  6. 6. _______________________________________________________________________________CLASIFICACIÓN DE PROPORCIONES:continua → tiene repetido los medios o los extremosdiscontinua → tiene todos sus términos diferentes.• Media proporcional geométrica: se repite el término desconocido enlos medios o extremosdxxa= oxcbx=• Tercera proporcional geométrica: se repite un término conocido segúnse establezca la proporción y pueden darse 2 valores de ella.acxa= odbbx=• Cuarta proporcional geométrica: no se repite ningún término y dependede la proporción que se establezca entre las cantidades, pudiendo tenerhasta tres valores.dcbx=EJERCICIOS1. Hallar la media proporcional geométrica entre;a.41y91b. 49 y 0,25 c.2 y 8d. 241y 3161e. 0,4 y 0,08 f. 12,6 y25g. 241y 361h.0 0,0064 y 225 i. 16 y 25j. 2 y 4,5 k. 9 y 36 l. 0,5 y 1002. Hallar la cuarta proporcional entre las siguientes cantidades, tomándolas en el mismoorden:a.65,41,32b. 2, 3 y 6 c. a 2, ab, 2d. 12,5; 10; 2,5 e. 12; 6,4; 3,75 f. 6; 12,5; 2,88g. 0,5; 0,1; 0,15 h.37,51,61i.31,21,653. Hallar la tercera proporcional de los pares siguientes:a. 2 y 3 b. -2 y 8 c. 8 y 0,4 d.65y32e. 4 y 8 f. 2,5 y 5 g.94y 0,6 h. 0,4 y 0,2i. 1,8 y97j. 0,2 y101k. 5 y51l. 3,2 y 1,46
  7. 7.  TIPOS DE PROPORCIONES:• Proporción directa: Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si alaumentar o disminuir una de ellas, la otra aumenta o disminuyeel mismo número de veces.1. Se le simboliza como kba = (k =cte. proporcionalidad)2. Los cuocientes que forman una proporción directa tienen siempre un valor constante.3. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen.• Proporción inversa: dos cantidades a y b son inversamente proporcionales cuandohaciéndose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor elmismo número de veces.1. Se le simboliza comobka1= (k = cte. proporcionalidad)2. El producto de dos cantidades inversamente proporcionales es siempre constante.3. Su gráfica es una asíntota al eje X.• Proporción compuesta: ser presenta como una combinación de proporciones directas einversas. Pueden darse tres casos:- combinación de dos proporciones directas; se realiza un producto cruzado de lostérminos.Ej.: Cuatro operarios producen en 10 días 320 piezas de un cierto producto.¿Cuántas piezas de este mismo producto serán producidas por 10 operarios en 16días?Solución:n° de operarios n° de piezas n° de días4 320 1010 x 1612801041632010=⋅⋅⋅=x piezas producidas.- combinación de dos proporciones inversas; producto hacia los lados de sustérminosEj.: 9 obreros trabajando 8 horas diarias, pintan un edificio en 12 días. ¿Cuántosdías demoran 18 obreros en pintar el mismo edificio, trabajando 6 horas diarias?.Solución:n° de obreros n° de días n° de horas diarias9 12 818 x 686188129=⋅⋅⋅=x días7
  8. 8. - combinación de proporción directa e inversa:Ej.: 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas en 18 días. ¿Cuántas máquinasaran un terreno de 36 hectáreas en 12 días?Solución:n° de días n° de máquinasn° de hect.18 20 6012 x 361860121362018=⋅⋅⋅=x máquinasEJERCICIOS1. Cuánto cuestan 27 reglas a $2.400 la docena?2. Un vehículo recorre m metros a una velocidad v, ¿cuántos metros recorrerá otro vehículo auna velocidad W?3. 3,1 h equivalen a ¿cuántas horas y minutos?4. Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. ¿Qué capacidad daremos a unestanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr)5. La diferencia entre dos números es 48 y están en la razón 9:5.¿cuál es el menor número?6. Un grifo que entrega 0,6lt de agua por seg., llena un estanque en 21 h. ¿Cuánto tiempotardará en llenarlo otro grifo que da 0,9lt por seg.?7. Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a 1,50m dedistancia. ¿Cuántos postes se ocupan si se ponen a 2m uno del otro?8. ¿Cuánto recorre un automóvil en 20 minutos a 64 km./h?9. Un operario puede tornear 12 pasadores en 15 min. ¿Cuánto tardará en tornear 250pasadores?10. Una rueda dentada de 18" engrana con otra de 6". Suponiendo que la rueda mayor tenga72 dientes, ¿cuántos tendrá la más pequeña?11. Si una pieza fundida que pesa 14 kg. cuesta $2.100, ¿cuánto costará una pieza que pesa30 kg.?12. Los largos de los rectángulos de la figura son proporcionales a sus anchos. ¿Cuál es ellargo del menor de los rectángulos?13. Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. ¿Cuál serála resistencia de un alambre de 750 m?14. Una polea de 60 cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra poleade 36 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña?15. Una polea de 35 cm da 240 revoluciones por minuto y mueve una polea mayor que da 210.¿Cuál es el diámetro de esta última polea?812 cm7,25 cm4,5cm
  9. 9. 16. Las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros. Hallar elárea de un círculo de 9 cm de diámetro, si el área de un círculo de 5 cm es igual a 19,635cm 2.17. Una dactilógrafa escribe a máquina una página de 54 líneas a doble espacio. ¿Cuántaslíneas escribirá en la misma página a triple espacio?18. 9 trabajadores podían terminar una obra en 10 días; el trabajo ha durado 18 días.¿Cuántos trabajadores faltaban?19. Un trazo de k cm se divide en dos segmentos que están en la razón 5:7. ¿Cuál es lalongitud del segmento más largo?20. Siete obreros cavan en dos horas una zanja de 10 m. ¿Cuántos metros cavarán en elmismo tiempo 42 obreros?21. Expresar mediante una ecuación en la que intervenga una constante de proporcionalidad Klos enunciados siguientes:a. La longitud de una circunferencia es directamente proporcional a su diámetro.b. El período T de la oscilación de un péndulo simple en un lugar determinado esdirectamente proporcional a la raiz cuadrada de su longitud.c. La fuerza de atracción F entre dos masa m 1 y m 2 es directamente proporcionalal producto de ambas masas e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia r entre ellas.d. A temperatura constante el volumen V de una masa dada de un gas perfecto esinversamente proporcional a la presión p a la cuál está sometida.22. La fuerza de un motor de gas aumenta con el área del émbolo. Suponiendo que un motorcon una superficie de émbolo de 54 cm 2desarrolla 25,5 Hp. ¿Cuántos Hp desarrollará unmotor con un émbolo cuya superficie sea de 45,15 cm 2?23. El hierro fundido pesa 7,2 kg. por dm 3y el pino blanco pesa 0,4 3/ dmkg . Suponiendoque un modelo hecho en madera de pino pese 2,25 kg. ¿Cuánto pesará una pieza que sefunda con hierro fundido?24. Si57=bay a – b = 30. Hallar a y b.25. Siyx=nmy x – m = 20, y – n =15, n = 6. Hallar el valor de m.26. Sea x + y + z = 50 y x : y : z = 3 : 5 : 2. Calcular x, y, z.27. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcular los números.28. Sea a : b : c = 7:5:2 y a – b + c = 20.Calcular a, b, c.29. Si x : y : z = 8:5:2 tal que 2x + y + 5z = 93.Calcular x, y, z.30. Un segmento de 120 cm se divide en tres partes cuyas longitudes son directamenteproporcionales a los números 3, 4, 5. Hallar las longitudes de cada una de ellas.31. Calcular los ángulos interiores de un triángulo, si se cumple la condición: α :β : γ=5:3:1032. Calcular los ángulos interiores de un cuadrilátero si verifican;α : β : γ :δ = 5: 6: 7: 933. Sea2a=4b=3c; y a – b + c = 20. Calcular a, b, c.34. Si7t=3u=2v; y t – u – v = 16. Calcular t, u, v.35. Si a: b: c: d = 5: 4: 6: 2 tal que 6a+ 5b − 4c − 5d = 144.Hallar a, b, c, d36. Para una adecuada comercialización, un producto debe presentar una óptima proporciónentre sus sabores. Si estos componentes son A,B,C y se sabe que la razón entre A y B esde 5:3: =BA , la razón entre B y C es 7:4: =CB ¿Cuántos kilos de cada una de estascomponentes, hay en 150 kilos del producto?9
  10. 10. 37. En una industria textil se requiere trabajar con gran cantidad de agua destilada, para talefecto se dispone de un depósito de 12m de profundidad el que es llenado en 8 días arazón de 50 lt por segundo. Si el agua que debiera ocuparse cayera a razón de 65 lt porsegundo y el depósito fuera de sólo 8m de profundidad. ¿Cuántos días tardaría enllenarse?38. Son observadas dos variables, x e y.X 400 800 1.600Y 2.000 1.000 500a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables?b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?c. ¿Cuál es el valor que corresponde a y para un x=6.400?39. Un control de calidad estipula que un líquido en envase de transporte convencional debeser inversamente al volumen V que ocupa y directamente proporcional a la temperaturaabsoluta T. ¿A que presión se deben someter 100 3m de gas de helio a 1 atmósfera depresión y 253° absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 3m a unatemperatura de 313° absolutos?SOLUCIONES.1. a. no b. si c. no d. si e. si f. sig. si h. Si2. a. 4:2=10:5 b. 7:2=14:4 c. 3:5=6:10 d. 10:4=5:23. 88 y 33 4. 30 y 12 5. 7,2m y 4,8m 6. 34 y 85 obreros7. $12.000 y $6.000 8. $5.400 9. mW/v 10. 3 h 6 min.11. 810 litros 12. 60 13. 14 horas 14. 291 postes15. 21,3 km.16. a. 7 b. 2,4 c. 8 d. 30 e. 0,6 f. 4g. 3 h. 5 i. 35/8 j) 2 k. 0,4 l. 15/16m. 1/125 n. 0,4 ñ. −1,9217. a. 1/6 b. 3,5 c. 4 d. 2 5/8 e. 0,18 f) 5,61g. 8/57 h. 1,2 i. 20 j. 3 k. 18 l. 5018. a. 1/5 b. 9 c. 2b/a d. 2 e. 2 f. 6g. 0,03 h. 1/70 i. 5/419. a. 4,5 b. −32 c. 0,02 d. 8/15 e. 16 f. 10g. 0,81 h. 0,1 i. 245/729 j. 1/20 k. 1/125 l. 49/8020. 125 21. 160 22. 5 h 12 min. 30s. 23. 24 dientes24. $4.500 25. 7,4 cm 26. 6.775 ohm 27. 300 rev.28. 40 cm 29. 63,617 cm230. 36 líneas31. 4 trabajadores 32. 7k/12 33. 60 m34. a. C = kD b. T= k l c. 221rmmkF = d. V= k/p10
