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Las Matematicas Como Herramienta En El Area Economica

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  • 1. Las Matemáticas: Herramienta fundamental en el Análisis Económico Profesor: Max Garza Valle Alumno: Manuel Vélez Gallardo ITESM Noviembre 2005
  • 2. Antecedentes
    • Economía como ciencia: siglo XVIII
    • Aplicación matemática: fines de siglo XIX
    • Apéndices matemáticos: Libros de Microeconomía. Textos de Economía Ambiental. Comercio Internacional. Economía Administrativa. Política Pública Economía del Bienestar, etc.
  • 3. Usos específicos
    • Funciones Lineales y No Lineales
    • Cálculo Diferencial e Integral
    • Interpretación de Gráficas. Diagramas de Dispersión.
    • Elasticidades
    • Relaciones de productividad, rendimientos y costos.
    • Utilidad, Producción y Mercados.
    • Multiplicador de Lagrange
    • Matrices
  • 4. Funciones
    • Desde antes del siglo XX y en el XXI, se ha graficado la demanda y la oferta con la variable independiente en el eje Y.
    P Q En Economía, la variable independiente es el precio. Aún cuando con este diseño no se distorsiona la información.
  • 5. Pendiente de una Recta P Q 12 12 P Q 12 6 P = 12 + (-1/2)q; m= -1/2 Y = a + mx; en Economía P = 12 + (-1)q; m = -1 la pendiente =-1 ó -1/2 Para la Oferta (roja) = 1
  • 6. Pendiente en una Curva
    • En este caso, para encontrar la pendiente en un punto, trazamos la tangente en ese punto y calculamos la pendiente de la recta.
    P Q 50 10 b La pendiente de la curva en el punto b es igual a -1/5, que se obtiene de la pendiente de la recta.
  • 7. Posibilidades de Producción
    • De acuerdo con la Ley de Rendimientos Decrecientes o Costos Crecientes de David Ricardo
    A B 1 2 3 4 5 200 La gráfica ilustra que, al pasar del punto A al B, las variaciones de A son cada vez mayores, lo cual se interpreta como costos crecientes del producto B en términos de A. Costo de Oportunidad
  • 8. Elasticidades
    • Usando el término de pendiente podemos comprender los conceptos de elasticidad de la demanda.
    P Q 60 12 Elasticidad Precio-Demanda Mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante variaciones del precio.
  • 9. Elasticidades
    • Para P = 12; la E d = ∞…¿Por qué?
    • Para P = 6; la E d = -1 …¿Por qué?
    • Para P = 0; la E d = 0 …¿Por qué?
    P Q 60B 12A Si volvemos a la grafica anterior y consideramos el término P/Q (que es un elemento de la fórmula de E d ) observamos que para el punto A, P =12, la Q = 0; y al dividir P/Q, el cociente es ∞ , y ∞ *®= ∞ Similarmente para el punto B, ahora P = 0 y el cociente de P/Q = 0, y 0®=0
  • 10. Elasticidades
    • De igual manera la economía se interesa en la elasticidad cruzada y la elasticidad ingreso, donde la variable precio del bien X se sustituye por el precio de otro bien Y (elasticidad cruzada) y el Ingreso (elasticidad ingreso).
  • 11. Producción
    • En economía se analiza el tema de producción con funciones de tercer grado que nos muestran diferentes rendimientos de un factor variable (Trabajo L).
      • Crecientes
      • Constantes
      • Decrecientes
  • 12. Producción
    • Q = 80L + 240L 2 – 4L 3
      • Q = unidades producidas
      • L = cantidad de trabajo
    • En todo proceso productivo de corto plazo, al mantener un factor fijo (K), e ir agregando unidades del factor variable (L) para cierto nivel de Q, aparecen los rendimientos marginales y absolutos decrecientes.
