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Portafolio algebra

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  • 1. Módulo Algebra Página 1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL MIGUEL FUELTALA PARALELO: “B” Ing. Oscar René Lomas Reyes Marzo 2013 – Agosto 2013
  • 2. Módulo Algebra Página 2 Contenido INTRODUCCIÓN............................................................................................................................3 OBJETIVOS................................................................................................................................4 CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ....................................................................................5 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................6 EXPONENTES Y RADICALES.......................................................................................................7 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.....................................................................................................9 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?......................................................................................................11 Partes de una ecuación ..........................................................................................................11 ¡Exponente!............................................................................................................................12 PRODUCTOS NOTABLES .........................................................................................................13 FACTORIZACIÓN .....................................................................................................................15 FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO..................................................................................16 ECUACIONES LINEALES...........................................................................................................16 SILABO........................................................................................................................................18
  • 3. Módulo Algebra Página 3 INTRODUCCIÓN El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica. El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros símbolos son usados para representar números desconocidos. Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a ambos lados del signo igual (=), así: x - 5 = 2 x - 5 + 5 = 2 + 5 x + 0 = 7 x = 7 (la respuesta) Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos, negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.
  • 4. Módulo Algebra Página 4 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL  Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Elaborar el portafolio estudiantil  Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para la evaluación.  Trabajar en forma grupal en la recolección de la información
  • 5. Módulo Algebra Página 5 CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o números naturales. Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…) Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3…… forman el conjunto de los enteros. Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…) El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es aquél que puede escribirse como donde p y q son enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es racional. Los números que se representan mediante decimales no periódicos que terminan se conocen como números irracionales. Los números y √ son ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas
  • 6. Módulo Algebra Página 6 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número son iguales entre sí. Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real. Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden. Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden. ( ) ( ) ( ) ( ) Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que para todo número real a. Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número real denotado poa –a ( ) Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos. ( ) ( )
  • 7. Módulo Algebra Página 7 EXPONENTES Y RADICALES Exponentes Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base. Por ejemplo:  b es el valor base y -5 es el exponente  -2 es el valor base y 7 es el exponente Leyes de los exponentes ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RADICALES La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”. √ n = índice x = radicando y = raíz
  • 8. Módulo Algebra Página 8 √ =signo radical Leyes radicales √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( √ )
  • 9. Módulo Algebra Página 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones aritméticas. Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término: Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos: Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos. Ejemplo: Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios. Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.
  • 10. Módulo Algebra Página 10 Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes. Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los productos parciales con sus propios signos. División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.
