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  • 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA1. Conceitos GeraisA Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas deinvestimentos ou financiamentos de bens de consumo.A Matemática Financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo dotempo e da existência de juros. O objetivo da matemática financeira é efetuar análises ecomparações de vários fluxos de caixa, de entrada e saída de dinheiro, em diferentesmomentos.1.1 Diagrama de Fluxo de CaixaFluxo de Caixa é o conjunto das entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo.O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira,permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o “capital”. Esquematicamente,pode ser representado da seguinte forma:A linha horizontal registra a escala de tempo. O ponto zero indica o momento inicial, e osdemais pontos representam os períodos de tempo (datas). As setas para cima indicamentradas (ou recebimento) de dinheiro, e as setas para baixo indicam saídas (ouaplicações) de dinheiro. A elaboração do fluxo de caixa é indispensável na análise derentabilidades e custos de operações financeiras, e no estudo de viabilidade econômicade projetos e investimentos. O acompanhamento do fluxo de caixa permite prever osmomentos em que haverá disponibilidade ou falta de recursos.1.2. Capital e JuroCapital é qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para serutilizado numa operação financeira, temporariamente, mediante remuneração. O juro éa remuneração (o dinheiro) que se paga pelo uso da quantia emprestada, ou o dinheiroproduzido quando o capital é investido. 1
  • 2. 1.3 Principal e MontanteAo capital inicial empregado dá-se o nome de principal, e a soma do principal mais o jurorecebe o nome de montante.1.4 Taxa de JurosOs juros são fixados através de uma taxa percentual que se refere a uma unidade detempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia.Exemplos: a) 8% ao ano = 8% a.a. b) 4% ao semestre = 4% a.s. c) 1% ao mês = 1% a.mAs taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:- o risco envolvido na operação,- a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação,- o capital emprestado ou aplicado. A obtenção dos juros do período, em unidades monetárias será feita através daaplicação da taxa de juros sobre o capital considerado.Exemplo: Um capital de R$10.000,00 aplicados a uma taxa de 8% ao ano proporcionará,no final de um ano, um total de juros de: 8% de 10.000 = 0,08 x 10.000 = R$ 800,00.Observe que a taxa de juros de 8% foi transformada em fração decimal (8/100= 0,08) parapermitir a operação. Assim as taxas de juros terão duas representações: - Percentagem (para indicar) ; Fração decimal (para efetuar cálculos)1.5 Regimes de CapitalizaçãoO regime de capitalização de juros é o processo pelo qual os juros são formados eincorporados ao principal. Podem ser identificados dois regimes de capitalização: jurossimples e juros compostos dependendo do processo de cálculo utilizado.Exemplo:Juros simples: Considere o caso em que um indivíduo, fez um empréstimo de R$10.000,00pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples, à razão de 10% a.a.. Qual será seu saldodevedor no final de cada um dos próximos 5 anos? 2
  • 3. Saldo no início Juros de cada Saldo devedor ao ANO de cada ano ano final de cada ano Início do 1º ano -- -- 1.000,00 Fim do 1º ano 10.000,00 0,10 x 10.000=1.000,00 11.000,00 Fim do 2º ano 11.000,00 0,10 x 10.000=1.000,00 12.000,00 Fim do 3º ano 12.000,00 0,10 x 10.000=1.000,00 13.000,00 Fim do 4º ano 13.000,00 0,10 x 10.000=1.000,00 14.000,00 Fim do 5º ano 14.000,00 0,10 x 10.000=1.000,00 15.000,00Observações:a) Os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial, apresentam valores idênticos ao final de cada ano.b) Em conseqüência, o crescimento dos juros no tempo é linear, revelando um comportamento idêntico a uma progressão aritmética.c) Se os juros simples, ainda, não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial, não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período.d) Como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual. No