1. Vectores
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
2. Vectores
Los topógrafos usan mediciones precisas
de magnitudes y direcciones para crear
mapas a escala de grandes regiones.
3. Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
• Demostrar que cumple las expectativas matemáticas:
análisis de unidades, álgebra, notación científica y
trigonometría de triángulo recto.
• Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y
vectoriales.
• Determinar los componentes de un vector dado.
• Encontrar la resultante de dos o más vectores.
4. Expectativas
• Debe ser capaz de convertir unidades
de medición para cantidades físicas.
Convierta 40 m/s en kilómetros por hora.
m 1 km 3600 s
40--- x ---------- x -------- = 144 km/h
s 1000 m 1h
5. Expectativas (cont.):
• Se supone manejo de álgebra
universitaria y fórmulas simples.
v0 vf
Ejemplo: x t Resuelva para vo
2
v f t 2x
v0
t
6. Expectativas (cont.)
• Debe ser capaz de trabajar en notación
científica.
Evalúe lo siguiente:
Gmm’ (6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2)
F = -------- = ------------
r 2 (8.77 x 10-3)2
F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN
7. Expectativas (cont.)
• Debe estar familiarizado con prefijos del SI
metro (m) 1 m = 1 x 100 m
1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m
1 Mm = 1 x 106 m 1 m = 1 x 10-6 m
1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-3 m
8. Expectativas (cont.)
• Debe dominar la trigonometría del
triángulo recto.
y y = R sen
sen
R
y R
x
cos x = R cos
R
y 2
x tan R = x2 + y 2
x
9. Repaso de matemáticas
Si siente necesidad de
pulir sus habilidades
matemáticas, intente el
tutorial del Capítulo 2
acerca de matemáticas.
La trigonometría se
revisa junto con los
vectores en este módulo.
Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning
Center en Tippens-Student Edition
10. La física es la ciencia
de la medición
Longitud Peso Tiempo
Comience con la medición de longitud:
su magnitud y su dirección.
11. Distancia: cantidad escalar
Distancia es la longitud de la ruta
tomada por un objeto.
Una cantidad escalar:
s = 20 m B
Sólo contiene magnitud
y consiste de un
A
número y una unidad.
(20 m, 40 mi/h, 10 gal)
12. Desplazamiento-Cantidad vectorial
• Desplazamiento es la separación en
línea recta de dos puntos en una
dirección especificada.
Una cantidad vectorial:
D = 12 m, 20o B
Contiene magnitud Y
A dirección, un número,
unidad y ángulo.
(12 m, 300; 8 km/h, N)
13. Distancia y desplazamiento
• Desplazamiento es la coordenada x o y
de la posición. Considere un auto que
viaja 4 m E, luego 6 m W.
Desplazamiento neto:
D 4 m, E D = 2 m, W
¿Cuál es la distancia
x = -2 x = +4 recorrida?
6 m, W ¡¡ 10 m !!
14. Identificación de dirección
Una forma común de identificar la dirección
es con referencia al este, norte, oeste y sur.
(Ubique los puntos abajo.)
N Longitud = 40 m
40 m, 50o N del E
60o 50o
W E 40 m, 60o N del W
60o
60o
40 m, 60o W del S
40 m, 60o S del E
S
15. Identificación de dirección
Escriba los ángulos que se muestran a continuación
con referencias al este, sur, oeste, norte.
N N
45o
W E
50o W E
S
S
500 S del E 450 W del N
Clic para ver las respuestas...
16. Vectores y coordenadas polares
Las coordenadas polares (R, ) son una excelente
forma de expresar vectores. Considere, por
ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E.
90o 90o
40 m R
180o 50o 180o
0o 0o
270o 270o
R es la magnitud y la dirección.
17. Vectores y coordenadas polares
Se dan coordenadas polares (R, ) para cada
uno de los cuatro posibles cuadrantes:
90o
(R, ) = 40 m, 50o
120o
210o
60o 50o (R, ) = 40 m, 120o
180o 0o
60o
60o (R, ) = 40 m, 210o
3000
(R, ) = 40 m, 300o
270o
18. Coordenadas rectangulares
y La referencia se hace
(-2, +3) a los ejes x y y,
(+3, +2) y los números + y –
+ indican posición en
+ el espacio.
x
- Derecha, arriba = (+, +)
- Izquierda, abajo = (-, -)
(x, y) = (?, ?)
