SFC Design theory 2012 6/13

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慶應義塾大学SFC大学院授業「デザインセオリー」第9回の講義資料です

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  • 1. Design Theory第9回 2012 6/13 村松 充 政策・メディア研究科 後期博士課程3年目 X-Design Program 山中デザイン研究室
  • 2. Lecture Theme CAXD -Computer Aided X-Design- ■3DCG基礎  ー3次元表現のための数学基礎 ■滑らかな形の科学  ー3D CAD による形状表現 ■自然、物理学と形 ■コンピューターによるX-Design  ー動きのデザイン、シミュレーション  ーアルゴリズムによる形状生成
  • 3. Lecture Theme CAXD -Computer Aided X-Design- ■3DCG基礎  ー3次元表現のための数学基礎 ■滑らかな形の科学  ー3D CAD による形状表現 ■自然、物理学と形 ■コンピューターによるX-Design  ー動きのデザイン、シミュレーション  ーアルゴリズムによる形状生成
  • 4. Lecture 2 滑らかな形の科学 滑らかな形状をCADでモデリングするために必要な 曲線の性質、理論、数学を学ぶ
  • 5. Lecture 2 「滑らかさ」は数学的に定義することが出来る 美しい形の作り方を教える事は難しい 「滑らか」な形を作るための理論を知る事は 美しい形を作るための助けになる。(と思っています)
  • 6. Computer Aided Design CAD ーコンピューター支援設計ー 製品の形状、その他の属性データからなるモデルを、 コンピュータの内部に作成し解析・処理することに よって進める設計 JIS(日本工業規格) における定義
  • 7. Computer Aided Design CAD ーコンピューター支援設計ー 主にハードウェアを対象として、設計対象に合わせた 様々なソフトウェアが開発されている。 ex) 車、製品筐体、機械、建築、電子回路
  • 8. Computer Aided Design 主なモデリングのシステム サーフェスモデリング ワイヤーフレームに面を張っていくことで形状を生成 - Rhinoceros, Autodesk Alias, ...etc ソリッドモデリング 塊(ソリッド)のモデルに操作を加える事で形状を生成 - Solidworks, Autodesk Inventor, ...etc ポリゴンモデリング ポリゴンを操作して形状を生成(CADでは使われない) - Blender, Autodesk Maya, modo ...etc ※上に挙げたのはそのソフトが得意とするモデリング手法ですが  ほとんどのソフトが複数のモデリング手法に対応しています
  • 9. Computer Aided Design 主なモデリングのシステム サーフェスモデリング ワイヤーフレームに面を張っていくことで形状を生成 複雑な曲面を作成出来るため、主に車のボディや 工業製品の外装等の意匠面の設計に用いられる
  • 10. Computer Aided Design 主なモデリングのシステム ソリッドモデリング 塊(ソリッド)のモデルに操作を加える事で形状を生成 モデリングの履歴を保持出来るため、後から設計パラメーター を変更する機械部品の設計等に用いられる
  • 11. Computer Aided Design 主なモデリングのシステム 複雑な曲面ー滑らかな線、面ーのモデリングには 主にサーフェスモデリングが用いられる。 サーフェスモデリングにおいて重要な 「滑らか」な曲線、曲面の概念を理解する
  • 12. Computer Aided Design Smooth Curve 「滑らか」とは?
  • 13. Computer Aided Design Smooth Curve 「滑らか」な曲線は?
  • 14. Computer Aided Design Smooth Curve 「滑らか」な曲線は?
  • 15. Computer Aided Design 直線 円弧 直線
  • 16. Computer Aided Design 直線 円弧 直線
  • 17. Computer Aided Design Smooth Curve 車の動きとステアリングの角度の関係 θ 動く前の車の向きから θだけ回転した方向に L Lの距離進む
  • 18. Computer Aided Design ステアリングを一定角度に 保っていると、一定の半径の θ 円弧を描くように動く 車の動きの軌跡は、ハンドル の角度に反比例する半径の大 きさの円弧の集合になる
  • 19. Computer Aided Design ー車体の向きをΦ ーステアリングの向きをθ Φ ー単位時間に移動可能な距離をL θ とすると 一定時間後の車の位置は X = L*cos(Φ+θ) Y = L*sin(Φ+θ)
  • 20. Computer Aided Design Smooth Curve
  • 21. Computer Aided Design Smooth Curve クロソイド曲線
  • 22. Computer Aided Design Smooth Curve 直線 滑らかなカーブ 直線
  • 23. Computer Aided Design Smooth Curve ハンドルの傾きを徐々に変化させ て曲がることが出来るカーブが 「滑らか」なカーブ
  • 24. Computer Aided Design Smooth Curve CAD、工業製品の曲線/曲面において 「滑らかさ」はどのような意味を持つか?
