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Num aureo
 

Num aureo

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    Num aureo Num aureo Document Transcript

    • Escuela Secundaria Técnica 118 “La Proporción Aurea y La Serie de Fibonnacci” Por: Manuel Lazcano Barrero 3oB Materia: Matemáticas III Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías Fecha: jueves, 25 de octubre del 2012 Ciclo escolar:2012-2013
    • ÍndiceÍndice---------------------------------------------------- P.2Introducción-------------------------------------------P.3La proporción aurea----------------------------------P.4La serie de Fibonnacci--------------------------------P.6Relación------------------------------------------------- P.8Relación con la naturaleza -------------------------P.9Conclusión----------------------------------------------P.10Actividad------------------------------------------------P.11Imágenes------------------------------------------------P.13 2 Introducción
    • En el presente trabajo se habla de la proporción aurea, la serie de Fibonnacci y surelación entre ellas y el mundo. 3 La proporción aurea
    • Es la división armónica de una recta en media y extrema razón. Es decir que elsegmento menor, es al segmento mayor, como éste es a la totalidad de la recta. Ocortar una línea en dos partes desiguales de manera que el segmento mayor sea a todala línea, como el menor es al mayor De esta manera se establece una relación detamaños con la misma proporcionalidad entre el todo dividido en mayor y menor, estoes un resultado similar a la media y extrema razón. Esta proporción o forma deseleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea, se adopta comosímbolo de la sección áurea (Æ ), y la representación en números de esta relación detamaños se llama número de oro = 1,618.A lo largo de la historia de las artes visuales, se han formulado diferentes teorías sobrela composición.Platón decía: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta unarelación entre ellas que los ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo. Lasuma de las partes como todo es la más perfecta relación de proporción. Vitruvioacepta el mismo principio pero dice la simetría consiste en el acuerdo de medidasentre los diversos elementos de la obra y estos con el conjunto, ideó una fórmulamatemática, para la división del espacio dentro de un dibujo, conocida como la secciónáurea, y se basaba en una proporción dada entre los lados más largos y los más cortosde un rectángulo. Dicha simetría está regida por un modulo o canon común: que es elnúmero.Los Egipcios descubrieron la proporción áurea por análisis y observación, buscandomedidas que les permitiera dividir la tierra de manera exacta, a partir del hombre,utilizando la mano, el brazo, hasta encontrar que media lo mismo de alto que de anchocon los brazos extendidos y encontraron que el ombligo establecía el punto de divisiónen su altura y esta misma ,se lograba de manera exacta, rebatiendo sobre la bases deun cuadrado, una diagonal trazada de la mitad de la base a una de sus aristas. Laproporción áurea, paso de Egipto a Grecia y de allí a Roma. Las más bellas esculturas yconstrucciones arquitectónicas están basadas en dichos cánones.Los griegos llamaban simetría a la cadena de relaciones de ritmo armónico, Pitagóricoy Platónico, adoptado para el arte del espacio, tomando como modelo o medida alhombreEuclídes en su obra: "Elementos", aparecen la primera fuente documental importantesobre la sección áurea, dedicando varias proposiciones a la división de una recta enmedia y extrema razón. Geométrica y algebraicamente es la partición asimétrica máslógica y más importante a causa de sus propiedades matemáticas y estéticas, razón porla cual fue llamada divina proporción, por el monje Boloñes Luca Paccioli, Es unaformula fría matemática que permite adaptarse al hombre y humanizarla, lo que hahecho su perennidad a través de los siglos. 4
    • 5La serie de Fibonnacci
