1. Trabajo monográfico de límites.
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Realizado por: Valeria Babich.
1º Bachillerato Sociales.
2. 1.- ¿Qué es el cálculo infinitesimal?
El cálculo infinitesimal es una herramienta
matemática de extraordinaria utilidad en el planteo y
resolución de problemas que admiten un modelo en
los que el sistema que se estudia sea divisible en
pequeñas partes simples o diferenciales, que sumadas
vuelven a dar el total. Se divide en dos ramas: cálculo
diferencial y cálculo integral, que se ocupan
respectivamente del cálculo de la partición o
diferenciación, y el de la suma o integración.
3. 2.- ¿Qué matemático desarrolló el concepto de
límite de función en el siglo XVII?
Los orígenes de los principales
matemáticos tienen lugar en Grecia,
como es Arquímedes. Ellos fueron los
primeros en imaginar un cuerpo dividido
en elementos más simples en forma y
tamaño. Pero el verdadero impulso fue
por el físico inglés Isaac Newton que
desarrolló completamente el “calculus”
y lo aplicó a la mecánica. También el
mérito es del filósofo alemán Gottfried
Leibniz, quien elaboró al mismo tiempo e
independientemente de Newton un
algoritmo similar, más riguroso aunque
quizás menos intuitivo.
4. Los orígenes del cálculo infinitesimal.
Newton vs. Leibniz.
Object 1
http://www.youtube.com/watch?v=SkxRP5kp5a8&feature=g-hist&context=G2764
5. 3.- Idea intuitiva de límite.
Cuando se trabaja con funciones frecuentemente nos interesa averiguar el
comportamiento de una determinada función cuando la variable
independiente, x, se aproxima a un determinado valor, a. En otras
palabras: queremos averiguar si la función se aproxima a un determinado
valor, b, aumenta indefinidamente, disminuye indefinidamente o no tiene
un comportamiento claramente definido.
Podría pensarse que para averiguar esa cuestión bastaría con calcular el
valor de la función en el punto que se está considerando, es decir calcular
f(a). Sin embargo, en muchos casos ese cálculo no responde a la pregunta
que nos hacemos por diferentes motivos:
Algunas veces a no pertenece al dominio de la función, pero se encuentra
en su borde; por lo tanto en ese caso no es posible calcular f(a) pero sí
tiene sentido interesarse por el comportamiento de la función en las
cercanías de a.
En otras ocasiones a pertenece al dominio de la función, pero el
comportamiento de la función cerca de a difiere bastante del valor de f(a).
Puede suceder también que el comportamiento de la función sea diferente
a la izquierda y a la derecha del punto a.
6. Para explicar el límite intuitivo es más fácil
Considere la función f definida por:
Se observa que la función está definida para todo número real, excepto para x=1
Interesa observar el comportamiento de la función f para los valores de x, "cercanos a 1",
pero no iguales a 1. Esto es, los valores de x "menores que 1" (x por la izquierda de 1) y los
valores de x "mayores que 1" (x por la derecha).
Las siguientes tablas muestran algunos resultados:
7. En ambas tablas se observa que, conforme "x se aproxima al valor 1", por la derecha y por la
izquierda, la función f(x), toma valores cada vez, "más cercanos a 5".
Esto es, en la medida que se restringe el dominio de la función a valores "cercanos a 1", el conjunto
de imágenes (o valores que toma la función) "se acerca cada vez más a 5".
El hecho de que:
"x se acerque o aproxime a 1", se simboliza como:x→1,
"f(x) tiende a 5", se simboliza como f(x)→5
Utilizando la notación de límite se escribe:
Lo anterior se lee: "el límite de la función, cuando x tiende a 1, es igual a 5.
La siguiente gráfica, corresponde a la función f,
allí se puede observar que conforme x
toma valores cercanos a 1,
el valor de la función, f(x), se aproxima a 5.
8. 4. Idea formal de límite.
Cogiendo el ejemplo anterior, se puede explicar la idea formal de límite como:
El aspecto 1, se puede enfocar también como la posibilidad de hacer el valor
absoluto de la diferencia entre f(x) y 5 tan pequeño como se quiera, logrando que
el valor absoluto de la diferencia entre x y 1 sea suficientemente pequeño.
Es decir: se puede hacer tan pequeño como se quiera, siempre
que
sea suficientemente pequeño, pero no igual a cero, esto es, observando que x≠1.
Veamos la siguiente tabla de resultados:
9. Para precisar estas diferencias, se utilizaran la letras griegas ϵ (épsilon) y δ (delta), de la
siguiente manera:
ϵ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto
de la diferencia entre f(x) y 5
δ será el número real positivo que indique que tan pequeño se quiere hacer el valor absoluto
de la diferencia entre x y 1
Con esta observación, se dice entonces que:
será menor que ϵ, siempre que:
sea menor que δ, considerando que:
- La elección de ϵ es arbitraria, pero δ se obtiene a expensas de ϵ
- Para cada ϵ se requiere que existe un δ especifico
- Mientras más pequeño sea el ϵ elegido, más pequeño será el δ, correspondiente.
En el ejemplo se tiene que: , dado que para cada ϵ≻0, existe un δ≻0, tal que
siempre que 0≺|x−1|≺δ
En general, para un función f cualquiera, el , significa que la diferencia
entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se quiera, haciendo que x tome valores lo
suficientemente cercanos a c, con la restricción de que x sea distinto de c.
10. 5.- Límites de funciones en un punto.
Cálculo de límites.
Cuando x c-, significa que a X se le dan valores cada
vez más próximos a C pero menores que C.
Cuando x c+, significa que a X se le dan valores que
tienden a C pero mayores que C.
Cuando x c, significa que a X se le dan valores
próximos a C.
EJEMPLOS:
14. 6.- Propiedades de los límites de
funciones
Límite de una constante:
Límite de una suma:
Límite de un producto:
Límite de un cociente:
Límite de una potencia:
Límite de una función:
Límite de una raíz:
15. 7.- ¿Qué es una indeterminación?
¿Cuántas existen?
Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda
determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como
las hemos enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada
una de las indeterminaciones.
Existen 8 indeterminaciones:
- Un nº partido por 0: - Ind. - Infinito partido por infinito:
- Infinito menos infinito: - Cero por infinito:
- Cero partido por cero: - Cero elevado a cero:
- Infinito elevado a cero: - Uno elevado a infinito:
17. 9.- ¿Qué es la derivada de una función?
Demostración gráfica
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada
número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).
Un ejemplo de gráfica de la derivada de una función es: