• Save
8 gdz geotz_m
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

8 gdz geotz_m

on

  • 28,769 views

 

Statistics

Views

Total Views
28,769
Views on SlideShare
1,866
Embed Views
26,903

Actions

Likes
1
Downloads
0
Comments
0

14 Embeds 26,903

http://4book.org 26446
http://www.google.com.ua 176
https://www.google.com.ua 171
http://91.200.42.139 31
http://bookgdz.ru 21
http://mail.4book.org 14
http://webcache.googleusercontent.com 11
http://shpor.ru 10
http://translate.googleusercontent.com 8
http://www.google.com 6
https://www.google.com 5
http://youdz.at.ua 2
http://login.swis.it 1
https://www.google.ru 1
More...

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    8 gdz geotz_m 8 gdz geotz_m Document Transcript

    • «■ і t- w w w .4 до збірника A. Г. Мерзляка, B. Б. Полонського, Ю. М. Рабіновича, М. С. Якіра bo ok .o Те іти н о іїма ії и ч і ц в їн rg ! ГЕОМІІРИ
    • В АР ІА Н Т 1 {2 1 . Д а н о : A B = ВС, 4) Д ано: го A D = ІЗС. п а р а лело гр а м , ос Д овести , щ о: Z A = ^ С . Z A в З р. ACBD ZB. 1 ) Р о з г л я н е м о ABCD а ш м енш е і ABAD, в н и х З найти: кути . D Z A = х°, Z B = Zx, + Zx = 1 8 0 °, Ах = 1 8 0 , х М а є м о ZA = ZC== 4 5 °, Н ехай A B = B C ,A D ^ DC тоді X (з а у м о в о ю ), го І а v5 гп B D — с п іл ь н а с т о р о н а . О т ж е , ABCD = ABAD Z ß = Z D = 45° 2 ) У р ів н и х т р и к у т н и к ів в ід п о в ід н і З найти: к ути . 1) Н е х а й ZA ZB 12Ä = 1 8 0 , Z4 = Z2, (з а у м о в о ю ). (U X ро н и р ів н і, а о т ж е A B = AD, CB = CD. 3. Н е м о ж н а , о с к іл ь к и с у м а в с іх к у т ів о п у к л о г о ч о т и р и к у т н и к а д о р ів н ю є 3 6 0 °. 4. К у т и в и з н а ч е н о н е в ір н о , о с к іл ь к и г А + Z B = 1 8 0 °, а г С + Z D = 1 8 5 °, 7 5 °, 6 . Р и с . 4. 1) Z A B D , Z A = 1 8 0 ° - (4 0 ° + 3 0 ° ) = 1 1 0 °, Z A = ZC = 1 1 0 °, 2 ) ZB== Z D = 7 0 °. Відповідь: 7 0 °, 7 0 °, 7 . He м о ж у т ь , APEF д о р ів н ю є 1 1 0 °, 1 1 0 °. о с к іл ь к и с у м а к у т ів 1 8 0 °, а с у м а к у т ів ч о ­ т и р и к у т н и к а — 3 6 0 °, т о д і в и х о д и т ь , щ о 5. ZD 1 ) Я к щ о од и н к у т п а р а л е л о г р а м а 4 6 °, = 1 8 0 °, а ц ь о г о б у т и н е м о ж е . ABCD — т о д р у г и й т е ж 4 6 °, а д в а ін ш і п о 1 8 0 ° - 8 . Д ано: - 46° “ п а р а лело гр а м , 1 3 4 °, о т ж е , 4 6 °, 4 6 °, 1 3 4 °, 134°. ^ ^ ВС на /п AB. А ' 'D З н а й т и : AB, ВС, CD, AD. О с к іл ь к и ABCD — п а р а л е л о г р а м , то AB = CD, A D = ВС. Н е х а й AB = X CM, т о д і В С = (д: + 6 ) см . М а є м о 2{х + д: + 6 ) = 5 6 , 2д; + 6 = 28, 2х = 2 2 , д; = 11 (с м ) , A B = C Ö = 11 см , 2 ) Я к щ о с у м а д в о х к у т ів 1 8 6 °, т о ц е Р = 56 см , п р о т и л е ж н і к у т и , т о д і к о ж е н д о р ів н ю є 6 см б іл ь ш е п о 1 8 6 ° : 2 = 9 3 ° , а д в а ін ш и х п о 1 8 0 ° - 9 3 ° = 8 7 °, 9 0 °, 9 3 °, 8 7 ° , 8 7 . 3 ) Д ано: ABCD — — п а р а л е л о г ■рам, рам, ß Н Г ! / Z B на 56° б іл ь ш е ZA. . Знай ти : кути . і, . ^ Н ех а й Z A = Z C = х °, тоді ZB = ZD д: + X + 56 = 2х = X + 5 6 °, 1 8 0 , 2х = 1 8 0 М а є м о Z A = Z C = 6 2 °, Z B ^ - Z D = 1 1 8 °. A D = В С = 11 + 6 = 17 (с м ). 9. Д а н о : ABCD — п а р а лело гр а м , - 56, = 1 2 4 °, л: = 6 2 °, Z A = 6 2 °, Z B = 6 2 ° + 5 6 ° = 1 1 8 °. 9 5 = 7 5 °, а ц ього бути не м ож е. w т S ь го S ,<и .4 bo ok .o 'Зо р ів н и х т р и к у т н и к ів в ід п о в ід н і ст о ­ w 2 X У 180, 15; Відповідь: Z A = Z C Z B -^ Z D ~ 1 0 5 °. - ADCA (з а д р у г о ю о з н а к о ю ). 2) k= Z ß = Z D = 1 5 ° ■ 7 = 1 0 5 °. w к І 1 = 7Ä, т о д і 5Ä + 7 * - 2 ) Z A = Z C = 15° Б' А С — с п іл ь н а с т о р о н а , о т ж е АВСА 'д = 5 *, rg Z3 - .ГО. Z A :Z B = b :7 . Z4. CB - C D . і ADCA, в н и х З = 1 3 5 °. п а р а лело гр а м , к у т и р ів н і, а т о м у Z A = ZC. 2 . Д а н о : .^1 = Z 2 , .^3 = Довести, що: A B = AD, = 45 ° Відповідь: 4 5 ° , 4 5 °, 1 3 5 °, 13 °. 5 ) Д а н о : ABCD — Ц__________________ .0 (з а т р е т ь о ю о з н а к о ю ). 1) Р о згля н е м о Л В С А з — Р = 12 6 с м , A B : В С = 4 : 5. А ол CD, AD. 1 ) О с к іл ь к и ABCD — п а р а л е л о г р а м , то A 3 ^ CD, A D = ВС. Н е х а й A B = CD, Знай ти : A B , В С ,
    • iD = ВС. Н е х а й АВ = 4х (с м ), fC = 5х ( с м ) , т о д і 2{4х + 5х) = 4 ) М аєм о A B = CD = 7 І) A D = В С = 7 ■ 5 = 3 5 ( c m ). 0 , а) ZCBD 4 = 2 8 (с м ); ZADB, = а 28° ^ 2 9 °, AD = B C ^ Р (О ІС к с. X A D , A B = ED, Z A = 6 0 , Р = 48 см , m CL <U B D — д іа г о н а л ь . С у м а к у т ів , я к і п р и л я г а ю т ь д о о д н іє ї повинна д о р ів н ю в а т и 1 8 0 °, на р и с у н к у 48° + 122° = 170° Знай ти : B D . 1 ) AABD, BE X A D , A E = &ABD AABD 1 8 0 °. ABCD — 1 , Д ано: 42, BE іа в п іл , 5 ^ 6 ; торони 7х = Д а н о : ABCD — п аралелограм , Д і а г о н а л і т о ч к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я i) 84, 14. LB = C D , 5 ^ 6; 1) 2 = 5 ) А В = C D = 6 З = 18 (с м ), = 6 4 = 2 4 (с м ). І* = 6 3 , X = 7; І) (Зх + 4х) х = 6; 126, ED, о т ж е , AB = BD, от ж е , — р ів н о б ед р ен и й — р ів н о б е д р е н и й A B = B D , а о с к іл ь к и Z A = 6 0 °, т о AABD — а р а лело гр а м , р ів н о с т о р о н н ій , A B = A D = B D ; M iB F — 2) AB = A D = X, Іс е к т р и с а . т о д і 4 ■ X = 4 8 , л: = 12 (с м ). [св е с т и , щ о : Відповідь: BD + ZB = — п а р а лело гр а м , то 1 8 0 °, о т ж е ВМ XAD, А ВЛ: X D C . Д овести, щ о: а Ч ^ ------------------ D ZM B Jf = ZBAD. 1 ) ААВМ — п р я м о к у т н и й . !) Р о з г л я н е м о Д А О В , у н ь о м у Z O A B + ZABO = 9 0 °, 2 , Д ано: /АОВ BF. отж е, AM X = 9 0 °, ABCD — В ____________ Е .р а л е л о г р а м , U ) = 12 с м , 1£ — б іс е к т р и с а . С EC. п ар алелогр ам , ZM BK ADlBC, ZBEA-, A E б іс е к т р и с а , т о /iDAE • Z B A E , о т ж е в &АВЕ ZBAE = ZBEA, Отже М В Е — р івн о бед р ен и й , AB = BE = w = З н а й т и : Z M B i? . f 8 ) £ С = 12 - 7 = 5 (CM). [Відповідь: BE = 7 ІЗ . см , _____ -А М 1 ) Z A + Z B = 1 8 0 °. Н е х а й Z A = jc°, EC = В Д ано: A B C D - В ZA : ZB BM 1AD, 5 см . Z B = (5 д :)°, т о д і --------------- С X + 5х = 180, бд: = 1 8 0 , л: = 3 0 °, Z B = ЗО • 5 = 1 5 0 °; 'З н а й т и : A B , В С , C D , A D . 1) Z 2 = Z 3 ( я к к у т и в н у т р іш н і р із В осторон н і при п а р а л е л ь н и х п р я м и х ААВМ — п р я м о к у т н и й , Z M B A = 9 0 ° - 3 0 ° = 6 0 °; 3 ) ZC B F = 6 0 °, т о д і Z M B F = 1 5 0 ° - (6 0 ° + Відповідь: Z M B F = 3 0 °. 2 ) Д а н о : ABCD — гЬС п а р а лело гр а м , л ар алелогр ам , 'ß M — б іс ек т р и с а , і Ш -.M A = :Z , / / / / І ЗА vi> = 8 4 c M . D і A D і с іч н ій ВМУ, | 2) Z 2 = Z 1 , о с к іл ь к и В М Іо т ж е АЛВМ — б іс е к т р и с а , — р ів н о б е д р е н и й ; н ехай D M = X см , A M = Зд: с м , т о д і ]А В = CD = A M = Зх, A D = ВС = 4х; 2) Z B A D = 3 0 °, ZABC = 1 5 0 °, A M ± В С ,А К X DC. З найти: ZM AK . к X X (О m 2 X 0 01 I T = ZBAD. 16. 1) Д ано: A B C D — = п а р а лело гр а м , w cm; , а ЗВІДСИ Z B A D = 90° - Z A B M О с к іл ь к и “ 7 Z C B X = 90° - Z C , а ле Z A = Z C (я к п р о т и л е ж н і к у т и п а р а л е л о г р а м а ). ZM B ^T = 90° - Z C B Jf ^ w (н а й т и : BE і ') ABCD — і) Z A B M - 90° - Z A , АСВК — п р я м о к у т н и й , 2 ) Z A B M = Z C B ä :, то д і Ш = 7 см , CDAE a = 12 с м . .4 bo ok .o 9 0 °, о с к і л ь к и б іс е к т р и с а д іл и т ь к у т и з в ід с и м а є м о , a п а р а лело гр а м , i(Z A + Zß ) = в п іл . I Ю m 1 5 . Д ано: A B C D - ABCD s rg ) О с к іл ь к и (О 6 0 ° ) = 3 0 °.
    • 1 ) Z M A B = 9 0 “ - 3 0 ° = 6 0 °: 20. Z K A D = 9 0 ° - 3 0 ° = 6 0 °: 3 ) Z M A K = 6 0 ° + 3 0 ° + 6 0 ° = 1 5 0 °. Відповідь: Z M B F = 3 0 °, ZM A C == 1 5 0 °. п р я м у, через прям у: 2) 1 7 . Д ано: ОС <u — п е р О — точка е т и н -А g. VO m О S АО ОС, = д іа г о н а л е й , т о в них о с к іл ь к и д іа г о н а л і т о ч к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл ; ZAO E = Z C O F ( я к в е р т и к а л ь н і), ZOAE = Z.OCF ( я к в н у т р іш н і і C D і с іч н ій АС), отж е, ААОЕ = ОЕ к ів , а о т ж е Д ано: = OF. &АВС — .4 bo ok .o 1 ) Б у д у є м о п а р а л е л о гр а м п о д вом сто­ А Знай ти : р о н а м і д іа г о н а л і 2) AAFB — P fbmk = 2 (B F + B M ), B M = K F = AF; 2 ) PfBMK = 2 • 6 = 12 (CM): Відповідь: 12 с м . 1) 19. 23. Z2, BD Z3 ACDB, в них Z2, B C ^ A D ,A B = CD-, w 3 ) О с к іл ь к и Z 3 = Z 4 , Z 1 = Z 2 ( а ц е в н у т ­ р із н о с т о р о н в і п р и п р я м и х AB CD і с і ч н ій BD, ВС і A D і с іч н ій BD, т о A B II CD, ВС II A D . О т ж е ч о т и р и к у т ­ н и к ABCD — п а р а л е л о г р а м . р іш н і н а м і к у т о м м іж н и м и : II і = Z 4 (з а у м о в о ю ), о т ж е , т р и к у т н и ­ 2) О тж е б ) В и кор и стовуєм о визначення п а р а ле­ AB AABD — с п іл ь н а с т о р о н а , Z 1 = к и р ів н і з а д р у г о ю о з н а к о ю ; а ) Б уд уєм о т р и к у тн и к по двом стор о­ лограм а ABCD — п ар а лело гр а м . 1) Р о зглян ем о d Z3 = Z4. Д овести, щ о: ч оти ри к утн и к 1 ) З а д в о м а с т о р о н а м и і к у т о м м іж ними: АС = 2т; ш уканий. Р и с . 6. Д ано: Z 1 = w h- F з а д р у г о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и ­ T a. п а р а лело гр а м а AB ACOF w I ■=r 0 (U 1 н а в п іл , о с к іл ь ­ ки р із н о - AB = ВС = 6 с м , K M II AB, K F II BC. (T 3 m 2 К д іл и т ь M N M N і A F — д іа г о н а л і AM FN. М 2 1 . Точка стор он н і при п а р а лель н и х п р я м и х 18. X DM = M F, EN = МК; DKFE — паралелограм 3) Чотирикутн ик р ів н о б е д р е н и й , oc 1 Е rg I F 2 ) О с к іл ь к и т о ч к а М — т о ч к а п е р е т и н у -D OF. AAOE і ACOF, 1) Р озглян ем о s проводим о D -у у ___________________ д іа г о н а л е й . iC проводим о теж ß_ Д овести , щ о: 0 £ = ro D і М К ІМ п а р а лело гр а м , точка a ABCD 1) Ч ерез точку DC, A D II ВС, трикутник 24. ^ A D = ВС, Z I = Z 2 . ABCD — п а р а л е л о г р а м , Р и с . 7. Д а н о : Д овести , щ о: добуд овуєм о д о п ар алелогр а м а. 2) і і 1 ) Р о з г л я н е м о Д В С Л і Д Д А С — в он и р ів ­ н і за п ер ш ою ознакою , о т ж е 2) ВС І AD, о с к іл ь к и Z I AB = = Z2 CD; ■ (а це в н у т р іш н і р із н о с т о р о в н і к у т и ); 3 ) О тж е, а ) д іл и м о д іа г о н а л і н а в п іл і б у д у є м о ААОВ за трьом а сторонам и: б ) д а л і добуд овуєм о до п а р а лелогр а м а . ABCD — п а р а лелогр а м . 2 5 . Р и с . 8. 1 ) &АВК = ACDK, А К = СЕ, В К = DE, т о д і і А Е = КС; і 2 ) О тж е, в чоти ри к утн и ка КС = А Е . КС II А Е , о т ж е АКСЕ — п а р а л е л о г р а м -
    • 2) В В , - 4 см. 5. Р и с . 9. ABFC і ^ E C , в у м о в і), ВС - A D Р озглян ем о них DE BF (я к (п о леж н і стор он и 'D, ZCBF -= = 3 1 . Ц е й п а р а л е л о гр а м м о ж е б у т и т іл ь к и про­ п р я м о к у т н и к о м , о с к іл ь к и т у п и м и к у т и п а р а лелогр а м а AADE (я к в н у т р іш н і •н осторон н і при п а р а лель н и х п р я м и х AD BD, ABFC = ADEC (з а ір ш ою о з н а к о ю ), о т ж е , CF = А Е ; AAFB = ACDE (з а п е р ш о ю о з н а к о ю ). СЕ; М а є м о в ч о т и р и к у т н и к а AFCE с т о ; і і с іч н ій н е м о ж у т ь б у т и , а т іл ь к и п р я м и м и . Р 32. S Р и с . 14. Д а н о : Знай ти : ZAO D - 7 0 °. О С ZCOD. ZCOD = 1 8 0 ° - 70 ° = 1 1 0 °; 2 ) ACOD — р ів н о б е д р е н и й , ZOCD = (1 8 0 ° - 1 1 0 ° ) : 2 - 3 5 °. Відповідь: ZOCD - 3 5 °. 1) іви п о п а р н о р ів н і, а т а к и й ч о т и р и - 33. ггн и к е п а р а л е л о г р а м . п рям окутник, ABCD Д ано: DP — п а р а лело гр а м , ВК Д ано: гЛ В В — В < S “ 3 2 °. Знай ти : — б іс е к т р и с и . ABCD а 0) X ZCOD. а. VO W B PD K — ААКВ Р о зглян ем о ACPD, в н и х Z A B K - ZC D P В К і D P п о д іл и л и (з а у м о в о ю ) і к іл ь к и б іс е к т р и с и ін і к у т и н а в п іл ); ZB A K = ZD C P ( я к в н у т р іш н і р із н о - «р о н н і при п ар алельн и х п р ям и х CD AB АС); ААКВ ■= ACPD ( з а д р у г о ю ік о ю ). О т ж е , В К - D P, A K - CP; АВСР = ADKA (з а п е р ш о ю о з н а к о ю ), гж е, ВР - DK; В ч о т и р и к у т н и к у B PD K с т о р о н и проі с іч н о ю Z C D O на 30° менше ZCOD. Знайти: ZCDO. 1) Нехай Z.CDO ~ ж°, тоді ZCDO - ( * - ( - ЗО); 2) ACOD — рівнобедрений. Маємо X + X + X + S O - 180, X «о S ’ о w .4 О тж е, 3 4 . Дано: ABCD — В к-------------------- я С прямокутник, bo ok . CD ( = п а р а лело гр а м . і w !е ж н і р ів н і, о т ж е в ін е п а р а л е л о г р а - D fß C F ] P 2) w ІМ. 8 . Р и с . 11 . о с к іл ь к и у н и х д іа г о н а л і FACD} :к ою п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл . !9. г в - Z B + Z C ~ 1 8 0 °. Д овести, щ о : ABCD — п а р а л е л о г р а м . ■ Z A - 1 8 0 ° - Z B , Z C = 1 8 0 ° - ZB , ) »гж е Z A ■ Z C , а це п роти леж н і кути; 8) О т ж е , ч о т и р и к у т н и к ABCD — пара- ■ е л о гр а м . . Р и с . 1 3 . Д а н о : Д А В С = Д А ,В ,С ,, , - 18 с м , A j C - іа й ти : ВВ^. ) АВВ^А, і Зл - 150, X - 50°. Відповідь: ZCDO = 50°. X т 3 5 . Рис. 15. Дано: АС і BD діаметри. Довести, що: ABCD — прямокутник. 1) ZABC = ZADC = 90° ZBCD = /Я А О = 90°) як вписані, як і опираються на діаметр. 2) Отже, протилежні кути рівні і дорів­ нюють по 90°, а такий паралелограм є прямокутником. Р и с . 12 . їа н о : Z A + 1 0 CM. BCC^Bj — п а р а лело гр а м и . :е, Л А , - С С , - (1 8 - 1 0 ) : 2 -= 4 (с м ); З or g ів ести , щ о : 1) ZCDO = 90° - 32° - 58°; 2) ADOC — рівнобедрений, ZCOD - 180° - 2 58° - 180° - 116° - 64°. Відповідь: ZCOD - 64°. 3 6 . Дано: ABCD — — -С прямокутник, A K -K D , В М - CN. Довести, що: К М - KN. 1) АКМА і UCND — вони прямокутні, А К — K D (за умовою), В М - CN, отже, A M - DN; 2) АКМ А ■ AKND (за двома катетами). ■ Отже, К М - KN.
    • 1 37. Д ано: ABCD — д п а р а лело гр а м , ZDAO ZADO. = Д овести, щ о: — прям о­ ^ кутник. ZAO D 1) — р ів н о б е д р е н и й , о с к іл ь к и АО = OD; ABCD — п р я ­ к у т и п р и о с н о в і р ів н і, о т ж е , 2) Тоді АС BD, = отж е, м окутник. іС 38. Д а н о : ABCD п рям окутн и к, АЕ DE A ß = І Ю = 12 см . — б іс е к т р и с а , = 42. СЕ. Д ано: ДАВС — СМ — м е д іа н а . Д овести , щ о: С М ^ -А В . 2 Д о б у д у є м о до п р я м о к у т н и к а С С , д іа г о н а л і, 3 9 . Д а н о : ABCD прям окутн и к, Р “ 4 4 см , O M 1A D , O K ± AB, О М - 5 см , 0 К ~ 7 см . 1) М М , = А В = 5 СМ = -А В . 2 43. Д ано: ДАВС — А К -В К , ______________ К Е II А С , K D і ВС. З н а й т и ; DE. С D А 1)Ocкiлькl^KEAC,KD^CE,^oKElBC, K D J. A C і DKEC — п р я м о к у т н и к , CK і D E — д іа г о н а л і п р я м о к у т н и к а . 2 ) А л е СК — є і м е д іа н о ю , о с к іл ь к и К — с е р е д и н а A ß , 2 = 10 (с м ); w - 2 • (1 0 -Ь 1 4 ) = 4 8 (с м ). CK = DE = ^ A B = i отж е. w ABCD - В прям окутник, Відповідь: O K J.AD, О М І. CD, ОМ - О К ^ Ь 44. 4 см . Д ано: ДАВС — п рям окутний, АС = В С = см , Р = 7 см . 12 см . З найти: Р ^ ^ „. AB ^ CD, A D = ВС. O K = X CM, т о д і AB О М = х + 5, т о д і A D = 2x + Знай ти : 1) нехай = 2х, 10 ; 2 ) З н аю ч и п ер и м етр, м аєм о + 2х+ 1 0 ) = 4 4 , 4д: -І- 10 = 2 2 , 4JC -= 1 2 , І = З (с м ); 1 ) CD = FE = BE, СЕ = D F = AD, т о д і CE + E F = 12 c m ; C 2) P „ „ = 12 • 2 = 24 ( c m ). Відповідь: 2 4 см . 45. 3 ) A B = 6 (с м ), Л / ) = 6 -І- 10 = 16 (с м ). Д а н о : ABCD п рям окутник, Відповідь: BF ± AC, 41. 6 с м , 16 см . ABCD — п р я м о к у т н и к , А К - ВК, Z.CKD = 9 0 °, Р = 36 см . З н а й т и : AB і CD. Д ано: = AB — M C ,, отж е A D ■= 8 с м , 2 ) Х Л :, = A D = 7 • 2 = 14 (с м ); 2 (2 i = прям окутний, w Зн ай ти : Д ано: A M - ВМ, СМ .4 bo ok .o BE — б іс е к т р и с а Z 5 . -А 1 ) AADE — п р я м о к у т н и й , ZD A E = ZA E D = 4 5 °, о т ж е , A D ~ DE; 2 ) в АВСЕ ВС = A D , о т ж е , В С = С £ , о т ж е , АВСЕ — р ів н о б е д р е н и й і п р я м о ­ к у т н и й , ZCBE = Z C £ ß - 4 5 °; 3 ) ZC B E = = 4 5 °, о т ж е BE — б і ­ с е к т р и с а ZB . 40. В п рям ок утний, Д овести, щ о: 3) 1 ) АВСК = &ADK (п о д в о м к а т е т а м ) ZA K D = гВ К С = (1 8 0 ° - 9 0 ° ) : 2 = 45°J 2 ) О т ж е , А К = AD, В К = СВ, А В = 2 ■ВС-, 3 ) Н е х а й ВС = X с м , т о д і AB = 2х см, м а є м о 2(х + 2х) = 3 6 , Зх = 1 8 , д: = 6 (с м ) ; ВС = A D = 6 с м , rg ABCD C P : A F = З : 1, ОМ - 6 CM. З найти: A C . — В, (с м ).
    • г j) Оскільки о м = 6 м , то A B = 1 2 см ; ДАО-ß — рівнобедрений, оскільки A f » FO, тобто BF і висота, і медіана, Н ехай 2) м аєм о 2 х + 7х = 90, ^ іж е А В “ В О “ 12 cm; а 8 ) В О = ОХ», ß Z ) = A C = 12 fi0noeidb: 46. 2 = 24 (с м ). ^ д а р а лелогр а м , j Д С — д іа г о н а л ь , ^ / -------------- j J = Z 7 )A C . »Довести, щ о : ZADO 9х = (7 х )° , = 9 0 , х = 10; ZDAO = 2 0 °, Z A D O = 7 0 °, ZD AB = 4 0 °, Z A D C = 1 4 0 °, о с к іл ь к и д іа г о н а л і є б іс е к т р и с а м и ; 4 0 °, ZB = ZD = 5 0 . Р и с . 17 . Д а н о : ABCD — B F 1 A D , DE L A B . Д о в е с т и , щ о : BF = DE. Р о з г л я н е м о A A B F і AADE. В 1 4 0 °. ром б, ZA них — A D (я к с т о р о н и р о м б а ). О т ж е , AADE (з а г іп о т е н у з о ю і г о с т р и м к у т о м ). О т ж е , BF = DE. AB =* Р о з г л я н е м о Z ß C A і Z Z M C , в о н и р ів ÜABF = ! в і я к в н у т р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и па^ | *лел ьн и х прямих ВС ZDAC = ABAC, ^ іл е і A D і с іч н ій А С , о т ж е , Д А В С — р ів - МОбедрений; ВС, але AB = CD, ВС = A D І а)АВ = (я к Ід р о т я л е ж н і с т о р о н и п а р а л е л о г р а м а ); я к щ о в п а р а л е л о г р а м і в с і ст о р о н и іні, т о в ін р о м б , о т ж е , 47. а) ABCD — р о м б. = 4 2 °; ZA B D = -Z A B C = 2) 2 &CBN — прям окутний, - 4 2 ° = 4 8 °, т о д і в і(1 8 0 ° - 52“) = і ptdnoeidb: а 1 2 8 » = 6 4 °. = 6 4 °. в ) Z A D C = 180° - 74° = 7 4 °, Оповідь: І AADC = гВ С А 3) 1 5 6 °, Оповідь: 2 4 °. w ABCD — р о м б , в, ZDAO = 2 0 °. В, Д а н о : ти : к у т и ром ба. А D {в ід п р я м и м к у т о м , т о AAOD — п р я м о | | (у тн и к . Н е х а й /.DAO = х°, т о д і ZADO = ом ба п ер ети н аю ться Відповідь: б іс е к т р и с а м и ZD AB = ZDCB = ZADC “ Z A B C = (3 5 ° | 4 у т ів , т о д і 7 0 °, І 4 0 . Д ано: І^ А О 35° • 2 = + 2 0 °) = 7 0 °, 7 0 °, 1 1 0 °, 1 1 0 °. ABCD — р о м б , -By? 2 4 °, 6 6 ° в них A B ZA = ZB == AABE і AADF, A D (я к ст о р о н и BE = D F = -В С ; 2 ААВЕ =• AADF (з а п е р ш о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ), о т ж е 5 3 . Д ано: ABCD — р о м б , A E -A F . АЕ f l J ^ O i ) — прям окут- _ А &AEF F D р ів н о б е д р е н и й , А С є б іс е к т р и с о ю і в и с о т о ю ; 2 ) О тж е, AF. . А EF LAC . а г о н а л ь є б іс е к т р и с о ю , о т ж е , •а й т и : к ути ром ба. = Вк ----------- з »С Д овести , щ о: -я С р о м б а ), ( я к п р о т и л е ж н і к у т и р о м б а ), 1) Д А Е У — : ZADO - 2 : 7 . о с к іл ь к и 132° = 66° 5 2 . Д ано: ABCD — р о м б , BE = FC, CF = FD. 2) І2х =70, х = , ■ 110°. ШВ^повідь: 90° - д іа г о н а л і р о м б а є б іс е к т р и с а м и . ■ ( х + 2 0 )°, м а є м о (X + д: + 2 0 ) = 9 0 °, є ZC = 180° - 48° = 1) Р озглян ем о ) О с к іл ь к и д іа г о н а л і 3 5 °; Д іа г о н а л і ро м ба 90° - 48° = Д о в е с т и , щ о : A E == AF. w •= w = а = 1 8 0 ° - 1 5 6 ° = 2 4 °. Z D A O = - 4 8 ° = 24° 2 ZADO = I = а = і ■7 4 ° : 3 7 ° 3 7 °. з ,С = 1 3 2 °; .4 ^ D 1 0 6 °, ZD = Z B ~ bo ok . А 5 1 . Д ано: ABCD — р о м б , ВМ LAD, B N 1 DC, Z M B N = 4 8 °. A " З н а й т и : ZDAO, ZADO. 1 ) ZM B C = 9 0 °, о т ж е , ZC B N = or g 1) ї у (2 х )° , с п іл ь н и й , ц і т р и к у т н и к и п р я м о к у т н і, ^ ^ C Z ) — ром б. t) = 3) Z A ’^ ZC = 24 см . Д ано: A ß C ö - IB A C 2) ZDAO E F L АС. — АК д і­ для
    • 1 2) 5 4 . Дано: ABCD — ромб, B FXAD , p 2 I к aj < S s z Q v5 PO о чотирикутника BD — діагональ, /LFBD - 42°. X Знайти: кути ромба. 1) ^FBD — прямокутний, ZF DB = 90° - 42° = 48°, тоді ZADG = 48° 2 = 96°; 2) ZA = 180° - 96° = 84°. Відповідь: ZA = ZC = 84°, Z D - - Z B ~ 96°. П З 5 5 . Дано: ABCD — ромб, BF 1 AD, BD = 16 CM, A F -F D . Знайти: 1) кути ромба, 2) сторону ромба. а) Оскільки BF — є і висота, і медіана, то &ABD — рівнобедрений, AB = BD, але AB - AD, як сторони ромба, отже, ЛАВВ — рівносторонній. ZA - ZC = 60°, & Z B ~ Z D - 120 °; б) Оскільки AABD — рівносторонній, io A B = B D - 16 ( c m ). Відповідь: кути дорівнюють по 60° і 120°, а сторона 16 см. 5 6 . Рис. 18. Чотирикутник ОМСТ є ром­ бом, оскільки сторони у нього рівні. '3 - 5 7 . Дано: ABCD — паралелограм, АЕ і B F — бісектриси. В_________Е С ro S w X T w (U w m 2 X о ABEF — ром б. Z A + Z B ■= 1 8 0 , Д овести , щ о: s ’ Q. L 1 ) О с к іл ь к и т о | ( Z A + Z ß ) = 9 0 °; 59. Д ан о: п обудувати ром б. AABD 1) Б удуєм о за т р ь о м а стор он ам и , а п о т ім д о б у д о в у є м о ник ABDC 5 8 . Д а н о : ААВС, А К — б іс е к т р и с а , АО = OK, EF±AK . Д овести , щ о: __________ AE K F — ром б. А F . 1 ) ААЕО - Д А Р О (з а к а т е т о м А О і г о ­ с т р и м к у т о м ), о т ж е , ЕО = FO; ÜACD, чотирикут­ — ш ук а н и й ром б. 2) Н Н А F 60. В к а з ів к а с т о р . 1 0 5 (р и с . 1 6 5 ). 61. Д ано: ABCD В|с---------------„С — п рям окутник, АС X BD. Д овести , щ о: ABCD — квадрат. 1) ДАВС, В О 1 АС, АО = ОС, о т ж е , В О — м е д іа н а , а я к щ о в т р и к у т н и к а в и с о т а є і м е д іа н о ю , то Д А В С — р ів н о б ед р ен и й , о т ж е , AB 2) я кого М аєм о п рям окутник, у = ВС. всі с т о р о н и р ів н і, о т ж е , ц е к в а д р а т . 6 2. Д ано: ABCD — к в а д р а т , ^ і > - 36. OF, ОМ. З н ай ти : 1 ) A B = 36 : 4 = 9 (с м ); 2) OF = ^ 1 ОМ Відповідь: 2 ) Л А В О — п р я м о к у т н и й , о с к іл ь к и Z A O B - 9 0 °, м а є м о BE | A F , А Е 1 BF, а п а р а л е л о г р а м , у я к о г о д іа г о н а л і п е р ­ п ен д и к уля р и , е ром б, отж е, ABEF — ром б. кЭ 1 д іа г о н а л і к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл , а т а к о з« X £ F , отж е, A E K F — ром б. .4 bo ok .o к X 1 AEKF АК rg 5 У п е р е т и н а ю т ь с я п ід п р я м и м к у т о м і точ- =і- 9 = 4 ,5 (с м ). 4 ,5 с м . 6 3 . Р и с . 19. А К = СМ . Д ано: ABCD — Д овести , щ о: B M D K — ром б. ^АВК і &ADK, квадрат, 1) Р о згл я н е м о AB = AD в них АК — ZD A K , о с ­ ( я к с т о р о н и к в а д р а т а ). с п іл ь н а стор он а, ZB A K “ к і л ь к и д іа г о н а л ь є б іс е к т р и с о ю , о т ж е , ААВК • &ADK ( з а п е р ш о ю о з н а к о ю ), о т ж е , В К = DK-, 2) А н а л о г і ч н о , АВСМ ВМ = MD; 3 ) &АВК і АСВМ = ADCM, р ів н і, о т ж е , ВК отж е, = ВМ і
    • [О 'DK BK Д ано: CF = DK DM = M B , отже ABCD DK. Н _х — квадрат, AC ■ 4 см . П о д іл и м о п е р и м е т р н а в п іл , а п о т ім щ е — квадрат, и: D А К } - ■4— 6 8 . Дано: Р . — ром б. н а в п іл і о д е р ж и м о В 2 стор он у квадрата. ос ABCD — квадрат ш уканий. 69. А D пьки CD — діагональ, то K F = CD, = CF = FD = D K = 4 . 2 = 2 (см). дповідь: 2 см. Дано: ' — рівнобед[ трикутник, М А 71. = З 4 = 12 (с м ). ІВ ів п о в ід ь : 12 см. О З 18 (с м ). П ер и м етр т р и к у т н и к а , верш ини я к о г о — с е р е д и н и с т о р ін д а н о г о т р и к у т ­ oo k. o Г, Дано: ZD — квадрат, 6 см, ІгА В Е : г.СВЕ = 2 : 1 . І9“ айти: |1) Нехай ZABE = 2 х , ^ ІСВЯ = X, тоді + x - Z x , Z x = 90°, X = 30°, 4ABE = 60°, ZAEß = 30°; 12) AABE — прямокутний, AB лежить ІКроти кута 30°, отже, AB = З см. m rg 2 S І Q. VD 2 = 14 (с м ) ; н и к а , б у д е — : 18 = 7 2. Д ано: ДАВС, Рлвсп = 6 0 с м , AB : ВС : АС = З = M N , NF, M F — 9 (с м ). X (О 5 : 7 m S сер ед н і л ін ії. .4 b w w w . Дано: ^ 'D — прямоаик, : і ВХ — бісекнси. овести, що: А 3£JC — квадрат, 40В = ZßO £ = 90°, отже, А Е 1 ВК, е, А В Е К — квадрат. го ? 2 = 12 (с м ) ; 7 3) AB = 9 С К = ВС (за умовою). F — рівнобедрений, - NF, N F ^ ^ M N ^ М К ; A M = М К , оскільки АА М К — рів!древий; } А М = M N = S N = 18 : З = 6 (см); = 6 4 = 24 (см). 'повідь: 24 см. N В к а з ів к а с т о р . 1 0 5 . (р и с . 1 6 6 ). 2) ВС = iN F K — квадрат, найти: D 7 0 . Д ано: йАВС — п р я м о к у т н и й , M N , NF, F M — сер ед н і л ін ії, N F = 6 CM, N M = 7 CM, M F = 9 CM. З н а й т и : A B , ВС. AC. jt 1 )Л С = 6 ’ 8 CM, с; (Г) о. Ш ____ , Знай ти : І MN, О NF, M F. 1) Р <и --Р 2 '- “ ^ 2 ) Н ехай NF =- = Зй, 2 X 60 = 30 (см); МК = 5Л. MN т = 7Л, т о д і 3Ä + 5ft + 7Ä = 15ft = ЗО, ft = 2 (с м ); 3) N F = МК = 5 М ЛГ = 7 2 З 6 (с м ), (О .З і 2 = 10 (с м ), 2 = 14 (с м ). Відповідь: 73. = 6 с м , 10 с м , 14 с м . Q. Я к щ о д в і с е р е д н і л і н і ї р ів н і, т о ц е р ів н о б е д р е н и й т р и к у т н и к . О 74. Р и с . 20 . 1 ) A , B , C , D , — п а р а л е л о г р а м , о с к іл ь к и А , В . , В ,С ,, C jD ,, Ö ,A , — с е р е д н і л і н і ї ; 2 ) і ’л . в . а д = 2 Відповідь: (2 + 3 ) = 10 (с м ) 10 см . 7 5 . Д ано: E .F , Р І К — ^ с е р е д и н и с т о р ін А В , ВС, CD, DA. Д овести , щ о: EF II РК . 1ГЭ
    • 1) 2) 3) p s ^ABC■, E F — с е р е д н я л і н і я , E F | AC; AADC, P K — с е р е д н я л і н і я , P K | AC; | М а єм о EF |AC, PK | AC, отж е, EF | PK. | | | 76. 1) Ч о т и р и к у тн и к , у я к о го вер­ ш и н а м и є с е р е д и н и с т о р ін д о в іл ь н о г о 1 ) А б В . С , — п а р а л е л о г р а м , о с к іл ь к и AB II А , В , , В В , II АС, о т ж е ВВ, = AC, AC чоти р и к утн и к а є п а р а лело гр а м . с; AC^BD 2 ) А я к щ о д іа г о н а л і р ів н і, т о ц е р о м б . і С — с е р е д и н и с т о р ін 7 7 . Д ано: ABCD — точки 80. чотирикутник, s I Q VO m О C£ FK , N F = - I X 1 <0 O Q 2 I ■ 3 0 Ш 1 АС — ш укан и й трикутник. (C M ), = і AMNK K F, AM KF лм ZDOC = 42° 1 3 8 °, 7 8 . Д ано: ABCD — п р я м о ­ T AB PN — II д іа г о н а л ь к С NB OPAN; ОС, w ZABC w M , N ,F ,K — = 1 4 3 °. А ------------------------ D w AABD — 1 ) Z A = 1 8 0 ° - 1 4 3 ° = 3 7 °; прям окутний, MK | | BD, о с к іл ь к и B D = 2 • 16 = 32 , 3) M NFK — MK ZAD B = 3 0 °, = і ■32 = 16 (c m ); II II , BC. in A , В, С Л .В .С .. 83. Я к щ о д в а п р о т и л е ж н і к у т и го с т р і, то ц е м ож е бути п а р а лело гр а м . 84. Н е м ож е. Н е м о ж у т ь , о с к іл ь к и 7 В, + з 5 + 2. ,С — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія , Д овести, щ о: cvi Z A = 3 7 °, ABCD BA, C .A , 180° - 32° = 1 4 8 °, 8 6 . Д ано: 7 9 . Д ано: AABC — т р и к у т н и к , B .Л . ZC = 85. ром б, = 4 • 16 = 64 ( c m ). B .C . ІІЛ С , 2) Z C = 1 4 8 °. NFBD, M K = ^ B D ; 2) BD = 2 ■AB, В.------------ С З найти: Z A . Z C . З н ай ти : 1) OD; Z A D C = 3 2 °, п рям окутника. ОС Q. Ц М К II P N , т о д і P M A N — п а р а л е л о г р а м , P N = М А, PAKN — п аралелограм , А К = P N , т о д і A M = AK . 82 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , Z A B D = 6 0 °, = 16 CM, N 3 ) Ч ер ез т о ч к у А п роведем о п р я м у 180° - = 4 2 °, Z M N F = 1 3 8 °. кутник, о 1) П роведем о А Р 2 = 1 (c m ): 3 ) Z B O C = Z A O D = 4 2 °, ZAOB = І 81. 2) ? Ш А , В, С в ід р із к а м и , M F | AB, М К Ц В С , З ’ єдн аєм о точк и == 2 ,5 (c m ); NM FK 2) т од і п роведем о .4 bo ok .o cc MK = AC; 2 N F = ^ -5 = 2,b NF F с т о р ін . D З н а й т и : а ) M F , FK , М К , N M ; б ) A N , /.F, /.К, Z M . 1) M N F K — п а р а л е л о г р а м , о с к іл ь к и МК, M N В А, В, С. AM FK д л я я кого А , В, С — с е р е д и н и с е р е д и н и с т о р ін . II К Д ано: А, В АА^В^С^. П обудувати АС = 5 с м , BD = 2 с м , /LAOD - 4 2 °, М , F ,K ,M — NF — п ар а лело гр а м . О тж е, rg fa С ,С , ВС = ^A.fi.^; 2 ) О тж е, A C = i ß q ; О С m Q <U AB = = В С ,; — с е р е д и н и с т о р ін т р и к у т н и к а CD, B F 1 AD , ZA B F = 1 7 °. AB = З н а й т и : к у т и т р а п е ц ії. 1) A A B F — - 17 ° - прям ок утн и й , Z A = 90° - 7 3 °, Z B = 9 0 ° -I- 1 7 ° = 1 0 7 °;
