Elegibilidad texto matematicas 8°basico2011 opción A
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Elegibilidad texto matematicas 8°basico2011 opción A Document Transcript

  • 1. Estructura del Texto El Texto Matemática 8 está organizado en 6 unidades. En cada Unidad encontrarás las siguientes páginas y secciones: Páginas de inicio En esta Unidad podrás... En esta sección conocerás los principales objetivos que se espera que logres con el desarrollo de la Unidad. Conversemos de... Sección que te plantea preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la Unidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias. ¿Cuánto sabes? Podrás resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a recordar conocimientos que serán la base para el desarrollo de la Unidad. ¿Qué debes recordar? Encontrarás el resumen de los principales conceptos trabajados en años anteriores y que te servirán como apoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad. 4 Matemática 8
  • 2. Páginas de desarrollo No olvides que... Encontrarás explicaciones, descripciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo. Ayuda Te recuerda un contenido o procedimiento. Actividades Resolverás variadas Para discutir actividades para ir Por medio de preguntas, descubriendo los explorarás el contenido conceptos y reforzar matemático que así su aprendizaje. aprenderás, pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones. En equipo Desarrollarás en grupo Te invitamos a ingresar al entretenidas e interesantes hipertexto donde encontrarás actividades que te permitirán diferentes recursos y actividades progresar en tu aprendizaje interactivas que complementarán tu aprendizaje. Estructura del Texto 5
  • 3. Mi progreso Resolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso Herramientas en el logro de los tecnológicas aprendizajes. Aprenderás a ocupar la calculadora para resolver diversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programas computacionales. Estrategia mental Podrás aprender y practicar diversas estrategias de cálculo mental. Buscando estrategias Observarás un problema resuelto paso a paso a través de una determinada estrategia. Podrás aprender y practicar la estrategia utilizada y buscar otras que te permitan encontrar la solución. 6 Matemática 8
  • 4. Páginas de cierre Síntesis Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un organizador gráfico. Además, aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre estos y sus relaciones. Conexiones A partir de una noticia o tema, desarrollarás en equipo una actividad que te permitirá aplicar lo que aprendiste en la Unidad. Además, te invitamos a evaluar tu actitud y la de cada integrante del grupo para que puedas mejorar tu forma de trabajar. ¿Que logré? Evaluarás y reflexionarás sobre los aprendizajes que adquiriste en esta Unidad. ¿Que aprendí? En estas dos páginas responderás preguntas de selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluar lo que has aprendido en la Unidad. Estructura del Texto 7
  • 5. Índice 1 Unidad Números enteros 10 ¿Cuánto sabes? 12 Mi progreso 29 Multiplicación de un número natural Buscando estrategias 30 por un número entero negativo 14 Para finalizar 32 Multiplicación de números enteros 16 ¿Qué aprendí? 34 División exacta de números enteros 18 Mi progreso 21 División inexacta de números enteros 22 Operaciones combinadas 24 2 Unidad Potencias 36 ¿Cuánto sabes? 38 Mi progreso 55 Potencias de base entera y Potencias de base fraccionaria exponente natural 40 positiva y exponente natural 56 Valor de la potencia 42 Potencias de base decimal positiva Multiplicación de potencias de y exponente natural 58 igual base 44 Crecimiento exponencial 60 División de potencias de igual base 46 Decrecimiento exponencial 62 Multiplicación de potencias de Mi progreso 65 igual exponente 48 Buscando estrategias 66 División de potencias de Para finalizar 68 igual exponente 50 ¿Qué aprendí? 70 Potencia de una potencia 52 3 Unidad Geometría y medición 72 ¿Cuánto sabes? 74 Mi progreso 87 Circunferencia y círculo como Área del cilindro y cono 88 lugar geométrico 76 Volumen del cilindro y cono 92 Elementos de la circunferencia 78 Mi progreso 95 Número π y su relación con la Buscando estrategias 96 circunferencia 80 Para finalizar 98 Longitud de la circunferencia 82 ¿Qué aprendí? 100 Área del círculo 84 8 Matemática 8
  • 6. 4 Unidad Movimientos en el plano 102 ¿Cuánto sabes? 104 Teselaciones regulares y Transformaciones de figuras semirregulares 120 y objetos 106 Mi progreso 123 Traslaciones de figuras planas 108 Buscando estrategias 124 Reflexiones de figuras planas 110 Para finalizar 126 Rotaciones de figuras planas 112 ¿Qué aprendí? 128 Mi progreso 117 Teselaciones 118 5 Unidad Datos y azar 130 ¿Cuánto sabes? 132 Mi progreso 149 Interpretación de tablas de Espacio muestral y principio frecuencias 134 multiplicativo 150 Construcción de tablas para Sucesos equiprobables 152 datos agrupados 136 Regla de Laplace 154 Media aritmética para datos Mi progreso 157 agrupados 138 Buscando estrategias 158 Moda para datos agrupados 140 Para finalizar 160 Censo y muestreo 142 ¿Qué aprendí? 162 Análisis de encuestas 144 6 Unidad Funciones y relaciones proporcionales 164 ¿Cuánto sabes? 166 Relación de proporcionalidad directa 184 Situaciones con dos variables 168 Relación de proporcionalidad inversa 188 Noción de función 172 Mi progreso 193 Variables dependientes Buscando estrategias 194 e independientes 174 Para finalizar 196 Dominio y recorrido 178 ¿Qué aprendí? 198 Mi progreso 181 Variaciones proporcionales y no proporcionales 182 Solucionario 200 Índice temático 220 Bibliografía 223 Índice 9
  • 7. 3 Unidad Geometría y medición 72 Unidad 3
  • 8. En esta Unidad podrás... • Identificar la circunferencia y círculo como lugar geométrico y representarlos mediante lenguaje conjuntista. • Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia. • Relacionar el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia. • Calcular la longitud de una circunferencia. • Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. • Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono. • Calcular el área del cilindro, cono y pirámide y verificarlas, usando un procesador geométrico. Conversemos de... Para preservar de mejor forma los alimentos durante un largo período de tiempo, se realiza un proceso de manipulación de estos, llamada conserva alimenticia. El objetivo de la conserva es proteger a los alimentos de microorganismos que podrían modificar sus condiciones sanitarias y su sabor. Las conservas se pueden encontrar en envases de vidrio o de hojalata. El envase de hojalata conserva por más tiempo los alimentos y evita los efectos de la luz, que deteriora su contenido vitamínico. La fotografía muestra distintas conservas en envases de hojalata de una empresa. Si desean modificar las dimensiones de los tarros, responde las siguientes preguntas. 1. ¿Qué variará si desean agrandar los envases sin modificar su altura? 2. ¿Qué sucederá con el volumen del envase si modifican la altura al doble?, ¿cómo lo supiste? 3. ¿Con qué forma geométrica asocias estos tarros de conservas? 4. ¿Haz consumido algún alimento en conserva?, ¿cuál? Geometría y medición 73
  • 9. ¿Cuánto sabes? 1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste. a) ABCD cuadrado c) LMNO romboide D C O N 5 cm 6 cm L M A 5 cm B 8 cm b) HGFE trapecio isósceles d) ∆IJK equilátero K E 5 cm F 4 cm H G 9 cm I 3,5 cm J 2. Calcula el área de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste. a) c) ∆ EFG isósceles de base EF D C G 2,6 cm 10 cm A 2,6 cm B E F 12 cm b) H K d) L 5 cm 12 cm M N I 17,5 cm J 4 cm 3. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) b) 5,5 cm 3m 4 cm 4 cm 5m 5m 4. El perímetro de un triángulo equilátero es 24 cm. Si la medida de uno de sus lados aumenta en 3 cm, ¿cuánto mide ahora el perímetro del triángulo?, ¿sigue siendo equilátero?, ¿por qué? 74 Unidad 3
  • 10. Unidad 3 5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto mide su perímetro?; ¿y su área?, ¿y si los catetos se duplican? 6. Si el área de un terreno cuadrado es 100 m2, ¿cuántos metros de alambre se necesitan para cercar el terreno con una vuelta? Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. ¿Qué debes recordar? • Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Según el número de sus lados, se clasifican en: triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), etc. • Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de sus lados, reciben el nombre de polígono regular. • La apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados; es perpendicular a dicho lado. apotema del pentágono • El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de su frontera o contorno, expresada en la misma unidad de longitud. • El área es la medida de la superficie de una figura. • Para calcular el área de un cuadrado de lado a, se puede utilizar la fórmula a2. • Para calcular el área de un rectángulo de lados a y b, se puede utilizar la fórmula a • b. b •h • Para calcular el área de un triángulo de base b y altura h, se puede utilizar la fórmula . 2 • En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su base y su altura, ya que son perpendiculares entre sí. B • En un triángulo ABC rectángulo en C se cumple que: c 2 2 2 a a +b =c A C (Teorema de Pitágoras) b • Un prisma recto es aquel poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos iguales llamados bases. El resto de las caras son rectángulos perpendiculares a las bases y se llaman caras laterales. • Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos, que concurren en un punto llamado cúspide. Las pirámides rectas son aquellas cuyas caras laterales son triángulos isósceles. De lo contrario, se denominan oblicuas. Las pirámides regulares son aquellas cuya base es un polígono regular. Geometría y medición 75
  • 11. Circunferencia y círculo como lugar geométrico Dispositivo T En el patio de una universidad se ha instalado un dispositivo emisor Tomás Hernán H de Internet, para que los y las estudiantes que dispongan de tarjetas G Gabriel receptoras en sus computadores personales puedan acceder a la Carolina C web. El dispositivo receptor tiene un alcance hasta los 500 metros F O a la redonda. Observa la imagen que muestra el punto del patio E D Eduardo donde se instaló el dispositivo emisor y a los y las estudiantes que, Francisca B Daniela en ese momento, estaban con sus computadores usando Internet. Bernardo S Sara Límite de la señal Para discutir • ¿Cuántos metros hay desde el dispositivo hasta E?, ¿y hasta B y H?, ¿cómo lo supiste? • ¿Qué sucede con los estudiantes que están a menor distancia que 500 m del dispositivo?, ¿y los que están a más de 500 m a la redonda?, ¿cómo lo expresarías geométricamente? • Si los estudiantes que están ubicados a menos de 500 m del dispositivo se ubicaran justo a 500 m de este, ¿dónde se encontrarían geométricamente?, ¿por qué? • ¿Con qué conceptos geométricos puedes relacionar a las personas que están a menor distancia de 500 m a la redonda del dispositivo?, ¿y los que están a 500 m?, ¿por qué? En la situación anterior, los puntos que se encuentran a 500 metros del dispositivo receptor son H, B y E. Estos puntos y todos aquellos que están a 500 metros del dispositivo receptor O, pertenecen a la circunferencia. El dispositivo corresponde al centro de la circunferencia; la distancia desde el centro O a la circunferencia se Glosario denomina radio; en este caso, el radio es de 500 metros. conjunto: es toda agrupación de El conjunto de todos los puntos que están en el interior de la objetos. Los objetos agrupados circunferencia de centro O, como C, F, G y D, pertenecen al círculo. toman el nombre de elementos del Luego, la circunferencia es el contorno del círculo. conjunto. Los puntos S y T se encuentran a más de 500 m del centro O de la pertenece: corresponde a todos circunferencia, por lo tanto, no pertenecen a ella (ni al círculo). los elementos que forman parte de Esto quiere decir que Sara y Tomás no pueden acceder a la web. un conjunto dado. Se simboliza . no pertenece: corresponde a todos los elementos que no forman parte de un conjunto dado. Se simboliza . 76 Unidad 3
  • 12. Unidad 3 No olvides que... • Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. • Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado centro; dicha distancia se denomina radio. Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a una circunferencia de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera: C= p P / d ( p, O ) = r • El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a un círculo de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera: C= p P / d ( p, O ) r La notación d ( p, O ) representa la distancia desde cualquier punto p del plano P al centro O. Actividades 1. Observa la siguiente circunferencia de centro O y el círculo de centro C, respectivamente y, luego, responde. a) ¿En qué se parecen ambas figuras?, ¿en qué se diferencian? b) ¿Qué aspectos caracterizan a cada figura? c) ¿Cuándo un punto pertenece al círculo?, ¿y a la circunferencia? O C Da 2 ejemplos para cada caso. 2. Observando la figura, completa cada una de las siguientes expresiones con: • pertenecen • radio • no pertenecen D E C • no pertenece • pertenecen • pertenece O F a) El de la circunferencia de centro O mide 1 cm. B b) El punto C al círculo. c) Los puntos D y E al círculo. d) Los puntos D y E a la circunferencia. e) Los puntos B y F a la circunferencia. f) El punto E al círculo. Geometría y medición 77
