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3Contudo, diversos autores fizeram uma retrospectiva acerca da evolução dos estudossobre funções, com o objetivo de organi...
4de valores de quadrados e cubos dos números de 1 a 30 (e, também, valores de n2e n3, aindadentro deste intervalo). O obje...
5pela observação de fenômenos naturais, onde foi descoberto que existiam regularidades quepodiam ser descritas através de ...
6Com a formalização do simbolismo de François Viète, a partir da segunda metade doséculo XVI, após a contextualização de f...
7“Euler também foi o responsável pelos avanços seguintes mais significativosno desenvolvimento do conceito de função, deta...
8(1736-1813) cálculo na qual essas quantidades entrem de alguma maneira,combinadas ou não com outras quantidades cujos val...
9Nicolas Bourbaki 1968 Em Théorie des Ensembles conceituou função de duas maneiras:“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ...
10Onde 𝑚, 𝑏 ∈ ℝ. Note que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. O gráfico de f é a reta decoeficiente linear m passando pelo ponto (0, b...
11Figura 2: Função Crescente e Função DecrescenteFonte: autoria do Grupo1.2.2. Função do Segundo GrauUma função do segundo...
12Figura 3: Função do Segundo Grau: Concavidade da ParábolaFonte: autoria do GrupoEm relação às raízes da equação do segun...
13Figura 4: Estudo das Raízes da Equação do Segundo Grau: a > 0Fonte: autoria do GrupoFigura 5: Estudo das Raízes da Equaç...
14Figura 6: Funções Polinomiais de Grau nFonte: autoria do Grupo1.3. Definição de ContinuidadeDados uma função f : X  R, ...
15Figura 7: Função Contínua e Função Não ContínuaFonte: autoria do GrupoDe acordo com a figura acima, o Caso 1 mostra uma ...
161.4.1. Função do Primeiro Grau: Aplicação PráticaExemplo:Sabemos que a pressão da água do mar é função da profundidade. ...
17(a) Qual a pressão da água quando a profundidade é de 100m?Resolução:𝑃 = 𝑓(𝐻) = 0,1𝐻 + 1𝑃 = 𝑓(100) = 0,1 × 100 + 1∴ 𝑓(10...
18Figura 9: Gráfico da Função y = f(t)Fonte: autoria do GrupoResolução:Para determinar o ponto máximo que o objeto atinge,...
191.4.3. Função Polinomial do Grau n: Aplicação PráticaSuponha que foram introduzidos numa ilha, 144 indivíduos de uma cer...
202. ANÁLISEDevido às regras da APS, que restringe o número de páginas deste trabalho, optou-sepor demonstrar o histórico ...
21um tempo t, podia-se calcular qual a altura do objeto naquele momento. Este tipo de exercícioé uma aplicação direta da f...
22Se o professor dispuser de um laboratório de informática, ele poderá explorar asmudanças no gráfico das funções quando o...
233. RESULTADOSO Brasil está passando por um momento bastante singular no que diz respeito ao seudesenvolvimento econômico...
24encontrados nos livros didáticos de matemática. Os comandos são simples e basta o alunoexplorar o programa que conseguir...
25BIBLIOGRAFIAAcademy, P. E., 2013. Phillips Exeter Academy. [Online] Available at:http://math.exeter.edu/rparris/winplot....
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Funções - conceitos e aplicações práticas

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O objetivo deste trabalho é proporcionar ao aluno e aos professores uma visão histórica do desenvolvimento do conceito de função, além de conceituar e propor aplicações práticas desta matéria com a utilização de exemplos multidisciplinares. A recomendação é unir aulas expositivas com aulas de informática, através do uso de softwares matemáticos, visando melhorar o aprendizado e ilustrar as aplicações práticas do conteúdo estudado

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  1. 1. UNIVERSIDADE PAULISTAMARCO JÚLIO CICERO DE ARAUJO1FUNÇÕES E CONTINUIDADE:CONCEITOS E APLICAÇÕES PRÁTICASSÃO PAULO20131Aluno do terceiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Paulista
  2. 2. 21. INTRODUÇÃOEste trabalho está inserido no contexto de Atividades Práticas Supervisionadas (APS),proposto pelo currículo do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Paulista –UNIP.O objetivo principal da APS é possibilitar uma vivência prática das teorias aprendidasno decorrer do curso, integrando as disciplinas de cada semestre.Para isso, este trabalho foi dividido da seguinte maneira. No capítulo 1 contém aapresentação do trabalho, identificando quais são os principais objetivos. Além disso, oconceito de função é retomado, mostrando qual foi a evolução histórica do conceito de função,desde a Idade Média até os tempos atuais, considerando os principais avanços e as principaisdefinições adotadas pelos povos antigos e pelos estudiosos atuais da matemática. Seráapresentado o conceito de função, com ênfase para as funções de primeiro, segundo e grau n,e, por fim, exemplos de aplicações práticas para cada uma delas.O capítulo 2 pretende discutir o que foi aprendido ao longo da realização do trabalho, apartir da bibliografia estudada ao longo do semestre.O último capítulo formaliza uma proposta simples de trabalho, para o futuro professorde matemática, a partir do tema escolhido.1.1. Evolução Histórica do Conceito de FunçãoAtualmente, não existe um consenso geral sobre o desenvolvimento do conceito defunção ao longo do tempo. De acorco com (Zuffi, 2001, p. 11) apud (Chaves & Carvalho, 2004):“não parece existir consenso entre os autores, a respeito da origem doconceito de função [talvez pelo seu próprio aspecto intuitivo]. Alguns delesconsideram que os Babilônios (2000 a.C.) já possuíam um instinto defuncionalidade [grifos do autor] (...) em seus cálculos com tabelassexagesimais de quadrados e de raízes quadradas (...) que eram destinadas aum fim prático. As tabelas, entre os gregos, que faziam a conexão entre aMatemática e a Astronomia, mostravam evidência de que estes percebiam aidéia de dependência funcional, pelo emprego de interpolação linear”.