(-1, -3) (+4, -3)
19. Repaso de trigonometría
• Aplicación de trigonometría a vectores
Trigonometría y
sen y = R sen
R
y R x
cos x = R cos
R
y
x tan R2 = x2 + y2
x
20. Ejemplo 1: Encuentre la altura de un
edificio si proyecta una sombra de 90 m
de largo y el ángulo indicado es de 30o.
La altura h es opuesta a 300 y el lado
adyacente conocido es de 90 m.
op h
tan 30
ady 90 m
h
300
h = (90 m) tan 30o
90 m
h = 57.7 m
21. Cómo encontrar componentes
de vectores
Un componente es el efecto de un vector a lo
largo de otras direcciones. A continuación se
ilustran los componentes x y y del vector (R, .
x = R cos
R y = R sen
y
x Cómo encontrar componentes:
Conversiones de polar a rectangular
22. Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en
una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está
el desplazamiento al este y cuánto al norte?
N
N
R 400 m
y y=?
E
x E x=?
El componente x (E) es ADY: x = R cos
El componente y (N) es OP: y = R sen
23. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
N Nota: x es el lado
400 m adyacente al ángulo de 300
y=?
E ADY = HIP x cos 300
x=?
x = R cos
x = (400 m) cos 30o El componente x es:
= +346 m, E Rx = +346 m
24. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está
el desplazamiento del este y cuánto del norte?
N Nota: y es el lado opuesto
400 m al ángulo de 300
y=?
E OP = HIP x sen 300
x=?
y = R sen
y = (400 m) sen 30o El componente y es:
= + 200 m, N Ry = +200 m
25. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
N
400 m Los componentes
Ry = x y y son cada
+200 m uno + en el
E primer cuadrante
Rx =
+346 m
Solución: La persona se desplaza 346 m al
este y 200 m al norte de la posición original.
26. Signos para coordenadas
rectangulares
90o
Primer cuadrante:
R es positivo (+)
R + 0o > < 90o
0o x = +; y = +
+
x = R cos
y = R sen
27. Signos para coordenadas
rectangulares
90o
Segundo cuadrante:
R es positivo (+)
R
+ 90o > < 180o
180o
x=-; y=+
x = R cos
y = R sen
28. Signos para coordenadas
rectangulares
Tercer cuadrante:
R es positivo (+)
180o > < 270o
180o
x=- y=-
-
R x = R cos
y = R sen
270o
29. Signos para coordenadas
rectangulares
Cuarto cuadrante:
R es positivo (+)
270o > < 360o
+ 360o
x=+ y=-
R x = R cos
y = R sen
270o
30. Resultante de vectores
perpendiculares
Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es
como cambiar de coordenadas rectangulares a polares.
2 2
R R x y
y
y
x tan
x
R siempre es positivo; es desde el eje +x
31. Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y
una de 40 lb hacia el este actúan sobre un
burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza
NETA o resultante sobre el burro?
Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda:
Ej: 1 cm = 10 lb
40 lb 40 lb
Nota: La fuerza tiene direccióncm = 40 lb
4 tal como la
longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar
como si se tuvieran vectores 3 cm = 30 lb
30 lb longitud para
30 lb
encontrar la fuerza resultante. ¡El
32. Cómo encontrar la resultante (cont.)
Encontrar (R, ) a partir de (x, y) dados = (+40, -30)
40 lb Rx 40 lb
Ry
30 lb R 30 lb
R= x2 + y 2 R= (40)2 + (30)2 = 50 lb
-30
tan = = -36.9o = 323.1o
40
33. Cuatro cuadrantes (cont.)
30 lb
R R 30 lb
R = 50 lb
Ry Ry
Rx Rx 40 lb
40 lb
40 lb Rx Rx 40 lb
Ry Ry
R = 50 lb
30 lb R R 30 lb
= 36.9o; = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o
34. Notación vector unitario (i, j, k)
y Considere ejes 3D (x, y, z)
j Defina vectores unitarios i, j, k
i x
k Ejemplos de uso:
z 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i
30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j
20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k
35. Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W;
luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento
en notación i, j y en notación R, .
En notación i, j se tiene:
+40 m R R = Rx i + Ry j
Rx = - 30 m Ry = + 40 m
-30 m
R = -30 i + 40 j
El desplazamiento es 30 m oeste
y 40 m norte de la posición de partida.
36. Ejemplo 4 (cont.): A continuación se
encuentra su desplazamiento en
notación R, .
40
tan ; = 59.10
+40 R 30
m
= 1800 – 59.10
-30 m
= 126.9o
R ( 30) 2
(40) 2
R = 50 m
(R, ) = (50 m, 126.9o)
37. Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y
46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la
longitud y dirección de la autopista entre las
ciudades.