    • г 1 ) AACD — п р я м о к у т н и й , ZCAD >= 9 0 ° - 5 2 ° = 3 8 °; 2 ) ZBCA = ZCAD ( я к в н у т р іш н і О с к іл ь к и т р а п е ц ія р ів н о б іч н а , = = ZC= 7 3 °, 8 7 . Д ано: — прям окутна 1 0 7 °. в р із н о с т о р о н н і п р и п а р а л е л ь н и х ЛВСО в 5 р а з ів б іл ь ш и й к у т и т р а п е ц ії. 1) Н ехай ZD = х °, Х + Ь х = 1 8 0 , 6х = 2) г О = 3 0 °, Z C = (5х)°, ZC = м аєм о 1 8 0 , д: = 3 0 °; 8 8 . Д а н о : ABCD AB = CD, АВ^^ВС, /JBCA = 3 2 °. О с к іл ь к и т р а п е ц ія р ів н о б іч н а , т о к у т и ^ 1 ) Д А В С — р ів н о б е д р е н и й , AB -= В С , 2 ) О тж е, Z ß A D = 32° 2 = 6 4 °, 1 8 0 ° - 6 4 ° = 1 1 6 °, Z A = Z I » = 6 4 °. Д ----------- .С А D ZC = (x + 8 6 )° , 1 8 0 °, 2х = 18 0 - 86 , гС = ZD = 47° + + 8 6 ° = 1 3 3 °. Відповідь: ■= ZC. 2х, = 9 0 , ж = 3 0 °; о т ж е , ZC = 1 2 0 °, ABCD 23. Д а н о : AB = ZD ZA = 6 0 °, = 6 0 °. — т р а п е ц ія , CD. ZDAO = ZADO, ZBCO, ZADO = ZCBD (я к 1 ) A A O D — р івш )бедрен и й , ZDAO = ВС і AD 2) Р о зглян ем о АО = і с іч н и х АС і ВС), отж е, — рівнобедрен и й ; OD (з а д о в е д е н и м ), а АЛОВ ADOC, і у м о в о ю ), В О ZAOB = = ZDOC в них О С (з а (я к в ер­ п е р ш о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів , а отж е, 4 7 °, 4 7 °, 1 3 3 °, 1 3 3 °. 9 0 . Р и с . 22 . Д а н о : ABCD — ВО і АО — б іс е к т р и с и . Д о в е с т и , щ о : ZAOB = 9 0 °. АВОС т и к а л ь н і), о т ж е , т р и к у т н и к и р ів н і за w 2 ) Z A = Z i ) = 4 7 °, Zx = 1 2 0 °, прямих w м а є м о д: + X + 86 = ZB = тоді в н у т р іш н і р ізн остор он н і п р и п а р а л е л ь н и х w 1 ) Н ехай Z A = х °, х°, = = 9 0 + д:, м а є м о 2дг + х + 9 0 = = 1 8 0 °, але ___________________ _ к у т и т р а п е ц ії. ZABC Д овести , щ о: 89 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія AB = CD, A C - Z A = 8 6 °. З найти: ZBAC 93. Рис. АО = OD. 6 4 °, 6 4 °, 1 1 6 °, 1 1 6 °. ZD, ZB ZB AD п р и о с н о в і р ів н і, Z A = Н ехай .4 bo ok .o Z ß C A = 3 2 °; = 9 4 , л = 4 7 °; А З н а й т и : к у т и т р а п е ц ії. кути т р а п е ц ії. 2х A B ^ C D = ВС, АС ± CD. в ___________ С _______________________ Відповідь: ZBAD = 38 ° + 3 8 ° = 7 6 °, а ZABC = 1 8 0 ° - 7 6 ° = 1 0 4 °. Відповідь: Z A = 7 6 °, Z B = 1 0 4 °, Z D = 5 2 °, ZC = 1 2 8 °. т р а п е ц ія , — т р а п е ц ія , З найти: ZB = ZC - + 3 8 ° = 1 2 8 °; 9 2 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а 1 5 0 °, = Z B = 9 0 °. ZßAC - АС), с іч н ій 3 ) Д А В С — р ів н о б е д р е н и й , Z.D. Знайти: ^ ВС і A D і ZBCD = 9 0 ° прямих отж е т р а п е ц ія , rg 2) т р а п е ц ія , AB = CD. 9 4 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія , 1 ) Z A + Z B = 1 8 0 °, а о с к іл ь к и AB = CD, В М ± AD. ВО Д овести, щ о: і АО — б іс е к т р и с и , т о ZBAO + ZABO 2) Тоді ZAOB = і 1 8 0 ° = 90 °; = 1 8 0 ° - 9 0 ° = 9 0 °. 9 1 . Д ано: ABCD — т р а п е ц і я АС 1 CD, Z D = 5 2 °, АВ = ВС. ^ З н а й т и : к у т и т р а п е ц ії. DM 1) тоді = ВС + AD AM -t- MN = AM D M = AD, ABCM = ADCN с т р и м к у т о м ), але а ВС, AM A D -В С опустим о CN X AD, (з а г іп о т е н у з о ю і го — = отж е, A D - M 'N ■ DN = ------ AM =
    • 2 ) A M + M N + N D = AD. A M + M N = A D - ND. ВС 3) Н ехай = X см , тоді 14 + 14 + л: + 14 + д: = 6 0 , 2д: + 42 = 6 0 , 2 х = 6 0 - 4 2 , . = m d a d J ^ -^ ^ 2AD - A D л-ВС отж е, а AM гл.ж DM= 2ж = 1 8 , х = 9 (с м ), 2 В С = 9 с м , A D = 14 + 9 = 2 3 (с м ). Відповідь: A D + BC 98. A D -В С AB = = ------ ^-------, -А В + ІЗС _ . . ,щ о и треба б у л о д о ­ AD = PABCD . „га 18 с м , AABC 1) С — Л Tx " р ів н о б е д р е н и й , о с к іл ь к и к у т и п р и о с н о в і р ів н і, о т ж е A B = т р а п е ц ія , ВС = X 2) Н ехай B M J. AD, ВС; см , т о д і 1 + 1 + 1 -1 -1 8 = 54, A M = З см , = 11 с м . Зх = 3 6 , jc Відповідь: _______ A D . ВС. 1 )A D = 3 + 11 = ^ З н ай ти : ^ 14 (с м ); A D -2 A M = 1 4 -6 = 8 (с м ). = 12 ( с м ) , В С = 12 с м . 12 с м . 9 9 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , В С I AD, В С = 7 см , .4 bo ok .o ВС - В ___________ ZA, = 54 CM. З найти: B C . 9 5 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а 2) — р ів н о б іч н а т р а п ец ія , CD, A C — б іс е к т р и с а в ес т и . MD 9 с м , 23 с м . ABCD Д ано: rg a n Відповідь: A D = 14 см, ВС ■ 8 см. = w 9 6 . Дано: В у ABCD — рівнобічна трапеція, AB = CD = 16 см, Z A - 6 0 ”, AD + BC ^ 3 8 CM. 1 1 м Знайти: AD. BC. 1) B M X AD, ЛАВМ — прямокутний, ZABM - 90° - 60° = 30°. отже, AB = i 2 2 16 = 8 ( c m ); w AW = i w 2) A M - DAT = 8 c m . Нехай ßC = x c m , тоді A D "-jc + 2 - 8 = x + 16, маємо X + ж + 16 = 38, 2j = 22, і = 11, c ВС = 11 ( c m ), a d = 38 - 11 = 27 (см). Відповідь: 11 см і 27 см. 9 7 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція, AB “ CD. В М — бісектриса, В М і CD. А Р “ 60 см, AB = 14 CM. Знайти: AD і ВС. 1) M BCD — паралелограм, В М •‘ CD = 14 см; 2) /LAMB = ZCBM = ZABM, отже /А М В — рівнобедрений, AB = A M = 14 см; -РдАвя = 16 с м . Зн ай ти : Р ^ „ . 1 ) B C D M — п а р а л е л о г р а м , ВС | D M , В М I CD, о т ж е В С = D M = 7 с м , В М = CD; 2) = AB + AAf + ВМ Рл^^ = А В + ВС + CD + 7 + A M + CD = AB + C D Відповідь: 3 0 с м . о с к іл ь к и 16 + + “ 16 с м , +A D = AB + 7 + AM 14 = ЗО (с м ); =16 cm. 1 0 0 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія , AB = ВМ і ВС = CD, ВС II A D, ________ AD, -А М 10 с м , A D 16 с м . З найти: В М . 1) &AOD — ний; А О = 2) ABOC ний; 3) = i OF OD, O K 1 AD, O K = - AD; — 2 р ів н о б е д р е н и й , п р я м о к у т ­ X ВС, O f = -В С ; 2 ВМ = KF = | (A D + В С ) = ( 1 0 + 1 6 ) = 13 (с м ). Відповідь: 13 с м . 1 0 1 . Д ано: AB п р я м о к у т н и й , р ів н о б е д р е ­ ABCD — т р а п е ц ія , = C D , A C — б іс е к т р и с а к у т а С ,
    • ВС ad 8 - ВС. ВС = X см , M N = х + 6, A D = 8 + 2x, Знай ти : A D і см , Н ехай 14 с м . Зн ай ти : 1) Z.DAC ZBCA - ( я к в н у т р іш н і з а в л а с т и в іс т ю середн ьої л ін ії ^ -А р із в о с т о р о н н і п р и п а р а л е л ь н и х прямих ВС і AD, тоді ZDAC = т р а п е ц ії, м а є м о ZACD, ^ а о т ж е t^ADC — р ів н о б е д р е н и й , ad — = 14 см ; - 14 + 8 + 14 + 14 = 50 (с м ). 2) Відповідь: ad 2х = 103. Н ехай MN — Відповідь: + 8 + 2х (с м ), 17 7а + 4а 7 =-- -— = 2“ “ 24 с м . 8 см . 1 0 8 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія . F Z A -= Z B = 9 0 °, середня л ін ія тр а ­ а е/ — - — = — =8 ,5 6+11 MN = MN X A D = 8 + 16 = 24 (с м ). п е ц ії. б) ^ bc 4х = Зх + В, X = 8, ВС = 8 5 0 см . 1 0 2 . В к а з ів к а с т о р . 1 0 6 . а) ^ n CD (с м ); CM ±AD , AM : MD = 3 : 2 , F K — середня л ін ія . F K „ , M - D 12 см . Знай ти : В С і A D . Д ано: 10а - а + 105. (с м ); а + AD -— ^ Н е м о ж е б у т и , о с к іл ь к и а якщ о ,то&го 2M N = ВС + AD, w BC+AD M N < ВС, 2M N то ф 5 = 15 ( c m ). Відповідь: 5а, 5а = — w MN: В А ’^ а, M N = A D . A D - 9а. 3 = 9 ( c m ), BC = 3 AD = 3 7 + AD 2 2 - 7 - 1 5 3; 2) 11 = 109. ABCD В С + A Z ) = 19 ; т р а п е ц ія . АС — б іс е к т р и с а . ZBAC = ZDAC, M N — середня ZCBD йАВС — 1) MN. >= ZBCA = ZBAC, р ів н о б е д р е н и й , A B = В С ; 2 ) Н ехай В С = Зх, A D = AB = ВС = CD = Зх, 14я: - 1 6 8 . л: = 12 (с м ); 3 ) В С = 12 A B = 12 2. MN = 36 + 60 ВС - 1 6 с м , A D Відповідь: 16 см ABCD і 22 с м . ABCD Л В - МЛГ - 8 см . MN 2 4 8 см . Д ано: — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія . — т р а п е ц ія , середня л ін ія , 110. З = 3 6 (с м ). 5 = 6 0 (с м ). 2 = 2 • ВС, АС ± BD, FK — середня л ін ія . M ^ V IA D . 5х, м аєм о Ззс + 3jc + Зд: + 5ас = 1 6 8 , Відповідь: Д ано; А л ін ія . В С : A B = З : 5, Р = 1 6 8 см . B C + A D - 38; 2) Н е х а й В С - X CM. A D = X + 6 . т о д і * + * + 6 - 3 8 . 2jc = 3 2 . ї = 16 (с м ), 16 + 6 = 22 (с м ). 9 с м , 15 с м . Д ано: — р ів н о б іч н а Знайти: ВС + BD. 1 016. Д а н о : о : 6. Дан В С CD — Г ABCD — т р а п е ц ія , M N — с е р е д н я л і н і я , М /— V се о М/----------------- N M N - 19 с м . V / ADІ - В С - 6 с м . М -----З н а й т и : A D і ВС. BC + A D 107. MN — 12 = bo ok . i x ~ 2 ,x = w б) ABCM — прям о­ Zx, M D = 2x, BC + AD З ї + 5x о с к іл ь к и AD ^bx-, F K = BC + A D M N = --- ------ 22 - 1 + AD, A D ВС = кутник. Н ехай A M = .4 , а) AM, or g 1) 1 0 4 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , ВС - 7 с м . M N — се р ед н я л ін ія , M N - 11 с м . З н а й т и ; AD. _д-
    • Довести, що: M N = F K . FK = 1) т од і д у га u A m C = 360° - 1 2 4 ° = 2 3 6 °, д в о е — прям окут­ В М = М О; AAOD — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е ­ н и й A N = ON; н и й і р ів н о б е д р е н и й 2) M N = M O + ON = -B C + - A D = 3) 2 2 BC + AD 9 4 ° • 2 = 1 8 8 °, = 172° (о с к іл ь к и ц ен тр альн и й к у т ). = 4 2 °. ZADC. ZABC = ZADC (я к в п и с а н і, я к і опи раю ться на ^^^Г~~~~~~~~7С о д н у і т у с а м у д у г у ); Z A B C = Z A D C = 4 2 °. A B = 6 см , 14 см . 1 1 7 . Д ано: АС — с е р е д н ю л ін ію . Z A B C = 7 8 °. ВС 1 ) Z S A C ■ 3 0 °, — Хорда, or g MN = I A B = З (с м ): 3-1-14 17 2 Зн ай ти : ZADC. 2 Відповідь: 8 ,5 см . = 8 ,5 (с м ). 1) /yiDC = bo ok . MN = а) о А т С - Зн ай ти : т р а п е ц ія , 2) 2 ) Д а н о : Z A B C = 9 4 °. Знай ти : Z A O C . ZABC А С І AD, гВ А О = 1 2 0 “ , З н ай ти : 2 3 6 ° = 1 1 8 °; 2 1 1 6 . Д ано: 111. Д а н о : ABCD — р ів н о б іч н а AD = i ZABC = ZAOC M N = FK = — вписаний , отж е u A B C = 3 6 0 ° - 1 8 8 ° = 1 7 2 °, BC + A D 4 ) М аєм о ZABC kj ABC-, u A D C = 78° 2 = 1 5 6 °, u A B C = 360° - 156° = 204° 1 1 2 . Ц е н т р а л ь н и й к у т в и м ір ю є т ь с я 2) Z A D C = і д у г о ю , н а я к у в ін с п и р а є т ь с я . і 4 - = 3 0 0 °; 6 Відповідь: 1 0 2 °. 1 1 8 . 1) Д ано: Д А В С , Z C A S = 78° = 2 1 0 °. Зн ай ти : w 3 ) 360° ~ = 9 0 °; 2 ) 3 6 0 ° .4 1) 0 = 360° 2 0 4 ° = 1 0 2 °. ZBOC. ZCAB 1 1 3 . Н е х а й г р а д у с н а м ір а о д н іє ї д у г и О с к іл ь к и х°, вп и сан и й , (х w а др угої -І- 1 0 0 ), м а є м о р ів н я н н я 2х = 360 - 100, w л: -І- J -Н 1 0 0 = 3 6 0 , C 2х = 2 6 0 , X = 1 3 0 °. Г р а д у с н а м ір а о д н іє ї д у г и 1 3 0 °, а д р у г о ї 1 3 0 ° -І- 1 0 0 ° = 2 3 0 °. Відповідь: 114. 1 3 0 ° і 2 3 0 °. — иВС = 1 5 6 °, ZBOC — ц е н т р а л ь н и й , ZBOC = 1 5 6 °. то а 2 ) Д а н о : Z A = 1 2 8 °. В п и с а н и й к у т в и м ір ю є т ь с я п о л о ­ в и н о ю д у г и , н а я к у в ін с п и р а є т ь с я . Зн ай ти : ZBOC. 1) u C ß = 128° X х 2 = 2 5 6 °, 1 ) 4 8 ° •і = 2 4 °: 2 ) 1 2 6 ° і = 6 3 °; и С А В = 360° - 2 5 6 ° = 1 0 4 °; 3 ) 1 8 0 ° - - = 9 0 °; 4 ) 2 5 4 ° 5) а : 2 = - а . ■ ■ = 1 2 7°; 2 ) ZCOB ZBOC = — цен тр альн и й , 1 0 4 °. 1 1 9 . Д ано: ДАВС, О — ц ентр 1 1 5 . 1) Д ано: Z A O C = 1 2 4 °. Зн ай ти : ІЛ ZABC. гАВС = 124°, а) оп и сан ого к о ла, ZA ZB = ZAOB, ZBOC, ZAOC. = 3 6 °, Знай ти : 7 8 °.
    • т 1) Z C - 1 8 0 ° - (3 6 ° + 7 8 °) “ 180° - 114° - 2) u A S - 66° UBC - 36° UAC - •' S 6 6 °; 2 - 2 - 78° • 2 - 8) ZAO B - /ЛОС 1 3 2 °, 7 2 °, 1 5 6 °: 1 3 2 °, ZBOC rtJ - 7 2 °, К — 1 5 6 ° ( я к ц е н т р а л ь н і к у т и ). s 1 2 0 . Д а н о : Д А В С — р ів н о б е д р е н и й , А В = ВС, < BC = u A B j - иАС 3 8 °. Зх, kjBC - Ьх, 7х, т о д і Зх + 5х + 7х = “ 1 5 х “ 3 6 0 °, ААВС. З найти: к ути X= и В С - 24° 1) Z A = Z C = 2 4 °, u A ß = 2 4 ° 5 - a (U 360, З = 72°, 1 2 0 °, 24° • 7 - uAC - 1 6 8 °; 2 ) К у т и т р и к у т н и к а A B C є вп и сан и м и , = і ■3 8 ° = 19° 2 ( я к в п и с а н і к у т и ); отж е Z A = i u B C 2 = i - 1 2 0 ° = 60 °: 2 2 ) Z S = 1 8 0 ° - (1 9 ° + 1 9 ° ) 180° - 38° - 1 4 2 °. 1 9 °, 1 9 °. 1 4 2 °. ZC = iu A ß 2 1 2 1 . Д ано: AB — хорда, иАпВ : иАтВ - 5 : 7 . Л 1 ) З н а й д ем о гр а д у с н у иАпВ - 5х, KjAmB - 7х, т о д і 6х + 7 х - 12х, 12х = 3 6 0 °, X - 3 0 °, Н ехай uA/nß - р а є т ь с я н а д іа м е т р Відповідь: З найти: 2 1 0 °: w w 1 5 0 ° = 7 5 °. Відповідь: 122. 2 1 0 ° = 1 0 5 °; 1 0 5 °, 7 5 °. Д ано: иМ пЛГ - 1 4 0 °, ^KN = -5 :6 . ZNM K. >uMmN = 3 6 0 ° - OMÄ- : З н ай ти : 1) - 140° - 2) 3) 5 X 1 3 1 °. го ю 2 1 3 1 °. 1 2 5 . Р и с . 25 . Д а н о : Z D M K ~ 5 3 °, 1) ZADB = 2 AB; 90° + 41° - 7 - 2) ZAB C = і 2 О 3 6 0 ° , 8 4 ° , 3 6 °. 5 • 3 0 ° ■ 1 5 0 °, ■ 30° Ю 1 2 4 . Р и с . 24. 1 ) ZACB - 9 0 ° , я к в п и с а н и й , я к и й с п и ­ 2) z ix :a - м ір у д у г . отж е и А п 5 - s X Q. = i - 7 2 ° = 3 6 °. 2 .4 bo ok .o Відповідь: Знай ти : Z A B C і ZADB. Z B = і и А С = - ■1 6 8 ° = 8 4 °; 2 2 s rg - Відповідь: w ё 1 ) З н а й д е м о г р а д у с н у м ір у д у г . Н ехай и А В - CD — д іа м е т р . ZCDK. 0 (U 1 T s y^KD - 5 3 ° 2 “ 1 0 6 °; < C M K - 1 8 0 ° - 1 0 6 ° - 7 4 °; j ZC D K — вписани й, ZC D K ro = і • 7 4 ° = 3 7 °. 2 Відповідь: X ‘з- (Si 3 7 °. ААВС — р ів н о б е д р е н и й , AB - ВС, Z B ~ 7 8 °. З н а й т и : и Л М , u M N , yjNC. 1 2 6 . Д ано: 5 Q. L О 2 2 0 °: Ш <иМК - 5ж, а U Z K N ~ 6х, 5х + 6 х - 2 2 0 , 1 1 * - 2 2 0 , х - 2 0 , 2) Н ехай тоді oJiTN 3) 20° /йЯ М К = - 6 - 1 2 0 °; вп и сан и й , 1 2 0 ° = 6 0 °. 2 Відповідь: 6 0 °. 123. 1 ) J30 “ О С - O A f - AMOB — ZB = Z M 2) O N - Д; р ів н о б е д р е н и й , 7 8 °. о т ж е , - (7 8 ° + 7 8 ° ) - Д ано: UAJ5 : и В С : u A C = 3 : 5 : 7 . отж е, З н ай ти : к ути Д АВ С. ц ентральний; uBM - 180° - ZM OB 156° - 2 4 °, о с к іл ь к и - 18 0 ° 2 4 °. ZBOM - l£D
    • 3 ) Z C = Z A = (1 8 0 ° - 7 8 °) : 2 = 1 0 2 ° : ANOC — р ів н о б е д р е н и й , ZC = Z N = 5 1 °, ZNOC = 1 8 0 ° - 5° • 2 : 2 = 5 1 °, = 180° - = 1 0 2 ° = 7 8 °, о т ж е u iV C = 7 8 °; 4 ) u M i V = 1 8 0 ° - (2 4 ° + 7 8 '’) = 1 8 0 ° - 1 0 2 ° = 7 8 °. Відповідь: 2 4 °, 7 8 °, 7 8 °. 127. Д ано: AABC, CD L A B , точки с і F — 1 ) u A B = u ß C = (3 6 0 ° - 1 2 8 ° ) : 2 = — = 2 3 2 ° : 2 = 1 1 6 °; 2) ZCAB ZABC = = I ■1 1 6 ° = 5 8 °; д іа м е т р г іл ь в о п р о т и л е ж н і. 3 ) Z A C B = I • 1 2 8 ° = 6 4 °. Д овести, щ о: AD Д овести, щ о: АС — д іа м е т р и . т о ч к и В, С і D — л е ж а т ь і 6 4 ° , 5 8 °, 5 8 °. Задача має два розв’ зки. 1 3 0 . 1) Н е мож на, оскільки Z C + Z A ■■ 180°, = а у н ас 3 3 ° -І- 1 3 7° = 1 7 0 °, 1 8 0 ° ^ 1 7 0°; 2) М о ж н а , о с к іл ь к и , Z B -І- Z X » = 69 ° + 11 1 ° = 1 8 0°. 131. н а о д н ій п р я м ій . -D .----------------- - С Д ано: Z A = 1 1 9 °, ZB AD = 8 4 °, .4 bo ok .o 1 2 8 . Д ано: Відповідь: rg E F II AB. о с к іл ь к и CD ± 1) ZCDB = ZEDB AB; 2 ) ZCEF — вписаний , я к и й оп и р ається н а д іа м е т р CF, ZC E F = 9 0 °; 3 ) М а є м о Z E D B = Z D E F = 9 0 °, о т ж е , AB і EF. II ВС. ZD . 1 )Z A + Z B = 1 8 0 °, ZC = 1 8 0 ° - 1 1 9 ° = Зн ай ти : Z C і ■ ‘В 6 1 °; ZD = ZD 2 ) Z ß -I- Z D = 1 8 0 °, = 9 6 °. 180° - 8 4 °= = 9 6 °. Відповідь: Z C ААВС — п р я м о к у т н і, о с к і л ь ­ ZABC — в п и с а н і і о п и р а ­ ю т ь с я н а д іа м е т р и , о т ж е , ZD B C — р о з ­ г о р н у т и й , а о т ж е , т о ч к и В, С і D л е ­ 1) AABD ZAB D і і w w ки ж а т ь н а о д н ій п р я м ій . I ABC. ZAOB — ц е н т р а л ь н и й , о т ж е , k AB = 1 2 8 °; j 2 ) A ß = ВС, о т ж е , і и В С = 1 2 8 °; = 128° : 2 = 64° 5 2 °. 5 2 °, 6 4 °. ІП = ZBAC ZD AC = 2 3 °, = 5 2 °. Знай ти : I I випадок: AB A C — д іа м е т р і д іа г о н а л ь , ( я к в п и с а н і к у т и ), Д ано: 1 2 0 ° , Z C = 1 4 0 °, Z D =■ 6 0 °. 1 3 4 . Д ано: ABCD — в п и с а н и й чотирикутник, = 3 6 0 ° - 2 5 6 ° = 1 0 4 °; 2 - М о ж н а , о с к іл ь к и ZB = 3 ) u A C = 360° - 128° • 2 = ZABC = 1 0 4 ° : Відповідь: 6 4 °, 2) 18ä: = 3 6 0 ° , д: = 2 0 , Z A = 4 0 ° , 1) ZACB ZA -Н Z C = Z D + Ьіі + ЬкФЧН + 4А; 1 ) Н е х а й Z A = 2х, Z B = б л , Ix , т о д і 2 x + 6л: + 7jc -Ь Z D ■= 360°, 2x + Тх = 6x + Z D , 9ж - бзс = Z D , Z D = 3x 2) М а е м о 2x + 6x + 7x + 3x = 3 6 0 ° , • Зн ай ти : к ути ■= + Z C = 1 8 0 °, у н а с ZC = / трикутника ZBAC 5, 7, 8 , 4 , т о н е м о ж н а , о с к і л ь к и у в п и ­ сан ом у чоти р и к утн и к у 133. ААВС, AB = ВС, ZAOB = 1 2 8 °. Д ано: 4) = 6 1 °, 1 ) Я к щ о к у т и п р о п о р ц ій н і ч и с л а м 3Ä -І- 8Ä = 5ft + 6fe = l i f t . І випадок: w 129. 132. ВС, ZAOB = 1 2 8 °. З н ай ти : к у т и тр и к утн и к а . 1) ZAFD . ZBAC 5 2 °, < DC = j О с к іл ь к и ZDAC = = 2 3 °, т о u ß C - 4 6 °, 1 0 4 °,
    • J гв со 1 ) Н а д о в іл ь н о м у п р о м е н і в ід к л а д е м о 7 р ів н и х в ід р із к ів ; 2) К ін е ц ь 7 -го в ід р із к у с п о л у ч а є м о з к ін ­ ц е м в ід р із к а , і п р о в о д и м о п р я м і, | А ^ ; = 1 0 4 ° + 4 6 ° = 1 5 0 °; 2 ) u A B = 1 8 0 ° - 4 6 ° = 1 3 4 °, = 1 3 4 ° : 2 = 6 7 °; 3 ) Ä A F X ), - ZA FD = 1 8 0 ° - (6 7 ° + 5 2 °) 3 ) В ід р із к и A B j = ß j-B j ~ ” = B , B j = B j,B , = В , В — р ів н і ( з а т е о р е ­ м о ю Ф а л е с а ). 180° - 119° = 6 1 ' Відповідь: 6 1 °. 1 3 5 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , A jf^ AB = CD, /CKD = ZAKB = 3 6 °. 1 3 9 . Р и с . 26. Д а и о : ABCD — п а р а лело гр а м , M i N — середини • ------- Знайти: п оло ж ен н я ц ен тр а к о л а , оп и сан ого н а в к о ло тр а п ец ії. 1 ) Z.CKD = 3 6 °. г А К О = 1 8 0 ° - 3 6 ° = 1 4 4 °; 2 ) П Ш ) = Z K D A = (1 8 0 ° - 1 4 4 °) : 2 = 1 8 °; гл и в AB і CD ZCAD 3 ) О тж е, = а д уги 4) = 1 8 °, Ц ен тр к о ла ле ж и т ь н а середині ___________________ с т о р ін ВС і A D . ^ N Д о в е с т и , щ о : АЕ = E F = FC. 1 ) /ШСР = &NAE, о с к іл ь к и D ZM C F = Z N A E , Z C A f F = ZA N E і M C = АЛГ (з а у м о в о ю ), о т ж е , АЕ = FC-, 2) B M D N — п а р а л е л о г р а м , о с к іл ь к и В С = 7 см , Л 9 см . rg 1 4 0 . Д а н о : А А , 1 Z, А А , = 5 с м , В В , X І, В В , = 9 с м , А С = В С . З н а й т и : С С ,. ^ f ^ ok .o 13 6. Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , ’ О В т р а п е ц ію м о ж н а д* З н ай ти : bo в п и сати к о л о . _____ Ы - б а б у л о д ов ести . б іл ь ш о ї осн ови . AD - В В М II N D , В М = N D ; 3 ) M F II BE, о т ж е CF - F E ( з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ). М а є м о CF = А Е ■ EF, щ о й т р е ­ р ів н і п о 3 6 °; О с к і л ь к и в т р а п е ц ію м о ж н а в п и с а т и + A D = AB + CD, + 9 ) = 3 2 ( c m ). Відповідь: 3 2 ом . 1 3 7 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , А Л : = 8 см . З н ай ти : .4 ВС w к о ло, то Р = 2 (7 w I AADB ВС. А 8 w г 2) N 8 D т о A D + В С = A B + СХ) = 6 0 : 2 = ЗО (с м ); AK = AN = 8 D M = DN = 8 з а в л а с т и в іс т ю д о т и ч н и х , п р о в е д е н и х з о д н іє ї т о ч к и . A D = 16 (с м ); 3 ) В С = ЗО - 16 = 14 (с м ). Відповідь: 138. 14 с м . Д ано: а— в ід р із о к п о д іл и т и н а 7 р ів н и х частив. В. В. В. В, Д. В. В А^К = АА, сер едн я л ін ія ; У8 1 ) О с к іл ь к и в т р а п е ц ію в п и с а н е к о л о , 2) 1) = 5 см . Ч оти р и к утн и к A^B^BK — п р я м о к у т н а т р а п е ц ія , C ,F E i C^F = А^К = C F = b тоді СС, = 7 - 5 Відповідь: 9+5 —-— = 7 (с м ); CM, = 2 (с м ). 2 см . „ 1 4 1 . Д а н о : &АВС — п рям окутн ий , А С = ВС, A B = 12 CM, к M F ХАВ, М — середина А С . Знай ти : M F. С М 1 ) М К 1 А С , о т ж е , М К II В С , о т ж е A K = = B K = 12 : 2 = 6 ( с м ) ( з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ); 2 ) &АМК — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е ни й , A M = М К , ZA = 4 5 °, A F = K F = 6 : 2 ~ З (с м ) , tiA M F — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е н и й , A F = M F = З (с м ). Відповідь: З см .
    • 142. Д а н о : ABCD BE, E F II CD. AE = fO EF Д овести, щ о; — т р а п е ц ія , = N N , — с е р е д н я л і н і я т р а п е ц ії. 2х = М аєм о —CD. С Зх = 12, х = F П роведем о ß ß i EF В, II 145. D CD, F — середина с т о р о н и A B , (з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ) , о т ­ ж е, EF л ін ія рам . = EF = II ß ß , і ^ßßi (я к с е р е д н я ААВВ^), а л е BCDB^ — п а р а л е л о г ­ ВС II ß j D , ß ß , I CD, о т ж е , ß ß , = CD, EF = м аєм о X + 12 , 4 (с м ). 4, М М , — CD, 4 с м , 8 см . ABCD Д ано: — т р а п е ц ія , M N — середня о д е р ж а л и Л А В В ,. II ß ß j , о т ж е , т о ч к а 4х = N N , = 4 - 2 = 8 (с м ). Відповідь: А х + 12 В С В,_________ _ С л і н і я , MJC = 8 см , N ä : = 15 CM. Знай ти : В С і A D . А ß 1 ) M N II В С і M X II A D , X — с е р е д и н а A C (з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ); 2) Р озглян ем о ДАВС, МК — середн я л і н і я , о т ж е , В С = 2 • 8 = 16 (с м ); щ о й треба AACD, K N 3) Р озглян ем о — середн я б у л о довести. л і н і я , A D = 2 • 15 = ЗО (с м ) . 143. Відповідь: 16 с м , ЗО см . rg ABCD — т р а п е ц ія , AD = 10 с м , A M = M N ^ N F = FB, AD. MM Д ано: 146. Д ано: ABCD M N — середня NK - М К oo k. o ß C = 6 CM, — т р а п е ц ія , л ін ія , M N = 1 5 см , ß = З см . __________ j ; Знай ти : В С і A D . wN D 1 ) О с к іл ь к и M N II В С і M N ЦA D , т о ч к а А NN^ — D .4 b 1) с е р е д н я л і н і я т р а п е ц ії = 8 (CM): w ABCD, NN^ = 2 ) Р о з г л я н е м о т р а п е ц ію NBCN^ □С w w F F , — середн я л ін ія . 3 ) Р о з г л я н е м о т р а п е ц ію A / V N jZ ): 8 -П О = 9 (с м ). М — с е р е д и н а A B , т о т о ч к а ЛГ — с е р е ­ д и н а А С ( з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ); 2 ) Н е х а й M JC = X с м , т о д і X N = л: -І- З, + X + З = 1 5 , 2х = 1 2 , М К = 6 см , N J f = 9 см ; 3 ) ABAC, М К — с е р е д н я л і н і я , м аєм о X ВС = 6 4) 2 = 12 (с м ); AACD, K N AD = 9 — середня л ін ія , 2 = 18 (с м ). Відповідь: 147. 12 с м , 18 с м . Д ано: В С = 8 см , ABCD AD — т р а п е ц ія , = 12 см , M N — се р е д н я л і н і я , ß — Відповідь: 144. 7 с м , 8 с м , 9 см . Д ано: MC, О с к іл ь к и B N = N M = -----------------= M C , то і C M , ^ N, М, = M , N , = N , A (з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ). Н е х а й М М , = X , т о д і N N , = 2 j:, ф іг у р а .С A M M fi А D 1 ) Т о ч к а F є с е р е д и н о ю А С (з а т е о р е ­ м о ю Ф а л е с а ), M F — се р е д н я л ін ія ДВАС, M F = і - 8 З н а й т и : M M , , N W ,. ^ — FK. ААВС, A B = 12 с м , BN = N M = N N , II Aß, М М , II Aß. Знай ти : а: = 6, — т р а п е ц ія . = 4 (с м ); 2 ) F N — середн я л ін ія FN = і - 12 = 6 AACD, (с м ); 3 ) M F = N Ü l = 4 (с м ), о т ж е , j f F = 6 - 4 = 2 (CM). Відповідь: 2 см .
    • ¥ 1 4 8 . Д а н о : ABCD — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія , M N — с е р е д н я л і н і я , D E ‘ = 64, D E = Відповідь: 8 см . M F ^ 7 CM, F N = 9 с м , BD і CA — б іс е к т р и с и к у т ів 152. Р и с . 31 . Д ано: &АВС; DC-. В і С. Зн ай ти : BD = 8 (cm ). A F : f Z ) = 8 : 3. З найти: A E : 1) F — с е р е д и н а А С (з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ), ЛАВС, M F — с е р е д н я л і н і я , 7 = 14 (с м ): 3 ) Z A B D = ZC B D , о с к іл ь к и B D — б і ­ с е к т р и с а ZB , Z C B D = ZA D B (я к в н у т ­ паралельних п р я м и х ВС і A D і с іч н ій B D ). О т ж е , ^B AD — ОС м аєм о— 6 8 (с м ). 0D А = - ; Р и с . 29 . Д а н о : і ßj C, = m Ц 5 CM, ; З н а й т и : A B , і BD. - ~ ; Ц п, A B = 4 с м , Cj ß, = 6 CM. w AB, AB 8 6 B C = 40, б' BC = — , 10. 6 ^ 6 1) П роведем о 20 BD 2 = 14З 1 5 1 . Р и с . з о . Д а н о : с | d, A D | D,£, = 16 с м , D E “ A Dj. З н а й т и : DE. AD, DE AD 16 І а 5BF : см . =■ 4 с м , 4FD-, FD = - BF; 4 2) CD Ix DF ■ f-> -X CK KE 5 5 ■ З найти: B M . BD = BC + C D = — + 8 = 1 D^E^ ’ DE = і 5 FD EF A M : MK-, B M :F M = 2 : U B M ^ і 2 = 8 ( c m ). Відповідь: 8 см . 3 ’ 3 2 2 = 6 - + 8 = 1 4 - ( c m ), 3 3 1 Відповідь: AB, = 3 - с м ; ^ 3 СК : КЕ. 1 5 4 . Д ано: A B = BC; B F і A K — м е д іа н и ; M F = А CM. 3 DE в ід н о ш е н н я CK KE w :Ё £ = 1 . ВС on 3) BE : ЕА 4 BD - . D C ^ b - . l . 4 w BjC i Г.ЗВС = 2 0 , 5 Р и с . 32 . м а є м о ----- *- = ------ ; ^ ^ В ^ CD C i£ »i’ 2) а б о А Б : £ С = 4 : 3. OD 1) З а в л а с т и в іс т ю п р о п о р ц ій н и х . . . . в ід р із к ів , ' D K II BE, о т ж е , о с к і л ь к и BD = DC, го і Е К ^ КС. Е К = Зх, т о д і ЕС = 6х. 3 ) М а є м о А Е : ЕС = 8 : 6, 2) BE АЕ 6 см . 8 CM, Ь З н ай ти : OD, O D = 6 (с м ). Відповідь: 150. і- C D = - 18 -і- 18 .4 86 = 6 FD Д ано: Р и с . 28. З а в л а с т и в іс т ю п р о п ор ц ій - . . . них в ід р ізк ів , АЕ 153. р ів н о б е д р е н и й , 18 (с м ); 4) - 18 + 14 + Відповідь: 6 8 см . 149 . т о д і за в л а с т и в іс т ю п р о п о р ц ій н и х в ід р із к ів JJ 3P R F А м аєм о ^ =— а 5BF = 4FD; bo ok . AS = AD - FE, 4 9 = 18 (с м ); р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и К С I FD = - B F ; 2 ) t^ C D , F N — с е р е д н я л і н і я , АГ» = 2 DK or g ВС = 2 EC. 1) П роведем о 1 5 5 . Д а н о : A B = ВС, M F 1 A C , M F = 6 см , A N , C M — м е д іа н и . З н а й т и : О О ,. 1) ДАВО , — прям о­ кутний; MF — серед­ н я л ін ія , т о д і ВО, = 6 2 = 12 (с м ). А CD DF’
    • 2 ) B O , : O O , = 2 : 1; * O O , = (1 2 ; 3 ) : 1 = 4 ( c m ) I p s a: Відповідь: 156. BD — 4 см . a <u і 8 см , ВС АС Відповідь: = 14 с м , 158. . А = 11 с м . (U s X Q AD A D = x; DC DC’ X _______ ; 126; см ; 7 ,5 см . 1 0 ,5 Д а н о : Д А В С ; А С = 1 3 ом , В С = 1 8 с м , A B = 2 1 CM. D Знай ти : А О і ОС. З а в л а с т и в іс т ю б іс е к т р и с и к у т а AB ВС 126; 1 2 * = 126 21 , x = — = y = 1 0 ,5 (C M ). DC, Зн ай ти : якщ о 7 • (18 - X ); 5 5x + 7 x = 1) Д ано: ДАВС; б іс е к т р и с а . AD AB ■= 7 _ = — ; 5x 1 8 -1 11 - x; 14x; 8 ■ (1 1 - Л ) = 14 “ 1 1 - x - x ) = Ix-, 4 (1 1 4 4 - 4at = Ю О 3 Відповідь: Ix ; H x = 44; ж = 4. М а є м о : — = -----3 x + 3 ta ca 2 X ■ 5 о 0» X ВС ос — 13 - JC , 21 х 18 ’ 18 6 л + 7ж = 7 АО “ 7 1 3 -J C 6 7х; З - 1 3 ; ІЗ д: = 7 1 3 ; * = 7; 7 ( c m ), о с = 6 (с м ). Відповідь: 159. 7 см , 6 см . Р и с . 3 3 . Д а н о : Д А В С - Д А ,В ,С ,. З н а й т и : н е в ід о м і с т о р о н и ц и х т р и к у т ­ З н ай ти : A B , В С , A C . а ) A C =• 9 + 15 = 2 4 (с м ). н и к ів . б ) Н ех а й A B = а см ; В С = 56 - а ; а ) Я к щ о т р и к у т н и к и п о д іб н і, т о а DC' ВС 5а - 3 8а = 3 _■ 9 ■ 56- а w ,0J AB ОС 6 х = 7• (1 3 - х ) ; б х = 7 а 3. (5 6 - а ) : 5а + З а = 3 ВС AB 5 ’ 15’ 56- а А ,В , ВС 5 6 ; а = 2 1 ; A B = 21 с м , АС _ В ,С , 56; w S 1 3 -ї 3 ) Д а н о : A B + В С = 56 см , A D = 9 см , D C ~ 15 с м . АО отж е м аєм о 2x + 6 = 3x; л: = 6 ; С Х » = 6 + 3 = 9 (с м ); jr (O X + 3. A C = 6 + 9 = 15 (с м ). В ід п о в ід ь : 15 с м . ВО; Н е х а й А О ■ де, т о д і w X X кута rg CD - A D = 3 CM. З н а й т и : AC. A D = X, т о д і CD = 2 X К Ц е н т р п ів к о л а л е ж и т ь н а б іс е к т р и с і 4 с м , 7 см . 2 ) Д а н о : A ß : В С = 2 : 3; .4 bo ok .o m 12 1Р = 16 (с м ) ; у ВС. 8 A jC ,’ 6 АС = ^ ; А С = 18 (с м ). В С = 56 - 21 = 35 (с м ). Відповідь: о AB - Відповідь: AB 21 с м , 3 5 с м , 2 4 с м . 1 57. Д ано: ДАВС; ADEF — ром б; С б ) 1) 21 с м , 48 “ В С = 18 с м , BE 2) і ЕС. А О с к іл ь к и ADEF F АЕ — ром б, то В — д іа г о н а л ь р о м б а є і б іс е к т р и с о ю Z A , . BE EC CM EC 18 - АС А ,В , AB AC X. М аєм о: 12 6 А іС , ’ А ,В , 8 ’ 1 2 А ,В ,; А , В , = 4 (с м ). ВС А С = 15 с м . Знай ти : 16 с м , 18 с м . АС . В ,С , А Л ’ 8 В С = 12 Відповідь: ВС 160. 8 ’ 6 6 ; В С = 9 (с м ). Д ано; = 9 см , SABC А^В^ = 4 см . - Д А ,В ,С ,; A B : А С : В С = 7 : 6: 3. З н а й т и : А , В , , А , С , , В ,С ,. - 18-X = Я1. 15’ 1) ід д ^ д сі= ® о с к іл ь к и Д А В С - т о А ,В , :А ,С , :В ,С , = 7 : 6 : 3 .