  11. 11. 35. 21 77/240 HP 36. 40,5 kg. 37. a=105 b= 75 38. m = 8 39.x=15, y=25, z=10 40. 8, 12, 16 41. a=35, b=25 , c=10 42. x=24, y=15, z=6 43.30cm,40cm,50cm 44. 50º, 30º, 100º 45. 66,6º, 80º, 93,3º, 120º46. a=40, b=80, c=60 47. t=52, u=24, v=16 48. a=45, b=36, c=54, d= 850. 4,08 días 51. a. inv proporcionales b. 800.000 c. 12552. 2,4743083• TANTO POR CIENTO Es una razón de consecuente 100. Para calcular problemas relacionados con %, se procede a plantear elproblema como una proporción. Precio de compra es el valor que paga el comerciante al comprar mercadería. Precio de venta es el valor que el comerciante fija a la mercadería para elpúblico. Ganancia es la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta. Pérdida es la diferencia entre el precio de venta y el precio de compra.EJEMPLOSI.- Hallar el tanto por ciento de un número:Ejemplo: Hallar el 18% de 96.Solución: Sabemos que el 100% de 96 es 96 y al 18% de 96 le designaremos por "x"formando la siguiente proporción:x96=%18%100⇒ x=1001896 ⋅= 17,28luego, el 18% de 96 es 17,28.EJERCICIOS:1) Calcular los siguientes porcentajes:a) 8% de 250 b) 15% de 462 c) 25% de 9,6d) 2,3% de 48,72 e) 3331% de 1236 f) 0,75% de 24g) 341% de 112,3 h) 2% de 7 i) 18% de 76j)21% de 18 k) 35% de 180 l) 42% de 12502) El metal blanco se compone de 3,7% de cobre, 88,8% de estaño y 7,5% de antimonio.¿Cuántos kilos de cada metal hay en 465 kg.?11
  12. 12. 3) El metal Muntz se compone de 59,5% de cobre, 39,9% de zinc y 0,6% de plomo. ¿Cuántoskilos de cada metal hay en 432 kg. de la aleación?4) El fabricante de cierta marca de automóviles calcula sus costos como sigue: materiales, 38,5%;mano de obra 41,25%; gastos generales 6,5% y ganancia 13,75%. Hallar el costo de cada unade estas partidas en un automóvil que se vende a U$ 8.500.5) Cierto mineral rinde el 4,25% de hierro. ¿Cuántos kilos de hierro hay en una tonelada de esemineral?6) Si sobre una factura de $242.850 se hace un descuento del 2%, ¿Cuánto hay que pagar?7) A un mecánico que gana $28.500 por semana le redujeron el salario en un 15%.¿Cuánto ganadespués de la reducción?II.- Hallar un número conociendo un tanto por ciento de él:Ejemplo: ¿De qué número es 36 el 18%?Solución: Si 36 es el 18% del número buscado, el 100% será un númerodesconocido "x", con lo que formamos la siguiente proporción;x36=%100%18⇒ x=1810036 ⋅= 200luego, el número buscado es 200.EJERCICIOS:1) De qué número es :a) 3 el 75%? b) 22,4 el 75%? c)32el 25%?d) 35 el 5%? e) 60 el 90%? f) 76 el 10%g) 20 el 80%? h) 12 el 2%? i) 15 el 60%?2) El rendimiento de un motor es del 90%, esto es, la cantidad de energía entregada es el 90% dela que recibe. Suponiendo que el motor produzca 8 Hp. ¿Cuál es la cantidad de energía querecibe?3) Un comerciante vende un artículo en $3.600, perdiendo un 10%. ¿Cuánto le costó el artículo?4) Cierto mineral rinde el 5% de hierro. Cuántas toneladas de mineral se necesitan para producir2,5 toneladas de hierro?.5) Los inspectores de control de calidad de una fábrica rechazan 33 piezas por imperfectas. Estorepresenta el 121 % de la producción diaria. ¿Cuántas piezas se produjeron?6) Un mecánico obtiene un aumento en su salario de $3.900 por semana, que representa unaumento del 15%. ¿Cuál es su nuevo sueldo?12
  13. 13. 7) Un motor cuyo rendimiento es del 86%, produce 10,75% Hp. ¿Cuántos Hp recibe?.III.- Qué tanto por ciento es un número de otro dado.Ejemplo: ¿Qué % es 9 de 36?Solución: Tenemos que 36 es el 100%, luego 9 será el x% de 36, formándose lasiguiente proporción;936=%%100x⇒ x=36%1009 ⋅= 25%luego, 9 es el 25% de 36.EJERCICIOS:1. ¿Qué tanto por ciento de:a) 8 es 7? b) 7,2 es 18,5? c) es 3,25 de 5,5?d) 860 es 129? e) 30 es 6? f) es 0,64 de 512?g) 1600 es 320 ? h) 86 es 172? i) es 75 de 1250?2. Un motor que recibe 8 Hp entrega 6,8 Hp. ¿Qué tanto por ciento de la energía recibida es laenergía entregada?3. Una tonelada de mineral contiene 80 kg. de hierro. ¿Qué tanto por ciento del mineral es hierro?4. Cuando se funden tuberías de hierro suele contarse con una contracción de 1 cm por metro,¿Qué % representa esta merma?5. Para hacer 95 kg. de soldadura empleamos 11,5 kg. de plomo y 83,5 kg. de estaño. ¿Qué %de cada metal se utilizó?6. La potencia indicada de una máquina a vapor es de 9,4 Hp, en tanto que la potencia efectivaes de 8,1 Hp. ¿Qué % de la potencia indicada es la potencia efectiva?7. De una producción total de 2,715 cojinetes de bolas fabricadas en una jornada, los inspectoresrechazaron 107. ¿Qué % del total se rechazó?8. Una persona paga $5.750 por un artículo y después lo vende por $6.500.¿Qué % de gananciaobtiene?9. Un trabajo realizado en un taller mecánico exigió 42 h. de torno; 7,5 h en la fresadora y 1141hen la cepilladora. ¿Qué % del tiempo deberá cargarse a cada máquina?IV.- Encontrar un número sabiendo que porcentaje mayor o menor que él es otro numero dado:Ejemplo: ¿De que número, 214 es un 7% mayor?Solución: 214 es mayor en un 7% que un número "x". Si x es el 100% se tendrá que214 será el 100% + 7%, formando la proporción siguiente:x214=%100%107⇒ x=107100214 ⋅= 20013
  14. 14. luego, 214 es el 7% mayor que 200.Ejemplo: ¿De que número, 276 es el 8% menos?Solución: 276 es el 8% menos de un número x. Si x es el 100%, se tendrá que 276es el 100% menos el 8%, es decir, es el 92% de x, con lo que se puedeformar la siguiente proporción:x276=%100%92⇒ x=92100276⋅= 300luego, 276 es el 8% menor que 300.EJERCICIOS:1) ¿De que número es,a) 30 un 1632 % es mayor? b) 48 un 20% menor?c) 208 un 4% mayor? d) 276 el 8% menor?2) ¿Cuál tiene que ser la longitud de un modelo para fundir una pieza de 18,5 cm de largo si lamerma por contracción del metal es de 1 cm por metro?3) Un comerciante vende carbón a $280.000 la tonelada. Si su ganancia es del 12%, ¿cuánto lecuesta el carbón?4) ¿Qué número aumentado en un 15% equivale a 437?5) Si se aumenta en un 8% el precio de un artículo, el nuevo precio queda en $162. ¿Cuál era elprecio primitivo?Soluciones:1.− a) 20 b)69,3 c)2,4 d) 1,1 e)412 f) 0,2g) 3,65 h) 0,14 i) 13,68 j) 0,09 k) 63 l) 5252.− 17,205 kg. de cobre; 412,92 kg. de estaño; 34,875 kg. de antimonio.3.− 257,04 kg.; 172,368 kg.; 2,592 kg.4.− Materiales, $3.272,5; mano de obra $3.506,25; gastos $552,5; ganancia $1.168,755.− 42,5 kg. 6.− $237.993 7.− $24.225II.−1.− a) 4 b)151329 c)322 d) 700 e)3266f) 760 g) 25 h) 600 i) 252.−988 H.P. 3.− $4.000 4.− 50 toneladas5.− 2.200 piezas 6.− $26.000 7.− 12,5 H.P.14
  15. 15. III.−1.− a) 87,5% b) 256,9% c) 59,1% d) 15% e) 20%f) 1/8 % g) 20% h) 200% i) 6%2.− 85% 3.− 8% 4.− 1% 5.− 12,1% de plomo; 87,9% de estaño.6.− 86,2% 7.− 3,9% 8.− 13% 9.− 69,1%; 12,3%; 18,5%IV.−1.− a)7180 b) 60 c) 200 d) 3002-.− 18,7 cm 3.− $250.000 4.− 380 5.− 150EJERCICIOS RESUELTOS DE PORCENTAJES1) Calcular el balance de 2O en la siguiente composición explosiva:Nitrato de amonio = 94%Petróleo = 6%Solución:-El B.O. del nitrato de amonio es 22234 22 OOHNNNONH ++⇔El peso molecular (PM) del nitrato de amonio es 80, así 2 moléculas pesan 160 gr. y 2 de Opesan 32gr.B.O. = %2016010032=⋅- La reacción para el petróleo es OHCOOCH 2222 2232 +⇔+el PM del petróleo es 14, así 2 moléculas pesan 28gr y 6 átomos de O pesan 96 gr.B.O.= %85,3422810096−=⋅Luego el B.O. de la reacción Anfo de composición 94% de nitrato de amonio y 6% de petróleoesNitrato de amonio 8,1820,094 =⋅Petróleo 52,2042,36 −=−⋅Por tanto resulta de esta diferencia -1,72 osea ligeramente negativo, lo que representa unaleve disminución en la efectividad de la explosión y una pequeña generación de gases CO(monóxido de carbono).2) Se disuelven 8 gr NaCl  =molgrPM 5,58 en 120 cc OH 2 obteniéndose 124 cc desolución. Calcular : a) %ppb) %vp .NOTA: - % p/p = porcentaje peso-peso; gr de soluto en 100 gr de solución.-% p/v = porcentaje peso-volúmen; gr de soluto en 100cc de solución.Solución:solucióngrsolutogrsolucióndegrsolutodegrxpp1288100% =⇒15
  16. 16. ppx %25,6=solucióndeccsolutogrsolucióngrsolutodegrxvp1248100% =⇒solucióndeccx %45,6=Los resultados anteriores significan que en 100 gr de solución hay 6,25 gr y 6,45 cc de soluto.3) En el período de un año, en una empresa se han producido 10 lesiones incapacitantes y setrabajaron 200.000 H.H. Determinar:a. Tasa de frecuenciab. Tasa de gravedad (considere que los 10 accidentes significaron 45 días perdidos)c. Tasa de accidentabilidadd. Tasa de riesgoSolución:a) Tasa de frecuencia = n° de lesiones incapacitantes ocurridas por cada millón de H.H. deexposición.)(exp....106estrabajadorosiciónHHHHtesincapactanlesionesdenTF⋅°=50..000.2001010 6=⋅=HHTFb) Tasa de gravedad = es la cantidad de días perdidos por lesiones incapacitantes porcada millón de H.H.).(...10)( 6trabajadasHHHHDCDPperdidosdíastotalTG⋅+=Total días perdidos considera:DEP= días efectivamente perdidos por lesiones incapacitantes = 45 díasDC= días cargo (invalideces permanentes) = 150 días (pérdida falange dedo índice) =150días975000.20010195 6=⋅=díasTGc) Tasa de accidentabilidad= n° de lesiones incapacitantes ocurridas por cada 100trabajadores100⋅°°=promedioestrabajadordenaccidentesdenTA16
