[Maths] 6.3.2 compuertas logicas

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Algebra de las compuertas lógicas. Simplificación de circuitos digitales. Mapas de Karnaugh.

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  • La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
  • Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.
  • Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.
  • Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.
  • La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
  • Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*). Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.
  • El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.
  • La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
  • La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.
  • La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función OR.
  • Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la señal). La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido. Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.
  • Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.
  • [Maths] 6.3.2 compuertas logicas

    1. 1. COMPUERTAS LÓGICAS By Miguel Pérez Fontenla, January 2012
    2. 2. <ul><li>By Miguel Pérez Fontenla, January 2012 </li></ul>
    3. 3. COMPUERTAS LÓGICAS <ul><li>Entendemos por circuito lógico a una especie de máquina compuesta por: </li></ul><ul><ul><li>unos dispositivos de entrada-salida y </li></ul></ul><ul><ul><li>un único dispositivo de salida. </li></ul></ul><ul><li>Donde: </li></ul><ul><ul><li>En cada instante cada dispositivo tiene un bit de información (un 0 ó un 1) </li></ul></ul><ul><ul><li>El circuito, según los valores de entrada nos da una salida de un solo bit de información </li></ul></ul><ul><ul><li>Se puede introducir una sucesión de bits en cada dispositivo de entrada y obtendremos una sucesión de bits en la salida. </li></ul></ul>Definición: Circuito lógico
    4. 4. COMPUERTAS LÓGICAS La compuerta OR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por: Definición: Compuerta OR De esta manera, si a la compuerta llegasen dos octetos digitales, por ejemplo A=10010101 y B=11100011 la respuesta sería Y = A + B = 10010101 + 11100011 = 11110111 Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/or.swf A B Y=A+B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
    5. 5. COMPUERTAS LÓGICAS Circuito eléctrico: Compuerta OR
    6. 6. COMPUERTAS LÓGICAS Circuito eléctrico: Compuerta OR
    7. 7. COMPUERTAS LÓGICAS La compuerta OR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por: Definición: Compuerta AND De esta manera, si a la compuerta llegasen dos octetos digitales, por ejemplo A=10010101 y B=11100011 la respuesta sería Y = A · B = 10010101 · 11100011 = 10000001 Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/and.swf A B Y = A · B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
    8. 8. COMPUERTAS LÓGICAS Circuito eléctrico: Compuerta AND
    9. 9. COMPUERTAS LÓGICAS Circuito eléctrico: Compuerta AND
    10. 10. COMPUERTAS LÓGICAS La compuerta NOT de entrada A y salida Y, viene simbolizada y definida por: Definición: Compuerta NOT De esta manera, si a la compuerta llegase un octeto digital, por ejemplo A=10010101 la respuesta sería Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/not.swf A 1 0 0 1
    11. 11. COMPUERTAS LÓGICAS Circuito eléctrico: Compuerta NOT
    12. 12. COMPUERTAS LÓGICAS Teorema Los circuitos lógicos forman un álgebra de Boole. Demostración Las tablas de verdad de las compuertas OR , AND y NOT son idénticas a las correspondientes de las operaciones lógicas disyunción ∧ , conjunción ∨ y negación ∼ . Sólo se deben cambiar los 1 por V y los 0 por F . De esta manera, se satisfacen las mismas leyes que en el álgebra de proposiciones y por tanto forman un álgebra de Boole. Álgebra de Conjuntos Álgebra de proposiciones Álgebras de Boole Circuitos lógicos Unión ⋃ Disyunción ∨ Suma + OR Intersección ⋂ Conjunción ∧ Producto · AND Complementario c Negación ∼ Complemento ‘ NOT Conjunto vacío ∅ Falsedad f Elemento 0 0 0 Conjunto universal U Tautología τ Elemento 1 1 1
    13. 13. COMPUERTAS LÓGICAS La compuerta NOR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por: Otras compuertas lógicas : Compuerta NOR Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/nor.swf A B 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
    14. 14. COMPUERTAS LÓGICAS La compuerta NAND de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por: Otras compuertas lógicas : Compuerta NAND Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/nand.swf A B 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
    15. 15. COMPUERTAS LÓGICAS La compuerta YES de entrada A y salida Y, viene simbolizada y definida por: Otras compuertas lógicas : Compuerta YES Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal A 1 0 0 1
    16. 16. COMPUERTAS LÓGICAS La compuerta XOR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por: Otras compuertas lógicas : Compuerta XOR