exemplo: 5 x 10% a.a. = 50 % para 5 anos. Se desejar converter a taxa anual em taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12. No exemplo, 10% a.a. / 12 meses = 0,8333% ao mês.Juros compostos: Admitindo-se no exemplo anterior, que a dívida de R$10.000,00 deve serpaga em juros compostos à taxa de 10% ao ano, temos: Saldo no início Juros de cada Saldo devedor ANO de cada ano ano ao final de cada ano Início do 1º ano -- -- 10.000,00 Fim do 1º ano 10.000,00 0,10 x 10.000,00=1.000,00 11.000,00 Fim do 2º ano 11.000,00 0,10 x 11.000,00=1.100,00 12.100,00 Fim do 3º ano 12.100,00 0,10 x 12.100,00=1.210,00 13.310,00 Fim do 4º ano 13.310,00 0,10 x 13.310,00=1.331,00 14.641,00 Fim do 5º ano 14.641,00 0,10 x 14.640,10=1.464,10 16.105,10Observações: 3
  • 4. a) Os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de R$10.000,00, mas sobre osaldo total existente no início de cada ano. Este saldo incorpora o capital inicialemprestado mais os juros incorridos em períodos anteriores.b) O crescimento dos juros se dá em progressão geométrica, evoluindo de formaexponencial ao longo do tempo.Em juros simples apenas o principal rende juros, ao passo que a juros compostos osrendimentos são calculados sobre os montantes, havendo, portanto, uma incidência dejuros sobre juros.Legalmente deve-se usar o regime de juros simples, mas o mercado financeiro segueintegralmente a lei dos juros compostos. Assim as Letras de Câmbio, os Certificados deDepósitos Bancários, o Sistema Financeiro de Habitação, as prestações de crediário, osdescontos de duplicatas, e outros intermináveis exemplos do mercado financeiro seguema lei dos juros compostos e não a dos juros simples. Entretanto, os juros simples sãoutilizados pela facilidade de cálculo, e também como grande argumento de vendas. Oproblema é que as contas são feitas a juros simples quando na realidade o fenômeno secomporta a juros compostos. Assim, por exemplo, uma letra de câmbio com rentabilidadede 24% ao ano, é dita no mercado como uma letra “2% ao mês”, pois 24% ÷ 12 meses =2% ao mês, quando realmente a juros compostos, a sua renda mensal é de 1,81% ao mês(conforme será verificado posteriormente). Evidente que a tarefa de vendas ficafacilitada por essa majoração fictícia da renda mensal do papel. A utilização deprocedimentos semelhantes ao anterior é bastante comum no mercado e cria muitasdificuldades, pois, o cálculo financeiro correto, sempre se faz a juros compostos, ao passoque a taxa mencionada na negociação (no exemplo 2%) é, na maioria das vezes, obtidaatravés de juros simples, fornecendo, portanto, valores inexatos e induzindo a raciocíniosincorretos.1.6 Simbologian prazo ou número de períodos de capitalização de juros, expressos em anos, semestres,trimestres, meses ou dias.i taxa de juros por período de capitalização, expressada em porcentagem, e sempremencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, trimestre, mês ou dia).Sinônimo de rentabilidade. 4
  • 5. PV Valor Presente (Present Value), ou seja, valor do capital inicial (principal) aplicado.Sinônimo de aplicação, investimento, empréstimo, valor hoje, valor líquido.FV Valor futuro (Future Value), ou seja, valor do montante acumulado no final de nperíodos de capitalização, com a taxa de juros i. Sinônimo de valor de resgate, valornominal, valor em uma data futura.PMT Valor de cada prestação (Periodic PayMenT).Observações:- os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais;- a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coincidir coma unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.- consideraremos para cálculos envolvendo número de dias, o ano comercial que tem360 dias, e o mês com 30 dias; salvo menção em contrário.2. JUROS SIMPLESO regime de juros simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operaçõesde curto prazo, em função da simplicidade de cálculo e também para reduzir ouaumentar ficticiamente a verdadeira taxa de juros das operações financeiras, o quefacilita a tarefa de colocação dos produtos junto aos investidores ou tomadores derecursos financeiros.Em juros simples o crescimento do capital é linear, veja a seguinte tabela: Ano Saldo Juros do ano Pagamento Saldo final inicial 1 1.000,00 0,08 x 1.000=80,00 0,00 1.080,00 2 1.080,00 0,08 x 1.000=80,00 0,00 1.160,00 3 1.160,00 0,08 x 1.000=80,00 0,00 1.240,00 4 1.240,00 0,08 x 1.000=80,00 1.320,00 0,00A representação gráfica dos valores da tabela é mostrada a seguir: 5
