Unidad No. 2 - Búsqueda en Espacios de Estados

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Unidad No. 2 - Búsqueda en Espacios de Estados

  1. 1. INTELIGENCIA ARTIFICIAL - ICIF0021 Unidad 2 - B´squeda en Espacio de Estados u Docente: Milton A. Ram´ Klapp ırez miramire@gmail.com Universidad San Sebasti´n a Facultad de Ingenier´ y Tecnolog´ ıa ıa Primer Semestre 2011M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 1 / 51
  2. 2. Objetivos de la Unidad Conocen la estructura general de un agente de b´squeda. u Identifican los tipos de b´squeda que existen y comprenden las diferencias entre u ambos enfoques. Conocen las diferentes m´tricas que existen para evaluar el rendimiento de un e algoritmo determinado en funci´n de par´metros como completitud, optimalidad, o a complejidad temporal y complejidad espacial. Realizan b´squedas no informadas empleando las estrategias en anchura y en u profundidad. Comprenden la problem´tica que tiene la b´squeda no informada y entienden la a u necesidad de contar con informaci´n adicional en un problema. o Resuelven problemas aplicando estrategias de b´squeda informada con heur´ u ısticas admisibles. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 2 / 51
  3. 3. Contenidos 1 Estructura de un espacio de estados. 2 ´ Arboles de b´squeda. u 3 Algoritmo general de b´squeda. u 4 B´squeda no informada: por anchura y en profundidad. u 5 B´squeda informada: A*. u 6 Admisibilidad de heur´ ısiticas. 7 M´tricas para evaluar el rendimiento de una soluci´n. e o M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 3 / 51
  4. 4. Introducci´n o Cualquier sistema que se precie de ser inteligente debe maximizar en todo sentido su medida de rendimiento. Es por ello que es necesario que se establezcan objetivos que tenga que realizar. Veremos en esta clase c´mo hacer el modelamiento apropiado. o M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 4 / 51
  5. 5. Ejemplo introductorioPensemos en un europeo que viene a hacer turismo a Chile en Febrero¿Qu´ objetivos puede tener en mente? e descansar tomar fotos tur´ ısticas mejorar su espa˜ol n disfrutar de la vida nocturna ir al Festival de Vi˜a n del Mar M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 5 / 51
  6. 6. Ejemplo introductorioPensemos en un europeo que viene a hacer turismo a Chile en Febrero¿Qu´ objetivos puede tener en mente? e descansar tomar fotos tur´ ısticas mejorar su espa˜ol n disfrutar de la vida nocturna ir al Festival de Vi˜a n del Mar M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 6 / 51
  7. 7. Ejemplo introductorioPensemos en un europeo que viene a hacer turismo a Chile en Febrero¿Qu´ objetivos puede tener en mente? e descansar tomar fotos tur´ ısticas mejorar su espa˜ol n disfrutar de la vida nocturna ir al Festival de Vi˜a n del Mar M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 7 / 51
  8. 8. Ejemplo introductorioPensemos en un europeo que viene a hacer turismo a Chile en Febrero¿Qu´ objetivos puede tener en mente? e descansar tomar fotos tur´ ısticas mejorar su espa˜ol n disfrutar de la vida nocturna ir al Festival de Vi˜a n del Mar M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 8 / 51
  9. 9. Ejemplo introductorioPensemos en un europeo que viene a hacer turismo a Chile en Febrero¿Qu´ objetivos puede tener en mente? e descansar tomar fotos tur´ ısticas mejorar su espa˜ol n disfrutar de la vida nocturna ir al Festival de Vi˜a del Mar n M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 9 / 51
  10. 10. Ejemplo introductorio descansar Todos esos objetivos hace que tomar fotos tur´ ısticas el problema sea muy complejo de mejorar su espa˜ol n abordar. disfrutar de la vida Principales nocturna elementos a ir al Festival de Vi˜a n considerar: dinero, del Mar tiempo. . . . y hacer todo eso Dividir para en un solo mes. conquistar. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 10 / 51