  17. 17. d) Tasa de riesgo = es el n° de días efectivamente perdidos por accidentesincapacitantes y por enfermedades profesionales por cada 100 trabajadoresperíododelestrabajadorpromedioperdidosnteefectivamedíasdenTR100⋅°=4) En una fábrica eléctrica se compra a un proveedor 20.000 unidades de diodosmensuales. ¿Cuántas piezas nos venderá el proveedor si bajo en un 30% la provisiónde diodos?Solución:CxBA=Datos: A= 20.000B= 100%C= 70%(100%-30%)X= unidades que nos proveerá%70%100000.20 unidadesxunidades= ⇒ x= 140.000 unidades proveerá5) Calcular el descuento que se hace a un pagaré de n $500,00 seis meses antes de suvencimiento con una tasa de descuento simple del 40%.Solución:Datos: 6 meses = 0,5 añosDescuento (D) = pagaréelsimpledescuentodetasaaño ⋅⋅1000.100$00,50040,05,0 nD =⋅⋅=6) La empresa Leche Sur tiene el 34% del mercado de la región metropolitana. Si latotalidad del mercado es de 400.000 personas. ¿Cuántas personas faltarían para cubrirla totalidad del mercado?Solución:CXBA=Datos: A= 400.00017
  18. 18. B= 100%C= 34%X= cantidad de habitantes%34%100000.400 habitantesxhabitantes= ⇒ habitantesx 136=APLICACIÓN DE PROPORCIONES Y PORCENTAJES A PROBLEMAS CON ENUNCIADO1. Los gastos que demandan en una empresa los departamentos de personal, marketing yfinanzas son de $36.000.000 mensuales y están en la razón 6:10:14. A)¿Cuál es el gasto deldepartamento de marketing, en un período de un año? B) Qué porcentaje representa el gastoanual del departamento de personal? (Rp.: a) $144.000.000 b) 20% )2. Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obteneruna ganancia de un 15% sobre el precio neto. Determinar:a) precio de venta al públicob) monto del IVA declarado por el comerciantec) monto de la ganancia real del comercianted) porcentaje real de ganancia(Rp.: a) $339.250 b) $6.750 c) $37.500 d) 15% )3. La empresa CTI vendió a un distribuidor de provincia; 10 equipos de música a $77.000 cadauno con un descuento del 20%, 12 televisores a $110.000 cada uno, con un descuento del16%. Determinar el monto a cancelar por el distribuidor, si debe agregar el IVA.4. En los estudios de eficiencia del sistema de transporte público se estableció que la razón entrela cantidad de vehículos participantes, buses de locomoción colectiva y camiones es 9:6:5. Siel parque automotriz de este tipo de vehículos asciende a 800.000 unidades. ¿Cuántosvehículos de cada tipo hay?Rp.: veh. participantes:360.000 ; buses: 240.000 ; camiones: 200.0005. Repartir US$ 500.000 entre 3 socios A,B,C de modo que las partes de A y B estén en la razón4:7 y las de B y C en la razón 5:8. ¿Cuánto corresponde a cada uno de ellos?.Rp.: A:US$90.090,09 ; B:US$ 157.657,66 ; C:US$ 252.252,256. La suma de 3 capitales es de $400.000.000. Cada socio A,B,C aportan a este capital montosde dinero en la razón 36:15:6. ¿Cuál es el porcentaje en que cada socio contribuyente a lasociedad?Rp.: A: 63,16% ; B: 26,32% ; c: 10,53%7. Una sociedad de amigos que participan en juegos de azar, resultaron ganadores de un premiode $80.000.000. A,B,C los amigos deben repartir dicho premio de acuerdo a su participaciónen la sociedad. El socio A recibe el 45% del premio, B recibe el 78% de lo de A, más$2.300.000 y el socio B recibe el dinero restante. ¿Cuánto recibe este último?.Rp.: c:$13.620.0008. Se coloca un capital de US$ 5.000 al 3% durante 2 años. Se retira y se vuelve a colocar elcapital al 5% durante 6 años. ¿A qué % único hubiera debido presentarse el capital, para que,en el mismo tiempo, produjera el mismo interés? ¿Cuáles son los montos invertidos?Rp: US$25.000 ; US$32.00018
  19. 19. 9. Un inversionista deposita una cierta cantidad de dinero en el banco al 15% de interés anual. Sial año retira, por dicho concepto US$13.294 . Determina el monto depositado inicialmente.Rp: US$88.626,6710. Los 2/3 de un capital de $575.000 se depositaron durante 2 años al 10%. El resto se depositódurante un año a otra tasa de interés. Si el interés producido por ambas partes es de $120.000.¿Cuál es la tasa de interés que afectó al capital?.Rp.: 22.61%11. Se efectúa una partición de los bienes de una cierta sociedad. Se deja explícita referencia quela diferencia entre los socios es de $750.000. Si se sabe que la razón en que dichos bienesson asignados es de 3:5. Determine la cantidad de dinero que corresponde a cada uno deellos.Rp.: A:$1.125.000 ; B: $1.875.00012. En un control, motivo de un ahorro de recursos, se determinó que un equipo quedó encendido,desde las 20:00 hrs. del día miércoles hasta las 8:00 hrs del día jueves siguiente. ¿Cuál será elcosto y energía utilizada, si dicho equipo tiene consumo de 85 Kilowatt/hr tiene un valor de$60?.Rp.: $61.20013. Se está proyectando la construcción de un cinematógrafo, las dimensiones entre el largo y elancho de la sala es de 10:18. Se considera que cada espectador debe ocupar 0,55 2m paraestar cómodo. Si la sala tiene un ancho de 20 m. ¿Cuál será la capacidad de espectadores enun cine?Rp.: 404 espectadores14. Se desea adquirir un terreno. Hay un sitio cuyo fondo es de 7 m. Se desconoce la dimensióndel frente, pero la razón entre sus dimensiones es de 4:6 respectivamente. Si el metrocuadrado vale 300 UF. Determinar cuanto se pagará por el terreno.Rp.:220.500UF.15. Una empresa comercializadora de ropa usada importada, recibe dos fardos de ropa usada, losque son calificados, de primera categoría y de segunda categoría. Se disponen ofertas por: dosartículos de primera y tres de segunda por $28.800. Si los precios de los artículos están enrazón de 3:4 y el valor de los artículos de cada categoría es igual. ¿Cuál es el valor de losartículos de cada clase en esta oferta? Rp.: A:$4.800 ; B:$6.40016. En un examen de selección de personal para operadores de un específico sistema deinformación, se aplicó el test de Dr.Jhonson. Un postulante usando el artefacto paraoperaciones pudo ejecutar 8 operaciones en 20 seg. ¿Cuál es la razón correspondiente dedichas operaciones por minuto?.Rp.: 24 operaciones por minuto19
  20. 20. TEMA 2: CONJUNTOS NUMERICOSOBJETIVOS: Relacionar los conjuntos numéricos de dimensión unoOperar con potencias , raíces y logaritmosHoras: 6DESARROLLO DE CONTENIDOS:• CLASIFICACION DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS1) Números Dígitos: son los números básicos a partir de los cuales se formael resto de los números.D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}20
  21. 21. 2) Números Naturales: son los números positivos que empiezan con launidad y que se forman a partir de los números dígitos.N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}3) Números Cardinales: corresponden a los números naturales con el cero.N*= No = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}4) Números Enteros: formado por los naturales y sus opuestos incluyendo elcero.Z = {... , –4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}5) Números Primos: corresponde a los números que son divisibles sólo por 1y por si mismos.P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}6) Números Racionales: está formado por todos los números que puedenexpresarse como el cuociente entre dos números enteros.7) Números Irracionales: todos aquellos números que no pueden expresarsecomo cuociente entre dos números enteros.8) Números Reales: grupo que representa la unión del conjunto de losnúmeros racionales con el de los irracionales• PRE-REQUISITOS A LA UNIDAD: Propiedades de las fracciones:1. Simplificar una fracciónbaequivale anbna::. Sólo se pueden efectuaren presencia de multiplicación21}0,,,/{ ≠∈∀== bZbabaxxQ,...}3,2,,{ πeI =IQR ∪=
  22. 22. 2. Amplificar una fracciónbaequivale anbna⋅⋅3. Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor númeroque divide exactamente a todos ellos.Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.4. Mínimo común múltiplo (mcm) entre dos o más números es el menor númeroque es divisible por cada uno de ellos.Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192.5. Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.:2536. Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.:3257. Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej.318325=8. Igualdad de fracciones: bcaddcba=⇔=9. Comparación entre dos fracciones bcaddcba≤⇒≤10. Intercalar un racional entre dos racionales dados:- ordenar de menor a mayor los racionales- sumar los numeradores y denominadores respectivamente- la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadasEj.: ubicar una fracción entre4552∧45455252〈++〈 entonces se determina que459752〈〈11. Multiplicación de fracciones:bdacdcba=⋅Ej.:214073587538=⋅⋅=⋅12. División de fracciones:bcaddcbadcba==:Ej.:4585942459245:92=⋅⋅==22
  23. 23. 13. Problemas con enunciado y de aplicación:Es conveniente considerar las siguientes recomendaciones generales paraformular un problema en términos de una expresión algebraica o ecuación:- lea reflexivamente el problema, identificando los datos dados y la cantidaddesconocida que se debe encontrar.- exprese la cantidad desconocida por x u otra letra.- bosqueje la situación planteada a través de un dibujo considerando losdatos e incógnita.- reconozca las relaciones que existen entre los datos conocidos y lacantidad incógnita.- formule una expresión algebraica o ecuación que refleje el enunciado delproblema.- resuelva la ecuación planteada.- analice la solución al problema respecto de sus condiciones iniciales yconcluya. Propiedades de los decimales:1. Decimales finitos; su denominador es una potencia de 10.2. Decimales infinitos; pueden ser periódicos o semiperiódicos.3. Lecto-escritura de un decimal:Ej.: 2 4 , 0 5 6 1 3 7 = 24 enteros 56.137 millonésimas7 millonésimas3 cien milésimas1 diez milésimas6 milésimas5 centésimas0 décimas4. Conversión de un decimal finitoa fracción: “como se lee, se escribe”en función de las potencias de 10.Ej.:541088,0 ==125257100020561000562056,2 == o5. Conversión de un decimal periódico (dp) a fracción:23