  • 6. 2.1. Fórmula de juros simplesNo regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação da taxade juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os juros tenham o mesmo valorem todos os períodos. Assim, temos: Juros de cada período: PV x i Juros de n períodos: n x PV x i J = PV. i.nO valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de um principal PV, durante nperíodos, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros simples, é obtido pelaexpressão: FV = montante FV= principal + juros FV= PV + n x PV x i FV = PV.(1+i.n)Exemplo: Considere o caso em que um indivíduo, fez um empréstimo de R$10.000,00 peloprazo de 5 anos, pagando-se juros simples, à taxa de 10% a.a.. Qual será o montante e ovalor dos juros?Para o cálculo do montante temosFV=PV (1 + i x n)FV = 1.0000(1+0,10.5) = 1.0000(1,50)= R$ 15.000,00. 6
  • 7. Para o cálculo dos juros temosJ = PV. i . nJ = 1.000 x 0,10 x 5 = 500,00.Logo o montante será R$ 15.000,00 e o valor dos juros de R$ 500,00.2.2 Juros simples na HP 12CA calculadora HP 12C opera, basicamente, no regime de juros compostos. No regime dejuros simples a HP 12C calcula o valor dos juros e do montante, com base em uma taxaanual e um prazo diário.Digite ou calcule o número de dias e aperte n.Digite a taxa de juros anual e aperte i.Digite o valor do principal e aperte CHS PV.Aperte f INT para calcular o valor dos juros.Aperte + para calcular o montante.Observe que em qualquer cálculo financeiro, taxa e prazo devem estar indicados namesma unidade referenciais de tempo, porém, no caso da HP 12C, a taxa deve ser anuale o prazo em dias.Exemplos:1. Um amigo lhe empresta R$ 2.000,00 a uma taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valorque você deve pagar a seu amigo após 6 meses?Pela fórmula:PV = 5.000,00 FV = PV (1+i.n)i =2% ao mês = 0,02 FV= 2.000.(1+0,02.6)n = 6 meses FV = R$ 2.240,00.Pela HP 12C:6 ENTER 30 X n2 ENTER 12 X i2000 CHS PVf INT.  R$ 240,00 (valor dos juros)+  R$ 2.240,00 (valor do montante)2. Qual deve ser o valor do montante e dos juros ao final de 60 dias de ma aplicação deR$ 5.000,00 a uma taxa de juros simples de 36% a.a.? 7
  • 8. Pela fórmula:PV = 5.000 FV = PV (1+i.n)n = 60 dias FV = 5.000.(1+0,0010.60)i = 36% ao ano = FV = R$ 5.300,00 36= %ao dia = 0,10% =0,0010 J =FV –PV = 5.300 – 5.000 = 300,00 360Pela HP 12C:60 n36 i5000 CHS PVf INT.  R$ 300,00 (valor dos juros)+  R$ 5.300,00 (valor do montante)3. Se um banco remunera suas aplicações a juros simples, qual deverá ser o valoraplicado hoje, a uma taxa de 2% ao mês para obter R$ 6.000,00 ao final de 1 ano?Pela fórmula:PV = ? FV = PV (1+i.n)n = 1 ano =12 meses 6.000= PV.(1+0,02.12)i = 2% ao mês = 6.000=PV .1,24 6000FV = 6.000,00 PV = 1,24 PV = R$ 4.838,71A HP 12C não realiza o cálculo do capital.É importante entender que toda operação financeira envolve duas unidades de tempo :1 - a unidade a que se refere a taxa de juros (ex.: i =12% a.m.)2 – o prazo de capitalização dos juros (ex.: n = 4 anos).Essas duas grandezas, para efeito de cálculo, devem estar sempre na mesma unidade detempo. Uma sugestão é que se altere sempre o prazo n e evite alterar a taxa i, pois, paraalterarmos i devemos realizar algumas operações que são diretas em juros simples, masnão em juros compostos.Relação entre as taxas i d x 360 = i m x 12 = i b x 6 = i t x 4 =i s x 2 =i a 8
