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  • 1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) Lic. Gladys Ofelia Cruz Villar
  • 2. POSICIÓN DE EQUILIBRIO (RESORTE COMPRIMIDO) POSICIÓN DE EQUILIBRIO (RESORTE NORMAL) POSICIÓN DE EQUILIBRIO (RESORTE ELONGADO)
  • 3. - (A) +(A)
  • 4. OSCILACIÓN • Movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio. • ELEMENTOS – – – – – O: Posición de Equilibrio F: Fuerza Restauradora k: constante del resorte m: masa del bloque A: Amplitud A
  • 5. TÉRMINOS PARA ANALIZAR MOVIMIENTOS PERIÓDICOS • AMPLITUD (A): Magnitud máxima del desplazamiento. Se mide en metros • CICLO: Vibración completa • PERÍODO (T): Tiempo que tarda un ciclo. Se mide en segundos • FRECUENCIA (f): Número de ciclos en un segundo, se mide en Hertz (Hz)= 1 ciclo por segundo=1/s • FRECUENCIA ANGULAR (ω) : Es 2π veces la frecuencia , se mide en radianes por segundo= rad/s f 1 T T 1 f 2 f 2 T
  • 6. EJEMPLO 01 A= 6 cm T= 5 s f=1/5 Hz=0.2 Hz ω=2πf=1.26 rad/s
  • 7. Ejemplo 2
  • 8. Solución • Calculando la constante del • Calculando la frecuencia: resorte: • Calculando el período • Hallando la velocidad angular
  • 9. La fuerza de restitución de un resorte idealizado es directamente proporcional al desplazamiento. Ésta es la ley de Hooke, Fx=-kx. La oscilación con una fuerza de restitución que obedece la ley de Hooke se denomina movimiento armónico simple (M.A.S)
  • 10. SIMILITUD DEL MAS Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR • La bola en el punto Q gira en movimiento circular uniforme antihorario. Su sombra en el punto P se mueve con M.A.S. exactamente igual que un cuerpo oscila en un resorte ideal. Esto es, el M.A.S. es la proyección del movimiento circular uniforme sobre un diámetro.
  • 11. SIMILITUD DEL MAS Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR VQ=ωA Vx= -ωA.senθ ax= -ω2A.cosθ
  • 12. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) • Fuerza de restitución del resorte ideal: • Fx=-kx – k, se mide en N/m o kg/s2 • Si la fuerza de restitución es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio, la oscilación se denomina MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS), cuya aceleración “a” está dada por la ecuación. 2 k dt a d x m x Esta aceleración NO ES CONSTANTE. Un cuerpo que está en MAS se denomina oscilador armónico.
  • 13. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) k m 1 f 2 2 k m
  • 14. DESPLAZAMIENTO EN EL MAS • Desplazamiento x: • t: tiempo • Φ: ángulo de fase, nos dice en qué punto el ciclo del movimiento estaba en t=0 • Si la posición en t=0, es xo • xo=Acos Φ
  • 15. VARIACIONES DEL MAS
  • 16. VARIACIONES DEL MAS
  • 17. VARIACIONES DEL MAS
  • 18. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS • Derivando una vez el desplazamiento x, obtenemos, la velocidad: • Derivando dos veces el desplazamiento x, obtenemos, la aceleración:
  • 19. Gráficas (a) Gráfica de x contra t para MAS. En esta gráfica Ф=π/3. (b) Gráfica de vx contra t para el mismo movimiento. Esta curva esta desplazada ¼ de ciclo respecto a la de x-t. (c) Gráfica de ax contra t para el mismo movimiento. La gráfica x-t está desplazada ¼ de ciclo respecto a la de vx –t y ½ ciclo respecto a la de ax –t .
  • 20. Obtención del ángulo de fase Φ y la amplitud A • En t= 0 • Luego: • Por lo tanto el ángulo de fase será:
  • 21. EJEMPLO 03 • Del ejemplo 2, con k= 200 N/m, ω=20 rad/s y m=0.50 kg, si tenemos ahora un desplazamiento inicial x0=+0.015 m, y una velocidad inicial de v0=+0.40 m/s. Determinemos la amplitud y ángulo de fase, escriba las ecuaciones para el desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo.
  • 22. SOLUCIÓN • Determinando la amplitud • Determinando el ángulo de fase: • Las ecuaciones quedarían así:
  • 23. Energía en el MAS • La energía mecánica en el MAS queda expresada como: • La velocidad vx en un desplazamiento x queda: • En x=0 tenemos la velocidad máxima
  • 24. EJEMPLO 04 • Del ejemplo 2, con k= 200 N/m, ω=20 rad/s y m=0.50 kg, y la masa oscilante se suelta del reposo en x=0.020 m. a)Calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el cuerpo. b) La aceleración máxima c) La velocidad y aceleración a la mitad del camino hacia el centro de su posición inicial d) Determine las energías potencial, cinética y total en esa posición.
  • 25. SOLUCIÓN • Velocidad máxima y mínima • Aceleración máxima
  • 26. SOLUCIÓN • Velocidad a la mitad del camino • Aceleración a la mitad del camino
  • 27. SOLUCIÓN • Energía Total • Energía Potencial:
  • 28. SOLUCIÓN • Energía Cinética