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Interpretación de gráficos<br />LF 100         Lic. Marlon Recarte <br />1<br />
Al hacer un grafico se deben tomar en cuanta ciertas cosas<br />Los gráficos se hacen en papel milimetrado<br />Selecciona...
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Existen muchas relaciones entre variables,  algunos ejemplos son:<br />4<br />1.Relación lineal<br />Es aquella cuya grafi...
Relación lineal<br />En este tipo, la relación entre las variables es:<br />Donde al número m se le conoce como pendiente ...
b es el punto sobre el cual la gráfica corta al eje y<br />b<br />6<br />
(x2, y2) <br />Δy = y2-y1<br />(x1, y1) <br />θ<br />Δx = x2-x1<br />Lo anterior indica que para encontrar la pendiente se...
2.Relación cuadrática<br />También es conocida como parábola, la relación entre las variables tiene la forma<br />b<br />b...
3.Relación inversa<br />También es conocida como hipérbola, la relación entre las variable tiene la forma<br />Esta grafic...
Ajuste de curvas<br />10<br />
Supongamos que tenemos una serie de mediciones<br />Deseamos determinar la relación entre variables que mejor se ajusta a ...
Al graficar<br />12<br />
Supongamos que una relación lineal es la que mejor se ajusta a los datos .<br />Obviamente una recta no pasará por todos l...
Tracemos varias rectas y veamos la separación entre la recta y los puntos que no están en la recta (errores)<br />Primer a...
Segundo ajuste <br />15<br />
Tercer ajuste <br />16<br />
Cuarto ajuste <br />17<br />
Quinto ajuste <br />18<br />
¿Cuál de los ajustes es mejor?<br />Eso dependerá de la visualización de la persona, pero vemos que  los  mejores ajustes ...
Debemos tener claro que al calcular la pendiente se deben tomar los puntos que estén en la recta, es decir que no se consi...
La misma idea se debe seguir en el caso que la relación no sea lineal, Que la curva toque la mayor cantidad de puntos y qu...
Ecuaciones empíricas<br />Una ecuación empírica se encuentra a partir de datos experimentales observados. Usualmente la ec...
Pero en el caso de una curva de la forma<br />Es fácil determinar el intercepto pero hasta el momento no tenemos una forma...
La formula de pendiente es valida solo para relaciones lineales entonces podríamos utilizar dicha formula si transformáram...
Muchas ecuaciones no lineales se pueden transformar en lineales al cambiar las variables con las cuales se grafican, ha es...
Linealizar:<br />Método para obtener una relación lineal a partir de una relación no lineal, y consiste en una correcta se...
Supongamos que queremos linealizar una relación cuadrática (nota: tenemos la tabla de datos)<br />Debemos seleccionar nuev...
29<br />Veamos ejemplos de selección de variables<br />
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31<br />pendiente<br />intercepto<br />
Veamos un ejemplo<br />Determinar la ecuación empírica de la siguiente  lista de datos. <br />Al graficar<br />32<br />
Si prolongamos la grafica observamos que el intercepto en el eje y es cero, es decir b=0 además  asumamos que es una relac...
34<br />Considerando a x2 como variable independiente<br />
La ecuación empírica es <br />Y=ƒ(x2) es una relación lineal por lo k será igual a la pendiente del gráfico linealizado<br...
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La ecuación empírica es <br />Y=ƒ(x2) es una relación lineal por lo k será igual a la pendiente del gráfico linealizado<br...
Otro ejemplo<br />Determinar la ecuación empírica de la siguiente  lista de datos. <br />Graficando <br />38<br />Si prolo...
La forma de la ecuación empírica es  <br />Para linealizar se debe seleccionar a xn como variable independiente y graficar...
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Vemos que la grafica es lineal para  <br />y = ƒ(x0.5)<br />Por lo que con seguridad podemos decir que n=0.5<br />Entonces...
45<br />El problema de esto es que tendríamos que probar  varios “n” hasta que la grafica sea una línea recta, lo cual es ...
Si tenemos una ecuación empírica<br />Sabemos que con la grafica y=ƒ(x)  lo único que podemos encontrar es el valor de b (...
Notemos que tiene la forma<br />Por lo que debemos seleccionar a log(y-b) como variable dependiente  y  a  log(x)  como va...
Resolvamos el ejemplo anterior ahora por este método<br />Recordando que b=0.5<br />48<br />
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 Entonces<br />El intercepto  en el eje y es 0.3   por lo tanto<br />Log(k)=0.3  <br />K=100.3 = 1.995 ≈ 2<br />Que son lo...
