Antecedentes históricos de la geometría

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Antecedentes históricos de la geometría

  1. 1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍAObjetivos: Relatar los antecedentes históricos de la creación de la Geometría. Representar la reproducción de algunos trazos básicos de la Geometría. Definir cuál es el método utilizado en Geometría.Geometría (Geo=Tierra Metría=Medida).Los primeros conocimientos geométricos que tuvo el hombre consistían en unconjunto de reglas prácticas.Quizá uno de los acontecimientos históricos que ejemplificaría la aplicación deesas reglas prácticas sería la invención de la rueda, hecha por los babilonios hacecerca de 6,000 años. Tal vez de ahí surgió su afán por descubrir las propiedadesde la circunferencia y ésto los condujo a estudiar la relación que existe entre lalongitud de la circunferencia y su diámetro.Además, apoyándose en la Astronomía y conociendo que el año tieneaproximadamente 360 días, dividieron la circunferencia en 360 partes iguales,obteniendo el grado sexagesimal.En Egipto, la base de su civilización era la agricultura. Aquí también se llevó acabo la aplicación de los conocimientos geométricos a la medida de la Tierra y talvez sea ésta la causa del "por qué" se diera a esta parte de las Matemáticas, elnombre de Geometría, que significa medida de la Tierra.En Grecia comienza la geometría como creencia deductiva. Aunque es probableque algunos matemáticos griegos como Tales, Herodoto, Pitágoras, etc. fueran aEgipto a iniciarse en los conocimientos geométricos ya existentes en dicho país,su gran mérito está en que es a ellos, a quienes se debe la transformación de lageometría en creencia deductiva.El método deductivo.Es utilizado en varias ciencias, principalmente en la Geometría. Este métodoconsiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal,que se obtienen nuevos conocimientos, es decir, obtener nuevas proposicionescomo consecuencias lógicas de otras anteriores.Axioma: Es una proposición tan sencilla y evidente que no necesita demostración,ejemplo: el todo es mayor que cualquiera de sus partes.
  2. 2. Postulado: Es una proposición no tan evidente como lo es un axioma pero tambiénse admite sin demostración por ejemplo el decir que en una recta hay una infinidadde puntos .Teorema: Es una proposición que puede se demostrada. La demostración constade un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de laproposición.Corolario: Proposición que se deduce de un teorema como consecuencia delmismo.Punto: El punto no tiene dimensiones, carece de masa es algo abstracto (alejadode la realidad), es decir, no se puede definir.Línea: Es una secuencia de puntos.Segmento de recta: Es una proporción de línea recta.Trazos con regla y compás. Trazo uno. 1ro._Coloca tu regla en la dirección que tú quieras, pero una vez puesta trata de no moverla. 2do._Coloca cualquiera de tus escuadras, de tal forma que haga un ángulo de 90º con tu regla y traza una línea. 3ro._Recorre la escuadra hacia la izquierda oderecha, sin despegarla de tu regla, y traza otra líneacon escuadras.Trazo dos.Coloca tu escuadra, (cualquiera) en la posición que túquieras, una vez puesta trata de no moverla. 1. Coloca la otra escuadra, de modo que coincidan los lados, una vez puesta traza una línea.Desliza la escuadra (la 2ª que pusiste) hacia arriba o hacia abajo, y traza otralínea.g
  3. 3. GEOMETRÍA CLÁSICA GRIEGAPara los antiguos matemáticos griegos, la geometría era la joya de la corona desus ciencias, llegando a una exhaustividad y una perfección de metodología queninguna otra rama de su conocimiento había antes alcanzado. Se amplió la ramade la geometría a muchos nuevos tipos de cálculos, curvas, superficies, y sólidos,que cambió su metodología de ensayo y error a la deducción lógica, que reconocióque los estudios de geometría "eterna formas", o abstracciones, de los cualesfísica los objetos son sólo aproximaciones, y desarrollaron la idea de una "teoríaaxiomática", que, por más de 2000 años, se consideraba el paradigma ideal paratodas las teorías científicas.La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía uncuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas yvolúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos deHeródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró lageometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguirdurante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posicionesde estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente deresolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartesdesarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa,donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían serrepresentadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometríase enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricosque analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y lageometría diferencial.La geometría durante los periodos prehistórico y protohistóricoEs razonable pensar que el origen de la geometría surge con los primerospictogramas que traza el hombre primitivo pues, seguramente, clasificaba aun demanera inconsciente lo que le rodeaba según su forma. En la abstracción de estasformas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la geometría. Asíparece confirmarlo la ornamentación esquemática abstracta en vasijas decerámica y otros utensilios.La geometría en el Antiguo EgiptoPapiro de Ahmes.Artículo principal: Geometría en el Antiguo Egipto.
