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第⼀一次:2⽉月23⽇日 苑明理
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第⼀一部分:基本概念的初步探讨
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第九部分:希尔伯特第⼗十问题

第⼆二部分:While 语⾔言

第⼆二次:3⽉月9⽇日 苑明理
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第⼀一部分
通过历史来回顾⼏几个基本概念
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问题与算法

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有效过程发现的历史

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通⽤用计算的思想
问题与算法
说清楚什么是问题与算法并不容易
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什么是问题?什么是算法?

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看看⼏几个例⼦子?计算乘法与计算圆周率
字源

困
!

⼀一说指墙中之⽊木,⼀一说指进院的⻔门槛;
都与⼀一种受限的状态有关。

算
!

双⼿手摆弄算筹,与⼀一种繁琐操作有关;
使⼈人们可以摆脱上述受限的状态。
古埃及的数乘

在这个时期⼤大数的
表⽰示与运算都⽐比较困难

引⾃自 http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_arith.html
筹算与九九乘法表

数位制表⽰示法和运算法则都已经成熟
《夏侯阳算经》
夫乘除之法,先明九九,⼀一丛⼗十横,百⽴立千僵,千⼗十相望,万百相当。
满六已上,五在上⽅方。六不积算,五不单张。上下相乘,实居中央。
⾔言⼗十⾃自当。已法除之,宜得上商,...
阿拉伯的格⼦子乘法

引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Long_multiplication#Lattice_multiplication
第⾕谷·布拉赫的
Prosthaphaeresis 法
计算 105 与 720 乘积的近似值
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缩⼩小: 0.105, 0.720

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查表求⾓角度: cos(84°) = 0.105, cos(44°) = 0.720

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作和...
Karatsuba 算法
第⼀一个快速算法,发现于 1960 年代
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12345 = 12 · 1000 + 345

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z2 = 12 × 6 = 72

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Wallis 公式
怎么看待如下的⽆无穷计算序列呢?

引⾃自 https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis
蒙特卡洛⽅方法

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有效过程
⾯面对各式各样的演算过程,能否有⼀一种统⼀一的⽅方式,给
它们⼀一个精确的描述?
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数学的发展
17世纪
微积分的发明

18世纪

数学分析的发展与应⽤用

19世纪

数学分析的严格化
数学的发展
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悖论的发现,
引发对数学基础的探讨,
产⽣生了对⽆无穷本质的争论。

戴德⾦金

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实数理论

实数理论与集合论

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算术的公理化

数理逻辑
最著名的⼀一个集合论悖论
希尔伯特⽅方案
观点:
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形式化:数学可以由形式系统来表达。

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完备性:⼀一切真的数学命题都可以由上述形式体系导出。

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⼀一致性:形式系统内部⽆无⽭矛盾。

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保守性:有穷的数学对象是实在的,⽆无穷是⼀一个理想元素;不必假定...
后继的发展
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1931年,哥德尔发表不完备性定理

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1936年
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邱奇通过 λ 演算否定了可判定性问题

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图灵通过图灵机否定了可判定性问题

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柯林尼和波斯特通过其他形式也否定了可判定性问题
图灵的想法

引⾃自 http://brain0.com/erobot.html
通⽤用计算
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特定任务的计算设施

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巴⻉贝奇与楚泽

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通⽤用图灵机

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冯诺依曼体系

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LISP
历史上的计算设施
算盘

⽪皮纳尔⾻骨筹

帕斯卡计算器
巴⻉贝奇与楚泽
1837年
巴⻉贝奇提议制造分析机
后给出设计稿,但未制造

1941年
楚泽制造了
第⼀一台电⼦子计算机
通⽤用图灵机
•

每⼀一个图灵机都可以被编码为⼀一个整数
冯诺依曼体系
•

程序存储的想法:程序和数据都存储在内存中
LISP
数据
((:name "john" :age 20) (:name "mary" :age 18) (:name "alice" :age 22))

程序
(* (sin 1.1) (cos 2.03))