Notemos que se deben hacer evaluaciones de logaritmos las cuales pueden llevar algo de tiempo,  podemos evitar esto usando...
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De la hoja anterior podemos ver que la escala de los ejes es diferente a la de papel milimetrado normal, esto es por que, ...
Por ejemplo, si iniciamos con  100 =1<br />100<br />5<br />3<br />102<br />2<br />101<br />30<br />40<br />20<br />Cada lí...
Por ejemplo, si iniciamos con  10-2 =0.01<br />0.01<br />1<br />0.03<br />0.02<br />0.1<br />0.4<br />0.2<br />0.3<br />Ca...
La escala en el otro eje se nombra de manera similar.<br />Según los datos que tengamos nombraremos la escala y graficamos...
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Resolvamos el ejemplo que hicimos por el método log(y-b) =ƒ(log(x))<br />3<br />2<br />1<br />0.1<br />10<br />1<br />2<br...
Recordando la formula<br />El valor de n seria la pendiente del grafico, pero hay una pequeña variante<br />59<br />
3<br />2<br />d2<br />1<br />d1<br />0.1<br />10<br />1<br />2<br />0.1<br />60<br />
Las distancias d1 y d2 las encontramos midiendo su dimensión con la regla<br />61<br />
Si evaluamos en x=1<br />Quiere decir que k lo encontramos proyectando la grafica en el eje y-b cuando x=1<br />62<br />
3<br />2<br />1<br />0.1<br />10<br />1<br />2<br />Obtenemos que k=2<br />63<br />
64<br />¿Qué pasa si el “1” no esta en nuestro eje?<br />Para este caso se deben hacer un cambio de escalas en los valores...
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66<br />NO VENGO A VER SI PUEDO,SI NO PORQUE PUEDO VENGO.<br />Nunca toméis el estudio como una obligación, sino como la e...
Gracias por su atención <br />
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  1. 1. Interpretación de gráficos<br />LF 100 Lic. Marlon Recarte <br />1<br />
  2. 2. Al hacer un grafico se deben tomar en cuanta ciertas cosas<br />Los gráficos se hacen en papel milimetrado<br />Seleccionar una escala adecuada para ambos ejes<br /> x variable independiente<br /> y variable dependiente<br />Los gráficos deben quedar en el centro del papel<br />Se deberán colocar nombre a los ejes y además las unidades de las variables en los ejes (m, seg, m/s etc.)<br />2<br />
  3. 3. 3<br />
  4. 4. Existen muchas relaciones entre variables, algunos ejemplos son:<br />4<br />1.Relación lineal<br />Es aquella cuya grafica es una línea recta<br />
  5. 5. Relación lineal<br />En este tipo, la relación entre las variables es:<br />Donde al número m se le conoce como pendiente y a b se le conoce como intercepto en el eje y<br />¿Cómo se obtiene m y b?<br />5<br />
  6. 6. b es el punto sobre el cual la gráfica corta al eje y<br />b<br />6<br />
  7. 7. (x2, y2) <br />Δy = y2-y1<br />(x1, y1) <br />θ<br />Δx = x2-x1<br />Lo anterior indica que para encontrar la pendiente se necesitan 2 puntos sobre la recta o el ángulo de esta con el eje horizontal<br />7<br />
  8. 8. 2.Relación cuadrática<br />También es conocida como parábola, la relación entre las variables tiene la forma<br />b<br />b es el intercepto en el eje y , k es una constante <br />8<br />
  9. 9. 3.Relación inversa<br />También es conocida como hipérbola, la relación entre las variable tiene la forma<br />Esta grafica no tiene intercepto en el eje y<br />9<br />
  10. 10. Ajuste de curvas<br />10<br />
  11. 11. Supongamos que tenemos una serie de mediciones<br />Deseamos determinar la relación entre variables que mejor se ajusta a los datos. <br />11<br />
  12. 12. Al graficar<br />12<br />
  13. 13. Supongamos que una relación lineal es la que mejor se ajusta a los datos .<br />Obviamente una recta no pasará por todos los puntos, por lo que debemos seleccionar una recta que pase por la mayor cantidad de puntos tal que los errores (separación entre el punto y la recta) sean mínimos, aunque el criterio mas fuerte debe ser el de minimizar el error.<br />13<br />
  14. 14. Tracemos varias rectas y veamos la separación entre la recta y los puntos que no están en la recta (errores)<br />Primer ajuste <br />14<br />
  15. 15. Segundo ajuste <br />15<br />
  16. 16. Tercer ajuste <br />16<br />
  17. 17. Cuarto ajuste <br />17<br />
  18. 18. Quinto ajuste <br />18<br />
  19. 19.
