Logaritmos y algunas propiedades

1. Logaritmos
Alvaro M. Naupay Gusukuma
Escuela Talentos
09 de Julio 2014
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

2. Definici´on de logaritmo
Definici´on
Sean a, N ∈ R con N > 0, a > 0 y a = 1, se define
loga N = x ⇔ ax
= N.
Donde x es el valor que toma el logaritmo de N en base a.
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3. Definici´on de logaritmo
Definici´on
Sean a, N ∈ R con N > 0, a > 0 y a = 1, se define
loga N = x ⇔ ax
= N.
Donde x es el valor que toma el logaritmo de N en base a.
Ejemplo: Calcular log2 4.
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4. Definici´on de logaritmo
Definici´on
Sean a, N ∈ R con N > 0, a > 0 y a = 1, se define
loga N = x ⇔ ax
= N.
Donde x es el valor que toma el logaritmo de N en base a.
Ejemplo: Calcular log2 4. De la definici´on tenemos
log2 4 = x ⇔ 2x
= 4
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5. Definici´on de logaritmo
Definici´on
Sean a, N ∈ R con N > 0, a > 0 y a = 1, se define
loga N = x ⇔ ax
= N.
Donde x es el valor que toma el logaritmo de N en base a.
Ejemplo: Calcular log2 4. De la definici´on tenemos
log2 4 = x ⇔ 2x
= 4
de lo cual concluimos que x = 2, entonces
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6. Definici´on de logaritmo
Definici´on
Sean a, N ∈ R con N > 0, a > 0 y a = 1, se define
loga N = x ⇔ ax
= N.
Donde x es el valor que toma el logaritmo de N en base a.
Ejemplo: Calcular log2 4. De la definici´on tenemos
log2 4 = x ⇔ 2x
= 4
de lo cual concluimos que x = 2, entonces
log2 4 = 2
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7. Definici´on de logaritmo
Definici´on
Sean a, N ∈ R con N > 0, a > 0 y a = 1, se define
loga N = x ⇔ ax
= N.
Donde x es el valor que toma el logaritmo de N en base a.
Ejemplo: Calcular log2 4. De la definici´on tenemos
log2 4 = x ⇔ 2x
= 4
de lo cual concluimos que x = 2, entonces
log2 4 = 2
Ejercicios: Calcular log3 27, log5 125
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8. Observaciones
Observaci´on: Note que en la definici´on la base tiene que
ser positiva y diferente de uno.
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9. Observaciones
Observaci´on: Note que en la definici´on la base tiene que
ser positiva y diferente de uno.
Ejemplo: Para que el siguiente logaritmo est´e bien definido
logx−1 34
que valores debe tomar x.
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10. Observaciones
Observaci´on: Note que en la definici´on la base tiene que
ser positiva y diferente de uno.
Ejemplo: Para que el siguiente logaritmo est´e bien definido
logx−1 34
que valores debe tomar x.
Soluci´on: Se debe cumplir que x − 1 > 0, es decir cuando
x > 1 el logaritmo estar´a bien definido.
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11. Observaciones
Observaci´on: Note que en la definici´on la base tiene que
ser positiva y diferente de uno.
Ejemplo: Para que el siguiente logaritmo est´e bien definido
logx−1 34
que valores debe tomar x.
Soluci´on: Se debe cumplir que x − 1 > 0, es decir cuando
x > 1 el logaritmo estar´a bien definido. Adem´as que x − 1 =
1,
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12. Observaciones
Observaci´on: Note que en la definici´on la base tiene que
ser positiva y diferente de uno.
Ejemplo: Para que el siguiente logaritmo est´e bien definido
logx−1 34
que valores debe tomar x.
Soluci´on: Se debe cumplir que x − 1 > 0, es decir cuando
x > 1 el logaritmo estar´a bien definido. Adem´as que x − 1 =
1, es decir x = 2,
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13. Observaciones
Observaci´on: Note que en la definici´on la base tiene que
ser positiva y diferente de uno.
Ejemplo: Para que el siguiente logaritmo est´e bien definido
logx−1 34
que valores debe tomar x.
Soluci´on: Se debe cumplir que x − 1 > 0, es decir cuando
x > 1 el logaritmo estar´a bien definido. Adem´as que x − 1 =
1, es decir x = 2, por lo tanto
x ∈ ]1, +∞[ {2}
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14. Observaciones
Observaci´on: Note que en la definici´on la base tiene que
ser positiva y diferente de uno.
Ejemplo: Para que el siguiente logaritmo est´e bien definido
logx−1 34
que valores debe tomar x.
Soluci´on: Se debe cumplir que x − 1 > 0, es decir cuando
x > 1 el logaritmo estar´a bien definido. Adem´as que x − 1 =
1, es decir x = 2, por lo tanto
x ∈ ]1, +∞[ {2}
Ejercicio: Hallar los valores que puede tomar “x”
log(
√
x+1−5) 37
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15. Ejemplo
Ejemplo: Halle
log√
2
√
2
4
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16. Ejemplo
Ejemplo: Halle
log√
2
√
2
4
Soluci´on: Por definici´on tenemos que
log√
2
√
2
4 = x ⇔ 2
√
2
x
= 4 (∗)
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