  24. 24. períodoeltengacifrascomotantosdadadecimalcifradp9=Ej.:116995454,0 == (el período es 54)6. Conversión de un decimal semiperiódico (dsp) a fracción:oanteperíoddelcifrassegúntantosdeseguidoperíodocifrassegúntantosperíodoantedecimalcifradsp0,9−=Ej.:1982599012599013138813,0 ==−= (el período es 8 y el anteperíodo es 13)7. Multplicación por una potencia de 10: ( )→ la coma se corre hacia laderecha, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10 o loindique el exponente de ésta. Note que la cifra crece.Ej.: 49,01000049,0 =⋅ 5600106,5 3=⋅8. División por una potencia de 10: ( )← la coma se corre hacia laizquierda, tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10 o loindique el exponente de ésta. Note que la cifra disminuye.EJ.- 000049,0100:0049,0 = 0056,010:6,5 3=• DEFINICIÓN DE POTENCIA.......aaaaaan⋅⋅⋅⋅= a ∈R, n ∈N +donde se identifican los siguientes elementos:a es la basen es el exponente, e indica las veces que se repite la base como factor.• PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS.1) Signos de una potencia :a) una potencia de base positiva, siempre es positiva.b) una potencia de base negativa es positiva si n es par, y es negativa si n esimpar.2) Potencia de base 1: 11 =n3) Potencia de base 0: 00 =n4) Potencia de exponente cero: 10=a , a≠05) Potencia de exponente negativo =−na pa1,a≠06) Producto de potencias de igual base: mnmnaaa +=⋅24
  25. 25. 7) División de potencias de igual base: mnmnaaa −=:8) Potencia de otra potencia: ( mnmnaa ⋅=)9) Elevación de un producto a potencia: ( ) nnnbaba ⋅=⋅10) Elevación de un cuociente a potencia:nbannba= , 0≠b11) Potencia de exponente fraccionario: m naamn= , 0≠m12) Las potencias como operación tienen prioridad ante la suma, resta, multiplicación y división.Ej: Determinar el valor de16293165924532 22=+⋅=+⋅13) Las potencias no cumplen con la propiedad distributiva respecto de la suma y resta.( ) nnnbaba ±=/±Ej: En ( )235 + no se puede distribuir como 2235 +sino se debe desarrollar como prioridad la operación al interior del ()resultando64)8()35( 22==+• NOTACION CIENTIFICAEs una manera de escribir cantidades muy grandes o muy chicas en formaabreviada utilizando las potencias de 10 tanto con exponentes negativos comopositivos.A continuación se presenta un resumen de las potencias de 10 y los prefijosy sufijos que se sustentan en ellas y que son de gran utilidad en las diferentesasignaturas de tu especialidad:NOMBRE SIMBOLO VALORYotta Y 1.000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 2410Zetta Z 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 2110exa E 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000 = 1810peta P 1. 000. 000. 000. 000. 000 = 1510tera T 1. 000. 000. 000. 000 = 1210giga G 1. 000. 000. 000 = 910mega M 1. 000. 000 = 61025
  26. 26. kilo K 1. 000 = 310hecto H 100 = 210deca D 10unidad 1deci d 0.1 = 110−centi c 0. 01 = 210−mili m 0. 001 = 310−micro µ 0. 000. 001 = 610−nano n 0. 000. 000. 001 = 910−pico p 0. 000. 000. 000. 001 = 1210−femto f 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 1510−atto a 0. 000. 000. 000. 000. 001 = 1810−zepto z 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 2110−yocto y 0. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 001 = 2410−Ej: 2 nanómetro=2 nm = 9102 −⋅ = 0. 000. 000. 002 m = 0. 000. 001mm= 0. 001 µmEJERCICIOS DE LAS PROPIEDADES DE POTENCIAS.1) Potencias de exponente entero negativo; es conveniente que siempre dejesexpresado las potencias con exponente entero positivo.Ejemplo:91313 22==−425255222==−a)2 3−= b) 3 1−= c) –4 )( 24−=d) 22 −− b = e) )( =−−22b f)=⋅ −3105g) =−2108h) =⋅ −− 224yxi) =−343j) =−3yxk) ( ) =−102,0 l) =−−baab2426
  27. 27. m) ( ) ( ) ( ) =++−−− 336125,025,05,0n)( )=−3331175,02) Propiedad Exponente fraccionario; de esta propiedad nacen las raíces.Ejemplo: 86444 323===a) =328 b) ( ) 328− = c) ( ) =− 313xd) = 21161e) =−3281f) =−31xg) =−328 h) ( )1−−=53i) ( ) =−−313x3) Propiedad Exponente cero: sólo se afecta la letra o número que lleva deexponente el 0.Ejemplo: 20233 aba =a) =07 b) =−032c) ( ) =−03d) =⋅ 0104 e) ( ) =−0yx f) =03xg) ( ) =03x h) ( ) ( ) =0043 yx4) Potencia de otra potencia:Ejemplo: ( ) 3331 ++= nnxxa) ( ) =242x b) ( ) =+− 11 nnx27
  28. 28. c) =43232ya d) ( ) =633,0 xe) =3254t f) ( ) =4051,0 ym5) Multiplicación de potencias de igual base:Ejemplo: bababaxxx 2332 −−+=⋅a) =⋅ xx 23 2 b) =⋅ −+ 11 nnxxc) =⋅ abba 5,032 2d) =⋅ −543,03,0 xxe) =⋅ aa x5,0511 f) =⋅ xxn6,04126) Multiplicación de potencias de igual exponente:Ejemplo: ( ) 1024224313313 xxxxx =⋅=⋅a) ( ) =⋅2222126,0 nnaa b) ( ) ( ) =⋅ −+ nnnnxx 1215,06,0c) =⋅nnxx 252211 d) ( ) ( ) =⋅xxaa 327) División de potencias de igual base:Ejemplos: 24646xxxx== −337474 1xxxxx ===÷ −−a) =÷ xx5b) =÷ 10622c) =÷ +163 xxaa d) =÷ +− 114332 nnxxe) =++342xxaaf) =−xx33 128
  29. 29. 8) División de potencias de igual exponente:Ejemplo:91313494311942222==÷=÷a) =÷3331025b) ( ) ( ) =÷ −+ 3232 xxaac) =2251,0d) =3375,02EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LAS POTENCIAS DE 10.1) Usando potencias de base 10, escribir en forma abreviadaa) 0,000.001.8= b) 400.000.000.000=c) 0,0342 = d) 5,36 =e) 62,8 = f) 108.000.000=g) 0,000.49= h) 200.000=i) –0,000.0002= j) –32.500=2) Escribir en notación científica las magnitudes indicadas:a) En el espacio, la luz recorre 25.920.000.000 km diario.b) El espesor de una hoja de papel blanco corriente es 7 cienmilésimas demetro.c) La longitud de un meridiano terrestre es de 40.000.000 m.d) La velocidad del sonido es de 1.200.000 m/hr.e) La distancia de la tierra al sol es de 150.000.000 km..f) La velocidad de la luz es de 300.000.000 m/s.g) La masa del electrón es 0,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.91kg29
  30. 30. h) El diámetro de un glóbulo rojo de la sangre es de un cienmilésimo de metro.i) La sal de mesa está formada por iones de sodio y cloro. La distancia entreun ión de sodio y uno de cloro es de 0,000000028 cm., aproximadamente.Expresar esta distancia en metros.j) El espesor de la película que forma una pompa de jabón mideaproximadamente un cienmilésimo de centímetro.k) En un milímetro cúbico de sangre hay, aproximadamente, 5.500.000glóbulos rojos.l) La distancia media de Marte al sol es de 229.000.000 km.m) Uno de los átomos más pesados es el de Plutonio cuyo peso y diámetroson respectivamente 0,000.000.000.000.000.000.000.000.39 kg y0,000.000.06 cm.3) Determinar la cifra que corresponde a:a) =⋅ 3102,7 b) =⋅ −2104,6c) =⋅ −4109 d) =⋅ −21018,1e) =⋅ −2102,3 f) =⋅ −5106g) =⋅ 31012 h) =⋅ 2106,3• RAICESUna potencia de exponente fraccionario representa a una raíz, es decir:m nmnaa =Ejemplos:1) 25533 = 2) 878 722 =La raíz enésima de un n° se representa por :abba nn=⇔=Ej:3814= ya que 8134=30
  31. 31. PROPIEDADES:1) nnaa1=2) nnnabba =.3) nnnbaba=mnn maa .=.EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN1.- Calcular las siguientes expresiones:a) 3 97 = e) 0,125 31=b) 5 102 = f) 0,04 5.0=c) =45 g) 16 25,0d) =1821h)−3,0812.- Calcule.====4433332.8)44.3)125.5)9.3)dcbae) =mbbm.f) 3 23 2. xyyx =g) =−+ 53.53h) =x xx xx x 3332.2.23.- Calcular el valor de cada expresión:a) 2425 yx31
  32. 32. b) 3 6664 nmc) 416.81d) 26849 qrpe) 3 38125 baf) =642144.49.64 zyx4.- Descomponer las siguientes raíces:a) 243 b) 50 c)3245.- Descomponer las siguientes raíces:a) 108 + =20b) =+− 250128116 33c) =−+ 8045206.- Calcule:a) 343aab)27250 −c) mnmn 2:128 3d) =+ 5,0:)18,05,0(7.- Calcule el valor de cada expresión:a) 47b) 81c) 3 5 184d) 3 5 6068.- Racionalice:a)76b)8332
  33. 33. c) 3 21mf) 3xzySOLUCIONES:1.- a) 343 b)4 c)25 d) 1/8 e)0,5 f) 0,2g) 2 h)1/22.-a)3 b) 25 c)4 d)2 e)mb f)xy g)2 h)23.-a)5x y2b)4m 22n c)6 d)7p qr 34e)5a b6f9672xy 32z4.-a)9 3 b)5 2 c)2 335.-a) 6 3 +2 5 b)332 c) 56.-a) a b)-1 c)8n d)1,6 e)47.-a87 b)3 c)512 d) 368.-a)776b)423c)bbad)mm3e)y xzzx /3 22LOGARITMOS:El logaritmo de un número , es calcular el exponente el exponente x al que sedebe elevar una base b para obtener cierto número a.Es decir :axab bxlog=⇔= , con b 0〉 , 1≠bEj. Calculemos algunos logaritmos, aplicando la definición:1) 327log3 = , porque 3 273=2) 532log2 = , porque 2 325=3) 3)1251(log5 −= , porqu 1255 3=−33
  34. 34. Ejercicios de autoevaluación 1:Calcular el logaritmo, usando la definición:a) =16log4 b) =216log6 c) =729log3 d) 216log6e) 161log 2/1 = f) =4log 2El calculo del logaritmo, depende de la base . por lo tanto, si queremos clcular ellogaritmo de un número, deberemos explicar la base con la que trabajaremos, porejemplo:664log2 = 364log4 = 264log8 =Podemos observar, que al calcular el logaritmo de 64 obtenemos distintosresultados dependiendo de la base del logaritmo aplicado.Tomando en cuenta la base, tenemos lo que se conoce como sistemas delogaritmos, los más usados son:• Los logaritmos en base 10, conocidos como logaritmos vulgares o deBriggs.• Los logaritmos naturales o neperianos.- Los logaritmos vulgares tienen como base el número 10 , el cual no seescribe.Ej. 1) log 15=1,17609…., este resultado lo entrega la calculadora.Ej. 2) log 1= 0 log0,1=-1log 10=1 log 0,01=-2log 100=2 log0,001=-3log 1000=3 ………….De esto podemos deducir que “el logaritmo en base 10 de una potencia de 10 esigual al exponente de dicha potencia”.nn=10logLos logaritmos naturales tienen como base el número e , cuyo valor ese=2,71828……Se abrevian “ln”, y su resultado lo entrega la calculadora.34