  11. 11. Ejemplo introductorioSi lo primordial fuera conocer Concepci´n o El problema se simplifica bastante. Cualquier objetivo que no apunte a conocer Concepci´n se puede o descartar. El objetivo se reformula a “conocer Concepci´n”. o M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 11 / 51
  12. 12. Representaci´n de problemas o Primer paso. Formular el objetivo. Objetivo. Conjunto de estados del mundo que satisfacen el problema. Resolver un problema es encontrar una secuencia de estados que permiten lograr los estados objetivos. Formular un problema significa decidir qu´ acciones y qu´ estados e e relevantes se tienen que considerar. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 12 / 51
  13. 13. Para el problema del turista europeo El estado actual del turista es la ciudad en que se encuentre en un momento dado. Una acci´n es manejar de una ciudad a otra. o El objetivo es llegar a Concepci´n. o M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 13 / 51
  14. 14. ¿Y c´mo se consigue el objetivo? oSi el turista no conoce las carreteras Al no conocer las carreteras, lo mejor que puede hacer es tomar cualquier ruta al azar, a ciegas. No est´ definida la acci´n “preguntarle a un carabinero” qu´ caminos a o e ir tomando.Si el turista dispone de un mapa carretero Maneja informaci´n adicional. o Puede elegir el pr´ximo estado a visitar dependiendo de su ubicaci´n o o actual. Puede hacer una estimaci´n de cu´nto le falta para llegar al objetivo. o a M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 14 / 51
  15. 15. ImportanteTodo lo anterior recibe el nombre de b´squeda. uM. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 15 / 51
  16. 16. Formalizaci´n de un problema o Un problema es cualquier situaci´n real o abstracta que buscaremos o resolver mediante alguna t´cnica de IA. e La representaci´n que se utilice va a depender de la naturaleza del o problema. A veces, una metodolog´ m´s especializada ayuda a que la resoluci´n ıa a o sea m´s eficiente. a M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 16 / 51
  17. 17. Formalizaci´n de un problema oUn problema lo podemos caracterizar de manera formal (no ambigua)mediante tres conjuntos P =< E, Φ, M >E: estados Un estado es la representaci´n elegida para los elementos de un o problema. Elementos distinguidos: El estado inicial, que identifica el punto de partida para la resoluci´n o del problema. Los estados finales u objetivos que corresponden a las metas a alcanzar. Un estado de fracaso (o de error) denotado por ¶, asociado cuando una operaci´n no est´ permitida a un estado determinado. o a ¶ puede tener m´ltiples representaciones, que al final confluyen en este u s´ ımbolo. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 17 / 51
  18. 18. Formalizaci´n de un problema oUn problema lo podemos caracterizar de manera formal (no ambigua)mediante tres conjuntos P =< E, Φ, M >Φ: operaciones o acciones Un operador ∆ ∈ Φ es lo que permite ir de un estado a otro, es decir: ∆ : E −→ E Por convenci´n diremos que o ∀∆ ∈ Φ : ∆(¶) = ¶ M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 18 / 51
  19. 19. Formalizaci´n de un problema oUn problema lo podemos caracterizar de manera formal (no ambigua)mediante tres conjuntos P =< E, Φ, M >Φ: operaciones o acciones La ecuaci´n ∆(x) = ¶ no necesariamente tiene soluci´n unica en E. o o ´ M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 19 / 51
  20. 20. Formalizaci´n de un problema oUn problema lo podemos caracterizar de manera formal (no ambigua)mediante tres conjuntos P =< E, Φ, M >M: objetivos Son todas las metas que persigue la resoluci´n del problema. o Si un problema tiene varias metas, cada una de estas se puede ver como un problema por separado. Claramente M ⊆ E, M = φ M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 20 / 51
  21. 21. Formalizaci´n de un problema otest de objetivosEs un predicado l´gico que indica si el estado que se est´ visitando o aactualmente corresponde al objetivo.funci´n de costo oLe asigna un valor num´rico a cada camino de la b´squeda de la soluci´n. e u o M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 21 / 51
  22. 22. EjemplosPuzzle 8 Tablero con 9 posiciones, de las cuales 8 est´n numeradas del 1 al 8. a En cada celda hay una ficha y una siempre queda en blanco. Las fichas se pueden mover traslad´ndose a la posici´n vac´ si es a o ıa, que ´sta es adyacente por izquierda, derecha, arriba o abajo, e intercambiando su posici´n con ella. o Ning´n movimiento debe permitir que una ficha salga del tablero, o u que llegue al otro extremo por arte de magia. Tanto la configuraci´n inicial como la final son arbitrarias. o M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 22 / 51
  23. 23. EjemplosPuzzle 8Modelar de manera algebraica este juego si suponemos que su estado 1 2 3 8 2inicial es 4 5 6 y su objetivo es 4 7 6 . 7 8 3 5 1 M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 23 / 51
  24. 24. Puzzle 8Sea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oDefinici´n de E o Cualquier estado se representa como una matriz cuadrada de orden 3 numerada del 1 al 8, dejando un espacio en blanco. As´ ı: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 E= 4 5 6 , 4 5 6 , 4 5 6 ,..., 3 4 5 ,¶ 7 8 7 8 7 8 6 7 8   1 2 3 El estado inicial es  4 5 6 . 7 8   8 2 El estado final es  4 7 6 . 3 5 1 ¿Cu´l es el tama˜o de E? a n M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 24 / 51
  25. 25. Puzzle 8Sea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oDefinici´n de Φ o Si pensamos que s´lo vamos a mover la ficha en blanco, tenemos claro que o podemos hacerlo en cuatro direcciones posibles: arriba, abajo, izquierda, derecha. Si denotamos por D al conjunto de las direcciones posibles tenemos que D = {↑, ↓, ←, →} Entonces, a cada elemento d ∈ D le hacemos corresponder una funci´n o md : E −→ E la ficha en blanco se mueve en la direcci´n dada por md o Por lo tanto: Φ = {m↑ , m↓ , m← , m→ } = {md }d∈D M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 25 / 51
  26. 26. Puzzle 8Sea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oAlgunos ejemplos para m↑ , m↓ , m← , m→     3 1 2 3 1 2 m↑  4 5 6  =  5 6  8 1 4 8 1   1 2 3 m↓  4 5 6  = ¶ 7 8   2 3 5 m ←  4 6  = ¶ 7 8 1     2 3 5 2 3 5 m→  7 4 6  =  7 4 6  8 1 8 1 M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 26 / 51
  27. 27. Puzzle 8Sea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oDefinici´n de M o    8 2  M=  4 7 6  3 5 1   M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 27 / 51
  28. 28. EjemplosLas N reinas en el tablero de ajedrez Para un n´mero natural N la idea es colocar N reinas en un tablero u de ajedrez de tama˜o N × N . n Sin que las reinas se maten entre s´ ı. Veamos c´mo modelar este problema para N = 4. o M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 28 / 51
  29. 29. Las N = 4 reinas en el tablero de ajedrezSea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oDefinici´n de E o Cada estado puede representar un tablero de ajedrez de orden 4. 4 0Z0Z El estado inicial es el tablero vac´ sin reinas: ıo, 3 Z0Z0 2 0Z0Z 1 Z0Z0 a b c d Otros posibles estados que puede tener este problema son: 4 0Z0Z 4 0Z0Z 4 0ZqZ 4 0ZqZ 3 Z0Z0 3 Z0Z0 3 l0Z0 3 l0Z0 2 0Z0Z 2 qZqZ 2 0Z0Z 2 0ZqZ 1 l0Z0 1 Z0Z0 1 ZqZ0 1 ZqZ0 a b c d a b c d a b c d a b c d ¿D´nde aparece ¶?, ¿cu´ntos elementos tiene E? o a M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 29 / 51
