Movimiento armonico simple
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    Movimiento armonico simple Movimiento armonico simple Presentation Transcript

    • Movimiento armónico simple Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de FísicaSouthern Polytechnic State University
    • Fotografía de Mark TippensUN TRAMPOLÍN ejerce una fuerza restauradora sobre elsaltador que es directamente proporcional a la fuerza promediorequerida para desplazar la colchoneta. Tales fuerzasrestauradoras proporcionan las fuerzas necesarias para que losobjetos oscilen con movimiento armónico simple.
    • Objetivos: Después de terminar esta unidad, deberá:• Escribir y aplicar la ley de Hooke para objetos que se mueven con movimiento armónico simple.• Escribir y aplicar fórmulas para encontrar frecuencia f, periodo T, velocidad v o aceleración a en términos de desplazamiento x o tiempo t.• Describir el movimiento de péndulos y calcular la longitud requerida para producir una frecuencia dada.
    • Movimiento periódicoEl movimiento periódico simple es aquel movimiento enel que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobre unatrayectoria fija y regresa a cada posición y velocidaddespués de un intervalo de tiempo definido. El periodo, T, es el tiempo para una 1 oscilación completa. f T (segundos,s) Amplitud A La frecuencia, f, es el número de oscilaciones completas por segundo. Hertz (s-1)
    • Ejemplo 1: La masa suspendida realiza 30oscilaciones completas en 15 s. ¿Cuáles sonel periodo y la frecuencia del movimiento? 15 s T 0.50 s 30 ciclosx F Periodo: T = 0.500 s 1 1f Frecuencia: f = 2.00 Hz T 0.500 s
    • Movimiento armónico simple, MASEl movimiento armónico simple es movimientoperiódico en ausencia de fricción y producido por unafuerza restauradora que es directamente proporcionalal desplazamiento y de dirección opuesta. Una fuerza restauradora, F, actúa en la dirección opuesta al desplazamiento x F del cuerpo en oscilación. F = -kx
    • Ley de Hooke Cuando un resorte se estira, hay una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento. F = -kx La constante de resorte k es unax propiedad del resorte dada por: F F m k= x
    • Trabajo realizado para estirar un resorteEl trabajo realizado SOBRE el resortees positivo; el trabajo DEL resorte es negativo. x De la ley de Hooke la fuerza F es: F m F (x) = kx Para estirar el resorte de F x1 a x2 , el trabajo es: 1 2 1 2 Trabajo 2 kx 2 2 kx 1 x1 x2 (Review module on work)
    • Ejemplo 2: Una masa de 4 kg, suspendida de un resorte, produce un desplazamiento de 20 cm. ¿Cuál es la constante de resorte?La fuerza que estira es el peso(W = mg) de la masa de 4 kg: 20 cm F F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N m Ahora, de la ley de Hooke, la constante de fuerza k del resorte es: F k= = k = 196 N/m x 0.2 m
    • Ejemplo 2 (cont.): La masa m ahora se estira una distancia de 8 cm y se sostiene. ¿Cuál es la energía potencial? (k = 196 N/m)La energía potencial es igual altrabajo realizado para estirar elresorte: 8 cm F 0 m 1 2 1 2Trabajo 2 kx 2 2 kx 1 2 2 U ½ kx ½(196 N/m)(0.08 m) U = 0.627 J
    • Desplazamiento en MAS x m x = -A x=0 x = +A• El desplazamiento es positivo cuando la posición está a la derecha de la posición de equilibrio (x = 0) y negativo cuando se ubica a la izquierda.• Al desplazamiento máximo se le llama la amplitud A.
    • Velocidad en MAS v (-) v (+) m x = -A x=0 x = +A• La velocidad es positiva cuando se mueve a la derecha y negativa cuando se mueve a la izquierda.• Es cero en los puntos finales y un máximo en el punto medio en cualquier dirección (+ o -).
    • Aceleración en MAS +a -a -x +x m x = -A x=0 x = +A • La aceleración está en la dirección de la fuerza restauradora. (a es positiva cuando x es negativa, y negativa cuando x es positiva.) F ma kx• La aceleración es un máximo en los puntos finales y es cero en el centro de oscilación.
    • Aceleración contra desplazamiento a v x m x = -A x=0 x = +ADados la constante de resorte, el desplazamientoy la masa, la aceleración se puede encontrar de: kx F ma kx o a m Nota: La aceleración siempre es opuesta al desplazamiento.
