Calculodel Exponente de
Lyapunov de sistemas dinámicos
    por medio del programa
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Puntos de Estabilidad
Puntos de Estabilidad
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Sistemas Físico, Dinámico
Masa resorte, sin perdida de
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Calculodel exponente de Lyuapunov, con datos del Interactive Physics

  1. 1. Calculodel Exponente de Lyapunov de sistemas dinámicos por medio del programa educativo Interactive Physics Miguel Bustamante S. Universidad Adolfo Ibañez Patricio Pacheco INACAP Sidney Villagran Universidad de Las Américas 1
  2. 2.  El exponente Lyapunov describe el comportamiento de los vectores en el espacio tangente al espacio-fase  De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por una función X(t) que se encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por , entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según Lyapunov. De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y converge a Xo, entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov. 2
  3. 3. 3
  4. 4. Punto de Estabilidad Supongamos que tenemos un sistema descrito por la ecuaciones x = f  x , y ˙ y =g  x , y  ˙ 4
  5. 5. Puntos de Estabilidad Puntos de Estabilidad (0,0) y (5,2) (0,0) y (5,2) 5
  6. 6. El Exponente Lyapunov o Exponente característico Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza el grado de separación de dos trayectorias infinitesimalmente cercanas Exponente de Lyapunov  6
  7. 7. Sistemas Físico, Dinámico Masa resorte, sin perdida de Energía 7
  8. 8. Sistema masa Resorte El programa simula la siotuación, y exporta los datos de magnitud de velocidad y magnitud de posición, en formato txt (ASCII) #Toggles grid snap on/offresorte #Grid Snap #Velocity of Square 5 #x Vx 0.417 0.000 0.462 1.816 0.597 3.545 0.814 5.104 1.103 6.416 1.450 7.417 1.839 8.058 2.250 8.309 2.663 8.155 λ=0, radio no 3.059 7.606 cambia 3.417 6.687 3.722 5.442 3.957 3.933 4.112 2.233 8
  9. 9. Resorte con masa oscilante en medio viscozo 9
  10. 10. #Toggles grid snap on/offresorte #Grid Snap #Velocity of Square 5 Time #x Vx frame t 0.417 0.000 0.000 0.000 0.462 1.788 1.000 0.050 0.593 3.435 2.000 0.100 0.802 4.869 3.000 0.150 1.075 6.028 4.000 0.200 1.399 6.864 5.000 0.250 1.756 7.346 6.000 0.300 2.128 7.463 7.000 0.350 2.496 7.220 8.000 0.400 2.844 6.638 9.000 0.450 3.155 5.757 10.000 0.500 3.416 4.628 11.000 0.550 3.615 3.312 12.000 0.600 3.745 1.878 13.000 0.650 3.802 0.398 14.000 0.700 3.785 -1.055 15.000 0.750 3.698 -2.413 16.000 0.800 3.546 -3.614 17.000 0.850 3.340 -4.604 18.000 0.900 3.090 -5.344 19.000 0.950 2.810 -5.806 20.000 1.000 2.514 -5.975 21.000 1.050 2.217 -5.854 22.000 1.100 1.934 -5.456 23.000 1.150 1.676 -4.809 24.000 1.200 1.456 -3.953 25.000 1.250 Resultados 1.283 -2.934 26.000 1.300 1.165 -1.806 27.000 1.350 1.104 -0.627 28.000 1.400 1.102 0.546 29.000 1.450 1.157 1.656 30.000 1.500 10
  11. 11. #Resorte con viscosidad r(t)=Aexp(λt) #on/offresorte #t r 12.5000 0.16700 13.2000 0.13500 13.9000 0.10802 14.6000 0.08705 15.3000 0.06907 16.0000 0.05508 16.7000 0.04410 17.4500 0.03601 18.1500 0.02802 18.8500 0.02309 19.6500 0.01803 20.3000 0.01503 λ=-0,309 11
  12. 12. Con fuerza de roce 12
  13. 13. Toggles grid snap on/offresorte Grid Snap Velocity of Square 5 Time x Vx frame t 0.417 0.000 0.000 0.000 0.459 1.665 1.000 0.050 0.581 3.203 2.000 0.100 0.776 4.545 3.000 0.150 1.031 5.635 4.000 0.200 1.334 6.428 5.000 0.250 1.669 6.894 6.000 0.300 2.018 7.019 7.000 0.350 2.365 6.808 8.000 0.400 2.693 6.279 9.000 0.450 2.988 5.469 10.000 0.500 3.236 4.422 11.000 0.550 3.427 3.197 12.000 0.600 3.554 1.865 13.000 0.650 13
  14. 14. # con roceon/offresorte #t r 0.35 7.02593 1.05 4.87443 1.8 3.12554 2.55 0.64952 λ=-0,629 14
  15. 15. Conclusiones ● Por medio del programa Interactive Physics, se puede obtener las varibales de un sistema como datos. ● Con estos datos, podemos obtener información, como en este caso del exponente de Lyapunov. ● Se pueden modelar mas sistemas desde el punto de la vista de la mecánica 15
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