  • 9. onde:i a = taxa de juros anuali s = taxa de juros semestrali t = taxa de juros trimestrali b = taxa de juros bimestrali m = taxa de juros mensali d = taxa de juros diária.Exemplos:1. Para um empréstimo de R$1.000,00 a uma taxa de juros simples de 6% ao semestredurante 2 anos, qual é o juro capitalizado?PV = 1.000 PV = 1.000,00i =6% a.s. = 0,06 ao semestre. i = 6%a.s.= 0,06 x 2 =0,12 ao anon = 2 anos = 4 semestres n = 2 anosJ= PV i n = 1.000. 0,06. 4 = R$ 240,00. J= PV.i.n=1.000.0,12.2 = R$ 240,00.2. Calcular a taxa anual proporcional a 6% ao mês.i a = i m x12 = 6 x 12 = 72 % a.a.3. Se a taxa anual é de 30%, qual é a taxa mensal?i a = i m x1230 = i m x12i m = 30 /12i m = 2,5 % a.m.Exercícios1. Determinar o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida apartir da aplicação de um principal de R$10.000,00, com uma taxa de juros de 1% ao mês,sob o regime de juros simples.2. Determinar o principal que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de juros de10% a.a., para produzir um montante de R$10.000,00 num prazo de 15 meses.3. Determine os juros acumulados em 3 meses de um capital de R$ 80.000,00 aplicados auma taxa de juros simples de 5,5% ao mês. 9
  • 10. 4. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% aomês durante 9 meses. Ao final desse período, ele pagou R$ 2.700,00 de juros. Determinar ovalor do empréstimo.5. Um capital de R$ 800,00 foi aplicado num fundo de poupança por11 meses, produzindoum rendimento de R$ 352,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por essaoperação.6. Uma aplicação de R$ 2.500,00, rendendo a uma taxa de juros de 4,5% ao mês, produzjuros no valor de R$ 675,00. Calcule o prazo da aplicação.7. Uma pessoa aplica R$1.800,00 à taxa de 8,5% ao mês durante 8 meses. Qual será ovalor do montante ao final desse período?8. Calcular o montante de um capital de R$ 850.000,00 aplicados no regime de jurossimples por: a) 7 meses a 2,5% a.m. b) 9 meses a 21,6% a. s. c) 1 ano e 5 meses a 96% a.a.9. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300.000,00 por 19 meses, àtaxa linear (simples) de 42% a.a.10. Qual capital que produz R$18.000,00 de juros simples, à taxa de 3% a.m. pelo prazo de: a) 60 dias b) 80 dias c) 3 meses e 20 dias d) 2 anos, 4 meses e 14 dias11. Uma pessoa aplicou R$ 120.000,00 numa Instituição Financeira resgatando após 7meses o montante de R$ 160.320,00. Qual a taxa de juros simples mensal que o aplicadorrecebeu?12. O montante de um capital de R$ 6.600,00 ao final de 7 meses é determinadoadicionando-se R$ 5.544,00 de juros. Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada. 10
  • 11. 13. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor e o prazo de aplicação foi de 15meses, qual a taxa de juros simples considerada?14. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$1.300,00 à vista, ou nas seguintescondições: 20% de entrada e um pagamento de R$ 1.069,12 em 30 dias. Calcular a taxalinear mensal de juros que está sendo cobrada.15. Em quanto tempo um capital de R$ 400.000,00 aplicados a 64,8% ao ano pelo regimelinear renderá R$ 194.400,00?16. Uma dívida é composta de 3 pagamentos no valor de R$ 2.800,00, R$ 4.200,00 e R$7.000,00 vencíveis em 60, 90 e 150 dias respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa dejuros de mercado é de 4,5% ao mês. Determinar o valor da dívida se o devedor liquidar ospagamentos: a) hoje b) daqui a 7 meses.17. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:R$18.000,00 vencíveis em 30 dias; R$ 42.000,00 vencíveis em 90 dias; R$10.000,00 vencíveisem 120 dias. Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo depagamentos pelo seguinte esquema: R$ 20.000,00 em 60 dias; R$ 50.000,00 em 100 dias; orestante em 150 dias. Sendo de 7,5% ao mês a taxa de juros adotada pelo banco nestasoperações, pede-se calcular o valor do último pagamento.18. Se a taxa é de 3% a. b., qual é o seu valor mensal, trimestral, semestral e anual?3. JUROS COMPOSTOSO regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período sãoacrescidos ao capital formando o montante do período. Este montante, por sua vez,passará a render juros no período seguinte formando um novo montante, e assim pordiante. No regime de juros compostos, os juros são capitalizados, produzindo juros sobrejuros periodicamente.Em juros compostos o crescimento do capital é exponencial, veja a seguinte tabela: Ano Saldo Juros do ano Pagamento Saldo final 11