  4. 4. Las primeras civilizaciones mediterráneasadquieren poco a poco ciertos conocimientosgeométricos de carácter eminentementepráctico. La geometría en el antiguo Egiptoestaba muy desarrollada, como admitieronHeródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptabanque los egipcios habían "inventado" lageometría y la habían enseñado a los griegos;aunque lo único que ha perdurado son algunasfórmulas –o, mejor dicho, algoritmosexpresados en forma de "receta"– para calcularvolúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidadera práctica. Con ellas se pretendía, porejemplo, calcular la dimensión de las parcelasde tierra, para reconstruirlas después de lasinundaciones anuales. De allí el nombreγεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) tierra más μετρία(metría), medición).Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscú muestran conjuntos demétodos prácticos para obtener diversas áreas y volúmenes, destinados alaprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundosconocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguosegipcios tenían sobre la geometría.Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilizaciónsobre geometría –así como los de las culturas mesopotámicas– pasóíntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y,esencialmente, de Euclides.La Geometría griegaVéase también: Geometría clásica.La Geometría griega antes de Euclides
  5. 5. La primera demostración del teorema de Pitágoras probablemente usó undiagrama como el que se muestra.La Geometría Griega fue la primera en ser formal. Parte de los conocimientosconcretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámica, y da un pasode abstracción al considerar los objetos como entes ideales –un rectángulo ideal,en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo,etc.– que pueden ser manipulados mentalmente, con la sola ayuda de regla ycompás. Aparece por primera vez la demostración como justificación de laveracidad de un conocimiento aunque, en un primer momento, fueran másjustificaciones intuitivas que verdaderas demostraciones formales.Talespermaneció en Egipto una larga temporada de su vida, aprendiendo de losconocimientos de sacerdotes y escribas. Fue el primero en ser capaz de calcularla altura de las Pirámides de Egipto. Para ello midió su propia altura, y en elpreciso momento en el que su sombra medía exactamente la misma cantidad,mandó a marcar la sombra del vértice de la Gran Pirámide. De esa forma pudocalcular exactamente cuál era su altura.1 También se le atribuye la predicción deun eclipse solar.2La figura de Pitágoras y de la secta por él creada: los pitagóricos, tiene un papelcentral, pues eleva a la categoría de elemento primigenio el concepto de número(filosofía que de forma más explícita o más implícita, siempre ha estado dentro dela Matemática y de la Física), arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina –en este momento inicial de la historia de la Matemática aún no hay una distinciónclara entre Geometría y Aritmética–, y asienta definitivamente el concepto dedemostración (éste ya sí coincide con el concepto de demostración formal) comoúnica vía de establecimiento de la verdad en Geometría.Esta actitud permitió (aun fuera de la secta) la medición del radio de la Tierra porEratóstenes, así como la medición de la distancia a la Luna, y la investigación yestablecimiento de la teoría de las palancas, por Arquímedes, varios siglosdespués.En el seno de la secta de los pitagóricos surge la primera crisis de la Matemática:la aparición de los inconmensurables, pero esta crisis es de carácter másaritmético que geométrico.Surge entonces un pequeño problema de Lógica, que consiste en lo siguiente: unademostración parte de una o varias hipótesis para obtener un resultadodenominado tesis. La veracidad de la tesis dependerá de la validez delrazonamiento con el que se ha extraído (esto será estudiado por Aristóteles alcrear la Lógica) y de la veracidad de las hipótesis. Pero entonces debemos partirde hipótesis ciertas para poder afirmar con rotundidad la tesis. Para poderdeterminar la veracidad de las hipótesis, habrá que considerar cada una comotesis de otro razonamiento, cuyas hipótesis deberemos también comprobar. Se
  6. 6. entra aparentemente en un proceso sin fin en el que, indefinidamente, lashipótesis se convierten en tesis a probar.Euclides y Los elementosFragmento de uno de los Papiros de Oxirrincocon unas líneas de Los elementos de Euclides.Euclides, vinculado al Museo de Alejandría y asu Biblioteca, zanja la cuestión al proponer unsistema de estudio en el que se da porsentado la veracidad de ciertas proposicionespor ser intuitivamente claras, y deducir de ellastodos los demás resultados. Su sistema se sintetiza en su obra cumbre, Loselementos, modelo de sistema axiomático-deductivo. Sobre tan sólo cincopostulados y las definiciones que precisa construye toda la Geometría y laAritmética conocidas hasta el momento. Su obra, en trece volúmenes, perdurarácomo única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX.Entre los postulados en los que Euclides se apoya hay uno (el quinto postulado)que trae problemas desde el principio. No se ponía en duda su veracidad, pero taly como aparece expresado en la obra, muchos consideran que seguramentepodía deducirse del resto de postulados. Durante los siguientes siglos, uno de losprincipales problemas de la Geometría será determinar si el V postulado es o noindependiente de los otros cuatro, es decir, si es necesario considerarlo como unpostulado o es un teorema, es decir, puede deducirse de los otros, y por lo tantocolocarse entre el resto de resultados de la obra.Después de EuclidesEuclides casi cierra definitivamente la geometría griega –y por extensión la delmundo antiguo–, a excepción de las figuras de Arquímedes y Apolonio de Perge.Arquímedes analizó exhaustivamente las secciones cónicas, e introdujo engeometría otras curvas como la espiral que lleva su nombre, aparte de su famosocálculo del volumen de la esfera, basado en los del cilindro y el cono.Esquema de las tres secciones cónicas:elipse, parábola e hipérbola (más lacircunferencia).Los tres problemas geométricos de laAntigüedad