  • 25. Computer Graphics Basic Environmental Mapping 映り込みの表現 前回説明した拡散反射光、鏡面反射光に加えて、 金属や磨かれた樹脂表面では、周りの景色が映り込む
  • 26. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ー環境マッピングー 映り込みを表現するために物体の外側の球面に景色等の テクスチャを張りつけ、反射して見える景色を近似的に 計算し、映り込みを表現する。
  • 27. Computer Graphics Basic Environmental Mapping 反射 視点 物体
  • 28. Computer Graphics Basic Environmental Mapping nV n * refEV refEV R eV eV |eV|*cos(θ)*nV P(x,y) θ
  • 29. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ーサンプルプログラムー http://www.openprocessing.org/sketch/63980
  • 30. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ーCADソフト上で確認ー
  • 31. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ーCADソフト上で確認ー
  • 32. Computer Graphics Basic Environmental Mapping ーCADソフト上で確認ー
  • 33. Computer Aided Design Smooth Curve ハンドルの傾きを徐々に変えながら走る車の軌跡のような 「滑らか」な曲線を使用する事は 曲面上の綺麗な映り込みを実現するために重要である
  • 34. Computer Aided Design Smooth Curve 「ハンドルの傾きが徐々に変わる」 曲面の性質としてはどのように定義することが出来るか?
  • 35. Computer Aided Design Smooth Curve ステアリングを一定角度に 保っていると、一定の半径の θ 円弧を描くように動く 車の動きの軌跡は、ハンドル の角度に反比例する半径の大 きさの円弧の集合になる
  • 36. Computer Aided Design Smooth Curve ステアリングを一定角度に保っていると、一定の半径 の円弧を描くように動く 車の動きの軌跡は、ハンドルの角度に反比例する半径 の大きさの円弧の集合になる 曲線Sを、ハンドルの角度θで微小な時間 Δt 走った時の軌道である円弧ΔS の集合と定義 ※実際の車ではハンドルの角度と車の向き(タイヤの傾き)は一致しま せんが、ここでは簡略化のためこのようなモデルとして定義します。
  • 37. Computer Aided Design Smooth Curve 曲線Sを、ハンドルの角度θで微小な時間 Δt 走った時の軌道である円弧ΔS の集合と定義 「ハンドルの角度θが徐々に変化する」という ことは「θによって決まる円弧ΔS の曲がり具 合が徐々に変化する」ことである。 曲がり具合がなだらかに変化する →曲線が滑らかである
  • 38. Computer Aided Design Smooth Curve 曲がり具合の定義 角度θによって決まる微小な円弧の曲がり具合 (カーブの急さ)はその円弧の半径に反比例する。 R1 R2 R1>R2
  • 39. Computer Aided Design Smooth Curve 曲がり具合の定義 曲線を細かくわけた時に出来る微小な 円弧の半径を「曲率半径」 曲率半径に反比例する曲がり具合を表す パラメーターを「曲率」 と定義
  • 40. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める Δ Δθ (曲率半径) R θ ΔS Φ Φ+Δθ
  • 41. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める Δ ΔS = R*Δθ θ R = ΔS / Δθ θ (曲率半径) R Δ ΔS
  • 42. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める ΔS C(t+Δt) [x+Δx,y+Δy] C(t) [x,y]
  • 43. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める Δ v Δθの求め方は少しややこしいので v+ 割愛します。 Δv(接線の変化率)で表せる事に着目 v v Δ Δv |v| = |v+Δv|=1 とする v+ Δθ Δvは微小なので |Δv| = |v|*Δθ v
  • 44. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率の定義 曲率(曲線上のある点における曲がり具合) 1 C=ー R (曲率半径の逆数) Δθ C=ー ΔS
  • 45. Computer Aided Design Smooth Curve 曲率半径を求める 曲率半径を求めるには、曲線の接線の変化率を用いる 接線:曲線の傾き、曲線の変化率 →曲線の一階微分 曲率:曲線の曲がり具合、接線の変化率 →曲線の二階微分
  • 46. Computer Aided Design Smooth Curve 滑らかな曲線 曲率が連続している曲線 →曲線の二階微分が連続している
  • 47. Computer Aided Design Curve Continuity 曲線の連続性 C0連続 (位置連続) 位置が連続している曲線 C1連続 (接線連続) 接線(一階微分)が連続している曲線 C2連続 (接線連続) 曲率 (二階微分) が連続している曲線 … Cn連続 n階微分 が連続している曲線
  • 48. Computer Aided Design Curve Continuity Gn連続 CADのソフトウェア上では、 Cn連続性ではなく、 Gn連続性が用いられる。 Gn連続性は「許容される範囲内で」n階の連続性が 保たれる、という意味で、数学的に厳密でないプロ グラム上ではGn連続性が用いられる。
  • 49. Computer Aided Design Bezier Curve ベジェ曲線の連続性
  • 50. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線
  • 51. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線
  • 52. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線
  • 53. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線 一階微分 二階微分
  • 54. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線 3次のベジェ曲線は、曲線上すべての点で曲率 が連続している。(G2連続である) n次のベジェ曲線 n次のベジェ曲線は、曲線上すべての点でG(n-1) 連続になる。
  • 55. Computer Aided Design PA1 PA2 Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 PA0 PB0 PA3 PB2 PB1 PB3 PA3 = PB0 であれば、位置連続 (曲線は接続されている)
  • 56. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 接線連続で接続する条件 Ba(1)と Bb(0) での接線(微分)が等しければ、 2曲線は接線連続になる。
  • 57. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 接線連続で接続する条件
  • 58. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 接線連続で接続する条件 PA3 - PA2 PB1 - PB0
  • 59. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 曲率連続で接続する条件 Ba(1)と Bb(0) での曲率(二階微分)が等しければ、 2曲線は曲率連続になる。
  • 60. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 曲率連続で接続する条件
  • 61. Computer Aided Design Bezier Curve 3次のベジェ曲線の接続 曲率連続で接続する条件