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Portafolios Eficientes y Asignación Óptima de Activos con Fondos de
                  Inversión de la República Argentina
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Contenido

1. Introducción ..................................................................................................
1. Introducción

En el presente trabajo se mostrará el proceso de estimación del grado de exposición a
determinadas clases...
En primer lugar, porque para incluir clases de activos “no tradicionales” deberíamos brindar un
marco conceptual que nos p...
estándar), y (iii) estructura de correlaciones. Estos indicadores nos ayudarán a su vez para medir
su performance relativa...
FIMA Renta Pesos

Se trata de un fondo denominado en pesos compuesto por Títulos públicos y privados de corto
plazo, con u...
FIMA Nuevo Renta Dólares

Se trata de un fondo denominado en dólares compuesto por bonos locales (en dólares) de
mediano y...
FIMA Renta Latinoamericana

Se trata de un fondo denominado en dólares compuesto por Títulos públicos latinoamericanos,
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FIMA PB Acciones

Se trata de un fondo denominado en pesos compuesto por acciones del panel Merval de la Bolsa
de Comercio...
3.1 Medidas de Riesgo y Retorno

Tal cual se muestra en el siguiente cuadro los fondos han mostrado una performance bastan...
Desvío    Probabilidad de   Pérdida Diaria   95% Confidence
                             Retorno
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El gráfico anterior muestra que hay tres Fondos que tienen retornos anuales bastante cercanos
     entre sí, aunque muestr...
4. Análisis Estadístico de los Retornos

Las estimaciones de la sección anterior se obtuvieron a partir de la utilización ...
En casi todas las series de retornos utilizadas se observa que los retornos máximos y mínimos son
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apuntalamiento de dichas curvas son sensiblemente mayores a las de la distribución normal. De
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Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20)

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5. Especificación del Modelo de Trabajo

La conformación del portafolio óptimo se reduce en última instancia a estimar cuá...
En su forma resumida:                    µi = α i + 1 / 2 σ i2
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(ii)        µMVP p µtarget donde la frontera tiene pendiente negativa

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incrementar nuestra exposición al Fondo FIMA Renta Pesos que exhibe mayores retornos, pero
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7. Especificación de la Función Objetivo

Si en nuestra función de utilidad original utilizamos al GR de nuestro portafoli...
Formalmente nuestro problema se puede plantear de forma tal que, definida las preferencias de
riesgo del inversor (λ), est...
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Fima
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En sintonía con los resultados obtenidos en las secciones anteriores, y teniendo en cuenta las
particularidades de cada ac...
por el espejo retrovisor puede llevarnos a sobre-posicionarnos en determinados activos que no
cumplirán ex-post con las pr...
Suarez y Suarez (1988); Decisiones Óptimas de Inversión y Financiación en la Empresa, Editorial
Pirámide.




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Portafolios eficientes y asignacion optima de activos mariano muruzabal

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  • Felicitaciones Mariano por el trabajo que has realizado, este es un muy buen cierre que le estas dando a tu maestría. Destaco el nivel académico que le impartiste y el aporte que estas brindando a los no especialistas en finanzas.
    Para ir cerrando y como no podía ser de otra manera viniendo de tu parte, es un trabajo con alto contenido de profesionalismo.