  7. 7. La geometría griega era incapaz de resolver tres famosos problemas geométricos(que heredarán los matemáticos posteriores), puesto que debían ser resueltosutilizando únicamente la regla y compás «ideales», únicos instrumentos válidos enla geometría griega. Estos tres problemas son los siguientes:La duplicación del cuboCuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de Atenas, hasta elpunto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la ciudad fue al oráculode Delfos, consagrado a Apolo, para consultar qué se debía hacer para erradicarla mortal enfermedad. Tras consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debíaduplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía unapeculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altarcúbico cuyos lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó,se volvió más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los ateniensesque el altar no era el doble de grande, sino cuatro veces mayor, puesto que elvolumen del cubo es el cubo de su lado ( ). Nadie supo cómoconstruir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otrocubo dado, y el problema matemático persistió durante siglos (no así laenfermedad).La trisección del ánguloArtículo principal: Trisección del ángulo.Este problema consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales,empleando únicamente la regla y el compás, de manera que la suma de lasmedidas de los nuevos tres ángulos sea exactamente la medida del primero.La cuadratura del círculoArtículo principal: Cuadratura del círculo.La cuadratura del círculo consiste en tratar de obtener un cuadrado cuya áreamida exactamente lo mismo que el área de un círculo dado. Anaxágoras fue elprimero en intentar resolverlo, dibujando en las paredes de su celda. Fueapresado por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses.Tampoco pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser elparadigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David Hume llegó aescribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no teníasuficientes conocimientos matemáticos, y nunca aceptó que sus métodos eranfallidos.La Geometría en la Edad MediaDurante los siguientes siglos la Matemática comienza nuevos caminos de la manode hindúes y árabes en Trigonometría y Álgebra (el uso de la notación posicional ydel cero), aunque relacionadas con la Astronomía y la Astrología; pero en
  8. 8. geometría apenas hay nuevas aportaciones. En Occidente, a pesar de que laGeometría es una de las siete Artes liberales (encuadrada en el Quadrivium), lasescuelas y universidades se limitan a enseñar los "Elementos", y no hayaportaciones.La Geometría ProyectivaEs en el Renacimiento cuando las nuevas necesidades de representación del artey de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricaspara obtener nuevos instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquíse enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo daVinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, porcitar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean lanecesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas deGeometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principiosfundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nuevageometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de laHire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos,no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIXde Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.La Geometría CartesianaPero es sin duda la aparición de la geometría analítica lo que marca la Geometríaen la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemasgeométricos, y por extensión, de investigar en geometría.El nuevo método analiza la geometría utilizando ecuaciones algebraicas. Secambia la regla y compás clásicos por expresiones numéricas que se puedenrepresentar mediante coordenadas cartesianas. Utilizando notación actual, dichométodo se expresa así:En un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes) –que por convenio setrazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical–, y cada puntodel plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto acada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinarsobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esadistancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, lascoordenadas, quedará representado por un par ordenado , siendo ladistancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e ladistancia al otro eje (al horizontal).En la coordenada , el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distanciase toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo
