Las Matemáticas: Herramienta fundamental en el Análisis Económico Profesor: Max Garza Valle Alumno: Manuel Vélez Gallardo ...
Antecedentes <ul><li>Economía como ciencia: siglo XVIII </li></ul><ul><li>Aplicación matemática: fines de siglo XIX </li><...
Usos específicos <ul><li>Funciones Lineales y No Lineales </li></ul><ul><li>Cálculo Diferencial e Integral </li></ul><ul><...
Funciones <ul><li>Desde antes del siglo XX y en el XXI, se ha graficado la demanda y la oferta con la variable independien...
Pendiente de una Recta P Q 12 12 P Q 12 6 P = 12 + (-1/2)q;  m= -1/2 Y = a + mx; en Economía  P = 12 + (-1)q; m = -1 la pe...
Pendiente en una Curva <ul><li>En este caso, para encontrar la pendiente en un punto, trazamos la tangente en ese punto y ...
Posibilidades de Producción <ul><li>De acuerdo con la Ley de Rendimientos Decrecientes o Costos Crecientes de David Ricard...
Elasticidades <ul><li>Usando el término de pendiente podemos comprender los conceptos de elasticidad de la demanda. </li><...
Elasticidades <ul><li>Para P = 12; la E d  = ∞…¿Por qué?  </li></ul><ul><li>Para P = 6; la E d  = -1  …¿Por qué?  </li></u...
Elasticidades <ul><li>De igual manera la economía se interesa en la elasticidad cruzada y la elasticidad ingreso, donde la...
Producción <ul><li>En economía se analiza el tema de producción con funciones de tercer grado que nos muestran diferentes ...
Producción <ul><li>Q = 80L + 240L 2  – 4L 3 </li></ul><ul><ul><li>Q = unidades producidas </li></ul></ul><ul><ul><li>L = c...
Producción <ul><li>Todo proceso productivo se caracteriza por revelar tres etapas de rendimientos: </li></ul><ul><ul><li>R...
Producción <ul><li>PMg =  ∆Q/∆L  =  dQ / dL </li></ul><ul><li>PMe = Q/L </li></ul><ul><li>Usando estos dos conceptos que g...
Producción <ul><li>Q = 20L + 60L 2  – L 3 </li></ul><ul><li>PMe = 20 + 60L – L 2 </li></ul><ul><li>PMg = 20 + 120L – 3L 2 ...
Teoría de la Demanda <ul><li>Utilidad Total =  U =  f (x,y)   = 20 </li></ul><ul><li>Utilidad Marginal de X, UMgX =  ∆U/∆Q...
Curvas de Indiferencia U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y El consumidor es indiferente ante cualquier combinación de bienes r...
Optimización <ul><li>El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de una curva es igual a su recta de presupuest...
Recta de Presupuesto <ul><li>El consumidor puede maximizar el nivel de utilidad, en cualquier punto de su recta de presupu...
Optimización <ul><li>El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de la recta de presupuesto es igual a la pendi...
Optimización de la Utilidad U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y
Optimización de la Utilidad <ul><li>El consumidor siempre desea ubicarse en la curva de indiferencia de mayor nivel. Pero ...
Multiplicadores Lagrange <ul><li>Los multiplicadores Lagrange son muy utilizados para maximizar funciones de utilidad y de...
Optimización de Utilidad <ul><li>De manera similar podemos maximizar una función de utilidad usando Lagrange: </li></ul>Se...
Matrices y Álgebra Lineal <ul><li>Es muy utilizado el sistema de matrices, y los sistemas Hegelianos y Hesianos, para comp...
Conclusiones <ul><li>Las Matemáticas son fundamentales para desarrollar el razonamiento del estudiante y resolver problema...
Conclusiones <ul><li>Se necesita de habilidad y cierta imaginación para trasladar los conocimientos matemáticos, a la solu...