  30. 30. Las N = 4 reinas en el tablero de ajedrezSea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oDefinici´n de Φ o Un operador consiste en colocar una sola reina en alguna casilla del tablero. Por ejemplo, poner una reina en la casilla a4. Algunas consideraciones: la reina a colocar no debe estar previamente inscrita en el tablero y el efecto de incluirla no provoque que se mate con las otras que hayan. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 30 / 51
  31. 31. Las N = 4 reinas en el tablero de ajedrezSea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oFormalizaci´n de los operadores de Φ o La posici´n de una reina viene dada por dos coordenadas: o una letra entre a y d para denotar la columna en que est´ a un n´mero entre 1 y 4 para denotar la fila en que est´ u a Definamos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4}. Por lo tanto, una coordenada para una reina es un elemento (a, b) ∈ A × B. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 31 / 51
  32. 32. Las N = 4 reinas en el tablero de ajedrezSea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oYa conocemos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4} A cada elemento (a, b) ∈ A × B se hacemos corresponder un operador rab : E −→ E rab : colocar una reina en la posici´n (a, b) del tablero. o Por lo tanto: Φ = {rij : (i, j) ∈ A × B} = {ra1 , ra2 , ra3 , ra4 , rb1 , . . . , rd4 } M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 32 / 51
  33. 33. Las N = 4 reinas en el tablero de ajedrezSea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oAlgunos ejemplos de rab (e) = e rij e e 4 0Z0Z 4 0Z0Z 3 Z0Z0 3 Z0Z0 2 0Z0Z 2 0Z0Z ra1 1 Z0Z0 1 l0Z0 a b c d a b c d 4 0Z0Z 4 0Z0Z 3 l0Z0 3 l0Z0 2 0ZqZ 2 0ZqZ rb1 1 Z0Z0 1 ZqZ0 (¶) a b c d a b c d M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 33 / 51
  34. 34. Las N = 4 reinas en el tablero de ajedrezSea P =< E, Φ, M > la representaci´n del problema. . . oDefinici´n de M o Este es un problema donde el estado final no se puede escribir expl´ ıcitamente como en el ejemplo anterior. Se puede demostrar que ∀N ≥ 4 el problema de las N reinas tiene soluci´n. o Por lo tanto, M = φ. La forma de hallarla puede ser a trav´s de un algoritmo de b´squeda. e u M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 34 / 51
  35. 35. Otros problemas de la vida real B´squeda de una ruta viajera. u Vendedor viajero. Navegaci´n de un robot. o Secuencia de ensamblado autom´tico. a B´squeda en Internet. u M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 35 / 51
  36. 36. ¿Qu´ vimos la clase pasada? e Definici´n de problema. o Elementos de un problema. Un par de ejemplos de representaci´n algebraica. o M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 36 / 51
  37. 37. Juego de los misioneros y can´ ıbalesModele algebraicamente este problema Tenemos tres misioneros y tres can´ ıbales en la orilla de un r´ ıo. Deben cruzar a la otra orilla utilizando un bote que s´lo puede llevar o a dos personas. En ning´n momento el n´mero de misioneros en una orilla puede ser u u menor al n´mero de can´ u ıbales, ya que pueden ser devorados por estos ultimos. ´ M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 37 / 51
  38. 38. Temas a tratar ´ Arboles de b´squeda. u Conceptos asociados con los ´rboles de b´squeda. a u Algoritmo general de b´squeda. u M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 38 / 51
  39. 39. Presentaci´n o Sabemos c´mo plantear un problema. o ¿C´mo lo resolvemos? o Mediante una exploraci´n del espacio de estados. o El ´rbol de b´squeda es la estructura de datos que permite hacer el a u escaneo y se construye a partir del espacio de estados. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 39 / 51