17. Ejemplo
Ejemplo: Halle
log√
2
√
2
4
Soluci´on: Por definici´on tenemos que
log√
2
√
2
4 = x ⇔ 2
√
2
x
= 4 (∗)
haciendo uso de nuestra teor´ıa de exponentes tenemos que
2
√
2 = 2 × 21/2 =
√
23/2 = 2
3/2
2 = 2
3
4
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18. Ejemplo
Ejemplo: Halle
log√
2
√
2
4
Soluci´on: Por definici´on tenemos que
log√
2
√
2
4 = x ⇔ 2
√
2
x
= 4 (∗)
haciendo uso de nuestra teor´ıa de exponentes tenemos que
2
√
2 = 2 × 21/2 =
√
23/2 = 2
3/2
2 = 2
3
4
Reemplazando esto ´ultimo en (∗) tenemos que
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19. Ejemplo
Ejemplo: Halle
log√
2
√
2
4
Soluci´on: Por definici´on tenemos que
log√
2
√
2
4 = x ⇔ 2
√
2
x
= 4 (∗)
haciendo uso de nuestra teor´ıa de exponentes tenemos que
2
√
2 = 2 × 21/2 =
√
23/2 = 2
3/2
2 = 2
3
4
Reemplazando esto ´ultimo en (∗) tenemos que
2
3
4
x
= 4 ⇔ 2
3x
4 = 22
⇔ x =
8
3
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20. Ejemplo
log√
2
√
2
4 =
8
3
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21. Ejercicio
Ejercicio: Halle el logaritmo de 27
√
3 en base 5
√
9
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22. Ejercicio
Ejercicio: Halle el logaritmo de 27
√
3 en base 5
√
9 Soluci´on:
Por definici´on tenemos que
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23. Ejercicio
Ejercicio: Halle el logaritmo de 27
√
3 en base 5
√
9 Soluci´on:
Por definici´on tenemos que
log 5√
9 27
√
3 = x ⇔
5
√
9
x
= 27
√
3
en la ´ultima igualdad pasamos todo a base 3
32
1
5
x
= 33
× 31/2
⇒ 3
2x
5 = 3
7
2
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24. Ejercicio
Ejercicio: Halle el logaritmo de 27
√
3 en base 5
√
9 Soluci´on:
Por definici´on tenemos que
log 5√
9 27
√
3 = x ⇔
5
√
9
x
= 27
√
3
en la ´ultima igualdad pasamos todo a base 3
32
1
5
x
= 33
× 31/2
⇒ 3
2x
5 = 3
7
2
Continuar...
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