46 km
R = -46 i – 35 j
R (46 km)2 (35 km)2 35 B
km
R = 57.8 km R=?
A
46 km
tan
35 km = 1800 + 52.70
= 52.70 S de W. = 232.70
38. Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la
fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña
si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo.
F = 240 N
Fy F
280
Fy
Fx
Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N O en notación i, j :
Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N F = -(212 N)i + (113 N)j
39. Ejemplo 8. Encuentre los componentes de
una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del
manubrio de una podadora. El ángulo con el
suelo es de 320.
F = 300 N
32o
Fx
32o 320
Fy F Fy
Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N O en notación i, j
:
Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N F = -(254 N)i - (159 N)j
40. Método de componentes
1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala
con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del
2o a la cola del 3o, y así para los demás.
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la
punta del último vector y note el cuadrante de la
resultante.
3. Escriba cada vector en notación i, j.
4. Sume algebraicamente los vectores para obtener
la resultante en notación i, j. Luego convierta a
(R, ).
41. Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este,
luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y
finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el
desplazamiento resultante.
1. Inicie en el origen. D N 3 km, O
Dibuje cada vector a 2 km, S C B
escala con la punta del 4 km, N
1o a la cola del 2o, la
punta del 2o a la cola A E
2 km, E
del 3o, y así para los
demás.
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta
del último vector y note el cuadrante de la resultante.
Nota: La escala es aproximada, pero todavía es
claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.
42. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el
desplazamiento resultante.
3. Escriba cada vector N
D 3 km, O
en notación i, j: 2 km, S C B
A = +2 i 4 km, N
B= +4j E
A
C = -3 i 2 km, E
D= -2j 4. Sume algebraicamente
los vectores A, B, C, D
R = -1 i + 2 j para obtener la resultante
en notación i, j.
1 km al oeste y 2 km 5. Convierta a notación R,
al norte del origen. Vea página siguiente.
43. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento
resultante.
N
La suma resultante es: D 3 km, O
2 km, S C B
R = -1 i + 2 j 4 km, N
Ahora encuentre R,
E
R ( 1) 2
(2) 2
5 A
2 km, E
R = 2.24 km
tan
2 km R Ry = +2
1 km km
= 63.40 N del O Rx = -1 km
44. Recordatorio de unidades significativas:
N
Por conveniencia, D 3 km
siga la práctica de 2 km C B
4 km
suponer tres (3)
cifras significativas E
A
para todos los datos 2 km
en los problemas.
En el ejemplo anterior, se supone que las
distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km.
Por tanto, la respuesta se debe reportar como:
R = 2.24 km, 63.40 N del O
45. Dígitos significativos
para ángulos
Puesto que una décima
de grado con frecuencia R 30 lb
puede ser significativa, a Ry
veces se necesita un
cuarto dígito. Rx 40 lb
Regla: Escriba los
ángulos a la décima de Rx 40 lb
grado más cercana. Vea
los dos ejemplos
siguientes: Ry
R 30 lb
= 36.9o; 323.1o
46. Ejemplo 10: Encontrar R, para los tres
desplazamientos vectoriales siguientes:
A = 5 m, 00 C=
R 0.5 m
B = 2.1 m, 200 B
200
C = 0.5 m, 900
A=5m B = 2.1 m
1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala
aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo)
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta
del último vector; note el cuadrante de la
resultante. (R, )
3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa...)
47. Ejemplo 10: Encuentre R, para los tres
desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede
ser útil una tabla.)
Para notación i, j, C=
encuentre los R 0.5 m
componentes x, y B
200
de cada vector A,
B, C. A=5m B = 2.1 m
Vector componente x (i) componente y (j)
A=5m 00 +5m 0
B = 2.1 m 200 +(2.1 m) cos 200 +(2.1 m) sen 200
C = 0.5 m 900 0 + 0.5 m
Rx = Ax + Bx + Cx Ry = Ay + By + Cy
48. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para
tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m,
200; C = 0.5 m, 900.
componente x (i) componente y (j)
Ax = + 5.00 m Ay = 0
Bx = +1.97 m By = +0.718 m
Cx = 0 Cy = + 0.50 m
4. Sume los vectores A = 5.00 i + 0j
para obtener la B = 1.97 i + 0.718 j
resultante R en
C= 0 i + 0.50 j
notación i, j.
R = 6.97 i + 1.22 j
49. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres
vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5
m, 900.