  9. 9. (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para lacoordenada , el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia setoma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si elsigno es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada se lasuele denominar abscisa del punto, mientras que a la se la denomina ordenadadel punto.Ejes coordenados.Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre laverdadera paternidad de este método. Lo únicocierto es que se publica por primera vez como"Geometría Analítica", apéndice al "Discursodel Método", de Descartes, si bien se sabeque Pierre de Fermat conocía y utilizaba elmétodo antes de su publicación porDescartes. Aunque Omar Khayyam ya en elsiglo XI utilizara un método muy parecidopara determinar ciertas intersecciones entrecurvas, es imposible que alguno de loscitados matemáticos franceses tuviera accesoa su obra.Lo novedoso de la Geometría Analítica (comotambién se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricasmediante fórmulas del tipo , donde representa una función. Enparticular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1(v.g.: ) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuacionespolinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia , la hipérbola). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones queexisten entre polinomios de grados 1 y 2. Desde un punto de vista formal (aunqueellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relaciónfundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano,la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por lospolinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo de polinomios , resultando queambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidezhasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finalesdel siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por quéla Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarsedirectamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de laMatemática.
  10. 10. El método original de Descartes no es exactamente el que se acaba de explicar.Descartes utiliza solamente el eje de abscisas, calculando el valor de la segundacomponente del punto mediante la ecuación de la curva, dándole valores ala magnitud . Por otro lado, Descartes sólo considera valores positivos de lascantidades e , dado que en la época aun resultaban "sospechosos" losnúmeros negativos. Como consecuencia, en sus estudios existen ciertasanomalías y aparecen curvas sesgadas. Con el tiempo se aceptaron lasmodificaciones que muestran el método tal y como lo conocemos hoy en día.Los nuevos métodosAgotamiento del método sintéticoLa aparición de la Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entenderla Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético,consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos losteoremas. El método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun daráalgunos resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza deestos resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultadosrealmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría yavendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al métodoalgebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en elespacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto deraíces de polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuandoaparezcan las geometrías no euclídeas, y definitivamente deja de ser uninstrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedandorelegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución deproblemas, pero ya como una disciplina cerrada.Los límites del método algebraicoEl método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante elsiglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permitegeneralizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios desegundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás -además de lascónicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este método, que terminaráconstituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradasdesde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver porradicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y eldesarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.El Cálculo InfinitesimalEl método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar unacurva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación
  11. 11. en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera . La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) alestereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer ejeperpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma .Ya Isaac Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre latangente a una curva y el área que encierra entre dos puntos y los ejescoordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton yLeibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entreel Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso losorígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de losinstrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida suinspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newtono los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de función de unavariable (o si se quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables). FueEuler el primero en empezar a intuir la diferencia, y el primero también en ampliareste tipo de estudios a las superficies (como función de dos variables o como elconjunto de los ceros de una función de tres variables). El trabajo de Mongecontinúa por esta línea.En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a susaplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución deEcuaciones Diferenciales. Se estudia en especial la interpretación geométrica delas ecuaciones diferenciales (tanto de la solución en sí como problemas asociadosa ellas, como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta época aparece elque será el caballo de batalla de la Geometría Diferencial: el Teorema de laFunción Implícita.Fue Huygens el primero en estudiar la curvatura de una curva plana, aunqueparece que fue Clairaut el que usa con maestría y fija el concepto.

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