  40. 40. Presentaci´n o En l´ ıneas generales, se parte del estado inicial del ´rbol de b´squeda a u y se va evaluando cada operaci´n posible hasta llegar a la soluci´n del o o problema, respetando en todo momento las restricciones del mismo. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 40 / 51
  41. 41. ImportanteLas acciones que lleguen a ¶ deben evitarse siempre.M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 41 / 51
  42. 42. Espacio de estados El espacio de estados se puede representar como un grafo donde: cada nodo corresponde a un estado del problema, los arcos (aristas) representan la aplicaci´n de un operador. o Si f ∈ Φ y para alg´n x ∈ E : f (x) = y, la representaci´n gr´fica de u o a esto es: f x y M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 42 / 51
  43. 43. Espacio de estados v1 NODO INICIAL o1 o2 v2 v3 o1 o1 o1 o2 NODOS INTERMEDIOS o2 o2 o2 v4 v5 v6 o1 o2 o1 v7 v8 v9 NODOS OBJETIVOS 01, 02 01, 02 01, 02 NODO DE FRACASO M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 43 / 51
  44. 44. Espacio de estados Identifique todos los elementos del espacio de estados de la figura anterior: conjunto de estados E conjunto de operadores Φ para cada operador ∆ ∈ Φ indique en una tabla el valor de ∆(x), x ∈ E conjunto de objetivos M M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 44 / 51
  45. 45. ImportanteEs f´cil advertir en general que, independiente del problema P: a (∀m ∈ M)(∀∆ ∈ Φ) : ∆(m) = m
  46. 46. ´Arboles de b´squeda u Las definiciones de nodo y arco son las mismas que ocupamos para explicar el espacio de estados. Recordar que en un ´rbol a existe un unico camino entre cada par de nodos y ´ no hay ciclos. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 46 / 51
  47. 47. ´Arboles de b´squeda uConceptos particulares La ra´ del ´rbol corresponde al estado inicial. ız a La expansi´n de un nodo es el proceso que permite encontrar sus o sucesores inmediatos. Los sucesores de un nodo reciben el nombre de hijos. El objetivo es un nodo terminal del ´rbol que se recibe el nombre de a hoja. RAÍZ NODO N NODOS SUCESORES DE N M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 47 / 51
  48. 48. Esquema general de b´squeda uElementos principales La lista ABIERTO contiene a los estados que han sido generados pero no explorados, lo que quiere decir que hasta el momento no se saben si son estado final ni cu´les son sus estados sucesores (o hijos) dentro a del ´rbol de b´squeda. a u La lista CERRADO guarda todos los estados que ya se han visitado. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 48 / 51
  49. 49. Esquema general de b´squeda uEntrada: representaci´n del espacio de estados oSalida: ´xito o fracaso e 1: Crear el ´rbol de b´squeda T con X como nodo inicial a u 2: ABIERTO ← [X] 3: CERRADO ← [] 4: mientras ABIERTO = [] hacer 5: remover un estado X del conjunto ABIERTO 6: si X es un estado objetivo entonces 7: retornar ´xito: camino hasta X en T e 8: sino 9: generar el conjunto de sucesores admisibles del estado X10: agregar X al conjunto CERRADO11: eliminar los sucesores que est´n en ABIERTO o en CERRADO e12: agregar el resto de los sucesores al conjunto ABIERTO13: incorporar los sucesores que queden de X en el ´rbol T creando los arcos a correspondientes14: fin si15: fin mientras16: retornar fracaso M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 49 / 51
  50. 50. Esquema general de b´squeda u En la l´ ınea 11 del algoritmo general de b´squeda, el hecho de u eliminar los sucesores que est´n en ABIERTO o en CERRADO evita e caer en ciclos, para que no sean considerados de nuevo. Dependiendo del orden en que se traten los elementos de ABIERTO, se obtienen diferentes tipos de recorrido. M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 50 / 51
  51. 51. Fin de la Unidad 2 M. Ram´ ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 51 / 51

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