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Número aureo.3.12 (5)
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  • 1. Alumnos: Mondragón Cordero Gabriela Abigail Profesor: Luis Miguel Villarreal Materia: Matemáticas III “Numero Aureo y Serie de Fibonacci” Grado y grupo: 3°“B”Fecha: 25/Octubre/2012 1
  • 2. ÍndiceÍndice ................................................................................................................................................... 2Introducción ........................................................................................................................................ 3Numero Áureo..................................................................................................................................... 4 Definición ........................................................................................................................................ 4 Relación Con Las Artes y La Naturaleza........................................................................................... 5Serie de Fibonacci ............................................................................................................................. 10 Definición ...................................................................................................................................... 10 La regla .......................................................................................................................................... 10 Relación Con Las Artes y La Naturaleza......................................................................................... 11Relación Entre El Número Áureo Y La Serie De Fibonacci ................................................................. 11Actividad............................................................................................................................................ 13Conclusión ......................................................................................................................................... 14Fuente ............................................................................................................................................... 14 2
  • 3. IntroducciónAlguna vez te preguntaste que es el numero áureo, o que tiene que ver con nuestra vidacotidiana, si es así te sorprenderías al saber que tan seguido y presente se encuentra ennuestra vida diaria, es cierto se encuentra en las flores, pinturas incluso en nuestrafisionomía, es realmente increíble en donde podemos encontrarlo si esto te intereso teinvito a que leas este trabajo ya que aparte de hablar del número áureo te hablara de laserie de Fibonacci y en que están relacionados ambos. 3
  • 4. Numero ÁureoDefiniciónEl número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dossegmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, deforma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado queal dividir la longitud del mayor entre la del menor.El número áureo, también conocido como "número de oro" o "divina proporción", es unaconstante que percibimos a diario, aunque apenas nos demos cuenta. Aparece en lasproporciones de edificios, cuadros, esculturas, e incluso en el cuerpo humano. Un objetoque respeta la proporción marcada por el número áureo transmite a quien lo observa unasensación de belleza y armonía. Veamos un poco más en qué consiste.El número áureo es el punto en que las matemáticas y el arte se encuentran. Existen enmatemáticas tres constantes que son definidas con una letra griega:p=(3,14159…).Pi, es la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.e=(2,71828…)e, es el límite de la sucesión de término general (1+1/n)^n. e es el único número real cuyologaritmo natural es 1.F= (1,61803…).Phi, el número de oro. Matemáticamente hablando, podemos definirlo como aquelnúmero al que, tanto si le sumamos uno como si lo elevamos al cuadrado, sale el mismoresultado.Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimalesno se repiten periódicamente). Todos ellos son, por tanto, números irracionales. 4
  • 5. Se llama "Phi" en honor al escultor griego Fidias, que ya lo aplicaba en sus creaciones. Elnúmero áureo era conocido en la antigua Grecia y se utilizó para establecer lasproporciones de las partes de los templos.Relación Con Las Artes y La NaturalezaLeonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione delmatemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser lasproporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombreperfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujoadjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligoa la mano es el número áureo.A lo largo de la historia, desde pensadores hasta matemáticos o teólogos han meditadosobre la misteriosa relación que se establece entre el número áureo y la naturaleza de larealidad. Esta curiosa relación matemática, conocida popularmente como laProporción Divina o Áurea, fue definida por Euclides hace más de dos mil años a raíz de supapel crucial en la construcción del pentagrama, al cual se le atribuyen propiedadesmágicas.Desde entonces, ha mostrado una propensión a aparecer en una variedad de lugares de lomás sorprendentes que veremos a continuación: 5
  • 6. Extremo áureo Girasol El número áureo también aparece en la formación de los flósculos de los girasoles y en la disposición de los pétalos de algunas plantas como los cactus o rosas:También rige las dimensiones y formasde GALAXIAS que contienen billones deestrellas y define la dinámica de losagujeros negros. Pero tambiénpodemos encontrar la belleza de laespiral de Dudero en HURACANES. El rectángulo de numerosos objetos nos resultan especialmente armoniosos hasta tal punto que las primeras trajetas de crédito tenían las dimensiones de esos rectángulos especiales ya que tienen unas proporciones determinadas y una extraña propiedad a la que se le atribuye elnúmero áureo. 6