    • El matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido como Fibonacci, sehizo famoso tanto por su gran contribución a la divulgación en Europa del sistemade numeración indo-arábigo que utilizamos hoy, como por el descubrimiento de unasucesión de números reales, que se conoce desde entonces con su nombre.Fibonacci presentó la sucesión en su obra Liber Abaci, en 1202, y manifiestahaberla encontrado al resolver el problema de la cría de conejos: "Cierto hombretenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y desea saber cuántos soncreados a partir de este par en un año, cuando es su naturaleza parir otro par enun simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".Siendo el periodo de gestación de unos 31-32 días, se trataría de conocer elnúmero de animales (parejas) que existirán a los 12 meses, suponiendo que sereproducen continuamente y cada pareja de conejos da lugar a una nueva pareja(macho y hembra). Cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes. Se tendría:Al comienzo del primer mes: 1 pareja (la pareja original que sesupone nace ahora).Al final del primer mes: 1 pareja que se cruza (la pareja quenace al comienzo del primer mes).Al final del segundo mes: 2 parejas (nace una pareja) y se vuelvea cruzar la primera pareja.Al final del tercer mes: 3 parejas (nace la tercera pareja) y se 6cruzan las dos preexistentes.
    • Al final del cuarto mes: 5 parejas (nacen dos parejas) y secruzan las tres preexistentes.Al final del quinto mes: 8 parejas (nacen tres parejas) y secruzan las cinco preexistentes.Al final del sexto mes: 13 parejas (nacen cinco parejas) y secruzan las ocho que existían.Al final del séptimo mes: 21 parejas (nacen ocho parejas) y secruzan las 13 preexistentes.Al final del octavo mes: 34 parejas (nacen 13 parejas más) y secruzan las 21 parejas que existían.Al final del décimo mes: 55 parejas (21 que nacen ahora más 4las 34 que ya existían).Al final del undécimo mes: 89 parejas que corresponden a las 55que existían más las 34 que nacenahora).Al final del duodécimo mes: 144 parejas que son la suma de las 89que existían mas 55 que nacen ahora. 7 Relación
    • Los números de Fibonacci tienen propiedades matemáticas interesantes, y muchasoperaciones aritméticas entre ellos vuelven a dar números de Fibonacci. Una de ellas,apuntada por el astrónomo Johannes Kepler es la siguiente: si vamos dividiendo entreellos números de Fibonacci consecutivos cada vez mayores, su cociente se acerca alvalor 1.618033... Esta constante se denomina número de oro, número áureo o divinaproporción, e históricamente se le han atribuido propiedades estéticas. Un rectángulocuyo lado menor esté en la misma proporción respecto al mayor, que el lado mayorrespecto a la suma de los dos lados, sigue las proporciones áureas. 8 Relación con la naturaleza
    • Los números de Fibonacci aparecen a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, se sabeque de los huevos que pone la abeja reina en una colmena, si están fecundados nacenabejas obreras o reinas, mientras que de los no fecundados nacen zánganos. Así pues,las reinas tienen dos progenitores, mientras que los zánganos tienen sólo uno. Elnúmero de individuos en cada generación de ancestros de un zángano sigue lasucesión de Fibonacci. También siguen la sucesión de Fibonacci las ramificaciones dealgunas especies de hierba, flores, arbustos o árboles, así como la disposición de lospiñones en la piña, o de las florecitas que forman las flores compuestas como lasmargaritas. Y en el cuerpo humano, los huesos que forman el dedo índice de la manoestán en la misma proporción que los números 2, 3, 5 y 8.Hay estudios psicológicos que consideran que la proporción áurea está relacionada conla percepción de la belleza por el cerebro humano. Así se cree que obras como laspirámides o la acrópolis pudieron ser construidas siguiendo esta proporción. Tambiénaparece en la disposición de los elementos en cuadros como La Última Cena deLeonardo, o en la fachada de Nôtre-Dame de París. Ya en el siglo XX, el arquitecto LeCorbusier tomó el número áureo como base para su sistema de arquitectura Modular.Y como aplicación más cercana, la proporción de los lados de las tarjetas de crédito esmuy cercana al número áureo. También hay quien apunta a la divina proporción en lanaturaleza, como por ejemplo en la relación entre la altura de una persona y la alturade su ombligo, o en las proporciones del cuerpo de muchos animales.En los recién nacidos el ombligo divide el cuerpo en dos partes iguales, en un cuerpodesarrollado normalmente, la relación entre la parte superior del cuerpo de la cabezaal ombligo y entre esta y la planta de los pies cumple la denominada media y extremarazón, propia de la sección áurea, es decir 3.5 = 5.8. Vitruvio estableció una afinidadentre el hombre y las figuras geométricas, al descubrir que el hombre de pie con losbrazos extendidos puede inscribirse en un cuadrado, si separa las piernas puedeinscribirse dentro de un circulo, que tiene como centro el ombligo. 9 Conclusión
    • La proporción áurea y la serie de Fibonnacci son ejemplos o formas de explicar en estecaso la forma de la naturaleza y como la naturaleza tiene una perfección en todos loscampos de la ciencia. 10 Actividad
    • La siguiente actividad consiste en dibujar una elipse aurea como la siguiente: 11
    • 13