  20. 20. ¿Cuál de los ajustes es mejor?<br />Eso dependerá de la visualización de la persona, pero vemos que los mejores ajustes son el primero y el cuarto.<br />20<br />
  21. 21. Debemos tener claro que al calcular la pendiente se deben tomar los puntos que estén en la recta, es decir que no se consideran los puntos que no pasan por la misma, estos puntos se deben encerrar (puntos error) <br />21<br />
  22. 22. La misma idea se debe seguir en el caso que la relación no sea lineal, Que la curva toque la mayor cantidad de puntos y que el error sea lo mas pequeño posible<br />22<br />
  23. 23. Ecuaciones empíricas<br />Una ecuación empírica se encuentra a partir de datos experimentales observados. Usualmente la ecuación empírica se puede encontrar examinado la grafica. <br />Cuando la grafica de la ecuación empírica es una línea recta es sencillo determinar las constantes de la ecuación, es decir el intercepto y la pendiente <br />23<br />
  24. 24. Pero en el caso de una curva de la forma<br />Es fácil determinar el intercepto pero hasta el momento no tenemos una forma de determinar k, no podemos usar la formula de pendiente porque esta es solo para relaciones lineales, entonces ¿Cómo podemos determinar k? <br />24<br />
  25. 25. La formula de pendiente es valida solo para relaciones lineales entonces podríamos utilizar dicha formula si transformáramos la relación no lineal en una relación lineal<br />25<br />
  26. 26. Muchas ecuaciones no lineales se pueden transformar en lineales al cambiar las variables con las cuales se grafican, ha esto se le conoce como linealización <br />Relación no lineal, variables x,y<br />Relación lineal, nuevas variables x*,y*<br />Lo que debemos aprender, es como seleccionar las nuevas variables a fin de linealizar gráficos<br />26<br />
  27. 27. Linealizar:<br />Método para obtener una relación lineal a partir de una relación no lineal, y consiste en una correcta selección de variables independientes dependientes o ambas a fin de obtener la forma:<br />y* y x* son variables<br />27<br />
  28. 28. Supongamos que queremos linealizar una relación cuadrática (nota: tenemos la tabla de datos)<br />Debemos seleccionar nuevas variables para que la ecuación anterior tenga la forma:<br />Lo mas sensato es mantener a y como variable dependiente y considerar a x2como variable independiente, por lo que para linealizar deberíamos graficar:<br />28<br />
  29. 29. 29<br />Veamos ejemplos de selección de variables<br />
  30. 30. 30<br />
  31. 31. 31<br />pendiente<br />intercepto<br />
  32. 32. Veamos un ejemplo<br />Determinar la ecuación empírica de la siguiente lista de datos. <br />Al graficar<br />32<br />
  33. 33. Si prolongamos la grafica observamos que el intercepto en el eje y es cero, es decir b=0 además asumamos que es una relación cuadrática <br />33<br />
  34. 34. 34<br />Considerando a x2 como variable independiente<br />
  35. 35. La ecuación empírica es <br />Y=ƒ(x2) es una relación lineal por lo k será igual a la pendiente del gráfico linealizado<br />Si seleccionamos dos puntos sobre el grafico linealizado<br />35<br />
  36. 36. 36<br />
  37. 37. La ecuación empírica es <br />Y=ƒ(x2) es una relación lineal por lo k será igual a la pendiente del gráfico linealizado<br />Si seleccionamos dos puntos sobre el grafico linealizado<br />Por la tanto<br />37<br />
  38. 38. Otro ejemplo<br />Determinar la ecuación empírica de la siguiente lista de datos. <br />Graficando <br />38<br />Si prolongamos la grafica vemos que el intercepto b es igual a 0.5<br />
  39. 39. La forma de la ecuación empírica es <br />Para linealizar se debe seleccionar a xn como variable independiente y graficar<br />El problema es que no sabemos el valor de n, pero sabemos que al seleccionar el n correcto la grafica resultante debería ser lineal<br />39<br />Veamos lo siguiente<br />
  40. 40. 40<br />
  41. 41. 41<br />
  42. 42. 42<br />
  43. 43. 43<br />
