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Ecuaciones exactas,lineales,bernulli
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Ecuaciones exactas,lineales,bernulli

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  • 1. [sistemas de ecuacionesdiferenciales]MIGUEL ANGEL AGUILAR LUIS[Seleccione la fecha]
  • 2. 1.- Ecuaciones diferenciales exactas:En donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Estoes equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal queDonde y . Dado que F(x,y) es una funcióndiferenciable entonces las derivadas cruzadas deben ser iguales y esta es la condición .Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientespasos: • Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales. • Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es: • Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable independiente de g. • Se iguala g con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g. • Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .
  • 3. 1.1.- Ecuaciones diferenciales exactas factor integrante:Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplicapor una función especial llamada factor integrante, tal que:Sea exacta.Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe,pero sólo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible facilmenteencontrar un factor integrante:Factor integrante solo en función de x.Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:Factor integrante solo en función de y.Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir,), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
  • 4. Factor integrante solo en función de x+y. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: Con z = x + y Factor integrante solo en función de x·y. Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente: Con Donde M * x = M·x Cabe mencionar que:2.- Ecuaciones diferenciales lineales:Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la formageneral y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:O usando otra notación frecuente:
  • 5. Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecenproductos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Siusamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior,entonces la ecuación anterior puede escribirse como:Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles solucionestiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a lahora de encontrar dichas soluciones.Ecuación lineal de primer ordenLas Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:Donde y son funciones continuas en un intervalo . La soluciónde esta ecuación viene dada por: Resolución detallada:Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la ideaconsiste en encontrar una función que nos permita transformar:en la derivada de un producto.Para ello necesitamos que . En efecto, si despejamos p(x) eintegramos ambos miembros tenemos dentro de la integral y por resolución de
  • 6. integrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir enexponencial ambos miembros, y así obtenemos.Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por obtenemos:Lo que equivale a escribir: Con .Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadasusando la expresión:Ecuaciones lineales de orden n:Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer ordenpodemos definir una ecuación diferencial de orden n como:Donde la derivada mayor que aparece es de orden n-ésimo.] Resolución caso generalEsta ecuación se dice que es lineal si la función incógnita o sus derivadas no estánmultiplicadas por si mismas o si tampoco aparecen en forma de funciones compuestas(por ejemplo, sin(y)). Una ecuación diferencial lineal de orden superior puede atacarse
  • 7. convirtiéndola en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Para haceresto se definen las n funciones incógnita adicionales dadas por:Puesto que:El sistema de ecuaciones diferenciales puede escribirse en forma de ecuación matricialcomo:Resolución con coeficientes constantesLa resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales se simplificamucho si las ecuaciones son de coeficientes constantes. En el caso de una ecuaciónde primer orden la búsqueda de un factor integrante nos lleva en la mayoría de loscasos a una ecuación en derivadas parciales. Si la ecuación es de orden superior, a noser que sea una ecuación de Euler o similar, tendremos que proponer una solución queno viene dada, en general, por funciones elementales. En estos casos los métodospreferidos (sin contar el cálculo numérico) son los que emplean series de potencias oseries de Fourier. En el caso de los sistemas, si la matriz del sistema es de coeficientesconstantes podemos resolver el sistema usando el método de los valores propios yaque en ese caso la matriz resultante de la reducción de la ecuación a un sistema deprimer orden es constante y puede encontrarse fácilmente su solución calculando la exponencia de la matriz del sistema.Para estudiar otros métodos de encontrar la solución a parte de la exponenciación dematrices consideraremos una ecuación del tipo:Donde son coeficientes constantes conocidos. Observemosque la derivada n-ésima va acompañada por el coeficiente unidad. Definimos elpolinomio característico de la ecuación como
  • 8. que es una ecuación algebraica de orden n. Se demuestra que si hallamos las n raíces del polinomio característico la solución de la ecuación homogénea:Al calcular las raíces del polinomio característico pueden darse los siguientes casos: • Raíces reales distintas: En este caso la solución viene dada directamente por , donde , siendo Ck constantes de integración. • Raíces reales repetidas: Ilustraremos este caso con un ejemplo; sea una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes cuyo polinomio característico tiene la raíz λi doble. En este caso no podemos expresar la solución como , ya que si lo hacemos de este modo tenemos una información redundante. En este caso particular la solución de la ecuación es . En general, en una ecuación de orden n, si una raíz aparece repetida q veces la solución parcial asociada a ella es: • Raíces complejas: Si las raíces son del tipo debemos expresar la solución como combinación lineal de senos, cosenos y exponenciales en la forma .Si las raíces complejas conjugadas están repetidas, la ecuación es del tipo .Una vez resuelto el problema homogéneo podemos atacar el problema completo. Paratener la solución del problema completo debemos sumar una solución particular a lasolución homogénea ya obtenida: .
  • 9. Para hallar empleamos el método de la conjetura razonable, consistente enanalizar el término in homogéneo de la ecuación y proponer funciones del mismo tipocomo solución. Nótese que no es necesario que sea un coeficiente constante.Ejemplos • Tenemos Proponemos (polinomio de primer orden). Las constantes y quedan determinadas tras aplicar los requerimientos de la ecuación a la solución particular (derivar n veces, multiplicar por coeficientes constantes, etc.). • Tenemos . Proponemos .3.- ecuaciones diferenciales por Bernoulli:Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primerorden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizanpor tener la forma:Donde y son funciones continuas en un intervaloMétodo de resoluciónCaso generalSi se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα seobtiene:Definiendo:Lleva inmediatamente a las relaciones:
  • 10. Gracias a esta última relación se puede reescribir como:Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial linealobteniendo como resultado:Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando laexpresión:Con .Particular: α = 0En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dadapor:Caso particular: α = 1En este caso la solución viene dada por:
  • 11. EjemploPara resolver la ecuación:Se hace el cambio de variable , que introducido en da simplemente:Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:Si se sustituye en la última expresión y operando:Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calculael factor integrante típico de la ecuación de Bernoulli:Y se resuelve ahora la ecuación:Deshaciendo ahora el cambio de variable:Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :

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