  3. 3. 3Contudo, diversos autores fizeram uma retrospectiva acerca da evolução dos estudossobre funções, com o objetivo de organizar as descobertas mais importantes e organizá-las demaneira a facilitar o estudo da História de Matemática.De acordo com (Youshkevitch, 1976) apud (Bueno & Viali, 2009), é possível dividir odesenvolvimento da noção de função em três momentos históricos: (i) Antiguidade: (ii) IdadeMédia e; (iii) Modernidade.O período da Antiguidade foi caracterizado por diferentes estudos de casos dedependência entre duas quantidades. Contudo, não foi criada uma noção geral da ideia devariável ou de função.Já no período da Idade Média, as funções foram definidas sob uma ótica geométrica emecânica. Entretanto, como no período anterior, a noção de dependência entre duas variáveisfoi definida de maneira verbal ou através de um gráfico, ao invés de uma expressão algébrica(como conhecemos atualmente).Por fim, na Idade Moderna, principalmente a partir do século XVII, houve a preferênciapelas expressões analíticas para demonstrar as funções, tornando-se a principal classe utilizadapara definir funções.2A seguir, é mostrada quais foram as principais contribuições para o estudo das funçõesem cada um destes três períodos.1.1.1. A AntiguidadeMesmo sem o desenvolvimento de uma noção geral da ideia de variável ou função, operíodo da Antiguidade foi marcado pelo estudo de casos práticos, em especial no campo deastronomia, que utilizaram métodos quantitativos e construção de tabelas, onde a noção efunção era entendida como a relação entre conjuntos discretos e constantes dadas.Neste contexto, de acordo com (Sá, et al., 2003), mostra que os babilônios construíramtabelas em argila onde os valores de duas diferentes colunas possuíam uma relação constante(para cada valor na primeira coluna existia um número na segunda coluna, resultado damultiplicação do número da primeira por uma constante arbitrária).Segundo (Eves, 2004) apud (Bueno & Viali, 2009), a matemática babiolônica já haviaevoluído para uma álgebra bem desenvolvida. As tábulas sexagenais eram utilizadas no cálculo2A Classe das funções analíticas geralmente são expressas por meio de soma de séries infinitas.
  4. 4. 4de valores de quadrados e cubos dos números de 1 a 30 (e, também, valores de n2e n3, aindadentro deste intervalo). O objetivo foi estudar o movimento dos planetas.3Os egípcios também construíam tabelas, em especial em papiros, que resumiam osresultados obtidos de investigações empíricas e, muitas vezes, generalizações.No período da Antiguidade vale destacar a escola grega no estudo das funções. Apesarde não ter havido o desenvolvimento de um simbolismo sofisticado, os gregos foram capazesde contribuir na medida em que houve um aumento do número de dependências funcionaisutilizadas e dos métodos para estudá-las. (Bueno & Viali, 2009)Dentre os matemáticos gregos, pode-se citar contribuição de Ptolomeu. De acordo com(Mendes, 1994, p.12; AABOE, 1984, p.20) apud (Sá, et al., 2003),“... este matemático ele trabalhou na área da astronomia, e que, desenvolveuferramentas matemáticas, entre elas a trigonometria. Ele utilizou tabelasenvolvendo a função da corda do arco x, ou crd x, mas sem fazer referênciaa palavra função. E ainda entre as ideias funcionais gregas temos ossymptons, que eram a condição necessária para que um ponto pertencesse auma curva. Apolônio e Arquimedes chegaram a utilizar os symptons”.Contudo, ao mesmo tempo em que ideias de variação quantitativa ou de mudança eramconstantes no pensamento grego, os problemas envolvendo movimento, continuidade e infinitonão foram estudados com destaque. Com isso, a ideia de velocidade, como razão entre o espaçoe tempo, e, por conseguinte, o conceito de velocidade instantânea foram considerados. Isso fezcom que não fosse desenvolvido, um pensamento um pouco mais complexo e abstrato comrelação à noção de variabilidade. (Bueno & Viali, 2009)Assim, pode-se afirmar que no período da Antiguidade, não foi estabelecida a ideia geraldo conceito de função.1.1.2. Idade MédiaA Idade Média foi bastante importante para o desenvolvimento das ciências exatas, ondeconceitos como, por exemplo, velocidade instantânea e aceleração, foram capazes de contribuirpara a área da cinemática e do pensamento matemático. Também, este período foi caracterizado3De acordo com (Eves, 2004) apud (Bueno & Viali, 2009), “as funções matemáticas empiricamente tabuladasacabaram-se tornando, posteriormente, o suporto para a sequência do desenvolvimento de toda a astronomia”.