    Matias Taus
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  1. 1. Portafolios Eficientes y Asignación Óptima de Activos con Fondos de Inversión de la República Argentina Por Mariano Muruzábal Universidad del CEMA Buenos Aires, Argentina 2010 Abstract En el presente trabajo se presenta una aplicación práctica de un problema de optimización de portafolios de inversión utilizando activos representativos de la República Argentina. A lo largo del mismo se brinda una descripción detallada del marco conceptual que se utilizó para determinar la correcta asignación de activos, mostrándose en cada caso los supuestos (y sus validaciones) más importantes y las instancias necesarias para obtener los mejores portafolios. Los resultados obtenidos muestran los “insights” más importantes de la teoría moderna de administración de portafolios, sobre todo en las relaciones existentes entre riesgo y retornos, en relación al comportamiento de los activos, y la forma en la cual estos se combinan para formar un portafolio óptimo ajustado a las preferencias de un inversor representativo.
  2. 2. Contenido 1. Introducción .................................................................................................................................... 3 2. Selección de Clases de Activos ........................................................................................................ 4 3. Definición del Conjunto de Oportunidades de Inversión................................................................ 5 3.1 Medidas de Riesgo y Retorno.................................................................................................. 10 3.2 Estructura de Correlaciones .................................................................................................... 12 4. Análisis Estadístico de los Retornos .............................................................................................. 13 5. Especificación del Modelo de Trabajo........................................................................................... 17 5.1 Retorno y Varianza del Portafolio ........................................................................................... 17 6. Estimación Frontera de Eficiencia ................................................................................................. 18 7. Especificación de la Función Objetivo ........................................................................................... 22 8. Selección del Portfolio Óptimo ..................................................................................................... 22 8.1 Reformulación de la Función Objetivo .................................................................................... 27 9. Conclusiones.................................................................................................................................. 30 10. Bibliografía .................................................................................................................................. 31 2
  3. 3. 1. Introducción En el presente trabajo se mostrará el proceso de estimación del grado de exposición a determinadas clases de activos que debe tener un portafolio óptimo, utilizando para ello Fondos Comunes de Inversión de la República Argentina. Se entiende por asignación óptima al proceso de estimación de aquellos ponderadores que nos indicarán cómo debe estar compuesto un portafolio óptimo a partir de un determinado conjunto de oportunidades de inversión, de manera de cumplir con determinados objetivos de riesgo y retorno. Estos últimos “objetivos” serán fijados previamente al armado del portafolio al no surgir de un proceso de optimización sino del perfil de riesgo y de los objetivos de rentabilidad fijados por nuestro inversor representativo. Será en función de estas expectativas de retorno y de la capacidad para tomar riesgos las variables que condicionarán la selección final de los activos que integrarán nuestro portafolio. En el presente trabajo se mostrará todo este proceso a través de un marco conceptual consistente para la correcta asignación de activos. En este sentido, se utilizará un esquema de media-varianza incluyendo una función objetivo particular y una serie de restricciones que reflejarán la situación particular de nuestro inversor representativo. A pesar de la naturaleza estática de la optimización, al final del trabajo se intentará aplicar una estrategia de asignación dinámica donde los cambios en la composición del portafolio respondan a las variaciones en el nivel de tolerancia al riesgo, en el cambio del horizonte de inversión, o a medida que surjan oportunidades de inversión que mejoren el perfil de riesgo-retorno, y por ende, la performance del portafolio. Una vez introducida la clase de activos con los cuales se trabajará, se describirán los supuestos considerados en cuanto al comportamiento de los retornos, y se detallará la forma funcional del modelo a utilizar. Además de estimarse la frontera de eficiencia, se correrán diversos ejercicios de optimización para identificar los mejores portafolios atendiendo circunstancias particulares y considerando diversas restricciones. 2. Selección de Clases de Activos Tradicionalmente, la asignación estratégica se realiza a partir de 3 (tres) clases “tradicionales” de activos, a saber: (i) renta variable, (ii) renta fija, y (iii) cash, que representan nuestro conjunto de oportunidades de inversión. Realizaremos nuestro análisis utilizando esta clase de activos. 3
  4. 4. En primer lugar, porque para incluir clases de activos “no tradicionales” deberíamos brindar un marco conceptual que nos permita justificar por qué esos activos forman una nueva “clase”. En segundo lugar, porque la relevancia de cada clase de activo podrá variar de acuerdo al tipo de inversor. Utilizar activos tradicionales nos evita justificar la inclusión de nuevas clases de activos. En tercer lugar, es difícil considerar clases de activos no tradicionales (a los tres ya mencionados) debido a múltiples factores como: pocos vehículos de inversión, series históricas imperfectas (alcance y homogeneidad), la falta de modelos de “pricing” específicos y aceptados universalmente, y una menor certeza en cuanto al entendimiento de la fuente de retornos en comparación con las clases de activos tradicionales. Por estos motivos nos concentraremos en estas últimas. Antes de comenzar, vamos a definir de manera general a una “clase” como aquellos activos (financieros o no) que exhiben ciertos rasgos comunes o patrones de comportamiento similares que permiten agruparlos dentro de un mismo grupo o categoría. La conformación de nuestro portafolio debería incluir (preferentemente) activos (individuales o representativos) que pertenezcan a distintas “clases”, ya sea que estas se definan en función de rasgos comunes como ser la relación riesgo-retorno, estilo, maturity, o la semejanza en su estructura de correlaciones. No atender este criterio de selección puede derivar en la inclusión de activos con características similares, y por ende, altamente correlacionados, lo cual impactará negativamente en la performance del portafolio al no ofrecer la suficiente diversificación. Considerar la mayor cantidad de grupos de activos amplía el conjunto de oportunidades de inversión. Esto es siempre beneficioso ya que nos brinda mayores posibilidades de diversificar nuestro riesgo, y por ende, mejorar la performance del portafolio. En este sentido trabajaremos con una cartera compuesta por 5 (cinco) activos representativos con características distintivas que los diferencien entre sí y que permitan una correcta diversificación del riesgo. 3. Definición del Conjunto de Oportunidades de Inversión En este apartado describiremos cada uno de los Fondos de Inversión que utilizaremos como proxies para cada clase de activo, a partir de los cuales conformaremos nuestro portafolio óptimo. Dado que trabajaremos con un esquema de media-varianza se detallarán los principales tres conjuntos de inputs requeridos por nuestro modelo, a saber: (i) Retornos, (ii) Volatilidades (desvío 4