  • 13. Elementos de la circunferencia C Observa la siguiente circunferencia de centro F E O y los elementos marcados en ella. Observa. G D H I O A B Para discutir • Si mides con una regla OE y OI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué? • ¿Qué diferencias observas entre la parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y G y el trazo FG?, ¿cómo lo supiste? • Si mides con una regla OE y HI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué? ↔ • ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre GF y AB ?, ↔ ↔ ¿y entre AB y CD ? • ¿Cuánto miden los ángulos OED y CEO? Usa transportador. • ¿Ocurrirá siempre lo mismo con las medidas de los ángulos formados entre el radio y la recta que interseca a la circunferencia en un solo punto?, ¿cómo lo supiste? Glosario En la circunferencia anterior, tenemos que OE y OI corresponden a En Matemática puedes utilizar segmentos que unen un punto de la circunferencia con su centro O; la siguiente notación: estos segmentos corresponden al radio de la circunferencia. Segmento HI: HI ↔ La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y G Recta AB: AB se denomina arco (FG ), es decir, corresponde a todos los puntos Arco FG: FG pertenecientes a la circunferencia entre dichos puntos, a diferencia de FG, que contiene solo a dos puntos de la circunferencia. Este segmento se denomina cuerda. Por otra parte, HI mide el doble del radio; este segmento que une dos puntos de la circunferencia y, además, pasa por el centro de ella se llama diámetro. ↔ ↔ Al observar AB y CD , podemos notar que la primera recta corta Ayuda ↔ a la circunferencia en dos puntos, a diferencia de CD , que toca ↔ a la circunferencia en un solo punto (E ). En el caso de AB , la recta El arco de una circunferencia se ↔ lee en sentido inverso al giro de se llama secante a la circunferencia, y en el caso de CD , tangente los punteros del reloj. a la circunferencia. Además, el ángulo formado entre la tangente y el radio, en el punto de intersección (E ) es recto (mide 90º). 78 Unidad 3
  • 14. Unidad 3 No olvides que... En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos: • Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro. • Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. • Diámetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerda de mayor longitud en la circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida del diámetro corresponde al doble de la medida del radio. • Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. • Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos. • Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un único punto a la circunferencia. Actividades 1. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno una circunferencia de centro O y radio 3 cm. Luego, sigue las instrucciones y responde las preguntas. a) Traza un diámetro: ¿cuánto mide? b) Traza una recta secante y marca con distintos colores los arcos determinados por ella. c) Traza un radio OA y, luego, una tangente a la circunferencia que pase por A. Para esto, utiliza escuadra. d) Traza una cuerda de menor longitud que el diámetro, ¿qué sucede si son de igual longitud? 2. Considera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla. Cuerda(s) B Diámetro(s) A D Radio(s) Secante(s) O E Tangente(s) C Arco(s) F 3. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arco. b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio. c) Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos. d) Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia. e) El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida. Geometría y medición 79
  • 15. Número π y su relación con la circunferencia En equipo En esta actividad deberán utilizar 1 metro y medio (aprox.) de lana, regla, compás y calculadora para medir la longitud y el diámetro de circunferencias y calcular el cociente entre dichas medidas. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm. 2. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente lo mismo que cada una de estas figuras. 3. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la longitud de las circunferencias. 4. Completen la tabla. Medida del diámetro Medida de la longitud Valor de la razón entre Circunferencia (cm) (cm) la longitud y el diámetro 1 2 3 4 Ayuda Para discutir Recuerda que el valor de la • ¿Cómo calculaste la medida del diámetro?, ¿y la longitud de razón es el cociente entre dos cada circunferencia? cantidades. • Los valores obtenidos en la última columna, ¿tienen algo en común?, ¿por qué? • Si dibujaras otras circunferencias, con distintos radios, ¿qué valores obtendrías al calcular el cociente entre su longitud y el diámetro?, ¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué? • ¿Reconoces los valores obtenidos en la última columna con algún número especial?, ¿cuál? En la actividad anterior, podemos notar que el cociente obtenido en la última columna de la actividad experimental es aproximadamente 3,14 en todos los casos. Si realizáramos el mismo experimento con circunferencias cuyo radio fuera diferente, observaríamos que dicho valor se mantiene constante. Este valor se representa con la letra griega π, y se pronuncia número pi. 80 Unidad 3
  • 16. Unidad 3 No olvides que... La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante que llamamos número π. Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primeras cifras es: π 3,1415926535… Actividades 1. Usando calculadora, determina cuál de las siguientes expresiones corresponde a una mejor aproximación al número π. 22 256 377 a) c) e) 7 81 120 355 25 3927 b) d) f) 113 8 1250 2. Agustín dice que para calcular la longitud de una circunferencia basta con multiplicar π por el diámetro de esta. ¿Consideras correcto lo que afirma?, ¿por qué? 3. ¿Puedes obtener la longitud de una circunferencia si conoces la medida de su radio?, ¿cómo lo harías? 4. Utilizando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera el número π, redondeado a los centésimos (π = 3,14). Circunferencia Medida del radio (cm) Medida del diámetro (cm) Medida de la longitud (cm) 1 37,68 2 62,8 3 31,4 4 15 5 10,5 6 314 7 6,5 8 125,6 Geometría y medición 81
  • 17. Longitud de la circunferencia E D La siguiente figura muestra un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia. El hexágono regular está dividido en 6 triángulos equiláteros, que tienen un vértice común en el centro de la circunferencia. F C O Para discutir • ¿Con qué elemento de la circunferencia puedes igualar los lados A B del hexágono?, ¿por qué? • Observa el perímetro del hexágono y la longitud de la circunferencia, ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo supiste? • Según lo estudiado hasta ahora, ¿cómo relacionarías la longitud de la circunferencia con el diámetro y el número π? En la situación anterior, el hexágono regular inscrito en la circunferencia con centro en O se ha dividido en 6 triángulos equiláteros y cada lado de los 6 triángulos coincide con el radio de la circunferencia. Los arcos que se forman con los lados del hexágono tienen medida un poco mayor que dichos lados y, por lo tanto, es un poco mayor que el radio. Luego, si comparamos la longitud de la circunferencia, que es igual a la suma de todos los arcos; con el perímetro del hexágono, que es igual a 6 veces el radio, tenemos que: longitud de la circunferencia > perímetro del hexágono longitud de la circunferencia > 6 veces la medida del radio longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro Por otro lado, estudiamos en la actividad experimental de la página 80 que el número π es igual a la razón entre la longitud de una l circunferencia (l ) y su diámetro (d ), es decir, π = . Entonces: d l π= / multiplicamos por d d l π•d = •d d Por lo tanto, l = π • d 82 Unidad 3
  • 18. Unidad 3 Luego, si consideramos lo anterior y, además, que el diámetro es igual a 2 veces el radio (2 • r ), verificamos que: longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro π•d>3•d π • (2 • r ) > 3 • (2 • r ) Por lo tanto, 2 • π • r > 2 • 3 • r Lo anterior se confirma con que π > 3. No olvides que... La longitud de una circunferencia (l ) es igual al producto de 2 por π por su radio (r ). Es decir, l=2•π•r Actividades 1. Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). Considera π = 3,14. 7 a) r = 4 cm c) r = 4,7 cm e) r = cm g) r = 1000 cm 2 b) r = 0,5 m d) r = 1,7 km f) r = 9 cm h) r = 10 000 cm 2. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l ). Considera π = 3,14. a) l = 28,26 cm c) l = 1256 km e) l = 3,14 m g) l = 31,4 cm b) l = 11,304 m d) l = 6,28 cm f) l = 188,4 cm h) l = 50,24 m 3. Calcula la longitud de cada circunferencia. Considera π = 3,14. a) b) c) m 5 cm 3c G 15 K cm L Geometría y medición 83
  • 19. Área del círculo Observa los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia. Para discutir • ¿Cómo son entre sí el área del círculo y el área de cada polígono regular?, ¿qué sucede con estas áreas a medida que aumenta la cantidad de lados del polígono regular? • ¿Con qué elemento del círculo relacionas la apotema?, ¿qué relación tiene con el número de lados del polígono regular? • ¿Puedes aproximar el área del círculo conociendo la medida de la apotema y de uno de sus lados?, ¿cómo? Ayuda Como puedes observar en las figuras de la situación anterior, Recuerda que la fórmula para mientras más lados tenga el polígono regular, su área será una calcular el área de un polígono mejor aproximación al área del círculo. Por otra parte, la medida regular es: de la apotema del polígono se aproxima cada vez más al radio perímetro • apotema del círculo. 2 Para aproximar el área del círculo, podemos calcular el área de un polígono regular inscrito en la circunferencia y, mientras más lados tenga el polígono, la aproximación será mejor. Por ejemplo, el polígono regular de la siguiente figura tiene 10 lados, si cada lado O mide 2,5 cm y su apotema mide 3,85 cm, entonces: (10 • 2,5) • 3,85 Área polígono regular = = 48,125 cm2 2 Por lo tanto, el área del círculo se aproxima a 48,125 cm2. Luego, como la longitud de la circunferencia es igual a 2 • π • r , y el área del círculo (Á) se aproxima a la de un polígono regular de muchos lados, entonces: (2 • π • r ) • r Á = perímetro apotema = • = π • r2 2 2 84 Unidad 3
  • 20. Unidad 3 No olvides que... El área de un círculo (Á) es igual al producto de π por su radio al cuadrado (r 2). Es decir, Á = π • r 2 Actividades 1. Dados los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia, usa escuadra para dibujar la apotema, y con una regla mide uno de los lados y la apotema dibujada. Luego, aproxima el área de cada círculo. a) b) c) O C G ¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área del círculo correspondiente? Justifica. 2. Observa los siguientes círculos cuyos radios miden lo mismo y los polígonos inscritos en ellos. Utilizando regla, escuadra y calculadora, completa la tabla. Considera el número π, redondeado a los centésimos (π = 3,14). Nº lados del Medida de la Medida del Área polígono (cm2) Área círculo (cm2) polígono apotema (cm) radio (cm) 6 1,5 3,14 • 1,52 = 7,065 3. Utiliza la fórmula: Área = π • r 2, para calcular el área de los círculos de la pregunta 1) y, luego, compara los valores obtenidos con las aproximaciones. Considera π = 3,14. 4. Dado un círculo cuyo radio mide 3 cm, ¿qué sucede con su área su duplicas el radio?, ¿y si lo triplicas? Calcula el área en cada caso. Geometría y medición 85