25. Ejercicio
Ejercicio: Halle el logaritmo de 27
√
3 en base 5
√
9 Soluci´on:
Por definici´on tenemos que
log 5√
9 27
√
3 = x ⇔
5
√
9
x
= 27
√
3
en la ´ultima igualdad pasamos todo a base 3
32
1
5
x
= 33
× 31/2
⇒ 3
2x
5 = 3
7
2
Continuar...
Rpt.- x = 35
4
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26. Propiedades
De la definici´on se deducen las siguientes propiedades
Logaritmo de 1
Sea a > 0 y a = 1, se cumple que
loga 1 = 0
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27. Propiedades
De la definici´on se deducen las siguientes propiedades
Logaritmo de 1
Sea a > 0 y a = 1, se cumple que
loga 1 = 0
Logaritmo de la base
Sea a > 0 y a = 1, se cumple que
loga a = 1
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28. Ejemplo
Ejemplo: Si se cumple que
log2x(x2
+ 1) = 1
hallar el valor de x.
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29. Ejemplo
Ejemplo: Si se cumple que
log2x(x2
+ 1) = 1
hallar el valor de x. Rpt.- x = 1
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30. Ejemplo
Ejemplo: Si se cumple que
log2x(x2
+ 1) = 1
hallar el valor de x. Rpt.- x = 1
Ejemplo: Si se cumple que
log−x(x2
− 6) = 1
hallar el valor de x.
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31. Ejemplo
Ejemplo: Si se cumple que
log2x(x2
+ 1) = 1
hallar el valor de x. Rpt.- x = 1
Ejemplo: Si se cumple que
log−x(x2
− 6) = 1
hallar el valor de x. Rpt.- x = −3
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32. Propiedad
Propiedad 1
Sean a, N > 0 con a = 1 se cumple que
aloga N
= N
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33. Propiedad
Propiedad 1
Sean a, N > 0 con a = 1 se cumple que
aloga N
= N
Demostraci´on: Haciendo
loga N = x (∗)
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34. Propiedad
Propiedad 1
Sean a, N > 0 con a = 1 se cumple que
aloga N
= N
Demostraci´on: Haciendo
loga N = x (∗)
luego por definici´on tenemos que
ax
= N
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

35. Propiedad
Propiedad 1
Sean a, N > 0 con a = 1 se cumple que
aloga N
= N
Demostraci´on: Haciendo
loga N = x (∗)
luego por definici´on tenemos que
ax
= N
reemplazando (∗) en esta ´ultima igualdad tenemos que
aloga N
= N
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36. Ejemplos
5log5 7
= 7
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37. Ejemplos
5log5 7
= 7
πlogπ 1
= 1
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38. Ejemplos
5log5 7
= 7
πlogπ 1
= 1
√
2
log√
2 9
= 9
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39. Propiedad
Propiedad 2
Sean N, P, a > 0 y a = 1
loga(N × P) = loga N + loga P
Demostraci´on: Haciendo los cambios de variables y apli-
cando la definici´on
loga N = x ⇔ ax
= N (1)
loga P = y ⇔ ay
= P (2)
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

40. Propiedad
Propiedad 2
Sean N, P, a > 0 y a = 1
loga(N × P) = loga N + loga P
Demostraci´on: Haciendo los cambios de variables y apli-
cando la definici´on
loga N = x ⇔ ax
= N (1)
loga P = y ⇔ ay
= P (2)
multiplicando (1) y (2) tenemos
ax
× ay
= N × P ⇒ ax+y
= N × P
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41. Propiedad
por definici´on tenemos
loga(N × P) = x + y
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42. Propiedad
por definici´on tenemos
loga(N × P) = x + y
reemplazando x e y como se defini´o en (1) y (2) tenemos
que
loga(N × P) = loga N + loga P
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43. Ejemplo
Ejemplo: Hallar el valor de
M = loga 5(x−2)(3−x)
+ loga 5x2−5x+6
donde a es un n´umero primo y positivo.
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44. Ejemplo
Ejemplo: Hallar el valor de
M = loga 5(x−2)(3−x)
+ loga 5x2−5x+6
donde a es un n´umero primo y positivo. Rpt.- 0
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45. Propiedad
Propiedad 3
Sean N, P, a > 0 y a = 1
loga
N
P
= loga N − loga P
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46. Propiedad
Propiedad 3
Sean N, P, a > 0 y a = 1
loga
N
P
= loga N − loga P
Demostraci´on: Haciendo los cambios de variable
loga N = x ⇔ ax
= N (1)
loga P = y ⇔ ay
= P (2)
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47. Propiedad
Propiedad 3
Sean N, P, a > 0 y a = 1
loga
N
P
= loga N − loga P
Demostraci´on: Haciendo los cambios de variable
loga N = x ⇔ ax
= N (1)
loga P = y ⇔ ay
= P (2)
dividiendo (1) entre (2), ax−y
=
N
P
,
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48. Propiedad
Propiedad 3
Sean N, P, a > 0 y a = 1
loga
N
P
= loga N − loga P
Demostraci´on: Haciendo los cambios de variable
loga N = x ⇔ ax
= N (1)
loga P = y ⇔ ay
= P (2)
dividiendo (1) entre (2), ax−y
=
N
P
, luego por definici´on se
tiene
loga
N
P
= x − y
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49. Propiedad
Propiedad 3
Sean N, P, a > 0 y a = 1
loga
N
P
= loga N − loga P
Demostraci´on: Haciendo los cambios de variable
loga N = x ⇔ ax
= N (1)
loga P = y ⇔ ay
= P (2)
dividiendo (1) entre (2), ax−y
=
N
P
, luego por definici´on se
tiene
loga
N
P
= x − y = loga N − loga P
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