    • I ^ аавс _ ^ДА,В,С, Н е х а й A , ß , = д:, т о д і A B = — л:. э "с л . Нехай А ,В , = тоді ІХ-, Л,С , = 6л:; В,С, = Зх, ї х + &х + Зх = 8 ; 1 6 х = 8; ж = 0 ,5 ; A ,В , - 0 ,5 0 ,5 оА 3 - 2 ) Н е х а й A B = 3ft, A C = 7ft, В С = 8ft, 1 ,5 (с м ). 2 ) В ,С , = 6 с м ; В ,С , = 3ft, т о д і ft = 2; 7 = 14 (с м ); Л ,С , = 2 6 = 12 (с м ). т о д і A C = — -7 = 4 9 ( c m ); 3 3 )А ,В , = 2 8 ; 7ft = 2 8 ; ft = 4; = 4 6 = 24 (с м ); В ,С , = 4 • 3 - 4) А , В , 3 ) О ск іль к и Д АВ С - ДА,В|С,, то і сторони - В ,С , = 2 0 с м ; А , В , = 7ft; * = 5; A j B , = 5 • 7 B ,C , = 5 161. 35 ( c m ); 6 = 3 0 ( c m ); 3 » 15 ( c m ). Д а н о : Д А В С - Д А ,В , С ,; A C : A B : В С -= 4 : 6 : 7. З н а й т и : А , С ,, В , С ,. А ,В , : А ,С , :В ,С , = 3 : 7 : 8 . А , В , = З * , А ^ С , = 7ft, В ,С , Н ехай = 8ft, 15 т о д і A jC ] = — • 7 = 35 ( c m ); З .4 bo ok .o 5 С т о р о н и Д А В С д о р ів н ю ю т ь 21 с м , 4 9 CM, 56 CM. 12 (с м ). B jC j = 3ft, т о д і 7ft - 3ft =• 2 0 ; 4ft = 2 0 ; іЦ С , - 8 = 56 ( c m ). BC = ^ 3 rg Л ,В , - 2 7 = 1 5 ( с м ) ; А В = - 1 5 = 2 1 (с м ). 5 12 6 = 3 (с м ); B ,С , = 0 ,5 к x = 7 = 3 ,5 (с м ); Л ,С , - 7 7 М а е м о д: + - а: = 36 ; х + - jc = 36; 5 5 8 = 4 0 ( c m ). ВС = — З С т о р о н и ДА^В^С, д о р ів н ю ю т ь 15 см , 35 см , 40 см . В 163. Р и с . 34 . BD | СЕ, о т ж е , | Д ано: АСАЕ - ABAD ( з а п е р ш о ю о з н а к о ю ). АС w 1) 1) О с к іл ь к и Д А В С - ДА,В,С|, то і сторони w т р и к у т н и к а A A jB jC j в ід н о с я т ь с я я к 4 :6 :7 . w 2 ) Н е х а й с т о р о н а А , В , = 4ft, А , В , = 6Ä , С ,В , * - 3; А , С, = З С ,В , = З Відповідь: 7 - 7Л, т о д і 6ft = 18; 4 = 12 (с м ); 21 (с м ). 12 с м , 21 см . 3) AB СЕ BD АЕ AD АС AB BD СЕ ;4 ) AB АС AB :2 ) AD АЕ’ АР DE' 1 6 4 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; A D = 12 см , АЕ = 15 с м , В £ = 5 см . Знай ти : В С . AAED і &ВЕС, в о н и ВС IIA D і в ід т и н а є AAED т р и к у т н и к АВЕС ~ AAED. 1 6 2 . Д а н о : Д А В С - Д А ,В ,С ,; 1) Р о зглян ем о ^алвс • -^д>цв,с, = 7 : 5 ; AB + = 36 ( c m ); AB . AC : ВС г : 7 : 8. п о д іб н і, о с к і л ь к и З н а й т и : A B , A C , В С , А , В , , А , С , , В ,С .. 2) в ід AD АЕ^ BE ВС В ВС = 12 5 12 _ I j ВС 5 ’ 4 (с м ). 15 Відповідь: 165. ' А I ) О с к іл ь к и С &АВС ~ АГ A A jB jC ,, 4 см . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; A F = 10 с м , В С : A D = 2 : 5. Знай ти : A B . ВС ЦA D ,
    • 3 6 * = 12 • (4 - 5 Ä ); ЗЛ = 4 8* - 5 *; 4 ; Ä = 0 ,5 . 2 ) M TV - 0 ,5 5 “ 2 .5 (с м ) ; N F = 0 ,5 9 - 4 ,5 ( c m ) . ГО Відповідь: 4 ,5 с м ; 2 ,5 см . О С 1 6 9 . а ) Д А В £ - ä C D £ (з а п е р т о ю о з ­ н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). В н и х &AFD A jF = 10 C M , — = iC s о с к іл ь к и BF ВС = X, тоді AB - = 1 0 - 4 Відповідь: 6 с м . 168. BF AE’ AD 5 тоді |AD, | BC 5 x - 2 0 ; ;t - 4 ( c m ) ; 10 ГО ABFC, - BF = 4 CM , - 6 (с м ). Д а н о : AABC; A D E F — п а р а л е л о г р а м ; A B = 16 с м , A D = 12 C M , D E - S c m . о З н а й т и : AC. 1 ) О с к іл ь к и A D £ F — п а р а л е л о г р а м , т о BD 16 - AC DE’ 12 - 4 ( c m ) ; О С A C = 20 ( c m ) . го m 2 167. Д ано: ДАВС: А К РЕ — ром б; X X Відповідь: AB - З см . a. tl] S О отж е, озн а­ 170. 4 5 н и х Z C — с п іл ь н и й , у м о в о ю ). Д а н о : Д А В С і АА^В^С^ — р ів н о б ед - р е н і; A B - В С ; А , В , - В ,С ,; ZB = Z B ,. Д о в е с т и : Д Л В С - Д А ,В ,С ,. ß В. 16- А ААВС С а; С, — р ів н о б е д р е н и й , о т ж е к у т и п р и о с н о в і р ів н і, /Л - ZC - (1 8 0 " - ZB) : 2. 2 ) Д А ,В ,С , — р ів н о б е д р е н и й , w А К -К Р -Р Е ^ А Е , о т ж е к у т и п р и о с н о в і р ів н і, ZA, - ZC, - (1 8 0 ’ - Z B , ) : 2. 3 ) М а є м о , щ о в т р и к у т н и к а х р ів н і в ід п о в ід н і к у т и , о т ж е , в о н и п о д іб н і т о б т о с т о р о н у р о м ба . з а п е р ш о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і 1 ) О с к іл ь к и Д А С В - Д £ С Р , о с к і л ь к и т р и к у т н и к ів . w w oc Знайти: с п іл ь ­ п о д іб н і з а п е р ш о ю ABDC, в ZABC - ZB D C ( з а 1) 20 см . 6 см , AC - AC .4 b X ■=r 0 (U 1 T s K ro S diBED - ABAC, в н и х /.В — ZB EC = ZBAC ( з а у м о в о ю ), С кладаєм о 16 AC- ZDEC - ний. oo k. o BC - ADBE. AB п р о п о р ц ію б) в) ДАВС - тоді ДАВС - гіВЕА к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів . Р и с . 38 . DE II A C , Z C ( з а у м о в о ю ), а ( я к в е р т и к а л ь н і). трикутники g 3 ZA ' rg с; m Q (U / !А : г В X З н а й т и : ч и п о д іб н і т р и к у т н и к а ? Р Е II A B , я к с т о р о н и р о м б а , т о д і KP СК АВ~ СА' 2 ) Н е х а й Р Е = X , СЕ - З - X , м а є м о : 3 - х Зж = 18 - 6 * ; 9х - 18 ; 6 З ж = 2 (с м ); с т о р о н а р о м б а 2 с м . 168. Д а н о : Д А В С і Д А ,В ,С ,; : Z C = З : 5 : 7. Z B , н а 2 4 ' б іл ь ш е , н іж Z A , і н а 2 4 ' м е н ш е , н іж Z C ,. В Д ано: ДАВС; АС - 171. 12 с м ; B D 1AC ; B D - 4 см ; M N FK — п р я м о к у т н и к ; M N : N F - 5 : 9. Зн ай ти : M N і W . ^ 1 ) Д А В С ~ ANBF, о с к іл ь к и N F ЦА С . Н е х а й M N - 5Ä, N F - 9 k , B O - 4 ~ 5 * ; S ^ ^ В О . 9k AC 12 " BD ’ 4 - 5 fc . 4 ’ 1 ) З н айдем о к у т и ДАВС. Н ехай г А - 3k, Z B т о д і З * + 5ft + r ft ft - 12; Z A - - 5fc, Z C - 180; 1 5 * - 3 6 ', Z B - 6 0 ', Ik, 180; ZC ~ 8 4 '. 2 ) З н а й д е м о к у т и Д А ,В , С ,. Н е х а й Z B , ~ х ’ , т о д і Z A , = л: - 2 4 , а ZC, - X 24 .
    • х + х - 2 4 + х + 2 4 ‘^ М аем о: Зх 180; А О = 9 CM, ВС = 180; X = 60’ ; Z B , = 60‘ ; / Л , = 60" - 24- - ZC, 36-; = 6 см . Знайти: A D . = 60" + 24" = 8 4 ‘ . А 3 ) М а е м о , щ о в т р и к у т н и к а х в ід п о в ід н і к у т и р ів н і, о т ж е , ЛАВС ~ АА^В^С^ (з а AAOD (о с к іл ь к и в е р т и к а л ь н і), ZBCO 1) д в о е - D ZAOD ZDAO ( я к ZBO C “ п е р ш о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и ­ як к ів ). в н у т р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и п а р а л е л ь ­ них прямих 172. Р и с . 37 . І Д о в е с т и : ААВЕ ~ ACBF. ABCD — п а р а л е л о г р а м , 1 ) О с к іл ь к и /А = (я к п р о т и л е ж н і к у т и п а р а л е вони ВС AD ААВЕ - ACBF (з а п е р ш о ю оз н а - І к о ю п о д іб н о с т і). ABCD — п а р а лело гр а м , ■ ЗО с м , 2 0 CM. Ь D кути .р а л е л о г р а м а . Р о з г л я н е м о < • (2 8 - X) см ; X 2 8 -х ’ Q. (2 8 - л ) = 1 0 ,8 х ; 2 8 - jc = 1,8л:; 2,8х; х = 10; ВО = 10 сэд; v5 , л 0 £ ) = 2 8 - 10 = 18 (с м ). = 1 0 ,8 с м ; 10 с м , 18 с м . X (О со І) У п о д іб н и х т р и к у т н и к ів в ід п о в ід н і 10 см . 70 Ь і: ± D C ; .4 = 1 0 (с м ). ABCD - п а р а л е л о г р а м ; см ; В __________________,С _____________ С В Д ано: • «с о 15 ЗО ВДГ = 4 с м ; ■1AD ; w 174. 20 ВК = , w 20 ВК дповідь: BE ВК’ w ^ «0 А F D 2 (AB + ВС) = 7 0 ; A B + В С = 35 ; ВС. AABF - АСВК (з а п е р ш о ю о з н а к о ю = 35 - ;іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). ВС ВК' 35-В С ВС MN = 2 , і BC + A D ß C -I- A D = 7 2 = 14 ( c m ). ВС ^ X ABOC - ADOA 2) Н ехай CM, A D - 3) (з а п ер ш ою озн ак ою 14 - * . п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). AD ВС' АО М аєм о ОС 2х; Ь 2 177. т го 1 4 -1 X 7д: = 2 8 ; л - В С = 4 с м , A D = 14 - 4 “ [ти: с т о р о н и п а р а л е л о г р а м а . аєм о 1) 5л: = 28 - ___________________ Віі’ ^ З с м . О 3 ААВК п е р ш о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і. .. . ВС AB m 1 7 6 . Д а н о : ABCD — т р а п е ц ія ; ВС ||AD; А О : О С - 5 : 2; M N — с е р е д н я л і н і я ; M N = 7 см . З н а й т и : ВС і AD. — в о н и п р я м о к у т н і, п о д іб н і ір о н и п р о п о р ц ій н і s S X 1 0 ,8 Q. (U ’ 1 0 ,8 (с м ). OD R _ 6 5 “ bo ok . а й т и ; BK. А К Z A = ZC я к п р о т и л е ж н і ACBF ВО OD’ Відповідь: AD ± CD, a d <J T or g Д ано: 6 28 = І = 15 см , '= ВС ’ 3 ) Н ех а й В О = ж см , . 2) Р о з г л я н е м о Д А В Е і &CBF — IB J? і с іч н ій А С ) . 9 СО bAD ^ 54; AD ^ f п р я м о к у т н і. В н и х г о с т р і к у т и р ів н і, І1 7 3 . AD і 2 ) М аем о то ї л о г р а м а ). 'о т ж е , ВС = ' 4 (с м ); 10 (с м ). Д ано: ДАВС; A B = З см , А С = 6 см , ZAB D ZBCA. A D і CD. Д А С В - AABD = Знай ти : 1) ^ З. (з а п е р ш о ю о з н а к о ю 4 ’ п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). 10 - 4 В С = З В С ; 7 В С = 1 4 0 ; Q - 2 0 (с м ); A B - дповідь: 175. - 3 5 - 2 0 = 15 (с м ). 2 0 с м , 15 с м . AB AD » АС' Z 6А2)-3.3; 1 ,5 (с м ). Д ано: 2 ) Х)С = 6 = 1 ,5 - 28 Відповідь: ABCD — т р а п е ц ія ; с м , СО ” 5 CM, б> 4 ,5 (с м ). 1 ,5 с м ; 4 ,5 с м . кП
    • 1 8 2 . Р и с . 39 . Р о з г л я н е м о AABC і Д А ,В , С ,, 1 7 8 . Д ано: М £ - 4 см , р го в них Е К = 3 см , РЕ = 2 с м . З н а й т и : EF. 47’,AB ^ 15 12 с м . С к л а д е м о в ід н о ш е н н я : AB _ 15 З . А ,В , 1) Р о згл я н е м о А М ЕР і AFEK. ВС 18 З В іС , 10 2 ’ 12 2' Ц і триО тж е, к у т н и к и п о д іб н і, ОСКІЛЬКИ як в п и с а н і, = j LK я к і оп и раю ться на одну А М Е Р - AFEK и ту ж д у гу , отж е, (з а п е р ш о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і). 2 ) М а є м о п р о п о р ц ію 12; ME А іВ і і к у т м іж н и м и р ів н и й . О т ж е , Д А В С - Д А ,В ,С , (з а д р у г о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). РЕ FE КЕ E F = 6 (с м ). 1 8 3 . Д ано: і Д А ,В ,С ,. AB А,Щ зо „ ВС . = ^ = 6; 5 В ,С , 7 ■ АС rg 1 7 9 . Д ано: А іС , =? - • ok .o В ід н о ш е н н я р ів н і, о т ж е , Д А В С - Д А ,В ,С , (з а третьою озн акою п о д іб н о с т і три­ к у т н и к ів ). D M в 2 p. CM . D M і CM. ААМС ~ ABM D (з а б іл ь ш е bo перш ою озн ак ою AM DM ■X, т о д і D M л CM ВМ = 2х, , = 3,5 ; A jC j Z A = Z A ,: = 3 .5 ; A jB , ВС + В , С , = 18. З н ай ти : В С і ß ,C ,. В .4 п о д іб н о с т і), о т ж е . CM АС 1 8 3 . Д а н о : Д А В С і Д А ,В ,С ,: З н ай ти : w 9 = д:*: і == 3 ; C M = З с м . 6 CM. З с м , 6 см . w тоді DM = Відповідь: Л 1 8 0 . Р и с . 38 . C A . w 1 ) Д А В С - Д А ,В ,С , (з а д р у г о ю о з н а к о ю ); А К = 4 см , А Е = 8 см . AF. АК^ = А Е ■A F; 16 = 8 ■AF; A F = 2 (с м ). Відповідь: 2 с м . Л Д ано: Знайти: О ААВС П е р е в ір и м о в ід н о ш е н н я в ід п о в ід н и х см . AB і CD — х о р д и , A M = 2 см , M B = 9 см , 2 J C — = 2х 9 ^ . М аєм о, щ о 2 В .С , в т р и к у т н и к а х с т о р о н и п р о п о р ц ій н і с т о р ін Відповідь: E F = 6 Н ехай см , 18 с м , А , В , = 10 см , В ,С , - к с: м (U ZB - ZB, = ВС = - ^ = 3 ,5 ; В С “ Г> /1 ’ * 2 ) М аєм о В С 3 ,5 В ,С .. » 1 1 + В ,С , = В ,С , = 1 8 ; 4 , 5 В ,С , “ 1 8 1 . Д ано: В С = 14 с м . М А — дотична, M C — с іч н а , ВС = 5 с м , С A M = 6 CM. З н а й т и : M B. 1 ) Н е х а й M B = X CM, т о д і M C М аєм о A M * = M C • M B; Відповідь: 1 8 ; 3 . 5 В ,С , + 1 8 ; В ,С , = 4 (с м ); 3 6 = (x: + 5 ) • i cm ; x^ = 4 , Відповідь: 4 с м . отж е jc, = - 9 ; + 5x - MB 14 с м і 4 см . 1 8 4 . Д ано: = 16 с м , ААВС; AB А С = 20 см , AD =■ x + 5. 36 = 0; = 4 (с м ). = 12 см , АЕ - 15 с м . З н а й т и : ч и п о д іб н і ДАВС і AADE? 1) Р озглян ем о AABC і в н и х Z A — с п іл ь н и й . AADF,
    • 2 ) П е р е в ір и м о п р о п о р ц ій н іс т ь с т о р ін . AD АС АЕ = /^С — с п іл ь н и й ; AB 12 4. AD З’ ЛС АЕ з ’ DC = 20 4 „ = — = — . О т ж е , в т р и к у т н и к а х сто15 З , р о н и п р о п о р ц ій н і, а т о м у в о н и п о д іб н і І з а д р у г о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т - # в и к ів ААВС - &ADE. 1 185. о з н а к о ю п о д іб н о с т і, о с к іл ь к и AB ВС АС А В і АСі А ,с , 186. ЬАВС Р и с . 41. і AD AADC 27 187. 9 см і 6 1 • н е п о д іб н і, о с к іл ь к и 9 ’ Cß 12 з ’ 9 ’‘ з ’ Д а н о: 1 ) 5 см , 8 см , 15 с м , 2 5 с м , 2 7 с м . 8 9 1 15 “ 24 ~ 2 7 “ з ’ 6АВС - A A j ß jC , (з а т р е т ь о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). 2) 2 с м , 5 с м , 6 с м і 8 с м , 18 с м , 2 0 см . ^ С ІД А .В .С , з п о д іб н і. = 25 см ; w 1 8 8 . Д а н о : ААВС і AA^Bfi^; ■ ВС : АС = 5 : 7 : 9; А,В^ . :,С, = 3 5 с м ; А , С , = 4 5 с м . В w [а й т и : ч и п о д іб н і т р и к у т н и к и ? А С Л, С, ! ш а д е м о в ід н о ш е н н я с т о р ін 2 5 : 3 5 : 4 5 = 5 : 7 : 9 , о т ж е Д А В С - Д А ,В ,С , (з а п о д іб н о с т і т р и к у т ір е т ь о ю :к ів ). с 189. Д ано: ДАВС; 4С — 5 см , ВС = 6 с м , - 8 см , D £ , = 2 CM. Ь'айти: C D і С Я . ) Р о зглян ем о ААВ С AEDC, DC’ 5 ^ = 1 ,2 5 (с м ); 8 2) AB Z»£ С£ = ^ = ВС С£ ° = С £’ = | = 1.5(см). 1 9 0 . Дано: В ААВС — прямокутний; CD Х АВ, AD = 4 см, BD = 16 см. Знайти: CD. С" CD2 = A D BD; CD» - 4 CD = 8 ( c m ). Відповідь: 8 см. 1 9 1 . Дано: з ААВС — прямокутний; АС = 8 см, CDXAB, A D = 4 см. Знайти: AB. д А С ^ = А В AD; 64 = AB 4; AB = 16 ( cm). Відповідь: 16 см. .4 bo ok .o Ц е р е в ір и м о п р о п о р ц ій н іс т ь с т о р ін . 5 2 Р ос с; го Q. О) Відповідь: 1,25 см; 1,5 см. Р и с . 40. Д А В С - Д А ,В ,С , за т р е т ь о ю w * 5 AB АС _ D E ~ DC ’ < га І о. '< 5 т З rg = 1 9 2 . Дано: В ААВС — прямокутний; CDXAB, AD = 32 см; BD = 18 см. Знайти: АС і ВС. ^ 1) AB = 18 + 32 -= 50 ( cm). 2) AC" = AB AD; AC» - 50 ■32 1 6 0 0 ; AC = 40 ( c m ). 3) ВС» ■ AB BD; ВС* - 50 18 - 900; = ВС = ЗО (см). Відповідь: ЗО см, 40 см. 1 9 3 . Дано: В ААВС — прямокутний; CDLAB, ВС = 4 см, AD = 6 см. Знайти: АС і AB. С‘ 1) Нехай BD = J см, AB » 6 + X, C В С ^ ^ А В BD; 16 = (6 + х) х; л» + 6 C - 16 = О; BD - 2 см, J AB = 6 + 2 = 8 (см); = -8 , = 2. 2 ) АС ‘ = AB BD = S 6 = 48 (см); X ЛІ m S X ‘з0 <и 1 т <0
    • АС = ^^48 = 4 S 2) (с м ). X Відповідь: p 194. Д а н о : ABCD — т р а п е ц ія ; AB = CD, ВС ^ 5 CM, A D = 13 с м , AC 1 CD, CF 1 AD. З н а й т и : CD і CF. го о; с: го 4у[з 8 см ; &AOD — п рям окутний; A D = З + 12 = 15 (CM); см . AO^ A C = 2 - 6>/5 = 12n/5 ( c m ). 3) OD* = A D O D = 3>/5; M D = 15 • 3 = 4 5 ; B D = ö V s (с м ). Відповідь: AC = F 197. ABCD D 1 ) B M 1 A D ; BC = M F ^ b c m . 2 ) &ABM = ADCF (n o г іп о т е н у з і і г о с ­ т р о м у к у т у ) . A M = D F = (1 3 - 5 ) : 2 = = 4 ( c m ), = 4 + 5 = 9 (с м ). .ГИ ; С Я = 9 = 8 см , ВС і AD, - 4 = 36; 13 • 4 - 52; (с м ). Відповідь: CF = 6 см , т р а п е ц ія ; А С CD = 2л/ЇЗ см . ABCD — р ів н о б іч н а X CD, АС = з Т б ; С М 1 A D , Z )M - 4 CM. О М * - A M • MB-, ОМ 2) ВС, AD , CD. w 1 ) AACD — п р я м о к у т н и й : A C ^ ^ A D - AM-, A M ~ X. w X .4 И 0 01 т о д і A D = jc + 4 ; (з -У б ) д:, — ос АМ‘ - А М = АК В М —B N 9; aCj =■ 5. AM &ABN = 5 (с м ); = A D C M (з а г іп о т е ­ н у з о ю і г о с т р и м к у т о м ); AN = M D = 4 я к д о т и ч н і, п р о в е д е н і АК = 18 с м , Відповідь: 1 cm, 9 cm, 1 9 6 . Д ано: ABCD — р о м б ; О М 1 AD; M D = З CM, A M = 12 CM. I) АО = ОС ВО = OD н а лей ром ба. 2 = 3 6 (с м ), 3 6 с м і 16 с м , 12 с м . 1 ) С = г/36 + 6 4 = > / Г 0 0 = 1 0 ( с м ) ; С = V 1 6 + 49 = >/б5 (с м ). 199. 1 ) & = >/225 - 81 = >/Ї44 = 12 (с м ): 2 ) 6 = V 6 4 - 1 6 = V Ü = 4 ^ 3 (с м ). 2 0 0 . Д ано: ABCD — к в а д р а т , Знай ти : А С . 4 = 36 . CZ) = 6 ( c m ). DM = 9 З найти: A C і 9 ■ 16; A B = 5 CM. ( c m ); S C = 5 - 4 = 1 ( c m ). CD* = A D 6 cm. А С = л/25 -І- 25 = V m = = 5%/2 (с м ). В ______________ 201. Д ано: A B = В С = 7 см , A V 90 ‘ , 2 = 16 (с м ). Відповідь: 2) = (jc + 4 ) ■з:; A D = 4 + 5 = 9 (с м ). 2 ) ßJV X A D ; ВС = 8 198. 18 • 8 - + 4л: - 4 5 = 0 ; w 4 5 “ л:* + 4 л ; Z.OBA = 12 (с м ). B N = 8 с м , а A D = 18 'з- + A B - 8 + 18 = 26 (с м ); з о д н іє ї т о ч к и ; т s ZOAB а Д АО В — прям окутний: bo ok . Д ано: Ц е н т р к о л а з н а х о д и т ь с я в т о ч ц і п ер ет и ­ н у б іс е к т р и с , о т ж е , CD = ^l52 = 2-Дз 2 z _ ^ 1 ) Z D A ß + Z A B C = 1 8 0 '. СП* - A Z ) З найти: ВМ A M = 18 CM. ОМ. 6 ( c m ). 195. — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія ; З найти: — п рям окутн и й: С Я “ AF CF - AF тод і AACD 12-75 с м ; B D = 6-v/s см. Д ано: or g 3) AM-, А О = ^/Ї8Ö = 6>/5; DJ <U A M АО^ = A D = 15 • 12 = 18 0; M ^ D BD. — із в л а с т и в о с т е й д іа г о - А С = 6 см , BD ± АС. З найти: B D . 1) О с к іль к и ДАВ С — А" р ів н о б е д р е н и й , т о A D = D C = З с м . 2) A A B D — п рям ок утний:
    • 'ідповідь: 2Iw 3) ВС = 4 = 10 CM. Oß = 10 : 2 = 5 (c m ); AD^ - 0£)^; A O ^ = 169 - 25 = 144; = 12 (c m ); A C - 12 • 2 = 24 (c m ). Відповідь: 207. ) A S = 5 CM, = іа й ти : A C . 8 с м , 10 с м . к Д ано: AM — i)A C 2 = 25 + 64 = 8 9 ; AM = >/89 ( c m ). о м е д іа н а , з = 5 см . Знай ти : A B . 1) A B = 5 CM, A C = 8 cm . 1 ) &AMC — п р я м о к у т н и й ; C M = M B = 6 : 2 = 3 ( c m ); AC‘ = AM^ - M C ‘ ; ВС. bo ok . = A C ^ - A B ^ ß C ^ = 64 - 25 = 39 ; = /39 ( c m ). A C ^ = 25 - 9 = 16 ; A C = 4 ( c m ). AABC 2) 42 . ВС. АВ = ^ І5 2 = Відповідь: X 2 -J T z (cm). 2/Гз CM. ’зо 2 0 8 . Д ано: AABC — п р я м о к у т н и й ; C M — м е д іа н а ; C M = 13 w = 5^/Г5 (c m ). w = 119 + 256 = 37 5; Зн ай ти : A D . 13. 49; DAC A C + B C = 60 - 2 6 ; A C + ß C = 34 . Н е х а й A C = X CM, CB^ AC^ BC = (3 4 - x ) см . З а т е о р е м о ю П іф а г о р а 26^ = - = 64 - 36 = 28 . хГ; + (3 4 - 6 7 6 = х^ + 1 1 5 6 - 6 8 х + х^; 2x2 _ б 8 х + 1 1 5 6 - 6 7 6 = 0; — п рям ок утний; D * = 2 8 - 21 = 7; (О 2 ) A C + B C + A S = 60 ; + 36 — п рям ок утний; IC^ = A B ^ - X т AC, BC, AB. 1 )A M = CM = B M AB = 2 6 CM. Z ) = 7 (c m ). ABAC ш cm. Знай ти : w AACB — п р я м о к у т н и й ; J2 = CB^ + AC^ AB^ = 9 ) &BA-D — п р я м о к у т н и й ; i)2 = AB^ + BD^ A D ‘ = 13 AD = ^ 2x2 _ б 8 х + 48 0 = 0; х2 - 3 4 х + 2 4 0 = 0; (c m ). = 2 8 9 - 2 4 0 = 4 9 ; X, = 17 + 7 = 24 , :05. ABC ан о: X j = 17 - 7 = 10 ; А С = 24 см , ВС — п рям ок утний; ^ : В С = 3 : 4; Д ано: А В = 10 см , q '---------------- -д :а й ти : A C і В С . ) Н ехай A C = Зх, ВС = JopeMOK) П іф а г о р а А В ^ = 2Ьх^-, 25х‘ = 10 с м , А В = 2 6 с м . 209. J = 20 cm . = 400; 5 Супер ГДЗ, 8кл., кн. 1 5х 4 х , т о д і за 16х^ + = 2 0 ; д: = 4. = В С = 15 см , BD 1 BD = АС, 8 см . Знай ти : АС. X (О C Q 2 І .4 ) CD = V l 4 4 - 2 5 = %/ГЇ9 (c m ); ACDB — п р я м о к у т н и й ; = C B ^ + BD^; ос — п рям ок утний; A B ^ = A C 2 + B C ^; A B ^ = 16 + 3 6 = 5 2 ; т р и к у т н и к ; A C = 12 см , ) = 5 с м , ß Z ) = 16 с м . = S T b 8 см , S Д АВ С — прям окутний; ВС = 6 с м , 8 CM. :а й ти : 8; В С A B = 10 см . Д ано: :04. Р и с . дЛВС — а ш = (х + 2) см , з а т е о р е м о ю П іф а г о р а А В ^ = ВС^ + АС^; {х + 2Y ^ х^ + 3 6 ; х‘ +4х + 4 х‘ ^ 36 ; AB 4x2 = 36 - 4; 4 х = 3 2 ; х = 24 CM. IC — п р я м о к у т н и й ; айти: ОС с: го AB - ВС = 2 см. Зн ай т и : AB і ВС. Н е х а й ВС = X с м , lO D — п р я м о к у т н и й ; 103. го А С = 6 см , .З н а й т и : A C . ’Ідповідь: 12 с м , 16 см . 2 0 6 . Д ано: Д АВ С — п рям окутний; = A D = 13 см , = 4 = 16 (см). Відповідь: см . l2. Д а н о : 'CD — р о м б ; BD 3 = 12 (см); 2) А С = 4 V 4 9 - 9 = V i Ö = 2ч/ГЇЇ (с м ). or g ßD = А ß
    • X = 12 ; 1 ) AABD — п р я м о к у т н и й ; AD^ = A ß 2 - BD‘; AD^ = 10 0 AD = 6. 2 ) ACBD — п р я м о к у т н и й ; С Г ) = 7 2 2 5 - 6 4 = л / Г б ї; - 64 = 36 ; А С = 12 213. AC = A D + DC = = 1 8 , 9 см . 1) 7 2 = 12 ( c m ); -1 5 ^ = V40 N 10 = 2 0 (с м ); п рям ок утний; AK = 20 см , + 16 = 160; п ерп ен ди куляру. Д ано: AD 4/Ї0. 1) ABAD bo BD = .4 w = w w (с м ); I I випадок DC AABD — п р я м о к у т н и й ; BD^ = АВ^ - AD^ = 25х‘ 12‘ = 16л:^ 12 = 4 х ,х = 3. — п рям окутний; V 1 6 9 - 2 5 = ч/Ї44 = 12 (с м ); 3 ) В С = 12 + 5 = 17 (с м ). 1 ) Н е х а й A B = 5x, A C = бд:, = ВС = З 5 = З • 6 = 18 (см). 4 5 °. 2) Л А О С — п рям окутний; З найти: A ß = В С , A C . AD ZACD = ВС. A D = CD = 5 A ' то MN, З н а й т и : в ід с т а н ь ВС, BD 1 AC, 1 = 5 см , А В = 13 с м , 2 1 1 . Д ано: Д А В С — р ів н о б е д р е н и й ; BD 1 A C , BD = 12 CM, AB : AC = 5 : 6. AD ok .o Відповідь: AC = з р із н и х б о к ів rg ч/їб0 = 4х/ЇЇЇ. Відповідь: К в ід о с н о в и AADC — п р я м о к у т н и й ; AC‘ = AD^ + DC^; AC^ ■= 144 AC = М / В 2 1 4 . I випадок AB і A C — п о х и л і A 2) 3) A B / о т ж е A C = 40 см . A D = V20^ - 1 6 ^ = V 3 6 -4 = 6 2) / — п рям ок утний; A K = V 25^ АСАК — — прям окутний; о с к іл ь к и АВАК 2) = 4 + 16 = 20 ( c m ). AB = / З найти: A C . AB^BC = AC = / N X M JV, = 15 с м , / 4 С Я - = .40- Зн ай ти : A C . AABD А ВК 2 1 0 . Д ано; 1) 2 = 24 (с м ). Д ано: А В = 25 с м , д AB = ВС, A D 1 ВС, CD = 4 с м , BD = 16 с м . = 12 с м . А В і А С — п о х и л і; АК = 6 + ч / їб ї = 6 + 1 2 ,9 = 1 8 ,9 (с м ). Відповідь: AD А В = 27 - 12 = 15 (с м ); = = Зд:. Ы х С і В з од н о го D. б о к у в ід BD DC = 12 см , = AD = 5 CM, В С = 12 - 5 = 15 (с м ), = 7 (с м ). 215. 15 см , Д ано: 15 с м , 18 см . А В і А С — п о х и л і, 2 1 2 . Д ано: ДАВС; AD BD AB = ВС, A C - A B = 2 CM. BD X АС, BD = 9 с м . Зн ай ти : ВС, AC. 2AD; AD = 27 AD = X см, AB ^ (27 - x ) 2 A D = 54 с м , A B + 2 ) Н ехай AABD (2 7 - x f = = x‘ + см . cm, М __________ ^ ^ 2 ) ABAD — п р я м о к у т н и й ; A D ^=A B ^ - BD^ = х ^ - 25 . 3 ) ACAD — п р я м о к у т н и й ; A D " = А С ^ - Z)C " = ( х + 2)2 - 8 1 . — п рям окутний. За т ео р ем о ю П іф а го р а А В ^ = AB і AC. 1 ) Н е х а й А В = х с м , А С = х + 2. 1 ) 2 А В + A C = 54 с м , A C = 2AB + = 5 CM, Ö C = 9 CM, = 54 с м ; Зн ай ти : A B , X MN, AD^ + BD^-, + 9x^; 729 - Ы х + x^ = 8 1 ; 72 9 - 81 = 54л:; 6 4 8 = 5 4 л ; 4 ) М а є м о : х " - 25 = х^ + 4 х + 4 - 81 ; 4 х = 5 2 ; X = 1 3 ; - 2 5 + 81 - 4 = 4 х ; А В = 13 с м , А С = 15 см .