  • 13. Producción
    • Todo proceso productivo se caracteriza por revelar tres etapas de rendimientos:
      • Rendimientos Crecientes: La producción aumenta en mayor proporción que el trabajo. El ∆Q > ∆L
      • Rendimientos Constantes: El ∆Q = ∆L
      • Rendimientos Decrecientes: El ∆Q < ∆L
    • Entonces se utiliza el cálculo diferencial y las segundas derivadas, para encontrar los puntos máximos:
  • 14. Producción
    • PMg = ∆Q/∆L = dQ / dL
    • PMe = Q/L
    • Usando estos dos conceptos que gráficamente se representan con funciones que en un principio crecen y después disminuyen; son importantes para determinar los límites de las etapas, en su puntos máximos.
  • 15. Producción
    • Q = 20L + 60L 2 – L 3
    • PMe = 20 + 60L – L 2
    • PMg = 20 + 120L – 3L 2
    • El PMg es máximo cuando su derivada = 0; 120 – 6L = 0; L = 20.
    • El PMe es máximo cuando su derivada es 0; 60 – 2L = 0; L = 30. (fin de etapa 1)
    • Q es máxima cuando L = 40. PMg=0, (que es el fin de la segunda etapa).
    • Para L > 40; los rendimientos de la producción son absolutamente decrecientes. Es ineficiente o irracional.
  • 16. Teoría de la Demanda
    • Utilidad Total = U = f (x,y) = 20
    • Utilidad Marginal de X, UMgX = ∆U/∆Q x
    • Utilidad Marginal de Y, UMgY = ∆U/∆Q y
    • Principio de Utilidad Marginal Decreciente: Al consumir un bien a medida que es mayor la cantidad consumida, es menor la utilidad que brinda una unidad adicional.
  • 17. Curvas de Indiferencia U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y El consumidor es indiferente ante cualquier combinación de bienes representados en una curva (hipérbola rectangular). A medida que la curva se aleja del origen, aumenta la satisfacción.
  • 18. Optimización
    • El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de una curva es igual a su recta de presupuesto.
    • Ingreso = XP x + YP y
    • Ejemplo: I = 240; P x = 40; P y = 20
      • X = I/P x ; Y = I/P y
  • 19. Recta de Presupuesto
    • El consumidor puede maximizar el nivel de utilidad, en cualquier punto de su recta de presupuesto.
    I/py I/px Y Y X
  • 20. Optimización
    • El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de la recta de presupuesto es igual a la pendiente de una curva de indiferencia.
    • La TMS xy = UMgX / UMgY
    • La pendiente de la recta es: P x /P y
    • Optimización: UMgX / UMgY = P x /P y
    (pendiente de las curvas)
  • 21. Optimización de la Utilidad U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y
  • 22. Optimización de la Utilidad
    • El consumidor siempre desea ubicarse en la curva de indiferencia de mayor nivel. Pero su ingreso y los precios de los bienes que adquiere, le restringen su nivel d utilidad.
    • TMSxy = UMx/UMy = Px/py
  • 23. Multiplicadores Lagrange
    • Los multiplicadores Lagrange son muy utilizados para maximizar funciones de utilidad y de producción.
    Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de K y de L.
  • 24. Optimización de Utilidad
    • De manera similar podemos maximizar una función de utilidad usando Lagrange:
    Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de X y de Y.
  • 25. Matrices y Álgebra Lineal
    • Es muy utilizado el sistema de matrices, y los sistemas Hegelianos y Hesianos, para comprobar la existencia de convexidad o concavidad en las funciones de utilidad y producción. Ello permite comprobar si se cumplen las condiciones necesarias y de suficiencia en la optimización.
  • 26. Conclusiones
    • Las Matemáticas son fundamentales para desarrollar el razonamiento del estudiante y resolver problemas de economía con rapidez y exactitud.
    • La competitividad y habilidad de todo profesionista se incrementa con un mayor conocimiento de métodos cuantitativos.
  • 27. Conclusiones
    • Se necesita de habilidad y cierta imaginación para trasladar los conocimientos matemáticos, a la solución de problemas económicos.
    • Se facilita la comprensión de un modelo económico al utilizar las herramientas matemáticas, la lógica y representaciones gráficas.
    • Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada, lógica y eficiente.
    • Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas y usarlas siempre que sea necesario.