  • 12. inicial 1 1.000,00 0,08 x 1.000,00=80,00 0,00 1.080,00 2 1.080,00 0,08 x 1.080,00=86,40 0,00 1.166,40 3 1.166,40 0,08 x 1.166,40=93,31 0,00 1.259,71 4 1.259,71 0,08 x 1.259,71=100,78 1.360,49 0,003.1 Fórmulas de Juros CompostosNo regime de juros compostos os juros de cada período são obtidos pela aplicação dataxa de juros i sobre o capital aplicado no início do período de capitalização. Assimtemos:a) No 1º período de capitalização (n = 1)Capital no início do período = PVJuros do período = PV. iCapital no final do período = FV = PV + PV. i = PV (1 + i)b) No 2º período de capitalização (n = 2)Capital no início do período = PV (1 + i)Juros do período = PV (1 + i).iCapital no final do período = FV = PV (1 + i) + PV (1 + i) x i = PV (1 + i) (1+ i) = PV (1 + i) 2c) No 3º período de capitalização (n =3) FV = PV (1 + i)3d) No enésimo período de capitalização, temos FV = PV (1 + i) n 12
  • 13. Assim, o valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação da aplicação de umprincipal PV, durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período,no regime de juros compostos, é obtido pela expressão: FV = PV.(1+i)nOnde a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a unidadereferencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n. Em juros compostosnunca divida ou multiplique a taxa de juros.Exemplo: Considere o caso em que um indivíduo, fez um empréstimo de R$10.000,00 peloprazo de 5 anos, pagando-se juros compostos, à taxa de 10% a.a.. Qual será o montantee o valor dos juros? Pela fórmula temos que FV = PV (1+i) n = 10.000.(1+0,10)5 = R$ 16.105,10.As principais fórmulas obtidas de FV = PV(1+i)n são: FV- Para calcular o capital PV PV = (1+ i)n 1  FV  n- Para calcular a taxa i i =  −1  PV   FV - Para calcular o prazo n n = log  ÷ log(1+ i )  PV - Para calcular o valar dos juros J J = PV.[(1+i)n – 1] ou J = FV – PV3.2 Juros Compostos na HP 12CAntes de realizar cálculos de juros compostos com a HP 12C devemos configura-la. Apósa configuração aparecerão alguns indicadores:Visor Ativar Desativar Função Indica a opção de cálculo em juros Compostos nas C STO EEX STO EEX parcelas de períodos não-inteiros Indica que a série de prestações é calculadaBEG g BEGIN g END antecipada (primeira prestação paga no ato)As principais funções na HP 12C para juros compostos são: n, i PV, PMT e FV.Para usá-las, basta digitar os demais valores e solicitar o valor desejado. Antes de cadanovo cálculo devemos limpar a memória da Hp 12C, pressionando as teclas f REG antesde qualquer operação. Observe que isso limpará o conteúdo de todos os registros da HP12C. Se quiser apagar apenas os registros financeiros pressione as teclas f FIN. 13
  • 14. Para calcular PVDigite o prazo e aperte n.Digite a taxa de juros e aperte i.Digite o valor futuro e aperte CHS FV.Aperte PV para calcular o valor presente.Para calcular FVDigite o prazo e aperte n .Digite a taxa de juros e aperte i .Digite o valor presente e aperte CHS PV.Aperte FV para calcular o valor futuro.Para calcular iDigite o prazo e aperte n .Digite o valor futuro e aperte FV .Digite o valor presente e aperte CHS PV.Aperte i . para calcular a taxa de juros.Para calcular nDigite a taxa de juros e aperte i.Digite o valor presente e aperte PV .Digite o valor futuro e aperte CHS FV.Aperte n para calcular o prazo.Exemplos:1. Se uma pessoa deseja obter R$ 5.000,00 dentro de um ano, quanto deverá depositar,hoje, em uma poupança que rende 7% ao mês de juros compostos?2. Qual é o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.200,00, em um título, pelo prazode 8 meses, à taxa de juros composta de 3,5% ao mês?3. Determinar a taxa de juros mensal composta de uma aplicação de R$ 4.000,00 queproduz um montante de R$ 4.862,00 ao final de um quadrimestre. 14