    • В М — м е д іа н а , СМ = М А = X . АМВС — п р я м о к у т н и й ; 1 ) О с к іл ь к и I 2 1 6 . Д ано; Щ і АС — п о х и л і, то І ДВ = 10 CM, 2) ВС2 = 152 _ ^2 = 2 2 5 - «д е = 6 см , АР ' BD 3 ) ААВС — п р я м о к у т н и й ; В С2 = 172 - ( 2 х )2 = 2 8 9 - 4x2; 5) : Ö C = 5 : 2. З н а й т и ; AD. Л£_ В 1 ) Н е х а й BD = bk, DC = 2k. ■р о з г л я н е м о ABAD — п р я м о к у т н и й ; •SAD‘ = A B ^ - BD^ = 1 0 0 - 25k 2 ) Р о з г л я н е м о ACAD — п р я м о к у т н и й ; = AC^ - DC^ “ 3 6 - 4k I 3 ) М а є м о р ів н іс т ь 36 - 4k^ ■= 1 0 0 - 2 5 * 2 . 2 2 5 - х2 = 2 8 9 - 4x2; 3^2 ^ 2 8 9 - 2 2 5 ; 3x2 = 6 4 ; x ^ = f ; ” S АС = І ^ = 9,1; 611 ВС = ’ : ч/204 = 1 4 ,2 (с м ). ~4k^ + 25*2 = 10 0 - 3 6 ; 2 1 *^ = 64 ; 219. ДАВС BD BD 2100 - 1 6 0 0 500 21 21 21 — р ів н о с т о р о н н ій ; AC, на 4 см м е н ш а З н ай ти : сторону •AD = 10 21 Відповідь: A D = 217. рЛВС lO y fw E ( cm). 21 >/5 10 2) — прям о­ АС, A D - DC = х, AABD — прям окутний; .4 w w а л е 8 (2 - w = 3 CM > за в л а с т и в іс т ю AN = AK = x 10ТИЧНИХ, п р о в е д е н и х 3 о д н іє ї т о ч к и ; 8 ) A ß = 9 + д:, УІС = З + X, В С = 12 см . .І За т ео р ем о ю П іф а го р а ; АВ‘ = АС^ + ВС^; I (9 + х)2 + 122; 81 + 1 8 х + д;2 = 9 + бж + 1 4 4 ; 18л: - 6ж = 15 3 - 8 1 ; Х з = 8 - л / І8 = 8 - 4V 3 = ААВС 3 ) Т о д і стор он а (2 + 7 з ): 4 (2 - 7 з ) . д о р ів н ю є 8 ( 2 + г/з) а бо 8 ( 2 - л / з ) , B M = BK = 9 CM ];+ х ‘ + ■ 12х = f X Х і = 8 + ч/48 = 8 + 4 n ^ = 4 [ l ) ß C = 3 + 9 = 12 (cm); CN BD D j = 64 - 16 = 4 8 ; Ь м = з ом , M B = 9 CM. Э н а й т и ; AC і AB. = тоді A ß 2 = В £|2 + A D 2 ; 4х^ = ( 2 х - 4)2 + х ; 4x2 „ 4^.2 _ 1 6 ^ + 16 + х2; Д ано; CM ^ а B Ö = 2 х - 4. ^/^ЇЇ5 кутний; 12) ААВС. 1 ) Н е х а й с т о р о н а т р и к у т н и к а 2 х см , bo ok . 1 0 50 AB. за стор он у or g AD^ = 1 0 0 - 1600 і Д ано; ^^з) - 4 < 0; о т ж е , с т о р о н а ДАВС 8І2 + у[з). ДАВС 2 2 0 . Д ано: СМ — б іс е к т р и с а ; — п рям окутний; ВМ = 15 см , A M = 2 0 CM. Знай ти : АС і ВС. В М 7 2 ; д: = 6. ^ 4 ) Л C = 3 + 6 = 9 (с м ), і 6 ) А В = 9 + 6 = 15 (с м ). Відповідь: 15 см і 9 см . С ;;2 1 8 . Д ано; ^ ' ЛАВС — п р я м о к у т н и й ; J A B = 17 см , ~ВМ ■Mb — м е д іа н а , = 15 см . ' З найти; Л С і В С . ^ А 1 ) З а в л а с т и в іс т ю б іс е к т р и с и к у т а В ^ ^ ^ , AM АС’ ВС = - А С . 4 з ВС _ 20 А С ’ 4 АС ’
    • AC 2) Н ехай = X 223. BC = cm, т о д і — x . AC^ + ВС^; 3 a т е о р е м о ю П іф а г о р а A ß ^ = I Q. VO ro о d 5 3 ) A C = 2 8 CM, ß C = 2 8 • - = 21 (с м ). 4 Відповідь: 21 с м , 28 см . 2 2 1 . Д ано: ААВС — р ів н о б е д р е н и й ; AB = ВС. АС - AB = 9 с м , A M — б іс е к т р и с а ; BF X AC, B K : K F = 5 : 4. З н а й т и : BF. 1 ) Н е х а й AB = x см, AC = A F = FC = 2) ro C O Q I ■ 3 0 о» 1 T ro Д ано: 2 224. + 9; X x + x _ 2 “ = 15 cm. 145; 1) = ^/8Ї = 9 (с м ). E А AABE — прям окутний; BE = - У 1 6 9 - 2 5 = yjl44 = 12 (с м ). ADBE — п р я м о к у т н и й . З а т ео р ем о ю П іф а г о р а BD^ = ВЕ‘ + DE^ 2) BD = V l 4 4 + 2 5 6 = r/iÖÖ; Відповідь: BD = AC = 20 w 225, ß Z ) = 20 cm. см . A ß = 13 CM, Зн ай ти : A B . 1 ) Д А В С — р ів н о б е д р е н и й ; BN ±А С , ВС АС Д ано: ДАВС; = 14 с м , ^ = 15 см , А ?/ = ЛГС = 24 : 2 = 12 (с м ). A F lß C . М К ± АС, т о д і B N М К — сер едн я л ін ія , AF. BF = X CM, CF = 14 - x . 2 ) Р о з г л я н е м о AAFB — п р я м о к у т н и й ; AF^ = І 32 ■= 1 6 9 - x2. 3 ) Р о з г л я н е м о AACF — п р я м о к у т н и й ; A F ^ = 152 - (1 4 - xY = 2 2 5 - (1 4 - x ) '. 2) II МК, Зн ай ти : 1) Н ех ай iV J f = Л :С = 12 : 2 = 6 (с м ). 3) ААМ К — п рям ок утний; A f f = 12 + 6 = 18 (с м ); МК = V4 = ч/зо^ - 18^ = V 4 8 12 4) AABN АВ^ = 12 = 12 = 2 • 12 = 24 (с м ); о т ж е ß iV - eJ _2 y + ABCD — р ів н о б іч н а ; A ß = DC, A E = 5 CM, DE = 16 c m , BE ± A D ,A B = 13 CM. З н а й т и : BD = A C . A M = ЗО см . ti = D M = j/; Д ано: AJVf — м е д іа н а , Q. 3 = 1 5 (с м ). AF “ _ BC + A D Відповідь: N K ^ = 24 см , J. A D , ß C = д: с м , = j/ + X = A M = 15 ( c m ). Д А В С — р ів н о б е д р е н и й . АС — п рям окутний; NK = A C = 15 + 9 = 24 (с м ); 3 ) BF = л/225 - 144 Відповідь: 9 с м . AB =В С , OF 3) 2 прям окутний; A F = 24 : 2 = 12 (с м ). 222. ААСМ A D = 2і/ + x ; A M = 1 + x . / CM. cm; V А М = л/і7^ - 8 ^ = л / 2 Г ‘ 9 = 5 2) x -2 5 K F~ A F~ 4 ’ x + 9~ 4 ' 8x = 5x + 4 5 ; 3 x = 4 5 ; x = A B = 15 1) w D C I I AABF — см . or g s СМ = 8 J і = 2 8 (с м ). bo ok . ro д: = р ів н о біч н а трап еція; З н а й ти : W Ä' — серед н ю л ін ію . 16 35 = - л : ; 4 ABCD — 35^ = x^ + — x^; A ß = 15 + 2 0 = 3 5 ; .4 D C Q Г0 QJ (U w го Д а н о: А С = 17 с м , С М ± A D , 4 _I 4 ) М аєм о: 22 5 - (1 9 6 - 2 8 x + x^) = 169 - x^; 24 ■ 2 = 4 8 (с м ). 2 2 5 - 1 9 6 + 2 8 x - x^ = 1 6 9 - x^; — п рям окутний; 29 + 2 8 x = 16 9 л/48^ + 12^ = V 2 3 0 4 + 1 4 4 = = 72448 = ч / і 6 - 9 1 7 = 4 - 3 Відповідь: - 4 9 ,2 см . л/Ї7 = 4 9 , 2 . - x^ + x^; 2 8 x = 1 6 9 - 2 9 ; 2 8 x = 1 4 0 ; x = 5. 5 ) A F ^ = 16 9 - 25 = 1 4 4 ; A D = 12 (cm). Відповідь: 12 cm.
    • 1) ■2 2 6 . Д ано: J ^ C D — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія ; II a, M F 1 F N A M FN отж е 2 ) A F = 3 CM, QF - ом = NF ON = 12 CM, = C D = 25 см . Знайти: В С і A D . MF - 2 + 3 = 5 (с м ); = V 1 6 9 - 2 5 = ч / Ш = 12 (cm). Відповідь: 12 см . 230. ^ 5 14 co s а = - ; 1 1) 3 ДЛГ = М Л / = 12 ■ 2 = 24 (с м ). 2) ДАВ/Ї — п р ям ок утн и й ; 'AK NF прям окутний. = c o s Z A = ----- = AB Z A — ш уканий; s V 4 9 • 1 = 7 (c m ). • 8 ) О с к іл ь к и в т р а п е ц ію в п и с а н о к о л о , ■ ifo A D + BC = AB + CD = 2 5 2 = 50 (с м ). ' 4) н е х а й ВС = X с м , т о д і A K + K P + . + PD — 14 + X , о с к іл ь к и A K = D P = 6 AC 6 2 ) c o s a = — ; co s Z A = ------ = - ; 7 AB 7 Z A — ш укан и й . * * . 7 (C M ). їіМ а є м о : д: + 14 + jc = 5 0 ; 2д: = 36 ; = 32 см . 231. - 4ч 16 см , AB. EF. OF 1 AB, fO F X 7ч ій т и : 1) ^ отж е, 1) Б удуєм о п рям ий кут. = ß £ = 16 : 2 = 8 (c m ). 2 ) Н а с т о р о н а х к у т а в ід к л а д а є м о 4 ч . &OEB — п р я м о к у т н и й ; OE = V lO O - 64 = -J36 = 6 (c m ). Я ) F E - ^ O F - OE ; 12) .4 b Відповідь: 8 см , = З см , З 2 ) t g a = З = —; Z A — ш укан и й ; tg Z A = y . 1 w w 0 ^ 4 см . ано: 4 4 і 7 ч. tg а = — , тобто tg Z A = — . w B f = 10 - 6 = 4 (c m ). 228. OjA = AB. 232. я П р о в е д е м о O jJ f 1 О ,Л . =. A B ; КО^ = - O jß = 8 - ^ " .5 (с м ). 3 = 1) s in a = | ; O jÄ - = ^ O i O f - O^K^ ' 1 2 ( c m ). О • 2 ВС s in Z A = — = ------ ; З AB Z A = ш уканий; . 'fc A ir O jO j — п р я м о к у т н и й ; I ^ 1ч^ Зч p , O j = 13 см . Знай ти : 1) t g a = | . oo k. o 2 2 7 . Д ано: O F = Д = 10 см , rg їх - 18 (с м ); ВС = 18 с м , A D ^tdnoeidb: 18 с м , 32 см . 2ч Зч = л / і6 9 - 2 5 = 2 ) s i n a = 0 ,3 = — ; Z A f jSiönoeiöb.- 12 CM. | :229. J пряма Д ано: а; | . M A = 2 CM, i , a , iV B = 3 CM, t AfAT = 13 CM. P З н ай ти : A S . s in Z A = - -
    • fO h- fC iC О С с; m a (ii с, 2 3 3 . Д ано: AABC — п р я м о к у т н и й ; ВС = 5 с м , АС = 13 см . З н а й т и ; 1 ) s in Z A ; 2) cosZ A ; 3) tgZA . 1) Зн айдем о катет ААВЕ в A АС'. 1 ) B D J. A C , A£> = D C = 6 ; 2 = 3 (с м ). — п рям окутний: AB = 2 ) s in /-А VO tg Z A = 234. ßC = AC ВС ^ = — AB 12 fO s I a 2) V 1 6 9 - 2 5 = ^/Ї44 = 12 (с м ); Д ано: — ; 3 ) co s Z A = — ; 13 13 BD і AB~ b’ AD 3 ^ BD і Aß ВС = З см , AB = AD 3 3 ) s in Z A = 5 ■ 8 см . C^ О — п рям окутний; = V 2 5 - 9 = л Я б = 4 (cm). cos Z A = ------ = — ; t g Z A = --------= — . З н а й т и ; 1 ) t g Z A ; 2 ) s in Z A ; 3 ) c o s Z C . m AABD BD 2 3 8 . Д ано; ABCD — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія ; 3 rg A ß = C D = 4 см ; ß C = 6 см ; ------------------------------ А 1 ) З н а й д е м о г іп о т е н у з у RC' о 2) t g Z A = — = -;3) ВМ ; 2 3 5 . Дано: 3) cos a = — . 4 1 a = 1- 16 _ . s m a = ------- ; 16 ^ 4 ; і 4 ч/Ї5 s i n a = -------; = 7 їїї. t g a = -/r5. = cos Z A ; Д ано; 60’. 2 co s Z ß = — . 3 Зн ай ти : A C , A ß . ВС — р ів н о б е д р е н и й ; A C = 6 с м , А Б = ß C = 5 см . З н а й т и ; s in Z A ; c o s Z A ; t g Z A . 2 A C = V 9 - 4 = ч/б (с м ). Відповідь: AB + 1= = 2І. 2 AABC co s Z A = — = — ; 4 2 2 3 9 . 1) Д ано: AABC — п р я м о к у т н и й ; ВС = 2 с м , 2) 2 s in 4 0 ° + tg 4 5 ° = 2 237. — п рям окутний; 2 І . і Л . і 4 2 • = 2 (с м ). Aß 2 = 2 2 1) co sZ ß = 1 ) sin^ 4 5 ° - c o s 6 0 ° = І Л - І Л - і = 0; 2 4 2 2 2 2) 10-6 2 4 ) Z A ß C = 1 8 0 “ - 6 0 “ = 120". s in a cos a 236. 15 Z ß = ZC. A D -B C ААВМ ZA - 1 ) sin^ a + cos^ a = 1; s in ZD , X AD, Aß З н а й т и ; s in a ; t g a . Відповідь: Ш cosZC = ^ 4 ) S in Z A = - г = . CL О 2) о АЛГ = 2) t g a = 5 1 ) О с к іл ь к и т р а п е ц ія р ів н о б іч н а , то Z A = w I "з" 0 ш 1 т s ь ro 2 AC: V 9 + 64 = ч/тЗ; w 1 ro m 2 AC = w О С I Г = 10 см . З н а й т и : к у т и т р а п е ц ії. .4 bo ok .o В AD 2) = З см , A C = Д а н о: A C = З см . s in Z ß = — . 4 Знай ти : A ß , 1) — AB ВС. = s in Z ß ; -JE (с м ).
    • За теор ем ою Ш ф а гор а м аєм о: 4 AB 2) ВС = 12 (см). AB А С ^ + ВС^ = A ß 2 ; ірідповідь: AB 3) Д ан о; АС 16 9 + 14 4 = 4 см ; 2 ^ X 36 = ВС AB = ,2 ) ВС, AB. ВС=2 AB = 2ч/5 (с м ). ; 8 ’ 8 АС = 5 (с м ). 1) 2) Z B = 9 0 ' - 4 3 ' = 47". ^ = co s Z A ; Q 9 0 ,7 3 1 4 ■ 1 2 ,3 0 5 (c m ); = 1 2 ,3 0 5 • sin 4 3 ‘ = 1 2 ,3 0 5 ■ 0 ,6 8 2 ^ 3) w 5 + А ;,2 25 т о д і А В ^ = A C “ + ВС^; w | * » = & w 5 = 25 ^ х = 2; 5 2 5 ж= = 2 ,5 (с м ); A B = 2 ,5 см . Д ано: AABC ; 2) в с = ^ - ^ 5 Z C = 90’, B C = 7 CM. З найти: Z B , A C , A B . 2) ^ AB = 5 3 '. = sin Z A ; BC — — — = 1 1 ,6 3 2 (C M ), 0 ,6 0 1 8 s in Z A 3 )A C = A B COS З Г = 1 1 ,6 3 2 0 ,7 9 8 6 ^ = 9 ,2 8 9 . 4 ) Д ан о: A B = 8 см , A C - •в ) Д а н о : t g ^ 5 см . З найти: Z A , Z B , ВС. 13 = 6 CM. 1) В С = і ЗГ 1) Z B = 90' - = 1,5 (с м ). 1 ,5 с м і 2 ,5 с м . ВС — п рям окутний; Z A = 37‘ , AB = sl6i - 25 = n /зЭ (с м ); АС. 2) — = COS Z A ; AB В С _ 12. COS Z A = - = 0 , 625; 8 13’ ВС = — АС. 13 АС AB = 8 ,3 9 (c m ). AB = X, АС = sin Z A ; АЛ co s 4 3 ° л , sc Л л в . З найти: С ' 2 ) А С = A B ■ cos 4 Г = 10 • 0 ,6 8 2 = 6,82 . 3 ) В С = AB sin 47" = 10 0,7314 = 7,314. 2) Д ан о: А С = 9 см , Z A = 43‘ . З найти: Z B , В С , A B . АВ = - В С І AB. Відповідь: -®- ДАВС — п рям окутний; BC | [Н е х а й AB 72 - 7= = . V313 rg ZA; Ö 4 78 1) Z B = 90' - 4 Г = 43‘ . ZA = j . AB 72 л/зіз ■ Знайти: А С , В С , Z B . б ) Д а н о: А С = 2 см , І , 78 V313 ’ ZA = 4Г. ^ Й Іід п о в ід ь ; 5 с м і >/39 см . fr, т _ 13 A B = 10 CM, с м , 2-У5 см . д = 8 см , 2) В С = >/64 - 25 = ч/39 (с м ). }| 8 н а й т и : 1 2 -7 8 13 V313 .4 bo ok .o 1 ) — — = cos ^ ВЛ Ш- 6 2 4 0 . Д ано: -У іб + 4 = ^З н ай ти : А С і ВС. йкйп S l3 V313 cosZA = | . f ’ о ;, •;> Л ід л о в ід ь ; ^ (с м ). 313^2 = 36 ■ 16 9; 169 313 ^Відповідь: 2 4) Д ано: = 36; - ВС = = 2; 2 169 = 12 с м , ß C = З-УГб см . t g / S = 2. Знайти : = 36; 16 9 V l 4 4 - 9 = >/ї35 = Зч/Ї5 (с м ). Z A = 5 1 ‘ 18'; Z B = 90" - 5 1 '1 8 ' = 3 8 4 2 '. Н ехай АС = х, ВС = ^ д :. 1о 5) Д а н о : A C = 8 с м , В С = 5 см . З найти: Z A , Z B , A B .
    • 1 ) A B = V 6 4 + 25 = 2) ^ = tg Z A ; An n/89 A C = V l4 4 + 144 = 12n/2 (cm). Відповідь: похилі дорівнюють 8ч/з t g Z A = | = 0 ,6 2 5 ; о 2 4 4 . І випадок Д а н о : A D 1 M N , A D = 8 см , ZACD = ЗО", ZAB D = 45". З н а й т и : ВС. Д ано: — р ів н о б е д р е н и й ; A B = ß C = 6 см ; ZA BD = 5 8 ', см; см, а проекції 4-Уз см і 12 см . 1 2у і2 = 32". 3 ) Z C = 9 0 ' - 32" = 5 8 ’ . 241. AABC ( c m ). 1 AC. З н а й т и : A C , ß Z ). 1) A D = H C = | a C; A' BD = A B ■s in 5 8 ‘ = 5 ,0 8 8 2) A D = AB c o s 58" = 6 • = 5 ,1 . AADC AD 2) 6 ,4 ; A D = DC = - A C . і б іс е к т р и с а . 2 3 '; 245. 3) AD = AB A C = с ■ cos а . 2) Д ано: A C Знай ти : ß C і A ß . AC 1) M / 4 5 °Д jy D — п рям окутний; BD 1) Д ано: ДАВС; AB = с, Z A = а. З н а й т и : А С , ВС. ВС = с ■ s in ; A. В AD . „„„ 2) ^ = t g 6 0 °; 2 ) ß C = 8л/з - 8 = Z C = 90", = 7 ,4 cm. w Зн ай ти : A ß , A C , BD, DC. 1 ) ABAD = 8 см ; = в Т з (с м ); розв’ язк и . w w BD = 8л/з (с м ); = 8 ( ч / з - і ) (с м ). 3 ) ß D = 8 ■ cos 2 3 ’ = 8 ■ 0 ,9 2 0 5 = 6 ,2 cm; 3 Задача має два = 7 ,3 6 4 = 7 ,4 ( c m ). ~ BD = AD DC = 8 • 0 ,3 9 0 7 = 3 ,1 2 5 6 = 3 ,1 ( c m ). 2 4 3 . Д ано: A D S. M N , A D = 12 CM, ZACD = 45", ZABD = 6 0 ’ . 8 ÜC = ^ = 8 + 8>/3 = 8 ( l + л/ з) (с м ). ok .o 1) A D = A ß • s i n Z A B K = 8 ■ s in 2 3 “ = Відповідь: = tg 3 0 °; rg MN 2 — прям окутний; AABD — п рям ок утний; I I випадок .4 2) DC bo 2 4 2 . Д а н о : AABC; AB = BC, AB = 8 CM, BD ± AC, ZB = 46". З н а й т и : A C , BD. 1 ) BD — ви со та , і м ед іа н а , Z A B ß = ZCBD = 46" : 2 = D 1 ) ßX ) = A D = 8 см ; A C = 2 • 3 ,2 = 6 ,4 . Відповідь: AC = BD = 5 ,1 . В 0 ,5 2 9 9 = 3 ,2 ; BD = ^ = s in ß; Aß = AC sin ß ЛС 2) AB fc ßc = tgß ; s in ß ’ ßC = ■ tgß’ 3 ) ß C = a ; Z ß = ß; A ß = =iS (cm); cosß 4) AC = 6 ■ a. 2 4 6 . a ) Р и с . 43. З н а й т и : A D і CD. s in 6 0 °; 1) ДАВ С — прям ок утн и й : A C = a ■ tg a; 2) AACD AC ßC = tg a ; — прям окутний: A D = A C ■ co s ß = a • t g a ■ cos ß; 4) A A C D — прям окутний; A D = 12 ( c m ); CD = AC ■s in ß = a ■ t g a ■ s in ß.
    • Еб) З н а й т и : ВС AC , 1) 4) B D = 2 EL . „ В С AC = Т s in a s in a AC ■s m y ; CD — п рям ок утний; AD = s in y ; DC a ■c o s Y ------. AD ^ DC ■cosy = ------- ^ s in a s m у C£> = .1 Щ CD і = s in a ; M )A C 12 ) AD . s in a s in 7 7. Відповідь: BD = m tg — , AB 250. Д ано: п е ц ія ; AB = CE = 2s/ä (c m ); ZCDA Знай ти : = s i n (a + ß ); = a, A M ВС 1) a; — п р я м о к у т н и й ; ------ = t g ß ; •AC ■co s a ■ t g ß; 'D — п р я м о к у т н и к ; = CD^a, = a. а й т и : A D і AC. A AACD — п р я м о к у т н и й ; = • s in a a AD = w tg a s in a 19. Рас ром б; = a. AB = AD, BD. AAOD — п р я м о к у т н и й ; — б іс е к т р и с а Z A ; ZB AD ^ ;г й А С = АО а = - ; 2 AB = ®2 ' а . 2 ’ 8 см . 2 5 1 . Д ано: В ABCD — п р я м о к у т н а т р а п е ц ія ; AB ± A D ; ZBCD = 1 3 5 ‘ ; ВС = 8 с м , CD = 4 с м . А М D З н а й т и : A B і CD. 1 ) C M 1 A D , Z D C M = 135" - 9 0 ‘ = 45". 2)ADCM п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е н и й ; Z C D M = Z D C M = 45"; А 3 ) C M = 2л/2; 4 ) A D = A M + M D = 8 + 2r/2 = = 2 (4 + >/2 ) (c m ). см ; n/2) CM. Z A = 30°, Z D = 1 2 0 ’ . = а; А О = ОС = — ; 2 m 2cos2 OD = m ^ а -2 -^ 4 -’ = 2>/2. A ß = C M = 2 -У2 (c m ). 2 5 2 . Р и с . 45 . Д а н о : A B = 8 см , ß C = 4 см , za ZDAC Відповідь: A D = 2 (4 + їа й т и : 1) cm ; 3 ) A D = 2 + 2 + 4 = 8 ( c m ). Відповідь: AB = 2І2 tg a Д ано: 2D — = m, 3 )A M = DE = 2 C M = M D = 4 s in 4 5 ° = 4 ~ w = tg a; CD AC w CD AC D E -? f.2 .4 bo ok .o ß = с • (s in a - co s a ■ t g ß). 18 ) - 7-;; = s m a ; E — прям окутний; rg AC = с ■co s В . Д ано: f| ) 1 AD; = 60". = с ■ s in a ; с B K = BD - КС = с sin a - с cos a p rc = |l ) ADCE Ц .^ б О - ; = co s a ; g) ^ C K * 4) CE = ZKAC п AB 4 cm ; ZB AD ß _________ С AD. 51) Д А В С — п р я м о к у т н и й ; іАВ n O t 2cos — 2 р ів н о б іч н а т р а ­ Р и с . 44 . AB = с, ZBAC іа й ти : BK. о: ^ — ABCD — CD; BC = = BM = І Л а В = І 8 А = 4 ( с м );
    • М а є м о : 60 + 7ft + 3ft + 5ft = 3 6 0 , A M = 8cos30° = 8 •^ 4V 3 (см); = 1 5 * = 360 - 60, 1 5 * = 300, k = 20 ; Z 2 = 20" ■ 7 = 140", Z 3 = 6 0 “, Z 4 = 100’ iC ОС с: m а 01 VO m О 3 259. 4г/з 4у з / 3) МО = 4 - H e м о ж е , о с к іл ь к и = 180" • З = 5 4 0 “. I (с м ): Н а й б іл ь ш и й Z 1 8 0 ', т о д і Z 2 + Z 3 + Z 4 + + Z 5 > 360". 1 2 -4 у з / (с м ); 260. 1) І = 1 8 0 "(п - 2 ); 1 8 0 "(л - 2 ) = 16 20 "; л - 2 = 9; 8л/з AD = 4>/3 + 4 - i ^ = 4 + О 12 + 8% /з го о. 4 см ; D C i = 4 t g 30° = 4) I ВМ - 2 )С С , 253. 2) 2) 12 + s S 261. д іа г о н а л е й ; = 11 8 . . . . ---------= 44 (д і а г о н а л і ) . 2 1 ) d = 7 7 ; л " - З л - 1 5 4 = 0; л ■( л - 3 ) ^ 1 ) 4 д іа г о н а л і. 2 В сього 7 • (7 - 3 ) 2 7 -4 ____ 2 n ■(n - 3 ) 254. d л (л-3 ) — і 2 (с м ). Відповідь: л = 1 1 ; 11 к у т ів . 2 “ Z = 1 8 0 "(n - £» = 9 + 4 • 1 5 4 = 9 + 6 1 6 = 6 2 5 ; 3 + 25 28 , = — - — = — = 14 (с т о р ін ). = 14. 2 ) = 540", я к щ о в сі 2) І = 180" oo k. o к у т и п р я м і, т о 9 0 ' ■ 5 = 45 0", 540" ^ 4 5 0 ’ , rg p го (1 4 - 2 ) = 1 8 0 “ ■ 12 = = 2 1 6 0 “. отж е, побудувати таки й п ’яти к утн и к ’з" 0 01 I т S Iго 5 255. 1) X 7 = 1260’ . S = ^ = 8 (C M ^ ;2 ) ^ ( с м Ъ . Н е м о ж е , о с к іл ь к и 1 2 6 0 “ : 9 = 140". 256. С у м а к у т ів з б іл ь ш и т ь с я н а 540"; І , = 1 8 0 -(п - 2 ): І , = 1 8 0 " (л + З - 2 ) = 1 8 0 ’ ( л + 1 ); 2 6 3 . Д ано: ABCD — прям окутний; 1 8 0 л + 180" - (1 8 0 'п - 3 6 0 ') = 540". A D = 8 см , ZD AC = 3 0 “. 257. Знай ти : Д ано: Z 1 : Z 2 : Z 3 : Z 4 : Z 6 : Z 7 - = 4 : 5 : 6 ; 7 : 7 : 8 : 8 . 1) AACD ^ = tg 3 0 = ; — п рям окутний; Зн ай ти : кути . Н е х а й Z 1 = 4Ä , Z 2 = Z4 = Q. = С у м а к у т ів 1 8 0 “ ■ (9 - 2 ) = 1 8 0 ’ х .4 b 1 го m 2 I 262. нем ож ли во. w X w w а: 7k, Z5 = 7k, 5k, 6k, Z3 = Z l = ________________ 4ft + 5ft + 6ft + 1 4 * + 16Ä (с м ); sS 64V3 , 2, - т - = — г - ( с м )• 4 = Відповідь: = 8 0 »; 45* Z 2 = 20" • 5 = 1 0 0 ', Z 3 = 20" Z 4 = 20“ sS = ^ Z 6 = 8ft, т о д і Z = 180" • 5 = 90 0", м а є м о : = ^ СО = 8 . ^ 6 = 120", 64ч/з 2 см . 2 6 4 . Д ано: ABCD — п рям окутник; 7 = 1 4 0 “, Z 5 = 140", Z 6 = Z 7 = 20 • 8 = 1 6 0 “. A ß : A D = 4 : 7; К у т и с е м и к у т н и к а 8 0 “, 1 0 0 “, 120", 140", S = 112 см ^ 140", 1 6 0 “, 1 6 0 “. Знай ти : A B і A D . 258. Н е х а й Z I = 6 0 “, Z 2 “ а Z4 = 7fe + 3ft = 5ft; I 7k, = 360". Z 3 =■ 3ft, 1 ) Н е х а й A B = 4Л, A D = 7ft, т о д і 4ft 7ft “ 1 1 2 , 28*2 „ 1 1 2 , * “ = 4 , * = 2. 2 ) A B = 8 (с м ) , A D = 2 ■ 7 = 14 (с м ). Відповідь: 8 с м і 14 см .
    • 65. Д ано: ABCD — п рям ок утник ; Р д .е і. = 2 1 C M ^ A D - A B = 4. AB і AD. Іе х а й AB = X см , A D = x + 4, U x{x + 4 ) = 2 1 , x^ + i x - 21 = = - 7 , x^ = 3; AB = 3 CM, S = 8 а ■- = 4а6. 2 яайти: 0, = 3 + 4 = 7 (c m ). идповідь: AB ; а = 8 AD cm = 7 cm . — сторона Й = 3; (н а й т и ; д р у гу сторону. = 8^ = 64 (с м " ); = 16 ■ X = 64 ; ь Відповідь: Pj : i>2 = n/З. 274. Р и с . 47 . AABC; AC = 6 с т о р о н а п р я м о к у т н и к а 4 см . В к --------------------яС см , = М С^. Н ех ай M C = A M = 6 - д:. АСАВ - ЛМАК (з а 2) ВС АС п ерш ою ознакою 4 х 1C = 2 Л ; 24 = AM ІОх; X = 2Я^ 275. ABCD 2Д^ см^ | 6 8 . Р и с . 46 . AB = а + 6. + Ь^. Д в а н е р ів н і к в а д р а т и н е м о ж у т ь w 69. іти р ів н і п л о щ і, о с к іл ь к и S = а^. З м е н ш и т ь с я в 16 p ., о с к іл ь к и р а з ів . w !) З б іл ь ш и т ь с я в w 7 0 . 1) а^. 2 71. 16d" Й 72. 278. = 18 sl2 S = Р = — а перим етр в 4 рази. ^2 1 а • ft. ^1) У з р. з б іл ь ш и т ь с я п л о щ а |врям окутника. *2 ) У 5 р. зм ен ш и ться п ло щ а ІВ р я м о к у т н и к а . /8) У 49 р. з б іл ь ш и т ь с я п л о щ а ^П рям окутника. а ь 7 = 1 2 6 (см ^ ). 1 ) а і в — р ів н о в е л и к і; 3 ) д і ж ; 4 ) б і 8. 279. AB = Д ано: ABCD — п а р а лелогр а м ; В___________________ С 9 CM, A D = 12 CM, L Зн ай ти : =AB AD 5 = 912 ~ sin Z A ; = 54ч/з (CM^). Відповідь: Ь4у[з см^. 2 8 0 . Д ано: ABCD — р о м б ; AB = b S cm ; ZB = 120‘ . Знайти: ; 4) У 4 • б = 24 р. з б іл ь ш и т ь с я 'й л о щ а п р я м о к у т н и к а . і X 2 ) б і г — р ів н о в е л и к і; S б т о в 16 р а з ів . а= 277. Z A = 6 0 “. рХ) П л о щ а з б іл ь ш и т ь с я в 12) ft2 ^ — ш уканий квадрат. Ь; В С = а 'о д і = (а + Ь)^. ) а а = а2 . С “ • «>: = а b -, UBPF + Ь^ + 2аЬ. *ABCD ■ ) М а є м о : (а + b f = + 2аЬ ) С торон а Відповідь: = 2 ,4 (с м ). 2 ,4 = 5 ,7 6 (см ^ ). 5 ,7 6 см^. .4 bo ok .o ідповідь: (с м ^ ). 24 - 4д: = 6 л ; Q -X rg 3 ) S = 2 ,4 2 х, п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ); МК 2 CM. тоді іа й т и : АС- 4 ВС Знайти: 1) П ло щ а 4 (о м ). 167. Д а н о : iBCD — к в а д р а т ; и = ОС = R. = 3; Р . = 4 а ; Д ано: їадрата; 6 = 16 см — п р ям ок ут н и к а, Одповідь: 273. f 46; ^ = 7 3 . = 3 cm , !6 6 . 5 ) У 4 р. п л о щ а з б іл ь ш и т ь с я ; Z A = 180‘ - 120“ = 60";
    • S -= {b S ) 2 ' 2 8 5 . Д а н о : ABCD AB = CD = 9 cm; JS s in 6 0 ° = 2 5 - 3 ~ = ■ п а р а лелогр а м ; В_ A D = В С = 15 с м ; BD X DC. Відповідь: 37,5!3 281. Д ано: З н ай ти : см ^. ABCD — п а р а лело гр а м ; В. S = 48 см ^ A B = C D = 6 см ; ^ BM ^ 4S: 6 'D = D C ■ BM-, Відповідь: Д овести: ABCD В — В п а р а лело гр а м ; AB = 8 с м , B N X AD, BN ^ 4 с м , N S..c« = 9 6 c M ^ Л Зн ай ти ; A D і BM . 1) AD ■B N; 96 4 ■AD-, = DC B M = 12 ( c m ). Відповідь: 283. BM-, 2) ABOА — ADOC (з а т р е т ь о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ); 3) ABON = S ^ ^ c- ADOM (з а д р у г о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ); S Л О = ‘^ДІЮ "^ В М <? Л/* 4 ) М а є м о : S^A N “ ^ЛАО BM М ^ЛЛОВ ^AßO.V’ 8ß M = 96; 12 с м , 24 см . = 5,сол- + «л^юс + і DCNM ^ D l^ C ta ABNM ф іг у р и В о с к іл ь к и ск ладаю ться з р ів н и х п л о щ , т о в о н и р ів н о в е л и к і. A ß = 9 см , AD ■=12 см , BM ± A D , ______ BM = 4 C M . А M З н а й т и : BF 1 DC. 2 87. S = a h -, U w S = w 1 ) S = 12 • 4 = 4 8 (CM^); = y = б | (с м ). 289. Відповідь: 5 — с м а б о З см . З п а р а лелогр а м ; 2 8 4 . Д а н о : ABCD S = 54 см2; В З н ай ти : C D і BF. Л; і-8 2 S 21 см . = -a b -, 2 Відповідь: 290. 3) S = i -6 2 9 = 27 (с м ^ ). 27 см^. 1 ) 6 і в; 2 ) б і д ; в і д ; 4 ) г і е. 291. X = 84 Л = 8 4 : 4 = 21 (с м ). Відповідь: Задача м ає два ро зв ’ я зк и . Н ехай C D = Л; 2 1 ) S = 4 ■ 9 = 36 (CM^); CM. 18 см . 288. 5 = -а 2 ) Л = 3 6 ; 12 = 3 ( c m ). ВМ 1AD ; BF 1 C D ; BF - CD = З п Відповідь: w 2 ) ßi=’ = 4 8 : 9 = y i - 8 - 4 , 5 = 1 8 (c M ^ . 2 I I с п о с іб ; 1) Дано: ДАВС; A B = 4 CM, F D CM, т о д і = л: ■(х + 3 ); *2 + Зх - 54 = 0; X, = м аєм о S М BF 6 с м , 9 см . А = ( ї + 3 ) см , + Зд: = 5 4 ; - 9 ; х^ = 6; C D = 6 (с м ); B F = 6 + З = 9 (с м ). Відповідь: д р у го ю ознак ою р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ); Д ано: A B C D — п а р а лело гр а м ; A M D ААОМ = ACON (з а rg 1) .4 bo ok .o 2) 'М 2 4 ( c m ). A D = 96 ; 4 ” 1 0 8 см^. 2 8 6 . Д а н о : ABCD — п а р а л е л о г р а м ; О — т о ч к а п е р е т и н у д іа г о н а л е й . ' 8. 8 см . Д ано: в о н и п р я м о к у т н і; = 9 • 12 = 10 8 (см ^ ). Відповідь: 48 = 6 • S M ; ADBC, = B D = V 2 2 5 - 8 1 = n/144 = 1 2 (с м ); З н а й т иІ:• Б М .. OflCtirl і ІГ xJJ« 282. AABD 2) ВМ ± Х>С. ABCD 1) A C = 7 CM, ZA “ ЗО". Знай ти : S. а) В М LAB-, А В М = А В • sin 30° = 4 і = 2;
    • |б) S = i 2 -7 = 7 (с м Ъ . Н ехай A B = І д е = 7 см , = 12 0'. ВС З н айти: 2 1 2 0 ' = 60"; si n 6 0 ° = 4ч/3 2 CD = - A F ; ^відповідь: i S І2 9 2 . s in 295. 2 :AF = 3 : 2 . Д ано: ДАВС; СВ < А С . BF < АК . ZC. см ^ g Д ано: І1 & Л Б С — р ів н о б е д р е н и й ; oo k. or = В С = 5 см ; АС = 6 см . Знайти: S ^ . 1) BD 1 АС; А АС ■BF Л Л = О С = 6 : 2 = З (с м ). &ABD — ■BD = то тоді п рям окутний; • | 3 ) S, ДАВС = і л С В О 2 = 4 б 4 2 = ААВС — п рям окутний; В І Л С = 12 с м , iCD 1 AB. CD. w w Г В С = 9 см , w 12 с м ^ Д ано: і Знайти: A f f , о с к іл ь к и А С > '■2 ) 3) ^ AB = 54 (с м Ъ ; = V S l + 144 = 54 = I ^МВМ ^ІСВМ- “ 1) S , ^ M = | A M 2) S^cBM B f; = I C M ■B f , отж е s /ИЕ = 15 (с м ); C£> 15; 2 9 7 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; В С II A D . Д овести: ДАО В і М = ^ = 7 .2 (с м ). ACOD 298. 7 ,2 см . 2 9 4 . Д а н о : Д А В С ; AB : ВС = 2 : 3; C D 1 A B ;A F 1. ВС. . З н а й т и : CD, AF. Д ано: ДАВС; A M X ВС; СМ = 8 А — р ів н о в е л и к і, A B = ВС; Відповідь: але A M = MC, щ о й треба б у л о тобто :Сі) = ß 2 9 6 . Д ано: ДАВС; В М — м е д іа н а ; BF 1 АС. довести. ' !) ВС, щ о й треба б у л о Д овести : [ = 1 2 (с м ^ ). jLВідповідь: 1293. = ВС BF < А К , ~ довести. л / 2 5 - 9 = v T e = 4 (с м ): .4 b 2) 2 Відповідь: CD Д овести : ■ВС -A F :A F = ~. 2 = 2ч/3; Е б) S = i - 2 N / 3 - 7 = 7 r / 3 (c M ^ )a 6 o Эда£С = ~ • АС 2х, = Зл:; 1 2х ■СО = і ■З* AF; 2CD = 3AF; а) BF = BC CD-, = ^ В С BF. Т гА В С BF 1 АС-, /.BCF 180' - -A B 1) S . = I Відповідь: 7 см ' І 2 ) Д а н о : ААВС', І ВС = 4 с м . см , В М = 5 см . зн ай ти : S , . „ .
    • 1) ААВМ ВМ — прям окутний; го AM = 24 см . Зн ай ти : A B = 5 + 8 = 13 (с м ); 1 ) A B = 6 + 24 = ЗО (с м ); = V 1 6 9 - 2 5 = л / Г Ї Ї = 12 (с м ); 2) -ВС = і і2 СМ 3) 2) 5 д ^ с = ^ ^ S^c = V 6 -2 4 = 12 (с м ); 13 = = і • ЗО 12 = 180 (с м ^ ). = 78 (с м Ъ . Відповідь: 299. Відповідь: 78 см^. Д а н о : Д А Б С — р ів н о б е д р е н и й ; AB = ВС, BD X А С ; BD = 12 см ; 302. 1 8 0 см^. Д ано: ДАВС — п рям окутний; ß С М — б іс е к т р и с а ; '* AM ВМ AB ^ 5 = ЗО см ; = 4 0 см . З н ай ти : АС “ 6 ' З н ай ти : 1 ) З а в л а с т и в іс т ю б іс е к т р и с и к у т а 5k, AC = 6А, т о д і = Л С = ЗА. AABD — п р я м о к у т н и й ; = AD^ + BD'^; 25k^ = 9k^ + 1 4 4 ; АС 1) Н е х а й A B = AD 16fe2 = 1 4 4 ; 4ft = 12 ; А = 3; ВС ’ ВС ЛС^ + ВС = 4А, т о д і 2 ) A B = ЗО + 40 = 70; 4 9 0 0 = 9А^ + 16А^; 2 5 А ‘‘ = 4 9 0 0 ; 5А = 70 ; А = 14; 18 = 1 0 8 (см-^). 300. 1 0 8 см^. Д ано: ZC = 90"; ВС - АС ААВС; 14 с м . 56 Відповідь: 303. АСВС = 21 56 = 1 1 7 6 (см -“). 1 1 7 6 см *. Д а н о : Д А В С — '® | п рям окутний; 2 С Л С = х ; В С = 14 + д:, т о д і з а т е о р е м о ю + (1 4 + хУ; A B = 26 с м ; OK - ON + 19 6 + 28д: + w 2х^ + 28х + 1 9 6 2х^ + 28х - 4 8 0 = a + b - c 1) r = 6 7 6 = 0; 0; = г = 4 CM. З н а й т и : S ДАВС w Ш ф а г о р а : 26^ = 67 6 = 4 = 56 (с м ). 42 3 )5 = A B = 26 с м ; Знайти: З = 42 (с м ); В С = 14 .4 bo ok .o А С = 14 Відповідь: + 1 4 х - 2 4 0 = 0; D , = 49 + 240 = 289; 2 r + с = о + 6; 8 + 26 w a + ft = 34 ( c m ). т е о р е м о ю П іф а го р а : 26^ X = 10 (с м ); А С = 10 см ; 676 - 7 + 17 X, = - - у - = 10; дГз = - 7 - 17 = - 2 4 ; S = — = 1 2 0 (с м ^ ). А б о н ех ай катети (а - ЬУ - = 14=^; - 196 = ab Д ано: ДАВС — 14; + 6^ = 1 9 6 ; - см , b = 34 - X , т о д і з а = х^ + (3 4 - х'^ , У 68а: + х^-, = 0; 17^ - 2 4 0 = 28 9 - 2 4 0 = 4 9 ; - 17 + 7 = 2 4 ; Хз = 17 - 7 = 10; 24 а б о 24 3) 5 = Відповідь: Д ано: а — = 10. = 120 (с м ^ ). 120 см ^ Р и с . 50. ЛАВС — п р я м о к у т н и й ; г = у/з прям окутний; СМ X AB; A M = 6 а- Ь= 304. 120 см ^ x; - 34л: + 2 4 0 = 0; тоді 6 7 6 - 196 = 2а6; = 240; = 12 0 (с м ^ ). Відповідь: 301. Ь, 2аЬ і 2аЬ; 4 80 = 2аЬ; S = ^ а = 2) Н ехай a = х^ + 1 1 5 6 2х^ - 68л: + 1 1 5 6 - 6 7 6 2х^ - 68х + 4 8 0 = 0; ß C = 14 + 10 = 24 (с м ); СЧІ З ВС “ 4 ■ rg 1 = 2 '^ 2 40 “ Н е х а й А С = ЗА, Aß2 = A C = 6 • 3 = 18 (с м ). 2 ) S. ^ c ВМ ~ ВС ' (с м ); Зн ай ти : ZOBC = ЗО*.
