Álgebra matemáticas

1. ´
Algebra Conmutativa
Simplificada
Diciembre-2003

2. 2

3. ´
Indice General
1 M´dulos
o
1.1 Anillos. Ideales . . . . .
1.2 M´dulos . . . . . . . . .
o
1.3 Localizaci´n de m´dulos
o
o
1.4 Longitud de un m´dulo
o
1.5 Problemas . . . . . . . .
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5
5
9
13
17
19
2 Dominios de ideales principales. M´dulos
o
2.1 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . .
2.2 Teoremas de descomposici´n . . . . . . . . . . . . . .
o
2.3 Clasificaci´n de los grupos abelianos finito generados
o
2.4 Clasificaci´n de los endomorfismos lineales . . . . . .
o
2.4.1 Matrices de Jordan . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Factores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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23
23
25
29
29
30
34
36
3 Producto tensorial. M´dulos proyectivos e inyectivos
o
3.1 Categor´
ıas. Funtor de homorfismos . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Construcci´n del producto tensorial . . . . . . . . . . . . .
o
3.3 Propiedades del producto tensorial . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Producto tensorial de ´lgebras . . . . . . . . . . . . . . . .
a
3.6 M´dulos planos y proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.7 M´dulos inyectivos. Criterio del ideal . . . . . . . . . . . . .
o
3.7.1 Aplicaci´n a sistemas en derivadas parciales lineales
o
3.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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41
41
43
45
47
48
48
51
52
53
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Indice de t´rminos
e
55
Bibliograf´
ıa:
´
1. M. Atiyah, I.G. Macdonald: Introducci´n al Algebra Conmutativa, Ed. Revert´, Barcelona
o
e
(1973).
2. W. Fulton: Curvas Algebraicas, Ed. Revert´, Barcelona (1971).
e
3

4. 4
´
INDICE GENERAL
3. S. Lang: Algebra, Addison Wesley, (1971).
4. H. Matsumura: Commutative Algebra, W.A. Benjamin Co, New York (1970).
´
5. J.A. Navarro: Algebra Conmutativa B´sica, Manuales UNEX, n§ 19, (1996).
a
6. R. Hartshorne: Algebraic Geometry, GTM n§ 52, Springer Verlag (1977).

5. Cap´
ıtulo 1
M´dulos
o
1.1
Anillos. Ideales
Comencemos con una revisi´n r´pida de la definici´n y propiedades elementales de los anillos.
o a
o
+
Definici´n 1.1.1. Un anillo A es un conjunto con dos operaciones A × A → A, (a, a ) → a + a ,
o
·
A × A → A, (a, a ) → a · a 1 , que denominamos suma y producto, tales que
1. A es un grupo abeliano con respecto a la suma (luego, tiene un elemento cero, que se denota
por 0, y cada a ∈ A tiene un opuesto que se denota por −a).
2. La multiplicaci´n es asociativa ((a · b) · c = a · (b · c)) y distributiva (a · (b + c) = a · b + a · c).
o
Adem´s s´lo consideraremos anillos conmutativos con unidad, es decir verificando
a o
3. ab = ba, para todo a, b ∈ A.
4. Existe un elemento 1 ∈ A tal que a1 = 1a = a, para todo a ∈ A.
A lo largo del libro entenderemos anillo por anillo conmutativo con unidad. Ejemplos de anillos son
Z, el anillo de funciones reales continuas C(X) de un espacio topol´gico X, los anillos de polinomios
o
C[x1 , . . . , xn ], los anillos de series formales C[[x1 , . . . , xn ]], etc.
Definici´n 1.1.2. Diremos que un anillo es un cuerpo si para cada a ∈ A no nulo, existe el inverso
o
respecto de la multiplicaci´n, que denotaremos a−1 .
o
Los anillos Q, R, C son cuerpos.
Definici´n 1.1.3. Una aplicaci´n f : A → B entre los anillos A y B, diremos que es un morfismo de
o
o
anillos si cumple
1. f (a + a ) = f (a) + f (a ), para toda a, a ∈ A.
2. f (aa ) = f (a)f (a ), para todo a, a ∈ A.
1 Ser´
a
usual utilizar la notaci´n a · a = aa
o
5

6. 6
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o
3. f (1) = 1.
Ejemplo 1.1.4. La aplicaci´n C[x] → C, p(x) → p(33), es un morfismo de anillos. Dada una
o
aplicaci´n continua φ : X → Y entre espacios topol´gicos, la aplicaci´n φ : C(Y ) → C(X), f → f ◦ φ
o
o
o ˜
es un morfismo de anillos.
La imagen Im f es un subanillo de B, es decir, un subconjunto de B que con las operaciones de B
es anillo. La composici´n de morfismos de anillos es un morfismo de anillos.
o
Definici´n 1.1.5. Un subconjunto I ⊆ A diremos que es un ideal de A si es un subgrupo para la
o
suma y cumple que a · i ∈ I, para todo a ∈ A y todo i ∈ I.
La intersecci´n de ideales es un ideal. Dado un subconjunto F ⊆ A, denotaremos por (F ) al
o
ideal m´
ınimo de A que contiene a F (que es la intersecci´n de todos los ideales que contienen a F ).
o
Expl´
ıcitamente (F ) = {a ∈ A : a =
n
i=0
ai fi con fi ∈ F, ai ∈ A y n ∈ N variables}. Dado a ∈ A,
tambi´n notaremos (a) = aA.
e
Como I es un subgrupo de A, podemos considerar el grupo cociente A/I, donde
¯
A/I = {¯, a ∈ A, de modo que a = a ⇐⇒ a − a ∈ I}
a
¯
¯ ¯
e
Ahora bien, el producto a · a = a · a dota a A/I de estructura de anillo (compru´bese) y es la
def
unica estructura de anillo que podemos definir en A/I, de modo que el morfismo de paso al cociente
´
A → A/I, a → a, sea un morfismo de anillos.
¯
Dado un morfismo f : A → B de anillos, el n´cleo de f , Ker f = {a ∈ A : f (a) = 0}, es un ideal.
u
def
¯
´
Si J ⊆ A es un ideal incluido en Ker f , entonces existe un unico morfismo de anillos f : A/J → B
¯(¯) = f (a)) de modo que el diagrama
(definido por f a
f
/B
AC
CC
{=
CC
{{
{
C
π CC
{{ ¯
!
{{ f
A/J
es conmutativo, siendo π el morfismo de paso al cociente.
o
La antimagen por un morfismo de anillos de un ideal es un ideal. Es inmediata la proposici´n
siguiente.
Proposici´n 1.1.6. Sea I ⊆ A un ideal y π : A → A/I, a → a el morfismo de paso al cociente. Se
o
¯
verifica la correspondencia biun´
ıvoca
Ideales de A que
contienen a I
J
Â
π −1 (J ) o
{Ideales de A/I}
/ π(J)
Â
J

7. 1.1.
Anillos. Ideales
7
Definici´n 1.1.7. Un ideal p ⊂ A diremos que es un ideal primo de A si cumple que si ab ∈ p
o
=
entonces a ∈ p o b ∈ p.
Un elemento a ∈ A diremos que es un divisor de cero si existe b ∈ A, no nulo tal que ab = 0.
Diremos que un anillo es ´
ıntegro si el unico divisor de cero es el cero. Por ejemplo, los cuerpos son
´
anillos ´
ıntegros.
Proposici´n 1.1.8. Un ideal p ⊂ A es un ideal primo si y s´lo si A/p es un anillo ´
o
o
ıntegro.
=
Demostraci´n. Supongamos que p ⊂ A es un ideal primo. Si a · a = 0 en A/p entonces a · a = 0,
o
¯ ¯
luego a · a ∈ p. Por tanto, o a ∈ p o a ∈ p, luego o a = 0 o a = 0. En conclusi´n A/p es ´
¯
¯
o
ıntegro.
Rec´
ıprocamente, supongamos que A/p es ´
ıntegro. Si a · a ∈ p, entonces a · a = 0 en A/p. Por
tanto, a · a = 0, luego o a = 0 o a = 0. Es decir, o a ∈ p o a ∈ p. En conclusi´n, p es un ideal primo.
¯ ¯
¯
¯
o
Definici´n 1.1.9. Diremos que un ideal m ⊂ A es maximal si los unicos ideales que contienen a m
o
´
=
son m y A.
Proposici´n 1.1.10. En todo anillo A = 0 existen ideales maximales.
o
o ıpica del lema de Zorn (que puede evitarse en anillos noetheDemostraci´n. Esta es una aplicaci´n t´
o
rianos, m´s tarde estudiados). Sea X el conjunto de los ideales de A, distintos de A. En X podemos
a
definir una relaci´n de orden: decimos que un ideal I es menor o igual que otro I cuando I ⊆ I .
o
Observemos que toda cadena de ideales, distintos de A tiene una cota superior: la uni´n de los ideales
o
de la cadena (que es distinto de A, pues el 1 no est´ en ninguno de ellos, ni por tanto en la uni´n).
a
o
El lema de Zorn nos dice que existen elementos de X maximales, es decir, existen ideales maximales.
Ejercicio 1.1.11. En todo anillo A = 0 existen ideales primos minimales.
Corolario 1.1.12. Todo ideal I ⊂ A est´ incluido en un ideal maximal.
a
=
Demostraci´n. Sea π : A → A/I el morfismo de paso al cociente. En la correspondencia biun´
o
ıvoca
Ideales de A
que contienen a I
J
Â
π −1 (J ) o
{Ideales de A/I}
/ π(J)
Â
J
los ideales maximales de A que contienen a I se corresponden con los ideales maximales de A/I, que
no es vac´ por la proposici´n anterior.
ıo
o
Un elemento a ∈ A es invertible si y s´lo si (a) = A (suponemos A = 0). Por tanto, a ∈ A es
o
u
invertible si y s´lo si no est´ incluido en ning´n ideal maximal. En particular, un anillo es un cuerpo
o
a
si y s´lo si los unicos ideales del anillo son el (0) y todo el anillo.
o
´

8. 8
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o
Proposici´n 1.1.13. Un ideal m ⊂ A es maximal si y s´lo si A/m es un cuerpo. En particular, los
o
o
=
ideales maximales son ideales primos, por la proposici´n 1.1.8.
o
Demostraci´n. A/m es cuerpo si y s´lo si el unico ideal maximal es el (0). Que equivale a decir que
o
o
´
el unico ideal maximal que contiene a m es m, es decir, que m es maximal.
´
Definici´n 1.1.14. Se llama espectro primo de un anillo A al conjunto Spec A de sus ideales primos.
o
Notaci´n: Un ideal primo lo denotaremos por x cuando lo consideremos como elemento de Spec A,
o
y por px cuando lo consideremos como ideal de A.
Sea S un sistema multiplicativo de A (es decir, 1 ∈ S y si s, s ∈ S entonces s·s ∈ S). Consideremos
la localizaci´n de A por S, AS , es decir,
o


a
 , a ∈ A y s ∈ S : a = a si existen s1 , s2 ∈ S tales que las fracciones 



s
s
s
2
AS =
s1 a s2 a





,
tienen el mismo numerador y denominador
s1 s s2 s
.
Con la suma y producto ordinarios de fracciones AS es un anillo.
Teorema 1.1.15. Existe una correspondencia biun´
ıvoca entre los ideales primos de AS y los ideales
primos de A que no cortan con S. Expl´
ıcitamente, si p es un ideal primo de AS existe un unico ideal
´
primo q de A que no corta con S, tal que p = q · AS
Demostraci´n. Sea p ⊆ AS un ideal primo. Consideremos el morfismo de localizaci´n A → AS . Sea
o
o
q la antimagen de p por el morfismo de localizaci´n. Es decir, q := {a ∈ A : a ∈ p}. Es claro que
o
1
p = q · AS , pues dado a ∈ p, a = a · 1 , y a ∈ p. Adem´s q es un ideal primo de A que no corta con
a
s
s
1 s
1
S, porque si s ∈ q ∩ S entonces 1 = s ∈ p.
s
Dado un ideal primo q de A que no corta con S, se cumple que q · AS es un ideal primo de AS :
Si a · a = sq , con q ∈ q, entonces existe t ∈ S de modo que taa = tq ∈ q, luego a ∈ q ´ a ∈ q. En
o
s s
o s
o
conclusi´n a ∈ q · AS ´ a ∈ q · AS . Adem´s, la antimagen de q · AS por el morfismo de localizaci´n
o s
a
es q: si a = q , con q ∈ q, existe t ∈ S de modo que ta = tq ∈ q, luego a ∈ q. Obviamente a ∈ q · AS ,
1
s
1
si a ∈ q.
Con todo hemos concluido.
Notaci´n: Sea A un anillo. Si f ∈ A, denotaremos Af la localizaci´n de A por el sistema
o
o
multiplicativo S = {1, f, f 2 , . . . , f n , . . . }. Denotemos por (f )0 el conjunto de los ideales primos de A
que contienen a f .
Si x es un punto de Spec A, denotaremos por Ax la localizaci´n de A por el sistema multiplicativo
o
S = A − px .
Corolario 1.1.16. El espectro de Af es igual Spec A − (f )0 .
Demostraci´n. Por el teorema anterior, Spec Af se corresponde con los ideales primos px de A que
o
no cortan con S = {1, f, f 2 , . . . , f n , . . . }. Que equivale a decir que Spec Af se corresponde con los
ideales primos px de A que no contienen a f , es decir, Uf .
2 Observemos
a
s
=
a
s
.
que efectivamente
a
s
=
a
,
s
que si
a
s
=
a
s
entonces
a
s
=
a
,
s
y que si
a
s
=
a
s
y
a
s
=
a
s
entonces