  • 15. 4. Um empréstimo no valor de R$ 1.300,00 foi liquidado em uma única parcela de R$1.498,80. A taxa de juros compostos vigente para a operação foi igual a 3,5% a.m. Qual oprazo da operação?3.3 Desconto Racional ou “Por Dentro”Nas operações de desconto racional a taxa incide sobre o valor presente. O valor dodesconto por dentro, expresso em R$, corresponde aos juros acumulados no tempo.Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV e o valorpresente PV, ou seja: Desconto = FV – PVAssim, o valor do desconto “por dentro” (Dd), expresso em R$, é obtido pela expressão FV[(1+ i)n −1] Dd = FV – PV = (1+ i)nExemplo: Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a R$ 1.000,00descontado cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto por dentrode 3% ao mês. FV[(1+ i)n −1] 1.000[(1 + 0,03) 5 −1] D= = = R$ 137,39 (1+ i)n (1 + 0,03) 55. Desconto Comercial ou “Por Fora”Nas operações de desconto comercial a taxa incide sobre o valor futuro. O desconto porfora é aquele que se obtém pelo cálculo do juro sobre o valor nominal do compromissoque seja saldado em n períodos antes do seu vencimento acrescido de uma taxaprefixada cobrada sobre o valor nominal.Os descontos de cada período são obtidos pela aplicação da taxa de desconto d,sempre sobre o valor futuro FV, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor emtodos os períodos. Assim, o valor líquido é dado por: PV = FV (1-d)n.O valor do desconto “por fora” (Df), expresso em R$, é obtido pela aplicação daexpressão: Df = FV – PV = FV [1-(1-d)n] 15
  • 16. Exemplo: Uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 foi descontada cinco meses antes dovencimento, a uma taxa de desconto por fora igual a 2% ao mês. Calcule o valor líquidoda operação e o valor do desconto. PV = FV(1-d)n = 12.000.(1-0,02)5 = R$ 10.847,05 é o valor líquido.D = FV-PV = 12.000 -10.847,05 = R$ 1.152,95 é o valor do desconto.3.2 Taxas EquivalentesTaxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que aoserem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmomontante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.O conceitode taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prendeexclusivamente ao regime de juros considerado.ExemploDeterminar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de$100, no regime de juros compostos, com as seguintes taxas de juros:(a) 12,6825% ao ano (b)6,1520% ao semestre e (c)1,00% ao mês6. Fórmulas Relacionando Taxas EquivalentesInicialmente, vamos demonstrar a fórmula que relaciona as taxas equivalentes mensal (i m)e anual (ia). Para isso consideremos as figuras a seguir: 16
  • 17. No regime de juros compostos, a figura referente à taxa mensal, fornece:(4) FV = PV (1 + im)12enquanto a figura referente a taxa anual, fornece:(5) FV = PV (1 + ia)1Para que essas taxas sejam equivalentes é preciso que os montantes (FV) dos doisesquemas sejam iguais. Assim, podemos igualar as relações (4) e (5), obtendo: (1+ im)12 =(1 + ia)As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas equivalentes semestral,trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos o anocomercial (360 dias), as fórmulas que permitem o cálculo dessas taxas equivalentes estãoa seguir indicadas:(6) (1 + ia) = (1+ is)2 = (1 + it)4 = (1+ im)12 = (1 + id)360onde:i a = taxa de juros anuali s = taxa de juros semestrali t = taxa de juros trimestrali m = taxa de juros mensali d = taxa de juros diária.Exemplos1) Determinar as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao mês.2) Determinar as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% a.t.3) Determinar a taxa mensal que é equivalente à taxa de 10% ao ano. 17
  • 18. No regime de juros compostos, a figura referente à taxa mensal, fornece:(4) FV = PV (1 + im)12enquanto a figura referente a taxa anual, fornece:(5) FV = PV (1 + ia)1Para que essas taxas sejam equivalentes é preciso que os montantes (FV) dos doisesquemas sejam iguais. Assim, podemos igualar as relações (4) e (5), obtendo: (1+ im)12 =(1 + ia)As demais expressões, relacionando a taxa anual com as taxas equivalentes semestral,trimestral e diária, podem ser obtidas de maneira análoga. Se considerarmos o anocomercial (360 dias), as fórmulas que permitem o cálculo dessas taxas equivalentes estãoa seguir indicadas:(6) (1 + ia) = (1+ is)2 = (1 + it)4 = (1+ im)12 = (1 + id)360onde:i a = taxa de juros anuali s = taxa de juros semestrali t = taxa de juros trimestrali m = taxa de juros mensali d = taxa de juros diária.Exemplos1) Determinar as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 1% ao mês.2) Determinar as taxas anual e semestral que são equivalentes à taxa de 3% a.t.3) Determinar a taxa mensal que é equivalente à taxa de 10% ao ano. 17