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Las Matematicas Como Herramienta En El Area Economica

  1. 1. Las Matemáticas: Herramienta fundamental en el Análisis Económico Profesor: Max Garza Valle Alumno: Manuel Vélez Gallardo ITESM Noviembre 2005
  2. 2. Antecedentes <ul><li>Economía como ciencia: siglo XVIII </li></ul><ul><li>Aplicación matemática: fines de siglo XIX </li></ul><ul><li>Apéndices matemáticos: Libros de Microeconomía. Textos de Economía Ambiental. Comercio Internacional. Economía Administrativa. Política Pública Economía del Bienestar, etc. </li></ul>
  3. 3. Usos específicos <ul><li>Funciones Lineales y No Lineales </li></ul><ul><li>Cálculo Diferencial e Integral </li></ul><ul><li>Interpretación de Gráficas. Diagramas de Dispersión. </li></ul><ul><li>Elasticidades </li></ul><ul><li>Relaciones de productividad, rendimientos y costos. </li></ul><ul><li>Utilidad, Producción y Mercados. </li></ul><ul><li>Multiplicador de Lagrange </li></ul><ul><li>Matrices </li></ul>
  4. 4. Funciones <ul><li>Desde antes del siglo XX y en el XXI, se ha graficado la demanda y la oferta con la variable independiente en el eje Y. </li></ul>P Q En Economía, la variable independiente es el precio. Aún cuando con este diseño no se distorsiona la información.
  5. 5. Pendiente de una Recta P Q 12 12 P Q 12 6 P = 12 + (-1/2)q; m= -1/2 Y = a + mx; en Economía P = 12 + (-1)q; m = -1 la pendiente =-1 ó -1/2 Para la Oferta (roja) = 1
  6. 6. Pendiente en una Curva <ul><li>En este caso, para encontrar la pendiente en un punto, trazamos la tangente en ese punto y calculamos la pendiente de la recta. </li></ul>P Q 50 10 b La pendiente de la curva en el punto b es igual a -1/5, que se obtiene de la pendiente de la recta.
  7. 7. Posibilidades de Producción <ul><li>De acuerdo con la Ley de Rendimientos Decrecientes o Costos Crecientes de David Ricardo </li></ul>A B 1 2 3 4 5 200 La gráfica ilustra que, al pasar del punto A al B, las variaciones de A son cada vez mayores, lo cual se interpreta como costos crecientes del producto B en términos de A. Costo de Oportunidad
  8. 8. Elasticidades <ul><li>Usando el término de pendiente podemos comprender los conceptos de elasticidad de la demanda. </li></ul>P Q 60 12 Elasticidad Precio-Demanda Mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante variaciones del precio.
  9. 9. Elasticidades <ul><li>Para P = 12; la E d = ∞…¿Por qué? </li></ul><ul><li>Para P = 6; la E d = -1 …¿Por qué? </li></ul><ul><li>Para P = 0; la E d = 0 …¿Por qué? </li></ul>P Q 60B 12A Si volvemos a la grafica anterior y consideramos el término P/Q (que es un elemento de la fórmula de E d ) observamos que para el punto A, P =12, la Q = 0; y al dividir P/Q, el cociente es ∞ , y ∞ *®= ∞ Similarmente para el punto B, ahora P = 0 y el cociente de P/Q = 0, y 0®=0
  10. 10. Elasticidades <ul><li>De igual manera la economía se interesa en la elasticidad cruzada y la elasticidad ingreso, donde la variable precio del bien X se sustituye por el precio de otro bien Y (elasticidad cruzada) y el Ingreso (elasticidad ingreso). </li></ul>
  11. 11. Producción <ul><li>En economía se analiza el tema de producción con funciones de tercer grado que nos muestran diferentes rendimientos de un factor variable (Trabajo L). </li></ul><ul><ul><li>Crecientes </li></ul></ul><ul><ul><li>Constantes </li></ul></ul><ul><ul><li>Decrecientes </li></ul></ul>
  12. 12. Producción <ul><li>Q = 80L + 240L 2 – 4L 3 </li></ul><ul><ul><li>Q = unidades producidas </li></ul></ul><ul><ul><li>L = cantidad de trabajo </li></ul></ul><ul><li>En todo proceso productivo de corto plazo, al mantener un factor fijo (K), e ir agregando unidades del factor variable (L) para cierto nivel de Q, aparecen los rendimientos marginales y absolutos decrecientes. </li></ul>
  13. 13. Producción <ul><li>Todo proceso productivo se caracteriza por revelar tres etapas de rendimientos: </li></ul><ul><ul><li>Rendimientos Crecientes: La producción aumenta en mayor proporción que el trabajo. El ∆Q > ∆L </li></ul></ul><ul><ul><li>Rendimientos Constantes: El ∆Q = ∆L </li></ul></ul><ul><ul><li>Rendimientos Decrecientes: El ∆Q < ∆L </li></ul></ul><ul><li>Entonces se utiliza el cálculo diferencial y las segundas derivadas, para encontrar los puntos máximos: </li></ul>