9. 1.2.
M´dulos
o
9
Ejercicio 1.1.17. Sea C(Rn ) el anillo de funciones reales continuas sobre Rn . Sea U un abierto de
Rn , C(U ) es el anillo de funciones reales continuas sobre U y S el sistema multiplicativo formado
por las funciones que no se anulan en ning´n punto de U . Probar que existe un isomorfismo natural
u
d(x,U c )
C(Rn )S = C(U ). (Pista: dada h ∈ C(U ), s(x) = 1+h2 (x) no se anula en U , s y f = h·s son restricci´n
o
de funciones continuas de Rn y h = f ).
s
Corolario 1.1.18. Los ideales primos de Ax se corresponden con los ideales primos de A contenidos
´
en px . En particular, Ax tiene un unico ideal maximal, que es px · Ax .
Demostraci´n. Spec Ax se corresponde con los ideales primos de A que no cortan con A − px . Es
o
decir, con los ideales primos de A contenidos en px .
Definici´n 1.1.19. Los anillos con un unico ideal maximal se les denomina anillos locales.
o
´
Definici´n 1.1.20. Dado un anillo A llamaremos radical de A al ideal formado por el conjunto de
o
los elementos nilpotentes de A, es decir, si por denotamos rad A al radical de A entonces
rad A = {a ∈ A : an = 0, para alg´n n ∈ N}
u
Es decir, una funci´n es nilpotente si y s´lo si se anula en todo punto.
o
o
o
Corolario 1.1.21. El radical de un anillo coincide con la intersecci´n de todos los ideales primos del
anillo:
rad A =
∩ px
x∈Spec A
Es decir, una funci´n es nilpotente si y s´lo si pertenece a todo ideal primo.
o
o
Demostraci´n. Si f ∈ A es nilpotente, i.e., f n = 0 para un n ∈ N, entonces f ha de pertenecer a todo
o
ideal primo de A. Luego rad A ⊆
∩ px .
x∈Spec A
Sea ahora f ∈
∩
x∈Spec A
px . Por el corolario anterior Spec Af = ∅. Por tanto, Af = 0, es decir,
1
1
= 0 . Luego existe un f n ∈ {1, f, f 2 , . . . }, de modo que f n · 1 = f n · 0 = 0. Entonces f es nilpotente.
1
En conclusi´n rad A ⊇
o
∩ px y hemos terminado.
x∈Spec A
1.2
M´dulos
o
Los espacios vectoriales son el ejemplo m´s sencillo y usual de espacio geom´trico. Muchos problemas
a
e
se resuelven linealiz´ndolos, lo que permite aplicarles adem´s la intuici´n geom´trica. A˜adamos, en
a
a
o
e
n
esta breve justificaci´n de la introducci´n de los espacios vectoriales, que muchas de las estructuras
o
o
usuales en Matem´ticas son estructuras de espacios vectoriales.
a
Si I es un ideal de un anillo A, es un grupo conmutativo respecto de la suma de A y el producto
o
de A define una aplicaci´n A × I → I que verifica todos los axiomas de espacio vectorial, salvo la
condici´n de que los escalares formen un cuerpo; lo que resumiremos diciendo que I es un A-m´dulo.
o
o
o
o
En esta secci´n iniciaremos el estudio de la estructura de m´dulo sobre un anillo A y veremos que casi
´
todas las definiciones del Algebra Lineal (subm´dulos, cocientes, sumas y productos directos, producto
o
o
o
tensorial, etc.) pueden generalizarse para los A-m´dulos; aunque la frecuente existencia de m´dulos
que no admiten bases introduzca grandes modificaciones en la teor´ de m´dulos. La posibilidad de
ıa
o
efectuar muchas operaciones (cocientes, sumas directas, productos tensoriales, etc.) que carecen de
ıa
o
a
ıa
sentido en los ideales hace que la teor´ de m´dulos sea mucho m´s flexible y natural, que una teor´

10. 10
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o
restringida unicamente a los ideales. Esta generalidad no complica las demostraciones, sino que la
´
´
posibilidad de usar las operaciones b´sicas del Algebra Lineal las aclara y simplifica.
a
Los m´dulos aparecen tambi´n con frecuencia en Matem´ticas. Ya veremos que los grupos abeo
e
a
lianos y los espacios vectoriales con un endomorfismo lineal son ejemplos de m´dulos, y que su clasio
ficaci´n es la clasificaci´n de la estructura de m´dulos.
o
o
o
+
Definici´n 1.2.1. Sea A un anillo y M un conjunto. Diremos que una operaci´n M × M → M ,
o
o
·
(m, m ) → m + m y una aplicaci´n A × M → M, (a, m) → a · m definen en M una estructura de
o
A-m´dulo cuando cumplen
o
1. (M, +) es un grupo conmutativo.
2. a · (m + n) = a · m + a · n, para todo a ∈ A y m, n ∈ M .
3. (a + b) · m = a · m + b · m, para todo a, b ∈ A y m ∈ M .
4. (ab) · m = a · (b · m), para todo a, b ∈ A y m ∈ M .
5. 1 · m = m, para todo m ∈ M .
·
Es decir, dada una aplicaci´n A × M → M , (a, m) → a · m, cada elemento a ∈ A define una
o
aplicaci´n a· : M → M , m → a · m. El segundo punto expresa que a· es morfismo de grupos. Los tres
o
o
ultimos puntos expresan que la aplicaci´n φ : A → End(M ), φ(a) = a·, es morfismo de anillos (donde
´
End(M ) son los endomorfismos de grupos del grupo conmutativo M ). Rec´
ıprocamente, si M es un
grupo conmutativo, cada morfismo de anillos φ : A → End(M ) define una estructura de A-m´dulo en
o
M tal que a · m = φ(a)(m).
def
Ejemplo 1.2.2.
1. Todo ideal I ⊂ A es un A-m´dulo, pues con la suma definida en A y con
o
el producto por los elementos de A ya definido en A, I tiene estructura de A-m´dulo. En
o
particular, A es un A-m´dulo.
o
2. Si A es un cuerpo entonces los A-m´dulos son los A-espacios vectoriales.
o
3. Si G es un grupo abeliano, entonces es un Z-m´dulo de modo natural: n · g = g + . n . + g si
o
.
−n
n ∈ N+ , n·g = (−g)+ . . .+/(−g) si −n ∈ N+ , y 0·g = 0. Rec´
ıprocamente, si G es un Z-m´dulo,
o
en particular es un grupo abeliano.
4. Si T : E → E es un endomorfismo de k-espacios vectoriales entonces E tiene estructura natural de k[x]-m´dulo: ( λi xi ) · e =
o
λi T i (e). Rec´
ıprocamente, dado un k[x]-m´dulo E, la
o
def
aplicaci´n T : E → E definida por T (e) = x · e, es un endomorfismo de k-espacios vectoriales.
o
5. Sea {Mi }i∈I una familia de A-m´dulos con ´
o
ındices en un conjunto I. Su producto directo se
a
denotar´ Mi , mientras que ⊕ Mi denotar´ el subconjunto de Mi formado por los elementos
a
i∈I
i∈I
i∈I
u
a
(mi ) que tienen todas sus componentes nulas salvo un n´mero finito de ellas, y se llamar´ suma
directa de los {Mi }i∈I . Tanto Mi como ⊕ Mi son A-m´dulos con la siguiente suma y producto
o
por elementos de A:
i∈I
i∈I
(mi )i∈I + (mi )i∈I = (mi + mi )i∈I
def
a · (mi )i∈I = (a · mi )i∈I
def

11. 1.2.
M´dulos
o
11
Definici´n 1.2.3. Un subconjunto N de un A-m´dulo M , decimos que es un subm´dulo si con la
o
o
o
operaci´n + de M y con la multiplicaci´n · por elementos de A, es un A-m´dulo.
o
o
o
Notaci´n: Alguna vez, escribiremos am en vez de a · m por sencillez de escritura.
o
Definici´n 1.2.4. Una aplicaci´n f : M → M entre A-m´dulos M, M , diremos que es un morfismo
o
o
o
o
de A-m´dulos si cumple
1. f (m + n) = f (m) + f (n), para todo m, n ∈ M .
2. f (am) = af (m), para todo a ∈ A y m ∈ M .
Los elementos de un m´dulo M que por un morfismo de A-m´dulos f : M → M , van al cero, se
o
o
les denomina n´cleo de f y denota por Ker f . Se cumple que Ker f es un subm´dulo de M y que f
u
o
es inyectiva si y s´lo si Ker f = 0. Los elementos de la imagen, Im f forman un subm´dulo de M .
o
o
Cuando f sea biyectiva diremos que f es un isomorfismo de A-m´dulos.
o
Denotaremos por HomA (M, N ) al conjunto de morfismos de A-m´dulos de M en N . Con las
o
definiciones de suma de morfismo y producto por elementos de A naturales:
(f + g)(m) = f (m) + g(m)
def
(af )(m) = a(f (m))
def
tenemos que HomA (M, N ) es un A-m´dulo.
o
Si N es un subm´dulo de M entonces es un subgrupo conmutativo de M . Por tanto, podemos
o
considerar el grupo cociente M/N , donde
¯
M/N = {m, m ∈ M de modo que m = m ⇐⇒ m − m ∈ N }
¯
¯
Ahora bien, el producto a · m = a · m dota a M/N de estructura de A-m´dulo (compru´bese) y es
¯
o
e
def
la unica estructura de A-m´dulo que podemos definir en M/N , de modo que el morfismo de paso al
´
o
cociente M → M/N , m → m, sea un morfismo de m´dulos.
¯
o
Ejercicio 1.2.5. Dado un epimorfismo π : M → M de A-m´dulos, si π tiene secci´n (es decir,
o
o
existe s : M → M de modo que π ◦ s = Id) entonces M
Ker π ⊕ M . (Pista: Los morfismos
Ker π ⊕ M → M , (m, m ) → (m + s(m )) y M → Ker π ⊕ M , m → (m − s(π(m)), π(m)) son inversos
entre si).
Dado un morfismo i : N → M inyectivo, si i tiene retracto (es decir, existe r : M → N de modo
que r ◦ i = Id) entonces M N ⊕ M/N . (Pista: Los morfismos M → N ⊕ M/N , m → (r(m), m) y
¯
N ⊕ M/N → M , (n, m) → n + (m − r(m)) son inversos entre si).
¯
Teorema 1.2.6. Sea f : M → M un morfismo de A-m´dulos. Sea N ⊆ Ker f un A-subm´dulo.
o
o
¯
¯ ¯
Existe un unico morfismo f : M/N → M (que vendr´ definido por f (m) = f (m)) de modo que el
´
a
diagrama
f
/M
ME
<
EE
xx
EE
x
EE
xx¯
π
x
E"
xx f
M/N
es conmutativo, siendo π el morfismo de paso al cociente.

12. 12
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o
Teorema 1.2.7 (de isomorf´
ıa). Sea f : M → M un morfismo de A-m´dulos. Se cumple que el
o
diagrama
f
M
/M
O
π
i
²
M/ Ker f
¯
f
?
Im f
¯
donde π(m) = m, f (m) = f (m) (que est´ bien definida) y i(m ) = m , es conmutativo, f es un
¯ ¯ ¯
a
isomorfismo, π es epiyectiva y i inyectiva.
Demostraci´n. Al lector.
o
Dado un conjunto {Mi }i∈I de subm´dulos de M denotaremos
o
Mi = {m ∈ M : m =
i∈I
mi
i∈I
con mi ∈ Mi nulos para casi todo i ∈ I}
que es el menor subm´dulo de M que contiene a los subm´dulos Mi . Diremos que dos subm´dulos
o
o
o
M1 , M2 de M est´n en suma directa si M1 ∩ M2 = 0, que equivale a decir que el morfismo M1 ⊕ M2 →
a
M1 +M2 , (m1 , m2 ) → m1 +m2 es un isomorfismo. Se dice que M es la suma directa de dos subm´dulos
o
M1 , M2 si M1 ∩ M2 = 0 y M1 + M2 = M , que equivale a decir que el morfismo M1 ⊕ M2 → M ,
(m1 , m2 ) → m1 + m2 es un isomorfismo.
Dado un conjunto {mi }i∈I de elementos de un m´dulo M , denotaremos por
o
mi
i∈I
= {m ∈ M : m =
ai mi ,
i∈I
con ai = 0 para todo i salvo un n´mero finito}
u
que es el menor subm´dulo de M que contiene a {mi }i∈I . Diremos que {mi }i∈I es un sistema
o
generador de M si mi i∈I = M . Evidentemente todo m´dulo tiene sistemas generadores, por ejemplo
o
el formado por todos los elementos de M . Si I es adem´s finito diremos que el m´dulo es de tipo
a
o
finito. Diremos que un conjunto de elementos {mi }i∈I es base de M si es un sistema generador y si
ai mi = 0 entonces ai = 0 para todo i.
i
Denotaremos M (I) = ⊕ Mi , siendo Mi = M . Se dice que un m´dulo es libre si es isomorfo a A(I) .
o
i∈I
Si denotamos 1j = (ai ) ∈ A(I) , donde ai = 0 para todo i = j y aj = 1, entonces {1j }j∈I forma una
base de A(I) . Los morfismos de A(I) en un A-m´dulo M se corresponden con conjuntos {mi }i∈I de
o
M . Sea {mi }i∈I un conjuntos de elementos de M , y definamos el morfismo
φ : AI → M, (ai )i∈I →
ai mi
i∈I
o
Se cumple que φ es epiyectivo si y s´lo si {mi }i∈I es un sistema generador de M , φ es inyectivo si
y s´lo si {mi }i∈I son linealmente independientes. Por tanto, φ es isomorfismo si y s´lo si {mi }i∈I es
o
o
o
o
o
una base de M . En consecuencia, todo m´dulo es cociente de un libre y un m´dulo es libre si y s´lo
si tiene bases.

13. 1.3.
Localizaci´n de m´dulos
o
o
13
´
El lema de Nakayama nos va a permitir calcular, mediante Algebra Lineal, sistemas generadores:
Si M es un A-m´dulo e I ⊆ A es un ideal, denotaremos por I · M = {m ∈ M : m =
o
ai mi , con
o
o
ai ∈ I y mi ∈ M }, que es un A-subm´dulo de M . Se cumple que el A-m´dulo M/I · M es de modo
natural un A/I-m´dulo: a · m = a · m. Es obvio que M ⊆ M/IM es un A-subm´dulo de M/IM ,
o
¯ ¯
¯
o
si y s´lo si es un A/I-subm´dulo, y que m1 , . . . , mr ∈ M/IM es un sistema A-generador de M/IM
o
o
¯
¯
si y s´lo si es un sistema A/I-generador de M/IM . En el caso de que I = m sea un ideal maximal,
o
tendremos que m1 , . . . , mr ∈ M/mM es un sistema A-generador de M/mM si y s´lo si es un sistema
¯
¯
o
generador del A/m-espacio vectorial M/mM .
Lema 1.2.8 (de Nakayama). Sea O un anillo local de ideal maximal m y M un m´dulo finito
o
generado. Denotemos mM = {m ∈ M : m =
ai mi , con ai ∈ m y mi ∈ M }. Se cumple que
mM = M ⇐⇒ M = 0
Como consecuencia se obtiene que m1 , . . . , mn ∈ M es un sistema generador de M si sus clases
m1 , . . . , mn en M/mM son un sistema generador.
¯
¯
Demostraci´n. Sea n1 , . . . , nr un sistema generador de M con el menor n´mero posible de elementos.
o
u
Si mM = M tendremos que n1 =
r
i=1
ai ni , con ai ∈ m. Entonces (1 − a1 )n1 =
r
P
r
ai ni . Como (1 − a1 )
i=2
ai ni
´
no se anula en el unico ideal maximal de O, es invertible. Por tanto, n1 = 1−a1 , y n2 , . . . , nr = M ,
lo que es contradictorio salvo que r = 0, es decir, M = 0.
Veamos la consecuencia. Si m1 , . . . , mn = M/mM entonces M = m1 , . . . , mn + mM . Haciendo
¯
¯
¯
¯
¯
cociente por m1 , . . . , mn y denotando M = M/ m1 , . . . , mn , tenemos M = 0 + mM . Por tanto,
¯ = 0, es decir, M = m1 , . . . , mn .
M
i=2
1.3
Localizaci´n de m´dulos
o
o
Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A y M un A-m´dulo, denotaremos por MS :
o


m

 , m ∈ M y s ∈ S : m = m si existen s1 , s2 ∈ S tales que las fracciones 


s
s
s
3
MS =
s1 m s2 m





,
tienen el mismo numerador y denominador
s1 s s2 s
Con las operaciones (bien definidas)
m m
s m + sm
+
=
s
s def
ss
a m
am
·
=
s s def ss
MS tiene estructura de AS -m´dulo y diremos que es la localizaci´n de M por S. La aplicaci´n
o
o
o
can´nica
o
m
M → MS , m →
1
3 Observemos
que
m
s
=
m
,
s
que si
m
s
=
m
s
entonces
m
s
=
m
,
s
y que si
m
s
=
m
s
y
m
s
=
m
s
entonces
m
s
=
m
s
.