  35. 35. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.1) 01log =b2) 1log =bb3) NMNM bbb loglog).(log +=4) NMNM bbb loglog)/(log −=5) ana bnb log.)(log =Observación: El logaritmo de una raíz , se considera como una aplicación dellogaritmo de una potencia.Cambio de base:baakkblogloglog = , donde k es la nueva baseEsta propiedad permite cambiar la base de cualquier logaritmo. Poder cambiar labase de un logaritmo permite que con una calculadora científica común ycorriente, se puedan calcular logaritmos en cualquier base, esto es cambiarcualquiera de las bases del logaritmo, a base 10 o logaritmo naturales.Ejemplos:Calcular el 8log (16)Si cambiamos la base convenientemente podremos calcular el valor de estelogaritmo.Cambiaremos el logaritmo a base 2, por lo tanto ahora tenemos:8log (16) =8log16log2235
  36. 36. De esta manera podemos calcular fácilmente cada uno de los logaritmos delcuociente, esto es:422 2log16log = y =8log2 log 32 2Aplicando propiedades de las potencias y del logaritmo de la base, tenemos que:3416log8 =Calcular )125(log25Cambiaremos la base del logaritmo a 5 ya que es una base común para 25 y 125.2/325log125log1250log5525 ==Ejercicios de autoevaluación 2 :1.- Descomponer al máximo los logaritmos aplicando propiedadesa) ).log( 32yxb) 3logmc) yx3log2d) 7log325nme) 35.2.3logcbaf) 5 ..logyxyx36
  37. 37. 2.- Expresar como un solo logaritmo las siguientes expresiones:a) xlog2log +b) zx log3log2 +c) ba log31log21−d) zyx log2log31log32−+e) qnm log21log31log5 −−f) y777 log525log313log5 −−3.-) Si log2= 0,3010 log3= 0,4771 log= 0,6989, calcular lo siguientes logaritmos, aplicandopropiedades y utilizando los valores dados como únicos valores conocidos.a) 6logb) 15logc) 56logd) 90loge) 5log8f) )5,1(log15g) ( )64log)24(log)150(log 2345 −+Soluciones a los ejercicios de autoevaluación del capítulo1. a) 2logx+3logy b) 1/2log m-log3 c) 1/2 yx 222 log3loglog −−d) 2 3log5 +m −n5log 7log5 e) +3log5 +a5log c55 log312log21−e) 4logx-2logy-4/5logx-4/5logy2. a) log x2log2 b) logx 32z c)3logbad)23 2logzyx37
  38. 38. e)qnm35log3. a) 0,7781 b) 1,1760 c) 0,0792 d) 0,9770 e) 0,3869f) 0,1497 g) 3,5626EJERCICIOS PROPUESTOS DE LOGARITMOSI.- Desarrolle los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de los logaritmos.1) =+ 8log64log 1624272) =+ 32log8125log 8259143) =+ 16log641log 125,02340-4)=27log31– 65) )49(log16log)169(log236434 ++ =326) =−+ 32log000.10log512log 28 27) =+− )102432(log)216125(log)94(log216532 48) =+− 000.10log449log325log2 75 149) =+− )8116(log2)32125.3(log4)827(log7235232 -910) =−+ )343216(log5)1258(log2)4925(log4765275 -111)=−+ 243log6125log732log2315141438
  39. 39. II.- Desarrolle cada uno de los siguientes ejercicios como suma y resta delogaritmos:a) =5,075,032logdcbab) =−+ 5,02)32log( xxc) =+22315332)(logwzzwzwd) =+−322143)()(loggfgfdcIII.- Reducir a un solo logaritmo:a) =+−− edba log32log43log32log43b) =−+ 12log38log32c) =−−−++ )1log()1log()1log( 2xxxd) =−−− )5log()25log( 2aaIV.- Calcular x en:a) 32log41 −=x b)21log 2,0 −=xc) 4log 2=x d) log 3x =-2e) log5,04=x f)6log21 =xg) x25,0log =-2 h) log32 5=xV.- Calcular el valor de la base :39
  40. 40. a) xlog 125= -3 e) log x 36427−=b) xlog 49= -2 f) xlog 2363=c) log x 343−=g) log x 0,729= 3h) log x 0,25=.-2VI.- Calcular el valor de cada uno de las siguientes expresiones:a)( )=−+3235332281log27log16log32log3195−b) ( =− 25125log5 237 32 )243log8log 34925c) ( )513311 169log121log − 916log: =43158−d) ( )[ ] 5257log49log125 25log = 32e) ( ) =3 23 27log332 243log:256log 54VII- Aplicando propiedades llegue a la solución más simple:a) 32logloglogxxyyx −=b) 125log32log64log25log⋅⋅=54c) =2log16log8d) ( ) ( )=323log:81log 24e) =+− 75,0log275,6log5,1log 2log3−40
  41. 41. f) =5,04 32loglogaa31g) ( ) =÷ 04,0log5log 343−h) =+−24332log95log21675log log 2VIII.- Calcular el valor de los siguientes logaritmos:a) =⋅)749343(log71 -4b) =⋅ )328(log2 8c) =2log281IX.- Calcular el antilogaritmo (x = argumento):a) 2log 3,0 =x b) 2log32 −=xc)2log98 −=xd) 3log 004,0 =xAPLICACIÓN DE LOS LOGARITMOS41
  42. 42. 1. Si se depositan P dólares al 8 por 100 de interés, compuesto de forma continua, ¿cuánto tiempotardará en doblarse el capital ?Solución : Para representar el hecho de que se dobla el capital escribimosP⋅e0.08t= 2Pe0.08t= 2 /ln0.08t⋅ln e = ln 20.08t = ln 2t =0.082ln≈ 8.662. Calcular el nivel de potencia sonora de una cierra circular que genera 0,02wde potencia sonora.Solución:El nivel de potencia sonora (NWS) es la cantidad producida de energía acústica deárea se calcula mediante la fórmula0log10/WWdBNWS =donde0120 log1010XXdBwattsW == −reemplazando los datoswwdBNWS 121002,0log10/ −=210log10121022log10/ =−−=EEdBNWSdBdBNWS 01,103/ =3. Calcular el nivel de presión sonora (NPS) de un equipo que tiene una presiónsonora de 1,25 N/M2.Solución:Sea 20052log20MNEPdondedBPPNPS −==Reemplazando dBENPS 500,62log205225,1log20 =−=dBdBNPS 967958,420 =⋅=4. La presión atmosférica P ( en libras por pulgadas al cuadrado), a x millas sobreel nivel del mar, está dada aproximadamente por P = 14,7e–0,21x42
  43. 43. ¿A qué altura será igual la presión atmosférica a la mitad de la que existe al nivel del mar?Sugerencia : La presión al nivel del mar es aquélla donde x = 0 Resp.3,3 millas3.-EXPRESIONES ALGEBRAICAS:OBJETIVO: Operar con expresiones algebraicas43
  44. 44. N°de horas: 6 horasDESARROLLO DE CONTENIDOS:ALGEBRA FUNDAMENTALEl álgebra es la rama de las matemáticas que permite expresar cualquier número en forma desímbolosTérmino algebraico: El elemento básico para trabajar en álgebra es el término algebraico .Secompone de signo, coeficiente numérico y factor literalEj. 5x 3Dependiendo de la cantidad de términos algebraicos estos se clasifican en :Monomios: tienen sólo un término algebraico.Binomios : tienen dos términos algebraicosTrinomio : tienen tres términos algebraicosCon más de dos términos en la misma variable (letra) recibe el nombre de polinomioY si la variable es distinta recibe el nombre de multinomio.Términos semejantes :Dos o más términos son semejantes si se componen del mismo literal eigual exponente.Ej: 8x , 27x, -10xTambién son términos semejantes -4a b2y -5 a b2Adición y sustracción de términos semejantes:Un polinomio formado por varios términos semejantes se puede reducir a una expresión sumandoo restando los coeficientes numéricos y manteniendo la o las variables con su respectivoexponente.Ej 8x+ 2x -9x = xActividad 1:Después de escuchar las explicaciones de su profesor resuelva1) Ordenar los polinomios siguientes:a) 1563 432−++− xxxx =b) 3422358 zzzz +−+− =c) 6965 234+−+− aaaa =d) 1034126912yxyxyxy −+− =2) Reducir los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas:a) –x + 19x –18x= b) 7a-9b +6a-4b=44
  45. 45. c) 5x –11y –9 +20x –1 –y= d) 28a-(35a+23b)+45b=e) xy31+ xy61= f) ab53+ ab101=g) 0,25 a +41a = h) 2 yxxyxy 24,051++ =i) 2,5 x + x 2-x –7x 2= j) ax + 5xa –3ax- 0,4xa=k) a x+ a 1+x-8a x- 2a 1+x= l)8xa-3 xa +0,2 xa -0,125 xa =3) Sumar los siguientes polinomios:a) 2a +3b; 6b-a= b) 2x-3y; -4x-3y=c) a 4+ a 6+ 6; a 6-15= d)22222745;2143xyyxxyyx +− =e) 0,25ax – 0,125 ay; ayax8543+ = f) 0,4x 2y -43xy; 0,75yx+ yx25114) Restar el segundo polinomio del primer polinomio:a) 2x + 6y; 9x- yb) 3a 3-5a 2; 6a-9a 3c) 0,2xy – 3x –6y; 2xy-x+ y31d) 1,4ab - a23; aab 5,057+5) Simplificar, suprimiendo los paréntesis y reduciendo los términos semejantes:a) 2a + [a - (a + b)]=b) b) 3x - [ x + y -( 2x+y)]=c) a+{(-2a+b)-(-a+b)-c+a}=d) 2x +[-5x-(-2y+{-x+y})]=e) –(a+b) + [-3a+b-{-2a+b-(a-b)}+2a]=f) 4x 2+ [-(x 2-xy)+(-3y 2+2xy)-(-3x 2+y 2)]=45
  46. 46. 6) Multiplicación de polinomios:Recuerde que : a(b+c+d)= ab+ac+adAplicando la definición anterior , calcule:a) 4x ( 5x- 3x 2+ 6x 3) = b) ( ) 223263 xxxx ⋅−+ =c) ( )( )53 −+ aa = d) ( )( )64 2+− xxe) ( )( )1111 −+−+−− xxxxbaba = f) ( )( )221 −+−− nnnnxxxx =g) –2x (x-7)(x+3)= h) (ax-2)(x+6)(ax-5)=i) +− baba31212131= j) +− xxx 25,0524321 32=k) +− abbaaab 5,03452125,0 3232=l) ( )nnnnyxyx 39,0526,0 −+ =7) División de polinomios:(a+b+c): d=a:d+b:d+c:da) ( ) aaba ÷−2= b) ( ) xxxx ÷+− 234 =c) ( ) mnmnnmm 22086 223−÷+− = d) ( ) xxxxx 515105 234−÷+−− =e) ( ) abaaba 2653 2223−÷−− = e) ( ) 24232353 xxayx −÷− =f) ( ) 21aaa mx÷+ −= g) ( ) 242 ++−÷ aaxx =h)3221 2÷x = i) baba 235453−÷− =j) xxx323221 2÷− = k) ( ) ( )3323+÷−+ aaa =l) ( ) ( )xxx −÷−+ 38152= m) ( )÷+−− xyyx 22815 22 ( )xy 32 − =46