R = 6.97 i + 1.22 j Diagrama para
encontrar R,
5. Determine R, a partir
de x, y: R Ry
R (6.97 m)2 (1.22 m) 2 1.22 m
Rx= 6.97 m
R = 7.08 m
1.22 m
tan = 9.930 N del E
6.97 m
50. Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m
a 60o N del W, y finalmente 30 m a 210o. ¿Cuál
es el desplazamiento resultante gráficamente?
C = 30 m Gráficamente, se usa
B= regla y transportador
30o
40 m para dibujar los
componentes, luego se
R mide la resultante R,
60o
A = 20 m, E
Sea 1 cm = 10 m R = (32.6 m, 143.0o)
51. A continuación se proporciona una
comprensión gráfica de los componentes
y la resultante:
Nota: Rx = Ax + Bx + Cx
Cy
By 30o 0
C B Ry = Ay + By + Cy
R
Ry
60o A
Rx Ax
Cx Bx
52. Ejemplo 11 (cont.) Use el método de
componentes para encontrar la resultante.
Escriba cada vector
Cy B en notación i, j.
y 30o
C B Ax = 20 m, Ay = 0
R
Ry A = 20 i
60 A
Rx A
Bx = -40 cos 60o = -20 m
Cx Bx x By = 40 sen 60o = +34.6 m
B = -20 i + 34.6 j
Cx = -30 cos 30o = -26 m
Cy = -30 sen 60o = -15 m C = -26 i - 15 j
53. Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes
Sume algebraicamente:
Cy B
y 30o
A = 20 i
C B
B = -20 i + 34.6 j
R
Ry 60 A C = -26 i - 15 j
Rx A R = -26 i + 19.6 j
x
Cx Bx
R= (-26)2 + (19.6)2 = 32.6 m
+19.6 R
19.6
tan = = 143o
-26 -26
54. Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante.
R = -26 i + 19.6 j
Cy B
y 30o
C B
R +19.6 R
Ry 60 A
-26
Rx A
x
Cx Bx
El desplazamiento resultante del ciclista se proporciona
mejor mediante sus coordenadas polares R y .
R = 32.6 m; = 1430
55. Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los
vectores que se muestran a continuación.
B Cx
A = 5 m, 900
A Cy
B = 12 m, 00
C
C = 20 m, -350
R
Ax = 0; Ay = +5 m
A= 0 i + 5.00 j
Bx = +12 m; By = 0 B = 12 i + 0j
Cx = (20 m) cos 350 C = 16.4 i – 11.5 j
Cy = -(20 m) sen -350 R = 28.4 i - 6.47 j
56. Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C
B Rx = 28.4 m
A
C R
R Ry = -6.47 m
R = 29.1 m
2 2
R (28.4 m) (6.47 m)
6.47 m
tan = 12.80 S del E
28.4 m
57. Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican la dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Considere primero A + B gráficamente:
R=A+B
B
R
B
A A
58. Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican la dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Ahora A – B: primero cambie el signo
(dirección) de B, luego sume el vector negativo.
B -B A
R’ -B
A A
59. Suma y resta
La resta resulta en un diferencia significativa tanto
en la magnitud como en la dirección del vector
resultante. |(A – B)| = |A| - |B|
Comparación de suma y resta de B
R=A+B R’ = A - B
B
A
R
B R’ -B
A A
60. Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8
km N: encuentre A – B y B – A.
A-B B-A
A – B;
B-A +A -A
+B
-B
R R
A B (2.43 N – 7.74 S) (7.74 N – 2.43 S)
2.43 N 7.74 N
5.31 km, S 5.31 km, N
61. Resumen para vectores
Una cantidad escalar se especifica completamente
sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal)
Una cantidad vectorial se especifica completamente
mediante su magnitud y dirección. (40 m, 300)
Componentes de R:
R
Ry
Rx = R cos
Ry = R sen Rx
62. Continúa resumen:
Encontrar la resultante de dos vectores
perpendiculares es como convertir de coordenadas
polares (R, ) a rectangulares (Rx, Ry).
Resultante de vectores:
R
R x 2
y 2
Ry
y
tan Rx
x
63. Método de componentes
para vectores
Inicie en el origen y dibuje cada vector en
sucesión para formar un polígono etiquetado.
Dibuje la resultante desde el origen hasta la
punta del último vector y note el cuadrante de
la resultante.
Escriba cada vector en notación i, j (Rx, Ry).
Sume algebraicamente los vectores para
obtener la resultante en notación i, j. Luego
convierta a (R
64. Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Ahora A – B: primero cambie el signo
(dirección) de B, luego sume el vector negativo.
B -B A
R’ -B
A A