  • 21. Herramientas tecnológicas Usando Geogebra puedes calcular la longitud de una circunferencia y área de un círculo, entre otras cosas. Para descargar este software ingresa a: www.geogebra.at; en el menú de la izquierda selecciona Webstart-TeleInicio, luego, el botón Webstart y sigue las instrucciones. Longitud de la circunferencia y área del círculo 1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono Regular . Haz dos clic en puntos distintos del plano; luego, indica la cantidad de vértices del polígono (menor que 16) y, finalmente, presiona OK; aparecerá el polígono regular. 3º Selecciona Circunferencia dados Tres de sus Puntos . Haz clic en tres vértices del polígono regular; aparecerá la circunferencia circunscrita en el polígono. 4º Repite los pasos 2º y 3º (en el mismo plano); pero, en este caso, el polígono debe tener 20 lados. 5º Selecciona Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su perímetro. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud. 6º Selecciona Área . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su área. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo. Luego de realizar los pasos anteriores, responde. a) ¿En cuál de los casos el perímetro del polígono se aproxima más a la longitud de la circunferencia?, ¿y en el caso del área?, ¿por qué? b) Verifica en una nueva aplicación de Geogebra para otros polígonos. Compara los resultados obtenidos con tus compañeros y compañeras. Corona circular 1º En una nueva aplicación de Geogebra, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Circunferencia dado su Centro y uno de sus puntos . Haz dos clic en lugares distintos del plano; aparecerá una circunferencia. 3º Usando la misma herramienta anterior, haz un clic sobre el centro de la c circunferencia y, luego, un clic que esté contenido en la circunferencia (no debe pertenecer a ella), como se observa en la figura. dA C La parte de la superficie que hay entre ambos círculos corresponde a la B corona circular. 4º Selecciona Distancia o Longitud. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud. 5º Selecciona Área. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo. Luego responde: ¿cuál es el área de la corona circular?, ¿y el perímetro?, ¿cómo lo hiciste? 86 Unidad 3
  • 22. Unidad 3 Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? I. La circunferecia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. II. El número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. III. Una recta tangente es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I, II y III 2. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de dos circunferencias de diámetros 18 cm y 4 cm? (Considera π = 3,14) A. 56,52 cm B. 43,96 cm C. 12,56 cm D. 87,92 cm 3. El área de la corona circular es (considera π = 3,14): A. 28,26 cm2 5 cm O B. 172,7 cm2 3 cm C. 69,08 cm2 D. 229,22 cm2 4. El área del cuadrado de la figura es 16 cm2, ¿cuál es el área del círculo inscrito? (Considera π = 3,14). 5. Para una presentación de gimnasia de un colegio se necesita elaborar 15 argollas de diámetro 80 cm, ¿cuántos metros de tubo plástico se debe comprar para su elaboración? (Considera π = 3,14). Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio Ítem Respuestas correctas Analizar afirmaciones asociadas a la circunferencia, círculo y π. 1 Calcular la longitud de circunferencias. 2 Calcular el área de una corona circular. 3 Resolver problemas que involucran área de círculo y longitud 4y5 de circunferencia. ¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Geometría y medición 87
  • 23. Área del cilindro y cono Pedro y Lorena elaboraron las redes que se muestran a continuación, para construir dos cuerpos geométricos diferentes. Observa. Para discutir • Si armas estas redes, ¿qué cuerpos geométricos obtendrías? • Si armas las redes, ¿qué diferencias y semejanzas observas en cada cuerpo geométrico? • Si rotaras un rectángulo en torno a uno de sus lados, ¿cuál de estos cuerpos geométricos obtienes?, ¿y si rotaras un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos? • ¿Es necesario conocer algunos elementos para construir cada una de las redes?, ¿cuáles? • ¿Cómo calcularías el área total de cada cuerpo geométrico?, ¿puedes apoyarte en las redes?, ¿cómo lo harías? Las redes de la situación anterior se obtienen al desarmar dos Glosario cuerpos geométricos. Con la primera red es posible construir un cilindro recto: cuerpo geométrico cilindro recto de base circular y, con la segunda red, se puede obtenido al rotar un rectángulo construir un cono recto:. entorno a uno de sus lados. cono recto: cuerpo geométrico Si armamos las redes para construir los cuerpos correspondientes, obtenido al rotar un triángulo observamos que el cilindro y cono están compuestos por al menos rectángulo en torno a un cateto. una cara curva; estos cuerpos se denominan redondos. En cambio, aquellos cuerpos formados solamente por figuras geométricas planas, como la pirámide, se denominan poliedros. Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo de lados r y h alrededor de uno de sus lados. Los lados no paralelos al eje de giro determinan círculos llamados bases. h r 88 Unidad 3
  • 24. Unidad 3 Unidad 3 El cono se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y h alrededor de uno de sus catetos. El otro cateto determina un círculo llamado base. h: altura g: generatriz r : radio Si quieres dibujar una red para construir un cilindro recto, debes conocer el radio del círculo de la base para dibujar un rectángulo en el que el lado a de este coincide con la longitud de las circunferencias y, luego, dibujas los círculos con el radio conocido. Para calcular el área total del cilindro, sumamos el área del rectángulo y el área de las bases circulares, es decir: Á = área rectángulo + 2 • área círculo = ( 2 • π • r • h) + (2 • π • r 2) a r : radio g: generatriz h: altura a cara lateral h b: base r Si quieres dibujar una red para construir un cono recto, debes conocer la longitud del radio r de la base y la longitud de la generatriz g (radio del sector circular) para calcular el ángulo α del sector circular, el que se calcula con la siguiente fórmula: α= r • 360º g Con esta información, construyes una circunferencia de radio g y marcas un ángulo α en el centro, de esta forma obtienes el sector circular; luego, dibuja la circunferencia de radio r, como se observa a continuación en la figura. Para calcular el área del cono, sumamos el área de la base y el área del sector circular. Si r es el radio de la base, su área es: Áb = π • r 2 Si g es la generatriz, el área del sector circular es: Ásc = π • r • g Geometría y medición 89
  • 25. Ayuda Luego, el área total del cono es: Recuerda que el área de una Á = área base + área sector circular = (π • r 2 ) + (π • r • g) pirámide se obtiene al sumar el área de todas sus caras y el área r: radio de la base. g: generatriz g b: base h sector circular α r No olvides que... • Si r es el radio de la base y h la altura, el área total de un cilindro está dado por: Ácilindro = (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2 ) • Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área total del cono está dado por: Ácono = (π • r 2 ) + (π • r • g) Actividades 1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos (considera π = 3,14). a) c) arista de la base = 10 cm radio de base = 7 cm altura = 12 cm generatriz = 20 cm b) d) radio de la base = 6 cm altura = 24 cm generatriz = 10 cm generatriz = 26 cm 90 Unidad 3
  • 26. Unidad 3 2. El ancho del rectángulo que gira mide 30 cm y su largo mide 45 cm, calcula (considera π = 3,14): a) el área de la base del cilindro que se genera. b) el área total del cilindro. h r 3. Calcula el área lateral de un cilindro recto, cuya base es un círculo de 452,16 cm2 de área y cuya altura es igual al diámetro de la base (considera π = 3,14). 4. Calcula el área total de un cono recto donde r = 3 cm y g = 10 cm (considera π = 3,14). 5. Si el radio de la base de un cono recto mide 4 cm y el ángulo del sector circular mide 60º, ¿cuál es el área total del cono? 6. Un recipiente tiene forma de cilindro circular recto. El área de cada base es de 1256 cm2 y la altura del cilindro mide 15 cm (considera π = 3,14). a) ¿Cuánto mide el diámetro de la base? b) ¿Cuál es el área lateral del recipiente? c) ¿Cuánto mide el área total? 7. El área total de un cilindro recto es 565,2 cm2, su radio mide 5 cm y su generatriz mide 13 cm. Si su radio aumentara en 2 cm (considera π = 3,14): a) ¿cuál es el área total del nuevo cilindro? b) ¿en cuántos cm2 aumenta su área? 8. El perímetro de la base de la pirámide recta cuya base es un polígono regular mide 36 cm, la apotema lateral mide 20 cm. Calcula: a) la apotema de la base. b) el área de la base. c) el área total. 9. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro recto mide 62,8 cm y su altura mide 18 cm (considera π = 3,14). a) ¿Cuál es su área lateral? b) ¿Cuál es el área total del cilindro? 10. El radio de un cono recto mide 5 cm y su altura mide 12 cm, calcula: a) la medida de la generatriz. b) ¿cuál es su área total? Geometría y medición 91
  • 27. Volumen del cilindro y cono En equipo En esta actividad deberán utilizar cartulina, pegamento, tijeras, regla, transportador y arena para dibujar redes de cilindro y cono y, luego, con los cuerpos geométricos que construyeron y la arena, realizarán una actividad exploratoria. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. a) Dibujen sobre la cartulina dos redes, una para armar un cilindro recto y otra para un cono recto. El radio de la base del cilindro mide 6 cm y su altura mide 8 cm. El radio de la base del cono mide 6 cm y su generatriz mide 10 cm; con esta información pueden calcular el ángulo del sector circular. b) Llenen el cono con arena y, luego, vacíenla en el cilindro. Repitan este procedimiento hasta que el cilindro quede completamente lleno. Para discutir • ¿Podrían establecer una fórmula para calcular el volumen del cilindro?, ¿cuál? • ¿Cuál es el volumen del cilindro construido?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuánto mide la altura del cono?, ¿cómo la calculaste? • ¿Cuántas veces puedes vaciar la arena que contiene el cono en el cilindro?, ¿por qué? • Usando la información anterior, ¿puedes encontrar una fórmula para calcular el volumen del cono?, ¿cuál? Ayuda Después de realizar la actividad anterior, y considerando que el área de un círculo se puede aproximar por medio del cálculo del Recuerda que, cuando hablamos área de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y, de volumen, nos referimos a la además, que dicha aproximación será mejor mientras mayor sea medida que ocupa un cuerpo en el número de lados del polígono inscrito. Entonces, para calcular el espacio. el volumen del cilindro podemos utilizar la fórmula: Para calcular el volumen de un prisma recto, puedes utilizar área base • altura la fórmula: Luego, el volumen del cilindro construido es (considerando π = 3,14): Volumen = área base • altura V = 3,14 • 62 • 8 = 904,32 cm3 Por otra parte, notemos que la cantidad de arena que puede contener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contener el cono. Entonces, para calcular el volumen del cono, podemos dividir por 3 el volumen del cilindro calculado anteriormente. Es decir, el volumen del cono es 904,32 : 3 = 301,44 cm3. Notemos que ambos cuerpos redondos tienen la misma altura (8 cm). 92 Unidad 3
  • 28. Unidad 3 No olvides que... • El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cilindro de radio r y altura h, el volumen se calcula: Vcilindro = área base • altura = π • r 2 • h • El volumen del cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cono de radio r y altura h, el volumen se calcula: Vcono = 1 • área base • altura = 1 • π • r 2 • h 3 3 Actividades Considera π = 3,14 en cada caso. 1. El radio de un cilindro mide 3,5 cm y su altura mide 10 cm, calcula su volumen. 2. Considera un cilindro cuya base es un círculo de 4 cm de radio y su altura mide 11 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se duplica?, ¿y si se triplica? 3. Considera un cono cuya base tiene 5 cm de radio y su altura mide 12 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su radio se duplica?, ¿y si se triplica? 4. Considera un cono cuya altura mide 24 cm de radio y su generatriz mide 26 cm. Responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es su volumen? b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se reduce a la mitad?, ¿y si se reduce al tercio? 5. El volumen de un cilindro es 240,21 cm3 y el radio de su base mide 3 cm; ¿cuánto mide su altura? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. 6. El volumen de un cono es 1017,36 cm3 y el área de su base es 254,34 cm2; ¿cuánto mide su altura?, ¿y el radio de su base? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. Geometría y medición 93
  • 29. 7. Calcula el área total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos, usando calculadora científica (para escribir el número π presiona SHIFT y, luego, la tecla donde aparezca π). a) 2,5 cm f) 9 cm 15 cm 8,5 cm b) g) 7,3 cm 7 cm 15 cm 3,6 cm c) h) 15 cm 10 cm 7,6 cm 4 cm d) i) 2 cm 11,2 cm 16,3 cm 4,5 cm e) j) 15 cm 39 cm 15 cm 7 cm Herramientas tecnológicas Usando el programa Limix Geometric puedes representar gráficamente distintos cuerpos geométricos y calcular su área y volumen. Para descargar este programa ingresa a: www.limix.net. Luego, descarga Limix Geometric 1.2.16 haciendo clic sobre este link. Sigue los siguientes pasos para verificar con el software que tus resultados obtenidos en el ítem 7 son correctos: a) Después de abrir el programa, selecciona figura 3D ; aparecerá una lista de cuerpos geométricos. Selecciona cilindro y cono, según corresponda. b) Luego, debes ingresar los datos solicitados, como se muestra en el ejemplo . c) Presiona Calcular y obtendrás los resultados respectivos. d) Repite los pasos anteriores en una nueva aplicación cada vez, para verificar tus resultados. 94 Unidad 3