  • 11. Módulo Algebra Página 11 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo: x + 2 = 6 Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6) Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello" Partes de una ecuación Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes: Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un número solo se llama una constante. Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente) Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).
  • 12. Módulo Algebra Página 12 Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos. Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -) Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?" ¡Exponente! El exponente (como el 2 en x2 ) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación. Ejemplos: 82 = 8 × 8 = 64 y3 = y × y × y y2 z = y × y × z Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones Ejemplo: y4 z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz
  • 13. Módulo Algebra Página 13 PRODUCTOS NOTABLES Binomio al cuadrado Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9 Suma por diferencia Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) · (a − b) = a2 − b2 (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25 Binomio al cubo Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = = x 3 + 9x2 + 27x + 27
  • 14. Módulo Algebra Página 14 Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = = (x2 )2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 = = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x = = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2 ) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2 ) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x2 + 5x + 6
  • 15. Módulo Algebra Página 15 FACTORIZACIÓN Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples. Factorización por factor común. Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común. ( ) ( ) Factorización de una diferencia de cuadros. Se sabe que: ( )( ) ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados. ( )( ) Factorización de un cuadrado perfecto Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado: ( )( ) Factorización de una suma o diferencia de cubos Se sabe que: ( )( ) ( )( ) Factorización de cubos perfectos de binomios. ( ) ( )
  • 16. Módulo Algebra Página 16 FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común. Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión. ( ) ( ) ( )( ) FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA ( )( ) ( )( ) ECUACIONES LINEALES Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) Ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). Para proceder a la resolución se debe: Eliminar paréntesis. Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro. Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo: 4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
  • 17. Módulo Algebra Página 17 –35x = 182 b) Ecuaciones Fraccionarias En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: C . ECUACIONES LITERALES Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
  • 18. Módulo Algebra Página 18 SILABO I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos científicos y tecnológicos; comprometida con la investigación y la solución de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integración fronteriza La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la producción, transformación, investigación y dinamización del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA Ser una Universidad Politécnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria. ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE- UNESCO SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE- UNESCO Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca. II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: CÓDIGO NIVEL PRIMERO DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing. TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec
  • 19. Módulo Algebra Página 19 oscarlomasreyes@yahoo.es CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3 HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48 PRE-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) CÓDIGOS 1. Nivelación Aprobada CO-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS 1. Física Aplicada 1 EJE DE FORMACIÓN: (En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL ÁREA DE FORMACIÓN: (En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola LIBRO(S) BASE DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio ) Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México LIBRO(S) REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio)  Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.  Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia  Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.  Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
  • 20. Módulo Algebra Página 20  Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.  http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012.  Sectormatematica.cl, Programas Gratis.  http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012  Manual_Razonamiento_Matemático.pdf DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO: (Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos. III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA). Escaso razonamiento lógico matemático Competencia GENÉRICA - UPEC: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO) Desarrollar el pensamiento lógico Competencia GLOBAL - ESCUELA: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA) Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO: (Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL) Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas
  • 21. Módulo Algebra Página 21 para plantear y resolver problemas del entorno. NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVO LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías El estudiante es capaz de: DIMENSIÓN (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) 1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO CREAR Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 1. FACTUAL.- Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. CONCEPTUAL.- Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
  • 22. Módulo Algebra Página 22 permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.- Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 4. METACOGNITIVO.- Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento. Trabajo interdisciplinar: (Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA). Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.
  • 23. Módulo Algebra Página 23 IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) El estudiante será capaz de CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Estrategias, métodos y técnicas HORAS CLASE COGNITIVOS ¿Qué TIENE que saber? PROCEDIMENTALES ¿Saber cómo TIENE que aplicar el conocimiento? AFECTIVO MOTIVACIONALES ¿Saber qué y cómo TIENE actuar axiológicamente? T P Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Sistema de Números Reales Recta de números Reales Operaciones Binarias Potenciación y Radicación Propiedades fundamentales Aplicaciones Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos Relacionar en la uve heurística Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación Hacer síntesis gráfica Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales Disposición para trabajar en equipo Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica Aceptar opiniones diferentes Potenciar el clima positivo Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente DEMOSTRAR. 1. Caracterizar los números reales para la demostración 2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. Determinación del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución. 2 4
  • 24. Módulo Algebra Página 24 Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Expresiones algebraicas: nomenclatura y clasificación. Polinomios clasificación. Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división. Productos notables. Descomposición Factorial Aplicar operaciones mentales Identificar los diferentes tipos polinomios Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones. Identificar los diferentes tipos de productos notables Resolver ejercicios Aceptar opiniones divergentes Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo Potenciar la resolución de problemas Valorar las participaciones de los demás Demostrar grado por lo que hacemos INDUCTIVO-DEDUCTIVO INDUCTIVO 1.Observación 2. Experimentación. 3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.) 4. Dramatización. 5. Resolución de problemas. 6. comprobación. 7. Asociación (especial temporal y casual) 8. Abstracción. 9. Generalización. 10. Resúmenes. 11. Ejercicios de fijación. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. Determinación del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, 2 4
  • 25. Módulo Algebra Página 25 socializar la solución. Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Máximo común divisor de polinomios. Mínimo común múltiplos de polinomios. Operaciones con fracciones. Aplicaciones Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas. Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos Distinguir los componentes de las expresiones racionales Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema. Cooperar en el desarrollo del conocimiento. Demostrar confianza en el desarrollo del proceso. Cooperar con el grupo en la resolución de funciones. RAZONAR 1. Determinar las premisas. 2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio. 3. Elaborar las conclusiones. RELACIONAR. 1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar. 2. Determinar los criterios de relación entre los objetos 3 6 Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Ecuaciones lineales, resolución Sistemas lineales y clasificación. Resolución de ecuaciones lineales. Aplicaciones Plantear ecuaciones lineales. Identificar los sistemas líneas y su clasificación Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales. Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas. Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo Respetar las opiniones del grupo y fuera de él. Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante. EXPOSICION PROBLEMICA. 1. Determinar el problema. 2. Realizar el encuadre del problema. 3. Comunicar el conocimiento. 4. Formulación de la hipótesis. 5. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones) 3 6 Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Definición y clasificación. Ecuaciones reducibles a cuadráticas Resolución de ecuaciones Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas Resolver ejercicios sobre Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo. Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados EXPOSICIÓN PROBLEMICA 1. Determinar el problema 2. Realizar el encuadre del problema 3. Comunicar el 3 6