14. 14
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o
es un morfismo de A-m´dulos y diremos que es el morfismo de localizaci´n. Dado un morfismo
o
o
f : M → N de A-m´dulos, induce de modo natural la aplicaci´n (bien definida)
o
o
fS : MS → NS ,
m
f (m)
→
s def s
que es morfismo de AS -m´dulos. Es inmediato comprobar que la localizaci´n de morfismos conserva
o
o
composiciones y combinaciones A-lineales:
(f ◦ g)S = fS ◦ gS
(af + bg)S = afS + bgS
Proposici´n 1.3.1. Dado un morfismo f : M → N de A-m´dulos y S un sistema multiplicativo de
o
o
A entonces se cumple que
(Ker f )S = Ker fS y (Im f )S = Im fS
Demostraci´n. El morfismo (Ker f )S → MS , m → m valora en Ker fS , pues fS ( m ) = f (m) = 0 = 0
o
s
s
s
s
s
(para m ∈ Ker f y s ∈ S). Tenemos que comprobar que el morfismo (Ker f )S → Ker fS , m → m es
s
s
un isomorfismo. Inyectivo: Si m = 0 en Ker fS ⊆ MS entonces existe un s ∈ S de modo que s m = 0,
s
luego m = 0 en (Ker f )S . Epiyectivo: Dado m en Ker fS , entonces fS ( m ) = 0, luego f (m) = 0.
s
s
s
s
Por tanto, existe un s ∈ S de modo que s f (m) = 0, es decir, f (s m) = 0. Luego m = s m con
s
ss
s m ∈ Ker f y concluimos la epiyectividad.
Dejamos como ejercicio el probar que (Im f )S = Im fS .
Definici´n 1.3.2. Diremos que una sucesi´n de morfismos de A-m´dulos
o
o
o
fn
fn+1
· · · → Mn−1 → Mn → Mn+1 → · · ·
es exacta cuando Im fn = Ker fn+1 para todo n.
Casos concretos:
i
1. 0 → N → M es una sucesi´n exacta si y s´lo si i es inyectiva.
o
o
π
2. M → M → 0 es una sucesi´n exacta si y s´lo si π es un epimorfismo.
o
o
i
π
3. 0 → M → M → M → 0 es exacta si y s´lo si i es inyectiva, π es epiyectiva y Ker π = Im i.
o
Dado un m´dulo M tenemos un epimorfismo π : A(I) → M , igualmente dado Ker π podemos
o
definir un epimorfismo A(J) → Ker π. Componiendo este ultimo morfismo con la inclusi´n natural
´
o
o
Ker π → A(I) , tenemos un morfismo natural s : A(J) → A(I) , de modo que la sucesi´n
s
π
A(J) → A(I) → M → 0
es exacta. Es decir M es isomorfo a Coker s, por tanto, el estudio de M se reduce al estudio de s, que
o
a
es una aplicaci´n A-lineal entre m´dulos libres. Un ejemplo de este estudio se dar´ en el siguiente
o
cap´
ıtulo, con la introducci´n de los factores invariantes.
o
Proposici´n 1.3.3. Sea S un sistema multiplicativo de A y sea
o
f
g
M →M →M
una sucesi´n exacta de A-m´dulos. Entonces es exacta la sucesi´n
o
o
o
M
S
fS
gS
→ MS → M
S

15. 1.3.
f
Localizaci´n de m´dulos
o
o
15
g
Demostraci´n. Si M → M → M una sucesi´n exacta de A-m´dulos entonces Ker g = Im f . Por
o
o
o
fS
gS
tanto, Ker gS = (Ker g)S = (Im f )S = Im fS (expl´
ıcitamente, m → m ) y M S → MS → M S es
s
s
exacta.
Ejercicio 1.3.4. Probar
1. (M/N )S = MS /NS .
2. (M ⊕ N )S = MS ⊕ NS .
3. (M + N )S = MS + NS .
4. (M ∩ N )S = MS ∩ NS .
Uno de los procesos geom´tricos m´s b´sicos es el de localizar la atenci´n en un entorno de un
e
a a
o
punto. Una propiedad es local cuando s´lo depende del comportamiento en un entorno de cada
o
punto. Por ejemplo la continuidad de las funciones consideradas en Topolog´ la derivabilidad de las
ıa,
funciones consideradas en An´lisis, la conexi´n local o compacidad local de los espacios topol´gicos,
a
o
o
etc. Por el contrario, una propiedad es global cuando no es local, es decir, depende de todo el espacio
considerado. Por ejemplo el concepto de funci´n acotada no es local, ni el de espacio compacto o
o
conexo.
Un resultado central de este cap´
ıtulo ser´ demostrar que la anulaci´n de un m´dulo es una cuesti´n
a
o
o
o
local y que por tanto, tambi´n son locales todos los problemas que puedan reducirse a la anulaci´n
e
o
de un m´dulo.
o
Definici´n 1.3.5. Sea M un A-m´dulo, llamaremos anulador de M al ideal
o
o
Anul(M ) = {a ∈ A : am = 0, para todo m ∈ M }
def
Dicho de otro modo, el anulador de M es el n´cleo del morfismo de estructura A → End(M ),
u
a → a·. Se dice que M es un A-m´dulo fiel si Anul(M ) = 0, es decir, si el morfismo A → End(M ) es
o
inyectivo. Todo A-m´dulo M es de modo natural un A/ Anul(M )-m´dulo fiel (donde a · m = am).
o
o
¯
def
Dado un elemento m ∈ M , llamaremos anulador de m ∈ M al ideal anulador del m´dulo m =
o
{am, a ∈ A}. Es decir, el ideal anulador de m es
Anul(m) = {a ∈ A : am = 0}
El epimorfismo de A-m´dulos A → m , a → am, tiene de n´cleo el ideal anulador de m. Por tanto,
o
u
ıa
m.
por el teorema de isomorf´ A/ Anul(m)
Igual que hac´
ıamos para los anillos, dada f ∈ A denotaremos Mf a la localizaci´n de M por el
o
sistema multiplicativo S = {1, f, f 2 , . . . }. Dado un ideal primo px ⊂ A denotaremos por Mx a la
localizaci´n de M por el sistema multiplicativo S = A − px .
o
Si px es un ideal primo maximal diremos que x es un punto cerrado.
Teorema 1.3.6. La condici´n necesaria y suficiente para que un m´dulo M (finito generado o no)
o
o
sea cero es que Mx = 0 para todo punto cerrado x.

16. 16
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o
Demostraci´n. Empecemos probando que si M = m1 , . . . , mr es un A-m´dulo finito generado eno
o
tonces MS = 0 si y s´lo si existe un f ∈ S de modo que f M = 0: Si MS = 0 entonces mi = 0 para
o
1
todo i, luego existen fi ∈ S de modo que fi mi = 0. Por tanto, f = f1 · · · fr ∈ S cumple que f M = 0.
Rec´
ıprocamente, si existe f ∈ S de modo que f M = 0, entonces m = 0 para todo m ∈ MS y MS = 0.
s
s
Si M = 0, entonces existe m ∈ M no nulo. Sea I = Anul m y mx un ideal maximal que contenga
a I. Tenemos que m x = 0 por el p´rrafo anterior. Por tanto, Mx = 0.
a
Proposici´n 1.3.7.
o
1. Una inclusi´n N ⊆ M de m´dulos es una igualdad si y s´lo si Nx = Mx
o
o
o
para todo punto cerrado x ∈ Spec A.
2. Dos subm´dulos N, N de un m´dulo M son iguales si y s´lo si Nx = Nx para todo punto cerrado
o
o
o
x ∈ Spec A.
Demostraci´n. 1. N = M ⇐⇒ M/N = 0 ⇐⇒ (M/N )x = 0 para todo punto cerrado x ∈ Spec A
o
⇐⇒ Mx /Nx = 0 para todo punto cerrado x ∈ Spec A ⇐⇒ Mx = Nx para todo punto cerrado
x ∈ Spec A.
2. Veamos s´lo que si Nx = Nx para todo punto cerrado x ∈ Spec A entonces N = N . Tendremos
o
que Nx = Nx + Nx = (N + N )x para todo punto cerrado x ∈ Spec A. Luego por el punto 1
N = N + N , es decir, N ⊆ N . Del mismo modo obtenemos la inclusi´n inversa y concluimos la
o
igualdad.
f
g
Teorema 1.3.8. Sea M → M → M
condiciones son equivalentes
f
una sucesi´n de morfismos de A-m´dulos. Las siguientes
o
o
g
1. M → M → M es una sucesi´n exacta.
o
fx
gx
2. Mx → Mx → Mx es exacta para todo punto cerrado x ∈ Spec A.
Demostraci´n. La implicaci´n 1 ⇒ 2 es un caso particular de 1.3.3.
o
o
o
Veamos que 2 ⇒ 1. Si la sucesi´n es exacta en todo punto cerrado x entonces Ker gx = Im fx .
Luego (Ker g)x = (Im f )x . Por tanto, por la proposici´n anterior, Ker g = Im f y la sucesi´n del
o
o
punto 1 es exacta.
Como corolario, dado que los morfismos inyectivos y epiyectivos son casos concretos de sucesiones
exactas, tendremos que un morfismo es inyectivo (o epiyectivo) si y s´lo si lo es localmente, para todo
o
punto cerrado del espectro del anillo.
Corolario 1.3.9. Si Spec A = {x1 , . . . , xn }, donde x1 , . . . , xn son puntos cerrados, entonces
A = Ax1 × · · · × Axn
Demostraci´n. El morfismo A → Ax1 × · · · × Axn , a → ( a , . n ., a ) es un isomorfismo: Basta verlo
o
1 . 1
al localizar en los xi . Ahora bien, (Axi )xj = 0 si xi = xj , porque los ideales primos de (Axi )xj se
corresponden con los ideales primos de A que est´n contenidos en mxi y mxj , es decir es vac´ luego
a
ıo,
(Axi )xj = 0. Por ultimo (Axi )xi = Axi , porque en el primer t´rmino de la igualdad localizamos por
´
e
invertibles de Axi .

17. 1.4.
1.4
Longitud de un m´dulo
o
17
Longitud de un m´dulo
o
El concepto de longitud de un m´dulo se corresponde con el concepto de dimensi´n en espacios
o
o
o
u
vectoriales. Usualmente, se define la dimensi´n de un espacio vectorial como el n´mero de vectores
o
de sus bases. En los A-m´dulos pueden no existir bases, por tanto, no podemos dar esta definici´n.
o
Por otra parte, tampoco es ´sta la definici´n m´s natural o intuitiva. El concepto de base es m´s
e
o
a
a
elaborado, si bien es muy pr´ctico en espacios vectoriales. Si intuimos que R3 es de dimensi´n 3
a
o
es porque observamos la cadena de inclusiones irrefinable punto, recta, plano, espacio. En teor´ de
ıa
m´dulos, seguiremos este otro punto de vista.
o
Definici´n 1.4.1. Diremos que un A-m´dulo M = 0 es simple cuando sus unicos subm´dulos son
o
o
´
o
los triviales: 0 y M .
Si M es un A-m´dulo simple entonces M = m , luego M
o
A/ Anul m . Ahora bien, los
subm´dulos de A/ Anul m se corresponden con los ideales de A que contienen a Anul m . Por tanto,
o
M es simple si y s´lo si Anul m es un ideal maximal, es decir, M es simple si y s´lo si M
o
o
A/m,
donde m es un ideal maximal de A.
Definici´n 1.4.2. Diremos que una cadena de subm´dulos 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M es
o
o
una serie de composici´n si los cocientes sucesivos Mi /Mi−1 son A-m´dulos simples. Diremos que la
o
o
longitud de esta serie de composici´n es n.
o
Como los subm´dulos de Mi /Mi−1 se corresponden biyectivamente con los subm´dulos de Mi que
o
o
contienen a Mi−1 , el que Mi /Mi−1 sea simple equivale a que no existe una cadena Mi−1 ⊂ N ⊂ Mi .
=
=
Por tanto, que una cadena de subm´dulos 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M sea serie de composici´n
o
o
equivale a decir que no podemos a˜adirle m´s “eslabones”.
n
a
Definici´n 1.4.3. Llamaremos longitud de M a la m´
o
ınima longitud de todas sus series de composici´n. Si no existe ninguna serie de composici´n diremos que la longitud de M es infinita. Denotaremos
o
o
a la longitud de un m´dulo M por l(M ).
o
Sobre espacios vectoriales el concepto de longitud coincide con el de dimensi´n.
o
Proposici´n 1.4.4. Todas las series de composici´n de un m´dulo tienen la misma longitud.
o
o
o
Demostraci´n. Si l(M ) = ∞ la proposici´n es obvia. Supongamos que l(M ) = n ∞.
o
o
Dado un subm´dulo propio N ⊂ M se cumple que l(N ) l(M ): Sea 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂
o
Mn = M una serie de composici´n de longitud m´
o
ınima de M . Si en 0 = M0 ∩ N ⊆ M1 ∩ N ⊆ · · · ⊂
Mn ∩ N = N quitamos los t´rminos repetidos obtenemos una serie de composici´n en N , porque
e
o
Mi ∩ N/Mi−1 ∩ N → Mi /Mi−1 , luego Mi ∩ N/Mi−1 ∩ N = Mi /Mi−1 pues Mi /Mi−1 es simple. Por
tanto, l(N ) ≤ l(M ). Si l(N ) = l(M ) entonces Mi ∩ N/Mi−1 ∩ N = 0 para todo i. Entonces, M1 ∩ N
a
contiene estrictamente a M0 ∩ N = 0 y est´ incluido en M1 , luego M1 ∩ N = M1 . Sigamos, M2 ∩ N
contiene estrictamente a M1 ∩ N = M1 y est´ incluido en M2 luego M2 ∩ N = M2 Recurrentemente,
a
N = Mn ∩ N = Mn = M , lo que es contradictorio.
As´ pues, dada una serie de composici´n 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mm = M , tenemos que l(M )
ı
o
l(Mm−1 ) · · · l(M1 ), luego l(M ) ≥ m. Como m ≥ n = l(M ), tenemos que m = n.
Observemos que hemos demostrado que si un m´dulo es de longitud finita entonces todo subm´dulo
o
o
a
o
suyo es de longitud finita. Es f´cil probar que si un m´dulo es de longitud finita entonces es finito
generado, y por tanto, tambi´n todo subm´dulo, que es de longitud finita, ser´ finito generado.
e
o
a

18. 18
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o
Si un m´dulo es de longitud finita todo cociente suyo tambi´n lo es, pues toda serie de composici´n
o
e
o
define por paso al cociente una serie de composici´n (eliminando las igualdades que aparezcan en la
o
serie).
Proposici´n 1.4.5. La longitud es una funci´n aditiva, es decir, dada una sucesi´n exacta 0 →
o
o
o
i
π
M → M → M → 0 se cumple que l(M ) = l(M ) + l(M ).
Demostraci´n. Si 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M y 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M son series
o
de composici´n de M y M entonces
o
0 = i(M0 ) ⊂ i(M1 ) ⊂ · · · ⊂ i(Mn ) = i(M ) = π −1 (M0 ) ⊂ π −1 (M1 ) ⊂ · · · ⊂ π −1 (Mn ) = M
o
es una serie de composici´n de M , luego l(M ) = n + n = l(M ) + l(M ).
En particular, si consideramos la sucesi´n exacta
o
0
→
M
m
→
→
M ⊕M
(m , 0)
(m , m )
→
M
→
→
0
m
tenemos que l(M ⊕ M ) = l(M ) + l(M ).
La sucesi´n de morfismos de m´dulos
o
o
fs
fs+1
0 → M0 → · · · → Ms−1 → Ms → Ms+1 → · · · → Mn → 0
(∗)
fs+1
es exacta si y s´lo si son exactas las sucesiones 0 → Im fs → Ms → Im fs+1 → 0. As´ si la sucesi´n
o
ı,
o
∗ es exacta, tendremos que l(Im fs ) − l(Ms ) + l(Im fs+1 ) = 0 y haciendo el sumatorio para todo s
tenemos
l(M0 ) − l(M1 ) + · · · + (−1)n l(Mn ) = 0
Definici´n 1.4.6. Llamaremos soporte de un m´dulo M al conjunto de ideales primos px tales que
o
o
Mx = 0.
Proposici´n 1.4.7. Si M es de longitud finita, entonces Sop(M ) es un n´mero finito de puntos
o
u
cerrados.
Demostraci´n. Recordemos que los m´dulos simples son isomorfos a A/m, siendo m un ideal maximal.
o
o
Si mx es un ideal maximal y px es un ideal primo distinto de mx entonces (A/mx )x = 0, pues dado
s
s ∈ mx ∩ (A − px ) = 0, tenemos que A/mmx = s · A/mx = 0.
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M
tenemos que Mi /Mi−1 A/mxi , siendo mxi ideales maximales. Por tanto, (Mi /Mi−1 )x (A/mxi )x =
0, para todo punto x ∈ Spec A distinto de los xi . Luego Mx = (Mn )x = · · · = (M0 )x = 0, para todo
punto x ∈ Spec A distinto de los xi . En conclusi´n, el soporte de M es subconjunto de {xi } y hemos
o
terminado.