50. Propiedad
Logaritmo potencias
Sean a, N > 0, a = 1 y n, m ∈ R
logam Nn
=
n
m
loga N
Demostraci´on: Haciendo,
loga N = x , (∗)
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

51. Propiedad
Logaritmo potencias
Sean a, N > 0, a = 1 y n, m ∈ R
logam Nn
=
n
m
loga N
Demostraci´on: Haciendo,
loga N = x , (∗)
tenemos por definici´on que ax
= N,
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

52. Propiedad
Logaritmo potencias
Sean a, N > 0, a = 1 y n, m ∈ R
logam Nn
=
n
m
loga N
Demostraci´on: Haciendo,
loga N = x , (∗)
tenemos por definici´on que ax
= N, elevando esto a la n
tenemos, (ax
)n
= Nn
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

53. Propiedad
Logaritmo potencias
Sean a, N > 0, a = 1 y n, m ∈ R
logam Nn
=
n
m
loga N
Demostraci´on: Haciendo,
loga N = x , (∗)
tenemos por definici´on que ax
= N, elevando esto a la n
tenemos, (ax
)n
= Nn
entonces anx
= Nn
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

54. Propiedad
Logaritmo potencias
Sean a, N > 0, a = 1 y n, m ∈ R
logam Nn
=
n
m
loga N
Demostraci´on: Haciendo,
loga N = x , (∗)
tenemos por definici´on que ax
= N, elevando esto a la n
tenemos, (ax
)n
= Nn
entonces anx
= Nn
transformando el
exponente de a convenientemente, (am
)
n
m
x
= Nn
,
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55. Propiedad
Logaritmo potencias
Sean a, N > 0, a = 1 y n, m ∈ R
logam Nn
=
n
m
loga N
Demostraci´on: Haciendo,
loga N = x , (∗)
tenemos por definici´on que ax
= N, elevando esto a la n
tenemos, (ax
)n
= Nn
entonces anx
= Nn
transformando el
exponente de a convenientemente, (am
)
n
m
x
= Nn
, luego por
definici´on tenemos que
logam Nn
=
n
m
x
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56. Propiedad
Logaritmo potencias
Sean a, N > 0, a = 1 y n, m ∈ R
logam Nn
=
n
m
loga N
Demostraci´on: Haciendo,
loga N = x , (∗)
tenemos por definici´on que ax
= N, elevando esto a la n
tenemos, (ax
)n
= Nn
entonces anx
= Nn
transformando el
exponente de a convenientemente, (am
)
n
m
x
= Nn
, luego por
definici´on tenemos que
logam Nn
=
n
m
x =
n
m
loga N
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57. Casos particulares
Sean a, N > 0, a = 1 y n ∈ R
loga Nn
= n loga N
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58. Casos particulares
Sean a, N > 0, a = 1 y n ∈ R
loga Nn
= n loga N
Sean a, N > 0, a = 1 y m ∈ R
logam N =
1
m
loga N
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59. Casos particulares
Sean a, N > 0, a = 1 y n ∈ R
loga Nn
= n loga N
Sean a, N > 0, a = 1 y m ∈ R
logam N =
1
m
loga N
Sean a, N > 0, a = 1 y m ∈ R
logam Nm
=
¨¨m
¨¨m
loga N = loga N
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60. Ejemplos
Hallar
log16 1024
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61. Ejemplos
Hallar
log16 1024 = log24 210
=
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

62. Ejemplos
Hallar
log16 1024 = log24 210
=
10
4
log2 2
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63. Ejemplos
Hallar
log16 1024 = log24 210
=
10
4
log2 2 =
5
2
.
log 3√
9 3
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

64. Ejemplos
Hallar
log16 1024 = log24 210
=
10
4
log2 2 =
5
2
.
log 3√
9 3 = log
( 3√
9)
3 33
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

65. Ejemplos
Hallar
log16 1024 = log24 210
=
10
4
log2 2 =
5
2
.
log 3√
9 3 = log
( 3√
9)
3 33
= log9 33
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

66. Ejemplos
Hallar
log16 1024 = log24 210
=
10
4
log2 2 =
5
2
.
log 3√
9 3 = log
( 3√
9)
3 33
= log9 33
= log32 33
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