  • 30. Unidad 3 Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. Considera π = 3,14 en todos los casos. 1. ¿Cuál es el área lateral del cilindro recto cuya base es un círculo de 3,5 m de radio y su altura mide 12 m? A. 340,69 m2 B. 76,93 m2 C. 461,58 m2 D. 263,76 m2 2. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen si su radio se triplica? A. 1017,36 cm3 B. 37,68 cm3 C. 339,12 cm3 D. 942 cm3 3. El volumen de un cono recto es 1004,8 cm3 y su área basal es 200,96 cm2, ¿cuánto mide su altura? A. 15 cm B. 5 cm C. 1,7 cm D. 45 cm 4. La red dibujada es la de un cono recto. Calcula: a) el área total. 12 cm b) el volumen. 20 cm Tipo B 5. En una empresa de conservas están haciendo una Tipo A revisión de sus envases para modificar sus dimensiones, 10 cm si fuese necesario. Los tipos de envases actuales se 8 cm muestran a continuación: 5 cm 4 cm a) ¿Cuánto material más necesitan si la altura del envase tipo A aumenta en 2 cm? b) ¿Cuál es la capacidad del envase tipo B, si su radio se modifica a la mitad y su altura se triplica? Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio Ítem Respuestas correctas Calcular el área lateral de un cilindro recto. 1 Calcular el volumen de un cono recto. 2 Determinar la altura de un cono, dado el volumen y área basal. 3 Resolver problemas sobre el área y volumen del cilindro y cono. 4y5 ¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Geometría y medición 95
  • 31. Buscando estrategias Sobre la base superior de un cilindro recto de 6 cm de radio de la base y 12 cm de altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro y el radio es el mismo. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? (Considera π = 3,14). 12 cm Comprender 6 cm • ¿Qué sabes del problema? Que el cono se encuentra en la base superior del cilindro. Ambos cuerpos tienen el mismo radio y la altura del cono es el triple que la altura del cilindro. • ¿Qué debes encontrar? El volumen del cuerpo formado por el cilindro y el cono. Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Podemos calcular el volumen del cilindro y el del cono. Luego, sumamos ambos valores obtenidos para obtener el volumen del cuerpo que se forma. Resolver • Calculamos los volúmenes de cada cuerpo redondo: El volumen del cilindro es π • 62 • 12 = 3,14 • 36 • 12 = 1356,48 cm3 π • 62 • 36 3,14 • 36 • 36 El volumen del cono es = = 1356,48 cm3 3 3 Luego, sumamos los valores obtenidos: 1356,48 + 1356,48 = 2712,96 cm3 Responder • El volumen del cuerpo formado es 2712,96 cm3. Revisar • Para comprobar el resultado, puedes realizar la adición algebraicamente y, luego, remplazar los datos correspondientes. El volumen del cuerpo generado, considerando que la altura del cono (hco ) es el triple de la altura del cilindro (hci ), es decir, hco = 3 • hci , entonces: π • r 2 • hco 3 • π • r 2 • hci + π • r 2 • hco π • r 2 • hci + = 3 3 3 • π • r 2 • hci + π • r 2 • (3 • hci ) = 3 6 •π •r 2 • hci = = 2 • π • r 2 • hci 3 Remplazando, 2 • 3,14 • 36 • 12 = 2712,96 cm3 96 Unidad 3
  • 32. Unidad 3 1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones, donde los radios basales se mantienen en cada caso (considera π = 3,14). a) Sobre cada base de un cilindro recto de 8 cm de radio de la base y 15 cm de altura, se construye un cono circular recto, uno de altura 20 cm y el otro de altura el doble que el cilindro. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? b) Sobre la base de un cono circular recto de 6 cm de radio de la base y 10 cm de generatriz, se construye un cono circular recto cuya altura es la mitad del otro cono. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? c) Sobre la base superior de un cilindro recto de 5 cm de radio de la base y 4 cm de altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro. ¿Cuál es el área total del cono? d) Dentro de un cubo de arista 6 cm, se construye una pirámide recta de base cuadrada la cual coincide con una de las caras del cubo. ¿Cuál es el área total de la pirámide recta si su altura es 6 cm? 2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) ¿Cuál es el volumen del cuerpo redondo que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos 10 cm y 24 cm, alrededor del vértice que se observa en la figura? 24 cm 10 cm b) Si la arista del cubo mide 14 cm, ¿cuál es el volumen del espacio limitado entre la pirámide recta y el cubo? 14 cm Geometría y medición 97
  • 33. Conexiones Para finalizar NACIONAL Una técnica para obtener dibujos Existe una técnica para dibujar objetos de forma sencilla y rápida; esta técnica consiste en “envolver” el objeto con alguna figura o cuerpo geométrico, la cual se denomina encaje. En nuestro alrededor existen muchos objetos que podemos encajar en cubos, cilindros, conos y esferas, o bien, por combinaciones de ellas. En la imagen podemos observar que el árbol de Navidad es, básicamente, la combinación de un cilindro y un cono. Utilizando esta técnica podemos aproximar la medida que ocupa un cuerpo en el espacio, calculando el volumen de el o los cuerpos asociados al objeto. Fuente: www.purpuraplastika.org/libros/10.pdf (consultado en noviembre de 2009, biblioteca on line Púrpura Plástica (PPK), libros para consulta). Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Si el radio del cilindro que envuelve a la base del árbol navideño mide 20 cm y su altura mide 10 cm y, el radio del cono que envuelve al árbol mide 35 cm y su altura mide 1,5 m, ¿cuánto mide aproximadamente el volumen del árbol de Navidad? 2. Escojan un objeto (por persona) de su entorno que se pueda encajar en un cilindro, cono o cubo, o la combinación de estos. Dibújenlo y calculen su volumen aproximado. 3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. 4. ¿Cuál o cuáles cuerpos geométricos escogerían para dibujarse?, ¿por qué? Utilicen esta técnica para calcular el volumen de cada uno. Evaluamos nuestro trabajo 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respetó las opiniones de los demás integrantes. Cumplió con las tareas con las que se comprometió. Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo. 2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar? 98 Unidad 3
  • 34. Unidad 3 A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican las Síntesis relaciones que hay entre los conceptos. MEDICIONES FIGURAS PLANAS CUERPOS GEOMÉTRICOS • ARCO • CUERDA CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO CILINDRO, CONO Y PIRÁMIDE • SECANTE • TANGENTE PERÍMETRO ÁREA VOLUMEN Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué diferencias existen entre la circunferencia y el círculo?, ¿y qué semejanzas? 3. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?, ¿qué características tienen? 4. ¿Qué relación tiene el número π con la circunferencia? Da 3 ejemplos. 5. ¿Cómo calculas la longitud de una circunferencia?, ¿qué otra forma conoces? 6. ¿Cómo calculas la el área del círculo?, ¿qué otra forma conoces? 7. Explica cómo calcular el área de un cono y un cilindro. 8. ¿Qué datos necesitas para calcular el volumen de un cono recto?, ¿y de un cilindro recto? 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto. Geometría y medición 99
  • 35. ¿Qué aprendí? Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Considera π = 3,14, en todos los casos. 1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones 5. Si BC = 7 cm y AC = 11 cm, entonces, el área son correctas? de la corona circular es: I. Toda recta secante a una circunferencia A. 153,86 cm2 determina una cuerda. B. 329,7 cm2 II. Toda cuerda determina dos arcos de igual C. 50,24 cm2 C A B medida. D. 379,94 cm2 III. En una circunferencia, si radio mide 6 m, entonces, su diámetro mide 12 m. 6. En el rectángulo ABCD, AD = 5 cm, DC = 2 cm, A. Solo I C. I y III entonces, el área total del cilindro generado al B. Solo II D. I, II y III rotar el rectángulo respecto de AD es: 2. El número π se define como: A. 10 cm2 D C B. 87,92 cm2 A. la razón entre la longitud de una C. 75,36 cm2 circunferencia y su diámetro. D. 157 cm2 A B B. la razón entre la longitud de una circunferencia y su radio. C. la razón entre el diámetro de una 7. ¿Cuál es el volumen del cono generado al rotar circunferencia y su longitud. el triángulo rectángulo RST respecto de SR? D. la razón entre el radio de una circunferencia y su diámetro. A. 12,56 m3 R B. 47,1 m3 4m 5m 3. Si la longitud de una circunferencia es 53,38 m, C. 37,68 m3 entonces, su diámetro mide: D. 113,04 m3 S T A. 8,5 m B. 26,69 m C. 6,28 m 8. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y su D. 17 m altura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área total del cono recto? 4. Los polígono regulares de la figura están A. 1130,4 cm2 inscritos en la circunferencia de centro O. B. 2135,2 cm2 La mejor aproximación para el área del C. 816,4 cm2 círculo es: D. 62,8 cm2 A. 45,4 cm2 2,6 cm 4,2 cm B. 50 cm2 O 4 cm C. 46,8 cm2 D. 52 cm2 3,6 cm 100 Unidad 3
  • 36. Unidad 3 9. Laura necesita forrar un envase cilíndrico recto cuyo radio mide 6 cm y su altura mide 21 cm. Si solo forrara su cara lateral, ¿cuánto papel necesitará? 10. Tres albañiles pintarán el exterior de un estanque de almacenamiento de agua que tiene forma de cilindro, cuyas medidas son 20 m de diámetro y 15 m de altura. a) ¿cuál es el área que pintarán? b) Si cobran $ 860 por m2, ¿cuánto cobrarán por el trabajo completo? 11. La base de una pirámide regular es un hexágono cuyo perímetro es 60 cm, la apotema lateral mide 28 cm. Calcula el área de la base y el área total. 12. Si los radios de dos circunferencias están en la razón 1 : 3 y el radio menor mide 4 cm, responde: a) ¿cuál es la longitud de cada circunferencia? b) ¿cuál es el área de cada círculo?, ¿cuál es la razón entre sus áreas? Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. ¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación. No lo Lo Puedo entendí entendí explicarlo Circunferencia y círculo como lugar geométrico. Elementos de la circunferencia. Número π y su relación con la circunferencia. Longitud de la circunferencia. Área del círculo. Área del cilindro y cono. Volumen del cilindro y cono. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 73 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica. Geometría y medición 101
  • 37. 6 Unidad Funciones y relaciones proporcionales 164 Unidad 6
  • 38. En esta Unidad podrás... • Plantear ecuaciones que representan situaciones de la vida cotidiana, y analizarlas a través de tablas y gráficos. • Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y utilizarlos para representar variadas situaciones. • Distinguir entre variables dependientes e independientes en las funciones, e identificar el dominio y recorrido de estas. • Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional. • Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa e inversa. • Analizar y comparar situaciones que representan variaciones proporcionales y no proporcionales; uso de software gráfico en estos casos. • Resolver problemas que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad. Conversemos de... En la actualidad, el sedentarismo afecta a un gran porcentaje de la población, a pesar de que se ha demostrado que hacer deporte regularmente produce numerosos beneficios para la salud, tanto físicos como psicológicos: fortalece los huesos, previene la obesidad y la hipertensión arterial, ayuda a liberar tensiones, entre muchos otros. Incluso, se ha probado que las personas que practican ejercicio físico de forma regular, suelen vivir más que aquellas que no lo realizan. La fotografía muestra a Carlos; él se moviliza en bicicleta diariamente. Considerando que avanza en promedio a 21 km/h, piensa y responde. 1. Después de cinco horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer Carlos, si no se detiene y mantiene el mismo ritmo? 2. Si el trabajo de Carlos está a 31,5 km de su casa, y va en bicicleta, ¿cuánto demora aproximadamente en llegar al trabajo si no se detiene en ningún momento? 3. El fin de semana visitará a su hermana que vive a 84 km de su casa. Si va en bicicleta, ¿cuántas horas tardaría en llegar si no realiza detenciones?, ¿a qué hora llegaría a destino si comienza el viaje a las seis de la mañana? 4. ¿Existe alguna ecuación que permita representar la distancia que recorre Carlos en un determinado período de tiempo?, ¿cuál? Funciones y relaciones proporcionales 165