19. 1.5.
1.5
Problemas
19
Problemas
1. Sea I ⊆ A un ideal y M un A-m´dulo probar que IM = {m ∈ M : m =
o
def
mi ∈ M } es un A-m´dulo.
o
ai mi , con ai ∈ I y
Si M es otro A-m´dulo probar que I(M ⊕ M ) = IM ⊕ IM . Si M y M son subm´dulos de
o
o
un m´dulo probar que I(M + M ) = IM + IM .
o
2. Sean N ⊆ M y N ⊆ M subm´dulos. Probar que N ⊕ N es un subm´dulo de modo natural
o
o
de M ⊕ M y que (M ⊕ M )/(N ⊕ N ) = M/N ⊕ M /N .
3. Si N, N son subm´dulos de un m´dulo M probar que
o
o
(N + N )/N = N/(N ∩ N )
¯
Si denotamos por N = {¯ ∈ M/N : n ∈ N }, probar que
n
¯
(M/N )/N = M/(N + N )
o
o
4. Sea f : M → M un morfismo de A-m´dulos. Sean N1 , N2 dos subm´dulos de M probar que
f (N1 + N2 ) = f (N1 ) + f (N2 ) (denotamos por f (N ) = {f (n) ∈ M , con n ∈ N }). Sea I un
ideal, probar que f (I · N1 ) = I · f (I1 ).
5. Sea f : M → M un morfismo de A-m´dulos y m = f (m). Probar que f −1 (m ) = m + Ker f =
o
{m + n con n ∈ Ker f }. Sea N un subm´dulo de M , probar que f −1 (f (N )) = N + Ker f .
o
def
6. Probar la igualdad HomA (A/I, M ) = {m ∈ M : Im = 0}. Probar que HomA (An , M ) = M ⊕
.n. ⊕ M .
.
7. Calcular los siguientes Z-m´dulos: HomZ (Q, Z), HomZ (Zn , Z), HomZ (Zn , Q) y HomZ (Q/Z, Z).
o
8. Probar que si un endomorfismo f : M → M , cumple que f 2 = f entonces M = Ker f ⊕ Ker(f −
Id).
9. Probar que el anulador del A-m´dulo A/I es I.
o
10. Probar que si M es un A-m´dulo libre entonces Anul(M ) = 0.
o
11. Sea el Z-m´dulo M =
o
⊕ Z/nZ. Probar que Anul M = (0) ¿Existe alg´n m ∈ M de modo
u
0=n∈Z
que Anul( m ) = 0?
12. Probar que si M
M1 ⊕ · · · ⊕ Mn entonces Anul(M ) = ∩ Anul(Mi ). Calcular el ideal anulador
del Z-m´dulo Z/3Z ⊕ Z/6Z ⊕ Z/15Z.
o
i
13. Sea 0 → M1 → M2 → M3 → 0 una sucesi´n exacta de A-m´dulos. Demostrar que Anul(M2 ) ⊇
o
o
Anul(M1 ) · Anul(M3 ).
14. ¿Es Z/4Z un Z-m´dulo libre? ¿Es un Z/4Z-m´dulo libre? Definir un sistema generador de
o
o
Z/4Z como Z-m´dulo.
o
15. Sea M = { 2a , a ∈ Z, n ∈ N} ⊂ Q. Probar que M es un Z-subm´dulo de Q y que no es finito
o
n
generado.

20. 20
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o
16. Probar que todo cociente de un m´dulo finito generado es finito generado. Probar que la suma
o
de dos subm´dulos finito generados es finito generado.
o
17. Sea M un A-m´dulo y N un subm´dulos de M . Probar que si N y M/N son A-m´dulos finito
o
o
o
generados entonces M es finito generado.
18. Sea C(R) el anillo de todas las funciones reales continuas de variable real. Demostrar que el
conjunto de las funciones reales continuas de variable real que se anulan en alg´n entorno del
u
cero forman un ideal de C(R), que no es finito generado.
19. Probar que todo Z-subm´dulo finito generado de Q no nulo, es libre generado por un elemento.
o
Probar que Q Z.
20. Hallar una base (si existe) de Z[x] como Z-m´dulo.
o
21. Probar que todo epimorfismo de un m´dulo en un libre tiene secci´n.
o
o
22. Sea i : N → M un morfismo inyectivo de A-m´dulos. Si r : M → N es un retracto de i, es decir,
o
r ◦ i = Id, probar que M N ⊕ Ker r (def´
ınase N ⊕ Ker r → M, (n, n ) → i(n) + n ).
Sea π : M → M un epimorfismo de m´dulos, de modo que exista una secci´n s de π, es decir,
o
o
π ◦ s = Id. Probar que M Ker π ⊕ M .
f
g
23. Sea 0 → M → M → M → 0 una sucesi´n exacta de A m´dulos. Se dice que la sucesi´n exacta
o
o
o
rompe si existe un diagrama conmutativo
0
f
/M
/M
g
/M
φ
Id
0
/M
i
/ M ⊕M
/0
Id
π
/M
/0
donde φ es un isomorfismo, i(m ) = (m , 0) y π(m , m ) = m .
Probar que si r : M → M es un retracto de f , i.e., r ◦ f = Id entonces la sucesi´n exacta rompe.
o
Probar que si s : M → M es una secci´n de g, i.e., g ◦ s = Id, entonces la sucesi´n exacta
o
o
rompe.
24. Probar que (AnulA (M ))S = AnulAS (MS ), si M es un A-m´dulo finito generado.
o
25. Sea f : A → B un morfismo de anillos. Sea S ⊂ A un sistema multiplicativo. Sabemos que B
es de modo natural un A-m´dulo, por tanto, podemos definir BS . Por otra parte, f (S) ⊂ B es
o
un sistema multiplicativo. Demostrar que BS = Bf (S) .
26. Sea I ⊆ A un ideal y px ⊂ A un ideal primo. Probar que Ix = Ax si y s´lo si x ∈ (I)0 .
o
/
27. Probar que (I · M )S = IS · MS = I · MS .
28. Sea A un anillo ´
ıntegro, e I = 0 un ideal. Probar que I es libre si y s´lo si I = aA (a = 0).
o
29. Sea M un A-m´dulo finito generado y S ⊂ A un sistema multiplicativo de A. Probar que si
o
MS = 0 entonces existe un s ∈ S tal que s · m = 0 para todo m ∈ M .
30. Sea I ⊆ A un ideal y M un A-m´dulo finito generado. Probar que IM = M ⇐⇒ M1+I = 0.
o

21. 1.5.
Problemas
21
31. Probar que si un endomorfismo T : M → M de un A-m´dulo finito generado es epiyectivo
o
entonces es un isomorfismo.
32. Demostrar que Zn es un Z-m´dulo isomorfo a Zm si y s´lo si n = m.
o
o
33. Demostrar que An es un A-m´dulo isomorfo a Am si y s´lo si n = m.
o
o
34. Sea M un A-m´dulo finito generado. Probar que si M
o
cierto este resultado si M no es finito generado?
M ⊕ N entonces N = 0 ¿Es siempre
35. Sea m1 , . . . , ms un sistema generador de un A-m´dulo libre An . Probar que s ≥ n.
o
36. Probar que todo sistema de n generadores de un m´dulo libre An es base.
o
37. Sean M y M dos A-m´dulos de tipo finito. Sea f : M → M un morfismo de A-m´dulos.
o
o
¯
Probar que si los morfismos fx : M/mx M → M /mx M , m → f (m) son epiyectivos, para todo
¯
punto cerrado x ∈ Spec A, entonces el morfismo f es epiyectivo.
38. Demostrar que si existe un morfismo Am → An inyectivo de A-m´dulos entonces m ≤ n.
o
39. Demostrar que la longitud del k[x]-m´dulo k[x]/(xn ) es n.
o

22. 22
Cap´
ıtulo 1.
M´dulos
o

23. Cap´
ıtulo 2
M´dulos sobre dominios de ideales
o
principales
2.1
Dominios de ideales principales
Definici´n 2.1.1. Diremos que un ideal p es principal si est´ generado, como A-m´dulo, por un s´lo
o
a
o
o
elemento, i.e., p = aA.
Diremos que un anillo es un dominio de ideales principales si es un anillo ´
ıntegro cuyos ideales son
principales.
Ejemplo 2.1.2. Los anillos eucl´
ıdeos, en particular Z, k[x], son dominios de ideales principales. La
localizaci´n de un dominio de ideales principales es un dominio de ideales principales.
o
El ideal p = (2, x1 ) del anillo Z[x1 , . . . xn ] no es principal porque un generador de p ser´ un divisor
ıa
de 2 y ´stos son ±1 y ±2, que no generan p. En consecuencia, los anillos Z[x1 , . . . , xn ] no son dominios
e
de ideales principales.
An´logamente, si k es un cuerpo, el ideal (x1 , x2 ) del anillo k[x1 , . . . , xn ] no es principal, as´ que
a
ı
los anillos k[x1 , . . . , xn ] no son dominios de ideales principales (para n 1).
Si A es un dominio de ideales principales, los elementos de A, salvo productos por invertibles, se
corresponden con los ideales de A. En ´stos anillos es v´lida gran parte de la teor´ elemental de la
e
a
ıa
divisibilidad de n´meros enteros. En efecto, si a, b ∈ A, entonces aA + bA = dA, siendo el m´ximo
u
a
com´n divisor: Si c divide ´ a y b entonces divide ´ d y obviamente d divide ´ a y b. Igualmente,
u
a
a
a
el m´
ınimo com´n m´ltiplo de a y b es el generador del ideal aA ∩ bA. Por tanto, el m´ximo com´n
u
u
a
u
divisor y el m´
ınimo com´n m´ltiplo de dos elementos de un dominio de ideales principales A siempre
u
u
existen y estan bien definidos salvo factores invertibles. Adem´s,
a
Proposici´n 2.1.3 (Identidad de B´zout). Sea d el m´ximo com´n divisor de a y b. Existen
o
e
a
u
elementos α, β ∈ A tales que
d = αa + βb
Definici´n 2.1.4. Un elemento propio (no nulo ni invertible) se dice que es irreducible si no descomo
pone en producto de dos elementos propios. Se dice que dos elementos propios son primos entre s´ si
ı
carecen de divisores propios comunes.
Lema 2.1.5 (de Euclides). Si un elemento irreducible divide a un producto divide alg´n factor.
u
23

24. 24
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
Demostraci´n. Si a es irreducible y divide a bc, entonces si a no divide a b implica que el m´ximo
o
a
com´n divisor de a y b es el 1. Por tanto, existen α, β ∈ A tales que αa + βb = 1. Luego αac +βbc = c.
u
De esta igualdad obtenemos que a divide a c.
Corolario 2.1.6. Sea p un elemento no nulo de un dominio de ideales principales A. Las siguientes
condiciones son equivalentes:
1. p es irreducible en A.
2. pA es un ideal primo de A.
3. pA es un ideal maximal de A.
Demostraci´n. 3. ⇒ 2. Obvio.
o
2. ⇒ 1. Sea pA un ideal primo. Por tanto, si ab = p, p ha de dividir a uno de los factores, por
ejemplo a, y tendremos pa b = p, luego b ser´ invertible y p irreducible.
ıa
1. ⇒ 3. Sea p un elemento irreducible de A. Sea I = aA un ideal. Si pA ⊆ I = aA, entonces
existe b ∈ A tal que ab = p. Luego a es invertible y I = A, o b es invertible y I = pA. En conclusi´n,
o
pA es maximal.
Lema 2.1.7. Toda cadena creciente de ideales de A establiza.
Demostraci´n. Dada una cadena de ideales p1 ⊆ p2 ⊆ . . . , consideremos el generador c del ideal ∪pi .
o
i
Se cumple que c ∈ pn , para alg´n n. Las inclusiones
u
pn ⊆ pn+j ⊆ ∪pi = cA ⊆ pn
i
prueban que pn = pn+j , para todo j ≥ 0.
Teorema 2.1.8 (de descomposici´n en factores irreducibles). Todo elemento propio a ∈ A
o
descompone en producto de factores irreducibles a = p1 · · · pn . Adem´s la descomposici´n es unica
a
o
´
salvo orden y factores invertibles.
Demostraci´n. Supongamos que a no es producto de factores irreducibles. Si as´ es, entonces a es
o
ı
producto de dos factores propios y uno de ellos, llam´moslo a1 no es producto de factores irreducibles.
e
Del mismo modo tenemos que a1 es producto de dos factores propios y uno de ellos, llam´moslo a2 no
e
es producto de factores irreducibles. As´ sucesivamente, vamos obteniendo una cadena (a) ⊂ (a1 ) ⊂
ı
=
=
(a2 ) ⊂ ldots lo que contradice la proposici´n anterior.
o
=
Veamos ahora la unicidad. Sean a = p1 · · · pn = q1 · · · qm dos descomposiciones en factores irreducibles. Por el Lema de Euclides, q1 divide alg´n factor pi , luego coincide con ´l (salvo un facu
e
tor invertible). Pongamos p1 = q1 (salvo invertibles). Simplificando la igualdad original tenemos
p2 · · · pn = q2 · · · qm (salvo invertibles). Razonando con q2 como hemos hecho antes con q1 llegamos
a que q2 coincide con alg´n pi . Reiterando el argumento, obtendremos que las dos descomposiciones
u
son iguales (salvo orden y factores invertibles).