  5. 5. estándar), y (iii) estructura de correlaciones. Estos indicadores nos ayudarán a su vez para medir su performance relativa y los patrones de riesgo-retorno para cada caso. Clase de Activo Activo Proxy Rango de la Serie Money Market FIMA Ahorro Pesos 28/11/2006-11/08/2010 FIMA Renta Pesos 28/11/2006-11/08/2010 Renta Fija FIMA Nuevo Renta Dólares 28/11/2006-11/08/2010 FIMA Renta Latinoamericana 28/11/2006-11/08/2010 Renta Variable FIMA PB Acciones 28/11/2006-11/08/2010 Fuente: Fondos FIMA en www.fondosfima.com.ar Nota: Para todas las series en pesos se consideró el efecto tipo de cambio para poder compararlas con las series en dólares. Los rendimientos de cada serie son netos de honorarios de administración. Nota: cada serie tiene una frecuencia diaria. FIMA Ahorro Pesos Se trata de un fondo denominado en pesos argentinos compuesto por títulos emitidos por el BCRA de corto plazo (Lebac/Nobac), fideicomisos financieros y certificados a plazo fijo, entre otros. La política de inversión prioriza la preservación del capital y la estabilidad de los retornos. Composición FIMA Ahorro Pesos Obligaciones Negociables 9% Tit. BCRA Tasa Fija 38% Tit. BCRA Badlar 2% Cuotas FCI 6% Fideicomiso Financiero 8% Tit. Públicos 1% Plazo Fijo 17% Letras Ciudad de Bs.As. 13% Letras Prov. Bs.As. 6% 5
  6. 6. FIMA Renta Pesos Se trata de un fondo denominado en pesos compuesto por Títulos públicos y privados de corto plazo, con una vida promedio de 1 año aproximadamente. Composición FIMA Renta Pesos Tit. BCRA Tasa Fija 31% Tit. Públicos en Pesos 43% Letras Prov. Bs.As. 6% Disp. y Otros 3% Obliaciones Negociables 3% Tit. Publicos en Dolares 7% Fideicomiso Financiero y Ons 7% 6
  7. 7. FIMA Nuevo Renta Dólares Se trata de un fondo denominado en dólares compuesto por bonos locales (en dólares) de mediano y largo plazo. Composición FIMA Nuevo Renta Dólares Bonos Cortos Dólares 55% Bonos Largos Dólares 26% Obligaciones Negociables 6% Bonos Cupón PBI 3% Disp. Y Otros 10% 7
  8. 8. FIMA Renta Latinoamericana Se trata de un fondo denominado en dólares compuesto por Títulos públicos latinoamericanos, principalmente de Brasil, Chile y Argentina. La política de inversión busca mantener una cartera diversificada con activos con mínima rotación, baja volatilidad y adecuada calificación crediticia. Composición FIMA Renta Latinoamericana Argentina 51% Brasil 41% Chile 8% 8
  9. 9. FIMA PB Acciones Se trata de un fondo denominado en pesos compuesto por acciones del panel Merval de la Bolsa de Comercio de Buenos Aires. La política de inversión consiste en seguir el índice de referencia incluyendo activos con baja rotación y buena performance en sus indicadores, atendiendo a su vez la diversificación del riesgo. Composición FIMA PB Acciones Bancos 34% Servicios 6% Petroleras 10% Comunicaciones 11% Petroquímicas 1% Construcción 0,40% Textiles 0,40% Alimenticias 0,20% Disp. y Otros 2% 9
  10. 10. 3.1 Medidas de Riesgo y Retorno Tal cual se muestra en el siguiente cuadro los fondos han mostrado una performance bastante dispar a lo largo de toda la serie (28/11/2006-11/08/2010). El Fondo FIMA Ahorro en Pesos tal cual era de esperar (ver su política de inversión) mostró baja volatilidad con retornos en dólares atractivos (6,51%) teniendo en cuenta el riesgo del fondo. Llama la atención el Fondo FIMA Renta Pesos que a pesar de estar conformado por títulos de corto plazo ha logrado un retorno importante (19,81%) pero manteniendo una volatilidad cercana a la observada por títulos soberanos de adecuada calidad crediticia (FIMA Renta Latinoamericana). La mayor sorpresa la encontramos en el Fondo FIMA PB Acciones que ha mostrado la mayor volatilidad pero con retornos prácticamente nulos. Este hecho se debe a la notable caída que tuvo el fondo durante el año 2008, no logrando recuperar en los años posteriores las pérdidas de dicho año. Esto lo ubica como el peor fondo, considerando las performances observadas durante toda la serie temporal. 10
  11. 11. Desvío Probabilidad de Pérdida Diaria 95% Confidence Retorno Estándar Pérdida Promedio Lower Bound 2007 Fima Ahorro Pesos 11% 4% 38% -0,14% -0,27% Fima Renta Pesos 6% 7% 45% -0,22% -0,44% Fima Nuevo Renta Dolares -9% 13% 51% -0,30% -0,57% Fima Renta Latinoamericana 4% 11% 46% -0,22% -0,50% Fima PB Acciones 2% 30% 45% -1,18% -2,18% 2008 Fima Ahorro Pesos 5% 7% 48% -0,22% -0,50% Fima Renta Pesos -8% 17% 46% -0,60% -1,45% Fima Nuevo Renta Dolares -86% 44% 58% -1,03% -3,17% Fima Renta Latinoamericana -15% 19% 48% -0,51% -1,50% Fima PB Acciones -111% 53% 49% -2,18% -5,21% 2009 Fima Ahorro Pesos 3% 3% 46% -0,12% -0,24% Fima Renta Pesos 62% 16% 36% -0,61% -1,18% Fima Nuevo Renta Dolares 116% 28% 38% -1,04% -2,03% Fima Renta Latinoamericana 31% 11% 39% -0,45% -0,87% Fima PB Acciones 95% 37% 42% -1,44% -3,39% Serie Completa Fima Ahorro Pesos 6,51% 4,58% 43% -0,15% -0,30% Fima Renta Pesos 19,81% 13,34% 42% -0,44% -1,05% Fima Nuevo Renta Dolares 8,79% 28,81% 47% -0,75% -1,77% Fima Renta Latinoamericana 6,96% 13,05% 44% -0,38% -0,81% Fima PB Acciones 0,05% 39,42% 45% -1,53% -3,47% 11
  12. 12. El gráfico anterior muestra que hay tres Fondos que tienen retornos anuales bastante cercanos entre sí, aunque muestran distintos niveles de riesgo. Como vamos a ver más adelante, este patrón de comportamiento influirá en la asignación de activos. Vemos claramente que el Fondo FIMA Renta Pesos ofrece una buena relación riesgo retorno, al menos comparándolo con el resto de los Fondos. De la misma manera, queda claro que el Fondo FIMA PB Acciones ha mostrado la peor performance relativa al no compensar con retornos su enorme volatilidad. 3.2 Estructura de Correlaciones Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB Correlations Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones Fima Ahorro Pesos 1,0000 0,5049 0,1756 0,2041 0,2372 Fima Renta Pesos 0,5049 1,0000 0,6674 0,5599 0,4315 Fima Nuevo Renta Dolares 0,1756 0,6674 1,0000 0,7425 0,3874 Fima Renta Latinoamericana 0,2041 0,5599 0,7425 1,0000 0,3869 Fima PB Acciones 0,2372 0,4315 0,3874 0,3869 1,0000 El cuadro anterior muestra la variación conjunta (medida a través de una relación lineal) de los retornos de los distintos fondos. La menor correlación se observa entre el Fondo FIMA Ahorro en Pesos y el FIMA Nueva Renta en Dólares. Combinar estos dos fondos nos ayudará a diversificar el riesgo de nuestro portafolio. La mayor correlación la observamos entre el fondo FIMA Nuevo Renta Dólares y el FIMA Renta Latinoamericana. Algo esperable ya que ambos fondos tienen en común un gran porcentaje de títulos soberanos locales denominados en dólares. Seguramente, que si el fondo FIMA Renta Latinoamericana hubiera reducido su exposición a los bonos locales se podría haber reducido esta correlación, lo cual nos permitiría mejorar la diversificación de riesgo. 12
