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Tema 3 Medidas De Tendencia Central
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Tema 3 Medidas De Tendencia Central

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  • 1. Medidas de Tendencia Central. Anteriormente hemos descrito cómo se agrupan los datos para poder recabar información en torno a ellos. Sin embargo, la simple inspección visual normalmente no basta. Otro método para resumir información consiste en calcular un valor (índice) que describa el conjunto de datos, un resumen numérico de las observaciones hechas. Éstos índices (descriptivos) resumen la tendencia central de un grupo de puntuaciones. Las medidas descriptivas que indican dónde se encuentra el centro o el valor más típico de una serie de datos se denominan medidas de tendencia central o promedios. Las más importantes son la media, la mediana y la moda.
  • 2. La media Es la suma de todos los valores de una variable dividida por el número total de observaciones de la muestra. Se representa con la misma letra que denota la variable, en mayúsculas y con una barra horizontal encima. Su cálculo viene dado por las siguientes expresiones: y se deduce que..i i X X X nX n     Medidas de Tendencia Central
  • 3. Medidas de Tendencia Central Ejemplo: En una prueba de memoria inmediata se recoge la variable número de palabras recordadas en una muestra de 10 sujetos 6,5,4,7,5,7,8,6,7 8. 6 5 4 7 5 7 8 6 7 8 6,3 10 i y X media n              6,3 es el valor prototípico de palabras recordadas en esta muestra. No es un valor observado, ni tan siquiera real, porque uno no recuerda 0,3 de una palabra. Pero se acepta como válido. Es el valor centrado de esta distribución de datos, aunque no el valor central que es [4+8]/2=6
  • 4. La media ponderada o para datos agrupados Se trata de una media de medias. Normalmente se aplica para datos agrupados en intervalos en el que el número de observaciones de cada intervalo se pondera en importancia. 1 ( )i i ponderada X n X n     Medidas de Tendencia Central 1 1 2 2 1 2 ponderada X n X n X n n      Si tenemos dos grupos de personas y ambos tienen distinto n es lógico considerar el grupo con más tamaño como más importante en el cálculo de la media.
  • 5. Medidas de Tendencia Central Ejemplo: se obtiene la media de palabras recordadas por niños disléxicos agrupándose las palabras en intervalos de idéntica amplitud… X ni Xi niXi 10-12 4 11 44 7-9 7 8 56 4-6 10 5 50 1-3 2 2 4 23 154 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 44 56 50 4 154 6,70 4 7 10 2 23 ponderada X n X n X n X n X n n n n                    
  • 6. 1. La suma de las diferencias de n puntuaciones X1, X2, .., Xn respecto a su media vale cero:     0 0 i i i i i i i i X X X X X X X nX X X n X X n                       Propiedades de la media Medidas de Tendencia Central
  • 7. 2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de unas puntuaciones con respecto a su media es menor que con respecto a cualquier otro valor (K).     2 2 i iX X X k    Propiedades de la media Medidas de Tendencia Central 3. Si sumamos o multiplicamos una constante a un conjunto de puntuaciones su media aritmética quedará aumentada o multiplicada en esa misma constante. Y Y i i i i Si X k entonces Y X k Si X k entonces Y X k        
  • 8. Propiedades de la media Medidas de Tendencia Central 5. La media es función de todas y cada una de las puntuaciones y variará con que varíe una sola de ellas. 6. La media es el centro de gravedad de la magnitud medida por la variable. 7. La representatividad de la media depende de su disparidad con la mediana (P50). 4. Una variable definida como la combinación lineal de otras variables tiene como media la misma combinación lineal de las medias de las variables intervinientes en su definición. T ... entonces T ... i i i i i i Si a V b X k Z a V b X k Z              