25. 2.2.
2.2
Teoremas de descomposici´n
o
25
Teoremas de descomposici´n
o
El objetivo de esta secci´n, es clasificar y determinar la estructura de los A-m´dulos finito generados
o
o
o
sobre un dominio de ideales principales. En particular, obtendremos la clasificaci´n de los grupos
abelianos y la clasificaci´n de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensi´n finita, como
o
o
veremos en las siguientes secciones.
Definici´n 2.2.1. Sea A un anillo ´
o
ıntegro y M un A-m´dulo. Denotemos Σ = AA−{0} y MΣ =
o
MA−{0} . Llamaremos rango de M al n´mero dimΣ MΣ .
u
.
Observemos que si M = A ⊕ . n . ⊕ A entonces el rango de M es n.
Definici´n 2.2.2. Sea A un anillo ´
o
ıntegro y M un A-m´dulo. Llamaremos torsi´n de M , que
o
o
denotaremos T (M ), a
T (M ) = {m ∈ M : existe a ∈ A no nulo tal que am = 0}
Es f´cil comprobar que T (M ) coincide con el n´cleo del morfismo de localizaci´n M → MA−{0} =
a
u
o
MΣ , m → m .
1
Se dice que un m´dulo M es libre de torsi´n si T (M ) = 0.
o
o
Ejemplo 2.2.3. Consideremos el Z-m´dulo Z ⊕ (Z/4Z).
o
T (Z ⊕ (Z/4Z)) = {(n, m) ∈ Z ⊕ (Z/4Z) | Existe r ∈ Z − {0}, tal que r(n, m)
¯
¯
= (rn, rm) = 0} = {(0, m) | m ∈ Z/4Z} Z/4Z
¯
¯
o
ıntegro. Si M es un A-m´dulo finito generado libre de torsi´n
o
o
Proposici´n 2.2.4. Sea A un anillo ´
entonces es un subm´dulo de un A-m´dulo libre del mismo rango.
o
o
Demostraci´n. Tenemos que M = m1 , . . . , mn y el morfismo de localizaci´n M → MΣ es inyectivo.
o
o
Evidentemente m1 , . . . , mn es un sistema generador del Σ-espacio vectorial MΣ . Reordenado, podemos
1
1
suponer que m1 , . . . , mr es una base del Σ-espacio vectorial MΣ , (r ≥ n). Por tanto, para cada mj
1
1
tendremos
mj
1
=
r
s=1
ajs ms
bjs 1 .
Denotemos b =
i,j
bij . Con las notaciones obvias, tendremos el siguiente
diagrama conmutativo de morfismos inyectivos
t
/ MΣ
M NN
O
NNN
NNN
NNN
N' ?
A m1 ⊕ · · · ⊕ A mr
b
b
Proposici´n 2.2.5. Sea A un dominio de ideales principales. Si M es un A-m´dulo finito generado
o
o
libre de torsi´n entonces es un A-m´dulo libre.
o
o
Demostraci´n. Basta probar que los subm´dulos de un A-m´dulo libre son libres, por 2.2.4. Proceo
o
o
o
deremos por inducci´n sobre el rango del m´dulo libre, que denotaremos L.
o
Si el rango de L es cero es obvio. Si el rango de L es uno entonces L
A. Por tanto, todo
subm´dulo M de L es isomorfo a un ideal de A, luego M aA. Si a = 0 entonces A aA, b → ab,
o
luego M es libre de rango 1. Si a = 0 entonces M = 0.

26. 26
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
Supongamos que el rango de L es n 1. Como L
An es f´cil definir una sucesi´n
a
o
0→L →L→L →0
con L libre de rango 1 y L libre de rango n − 1. Dado M ⊆ L consideremos el diagrama
0
0
/L
O
/L
O
?
/ L ∩M
?
/M
/L
O
/0
?
/ π(M )
/0
π
de filas exactas. Por inducci´n L ∩ M y π(M ) son libres de rango finito. Por tanto, como π(M )
o
es libre, el epimorfismo M → π(M ) tiene secci´n y por el ejercicio 1.2.5 M = L ∩ M ⊕ π(M ). En
o
conclusi´n, M es libre.
o
Teorema 2.2.6 (Primer teorema de descomposici´n). Sea A un dominio de ideales principales
o
o
y M un A-m´dulo finito generado. Se cumple
M
T (M ) ⊕ (M/T (M ))
donde T (M ) es un m´dulo finito de torsi´n y M/T (M ) es un m´dulo finito libre. Se cumple adem´s
o
o
o
a
que si M
M ⊕ L, siendo M un A-m´dulo de torsi´n y L libre, entonces M
o
o
T (M ) y L
(M/T (M )).
Demostraci´n. M/T (M ) es un m´dulo finito libre de torsi´n: si m ∈ T (M/T (M )) entonces existe
o
o
o
¯
a ∈ A no nulo tal que am = 0, luego am ∈ T (M ) y existe b ∈ A no nulo tal que bam = 0, por tanto
¯
m ∈ T (M ) y m = 0. Por la proposici´n anterior M/T (M ) es un m´dulo libre. El epimorfismo de paso
¯
o
o
al cociente M → M/T (M ) tiene secci´n, porque M/T (M ) es libre, luego M T (M ) ⊕ (M/T (M )).
o
Si M
M ⊕ L, entonces T (M )
T (M ⊕ L) = T (M ) ⊕ T (L) = M . Luego (M/T (M ))
(M ⊕ L)/M = L. Hemos concluido.
Observemos que MA−{0} = (M/T (M ))A−{0} . Por tanto, el rango de M/T (M ) es el de M . As´
ı
o
pues, en el teorema anterior M/T (M ) es un m´dulo libre de rango el de M .
Hemos reducido el problema de la clasificaci´n de los m´dulos finitos sobre dominios de ideales
o
o
principales, a la clasificaci´n de los m´dulos finitos de torsi´n. Si M es un m´dulo finito generado
o
o
o
o
de torsi´n, entonces Anul(M ) = 0. En efecto, si M = m1 , . . . , mn , y ai ∈ A − {0} cumplen que
o
ai mi = 0, entonces 0 = a1 · · · an ∈ Anul(M ).
Lema 2.2.7. Sea M un A-m´dulo anulado por pq, siendo p y q primos entre s´ Entonces M
o
ı.
descompone en suma directa de un m´dulo anulado por p y otro subm´dulo anulado por q, en concreto
o
o
M = Ker p ⊕ Ker q
donde definimos p : M → M , m → pm q : M → M , m → qm.
Demostraci´n. De acuerdo con la identidad de B´zout existen λ, µ ∈ A tales que
o
e
λp + µq = 1
Por tanto, cada m ∈ M cumple λpm+µqm = m, donde λpm ∈ Ker q y µqm ∈ Ker p. Por consiguiente
M = Ker p + Ker q.

27. 2.2.
Teoremas de descomposici´n
o
27
S´lo nos falta probar que Ker p ∩ Ker q = 0. Si m ∈ Ker p ∩ Ker q entonces m = λpm + µqm =
o
0 + 0 = 0.
Teorema 2.2.8 (Segundo teorema de descomposici´n). Sea M un A-m´dulo de ideal anulador
o
o
aA y a = pn1 · · · pns la descomposici´n de a en factores irreducibles. Entonces M descompone de
o
s
1
modo unico en suma directa de subm´dulos Mi de anuladores respectivos pni A, en concreto
´
o
i
M = Ker pn1 ⊕ · · · ⊕ Ker pns
s
1
o
Demostraci´n. Por el lema anterior,
M = Ker pn1 ⊕ Ker(pn2 · · · pns ) = Ker pn1 ⊕ · · · ⊕ Ker pns
s
s
1
2
1
Como el ideal anulador de una suma directa es el m´
ınimo com´n m´ltiplo de los anuladores de
u
u
n
los sumandos, tendremos que si pi i A son los anuladores de los Ker pni , entonces el anulador de M es
i
n
n
n
p1 1 · · · ps s A. Por tanto, pni = pi i y tenemos que efectivamente el ideal anulador de Ker pni es pni .
i
i
i
Obviamente, si M = M1 ⊕ · · · ⊕ Ms , con Mi de anulador pni , entonces Mi ⊆ Ker pni y por tanto
i
i
Mi = Ker pni .
i
Si M es un A-m´dulo anulado por mn entonces M es un A/mn -m´dulo. Si a ∈ mx entonces a
o
o
/
¯
x
x
a·=¯·
a
n
es invertible en A/mx , y por tanto, el morfismo M −→ M es un isomorfismo. En consecuencia,
M = Mx y es un Ax -m´dulo. En particular, (A/mn ) = (A/mn )x = Ax /(mn Ax ). Por otra parte,
o
x
x
x
si x = y ∈ Spec A, entonces My = 0. Por tanto, si M es un A-m´dulo finito generado de torsi´n,
o
o
entonces
Mx = (Ker pn1 ⊕ · · · ⊕ Ker pns )x =
s
1
0
Ker pni
i
si mx = (pi ), para todo i
si mx = (pi )
Luego si {x1 , . . . , xr } son los puntos cerrados del soporte de M , M = Mx1 ⊕ · · · ⊕ Mxr .
Proposici´n 2.2.9. Sea A un dominio de ideales principales local, de ideal maximal m = (p). Sea
o
φ : Am → An un morfismo de A-m´dulos. Se cumple que existen bases {e1 , . . . , em }, {e1 , . . . , en } en
o
Am y An , de modo que φ(ei ) = λi ei .
Demostraci´n. Sea (aij ) la matriz asociada a φ, en las bases est´ndar {u1 , . . . , um }, {u1 , . . . , un } de
o
a
Am y An . Si en vez de {u1 , . . . , um }, consideramos la base que se obtiene permutando dos vectores
de {u1 , . . . , um }, la matriz de φ en las nuevas bases, se obtiene permutando las correspondientes
columnas de la matriz (aij ). Igualmente, si permutamos dos vectores de {u1 , . . . , un }, la matriz de φ
se obtiene permutando las correspondientes filas de (aij ). Si en vez de {u1 , . . . , um }, consideramos la
i
base {u1 , . . . , ui − aj uj , . . . , um }, la matriz de φ en las nuevas bases, se obtiene cambiando la columna
i, Ci de la matriz (aij ) por la columna Ci − aj Cj . Si en vez de {u1 , . . . , um }, consideramos la base
i
{u1 , . . . , ui − aj uj , . . . , un }, la matriz de φ en las nuevas bases, se obtiene cambiando la fila j, Fj de
la matriz (aij ) por la fila Fj + aj Fi .
Este tipo de transformaciones de la matriz (aij ) (o equivalentemente de las bases {ui }, {ui })
las denominaremos transformaciones elementales. Vamos a probar que mediante transformaciones
elementales la matriz de φ es “diagonal”, es decir, φ(ei ) = λi ei , para todo i.

28. 28
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
Dado a ∈ A, tendremos que a = pi · b, con b no divisible por p, es decir, b ∈ m = (p), luego b
/
invertible. Por tanto, (a) = (pi ). Sea pi el m´ximo com´n divisor de todos los aij . Existe un ars ,
a
u
tal que (ars ) = (pi ). Por tanto, ars divide a todos los coeficientes aij . Permutando filas y columnas
a1i
podemos suponer que r = 1 y s = 1. Transformando las columnas Ci por Ci − a11 C1 para i 1, y
ai1
posteriormente las filas Fi por Fi − a11 F1 , obtendremos la matriz

a11
 0

 .
 .
.
0

0




...
bij
0
Procediendo del mismo modo reiteradamente, con la matriz (bij ), “diagonalizaremos” φ.
Teorema 2.2.10 (Tercer teorema de descomposici´n). Sea A un dominio de ideales principales
o
y M un A-m´dulo finito generado, de ideal anulador pn A, siendo p ∈ A irreducible. Se cumple que
o
M
A/pn1 A ⊕ · · · ⊕ A/pnr A
con ni ≤ n, determinados un´
ıvocamente por M .
o
Demostraci´n. Podemos suponer que A es local, de ideal maximal m = (p). Consideremos un epimorfismo π : An → M . Por ser Ker π subm´dulo de un m´dulo libre, es libre, digamos Am = Ker π.
o
o
Existe, pues, una sucesi´n exacta
o
φ
Am → An → M → 0
y M = Coker φ. Por la proposici´n anterior, existen bases {e1 , . . . , em }, {e1 , . . . , en } de Am y An , de
o
modo que φ(ei ) = λi ei , para todo i. Luego,
M = Coker φ = [Ae1 ⊕· · ·⊕Aen ]/[(λ1 )e1 ⊕. . . (λm )em ⊕0⊕· · ·⊕0] = A/(λ1 )⊕· · ·⊕A/(λm )⊕A⊕· · ·⊕A
y f´cilmente concluimos.
a
Veamos la unicidad de los ni . Reordenando tenemos
M = (A/pn A)mn ⊕ (A/pn−1 A)mn−1 ⊕ · · · ⊕ (A/pA)m1
con mi ≥ 0. Tenemos que ver que M determina los mi .
Sea pi : M → M , m → pi · m. Si M = A/pr A entonces Ker pi = (¯r−i ), para i ≤ r, y Ker pi = (¯
p
1),
para i ≥ r. Por tanto, Ker pi /(Ker pi−1 + p · Ker pi+1 ) = 0 si i = r y Ker pr /(Ker pr−1 + p · Ker pr+1 ) =
¯ (que es un A/pA espacio vectorial de dimensi´n 1).
1
o
Ahora en general, mi = dimA/pA Ker pi /(Ker pi−1 + p · Ker pi+1 ).
Teorema 2.2.11 (de clasificaci´n). Dado un A-m´dulo M finito generado, existe un isomorfismo
o
o
o
de A-m´dulos
n
M (A ⊕ . r . ⊕ A) ⊕ (⊕ A/pi i,j A)
.
i,j
donde los pi,j ∈ A son irreducibles y r, ni,j y pi est´n un´
a
ıvocamente determinados por M .
Demostraci´n. Es un consecuencia directa de los tres teoremas de descomposici´n.
o
o

29. 2.3.
Clasificaci´n de los grupos abelianos finito generados
o
29
n
Definici´n 2.2.12. A las potencias pi i,j del teorema de clasificaci´n se les denomina divisores eleo
o
mentales de M .
Corolario 2.2.13. Dos m´dulos finito generados son isomorfos si y s´lo si tienen el mismo rango y
o
o
los mismos divisores elementales.
Ejercicio 2.2.14. Dos m´dulos finito generados sobre un dominio de ideales principales son isomorfos
o
si y s´lo si son localmente isomorfos.
o
n
Ejercicio 2.2.15. Probar que en el caso de que r = 0 entonces Anul(M ) = m.c.m.{pi i,j }i,j A.
2.3
Clasificaci´n de los grupos abelianos finito generados
o
Dado un grupo abeliano G tiene de modo natural estructura de Z-m´dulo: La suma considerada es
o
la suma del grupo abeliano y el producto por escalares se define

.
si n ∈ N+
 g + .n. + g
−n
(−g) + . . . + (−g) si n ∈ N
/
n·g =

0
si n = 0
Rec´
ıprocamente, todo Z-m´dulo es en particular un grupo abeliano. As´ pues, hablar de grupos
o
ı
abelianos o de Z-m´dulos es s´lo una diferencia en la terminolog´ usada.
o
o
ıa
As´ por ejemplo, un grupo abeliano es finito generado si y s´lo si es finito generado como Z-m´dulo.
ı
o
o
Teorema 2.3.1 (de clasificaci´n). Sea G un grupo abeliano finito generado. Existe un isomorfismo
o
de grupos
n
G (Z ⊕ . r . ⊕ Z) ⊕ (⊕ Z/pi i,j Z)
.
i,j
con pi ∈ Z primos, y r, ni,j y pi determinados.
ıclicos.
En particular, todo grupo abeliano finito generado es suma directa de grupos c´
En el caso particular de que G sea un grupo abeliano finito tendremos que
G
n
⊕ Z/pi i,j Z
i,j
Corolario 2.3.2. Dos grupos abelianos finito generados son isomorfos si y s´lo si tienen el mismo
o
rango y los mismos divisores elementales.
Ejercicio 2.3.3. Probar que Z/4Z × Z/4Z
2.4
Z/4Z × Z/2Z × Z/2Z
Clasificaci´n de los endomorfismos de un espacio vectorial
o
Un endomorfismo T : E → E de un k-espacio vectorial E, induce una estructura de k[x]-m´dulos en
o
E del siguiente modo
p(x) · e = p(T )(e)
x·
en particular x · e = T (e). Rec´
ıprocamente, si E es un k[x]-m´dulo, tenemos el endomorfismo E → E,
o
e → x · e. Cuando pensemos E con la estructura de k[x]-m´dulo inducida por el endomorfismo T , lo
o
escribiremos ET .