  14. 14. Producción <ul><li>PMg = ∆Q/∆L = dQ / dL </li></ul><ul><li>PMe = Q/L </li></ul><ul><li>Usando estos dos conceptos que gráficamente se representan con funciones que en un principio crecen y después disminuyen; son importantes para determinar los límites de las etapas, en su puntos máximos. </li></ul>
  15. 15. Producción <ul><li>Q = 20L + 60L 2 – L 3 </li></ul><ul><li>PMe = 20 + 60L – L 2 </li></ul><ul><li>PMg = 20 + 120L – 3L 2 </li></ul><ul><li>El PMg es máximo cuando su derivada = 0; 120 – 6L = 0; L = 20. </li></ul><ul><li>El PMe es máximo cuando su derivada es 0; 60 – 2L = 0; L = 30. (fin de etapa 1) </li></ul><ul><li>Q es máxima cuando L = 40. PMg=0, (que es el fin de la segunda etapa). </li></ul><ul><li>Para L > 40; los rendimientos de la producción son absolutamente decrecientes. Es ineficiente o irracional. </li></ul>
  16. 16. Teoría de la Demanda <ul><li>Utilidad Total = U = f (x,y) = 20 </li></ul><ul><li>Utilidad Marginal de X, UMgX = ∆U/∆Q x </li></ul><ul><li>Utilidad Marginal de Y, UMgY = ∆U/∆Q y </li></ul><ul><li>Principio de Utilidad Marginal Decreciente: Al consumir un bien a medida que es mayor la cantidad consumida, es menor la utilidad que brinda una unidad adicional. </li></ul>
  17. 17. Curvas de Indiferencia U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y El consumidor es indiferente ante cualquier combinación de bienes representados en una curva (hipérbola rectangular). A medida que la curva se aleja del origen, aumenta la satisfacción.
  18. 18. Optimización <ul><li>El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de una curva es igual a su recta de presupuesto. </li></ul><ul><li>Ingreso = XP x + YP y </li></ul><ul><li>Ejemplo: I = 240; P x = 40; P y = 20 </li></ul><ul><ul><li>X = I/P x ; Y = I/P y </li></ul></ul>
  19. 19. Recta de Presupuesto <ul><li>El consumidor puede maximizar el nivel de utilidad, en cualquier punto de su recta de presupuesto. </li></ul>I/py I/px Y Y X
  20. 20. Optimización <ul><li>El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de la recta de presupuesto es igual a la pendiente de una curva de indiferencia. </li></ul><ul><li>La TMS xy = UMgX / UMgY </li></ul><ul><li>La pendiente de la recta es: P x /P y </li></ul><ul><li>Optimización: UMgX / UMgY = P x /P y </li></ul>(pendiente de las curvas)
  21. 21. Optimización de la Utilidad U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y
  22. 22. Optimización de la Utilidad <ul><li>El consumidor siempre desea ubicarse en la curva de indiferencia de mayor nivel. Pero su ingreso y los precios de los bienes que adquiere, le restringen su nivel d utilidad. </li></ul><ul><li>TMSxy = UMx/UMy = Px/py </li></ul>
  23. 23. Multiplicadores Lagrange <ul><li>Los multiplicadores Lagrange son muy utilizados para maximizar funciones de utilidad y de producción. </li></ul>Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de K y de L.
  24. 24. Optimización de Utilidad <ul><li>De manera similar podemos maximizar una función de utilidad usando Lagrange: </li></ul>Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de X y de Y.
  25. 25. Matrices y Álgebra Lineal <ul><li>Es muy utilizado el sistema de matrices, y los sistemas Hegelianos y Hesianos, para comprobar la existencia de convexidad o concavidad en las funciones de utilidad y producción. Ello permite comprobar si se cumplen las condiciones necesarias y de suficiencia en la optimización. </li></ul>
  26. 26. Conclusiones <ul><li>Las Matemáticas son fundamentales para desarrollar el razonamiento del estudiante y resolver problemas de economía con rapidez y exactitud. </li></ul><ul><li>La competitividad y habilidad de todo profesionista se incrementa con un mayor conocimiento de métodos cuantitativos. </li></ul>
  27. 27. Conclusiones <ul><li>Se necesita de habilidad y cierta imaginación para trasladar los conocimientos matemáticos, a la solución de problemas económicos. </li></ul><ul><li>Se facilita la comprensión de un modelo económico al utilizar las herramientas matemáticas, la lógica y representaciones gráficas. </li></ul><ul><li>Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada, lógica y eficiente. </li></ul><ul><li>Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas y usarlas siempre que sea necesario. </li></ul>
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