  44. 44. Vemos que la grafica es lineal para <br />y = ƒ(x0.5)<br />Por lo que con seguridad podemos decir que n=0.5<br />Entonces k es igual a la pendiente del grafico linealizado<br />44<br />
  45. 45. 45<br />El problema de esto es que tendríamos que probar varios “n” hasta que la grafica sea una línea recta, lo cual es un poco complicado porque n es un numero real y sabemos que hay infinitos números reales, aunque algunas veces nos darán sugerencias. Debemos entonces utilizar un método que nos ahorre todo esto, aunque cuando conocemos el “n” debemos hacerlo como se explico.<br />
  46. 46. Si tenemos una ecuación empírica<br />Sabemos que con la grafica y=ƒ(x) lo único que podemos encontrar es el valor de b (ya que no conocemos n), entonces b es conocido, si despejamos<br />Aplicando logaritmo base 10<br />Usando propiedades de logaritmos<br />46<br />
  47. 47. Notemos que tiene la forma<br />Por lo que debemos seleccionar a log(y-b) como variable dependiente y a log(x) como variable independiente y graficar <br />Además la pendiente de este grafico es igual al valor de n y el intercepto es igual a log(k)<br />47<br />
  48. 48. Resolvamos el ejemplo anterior ahora por este método<br />Recordando que b=0.5<br />48<br />
  49. 49. 49<br />
  50. 50. Entonces<br />El intercepto en el eje y es 0.3 por lo tanto<br />Log(k)=0.3 <br />K=100.3 = 1.995 ≈ 2<br />Que son los mismos resultados que habíamos obtenido.<br />50<br />
  51. 51. Notemos que se deben hacer evaluaciones de logaritmos las cuales pueden llevar algo de tiempo, podemos evitar esto usando un papel especial que esta en escala logarítmica, dicho papel se conoce como papel LOG-LOG<br />51<br />
  52. 52. 52<br />
  53. 53. De la hoja anterior podemos ver que la escala de los ejes es diferente a la de papel milimetrado normal, esto es por que, es una escala en potencias de 10<br />10n<br />10n+1<br />10n+2<br />ciclo<br />ciclo<br />53<br />
  54. 54. Por ejemplo, si iniciamos con 100 =1<br />100<br />5<br />3<br />102<br />2<br />101<br />30<br />40<br />20<br />Cada línea representa un valor de 1 unidad es decir 2,3,4 hasta 10<br />Cada línea representa un valor de 10 unidades es decir 20,30,40 hasta 100<br />54<br />
  55. 55. Por ejemplo, si iniciamos con 10-2 =0.01<br />0.01<br />1<br />0.03<br />0.02<br />0.1<br />0.4<br />0.2<br />0.3<br />Cada línea representa un valor de 0.01 es decir 0.02, 0.03, 0.04 hasta 0.1<br />Cada línea representa un valor de 0.1es decir 0.2, 0.3 hasta 1<br />55<br />
  56. 56. La escala en el otro eje se nombra de manera similar.<br />Según los datos que tengamos nombraremos la escala y graficamos y-b=ƒ(x)<br />56<br />
  57. 57. 57<br />
  58. 58. Resolvamos el ejemplo que hicimos por el método log(y-b) =ƒ(log(x))<br />3<br />2<br />1<br />0.1<br />10<br />1<br />2<br />0.1<br />58<br />
  59. 59. Recordando la formula<br />El valor de n seria la pendiente del grafico, pero hay una pequeña variante<br />59<br />
  60. 60. 3<br />2<br />d2<br />1<br />d1<br />0.1<br />10<br />1<br />2<br />0.1<br />60<br />
  61. 61. Las distancias d1 y d2 las encontramos midiendo su dimensión con la regla<br />61<br />
  62. 62. Si evaluamos en x=1<br />Quiere decir que k lo encontramos proyectando la grafica en el eje y-b cuando x=1<br />62<br />
  63. 63. 3<br />2<br />1<br />0.1<br />10<br />1<br />2<br />Obtenemos que k=2<br />63<br />
  64. 64. 64<br />¿Qué pasa si el “1” no esta en nuestro eje?<br />Para este caso se deben hacer un cambio de escalas en los valores a graficar, ejemplo si están en centímetros pasar a metros, o ...<br />
  65. 65. 65<br />
  66. 66. 66<br />NO VENGO A VER SI PUEDO,SI NO PORQUE PUEDO VENGO.<br />Nunca toméis el estudio como una obligación, sino como la envidiable oportunidad de aprender, como medio de conseguir una gran alegría personal, de la que participarán vuestros padres, y como beneficio de la sociedad a la que pertenece vuestro trabajo futuro.<br />Albert Einstein<br />
  67. 67. Gracias por su atención <br />
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