30. 30
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
Definici´n 2.4.1. Dos endomorfismos T, T de E se dicen que son equivalentes si existe un autoo
morfismo lineal τ de E tal que T = τ ◦ T ◦ τ −1 . Esta igualdad significa la conmutatividad del
cuadrado
T /
E
E
τ
²
E
τ
T
²
/E
Proposici´n 2.4.2. Dos endomorfismos T, T de un espacio vectorial son equivalentes si y s´lo si
o
o
existen una base para T y otra base para T en las que que T y T tienen la misma matriz.
Demostraci´n. El endomorfismo τ es precisamente el que manda una base a la otra.
o
Proposici´n 2.4.3. Dos endomorfismos T, T de un espacio vectorial son equivalentes si y s´lo si
o
o
inducen estructuras de k[x]-m´dulos isomorfas.
o
Demostraci´n. Si T, T son equivalentes existe un automorfismo lineal τ tal que τ ◦T = T ◦τ . Veamos
o
que τ : ET → ET es un isomorfismo de k[x]-m´dulos:
o
τ (x · e) = τ (T (e)) = T (τ (e)) = x · τ (e)
i
Reiterativamente, probamos que τ (xi · e) = τ (T i (e)) = T (τ (e)) = xi · τ (e) y por linealidad que
τ (p(x) · e) = p(x) · τ (e).
Para el rec´
ıproco se razona de modo similar.
Si T es un endomorfismo de un espacio vectorial de dimensi´n finita, entonces es un k[x]-m´dulo
o
o
finito, y el rango de ET ha de ser cero, porque la dimensi´n de k[x] sobre k es infinita.
o
Teorema 2.4.4. Dos endomorfismos de un espacio vectorial de dimensi´n finita son equivalentes si
o
y s´lo si poseen los mismos divisores elementales.
o
2.4.1
Matrices de Jordan
1. Caso de un cuerpo k algebraicamente cerrado
Lema 2.4.5. Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio de grado n, entonces ¯ x, . . . , xn−1 es una base de
1, ¯
¯
k[x]/(p(x)).
Demostraci´n. Escribamos p(x) = an xn + · · · + a0 . Veamos que ¯ x, . . . , xn−1 son linealmente indeo
1, ¯
¯
pendientes: si
n−1
i=0
λi xi = 0, con λi ∈ k, entonces
¯
n−1
i=0
˙
λi xi = p(x). Ahora bien, el grado del t´rmino
e
de la izquierda de la igualdad es menor que n, mientras que el de la derecha es mayor o igual que n,
salvo que sea cero, as´ ha de ser y por tanto λi = 0 para todo i.
ı
1, ¯
¯
Veamos que ¯ x, . . . , xn−1 son generadores: Escribamos p(x) = an xn + · · · + a0 . Tenemos 0 =
p(x) = an xn + · · · + a0 , por tanto
¯
xn = −1 (an−1 xn−1 + · · · + a0 ) ∈ ¯ x, . . . , xn−1
¯
¯
1, ¯
¯
an
x
xn+1 = −¯ (an−1 xn−1 + · · · + a0 ) ∈ ¯ x, . . . , xn−1 , xn = ¯ x, . . . , xn−1
¯
¯
1, ¯
¯
¯
1, ¯
¯
an
etc.

31. 2.4.
Clasificaci´n de los endomorfismos lineales
o
31
n−1
Lema 2.4.6. {¯ x − λ, . . . , (x − λ)
1,
} es una base de k[x]/((x − λ)n ).
Demostraci´n. Sabemos que las clases ¯ y , . . . , y n−1 forman una base de k[y]/(y n ). Haciendo el
o
1, ¯
¯
cambio y = x − λ concluimos.
Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial E. Supongamos que ET
j−1
Tomemos la base {ej = (x − λ)
T (ej ) = x · (x − λ)
k[x]/((x − λ)n ).
| 0 ≤ j ≤ n − 1}. Se tiene
j−1
j−1
= (x − λ) · (x − λ)
Por lo tanto, la matriz de T vale
= ej+1 + λej


λ
1



j−1
+ λ(x − λ)
λ
..
.
..




1
.
λ
En general, la descomposici´n de ET ser´
o
a
ET = ⊕ k[x]/((x − λi )nij )
i,j
(no hay sumandos de la forma k[x] porque E es de dimensi´n finita). Tomando una base en cada
o
sumando k[x]/((x − λi )nij ), como acabamos de hacer, obtendremos una base de E en la que la matriz
de T es de la forma llamada de Jordan:


(B11 )


..


.




(Bij )


..
.
siendo (Bij ) la siguiente matriz nij × nij

λi
1

(Bij ) = 


λi
..
.
..
1




.
λi
2. Caso del cuerpo R
Lema 2.4.7. Sea E un espacio vectorial sobre C, de base {e1 , . . . , en }. Entonces {e1 , ie1 , . . . , en , ien }
es una base de E como R espacio vectorial.
Demostraci´n. C = R1 ⊕ Ri, por tanto
o
E = Ce1 ⊕ · · · ⊕ Cen = (Re1 ⊕ Rie1 ) ⊕ · · · ⊕ (Ren ⊕ Rien )

32. 32
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
Lema 2.4.8. Sea E un espacio vectorial sobre C, de base {e1 , . . . , en }. Sea T : E → E un endomorfismo C-lineal, cuya matriz asociada es (aij ). Escribamos aij = bij + bij i. Entonces T es un
endomorfismo R-lineal cuya matriz en la base {e1 , ie1 , . . . , en , ien } es


(a11 ) . . .
(a1n )


(aij )
(a1n ) . . .
(ann )
siendo (aij ) =
bij
bij
−bij
, es decir, (aij ) es la matriz de multiplicar por aij en C.
bij
Demostraci´n. S´lo es observar que
o
o
T (ei ) =
T (iei ) =
aij ei =
j
j
j
aij iei =
(bij ei + bij iei )
j
(−bij ei + bij iei )
Lema 2.4.9. Sea α ∈ C − R. Existe un isomorfismo de R[x]-m´dulos
o
R[x]/((x − α)n (x − α)n ) = C[x]/((x − α)n )
¯
Por tanto, multiplicar por x en el t´rmino de la izquierda de la igualdad es multiplicar por x en el
e
t´rmino de la derecha y aqu´ es un endomorfismo C-lineal.
e
ı
¯
Demostraci´n. Ambos m´dulos son R-espacios vectoriales de dimensi´n 2n. Sea 1 el R[x]-subm´dulo
o
o
o
o
1.
1:
de C[x]/((x − α)n ) generado por la clase ¯ Determinemos el anulador de ¯ Por una parte, es claro
que (x − α)n (x − α)n es un polinomio con coeficientes reales que anula a ¯ por otra parte, el anulador
1;
¯
deber´ ser un m´ltiplo de (x−α)n . Dado que todo polinomio con coeficientes reales que tiene una ra´
a
u
ız
compleja tiene tambi´n la conjugada (con igual multiplicidad) se concluye que el polinomio anulador
e
de ¯ es (x − α)n (x − α)n .
1
¯
Se tiene entonces una inclusi´n
o
R[x]/((x − α)n (x − α)n ) = ¯ ⊆ C[x]/((x − α)n )
¯
1
y como ambos R-espacios vectoriales son de la misma dimensi´n, se concluye que la inclusi´n anterior
o
o
es una igualdad.
Los polinomios irreducibles de R[x] son x − λ, (λ ∈ R) y (x − α)(x − α), con α ∈ C − R.
¯
Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial real E.
Supongamos que ET R[x]/((x−α)n (x− α)n ) = C[x]/((x−α)n ). Multiplicar por x en C[x]/((x−
¯
n−1
n
1,
α) ) es un endomorfismo C-lineal, cuya matriz asociada en la base, sobre C, ¯ (x − α), . . . , (x − α)
es


α
1 α





..
..


.
.
1 α

33. 2.4.
Clasificaci´n de los endomorfismos lineales
o
33
por tanto, en la base {ej = (x − α)j−1 , ej = i(x − α)j−1 } la matriz asociada a T es

b −b

  b
b

(α)
 1 0
b −b
 (1) (α)
 
  0 1

b
b

=
..
..

 
.
.
..
..

.
.

(1) (α)

1 0
b −b
0 1
b
b











siendo α = b + b i.
Nota: Si en R[x]/((x − α)n (x − α)n ) consideramos la base {ej = (x − α)j−1 , ej = i(x − α)j−1 },
¯
2
donde i = q(x) cumple que q(x) = −1 (y escribimos α = b + b q(x)), entonces la matriz asociada a T
es la anterior. Expl´
ıcitamente, como es tedioso comprobar, puede tomarse q(x) = y ·
n−1
i=0
con y =
x−b
b ,
a0 = 1, ar =
1
2
−
1
2
i+j=r
ai (y 2 + 1)i ,
ai aj .
i,jr
En el caso general, la descomposici´n del R-espacio vectorial E de dimensi´n finita ser´
o
o
a
ET = ⊕ R[x]/(pi (x)nij )
i,j
donde los pi (x) son irreducibles y por lo tanto son de la forma pi (x) = x − λi ´ bien pi (x) =
o
(x − αi )(x − αi ), con αi = bi + bi i (bi = 0).
¯
Tomando como antes una base en cada sumando R[x]/(pi (x)nij ), obtendremos una base de E en
la que la matriz de T es


(B11 )


..


.




(Bij )


..
.
donde (Bij ) es la matriz:
Si pi (x) = x − λi entonces

λi
1

(Bij ) = 


λi
..
.
..
1
Si pi (x) = (x − αi )(x − αi ) entonces
¯

bi −bi
 bi bi

 1 0


(Bij ) =  0 1








.
λi

bi
bi
−bi
bi
..
.
..
.
1 0
0 1
bi
bi
−bi
bi











34. 34
2.5
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
Factores invariantes
Consideremos una presentaci´n de un A-m´dulo M finito generado, es decir, una sucesi´n exacta
o
o
o
ψ
Am −→ An −→ M −→ 0
Consideremos sendas bases {e1 , . . . , em } y {e1 , . . . , en } de Am y An . Escribamos ψ(ei ) =
as´ que (aij ) es la matriz de ψ. Definimos entonces los siguientes ideales:
ı
j
aij ej ,
Definici´n 2.5.1. Se llama i-´simo ideal de Fitting de M al ideal Fi (M ) generado por los menores
o
e
de orden n − i de la matriz de ψ. Si i n seguiremos la convenci´n Fi (M ) = (1) y si m i ≤ n
o
seguiremos la convenci´n Fi (M ) = (0).
o
Veamos que los ideales de Fitting de un m´dulo no dependen de las bases elegidas en la preseno
taci´n: Consideremos otra base {¯1 , . . . , em } de Am y escribamos ψ(¯j ) = i aij ei , as´ que la nueva
o
e
¯
e
¯
ı
¯
matriz de ψ es (¯ij ). Denotemos Fi (M ) y Fi (M ) a los respectivos ideales i-´simos de Fitting de las
a
e
matrices (aij ) y (¯ij ). Cada ej es combinaci´n lineal de la antigua base {e1 , . . . , em } y, por lo tanto,
a
¯
o
cada columna de (¯ij ) es combinaci´n lineal de las columnas de (aij ). En consecuencia, los menores
a
o
¯
de orden n − i de (¯ij ) son combinaci´n lineal de los menores de (aij ), es decir, Fi (M ) ⊆ Fi (M ) .
a
o
¯i (M ); luego en conclusi´n Fi (M ) = Fi (M ) . Si la que
¯
Por simetr´ tambi´n se cumple Fi (M ) ⊆ F
ıa
e
o
cambiamos es la base de An se razona de modo similar (por filas en vez de por columnas).
ψ
ψx
Dada la sucesi´n exacta Am → An → M → 0 y x ∈ Spec A, entonces Am → An → Mx → 0 es
o
x
x
exacta. La matriz asociada a ψ, es la misma que la asociada a ψx , por tanto (Fi (M ))x = Fi (Mx ).
Notaci´n: Denotemos ci al generador del ideal Fi (M ), es decir, ci es el m´ximo com´n divisor
o
a
u
de los menores de orden n − i de la matriz de ψ. Los menores de orden n − i son combinaci´n lineal
o
de menores de orden n − i − 1, por tanto, ci es m´ltiplo de ci+1 .
u
Definici´n 2.5.2. A los elementos φi = ci−1 /ci se les llama factores invariantes del m´dulo M . Si
o
o
ci = ci−1 = 0 diremos que φi = 0.
Teorema 2.5.3 (de clasificaci´n. Segunda versi´n). Los ideales de Fitting de un m´dulo no
o
o
o
dependen de la presentaci´n finita escogida. Por tanto, los factores invariantes no dependen de la
o
presentaci´n finita escogida.
o
a
Adem´s,
M
A/(φ1 ) ⊕ · · · ⊕ A/(φn )
Luego, dos A-m´dulos finito generados son isomorfos si y s´lo si poseen los mismos factores
o
o
invariantes.
ψ
Demostraci´n. Sea Am → An → M → 0 una sucesi´n exacta. Dos elementos de A son iguales (salvo
o
o
o
invertibles) si al localizar en cada punto cerrado del espectro son iguales y dos m´dulos son isomorfos
si lo son localmente. Por lo tanto, podemos suponer que A es un anillo local de ideal maximal m = (p).

35. 2.5.
Factores invariantes
35
Por 2.2.9 existen bases de Am y An de modo que correspondiente matriz de ψ es

 n
p 1
s


..


.




pns




1




s


..


.




1



 0
0



 .
..
.
 .