  • 7. Curiosamente, muchos matemáticos han encontrado esa proporción divina en muchosinstrumentos (tanto en la estructura interior y exterior) como el que os mostramos acontinuación: EL VIOLÍN.Una de las curiosasrepresentaciones en las quevolvemos a encontrar a Fi, es en laformación de los copos de nieve ysu particular forma estrellada.¿Pura casualidad? ¿O necesitamosmás ejemplos para demostrar quemuchos de los fenómenos naturalesque ocurren se pueden explicar abase de las matemáticas?No solo aparece en lanaturaleza, sino que tambiénesta proporción puedeaparecer en el ser humano, poreso muchos matemáticos ycientíficos han desarrolladoteorías sobre las modelos o la 7
  • 8. gente que nos parece atractiva, es porque en la estructura de su cuerpo aparece la divinaproporción en muchos de las partes de nuestro organismo. En el caso de la fotografíaaparece en las falanges de los dedos de una mano.En esta imagen vemos representado la famosaespiral de Dudero (pintor renacentista) que seforma a partir del rectángulo áureo y quepodemos encontrar en la formación de lasconchas de muchos moluscos Al igual que en la imagen anterior, podemos encontrar la espiral del rectángulo áureo en los cuernos de muchos animales como los rumiantes. Pirámide de KeopsEl primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide deKeops, que data del 2600 a.C... Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las 8
  • 9. proporciones de este monumento funerario en apariencia simple. El PartenónUn ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griegoEn la figura se puede comprobar que AB/CD=.Hay más cocientes entre sus medidas que danel número áureo, por ejemplo: AC/AD= yCD/CA=.El Templo de CeresEl Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo unsistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados,sobre todo, con el orden dórico.Para finalizar este apartado, muchos científicos incluso han sugerido que el número áureoy sus proporciones están conectadas con el comportamiento de los mercados de valores y 9
  • 10. el crecimiento de muchos animales y plantas que mantienen la forma y conservan lasproporciones entre sus partes directamente con el número de oro.No solo podemos encontrar el número áureo y sus propiedades y proporciones en estosejemplos, muchos de los objetos geométricos que hay en nuestro alrededor como losbilletes, los huevos de las gallinas, las estrellas de mar, las billeteras, todas las florespentagonales también contienen las características de este número mágico. Serie de FibonacciDefiniciónLa sucesión de Fibonacci es la sucesión de números que, empezando por la unidad, cadauno de sus términos es la suma de los dos anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8,13,...). Resultasorprendente que una construcción matemática como esa aparezca recurrentemente enla naturaleza. La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de losconejos o la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos se produce siguiendosecuencias basadas exclusivamente en estos números.La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él. El 2 se calcula sumando (1+1) Análogamente, el 3 es sólo (1+2), Y el 5 es (2+3), ¡y sigue!Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55¡Así de simple!Aquí tienes una lista más larga:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...La reglaLa sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series): 10
  • 11. La regla es xn = xn-1 + xn-2Donde: xn es el término en posición "n" xn-1 es el término anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2)Por ejemplo el sexto término se calcularía así: x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8Relación Con Las Artes y La Naturaleza Si. El largo de tus falanges también respeta la sucesión de Fibonacci.El número de conejos coincide con cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci. Relación Entre El Número Áureo Y La Serie De Fibonacci 11
  • 12. El número áureo también está “emparentado” con la serie de Fibonacci. Si llamamos Fn alenésimo número de Fibonacci y Fn+1 al siguiente, podemos ver que a medida que n se hace másgrande, la razón entre Fn+1 y Fn oscila, siendo alternativamente menor y mayor que la razónáurea. Esto lo relaciona de una forma muy especial con la naturaleza, ya que como hemos vistoantes, la serie de Fibonacci aparece continuamente en la estructura de los seres vivos. El númeroáureo, por ejemplo, relaciona la cantidad de abejas macho y abejas hembras que hay en unacolmena, o la disposición de los pétalos de las flores. De hecho, el papel que juega el númeroáureo en la botánica es tan grande que se lo conoce como “Ley de Ludwig”. Quizás uno de losejemplos más conocidos sea la relación que existe en la distancia entre las espiras del interiorespiralado de los caracoles como el nautilus. En realidad, casi todas las espirales que aparecen enla naturaleza, como en el caso del girasol o las piñas de los pinos poseen esta relación áurea, yaque su número generalmente es un término de la sucesión de Fibonacci.Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacciusando la razón de oro:Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de losdos términos anteriores.Ejemplo:Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea)obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercanoa 8. 12
  • 13. ActividadREALOZADO EN GEOGEBRA 13
  • 14. ConclusiónEs sorprendente el ver en que tantos lugares se presenta nuestro famoso numero áureo, puesnadie se imaginaria el que este se encontrara ya hace cientos de años, haciendo uso de estosprincipalmente Leonardo Da Vinci, con sus múltiples pinturas e inventos, además de el uso queobservamos y damos a la serie de Fibonacci y lo más sorprendente que ambas de alguna u otraforma están relacionadas. Fuente http://www.monografias.com/trabajos75/numero-aureo/numero-aureo.shtml http://www.abc.es/20100415/ciencia-tecnologia-matematicas/numero-aureo-belleza- matematica-201004151848.html http://www.castor.es/numero_phi.html http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/12110839/El-numero-de-Oro-en-la- naturaleza.html http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html 14

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