  • 26. Módulo Algebra Página 26 cuadráticas por factoreo. Resolución por completación de un trinomio cuadrado. expresiones cuadráticas Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos. conocimiento (conferencia ,video ) 4. Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes) Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Aplicaciones de la ecuación cuadrática. Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas Distinguir los componentes de las expresiones racionales Valorar la creatividad de los demás Respetar el criterio del grupo. 1. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 2. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones) 3 6
  • 27. Módulo Algebra Página 27 V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados DIMENSIÓN (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA descripción TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de EVALUACIÓN 1° PARCIA L 2° PARCIA L 3° PARCIA L SUPLETORI O Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. FACTUAL. Interpretar información. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Documento Documento Documento Chat-Foro 10% 10% 10% 10%
  • 28. Módulo Algebra Página 28 Pruebas Portafolio Reactivos Documento 50% 10% 100% Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% 100% Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseño. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 5% 5% 5% 5% 25% 5% Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. FACTUAL. CONCEPTUAL. PROCESAL METACOGNITIVO Interpretar información. Modelar, simular sistemas complejos. Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 5% 5% 5% 5% 25% 5% 100% ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable
  • 29. Módulo Algebra Página 29 Nivel ponderado de aspiración y alcance 8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable
  • 30. Módulo Algebra Página 30 VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE HORAS AUTÓNO MAS INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO T P Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos. Prueba Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales. 2 4 Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio. Grado de un polinomio y su ordenamiento Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Identifica los tipos de polinomios 2 4 Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales 3 6 Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Dar solución a ecuaciones de primer grado Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6
  • 31. Módulo Algebra Página 31 Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas. Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas 3 6 Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 3 6 PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel ) TOTAL 16 32 CRÉDITOS 1 2 3
  • 32. Módulo Algebra Página 32 VII. Bibliografía. BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)  Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)  Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.  Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia  Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.  Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.  Sánchez A. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.  http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012.  Sectormatematica.cl, Programas Gratis.  http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012  Manual_Razonamiento_Matemático.pdf DOCENTES: Firma: Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing. ENTREGADO: Marzo 2013
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  • 40. Módulo Algebra Página 40 EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: SUMAS Y RESTAS EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS EJEMPLO 1: (Suma de fracciones con igual denominador) 3 Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma de fracciones numéricas de igual denominador. Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2. EJEMPLO 2: (Resta de fracciones con igual denominador)
  • 41. Módulo Algebra Página 41 Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores. Si el segundo numerador tiene más de un término, hay que ponerlo entre paréntesis para restarlo, ya que es signo menos afectará a todos los términos. EJEMPLO 3: (Con denominadores distintos) En este ejemplo el denominador común es el producto de los dos denominadores. Luego se procede como en la suma de fracciones numéricas: se divide al denominador común por el denominador de la primera fracción, y al resultado se lo multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción. Y luego se trabaja en el numerador para llegar a la mínima expresión. No siempre el denominador común es el producto de los dos denominadores. En realidad hay que buscar el mínimo común múltiplo entre ellos. Pero, en ejemplos como éste, el m.c.m es el produco de los denominadores. En los siguientes ejemplos se verá cómo calcular el m.c.m. en todos los otros casos. Para una explicación detallada de este ejemplo entrar en el siguiente enlace: EJEMPLO 4: (Con denominadores factorizables)