    • 3) Sj = - - 3 - 3 = 4,5(см ^); 2) Н ехай A B = тоді В С = - х . X, 4 ) 5з = - АС а = AB ■s in х 60° = xS л/з 3 - 5 = 7 ,5 (с м ^ ); = 3 6 - (6 + 4 ,5 + 7 ,5 ) = 18 ( с м ’ ). Відповідь: xS 1 І 3) г = а + Ь -с 2 2>/з = 2 2 ^ 3 = ;. 2 _ 2л/3-2_ 4^/з Зн ай ти ; r V 3 - il "^ A D ^ *^ Л / AB Д С )‘ ^ 4ч/з(г/з + і ) * “ ^/3 -l“ ^/3-l~ AM ^AABD ~ • DC Л С = %/з ■^/з(^/з + 1 ) = 3(>/3 + і ) ; 3■Vз(^/з + l ) отж е S. з У з (з + 2ч/з + і) 2 2 ^ллск = 7 " - ? S i- !± S .3 A (2 .V 5 ). І квадрат; AB 9 см. = 2 і ‘‘ = i - 10 ~ ^iCFE ' = 196(CM^); '* = 28 (с м Ъ ; 5 = 25 (CM^); 8 ) C £ = 14 - 4 = 10 ( c m ); ‘ C F = 14 - 9 = 5 ( c m ). 4) = 19 6 - (2 8 + 63 + 2 5 ) = 19 6 - ■ - 11 6 = 8 0 (CM^). ■ Відповідь: y. ^ 306. 1) 8 0 CM^. Р и с . 52 . ^ З н айти: S^. S^, = 36 см2; ■ 2) Si = і ■6 Л 2= — в и с о т а : SддgJf = - • А К 6 (смЪ; ■В М ; ом ; ®дАРО - ~ ' 14 ■9 — 63 (с м ^ ); S. 'urCK ВМ ■= - СК В М ; w 14 w длв £ = w « “ ^A C BD = 1^ 4= В «л л в * : Зн ай ти : 1) 2) 3 0 8 . Д ано: AB = 14 c m ; ВС = 8 см ; B K — б іс е к т р и с а . 1) = — •3 = 21 (с м ^ ); 4 Зн ай ти : = 6>/3 + 9 = 9 + 1 0 ,2 = 1 9 ,2 (с м ^ ). |Ві5пов/0ь; 1 9 ,2 см^. В и с о т и р ів н і. rg 2 ■A M . .4 bo ok .o б) ВС; • BD; 4) ВС = л/з(л/з + і); '3 0 5 . Рис. 51. Д а н о ; ABCD — BE = 4 c m ; D F S^c =^ і 1 ВС; 2 = 2г/з(Тз + і); „ 18 с м “'. Д ано: «лдвс = 2 8 с м ß D : Г»С = 3 : 1. 2 І ' jt 307. :------ д: = ^йСВК АК В М , СК В М ' . СК ^лсвк 2) 3) ВК АК ^ м ж = Відповідь: 309. 14 — б іс е к т р и с а ; -------= — = — СК 8 І. —. 4 1) Р о з д іл и м о с т о р о н у частини. ВМ ВС на З р ів н і = і M C , т о д і ^*Є М а = 2 ,
    • В N Ш M 1 ) Д А 0 0 — п р я м о к у т н и й ; O M ^ = 4 9; O M = 6 (cm), т о д і N M = 6 • 2 = 12 (cm). 2 ) A D = 9 + 4 = 13 (cm); 310. Sp = 12 3 1 1 . Д ано: ABCD — р о м б ; Відповідь: 314. 13 = 1 5 6 ( c m ^). A ß = 15 с м ; BD+AC = ABCD — п а р а лело гр а м . С __________________ 42 см . В . . - 1 2 л + 1 0 8 = 0 ; ж, = 12 ; х , = 9. ВО = 9 см . s^ c = A C = A jß ,; BF ac b f , = C ,F ,. Д bo ok О т ж е , А О = 12 (с м ); D 315. .o 1) ВО = OD; а '^ -------------АО = О С ; А О + В О = 42 : 2 = 21 . 2 ) Н е х а й АО = X с м , В О = 21 - х М О Е — п ря м ок утн и й , о с к іл ь к и AC ± BD. За т е о р е м о ю П іф а г о р а А В ^ = АО ^ + ВО^; 225 = + (2 1 - хУ-, 2 2 5 = х‘ + 441 - 42х + х^ 2х^ - 42х + 4 4 1 - 2 2 5 = 0; 2х^ - 42л: + 2 1 6 = 0; rg Зн ай ти : 3 ) А С = 24 с м ; BD S ; » .» » = ^ ^ = 2 1 6 (C M ^ ). = 18 с м ; 216 см ^ 3 1 2 . Д ано: ABCD — р о м б ; B D : А С = 5 : 2; w ВМ 1 A D ; В М = 60 см . A .4 Відповідь: w 1 ) Н е х а й BD = т о д і 4ВА^ = 25 *2 + і 4 4 /г2. w Z F DA = 4 A ß 2 = 1 6 9 * ^ 2 А В = ІЗ й ; DF = A B = 6,5fe, о с к іл ь к и р о м б а 4а^ 3 1 6 . Д ано: В ABCD — к в а д р а т ; ADEF — р ів н о с т о р о н н ій ; A B = 1 см . „ Знай ти : S , А М 5k, AC = 12Ä, Знай ти : ^ 15 6 см^. Д ано: 2) = « S p o,»« = 60 co s 15° . = -DF^ sin60° = h а бо S ромба 6,5k; 317. = 15° AD c o s 15 ° =d^ + 4 - D (9 0 ° - 6 0 °) ^ = 2^3 - 3. cm"; cos^ 15° Д ано: A C = 26 см ; 6 0 • 6,5ft = 30ft2; 2 • 6 ,5 = ft; ft = 13 (cm). 3 ) S O = 5 • 13 = 6 5 (cm); A C = 12 • 13 = 15 6 (cm); Spa.6a AB = CB = 28 с м ; ЗО см . З н а й ти : S ..„ , 1) = = 65 • 78 = 5 0 7 0 (c m ^ . AC B F Л 25 BF = = 13BF; 313. OM X ABCD — р о м б ; M D = 4 cm; A M = S. Д ано: AD; Зн ай ти : 9 cm. 2 ) A A B f ; A F = x; BF^ - 28* 3 ) ACBF-, BF^ = 30* - (2 6 - x f ; 28 * - д:* = 30 * - (2 6 - д:*);
    • 900 - (676 - 52л: + ж^О; 784 A B = 8 см ; 78 4 - 9 0 0 + 6 7 6 = 52х; 1460 - 900 = 5 2 л ; 560 = 52 х; 56 0 52 4) 140 ZABC = 1 2 0 “. З н ай ти : ВМ 1) X AD; ААВМ — прям окутний; 13 Z A = 180" - 120" = 6 0 ‘ ; (с м ); ВМ 19600 B F = . 784 - 12 + 6 1 3 2 4 9 6 -1 9 6 0 0 112896 336 169 169 2) S . 13 5 ) Яд = і 26 ^ ^8 — 2 = 473; 47з = 9 47з = (с м ); = 3б73(см^). Відповідь: = 3 3 6 (с м ). 3 6 7 3 см ^. 322. а ) Д ано: A B = 8 см ; Відповідь: 3 3 6 с м ^ А б о д р уги й випадок 5д = = A D s in 6 0 ° 169 C D = 6 см ; - “ К р - *’ ) ( Р - с ): A D = 16 см ; Z A = 45*. 26 + 28 + 30 84 р = --------= = 42; Знай ти : А 1) ß ß j ± A D , тоді - 4 16 14 12 = 4 7 1 4 14 • 6 = 24 01Q ч 3 П О ■ *5трапеаії 3 2 S, ’трапеції 2 2 ft. 2 15 + ft 56 = (1 5 + 6 ) AC^CD 472 (см); — п рям ок утний; + 47^ = 9; 3 ; 4 5 + 3ft = 11 2; w w Відповідь: 2) = 3 ) В С = B jC , = 16 - 2 - 4 7 2 = 14 - 4 7 2 ; 3b = 1 1 2 - 4 5 ; 3b = 6 7 ; b = ^ ; 3 Ь = 2 2 І(с м ). 3 A B , = ß ß i = 8 ■^ С , І » = V 3 6 - 32 = 7 Ї = 2 (с м ); -8 ± 1 1 .4 _ 1 9 а+Ь У нас 168 = 12 = 14 = 3 3 6 (с м '“). = 3 8 (см ^ ). 319. 14 .4 bo ok .o = 742 rg 5 д = 7 4 2 (4 2 - 2 6 )(4 2 - 2 8 )(4 2 - 3 0 ) = . 4^2 = (зо - 47г) • 2 > ^ = 6 о 7 2 - 16 = 4 ( і 5 7 2 - 4 ) (с м ^ ). б) Д ано: ABCD f _ — прям окутна т р а п е ц ія ; A D = б 7 з см ; w 22 і см . З CD = 8 3 2 0 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; см ; ZD j = 30‘ . З н ай ти : S. ACC^D — прям окутний. S = 24 с м ^ ВМ 1) СС, = і 1 A D ; В М = 4 см ; C D = і • 8 = 4 (с м ); В С : A D = 4 : 5. ВС і A D . х; A D ВС З найти: Н ехай х + 5х 4 = 24 ; Зд: о 2 ) D C j = 8 • co s 3 0 ° = А М = 5х, т о д і 3 ) В С = А С , = б 7 з - 4 7 з = 2 7 з (см); 4 = 24; д: = 24 : 12 ; д: = 2 (с м ); В С = 2 см . AD = 2 5 = 10 (с м ). Відповідь: 2 с м х 10 см . 3 2 1 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; В С = 6 см ; A D = 12 с м ; у / / / Л М = 4 7 з (с м ); С 27з + б7з - •4 = 8 7 з •2 = 4) S = = 1 б 7 з (с м ^ . Відповідь: 323. 1 б 7 з см ^. Д а н о : ABCD — р ів н о б іч н а ; В С = 9 с м ; A D = 2 7 с м ; B D = 45 см . Зн ай ти :
    • 14 + 18 2) 16 = 16 16 = = 2 5 6 (с м ^ ). Відповідь: A В. 326. С, 2 5 6 см^. ABCD ВС = 10 Д ано: 1) ß ß , X A D ; C C , X A D ; т р а п е ц ія ; A B , = C , ö = (2 7 - 9 ) : 2 = 9 ( c m ); AC D ß , = 9 + 9 = 18 ( c m ). — р ів н о б іч н а З н ай ти : AB^BD 2) = V45^ -1 8 ^ = V 6 3 • 27 = >/3 - 2 7 -2 1 = = (cm ); А 1) = ^ = f 1 6 2 - ^ ї см^. AD і с іч н ій А С ) , rg ß ß , = V lO O - 1 = .4 bo ok .o см ; 4) 5 = І ^ 4 ^ £ і Z ß = Z C = 135‘ . З н ай ти : S , „ „ . 1) S : = 3 3 n/ u ZBAC = ^ = З ^ Я Ї (с м ). 327. 2 ) A A B ß , — п рям окутний; 3 3 Л Т см ^. ABCD — ВС = 28 с м ; Д ано: т р а п е ц ія ; Z A = 1 8 0 ' - 1 3 5 ’ = 45"; - 3 > / ЇЇ = 1 1 - 3 % Я Ї = ( с м ^ ). Відповідь: ■ ß ß i; ß ß , X A D . ABi = ßßi = A B ~ ß 3) A A B ß , — п рям окутний. A D = 9 см ; A D + BC С, 2 ) A ß , = І Х : , = (1 2 - 1 0 ) : 2 = 2 : 2 = 1; 3 2 4 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а ; = CD ^ 8 = ß, = Z ß C A ( я к в н у т р іш н і р із н о - ВС Z.DAC, о с ­ к і л ь к и А С — б іс е к т р и с а , о т ж е ААВС — р ів н о б е д р е н и й , ВС = AB = 10 с м . = 18 - 9 > / n = 1 6 2 > / ^ (c m ^ . Відповідь: Z D AC сторонні при п ар алельн и х п р ям и х = і Aß — б іс е к т р и с а Z A . — п рям ок утний; ß ß i = ^ ß ß ^ - B iD ^ 3) v с м ; A D = 12 с м ; п рям ок утна A D - ß C = 9 см ; А С — б іс е к т р и с а Z A . = 8 ~ = 4>/2 ( c m ). Зн ай ти : S .„ w 3 ) ß C = ß ,C i = 9 - 8л/2 < 0. w П р и та к и х д а н и х задача не м ає р о зв ’я зк у . I I . Я к щ о м е н ш а о с н о в а д о р ів н ю є 9, w то A D = (э + S = £ ± 8 ^ . 4 V 2 А (с м ); С^ D 1 ) СС, X A D ; А С , = ß C = 2 8 см ; ДАСС, — п рям ок утний; 2 = l i l ^ 4 7 2 2 = ZCAC^ = 45", о т ж е , і Z A C C , = 45 ‘ , а о т ж е , Д А С С , — р ів н о б е д р е н и й , А С , = С С , = 2 8 см . = ( l 8 + 8л/2) • 4л/2 = 3 6 V 2 + 16 • 4 = = 36уі2 + 64 = 4(9л/2 + 1 б ) (с м ^ ). 3 2 5 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а ; АС X ß ß ; ВС = 14 с м ; м лг = 3 7 + 28 3) Відповідь: 9 1 0 см^. т р а п е ц ія ; BD, 28 = 6 5 • 1 4 = 3 2 8 . Д ано: ABCD — п р я м о к у т н а З н ай ти : BC + A D 9 + ß C = 37 ( c m ). = 9 1 0 (cm-“). A D = 18 см . 1 ) О с к іл ь к и A C X 2) A D ' AD = CD = то 14 + 18 = 16 (с м ). 14 см ; 12 с м ; Z D = 60". З н ай ти :
    • AC^CD 1) CCj X A D ; C iO = i c D = i — п рям окутн и й; 4) ACjCD — C C , = 10 sin 6 0 ° = 10 ■^ 12 = 6 ( с м ) ; 5) S = C C , = 1 2 s i n 6 0 ° = 1 2 - ^ = 6>/3 (c m ). 10 + 20 Відповідь: 3 ) 5 = ^ ^ ^ - 6 ч / 3 = 1 1 - 6 л / 3 = 66ч/3 (CM^). 331. АС X 66-Уз см^. 3 2 9 . Д а н о : A D - ВС = C D - A B =^2 см ; В BD = 30 см . 10 с м ; В N D = 10 cm ; Д С ,С 0 — п р я м о к у т н и й . 4x = 9 6 ; X = 24 (c m ). AB = 24 AD^ = BD^ 2) cm ; AABD 9 0 ', Z ß C M = Z C ß M = 4 5 ‘ . і р ів н о б е д р е ­ 10 0; = 1 0 0 - 4; NF 4) 5) = BC + AD 2 = 6 Відповідь: BC + AD к 6 = 36 (с м " ). 3 ) ß C = 18 - 10 = 8 (c m ). X 1 ro C Q 2 ß C = 6 cm ; Д ано: ABCD т р а п е ц ія ; Р = 50 с м ; Z A = ZD = ^ X ■ j 8 см ; о Z A = ЗО'; О) “ 4 5 “. В, с, Знай ти : S ^. ТР — р ів н о б іч н а 6+8 ß ß , = 7 ß ß i; 6 0 '; A C — б іс е к т р и с а Z A . З н ай ти : AD = ZD 312 см ^ w 330. 2 4 = 2 6 1 2 = 3 1 2 ( c m 2). w Відповідь: 1) AABC ßß, = Aß, ß. tg 3 0 ° = ( 2 - : c ) - ^ = 2 V 3 - л-Тз — р ів н о б е д р е н и й ; 4 ) СС, = ß ß ,; - 3 0 ' = 90 ; J = c 3 x + xy/3 = 2 S ; 2) Н ехай AB = BC = CD 2 S -x -j3 x { 3 + S ) = 2sl3; X-, 2 ч / з (3 - > / з ) 2 л / з (3 - Т з ) {3 + S ) { 3 - S ) 9 -3 A D =2x. 3 ) П е р и м е т р д о р ів н ю є 50 с м , м а є м о j: + х + д: + 2 j: ” 50 ; 5 x = 50; д: = 10 (c m ); ß C = 10 см ; X r o т s I- 3 ) Н е х а й D C , = X , A ß , = 2 - ж; ДСС,£> - п р я м о к у т н и й ; С С , = х ; Z ß C A = Z ß A C = 30‘ , тоді ZACD = 120" A ß = BC. X) 2 ) A ß + C , 0 = 8 - 6 = 2 см . A A ß ß , — прям окутний; А s = 6 (с м ). 2 36 см ". 3 3 2 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; 4) S . a vO m AD-, п р я м ок утн и й ; СС, X A D " = 9 0 0 - 5 7 6 = 3 2 4 ; A D = 18 (c m ). 18 + 8 I Z A C C , = 45-, о т ж е , А С , = С С , = 6 (с м ). — п рям окутний; - Aß2; S О AAMD — п р я м о к у т н и й н и й ; ZM C D = 45". .4 bo ok .o 4x 2 f = x^ + 100; то 2) 3 ) ДСАС, — (д: + D ABMC — п р я ­ р ів н о б е д р е н и й ; ZC M B = і BD, rg С, З а т е о р е м о ю П іф а г о р а ; = C C f + ß C f; FC, А CD = x + 2, тоді + 4x + 4 = x^ + — р ів н о б іч н а ; П З А CD^ ABCD BD; м окутн и й DC^ o: c: m QФ 75/з см ^. Д ано: 1 ) О с к іл ь к и A C X X, ro З н ай ти : З н ай ти ; 1) Н ехай A ß = П З H ■5>/3 = 15 • 5ч/3 = А С , = 6 см . w ! = бч/з (c m ); = 75лУз (смЪ- 2 ) ß C = A C , = 14 - 6 = 8 (c m ). Відповідь: прям окутний; AD = 20 см . ^ 2У з У з (з - ч / з ) ^ 6 _ i) ( c m ); Q-
    • 5 ) SVp - 7 Відповідь: {~^/з - ?) 2) с м ". 3 ) ß C + A D = A j + C ß = 16 B on 4) S = y 8 = 1 2 8 (с м ^ ). т р а п е ц ія ; см ; см ; Відповідь: см ; см . 1) П р о в е д е м о С С , II AB, т о д і ABCD — CD = 20 ВС С С , = 13 см ; (с м ). CM 1 Д О ; С Л /* = ССІ - С ^Л/^ ADCM — п р я м о к у т н и й ; СМ‘ = CÖ" тоді 3) СМ^ S. 5С + AD = + CD; AS U ß - ß C = 21; 2 A ß = 33 + 21 = 54 ; A D = 54 : 2 = 2 7 (с м ). 2Sx; 2) ß ß , X A ß ; CCj 1 A ß ; 28х; х = 5. 1 4 4 ; CM = 12. .4 bo ok .o 5) х)^; = 2 2 5 - 19 6 + 28л: - д:^; 28х; Зн ай ти : rg м а є м о : 169 - дг^ = 2 2 5 - (1 4 - 365 - 225 = 1 і, J ß C + A D = 2 0 + 13 = 33; C C f - С ,М ^ = 169 - 2 2 5 + 196 = / А У т р а п е ц ію м о ж н а в п и с а т и к о л о . 1) 4 ) Н е х а й С , М = X, т о д і M ß = 14 - х , 169 - см , 140 = = 16 9 - 25 = BC^= 20^ ßßi^ = 13^ - A ß f ; 15 + 29 6 ) 5 л б с о = — 2------ 12 = 4 4 - 6 = AB^ 169 - = 4 0 0 - (2 1 - = 2 6 4 (с м ^ ). 169 - = 4 0 0 - 44 1 + Відповідь: В 26 4 см^. 3 3 4 . Д ано; d а см ; 42x к і З н ай ти : і А F N D K B = 3 + 1 2 = 15 (с м ). w 1) A B = A K 2 ) О с к іл ь к и в т р а п е ц ію в п и с а н о к о л о , w т о В С + A D = A R + C D = ЗО (с м ). A K = AN за в ла с т и в іс т ю д о т и ч н и х , вк = вм п р о в ед е н и х з о д н іє ї т о ч к и . 4 ) B F 1 A ß ; A F = 12 - З = 9 (с м ); XA BF — п р я м о к у т н и й ; BF = ЗО 5) S - - - = 169 + 41; 42x хУ; 42x - x^; = 210; 3 ) ß ß f = 16 9 - 25 = 144; ß ß , = 12 (с м ). w А К=12см . ß C f; = д:; ß C , = 21 - x ; д: = 5; A ß , = 5 cm. A B C Ü — р ів н о б іч н а ВК = З С 1 A D - ß C = 21 CM. 2 ) Р о з г л я н е м о Л С ,С М — п р я м о к у т н и й , о с к іл ь к и / / X т р а п е ц ія ; A ß = 13 с м , C ,ö = 2 9 - 1 5 - 1 4 2 = 32 (cm), ß 12 8 см^. 3 3 6 . Д ано: Зн айти; AB = = ЗО'; A ß = 16 ( c m ). 3 3 3 . Д ано: ABCD — AB = 13 CD = 15 ВС » - 1 3 AD = 29 BF = M N “ 4 2 = 8 (CM). AABF — п р я м о к у т н и й ; Z A 1) (v/3-l) = (7 T 3 - 7 ) - 9^ - л/24 -6 = 12 (с м ). 9 12 = 1 8 0 ( с м 2). 4) A ß + ßC ßß, = ^ = = 33 12 = 6 = 19 8 (c m “' ) . Відповідь: 19 8 с м ^ 3 3 7 . Д ано; A B C D — т р а п е ц ія ; P = 66 cm ; BK = 4 cm ; AK = 9 cm . Зн ай ти : 1) д “ . ВС + A D = A B + C ß = 66 : 2 = 3 3 (см ). 2 ) C ß = 3 3 - 1 3 = 20 (c m ); Відповідь: 18 0 см *. 3 3 5 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а ; OK = О М = = ON = г = 4 с м ; 00 AB, = 9 - 4 = 5 (c m ). 3) A A ß ß , — прям окутний; ß ß , = V 1 6 9 - 2 5 = V l 4 4 = 12 ( c m ). 4) S = Y 12 = 19 8 (c m ^ ). Z A = ЗО . З н ай ти : S „ . В ід п о в ід ь : 198 см*.
    • В АР ІА Н Т 2 Z.B Z.D. = ААЛС, в н и х AB = -= A D (з а у м о в о ю ), а АС — с п іл ь н а с т о р о н а , ZBAC = ZDAC (з а у м о в о ю ). О т ж е , ААВС = ААВС (з а п е р ш о ю о з н а ­ к о ю ), а о т ж е , Z B = Z D . Р о зглян ем о ДАВС і 2. Відповідь: 4 8 ', 7 2 '. 7 . H e м ож уть. С ум а к у т ів AMNP дорівню є Р - о т ж е A D — б іс е к т р и с а . A ß н а 12 um см = ЛАСО (з а п е р ш о ю ZAOB = ZAOC = 9 0 ’ , а 180" = 180", а ц ь о г о 8 . Д ано: ABCD AHUJJ — пз в п а р а лело гр а м ; т / 84 с м , 1 / / / о з н а к о ю ), VO м м е н ш е , н іж A D . отж е, A D Зн ай ти : A B , Т ак и й чоти ри к утн и к накресли ти О ВС, CD, AD. CD, BD = В С , 1) A B = ч; A B -І- A D = 84 : 2 = 42 (с м ). rg 3. щ о й треба б у л о довести . I Q. .L ---------------------- L 2) ЛАВО = ВС, гз > £ О С с: го о. 01 бути не м ож е. отж е X р 1 8 0 ', а с у м а к у т ів п а р а л е л о г р а м а 360", АС, BD = DC. Д о в е с т и : A D X ВС. 1 ) AABD = AACD (з а т р е т ь о ю о з н а к о ю т р и к у т н и к ів ), о т ж е , ZB A D = ZCAD, Д ано: 180* = 48", Z B A D = 7 2 '. о т ж е , Z B = 360" - Р и с . 55 AB ZADB, ZBAD. ABCD; ZC = 180" - (54 * -I- 7 2 ”) = - 126* = 5 4 ‘ , ZADB = 1 0 2 ' - 54* Знай ти : 1 . Р и с . 54 . Д овести; AB = с м , A D = jc + 2. н е м о ж н а , о с к іл ь к и с у м а к у т ів ч о т и ­ 2) Н ехай р и к у т н и к а 3 6 0 ’ , а к о ж н и й го с тр и й к ут М а є м о : j: + д: 4- 12 = 4 2 , 2jc = 30 , .4 bo ok .o м е н ш е 90*. 4. X Н е в ір н о в и з н а ч е н і к у т и X ZB і ZA, = 15, AB = C D = 15 CM, A D = B C = 15 + 12 = 27 (с м ). о с к і л ь к и ї х с у м а п о в и н н а д о р ів н ю в а т и 9. 180", а т а м 1 0 3 ' -І- 6 Г = 1 7 0 ‘ . п а р а лело гр а м ; 5. 1 ) Д а н о : п ар алелогр ам ; ZA = Z C = ZB = ZD = “ 7 ^ / 52‘ : / А^ -----------------------'D 1 8 0 ’ - 5 2 ‘ = 128". ABCD — P = 9 0 CM, 2 ) Д а н о : Z A + Z C = 174", ос .о л X 1 го A B : A D = 2 : 3. A ^ -----------------------'D CD, BC = A D . AB 2k, A D = 3k, + 3 ft) = 9 0 , bk = 4 5 , З найти: A B = 1) Н ех а й т о д і 2 (2 * 2 ) A B = C £i = 9 w К у т и : 52", 5 2 ‘ , 128", 1 2 8 ‘ . Д ано: А = 9. 2 = 18 (с м ), A D = B C = 9 • 3 = 27 ( c m ). Відповідь: ZB = ZD = 'а 0 01 I X Iго 1 0 . а ) Р и с . 58 . w Z A = Z C = 1 7 4 ‘ : 2 = 87", 2 I 180“ - 8 Г = 93’ . ZCBD = ZADB, ZB w К ути : 8 Г , 8 Г , 93‘ , 93‘ . 3) н а 28" б іл ь ш е ZA. = 76" + 28* = 104"; ZA в 4 Z B = 4х, х + х + 28 ^ ZB . + 4х ^ 180; Z A = х, 5х = 1 8 0 ’ ; р. м енш е Н ехай тоді X 180; в) ZA + ZB 4 5 '; = 180*, а н а р и с у н к у 40* + -I- 130* = 170", 170* X = 3 6 ‘ ; Z B = 36" • 4 = 1 4 4 ‘ . К у т и : 3 6 ‘ , З Г , 144‘ . 144‘ . 5. ^ н а в п іл , 7 = 7, 8 ^ 6. = 1 8 0 - 28 = 1 5 2 ’ ; х = 7 6 ’ . 4) а 40* б ) Д і а г о н а л і т о ч к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я Н е х а й Z A = JC т о д і ж + 28 = Z B , , 2х 18 с м , 18 с м , 2 7 с м , 27 с м . 11 . Д ано: AM і CN Д овести: ABCD Ф 180*. — п а р а лело гр а м ; — б іс е к т р и с и . AM | CN. | Ж Z A : Z B = 4 : Ь. Н е х а й Z A = 4k, Z B = 5k, т о д і 4k + 5 k = 1 8 0 ‘ , 9Л = ISO *, k С Д ано: Z A = 20" • 4 = 80*, Z B = 20* = 20", Z A -^ ZC = 8 0 ‘ , Z B = Z D = 100*. Відповідь: 80", 80*, 100", 100". ABCD ZBDC = 6 . Р и с . 57 Д а н о: ZABC = 102", — п а р а лело гр а м ; 54*. D AMCN, в них CN — с п іл ь н а с т о р о н а ; Z M C N = ZD N C ( я к в н у т р іш н і р із н о - 5= 1 0 0 “, 1) Р о зглян ем о N ADCN і стор он н і при п а р а л е л ь н и х п р я м и х MC тс Q.
    • NC), ^D C N і £ )iv і с іч н ій CN к іл ь к и — = Z A /N C , ос­ б іс е к т р и с а , т р и к у т н и к и р ів н і за д р у г о ю о з н а к о ю , о т ж е , та DN, MC j| N D , о т ж е NMCD AM CN — A M 1 CN. лограм , тоді гр а м , о т ж е , 1 2 . Д ано: ABCD = теж паралело­ - ЛС ^5 --------------- п а р а лело гр а м : [■рам: A K — б іс е к т р и с а , ВК = 4 см , КС = г с м . Зн ай ти : ^ / ZA K B = /X A D / 1 6 . 1) Д а н о : ABCD — п а р а ­ лелогр ам ; / Z A : Z B = З : 7, ^ 1 ) В С = 4 -І- З = 7 (с м ), 2) MC — парале­ 1) Z C ’^ Z A = ZA D N ; ^ 2) Z D A N = 90" - ZA D N = 92' - ZC; 3) ZM A N = ZM A D Z D A N = 90* -H 9 0 ‘ - ZC, Z M A N = 1 8 0 ' - Z C ; 4 ) Z A D C = 180" - Z C , о т ж е , Z M A N = = ZADC = 180" - Z C , щ о Й т р е б а б у л о довести. N В__________________с ^ B C -= A D -‘ 7 (см ). (я к в н у т р іш н і р із н о - A N L ВС, A F X CD. З н а й т и : ZN A F . 1) Z A = 5 4 ‘ , Z B = 126’ ; ВС ZK A D , о с к іл ь к и А К — біс ек т р и с а , о т ж е , ААВК — р ів н о б ед р ен и й , AB = ВК = 4 см . 3 ) Z N A F = 3 6 ' -I- 9 0 ' Відповідь: 1 2 6 “. 2 ) Д а н о : ABCD — 3 ) Я = 2 ■ (4 -І- 7 ) = 22 (с м ). п а р а лело гр а м Відповідь: Z A : ZB = 3 Л , BF і B K — в и с о т и . Зн ай ти : ZFB K . Л 1 ) Н е х а й Z A = 3x, Z B = Ix , т о д і 3x + 7x = 18 0, l O x = 1 8 0 , стор онні при п а р а лель н и х п р я м и х AD і с іч н ій А К ), ^В АК але = 22 см . 2 ) Z iV A B = 9 0 ’ - 54" = 3 6 '; .4 bo ok . 1 3 . Д а н о : ABCD — п а р а л е л о г р а м : A M — б іс е к т р и с а , В_________ М ______ С Р = 42 см , ВМ : M C = 2 : г. З н а й т и ; AB = CD, ___________________ BC=AD. А D 1) ААВМ — р ів н о б е д р е н и й , AB = ВМ . Н е х а й В М = 2х, M C = Зд:, т о д і ВС = 5х, а AB = 2х. 2 ) 2 (5х + 2х) = 4 2 , 7х ^ 21, х = З, В С = З • 5 = 15 (с м ), A B = 2 З = 6 (с м ). д: = 18 ; Z A = 5 4 ‘ , Z B = 126". 2) 3) ZAB F = ZFBK = DN w AB = 2 7 = 14 (с.м), A D AB, = 7 -І- 4 = 11 (см ). 3 ) Р = 2 ■ (1 4 + 1 1 ) = 50 (с м ). 1) = _ _ _ _ _ _ _ _ BM. ^ ACBM і AADN, Z B C M = Z D A M (я к -■ Ро зглян ем о п р я м о к у т н і. в он и внут­ р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и п а р а л е л ь н и х прямих ВС і AD і с іч н ій А С ) , AD = ВС (я к п р о т и л е ж н і ст ор он и п а р а л е л о гр а м а ). 2 ) О тж е, АСВМ = AADN 1 го с т р о м у к у т у ), а о тж е, (п о г іп о т е н у з і DN = ВМ. 1 8 . Д ано: ДАВС — р ів н о б е д р е н и й ; AB DN = II ВС, ВС, DM II AB, = 2 4 CM, 1 5 . Д ано: A C = 8 CM. ABCD Зн ай ти : Д овести : P^^. B M = ND, BN = DM , 2 ■ ( B M 4- M D ) = 24, BM + M D = 12 (c m ). 2 ) ADMC — р ів н о б е д р е н и й ; D M = M C , о т ж е , B M + M C = 12 (c m ). ZM AN 3 )Л — пара­ лелогр ам ; AM AN вэ = 54". ± AC. DN — прям окутн ий ; A F = — ZFBK п а р а лело гр а м ; Д овести : w AABF 90" - 36" = 5 4 ’ , B M 1 AC, 6 с м , 15 с м . 1 4 . Д а н о : ABCD — п а р а л е л о г р а м ; Z A : гВ = 1 BF 1 A D , D F = 4 см , ___________________ A F = 7 см . З н а й ти : А F D 1 ) Н е х а й /ІА = х", Z B = 2х°, т о д і х + + 2х = 1 8 0 , Зх = 1 8 0 , д: = 6 0 ’ , Z A = 6 0 ‘ , Z B = 1 2 0 ’ , ZA B F = 3 0 “. 2) 9 0 ‘ - 54" = 3 6 '; ABCD — 1 7 . Д ано: w Відповідь: = 1 2 6 '. or g і 1 ВС, ± CD. = ZADC. 1) 12 -ь 12 8 = 32 ( c m ).
    • 1 19. сторонам и добуд овуєм о до п а р а лело ­ Р и с . 6 0 . Д а н о : ABCD — п а р а л е л о г ­ р а м ; Z A D JC = ACBF. гр а м а . Д овести: п а р а лело гр а м . 1) (з а д р у г о ю о зн а к о ю 1) Б у д у є м о т р и к у т н и к п о т р ь о м Ь ^ . 24. KBFD — ABCF = ADAK BF р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ), о т ж е , CF = АК, 2) Р о зглян ем о отж е, ВК = = DK, DF. RBFD, чотирикутник в н ьо го п р о ти л е ж н і стор он и попарно р ів н і, а т а к и й ч о т и р и к у т н и к — пара­ лелогр ам . 25. ABCD — п а р а л е л о ­ M B = DN. Д овести : AM CN — п а р а лело гр а м . Р о згл я н е м о AAND і йСМВ, в н и х ВС = AD Р и с . 61. Д а н о : гр ам , Б уд уєм о т р и к у тн и к за двом а сторон а­ м и і к у т у м іж н и м и і д о б у д о в у є м о д о п а р а лелогр а м а. ш укан и й п а р а лело гр а м . В_ Б удуєм о Д АЛС, а п о т ім к о р и с т у ї .е м о с я в л а с т и в о ­ с т я м и с т о р ін oo k. o FC. Д о в е с т и : EBFD — 1 ) О с к іл ь к и ABCD Д ано: т о ч к а С. А D М паралело­ п а р а лело гр а м . — п а р алело гр ам , то н у д іа г о н а л е й О , т о д і а о с к іл ь к и А Е = .4 b , 1) Ч е р е з т о ч к у С п р о в е д е м о п р я м і, ABCD AB = Л , М , — м е д іа н и . 27. w w (я к ма = п ар алелогр а­ Z.DCP ( я к в н у т р іш ­ CD і с іч н ій А С ) , о т ж е , дЛВК = (п о г іп о т е н у з і и г о с т р о м у к у т у ), ВК = APDK — в он и PD, K P — с п іл ь н а , о т ­ ж е , т р и к у т н и к и р ів н і п о д в о м к а т ет а м . = г о с т о р о н и п о п а р н о р ів н і — п а р а л е л о ­ — п а р а лелогр а м . ACDP п р я м о к у т н і. а чотирикутник, у яко­ ABCD = а о т ж е , ВК = DP. 2 ) Р о з г л я н е м о АКВР і чотирикутник, Д А В С = Д С Х)А. Д о в е с т и : ABCD — п а р а л е л о г р а м . грам . О тж е, ______________ С п р о ти ле ж н і стор он и ABCD). ZB A K мих A B і Р и с . 59 . AD, В н і р із н о с т о р о н н і п р и п а р а л е л ь н и х п р я ­ 2 ) О т ж е , Д А В С = Д А ,В ,С ,. = — п а р а л е л о гр а м . KB PD — п а р а л е л о г р а м . 1 ) ААВК і ACDP — п р я м о к у т н і, AB = CD CD АВ,АМ = M D , о т ж е , ABCD — п а р а л е л о ­ г р а м , о т ж е , Д А В С = ADCB, aADCB = Д А ,В , С ,. CD, ВС ABCD — Д овести : АС II В М = M C, р ів н і, т о A B Д ано: В К ^ АС, D P S. АС. 1) трикутники д іа г о н а л і п е ­ п а р а лело гр а м ; В_______________ D О с к іл ь к и EBFD EBFD л о г р а м . О т ж е, Д о в е с т и : Д А В С = A A , ß jC ,. ABCD — OD, АО = ОС, OF. = н а в п іл , а т а к и й ч о т и р и к у т н и к — п а р а л е ­ А ,В , w і Д А ,В ,С ,; ВО то і 0 £ = р е т и н а ю т ь с я і т о ч к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я — ш ук а н и й п а р а лелогр а м . 2 2 . Д ано: ДАВС АС = AM = CF, 2 ) У чоти ри кутн и ку п а р а л е л ь н і стор он ам к ута. 23. ABCD — = н у д іл я т ь с я н а в п іл . Н е х а й т о ч к а п е р е т и ­ п ар алелогр ам . Д ано; AE д іа г о н а л і п е р е т и н а ю т ь с я і т о ч к о ю п е р е т и ­ . П обудувати ( = Р и с . 62. Д а н о : гр ам ; ■Z M A N , 2) (я к п р о т и л е ж н і к у т и п а р а л е ­ M B = D N ( з а у м о в о ю ), о т ж е , АСМВ ( з а п е р ш о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ), о т ж е , M C = A N , A M = NC, A M II NC, о т ж е , ч о т и р и к у т ­ ник AM CN — п а р а лело гр а м . &AND 26. п ара лелогр а м а . 21. ZD = л о г р а м а ), rg ABCD — 20. (я к п р о т и л е ж н і ст о р о н и п а р а л е л о г р а м а ), AB О тж е, ВР = DK, Z B P K = ZD K P, а це ВР РК, о т ж е , ВР Ц DK, ВР = KBPD — п а р а л е л о гр а м . в н у т р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и п р я м и х KD і = DK, і с іч н ій а том у
    • ZADC = ZABC = 9 0 ‘ ( я к в п и с а н і, щ о 2 8 . Ри с. 64. Д ано; ABCD — п а р а лелогра м ; ЕО = OF; ABCD, AECF — п а р а ле ло гр а м и , с п и р а ю т ь с я н а д іа м е т р ), в н и х д іа г о н а л і п е р е т и н а ю т ь с я и т о ч к о ю д іа м е т р и ). О т ж е, п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл . 36. Д ано: ABCD — п р я м о ­ 29. Р и с . 65 . Д а н о : Z A = ZC, Д овести: ABCD ZB = ZD . ABCD ВМ = = BD (я к ^ 1 ----------------------- ,С М кутник; — п а р а лелогр а м . AB — п рям окутн ик. N CN. AN = DM. AB = CD, В М = CN, т о і Л М = DN. У ч о т и р и к у т н и к у с у м а к у т ів д о р ів н ю є Д овести ; 3 6 0 “. 1) О с к іл ь к и 2) Р о зглян ем о чотирикутник ZA + + Z.C + /.D = 360% 2ZA + 2ZB = 3 6 0 ‘ , Z A + Z B = 180‘ , а о тж е, за ви зн ачен н ям ч о ти р и к утн и к ZA AMND — в ін п р я м о к у т н и к . ABCD D — п а р а лело гр а м . ZD = = 90", аA N . і DM — д іа г о н а л і 3 0 . Р и с . 66 . п р я м о к у т н и к а , а в п р я м о к у т н и к у д іа ­ Д ано: ABCD і BCFE — п а р а л е л о г р а м . ААВЕ = ADCF. Р о з г л я н е м о ААВЕ і ADCF, в н и х AB = DC, Z A = Z D , A D = FE, a о т ж е , A E = DF, ААВЕ = ADCF (з а п е р ­ г о н а л і р ів н і, о т ж е , Д овести: 37. 31. Ц е п р я м о к у т н и к , о с к іл ь к и су м а 32. Р и с. 67. Д ан о: ZAOD = 140’ . З н а й т и ; ZACD. ACOD — р ів н о б е д р е н и й ; ZC = ZCDO = 1 4 0 ‘ : 2 = 7 0 ’ ; ZACD = 70". В_ п рям ок утник . w 90". 20". — р ів н о б е д ­ 160 = 5 3 І, 180, Зх = 160, ZDAO = 5 3 -. З 35. Р и с . 68. Д ано: AD Д овести : 1 ) ADOC — р ів н о б е д р е н и й , о с к іл ь к и О М є і в и с о т о ю і м е д іа н о ю ОС = OD. 2 ) О С = ЛО, OD = OB, о т ж е , АС = BD. 3 ) У п а р а л е л о г р а м а ABCD д іа г о н а л і р ів н і, о т ж е , ABCD — п р я м о к у т н и к . 1) рений, evi 1 = -З------------------------- С СЕ. АВСЕ — прям ок утний; — п рям ок утник ; ZDAO = ZADO = X, т о д і ZAOD = X + 20 . М а є м о : х + х + х + 20 = DM. MD, CD. Д о в е с т и ; ABCD DE w w AAOD = -^i«-------------------^ = Д овести: 1 ) ААОВ — р ів н о б е д р е н и й ; ZABO = ZBAO = 45". 2 ) ZBOA = 9 0 ', о т ж е , ZAOD = Відповідь: 90". ш AN 3 8 . Д а н о : ABCD — п р я м о к у т н и к ; А Е і BE — б іс е к т р и с и Z A і ZB . 3 3 . Д ано; ABCD — п р я м о к у т н и к ; ZBAC = 4 5 ‘ . З н а й т и : ZAOD. 3 4 . Даво: ABCD ZAO D - ZOAD = З н а й т и : ZDAC. — п аралелограм ; CM ОМ .4 bo ok .o в с іх к у т ів д о р ів н ю є 360". ABCD rg ш о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ). Д ано: = ВС, АС — д іа м е т р . ABCD — п р я м о к у т н и к . ZCBE = ZCEB = 45" о т ж е , ВС = СЕ. 2 ) AADE — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е ­ н и й A D = DE. 3 ) АВСЕ = AADE (з а к а т е т о м і го с т р и м к у т о м ), СЕ = DE, о т ж е , т о ч к а Е — с е ­ р е д и н а CD. 3 9 . Д ано; A D = 12 см , AB = 8 CM, ОМ LA D , O N _L CD. З н а й т и : О М , ON. ч М )N E = CD, OM = |cZ) = i-8 = 4 2 ) OJV = i A D = i 12 = 6 (cm ). Z £ i 4 с м , 6 см . Відповідь: N (cm ).
