Funciones elementales

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Funciones elementales

  1. 1. Funciones elementales
  2. 2. FUNCIÓN LINEAL Ecuación de la Recta.
  3. 3. PENDIENTE DE UNA RECTA x y ● ● B . A
  4. 4. Distancia entre dos puntos de una Recta (d). Distancia de un Punto a una Recta. ● L d Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0
  5. 5. Ángulo entre dos Rectas ( ) .
  6. 6. Si las rectas son paralelas: Si las rectas son perpendiculares:
  7. 7. Proporcionalidad entre segmentos en una Recta. A B P P ε al segmento AB y además AP=r PB. C D Además utilizando la semejanza de triángulos rectángulos entre ACP y PEB : E
  8. 8. Despejando x : De la misma manera con y : Si r = 1 , encontramos que las coordenadas de P , corresponden a : Por lo tanto: P es punto medio. ;
  9. 9. PROBLEMAS 1.Determine el valor de la pendiente de la recta que contiene a los puntos dados. i) (2 , 3 ) y ( 4 , 8 ) ii) ( 2 , -4 ) y ( 0 , -8 ). Resolución.
  10. 10. 2. Halle la ecuación para cada recta . Escribe después su respuesta en la forma A x+B y+C=0. i) Pasa por (2,3) con pendiente 4. ii) Con ordenada al origen 5 y pendiente 0. iii) Pasa por (2,-3) y (2,5). Resolución.
  11. 11. ii) Se conoce la pendiente: m = 0 y b =5 , y la forma de la recta , entonces : , que es la ecuación de una recta horizontal . Se pide expresarla en la forma: . También se puede usar la forma punto pendiente: Considerando:
  12. 12. iii)
  13. 13. . Y = f (x) = a x 2 + b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠0. Completando cuadrados : y = a ( x- h ) 2 + k , donde ( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice de la parábola. : Corta al eje x en dos puntos (dos raíces reales y diferentes) La ecuación del eje de simetría (recta vertical) , corresponde a : x y Eje de Simetría x=h FUNCIÓN CUADRÁTICA V : (h ,k) V =Vértice x 1 x 2 Las raíces son x 1 y x 2 . parábola El valor mínimo de la función: También : Y min = k a > 0 = b 2 - 4 a c > 0 V h =- (b)/(2a) = ( x 1 +x 2 )/2 ; k = f (h).
  14. 14. ii) = b 2 - 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un punto (dos raíces reales e iguales). x y X =h iii) =b 2 -4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x. x y Existen dos raíces complejas y conjugadas No existen soluciones reales
  15. 15. FUNCIÓN CONSTANTE Sea la recta de ecuación : .Si se considera , su gráfica es : x y y=k Dominio : Reales Rango : { k } L Recta Horizontal
  16. 16. k 90º Si en la ecuación se considera : su gráfica es: x y x=k : Recta Vertical. No es una función. L Dominio : { k } Rango : Reales
  17. 17. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO +x +y Simetría con respecto al eje y (recta: x=0) (0 ,0)
  18. 18. FUNCIÓN EXPONENCIAL +x +y y = a x y = a x +x +y (0 ,1) (0 ,1) Las Gráficas no cortan al eje x Decreciente Creciente
  19. 19. FUNCIÓN LOGARITMO +x +x +y +y (1,0) b > 1 (1,0) 0< b <1 Creciente Decreciente
  20. 20. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA +x +y (0,0) Creciente
  21. 21. FUNCIÓN RECÍPROCA +x +y El nombre de la gráfica es hipérbola equilátera. No corta al eje x e y. Simetría con respecto al origen : Función impar (0,0) Decreciente. Decreciente.
  22. 22. FUNCIÓN : Y=(2/X) . D0MINIO : R - {0}. RANGO: R - {0}. NO CORTA AL EJE X e Y. SIMETRÍA RESPECTO AL ORIGEN : FUNCIÓN IMPAR. SIEMPRE DECRECIENTE. +X +Y HIPÉRBOLA EQUILÁTERA I III I y III : CUADRANTES X=0 : Asíntota Vertical. Y=0 : Asíntota Horizontal.
  23. 23. FUNCIÓN IDENTIDAD Dominio: Reales. Rango : Reales. Simetría con respecto al origen (Función Impar). Bisectriz de los cuadrantes l y lll . Función Creciente. y=x Siempre pasa por el punto ( 0,0) l lll l y lll :Cuadrantes Ejemplo Dominio:[-8,8] Rango :[-8,8]
  24. 24. FUNCIÓN CÚBICA Dominio : Reales. Rango: Reales. Función Creciente. Simetría con respecto al origen (función impar). Pasa por (0,0). y=x 3 Ejemplo Dominio:[-3,3] Rango : [-27,27] I III I y III: Cuadrantes
  25. 25. FUNCIONES RACIONALES Es una función de la forma : donde P y Q son funciones polinomiales y Q no es el polinomio cero . El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos donde el denominador Q es cero . Ejemplos :
  26. 26. Ejemplo. Graficar . Operaciones: Función racional propia Igualando el denominador a cero: x 2 -1 = 0 , entonces: x = 1 y x = -1. Dominio: R - { -1 , 1 } Rango: Reales. Función Decreciente. Asíntota vertical : x =-1 y x= 1. Asíntota horizontal: y = 0. Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ). Decreciente Decreciente Ejemplo Decreciente y=0 x=-1 x=1 Decreciente
  27. 27. Ejemplo. Graficar . Al dividir obtenemos : Decreciente Decreciente x=1 y=2
  28. 28. Ejemplo. Graficar: . Operaciones: Es una función racional impropia. y=x-1 x=-1 Decreciente Creciente Creciente

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