    • Ejemplo 3: Una masa de 2 kg cuelga en el extremo de un resorte cuya constante es k = 400 N/m. La masa se desplaza una distancia de 12 cm y se libera. ¿Cuál es la aceleración en el instante cuando el desplazamiento es x = +7 cm? kx (400 N/m)(+0.07 m) a a m 2 kg a = -14.0 m/s2 a +x mNota: Cuando el desplazamiento es +7 cm (hacia abajo), la aceleración es -14.0 m/s2 (hacia arriba) independiente de la dirección de movimiento.
    • Ejemplo 4: ¿Cuál es la aceleración máxima para la masa de 2 kg del problema anterior? (A = 12 cm, k = 400 N/m)La aceleración máxima ocurre cuandola fuerza restauradora es un máximo;es decir: cuando el alargamiento ocompresión del resorte es mayor. F = ma = -kx xmax = A +x kA 400 N( 0.12 m) m a m 2 kg Máxima aceleración: amax = ± 24.0 m/s2
    • Conservación de energía La energía mecánica total (U + K) de un sistema en vibración es constante; es decir: es la misma en cualquier punto en la trayectoria de oscilación. a v x m x = -A x=0 x = +APara cualesquier dos puntos A y B, se puede escribir: ½mvA2 + ½kxA 2 = ½mvB2 + ½kxB 2
    • Energía de sistema en vibración: a v A x B m x = -A x=0 x = +A• En los puntos A y B, la velocidad es cero y la aceleración es un máximo. La energía total es: U + K = ½kA2 x = A y v = 0.• En cualquier otro punto: U + K = ½mv2 + ½kx2
    • Velocidad como funciónade la posición. x v m x = -A x=0 x = +A 2 2 2 k 1 mv 1 kx 1 kA v A2 x2 2 2 2 m vmax k cuando v A m x = 0:
    • Ejemplo 5: Una masa de 2 kg cuelga en el extremo deun resorte cuya constante es k = 800 N/m. La masa sedesplaza una distancia de 10 cm y se libera. ¿Cuál es lavelocidad en el instante cuando el desplazamiento es x= +6 cm? ½mv2 + ½kx 2 = ½kA2 k v A2 x2 +x m m 800 N/m 2 2 v (0.1 m) (0.06 m) 2 kg v = ±1.60 m/s
    • Ejemplo 5 (Cont.): ¿Cuál es la velocidad máxima para el problema anterior? (A = 10 cm, k = 800 N/m, m = 2 kg.)La velocidad es máxima cuando x = 0: 0 ½mv2 + ½kx 2 = ½kA2 +x k 800 N/m v A (0.1 m) m m 2 kg v = ± 2.00 m/s
    • El círculo de referencia El círculo de referencia compara el movimiento circular de un objeto con su proyección horizontal. x A cos t x A cos(2 ft )x = Desplazamiento horizontal.A = Amplitud (xmax). = Ángulo de referencia. 2 f
    • Velocidad en MASLa velocidad (v) de uncuerpo en oscilación encualquier instante es elcomponente horizontal desu velocidad tangencial(vT).vT = R = A; 2 fv = -vT sen ; = t v = - A sen t v = -2 f A sen 2 f t
    • Aceleración y círculo de referenciaLa aceleración (a) de un cuerpoen oscilación en cualquierinstante es el componentehorizontal de su aceleracióncentrípeta (ac).a = -ac cos = -ac cos( t) 2 2 2 R=A v R 2ac ; ac R R R a=- cos( t) 2 a 4 f 2 A cos(2 ft ) 2 2 a 4 f x
    • El periodo y la frecuencia como función de a y x.Para cualquier cuerpo que experimentemovimiento armónico simple: Dado que a = -4 f2x y T = 1/f 1 a x f T 2 2 x aLa frecuencia y el periodo se pueden encontrar sise conocen el desplazamiento y la aceleración.Note que los signos de a y x siempre seránopuestos.
    • Periodo y frecuencia como función de masa y la constante de resorte. Para un cuerpo en vibración con una fuerza restauradora elástica: Recuerde que F = ma = -kx: 1 k m f T 2 2 m kLa frecuencia f y el periodo T se puedenencontrar si se conocen la constante de resorte ky la masa m del cuerpo en vibración. Useunidades SI consistentets.