  47. 47. RESPUESTAS:1)a) 1635 234−−++ xxxx b) 3825 234−−++ zzzzc) 6596 234+−−+ aaaa d) 1210369412yyxyxyx +−−2) a) 0 b) 13a-13b c) 25x-12y-10 d)-7a+22b e) xy21f) ab107g) a21h) xy523i) xx 5,16 2+− j) 2,6ax k) 17 +−− xxaal)xa514−3) a) a+9b b) -2x-6y c) 92 46−+ aa d) 2232 xyyx +e) ayax21+ f) yx220294) a) –7x+7y b) aaa 6512 23−− c) yxxy319259−−− d) –2a5) a) 2a-b b) 4x c)a-c d) –2x+y e) –a-b+2c f) 22436 yxyx −+6) a) 432241220 xxx +− b) 3451262 xxx −+ c) 1522−− aad) 2446 23−−+ xxx e) 2211222 −−+++− xxxxbbaaf) 1213223 −+−+−− nnnnxxxx g) xxx 4282 23++−h) 60104276 22232++−−+ xaaxxaxa i)226136561baba −−j)nyxx 2355640751−− k)32532416161201bababa +− l)nnnnyyxx 225625365027−−7) a) a-b b) 142+− xx c) nmnm20432−+ d) 3251 23−++− xxxe)22335xay +− f) 32 −−+ mxaa g) 22x− h)243xi) a43j) 143−x k)3301132+++−aaa l) 5-xPRODUCTOS NOTABLES:I.- CUADRADO DE BINOMIO: ( )2ba ± = 222 baba +±1) Abrevie y aplique la fórmula para desarrollar los cuadrados de binomiossiguientes:a) =−− )2)(2( xx b) (ab+5)(ab+5)=47
  48. 48. c) ( )( )xyxy −− 33= d) ( )( )2233 zxyxyz ++ =e) ( )( )xmzzxm −− = f) ( )( )23323223 abbabaab −− =g) ++ 225,0355,035kknkkn = h) −−3875,03875,0 lmlm =2) Exprese como Cuadrado de binomio:a) 2296 yxyx +− = b) 2961 aa ++ =c) 251022+− abba = d) 5310624169 nmnm ++ =e) 49142+− xx = f) 2225309 yxyx ++ =g) 22444 bbaa ++ = h)224943512259dada +− =3) Completar con el término que falta para que sea cuadrado de binomio:a) .....102++ xx = b) 2236....... nm +− =c) 4942....... ++ x = d) .......182+− yy =e) 2264....... qp ++ = f) .....8064 2+− xyx =g) 1........25 2++x = h) 22........4 yx +− =i) .....22++ xyx = j) .....816 ++ a =k) 4....49 22++ba = l) 26....... yy +− =II.- CUBO DE BINOMIO: ( ) 3223333 babbaaba ±+±=±1) Aplique directamente la fórmula antes dada:a) ( )323 −a =b) ( )345 yx + =c)324211 − yx =48
  49. 49. d)3314,0 + nm =e)343125,0 − mm =f) ( )21,0 xxy − =g)325,032− yxm =h) ( )32..33,05,0 +c =III.- SUMA POR DIFERENCIA: ( )( ) 22bababa −=−+1) Resuelva utilizando la fórmula correspondiente:a) ( )( )zaxzax 6262 +− = b) ( )( )xzmxzm 9797 −+ =c) +− mstmst5225,05225,0 = d) +− 43435475,05475,0 qpqp =e) −+ 323252125,052125,0 rhrh = f) ( )( )1313 −−−−−+ nnnnaxax =2) Expresar como suma por diferencia:a) 222536 yx − = b) 21001 x− =c) 269ba − = d) 220009,001,0 yx − =e)223649259ba − = f) 8625,004,0 us − =g)121096410081gd − = h) 116,0 6−f =IV.- PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TERMINO IGUAL:Procedimiento; 1° Producto de los dos primeros términos2° Suma algebraica de los dos segundos términos,por el primer término.49
  50. 50. 3° Producto de los segundos términos1) Utilice el procedimiento más breve y directo para resolver los siguientesproductos:a) ( )( )79 ++ xx = b) ( )( )67 ++ xx =c) ( )( )128 −+ yy = d) ( )( )155 −− ss =e) ( )( )yxyx 53 22−− = f) ( )( )5232 −+ xx =g) ( )( )mrmr −+ 787 = h) ( ) +− lblb831,0125,01,0 =V.- TRINOMIO CUADRATICO PERFECTO:Procedimiento:1° Se transforma en el producto de dos paréntesis cuyos primerostérminos son iguales y resultan de descomponer el primertérmino del trinomio cuadrático una vez ordenado.2° Se buscan dos números que multiplicados resulten el tercer términodel trinomio dado, y que a su vez resulten iguales al segundotérmino del trinomio.1) Aplicando el procedimiento transforme a dos binomios con un término igual.a) 20122+− aa = b) 2082−+ xx =c) 202−+ aa = d) 20192−+ mm =e) 62−− xx = f) 652+− xx =g) 22103 yxyx −− = h) 221610 yaya ++ =i) 1112 48+− xx = j) 189 2040+− xx =k) ( ) ( ) 1582++++ nmnm = l) ( ) ( ) 822−−−− yxyx =m) 22127 baba +− = n) 3013 24+− zz =ñ) 48142+− hh = o) 3013 36−− dd =50
  51. 51. VI.- TRINOMIO CUADRATICO IMPERFECTO:Procedimiento: 1° Amplifique todo el trinomio por el coeficiente numérico del primertérmino de él.2° Dé forma de trinomio cuadrático perfecto3° Factorice para simplificar el denominador yobtener así sólo números enteros.1) Aplique el procedimiento anterior y transforme como producto de dos binomioscon un término igual:a) 1252 2−+ xx = b) 2073 2−− mm =c) 2137 2−+ xx = d) 576 2−+ xx =e) 3148 2+− xx = f) 22538 baba −− =g) 22235 yxyx −+ = h) 223196 baba +− =i) 2215172 yxyx +− = j) 226113 hhkk +− =VII.- SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS: ( )( )2233babababa +±±=±1) Descomponga en factores:a) 33278 yx + = b) 3364125 ba − =c) 62161 m+ = d) 1729 3−k =e)315125,081na + = f)10001271 6−d =g)9627864 ml + = h) 001,06−nx =2) Exprese como suma o resta de cubos perfectos:a) ( )( )222515953 yxyxyx +−+ =b) ( )( )22168442 yxyxyx ++− =c) ( )( )11 2++− xxx =d) [ ]22)()()( zzyxyxzyx ++++−+ =51
  52. 52. e) )964)(32( 2+−+ xxx =f) =+−+ )252016)(54( 22yxyxyxg) =+−+ ))(( 844844bbaabaVIII.-CUADRADO DE TRINOMIO: ( ) acbcabcbacba 2222222±±±++=±±Aplicar la fórmula anterior para el desarrollo de los siguientes ejercicios:a) ( )232 zyx ++ =b) ( )2745 cba +− =c)21,05,032−+ nm =d)2275,02325,0 +− phd =e) ( )26,03,010 +− nm =“LA VOLUNTAD DE VIVIR NOBLEMENTE ES LO QUE DA VALOR A LA VIDA DEL SERHUMANO”FACTORIZACIÓNLa factorización es una operación que permite escribir una expresión comoproducto, sin alterar el valor de ella. En Algebra los factores pueden ser de trestipos;numérico, literal o completo, es decir contiene los dos primeros casos.I.-FACTOR NUMERICO:-se busca el número más grande que divida a todos loscoeficientes numéricos dados sin exepción; a este número se le identifica comoMáximo Común Divisor (MCD).Identificar el MCD y factorizar:a) 15a+10b= b) 8m-12n=c) 16a-20x= d) 24y-18z=e) 32x+24m= f) 0,5x-0,1y=52
  53. 53. g) 0,25s+0,06t= h)1,5a-2,5b=i) 0,6m+0,8n= j) 75x+100y=k) 72m+ 48r= l) 120s-100k=II.- FACTOR LITERAL: se reconoce como la o las letras repetidas que estáncontenidas en todos los términos dados, considerando el menor exponente dado,respectivamente.Identificar el factor literal y factorizar:a) 94aa + = b) 733xx − =c) 3254 mm + = d) 274hvh − =e) 5293nmnm − = f) dxd 512 5+ =g) yrr 8776 + = h) amma +533 =i) xxnn 26,0 − = j) 3264 +++ mmaa =k) 4,5g-2,7h= l)0,01a+0.02m=III.-FACTOR COMUN: se caracteriza por contener los dos casos anteriores enforma simultánea, siendo generalmente el factor un monomio pero también sedá el caso de polinomios:1) Factor común monomio:a) 364 xx + = b) 33618 aax − =c) 962820 aa + = d) 956,04,0 xx − =e) 4327248 mnmn − = f) 765,15,2 xx + =g)2451294xx + = h) abba 2,0518 43− =i)392441575,0 jhjh − = j)8683125,0 pp + =k)581549xxy − = l)1013433415 ss + =53
  54. 54. m) 32862 xxx ++ = n) 2522yxyx nn +++ =ñ) 92536452 ++++− nnnaaa = o)bababa 96 23−+ =p) 3627891681xx−+ = q) =−+ +++ qmpmnmxxxIV.-FACTORIZACION CON USO DE PRODUCTOS NOTABLES:Ις En cada uno de los siguientes ejercicios, utilize las recomendaciones defactorización dadas anteriormente y una vez que las haya aplicado revise si elresultado obtenido representa alguno de los productos notables antes vistos.a) 1002−x =b) 100202+− xx =c) 2961 aa ++ =d) 269ba − =e) 5310624169 nmnm ++ =f) 221478412 yxyx +− =g) 2332312123 yaxyaxa +− =h) 247254 36+− mm =i) 24626126 mamma +− =j) 189 2040+− xx =k) 65 36++ xx =l) ( ) ( )baba −−− 72+12=m) ( ) ( ) 1582++++ nmnm =n) xx 9,04,0 3− =54
  55. 55. ñ) 351622 aa − =o) xyyx 7512 3− =p) mnnm 2045 3− =q) abba 1805 3− =r) 25102++ yy =s) 108624 2−− hh =t) 2753 x− =u) 6483 a− =v) 63512898 yxx − =w) 2320500 xyx − =y) 22164yxax − =z) 32331 aaa −−+ =Soluciones:I.-a)5(3a+2b) b)4(2m-3n) c)4(4a-5x) d)6(4y-3z)e) 8(4x+3m) f) )51(21yx − g) )25321(21ts + h) )5321ba −ii.-a) )1( 54aa + b) )31( 43xx − c) )54(2mm + d))1( 722−vhhe) )1( 452−mnnm f) )512( 4xdd + g) )76(7ryr + h))13( 42+maamiii.-a) )32(2 2xx + b) )2(18 2axa − c) )75(4 36aa + d) )32(51 45xx −e) )32(24 32nmmn − f) )35(21 6xx + g) )5391(4 22+xx h))118(51 32−baabi) )51(43 524jhjh − j) )31(81 26pp + k) )253(43 4xyx − l) )57(43 310+ss55
  56. 56. m) )43(2 2xxx ++ n) )1(32yxyx nn +++ ñ) )52( 41252aaaa nnn+−++o) )96( 2−+ aabap) )381691(91 36xx −+ q) )( qpnmxxxx −+iv-a)(x+10)(x-10) b) 2)10( −x c) 2)31( a+ d) )3)(3( 33baba +−e) 253)43( nm + f) 2)72(3 yx − g) 23)2(3 yxa − h) 23)23(6 −mi) 22)1(6 −am j) )3)(6( 2020−− xx k) )2)(3( 33++ xx l)(a-b-3)(a-b-4)m)(m+n+5)(m+n+3) n) )32)(32(101−+ xxx ñ) )9)(9(2 3−+ aaao)3xy(2x+5)(2x-5) p) )23)(23(5 −+ mmmn q) )6)(6(5 −+ aaabr) 2)5( +y s)6(4h-9)(h+2) t) )51)(51(3 xx −+ u) )41)((41(3 33aa −+v) )87)(87(2 333yxyxx −+ w)20x(5x+y)(5x-y) y) )21)(21(4yayax −+SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.Utilizando factorización y productos notables reduzca a su más simple expresión:a) yxyx75502114++= Rp:257b)nmnm48363627−−= Rp:43c) 22222 nmnmnm++−= Rp:nmnm+−d)xxxx26522−+−= Rp:xx 3−e)33124−−xx= Rp:312+xf)1612722−+−xxx= Rp:43+−xx56
  57. 57. g)652322+−+−xxxx= Rp:31−−xxh) 4331007525xxx−= Rp:x431−i)4542522−−−aaa= Rp:95−−aaj)15251142424−−−−xxxx= Rp:51722−−xxk)aaxaxaxa209162222++−= Rp:5)4(+−xxal)1223++−xxxx= Rp:1)1(+−xxxm) 2233baba−−= Rp:bababa+−+ 22n)1401554227322−−+−xxxx= Rp:)4(5)2(3+−xxñ)xxxx26522−+−= Rp:xx 3−o)1899622+−+−mmmm= Rp:63−−mmp)bababa332 22+++= Rp:3ba +q)xxxxxx441032323+−−+= Rp:25−+xxr)1123++−xxx= Rp: 1−x57
  58. 58. 4.-ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESOBJETIVO:- Desarrollar ecuaciones lineales, cuadráticas, literales, exponenciales eirracionalesN° de horas : 9 horasDESARROLLO DE CONTENIDOSECUACIONES:Las ecuaciones son igualdades que se hacen válidas para un único valor o másde un valor l.el número de soluciones que puede tener una ecuación depende delgrado o exponente mayor de la variable.Como por ejemplo:• Ecuación lineal (de primer grado ), tiene una unica soluciónEj: 2x+3=9• Ecuación cuadrática (de segundo grado), Tiene máximo dos soluciones.Ej: 4x 0122=−+ x• Ecuación cúbica o de tercer grado: Tiene máximo tres solucionesEj: 3x 0123=− x58