  • 39. ¿Cuánto sabes? 1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases. a) El triple de un número. b) El doble de la suma de 3 y –8 c) La tercera parte del doble de un número. d) La suma del cuarto de un número y el triple de otro número. e) El valor de n paltas a t pesos cada una. f) El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una. g) El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno. h) El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos. 2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de las siguientes figuras. a) b) c) s a+3 y t x a+3 r 3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste. 3 a) 4 + 10y – 8 = 2y + 12 d) z + 2 = 62 7 b) 3x – 6 = x + 2 e) 1,4 a – 0,72 = 11,28 – 0,6 a 2 2 c) 0,8x – 3 = 12 – 2,2x f) –3=5+ x 3 5 4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los números desconocidos. a) Si a un número le quito 27 se obtiene 77. b) La suma de un número y su antecesor es 49. c) La suma de tres números impares consecutivos es 177. d) Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del número aumentado en 12. 5. En un curso de cuarenta estudiantes, el 20% obtuvo nota igual o superior a 6,0 en una prueba; el 30% entre 5,0 y 5,9; el 35% entre 4,0 y 4,9, y el resto del curso obtuvo nota inferior a 4,0. a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 6,0? b) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron la prueba? c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota entre 4,0 y 5,9? 166 Unidad 6
  • 40. Unidad 6 6. Resuelve los siguientes problemas. Explica el procedimiento utilizado. a) Un padre tiene veintitrés años menos que su madre, y su hijo tiene 35 años menos que él. Si la suma de las tres edades es 168 años, ¿qué edad tiene cada uno? b) En un negocio, Matías y Josefa ganaron $ 155 000. Como no trabajaron de igual forma, el dinero será repartido en la razón 2 : 3. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno por el trabajo realizado? c) En un supermercado, todos los lunes se efectúa un descuento de 3% sobre la compra total. Si Carmen compró el lunes pasado la mercadería para el mes y pagó $ 44 232, ¿cuánto habría pagado sin el descuento? Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. ¿Qué debes recordar? • Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división. Ejemplo: a antecedente b consecuente • El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su 5 4 5 4 valor es el mismo. Ejemplo: es equivalente a , ya que = 0,5 y = 0,5. 10 8 10 8 • Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades a, b, c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien a = c y se lee “a es a b, como c es a d”. b d • En toda proporción se cumple que a = c , si y solo si a • d = b • c. b d • Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje es una razón cuyo consecuente es 100. • Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego, calcular el cociente. 4 • 400 Ejemplo: 100 = = 80% “4 representa el 80% de 5”. 5 5 • En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables diferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentado en el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y. • Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidos para los cuales se cumple la igualdad. Funciones y relaciones proporcionales 167
  • 41. Situaciones con dos variables Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400. El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500. Para discutir • ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación? • ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué? • ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los kilogramos de mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo? Ayuda En esta situación, si representamos con x cada kilogramo de mandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad de • En una ecuación se debe kilogramos de mandarinas que Tomás compró es: verificar que la solución obtenida sea correcta. kilogramo de 650x + 500 = 4400 gasto total mandarinas Por ejemplo: pimentón 5x + 5 = 2x + 20 / – 2x Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos: 3x + 5 = 20 /–5 3x = 15 /:3 650x + 500 = 4400 / – 500 x=5 650x = 3900 / : 650 Verificamos que la solución x=6 x = 5 es correcta remplazando: Por lo tanto, Tomás compró 6 kg de mandarinas. 5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 20 Por otro lado, si queremos saber cuánto costarán 9 kg de 30 = 30 mandarinas, podemos multiplicar el valor de cada kilogramo de mandarinas por 9, es decir, 650 • 9 = 5850, lo que significa que 9 kg • Si se trata de un problema, de mandarinas costarán $ 5850. Para saber el valor de 13 kg de además se debe verificar si la mandarinas calculamos 650 • 13 = 8450, entonces, costarán $ 8450. solución es pertinente. Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datos en una tabla o representarlos en un gráfico. 168 Unidad 6
  • 42. Unidad 6 Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos de mandarinas y su precio. Precio ($) Kilogramos de Precio mandarinas ($) 6000 1 650 • 1 = 650 5000 2 650 • 2 = 1300 4000 3 650 • 3 = 1950 4 650 • 4 = 2600 3000 5 650 • 5 = 3250 2000 6 650 • 6 = 3900 1000 7 650 • 7 = 4550 Kilogramos 8 650 • 8 = 5200 1 2 3 4 5 6 7 8 de mandarinas Para saber cuánto costarán 7 kg de mandarinas, podemos ver la tabla y conocer de inmediato el valor. En el caso del gráfico, para determinar cuánto costarán 5 kg de mandarinas, debemos ubicar Glosario en el eje de las abscisas el número 5, luego, en el punto que tiene eje de las abscisas: corresponde en dicho eje observamos qué valor le corresponde en el eje de las al eje horizontal o eje X. ordenadas. En este caso es 3250. eje de las ordenadas: corresponde al eje vertical o eje Y. No olvides que... • Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representar planteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión. • Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio de diversos registros, como una tabla o un gráfico. Actividades 1. Resuelve las siguientes situaciones planteando una ecuación, que en cada caso, permita resolver el problema. Luego, encuentra el valor de la incógnita. a) Manuel tiene x cantidad de dinero en un bolsillo, y el triple en el otro. Si en total tiene $ 6000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo? b) Marcela compró un ramo de flores por $ 8900 y 4 jarrones. Si el valor total de la compra es $ 14 700, ¿cuánto costó cada jarrón? c) En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. Si el perímetro es 72 cm, ¿cuánto mide cada lado?, ¿cuánto mide su área? Funciones y relaciones proporcionales 169
  • 43. 2. En uno de sus planes, una compañía de teléfonos celulares cobra $ 2,5 por segundo al realizar llamadas a cualquier compañía nacional y en cualquier horario. Camila, que tiene este plan, habló con su amiga Francisca (que tiene un celular de otra compañía) y gastó $ 900 en esa llamada. a) ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos minutos habló Camila con su amiga? Resuélvela. b) Si una llamada le costó $ 300, ¿cuántos minutos habló? c) Si Camila llama nuevamente a su amiga Francisca, ¿cuánto gastará si habla 3 minutos?, ¿y si habla 5 minutos? d) Completa la tabla que relaciona la cantidad de segundos hablados, y su respectivo costo. Segundos Precio ($) 1 2,5 10 60 90 180 300 e) Si a fin de mes habló 65 minutos a compañías nacionales, ¿cuánto pagará en total ese mes? f) Completa el siguiente gráfico, que relaciona los minutos hablados con el valor mensual del plan. Precio ($) 5000 4000 3000 2000 1000 Minutos hablados 5 10 15 20 25 30 35 g) Si Camila hablara 4 minutos y 12 segundos, ¿cuánto dinero gastaría? Analiza el gráfico anterior para responder. h) Francisca tiene un plan de otra compañía de teléfonos celulares. Los costos de su plan aparecen en la siguiente tabla: Cargo fijo ($) Minutos incluidos Valor del segundo adicional ($) 14 490 100 2 Si en un mes habla 200 minutos, ¿cuánto debería pagar? i) Si cada mes hablaras 180 minutos por teléfono celular, ¿qué plan sería más conveniente, el de Camila o el de Francisca?, ¿por qué? 170 Unidad 6
  • 44. Unidad 6 3. Sandra se encarga de los pedidos en una empresa de decoración. En una de las compras gastó $ 27 250, al adquirir un florero a $ 1250 y claveles rojos y blancos. Los primeros tienen un costo de $ 140, los segundos de $ 120. Compró la misma cantidad de claveles de cada color. a) ¿Cuántos claveles compró en total?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución? b) ¿Cuánto gastaría si comprara treinta claveles en total?, ¿y cuarenta? c) ¿Cuánto gastaría, incluyendo el florero, si comprara ochenta y seis claveles en total? d) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de claveles y el gasto asociado. Cantidad de claveles Precio ($) 2 260 4 12 20 30 50 80 114 e) Observa la tabla: ¿podría Sandra comprar siete claveles en el pedido realizado?, ¿y quince?, ¿cuánto gastaría? f) Completa el siguiente gráfico. Precio ($) 1500 1250 1000 750 500 250 Cantidad de claveles 2 4 6 8 10 12 g) Observa el gráfico y responde: ¿cuánto gastará Sandra en total si compra doce claveles y un florero que cuesta $ 1450 más que el anterior? Funciones y relaciones proporcionales 171
  • 45. Noción de función Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000, y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión de $ 35 000. Observa la tabla de valores: Cantidad de automóviles vendidos Sueldo recibido ($) 1 180 000 + 35 000 • 1 = 215 000 2 180 000 + 35 000 • 2 = 250 000 3 180 000 + 35 000 • 3 = 285 000 4 180 000 + 35 000 • 4 = 320 000 Para discutir • ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles durante un mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué? • Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?, ¿cuántas variables tiene? • ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?, ¿cómo lo supiste? Ayuda Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemos Recuerda que la expresión calcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000, algebraica 35 000x también es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos puede escribirse como 180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000. 35 000 • x. Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al vender x automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresión y = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e y de manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le corresponde un único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función. Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió $ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación: 530 000 = 180 000 + 35 000x / – 180 000 350 000 = 35 000 • x / : 35 000 10 = x Por lo tanto, ese mes vendió diez automóviles. 172 Unidad 6
  • 46. Unidad 6 No olvides que... • Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. • Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con una ecuación, una tabla de valores o un gráfico. Actividades 1. Construye, en tu cuaderno, un gráfico que represente la situación descrita en la página anterior. 2. Determina, en cada caso, si la relación entre las variables corresponde o no a una función. Justifica tus respuestas. a) Un número natural y su opuesto aditivo. b) Los sabores preferidos de helado por los integrantes de un curso. c) La longitud del lado de un cuadrado y su área. d) La cantidad de respuestas correctas en una prueba y la nota final obtenida. 3. Andrea compara los planes que le ofrece una compañía de telefonía celular. Tarifas Cargo fijo Minutos incluidos en el plan Valor minuto adicional Plan A 9490 60 220 Plan B 12 990 80 160 Plan C 14 490 100 120 a) Completa la tabla con los valores que debería pagar en cada caso, según la cantidad de minutos que va a utilizar. Minutos 60 80 100 120 150 Costo plan A 9490 Costo plan B 12 990 Costo plan C 14 490 b) Si Andrea hablara 80 minutos, ¿qué plan le convendría?, ¿y si hablara 120?, ¿por qué? c) Si x representa la cantidad de minutos no incluidos en el plan, ¿qué función representa el monto y de la cuenta de telefonía celular en cada caso? Funciones y relaciones proporcionales 173
  • 47. Variables dependientes e independientes En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una. Observa y completa la siguiente tabla. Cantidad de empanadas Precio ($) 1 850 • 1 = 850 2 3 4 5 6 Para discutir • ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa la variable x y la variable y, en este caso? • ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste? • ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas? Después de completar la tabla de la situación presentada, podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100, ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica que modela esta situación es: y = 850x, o bien f (x) = 850x donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e y representa el valor total a pagar por las empanadas compradas. Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que, para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien f (19) = 850 • 19 = 16 150. Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien f (32) = 850 • 32 = 27 200. 174 Unidad 6