  5. 5. 5pela observação de fenômenos naturais, onde foi descoberto que existiam regularidades quepodiam ser descritas através de leis quantitativas.Aproximadamente na metade do século XIV, de acordo com (Bueno & Viali, 2009, p.39):“O estudo da intensidade das formas e seu aspecto mais importante, acinemática, eram abordados na Inglaterra em um contexto aritmético,enquanto que, na França, Nicole Oresme (1323–1382) desenvolveu esseestudo através de uma abordagem geométrica, introduzindo o conceito delatitude das formas em meados do séc. XIV. As formas ou qualidades sãofenômenos como a luz, a distância, a velocidade, que possuem vários níveisde intensidade e que mudam continuamente, dentro de limites dados”.Uma das implicações práticas da teoria da latitude foi o desenvolvimento das funçõesdo tempo, e, em especial, a determinação da velocidade média de um movimentouniformemente acelerado.4Entretanto, no período da Idade Média, uma relação de dependência entre duasquantidades foi definido através de uma descrição verbal (ou gráfica), não tendo sidodesenvolvido o conceito de expressões algébricas. Neste sentido, de acordo com (Ponte, 1992)apud (Bueno & Viali, 2009), “apesar da grande evolução em termos de generalização eabstração e de alguns resultados particulares alcançados, o estudo das funções em matemáticacomo um conceito e objeto individualizado ainda não havia sido alcançado”.1.1.3. Idade ModernaO conceito de função que conhecemos hoje foi possível, em grande parte, pelodesenvolvimento da álgebra simbólica e também pela extensão do conceito de número, namedida em que foi introduzida a noção de números imaginários e o conjunto dos númeroscomplexos. Isso fez com que fosse possível conceituar função como uma relação entreconjuntos numéricos e também expressar funções através de fórmulas. (Bueno & Viali, 2009)4O Movimento uniformemente variado é o movimento no qual a velocidade escalar varia uniformemente nodecorrer do tempo. O movimento caracteriza-se por haver uma aceleração diferente de zero e constante. Fonte:Wikipedia.
  6. 6. 6Com a formalização do simbolismo de François Viète, a partir da segunda metade doséculo XVI, após a contextualização de funções através de equações escritas, houvesignificativo avanço no estudo da matemática, em especial no desenvolvimento das funções.Um dos principais percussores do desenvolvimento do conceito de função foi RenéDescartes. De acordo com (Bueno & Viali, 2009, p. 46):“Com os registros de representação tabular, gráfico e algébrico bemdesenvolvidos, há, então, a partir das ideias de Descartes de aplicação daálgebra à geometria, o componente que levou o conceito de função a sedesenvolver mais rapidamente e a alcançar o cerne de toda a Matemáticaatual. A partir das ideias e inovações de Descartes, foi possível desenvolver-se, então, o estudo do cálculo diferencial e integral, da análise matemática ede outros campos fundamentais para o desenvolvimento da ciência moderna”.Outros dois estudiosos que contribuíram de forma bastante significativa foram IsaacNewton e Gottfried Leibniz. Newton apresentou uma intepretação cinemática e geométrica dede análise matemática, descrevendo conceitos de tempo e movimento, sendo capaz deinterpretar as variáveis dependentes como uma quantidade “continuamente fluente que possuiuma velocidade de variação”.Já Leibniz foi capaz de desenvolver noções básicas de diferenciação e integração, sendoum dos percussores do Cálculo Diferencial e Integral.5Leibniz definiu os termos constante,variável, coordenadas e parâmetros, além de dividir as funções e curvas em duas classesdiferentes: algébricas e transcendentais. (Bueno & Viali, 2009, p. 46)Outro estudioso que merece destaque é Johann Bernoulli, um dos primeirosmatemáticos a utilizar o Cálculo na resolução de problemas. Em 1718, Bernoulli publicou umartigo que continha a definição de função como “uma quantidade composta, de alguma forma,por uma variável e constantes”. Foi Bernoulli o primeiro a fornecer uma definição explícita deuma função como uma expressão analítica.Leonhard Euler (1707-1783), foi possivelmente, um dos maiores matemáticos dahistória. Segundo (Bueno & Viali, 2009, p. 42):5É um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica aoestudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades. Fonte: Wikipedia