    • Ejemplo 6: El sistema sin fricción que se muestraabajo tiene una masa de 2 kg unida a un resorte(k = 400 N/m). La masa se desplaza una distanciade 20 cm hacia la derecha y se libera. ¿Cuál es lafrecuencia del movimiento? a v x m x = -0.2 m x=0 x = +0.2 m 1 k 1 400 N/m f 2 m 2 2 kg f = 2.25 Hz
    • Ejemplo 6 (Cont.): Suponga que la masa de 2 kg del problema anterior se desplaza 20 cm y se libera (k = 400 N/m). ¿Cuál es la aceleración máxima? (f = 2.25 Hz) a v x m x = -0.2 m x=0 x = +0.2 mLa aceleración es un máximo cuando x = A 2 2 2 2 a 4 f x 4 (2.25 Hz) ( 0.2 m) a= 40 m/s2
    • Ejemplo 6: La masa de 2 kg del problema anterior se desplaza inicialmente a x = 20 cm y se libera. ¿Cuál es la velocidad 2.69 s después de liberada? (Recuerde que f = 2.25 Hz.) a v x m v = -2 f A sen 2 f t x = -0.2 m x = 0 x = +0.2 m v 2 2.25 Hz 0.2 m sen 2 2.25 Hz 2.69 s(Nota: en rads) v 2 (2.25 Hz)(0.2 m)(0.324) El signo menos significa v = -0.916 m/s que se mueve hacia la izquierda.
    • Ejemplo 7: ¿En qué tiempo la masa de 2 kg se ubicará 12 cm a la izquierda de x = 0? (A = 20 cm, f = 2.25 Hz) -0.12 m a v x x A cos(2 ft ) m x = -0.2 m x = 0 x = +0.2 m x 0.12 mcos(2 ft ) ; (2 ft ) cos 1 ( 0.60) A 0.20 m 2.214 rad 2 ft 2.214 rad; t 2 (2.25 Hz) t = 0.157 s
    • El péndulo simpleEl periodo de un péndulosimple está dado por: L L T 2 gPara ángulos pequeños 1 g f 2 L mg
    • Ejemplo 8. ¿Cuál debe ser la longitud de unpéndulo simple para un reloj que tiene unperiodo de dos segundos (tic-toc)? L L T 2 g L T 2g T2 4 2 ; L= g 4 2 2 2 (2 s) (9.8 m/s ) L 2 L = 0.993 m 4
    • El péndulo de torsiónEl periodo T de unpéndulo de torsión estádado por: I T 2 kDonde k’ es una constante de torsión quedepende del material del que esté hecho labarra; I es la inercia rotacional del sistema envibración.
    • Ejemplo 9: Un disco sólido de 160 g se une al extremo de un alambre, luego gira 0.8 rad y se libera. La constante de torsión k’ es 0.025 N m/rad. Encuentre el periodo.(Desprecie la torsión en el alambre) Para disco: I = ½mR2 I = ½(0.16 kg)(0.12 m)2 = 0.00115 kg m2 I 0.00115 kg m2 T 2 2 T = 1.35 s k 0.025 N m/rad Nota: El periodo es independiente del desplazamiento angular.
    • ResumenEl movimiento armónico simple (MAS) es aquel movimientoen el que un cuerpo se mueve de ida y vuelta sobre unatrayectoria fija, y regresa a cada posición y velocidaddespués de un intervalo de tiempo definido. La frecuencia (rev/s) es el recíproco del periodo (tiempo x para una revolución). F 1 m f T
    • Resumen (Cont.)Ley de Hooke’ : En un resorte, hay una fuerzarestauradora que es proporcional aldesplazamiento. F kx x La constante de resorte k se define como: F F m k x
    • Resumen (MAS) a v x mx = -A x=0 x = +A kx F ma kx a m Conservación de energía: ½mvA2 + ½kxA 2 = ½mvB2 + ½kxB 2
    • Resumen (MAS) 1 2 1 2 1 2 2 mv 2 kx 2 kA k k v A2 x 2 v0 A m m 2 2x A cos(2 ft ) a 4 f x v 2 fA sen 2 ft
    • Resumen: Periodo y frecuencia para resorte ena vibración. x v m x = -A x=0 x = +A 1 a x f T 2 2 x a 1 k m f T 2 2 m k
    • Resumen: Péndulo simple y péndulo de torsión 1 g L Lf T 2 2 L g I T 2 k
    • CONCLUSIÓN:Movimiento armónico simple