  13. 13. 4. Análisis Estadístico de los Retornos Las estimaciones de la sección anterior se obtuvieron a partir de la utilización de medidas de retornos continuos (continuosly compounded return o CCR), los cuales se pueden expresar de la siguiente manera:  P (t)  X i (t) = ln  i   Pi (t − 1)  X i (t) → N (α i ;σ i2 ) La utilización de retornos continuos (CCR) facilita el trabajo a nivel de activos individuales, y bajo un ambiente de multi-períodos, ya que el CCR acumulado durante un período de inversión (T) es equivalente a la sumatoria de los CCR de cada sub-período. Cuando dichos retornos continuos se distribuyen normalmente de acuerdo a la última ecuación, el valor esperado a lo largo de un horizonte de inversión viene dado por: T E[ Ri (T )] = ∑α i = T α i i =1 Para obtener una forma funcional conocida para la varianza, además del supuesto de normalidad, debemos asumir la ausencia de auto-correlación en los retornos. Cuando esto se cumple podemos simplemente sumar las varianzas de cada sub-período sin tener que preocuparnos de las covarianzas (que serán igual a cero bajo nuestro supuesto). En este caso, la varianza y el desvío estándar de los CCR a lo largo de un horizonte de inversión vendrán dadas por: T Var[ Ri (T )] = ∑σ i2 = Tσ i2 i =1 STD = T 1/ 2σ i Donde Ri (T ) equivale al retorno (continuo) de un activo individual acumulado a lo largo del horizonte de inversión (T). Esto no es más que la sumatoria de los CCR de cada sub-período. Como dijimos, de ahí la ventaja de utilizar los retornos en su forma continua. Los supuestos de normalidad y de ausencia de auto-correlación nos permiten trabajar con formas funcionales manejables para la media y la varianza (sobre todo para esta última), lo cual facilita los cálculos. 13
  14. 14. En casi todas las series de retornos utilizadas se observa que los retornos máximos y mínimos son casi similares (en valores absolutos). Esto nos indica que la distribución de los retornos es casi simétrica, al igual que ocurre con una distribución de probabilidad normal. Si observamos el histograma de cada serie vemos una forma muy parecida a la de esta última distribución. 500 400 Series: AHORROPESOS Series: RENTAPESOS Sample 1 909 Sample 1 909 400 Observations 909 Observations 909 300 Mean 0.000178 Mean 0.000544 300 Median 0.000200 Median 0.000600 Maximum 0.021200 200 Maximum 0.039700 Minimum -0.021100 Minimum -0.060500 200 Std. Dev. 0.002400 Std. Dev. 0.006985 Skewness 0.010003 Skewness -1.096425 Kurtosis 21.19958 100 Kurtosis 16.92855 100 Jarque-Bera 12545.15 Jarque-Bera 7530.046 Probability 0.000000 Probability 0.000000 0 0 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 -0.06 -0.04 -0.02 -0.00 0.02 0.04 400 500 Series: NUEVORENTADOL Series: RENTALATAM Sample 1 909 Sample 1 909 Observations 909 400 Observations 909 300 Mean 0.000241 Mean 0.000187 Median 0.000200 300 Median 0.000200 Maximum 0.140900 Maximum 0.061400 200 Minimum -0.148700 Minimum -0.066500 Std. Dev. 0.015080 200 Std. Dev. 0.006826 Skewness -1.432445 Skewness -0.112826 100 Kurtosis 35.03834 Kurtosis 32.74241 100 Jarque-Bera 39187.86 Jarque-Bera 33506.58 Probability 0.000000 Probability 0.000000 0 0 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 -0.050 -0.025 -0.000 0.025 0.050 280 Series: PBACCIONES 240 Sample 1 909 Observations 909 200 Mean 1.10e-06 160 Median 0.001400 Maximum 0.112300 Minimum -0.120000 120 Std. Dev. 0.020633 Skewness -0.558905 80 Kurtosis 8.385041 40 Jarque-Bera 1145.649 Probability 0.000000 0 -0.10 -0.05 -0.00 0.05 0.10 No obstante, y tal cual se observa en cada una de las series, el estadístico de Jarque-Bera no nos permite aceptar la hipótesis de normalidad. Si bien las distribuciones de cada serie de retornos tienen una forma parecida a la normal, hay desviaciones con respecto a la asimetría y la kurtosis (cero y tres, respectivamente) de esta última distribución. El problema con nuestras series proviene del hecho de que en la mayoría de los casos, las distribuciones de retornos no son exactamente simétricas, al tiempo que las medidas de 14
  15. 15. apuntalamiento de dichas curvas son sensiblemente mayores a las de la distribución normal. De manera adicional, se observan que hay retornos en los extremos de dichas distribuciones. Los resultados estadísticos indican que estas desviaciones son estadísticamente significativas. A pesar de esto, se puede demostrar1 que la utilización de distribuciones alternativas con mayor grado de ajuste a este tipo de series financieras nos arroja portafolios similares a aquellos que obtenemos al utilizar una distribución normal. A partir de estos hallazgos podemos concluir que asumir el supuesto de normalidad no termina siendo tan restrictivo al no generar desvíos significativos en la composición del portafolio. El otro aspecto analizado surgió al considerar las series, no ya a nivel de retornos, sino a nivel de los valores de cada activo representativo. En este sentido, se observó que en todos los casos las series presentaron raíces unitarias, dándonos la idea de que la trayectoria de precios tiene en todos los casos una tendencia estocástica. Estos resultados son alentadores para nuestro análisis ya que permiten afirmar que los valores de nuestros activos se comportan como un “random walk”. Cuando esto ocurre, podemos afirmar que nuestras variables aleatorias siguen un proceso estocástico en donde las varianzas de los cambios de dichas variables a lo largo del tiempo son aditivas. Esto es justamente lo que hemos supuesto para obtener nuestras formas funcionales para la varianza. Se muestra a continuación los resultados estadísticos obtenidos a partir del Test de Dickey-Fuller2. Null Hypothesis: AHORROPESOSNIVEL has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 8 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.784455 0.2034 Test critical values: 1% level -3.968279 5% level -3.414815 10% level -3.129575 Null Hypothesis: RENTAPESOSNIVEL has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend 1 Ver Stewart, Piros y Hessler (2010), pp.166-168. 2 Al utilizar el Test de Dickey-Fuller Aumentado también se obtuvieron los resultados a nivel de las primeras diferencias. Solo que en este último caso lo que se testea es si el valor del coeficiente que acompaña a la variable desfasada es significativamente distinto de cero. En todos los casos se verificó que las series son no estacionarias validando los resultados obtenidos anteriormente. 15