  • 48. Unidad 6 Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio. Precio ($) 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 Cantidad de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 empanadas En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas) se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas). Además, el valor total de las empanadas compradas depende de la cantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y depende del valor de la variable x. No olvides que... • Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación tal que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende del valor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente. • Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente se representan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas. • La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”. Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000 x, también se puede escribir como f x = 150 000 + 25 000x. Actividades 1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente. a) El volumen de un cubo y su arista. b) Un número y su sucesor. c) La cantidad de kilogramos de pan y el precio total. Funciones y relaciones proporcionales 175
  • 49. 2. Las entradas para asistir a un concierto de hip hop tienen un valor general de $ 10 500. a) ¿Cuál es el precio de siete entradas?, ¿y de doce? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente? d) Completa la siguiente tabla según corresponda. x 1 3 7 10 12 20 y e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación. 3. Observa los valores de la siguiente tabla y complétala. Lado del cuadrado (cm) 2 3 4 5 6 Perímetro del cuadrado (cm) 8 a) Si el lado del cuadrado mide 9 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿y si mide 15 cm? b) ¿Cuál es la función que representa esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? 4. El maestro Camilo pinta todo tipo de muros. Él cobra $ 5000 por metro cuadrado pintado y $ 6800 por la evaluación en terreno del trabajo antes de realizarlo. a) Completa la siguiente tabla que relaciona los metros cuadrados por pintar y el costo completo del trabajo. m2 1 2 3 4 5 6 Total a pagar b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?, ¿por qué? d) Si el maestro Camilo no cobrara por la evaluación y pidiera $ 6000 por metro cuadrado pintado, ¿cuál es la función que representa esta situación? Muéstrala en un gráfico. 5. Observa en el siguiente gráfico, la relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro. a) ¿Cuál es la variable dependiente? Perímetro (cm) ¿y la independiente? 20 b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa 15 esta situación? c) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 42 cm, 10 ¿cuánto mide cada uno de sus lados?, ¿por qué? 5 Lado triángulo 1 2 3 4 5 equilátero (cm) 176 Unidad 6
  • 50. Unidad 6 6. Consuelo hace clases particulares a domicilio. Completa la siguiente tabla con el dinero que Consuelo puede reunir durante un mes. Cantidad de 1 4 6 16 clases Dinero 4500 40 500 54 000 reunido ($) a) ¿Cuánto dinero reúne Consuelo en seis clases?, ¿y en dieciséis? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? d) Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente. En equipo En esta actividad deberán utilizar palitos de fósforo para formar triángulos. Formen grupos de cuatro integrantes y sigan las instrucciones. 1. Formen un triángulo con tres palitos de fósforo. 2. Luego, con dos palitos más formen dos triángulos, como se observa en la figura. Un triángulo Dos triángulos 3. Con dos palitos más formen tres triángulos, con dos más cuatro triángulos y así, vayan agregando dos palitos más para formar un triángulo más cada vez. 4. Según lo obtenido, comenten y respondan: a) ¿Qué tipo de triángulos son los que se forman?, ¿por qué? b) En una tabla anoten la cantidad de triángulos que se forman y la cantidad de palitos utilizados en cada caso, ¿qué observan? c) ¿Cuántos palitos son necesarios para formar siete triángulos?, ¿y veinte?, ¿y ciento tres?, ¿por qué? d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? e) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? Funciones y relaciones proporcionales 177
  • 51. Dominio y recorrido Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la siguiente tabla. Cantidad de cajas 8 10 12 16 20 30 Cantidad de 20 16 13,3 10 8 5,3 alfajores por caja Para discutir • ¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué? • ¿Cuál es la función que modela esta situación? • ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? • ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué? Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamente en las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamos que no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría que partir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad. 160 Luego, la función que modela esta situación es y = , donde la x variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso, los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos. Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar la variable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160. El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de la función y son todos aquellos valores que la variable independiente x puede tomar. En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores del dominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1. Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todos aquellos valores que toma la variable dependiente y. Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función f (x) = 160 son: x Dom ( f ) = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160 Rec ( f ) = {160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1} 178 Unidad 6
  • 52. Unidad 6 No olvides que... • Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que la variable independiente x puede tomar en la función f . • Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar los valores del dominio en la función f . Actividades 1. Entre dos ciudades hay una distancia de 360 km. Construye una tabla de valores que relacione la rapidez constante y el tiempo que emplearían diversos automóviles en recorrer esta distancia, considerando que la rapidez máxima es de 120 km/h. A partir de la tabla, determina el dominio y el recorrido de la función. 2. El valor general de las entradas para asistir a un teatro es de $ 4500 y su capacidad máxima es para ciento cincuenta personas. a) ¿Cuánto dinero se recauda si asisten ochenta y seis personas?, ¿y si van ciento treinta y tres? b) ¿Cuál es la función que determina esta situación? c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? d) Determina el dominio y recorrido de esta función. 3. Romina tiene trescientos caramelos que reparte entre los niños del barrio, entregándoles la misma cantidad de dulces a cada uno. a) ¿Cuántos caramelos les regala a cada niño si son quince?, ¿y a veinticinco? b) Determina la expresión algebraica que representa esta situación. c) Si uno de los niños recibe cinco dulces, ¿a cuántos niños les repartió los caramelos? d) Determina el dominio y recorrido de esta función. 4. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los ángulos agudos se puede representar por la función y = 90 – x. a) ¿Qué representa la variable independiente x en este caso? b) ¿Qué valores puede tomar la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué? c) ¿Qué sucede con el ángulo x si el triángulo es isóceles? d) Construye en tu cuaderno una tabla que represente esta situación. Funciones y relaciones proporcionales 179
  • 53. Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones, determinar la expresión algebraica asociada y observar su dominio y recorrido. Gráfico de una función en Excel 1º En la columna A escribe el doble de los siete primeros números naturales, en orden creciente, es decir, en la celda A1 escribe el doble de 1, en A2 el doble de 2, en A3 el doble de 3, así sucesivamente, hasta A7. 2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación: 3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”. 4º En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”. 5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla, como el que aparece a continuación: 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6º Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Relación entre un número natural y su doble. Luego de desarrollar los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades. a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al gráfico anterior?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? b) En una nueva planilla de cálculo, escribe el área de seis cuadrados, cada uno tiene como medida de sus lados un número natural (en cm), partiendo desde 1 hasta 6, en orden creciente. Luego, sigue nuevamente los seis pasos y responde las preguntas anteriores. c) En el almacén de don Luis se venden masticables a $ 40 cada uno. • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? • Sigue los seis pasos anteriores para graficar esta función, en una nueva planilla de cálculo. • ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? • ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? • ¿Cuánto costarán diecisiete masticables?, ¿por qué? 180 Unidad 6
  • 54. Unidad 6 Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2. 1. En una florería, cada rosa vale $ 1200. Si x representa la cantidad de rosas de un ramo e y su costo, ¿cuál es la función que representa el precio de un ramo de rosas? 1200 A. y = 1200 B. y = 1200 + x C. y = 1200x D. y = x 2. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta? A. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente. B. Si el dominio de la función y = 3x corresponde al conjunto de los números naturales, el recorrido está compuesto por los divisores de tres. C. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. D. La relación entre un número natural y su doble es una función que algebraicamente se representa como y = 2x. 3. La función y = 130x representa el dinero (y) que se recauda en un día según la cantidad (x) de sopaipillas vendidas en una panadería. a) Si un día contabilizaron $ 12 610, ¿cuántas sopaipillas se vendieron? b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? c) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste. d) Grafica esta función en tu cuaderno. 4. ¿Puedes determinar una expresión algebraica que modela los valores de la siguiente tabla? x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 7 9 11 13 15 17 Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio Ítem Respuestas correctas Reconocer la función que representa una situación dada. 1 Analizar la veracidad de afirmaciones asociadas a funciones. 2 Resolver un problema que requiere analizar una función. 3 Analizar una función escrita en tabla y escribirla algebraicamente. 4 ¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Funciones y relaciones proporcionales 181
  • 55. Variaciones proporcionales y no proporcionales Marisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuenta de que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no se ve igual que la fotografía original. Completa la tabla. Fotografía original (1) Fotografía 2 Fotografía 3 Razón entre Largo (cm) Ancho (cm) largo y ancho Fotografía (1) 4 2 Fotografía (2) 6 2 Fotografía (3) 6 3 Para discutir • ¿Cuál es el valor de la razón en cada caso? • ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las fotografías forman una proporción?, ¿por qué? • ¿Cuál es la fotografía “distorsionada”?, ¿por qué? En la situación presentada, al calcular el valor de la razón de la fotografía original, de la fotografía 2 y de la fotografía 3, obtenemos 2, 3 y 2, respectivamente. Notemos que en la fotografía Glosario original y en la fotografía 3 el valor de la razón se mantiene constante: es un valor de tipo constante, por lo tanto, la fotografía 3 está correctamente permanente, que no se modifica, ampliada; en este caso, diremos que las fotografías 1 y 3 son en una situación dada. proporcionales, mientras que las fotografías 1 y 2 no son proporcionales, ya que sus razones no forman una proporción, es decir, la fotografía 2 es la que se ve distorsionada. 182 Unidad 6
  • 56. Unidad 6 No olvides que... • Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variables son proporcionales. Actividades 1. Mide el largo y ancho de las siguientes fotografías y determina si son proporcionales a la fotografía original. Fotografía original a) c) b) 2. Un padre tiene 40 años de edad y su hijo, 20 años. Completa la siguiente tabla y, luego, responde. Tiempo transcurrido en años 1 5 10 15 Padre 41 Hijo 21 • ¿La edad del padre y la del hijo son proporcionales a medida que transcurren los años?, ¿por qué? 3. Observa los datos respecto de la temperatura de un paciente en un día cualquiera. Hora (h) 8 9 10 11 12 13 14 Temperatura (ºC) 37,5 37 38 38,5 39 37,5 38 a) ¿Cuáles son las variables que intervienen? b) Estas variables ¿son proporcionales o no proporcionales?, ¿por qué? c) Construye el gráfico correspondiente. Funciones y relaciones proporcionales 183