.


 r
0


 .
.
.
.
 .
.
0
0
Reordenado la base de Am , podemos suponer que pn1 ≥ · · · ≥ pns .
Ahora ya tenemos que M = Ar ⊕ A/(pn ) ⊕ · · · ⊕ A/(pns ). Por tanto, r es el rango de M y pni
1
son los divisores elementales de M . Es una sencilla comprobaci´n el ver que ci = 0 para i r,
o
ci = pns · · · pni−r+1 , para r ≤ i r + s, ci = 1, para i ≥ r + s. Tenemos calculados los ideales de
Fitting, en t´rminos del rango y los divisores elementales de M , por tanto, no dependen de ψ. Por
e
ultimo, φi = 0 para i ≤ r, φi = pni−r para r i ≤ r + s, y φi = 1 para i r + s. As´ pues,
´
ı
M
A/(φ1 ) ⊕ · · · ⊕ A/(φn )
Observaci´n 2.5.4. Observemos, por el c´lculo efectuado en la demostraci´n del teorema anterior, que
o
a
o
φi es m´ltiplo de φi+1 . Por tanto, (φ1 ) es el ideal anulador de M .
u
Teorema 2.5.5 (de clasificaci´n de endomorfismos). Dos endomorfismos de un k-espacio veco
torial de dimensi´n finita E son equivalentes si y s´lo si poseen los mismos factores invariantes.
o
o
Sea E un k-espacio vectorial de dimensi´n n. Consideremos un endomorfismo T y la correspono
diente estructura de k[x]-m´dulo sobre E. Sea (λij ) la matriz de T en una base {e1 , . . . , en } de E.
o
Vamos a determinar los factores invariantes de T a partir de su matriz.
Sea E[x] el conjunto de polinomios con coeficientes en E. E[x] es k[x]-m´dulo, ( ai xi )∗( ej xj ) =
o
i
i,j
j
ai ej xi+j , y resulta ser libre de base {e1 , . . . , en }. Consideremos el epimorfismo de k[x]-m´dulos
o
π : E[x] → E, π(
i
ei x i ) =
i
xi ei . Obviamente el k[x]-m´dulo ex − xe | e ∈ E
o
k[x]
est´ incluido en
a
el n´cleo de π. Veamos que coinciden:
u
En E[x]/ ex − xe | e ∈ E se verifica que x ∗ e = ex = xe, luego exn = xn ∗ e = xn e. Por tanto,
¯
¯
i
el morfismo de k-espacios vectoriales E → E[x]/ ex − xe | e ∈ E , e → e es epiyectivo. Como la
composici´n
o
i
π
E → E[x]/ ex − xe | e ∈ E → E
es el morfismo identidad, se deduce que E[x]/ ex − xe | e ∈ E = E.

36. 36
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
As´ pues, tenemos la sucesi´n exacta de k[x]-m´dulos
ı
o
o
E[x]
e
(x∗−x·)
→
→
π
E[x] → E → 0
ex − xe
o
o
o
Por lo tanto, la sucesi´n anterior es una presentaci´n de ET como k[x]-m´dulo. La matriz del
morfismo (x ∗ −x·) es xId − (λij ). Luego
Teorema 2.5.6. Sea (λij ) la matriz n×n de un endomorfismo T . Sea ci (x) el m´ximo com´n divisor
a
u
de los menores de orden n − i de la matriz xId − (λij ) . Se verifica
ci (x) = φi+1 (x) · · · φn (x)
φi (x) = ci−1 (x)/ci (x)
siendo φ1 (x), . . . , φn (x) los factores invariantes de T .
Observaciones:
a) El polinomio c0 (x) = det xId − (λij ) se llama polinomio caracter´
ıstico de T . Seg´n el teorema
u
anterior, el polinomio caracter´
ıstico es igual al producto de los factores invariantes. Adem´s como
a
todos los factores invariantes dividen al primet factor invariante, φ1 (que es el polinomio anulador),
tenemos que el polinomio caracter´
ıstico tiene las mismas ra´ salvo multiplicidades que el polinomio
ıces
anulador.
b) Un caso particular es el Teorema de Hamilton-Cayley:
φ1 (x) = c0 (x)/c1 (x)
es decir, el polinomio anulador de T es igual al cociente del polinomio caracter´
ıstico por el m´ximo
a
com´n divisor de los menores de orden n − 1 de la matriz xId − (λij ) .
u
2.6
Problemas
1. Sea A un dominio de ideales principales. Si aA ∩ bA = cA, pru´bese que c es el m´
e
ınimo com´n
u
m´ltiplo de a y b.
u
2. Sea A un dominio de ideales principales. Sean a = pn1 · · · pnr , b = pm1 · · · pmr con ni , mj ≥ 0,
r
r
1
1
pi irreducibles y pi primo con pj , para i = j. Calc´lese el m´
u
ınimo com´n m´ltiplo y m´ximo
u
u
a
com´n divisor de de a y b.
u
3. Sea A el C-espacio vectorial de todas las funciones reales a valores complejos infinitamente
diferenciables. Se designa por D el operador derivada. Es claro que D es un endomorfismo C
lineal de A.
(a) Probar la f´rmula de conmutaci´n
o
o
P (D)(eαx · y) = eαx P (D + α)y
para y ∈ A y α ∈ C.
(b) Probar que Ker Dr+1 = {Polinomios de grado menor o igual que r}. Calcular Ker(D −
α)r+1 . Si p(x) = (x − α1 )n1 · · · (x − αr )nr , calcular Ker p(D).

37. 2.6.
(c) Resolver la ecuaci´n diferenciales: y
o
Problemas
37
− 2y + 2y = 0, y + y = 0.
4. Con las notaciones del ejercicio anterior sea la ecuaci´n P (D)y = z, con z ∈ A. Supongamos
o
que existe un polinomio Q(x) primo con P (x) de modo que Q(D)z = 0. Pru´bese que existe un
e
polinomio R(x), de modo que R(D)z es una soluci´n particular de la ecuaci´n dada. Resolver
o
o
la ecuaci´n y (n − y = xn .
o
1
5. Dada la ecuaci´n diferencial P (D)y = z, escribamos y = P (D) z. Si P (x) = (x − α1 )n1 · · · (x −
o
αr )nr , expresar y en t´rminos de primitivas (reiteradas) de sumas de productos de funciones
e
u
o
exponenciales y derivadas de z (´sese la descomposici´n de fracciones racionales en fracciones
simples y la f´rmula de conmutaci´n). Resolver y − y = senx.
o
o
6. Sea Suc(C) = {(an )} el C-espacio vectorial de las sucesiones de n´meros complejos. Sea el
u
“operador siguiente” : Suc(C) → Suc(C) la aplicaci´n C-lineal definida por (an ) = (an ),
o
donde an = an+1 . Sea ∆ = − Id, el “operador diferencia”.
(a) Probar las f´rmulas de conmutaci´n
o
o
P ( )((αn ) · (an )) = (αn ) · P (α )(an )
P ( − α)((αn ) · (an )) = (αn ) · P (α · ∆)(an )
(b) Demostrar que las sucesiones {(1), (n), . . . , (nr )} son una base de Ker ∆r+1 . Calcular
Ker( − α)r .
(c) Resolver la ecuaci´n an+2 = an+1 + an , con las condiciones iniciales a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2
o
(sucesi´n de Fibonacci).
o
7. Dada la ecuaci´n inhomog´nea p( )(an ) = (bn ), sup´ngase que existe un polinomio q(x), primo
o
e
o
con p(x), tal que q( )(bn ) = 0. Pru´bese que existe un polinomio r(x) tal que r( )(an ) es una
e
soluci´n particular de la ecuaci´n dada.
o
o
Est´diese el caso en que p(x) y q(x) no son primos entre s´ Resolver an+2 + 2an+1 − 8an = 2n .
u
ı.
8. Sea A un dominio de ideales principales y M un A-m´dulo de ideal anulador no nulo a · A.
o
Probar que si a es un elemento propio que divide a a, entonces Ker a · = 0, donde a · es el
endomorfismo de M , definido por (a ·)(m) = am.
9. Sean p y q n´meros primos distintos. Calcular el n´mero de grupos abelianos finitos desisomorfos
u
u
de orden p2 q.
10. Pru´bese que un grupo abeliano finito que no sea c´
e
ıclico contiene un subgrupo isomorfo a
Z/pZ × Z/pZ, para un cierto entero primo p.
11. Sea G un grupo abeliano finito. Demostrar que G es c´
ıclico si y s´lo si para cada n divisor del
o
´
orden de G, existe un unico subgrupo de G de orden n.
12. Sea G un subgrupo discreto del grupo aditivo de Rn . Pru´bese que existe un n´mero natural
e
u
r ≤ n, tal que G est´ generado como Z-m´dulo por r vectores linealmente independientes sobre
a
o
R.
13. Clasif´
ıquese el endomorfismo “multiplicar por x” sobre el espacio
E = k[x]/(x) ⊕ k[x]/(x3 ) ⊕ k[x]/(x5 )

38. 38
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
14. Clasif´
ıquense los endomorfismos nilpotentes de un espacio vectorial de dimensi´n 3. Problema
o
an´logo para espacios de dimensi´n 4 y 5.
a
o
15. Clasif´
ıquense los endomorfismos T de un espacio vectorial real E, que cumplan
(a) Anulador de T = (x − 1)2 , dim E = 5.
(b) Anulador de T = (x2 + 4)2 (x + 8)2 , dim E = 8.
16. Sea E el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes reales de grado menor
que 6, y sea D el operador derivada sobre E. Clasif´
ıquese el endomorfismo T = D2 .
17. Probar que un grupo abeliano finito generado es c´
ıclico si y s´lo si tiene un unico factor invariante.
o
´
18. Clasificar sobre el cuerpo racional

−1 0
0 0

1 2
0 1
los endomorfismos


1 0
−1
2
2 1


1
0 0
0 1
0
0
−1
0
1
1
0
−1
2

0
1

0
−1
19. Sean T, T : E → E dos endomorfismos lineales de un espacio vectorial de dimensi´n finita, de
o
modo que en cierta base la matriz de T es la transpuesta de la de T . Probar que T y T son
endomorfismos equivalentes.
20. Sea A un anillo eucl´
ıdeo y (aij ) una matriz con coeficientes aij ∈ A. Sustituyendo de modo
conveniente y sucesivo la fila Fi por la fila Fi + bj Fj , i = j, bj ∈ A (i, j, bj arbitrarios), demostrar que la matriz (aij ) es triangulable. Si admitimos, adem´s, las mismas transformaciones
a
“elementales” con las columnas, demostrar que (aij ) es diagonalizable. Resolver el sistema de
ecuaciones diof´nticas
a
7x + 5y = 1
5x + 3y = 3
21. Clasificar los Z-m´dulos (Z × Z)/ (7, 5), (5, 3) y (Z × Z × Z)/ (12, 30, 24), (4, 8, 6), (6, 4, 8) .
o
22. Mediante transformaciones elementales calcular los factores invariantes del endomorfismo de R3
de matriz


0 −1 0
0 1 −2
1 1
3
Calcular e1 , e2 ∈ R3 de modo que R3 = (k[x]/(φ1 ))e1 ⊕ (k[x]/(φ2 ))e2 .
23. Probar que si el polinomio caracter´
ıstico de un endomorfismo lineal tiene todas sus ra´
ıces distintas entonces coincide con el primer factor invariante.
24. Sea T : E → E un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimensi´n finita. Probar que
o
la condici´n necesaria y suficiente para que el endomorfismo p(T ) sea invertible es que p(x) y
o
cT (x) sean primos entre s´
ı.

39. 2.6.
Problemas
39
25. Sea T : E → E un endomorfismo lineal de un espacio vectorial de dimensi´n finita. Sea E ⊆ E
o
¯
¯ e
un subespacio estable por T . Denotemos T : E/E → E/E , T (¯) = T (e), el endomorfismo
inducido por T en E/E . Probar que
cT (x) = cT|E (x) · cT (x)
¯
26. Sea E un C-espacio vectorial de dimensi´n n y T un endomorfismo de E. Sea cT (x) =
o
n
(x−αi )
i=1
o
ıstico de T . Pru´bese que si p(x)
e
la descomposici´n en factores lineales del polinomio caracter´
es un polinomio con coeficientes en C, entonces
n
cp(T ) (x) =
(x − p(αi ))
i=1
En particular, se tiene que tr(p(T )) =
n
p(αi ), det(p(T )) =
i=1
n
i=1
p(αi ).
27. Sea E un C-espacio vectorial de dimensi´n finita. Sea T : E → E un endomorfismo C-lineal de
o
E. Demostrar que si cT (x) es el polinomio caracter´
ıstico de T considerado como endomorfismo
C-lineal, entonces el polinomio caracter´
ıstico de T considerado como endomorfismo R-lineal es
cT (x) · cT (x) (donde cT (x) es el conjugado de cT (x)).
28. (a) Sea X = AX un sistema homog´neo de ecuaciones diferenciales, siendo A una matriz
e
cuadrada de coeficientes constantes. Probar que eAt · C son las soluciones del sistema,
siendo C una matriz columna de constantes.
(b) Sea X = AX + B(t) un sistema lineal de ecuaciones diferenciales. Calcular la matriz
columna C(t) tal que eAt · C(t) sea una soluci´n del sistema.
o
29. Resu´lvanse los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales
e
dx
dt
dy
dt
dz
dt
= x − 3y + 3z
= −2x − 6y + 13z
= −x − 4y + 8z
dx
dt
dy
dt
dy
dt
du
dt
= 3x − y
=x+y
= 3x + 5z − 3u
= 4x − y + 3z − u
dx
dt
dy
dt
= −11x − 4y
= 15x + 6y
30. Sea P (x) ∈ R[x] un polinomio de grado n. Probar que la ecuaci´n diferencial P (D)y = f (x)
o
es equivalente a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de
primer orden de n variables.
31. (a) Sea P (x) ∈ R[x] un polinomio m´nico de grado n. Sean s1 (x), . . . , sn (x) soluciones, linealo
o
mente independientes, de la ecuaci´n diferencial P (D)y = 0. Probar que si c1 (x), . . . , cn (x)
cumplen las ecuaciones
c1 (x) s1 (x) + . . . + cn (x) sn (x) = 0
...
c1 (x) s1 (x)n−2) + . . . + cn (x) sn (x)n−2) = 0
c1 (x) s1 (x)n−1) + . . . + cn (x) sn (x)n−1) = f (x)
entonces c1 (x)s1 (x) + . . . + cn (x)sn (x) es una soluci´n particular de P (D)y = f (x).
o

40. 40
Cap´
ıtulo 2.
Dominios de ideales principales. M´dulos
o
(b) Pru´bese este resultado como caso particular de 28 (b).
e
32. Sea A una matriz con coeficientes en k[D]. Probar que mediante las transformaciones elementales, el problema de resolver los sistemas AX(t) = Y (t), se reduce al problema de resolver
ecuaciones P (D)f (t) = h(t).
33. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
x − x + y = et
x + 2x + x + y = et

41. Cap´
ıtulo 3
Producto tensorial. M´dulos
o
proyectivos e inyectivos
3.1
Categor´
ıas. Funtor de homorfismos
Dar una categor´ C es dar
ıa
1. Una familia arbitraria, cuyos elementos llamaremos objetos de C.
2. Unos conjuntos HomC (M, N ), para cada par de objetos M, N de C, cuyos elementos f llamaremos morfismos de M en N y denotaremos por el s´
ımbolo f : M → N .
3. Una aplicaci´n
o
HomC (N, P ) × HomC (M, N ) → HomC (M, P ), (f, g) → f ◦ g
para cada terna M, N, P de objetos de C. Satisfaci´ndose
e
(a) (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).
(b) Para cada objeto M de C, existe un morfismo IdM : M → M de modo que f ◦ IdM = f y
IdM ◦g = g para todo morfismo f : M → N y g : N → M .
Un morfismo f : M → N se dice que es un isomorfismo si existe g : N → M de modo que f ◦g = IdN
y g ◦ f = IdM .
Ejemplo 3.1.1. La categor´ CConj de conjuntos es la categor´ cuyos objetos son los conjuntos y
ıa
ıa
los morfismos entre los objetos son las aplicaciones de conjuntos. La categor´ CM od de A-m´dulos es
ıa
o
o
la categor´ cuyos objetos son los A-m´dulos y los morfismos entre los objetos son los morfismos de
ıa
m´dulos.
o
o
ıas. Dar un funtor covariante F : C C es asignar a cada
Definici´n 3.1.2. Sean C y C dos categor´
objeto M de C un objeto F (M ) de C , y cada morfismo f : M → M de C un morfismo F (f ) : F (M ) →
F (N ) de C , de modo que se verifique que F (f ◦ g) = F (f ) ◦ F (g) y F (IdM ) = IdF (M ) .
An´logamente se definen los funtores F contravariantes, que invierten el sentido de los morfismos;
a
es decir, asignan a cada morfismo f : M → N de C un morfismo F (f ) : F (N ) → F (M ) de C , de modo
que verifica F (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f ) y F (IdM ) = IdF (M ) .
41