  7. 7. 7“Euler também foi o responsável pelos avanços seguintes mais significativosno desenvolvimento do conceito de função, detalhando o seu estudo de acordocom o padrão da análise matemática da época. Definiu uma constante comouma quantidade definitiva que assume sempre um e o mesmo valor, umavariável como um valor indeterminado ou universal que compreende todos osvalores determinados e uma função de uma variável como uma expressãoanalítica composta por uma quantidade variável e números ou quantidadesconstantes”.A definição dada por Euler foi capaz de influenciar todo o desenvolvimento damatemática a partir de então, contribuindo para o desenvolvimento do estudo do tema. Depoisde Euler, podemos citar D’Alembert, Lagrange, Laplace, Cauchy, Fourier e Dirichlet. Alémdestes, diversos outros estudiosos contribuíram para o avanço do desenvolvimento do estudodas funções ao longo dos últimos cinco séculos. A tabela abaixo, extraída do trabalho de (Sá,et al., 2003), resume as principais contribuições históricas dos matemáticos no período da IdadeModerna.Autor Ano ContribuiçãoRené Descartes(1596-1650)-- Definiu função como qualquer potência de x, como x2, x3, etc.Isaac Newton(1643-1727)-- Introduziu o termo “variável independente”.James Gregory 1667 Na obra “Vera Cicculi et Hyperbolae Quadratura”, conceituoufunção sem utilizar a palavra propriamente dita: “Nós chamamosuma quantidade x composta de outras quantidades a, b,.... se xresulta de a, b,.... pelas quatro operações elementares, porextração de raízes ou por qualquer outra operação imaginável.”Gottfried Wilhelmvon Leibniz(1646-1716)1694 Utilizou a palavra “função” para designar quantidades geométricasque dependiam de um ponto em uma curva. E na obra História usoua palavra “função” para representar quantidades que dependem deuma variável.Jakob Bernoulli(1654-1705)1694 Definiu a palavra função como: “quantidades geométricas quedependiam de um ponto em uma curva’.Johann Bernoulli(1655-1705)-- Definiu função como: “função de uma magnitude variável àquantidade composta de alguma forma por esta magnitude variávele por constantes”.Leonhard Euler(1707-1783)-- Introduziu o símbolo f(x)D’Alembert(1717-1783)-- Definiu a equação da onda:𝜕2 𝑦𝜕𝑡2 = 𝑎𝜕2 𝑦𝜕𝑥2Daniel Bernoulli(1700-1782)1753 Tentativa de resposta para o problema da corda vibrante:𝑦(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥𝑙∞𝑛=1𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑎𝑡𝑙Joseph-LouisLagrange1797 Na obra de Théorie des Functions Analytiques, definiu: “chama-sefunção de uma ou de várias quantidades a toda expressão de
  8. 8. 8(1736-1813) cálculo na qual essas quantidades entrem de alguma maneira,combinadas ou não com outras quantidades cujos valores sãodados e invariáveis, enquanto que as quantidades da função podemreceber todos os valores possíveis. Assim, nas funções sãoconsideradas apenas as quantidades assumidas como variáveis enão as constantes que aparecem combinadas a elas”.Joseph-LouisLagrange(1736-1813)1806 Lecons sur le calcul des functions: “funções representavamdiferentes operações que deviam ser realizadas em quantidadesconhecidas para obterem-se valores de quantidadesdesconhecidas, e estas quantidades desconhecidas eram,propriamente, o último resultado do cálculo”.Jean Baptiste JosephFourier(1768-1830)1822 Afirmou em La Théorie Analytique de la Chaleur: “qualquerfunção poderia ser expressa por uma série trigonométrica daseguinte forma:𝑓(𝑥) =𝑎02= ∑ [𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥𝑙+ 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥𝑙]∞𝑛=1Benhard Bolzano(1781-1848)1817 Publicou Functionlehre, onde conceituou continuidade muitopróximo do conceito atual. Demostrou o teorema do valor médio.Augustin LouisCauchy(1789-1857)1821 Em Cours d’analyse definiu função: “quando quantidadesvariáveis estão ligadas entre si de tal forma que, o valor de umadelas sendo dado, pode-se determinar o valor das demais, diz-seusualmente que estas quantidades são expressas por meio de umadelas, que toma o nome de variável independente; e as outrasquantidades expressas por meio da variável independente são oque chamamos de funções dessa variável”. Definiu continuidadeatravés de infinitésimos.Peter Gustav LejuneDirichlet(1805-1859)-- Demonstrou que nem todas as funções podem ser escritas pela sériede Fourier.Peter Gustav LejuneDirichlet(1805-1859)1837 Definiu função como: “se uma variável y está relacionada comuma variável x de tal modo que, sempre que é dado um valornumérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único dey fica determinado, então diz-se que y é função da variávelindependente x”.Nikilái Lobatchevsky(1792-1856)-- Definiu função: “a concepção geral exige que uma função de x sejachamada de número que é dado para cada x que mudagradualmente com x, o valor da função pode ser dado ou por umaexpressão analítica, ou por uma condição que favoreça um meiopara testar todos os números e selecionar um deles; ou finalmente,a dependência pode existir mas permanecer desconhecida”.Bernhard Riemann(1826-1866)-- Esclareceu os critérios de integrabilidade, e deu origem ao conceitode “Integral de Riemann”.Phillip Cantor(1845-1918)-- Desenvolveu a teoria dos conjuntos.Karl Weisrstrass(1858-1932)-- Definiu função como uma série de potência juntamente com todasas que podem ser obtidas dela por prolongamento analítico.Giuseppe Peano(1858-1932)-- Definiu três conceitos primitivos que o zero, o conceito de número(inteiro não-negativo) e a relação de ser sucessor de, os quais, juntocom seus cinco postulados, forneceram uma construção rigorosa doconjunto dos números naturais.