67. Ejemplos
Hallar
log16 1024 = log24 210
=
10
4
log2 2 =
5
2
.
log 3√
9 3 = log
( 3√
9)
3 33
= log9 33
= log32 33
= 3
2
log3 3
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

68. Ejemplos
Hallar
log16 1024 = log24 210
=
10
4
log2 2 =
5
2
.
log 3√
9 3 = log
( 3√
9)
3 33
= log9 33
= log32 33
= 3
2
log3 3 3
2
.
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69. Cambio de base
Cambio de base
Sean a, b, N > 0 y a, b = 1
loga N =
logb N
logb a
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70. Cambio de base
Cambio de base
Sean a, b, N > 0 y a, b = 1
loga N =
logb N
logb a
Demostraci´on: Ser´a una combinaci´on de propiedades.
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71. Cambio de base
Cambio de base
Sean a, b, N > 0 y a, b = 1
loga N =
logb N
logb a
Demostraci´on: Ser´a una combinaci´on de propiedades. Por
la primera propiedad sabemos que
aloga N
= N
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

72. Cambio de base
Cambio de base
Sean a, b, N > 0 y a, b = 1
loga N =
logb N
logb a
Demostraci´on: Ser´a una combinaci´on de propiedades. Por
la primera propiedad sabemos que
aloga N
= N ⇔ logb aloga N
= logb N
luego
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73. Cambio de base
Cambio de base
Sean a, b, N > 0 y a, b = 1
loga N =
logb N
logb a
Demostraci´on: Ser´a una combinaci´on de propiedades. Por
la primera propiedad sabemos que
aloga N
= N ⇔ logb aloga N
= logb N
luego
loga N × logb a = logb N
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

74. Cambio de base
Cambio de base
Sean a, b, N > 0 y a, b = 1
loga N =
logb N
logb a
Demostraci´on: Ser´a una combinaci´on de propiedades. Por
la primera propiedad sabemos que
aloga N
= N ⇔ logb aloga N
= logb N
luego
loga N × logb a = logb N
despejando tenemos
loga N =
logb N
logb a
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75. Ejercicio
Si z es una soluci´on de la ecuaci´on
log4[log3(log2 x)] = 0
entonces el valor de z2
+ 2z + 1 es
Alvaro M. Naupay Gusukuma Logaritmos

76. Ejercicio
Si z es una soluci´on de la ecuaci´on
log4[log3(log2 x)] = 0
entonces el valor de z2
+ 2z + 1 es
Rpt.- 81
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77. Problema
Se˜nale el producto de las ra´ıces de la ecuaci´on:
3 logx 2 = 5 log2 x
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78. Problema
Se˜nale el producto de las ra´ıces de la ecuaci´on:
3 logx 2 = 5 log2 x
Rpt.- 1
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79. Problema
Resolver:
log4x 256 + logx
1
4
−
2
3
= 0
indicar el producto de sus soluciones.
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80. Problema
Resolver:
log4x 256 + logx
1
4
−
2
3
= 0
indicar el producto de sus soluciones.
Rpt.- 128
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81. Problema
La suma de los cuadrados de las soluciones de la ecuaci´on:
log3(3x2
+ 2x + 11) = 3
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82. Problema
Si
6log2 3
+ 10log x
= 3log2 6
+ log√
x x
el valor de x es
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83. Problema
Si
6log2 3
+ 10log x
= 3log2 6
+ log√
x x
el valor de x es
Rpt.- x = 2
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84. Problema
Hallar la suma de todas las soluciones de la siguiente ecuaci´on
log2 x(log2 x − 4) = log2 x − 6
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85. Problema
Hallar la suma de todas las soluciones de la siguiente ecuaci´on
log2 x(log2 x − 4) = log2 x − 6
Rpt.- 12
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86. Problema
Hallar las ra´ıces en la siguiente ecuaci´on:
log x = log
√
x .
Donde log es el logaritmo en base 10
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87. Problema
Hallar las ra´ıces en la siguiente ecuaci´on:
log x = log
√
x .
Donde log es el logaritmo en base 10
Rpt.- x = 1 o x = 104
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88. Problema
El conjunto de soluciones reales de la ecuaci´on
10000log x
− 4 × 100log x
+ 4 = 0
es
A)∅ B){
√
2} C){1;
√
2}
D){−
√
2;
√
2} E){1;
√
2; −
√
2}
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