42. 42
Cap´
ıtulo 3.
Producto tensorial. M´dulos proyectivos e inyectivos
o
Un morfismo f : M → M induce las aplicaciones
f∗
Hom(N, M ) → Hom(N, M ), g → f∗ (g) = f ◦ g
def
f∗
∗
Hom(M , N ) → Hom(M, N ), g → f (g) = g ◦ f
def
Estamos diciendo que Hom(N, −) es un funtor covariante de C en la categor´ de los conjuntos
ıa
CConj , es decir,
Hom(N, −) : C
M
f
(f ◦ g)
CConj
Hom(N, M )
f∗
(f ◦ g)∗ = (f∗ ◦ g∗ )
Hom(−, N ) es un funtor contravariante
Hom(−, N ) : C
M
f
(f ◦ g)
CConj
Hom(M, N )
f∗
(f ◦ g)∗ = (g ∗ ◦ f ∗ )
θ
Definici´n 3.1.3. Dos funtores F, F : C C se dicen que son isomorfos, y escribimos F F , si para
o
cada objeto M de C tenemos isomorfismos θM : F (M )
F (M ), de modo que para cada morfismo
f : M → N el diagrama
F (M )
F (f )
θM
F (M )
/ F (N )
θN
F (f )
/ F (N )
es conmutativo.
Proposici´n 3.1.4. El funtor Hom(M, −) es isomorfo al funtor Hom(M , −), si y s´lo si M
o
o
“Los objetos de una categor´ est´n determinados por sus relaciones”
ıa
a
θ
M.
Demostraci´n. Veamos s´lo la suficiencia. Si Hom(M, −) Hom(M , −), entonces este isomorfismo
o
o
queda determinado por θM (IdM ) = g: Dado f ∈ Hom(M, N ) consideremos el diagrama
Hom(M, M )
θM
f∗
f∗
²
Hom(M, N )
Luego θN (f ) = f∗ (g) = f ◦ g.
Hom(M , M )
θN
²
Hom(M , N )
IdM
_
f∗
Â
θM
/g
_
f∗
²
²
θN
f Â_ _ _ _/ f∗ (g) = f ◦ g

43. 3.2.
Construcci´n del producto tensorial
o
As´ pues, si tenemos un isomorfismo Hom(M, −)
ı
−1
θM (IdM ) = f tendremos que
IdM
IdM
θM
−1
θM
g
f
−1
θM
θM
θ
43
Hom(M , −) y denotamos θM (IdM ) = g y
g∗ (f ) = g ◦ f = IdM
f∗ (g) = f ◦ g = IdM
Definici´n 3.1.5. Se dice que un funtor covariante F es representable si existe un objeto M , de modo
o
que F = Hom(M, −). Se dice que un funtor contravariante F es representable si existe un objeto M ,
de modo que F = Hom(−, M ). En estos casos se dice que M es el representante de F .
Por la proposici´n anterior sabemos que el representante de un funtor representable es unico salvo
o
´
isomorfismos.
Teorema 3.1.6. La condici´n necesaria y suficiente para que una sucesi´n de morfismos de Ao
o
p
i
o
m´dulos 0 → M → M → M sea exacta es que para todo A-m´dulo N sea exacta la sucesi´n
o
o
i
p∗
∗
0 → HomA (N, M ) → HomA (N, M ) → HomA (N, M )
“Se dice que HomA (N, −) es un funtor exacto por la izquierda”.
Demostraci´n. Es sencillo comprobar la necesidad de la condici´n. En cuanto a la suficiencia, basta
o
o
tomar N = A, pues para todo A-m´dulo M tenemos un isomorfismo natural HomA (A, M ) = M ,
o
f → f (1).
Tambi´n se tiene el teorema “dual” del anterior:
e
Teorema 3.1.7. La condici´n necesaria y suficiente para que una sucesi´n de morfismos de Ao
o
p
i
m´dulos M → M → M → 0 sea exacta es que para todo A-m´dulo N sea exacta la sucesi´n
o
o
o
p∗
i∗
0 → HomA (M , N ) → HomA (M, N ) → HomA (M , N )
“Se dice que HomA (−, N ) es un funtor exacto por la derecha”.
Demostraci´n. Es sencillo comprobar la necesidad de la condici´n. Veamos la suficiencia. Sea N =
o
o
M / Im p, y π : M → N la proyecci´n can´nica. Tenemos que p∗ (π) = π ◦ p = 0, luego π = 0 y p es
o
o
epiyectiva. Si tomamos ahora N = M , entonces 0 = (p∗ ◦ i∗ )(Id) = p ◦ i, luego Im i ⊆ Ker p. Por
ultimo, si N = M/ Im i y π : M → M/ Im i es la proyecci´n can´nica, entonces i∗ (π) = π ◦ i = 0.
´
o
o
Luego existe un morfismo f : M → N tal que f ◦ p = p∗ (f ) = π y concluimos que Ker p = p−1 (0) ⊆
(f ◦ p)−1 (0) = π −1 (0) = Im i.
3.2
Construcci´n del producto tensorial de m´dulos
o
o
El objetivo de esta secci´n es definir el producto tensorial de dos A-m´dulos. Si bien se puede dar
o
o
una interpretaci´n geom´trica del producto tensorial, creemos conveniente que primero se domine esta
o
e

44. 44
Cap´
ıtulo 3.
Producto tensorial. M´dulos proyectivos e inyectivos
o
operaci´n. Queremos definir “el producto” (⊗) de elementos de M por N , cumpliendo las siguientes
o
propiedades
(m + m ) ⊗ n = m ⊗ n + m ⊗ n
m ⊗ (n + n ) = m ⊗ n + m ⊗ n
am ⊗ n = a(m ⊗ n)
m ⊗ an = a(m ⊗ n)
Es decir, queremos definir un m´dulo M ⊗A N generado por elementos m ⊗ n, m ∈ M y n ∈ N ,
o
cumpliendo las propiedades anteriores y sin m´s relaciones que las generadas por las relaciones de M
a
y N y estas propiedades. Empecemos con el formalismo necesario para la construcci´n de M ⊗A N .
o
Sean M y N dos A-m´dulos. Consideremos el A-m´dulo libre A(M ×N ) . Dado (m, n) ∈ M × N ,
o
o
denotemos (m, n) = (ai )i∈M ×N al elemento de A(M ×N ) definido por a(m ,n ) = 0 si (m , n ) = (m, n)
y a(m ,n ) = 1 si (m , n ) = (m, n). Es decir, estamos identificando los elementos de M × N con la
base est´ndar de A(M ×N ) .
a
Sea R el subm´dulo de A(M ×N ) generado por los elementos de la forma
o
(m + m , n) − (m, n) − (m , n)
(m, n + n ) − (m, n) − (m, n )
(am, n) − a(m, n)
(m, an) − a(m, n)
Definici´n 3.2.1. Llamaremos producto tensorial de M y N sobre el anillo A al A-m´dulo cociente
o
o
A(M ×N ) /R y lo denotaremos M ⊗A N . Cada clase (m, n) ∈ A(M ×N ) /R = M ⊗A N la denotaremos
m ⊗ n.
o
De acuerdo con la definici´n de R y M ⊗A N tenemos que
(m + m ) ⊗ n = m ⊗ n + m ⊗ n
m ⊗ (n + n ) = m ⊗ n + m ⊗ n
am ⊗ n = a(m ⊗ n)
m ⊗ an = a(m ⊗ n)
propiedades que se expresan diciendo “el producto tensorial es A-bilineal”.
Dado que los elementos {(m, n)}(m,n)∈M ×N forman una base de A(M ×N ) entonces los elementos
{m ⊗ n}(m,n)∈M ×N forman un sistema generador de M ⊗A N . Por las propiedades de bilinealidad
reci´n escritas, si {mi } y {nj } son sistemas generadores de M y N , entonces {mi ⊗ nj } es un sistema
e
generador de M ⊗A N .
Sea P un A-m´dulo.
o
Definici´n 3.2.2. Diremos que una aplicaci´n β : M × N → P es A-bilineal si
o
o
β(m + m , n) = β(m, n) + β(m , n)
β(m, n + n ) = β(m, n) + β(m, n )
β(am, n) = aβ(m, n)
β(m, an) = aβ(m, n)
El conjunto de las aplicaciones A-bilineales de M ×N en P se denota BilA (M, N ; P ). La condici´n
o
de que una aplicaci´n β : M × N → P sea A-bilineal expresa que la aplicaci´n βm : N → P , βm (n) =
o
o
o
ı
β(m, n), es un morfismo de A-m´dulos para cada elemento m ∈ M . Obtenemos as´ un isomorfismo
natural
BilA (M, N ; P ) = HomA (M, HomA (N, P ))
El morfismo natural π : M × N → M ⊗ N , (m, n) → m ⊗ n, es bilineal.

45. 3.3.
Propiedades del producto tensorial
45
Teorema 3.2.3 (Propiedad universal del producto tensorial). La aplicaci´n
o
HomA (M ⊗A N, P ) = BilA (M, N ; P ), φ → φ ◦ π
es un isomorfismo. Es decir, M ⊗A N es el representante del funtor BilA (M, N ; −).
Demostraci´n. Sea β : M × N → P una aplicaci´n A-bilineal, entonces el morfismo de A-m´dulos
o
o
o
ϕ : A(M ×N ) → P, ϕ(
ai (mi , ni )) =
i
ai β(mi , ni )
i
se anula sobre los generadores del subm´dulo R, anteriormente definido. Por la tanto, induce el
o
morfismo de A-m´dulos φ : M ⊗A N → P , m ⊗ n → β(m, n). Este morfismo cumple que β = φ ◦ π
o
y si un morfismo φ cumple esta igualdad entonces φ (m ⊗ n) = β(m, n) y coincide con φ, pues los
elementos m ⊗ n generan M ⊗ N .
´
o
o
Por ultimo, es una simple comprobaci´n ver que dado un morfismo de A-m´dulos φ : M ⊗ N → P
entonces β = φ ◦ π es una aplicaci´n bilineal de M × N en P .
o
As´ pues, este teorema nos dice que definir un morfismo de A-m´dulos φ : M ⊗ N → P , es asignar
ı
o
a cada m⊗n ∈ M ⊗A N un elemento β(m⊗n) de modo que β((am+m )⊗n) = aβ(m⊗n)+β(m ⊗n)
y β(m ⊗ (an + n )) = aβ(m ⊗ n) + β(m ⊗ n ).
Observaci´n 3.2.4. An´loga construcci´n se puede hacerse para cualquier familia finita M1 ,. . . , Mn
o
a
o
de A-m´dulos, obteni´ndose un A-m´dulo M1 ⊗A · · · ⊗A Mn con una propiedad universal similar.
o
e
o
Para definir un morfismo de A-m´dulos f : M1 ⊗A · · · ⊗A Mn → P , bastar´ definir las im´genes
o
a
a
f (m1 ⊗ · · · ⊗ mn ) de modo que
f (m1 ⊗ · · · ⊗ ai mi + ni ⊗ · · · ) = ai f (m1 ⊗ · · · ⊗ mi ⊗ · · · ) + f (m1 ⊗ · · · ⊗ ni ⊗ · · · )
3.3
Propiedades del producto tensorial
Teorema 3.3.1. Existen isomorfismos naturales
1. (M ⊗A N ) ⊗A P = M ⊗A N ⊗A P , (m ⊗ n) ⊗ p → m ⊗ n ⊗ p.
2. M ⊗A N = N ⊗A M , m ⊗ n → n ⊗ m.
3. A ⊗A M = M , a ⊗ m → am.
4. ( ⊕ Mi ) ⊗A N = ⊕ (Mi ⊗ N ), (mi )i∈I ⊗ n → (mi ⊗ n)i∈I .
i∈I
i∈I
5. M ⊗A AS = MS , m ⊗
a
s
→
am
s .
6. M ⊗A (A/I) = M/IM , m ⊗ a → am.
¯
Demostraci´n. Dejamos al lector que defina los morfismos inversos. Veamos, s´lo, que el morfismo de
o
o
1. est´ bien definido: Para cada p el morfismo M ⊗A N ×p → M ⊗A (N ⊗A P ), (m⊗n)×p → m⊗(n⊗p)
a
est´ bien definido. Luego tenemos un morfismo (M ⊗A N ) × P → M ⊗A (N ⊗A P ), que es bilineal e
a
induce el morfismo definido en 1.

46. 46
Cap´
ıtulo 3.
Producto tensorial. M´dulos proyectivos e inyectivos
o
Probemos, con otro m´todo, ( ⊕ Mi ) ⊗A N = ⊕ (Mi ⊗ N ):
e
i∈I
i∈I
HomA (( ⊕ Mi ) ⊗A N, P ) = HomA ( ⊕ Mi , HomA (N, P )) =
i∈I
i∈I
HomA (Mi , HomA (N, P ))
i∈I
HomA (Mi ⊗A N, P ) = HomA ( ⊕ (Mi ⊗A N ), P )
=
i∈I
i∈I
Por la unicidad del representante (3.1.4), ( ⊕ Mi ) ⊗A N = ⊕ (Mi ⊗ N ).
i∈I
i∈I
Si f : A → B es un morfismo de anillos entonces B es de modo natural un A-m´dulo. Cada
o
elemento b ∈ B define un endomorfismo 1 ⊗ b : M ⊗A B → M ⊗A B, m ⊗ b → m ⊗ bb . Podemos
def
definir as´ una estructura de B-m´dulo en M ⊗A B que viene dada por el siguiente producto
ı,
o
b·(
mi ⊗ bi ) =
i
mi ⊗ bbi
i
Se dice que el cambio de base de M por A → B es M ⊗A B.
Notaci´n: Denotaremos M ⊗A B = MB y usualmente denotaremos f (a) = a.
o
Proposici´n 3.3.2. Sean A → B y B → C morfismos de anillos y M, M A-m´dulos y N un
o
o
B-m´dulo. Existen isomorfismos naturales
o
1. MB ⊗B N = M ⊗A N , (m ⊗ b) ⊗ n → m ⊗ bn.
2. (M ⊗A M ) ⊗A B = MB ⊗B MB , (m ⊗ m ) ⊗ b → (m ⊗ b) ⊗ (m ⊗ 1).
3. (MB )C = MC , (i.e., (M ⊗A B) ⊗B C = M ⊗A C), (m ⊗ b) ⊗ c → m ⊗ bc.
Demostraci´n. Def´
o
ınanse los morfismos inversos.
Proposici´n 3.3.3. Sea M → M → M → 0 una sucesi´n exacta y N un A-m´dulo. Se cumple
o
o
o
que
M ⊗A N → M ⊗A N → M ⊗A N → 0
es una sucesi´n exacta. Es decir, “− ⊗A N es un funtor exacto por la derecha”.
o
Demostraci´n. Sea M · la sucesi´n exacta inicial. De acuerdo con 3.1.7
o
o
HomA (M · , HomA (N, P )) = BilA (M · , N ; P ) = HomA (M · ⊗A N, P )
o
o
o
es una sucesi´n exacta para todo A-m´dulo P . De nuevo 3.1.7 nos permite concluir que la sucesi´n
M · ⊗A N es exacta.