    17. 17. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal.
    18. 18. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal. Paso 1 Simulador diseño de circuitos : http://logic.ly/demo/
    19. 19. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal. Paso 2 La salida por la ley distributiva y complemento es Y por la identidad por lo que el circuito equivale a este otro minimal
    20. 20. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio Observa que las tablas de verdad del circuito inicial y del simplificado son iguales: A 11110000 B 11001100 C 10101010 00001111 00110011 ABC 10000000 00100000 00001100 10101100 A 11110000 B 11001100 C 10101010 00001111 AC 10100000 00001100 10101100
    21. 21. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 2 Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal.
    22. 22. COMPUERTAS LÓGICAS SIMPLIFICACIÓN CIRCUÍTOS LÓGICOS Definición: Número de literales E L Dada una expresión de Boole E de suma de productos, denotamos por E L el número de literales de E, de forma que si alguno está repetido lo contaremos el número de veces que se repita Definición: Número de sumandos E S Dada una expresión de Boole E de suma de productos, denotamos por E S el número de sumandos que posee E. Definición. Expresión de Boole más simple que otra. Dadas dos expresiones de Boole E y E’ escritas en forma de suma de productos, decimos que E es más simple que E’ si y y al menos una de las dos desigualdades es estricta, es decir que o bien , o bien Definición: Forma minimal Una expresión de Boole E en forma de suma de productos diremos que está en forma minimal si no existe ninguna otra expresión de Boole F en forma de suma de productos que sea más simple que E.
    23. 23. COMPUERTAS LÓGICAS IMPLICANTES PRIMOS Dada una expresión de Boole E, un producto fundamental P se llama implicante primo de E P es el único producto fundamental que cerífica la propiedad P + E = E Teorema Sea E una expresión de Boole en forma minimal de suma de productos, entonces cada sumando de E es un implicante primo de E
    24. 24. MAPAS DE KARNAUGH MAPAS DE KARNAUGH Una expresión de Boole E en forma de suma de productos diremos que está en forma minimal si no existe ninguna otra expresión de Boole F en forma de suma de productos que sea más simple que E. Maurice Karnaugh
    25. 25. MAPAS DE KARNAUGH Caso de 2 Variables Caso de 2 variables Con dos variables x e y los productos fundamentales que se pueden descomponer son cuatro: xy xy’ x’y x’y’ Para simplificarlos se usa el diagrama siguiente con los posibles casos que pueden presentarse:
    26. 26. MAPAS DE KARNAUGH Caso de 3 Variables Con tres variables x, y y z los productos fundamentales que se pueden descomponer son ocho: xyz xyz’ xy’z xy’z’ x’yz x’yz’ x’y’z x’y’z’ Que se pueden representar con el diagrama siguiente y las simplificaciones posibles son:
    27. 27. MAPAS DE KARNAUGH
    28. 28. MAPAS DE KARNAUGH Caso de 4 variables Con tres variables x, y , z y t los productos fundamentales que se pueden descomponer son dieciséis: xyzt xyzt’ xyz’t xyz’t’ xy’zt xy’zt’ xy’z’t xy’z’t’ x’yzt x’yzt’ x’yz’t x’yz’t’ x’y’zt x’y’zt’ x’y’z’t x’y’z’t’ Que se pueden representar con el diagrama siguiente y las simplificaciones posibles son:
    29. 29. MAPAS DE KARNAUGH
    30. 30. MAPAS DE KARNAUGH
    31. 31. MAPAS DE KARNAUGH
    32. 32. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 2 Encontrar una expresión de Boole para cada uno de los dos circuitos de interruptores siguientes:
    33. 33. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 3 Demostrar las siguientes leyes del álgebra de Boole
    34. 34. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 4 Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito.
    35. 35. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 5 Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito.
    36. 36. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 5 Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito.
    37. 37. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 6 Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito.
    38. 38. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 7 Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito.
    39. 39. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 8 Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito.
    40. 40. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 9 Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito.
    41. 41. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 10 Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito.
    42. 42. COMPUERTAS LÓGICAS Dibujar el circuito lógico que corresponde a las siguientes expresiones de Boole y calcular su tabla de verdad. Ejercicio 11 Ejercicio 12 Ejercicio 13
    43. 43. COMPUERTAS LÓGICAS Ejercicio 14 Rediseñar el siguiente circuito de forma que sea minimal

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