  • 42. Módulo Algebra Página 42 Primero hay que factorizar los denominadores que se puedan. El denominador común va a ser el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones, como en la suma o resta de fracciones numéricas. El m.c.m. entre polinomios se calcula de la misma forma que el m.c.m entre números: es el producto de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevados a la mayor potencia con que aparecen. EJEMPLO 5: EJEMPLO 6:
  • 43. Módulo Algebra Página 43
  • 44. Módulo Algebra Página 44 REACTIVOS ALGEBRA Miguel Fueltala Primero: “B” 1.- Una persona hace las partes de un viaje en tren, los del resto en coche y los 26 Km. que quedan en bicicleta. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido? Solución: x=13 kilómetros 2.- Si a es la mitad de b y b es igual a 4, entonces, el doble de a mas el triple de b es: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 3.- Un almacén distribuye computadores de dos marcas (1 y 2). Durante el mes de diciembre uno de sus vendedores vendió 60 computadores. Por cada tres computadores de la marca 1 vendió dos de la marca 2. Si recibió una comisión de$10.000 por cada computador de la marca 1 y una comisión de $20.000 por cada computador de la marca 2, la comisión total que recibió en el mes de diciembre fue a). $60.000 b) $120.000 c) $840.000 d) $720.000 4.- Marisa tiene 5 años más que su hermana Esther y cuando Esther tenga los años que ahora tiene Marisa las edades de ambas sumaran 35 años ¿Qué edad tiene cada una ahora? Ahora Marisa x+5 x+10 Esther x x+5 x+10+x+5=35 solución x=10 Matisa 15 años y Esther 10 años
  • 45. Módulo Algebra Página 45 5.- La racionalización del denominador es: a) Fracción equivalente sin radical b) Número igual sin radical c) Número elevado al equivalente del radical. REACTIVOS ECONOMIA 1.- Ud. está planeando hacer un viaje de 1.000 kilómetros al norte del país. Le da completamente igual ir en automóvil que en autobús, con la excepción del costo. El billete de autobús vale$260. Los costos que origina su automóvil en un año normal en el que recorra 10.000 kilómetros son los siguientes: Seguro: 1.000 Intereses: 2.000 Gasolina y aceite: 1.200 Neumáticos: 200 Permiso y matriculación: 50 Mantenimientos: 1.100 TOTAL en $: 5.550 ¿Debe ir en automóvil o en auto? Respuesta: Hay costos hundidos (irrecuperables) que son el seguro, los intereses, el permiso y matriculación. Los costos que sólo se incurren si se usa el auto son gasolina, aceite, neumáticos y mantenimientos. Estos suman $2.500 por 10.000 kms. Si recorre 1.000 kms serán de 250. Por lo tanto, si es racional, debe decidir ir en auto. 2.- Considere un país donde una firma está dispuesta a producir bufandas a través de la siguiente curva de oferta: PX = 2X. Por otro lado la demanda de mercado estaría compuesta por: X = 90- PX a) Encuentre el equilibrio correspondiente. Respuesta: Igualando oferta con demanda se tiene: Px/2= 90-Px Px= 60 y X= 30
  • 46. Módulo Algebra Página 46 3.- Si la elasticidad precio de la demanda es 2 y actualmente se vende 100 unidades al precio de $ 20, ¿Cuántas unidades se venderá al precio de $ 21? Respalde su respuesta con los respectivos cálculos. Solución: Sustituyendo los valores en la fórmula de la elasticidad precio de la demanda: ((x - 100) / (x + 100)) / ((21 - 20) / (21 + 20)) = -2 ((x - 100) / (x+100)) / (1 / 41) = -2 41(x - 100) / (x + 100) = -2 41x - 4100 = -2(x + 100) 41x - 4100 = -2x - 200 41x + 2x = -200 + 4100 43x = 3800 x = 3800/43 x = 88.37 Se vendería la cantidad de 88.37. 4.- Considera el ejemplo siguiente M = 400 V = 12 P = 5 a) ¿Qué nivel de producto físico es compatible con estos datos si queremos que los datos no cambien? b) Si la demanda de dinero es de $500.00 cuando se produce el producto de pleno empleo y los precios son 5. ¿Cuál es la situación de desequilibrio (oferta < ó > demanda) en los mercados de bienes y servicios y de dinero? ¿Cuál es el nivel de precios compatible con el pleno empleo? ) ( ) 960 es el nivel de producción de equilibrio ) ( ) ( ) El producto de pleno empleo es de 1200 cuando los precios son $5 y la demanda de dinero es de $500 La de creación de empleo La de obtención del máximo beneficio para el accionista La de producir la mayor cantidad de productos posible La de producir los bienes y servicios necesarios para satisfacer las necesidades humanas.
  • 47. Módulo Algebra Página 47 EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
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  • 52. Módulo Algebra Página 52 Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2 +bx+c=0, donde a, b y c son constantes reales y a 0.Para resolverla existen diferentes métodos, los cuales revisaremos a través de algunos ejemplos. 1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS i.- Por factorización: Resolver la ecuación: x2 - 12x - 28 = 0 Factorizamos el trinomio recordando el producto de binomios con un término común, es decir, buscando dos números cuyo producto sea –28 y cuya suma sea –12; estos números son -14 y 2, y la factorización es: (x - 14)(x + 2) = 0 Por lo tanto, las soluciones son X1 = 14 y X2 = -2 ii.- Utilizando la fórmula de resolución: Para resolver la ecuación cuadrática: ax2 +bx+c=0,podemos utilizar la fórmula: Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 – 10x +24 = 0 Solución: Primero identificamos los coeficientes a, b y c y luego los reemplazamos en la fórmula: a = 1; b = -10 y c = 24 iii.- Por completación de cuadrados Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0 Solución: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) 2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, despejaremos los términos que contienen x y sumaremos 9 a ambos lados de la igualdad para formar el cuadrado de binomio:
