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  • 1. Matematicas Nivelatoria “El éxito consiste en vencer el temor al fracaso” Ing. Medardo Galindo
  • 2. 3.1 Reducción de términos semejantes• Identificar términos• Identificar términos semejantes• Reducir términos semejantes• Utilizar la propiedad distributiva• Eliminar paréntesis precedidos de un signo mas o menos• Simplificar expresiones
  • 3. Identificar términos• Cuando una expresión algebraica consta de varias partes. A las partes de que se suman se les denomina términos• La expresión 2𝑥 − 3𝑦 − 5 puede escribirse como 2𝑥 + −3𝑦 + −5 , por lo que podemos decir que 2𝑥 − 3𝑦 − 5 tiene tres términos 2𝑥, −3𝑦, 𝑦 − 5
  • 4. Identificar términos• La parte numérica de un termino se denomina coeficiente numérico, o simplemente coeficiente. En el termino 6x, el 6 es el coeficiente numérico.• Observe que 6x significa que la variable x se multiplica por 6.
  • 5. Tabla Comparativa• Termino Coeficiente Numérico 3𝑥 3 1 1 − 𝑥 − 2 2 4 𝑥−3 4 2𝑥 2 2𝑥 2 , 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑥 3 3 3 3 𝑥+4 1 𝑥+4 1 , 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 (𝑥 + 4) 3 3 3 3
  • 6. Términos sin coeficiente numérico se supone que es 1𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 1𝑥 −𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 1𝑥𝑥 2 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 1𝑥 2 −𝑥 2 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 1𝑥 2𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 1𝑥𝑦 −𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 1𝑥𝑦 𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 1 𝑥 + 2 − 𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 − 1 𝑥 + 2
  • 7. Importante• Si una expresión tiene un termino que es un numero (sin variable), nos referimos a este como termino constante, o simplemente constante• En la expresión 𝑥 2 + 3𝑥 − 4, 𝑒𝑙 − 4 es un termino constante o una constante
  • 8. Identificar términos semejantes• Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑁𝑜 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 3𝑥, −4𝑥 3𝑥, 2 4𝑦, 6𝑦 3𝑥, 4𝑦 3𝑥 2 , 4𝑥 2 3𝑥, 4𝑥 2 3 𝑥 + 1 , −2(𝑥 + 1) 2𝑥, 3𝑥𝑦
  • 9. Identificar los términos semejantes de:𝑎) 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑏) 2𝑥 + 3𝑦 + 2 1𝑐) 𝑥 + 3 + 𝑦 − 2𝑑) 𝑥 + 3𝑥 2 − 4𝑥 2
  • 10. Reducir términos semejantes1. Determine cuales términos son semejantes2. Sume o reste los coeficientes de los términos semejantes3. Multiplique el numero que se haya encontrado en el paso 2 por la (s) variable (s) en común
  • 11. Reducir los siguientes términos 𝑎) 5𝑥 + 4𝑥 3 2 𝑏) 𝑥 − 𝑥 5 3 c) 3𝑏 + 6𝑎 − 5 − 2𝑎 𝑑) − 2𝑥 2 + 3𝑦 − 4𝑥 2 + 3 − 𝑦 + 5
  • 12. Propiedad Distributiva• Emplee propiedad distributiva para eliminar paréntesis 𝑎) 2(𝑥 + 4) 𝑏) − 2(𝑤 + 4) c) 3(𝑥 − 2) 𝑑) − 2(4𝑥 − 3)
  • 13. Eliminar paréntesis precedidos de un signo mas o menos• Observe que (4x + 3) = 4x + 3. Si a un paréntesis no lo precede ningún signo o lo hace un signo positivo, es posible eliminarlo sin tener que cambiar la expresión dentro de el.
  • 14. Eliminar paréntesis precedidos de un signo mas o menos• Ahora considere – (4x + 3) = - 4x – 3. Si un signo negativo precede al paréntesis, cuando se elimina este cambian los signos de todos los términos de adentro.
  • 15. Simplificar una expresión• Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis• Reduzca términos semejantes• Simplificar 𝑎) 6 − (2𝑥 + 3) 2 1 𝑏) − 𝑥 − + 3𝑥 3 4
  • 16. 3.2 Propiedad de igualdad de la suma1. Identificar ecuaciones lineales2. Comprobar las soluciones de las ecuaciones3. Identificar ecuaciones equivalentes4. Utilizar propiedad de la suma para resolver ecuaciones5. Resolver ecuaciones mentalmente
  • 17. Identificar ecuaciones lineales• Una ecuación lineal con una variable es una ecuación que se escribe de la siguiente manera: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑦 𝑎 ≠ 0 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑥+4=7 2𝑥 − 4 = 6
  • 18. Comprobar las soluciones de las ecuaciones• La solución de una ecuación es el numero o números que hacen que esta sea una proposición verdadera al sustituir la variable o variables.Por ejemplo la solución de: 𝑥 + 4 = 7 𝑒𝑠 3 𝐸𝑛 2𝑥 − 4 = 6, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑠𝑖 3 𝑒𝑠 𝑠𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑖 18 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 3𝑥 − 2 𝑥 + 3 = 12
  • 19. Ecuaciones Equivalentes• A dos o mas ecuaciones con la misma solución se les denomina ecuaciones equivalentes.𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑕𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝐿𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2𝑥 − 4 = 2, 2𝑥 = 6, 𝑦 𝑥 = 3, 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑠 3
  • 20. Propiedad de la suma para resolver ecuaciones 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐• La propiedad de la suma se utiliza para resolver ecuaciones de la forma x + a = b• Para despejar la variable x en estas ecuaciones sumamos el opuesto o inverso aditivo de a, -a, en ambos lados de la ecuación.