  16. 16. Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.917002 0.9523 Test critical values: 1% level -3.968200 5% level -3.414777 10% level -3.129552 Null Hypothesis: NUEVORENTADOLNIVEL has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.801236 0.9640 Test critical values: 1% level -3.968211 5% level -3.414782 10% level -3.129555 Null Hypothesis: RENTALATAMNIVEL has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.506934 0.8269 Test critical values: 1% level -3.968211 5% level -3.414782 10% level -3.129555 Null Hypothesis: PBACCIONESNIVEL has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20) t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.932969 0.9505 Test critical values: 1% level -3.968188 5% level -3.414771 10% level -3.129549 16
  17. 17. 5. Especificación del Modelo de Trabajo La conformación del portafolio óptimo se reduce en última instancia a estimar cuál es la mejor combinación de activos que permitirá al inversor representativo alcanzar los mayores niveles de retorno atendiendo sus preferencias de riesgo, y las demás condiciones impuestas por el inversor. Este problema no es otro que el de maximizar “alguna” función objetivo sujeta a determinadas restricciones, como puede ser el nivel de tolerancia al riesgo del inversor. A su vez, dicha función deberá capturar la idea de que los retornos son algo “bueno” y el riesgo algo “malo”. A tal fin se seguirá un enfoque de “Media-Varianza” a la Markowitz utilizando la función objetivo recomendada por Stewart, Piros y Heisler (2010). La representación de esta función viene dada por una función de utilidad basada en la riqueza monetaria (W) introduciendo a su vez un coeficiente de aversión que penaliza la toma de riesgo. Wγ U (W ) = γ A su vez, podemos definir el coeficiente de aversión al riesgo como (1-γ) donde γ<1. Este último parámetro por lo general asume valores negativos, de forma tal que cuanto más negativo es mayor será el nivel de aversión al riesgo de nuestro inversor representativo. 5.1 Retorno y Varianza del Portafolio Habíamos visto que los retornos en su forma continua se podían obtener de la siguiente manera:  P (t )  X i (t ) = ln  i   Pi (t − 1)  La medida de “gross return” (GR) está relacionada con la medida de retorno en su forma contínua (CCR) de la siguiente manera: Pi (t ) GR = = exp [ X i (t )] Pi (t − 1) A partir de la “inequidad de Jensen” que nos indica que “el logaritmo de un valor esperado es mayor que el valor esperado de un logaritmo” (y el CCR lo es) podemos establecer una relación entre los valores esperados de GR y CCR de la siguiente manera: ln(E[exp X i (t)]) = E [ X i (t)] + 1 / 2 var [ X i (t )] 17
  18. 18. En su forma resumida: µi = α i + 1 / 2 σ i2 { { { ln( E [ GR ]) E [ X i (t )] var[ X i (t )] Con esta información podemos estimar el “gross return” de nuestro portafolio, recordando que la ventaja de utilizar GR en lugar de CCR venía del hecho de que para el caso de un portafolio el GR se podía computar como el promedio ponderado de los GR de los activos individuales. T T GRW = ∑ ωi (α i + 1 / 2σ i2 ) = ∑ ωi µi = µW i =1 i =1 El cálculo de la varianza del portafolio es más complejo ya que no solo hay que tener en cuenta la varianza al nivel de cada activo individual sino también la estructura de covarianzas entre todos los activos que componen el portafolio. T T σ W T = [∑∑ ωiω jσ i j ]T 2 i =1 j =1 6. Estimación Frontera de Eficiencia Antes de seleccionar el portafolio que mejor se ajuste a las preferencias de nuestro inversor representativo, estimaremos lo que se conoce como “frontera de eficiencia”. Esta curva nos indicará cuál es el conjunto de portafolios eficientes a partir del cual debemos seleccionar nuestro portafolio objetivo (que conoceremos recién cuando podamos representar las preferencias del inversor). La construcción de dicha frontera se hace con el objetivo de identificar aquellos puntos que mantienen le mejor relación riesgo-retorno. En cada punto de dicha curva estaremos maximizando el retorno esperado para cada nivel de riesgo. Cualquier otro punto que no esté ubicado sobre dicha frontera no será un punto óptimo, ya que siempre podremos encontrar otro punto con mayor retorno para ese nivel de riesgo particular3. 3 El problema de estimar la mejor combinación de activos para obtener el menor riesgo para cada nivel de retorno se puede expresar formalmente de la siguiente manera: Min σW seleccionando ωi sujeto a ∑ω i =1,n i =1 µW = µ target 18
  19. 19. Detallamos a continuación la frontera de eficiencia para nuestro conjunto de activos, habilitando la posibilidad de realizar ventas en corto (short-sales): Los ponderadores óptimos para cada tramo de la curva se detallan en el siguiente cuadro. Aprovechamos para aclarar que el hecho de habilitar operaciones de short-selling nos permiten vender en descubierto cualquiera de los activos disponibles para lograr posiciones sobre- compradas. La posibilidad de short-sellings aparece bajo la forma de ponderadores con signo negativo. Target ω Portfolio Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB µ µ σ Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones 0,20 0,1941 1,0513 -0,2205 0,0550 -0,0799 20,00% 10,91% 0,15 0,4666 0,6602 -0,1486 0,0796 -0,0577 15,00% 7,93% 0,14 0,5298 0,5694 -0,1320 0,0853 -0,0526 13,84% 7,29% 0,12 0,6301 0,4255 -0,1055 0,0943 -0,0444 12,00% 6,33% 0,09 0,7936 0,1909 -0,0624 0,1091 -0,0311 9,00% 5,03% 0,06 0,9571 -0,0438 -0,0193 0,1238 -0,0178 6,00% 4,34% 0,05 0,9849 -0,0837 -0,0120 0,1263 -0,0155 5,49% 4,30% MVP 1,0064 -0,1145 -0,0063 0,1283 -0,0138 5,10% 4,29% -0,03 1,4476 -0,7477 0,1100 0,1680 0,0221 -3,00% 6,94% El punto de menor varianza (σ=4,29%) divide a la frontera en dos regiones bien definidas: (i) µMVP ≥ µtarget donde la frontera tiene pendiente positiva, y 19
  20. 20. (ii) µMVP p µtarget donde la frontera tiene pendiente negativa El punto µ MVP indica el retorno del portafolio de mínima varianza. Es claro que nuestro inversor representativo, al buscar siempre la posición óptima (prefiere “más” a “menos”) se ubicará en la primera región de la frontera de eficiencia. Si esto no ocurriera, y nuestro inversor insistiera en ubicarse en el tramo (ii) de la curva, encontraríamos que para cualquier nivel de riesgo de dicho tramo existe un punto que arroja un mayor retorno. Ese punto está ubicado justamente en la región (i). Por esta razón lo denominamos como el tramo eficiente de la curva. Si nuestro inversor representativo no pudiera realizar ventas en corto (short-selling) los ponderadores deberían cumplir con una restricción adicional que refleje esta situación (ω≥0). En este caso la frontera de eficiencia tendría la siguiente forma: Target ω>0 Portfolio Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB µ µ σ Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones 0,20 0,0499 0,9501 0,0000 0,0000 0,0000 20,00% 12,79% 0,15 0,4048 0,5952 0,0000 0,0000 0,0000 15,00% 9,02% 0,14 0,4871 0,5129 0,0000 0,0000 0,0000 13,84% 8,20% 0,12 0,6177 0,3823 0,0000 0,0000 0,0000 12,00% 6,97% 0,09 0,8305 0,1695 0,0000 0,0000 0,0000 9,00% 5,32% 0,06 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 6,61% 4,58% 0,05 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 6,61% 4,58% MVP 0,9472 0,0000 0,0000 0,0528 0,0000 6,68% 4,53% En este último cuadro podemos ver que a medida que exigimos mayores niveles de retorno también incorporamos mayores niveles de riesgo. En este caso, esto implica reducir nuestra exposición al Fondo FIMA Ahorro Pesos que es el que tiene menor nivel de volatilidad para 20