  • 53. Módulo Algebra Página 53 x2 – 6x + 8 = 0 /-8 x2 – 6x = -8 /+9 x2 - 6x + 9 = -8 + 9 (x – 3) 2 = 1 De la última igualdad se deduce que x –3 = 1 ó x – 3 = -1, por lo tanto X1 = 4 ó X2 = 2 2. PLANTEO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS En el primer módulo vimos algunas resoluciones de problemas utilizando ecuaciones de primer grado. Ahora veremos algunos problemas cuyos planteamientos conducen a ecuaciones cuadráticas. Ejemplo 1: Determinar un número entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado del número aumentado en 5. Solución: Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 = x2 + 5 Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática: 3x2 – 4x – 4 = 0 Ahora utilizamos la fórmula, con a = 3 , b = -4 y c = -4 Luego, las soluciones de la ecuación son X1 = y X2 = 2. Pero el número que estamos buscando debe ser entero, por lo tanto, la solución es x = 2. Ejemplo 2: Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura? Solución: Sea x la base del triángulo y x + 2 su altura, entonces su área es: =24 cm2 A partir de esta igualdad formamos la ecuación de segundo grado. Ahora resolvemos esta ecuación por factorización. (x + 8) (x - 6)=0
  • 54. Módulo Algebra Página 54 Finalmente, como x es la base del triángulo, su valor debe ser positivo, es decir, la solución que nos sirve es x2 = 6 y comó la pregunta del problema es la altura del triángulo, entonces la respuesta es x + 2= 8cm 3. NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Hemos visto que las soluciones de la ecuación cuadrática: ax2 +bx+c=0 se pueden obtener a través de la fórmula: La cantidad subradical:  = b2 –4ac se llama discriminante, y nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática: - Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales; - Si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales. - Si es positivo, las soluciones serían dos números reales y distintos. Ejemplo: ¿Cuánto debe valer p para que las soluciones de la ecuación: x2 – (p+3)x + 9 = 0 sean reales e iguales? Solución: Como las soluciones deben ser reales e iguales el discriminante debe ser igual a cero, entonces identificamos los coeficientes a, b y c y los reemplazamos en la fórmula de : a = 1 ; b = -(p + 3) ; c = 9 (-(p + 3)) 2 – 4 .• 1 .• 9 = 0 p2 + 6p – 27 = 0
  • 55. Módulo Algebra Página 55 (p+9) (p-3)=0 P1 = -9 ó P2 = 3 4. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Sean x1 y x2 las soluciones de la ecuación: ax2 +bx+c=0. Si , entonces: - Suma de las raíces:
  • 56. Módulo Algebra Página 56 Una ecuación cuadrática en una variable es de la forma: La máxima cantidad de soluciones reales o diferentes valores reales que puede asumir la variable x en una ecuación cuadrática es dos como lo indica su grado. Hay distintos métodos que pueden ser utilizados para hallar sus soluciones, los mismos son aplicados de acuerdo a la composición que tenga la ecuación cuadrática que se esté trabajado. Discutiremos tres distintos métodos: Método de la raíz, Método de Completar el cuadrado y la Fórmula Cuadrática. I. Método de la raíz El método de la raíz se le puede aplicar a todas aquellas ecuaciones cuadráticas que tan sólo tengan un término con variable y sea el cuadrático, de haber varios términos cuadráticos tienen que ser semejantes. Si al simplificar la ecuación, quedan términos lineales entonces no es aplicable el método. Ejemplo 1: A cuáles de las siguientes ecuaciones cuadráticas le podemos aplicar el Método de la raíz. 1. 3X – 7X2 = 9 2. (X-1)2 + 6 = 9 3. (3X+1)2 - 6 = 5 + (X- 4)2 4. (3X+1)2 = 4 - 9(3X+1)2 Respuestas: 1. No, porque tiene término con variable lineal. 2. Sí, porque tiene un sólo término con variable cuadrático (elevado a la dos). 3. No, porque los términos cuadráticos no son semejantes. 4. Sí, porque los términos cuadráticos son semejantes. Pasos para resolver una ecuación cuadrática por el Método de la raíz 1. Rescribir la ecuación con el término cuadrático de un lado de la igualdad, del otro, las constantes. 2. Verificar cuál de los tres siguientes casos aplica: Caso 1: Dos soluciones complejas reales: (X-h)2 = k, k > 0 Caso 2: Una única solución real:
  • 57. Módulo Algebra Página 57 (X-h)2 = k, k = 0 Caso 3: Ninguna solución real: (X-h)2 = k, k < 0 3. Verificar que el coeficiente numérico de la variable sea 1, de no serlo divida todos los términos de la ecuación entre tal coeficiente.* 4. Aplique la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad y simplifique (recuerde añadir el signo + y - del lado de las constantes). 5. Divida su resultado en dos diferentes casos, uno usando la suma (+) y el otro usando la resta (-), si aplica, y resuelva cada ecuación hasta dejar la variable sola. 6. Verifique sus soluciones en la ecuación original y concluya su conjunto solución. ( opcional) Veamos los siguientes ejemplos... Verificación:
  • 58. Módulo Algebra Página 58 Conclusión: las dos distintas soluciones reales de la ecuación son -7 y -3.