  • 21. Resolver𝑎) 𝑥 − 4 = −3𝑏) 𝑥 + 5 = 9𝑐) 6 = 𝑥 − 9𝑑) − 6.25 = 𝑦 + 12.78
  • 22. Propiedad de igualdad de la multiplicación• Identificar los recíprocos• Utilizar la propiedad de la multiplicación para resolver ecuaciones• Resolver ecuaciones de la forma – x = a• Ejecutar mentalmente algunos pasos para resolver ecuaciones
  • 23. Identificar recíprocos• Recuerde que dos números son recíprocos uno del otro si su producto es igual a uno. Encontrar el recíproco de: 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 2 3 − 5 −1
  • 24. Propiedad de la multiplicación para resolver ecuaciones 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 × 𝑐 = 𝑏 × 𝑐• La propiedad de la multiplicación puede utilizarse para resolver ecuaciones de la forma ax = b 𝑎) 3𝑥 = 6• Resolver 𝑥 𝑏) =4 2 2 𝑐) 𝑥 = 6 3 𝑑) − 15 = −3𝑧
  • 25. Resolver Ecuaciones de la forma –x =a• Si una ecuacion es de la forma –x =7, se resuelve para x multiplicando ambos lados por -1.• Resolver 𝑎) − 𝑥 = 7 𝑏) − 𝑥 = −5
  • 26. Solución de ecuaciones lineales con una variable en un solo lado de la ecuación• Solucionar ecuaciones lineales con una variable en un solo lado del signo de igualdad• Resolver ecuaciones que contienen números decimales o fracciones
  • 27. Solucionar ecuaciones lineales con una variable en un solo lado del signo de igualdad• Si la ecuación contiene fracciones, se multiplican ambos lados por el mcd• Aprovechar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis• Reduzca los términos semejantes que estén en el mismo lado del signo de igualdad
  • 28. • Emplee la propiedad de la suma para obtener unas ecuación con todos los términos que contienen a la variable de un lado del signo de igualdad, y una constante en el otro lado• Utilice la propiedad de la multiplicación para despejar la variable• Compruebe la solución con la ecuación original
  • 29. Resolver𝑎) 2𝑥 + 4 = 10𝑏) − 2𝑟 − 6 = −3𝑐) 2 𝑥 + 4 − 5𝑥 = −3𝑑) 𝑥 + 1.24 − 0.07𝑥 = 4.96
  • 30. Solución de ecuaciones que contengan fracciones• El paso 1 dice que es necesario multiplicar los dos lados de la ecuación por el mcd, esto eliminara las fracciones. 𝑥−3Resolver 𝑎) =7 5 1 3 1 𝑏) 𝑥 − 𝑥 = 5 8 10
  • 31. Solución ecuaciones linealescon la variable en ambos lados• Resolver 𝑎) 4𝑥 + 6 = 2𝑥 + 4 𝑏) 2𝑥 − 3 − 5𝑥 = 13 + 4𝑥 − 2 𝑐) 2 𝑥 + 5 + 3 = 3𝑥 + 9
  • 32. Ecuaciones con números decimales o fracciones• Resolver 𝑎) 5.74𝑥 + 5.42 = 2.24𝑥 − 9.28 1 2 𝑏) 2𝑥 + 3 = 𝑥−6 +4 2 3
  • 33. Identificar identidades y contradicciones• Algunas ecuaciones son verdaderas para todas las instancias de x; a estas ecuaciones se les denomina identidades. 2𝑥 + 6 = 2(𝑥 + 3)Como un lado es idéntico al otro, la ecuación es verdadera para todas las instancias de x. Por lo tanto las soluciones son todos los números reales
  • 34. Resta de Números Reales• Al resolver una ecuación que nunca es verdad, la respuesta se escribe como ´´sin solución´´ 2𝑥 − 2𝑥 + 4 = 2𝑥 − 2𝑥 + 5
  • 35. Razones y Proporciones• Entender las razones• Resolver proporciones mediante productos cruzados• Resolver aplicaciones• Usar proporciones para convertir unidades• Emplear proporciones para solucionar problemas que involucran figuras semejantes
  • 36. Entender las razones• Una razón es un cociente de dos cantidades.• Las razones proporcionan una manera de comparar dos números o cantidades.• La razón del numero a al numero b se escribe así: 𝑎 𝑎 𝑒𝑠 𝑏, 𝑎: 𝑏, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑏
  • 37. Resolver proporciones mediante productos cruzados• Una proporción es un tipo especial de ecuación.• Es una proposición de igualdad entre dos razones 𝑎 𝑐 𝑆𝑖 = , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 𝑏 𝑑• Resolver 𝑥 35 = 3 15
  • 38. Resolver aplicaciones• Entienda el problema• Traduzca el problema a lenguaje matemático• Efectuar los cálculos matemáticos necesarios para efectuar el problema• Comprobar la respuesta del paso 3• Asegurarse de responder la pregunta original.
  • 39. 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑅𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 = 𝑕𝑜𝑟𝑎 𝑕𝑜𝑟𝑎• Observe que las dos razones deben tener las mismas unidades. Por ejemplo, si una razón se da en millas/hora, y la segunda en pies/hora, debemos cambiar una de las razones antes de plantear la proporción.
  • 40. Usar proporciones para convertir unidades• En una milla hay 5280 pies. A que distancia equivalen, en millas, 18,362 pies?
  • 41. • Emplear proporciones para solucionar problemas que involucran figuras semejantes• Ver ejemplos del libro
  • 42. Desigualdades en una Variable• Resolver la desigualdad y graficar la solución en la recta numérica. −5𝑝 + 9 < −2𝑝 + 6• Importante −3 > 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑥 < −3 −5 ≤ 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑥 ≥ −5

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