  21. 21. incrementar nuestra exposición al Fondo FIMA Renta Pesos que exhibe mayores retornos, pero también mayores niveles de riesgo. El hecho que no tengamos exposición al resto de los fondos se debe a que el modelo de Media- Varianza es extremadamente sensible a los inputs y a los perfiles de riesgo-retorno. De ahí que sea frecuente que nos arroje soluciones de esquina (corner solutions) como ocurre cuando nos pide que nos mantengamos 100% en el Fondo Ahorro Pesos. Comparando ambos cuadros surgen algunos puntos para tener en cuenta. En primer lugar, observamos que cuando el inversor puede hacer short-selling logra alcanzar retornos del 20% a un menor riesgo que en el escenario donde las ventas en corto están prohibidas (10,91% vs 12,79% respectivamente). Esto ocurre porque en el primer caso no acotamos el rango de valores de los ponderadores (como sí ocurre en el segundo caso). Por lo tanto, cuando el inversor puede hacer short-selling tiene a su disposición mayores posibilidades de combinar las clases de activos. Esto significa mayores posibilidades de diversificar el portafolio. El resultado de esta mayor diversificación se traduce en la posibilidad de conseguir el mismo nivel de retorno a un menor riesgo. En segundo lugar, vemos que cuando no es posible el short-selling ((ω≥0) el polígono de media varianza se encuentra acotado. Esto no ocurre en el primer caso, donde el polígono de media varianza mantiene su tramo inferior. ¿A qué se debe esto? La razón la encontramos en el hecho de que el short-selling permite obtener financiamiento adicional para sobre-comprarnos en algunos activos, y mantener así una posición apalancada. Cuando hacemos este tipo de operaciones podemos alcanzar retornos superiores incluso al de los activos de mayor retorno, siempre y cuando estemos vendidos en el activo de menor retorno y sobre-comprados en el activo de mayor retorno. Los retornos excedentes surgirán de la posición apalancada. Con esta lógica podemos explicar el surgimiento del tramo inferior de la frontera de eficiencia, aunque tenemos que recordar que dicho tramo no será óptimo ya que para cada nivel de riesgo de dicho tramo existirá un punto de mayor retorno (ubicado en el tramo (i) tal cual se explicó anteriormente). La única manera de obtener retornos decrecientes a medida que incrementamos nuestro riesgo es a través de la venta de los activos de mayor retorno y sobre-invirtiendo en los activos de menor retorno. Claro está que esta no será una estrategia de inversión seguida por un inversor optimizador, pero al menos nos sirve para mostrar que la aparición de dicho tramo es factible, al menos aritméticamente. 21
  22. 22. 7. Especificación de la Función Objetivo Si en nuestra función de utilidad original utilizamos al GR de nuestro portafolio como medida de riqueza (W), entonces nuestro inversor representativo estará interesado en maximizar la siguiente expresión: W γ  Max E[U (W )] = Max   = Max E {(1 / γ )exp[γ RW (T )]}  γ  Como nos interesa maximizar este valor esperado (es decir, la riqueza acumulada por nuestro portafolio a lo largo de T), y dado que el factor exponencial se puede suprimir sin modificar el resultado de la optimización, maximizar la ecuación anterior (teniendo en cuenta a su vez que R(T) se distribuye normalmente) es equivalente a maximizar esta otra expresión4: 1 Max [ µW − 1/ 2(1 − γ )σ W ]T = Max (µW − λσ W )T , donde λ = (1 − γ ) 2 2 2 Esta será nuestra función objetivo simplificada, que representa a una función de utilidad que está afectada de manera positiva por el “gross return” de nuestro portafolio y de manera negativa por la varianza del mismo, y en donde la varianza está precedida por un parámetro que refleja el nivel de aversión al riesgo de nuestro inversor representativo. Así, cuanto mayor sea este coeficiente de aversión al riesgo (λ) mayor impacto sufrirá la función de utilidad por cada unidad de riesgo introducida en el portafolio5. 8. Selección del Portfolio Óptimo Una vez estimada la frontera de eficiencia y habiendo definido la función objetivo que nuestro inversor representativo intentará maximizar, nos resta únicamente especificar las preferencias de nuestro inversor para poder estimar el portafolio óptimo que mejor se ajuste a su perfil. Las preferencias de nuestro inversor estarán representadas por curvas de indiferencia, las cuales nos darán una idea de cuál es su nivel de aversión al riesgo (λ), y por ende, cuál debería ser la combinación de activos que permita atender dichas preferencias. La ubicación del portafolio óptimo surgirá de la tangencia entre dichas curvas de indiferencias y la frontera de eficiencia. 4 Ver Stewart, Piros, y Heisler (2010), pp. 65-66. 5 La forma funcional elegida para nuestro modelo nos indica puntualmente que el trade-off entre retorno y riesgo, estará fijado por la magnitud del parámetro (λ). 22
  23. 23. Formalmente nuestro problema se puede plantear de forma tal que, definida las preferencias de riesgo del inversor (λ), este último seleccionará aquella combinación de activos (ω) que le permita maximizar la función de utilidad objetivo planteada respetando las restricciones impuestas6. Max (µW − λσ W ) 2 seleccionando ωi sujeto a ∑ω i =1, n i =1 donde µW = ∑ ωi µi i =1, n σW = [ ∑ ∑ωω σ σ i j i j ρi , j ]1/ 2 i =1,n j =1, n Recordamos que a medida que se incrementa la aversión al riesgo de nuestro inversor, este buscará asignar una mayor proporción de su portafolio a activos de menor riesgo, pero siempre a costa de sacrificar retorno. Vamos a mostrar estas relaciones para dos niveles de aversión al riesgo (λ=7 y λ=12 respectivamente): 6 Dado que nuestro inversor puede hacer operaciones de “short-selling” la única restricción que enfrenta es la de mantenerse totalmente invertido. Es decir, que no guardará saldos monetarios sin invertir. A su vez, si observamos detenidamente la función objetivo que intentaremos maximizar vemos que el factor de escala T ha desaparecido. En realidad, no ha desaparecido, simplemente hemos considerado un horizonte de inversión de un período (T=1). 23
  24. 24. 24