  59. 59. I.- ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADOSu forma general es :Ax+ B= 0, con A 0≠Esta ecuación se relaciona con la línea recta, de ahí que también se conoce comoecuación lineal, la que se estudiará más adelante.Para resolverla debemos debemos recordar:a) Al tener una igualdad , podemos sumar, restar, multiplicar o elevar al cuadrado,etc . Siempre y cuando la operación se aplique a ambos miembros de la igualdadb) Se despeja la incógnita, aplicando las propiedades de los inversos aditivosy/o multiplicativos, según sea el caso, después de haber desarrollado todaslas operaciones indicadas.Ejercicios1.-Resolver las siguientes ecuaciones:1) 5x(8-x)-3x(5-3x)= -26-2x(7-2x)32−2) x+3(x-1)= 6-4(2x+3)41−3) (x+1)(2x+5)=(2x+3)(x-4) -14) 14x-(3x-2)-[ ])1(25 −−+ xx =0 175)25122 xxx =+−192−6)10153282345213−−=+−+−− xxxx-259
  60. 60. 7)  −= +36435132 xx148) 05132514233461253=+ −− +− − xxx21−9) −−=−−−273123xxxx1510)218510199522=+−−+xxxx211)1332122 22−−=−−xxxxxx2112)43254385−+=++xxxx1120−13) 75,021221=−+xx4714) 222)8()2()4(2 −=−−− xxx 915)420451283315710 2+−−+=+−xxxxx1616) 2)5(2)3()73(6)1(5 22−+−−=−−−− xxxxxxx37−17) )2(745)3)(3( 2 xxxxx −−=−−−+26918)432221211729 ++=−−−xxxx 119)21181)13( 2−=−− xxx71−20)1312112−=−−+−xxx 34−60
  61. 61. 21) 2551444233332225=−−−−++−+−− xxxxxxxx1310222)6472944413272+−−−=−−+xxxxx2123) 29114331213121xxxxxx−−−=−−−++1424)1321963222−=−−xxx94−25)32)17(211)3()3(222−−+++−=−+xxxxxxx53−26)223223)1(12+−=−−− xxx227)126773524358327622−++−=−−−++xxxxxxxx528)6278326324222−−+=+−−−+xxxxxxx329) 15)1(3)1(3 22−=−−− xxx 330) 35)2(3)3(2)1( 22++=+++ xxxx 231))1(9715)1(1871513)1(65922−−=−−−+−+yyyyyyy2542−II.-ECUACIONES LITERALES1) abxbxbaxa =−+− )()( 22a+b2)22)()1()( xaabaxabxba +=++− b61
  62. 62. 3) −=+ 143132axax17a4)xbbacxa+−= )(c15)axabbxba 2439−=− 3a+2b6) −= +−−2322)(412axaaxaxx17a7) 11)2)(2(113322−−=−−−−−axaxaxaaxax3a8) 222222)(232)(bxbbxxbxabxbxaxb−−+=+−++−−ab29) 222)()()( baaxax +=−−+aba4)( 2+10)aaxaxaxax +=+++12221 a−11) 22)2(xaxcaxaxcxaxb−−=−−++−cbab−12)axbabbabxa 3312622 22+=−−+2a+3bIII.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOSe resuelven por factorización o aplicando la fórmula:X=aacbb242−+−Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones:1. 185)3( 22=−+ xx 11;-82. 4)2)(13( −=−+ xx 1;323. xx 155 2−= 0;-362
  63. 63. 4. 23)5()32( 22−=+−− xx31;75. 222)2(319911)1( −−=++− xxxx 17;-126.611121=−−− xx4;-17.247185+−=−−xxxx25;48. 1511152−=+−xxx5;1 −9.xxxx 742=++8;-910. 5363 =+++xx 1;611. 54=+xx 1;1612. 116513 +=++ xxx 0;513. 53234 −=−−− xxx32;314. 813 )2)(1(=+− xx2;-315.1351353++=−+xxxx32;1 −16. 243 2=−+ xx 3;-417. 018321 =+−+++ xxx171;3 −18.3252732+−=++xxxx423;6 −19.581555+=−−+xxx 3;-763
  64. 64. 20. 155 −=+ xx 5;1021. 5,25,16−= xx 311;1 −22. 5,0223−=xx34;3 −23. 82 12=− −−xx21±24.Raíces de la ec. de 2° : Determinar la ecuación dadas las raíces de ec de 2°utilizando las siguientes fórmulas:abxx −=+ 21acxx =⋅ 21(a) 5 y 9 045142=+− xx(b) 32;32 − 0122=−x(c)21;4303108 2=+− xx(d) 3,54− 012115 2=−+ xx(e) 3,32− 0673 2=−+ xx(f) 6±(g) 1;3210 032353 2=+− xx(h)23;0 xx 32 2=IV.-ECUACIONES IRRACIONALES1) 283=−x 162) 0135 =+− x 83) 9257 3=+− x -24) 121715 3=−− x 464
  65. 65. 5) 67657 =+ x 246) 37439 =− x7647) 175153 =+−x -18) 62)74(3=+x4179) )57(3)135(2 +=+ xx 110) 311518=− x911) 23153=+++ xx412)418432132=+−+ xxxx 8113) 42115,0 =− xx 1614) 04723 =+−− xx 1115)32)3(4518325++=−−+xxxx 316)114−+=+xxx 517) 01518667542=+−−−+ xxx4118) 41510 =++ x 719) 352312 =−− x 320) 41724 =++ x 521) 445737 =+− x 165
  66. 66. 22) 3246 =+++ x 2323) 2235 =−++ x 624) 77 =++ xx 925) 15195 −=−− xx 2026) xx 241313 =+− 927) 4816 −=+−− xx 17V.- ECUACIONES EXPONENCIALES.Son aquellas que tienen la incógnita en el exponente, es decir tienen laforma:bax=Se resuelven• Igualando las bases• Aplicación de logaritmosEjercicios : Resuelva las siguientes ecuaciones1. 93ccc xx=⋅ −62. ( ) ( )717515 −+= xxaa213. 155 )31(4)25(3=⋅ −− xx324. 353233134−−−=xxaa 05. 62625,016 −+= xx23−6. 32135,04 +−= xx81−7. 193 1=⋅+x3−66
  67. 67. 8. xxaaaa3237=219. xxaaaa 4758⋅= 310. 422432 −= xx7611.5613528125,05,0:4xxx−−−⋅=325−12. 155432125,03225,0:4 +−+−⋅= xxxx411413.22153231221481:2xxxx⋅=−−−413414.9325314291:27319++−=⋅xxxx015. 32552315:3210 +−−= xxx-816. 1334)2(3=−+xx-517. 1132=⋅⋅ ++ xxxaaa -118. ( ) 1: 5,45 7643=⋅−−aaa xx819.xxx273181271213=⋅+−-4120. 3414255,081632 ++−=⋅ xxx14521. 927131:9441212=−+ xx2367
  68. 68. 22. xxx49669871544 −−−=⋅323. 12340625,032 −−= xx424. 6 4348 6927: −+−⋅= xxxaaaa4512225. ( ) 1: 5,45 7643=⋅−−aaa xx-726. 4 924 68130 27820 9415 32:: aaaaa xxxx −−−−⋅=10327.28113375,0−+=x828. 5135,04 −−= xx129. 323 2: aaax=+-513VI.- ECUACIONES LOGARITMICASEjemplo: Cuál de las siguientes alternativas es el valor de la ecuación1)2(log)12(log 33 =−−+ xxA) x=-3 B) x=3 C) x=7 D) x= -7Solución: - 1° se transforma el entero 1 a forma logarítmica, cuidando de quesea en la misma base de los otros logaritmos dados.3log)2(log)12(log 333 =−−+ xx- 2° se agrupan logaritmos a cada lado de la igualdad, usando laspropiedades que correspondan (ver síntesis teórica)3log212log 33 =−+xx- 3° se simplifica y opera algebraicamentex = 768
  69. 69. 1) 5loglog)215log()2log()43log( −++=++− xxxx 52) )log()log()log(log axaxaxx +−−=−−3a3) 0)1log(4log1log =+−++− xxx 54) 0)79log(57log2 =−−+ xx 65) 1)4log()23log( +−=+ xx 66) 12loglog)2log( =−+ xx1127) 27logloglog2 =+ xx 38) 1)52(log)25(log 33 =+−− xx -179) 2)3log()5log( 2=++xx32−10) 1)2(log)12(log 33 =−−+ xx 711) 5log30log6loglog 2222 −=+x 112) 2)72(log)45(log 55 =−−− xx51913) 2)3(log)8(log424=++xx61−14) 3)8(log)89(log 222 =−−+− xxx 915) )1log(log)9log( +=−+ xxx 316) 5log60log2loglog −=+x 617) 5,4log172log57log +=+++ xx 1018) ) )52log(21log3log)log(212log +−=−−+ xxx 10; 269
  70. 70. 19) 0)log(log)log()log( =−−−−++ axxbxaxbaab−220) 2,1log15log43log +=+++ xx331;4−21) 2)3log()5log( 2=++xx32−22) 3)2log()56log( 3=−−xx4;-223) 25,0log)5(8log0625,0log)53( ++=+ xx x51424) 5332 ++= xx3log2log2log33log5−−25) 532 −+= xxbababalog3loglog5log2−−−26) 2135623 −−=⋅ xxx21−27) 130log5log32log −=−+− xx21;628)221)23(22 =+ −− xx2log23log22log +29) )5log(2)7log(+=+xx-3;-630) 81105,052 −+=⋅ xx731) 656132=x432) 7293 42=−x570
  71. 71. 33) 3055 63=+ xx334) 19 1272=+− xx3;435) 3437 952=+− xx2;371
  72. 72. .SISTEMAS DE ECUACIONESI.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:1) 819287=−−=−yxyx2) 18)1(5)1(67)3(2)2(3−=+−−=−+−yxyxRp.: (10,9) Rp. (3,5)3))1)(2()2)(5()4)(3()7)(4(−+=−++−=+−yxyxyxyx4)145273203458=++=−+yxyxRp: 7,5) Rp: (3,2)5))45(44)3(56−=−=yxyx6)7253782537−=+−+=−++yxyxRp: (60,5) Rp: (2,15)7)0=−+=+yaxbaybx8)abaybxbyax60=+=−Rp: (ab,b) Rp: (3a,3b)
  73. 73. 9)16251835723−=+−=+−=+zyxzyx10)864−=−−=−−=−yxzxzyzyxRp: (-1,-2,-3) Rp: (7,6,5)11)12027322053=−=++=−xzzyxyx12)2112+=+==++xzxyzyxRp: (10,2,20) Rp: (3,4,5)13)33375223211=−−=−−=−−xzzyyx14)131433151422161511=++=−+=++xzzyyxRp: (5,7,9) Rp: ( )21,31,4115)621416312164131=+=+=+zxzyyx16)158209127=+=+=+zxzyyxRp: (12,8,6) Rp: ( )51,41,31II.-SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
  74. 74. En general los sistemas de ecuaciones de segundo grado se puedenresolver en su mayoría por dos métodos que son:- por sustitución- por igualaciónCualquiera sea el método, estos sistemas se presentan en diferentes formas ocasos y su aplicación está presente en todas las disciplinas, por ello resultanecesario que lo integres como otra de las herramientas o medios con que aportala matemáticas a la solución de problemáticas de especialidad.CASO I.- Combinación de una suma y de un producto(En este caso se recomienda despejar una variable en función de la otray luego sustituir)Ejemplo-. 3x - 2y=72xy=40Solución:despejar cualquiera de las dos variablesxy20=sustituir en el sistema original 72023 =⋅−xxformar la ecuación de 2°grado 04073 2=−− xxresolver la ec. de segundo grado385 21 −== xxpor lo tanto2154 21 −== yyCASO II.- Combinación cuadrática y una linealSe recomienda despejar siempre de la ecuación lineal y luego sustituir.Ejemplo:3562522=+=+yxyxSolución:despejando y xy −=35sustituyendo y 625)35( 22=−+ xxformando la ec. de 2° 0300352=+− xxresolviendo la ec. de 2° 2015 21 == xxreemplazando se obtiene 1520 21 == yy
  75. 75. CASO III: Combinación de cuadrados, sumas y productos.Se ordenan e igualan coeficientes.Ejemplo:015403322=+−=−−xyyyxySolución:ordenando 1543322−=+−=−yxyyxyigualando coeficientes 1546642−=+−=−yxyyxyse obtiene 23 == xypor lo tanto las soluciones son322121====yyxxCASO IV.- Combinación de sumas y restas de cuadrados.Despejar una variable y sustituirla en la otra.Ejemplo:151132222=−=+yxyxSolución:despejando x81282 2±==xxsustituyendo este valor71564 2±==−yyEjemplo:1357532222=+=−yxyxSolución:igualando coeficientes51525211592222=+=−yxyx
  76. 76. despejando x1713±=xsustituyendo en cualquier ecuación1716−±=yEJERCICIOS PROPUESTOS1) 3615==+xyyxRp: x=12 x=3 y=3 y=122) 8512==−xyyxRp: x=17 x=y=5 y=-173) 18728==+xyyxRp: x=17 x=11 y=11 y=174)1617822=−=+yxyxRp: x=43 x=-51 y=-51 y=43SESION 10OBJETIVO: RESOLVER PROBLEMAS APLICANDO ECUACIONE Y SISTEMASDE ECUACIONESPROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES Y SISTEMASDE ECUACIONES.1. Un neumático sin cámara, que tiene una capacidad de 16 litros, soporta unapresión de 1,93 atm cuando la temperatura ambiente es de 20°C. ¿Quépresión llegará a soportar dicho neumático si, en el transcurso de un viaje, lasruedas alcanzan una temperatura de 80°C?Solución:
