Assalamualaikum Wr. Wb. Alhamdulillah jika power point ini bisa bermanfaat untuk semuanya. Karena saya masih belajar mohon tidak memakan mentah-mentah konten dari tayangan ini. Kritik dan saran sangat diharapkan. Terima Kasih. Muhamad Husni Mubaraq @ID_baraq Mohon tinggalkan komentar atau pesan

1. MAKALAH KELOMPOK
GEOMETRI NETRAL
Disusun guna memenuhi Tugas Mid Semester
Mata Kuliah Geometri Non Euclid
oleh :
Muhamad Husni Mubaraq 4101410001
Reni Windri Triani 4101410045
Hermi Yunita 4101410096
Pradhita Renoningtyas 4101412033
Dika Handayani 4101412072
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2014

2. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
2
Geometri Netral
A. Pendahuluan
Euclides dari Alexandria hidup kira-kira 300 tahun sebelum Masehi. Euclides mengeluarkan lima buah aksioma, yaitu aksioma insidensi dan ekstensi, aksioma urutan/keantaraan, aksioma kongruensi, aksioma kesejajaran, dan aksioma kekontinuan dan kelengkapan. Kelima buah aksioma ini membangun geometri Euclides yang dipelajari di SD, SMP, SMA.
Kelemahan geometri Euclides yaitu:
 Euclides berusaha mendefinisikan semuanya dalam geometri, sampai titik, garis, dan bidang.
 Aksioma keempat dari Euclides yang terkenal dengan nama Aksioma Kesejajaran, terlalu panjang sehingga merisaukan matematikawan.
 Terdapat dalil dalam geometri Euclides yang berbunyi: ”Pada suatu ruas garis dapat dilukis suatu segitiga samasisi”. Sementara untuk mendapatkan dalil ini masih perlu menggunakan pertolongan prinsip kekontinuan.
 Aksioma kesejajaran Euclides berbunyi ”Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal sedemikian hingga membuat jumlah sudut dalam sepihak kurang dari 180, maka kedua garis itu berpotongan pada pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 180. Aksioma ini diubah oleh Playfair dalam kalimat yang berbeda tetapi bermakna sama yaitu: ”Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui yang melalui sebuah titikdi luar garis yang tidak diketahui.”
Dari kelima aksioma Euclides, jika aksioma kesejajaran dihilangkan maka geometri ini dinamakan Geometri Netral (The Neutral Geometry).
B. Pengertian Pangkal, Postulat, Definisi pada Geometri Netral
Dalam geometri netral tidak diperhatikan pastulat kesejajaran dari Euclides, maka geometri ini disebut geometri absolut atau gemoetri netral. Geometri absolut ini termuat dalam geometri terurut, jadi pengertian pangkal geometri terurut juga menjadi pengertian pangkal geometri absolut. Selain itu

3. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
3
diperkenalkan pengertian pangkal ketiga yaitu kongruensi, suatu relasi untuk pasangan titik, segmen dan interval.
Pengertian pangkal geometri absolut, menurut Pasch ialah:
 Titik-titik A, B, C, D, ...
 Keantaraan.
 Kongruensi
Jadi titik dipandang sebagai unsur yang tidak didefinisikan dan keantaraan dan kongruensi sebagai relasi-relasi yang tidak didefinisikan.
C. Definisi-definisi pada Geometri Netral
Definisi 1
Dua ruas garis adalah kongruen jika dan hanya jika ukurannya adalah sama.
Definisi 2
Dua sudut adalah kongruen jika dan hanya jika ukuran keduanya adalah sama.
Definisi 3
Dua poligon adalah kongruen jika dan hanya jika terdapat suatu korespondensi satu-satu antar titik-titiknya sedemikian sehingga semua sisi-sisi yang berkorespondensi adalah kongruen dan semua sudut-sudut yang berkorespondensi adalah kongruen. Contoh poligon : segiempat, segitiga, segi-n
Definisi 4
Setiap sudut yang berpelurus dan bersisian dengan suatu sudut dari suatusegitiga dinamakan sudut eksterior dari segitiga.
D. Teorema-Teorema pada Geometri Netral
TEOREMA 1
Kekongruenan ruas garis, sudut, dan poligon adalah relasi ekuivalen.

4. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
4
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema 1, perhatikan definisi-definisi berikut!
Definisi 1
Dua ruas garis adalah kongruen jika dan hanya jika ukurannya adalah sama.
Definisi 2
Dua sudut adalah kongruen jika dan hanya jika ukuran keduanya adalah sama.
Definisi 3
Dua poligon adalah kongruen jika dan hanya jika terdapat suatu korespondensi satu-satu antar titik-titiknya sedemikian sehingga untuk setiap sisi-sisi yang berkorespondensi adalah kongruen dan semua sudut-sudut yang berkorespondensi adalah kongruen.
Jelas terbukti
TEOREMA 2
i. Setiap ruas garis memiliki tepat satu titik tengah.
ii. Setiap sudut tepat memiliki satu bisector
Bukti:
i. Setiap ruas garis memiliki tepat satu titik tengah
Misalkan C titik tengah AB
menurut definisi AC = BC
karena AC = BC maka dan
Andaikan D titik tengah AB,
menurut definisi AD = BC
karena AD = BD maka dan
dari (i) dan (ii), diperoleh AC = AD dan BC = BD
mengakibatkan C = D
hal ini kontradiksi dengan pengandaian , yang benar C = D
dengan kata lain C merupakan satu-satunya titik tengah AB. Terbukti.
ii. Setiap sudut tepat memiliki satu bisector
Misalkan l bisektor

5. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
5
D titik interior
Maka
Andai
E titik interior
Dengan cara yang sama pada titik D diperoleh
Dari (i) dan (ii), diperoleh
Berarti pengandaian salah, yang benar . Terbukti.
TEOREMA 3
Suplemen (dan komplemen) dari sudut-sudut yang kongruen atau samaadalah kongruen.
Bukti:
Misalkan
, ,, dan
dan
dan
Akan dibuktikan , dan
Jelas
dan
dan
Diperoleh dan berakibat dan . Terbukti.

6. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
6
TEOREMA 4
Setiap pasang sudut-sudut vertikal adalah kongruen.
Bukti:
Akan dibuktikan
dan
Jelas
diperoleh sehingga
dengan analog maka juga akan diperoleh . Terbukti.
TEOREMA 5 (Aksioma Pasch’s)
Jika sebuah garis l memotong Δ PQR di titik S sedemikian sehingga P-S-Q,
maka l memotong atau .
Bukti:
Andaikan garis l tidak memotong dan .
Karenanya, Titik P dan R, begitu pula dengan titik Q
dan R terletak pada sisi yang sama dari garis l.
Akibatnya, titik P dan Q harus terletak pada sisi yang sama dari garis l. Hal
tersebut kontradiksi dengan yang ada bahwa P dan Q terletak pada sisi yang
berbeda dari garis l. Terbukti.
TEOREMA 6 (Crossbar)
Jika X adalah titik pada interior Δ UVW, maka UX memotong WV di
suatu titik Y sedemikiansehingga W-Y-V.
1
2 4
3

7. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
7
Bukti:
Misal ruas garis diperpanjang menjadi sinar .
Sinar tidak mungkin memotong di titik V dan W menurut Aksioma 1.
Jadi, memotong di suatu titik Y sedemikian sehingga W-Y-V.
TEOREMA 7 (Segitiga Sama Kaki)
Jika dua sisi dari suatu segitiga adalah kongruen, maka sudut-sudut
yangberlawanan dengan sisi-sisi tersebut adalah kongruen.
Bukti:
Terdapat titik D pada sisi BC (Teorema Crossbar)
Misalkan bisektor dari
Akibatnya
(Postulat SAS)
TEOREMA 8
Sebuah titik yang terletak pada bisektor yang tegak lurus dari suatu
ruasgaris jika dan hanya jika titik tersebut berjarak sama dengan titik-titik
ujungdari ruas garis tersebut.
Bukti:
Diketahui .

8. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
8
Akan ditunjukan bahwa .
Jelas =
=
Menurut postulat SAS,
Akibatnya .
Akan ditunjukkan bahwa titp P terletak pada bisektor dan tegak lurus .
Misalkan garis l adalah bisektor
Terdapat titik D pada yang dilalui l (Teorema Crossbar)
Menurut postulat SAS,
Akibatnya, (P bisektor )
berpelurus
(tegak lurus).

9. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
9
TEOREMA 9 (Sudut Eksterior)
Sudut eksterior dari suatu sudut lebih besar daripada sudut-sudut interior
lain yang tidak bersisian.
Bukti:
Pikirkan sebuah dengan D pada B-C-D. Akan ditunjukkan
dan . Tentukan E titik tengah dan
posisikan titik F pada B-E-F. Sekarang kita lukis , mudah ditunjukkan
dengan postulat SAS bahwa Sebagai dampaknya
. Karena F interior , maka . Dengan subtitusi kita
peroleh . Dengan cara yang sama diperoleh
. Terbukti.
Lemma 3.5.2
Jumlah dari ukuran dua sudut segitiga kurang dari 180
Bukti:
Pada gambar Teorema 9, diperoleh , dan dengan
kata lain dan . Sehingga
. Akibatnya ,
, dan . Terbukti.
Lemma 3.5.3
Jika diberikan segitiga ABC dan sudut A. Maka ada segitiga A1B1C1
sedemikian hingga segitiga A1B1C1 mempunyai jumlah sudut yang sama dengan
segitiga ABC, dan
A F
B C D
E

10. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
10
Bukti:
Misalkan E titik tengah BC, dan F dipilih
pada AE sedemikian hingga AE = EF dan A-E-
F. Maka dan sudut-sudut
yang bersesuaian sama.
Kita tujukkan A1B1C1 yang
kita cari. Dengan memberikan nama sudut-sudutnya
seperti pada gambar, kita tahu
bahwa:
dan
Untuk melengkapi bukti, perhatikan yang berakibat
. Pada persamaan tersebut, salah satu dari ruas kanan, atau harus kuran
atau sama dengan setengah dari suku di ruas kiri yaitu Jika
namakan A sebagai , jika tidak namakan F sebagai kemudian namakan dua
titik yang lain dari segitiga AFC dengan dan . Terbukti.
SACCHERI – LEGENDRE
Teorema 3.5.4
Jumlah sudut sebarang segitiga kurang atau sama dengan .
Bukti:
Andaikan ada dengan jumlah sudut = 180 + p, p bilangan positif. Menurut
lemma, ada A1B1C1 dengan jumlah sudut = 180 + p sedemikian sehingga
Dengan menggunakan lemma lagi, berarti ada A2B2C2 dengan
jumlah sudut = 180 + p sedemikian sehingga dan
seterusnya dengan cara yang sama diperoleh barisan segitiga-segitiga A1B1C1,
A2B2C2 , ... yang masing-masing jumlah sudutnya 180 + p, sedemikian sehingga
untuk sebarang bilangan bulat positif n.

11. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
11
Jelas kita dapat memilih n yang cukup besar sehingga sekecil mungkin.
Karena , yang berarti Terjadi
kontradiksi, sehingga pengandaian salah. Teorema 3.5.4 benar. Terbukti.
Teorema Akibat (corollary)
Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama dengan 360
Teorema akibat ini sejalan dengan kesimpulan Saccheri bahwa hipotesis
sudut tumpul adalah salah. Demikian juga, teorema ini menyangkal bahwa jumlah
sudut suatu segitiga dapat melebihi 180. Tetapi kemungkinan bahwa jumlah sudut
dalam segitiga kurang dari 180, yang bersesuaian dengan hipotesis Saccheri
tentang sudut lancip menarik perhatian kita sendiri.
Penyelidikan pada persegi panjang
Teorema 3.6.1
Diagonal dari segiempat Saccheri adalah kongruen.
Bukti:
Akan dibuktikan panjang diagonal DE = CE
Lihat ΔAED dan ΔBEC
AE ≅ BE (diketahui)
∠A ≅ ∠B (Saccheri = 90o)
AD ≅ BC (Saccheri)
Jadi menurut sifat S-Sd-S, ΔAED ≅ ΔBEC

12. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
12
Akibatnya,
DE = CE
Jadi, diagonal dari segiempat Saccheri adalah kongruen.(Terbukti)
Teorema 3.6.2
Sudut puncak segiempat Saccheri adalah kongruen.
Bukti:
Strategi:
1. Gunakan segitiga-segitiga kongruen
Lihat ΔAED dan ΔBEC
AE ≅ BE (diketahui)
∠A ≅ ∠B (Saccheri = 900)
AD ≅ BC (Saccheri)
Jadi menurut sifat S-Sd-S, ΔAED ≅ ΔBEC
Akibatnya,
DE = CE
2. Lihat ΔDEF dan ΔCEF
DE ≅ CE (akibat)
EF ≅ EF (diketahui)
(i)

13. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
13
FD ≅ FC (diketahui)
Jadi menurut sifat S-S-S, ΔDFE ≅ ΔCFE
Akibatnya,
∠9 = ∠10 atau ∠DFE = ∠CFE
∠2 = ∠8
∠4 = ∠6
3. Dari (i) dan (ii) diperoleh
a. ∠3 + ∠4 = ∠5 + ∠6 berarti ∠AEF = ∠BEF atau ∠AEF ≅ ∠BEF
∠AEF + ∠BEF = 180o (berpelurus)
Karena ∠AEF ≅ ∠BEF maka ∠BEF = ∠AEF = 90o
b. ∠1 + ∠2 = ∠7 + ∠8 berarti ∠ADF = ∠BCF
Jadi, Sudut puncak segiempat Saccheri adalah kongruen (Terbukti)
Teorema 3.6.3
Sudut puncak segiempat Saccheri tidak tumpul melainkan keduanya lancip
atau siku-siku.
Bukti:
Berdasarkan Teorema Akibat (corollary)
Jumlah sudut sebarang segiempat kurang atau sama dengan 360 , dan jumlah
sudut alas dalam segiempat saccheri adalah 180 , maka andaikan besar sudut
puncak segiempat saccheri tumpul, padahal dari teorema sebelumnya dikatakan
bahwa sudutpuncaksegiempatSaccheriadalahkongruen, maka jumlah besar sudut
puncak segiempat saccheri lebih dari 180, maka akan terjadi kontradiksi.
Terbukti.
Teorema 3.6.4
Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi atas dan sisi alas
segiempat Saccheri adalah tegak lurus terhadap keduanya.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi atas
dan sisi alas segiempat Saccheri adalah tegak lurus terhadap keduanya.
(ii)

14. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
14
Misalkan F titik tengah CD dan E titik tengah AB
Karena F dan E titik tengah maka DF=FC, AE=EB, AD=BC.
1. Lihat ADE dan BEC
( E titik tengah)
(Saccheri)
DAE EBC (Saccheri)
Jadi ADE BEC (sisi, sudut, sisi) akibatnya
1 7
3 5
2. Lihat DEF dan CEF
(sudah dibuktikan)
(F titik tengah DC)
Jadi DEF CEF (sisi, sisi, sisi), akibatnya
4 6
2 8
9 10
Dari 1 dan 2 diperoleh
Jadi atau
karena (berpelurus) dan maka

15. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
15
Jadi, EF AB (EF adalah Garis yang menghubung kan titik-titik tengah dari sisi
atas dan sisi alas segiempat Saccheri)
Dari 2 diperoleh 9 10 atau
Karena (berpelurus) dan maka
m
Jadi, EF CD (EF adalah Garis yang menghubung kan titik-titik tengah dari sisi
atas dan sisi alas segiempat Saccheri)
(terbukti)
Teorema Akibat 3.6.5
Sisi atas dan sisi alas segiempat Saccheri sejajar.
Bukti:
Dari Teorema 3.6.4, diketahui bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah
dari sisi atas dan sisi alas segiempat Saccheri adalah tegak lurus terhadap
keduanya. Menurut teorema akibat menyatakan bahwa dua garis yang tegak lurus
pada satu garis yang sama adalah sejajar. Maka terbukti sisi atas dan sisi alas
segiempat Saccheri sejajar.
Teorema Akibat 3.6.6
Sisi atas segiempat Saccheri lebih besar dari atau sama dengan sisi
alasnya.
Bukti:
Segiempat ABCD persegi panjang Sacheri
dimana
Akan ditunjukkan
Lukis
Kasus 1
Kasus 2
A B
D C
1
2
3

16. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
16
Kasus 3
sedangkan maka berakibat
Hal ini berlawanan dengan Teorema Sacheri-Legendre. Dengan kata lain kasus 3
tidak memenuhi. Sehingga haruslah . Terbukti.
Teorema 3.6.7
Sudut keempat segiempat Lambert tidak tumpul melainkan lancip atau
siku-siku.
Bukti:
Misalkan tumpul
Karena besar masing-masing adalah 90 , jika tumpul maka
jumlah besar keempat sudutnya lebih dari 360 .
Terjadi suatu kontradiksi dengan Teorema Akibat 3.5.4
Jadi, benar bahwa udut keempat segiempat Lambert tidak tumpul melainkan
lancip atau siku-siku (Teorema 3.6.7 terbukti).
Teorema 3.6.8
Ukuran sisi diantara dua sudut siku-siku segiempat Lambert kurang dari
atau sama dengan ukuran sisi yang berlawanan itu.
Bukti:
Diberikan segiempat PQRS adalah segiempat Lambert.
Kemudian = 90 dan
Jelas PQ ≤ SR dan QR ≤ PS
Asumsikan PQ> SR dan pilih P 'sedemikian sehingga P'Q = SR.
P Q
S R

17. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
17
P'QRS adalah sebuah Segiempat Saccheri.
Jadi 1 ≡ 2 dan m 1 = m 2 ≤ 90
Terjadi kontradiksi dengan teorema sudut eksterior ΔPP'S
Jadi PQ ≤ SR
Demikian pula QR ≤ PS
Teorema 3.6.8 terbukti.
Teorema 3.6.9
Ukuran garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi atas dan sisi
alas segiempat Saccheri kurang dari atau sama dengan ukuran sisi-sisinya.
Bukti:
Mempertimbangkan segiempat Saccheri, segiempat ABCD dengan
, , , dan M dan N beturut-turut merupakan titik
tengah dari alas AB dan puncak DC.
Menurut teorema sebelumnya (Teorema 3.6.4), MN tegak lurus terhadap kedua
dan .
Menurut definisi, segiempat AMND dan segiempat CBMN keduanya segiempat
Lambert.
Berdasarkan Teorema 3.6.8, MN AD Dan MN CB. Terbukti.
Teorema 3.6.10
Jika ada sebuah persegi panjang, maka akan ada juga sebuah persegi
panjang dengan salah satu sisinya lebih panjang dari pda ruas garis tertentu.
Bukti.
Andaikan adalah sebuah persegipanjang dan adalah salah sebarang
garis.kita akan buktkan dengan membentuk sebuah persegipanjang dengan
panjang salah satu sisinya lebih besar daripada PQ. Dengan membentuk garis, ada
sebuah titik pada sedemikian sehingga D-C- dan (gambar
3.6.5). dengan cara yang sama sebuah titik pada sedemikian sehingga A-B-
dan . Menurut eorema 3.3.5 (SASAS), kongruen
terhadap , oleh karena itu dan merupakan sudut siku-

18. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
18
siku. Berdasarkan definisi adalah sebuah persegipanjang dan
Kemudian kita ulang lagi dengan membentuk, kita dapatkan sebuah
persegipanjang sedemiian higga . Berdasarkan sifat
archimedean dari bilangan realjika dipilih n cukup besar sehingga
Terbukti.
Teorema akibat 3.6.11
Jika ada sebuah persegi panjang, maka ada sebuah persegi panjang dengan
dua sisinya yang berdekatan panjangnya masing-masing lebih panjang dari dua
segmen tertentu.
Bukti:
Dengan kata lain. Jika ada persegipanjang ABCD dan segmen garis XY dan ZW
diberikan. Maka ada persegipanjang PQRS sedemikian hingga PQ > XY dan PS >
ZW.
Sesuai dengan Teorema 3.6.10. Ada persegipanjang ABEF dengan AF > XY.
Dengan melukis persegipanjang yang kongruen dengan persegipanjang ABEF
berulang-ulang dan menempatkan di atasnya, kita dapat melukis AFHG dengan
AG > ZW. Karena AF > XY, maka AFHG merupakan persegipanjang PQRS yang
dimaksudkan.
Teorema 3.6.12
Jika ada sebuah persegi panjang maka ada persegi panjang dengan panjang
dua sisi yang berdekatan kongruen dengan diberikan segmen garis PQ dan RS.
A
D C
B B2
C 2 Cn
Bn

19. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
19
Bukti:
Cara kita membuktikan seperti apa yang dilakukan penjahit. Dengan
menggunakan teorema akibat terdahulu, maka kita memiliki persegipanjang
PQRS dengan PQ > XY dan PS > ZW; kemudian kita potongnya sedemikian
hingga panjang PQ = XY dan PS = ZW. Jadi ada titk Q’ pada PQ sedemikian
hingga PQ’ = XY. Dari titik Q’ ditarik garis yang tegak lurus RS dengan kaki R’.
kita tunjukkan bahwa PQ’R’S’ adalah persegipanjang.
Sudut P, R’ dan S adalah siku-siku. Kita tunjukkan pula bahwa PQ’R’ juga
siku-siku. Andaikan PQ’R’S’ > 360, kontradiksi dengan akibat dari teorema
sebelumnya. Andaikan PQ’R’ < 90, maka QQ’R > 90 dan jumlah sudut segi
empat PQ’R’S > 360, kontradiksi dengan akibat dari teorema sebelumnya.
Andaikan PQ’R’ < 90, maka QQ’R > 90 jumlah sudut segiempat QQ’R’R >
360 (kontradiksi). Jadi satu-satunya kemungkinan adalah PQ’R’ = 90, dan
PQ’R’S adalah persegipanjang. Dengan cara yang sama, ada titik S’ pada PS
sedemikian hingga PS’ = ZW. Tarik garis S’ tegak lurus Q’R’ dengan kaki R*.
maka, sebagaimana di atas, PQ’R*S’ adalah persegipanjang. Sisi-sisinya yang
berdekatan PQ’ dan PS’ masing-masing sama dengan XY dan ZW, dan teorema
terbukti.
Teorema 3.6.13
Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap segitiga siku-siku memiliki
jumlah sudut 180 °.

20. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
20
Bukti:
Misalkan ABC adalah sebuah segitiga siku-siku, siku-siku di C. Berdasarkan
teorema 3.6.12 kita dapat mengkontruksi PQRS dimana dan
. Jika kita menarik diagonal
Lihat ABC dan PRQ sehingga ABC dan PRQ mempunyai jumlah sudut
yang sama.
Misalkan jumlah sudut dalam dan jumlah sudut dalam . Karena
PQRS persegi panjang maka . Kita tahu dari teorema saccheri
legendre bahwa masing-masing kurang dari 180 .
Andaikan , maka . Terjadilah kontadiksi. Sehingga jumlah
sudut dalam segitiga siku-siku yaitu harus 180 .
Teorema 3.6.14
Jika ada sebuah persegi panjang, maka setiap segitiga memiliki jumlah
sudut 180 °.
Bukti:
B’ C’
A’ D’
’
p
q
A
B C

21. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
21
A B
C
D
p q
B D
E A
1
2
1
2
Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara menunjukkan bahwa :
1) Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari sebuah segitiga yang dibentuk
dengan cara membelah persegipanjang pada diagonalnya.
2) Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 180.
Misalkan ABC siku-siku di B. Menurut Teorema sebelumnya, ada
persegipanjang A’B’C’D’ dengan A’B’ = AB dan B’C’ = BC. Hubungkan A’ dan
C’. Maka ABC A’B’C’, dengan demikian ABC dan A’B’C’ mempunyai
jumlah sudut yang sama. Misalkan : p adalah jumlah sudut A’B’C’dan q adalah
jumlah sudut A’D’C
Maka : p + q = 4.90 = 360, ………………………... (1)
Kita tunjukkan bahwa p = 180. Menurut Teorema sebelumnya, p = 180 atau p <
180. Andaikan p < 180. Dari persamaan (1) diperoleh q > 180 (bertentangan
dengan teorema 1). Jadi p = 180.
Teorema 3.6.15
Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180 ° maka akan ada
sebuah persegi panjang.
Bukti:
Misalkan mempunyai jumlah sudut 180.
Akan ditunjukkan siku-siku dengan jumlah sudut 180
Tarik garis tinggi AB siku-siku di D dan
siku-siku si D.
Misal jumlah sudut adalah p dan jumlah sudut adalah q
Maka p + q = 2. 90 + 180 = 360
Akan ditunjukkan p = 180
; p < 180 maka q > 180
Hal ini kontradiksi bahwa jumlah sudut sebarang segitiga kurang atau sama
dengan 180. Jadi siku-siku, misal
yang mempunyai jumlah sudut 180.

22. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
22
Dengan mengambil dua segitiga siku-siku, kemudian kedua segitiga tersebut
ditempelkan membentuk persegi panjang.
Lukis dengan E berlainan pihak dengan D dari sisi AB dan BE
bersesuaian dengan AD. Karena jumlah sudut adalah 180 maka
dan karena maka dan
.
Perhatikan bahwa
dan
Jadi, . Terbukti.
Teorema akibat 3.6.16
Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut 180 °, maka setiap segitiga
memiliki jumlah sudut 180 °.
Bukti:
Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800. Akan ditunjukkan
bahwa setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800. Misalkan ada sebuah
segitiga yang mempunyai jumlah sudut 1800, maka menurut teorema 3.6.15 akan
ada sebuah persegi panjang. Sedangkan menurut teorema 3.6.14, jika ada sebuah
persegi panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut 1800. Terbukti.
Teorema akibat 3.6.17
Jika ada sebuah segitiga dengan jumlah sudut kurang dari 180 °, maka
setiap segitiga memiliki jumlah sudut kurang dari 180 °.
Bukti:
Misalkan segitiga ABC dengan jumlah sudut < 1800, perhatikan sebarang segitiga
PQR.
Menurut teorema 1, jumlah sudut p ≤ 1800.
Misalkan p = 1800, maka menurut akibat 1 dari teorema 6 di atas, sehingga
segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800.
Hai ini bertentangan dengan pemisalan di atas.
Jadi, yang benar adalah p < 1800.

23. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
23
Teorema 3.6.18
Paralel mendalilkan Euclidean setara dengan pernyataan berikut: Jumlah
sudut dari setiap segitiga adalah 180 °.
Bukti:
Kita asumsikan Jumlah sudut dari setiap segitiga adalah 180 ° dan menggunakan
kebenaran pembuktian Paralel mendalilkan Euclidean. Ingat garis l dan titik P
tidak terletak digaris l, misalkan m sebuah garis parallel melalui P tegak lurus
dengan l.(sehingga ada garis seperti hasil dari teorema akibat 3.4.2 ). Jika kita
misalkan n sebuah garis lain yang melalui P, kita akan tunjukkan n memotong l.
Menggunakan pendekaan tak langsung, kita akan anggap n parallel terhadap l.
Karena n tidak sama m, ingat berada diantara dan ( ).
Menurut sifat archimedean dari
Karena dan kongruen, maka dapat disimpulkan
bahwa .

24. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
24
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Sebuah garis yang memuat titik dari sebuah sudut dan sebuah titik di dalam
sudut, memotong setiap segmen garis yang bergerak sepanjang sisi-sisi sudut
tersebut.
Penyelesaian:
Teorema bahwa sudut alas segitiga samakaki adalah sama, dapat dibuktikan
secara valid dengan menggunakan perbedaan dan pendekatan yang lebih
sederhana. Bukti berikut yang dilengkapi Papus (300 m) didasarkan pada
validitas prinsip s sd s (sisi sudut sisi) ketika diaplikasikan pada suatu segitiga
dan segitiga itu sendiri.
Diketahui: ABC, AC = BC
Adb ABC BAC
Bukti: Pandang ACB dan BCA
sebagai segitiga dengan
titik sudut A, C, B
bersesuaian dengan titik
sudut B, C, A, maka:
Sehingga unsur-unsur AC, BC, ACB dari ACB adalah sama
dengan unsur-unsur yang bersesuaian BC, AC, BCA dari BCA.

25. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
25
2. Buktikan Dua Segitiga adalah kongruen jika dua sudut dan sisi di hadapan
salah satu sudut dari dua segitiga yang bersesuaian adalah sama.
Diketahui: Lihat gambar di samping berikut.
Buktikan: Δ ABC ΔPQR
Bukti:
Teorema kongruensi yang ada ádalah proposisi 8 (s,sd,s), (sd,s,sd), (s,s,s)
.tidak ada yang cocok. Terpaksa menggunakan Postulat V sebagai
berikut:’Bentuk geometri dapat dipindah tanpa mengubah ukuran dan
bentuknya.’
Langkahnya ΔPQR diimpitkan ke ΔABC
Alternatif yang mungkin, P terletak di:
a) antara A dan B,
b) pada perpanjangan BA dan
c) berimpit dengan A. (mengapa ?)
Lihat Δ ACP’ berarti A < ACP’(mengapa?)...... 1)
Padahal CP’B adalah sudut luar ΔACP1 berarti A < CP’B (teorema
sudut luar) ........ 2)
Dari 1) dan 2) terjadi kontradiksi.
b) kontradiksi juga
c) A = P’’’ maka AB = P’’’ Q’ sehingga ΔABC ΔPQR.
P
R
A Q
C
B
A=P’’’
C=R’
P’’ P’ B=Q’

26. Kelompok 2-Rombel Geo-Non Rabu Pukul 10
26
3. Pada segiempat ABCD, diketahui , buktikan bahwa
jika dan hanya jika .
Penyelesaian:
1. Akan dibuktikan .
Pilih titik E pada AB sedemikian hingga BE = CD, maka EBCD segiempat
Saccheri (definisi), berarti ................. (i)
Pehatikan ADE, (teorema sudut luar) ............ (ii)
....................... (iii)
Dari (i), (ii), (iii) diperoleh (sifat
transitif)
Alternatif yang mungkin
b.
(i) (bukti a) kontradiksi dengan
(ii) maka (mengapa dengan yang
mungkin
Terbukti bahwa .
2 2