  25. 25. Fima Target Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB Portfolio Ahorro U Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones λ Pesos µ σ 3,00 -99,85% 276,28% -53,49% -5,25% -17,68% 41,88% 25,13% 0,2294 4,00 -49,73% 204,35% -40,27% -0,73% -13,61% 32,69% 19,06% 0,1815 5,00 -19,66% 161,19% -32,34% 1,98% -11,16% 27,17% 15,46% 0,1521 6,00 0,39% 132,41% -27,06% 3,79% -9,53% 23,49% 13,10% 0,1319 7,00 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 20,86% 11,45% 0,1169 8,00 25,45% 96,45% -20,45% 6,05% -7,49% 18,89% 10,23% 0,1052 9,00 33,81% 84,46% -18,25% 6,80% -6,81% 17,36% 9,30% 0,0957 10,00 40,49% 74,87% -16,49% 7,40% -6,27% 16,13% 8,58% 0,0877 12,00 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 14,29% 7,53% 0,0748 15,00 60,54% 46,09% -11,20% 9,21% -4,64% 12,45% 6,55% 0,0601 18,00 67,22% 36,50% -9,44% 9,81% -4,10% 11,23% 5,96% 0,0484 El cuadro anterior es bastante ilustrativo del trade-off existente entre riesgo y retorno, y nos muestra a su vez cómo ante cambios en los niveles de aversión el riesgo el inversor modifica la composición de su portafolio. La menor volatilidad se consigue siempre sacrificando retornos. En este sentido vemos que a medida que la aversión al riesgo aumenta, nuestro inversor empieza a reducir su exposición al Fondo FIMA Renta Pesos (que tiene el mayor retorno esperado) y comienza a incrementar su exposición al Fondo FIMA Ahorro pesos (que es el fondo con menor volatilidad). Dado que este último Fondo también tiene el menor retorno, a medida que incrementamos su participación en el portafolio reducimos la rentabilidad obtenida. Otro aspecto a tener en cuenta es que en todos los casos nuestro inversor se mantiene vendido en los Fondos FIMA Nuevo Renta Dolares y FIMA PB Acciones. Esto ocurre porque estos Fondos tienen la peor relación de riesgo/retorno. Al no haber impuesto restricciones a las ventas cortas nuestro programa de optimización aprovecha para vender estos Fondos y sobre-comprar el Fondo FIMA Renta Pesos, que es el que muestra la mejor relación riesgo/retorno. Pero nuevamente, a medida que el inversor empieza a penalizar (de manera creciente) la toma de riesgo se observa cómo incrementa de manera simultánea su exposición al Fondo menos riesgoso. Verificamos así que la asignación de activos se realiza respetando la lógica impuesta por nuestro modelo. Veamos ahora qué ocurre para cada nivel de riesgo si extendemos el horizonte de inversión. λ=7 Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB T µω σω U Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones 1 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 20,86% 11,45% 0,1169 2 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 41,72% 16,19% 0,4675 3 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 62,58% 19,83% 1,0519 4 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 83,44% 22,90% 1,8700 5 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 104,31% 25,60% 2,9218 25
  26. 26. 10 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 208,61% 36,20% 11,6874 15 14,71% 111,86% -23,28% 5,08% -8,37% 312,92% 44,34% 26,2966 λ=12 Fima Ahorro Fima Renta Fima Nuevo Fima Renta Fima PB T µω σω U Pesos Pesos Renta Dolares Latinoamericana Acciones 1 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 14,29% 7,53% 0,0748 2 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 28,58% 10,65% 0,2992 3 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 42,88% 13,05% 0,6733 4 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 57,17% 15,07% 1,1969 5 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 71,46% 16,85% 1,8702 10 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 142,92% 23,82% 7,4808 15 50,52% 60,48% -13,85% 8,31% -5,46% 214,38% 29,18% 16,8319 Es interesante lo que ha ocurrido. En primer lugar, vemos que la composición del portafolio no se modifica cuando extendemos el horizonte de inversión. Esto ocurre porque en todos los casos lo que se intenta maximizar es la utilidad total, es decir, la utilidad al final del horizonte de inversión. Para ello, nuestro programa de optimización considera las medidas de retorno y varianza totales, y no por sub-período7. Es decir, el período de inversión sigue siendo uno solo, aunque se alargue en cada caso la extensión del mismo. En segundo lugar, podemos ver que el retorno se incrementa de manera proporcional al horizonte de inversión, mientras que la volatilidad se incrementa de manera proporcional a la raíz cuadrada del horizonte de inversión. λ=7 T Retorno T=1 (Retorno T=1)*T Volatilidad T=1 (Volatilidad T=1)*(T^0,5) 1 20,86% 20,86% 11,45% 11,45% 2 20,86% 41,72% 11,45% 16,19% 3 20,86% 62,58% 11,45% 19,83% 4 20,86% 83,44% 11,45% 22,90% 5 20,86% 104,31% 11,45% 25,60% 10 20,86% 208,61% 11,45% 36,20% 15 20,86% 312,92% 11,45% 44,34% 7 Podríamos explicar estos resultados asumiendo que las oportunidades de inversión se han mantenido constantes. 26
  27. 27. λ=12 T Retorno T=1 (Retorno T=1)*T Volatilidad T=1 (Volatilidad T=1)*(T^0,5) 1 14,29% 14,29% 7,53% 7,53% 2 14,29% 28,58% 7,53% 10,65% 3 14,29% 42,88% 7,53% 13,05% 4 14,29% 57,17% 7,53% 15,07% 5 14,29% 71,46% 7,53% 16,85% 10 14,29% 142,92% 7,53% 23,82% 15 14,29% 214,38% 7,53% 29,18% 8.1 Reformulación de la Función Objetivo Nuestra función objetivo simplificada maximizaba la utilidad total de nuestro inversor al final del horizonte de inversión. Por tal motivo, también considerábamos medidas de retorno y varianza “totales”. De ahí, que dicha función objetivo tuviera como un “factor de escala” a la variable T. 27
  28. 28. Si en lugar de medidas “acumuladas” al final del horizonte utilizamos medidas de media y varianza por cada sub-período, automáticamente hacemos que la asignación de activos se vea afectada por el horizonte de inversión. Dividiendo cada una de nuestras variables originales por el horizonte de inversión (T), llegamos a medidas de media y varianza “por período”, las cuales toman la siguiente forma respectivamente: (1 / T )(µW − 1 / 2σ W )T = µW − 1 / 2σ W 2 2 (1 / T )2 (σ W T ) = σ W / T 2 2 Utilizando estas medidas para la media y varianza nuestra función objetivo se puede re-expresar de la siguiente manera: 1 γ 2 [ µW − (1 − )σ W ] 2 T Como vemos, ahora nuestra función objetivo se ve afectada por el paso del tiempo, ya que el coeficiente de aversión al riesgo tenderá asintóticamente a (1/2) a medida que T tienda a infinito. De esta manera, a medida que extendamos el horizonte de inversión, nuestro inversor aceptará mantener portafolios más riesgosos. Con esta reformulación, la asignación óptima de activos estará influenciada por el paso del tiempo. A medida que este se modifique tendremos que re-balancear nuestro portafolio para atender el hecho de que el paso del tiempo modifica el nivel de aversión al riesgo de nuestro inversor representativo. Observando nuevamente nuestra última función objetivo, podemos formalizar la relación entre el coeficiente de aversión al riesgo y el paso del tiempo de la siguiente manera: λ (T)=φ [1-γ F (t)] donde F(t)=1/T El parámetro φ no es más que el valor que asumirá λ cuando T tienda a infinito, es decir, que consideramos a φ como el nivel de aversión al riesgo de largo plazo. Encontramos entonces una forma de modelizar como afecta el paso del tiempo a nuestro coeficiente de aversión al riesgo, y consecuentemente a la conformación de nuestro portafolio. Asumiendo (arbitrariamente) un valor para φ=5, tenemos: 28