  • 57. Relación de proporcionalidad directa En una ciudad del país, el valor de un boleto de locomoción pública cuesta $ 430. El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la relación entre la cantidad de boletos vendidos y el precio. Completa la tabla. Cantidad Total por pagar Precio ($) de boletos ($) 2000 1 430 • 1 = 430 1500 2 430 • 2 = 860 3 1000 4 500 5 Cantidad 6 1 2 3 4 5 de boletos 7 Para discutir • ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por veinticuatro? • ¿Cuál es la función que modela esta situación? • ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?, ¿cuál es su dominio y recorrido? • ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos vendidos?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es siempre el mismo? La situación presentada se puede modelar mediante la función f (x) = 430x. En este caso, el precio total (variable y) depende de la cantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto, el total corresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a la variable independiente. Además, dado que se trata de cantidad de boletos, podemos notar que los valores que puede tomar la variable x, son el conjunto de los números naturales, es decir, Dom ( f ) = y los valores que resultan al remplazar los números naturales en la función son múltiplos de 430, es decir, Rec ( f ) = 430, 860, 1290, 1720, … . Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular el valor de la función para x = 5, remplazando obtenemos: f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150. Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletos calculamos f (24) = 430 • 24 = 10 320, es decir, se pagará $ 10 320. 184 Unidad 6
  • 58. Unidad 6 En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos vendidos es constante, ya que, 430 860 1290 = = = 430. 1 2 3 En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta forma, es decir, si el valor de la razón y es constante, las variables x son directamente proporcionales. Además, notemos que, en este ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero debemos pagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa si una de las variables aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma razón. No olvides que... • Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son directamente proporcionales si el valor de la razón y es constante, es decir, y = k, donde k es la constante x x de proporcionalidad. • Esta relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que al unirlos pertenecen a una misma recta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas. • En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra también aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuye en un mismo factor. Actividades 1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional. Justifica tus respuestas. a) El número de hojas de un libro y su peso. b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro. c) Las longitudes de los lados de un triángulo y su área. d) El precio de las entradas para ir al cine y la cantidad comprada. e) El número de trabajadores y los días que demoran en terminar su trabajo. f) La longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro. Funciones y relaciones proporcionales 185
  • 59. 2. En los días de calor, el dueño de un kiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla con los posibles pedidos. Complétala. Cantidad de helados 1 2 5 8 12 17 Precio ($) 360 a) ¿Cuál es la razón entre el precio y la cantidad de helados?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio? c) ¿Cuánto costarán dieciocho helados?, ¿y treinta y cinco?, ¿por qué? d) Completa el gráfico de esta función. Precio ($) 2000 1600 1200 800 400 Cantidad de helados 1 2 3 4 5 6 7 3. Observa el rectángulo. Luego, completa la tabla y el gráfico correspondiente y responde. 3x x Perímetro Perímetro (y) x 3x rectángulo (y) 40 1 30 2 3 20 4 10 5 Ancho (x) 1 2 3 4 5 a) ¿Qué sucede con el perímetro a medida que x aumenta?, ¿y si disminuye? b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? Explica cómo la encontraste. 186 Unidad 6
  • 60. Unidad 6 4. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en un tiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo. Distancia (km) Trayectoria de 2 autos 120 110 Tiempo (h) Distancia (km) 100 1 30 90 80 70 60 50 Tiempo (h) Distancia (km) 40 30 20 2 80 10 0 Tiempo (h) 1 2 3 a) Completa las tablas según el gráfico. b) ¿Cuál de los dos autos va más rápido?, ¿por qué? c) ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km? d) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde? e) ¿A qué distancia del punto inicial se encontrará el auto verde en 10 horas más? f) ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km? g) ¿Cuál es la función que representa la distancia recorrida por el auto rojo?, ¿y la del auto verde? En equipo Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones. 1. En esta actividad deberán buscar información en diversas fuentes para completar y responder las siguientes preguntas. a) Los trenes del Metro de Santiago viajan con una rapidez promedio de por hora entre cada estación. b) Si la distancia desde Santiago a Talca es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones? c) Si la distancia desde Valparaíso a Temuco es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones? d) Si el Metro logró llegar a su destino en 2,8 horas, ¿cuántos kilómetros recorrió aproximadamente sin considerar las detenciones? Funciones y relaciones proporcionales 187
  • 61. Relación de proporcionalidad inversa Nº de días Para terminar la construcción de un edificio, el ingeniero a cargo ha 70 calculado que con diez obreros igualmente calificados y trabajando en las mismas condiciones, termina la obra en treinta días. 60 El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la 50 relación entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio. Completa la tabla. 40 30 20 Número de 5 10 20 30 50 obreros 10 Número de 30 6 Nº de obreros días 10 20 30 40 50 Para discutir • ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y trabajaran todos al mismo ritmo?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿y si contratara a la mitad de obreros considerados inicialmente? • ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio?, ¿es constante? • ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio y su recorrido? En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinte obreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues al duplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían la mitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contrataran a cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar el trabajo, ya que como corresponden a la mitad de los considerados inicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo. Notemos que la variable independiente x es el número de obreros y la variable dependiente y es el número de días. Observa que, el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio es constante, pues 5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300. En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta forma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables son inversamente proporcionales. 188 Unidad 6
  • 62. Unidad 6 Por otro lado, notemos que si aumenta la cantidad de obreros, disminuye la cantidad de días que demoran en realizar el trabajo en la misma razón y, si la cantidad de obreros disminuye, aumenta la cantidad de días que tardarán en realizar la obra en la misma razón. 300 Luego, la función que modela esta situación es y = , donde x x corresponde al número de obreros y son números naturales e y corresponde a los días, por lo que son números naturales también. Los valores que puede tomar la variable x son números naturales divisores de 300, es decir, Dom ( f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, …, 300 y los valores que resultan al remplazar estos números corresponden al recorrido de la función, es decir, Rec ( f ) = 300, 150, 100, …, 2, 1 . No olvides que... • Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, están en proporción inversa cuando el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x • y = k, donde k es la constante de proporcionalidad. • Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma y = k . La representación gráfica de esta función son puntos que al unirlos pertenecen a una x curva, llamada hipérbola. • En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor. Actividades 1. Indica si las siguientes variables son inversamente proporcionales. Justifica tus respuestas. a) La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetro b) El número de días que tardan en realizar un trabajo un cierto número de secretarias. c) El número de dulces del mismo tipo que compro y lo que pago por ellos. d) La rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre. e) Litros de bencina del estanque de un automóvil y los kilómetros que rinde. f) El caudal de una llave y el tiempo que se demora en llenar un estanque. Funciones y relaciones proporcionales 189
  • 63. 2. El 8º A irá a una ciudad del sur de Chile como gira de estudios. Los apoderados quieren que el lugar de destino sea sorpresa y la única información que les dan es que si el bus va a 80 km/h, tardarían 6 horas en llegar al lugar. a) ¿A qué distancia se encuentran de esta ciudad? b) Completa la siguiente tabla que indica la rapidez posible del vehículo y el tiempo que tardarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. Completa el gráfico correspondiente. Rapidez (km/h) 120 Tiempo (h) Rapidez (km/h) 100 4 80 6 80 60 60 40 10 20 12 0 Tiempo (h) 2 4 6 8 10 12 14 16 c) ¿Cuál es la función que relaciona la rapidez y el tiempo, en este caso?, ¿cuál es su dominio? d) ¿A qué rapidez debe ir el vehículo para tardar 5 horas en llegar? e) Si el vehículo fuese a una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino? f) Si la rapidez promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una persona en realizar el mismo viaje? g) Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes? 3. En cada caso, completa la tabla, explica por qué las variables están inversamente relacionadas, determina la función que las modela y construye el gráfico en tu cuaderno. a) El área de un rectángulo es 6 cm2. base (cm) 1 1,5 2 3 4 6 Área 6 cm2 altura (cm) b) Un tren debe recorrer 600 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardará si lleva una rapidez constante? Rapidez constante (km/h) 40 50 60 100 120 Tiempo (h) 6 c) Un panadero elaboró 144 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. ¿Cuántas cajas podría armar según la cantidad de alfajores que se indican en la tabla? Cantidad de alfajores por caja 6 12 18 24 Cantidad de cajas 190 Unidad 6
  • 64. Unidad 6 4. Descubre qué tablas expresan funciones de proporcionalidad inversa y cuáles directa. En cada caso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponde. Luego, escribe la función que modela los datos en cada tabla. x y x y x y x y 4 5 7 21 3 525 3 8 2 10 2 6 5 875 6 4 1 20 10 30 2 350 12 2 0,5 40 0,5 1,5 10 1750 1 24 k= k= k= k= 5. Resuelve en tu cuaderno y, luego, completa la tabla. Tipo de Función que la Respuesta al Problema proporcionalidad representa problema Quince máquinas iguales hacen su trabajo en cinco días. ¿Cuántas máquinas se necesitan para hacer el trabajo en un día? Una persona acumula en promedio 1 kg de basura diaria. ¿Cuántos kilogramos juntará en diez días? Si van doce niños a un campamento, los alimentos durarán seis días. Si todos comen la misma cantidad, ¿cuántos días durará la comida si van seis niños más? Dos ciclistas demoran cuatro horas en llegar a la playa viajando con una rapidez de 30 km por hora. ¿Con qué rapidez tendrían que viajar para tardar tres horas? La impresora de un colegio reproduce cincuenta y cuatro informes de notas en tres minutos. ¿Cuántos informes imprime en cinco minutos? Funciones y relaciones proporcionales 191
