Homogeneas

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Homogeneas

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS.<br />ECUACIONES DIFERENCIALES.<br />
  2. 2. Miguel Angel Aguilar Luis<br />10310469<br />SALON: B-212<br />ING.MECATRONICA<br />Materia: Ecuaciones Diferenciales<br />
  3. 3. FORMA DEUNA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA:<br />𝑀𝑋,𝑌𝑑𝑥+𝑁𝑋,𝑌𝑑𝑦=0<br /> <br />
  4. 4. Una ecuación diferencial es  homogénea sí M y N son funciones homogéneas del mismo grado, o también si la ecuación puede escribirse como:   <br />𝑓𝑥,𝑦=𝑥5+7𝑥4𝑦+𝑥2𝑦3     :Es homogenea de 5 grado<br /> f(x,y)=x : Es homogenea de 1 grado<br />Sea la función Z = ƒ(x,y), se dice que es homogénea de grado "n" si severifica que f( tx, ty)= tⁿf( x, y) ; siendo "n" un número real. En muchos casos sepuede identificar el grado dehomogeneidad de la función, analizando el grado decada término: <br /> <br />
  5. 5. EJEMPLO: <br />  <br /> a) f( x ,y) = x² y² + 5x³ y - y4, aplicando la definición se tiene:<br />f( tx,  ty) =  (tx)²  ( ty)²  + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4    <br />f( tx,  ty) =  t4  x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4 <br />f(tx, ty ) = t4 (x2 y2  + 5x3 y - y4 )<br />f( tx,  ty) =  t4  f ( x, y) <br />Por lo tanto la función es homogénea de grado 4<br />
  6. 6. Elementos claves Para las E.D.H cambio de variables<br />1.- Y=µx dy=µdx+xdµ<br />2.- X=µy dx=µdy+ydµ<br />3.- µ=x+y y=µ-x dy=dµ-dx<br />
  7. 7. Resolvamos la ecuacion homogenea:<br />Y’=𝑦+2𝑥𝑒−𝑦/𝑥𝑥<br />En primer Lugar, expresaremos el Segundo miembro Como funcion de y/x<br />Y’=𝑦𝑥 + 2𝑒−𝑦/𝑥<br />Despues realizaremos el cambio de variables z=y/x, con lo que al ser y’=xz’+z, la ecuacion que da de la forma:<br />Xz’+z=z+2𝑒−𝑧<br /> <br />
  8. 8. Esta ecuacion es de variables separables, la integraremos Como tal:<br />xz’+z=z+2𝑒−𝑧 =» xz’=2𝑒−𝑧 =» 𝑒𝑧z′=2𝑥<br />=»      ʃ𝑒𝑧dz=ʃ2𝑥dx+c<br /> =» 𝑒𝑧 =𝑒𝑧2ln𝑥+𝑐 =»𝑙𝑛𝑥2+c<br />Ahora, finalmente, se deshace el cambio de variable y tenemos:<br />𝑒𝑦/𝑥=ln𝑥2+c<br /> <br />

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