  29. 29. F(T) λ T 1/T λ=φ(1-γ(1/Τ)) 20 0,0500 5,7500 19 0,0526 5,7895 18 0,0556 5,8333 17 0,0588 5,8824 16 0,0625 5,9375 15 0,0667 6,0000 14 0,0714 6,0714 13 0,0769 6,1538 12 0,0833 6,2500 11 0,0909 6,3636 10 0,1000 6,5000 9 0,1111 6,6667 8 0,1250 6,8750 7 0,1429 7,1429 6 0,1667 7,5000 5 0,2000 8,0000 4 0,2500 8,7500 3 0,3333 10,0000 2 0,5000 12,5000 1 1,0000 20,0000 ω T λ E[µ]-λσ2 µω σω2 σω Fima Ahorro PesosFima Renta Pesos Nuevo Renta Dolares Latinoamericana PB Fima Fima Renta Fima Acciones 20 5,7500 -0,0397 1,3867 -0,2821 0,0339 -0,0989 0,1363 24,29% 1,85% 13,61% 19 5,7895 -0,0325 1,3764 -0,2802 0,0346 -0,0983 0,1356 24,16% 1,83% 13,53% 18 5,8333 -0,0247 1,3652 -0,2781 0,0353 -0,0976 0,1348 24,01% 1,81% 13,44% 17 5,8824 -0,0161 1,3529 -0,2759 0,0361 -0,0969 0,1339 23,86% 1,78% 13,34% 16 5,9375 -0,0066 1,3393 -0,2734 0,0369 -0,0962 0,1329 23,68% 1,75% 13,23% 15 6,0000 0,0039 1,3241 -0,2706 0,0379 -0,0953 0,1319 23,49% 1,72% 13,10% 14 6,0714 0,0157 1,3072 -0,2675 0,0389 -0,0944 0,1306 23,27% 1,68% 12,97% 13 6,1538 0,0290 1,2882 -0,2640 0,0401 -0,0933 0,1293 23,03% 1,64% 12,81% 12 6,2500 0,0440 1,2666 -0,2600 0,0415 -0,0921 0,1277 22,75% 1,60% 12,64% 11 6,3636 0,0612 1,2419 -0,2555 0,0430 -0,0907 0,1259 22,44% 1,55% 12,44% 10 6,5000 0,0810 1,2135 -0,2503 0,0448 -0,0890 0,1239 22,07% 1,49% 12,21% 9 6,6667 0,1042 1,1803 -0,2442 0,0469 -0,0872 0,1214 21,65% 1,43% 11,94% 8 6,8750 0,1315 1,1410 -0,2370 0,0494 -0,0849 0,1185 21,15% 1,35% 11,63% 7 7,1429 0,1643 1,0939 -0,2283 0,0523 -0,0823 0,1150 20,55% 1,27% 11,25% 6 7,5000 0,2044 1,0364 -0,2177 0,0559 -0,0790 0,1107 19,81% 1,17% 10,80% 5 8,0000 0,2545 0,9645 -0,2045 0,0605 -0,0749 0,1052 18,89% 1,05% 10,23% 4 8,7500 0,3190 0,8720 -0,1875 0,0663 -0,0697 0,0979 17,71% 0,91% 9,51% 3 10,0000 0,4049 0,7487 -0,1649 0,0740 -0,0627 0,0877 16,13% 0,74% 8,58% 2 12,5000 0,5252 0,5760 -0,1332 0,0849 -0,0529 0,0720 13,92% 0,54% 7,33% 1 20,0000 0,7056 0,3171 -0,0856 0,1011 -0,0383 0,0417 10,61% 0,32% 5,68% - El cuadro anterior muestra la forma en la cual se va modificando la asignación de activos a medida que pasa el tiempo y nos acercamos a nuestro horizonte de inversión. Las primeras dos columnas capturan la relación entre el paso del tiempo y la aversión del inversor a tomar mayor riesgo, la cual fue formalizada al principio de esta sección. 29
  30. 30. En sintonía con los resultados obtenidos en las secciones anteriores, y teniendo en cuenta las particularidades de cada activo representativo, podemos ver cómo al inicio del período de inversión el nivel de aversión al riesgo es mucho mas bajo, lo cual incentiva a incluir activos más riesgosos. Esto lo podemos ver en la forma en la cual se asignan los activos. Al no haber impuesto restricciones a las ventas cortas nuestro programa de optimización realiza ventas en corto de los Fondos FIMA PB Acciones, FIMA Nuevo Renta Dolares, y FIMA Ahorro Pesos para sobre- posicionarse en el Fondo FIMA Renta Pesos, que es el fondo de mayor retorno. Lo interesante es notar como a medida que nos acercamos a nuestro horizonte de inversión el coeficiente de aversión al riesgo se va incrementando, lo cual nos indica que el inversor está penalizando de manera creciente la toma de riesgo. Para atender esta situación, nuestro portafolio va reduciendo su exposición al Fondo FIMA Renta Pesos al tiempo que incrementa fuertemente la exposición al Fondo FIMA Ahorro Pesos, que es el fondo con menor riesgo. Pero tal cual vimos durante todo el trabajo, el trade-off entre riesgo y retorno se observa nuevamente en las últimas columnas, donde a medida que nos acercamos al horizonte reducimos el riesgo del portafolio, pero siempre al costo de reducir el retorno del mismo. 9. Conclusiones En el presente trabajo hemos detallado una forma funcional y operativa para asignar activos de manera racional. Para ello utilizamos un modelo de media-varianza, el cual nos brindó la posibilidad de construir portafolios eficientes a partir de “inputs” que se obtuvieron fácilmente al analizar el comportamiento de cada serie de activos. Nuestro esquema de trabajo asumió inversores optimizadores, y algunos supuestos en cuanto al comportamiento de los retornos que nos permitió simplificar el análisis. En este sentido se probaron estadísticamente los dos supuestos más importantes. El haber estimado las fronteras de eficiencia, analizando qué ocurría cuando habilitábamos las ventas en corto nos permitió mostrar que en este último caso existía la posibilidad de obtener mayores retornos a un menor riesgo. Esto ocurría porque las operaciones de short-selling aumentaban las posibilidades de diversificación en comparación a cuando estas operaciones no estaban permitidas. En el caso en el que no permitíamos el short-selling pudimos ver una de las limitaciones del esquema de media-varianza, que proviene del hecho de arrojarnos posiciones de esquina. Dada la sensibilidad del modelo a los “inputs”, esto nos puede llevar a rebalanceos bruscos del portafolio. Un problema potencial de nuestro análisis es que al utilizar series históricas para estimar variables como los retornos, varianzas y covarianzas esperadas, corremos el riesgo de extrapolar tendencias alcistas (o bajistas) que no siempre se mantienen en el futuro. Esta tendencia de mirar al futuro 30
  31. 31. por el espejo retrovisor puede llevarnos a sobre-posicionarnos en determinados activos que no cumplirán ex-post con las preferencias de riesgo manifestadas por los inversores. Este es un riesgo que corrimos en nuestro análisis para simplificar la estimación de los “inputs”. Los resultados de la optimización nos permitieron observar la lógica de un esquema de media- varianza sujeto a determinadas restricciones, como ser el nivel de aversión al riesgo del inversor o el requerimiento de mantenerse 100% invertido. Vimos también que a medida que incrementábamos la aversión al riesgo de nuestro inversor, este asignaba una mayor proporción de su portafolio a activos de menor riesgo, pero siempre a costa de sacrificar retorno. Este trade-off se incluyó explícitamente en nuestro modelo de trabajo, cumpliéndose en todos los resultados obtenidos. 10. Bibliografía Avila, Gustavo et.al (2010); “Radiografía del Mercado de Fondos en Argentina”, Fitch Ratings, Junio. Bekkers, Niels y Doeswijk, Ronald Q. y Lam Trevin W. (2009); “Strategic Asset Allocation: Determining the Optimal Portfolio with Ten Asset Classes”. Elton, Edwin J. et.al (2006); Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Séptima Edición, Wiley. Evans, Daniel y Siegel, Mark J. (2005), “Global Opportunities in High-Yield and Emerging Market Debt”, CFA Institute Conference Proceedings, pp.23-31. Gujarati, Damodar (1997); Econometría, Tercera Edición, McGraw-Hill. Hull, John C. (2009); Options, Futures and Other Derivatives, Séptima Edición, Prentice Hall. Idzorek, Thomas M. (2006); “Strategic Asset Allocation and Commodities”, Ibbotson Associates, March 27. Kaplan, Paul D. (1998); “Asset Allocation Models Using the Markowitz Approach”. Krainer, John (2004); “What Determines the Credit Spread?”, Federal Reserve Bank of San Francisco Economic Letter, Number 2004-36, December, 10. Stewart, Scott, Piros, Christopher y Heisler, Jeffrey (2010); Running Money: Professional Portfolio Management, Primera Edición, McGraw-Hill. 31
  32. 32. Suarez y Suarez (1988); Decisiones Óptimas de Inversión y Financiación en la Empresa, Editorial Pirámide. 32

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