  9. 9. 9Nicolas Bourbaki 1968 Em Théorie des Ensembles conceituou função de duas maneiras:“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entreuma variável x de E e uma variável y de F é dita uma relaçãofuncional em y, ou relação funcional de E em F, se qualquer queseja x E, existe um e somente um elemento y a F que estejaassociados a x na relação considerada. Dá-se o nome de função àoperação que desta forma associa a todo o elemento x a E oelemento y a F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-seque y é o valor da função para o elemento x, e que a função estádeterminada pela relação funcional considerada. Duas relaçõesfuncionais equivalentes determinam a mesma função”. E;“Um certo subconjunto do produto cartesiano AxB”.Tabela 1: Quadro Sintótico do Conceito de FunçãoFonte: Adaptado de (Sá, et al., 2003)1.2. Definição de FunçãoDentre as inúmeras definições de funções estabelecidas até hoje, este trabalho utilizaráa seguinte definição:Definição 1. Sejam A, B 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ. Uma função f definida em A e com valores em B é umaregra que associa a cada elemento de 𝑥 ∈ 𝐴 um único elemento 𝑦 ∈ 𝐵.As notações usuais são: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥) ou𝑓: 𝐴 → 𝐵 ou𝑥 → 𝑓(𝑥)O número x é chamado de variável independente da função e y variável dependente dafunção.1.2.1. Função do Primeiro GrauUma função do primeiro grau pode ser definida como:𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
  10. 10. 10Onde 𝑚, 𝑏 ∈ ℝ. Note que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. O gráfico de f é a reta decoeficiente linear m passando pelo ponto (0, b). O gráfico abaixo mostra a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) =2𝑥 + 2. Neste caso b = 2 e o coeficiente linear (m) vale 2. A raiz da equação é dada pelo pontoonde f(x) assume o valor zero. Na figura abaixo, a raiz é dada pelo ponto (-1, 0).Figura 1: Gráfico da Função de Primeiro Grau: f(x) = y = 2x + 2Fonte: autoria do GrupoAs funções do primeiro grau podem ser classificas em funções crescentes oudecrescentes. O que define esta classificação é o valor do coeficiente linear (m). Quando 𝑚 >0, a função é crescente. Entretanto, quando 𝑚 < 0, a função é dita decrescente. A figura abaixoilustra estes dois tipos de função.66Vale lembrar que o coeficiente linear (m), pode assumir o valor zero. Neste caso, a função é dita constante.             xyF(x) = y = 2x + 2(-1, 0)
  11. 11. 11Figura 2: Função Crescente e Função DecrescenteFonte: autoria do Grupo1.2.2. Função do Segundo GrauUma função do segundo grau pode ser definida como:𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐Onde 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0. O 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. Contudo, a 𝐼𝑚(𝑓) depende dodiscriminante ∆ da equação f(x) e do coeficiente a.O gráfico de uma função de segundo grau é uma parábola, de vértice 𝑣 = (−𝑏2𝑎, −∆4𝑎).A concavidade da parábola depende do valor do coeficiente a. Quando a > 0, aconcavidade é voltada para cima e a função f(x) possui ponto de mínimo igual ao vértice. Jáquando a < 0, a concavidade é voltada para baixo e a função f(x) possui ponto de máximo igualao vértice. A figura abaixo mostra estes dois casos.             xy             xyFUNÇÃO CRESCENTE (m > 0)y = x + 2FUNÇÃO DECRESCENTE (m < 0)y = – x + 2m > 0 m < 0
  12. 12. 12Figura 3: Função do Segundo Grau: Concavidade da ParábolaFonte: autoria do GrupoEm relação às raízes da equação do segundo grau, o que define o valor das raízes é odescriminante (∆). É possível termos três situações distintas: (i) quando ∆> 0, (ii) ∆= 0 e; (iii)∆< 0.1º Caso: ∆> 𝟎 → Quando ∆> 0, a função apresenta duas raízes reais e distintas.2º Caso: ∆= 𝟎 → Quando ∆= 0, a função apresenta duas raízes reais e iguais.3º Caso: ∆< 𝟎 → Quando ∆< 0, a função não apresenta raízes reais.O gráfico abaixo ilustra estas situações.             xy             xyCONCAVIDADE PARA CIMA (a > 0)y = x2 – 2x – 3CONCAVIDADE PARA BAIXO (a < 0)y = – x2 – 2x + 3
  13. 13. 13Figura 4: Estudo das Raízes da Equação do Segundo Grau: a > 0Fonte: autoria do GrupoFigura 5: Estudo das Raízes da Equação do Segundo Grau: a < 0Fonte: autoria do Grupo1.2.3. Função Polinomial de Grau nA função polinomial de grau n é definida por:𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1+ ⋯ + 𝑎0Onde 𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛−1, 𝑎0 ∈ ℝ; 𝑎 𝑛 ≠ 0; 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ, mas a 𝐼𝑚(𝑓) e o gráfico de f dependemessencialmente do grau do polinômio e de 𝑎 𝑛. A figura abaixo ilustra exemplos de equaçõespolinomiais de grau n.       xy       xy       xyDuas raízes reais distintas Duas raízes reais iguais Não existem raízes reaisDuas raízes reais distintas Duas raízes reais iguais Não existem raízes reais       xy           xy           xy
  14. 14. 14Figura 6: Funções Polinomiais de Grau nFonte: autoria do Grupo1.3. Definição de ContinuidadeDados uma função f : X  R, X  R e a  X, dizemos que f é contínua no ponto a separa todo  > 0 , existe  > 0 tal que:7𝑥 ∈ 𝑋, |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)|𝜀Se a função for contínua em todos os pontos do domínio X, dizemos que f : X  R écontínua.De maneira mais simplificada e intuitiva, dizemos que a função f(x) é contínua se, aodesenharmos o gráfico da função, não tiramos o lápis do papel. O gráfico abaixo ilustra estassituações.7Definição extraída de (Oliveira, 2013)         xy           xy