    • 40 . [ано: A B C D — 44. MN п рям ок утник ; О М ± AB. O N ± CD, О М + ON = 24 см , a d - CD = 6 CM. п рям окутника, якщ о 2) 48, 45. 2 D 27 см . __________________ с отж е, M C = З А М , A M w w 1 ) С у м а к у т ів т р и к у т н и к а ABC д о р ів - w = 1 8 0 “ - (2 0 “ + 70 “) = 1 8 0 “ - ААВС — п р я м о к у тн и й . 2 ) В М = І А С = і ■1 0 = 5 (с м ). 43. 5 см . Д ано: г с = 9 0 “, ААВС; ЛС = ВС = 8 с м . D e AB, D M IIAC, DN II ВС. В н а й т и ; Pf-MDN1) CM D N — п р я м о к у тн и к ; •P = 2 • ( C M + M D ). 2 ) ABM D — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е ^йий, о с к іл ь к и Z B = 4 5 “, Z B = Z D = 4 5 “. О т ж е, В М = M D . 8) М а є м о С М + M D = С М + M B = 8 см , = 2 8 = 16 (с м ). відповідь: 16 см . ; M C = 1 ; 3. 1 : 3. ok .o rg 4 6 . Д ано; ABCD — р о м б , AC і BD — б іс е к т р и с и , ZBAC ZDAC. А D ABCD— п а р а л е л о г р а м . 1 ) ААВС = AADC (з а д р у г о ю о з н а к о ю ), A D = CD, ВС = AD , ABCD — п а р а л е ­ л о г р а м , о т ж е , A B = ВС. 2 ) ААВС — р ів н о б е д р е н и й , ВО — б іс е к ­ т р и с а , о т ж е і в и со та , о т ж е , BD ± А С . = Д овести ; bo С .4 Д а н о ; ААВС; 10 CM, IZ A = 2 0 “, ІС = 70 “, — м е д іа н а , вайти; В М . Відповідь: = 6 0 “, т о ААОВ — р ів н о с т о р о н н ій , В О ^ О А = AB. 2 ) В М L A O , A M = M O, Відповідь: 12. ZB ^ ZAOB 1 ) О с к іл ь к и .AK = BK. fc н а й ти ; ZC K D . -З A К В . 1) О с к іл ь к и AB = 2СВ, т A K = BK = СВ. о [ 2 ) ACKB — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е Ін и й , отж е, ZCKB = ZKCB = 90" ; 2 = 45“. | 3 ) ADAK— п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е [н и й , отж е, ZDKA = ZADK = 45'. ZCKD = [ - 180" - ZCKB - ZDKA = 180" - 45" = 90‘ . Відповідь: 90". 1 8 0 “, В З н ай ти : прям окутник; ! AB в 2 p. I б і л ь ш е AD, - 9 0 ' = 90 “, от ж е , — A M : M C. М а є м о : д: + x + 6 = 4 8 , 2д; = 42 , * = 2 1 , CD = 21 CM, A D = Відповідь: 21 с м , 2 7 см . ABCD Д ано; N AB. ZAOB = 6 0 “, В М 1 АС. ON = - AD. 4 1 . Д ано; ABCD- знаходиться прям окутник; CD = x c ^ , A D = X + & . Н ехай X на середи н і 1 O M = ^ C D , O M + ON = ^ (C D + A D ), CD+AD = М буде найм енш ою , З н ай ти : стор он и . 1) Р и с . 69. — д іа г о н а л ь 3 ) П а р а л е л о г р а м , у я к о г о д іа г о н а л і п е р ­ п е н д и к у л я р н і, є р о м б . 47. ABCD — ром б. а ) Z A B C = 144", а = 180" - 1 4 4 “ = 36"; ZB AD = Z B = 180" в ) ZB D A = б) 180" - 1 1 6 “ = 64", 64“ = 116"; а= 11 6“ ;2 = 58“; 5 4 “, а = 9 0 “ - 54" = 36". 4 8 . Д а н о : ABCD — р о м б , ZABO - ZBAO = 3 0 “. З н ай ти ; к ути ром ба. ZC, ZD 1) Z A = ZB = / 0^ (я к п р о ти ле ж н і к у т и р о м б а ). 2) ААОВ — п рям окутний, AB 1 BD. ZBAO = л:“, ZABO = x + ЗО. о с к іл ь к и Н ехай М а є м о ; j: + ж -I- ЗО = 9 0 , 2ж = 9 0 - ЗО, 2х = 60, х = 3 0 “, Z B A O = 3 0 “, т о д і Z A = Z C = 60", Z A B O = 3 0 “ + 3 0 “ = 6 0 “, Z B = Z D = 1 2 0 “.
    • 2 ) АКВЕ — р ів н о б е д р е н и й ; ВК - BE, Z B K E = Z B E K = (1 8 0 " - Z B ) : 2 . М а є м о : ZBAC = ZBÄ-JE, о т ж е | АС. ABCD — р о м б ; ZABO = 3 : 7 . 4 9 . Д ано: ZBAO : З н ай ти : к у т и ром ба. В 1 ) Н е х а й Z ß A O “ 3fe, ZABO = Ik , ABCD тоді A 3fe + 7ft = 9 0 , — ром б; СМ X AD, 10ft = 9 0 , ft = 9 0 : 10 = 9. ZC N D = 34". М 2 ) Z B A O = 2 7 ‘ , Z A B O = 9 • 7 = 63", т о д і 1) т о Z A = Z C = 2 Г • 2 = 54", Z B = Z Ö = прям ок утний; Відповідь: 54", 54", 126°, 1 2 6 ‘ . 5 1 . Д ано: ABCD — р о м б ; A N X ВС, AN LCD , /.MAN = 140". А М З н ай ти : к у т и ром ба. 1) A B = В С = C D = A D = 16 : 4 = 4 (см ). ААВМ — В М = 2 см . 2) п р я м о к у т н и й ; A B = 4 см , ВМ К атет д о р ів н ю є п о л о ­ в и н і г іп о т е н у з и , о т ж е , в ін л е ж и т ь п р о ­ 3) Z A = Z C = ЗО", = Z B = Z D = 180" - ЗО" Відповідь: ЗО", ЗО", 150", 1) Z M A D = 90’ , Z.DAN = 140' - 90“ = 50’ . 2 ) Z B A D = 90" - 5 0 ' = 4 0 '. 56. 3 ) Z A = Z C = 40", w 140’ . 52. Д ано: ABCD — р о м б ; BE = DF. w ААВЕ і AADF, в н и х Z D , BE = D F (з а у м о ­ ААВЕ = AADF (з а п е р ш о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ). 2 ) У р ів н и х т р и к у т н и к ів в ід п о в ід н і с т о ­ р о н и р ів н і, о т ж е , А Е = 53. Д ано: ABCD — р о м б , ВК = BE. AF. В Е Д овести : II А С . А F D СЕ II AJF, т о ZECO = ZFAO, ZEOC = ZA O F = 90", А О = ОС, о т ж е , AAOF = АСОЕ ( з а д р у г о ю о з н а к о ю р ів ­ н о с т і т р и к у т н и к ів ). A F = СЕ, A F | СЕ, | о т ж е , AECF — п а р а л е л о г р а м . У п а р а л е л о г р а м а д іа г о н а л і А С 1 EF, о т ж е AECF — р о м б . О с к іл ь к и = AD, ZB = ААВС С ± АС. A E C F — ром б. 1) Р о згл я н е м о 1) ------------------ß -------Ш Д овести: А * ^ --------------- 'D в о ю ), о т ж е , 150". — р о м б , в с і ст о р о н и п а р а лело гр а м ; EF Д овести : А Е ‘‘ AF. КЕ OEBF 5 7. Д ано: ABCD — 40", 40 ", 140", 140". w Відповідь: Р и с . 72. 150". р ів н і і п о п а р н о п а р а л е л ь н і. Z B = Z Z ) = 180" - 4 0 ‘ - AB ^ т и к у т а ЗО". к ути ром ба. тоді d Д ано: .4 bo ok .o Зн ай ти : 55. ABCD — р о м б ; BF±AD , Р = 16 с м , ВМ 2 см . rg 5 0 . Р и с ; 7 1 . Д а н о : ABCD — р о м б ; CM i . A B , C N l . AD. Д овести : E M = DN. Р о з г л я н е м о АМСВ і ANDC, в н и х Z.M = Z N = 9 0 ’ , ВС = CD ( я к с т о р о н и р о м б а ). ZC D N = ZCBM , о т ж е , АМСВ = = ANDC (з а гіп от ен у зою і гострим к у т о м ). О т ж е , В М = DN . ABCN — N ZC B N = 90* - 34" = 56", ZCB D ~ ZD B A = 56", ZCBA = 56" 2 = 112", ZB = Z D = 112". 2) ZC^= Z A = 180" - 112" = 68". Відповідь: 68", 68", 112", 112". = 6 3 ' • 2 = 126‘ . ш / З н ай ти : к у т и ром ба. о с к іл ь к и д іа г о н а л і ром ба є б іс ек т р и с а м и , V /л V / А* — р ів н о б е д р е н и й ; Z B A C = Z B C A “ (1 8 0 " - Z B ) : 2. _п 5 8 . Д а н о : ААВС; А Е — б іс е к т р и с а ; M E II А С , К Е II A B . Д овести : А К Е М — ром б. 1) ААМЕ = ААКЕ А~
    • (за другою ознакою), A M = К Е, M E ■ = = A K , A K E M — паралелограм, оскіль­ ки протилежні сторони паралельні і рівні. &АМЕ — рівнобедрений, A M = M E , отже, в паралелограмі А К Е М сторони рівні, отже, А К Е М — ромб. Довести: — квадрат. 1) = AD^AA^ = Aß,CC, = AC^DD^, отже = в с, = C.ü, = A.D., отже, - ромб. 2) ZD^Afi^ = 180- - (ZAA^D^ + ZBA^B^) = = 180‘ - 90- = 90-. агжеЛ,В,С,і), — квадрат. 6 4. Дано; а) Будуємо дві взаємно перпенди­ ABCD — квадрат; BD = 8 CM . кулярні прямі і відкладаємо Знайти: В 1)ЛС = K M = М; 59. = F iV = 7V 8 CM , P = 8 4 = 32 (C M ). 2) ATMiVf — квадрат. Відповідь: 32 см. 60. 6 6 . Дано; ABCD — прямокутник; A M , B N , CN, D M — бісектриси. Довести; F M N K — квадрат. і у у / А 61. ^ Ь Д ано: XX V , А Z B M A = Z M A N =' 45", Z N F M = Z M K N = -Э ", О M F ^ NF = М К = NK, отже F M N K — квадрат. w w ABCD — р о м б ; АС = BD. .4 bo ok .o AO = OC = ^d^, BO = OD = ^d^ Д овести ; rg ABDC — шуканий ромб. б) 1) Будуємо AMAD, рівний даному, A F — бісектриса ZA, АС — діагональ. 2) C M I I AM-, ^ 3) A M C D — шуканий ромб. 65. Дано; AAßC — прямокутний; AC ^ ВС = 4 C M , В C K M F — квадрат. Знайти: 1) AAAIF — рівноX М бедрений; A F = M F , A F = CF = 2 см. 2) Я = 4 • 2 = 8 (см). Відповідь: 8 см. С F w ABCD — к в а д р а т . ' 1) АС 1 BD, ВО = о с , ZBCO = ZCBO = 4 5 ‘ , отже Z B = 90", ZC = 90“. 2) Р ом б, я к и й має п рям и й кут, D 67. Дано: ABCD — квадрат, ZK A D = 2ZCAK, AK" = 8 CM . Знайти; — квадрат. 6 2. Д ано; ABCD — к в а д р а т ; ОМ L A D , О М = 8 см . Знайти: 1) A M = О М = 8 см , AD = 8 2 = 16 (с м ). 2) і> = 4 16 = 64 Відповідь: 64 см . І 63. Д ано; ABCD — к в а д р а т ; АА, = SB, = СС, = (с м ). А Х > 1) ZCAD = 45’, ZCAK" = х, тоді ZKAD = 2;с, X + 2х = 45‘ , д = 15", ZK A D = ЗО'. : 2) AAä :F — прямокутний; K F = ^ A K = | -8 = 4 (см). 3) = 4 • 4 = 16 (см). Відповідь: 16 см.
    • p то cc 7 3 . Дано: ААВС-, M N і NF — середні лінії; .N М M N = NF, M N ± NF. Визначити; _____________ вид ААВС. С F А 1) ДАВС — прямокутний, оскільки ^//ЦВС, M N II АС, M N 1 N F, отже, АС 1 ВС. 2) ААВС — рівнобедрений, оскільки M N = N F, то і ВС = АС, отже, ААВС — прямокутний і рівнобедрений. 6 8 . Оскільки діагоналі перпендикулярні, то AC 1 BD. 69. ABCD — ромб. Д a 0 1 < ro s I g VO m О 7 1 . Дано: ААВС-, АС = 16 см, AB = 8 см, ВС = 12 см; М, N iF — середини сторін. А Знайти: K L. LP. PK . AABC: M N , FN, F M — середні лінії ДАВС; 7 4 . Рис. 73. Дано: AB = 8 см, ВС = 56 см. Точки А,, Bj, С,, Dj — середини ОА, OB, ОС, OZ). ABCD — прямокутник. Визначити: вид чотирикутника A^BjC^D^. 1) Оскільки А,, В,, С,, ö j — середини ОА, OB, ОС, OD, то А,В, II AB, or g S 7 0 . Дано: М , N , F — середина сторін ААВС, Р ...„ = 12 ом. Знайти: Р йЛВС' = 12 • 2 = 24 (см). Відповідь: 24 см. А Z MN -^ A C . ■ ^ го C Q 2 F N = - А Б = - X 'зо C. l ti 6 ( cm); .4 12 AMNF: KL, LP, PK — середні лінії AMNF-, w т S I(0 8 = 4 ( cm): ^■6 = 3 ( cm); і -^^=2 1 8 = 4 ( cm); LP - - MN ' 2 1 PK = 4 = 2 ( cm); 2 KL = w X r 16 = 8 ( cm); w (U i.BC Відповідь: 3 см, 4 см, 2 см. 72. О ш ВС, ßiCi = - - 5 6 = 28 (см). 2) A,Bj X В,С,, отже, AjBjCjZ), — Прямокутник. 3) = 2 (4 + 28) = 64 (см). bo ok . о: 1 А,В і = - - 8 = 4 ( см),В ,С , Дано: ДАВС; М, N і F — середини сторін ААВС; PuNF “ 54 см, А A ß : ßC : AC = З : 7 : 8. Знайти: AS , ВС, AC. 1) = 54 • 2 = 108 (CM). Нехай AB - 3fe, BC = 7*, AC = 8A, маємо ЗА + 7Л + 8ft = 108, 18ft = 108, ft = 6. 2) AB = 6 • 3 = 18 (см), ВС = 6 ■7 = 42 (см), АС = 6 ■8 = 48 (см). Відповідь: 18 см, 42 см, 48 см. Відповідь: 64 см. 7 5 . Рис. 74. В, Дано: ABCD — ромб; Е, F, К — середини сторін. / Довести: E F ± FK . А~ 1) F K II BD, E F І АС; 2) АС 1 BD, отже fÄ : 1 EF. 7 6 . 1) Дано: ABCD — прямо­ кутник: М , В, Л i f — середини сторін прямокутника; "Чк ^ M N = І а С , K F = - А С , N F = - BD, 2 2 2 МК = отже MiVfÄ- — ромб. 2) Дано: ABCD — ромб; М , N , F, К — середини сторін. Визначити: вид чотирикутника KM NF.
    • 81 . 1) K F = M N = ^AC-, 2) M K = N F = ^ BD, отже, K M N F ■ прямокутник. 7 7 . Дано: AC 1 BD, AC = BD = 8 см. Знайти: А 8 2. ä ’F = | a C = 4 ( c m ). 2) M X = | j3D = 4 ( cm); 83. 8 4. Такої трапеції не існує. 85. Можуть, оскільки 5ft + 4Ä = 6Ä -І- 3Ä. Такої трапеції не існує, це квадрат або прямокутник. 8 6 . Дано: в ABCD — трапеція: В М 1 AD, ZA B M - 24 . Знайти: кути трапеції. 1) ZCBA = 90 - 24 ZCBA = ZBCD = 66'. 2) ZABD -ь ZBAD - 180', ZBAl^ = 180 - 66 = 114', ZB AD = ZCDA = 114'. Відповідь: 66', 66", 114“, 114'. oo k. o N F = 4 см. M N FK — квадрат. Р = 16 см. 7 8 . Дано: ABCD — прямо­ кутник; AB = 6 см, P msfl = 24 см. 1) M N F K — вид. Знайти: ZCAD. а К D 1) M N F K — ромб, оскільки всі сторони рівні; M N = М К = 24 : 4 = 6 (см). О rg 1) Л/ЛГ = | а С = 4 ( см ), Дано: ABt:D — трапеція; Z/1 37 , ZC - 126. •Знайти: ZB, Z D . 1) ZA г ZB = 180, ZB = 180" - ЗГ - 143‘. 2) ZC ^ Z D = 180’, ZD - 180' - 126' = 54". Відповідь: 54", 126'. 2)ЛАМ К — прямокутний; A M = - М К , отже, Z A K M = ЗО’, А Р = РК , отже ZCAD = 30‘. Відповідь: M N F K — ромб, ZCAD = ЗО . w w w .4 b 7 9 . Дано: ААВС; В, В ^ В,Сі І АС; AB ! А,С,, | АС II В,С,. Довести: А ,С = CCj, В,В = ВС,, ЛВ, = АА,. 1) ABC,С — паралелограм, оскільки протилежні сторони паралельні, отже, AB = СС^, АС = ВС,. 2) АВСА^ — паралелограм, оскільки протилежні сторони паралельні, отже, AB = А ,С,, ВС = ЛЛ,. 3) AB ВС — паралелограм, AB = ВС, АС = В,В. 4) Маємо, що точка В поділила сторону B,С, навпіл, точка С поділила сторону C,Л, навпіл, а точка А поділила сторону Л,В, навпіл. б) A M 1 В,А,, І^В 1 В,С,, NC 1 А,С,, Отже, вони є серединними перпендику­ лярами ДА,ВіС,. 80. 1) Будуємо AN A M за стороною і двома Кутами, прилеглими до цієї сторони. 2) Відкладаємо д С CN - A N , В М = A M . ’ З’єднаємо точки В і C. ААВС — шуканий. 8 7 . Дано: ABCD — прямокутна; Z A у 4 рази менший ZB. Знайти: ZA, ZB. 1) Нехай ZA = X , D тоді ZB = 4х'. маємо х + 4х 180, Ьх = 180, X = 36', ZA = 36‘, ZB = 144 . = 2) Z D ^ ZC = 90 . Відповідь: 90 , 90 , 36", 144 . 8 8 . Дано: ABCD — В______С рівнобічна; AB = CD, AC^AD, ZCAD = 38 . д -------------------- D Знайти: кути трапеції. 1) AACD — рівнобедрений, АП = АС, отже, ZADC = ZACD - (180' - 38 ) : 2 = = 142' : 2 = 71'.
    • 2 ) Z B C D = 1 8 0 - 71 ' = 1 0 9 “, Z C = Z B = 109", Z A = Z £ ) = 7 1 ' fO fü О С Відповідь: TV, 7 1 ', 1 0 9 ’ , 1 0 9 ‘ . 89. Дано: А8С£) — рівнобічна трапеція; AB = C D , Z A : Z C = 1 ; 3. a ш Знайти: кути трапеції. 1) Н е х а й Z A D = ZC = 3x, X, в р ів н о б іч ­ н ій т р а п е ц ії Z A = Z D , Z C = Z ß , a Z A + S I о. ю (V ) О S + Z C = 180", м а є м о x -і- 3x = 180, ix = = 1 8 0 , д: = 4 5 “. 2 ) Z A = Z D = 4 5 “, ZB = Z C = 1 8 0 “ - 4 5 "= = 135". Відповідь: 4 5 “, 45", 135", 135". 90 . ABCD Д ано: т р а п е ц ія ; О М = ON = OF. Z A O ß = 90". 1) Р о з г л я н е м о oo k. or Д овести : АМОА і ANOA, в о н и п р я м о к у т н і. У н и х ON = О М (з а у м о в о ю ), АО — с п іл ь н а , АМОА = ANOA (з а г іп о т е н у з о ю і к а т е ­ т о м ), о т ж е , Z M A O = ZN A O , АО — б і ­ сектриса Z A . АВМО 2) Ро зглян ем о н і, ZN B O трис. = і ABFO, в о н и р ів ­ .4 b сс X X го ш 2 I ‘з" 0 0 1 X ZFB O = - ZB, БО 2 — б іс е к - 3)А А 0В ; ZOAB + ZABO = Iго = І ( Z A + Z B ) = і ■1 8 0 '’ = 9 0 °, т о д і w w w т ZAOB 91. Ü. о = 90", щ о й т р е б а б у л о д о в е с т и . Д ано: В_______ С ABCD — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія ; AB = CD = ВС, ZAOD = 110". Зн ай ти : к ути т р а п е ц ії. 1) ДАВС — = ZBCA, 93. Дано: Р ABCD — рівнобічна трапеція; AB = CD. Довести: АО = OD. 1) AABD і ADCA, д в них AD — спільна сторона, Z A = ZD, АС = ВС (як діагоналі рів­ нобічної трапеції), отже, AABD = ADCA, а тому ZCAD = ZBDA. 2) Розглянемо AAOD, в ньому кути при основі AD рівні, отже, AAOD — рівно­ бедрений, а тому АО = OD, що й треба було довести. g го 9 2. Дано: В ABCD — рівнобічна; АС X C D ,АС бісектриса гострого кута. Знайти: Z A , ZB , ZC, ZD . 1) ZBAC = ZCAD, ZBAC = ZCAD = д:, ZD = 2д;, AACD — прямокутний; X + 2х = 90”, Зх = 90, х = ЗО, ZBAD = 60“. 2) ZBCD = 90' -І- 30“ = 120", ZBCD = ZABC = 120“. Відповідь: 60", 60", 120", 120". р ів н о б ед р ен и й , о т ж е , але ZBCA = ZCAD р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и ZBAC (я к в н у т ­ п аралельн и х ВС і AD і с іч н ій АС). AAOD — р ів н о б е д р е н и й ; ZOAB = Z O D A = (1 8 0 " - 1 1 0 ") прямих 2) = 7 0 ' : 2 = 35". 3 ) Т о д і ZB AD = 35" • 2 = ZB = ZC = 110". Відповідь: 70", 70", 110", ■ = 70", 110". : 2 = 9 4. Дано: ABCD — рівнобічна; AB = CD, ВС 9 см, AD = 15 см, ВМ LAD. Знайти: A M і M D . 1) CN 1 BD. Розглянемо AABM і ADCN (за гіпотенузою і гострим кутом), отже, A M = DN. 2) M B C N — прямокутник; ВС = M N = = 9 ом, тоді AJVf = DAT = (15 - 9) ; 2 = =’ 6 : 2 = 3 (см). A M = З см, M D = 15 - З = 12 (см). Відповідь: З см і 12 см. 95. Дано: ABCD — В С рівнобічна; AB = CD, ВС = 5 C M , BF X AD, A F = 2 см. Знайти: AD. )BF = CM,AB = CD, отже AANF = ACMD, тому AF = DM = 2 CM. 2) BC = F M = 5 CM , A D = 2 + 5 + 2 = 9 ( c m ). Відповідь: 9 см.
    • але CD = B M , отже, P ^ ^ = AB + B M + + A M = 26 ( c m ) . Відповідь: 26 см. 9 6 . Дано: ABCD — рівнобічна; A D = 12 см, A B = 4 см, Г л П з Знаити; ВС. ^ 1 )ДАВМ — прямокутний; A M = оскільки ZABM = ЗО’ , A M = 4 - = 2 (см). 2 )А М = D N = 2 см, ВС = МЛГ = 12 - (2 + 2) = 8 (см). Відповідь: 8 см. 1) O M = B M = b c , 2 8 = i ( ß C + AD), ABCD — ВС. AC ^ м о ж е б у т и б іс е к т р и с о ю ний, A ß = А, ДАВС w гостр ого к у т а 40 =ad, Л го ІС (c m ). (c m ). І Q. VO го о С П ‘зо X с м = AB = 9 CM . 3) = 9 + 12 + 18 + 18 = 57 (см). Відповідь: 57 см. н го 5 2 _________________________ w 1) cm , w р ів н о б іч н а т р а п е ц ія ; Знай ти : an rg 3 ) P = 16 + 28 + 12 + 12 = 6 8 ( c m ) , Pabcd = 68 (< “ )• = . = .4 bo ok .o 2 ) ZC = Z ß = 120", Z A = 60", Z B C M = 60", о т ж е Z M C D = 60", C M = M D = 12 ( c m ) , = AMCD — р ів н о с т о р о н н ій , C M = M D = CD = 12 CM. cm = ЗО', отже, CM = і •CD = і •18 = 9 (см), A D = 12 + 16 = 28 (с м ). A D = 26 on 1 0 1 . Дано: ABCD — прямокутна трапеція; CA — бісектриса ZC, A D = 18 см, В___________ С ВС = 12 см, Z D = 30". Знайти: 1) ZCAD = ZBCA (як внутрішні А М D різносторонні при паралельних прямих ВС і AD), отже AADC — рівнобедрений, A D — CD = 18 см. 2) C M 1 AD, AMCD — прямокутний, CM — катет, який лежить проти кута 1) АВСМ — п а р а лело гр а м ; A M = ВС = 16 с м , AB = CD, P = 50 о. (U BC + AD = 16 2) P = 12 + 12 + 16 Відповідь: 40 см. Зн ай ти : Д ано: О С O M + ON = N M = - (B C + AD ), 2 Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; г В = Z C -^ 120", CM і A B , D M = 12 см , ВС = 16 CM . 97. 98. {5 та 1 0 0 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; AB = CD = 12 см, AC ± BD, BF 1 AD, B F = 8 CM . Знайти: — ^ т іл ь к и 2 О С I 1 Г О ш 2 I О) т р ів н о б е д р е - 102. ВС. 2 ) О с к іл ь к и т р а п е ц ія р ів н о б іч н а , то A B = тс о. = CD = ВС. t Н ехай ВС = X см , тоді х + + д: + л: + 26 = 5 0 , Зж = 2 4 , X = 8 (с м ). Відповідь: 8 см . 99. 103. Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; = 36 см , В С = 5 см , Знай ти : ВМ I MN = 1) M N = CD. a+b = 8 (см); А 1 ) M BCD — п а р а л е л о г р а м ; ВС = D M = 5 с м , CD = В М . 2 )P ^ ^ = A B + B M + A M , ^ABCD = A B + В С + C D + X »A = A B + 5 + C D + A M + 5 = 36; 2) M N = 36; A B + C D + A M = 3 6 - 10 = 26 ( c m ) . = 4а. 1 0 4 . 1) Дано: ABCD — трапеція; AD = 9 см, M N = 5 см. А" о ш
    • П ] н го IX го а о» 105. Л/N = a+b ° ^ ^ . Якщо M N ■ а або b. 2a = а + b; а = b, тобто основи рівні, а це не трапеція. Отже, середня л ін ія не може дорівнювати одній з основ. 2) ВС = 6 • З = 18 (см), AD = 6 5 = ЗО (см). Відповідь: ЗО см, 18 см. 107. о. w w Дано: ABCD — трапеція; М К : N K = 5 9, в_ N K - M K = 12. Знайти: ВС і AD. 1) нехай М К = bk, N K = 9k, тоді 9 k - 5 k = 12, 4А = 12, Л = З (см), М К = 15 см, N K = 27 см. 2) ДВАС; М К | ВС, М К — середня | лінія. ВС = 2 15 = ЗО (см). 3) AACD; K N — середня лінія, AD = 2 ■ 27 = 54 (см). Відповідь: ЗО см, 54 см. w го 2) К Р = BC + A D 2 13 = х + і + 2х + 4 2 26 = Зх + 8, Зх = 18, х = 6. 3) ВС = 6 + 4 = 10 (см), AD = 10 + 6 = 16 (см). Відповідь: 10 см, 16 см. 1 0 9 . Дано: ABCD — рівнобічна; АС — бісектриса кута А, AD - ВС = б см, = 74 CM. _________________ Знайти: M N — середню лінію. ^ ^ 1) ZBCA = Z.CAD (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній ЛС), а ZCAD = ZBAC, так АС — бісектриса. Отже, ДАВС — рівнобедрений. 3) Нехай AB = ВС = CD = X см, тоді AD = X + 6. Знаючи периметр трапеції, маємо рівняння: X + л: + ї + а: + 6 = 74; 4 і = 74 - 6; 4д: = 68; л: = 17 (см). 3) ВС = 17 см, AD = 17 + 6 = 23 (см), 17 + 23 = 20 (см). тоді M N = .4 bo ok .o 1 0 6 . Дано; ABCD — трапеція; M N — середня лінія; M N = 24 ом, ВС : A D = З : 5. = Знайти: A D і ВС. 1) Нехай ВС = ЗА, AD = 5*, тоді ЗЛ + 5Л 4* = 24; Ä = 6 (см). 24 = - ВС = D M = (д: + 4) см, A D ^ x + x + 4 = 2x + 4. rg _x M N — середня лінія. Знайти: ВС. ßC + 9 В С + AD MN = 5= 2 1 ( c m ). 10 = BC + 9; BC Відповідь: 1 см. 2) Дано: AD = а, M N = Ь. Знайти: ВС. BC = 2 b - а. Відповідь: ВС = 2b - а. 1 0 8 . Дано: ABCD — прямокутна; ВМ 1AD, A M - M D = 4 CM , ^ ^ K P — середня лінія, K P = 13 C M . Знайти: ВС і AD. 1) Нехай М А = X, D тоді D M = (л + 4) см. Відповідь: 20 см. 1 1 0 . Дано: ABCD — рівнобічна; M N — середня лінія, M N = CF, CF і. AD. Довести: АС ± BD. V ВС- AD у 1) M N = ° D 1 J F BC + AD CF = КС + PD, отже CF = v> V л OK = КС, OP = PD. 2) Отже, АКОС і ADOF — рівнобедрені прямокутні, ZCOK = 45‘, ZD O P = 45', а ZBOC = 90", отже АС 1 BD. 111. Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; ^ С AB = CD = 18 C M , j A D = 32 C M , / n Z A = 60-, у M N — середня / D f 1 лінія. А Знайти: M N . 1) З вершин В і С опустимо перпенди­ куляри.
    • AABK — прямокутний; ZA = 60", тоді ZA B K = ЗО’, A ff = і- А В = і 18 = 9 (см). : 2) A K = DP - 9 см, і ВС - K P - 32 - 2 ■9 = 32 - 18 = 14 (см). 3) M N = =Y 112. 1) а 1 1 7 . Дано: ZA K B = 107". Знайти: ZADB. = 360'> і = 120'’; 360° 7 = 280° 9 360° 3) а = • = 100 ° . 18 2) а = 2) а, = і 32° = 16°: 134° = 67°; [3 ) ttj = 1 270° = 135°; w w w 1 1 5 . Дано: Z M O N = 136‘. З н ай ти : ZM AN. 1) kjM A N - 126", оскільки Z M O N — центральний, тоді u M N = 360‘ - 136" = 224". 2) Z M A N — вписаний, .4 б) a , = i - 2 ß = ß. ZMAJV = і -224° = 112°. 2 Відповідь: Z M A N = 112". 2) Дано: Z M A N - 129. Знайти: ZM O N . 1) Z M A N — вписаний, тому u M N = 129" ■ 2 = 258". 2) uMAiV = 360" - 258" = 102". 3) Z M O N — центральний, Z M O N = 102". Відповідь: 102". 1 1 6 . Дано: JC і D по один бік від хорди AB. ZADB = 129. Знайти: ZAKB. ГДЗ, 8кл., кн. 1 1 1 8 . а) Дано: Z E = 38". ^ Знайти: ZDOF. 1) Z D E F — вписаний, тому дуга DF = 38" • 2 = 76". 2) ADOF — центральний, ZD O F = 76". 2) Дано: ZD O F = 148". Знайти: ZDOF. 1) ^ D F = 148" • 2 = 296"; j 2) < DOF = 360" - 296" = 64"; 3) Z D O F = 64". bo 4) аз = і -320° = 160°; 26 Супер 3) ZAD B = - 1 4 6 ° = 73°. 2 Відповідь: 73". ok .o 1) а = і 1) ZADB = - kjAKB; 2 2) ^AD B = ^ = 107" 2 = 214", u A K ß = 360" - 214' = 146". a (U < (0 s I a VO Г0 о 5 rg 1 1 3 . Нехай градусна міра однієї дуги а = д:', а дуги ß = 4х, тоді х + 4х = 360, Ьх = 360, д = 72‘; а = 72', ß = 72’ 4 = : і - 288". 114. P к с; гп = 23 (см). Відповідь: 23 см. I ZA K B = ZADB (як вписані, які спираються на одну і ту саму дугу), отже, ZA K B = 129. 1 1 9 . Дано: ZECD = 84", ZCOE : ZD O E = 9 : 14. Знайти: ZCOE і ZDO E. 1) ZECD — вписаний, u D E = 84" 2 = 168”; 2) ZDO£ — цент­ ральний, ZD O E = 168"; 3) ZD O E = 14ft, ZCOE = 9Л, 168 ZCO£ = - 9 = 12 9 = 108°. 14 Відповідь: 108", 168*. 1 2 0 . Дано: ДАВС; uAC = 192, X A S = ВС. Знайти: кути ДАВС. 1) ZABC — вписаний, ZABC = 192" : 2 = 96". ос X X го со 2 X 'з0 0 1 X т го 5 О С
    • 2) ZA = ZC = (180‘ - 96‘) ; 2 = = 84- : 2 - 42 Відповідь: 96", 42‘, 42". S. к с: Г) Г о. 0 1 1 2 1 . Дано: ^АпВ : '^АтВ = = 8:7. Знайти: ZACB і ZADB. 1) иЛ пВ = 8+ 7 = |(45° + 135°) = 90°; ZCDA = I (u AB + uBC) = А' = |(45° + 75°) = 60°. = 24° •8 = 192°, <jAmB = 24" • 7 = 168“. 2) ZACB — вписаний, ZACß = і - 192° = 96°. 2 ZAD B — вписаний, ZADB = і •168° = 84°. £ t Відповідь: 96', 84’. 1 2 4 . Рис. 75. Дано: ZDAC = 52“. Знайти: ZABD. 1) ZDAC — вписаний, uDBC = 52“ ■ 2 = 104“. 2) uAD = 180“ - 104" = 76“. 3) ZAB D — вписаний; ZAB j = і . 76° = 38°. D 2 Відповідь: 38“. 1 2 5 . Рис. 76. Дано: AB і К Е — діаметри; Z P K E = 16“, ZB D P = 48“. Знайти; ZABE. 1) иРВ = 48" ■ 2 = 96“; 2) = 16“ • 2 = 32“; 3) uAP£B = 180“, отже uAP = 180“ - (96“ + 32“) = 180“ - 128“ “ 52“. 4) ZAB E спирається на дугу АРЕ; w .4 bo ok .o 1 2 2 . Дано: AB — хорда, AM LAB, kjB M : u A M = 5 : 2 . Знайти: uAB, KjAMB. 1) Z B A M — вписаний, ZB A M = 90", отже, u ß M 180 “. 2) 180“ = 5fe, А = 36“; u A M = 36“ 2 = 72“. 3) uAM B = 180* + 72' = 252“, тоді иАБ = 360* - 252“ = 108“. Відповідь: 108“, 252“. Відповідь: 90“, 120“, 90“, 60“. rg p го ZB CD = - (y>AB + u A D ) = О. w w 1 2 3 . Дано: < AB : ußC : jCD : uAD = j = 3 : 5 : 7 : 9. ^ Знайти: кути чотирикутника. 1) Знайдемо градусну міру дуг. Нехай uAß = 3ft, иЛС = 5ft, uAD = 9ft, uCD = 7ft, тоді D 3ft + 5ft + 7ft + 9ft = 360, 24ft = 360, ft = 15“; uAB = 45“, ußC = 75", ijCD = 105, uAD - 135. ZA B E = і (52° + 32°) = і ■84° = 42°. Відповідь: 42“. 1 2 6 . Дано: ABC — рівнобедрений; АС = ВС, ZACB = 86“. Знайти: uAD, ^ D E , и BE. 1) ZA = Z B - (180“ - 86“) : 2 = = 94° : 2 = 47“; 2) uAE = 2 ■47“ = 94“; u B £ = 180“ - 94“ = 86“; 2) ZBAD = I (u s e + uCD) = ZDAB = і и DEB = і •(180° -8 6 °) = 47°; = і (75° + 105°) = 1 .180° = 90°; uAD - 86“; u ö £ = 180' - 172“ ■ 8“. = Відповідь: kjAD = uB £ = 86‘, u D E = 8". ZABC = OJ + uAD) = = і (105° + 135°) = і •240° = 120°; 2 i A 1 2 7 . Дано: AABC — гострокутний; A M ± BC, BD ± A C . H — точка перетину висот. Довести: H D = DF.
