可计算性研讨第一部分

1. 集智俱乐部
可计算性
研讨班

2. ⽇日程
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第⼀一次：2⽉月23⽇日 苑明理
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第四次：4⽉月6⽇日
第⼀一部分：基本概念的初步探讨
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第九部分：希尔伯特第⼗十问题
第⼆二部分：While 语⾔言
第⼆二次：3⽉月9⽇日 苑明理
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第三部分：可计算性的基本理论
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第⼋八部分：不可解问题
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第四部分：元编程、⾃自应⽤用、编译器⽣生成
第三次：3⽉月23⽇日 ⽼老⻥鱼
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第五次：4⽉月20⽇日 张江
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第⼗十部分：哥德尔不完备定理
第六次：5⽉月4⽇日
第五部分：其他顺序计算模型
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第⼗十⼀一部分：基于数的可计算性理论
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第⼗十⼆二部分：更抽象的可计算性途径
第六部分：邱奇－图灵论题
第七部分：函数式语⾔言的可计算性

3. 第⼀一部分
通过历史来回顾⼏几个基本概念
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问题与算法
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有效过程发现的历史
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通⽤用计算的思想

4. 问题与算法
说清楚什么是问题与算法并不容易
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什么是问题？什么是算法？
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看看⼏几个例⼦子？计算乘法与计算圆周率

5. 字源
困
!
⼀一说指墙中之⽊木，⼀一说指进院的⻔门槛；
都与⼀一种受限的状态有关。
算
!
双⼿手摆弄算筹，与⼀一种繁琐操作有关；
使⼈人们可以摆脱上述受限的状态。

6. 古埃及的数乘
在这个时期⼤大数的
表⽰示与运算都⽐比较困难
引⾃自 http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_arith.html

7. 筹算与九九乘法表
数位制表⽰示法和运算法则都已经成熟
《夏侯阳算经》
夫乘除之法，先明九九，⼀一丛⼗十横，百⽴立千僵，千⼗十相望，万百相当。
满六已上，五在上⽅方。六不积算，五不单张。上下相乘，实居中央。
⾔言⼗十⾃自当。已法除之，宜得上商，横算相当。以次右⾏行，极于左⽅方。
引⾃自 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%B9%E7%AE%97

8. 阿拉伯的格⼦子乘法
引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Long_multiplication#Lattice_multiplication

9. 第⾕谷·布拉赫的
Prosthaphaeresis 法
计算 105 与 720 乘积的近似值
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缩⼩小： 0.105, 0.720
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查表求⾓角度： cos(84°) = 0.105, cos(44°) = 0.720
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作和与差： 84 + 44 = 128, 84 − 44 = 40
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求余弦的平均： ½[cos(128°) + cos(40°)] = ½[−0.616 + 0.766] = 0.075
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放⼤大: 75,000
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真实值：75,600
引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Prosthaphaeresis

10. Karatsuba 算法
第⼀一个快速算法，发现于 1960 年代
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12345 = 12 · 1000 + 345
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6789 = 6 · 1000 + 789
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z2 = 12 × 6 = 72
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z0 = 345 × 789 = 272205
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z1 = (12 + 345) × (6 + 789) − z2 − z0 = 357 × 795 − 72 − 272205 = 283815 −
72 − 272205 = 11538
引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Karatsuba_algorithm

11. Wallis 公式
怎么看待如下的⽆无穷计算序列呢？
引⾃自 https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis

12. 蒙特卡洛⽅方法
引⾃自 https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method

13. 有效过程
⾯面对各式各样的演算过程，能否有⼀一种统⼀一的⽅方式，给
它们⼀一个精确的描述？
相关的⼀一切必须从数学的历史谈起。

14. 数学的发展
17世纪
微积分的发明
18世纪
数学分析的发展与应⽤用
19世纪
数学分析的严格化

15. 数学的发展
弗雷格
逻辑的形式体系
悖论的发现，
引发对数学基础的探讨，
产⽣生了对⽆无穷本质的争论。
戴德⾦金
康托尔
实数理论
实数理论与集合论
⽪皮亚诺
罗素
算术的公理化
数理逻辑
最著名的⼀一个集合论悖论

16. 希尔伯特⽅方案
观点：
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形式化：数学可以由形式系统来表达。
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完备性：⼀一切真的数学命题都可以由上述形式体系导出。
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⼀一致性：形式系统内部⽆无⽭矛盾。
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保守性：有穷的数学对象是实在的，⽆无穷是⼀一个理想元素；不必假定理想元素的存在，但
引⼊入它们可以简化表述与证明；⼀一个数学命题，通过利⽤用理想元素得到证明，则该命题也
可以不利⽤用理想元素得到证明。
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可判定性：数学命题的真假可以由⼀一种算法得到结论。
形式化
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在 PRA 内论证 PA 的⼀一致性
引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_program

17. 后继的发展
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1931年，哥德尔发表不完备性定理
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1936年
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邱奇通过 λ 演算否定了可判定性问题
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图灵通过图灵机否定了可判定性问题
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柯林尼和波斯特通过其他形式也否定了可判定性问题

18. 图灵的想法
引⾃自 http://brain0.com/erobot.html

19. 通⽤用计算
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特定任务的计算设施
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巴⻉贝奇与楚泽
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通⽤用图灵机
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冯诺依曼体系
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LISP

20. 历史上的计算设施
算盘
⽪皮纳尔⾻骨筹
帕斯卡计算器

21. 巴⻉贝奇与楚泽
1837年
巴⻉贝奇提议制造分析机
后给出设计稿，但未制造
1941年
楚泽制造了
第⼀一台电⼦子计算机

22. 通⽤用图灵机
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每⼀一个图灵机都可以被编码为⼀一个整数

23. 冯诺依曼体系
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程序存储的想法：程序和数据都存储在内存中

24. LISP
数据
((:name "john" :age 20) (:name "mary" :age 18) (:name "alice" :age 22))
程序
(* (sin 1.1) (cos 2.03))
约翰·⻨麦卡锡
1958年发明了 LISP
第⼀一个 Homoiconicity 的语⾔言
数据和程序拥有同样的表⽰示形式