  15. 15. 15Figura 7: Função Contínua e Função Não ContínuaFonte: autoria do GrupoDe acordo com a figura acima, o Caso 1 mostra uma função contínua, isto é, para tododomínio de f(x), existe uma imagem correspondente. Já no Caso 2, no ponto x = 4, a funçãonão é contínua, isto é, não está definido um valor f(x) para x = 4.81.4. Aplicações Práticas de FunçõesO dia a dia está repleto de exemplos aplicação de funções polinomiais de primeiro,segundo e grau n. Diversos ramos da ciência utilizam funções na busca de respostas aosproblemas práticos. A seguir, serão mostrados diversos usos destas funções.98No Caso 2, temos a função f(x) definida por: 𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥) = 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 4𝑔(𝑥) = 𝑥2− 5𝑥 + 6, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 49Os exemplos a seguir foram extraídos de (UERJ, 2013).           xyCASO 1FUNÇÃO CONTÍNUACASO 2FUNÇÃO NÃO CONTÍNUA- 5x + 6- 5x + 6             xy
  16. 16. 161.4.1. Função do Primeiro Grau: Aplicação PráticaExemplo:Sabemos que a pressão da água do mar é função da profundidade. Denotemos por P a pressãoe H a profundidade relativa ao nível do mar. Experimentalmente verifica-se que a pressão daágua ao nível do mar é de 1 atm, (atm = atmosfera) e que acréscimos iguais na profundidadecorrespondem a acréscimos iguais na pressão. Logo, ao passar de um ponto do mar para outrosituado a 1m (m =metro) de profundidade, haverá um aumento da pressão de aproximadamente1 atm. Passando do nível do mar a uma profundidade de H m, a pressão aumentará H × 0,1. Apressão da água, em atmosferas, é dada pela função polinomial do primeiro grau:𝑃 = 𝑓(𝐻) = 0,1𝐻 + 1Figura 8: Gráfico da Função P = f(H)Fonte: autoria do GrupoObservando a função acima, é possível determinar tanto a pressão da água, dadadeterminada profundidade e/ou, qual a profundidade, quando conhecemos a pressão exercidapela água. Por exemplo:         xy
  17. 17. 17(a) Qual a pressão da água quando a profundidade é de 100m?Resolução:𝑃 = 𝑓(𝐻) = 0,1𝐻 + 1𝑃 = 𝑓(100) = 0,1 × 100 + 1∴ 𝑓(100) = 11Portanto, pode-se afirmar que quando a profundidade é de 100 metros, a pressão da águaé de 11 atm.(b) Qual a profundidade quando a pressão da água é de 50 atm?Resolução:𝑃 = 𝑓(𝐻) = 0,1𝐻 + 150 = 0,1 × 𝐻 + 1∴ 𝐻 = 590Portanto, pode-se afirmar que quando a pressão da água é de 50 atm, a profundidade éde 490 metros.1.4.2. Função do Segundo Grau: Aplicação PráticaExemplo:A trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezando a resistência do ar, é dada por umafunção polinomial do segundo grau. A partir de seu deslocamento horizontal (ao longo do eixodos x), obtemos sua altura y. Por exemplo, um objeto é lançado no ar. Se sua altura, em metros,t segundos após o lançamento é dada por 𝑦 = 𝑓(𝑡) = 20𝑡 − 10𝑡2, qual é a altura máximaatingida pelo objeto e em que instante ele a atinge?
  18. 18. 18Figura 9: Gráfico da Função y = f(t)Fonte: autoria do GrupoResolução:Para determinar o ponto máximo que o objeto atinge, basta determinar qual o vértice daparábola da figura acima. Como dito na seção 1.2.2 deste trabalho, a fórmula que determina ovértice é: 𝑣 = (−𝑏2𝑎, −∆4𝑎).Dessa maneira, temos que:𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (𝑥 𝑣, 𝑦𝑣) ={𝑥 𝑣 = −𝑏2𝑎= −202 × (−10)= 1𝑦𝑣 = −∆4𝑎= −√𝑏24𝑎𝑐4 × (−10)=40040= 10∴ 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (𝑥 𝑣, 𝑦𝑣) = (1,10)Portanto, o objeto atingirá o ponto máximo (10 metros), 1 segundo após o lançamento.         xy
  19. 19. 191.4.3. Função Polinomial do Grau n: Aplicação PráticaSuponha que foram introduzidos numa ilha, 144 indivíduos de uma certa espécie demacacos. Inicialmente, a quantidade de indivíduos tende a crescer; após um certo tempo, oalimento e a população de macacos decresce. Se o número de macacos no tempo t, em anos, édado pela expressão P(t) abaixo, em quanto tempo a população se extingue?𝑃(𝑡) = −𝑡4+ 32𝑡2+ 144Resolução:Para saber quando a população se extingue, basta achar as raízes da equação P(t). Para isso,basta igualar P(t) = 0.𝑃(𝑡) = 0 = −𝑡4+ 32𝑡2+ 144−𝑡4+ 32𝑡2+ 144 = −(𝑡 − 6)(𝑡 + 6)(𝑡2+ 4)𝑅𝑎í𝑧𝑒𝑠: 6, −6Portanto, a população será extinta no ano 6 (vale lembrar que 𝑡 ≥ 0. O gráfico abaixoilustra este exemplo.Figura 10: Gráfico da Função P = f(t)Fonte: autoria do Grupo           xy
  20. 20. 202. ANÁLISEDevido às regras da APS, que restringe o número de páginas deste trabalho, optou-sepor demonstrar o histórico do desenvolvimento do conceito de função e também focar a teoriana determinação do grau das funções. Dessa maneira, foram exemplificadas funções dediferentes graus.Em nenhum momento, este trabalho pretendeu esgotar o tema funções. Entretanto,procurou-se organizar a teoria de forma a proporcionar ao leitor o entendimento histórico dasfunções ao longos dos séculos (desde a Idade Média até os tempos atuais) e também resumir osprincipais conceitos e definições de funções praticados atualmente nas escolas.Levando isso em consideração, para cada tipo de função apresentada (primeiro grau,segundo grau e grau n), foram mostradas aplicações práticas destas funções no dia a dia.Assim, para as funções do primeiro grau, foi proposta uma aplicação prática onde serelacionava a profundidade do mar com a pressão exercida pela água. A relação entreprofundidade e pressão é dada por uma expressão linear, onde a pressão aumenta de formadiretamente proporcional à medida em que a profundidade também aumenta. Pelo exemplo, erapossível calcular o valor da pressão dada a profundidade de água. Também era possível calculara profundidade da água em função da pressão exercida. De acordo com a expressão apresentada,foi possível construir um gráfico que mostrava como a pressão aumentava de acordo com oaumento da profundidade.