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Transformacion Transformacion Document Transcript

  • Geofísica-Computación Científica Sistemas de Coodenadas y Transformaciones Josué Diaz Avalos http://www.ccunmsm.blogspot.com/ Curso Electivo de Geofísica de la EAP de Computación Científica Dictado por el Astrónomo Hugo Trigoso A. UNMSM, Lima, Perú Los sistemas de coordenadas de la Astronomía nos permiten algo esencial: desde observar objetos cuya posición conocemos previamente, a deducir la posición aproximada de un objeto que estamos observando, para identificarlo. Conociendo las coordenadas de un astro podemos localizarlo en el cielo, ya sea directamente mediante los círculos graduados de nuestro telescopio (en el caso de que disponga de ellos) o indirectamente mediante cartas celestes. Presentamos una breve descripción de los sistemas de coordenadas astronómicos, y las transformaciones entre ellas.IntroducciónPara localizar un objeto celeste no necesitamos saber a qué distancia se encuentra, sinoúnicamente conocer la dirección hacia la que hemos de mirar (u orientar nuestro telescopio).Por este motivo se introduce el concepto de esfera celeste, que es una esfera imaginaria de radioarbitrario centrada en el observador, sobre la cual se proyectan los cuerpos celestes. Nosotrosqueremos orientar nuestro telescopio en la dirección dada por la proyección, sobre la esferaceleste, del astro que deseamos observar. Las posiciones de los puntos, en particular de los astros,en la esfera celeste se determinan por las coordenadas esféricas. Los sistemas de coordenadasmás usados son cuatro. En cada uno de ellos la posición de un punto se determinan por doscoordenadas, una de las cuales da la distancia angular de este punto al plano de cierto círculofundamental (análogamente a la latitud geográfica), en tanto que la otra cuenta a lo largo deeste círculo fundamental a partir de un punto determinado del mismo(de manera análoga a lalongitud geográfica).Pasaremos a continuación a examinar con detalle cada uno de estos sistemas. Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación CientíficaSistema de Coordenadas HorizontalesLas coordenadas horizontales tienen como plano de referencia el horizonte matemático delobservador. Tales coordenadas permiten ubicar la posición aparente de un astro para unobservador cualquiera situado a una latitud y longitud dadas para un instante de tiempoespecifico.Las coordenadas sonA = azimut (o acimut), h = altura.El azimut A de un astro es el ángulo contado sobre el horizonte que comienza a medirse desde elpunto cardinal sur en dirección de las agujas del reloj hasta la vertical del astro correspondiente.El azimut tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:La altura h de un astro es el ángulo contado sobre la vertical del astro que comienza a medirsedesde el horizonte hasta el astro correspondiente.Tenemos que el signo de la altura h de un astro relativo a un observador constituye un criteriode visibilidad del mismo. Si el astro está por encima del horizonte (visible para el observador)tendremos h>0; pero si está por debajo del horizonte (invisible para el observador) obtenemosh<0.La altura tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:El complemento de la altura es llamado distancia cenital, denotado por z, de tal forma que:Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno las coordenadashorizontales de un astro están cambiando permanentemente por lo que es necesario especificarel tiempo de la observación con la mayor exactitud. De igual forma, para el mismo instante detiempo, las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudes y/o longitudesdifieren también.Por lo tanto, altura h(o el cenit z) y el acimut A dependen de la latitud del lugar y del momento deobservación.Nota: En geodesia el acimut se cuenta a partir del punto del norte N. Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación CientíficaEn este gráfico representamos el sistema de coordenadas horizontales (A,h). En este caso se mide el acimut desde el sur del observador; por convención también se comienza a medir desde elnorte, pero en ambos casos en sentido del movimiento de las agujas del reloj. Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación CientíficaSistema de Coordenadas EcuatorialesLas coordenadas ecuatoriales horarias tienen como plano de referencia el ecuador celeste.Las coordenadas son: =declinación =ascensión rectaLa declinación se cuenta desde el ecuador hasta el punto dado por el semicírculo mayor que pasapor el polo celeste (polo del mundo) y dicho punto (por el circúlo de declinación). En el hemisferioboreal la declinación es positiva, en el austral negativa.Nótese que:La ascensión recta se mide a partir del punto vernal en el hemisferio boreal en el sentidoantihorario a lo largo del ecuador hasta su intersección con el círculo de declinación que pasa porel punto dado. Generalmente, se expresa en medida horaria partiendo de que 24h=360o; 1h=15o;1min=15’; 1s=15’’; 1o=4min.La ascensión recta tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:En el sistema ecuatorial de coordenadas ( y ) la posición del astro no depende de la rotacióndiaria de la esfera celeste ni del lugar de observación.Las coordenadas ecuatoriales son absolutas, esto es, son válidas para cualquier observadorindependiente de su latitud y longitud geográfica. Por tal razón, los almanaques astronómicosexpresan la posición de las estrellas, planetas, Luna, Sol y otros cuerpos celestes en términos delas coordenadas ecuatoriales.NotaConsideraremos un segundo sistema ecuatorial ( , ) donde es la misma que en el primersistema y t es el ángulo contado sobre el ecuador celeste que comienza a medirse desde elmeridiano del observador en dirección hacia el oeste (occidente) hasta el círculo de declinacióndel astro correspondiente. Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación CientíficaEn resumen, consideramos dos casos en el sistema de coordenadas ecuatoriales. Para ambos ladeclinación es la misma.El primero, , que es la ascensión recta se mide a partir del punto vernal(punto de aries), ensentido antihorario.En el segundo, t, es el ángulo horario medido desde el punto de intersección del ecuador con elmeridiano del observador, en el sentido de las agujas del reloj. Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación CientíficaTransformacionesPara encontrar relaciones entre los distintos tipos de coordenadas necesitamos de los conceptos detrigonometría esferica.El caso clásico de transformación entre coordenadas celestes es el paso entre las horizontales aecuatoriales horarias o viceversa.Considérese la figura en donde están representadas las coordenadas horizontales (A,h) y lasecuatoriales (H, ) (segundo sistema) de un astro cualquiera. Concentremos nuestra atención en eltriángulo esferico resaltado en la figura.Es evidente que tenemos los siguientes valores como lados y ángulos de dicho triángulo:Lados Ángulos Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación CientíficaPor el teorema de senos:De aqui:Del teorema del coseno:se obtiene:Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados:que se convierte en :Estas ecuaciones son suficientes para pasar del sistema horizontal al ecuatorial o viceversa. Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación CientíficaDe horizontales a ecuatoriales : Conocidos , y determinar y .NOTA: En el cálculo de se ha de tener mucho cuidado con el verdadero cuadrante en el queestá situado el astro. Puesto que va de 0 a 360 grados al tomar las funciones inversas de losvalores entre paréntesis de la ecuacion anterior las calculadoras y computadoras sólo muestranuno de los dos valores que satisfacen la ecuación. Una manera inmediata de determinar elcorrecto cuadrante de H es utilizando la siguiente regla, donde H es el valor calculado con lafórmula del coseno inverso : Si entonces Si entoncesDe ecuatoriales a horizontales : Conocidos , y determinar y .Antes de comenzar a reemplazar en las fórmulas se ha de tener cuidado en convertir el angulohorario (que usualmente viene en unidades de tiempo) en unidades de grados.NOTA: Al igual que en el cálculo de para determinar se ha de tener cuidado con elverdadero cuadrante en el que está situado el astro. Como antes, una manera segura dedeterminar el correcto cuadrante de A es utilizando la siguiente regla, donde A es el valorcalculado con la fórmula del coseno inverso: Si entonces Si entonces Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación CientíficaCuestionario(resuelto)1.-¿En qué punto del cielo la declinación es igual a -90º?Rpta.- En el polo sur celeste.2.-La estrella polar dista del polo(norte) celeste 58’. ¿Cuál es su declinación?Rpta.- La declinación sería 90º-58’=89º 2’, es decir, muy cerca del polo norte.3.-¿A qué son iguales los acimuts de los puntos norte, sur, este y oeste?Rpta.- Si medimos el acimut(A) desde el punto norte : norte=0º, sur=180º, este=90º, oeste=270º.4.-¿A qué es igual la declinación del punto cenital a la latitud geográfica de 42º?Rpta.-El cenit tiene una declinación de 42º.5.-¿Cuáles son la ascensión recta ( ) y la declinación( ) del punto vernal ?Rpta.- Como la ascensión recta se comienza a medir desde el punto vernal, entonces la ascensión rectadel punto vernal es 0º; como el punto vernal se encuentra en el círculo ecuatorial, tiene declinación 0º.6.-Determinar la distancia cenital del Sol cuando la longitud de la sombra de un objeto es igual a su altura.Rpta.- La distacia cenital sería z=45º.7.-La declinación de un astro es de 30º, la ascensión recta es igual a 7 horas. ¿en que constelacion se encuentra?Rpta.- En la constelación de géminis aproximadamente. (http://www.google.com/intl/es_es/sky/) Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas
  • Geofísica-Computación Científica Dia Juliano Apéndice El día juliano es una forma de referirse al tiempo basándose en un origen temporal situado a las doce del mediodía del 1 de enero del año 4713 antes de Cristo, sobre el meridiano de Greenwich. A lo largo de la historia cada cultura ha elaborado sus calendarios locales, los cuales han sufrido (o sufren periódicamente) modificaciones para corregir las derivas acumuladas. Estos avatares de los calendarios pueden dar lugar a ambigüedades. El día juliano, o por extensión, la fecha juliana establece una forma de operar con fechas sin ambigüedades independientemente del momento histórico y del calendario local. Su creador, Scaliger, lo llamó juliano en referencia al calendario juliano (este último en honor a Julio César, promotor del cambio de un calendario lunar al primer calendario solar de Roma) aunque algunas referencias mencionen que lo hizo en honor a su padre, que así se llamaba.Calculando el día JulianoPor sencillez vamos a considerar que tenemos una fecha dada en años(A), meses(M) y días(D).Horas, minutos y segundos los tendremos en cuenta como fracciones de día.#Código en Python usando SagemathA=1989 #añoM=1 #mesD=26 #díaif (M<=2): A=A-1 M=M+12x = int(A / 100 )y = 2 - x + int( x / 4 )JD = int(365.25*(A + 4716) ) + int(30.6001*(M + 1)) + D + y-1524.5print Día Juliano :, JD Universidad Nacional Mayor de San Marcos-Facultad de Ciencia Matemáticas