  • 65. Herramientas tecnológicas Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones de proporcionalidad directa e inversa. Gráfico de funciones proporcionales y no proporcionales 1º Para graficar la función que representa la relación entre un número natural y su triple, en la columna A escribe los primeros seis valores del recorrido de la función, es decir: 3, 6, 9, 12, 15 y 18. 2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación: 3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego la opción “Gráfico”. En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”. 4º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que aparezca en la planilla un gráfico como el siguiente: 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 Luego de realizar los pasos anteriores: a) Grafica la función que representa la relación entre un número natural y su sucesor. b) Grafica la función que representa la relación entre un grupo de amigos que están de vacaciones y la cantidad de días que les alcanzará el alimento, considerando que para tres personas el alimento alcanza cuatro días y todos los días consumen la misma cantidad. c) Escribe función que modela cada situación. d) ¿Cuál es el dominio de cada función anterior?, ¿y su recorrido? e) En las funciones anteriores ¿las variables se relacionan en forma proporcional? Explica. f) ¿Qué semejanzas observas en los gráficos de cada función?, ¿y qué diferencias? g) ¿Alguna de las situaciones anteriores no representa una variación proporcional?, ¿cuál?, ¿por qué? 192 Unidad 6
  • 66. Unidad 6 Mi progreso Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. La cantidad de kilogramos de pan y su costo son proporcionales a medida que aumenta la cantidad de pan. B. En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta la otra también aumenta. C. La edad de Juan (12) y su hermano Luis (15) son proporcionales a medida que transcurren los años. D. En una función de proporcionalidad inversa el producto entre las variables es constante. 2. Carlos viajó a la costa la semana pasada. Tardó dos horas en llegar al destino viajando a 100 km/h durante todo el trayecto. ¿Cuánto hubiese demorado si fuera a 80 km/h durante todo el viaje? A. 2 h y 5 m B. 4 h C. 2 h y 50 m D. 2 h y 30 m 3. La función que relaciona el tiempo y la rapidez en la pregunta anterior es: 200 x A. y = B. y = C. y = 200x D. y = 2 • 100 x 200 4. Laura hará un queque para quince personas, usando una receta que necesita cinco huevos. a) Si usa esta receta, ¿cuántos huevos necesitará para hacer un queque para veintiún personas? b) ¿Qué función representa esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido? c) Construye el gráfico que representa esta situación. Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde. Criterio Ítem Respuestas correctas Analizar afirmaciones relacionadas con magnitudes proporcionales 1 y no proporcionales. Analizar una situación de proporcionalidad inversa. 2 Reconocer una función de proporcionalidad inversa escrita en 3 lenguaje algebraico. Resolver un problema sobre función de proporcionalidad directa. 4 ¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañera la estrategia utilizada. Funciones y relaciones proporcionales 193
  • 67. Buscando estrategias En una distribuidora de productos al por mayor se venden cajas de galletas según la siguiente regla: la primera caja cuesta $ 5000, la segunda cuesta $ 100 menos, la siguiente cuesta $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente, con un límite de veinticinco cajas. Si Diego compra veinte cajas de galletas, ¿cuánto pagó por la última caja? Comprender • ¿Qué sabes del problema? Que la primera caja cuesta $ 5000, la segunda $ 100 menos, la tercera $ 100 menos que la anterior, y así sucesivamente. • ¿Qué debes encontrar? El costo de la vigésima caja, si se sigue la regla. Planificar • ¿Cómo resolver el problema? Para resolver el problema encontraremos la expresión algebraica que modela esta situación. Es conveniente construir una tabla de valores, a modo de observar el comportamiento de la función, para así encontrar una expresión algebraica que la represente y, finalmente, evaluar la función en el valor pedido (20) para responder a la pregunta. Resolver • En la siguiente tabla se muestran algunos valores para cada caja de galletas y el monto por pagar: Cajas de galletas 1 2 3 4 5 6 Costo de la caja ($) 5000 4900 4800 4700 4600 4500 Luego, podemos escribir la función que representa el costo de una caja, considerando cuántas ya se han comprado: y = 5000 – 100(x – 1) donde x es la cantidad de cajas de galletas, e y es el costo de la caja. Finalmente, evaluamos la función en x = 20 y obtenemos: y = 5000 – 100(20 – 1) = 5000 – 100 • 19 = 3100 Responder • El valor de la vigésima caja, si se sigue la regla, es de $ 3100. Revisar • Para comprobar que la vigésima caja tiene un costo de $ 3100, podemos completar la tabla hasta la caja número 20. 194 Unidad 6
  • 68. Unidad 6 1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones. a) Claudia solicitó un crédito para comprar una camioneta para su taller. Si el monto total del crédito es de $ 3 600 000, y lo cancelará en 36 cuotas iguales, ¿cuál es el monto total después de pagar la octava cuota?, ¿y la cuota número 25?, ¿cuál es la función que representa esta situación? b) María Elena compró un saco de 20 kg de cebollas en la vega. Si cada día utiliza 400 g en las distintas recetas que prepara, ¿cuánta cebolla le queda después de dos semanas?, ¿cuál es la función que representa esta situación? c) Un veterinario cobra $ 7000 por realizar un aseo completo a un perro. Si se asean más perros, se efectúa el siguiente descuento: el segundo $ 350 menos, el tercero $ 350 menos que el anterior, y así se sigue esta regla sucesivamente hasta el décimo perro. Si Manuel llevó a asear a sus ocho perros: • ¿cuánto pagó por el octavo perro?, ¿y cuánto pagó en total? • ¿cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? • ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido? 2. Ahora, resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución. Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras. 3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara el procedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a) Carolina tiene una deuda con su amiga Beatriz. Acordaron que Carolina le pagaría en doce cuotas de la siguiente forma: el primer mes abonaría $ 9000, el segundo $ 700 más, el tercero $ 700 más que el mes anterior, y así sucesivamente hasta saldar la deuda completa. • ¿Cuánto canceló Carolina el séptimo mes?, ¿y el décimo? • ¿Cuánto debe en total Carolina a su amiga? • ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación? b) En una fábrica de empanadas compran 5 kg de aceitunas semanalmente para su elaboración. La semana pasada utilizaron 800 g diarios de aceitunas. ¿Cuántas aceitunas quedaron, si fabrican empanadas de lunes a sábado? Funciones y relaciones proporcionales 195
  • 69. Conexiones Para finalizar NACIONAL Día Mundial sin Tabaco La adicción al tabaco es una enfermedad crónica, considerada por la Organización Mundial de la Salud (OMS) como la causa principal de enfermedades, invalidez y mortalidad prematura a nivel mundial. Además, no solo afecta a los fumadores, sino que a aquellas personas que están cerca de un fumador y respiran el mismo aire (los fumadores pasivos). En Chile, el 17% de las muertes que cada año ocurren se atribuyen al consumo de tabaco. La OMS ha establecido el 31 de mayo como el Día Mundial sin Tabaco y nuestro país no está ajeno a esta cruzada, en la que se llama a tomar Gentileza MINSAL. conciencia para frenar su consumo, pues ha alcanzado niveles alarmantes, situándonos como el país con la población más fumadora de la región: en promedio ocho cigarrillos diarios (Estadísticas de consumo de tabaco en Chile). Fuentes: Ministerio de Salud, www.redsalud.gov.cl/noticias/noticias.php?id_n=449&show=5-2009 , publicada el 29 de mayo de 2009. Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes. 1. Consideren la cantidad promedio de cigarrillos que fuma una persona chilena y, luego, respondan. a) ¿Cuántos cigarrillos fumará una persona en un año?, ¿y en ocho años?, ¿cuáles son las consecuencias de fumar por largos períodos de tiempo? b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido? 2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser la solución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos. 3. Averigüen qué programas o actividades se han realizado este año en nuestro país para promover la vida sana libre del tabaquismo. Evaluamos nuestro trabajo 1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla, escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas. Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3 Respetó las opiniones de los demás integrantes. Cumplió con las tareas comprometidas. Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo. 2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo? 196 Unidad 6
  • 70. Unidad 6 A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principales conceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace. Síntesis SITUACIONES CON DOS VARIABLES FUNCIONES VARIABLES DEPENDIENTES VARIABLES INDEPENDIENTES VARIACIONES PROPORCIONALES VARIACIONES NO PROPORCIONALES DIRECTA INVERSA Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde. 1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cómo reconoces una función?, ¿cuáles son sus características?, ¿cómo se expresa una función en lenguaje algebraico? 3. ¿Qué diferencias hay entre variables dependientes e independientes?, ¿y qué semejanzas? 4. ¿Qué caracteriza al dominio de una función?, ¿y al recorrido? 5. ¿Cuándo las variables se relacionan proporcionalmente?, ¿y cuándo no son proporcionales? 6. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad directa? Da un ejemplo. 7. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad inversa? Da un ejemplo. 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto. Funciones y relaciones proporcionales 197
  • 71. ¿Qué aprendí? Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. 1. En una librería, el precio de cada cuaderno es 5. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es de $ 890. La función que relaciona la cantidad proporcional? de cuadernos y su costo es: A. Distancia recorrida y tiempo utilizado A. y = 890 + x (a velocidad constante). B. El peso de una mochila y la cantidad de B. y = 890 x cuadernos que lleva dentro. C. y = 890 – x C. El lado de un cuadrado y su área. D. y = 890x D. La velocidad de un automóvil y el tiempo utilizado. 2. ¿Cuál de las siguientes situaciones no corresponde a una función? 6. En una chocolatería, el precio de un tipo de bombón es de $ 220 la unidad. ¿Cuál es la A. Un número natural y su mitad. variable dependiente? B. La cantidad de pasajes de metro comprados y su costo. A. La cantidad de bombones. C. Los kilómetros recorridos por un automóvil B. El precio a pagar por los bombones. (va a velocidad constante) y el tiempo C. El tipo de bombón. que tarda . D. La cantidad de bombones y su costo. D. Los deportes que practican los integrantes de un curso. 7. El sueldo fijo mensual de un vendedor de computadores es $ 150 000 más una comisión 3. Si cinco pintores logran pintar una casa en de $ 9000 por unidad vendida. ¿Cuál de las cuatro días, ¿cuántos días se demoran siguientes expresiones algebraicas representa diez pintores? el sueldo del vendedor? A. Dos días. A. y = 150 000x + 9000 B. Veinte días. B. y = 159 000 + x C. Cuarenta días. C. y = 9000x + 150 000 D. Ocho días. D. y = 159 000x 4. En la función: “el doble de un número natural”, 8. Si 1200 g de mermelada se pueden envasar ¿cuál es el recorrido? en seis frascos de 200 g. ¿Cuántos frascos de 150 g se necesitan para envasar 1200 g de A. Rec ( f ) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … mermelada? B. Rec ( f ) = 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … C. Rec ( f ) = 2, 4, 6, 8 A. Ocho frascos. D. Rec ( f ) = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … B. Treinta y tres frascos. C. Cincuenta frascos. D. Trece frascos. 198 Unidad 6
  • 72. Unidad 6 9. Los valores x e y de la tabla representan una función de proporcionalidad directa. Completa con los valores que faltan y construye en tu cuaderno un gráfico. • ¿Cuál es la expresión algebraica que x 1 16 32 representa esta situación? y 5 10 320 10. El gráfico representa la relación entre la Tiempo (días) cantidad de secretarias y el tiempo que se 120 demoran en organizar un archivo (días), 100 trabajando todas en igualdad de condiciones 80 y la misma cantidad de tiempo. 60 40 a) ¿Qué tipo de función representa 20 el gráfico?, ¿por qué? Cantidad de 1 2 3 4 5 6 secretarias b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. ¿Qué logré? 1. Marca según tu apreciación. No lo Lo Puedo entendí entendí explicarlo Análisis de relaciones entre variables. Noción de función. Variables dependientes e independientes. Dominio y recorrido. Variaciones proporcionales y no proporcionales. Relación de proporcionalidad directa. Relación de proporcionalidad inversa. Resolución de problemas. 2. Reflexiona y responde. a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste? b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué? c) Vuelve a la página 165 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”, ¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica. Funciones y relaciones proporcionales 199