É interessante notar que, no nível do mar, a pressão exercida pela atmosfera já é de 1atm. Assim, para cada 10 metros de profundidade da água, a pressão aumentava linearmenteem uma unidade. A partir deste exemplo dado, o professor também pode explorar um poucoalguns conceitos de física básica, tais como: pressão, empuxo e força. Todas essas grandezaspossuem uma relação linear em relação à profundidade da água.Inúmeros exemplos de funções de primeiro grau podem ser explorados pelosprofessores, tais como: modelo de precificação da passagem de táxi (que aumenta linearmenteem função da quantidade de quilômetros rodados pelo taxi); preço da conta de luz aoconsumidor no Brasil, onde o preço é também diretamente proporcional ao consumo de energiaelétrica do cliente, medido em KWh.Para ilustra a aplicação de função de segundo grau no dia a dia, foi escolhida uma funçãoque relaciona a trajetória de um corpo lançado por um objeto lançado em função do tempo. Deacordo com a função apresentada, era possível estimar a altura máxima atingida pelo objeto eem quanto tempo após o lançamento ele estaria no ponto máximo. Da mesma maneira, dado
  21. 21. 21um tempo t, podia-se calcular qual a altura do objeto naquele momento. Este tipo de exercícioé uma aplicação direta da física mecânica. Assim, como no exemplo anterior, o professor podeexplorar conceitos básicos de física tais como: resistência do ar, força, distância.Exercícios como estes são bastante comuns em livros didáticos e provas de cursos evestibulares. Com isso, o professor pode ir além e incluir novos exemplos de aplicações dosegundo grau para o aluno. Por exemplo, fios de alta tensão que passam pelas torres detransmissão são dispostos de maneira a considerar a dilatação e contração devido ao calor efrio, respectivamente. Com isso, caso o fio seja deixado muito esticado, quando houver umabrusca diminuição da temperatura, haverá uma grande significativa contração, podendo causaruma acidente no momento em que este fio diminuir de tamanho. Da mesma maneira, quandohouver uma alta temperatura ambiente, este fio irá se dilatar, podendo alcançar acidentes,mesmo não sendo tão comum quanto o caso anterior. Também, em época de Copa do Mundo,pode ser bastante interessante ao aluno saber qual a distância máxima atingida por uma bolachutada por um goleiro com uma determinada força.Já em relação à funções de grau n, foi escolhido um exemplo que possui relação com abiologia uma vez que o exercício fazia relação com os habitantes (macacos) de uma ilha e otempo total de extinção da população. A função era de grau 4 e foi possível observar a tendênciade crescimento através do gráfico. Neste caso, a população seria extinta em 6 anos, a partir domomento inicial.Este exemplo poderia ser ampliado para a matéria de biologia, por exemplo, estimandoa contagem de uma população de bactérias em determinado tempo ao longo de um estudo.A escolha destes exemplos foi precedida de uma análise histórica das provas do ENEM– Exame Nacional do Ensino Médio, que nos últimos anos está procurando relacionar conceitosaprendidos em sala de aula com a vida cotidiana da população. Isso é muito positivo para oaluno, que é capaz de perceber como a teoria que aprende dentro da sala de aula é aplicada naprática em seu dia a dia.Neste sentido, foi possível observar que os trabalhos acadêmicos, principalmente deMestrado e Doutorado estão procurando relacionar sempre teoria e prática, mostrandodiferentes abordagens para o ensino do aluno, em especial do ensino médio.Essa mudança de paradigma também pode ser observada nos livros didáticos. Aospoucos, as páginas que antes eram exclusivamente de teoria já procuram adicionar exemplospráticos sobre os conceitos dados em sala de aula. Para as ciências da Natureza, por exemplos,inúmeras experiências são propostas para o aluno realizar individualmente ou em grupo,visando aumentar o interesse pelo assunto ministrado pelo professor.
  22. 22. 22Se o professor dispuser de um laboratório de informática, ele poderá explorar asmudanças no gráfico das funções quando os parâmetros são modificados. Por exemplo, o queacontece com o gráfico quando f(x) é multiplicado e/ou dividido por um número real. Isto é,qual o deslocamento do gráfico ao longo dos eixos. Porém, esses aspectos ainda não estão sendobastante explorados pelos livros didáticos.Assim, de maneira geral, a forma com que o conceito de função está sendo transmitidoaos alunos está sendo modificado. Pode-se perceber que a ideia é adequar o conteúdo dos livrossejam adaptados ao que se pede nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Mesmo que, em algunscasos, essa adaptação ainda ocorra de forma bastante lenta, a tendência é que os livros consigamexpor todos os conceitos matemáticos relacionando-os com as aplicações práticas cotidianasdas pessoas, retomando a percepção dos alunos que a matemática é de extrema importância emsua vida.