  77. 77. Datos: Ley de los gases:222111TVPTVP ⋅=⋅T° Kelvin= T° Celcius+273xPatmPcteltVVKTKT======+°==+°=21212193,1.163532738029327320⇒353162931693,1 ⋅=⋅ xx= 2,73 atm2. La suma de las longitudes de dos pasadores metálicos es de 21 cm. Si lalongitud de uno de ellos es el doble de la longitud del otro. ¿Cuál es la longitudde cada pasador?Solución:Datos: x = longitud pasador menor2x = longitud pasador mayorentonces x + 2x = 21x = 7es decir el pasador menor mide 7 cm y el mayor 14 cm.3. El eje de un torno gira a 96 revoluciones por minuto (rpm). ¿Cuántos minutostarda en dar 5,437 revoluciones?.Solución:N= n° min=°⋅ minNrpm n° de vueltasentonces la ecuación a formular es 557,45,43796==NN4. Para obtener 8 kg de café, cuyo precio es de $4.500 el kg, se mezcla café detipo A que vale $6.000, con café del tipo B que vale $4.000 el kg. ¿Quécantidad de cada tipo tiene la mezcla?Solución:Sea x= n° de kg de café tipo Ay= n° de kg de café tipo Bentonces el sistema que se forma45008400060008=+=+yxyxresultando x = 2 ; y = 6
  78. 78. es decir se necesitan 2 kilos de café del tipo A y 6 kilos de café del tipo B.5. Una empresa electrónica produce aparatos de TV y aparatos estereofónicos.La curva de transformación denominada también curva de posibilidades deproducción, representa las combinaciones posibles y distintas de cada artículoque se pueden producir utilizando eficientemente todos los recursos, lo da laecuación130532=++ TVTSCalcular:a) n° máximo de equipos estéreos que la empresa puede producir.Solución:130031305322=++=++TSTSTVTSTS013032=−+ TSTS1310)1(2)130)(1(49321 −=∧=⇒−−−±−= TSTSTSLa empresa puede producir 10 equipos estéreos.b) N° máximo de TV que puede producir la empresa.Solución:130532=++ TVTSTSpero 13032=+ TSTSreemplazando 26=TVc) Cantidad máxima de equipos si se producen 18 TVSolución:¿TS? Si TV=18 130532=++ TVTSTS130)18(532=++ TSTS04032=−+ TSTS8524049321 −=∧=⇒−⋅−±−= TSTSTSTSes decir se podrían producir 5 equipos.d) ¿TV si TS=7Solución : 130532=++ TVTSTS1305)7(372=++ TV2=TVTVTS
  79. 79. PROBLEMAS PROPUESTOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES1) Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un quinto de cuya suma sea 9.(Rp: 28 y 17).2) Hállense dos números cuya suma sea 34 y cuya diferencia sea 10.(Rp 22 y 12).3) La suma de dos números es 73, y su diferencia, 37; hállense los números.(Rp :55 y 18).4) Un tercio de la suma de dos números es 14, y la mitad de su diferencia es 4;hállense los números. (Rp: 25 y 17).5) La mitad de la suma de dos números es 20 y el triple de su diferencia es 18;hállense los números. (Rp: 23 y 17).6) Si se aumenta en 2 el numerador de una fracción y el denominador en 1, esigual a85 ; y, si el numerador y el denominador se disminuyen cada uno en 1,es igual a21 ; hállese la fracción. (Rp:158 )7) Si a los dos términos de una fracción se añade 1, el valor de la fracción es32,, y si a los dos términos de una fracción se resta 1, el valor de la fracción es21 . Hallar la fracción. (Rp:53 ).8) Dos números están en la relación de 5 a 6. Si el menor se aumenta en 2 y elmayor se disminuye en 6, la relación es de 9 a 8. Hallar los números.(Rp: 25 y 30).9) Las edades de A y B están en la relación de 5 a 7. Dentro de 2 años la relaciónentre la edad de A y la de B será de 8 a 11. Hallar las edades actuales.(Rp: 30 y 42).10) Las edades de A y B están en la relación de 4 a 5. Hace 5 años la relación erade 7 a 9. Hallar las edades actuales. (Rp: 40 y 50).11) Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y elresiduo 4, y si 5 veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 2 y elresiduo 17, Hallar los números. (Rp: 54 y 25).
  80. 80. 12) Si el duplo del mayor de dos números se divide por el triple del menor, elcociente es 1 y el residuo 3, y si 8 veces el menor se divide por el mayor, elcociente es 5 y el residuo 1. Hallar los números. (Rp: 27 y 17).13) Seis veces el ancho de una sala excede en 4 m a la longitud de la sala y si lalongitud aumentada en 3 m se divide entre el ancho, el cociente es 5 y elresiduo 3. Hallar las dimensiones de la sala. (Rp: 20 x 4 m).14) Se tienen $11.30 en 78 monedas de a 20 cts. Y de 10 cts. ¿Cuántas monedasson de 10 cts. Y cuántas de 20 cts?. (Rp: 35 de 20 cts. y 43 de 10 cts).15) En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó 40 cts. ycada niño 15 cts. por su entrada. La recaudación es de $180. ¿Cuántos adultosy niños hay en el cine?. (Rp: 300 adultos y 400 niños).16)Un hombre tiene $404 en 91 monedas de a $5 y de a $4. ¿Cuántas monedasson de $5 y cuántas de a $4?. (Rp: 40 de $5 y 51 de $4).17) Una compañía trata de adquirir y almacenar dos tipos de artículos, X e Y.Cada artículo X cuesta 3 dólares y cada artículo Y cuesta 2,50 dólares. Cadaartículo X ocupa 2 pies cuadrados del espacio del piso y cada artículo Y ocupaun espacio de 1 pie cuadrado del piso. ¿Cuántas unidades de cada tipopueden adquirirse y almacenarse si se dispone de 400 dólares paraadquisición y 240 pies cuadrados de espacio para almacenar estos artículos?(Rp.: 100 unidades de X y 40 unidades de Y).18) Cierta compañía emplea 53 personas en dos sucursales. De esta gente, 21son titulados de INACAP. Si una tercera parte de las personas que laboran enla primera sucursal y tres séptimos de los que se encuentran en la segundasucursal son titulados de INACAP. ¿Cuántos empleados tiene cada oficina?(Rp.: 18 y 35).19) Una planta de fertilizantes produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene25% de potasio, 45% de nitratos y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% depotasio, 50% de nitratos y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, tiene75% de nitratos y 255 de fosfato. La planta tiene suministros de 1,5 toneladasdiaria de potasio, 5 toneladas diarias de nitratos y de 3 toneladas diarias defosfato. ¿Qué cantidad de cada tipo de fertilizante deberá producir de modo queagote los suministros de ingredientes?(Rp.:1445ton del tipo A,1465ton del tipo B, y1423ton del tipoC).20)Un almacén de productos químicos tiene dos tipos de soluciones ácidas. Unade ellas contiene 25% de ácido y la otra contiene 15% de ácido. ¿Cuántos
  81. 81. galones de cada tipo deberá mezclar para obtener 200 galones de una mezclaque contenga 18% de ácido?(Rp.: 60 gal con un 25% de solución ácida y 140 gal con un 15% de soluciónácida).5.-DESIGUALDADES E INECUACIONES.Objetivo: Emplear el orden de los números reales en la resolución de desigualdades einecuaciones , aplicadas a la especialidad-N° de horas : 3DESARROLLO DE CONTENIDOSOrden en los Números Reales.Establecer un orden en los números reales puede tener diversas interpretaciones, segúnnecesidades- En un problema de costos se determino que el valor precio de venta de un articulo es de 155 U$,en un mes se venden 35 unidades regularmente. El fabricante garantiza un abastecimiento sininconveniente por pedidos de a lo menos 20 unidades de utilidad por cada articulo vendido es de35 U$.
  82. 82. ¿Dependiendo del fabricante y su capacidad de abastecer los pedidos cual es la utilidad esperadapor un determinado mes?- En un intercambio de opiniones un encargado de adquisiciones escucha por parte deprofesionales de la empresa los siguientes expresiones:A: “Si el costo unitario fuera de 16 U$ y la demanda sube 1.200 unidades estaríamos en buen piepara competir.”B: “ Comparto tu primer valor pero la demanda debe ser entre 1000 y 2000 unidades.C: “ Solo tengo claro que el costo unitario no podrá ser menos a 16,5 U$.¿Qué puede inferir el empleado de todas estas operaciones?En algunos casos es necesario interpretar, que en el ámbito de las operaciones matemáticas,debemos ser capaces de “interpretar un orden”, con estas nuevas expresiones.Que indican, cuando se imponen condiciones sobre un conjunto de Números Reales, esto es lasdesigualdades e inecuaciones, que se utilizan tanto como las ecuaciones.Una desigualdad es una proposición que se forma siempre que dos expresiones están asociadaspor algún símbolo de desigualdad: >,<, ≥ y ≤. Las dos expresiones se denominan miembros olados de la desigualdad. Una desigualdad compuesta contiene más de dos expresiones separadaspor símbolos de desigualdad.Las siguientes expresiones son desigualdades.-3 + 2x < 5,3x + 7 ≤ 5 – 2x,16x + 8 ≤ 5x + 2,5x2– 3x – 2 > x – 7Éstas son desigualdades compuestas23x < 4x – 15 < 19x < w ≤ 2z-8x ≤ 4x + 1 ≤ -4y - 1 > 2x – 8 ≥ 7Una desigualdad compuesta siempre puede escribirse como una combinación de desigualdadessimples.La desigualdad compuesta 23x < 4x – 15 < 19 es lo mismo que las desigualdades simples 23x < 4x– 15 y 4x – 15 < 19.-8x ≤ 4x + 1 ≤ -4 es lo mismo que las dos desigualdades simples –8x ≤ 4x + 1 y 4x + 1 ≤ -4.Hay tres tipos de desigualdades.Una desigualdad condicional es verdadera para algunos números reales y falsa para otros.El caso, x ≤ 6 es una desigualdad condicional. Es verdadera si x es igual a 6, 521, -19, paracualquier otro número, mayor que 6, es falsa, como 14, 13Una desigualdad se llama absoluta, si es verdadera para todos los números reales.Es el caso de x + 2 > x. Sin importar qué número real que se tome, siempre será una proposiciónverdadera.La opuesta de una desigualdad absoluta es la llamada contradictoria. Una desigualdadcontradictoria es falsa para todos los números reales.

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