  • 59. Módulo Algebra Página 59 Conjunto solución de la ecuación: Verificación El conjunto solución de la ecuación es único, x = -5. Verificación
  • 60. Módulo Algebra Página 60 El conjunto solución de la ecuación en los números complejos-reales es nulo, bajo el conjunto de los números complejos es x = -2i y x = 2i. Verificación II. Método de Completar el Cuadrado Para poder utilizar el Método de Completar el Cuadrado la ecuación cuadrática debe tener término lineal bx, b no puede ser cero, de lo contrario no lo podemos aplicar. Ejemplo: Determine cuál de las siguientes ecuaciones puede ser trabajada por el Método de Completar el Cuadrado: Este método tiene el objetivo de obtener una ecuación equivalente que contenga un trinomio cuadrado perfecto (trinomio cuya factorización tiene dos paréntesis idénticos). La ecuación queda de la forma: para luego resolver por el Método de la raíz. Pasos para aplicar el Método de Completar el Cuadrado 1) Rescriba la ecuación con los términos con variables de un lado, simplificados y ordenados, del otro la constante. 2) Asegúrese que a sea 1, de no serlo divida todos los términos entre a y simplifique.
  • 61. Módulo Algebra Página 61 3) Determine b y con el calcule y sume tal resultado en ambos lados de la ecuación. 4) Factorice el trinomio como un Trinomio Cuadrado Perfecto de la forma: 5) Resuelva la ecuación por el método de la raíz 6) Verifique y concluya su conjunto solución. Veamos los siguientes ejemplos: Conjunto solución de la ecuación: {-1, 5} Verificación
  • 62. Módulo Algebra Página 62 Conjunto solución de la ecuación es: . Verificación. III. Fórmula Cuadrática La Fórmula Cuadrática puede ser aplicada a toda ecuación cuadrática.
  • 63. Módulo Algebra Página 63 Este es el único método que no tiene restricciones en su aplicación, contrario a los métodos ya discutidos. Al igual que el método de factorización este requiere tener todo el polinomio de un lado, del otro cero, para así poder determinar con precision , los correspondientes valores de los coeficientes numérico en cada término del polinomio para luego sustituirlos en la estructura de la Fórmula Cuadrática: Es importante apreciar que en la fórmula se sustituyen solo los coeficientes numéricos (no las variables). La variable es precisamente la desconocida que estamos buscando, que asumirá los valores obtenidos de la sustitución y simplificación en la fórmula cuadrática. Pasos para resolver la ecuación usando la Fórmula Cuadrática 1) Rescriba la ecuación con todos los términos de un lado de la igualdad, simplificados y ordenados, del otro cero así: 2) Determine los valores de los coeficientes numéricos. Para facilitar los cálculos en la sustitución en caso de estos ser fracciones o decimales puede rescribir la ecuación por una equivalente más simple. 3) Sustituir los valores de (sin la variable) en la Fórmula Cuadrática: Y simplifique (recuerde separar en dos ecuaciones, si aplica, una usando la operación resta y otra la operación suma).
  • 64. Módulo Algebra Página 64 4) Verifique los valores obtenidos en la ecuación original y concluya su conjunto solución. Paso 4: Conjunto solución de la ecuación: Verificación. Cantidad soluciones reales de una ecuación cuadrática: Para determinar la cantidad de soluciones reales o raíces que ha de tener una ecuación cuadrática se utiliza los resultados que se obtienen de la evaluación del radicando
  • 65. Módulo Algebra Página 65 de la fórmula cuadrática, este se conoce como discriminante. Depende el valor del discriminante podemos saber si tendrá raíz cuadrada perfecta, raíces complejas imaginarias o una única solución real. Conclusiones: 1. Si entonces la ecuación cuadrática tiene una única solución real. 2. Si entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales. 3. Si entonces la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. Veamos los siguientes ejemplos:
  • 66. Módulo Algebra Página 66
  • 67. Módulo Algebra Página 67 GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS
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