  23. 23. 233. RESULTADOSO Brasil está passando por um momento bastante singular no que diz respeito ao seudesenvolvimento econômico e social. Nos próximos três anos, o País será sede dos dois maioreseventos esportivos: Copa do Mundo de Futebol (2014) e Olimpíadas (2016).É sabido que os alunos em período escolar (ensino básico, fundamental e médio)possuem um grande interesse por esportes. Saber utilizar este interesse e levar para dentro dasala de aula situações reais para os alunos pode ser bastante importante, tanto para o professorquanto ao aluno, para a fixação da matéria. Ainda mais quando se pensa na dificuldade emrelação ao ensino da matemática.10Dessa maneira, torna-se essencial ao professor saber chamar a atenção do aluno para aimportância da matemática na vida de seu aluno.Para futuros estudos, a sugestão deste trabalho para professores é o desenvolvimento dematerial didático na área de funções cujo conteúdo tenha relação com a Copa do Mundo eOlimpíadas.Pode-se, por exemplo, aplicar conceitos econômico-financeiros para que o aluno estimequal a renda de um jogo na copa do mundo, a partir do preço unitário do ingresso e a lotaçãodo estádio. Da mesma maneira, é possível estimar a despesa de um time com deslocamento,considerando a distância da delegação ao estádio e as diversas sedes que o Brasil terá na Copado Mundo (vale lembrar que os jogos serão disputados nas cinco regiões brasileiras).Outra possibilidade é utilizar funções aplicadas ao atletismo. Por exemplo, o lançamentode dardo, disco e salto em distância são funções da força aplicada pelo atleta no momento dosalto e/ou arremesso e a trajetória desenvolvida é uma parábola, que é definida por uma funçãodo segundo grau.Para isso, pode-se utilizar importantes ferramentas para o auxílio do aluno no momentodo aprendizado. A sugestão é a aplicação de sequência didática com o uso do software Winplot,um software gratuito para auxílio do aprendizado de Cálculo Diferencial e Integral bastanteutilizado nos cursos de licenciatura em matemática no Brasil. De interface bastante amigável esimples, é possível construir gráficos, integrais, áreas, volumes, etc., a partir dos exemplos10Um relatório do Fórum Econômico Mundial, publicado no dia 10/04/13, aponta o Brasil como um dos piorespaíses do mundo nos ensinos de matemática e ciências. Entre 144 nações avaliadas, o país aparece na 132ª posição,atrás de Venezuela, Colômbia, Camboja e Etiópia. Outro dado alarmante é a situação do sistema educacional, quealcança o 116º lugar no ranking - atrás de Etiópia, Gana, Índia e Cazaquistão. Os dois indicadores regrediram emrelação à edição 2012 do relatório, em que estavam nas 127ª e 115ª posições. (VEJA, 2013)
  24. 24. 24encontrados nos livros didáticos de matemática. Os comandos são simples e basta o alunoexplorar o programa que conseguirá extrair valiosa ajuda para seu entendimento.11Dessa maneira, diante do que foi estudado neste trabalho, espera-se que este conteúdoseja útil ao professor no momento de considerar a relação entre funções e aplicações práticasno dia a dia do aluno.Diversas situações cotidianas mostram a importância de se mostrar ao aluno onde elepoderá aplicar o que foi aprendido dentro da sala de aula. Muitos alunos perguntam aoprofessor: “- Onde eu uso isso?”. No momento em que o professor consegue trazer exemplosreais da vida do aluno à matéria que está sendo dada, a aula torna-se mais prazerosa e oaprendizado pelo aluno mais eficiente e eficaz.Por fim, com o objetivo de maximizar o aproveitamento do aluno, a recomendação éunir aulas expositivas com aulas de informática, através do uso de softwares matemáticos,visando melhorar o aprendizado e ilustrar as aplicações práticas do conteúdo estudado.11Para download gratuito do programa, basta acessar o site: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
  25. 25. 25BIBLIOGRAFIAAcademy, P. E., 2013. Phillips Exeter Academy. [Online] Available at:http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html [Acesso em 02/05/13 Maio 2013].Brasil, 2006. Guia do livro didático 2007: matemática: séries/anos iniciais do ensinofundamental. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica.Brasil, 2013. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática.. Brasília: Secretaria daEducação Fundamental.Bueno, R. W. d. S. & Viali, L., 2009. A Construção Histórica do Conceito de Função.Educação Matemática em Revista, 1(10), pp. 37-47.Chaves, M. I. d. A. & Carvalho, H. C. d., 2004. Formalização do Conceito de Função noEnsino Médio: Uma Sequência de Ensino-Aprendizagem. VII Encontro Educacional deEducação Matemática, 15-18 julho.Ministério da Educação, 2000-2012. Exame Nacional do Ensino Mèdio. Brasília: s.n.Oliveira, S. S. d., 2013. [Online] Available at: http://www.professores.uff.br/salete/[Acesso em 12/05/13 2013 2013].Reis, A. M., 2011. Uma proposta dinâmica para o ensino de função afim a partir de erros dosalunos no primeiro ano do ensino médio. Ponticícia Universidade Católica, Issue Dissertaçãode Mestrado, p. 171.Sá, P. F., Souza, G. d. S. & Silva, I. D. B. d., 2003. A Construção do Conceito de Função:Alguns dados Históricos. 6(11), pp. 81-92.UERJ, 2013. Cálculo: Volume 1. Em: D. d. A. Matemática, ed. s.l.:UERJ.VEJA, R., 2013. REVISTA VEJA. [Online]Available at: http://veja.abril.com.br/noticia/educacao/matematica-e-ciencias-no-pais-sao-piores-do-que-na-etiopia [Acesso em 09/05/13 Maio 2013].

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