    • ^H AD — рівнобедрений; A F = AH-, A D -L BE, отже, H D = DF, оскільки AD і висота і медіана. Можна описати тільки в тому випіідку, коли чотирикутник ABCD — квадрат, або прямокутник. « 128. рис. Дано: E F — січна. Довести: ZFC E є сталою величиною. ^D C F = 1) DF 2 як вписані; kjE D ). 129< I випадок Дано: ADEF — рівнобедрений; ZD O E = 116‘. Знайти: кути ADEF. 1 )u D E = 116, ZF = і 1 3 3 . Дано: ABCD — чотирикутник; Z A - Z B = 58', Z A = 4ZC. Л|( Знайти: кути. 1) ZA-l^ ZC ^ 180". Нехай ZC = X , тоді ZA = 4х, маємо х + 4х 180‘, 5х = 180", д = 36 , ZC = S6", ZA = 144‘. 2) Z B = 144" - 58" = 86“, Z D = 180" - 86" = 94". Відповідь: 144", 86", 36", 94". 1 3 4 . Дано: ZB A D = 74 , ZBCD = 106 , ZA B D = 47 , ZCBD = 58 . = Знайти: ZB M C . 116° = 58°; w w 2) Z D = Z F = 58', Z D E F = ISO* - 116* = 64‘ . Відповідь: 58", 58’, 64". II випадок Дано: D F = FE; ZD O E ■ 116". = Знайти: кути ADEF. 1) = 116‘, оскіль­ ки ZD O E — центральний, тоді .^DF£ = i 1 3 2 . 1) Якщо кути пропорційні числам З : 7 : 6 : 2, то можна , оскільки З + 6 = 7 + 2. 2) Не можна, оскільки 5 .4 bo ok .o 2) Z F C E = ^ ( u D F + C l 1 3 1 . 1) + -ІС = 180", ZC = 180" - 37" = 143"; 2) ZB -V Z D = 180", Z B = 180" - 106" = 74‘ . Відповідь: 143", 74 . rg ZD C E = - u E D 2 w 1 l l6 ° = 58“ . 2) Z F D E = Z F E D (як кути рівнобедреного трикутника). Z F D E = Z F E D = (180* - 58“) : 2 = = 122' : 2 = 61". Відповідь: 58‘, 61 , 61". Задача має два розв’ язки. 1 3 0 . 1) Не можна, оскільки Z B + Z D = = 82" + 108 = 190 , 180" 190". 2) Можна, оскільки суми протилежних кутів повинні бути 180 , а не прилеглих. D Оскільки ZB AD + ZBCD = 180", то наїзколо чотирикутника можемо описати коло. ZDBC — вписаний, отже uDC = = 116". ZABD — вписаний, отже uAD ї ... ^ = 94". ZACD — вписаний, ZACD u A D = І -94" 47'. АВСМ. ZBCM - 180 - ZM B C - М С В = = 180" - 58" - о9 = 63" Відповідь: 63". - 3 с г, В М 1 іо5 . Дано: ABCD — рівнобічна, АС X BD. Положення ц е н т р а _________________ кола, описаного A N D навколо трапеції, буде знаходитися всередині трапеці'і. О — центр, точ­ ка перетину серединних перпендику­ лярів.
    • ос X 1 го со 2 I ’з0 0> 1 3го S lü О w 139. 2 о. M F = - - АК, 2 2 + 2х = X + &, 2х - X топовіоь: = 4 см. 1 4 1 . Дано: АЛВС — прямокутний; AB = ВС, В К = КС, ^ КК^ 1 AB, КК^ - 3 см. Знайти: AB. 1)ВАГ, оскільки АКВК, — рівнобедрений, Ä'AT, = К^В = З см. 2) КК^ I СС,, СС, = 6 см. I 3) СС, = С,А = ВС, = 6 см. 4) AB = 12 ( c m ) . Відповідь: 12 см. rg S Знайти: AB. A. 1) ßC + AD - A ß + СО - 64 : 2 = 32; CD + AB = 32, AB = 32 - (14 + 6) = 32 - 20 = 12 ( c m ) . II спосіб: FC = C M = 6 C M , D M = D K = ‘ 14 c m , BF A K = A N ^ B N r. Маємо: 6 + 6 + 14 + 14 + 4r = 64, 4r = 64 - 40 = 24, г = 6 ( c m ) , AB = 6 • 2 = 12 ( c m ) . Відповідь: 12 ом. 1 3 8 . 1) Проводимо довільний промінь A N . 2) На ньому відкладаємо довільні 5 рівних відрізків. 3) Кінець п’ятого з’єднуємо з кінцем лідрізка. А At А , А , А, В 4) Проводимо ^ пряму AjC. I I ßC, Л ,С Л а Д | К С з’|А,С,. За теоремою Фалеса від­ різки A4., = А ^ = = AjA^ = А^А, = А,В. 1) ААВК-. A4, II М М ,, А К ЦM F . Оскільки М — середина відрізка AB, то і f є сере­ диною ВК, отже, M F — середня лінія. 2) КА^В^В — прямокутник. Нехай А^К = X , тоді M^F = ВВ,, А К = 6 + X, M F = 1 + X, ok .o о bo 'S .4 га w Ф w га о: с: m 1 3 6 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; A B = CD = 12 см. В трапецію можна вписати коло. Знайти : А ^ D 1) Оскшьки в трапецію можна вписати коло, то AB + CD = ВС + AD, 12 + 12 = ВС + AD - 24. 2) / = 24 + 24 = 48 (см). > Відповідь: 48 см. j о 1 3 7 . Дано: ABCD — прямокутна трапеція: дг % CM = 6 см, D M = 14 см, л : P = 64 см. Рис. 77. 1) Розглянемо чотирикутник N B EF. В ньому B N I FE, B N = FE, отже, I N B E F — паралелограм, BE | NF. | 2) Чотирикутник M N F D — паралело­ грам, N F II M D . 3) Маємо BE II N F | M D , тоді за теоре­ мою <1>алеса А Р = PQ r = Q^R - RC. 1 4 0 . Дано: АА, = 6 см, AfM , = 1 см, A M ’= M B , ВВ, 1 І. Знайти: BBj. А. L рівнобічна 1 4 2 . Дано: ABCD трапеція: В £ С ІГ — середина AB, і ас. I I BZ). ___________________ Довести: К Р = КЕ. ^ Е D 1) K P І АС, К — середина AB, то і Р — середина ВС (за теоремою Фалеса), ä:p II AC, К Р = - А С . 2 2) К Е — середня лінія ABAD; К Е II BD, К Е = ^ BD. 3) Оскільки трапеція ABCD — рівнобедрена, то АС = BD, отже, К Е = K P. 1 4 3 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція: A M = M M , = М,М^ = М^В; M N II M ,N , II M^N^-, M.W, = 4 CM, В С M ,N , = 7 CM . Знайти: ВС і AD. Л^/-------------у . М І ---------------- N 1) M^BCN^ — трапеція: M.^N^ — середня лінія:
    • 8 = ЛС + 7; ВС = 1 (см). 2) ABCD — трапеція, — середня 7= 1 + AD 14 = 1 + AD; AD = 13 cm. Відповідь: 1 см, 13 см. 1 4 4 . Дано: ДАВС; A M = MAf = NB, JVfM, 1 NN, II BC, MM^ = 3 CM. Знайти: BC. 1) M M , — середня лінія ANAN^, А N N ^ = 2 - 3 = 6 (cm). 2) B M M f i — трапеція; NiV, — середня лінія трапеції; ^ 2 BC = 9 (cm). Відповідь: 9 см. 6 • 2 = 3 + BC; В М К = - ВС; ВС = 2 • 6 = 12 (см). .4 bo ok .o 1 4 5 . Дано: ABCD — трапеція; ВС = 8 см, AD = 14 см, M N — середня лінія. Знайти: М К , N K . А D 1) ДВАС — трикутник; M F — середня лінія; M F = З см. 2) M N = 3 3 = 9 (см), f N = б (см), F N — середня ліїсія, AD = 2 6 = 12 (см). Відповідь: 12 см. 1 4 8 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; АС — бісектриса ZA; M N — середня лінія трапеції; MJC = 6 см, N K = 8 см. Знайти: 1) ДАВС; М К — середня лінія; ДВАС; rg лінія. AfjiVj — BC + AD С 2) ААВС — рівнобедрений, AB = ВС = 12 (см). 3) ДЛС;0; K N = 8 см, AD = 16 см. 4) Р = 12 + 12 + 12 + 16 = 52 (см). Відпоізідь: 52 см. 1 4 9 . Рис. 79. лінія; М К = - В С = - 2 8 = 4 (см). w 2 w А D 1) ABAC — трикутник, М К — середня w 2) AACD; N ü C = | a D = | i4 = 7 (cm). Відповідь: 4 см, 7 см. 1 4 6 . дано: ABCD — трапеція; ВС = 6 см, N K - М К = 5 см. Знайти: AD. 1) ABAC; А М К = ^ В С = ^ % = г (см). BE EF MN = ВМ MN 4 12 12 5 M N’ = 15 (см). Відповідь: M N = 15 см. 1 5 0 . Рис. 80. Дано: а II 6 II с; A N = 2 см, NC = З см, D P = 9 C M , AB = 4 C M . Знайти: CD, M B. AN NC CD = ~ = e (C M ); 1) AB CD C D - ^ 6 (cm). AB CD _ BM DP’ 2) N K = З см + 5 см = 8 см. 3) AACD; N K — середня лінія AACD; A D - 16 см. Відповідь: 16 см. 4 9 = 6 ( c m ). 6 Відповідь: CD ■ 6 C M , M B “ 6 = 1 4 7 . Дано: ABCD — трапеція; M N — середня лінія; M F = F K = K N , ВС = 6 см. Знайти: AD. Рис. 81. Дано: с | d-, BE = 4 | B N = EF. Знайти: EF. CM. 151. CM, MN = 9 CM,
    • го S C S I о. VO гп о 3 О С I 1 го C Q 2 X ‘zr 0 0 1 X т ь го 5 1 5 4 . Дано: ААВС — рівносторонній; СК, A M , BN — медіани; СК = A M = ^ B N = 12 см. А Знайти: ON, О М , ОК. 1) Оскільки трикутник рівносторонній, то A M 1 ВС, B N ± AC, CK ± AB, A M = CK = B N = 12 CM . 2) AG : O M = 2 : 1, O M = X , АО = 2x, тоді x + 2x = 12, 3x = 12, X = 4, O M = ON = OK = 4 C M . Відповідь: 4 см. В 1 5 5 . Дано: ААВС; AB = ВС; BN, A N — медіани; В М = 4 см, NF X A C . ________________ Знайти: N F . ^ K F C 1) ß M : MÄ- = 2 : 1, 4 : M K = 2 : 1 , 2 M K = 4, M K = 2 ( c m ) , а ЛІС = 4 + 2 = 6 (см). 2) АВСК; N F — середня лінія, оскільки N F I ВК. За теоремою I Фалеса, якщо B N = NC, то і C f = K F , fc w N F = І ■6 = З (см). О С о. АС КС х+9 7 7х - 4х = 36; Зх = 36; х = 12 (см); AB = 12 см, АС = 12 + 9 = 21 (см). Відповідь: 12 см, 21 см. 1 5 7 . Дано: в ААВС — прямокутний; M K D C — квадрат; р АС = 21 см, ВС = 28 см, AB = 35 C M . ____________ Знайти: A K , В К. С М А Оскільки M K D C — квадрат, то СК — бісектриса ZC. Отже, за властивістю АС АК бісектриси ---- = ------ . ВС ВК Нехай А К = X см, В К = 35 - х. ,, 21 X З X Маємо — = -------- ; —= -------- ; 28 3 5 - х 4 35-х З • (35 - X ) = 4х; 105 - Зх = 4х; 7х = 105; X = 15. Отже, А К = 1Ь см, ВАГ = 35 - 15 = 20 (см). Відповідь: 15 см, 20 см. rg с и 1 5 3 . Рис. 83. Вказівка стор. 110. A M : M Ü = З : 2. ß 2) Дано: АС = 28, В К : КС = З : 7. Знайти: AB. В К AB З AB AB = ^ ^ = 12 (C M ). КС A C ' 7 28 ’ Відповідь: 12 см. 3) Дано: АС - AB = 9 см, В К : КС = 4 :7 . Знайти: AB, АС. Нехай AB = X C M , AC = х + 9. Маемо .4 bo ok .o гп а 1 5 2 . Рис. 82. A M : M D = 5 : 2. w о: с; w p го BN BE X 4 M N~ EF' 9 " д’ : = 36; л: = 6; E F = 6 см. Відповідь: 6 см. Відповідь: З см. 1 5 6 . 1) Дано; ДАВС; AB = 8 C M , AC = 12 C M , ВС = 10 см, A K — бісектриса. Знайти: ВК, КС. а) За властивістю бісектриси кута ВК КС AB AC В К = х; КС = 1 0 - х; 8 X = — ; 12л: 8 • (10 - х); Ю -ж 12 12х + 8х = 80; 20л: = 80; х = 4; В К = 4 см, КС = 6 C M . Відповідь: 4 см, 6 см. 1 5 8 . Дано: ДАВС — прямокутний; АО = 15 C M , ВО = 20 CM . Знайти: AC, ВС. l)O N LBC, О М ± AC, C N O M — квадрат; ОС — бісектриса ZC. AC OA 15 3 2) Маємо ВС OB " 20 ' 4 (за в.частивістю бісектриси кута). = ВС 4 Отже, ВС 4 АС З' Відповідь: З : 4 або 4 : 3 . 1 5 9 . Рис. 84(a). а) Дано: ДАВС - ДА;В,С,; AB = 10 см, ВС = 14 см, АС = 12 см, В^С^ = 7 см. Знайти; А,В,; А^С,.
    • 1) Оскільки AABC - ДА,В,С|, ВС Aß, = =5 AC 10 AC, AB А,В, A ,В, (C M ): AC 7 ’ BC _ а д ’ В/ 7 ’ 14 •= 6 ( c m ). Відповідь: 5 см, 6 см. б) Дано: ААВС - ДЛ,В,С,; AB = 15 см, АС = 6 см, А,С, = 9 см, В^С^ - 15 см. Знайти: ВС, А^В^. AB А,В, АС АіС, ’ 15 9 _ 45 _ (см). 6 " 2 615 ВС АС ВС = = 10 (см). В,Сі ’ “ 9 А ,В ,= 2) 1 6 1 . Дано: ЛАВС - ДА,В,С,; AB : ВС : : АС = 5 : 9 : 12; А,С, = 48 (см). Знайти: А,В,; В,С,. Відповідь: ВС = 10 см, A ,ß j = 22,5 см. 160. 162. Дано: ДАВС ~ ДА^В,С,; ^ДА,в,с. = ^дАВС = 3 : 4 ; ВС + В,С, = 112 (см), .4 bo ok .o Дано: ДАВС - AA,B,Cj; AB : ВС : : АС = 5 : 11 : 14; Ра,в,с, = 120 см. Знайти: А,В,; В,С|; A,Cj. В С А С, А. 1) Оскільки ДАВС - ДЛ,В,С|, то сторони АА^В^С^ відносяться як 5 : 9 : 12. 2) Нехай А,С, = 12*, 12* = 48, А = 4 см. Ajß, = 4 5 = 20; BjC, = 4 • 9 = 36. Відповідь: 20 см, 36 см. rg 12 Л,Сі 2) А,В, = 2 5 = 10 (см), В,С, = 2 11 = 22 (см), А,С, = 2 • 14 = 28 (см). АС : AB : ВС = 4 : 8 : 7. Знайти: сторони трикутників. ,В А С А, w А w w 1) Оскільки ААВС ~ AAjBjCj, то А,В, : В,С, : А,С, = 5 : 11 : 14. Нехай А,В, = 5Ä, А,С, = 11Ä, А,С, = 14Ä, тоді 5А + Н А + 14Й = 120, ЗО* = 120, * = 4 (см). А,В, = 4 5 = 20 (см): В,С, = 4 • 11 = 44 (см), AjC, = 4 14 = 56 (см). 2) В,С, = 55 см. Знайти: А,В,: С,А^. В,С, = 11*, 11* = 55, * = 5, А,В, = 5 5 = 25 (см), А,С, = 5 14 = 70 (см). 3) Дано: AjB, = 15 см. Знайти: В,С,; А^С,. 1 )А ,В , = 5к, 15* = 15, * = 3. 2) В,С, = З ■ 11 = 33 (см); А.С, = З ■ 14 = 42 (см). 4) Дано: А,С, + В^С^ = 50 см. Знайти: A jß ,; Л,С,; В,С,. 1)А,С , = 14*, В,С, = 11*, тоді 25* = 50, * = 2. С А, С, 1) Оскільки ААВС - ДА,В,С,, т о ^ ^ = - ; В іС ,= - В С . ВС 4 ^ * 4 За умовою ß,C, + ВС = 112 см; ВС + - В С = 112; - В С = 112; 4 4 ВС = 112 = = 64 (см); В,С, = 64 ■- = 48 (см). 4 2) Нехай ВС » 7/е, АС = 4/г. A ß = 8/г, тоді 64 = 7*. * = Ц -АС = у - 4 = ^ АВ = 64 8 ^ = З б| (см); = 72 і (см ). 3) BjC, = 48 (см); В,С, = 7*, А,С, = 4*,
    • AB = 8fc, Л,С, = i л ,в , = • iC к а оГ 48 8 7 ^ = f 384 7 = 2 r f(c M ); 54- A.B - 48 CM, 12 = 21 ( c m ). 2) r»C = 36 - 21 = 15 Відповідь: 15 см. (c m ). II. Якщо AB + A,ß, = 112; AB = 64 NC = ^ CM , 64 AC = — 4 = 32 (см); О 64 ßjCi = — . 7 = 56 (см); 8 (c m ). 1 6 6 . Рис. 86. Дано: AABC, DQ^CM — паралелограм, AC = 10 см, M C = 4 см. QjC = 9 см. Знайти: ВС. 1) DQj I AC, оскільки DQjCM — паралеI лограм; ADBQ^ - ДАВС, А,Cl = ^ - 4 = 24 (см): О DQ^ = MC = 4 см, BQ 48 7 = 42 (см). 8 Сторони одного трикутника 64, 32 і 56 см; другого — 48 см, 24 см і 42 см. оскільки CD I A K , ВС BA BD BK 2) X T s ro BC BD CD~ A K ’ 4) AB BK AB BK 164. bo ВС BD BD DC Дано: ABCD — трапеція, AD = 26 C M , M C = 9 C M , CD = 4 C M . Знайти: ВС. 1) ABMC - AAWD, оскільки ВС I AD; I w I- ВС AB CD ' A K ’ .4 ’Эо Ш 3) BK BD’ w X AB AK або ВС CD w К 1 X fO C Q 2 AK CD CL О Ш Відповідь: 18 см. 1 6 5 . Дано: ABCD — трапеція, D N = 36 см, AB : B N = 5 І 7, AD > ВС. Знайти: CD. 1) Оскільки ВС Had, то AAND ~ ABNC, А' AB = 5*, B N = 7A, AJV = 5Л + 7A = 12ft, BN ~ N C ’ 12fe ^ 36 7k ~ NC ' 10 ^ + ^ Маємо: — = -------, lO i = 4х + 36, 4 л Юд: - 4 = 36, 6х = 36, = 6, ßC = 6 + 9 = 15. Відповідь: 15 см. rg Рис. 85. 1) ABCD - АВАК, ЯГ 1 6 7 . Дацо: ДАВС, D M N A — ромб, СМ = 6 см, В М = 4 см, A ß = 20 см. Знайти: AD = M N . 1) Оскільки NMjlAD, то ДАВС - ANMC. NM CM Маемо: AB CB ok .o 163. АГ DQ2 BQ2 X , ВС = X + 9. ßC = 6 + 4 = 10, X 20 NM = X CM, = — , lOx = 120, 10 л: “ 12 (см). Відповідь: 12 см. 1 6 8 . Дано: AABC, AC = 12 см, D M N F — прямокутник, D M = 5 см, D F = 8 см, B K X AC. Знайти: BK. А D 1) Оскільки M N F D — прямокутник, AC BK то ДАВС - AM BN, MN BP 12 х + 5 + 5, — = 8 і: ■ 12д: = 8х + 40, 12л: - 8л: = 40, 4л: = 40, л: = 10, ßÄ- = 10 + 5 = 15 (C M ). Відповідь: 15 см. BP = X , BK ^ X 1 6 9 . а) ANAM ~ ADAF (за першою ознакою подібності трикутників). З них Z N = Z D (за умовою).
    • 170. Дано: ААВС і АА^В^С^ — рівносторонні. Довести; ААВС - ДЛ,В,С,. ознакою), тоді AD AF ' 6 AD 12 18’ 6 18 = 9 (см). 12 Відповідь: 9 см. AD = 1 7 4 . Дано: ABCD — паралелограм, РлБСй = 64 см, в ------------------- с ВМ LAD, BF ± CD, В М = 7 CM , BF ^ 9 C M . -A Знайти: AB, ВС. 1) ААВМ ~ ACBF (за першою ознакою подібності трикутників). ВМ AB Маємо: ----- = ----- . BF ВС 2) = 2 • (ЛВ + ВС), 2 (АВ + В С )^ = 64, AB + ВС = 32. 3) Нехай AB = х см, тоді ВС = Z2 - х, 7 X отже, - = — ----- , 224 - 7х = 9х, 9 32 -д: 224 = Тх + 9х, 16л: 224, д = 14, : AB = CD = 4 см, ßC = AD = 32 - 14 = 18 ( c m ) . Відповідь: 14 см, 18 см. .4 bo ok .o А С А, С, У рівностороннього трикутника кожен кут дорівнює 60", отже, ААВС - АА^В^С^ (за першою ознакою подібності три­ кутників). 1) AB не може дорівнювати 6 см, оскільки катет В М = 12 см. 2) А якшо AB = 16 C M , то (за першою rg a Z M A N = ZFA D (як вертикальні); б) ABCD — паралелограм, ABKC - ANKD, оскільки N D | BC | і відтинає ABKC трикутник N K D подібний даному; в) 1) АСВА ~ ACDB (за першою ознакою подібності), ці трикутники і у них ZC — спільний; 2) AABD ~ ААСВ, у них ZA — спільний і вони прямокутні. w w w 1 7 1 . 1) Знайдемо кути ДА,В,С,. Нехай ZA = X , Z B = Zx, ZC = 5х, тоді X + Зх + 5х = 180', 9х = 180", х = 20, Z A = 20‘, Z B = 60’, ZC = 100“. 2) Знайдемо кути AA^Bfi^. Нехай один кут х, тоді другий кут X -І- 40, третій X - 40. Маємо: дс-і-л:-ь40 + х - 4 0 = 180, Zx = 180, тоді ААВС - AA^Bfi^. 3) Маємо: кути ААВС рівні кутам ДЛ,В,С,. Отже ААВС ~ ДА,В.С, (за першою ознакою подібності трикутників). 1 7 2 . Рис. 88. Дано: ABCD — парале­ лограм, В М X A D , C N ± AB. Довести: ААВМ - ABCN. 1) Розглянемо ці трикутника, вони прямокутні. ZB N C = Z A M B , ZN C B = = ZA B M , отже, ААВМ - ABCN (за пер­ шою ознакою подібності трикутників). 173. Дано: ABCD — паралелограм, ВМ XAD, В М = 12 см, AF LC D , A F = 18 CM , AB = 6 см. Знайти: AD. 1 7 5 . Дано: ABCD — трапеція, СМ = 7 см, В С A M = 11 C M , AD - ВС = 16 см. Знайти: _ ВС, AD. А D Нехай ВС = X см, AD = (16 + х ) см. 1) Розглянемо АВМС і ADMA, в них ZB C M = Z D A M (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній AC). Z B M C = ZAWC (як вертикальні). АВМС - ADMA (за пер­ шою ознакою подібності трикутників). ВС СМ 2) Маємо: — = X Ї ^ 7 =П ’ 11* = 112 -н 7х, П х - 7 х = 112, 4х = 112, д = 28 (см), ВС = 28 см, : AD = 28 -f 16 = 44 (см). Відповідь: 28 см, 44 см. 1 7 6 . Рис. Дано: ABCD — трапеція, ВС AD, АК : КС = 9 : 4, KD - ВК = 10. Знайти: BD.
    • 182. Рис. 90 AB 12 AC ' 9 “ 3’ A jg , = 16 • 9, АС = 4 • З = 12 (см). Відповідь: 12 см. w w 1 7 8 . Дано: AB і CD — хорди, ВК = 8 см, СХ = б см, ЛГА= 4. Знайти: А К . 1) За властивістю хорд, маємо А К ■ВК = D K ■КС, 8 ■А К 4 ■6, А К = 24 : 8 = З (см). Відповідь: З см. 179. Дано: AB і CD — хорди, АЕ = 4 см, BE = 9 C M , СЕ в 4 рази менше DE. Знайти: СЕ і DE. 1) Нехай СЕ = X см, DE = 4 х, АЕ В Е ^ С Е - DE, маємо 4 9 = х ■4х, 9 = х^, X ^ З, СЕ = З см, DE = 12 см. Відповідь: З см, 12 см. 1 8 0 . Рис. 89. Дано: M E = 6 см, M D = 4 см. Знайти: DK. За властивістю дотичної і січної, маємо М£2 = М К ■M D , 36 ■ 4 • М К , = М К = 9, тоді D K = 9 - 4 = 5 (см). Відповідь: 5 см. 4 8 4 Отже, ААВС ~ AAjßjC, AjC, “ 6 “ 3 (за третьою ознакою подібності трикутників). ДАВС ~ AAjßjCj за третьою ознакою подібності трикутників. .4 bo ok .o ЛВ = 9 + 7 = = 1 6 ( с м ) , ^ = ^ . 1 8 1 . Дано: AB — дотична, A M — січна, AB = 24 C M , Ä = 10 CM . Знайти: AF. 1 )A M = A F + 2Д = - A F + 20, AB^ = A M AF. Нехай A F = х см. 242 „ + 20), + 20x - 576 = 0, ß , = 100 + 576 = 676, x^ = -10 + 26 = 16, AE = 16 CM . Відповідь: 16 c m . rg 1 7 7 . Дано: AABC, Z A C M = ZABC, A M = 9 CM, B M = 7 CM. Знайти: AC. A '-------------- -—“ C 1) AABC - AACM (за першою ознакою подібності трикутників). w го 1) Нехай B K = X, K D -1 0 + X . 2) Розглянемо ACKB і AAKD, вони подібні А (за першою ознакою подібності трикутників). Отже, АК КС = KD : ВК, - = -----4 X 9ж = 40 + 4х, 5х = 40, х = 8. 3) BÄ" = 8 C M , ÜTD = 10 + 8 = 18 (см), ß ö = 8 + 18 = 26 (см). Відповідь: 26 см. 1 83 . ААВС - AAjßjC, (за другою ознакою подібності трикутників). А,В, = A B - А,В, = 3. Знайти: AB і А,В^. Нехай A jß х, AB = д + З, тоді : х+г = 1,5; X + З = 1,5х; 0,5л: = 3; а: = 6; A jß, = 6 см, AB = 9 см. Відповідь: 6 см, 9 см. 1 8 4 . Дано: ААВС, АС = 54 см, ВС - 42 см, BD = 35 см, CN - 9 см. Знайти: чи подібні ДАВС і ANDC. 1) ОС = 42 - 35 = 7 (см), CJV = 9 см. Складемо пропорцію CN =— , öt/ 4z 9 = —. Маємо в трикутників ZC — спільний і сторони, які утворюють ZC — пропорційні, отже, ДАВС - ANDC (за другою ознакою подібності трикут­ ників).
    • 1 8 5 . Рис. 91. Якщо сторони трикут­ ників пропорційні, то відношення рівні AB 12 2 6 1 ВС 8 А^В, Г ВС В^С, 24 2 — = —, отже, АС Л.С, 12 1 АС А,С, Отже, ДАВС - AAjßjCj (за третьою ознакою подібності трикутників). 1 86. Рис. 92. Чи подібні ДАВС і ДАОМ? Складемо відношення сторін AM AD ^ 2 1 ф■ В С “ 8 “ 2 ’ В А “ б “ 3 ’ ВС ВА ВС‘ = AB FID, 225 = 9 • АЕ:, 225 = 25 ( cm ). AB = • Відповідь: 2Ь см. 1 9 2 . Дано: ДАВС — прямокутний, ZC = 90", CD L A B , AD = 10 CM, BD = 40 CM. Знайти: AC і ВС. С 1)AB = I.0 + 40 = 50 (см). 2) AC^ = A B - AD, AC^ = 50 AC = ^/5І)Ö = l o S (см). 3) BC^ = AB BD, BC^ - 50 40 = 2000; Отже, ДАВС і AADM неподібні. BC = 1R7 Відповідь: lOyfE c m , 2QfE cm . 188. Складемо відношення 27 : 33 ; : 48 = 9 : 11 : 16. Трикутники подібні. C£ = i ^ = 8 ( cm ); w ME’ w w 1 8 9 . Рис.93. Дано: M E = 9 см, К Р = в см, С М = 12 см, СЕ = Знайти: СК і СР. 1) Розглянемо АСКР і ACME, в них ZC — спільний, АСКР ~ ACME. MC CP KP C P = i 4 r ^ = 10 ( c m ). CE ME’ " 9 Відповідь: 8 см, 1 0 см. в 1 9 0 . Дано; AABC — прямокутний, ZC = 9 0 ", CD 1 AB, A D = 12 CM, BD = 2 7 CM. ■ Знайти: CD. CD^-^AD BD, CD = V 1 2 - 2 7 = n / 4 - 3 - 2 7 Відповідь: 1 8 см. 191. rg 1 9 3 . Дано: B ._ AABC — прямокутний, ZC = 90“, CD ± AB, BC = 18 cm , a d = 9 cm . Знайти: AC і AB. 1) Нехай BD = X CM, С A B = X + 9, BC^ = AB BD, 18^ = {x+9) x-, x‘ +9x - 324 = 0; D = 81 + 4 • 324 = 81 + 1296 = 1377, 15 см. D = V1377 = 37, A j = T ■= ^ = 14. .4 bo ok .o П А = =И = І 36 40 56 4 ’ ДАВС ~ AAj5jC, (за третьою ознакою подібності трикутників). „ч 7 11 7 13 2) — трикутники 22 33 22 39 неподібні. = 20v/5 (c m ). =2 9 = 1 8 (c m ). Дано: ДАВС — прямокутний, ZC = 9 0 ", ВС = 1 5 см, BD = 9 см. Знайти: AB. 2) AB = 9 + 14 - 23 3) AC^ = 9 • 23, (c m ). AC = V9~23 = 3V 23 = 3 ■4,5 = 13,5 (c m ). Відповідь: =23 cm , =13,5 cm . 1 9 4 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція. В,_______________C A D = 10 CM, ВС = 8 см, AC X CD, A B, C, D CC, ± AD. Знайти: CC^ і CD. 1) AD^ = DC, = (10 - 8) : 2 = 2 : 2 = = 1 (CM), тоді AC, = 8 + 1 = 9, C,D = 1. 2) ДАСС, — прямокутний, CCf = 9 1 = = 9 CC, = 3 (CM). 3) CD^ = AD ■ C,D = 10 CD = >/T0 (CM). Відповідь. 3 CM, VlO c m . 1 = 10,
    • 1 9 5 . Дано: ABCD — рівнобічна трапе­ ція, AB = CD, ВС “ 10 см, A D = 26 см, AC I C D , CC, X A D . Знайти: CC^, AC, CD. B._____________ 198. 1) с = V25 + 144 = ^/Ї69 = 13 (c m ) . 2) С = Vis^TeÖ ^ = V625 + 3600 = = V4225 = 65 (см). 199. 1) a = V l7 ^-1 5 ^ = V32- 2 = = v/64 = 8 ( cm ): A B , C, D 1) AB, = Z)C, = (26 - 10) : 2 = 8 (c m ), AC, = 10 + 8 = 18 ( c m ) , X)C, = 8 cm . 2) 6 = V9^ - 5^ = V(9 + 5)(9 - 5) = 2) ЛАСК — прямокутний, CCf = 18 -8, 2 0 0 . a^ + a^ = d^; 2a^ = { 2 ^ f ; CC, = 3 4 = 12 ( c m ) , CD^ = A D ■DC^, = 26 • 8 = 2 • 8 • 13. 2a“ = 4 • 2; a“ = 4, а = 2. CD = л Я б Л з = 4 > Я З (c m ). 3) AC“ = AD AC, = 26 • 18 = 2 • 18 • 13, AC = 6ч/ЇЗ (см). 2 0 1 . Дано: а = 2 (cm), AB ^ AC = BD 1 AD = ДАВС, -В ВС = 37 cm, 24 cm, AC, DC = 24 : 2 = or g Відповідь: 4/Гз см, б-ТГз см, 12 см. = V4 14 = 2 у 1ы (cm). = 12 ( c m ). Знайти: BD. BD = VS7^ -12^ =V49 25=7 -5 = 35(cM). Відповідь: 35 см. bo ok . 1 9 6 . Дано: в ^ ABCD — ромб, ОМ 1 A D , D M = 4 CM, A M = 25 CM. ■ A . M D Знайти: AC і BD. 1) За властивостями діагоналей ромба: З і) X АС, АО = ОС, OB = OZ). 2) AAOD — прямокутний, .4 OD‘ ^ A D ■D M , OD = -ІШ ~ Ї = 2-J^, (см), A O ^ ^ A D - A M , w BD = AO = ч/29 •25 = 5v/29, AC = 10^29 AO = л/41^ -9^ = V(41 + 9 )(4 1 -9 ) = (c m ). w = V50 •32 = ч/25 •2 ■32 = V25 •64 = Відповідь: 4-Ум см, 10V29 см. = 5 8 = 40 (cm). w 1 9 7 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція, A Ä 2) AC = 40 ■ 2 = 80 (cm). Відповідь: 80 cm. в = 8 CM, BK = 2 CM. Знайти: г = ОЛТ, ВС І AD. 1) ААОВ — прямокутний, оскільки ОА и OB — бісектриси / Л і ZB; О К ^ ^ А К ■KB-, OK = -Jä~2 = 4 ev 2 0 2 . Дано: ^ ^ ABCD — ромб, AB = BC = 41 CM, BD = 18 CM. ______________ Знайти: AC. Л D 1) AAOD — прямокутний, AO = ОС, BO = OD = 18 : 2 = 9 (cm). г = 4 CM. 2) A/V = //Z) = AR- = 8 (c m ), ■ AD = 16 (c m ). 3) B K = B M = MC = 2 (c m ), BC = 4 (c m ). Відповідь: 16 см, 4 см, 4 см. (c m ), 2 0 3 . I випадок Дано: ABC — прямо­ кутний трикутник, AC = 5 CM, BC = 7 cm. Знайти: AB. ^ a) AB = Vl6 - 49 = % H /б5 (см). II випадок Дано: AB = 7 см, AC = 4 см. Знайти: ВС. ВС = V 4 9 -1 6 = 204. ч/зз. Рис. 94 а) 1) ДАВС — прямокутний.
    • ІАС^ = 100 - 81 = 19. I 2) ЛАСВ — прямокутний, і ßC = 9 + 9 = 18, TO 3) CM = M B = 12 c m , BC = 24 ДАВС — прямокутний, cm . AB = І24^ + 5^ = V576 + 25 = >/б0ї (см). AB = V324 + 19 = ч/343 (см). 6) 1) ЛАСВ — прямокутний, 208. .4 bo ok .o rg Дано: ß ДАВС — прямокутний, ВС = V25 - 16 = n = З (см). /9 г с = 90", 2) ACBD — прямокутний і рівнобедреАС ■ ВС = З : 4, . 9 вий, оскільки Z D = ZBCD = 45", СМ — медіана, ^ ВС = BD = г см, С М = 75 см. с Знайти: Р ^ с ' І СП = V9 + 9 = n i 8 = Зл/2 (см). / 1) М А = В М = СМ ^ 75, AB = 150 см. Ж в) 1) ADBA — прямокутний, ‘ 2) Нехай АС = 3ft, ВС = 4ft, тоді 150^ = BD‘ = 4 + 9 = 13. = 9ft2 + 16ft^ 150^ - 25ft^; 150 = 5ft; 2) ABDC — прямокутний, ft = 30; AC = 90, BC = 120. ВС‘ = BD ‘ + DC ßC^ = 13 + 36 = 49, = 150 + 90 + 120 = 360 (C M ). ВС = >/49 = 7 (см). Відповідь: 360 см. 2 0 5 . Дано: 2 0 9 . Дано: ДАВС, В ДАБС — прямокутний, Z C — тупий, .•Рмвс = 80 см, АС = 13 см, АС : ВС = 8 : 15. AB = 15 C M , Знайти: АС, ВС, AB. ^ A E ± ВС, А £ = 12 C M . ; i ) Нехай АС = 8Ä, ВС = 15fe, тоді Знайти: ВС. за теоремою Піфагора 1) &АСЕ — прямокутний, СЕ^ = 13^ - 12 AB = 7б4*2 ^ 225*^ = >/289Л^ = 17*. 2) Відомо периметр, маемо 8ft + 15fe + С Е = 5 (см). 2) ААВЕ — прямокутний, + 17fe = 80, 40* = 80, ft = 2, отже, В£2 = А В ^ ~ АЕ^; :AC = 16 C M , ВС “ ЗО C M , AB = 34 см. ВЕ^ = 15^ - 12^ = 27 ■ З = 81; Відповідь: 16 см, ЗО см, 34 см. «206. w w w Дано: ß ЛАВС — прямокутний, ВС = 8 см, AB - АС = 4 см. 'Знайти; ЛВ і АС. 1) Нехай АС = X, тоді AB = л: + 4. За теоремою Піфагора маємо: {х + 4 f = 8^ + х^; + 8л: + 16 = - 64 + 8л: = 64 - 16; 8л: = 48; J = 6. АС = 6 см, AB = 6 + 4 = 10 (см). C Відповідь: 6 см, 10 см. 2 0 7 . Дано: ДАВС — прямокутний, A M — медіана, М A M = 13 CM , AC = 5 CM . Знайти: AB. ^ 1) AAMC — прямокутний, C M = -УїЗ^ -5^ = Vl69 -2 5 = = V l4 4 = 12 ( c m ). 2) Оскільки A M — медіана, BE = yj81 = 9 (см). 3) ВС = 9 - 5 = 4 (см). Відповідь: 4 см. 2 1 0 . Дано: ДАВС. A B = ВС, A D X ВС, A D = 8 см, BD - DC = 2 см. Знайти: AB = ВС. 1) AADB — прямокутний. Нехай DC = л: см, BD = л: + 2, тоді АВ = ВС = ж + х + 2 = 2д: + 2; Aß2 = AD^ + ߣ)2. (2л: + 2)2 = 8^ + (X + 2)2; 4л-2 + 8л: + 4 = 64 + + 4 ^ + 4; д 4л:2 + 8л: - 4х - 64 = 0; 3x2 + 4д: - 64 = 0; D, = 4 + 192 = 196; -2 + 14 12 “ З З 2) AB = ВС = 2 • 4 + 2 = 10 (см). Відповідь: 10 см. 2 1 1 . Дано: ДАВС, AB = ВС, АС - AB = 2 см, BD J. АС, BD = 8 см.
    • Зв айти: AB. 1) Нехай AB = 2x, A C = 2л: + 2, A J ) = D C = {2x + 2 )-.2 = {x + 1) CM. 2) &ABD — прямокут­ ний, AB" = AD^ + BD^Ä 4x^ = (x + 1)2 + 64, 4x^ = x^ + 2x + l + 64; 3x^ - 2x - 65 = 0; D, = 1 + 195 = 196; = 5 ( cm ). AB = ßC = 2 5 = 10 (cm). Відповідь: 10 см. 3) ßC = (24 + 10>/з) см. II випадок ВС = (24 - 107з) см. D С Відповідь: ВС або ВС в (24 + (24-10>/з) Юч/з) BD = УІ100 - 64 = >/36 = 6 (см). Відповідь: 6 см. А w w w 2 1 3 . Дано: A i l , AB і AC — похилі, AB = 15 см, BD = 12 см, ZACD = 45‘ . Знайти: AC. В D 1) AABD — прямокутний, A D ^=A B '‘ - BD А ІУ = 225 - 144 = 81, AD = 9 (cm). 2) ДАОС — прямокутний і рівнобедрений, A D = DC ^ 9 cm; АС‘ = 81 + 81; AC = V81-2 = 9 2 (см). V Відповідь: 9І2 CM . 2 1 4 . I випадок Дано: AD X I, A D = 10 см, AB і AC — похилі, AB = 26 см, AC = 20 см. Знайти: ВС. ^ 1) ААВС — прямокутний, BD = л/26^ -10^ = л/зб 16 = = 6-4 = 24 (см). 2) AADC — прямокутний. СМ СМ . 215. Дано: AD X ^ A ß = 5 см, АС = 7 см, DC - BD = 4 см. Знайти: A ß і AC. 1) ßD = x C M , DC = (4 + x ) C M . 2) ABAD — прямокутний, AD" = 25 - д:". 3) ACAD — прямокутний, AD" = 49 - (4 + д:)". 4) Маємо: 25 - x" = 49 - 16 - 8дг - д:"; 8л: = 49 - 16 - 25; 8х = 8, л: = 1; BD = 1 см, DC = 5 ом. .4 bo ok .o 2 1 2 . Дано: ДАВС, AB = ВС, AB : AC = 5 : 8, = 36 см, BD X AC. Знайти; BD. 1 )A B = BC = bk-, AC = 8k; 5* + 5Ä + 8Л = 36; 18Ä = 36; fe = 2; Aß = 5 • 2 = 10 (cm); AC = 16 cm. 2) AD = DC = 16 ; 2 = 8 (см); AABD — прямокутний, = В = rg д:, = DC = ч/400 - 100 = S Ö Ö = W S (см). 5) AD = V25- I = ч/П = 2 S (см). Відповідь: 2-Уб см. ^ 2 1 6 . Дано: і г /, / АВ-. АС ^ 2 3. / BD = 2 см, DC = 7 C M . м / N Знайти: А В ІА С . “ ^ 1) Нехай АВ = 2k, АС = 3ft, AABD — прямокутний, A lfi = 4ft" - 4. 2) ACAD — прямокутний, AD" = 9ft" - 49. 3) Маємо: 9ft" - 40 = 4ft" - 4; 9ft" - 4ft" = 4 9 - 4 ; 5ft" = 45; ft" = 9; ft = 3. 4) Aß = 3 2 = 6 (C M ), ЛС = 3 ■3 - 9 (c m ). Відповідь: 6 см, 9 см. 2 1 7 . Дано: ДАВС — прямокут­ ний, O N = OK = = О М = 4 CM , ß M : М А = 10 : 3. N Знайти: AB, AC і ВС. 1) Нехай A M = 3ft, С ß M = lOft, A ß = 13 ft.