  • 9. Mediana La Mediana (Mdn o Md) se define como el valor que tiene la propiedad de que el número de observaciones menores que él es igual al número de observaciones mayores que él. Expresado de otra forma, es el punto medio de un conjunto de puntuaciones colocadas por orden Si los datos no están agrupados en una distribución de frecuencias.. Por ejemplo, en la secuencia (ordenada) 3,4,5,6,7,8,9 la mediana será 6 En la secuencia (ordenada) 2,3,4,6,7,9 la mediana será 5 (la media aritmética entre los dos valores centrales ya que n es par) Medidas de Tendencia Central Cuando los datos están agrupados en frecuencias se procede calculando el P50
  • 10. 1. No utiliza todos los elementos 2. Se puede calcular con datos ordinales 3. Menos afectada que la media por datos atípicos 4. Minimiza la suma de diferencias en valor absoluto (veremos que la media aritmética minimiza la suma de diferencias en términos cuadráticos) Medidas de Tendencia Central Propiedades de la mediana
  • 11. 5. La suma de las diferencias (en valor absoluto) de las puntuaciones respecto a su mediana es igual o menor que la suma de las diferencias de esas puntuaciones respecto a cualquier otro valor. 6. Es función de los intervalos elegidos (amplitud, número y límite de los mismos). 7. Es más recomendable que la media cuando la distribución de frecuencias es muy asimétrica, aunque, en la práctica, su uso está bastante poco extendido. i i|x-Md| |x-k| ; Md k   Medidas de Tendencia Central Propiedades de la mediana
  • 12. La mediana es un índice alternativo a la media cuando existen casos extremas. Es el índice a tener en cuenta en medidas de tipo ordinal. Aunque se utiliza con mucha frecuencia en medidas cuantitativas. La mediana coincide con el valor del Percentil 50, del Decil 5 y del Cuartil 2 Medidas de Tendencia Central
  • 13. Es el valor que más se repite, el más frecuente, aunque dentro de una misma distribución de frecuencias, pueden aparecer dos o más valores que corresponden con las frecuencias máximas. En el conjunto de datos: 4,5,6,6,3,6,4,5 la Moda = 6 Propiedades: 1. No es necesariamente única (puede haber varias modas) 2. Es la medida de tendencia central para variables cualitativas 3. En su cálculo no intervienen todos los elementos Medidas de Tendencia Central La moda
  • 14. ¿Cuál elegir? Moda Mediana Media Medidas de Tendencia Central
  • 15. Ident. Nombre Edad (años) Peso (kg) Altura (cm) 1 Juan 4 14,56 103 2 Alberto 5 16,35 108 3 Inés 6 18,95 113 4 Aurora 5 15,03 105 5 Rodrigo 6 17,20 110 6 Marta 7 18,60 117 7 Juana 8 20,90 121 8 Roberto 6 15,30 106 9 Silvia 7 16,82 111 10 Ana 11 42,36 140 11 Patricio 10 26,44 131 12 Andrés 9 29,55 130 Consideramos la tabla de datos Medidas de Tendencia Central
  • 16. La edad media es 7 Nombre Juan Alberto Ines Aurora Rodrigo Marta Juana Roberto Silvia Ana Patricio Andres Edad(años) 4 5 6 5 6 7 8 6 7 11 10 9 Se ven las distancias entre las edades 4 6 8 10 Juan Alberto Aurora Inés Rodrigo Roberto Marta Silvia Juana Andrés Ana Patricio Medidas de Tendencia Central
  • 17. Nombre Juan Alberto Ines Aurora Rodrigo Marta Juana Roberto Silvia Ana Patricio Andres Edad(años) 4 5 6 5 6 7 8 6 7 11 10 9 Edad 4 5 6 7 8 9 10 11 Frecuencia 1 2 3 2 1 1 1 1 Consideramos las frecuencias de las edades 4 6 8 10 Juan Alberto Aurora Inés Rodrigo Roberto Marta Silvia Juana Andrés Ana Patricio
  • 18. 4 5 6 7 8 9 10 11 Representemos ahora las frecuencias mediante bolas rojas, y correspondamos con los años Medidas de Tendencia Central
  • 19. Media 7 4 6 8 10 Juan Alberto Aurora Inés Rodrigo Roberto Marcela Silvia Juana Andrés Anita Patricio Mediana 6,5 Moda 6 Medidas de Tendencia Central
  • 20. La media es el punto de equilibrio 4 6 8 10 Medidas de Tendencia Central
  • 21. La mediana muestra el desequilibrio cuando se pone 6 personas de cada lado Medidas de Tendencia Central
  • 22. 100 110 120 150 140 130 La mediana de la altura es la altura de un niño ficticio representado aquí en rojo
  • 23. 100 110 120 150 140 130 1er cuartil 3er cuartil Mediana

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