约翰·⻨麦卡锡
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可计算性研讨第一部分

  1. 1. 集智俱乐部 可计算性 研讨班
  2. 2. ⽇日程 • 第⼀一次:2⽉月23⽇日 苑明理 • • 第四次:4⽉月6⽇日 第⼀一部分:基本概念的初步探讨 • • • • 第九部分:希尔伯特第⼗十问题 第⼆二部分:While 语⾔言 第⼆二次:3⽉月9⽇日 苑明理 • 第三部分:可计算性的基本理论 • • 第⼋八部分:不可解问题 • 第四部分:元编程、⾃自应⽤用、编译器⽣生成 第三次:3⽉月23⽇日 ⽼老⻥鱼 • 第五次:4⽉月20⽇日 张江 • • 第⼗十部分:哥德尔不完备定理 第六次:5⽉月4⽇日 第五部分:其他顺序计算模型 • • • 第⼗十⼀一部分:基于数的可计算性理论 • 第⼗十⼆二部分:更抽象的可计算性途径 第六部分:邱奇-图灵论题 第七部分:函数式语⾔言的可计算性
  3. 3. 第⼀一部分 通过历史来回顾⼏几个基本概念 • 问题与算法 • 有效过程发现的历史 • 通⽤用计算的思想
  4. 4. 问题与算法 说清楚什么是问题与算法并不容易 • 什么是问题?什么是算法? • 看看⼏几个例⼦子?计算乘法与计算圆周率
  5. 5. 字源 困 ! ⼀一说指墙中之⽊木,⼀一说指进院的⻔门槛; 都与⼀一种受限的状态有关。 算 ! 双⼿手摆弄算筹,与⼀一种繁琐操作有关; 使⼈人们可以摆脱上述受限的状态。
  6. 6. 古埃及的数乘 在这个时期⼤大数的 表⽰示与运算都⽐比较困难 引⾃自 http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_arith.html
  7. 7. 筹算与九九乘法表 数位制表⽰示法和运算法则都已经成熟 《夏侯阳算经》 夫乘除之法,先明九九,⼀一丛⼗十横,百⽴立千僵,千⼗十相望,万百相当。 满六已上,五在上⽅方。六不积算,五不单张。上下相乘,实居中央。 ⾔言⼗十⾃自当。已法除之,宜得上商,横算相当。以次右⾏行,极于左⽅方。 引⾃自 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%B9%E7%AE%97
  8. 8. 阿拉伯的格⼦子乘法 引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Long_multiplication#Lattice_multiplication
  9. 9. 第⾕谷·布拉赫的 Prosthaphaeresis 法 计算 105 与 720 乘积的近似值 • 缩⼩小: 0.105, 0.720 • 查表求⾓角度: cos(84°) = 0.105, cos(44°) = 0.720 • 作和与差: 84 + 44 = 128, 84 − 44 = 40 • 求余弦的平均: ½[cos(128°) + cos(40°)] = ½[−0.616 + 0.766] = 0.075 • 放⼤大: 75,000 • 真实值:75,600 引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Prosthaphaeresis
  10. 10. Karatsuba 算法 第⼀一个快速算法,发现于 1960 年代 • 12345 = 12 · 1000 + 345 • 6789 = 6 · 1000 + 789 • z2 = 12 × 6 = 72 • z0 = 345 × 789 = 272205 • z1 = (12 + 345) × (6 + 789) − z2 − z0 = 357 × 795 − 72 − 272205 = 283815 − 72 − 272205 = 11538 引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Karatsuba_algorithm
  11. 11. Wallis 公式 怎么看待如下的⽆无穷计算序列呢? 引⾃自 https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis
  12. 12. 蒙特卡洛⽅方法 引⾃自 https://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method
  13. 13. 有效过程 ⾯面对各式各样的演算过程,能否有⼀一种统⼀一的⽅方式,给 它们⼀一个精确的描述? 相关的⼀一切必须从数学的历史谈起。
  14. 14. 数学的发展 17世纪 微积分的发明 18世纪 数学分析的发展与应⽤用 19世纪 数学分析的严格化
  15. 15. 数学的发展 弗雷格 逻辑的形式体系 悖论的发现, 引发对数学基础的探讨, 产⽣生了对⽆无穷本质的争论。 戴德⾦金 康托尔 实数理论 实数理论与集合论 ⽪皮亚诺 罗素 算术的公理化 数理逻辑 最著名的⼀一个集合论悖论
  16. 16. 希尔伯特⽅方案 观点: • 形式化:数学可以由形式系统来表达。 • 完备性:⼀一切真的数学命题都可以由上述形式体系导出。 • ⼀一致性:形式系统内部⽆无⽭矛盾。 • 保守性:有穷的数学对象是实在的,⽆无穷是⼀一个理想元素;不必假定理想元素的存在,但 引⼊入它们可以简化表述与证明;⼀一个数学命题,通过利⽤用理想元素得到证明,则该命题也 可以不利⽤用理想元素得到证明。 • 可判定性:数学命题的真假可以由⼀一种算法得到结论。 形式化 • 在 PRA 内论证 PA 的⼀一致性 引⾃自 http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_program
  17. 17. 后继的发展 • 1931年,哥德尔发表不完备性定理 • 1936年 • 邱奇通过 λ 演算否定了可判定性问题 • 图灵通过图灵机否定了可判定性问题 • 柯林尼和波斯特通过其他形式也否定了可判定性问题
  18. 18. 图灵的想法 引⾃自 http://brain0.com/erobot.html
  19. 19. 通⽤用计算 • 特定任务的计算设施 • 巴⻉贝奇与楚泽 • 通⽤用图灵机 • 冯诺依曼体系 • LISP
  20. 20. 历史上的计算设施 算盘 ⽪皮纳尔⾻骨筹 帕斯卡计算器
  21. 21. 巴⻉贝奇与楚泽 1837年 巴⻉贝奇提议制造分析机 后给出设计稿,但未制造 1941年 楚泽制造了 第⼀一台电⼦子计算机
  22. 22. 通⽤用图灵机 • 每⼀一个图灵机都可以被编码为⼀一个整数
  23. 23. 冯诺依曼体系 • 程序存储的想法:程序和数据都存储在内存中
  24. 24. LISP 数据 ((:name "john" :age 20) (:name "mary" :age 18) (:name "alice" :age 22)) 程序 (* (sin 1.1) (cos 2.03)) 约翰·⻨麦卡锡 1958年发明了 LISP 第⼀一个 Homoiconicity 的语⾔言 数据和程序拥有同样的表⽰示形式
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