    • 2 2 1 . Дано: ААВС. AB = ВС, AB : АС = 5 : 6 , АО — бісектриса. ВМ X АС, В О - О М =^6 см. А~ Знайти: AB, АС, ВС. 1) A M = MC. Нехай AB = bk, A M 3ft, ОМ = д:, ВО = 6 + д:. 2) ААВМ — прямокутний. За власти­ во AB вістю бісектриси кута ОМ АМ' w w w .4 bo ok .o 2 1 8 . .Дано: ААВС — прямокут­ ний, ZC = 90', CN = г см, B N = 5 см. Знайти: AB і AC. За властивостями дотичних, проведених з однієї точки; В М = B N ^ 5 см. NC = CK = Z см, A M » a s : = д C M . Тоді A ß = б + д:, : АС = З + л:, СВ = 8. 2) За теоремою Піфагора (5 + х)'^ = - 64 + (З + д:)2; 25 + ІО ї + х2 = 64 + 9 + бд: + ;с2; Ю і - 6х = 64 + 9 - 25; 4д: = 48; ж = 12. 3) AB = 5 + 12 = 17 (см), АС = 12 + З = 15 (см). Відповідь: 17 см, 15 см. 2 2 0 . Дано; ААВС — прямокутний, АС : ВС = З : 4, СМ — бісектриса, В М - A M = 10 см. Знайти: Р ^ . 1) Нехай один катет Зх, другий 4х. A M = ft C M , ВМ = 10 -Ь ft. За властивістю бісектрис кута AM З —^ = - ; 4ft = ЗО + 3ft; ВМ 4 ’ 10 + ft 4 40 (см). ft = ЗО; ВМ = ЗО + 10 AB = 70 CM . 2) За теоремою Піфагора 7Q = (Зх)^ + 2 + (4д:)2; 702 = 9д;2 + 16д:2; 70 = 25д;2; 2 5д: = 70; д = 14. : Отже, АС = 14 • З = 42 (см), ВС = 14 4 = 56 (см). 3) Р = 70 + 42 + 56 = 168 (см). Відповідь: 168 см. д rg За властивостями дотичних, проведе­ них з однієї точки: A/Vf = A ff, В М = BN, CN = СК = і C M . Тоді АС = Зк + 4, ВС = 10ft + 4. 2) За теоремою Піфагора: АВ^ = АС^ + + ВС‘ ; 169*2 = (з^, + 4)2 + (loft + 4)2; 169*2 = 9*2 + 24ft + 16 + 100ft2 + 80ft + + 16; 169ft2 - 109ft2 - 104ft - 32 = 0; 60ft2 - 104ft - 32 = 0; 15ft2 - 26ft - 8 = 0; Д = 102 + 120 = 169 + 120 = 289; 13 + 17 30 „ ( c m ), fti = 15 “ 15 ~ ^ 1 3 -1 7 4 Я = --------- = -------— бути не може. 2 15 15 3 )A ß = 2 13 = 26, AC = 6 + 4 = lO(cM), ВС = 20 + 4 = 24 (см). Відповідь: 10 см, 24 см, 26 см. 2 1 9 . Дано: . ABCD — квадрат, АС - AD = З см. Знайти: AD. 1) Нехай A B = CD = X см, тоді АС = д + З, маємо: г (д: + 3)2 = д + х2; д + бд: + 9 = 2д;2; :2 :2 *2 - 6ж - 9 = 0; - 9 -І- 9 = 81; д:, = 3 + >Я8 = 3 + 3 ^ ■ ^2, A D = DC = Z + Z-Ji = Z{ + S ) (C M ). 2) AC = З + 3V 2 + З = 6 + 3n/2 = = 3(2 + n /2)(cm). Відповідь: з{2 + ^2) см. ^ = g ; 3 ( 6 + . ) = 5.; 3ft 5д: - Зд: = 18; 2д: = 18; д = 9; : ВМ = 15 + 9 = 24 (см). 3 ) За теоремою Піфагора А В 2 = АМ^ + X + В М 2 ; (5 ft )2 = = 2 4 2 ; I0 ft2 = (3 ft)2 + 242; 242; 2 5 *2 _ 4* 9*2 = 2 4 ; ft = = 6. 4) AB = ВС = 6 • 5 = ЗО(см), AC = 6 ■ 6 = 36 см. Відповідь: ЗО см, ЗО см, 36 см. 2 2 2 . Дано: АВ = ВС = n/97; OB = 6 c m ; A M і B N — медіани. Знайти: A M . 1) OB : ОЛ^ = 2 : 1, ^ OB = 2ft, ON = Ift; ON = 6 : 2 = 3 ( c m ) , BJV '6 + 3 - 9 ( c m ).
    • 2) hABN — прямокутний, A N = ^97 -8 1 = ^/Ї6 = 4 ( c m ) . 3) ^AON — прямокутний, AO = Vl6 + 9 = л/25 = 5 ( c m ) ; AM = 5 3 = 7,5. Відповідь: 7,5 см. 2 2 3 . Дано: ABCD — рівнобічна 9 см. трапеція; C M 1 AD, CM Знайти: A D - ВС. В^______________ С 1) З точки С проведемо пряму CM I I BD, тоді DBCM — паралелограм. D M = ßC = 9 см, CM = B D = 16 см, тоді A M = 11 + 9 = 20 (см). 2) ДАСМ, СС, 1 AM . Нехай AC, = X, тоді MC, = 20 ~ x. 3) ДАСС, — прямокутний, CCf = AC^ - A C f; CCf = 144 4) ДС,СМ — прямокутний, CCf = 16^ - (20 - хУ = 256 - 400 + + 4Qx - x^; 144 = 256 - 400 + 40л: 144 + 144 = 40л:; 40л: = 288; л = 7,2. 5) CCf = 1 4 4 -5 1 ,8 4 = 92,16; 2 2 6 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; ßC : AD = 1 : 5; г = 7,5. Знайти; A ß = CD; C. D В, ВС I I AD. 1) Нехай ВС - x ,A D = 5x, ■ AB, = DC, > (5л: - x ) : 2 = 2x, BB, = 2 r = 15. 2) Оскільки в трапецію можна вписа­ ти коло, то A ß + CD = ВС + AD; .4 bo ok .o = 2-6 = 12; M D = 12 см. 2) З точки С проведено СС^ |AB, тоді | АВСС^ — паралелограм, AB = СС,, AC, = ВС, а отже, DC, = AD - ßC. 3) д е,CD — рівнобедрений, оскільки С,С II CD, тоді С,М = M D = 12 см, а C,D = 12 • 2 = 24 (см). Отже, A D - ВС = 24 см. Відповідь: 24 см. СС, = V92.16 = 9,6. Відповідь: 9,6 см. rg M D = Vl5^ -9^ = V24 -6 = V4 •6 ■6 = w w 2 2 4 . Дано: ABCD - паралелограм; A ß = 17 см, А Е = 8 см, ED = 20 см. Знайти: BD. _ А Е D 1) ЛАВЕ — прямокутний; BE = Vl7^ -8^ = V(17 + 8 )(1 7 -8 ) = w h I! А С ,М D 1) ACMD — прямокутний; = V25-9 = 5 3 = 15(см). 2) ADBE — прямокутний; ßD = Vl5^ + 20^ = V225 + 400 = = >/б25 = 25 (cm). Відповідь: 25 см. 2 2 5 . Дано: ABCD — трапеція, ßC = 9 см, AD = 11 см, AC = 12 см, ßD = 16 см. Знайти: СС, ± A D . 2Aß = 6 x ;A B = 3x; BB^ = AB^ - A ß f; 225 = 9x^ - 4x^; 225 = 5л:^; л:^ = 45; д = V is = 3n : /5. 3) AB = CD = 9yfE; B C ^ s S ; A D = 3sfE - 5 = 1 5 S (c m ). Відповідь: 9sfE, 9у ь , ! sS , 15>/5. 2 2 7 . Дано: A ß — хорда, ON Х А В , О М = 9 см, M N = 6 см. Знайти: Aß. 1) O N = 9 + 6 = 15 (см), ON = OA = 15 CM . 2) AOAM — прямокутний, A M = V225 - 81 = n/144 = 12. Z) A M = M B = 1 2 C M , AB = 24 см. Відповідь: 24 см. 228. Дано: OA ■ 2 см, 0 ,ß = 8 см. Знайти: Aß .
    • 1) ßC = VlOO - 36 = ^/64 = 8 (C M ); 8 4 4 P 2) c o s Z A - : ^ = | ; 3) t g Z A = | = l . 1) OA X AB, О^В ± AB, проведемо OK II Aß. Тоді AOKO^ — прямокутний. OO, = 2 + 8 = 10 ( c m ) , (C M ). OK = ^І10^ -6 ^ = 1) tgZA = — = 2,4. 5 2) Знайдемо гіпотенузу. = -УЮО - 36 = >/б4 = 8 (см). 2) OK = AB, AB = 8 C M . Відповідь: 8 см. 1) ZCAB — шуканий. 231. 1) t g a = w w 2) cos ZCAB = - ; Э ^CAB — шуканий. ^ w cos ZCAB = —; 4 |: ZCAB — шуканий; 2 ) t g a = 2-, 2 ZABC — шуканий. 232. Zß = — . 13 3) sin ZA = — . 13 235. Дано: sina = —. 6 Знайти: cos а і tg a. 1) cos‘ а + sin“ а = 1; >/35 36 sina cos а 2) t g a = 1 -JsE 6 Відповідь: cos а = 2 3 6 . 1) 6 n /35 n /35 6 ■ 1 ^/^ tg a = n /35 .35 ■ ■ Д Е 35 tg^ 60° + sin30° = (^/зГ + і = О С X 1 Г О C Q 2 X ‘Зо а» X т яз = 3 + І = З І; 2 2 ос 2) 4 sin^ 45° + cos 60° = 4 4 1) sina = ^ 9 2 SZA B C — шуканий; 2 2 2 3 7 . Дано: ДАВС. A ß = ßC = 13 C M , AC = 10 C M , BD 1 AC. Знайти: sinZABD; cosZABD-, tgZABD. 1) Оскільки AABC — рівнобедрений, то BD і медіана і бісектриса. AD = Z)C = 10: 2) sin а = 0,5; ZABC — шуканий. 233. Дано: äABC — прямокутний; AC = 6 см; AB = 10 см. Знайти: sinZA. COS .4 bo ok .o A F = УІ100 - 36 = Тб4 = 8 (см). 8) A F = M N = 8 см. Відповідь: S см. I Q. VO M О S AB = V25 + 144 = ^/Г69 = 13 (см); 2 2 9 . Дано: A M = З см, B N = 9 см, AB = 10 см. ___ Знайти: M N . ^ 1) Проведемо з точки А пряму A F |M N . | АГ = M N , ß f = 9 - З = 6 (см). 2) &ABF — прямокутний, 230. Q. Ol rg 0,л: = 8 - 2 = 6 2 3 4 . Дано: AABC — прямокутний; ßC = 5 C M , AC = 12 CM . Знайти: 1) tg Zß. О С : 2 “ 5 (см), ZAB D = ZCBD = | Zß. с
    • 2) Знайдемо BD: б) A ß = уІ24^ +8^ = V576 + 64 = BD = Vl3^ -5^ = V(13-5X13 + 5) = p го о: t: rn a a; = л/б40 = 25,3 (см). = V l8 -8 = 6 -2 = 12 ( c m ). Відповідь: AB = 25,3 см; ßC = 24 см. 5 12 3) sinZAB23 = — : cos ZAB D = 13 13 4 4) Дано: A ß = 12 см; cos Z ß = —. 5 Знайти: AB і ВС. tgZA B D = — . ч -ВС а) ----- = cos Zß; Aß 23 8 . s I qi VO m О 3 4 48 ßC = 12 - = у = 9,6(см); _______________ ßC = AD = 8n/2. ^ B, C, D Знайти: кути трапеції. 1) Bß, 1 AD, CC, 1 АО, Aß, = q Z ) = (Вч/2 - б л Я ): 2 = 2>/2 : 2 = л/2. 2) AAßß, — прямокутний, 5) Дано: АС = 6 см, cos ZB = —. 3 Знайти: ВС і Aß. bo ok . !• = C SZA; — = cos ZA; O AB 2 Z A “ 45', тоді Z ß = 135". АС = 12 - = — = 7,2(см). 6 5 Відповідь: ВС = 9,6 см; АС = 7,2 см. or g ro Дано: ЛВСД рівнобічна трапеція, AB “ CD = 2 см, К 2 3 9. I AC = З см; cos ZA = і . 4 Знайти: ВС, AB. 2/ %2 Відповідь: 45‘, 45‘ , 135‘, 135*. 1 ro C Q 2 's а) sin Z ß : .4 З = cosZA; AB = j= ^ l2 ic M ). w AC l ) ^ 6) ßC = Vl2^ -3^ = n /144 - 9 = w ‘i r 0 < u 1 X s H ro 5 Дано: В AABC — прямокутний; w I Відповідь: 12 см; зТГб см. 2 2) Дано: ВС = Ь см, sin ZA = - . Знайти: Aß, AC. a) AB = sin Z A ; = , = - ; AB = — = 7,5; 3 2 = ^ 6) ß C = A ß cosZß = Відповідь: AB = ^ = ^ 9 2 = — 9>/2 , , (C M ); i = 5 ^ 3 2 (C M ). (см); ßC = 6) Дано: A ß = 8 tg Z ß = у . cm ; Знайти: ßC і AC. 1+ 36 б ) 1 -; cos^Zß = — ; 85 cos^ Zß 7 49 ------- = AB 1 cos^ Z ß ’ cos Zß; ßC = 8 ■ I— = ■ f — = ( c m ) ; л/ 8 5 V85 6) AC = л/7,5^ - 5^ = 7 56,25-25 = oa = ^31,25 =5, 5 (см). Відповідь: AB = 7,5 см; AC = 5,5 см. 3) Дано: AC = 8 см, <gZß = 3. Знайти; ßC, Aß. ВС = tg Z ß ; ßC = 8 • З = 24 (см); а) AC (см). g cos Zß = AB 6 3 , „ ^ „ s m Z ß ;A B а) l + tg‘'Z ß = = л/І35 = 3>/T5. Ü. h- AC — . ■ в) sin Z ß = д/ Г ^ / 1 V 85 AC = 8 ■ .— л/ 8 5 = .— л/85 Відповідь: ВС = VS5 6 = “7=» VS5 (c m ). л/85 ; AC = -7 — . л/^
    • BO 2) -7^ = cosZB; AB AB^ 0,4384 =13,686 = 13,7 (CM). 1) AB = Vl44 + 81 = л/225 = 15 (см). Rr 2 )^ AH = s in ^ ; О — = sinZA; 1о sinZA = 0,6; ZA = 36’52', ZB = 90' - 36'52' = 53'8'. Відповідь: AB = 1 5 cm, ZA = 36"52', ZB = 53'8'. ß 2 4 1 , Дано: ÜABC, AB = BC, BD 1 AC, B D = 6 CM, _ Z A = 24". A Знайти: AB, AC. 1) ДАВС — прямокутний, BD . . . ._ B i) = sin ZA; AB = AB sin ZA AB = 6 0,4067 14,7528 = 14,8 (cm). BD 6 = tg ZA; AD = 13,5 (CM). AD " ’ ~ 0,4452 3) AC = 13,5 2 = 27 (см). Відповідь: A B = ВС = 14,8 см; AC = 27 см. д 2) w 10 ■3,057 = 3,1 (cm). 3,271 AB = AC w w BC = .4 bo ok . 3) AC = BC - tg 64- = 6 2,05 = 12,3 (cm). Відповідь: ZA = 26"; AB = 13,7 cm; AC = 12,3 cm. 3) Дано: ЛАВС — прямокутний; AC = 10 см, ZB = 73'. ї Знайти: ZA, AB, ВС. 1) Z A = 90“ - 73‘ = i r . 5) Дано: ВС = 9 см, AC = 12 см. Знайти: ZA, ZB, AB. or g 2 4 0 . 1) Дано: ДАВС — прямокутний; AB = 12 CM, /.В = 53’. Знайти: ZA, АС, ВС. 1) Z A = 90’ - 53* = ЗГ. 2) АС = AB sinZB = 12 0,7986 = = 9,5822 = 9,6 (см). 3 )В С = А В с о з г в 12 0,6018 = - 7,2216 = 7,2 (см). Відповідь: Z A = 37‘; AC = 9,6 см; ВС = 7,2 см. 2) Дано: ВС = 6 см, ZB = 64". Знайти: ZA, AC, Aß. 1) ZA = 90- - 64- = 26-. 0,9563 10 0,9563 10,5. Відповідь: Z A = 1Г ; ВС = 3,1 см; AB = 10,5 см. 4) Дано: AB = 14 см, ВС = 6 см. Знайти: AC, ZA, ZB. 1) AC = Vl96 - 36 = - j i m = 4лЯЇЇ (cm). 2) BC = sin ZA; AB sin Z A = — = - = 0,42857 = 0,4286; 14 7 ZA = 23 21', ZB = 90" - 23 21'; ZB = 6648'. Відповідь: AC = 4>/ї0 см, Z A = 23‘21', ZB = 6648'. 2 4 2 . Дано: ДАВС, AB = ВС, АС = 12 см, ZB “ 64'. Знайти: AB, BD. А D 1) Z A = ZC = (180' - 64') : 2 = 58'. 2) AABD — прямокутний, A D = DC = 6 CM. BD = tg58°; AD BD = 6 1,603 = 9,618 9,62 (cm); AD 6 = cos 58°; AB : 11,3 (cm). AB - - - - 0,5299 Відповідь: AB = BC = 11,3 cm; BD = 9,62 CM. 2 4 3 . Дано: AB ± l, A B = 8 CM, ZACB = 30', ZADB = 45'. Знайти: AC, AD, CB, BD. 1) ACAB — прямокутний. A B r . - A C ; AC = 8 2 2 = 16 (см);
    • ВС = АС cos 30° = 16 ~ 2) AABD — прямокутний, рівнобедрений; AB = BD = 8 см; A D = 7б4 + 64 = V64 2 = 8ч/2 (см). Відповідь: 16 см, 8-72 см, 8 см, 8-Уз см. 2 4 4 . Дано: 1) АО АО = 10 см, гА В О = 60", ZACO = 30‘ . Знайти: СВ. 1) 1 I, 246. a) Рис. 95. Дано: AB = а, ZBAC = ß, ZABC = 90’, ZACB = a. Знайти: AD , CD. AB 1) AABC — прямокутний; —— = sin a; лС/ = tg 60° ВО ß 0 = 1 0 :tg 6 0 ° = ^^ ^ 30^ ^ _ ^ 3 Юл/з ЗОу з - Юл/з / 20>/з АП (см). .4 bo 2) 1) " ^ = tg3 0 AOS = см або 3 3 Задача мае два розв’язки. w w Відповідь: w = 245. 3 • см. Дано: ААВС — прямокутний, ZC “ 90°, АВ = с, Z B = ß. Знайти: ZA , AC, ВС. 1) ZA = 90‘ - ß: О 2) ^ = sinß, AC = с ■sin ß: 3) ßC = с • cos ß. 2) Дано: AC ^ b, ZA = а. Знайти: AB, ВС, ZB. 1) Z B = 90’ - a; BC 2) — = tg a , лО ем 3) AB BC = b- sina; = sin a , AB = — — . sin а AC = - ^ — . sin а DC 2) AADC — прямокутний; -----= sinß; AC AD ■sinß; = cos ß; DC = AC sin а а AD = cos ß. sinoc 6) Дано: BC ■ a, ZBAC • a, ZADC = = ZCAD = ZABC = 90'. Знайти: A D і CD. BC 1) AABC — прямокутний; —— = sin a; AC а AC = sin a AC 2) ACDA — прямокутний; = tgß; AD AC AC AD = tg ß sin a tg ß ’ DC ok . >/з 1) — = sina, AB = sin а AB RO а 2 ) — = tg a , AC = AC tg a 3) Z B - 90" - a. or g та 3) Дано: ВС = а, ZA = Знайти: Z B , AC, AB. = s S (см). DC = AC sinß a sin a sinß 247. Рис. 96. Дано: B K = m, ZC B K = a, ZK A B = ß, ZC = 90’ . Знайти: AK . 1) ACKB — прямокутний; CK = B K • sin а = m • sin a; BC = m ■cos a. 2) AABC — прямокутний; ZABC = а + ß; AC = BC ■tg{a + ß) = m • cos a • tg{a + ß). Z )A K = ‘ A C - K C = m cosa tg(a + ß) - m ■sin ■= m ■cos a tg(a+ ß) - sin a). 248. Дано: ABCD — прямокутник; BD = d. B k ----------------- iC ZBDC = ß. Знайти: BC, CD. 1) ABCD — прямо­ кутний;
    • ^ ВС = BD ■sin ß = d • sin ß; * CD = BD ■cos ß = d • cos ß. 2) A S = CD = d cos ß; Щ ВС ” A D = d ■ sin ß. В. CD = 5>/2 (cm ). 3) AD = AC, -bC,D - 6 + 5 1- 249. Відповідь: 11 см, 5>/2 см. ^ О В = OD; ZBAO = /.DAO = 2 5 2 . Дано: В ABCD — трапеція, ВС = 4 см, CD = 6 см, ZBAD = 60’, ZADC = 135‘ . Знайти: AD. 1) ACMD — прямокутний; Z M D C = 45’, CD^ = CCl + C-^D^ = 25 + 25 = 50; Дано; * ABCD — ромб, ДВ = а, ZB A D = а. * Знайти: BD, АС. ^ 1) AAOD — прямокутний; АО = ОС, оскіль­ ки діагональ АС — бісектриса. . а .а 0D = sin —; OD = а sin —; 2) AD M D = MC = 6 ~ 2 50 . 3) AD = AB, w w w Sßi = 3 — (cm ). ^/з = л/з (cm). 1 AB^BD — прямокутний, за теоремою ) Шфагора BD = jl5^ + { s l3 f =V225 + 3 = =V ^ 8 = V4 -5 7=2 >/57 (cm). Відповідь: BD = 2 -J ^ (cm). 2 5 1 . Дано: В ABCD — прямо­ кутна трапеція; BA L A D , AB = 5 см, д C, 135'. ЇВС = 6 см, ZBCD Знайти: AD і CD. I ) ZBCD + /.CDA = 180“, ZC D A = 45". |2) CC, ± AD, ACCjD — прямокутний Fl рівнобедрений, C,D = CC, = 5 cm. -t- BM; BM = 4,2 - 4 = 0,2; AD = л/б-I-0,2 = 2,5 + 0,2 = 2,7 (cm ). Відповідь: = 2,7 см. 253, 1) 9 - З = 6 (діагоналей); n - З — діагоналей; (п - 3) •п (9 - 3) 9 6-9 = 27. 2) .4 b ано: ABCD — трапеція, = CD, ВС = 12 см, AD = 18 см, ZA = Z D = 30". айти: BD. ) A ß , ■ DCj = (18 - 12) : 2 = 6 : 2 = = > 3 (cm ), т о д і B^D = 12 + 3 = 15 (cm ). 2) AABB^ — прямокутний; = tg30°; tg60° oo k. or ^ Відповідь: BD = 2asin- ; AC = 2acos —. 2 ^ = 3>^ = 4,2 2) ДАВ,В — прямокутний; АО = а cos —; 2 uAC = 2 a c o s -, 2 Af g BD = 2а sin —. 2 »ox АО а 1 1 (cm). 254. 255. 2 2 2 Не існує. І = 180"(п - 2); ISO" • 4 = 720'; 720" : 6 = 120“. Не існує. 256. S = 180“(п - 2) — суми кутів, якщо п, = п -І- 7, то 180"(п -І- 7 - 2) = = 180“ • (п 5). Маємо 180'(п -І- 5) - 180“(п - 2) = 180” х X п + 900“ - 180" п + 360" = 900" + 360" = = 1260". На 1260", збільшити суми кутів опуклого многокутника. 257. Нехай кути дев’ятикутника будуть 5ft, 6ft, 7ft, 8к, 8ft, 9k, 9ft, 9ft, 9k. Знайдемо суму кутів. X = 180" ■(9 - 2) = 180" • 7 = 1260", тоді 5ft + 6ft 4 7ft + 16ft -I- 36ft = 1260; 70ft = 1260; ft = 18, тоді кути 18' • 5 = = 90', 18" ■ 6 = 108“, 18" ■ 7 = 126", 18“ 8 = 144“, 144", 18“ ■ 9 = 162". Кути дев’ятикутника: 90", 108“, 126", 144", 144", 162“, 162", 162", 162".
    • 1) AACD — прямокутний; 2 5 8. Дано: п’ятикутник, один кут 115’ , три інші 7 : 5: 3; а п’ятий кут AD = 12>/3 •sin 60° = та Знайти: невідомі кути. 1) Знайдемо суму кутів 180" • (5 - 2) = = 180" З = 540’. 2) Нехай другий кут 7fe, третій — 5Л, четвертий — 3ft, п’ятий — 2ft, маємо 7ft + 5ft + 3ft + 2ft + 115 = 540: 17ft = 540 - 115; 17ft = 425; ft = = 25. Другий кут 25" • 7 = 175", 17 третій 25’ ■ 5 = 125', четвертий кут 25‘ ■ З = 75“, п’ятий 25‘ ■ 2 = 50‘ . Відповідь: 175", 125", 75°, 50'. 2 5 9. 2) d = 15 (1 5 - 3 ) = 15 6 = 90; 18(п - 2) = 234; л - 2 = 13; л = 15. Відповідь: 15, 90. .4 2 6 1 . Дано: 54 діагоналі. Знайти: л. л (л - 3) ■= 54, п — кількість сторін; w 1) w л (л - 3) = 108; л “ - Зл - 108 = 0; Л = 9 + 4 • 108 = 9 + 432 = 441; w 3 + 21 24 , л = — -— = — = 12 (сторін). 2) S = 180° ■(л - 2) = 180’ ■ 10 = 1800°. Відповідь: 12 сторін, 1800°. 262. І2ч/3 і = 6 % /з ( с м ). 2) S = 18 6ч/з = 108% (см^). /3 264. Дано: В ABCD — прямокут­ ник. = 144 cм^ AD і 8 р. більше AB. Знайти: A ß і AD. 1) AB = X, A D = 8х. S = AB ■AD; 144 = і 8л: = Sx^ = 144; AD = 24л/2 (см). or g AB = z S (см); = ^/Г8 = Зч/2 (см); Відповідь: 3І2 см; 24-^2 см. 2 65 . Дано: ABCD — прямокутник; S = 48 см^; р л* AB + A D _ ----------- = 7 см. 2 Знайти: AB і AD. AB + AD = 14. Нехай AB = X CM, A D = 1 4 - х; x(14 - х ) = 48; 14д: - 48 = 0; - 14х + 48 = 0; Xj = 8 CM, х^ = 6 CM. Сторони прямокутника б см і 8 см або 8 см і 6 см. bo ok . Знайти: л. 1) І = 2340°, І = 180 (п - 2); 180°(л - 2) = 2340°. = = — = 18; 8 Ні, не може. X = 180° • 4 = 720°, 720°: 2 = 360°. Сума двох кутів не може бути 360". 2 6 0. CD — = 18 (см); 2 66 . Дано: ABCD — квадрат, M N F K — прямокутник. 5^^,^ в 2 рази більше ^ Знайти: M N . В =Y ^ N Дано: квадрат. 1) d = 6 см, S = Y ® = 18 (см^). ЛС = І2г/3 (см); ZACD = 60°. А D M 1) = 6 6 = 36 (см^); 2) = 36 : 2 = 18 (см^); 3) M N = 1 8 : 9 = 2 (см). Відповідь: 2 см. Знайти: 267. 2) d = ау/2; S = 263. Дано: ABCD — прямокутник; = 2.’-; = 2г ■ 2г = 4г^. 2 6 8 . Рис. 98 1) = а а = а^;2) = Ь^; 3) - (а - 6)4) В М ^ С Р = Ь, М К = а - Ь;
    • - д* - 6^ = 2 (0 - fc) • 6 + (a - ЬУ; ' f a * -b ^ = ( a - b ) { 2 b + a - b); ^ = (a - b)(a + ft), що й треба було = S довести. f 269. S „ = 279. = 8 14 sin 30° = 8 14 і = 56 (см^). S.: a = a l 280. 4 He можуть. sin 45° = 81 •2 ■^ d — квадрат; S = • 81-2 . Площа зменшиться у 81 p. M A d S tP -- зменшиться в 9 p. Z 7 2 . 1) Площа збільшиться у 8 разів. Е2) Площа зменшиться у З рази. І ) Площа зменшиться у 5 разів. І ) Площа зменшиться у 110 разів, р) Площа збільшиться у 2 рази. I s - о • ft; о, = VSa; = уІ8а Sb 4аЬ ; = 2аЬ. ^2 2 8 1 . Дано: ABCD — паралелограм; S = 56 см^ ßS, 1 A D , ßß, 5= 14 CM. £ В М 1 DC. АL В, Знайти: A D і ВС. 1) A D = ВС (як протилежні сторони паралелограма). S = A D - ВВ^; 56 = 14 • AD; AD = 56 : 14; AD = 4 (см). Відповідь: 4 см. 2 8 2 . Дано: ~ S = 120 cм^ ВМ LAD, B N 1 DC. А~~Ш A D = 15 CM, AB = 10 CM. Знайти: В М і BN. bo ГЗ. ^ = 8; ^ = 8; а, = 8а^; Sj = af; ‘^ 2 =AD ■В М ; В М = 120 = 8 (cm); 15 120 2) 120 = DC BN-, ßiV = ^ = 12(см). 10 Відповідь: 8 см і 12 см. w .4 |Si = a | ;S , = 64a|;|L = « l f i = 64. *2 < »2 яощі відносяться ЯК 64 : 1, тобто вошення площ дорівнює 64. = 8 l S (см^). w w Рис. 99 ^ но: ДАВС, ЛС = 6 см, / = З см, Д Д ІЛ ■± АС, ____ |U)EF — квадрат. вайти: К М F ) Нехай сторона квадрата а см, оскільK D E F — квадрат, то D E АС, отже, С ~ ADBE. 6 З 6(3 - а) = За; D E ~ BP ' а ~ 3 - а ’ |8 - 6а = За; 9а = 18; а = 2 (см). = 2-4( см^) . ■дповідь: 4 см^. 7А. *5 . Вказівка стор. 110. г6 . Вказівка стор. 110. Г7. S = 16 ■ 9 = 144 (см2). Г8. 1) а і в; б) а і d; 3) в і d;4) б і г. ,__, I rj t 1ro o c Г 0 а O l S L_* < ro iC I q. VO Г 0 о S rg «Л . sin а; S = (9/2f • ok .o * 271. S = а ■Ь sin а; S = 8 1 4 sin l5 0 ° = 283. Дано: ABCD — парале­ лограм; Z A = 60 AB = 8 CM, S = 56 см2. ^. L ' Знайти: AD. S = AB AD sin/A-, R 56 = 8 ^ AD = 56 14 Відповідь: 14V3 m 2 X о Ol X T hro 2 Z l. o: CL AD; 56 = 4>/3AD; 4n /3 " S ' - к X X го ( c m ). I] S О Ш u S 284. Дано: = 112 см2; B M X AD, B M в 7 p. Л менше AD. Знайти: AD і B M . CQ esj OB
    • Нехай В М - x ,A D = 7х, тоді І • 7х = 112, = 112 = 16 (см), В М ^ 4 см, AD = 4 • 7 = 28 (см). Відповідь: 4 см, 28 см. 291 . 7, =-aösina. l ) S = i.93V2sin45» = ^ : ^ ^ 2 85. Дано: ABCD — паралело­ грам; АС = 20 см, BD = 16 см, г л в в = 90". Z) Знайти: 1) &АВО — прямокутний; ßO = ОХ) = 16 ; 2 = 8 (см); ЛО = ОС = 20 : 2 = 10 (см); АВ^ = ВО^ - ВО^; АВ^ = 100 - 64 = 36; AB = 6 (см). =^ = = 13,5(см^); 2) S = | 9 3v/2sin30'> = ^ - | ^ - i = - її^ (с м - ,. 3) 1) AD = Vl7^ -5^ =Vl 2 22=2>/б6(см); = 48 ■ 2 = 96 (см^). AC = 4V66 (c m ); .4 b oo k. o 28 6. Дано: ABCD — паралело­ грам; В М L A D D A М BN ± CD. Довести: B N > В М . ^ )S ^ o - a d b m , 2) S ^ j, = CD ■B N; оскільки AD > CD, TO BN > B M , тому що AD • B M = = CD BN. rg 2 ) 5 д л в с = | - 6 16 = 48 (см *). 2 9 2 . Дано: ДАВС — рівнобедрений; AB = ВС = 17 см, BD J. АС, BD = 5 см. Знайти: ft; S = | l2 2,5 = 6-2,5 = 15 (cm^. w w 2 9 3 . Дано: ДАВС — прямокутний. AB = 26 C M , AC = 10 C M . CD l A B . Знайти: CD. ' 1) BC = V 26 - 10^ = V36 16 = 6 ■4 = 24; ® w 287. 2) S = і ■5 ■4л/б6 = 10V66 (см^). 2) S , = ^ ^ ^ = i ^ ^ = 120(cM^); Відповідь: 15 см^. 288. 98 = 1 14 а; 98 = 14 (c m ). Відповідь: 14 см. 3) = і AB ■CD; 2 CD = 240 26 289. Дано: ДАВС — прямокутний; ВС = 8 см, AB - 17 C M . Знайти: S. 1) ЛС = Vl7^ -8^ =V 9 25 = 3 - 5 = 15; 120 = 9— 13 13 (c m ). Відповідь: 9 — см. 13 2 9 4 . Дано: ДАВС; A M ± ВС, BN X AC, Відповідь: 60 см*. 7 9' BC Знайти: . лО 29 0. 1) 5 длвс= | ^ С -В Л ?;З д^ с= -A C 2 ^ AC B N 2) S = ^ ^ ем = 60(CM^). 1) а і б; 2) а і г; 3) Ö і г; 4) в і а; 5) а І е; 6) б і е; 7) г і е. Отже, 1) о, б, г, е — рівновеликі; 2) в і а. AM BN BN = -В С 2 A AM-, | в С-АМ :
    • 1 1 . 1 2 2 ^ 2 I l = r AC 9 T QQ rj ^ Відповідь: ' ^ - g Дано; ДАВС; Ї-С// 1 AB, В М ХЛС. Довести: X CN ^ АС І ВМ AB' що й треба було довести, С БМ; 5д = І [[2) ^ А С В М = - A B 2 2 В М = AB АСВМ ABCN (уло довести. а В Сі У; CN; CN-, 1: що й треба AB ^ 9 6 . айо: tsABC, "SM — медіана, МК = КС, ш = ВМ. (овести: ААСК, А Ж К , ААКМ , ВКМ — рівновеликі. Q. ш < та ІС S І Q. Ю го M F = Vs 18 = 3-4 = 12 (CM); о З AB; ok .o = 1 26 12 = 156 (смЪ; 156 2 = 312 (C =“). M Відповідь: 312 см^. ^ ос 299. ' *1’ '^дслгв = 2 Дано: ААВС — рівнобедрений; AB = ВС = 50 см, АС в 1,5 р. більше за В М . Знайти: ^ X X та ш 2 X 'а - .4 F) = о ш w 1) Нехай В М = X, АС = 1,5л:; МК, w ^йвкм - 2 w № = Л; = Лз, А £ = Л, = Л,. ^же, площі цих трикутників рівні, Г* отже, трикутники рівновеликі. 4 *9 7 . Дано: ABCD — паралелограм; ВС — діагоналі, ß івести: а = Q . МОВ '^ЛАОЛ ■ "" ®двос “ ^июс =І а О ßO sina; .вмой = 4 - 4 - 4 - 8 І п а = ^ 1 - ^ Sin а; 2 2 І^О = ОС = ^ ; 2 BO = OD = ^ 5ддос = і ■ВО ОС ■sin(180° - а) = і ос jg 2 9 8. Дано: AB = ВС, М — середина АС, M F ± А В , A F ^ 8 см, BF = 18 см. Fi Знайти: 1) В М 1 АС, ^ ААМВ — прямокутний; MF^ = A F BF; MF^ = 8 18; 2) S ^ ^ = ^ M F ■ ^йАск - 2 ) Р та S C = s.ЛАОЛ = - сг, ■dj sin а. rg а 'оос’ 5двос ^iAOD' bo | і ) Зд = І О > ^ляпг ^лоос’ ^лвос ^іАоа I 2 9 5. , sin а = —dj • oij sin о ; с X A M = M C = 1,5х : 2 = 0,75х = -л:; 4 2) В М х ; А С = 1,5л:; ААВМ — прямокутний. АВ^ = 2500 = — х^; 50 = - х і 16 4 9 + — х^; 16' х =~ 5 ЛС = 40 ■ 1,5 = 60; т та тс = 40; ь о 3) «ДАВС = ^ 40 60 = 1200 (см^). (L Відповідь: 1200 см^. 3 00. Дано; ДАВС — прямокутний; ВС = 16 см, АС на 4 см менше AB. Знайти; S „„.. 1) S,ДАВС ~ 2 л N
    • га AC = х; AB X + 4. 2) За теоремою Піфагора АВ^ = АС‘ + + ВС^-, + 8д: + 16 = + 256; (х + 4)2 = х^ + 16^; Sx = 256 - 16; 8х = 240. 3) АС = 30 см; ВС = 16; л = 30 (см). 5длвс = ^ 16 30 = 240 (см^). 3 0 2 . Дано: ДАВС — прямокутний; A M — бісектриса; CM = 24 см, M B = 51 см. Знайти; S ^ . = 240 (смЪ. 30 4 . Рис. 102. Дано: ЛАВС — прямокутний; ОА = 8 см, ZOBA = 15". Знайти: 1) Оскільки коло вписане в трикутник, то АО і OB — бісектриси, тоді ZCBA = 30‘, а ZCAB = 90" - 30“ = 60 . 2) З точки О на AB опустимо перпенди­ куляр. ОМ = г; г = ^ - АО = 4 (см); it or g (c m ^ ). + BC^; S = Відповідь: 240 см^. 3 0 1 . Дано: В ААВС — прямокутний; CD 1 AB, BD - A D = 20 C M , CD 1 AB, CD = 12 CM . Знайти: 1) AD = д SK = X + 10; CD^ = AD ■BD; г; 144 = X (X + 10); + lOx - 144 = 0; BD = 8 + 10 = 18; X , = 8, = -18; 2) AB = 8 + 18 = 26 ( c m ) ; 5д = і -12 . 26 = 156 1 )A M = AJV; В М = BK-, AB = 10 + 24 = 34; КС = x; AC = 10 + x; ßC = 24 + x. 2) 3a теоремою Піфагора AB^ = AC‘ + СіК 3)OÄ^J-AC; — bo ok . — Ж = tg30°; = АС = 4 + 4у[з = 4 ( і + >/з); . 1) За властивістю бісектриси .4 AB; AB x; AC = A , . 5) S. АС ВС 3a теоремою Піфагора AB^ = AC^ + _ 4(l-^^/з)■4■^/з(l + ^/з) _ w 2) 17 з AC 8 AB ~ 1 7 ’ w AC = 24 AC 51 ~ A B ’ w CM AC BM ~ AB' + BC^; x^ = ; ^ x ^ + (24 + 51)^ 289 2 = 8 S i l + S f = 8 7 з (і + 2л/з-- 3) = 1 289 289 75 17 = 85; 15 AC 3) CJ V 85-8 = 40 17 (c m ); S. = -^ •40 ■75 = 1500 (CM^). 303. Дано: ДАВС — прямокут­ ний; A M = 10 см, В М = 24 см. к Знайти: S„„_. = 8>/з -н 16 •З 4 24>/з = 32ч/з -н 48 = = Іб(2>/3 -І- з ) = 16ч/з(2 + г/з). 305. Рис. 103. Знайти: 1) S^, = 81 см^; 2) =і-9 3) S.prf, = і 4) 4 = 18(смЪ; 9 3 = 13,5(см^); 25 = - - 5 5 = -— = 12,5(см-);
    • = 8 1 - (1 8 + 1 3 ,5 + 12,5) = : = 8 1 -4 4 = 37 (см^). ( Відповідь: 37 см^. Й “ f; J g 3 0 6 . Рис. 104. Нехай ААВС. 1) Домалюємо його до прямокутника. A E N M , тоді A M = 6, А Е = 5, = 6 ■ 5 = ЗО (см^). ІЛЕВ "■ '^ В С * Д .У 30 9. 1) Розділимо основу AB на 4 рівні частини і з вершини В проведемо пряму В М . <V ■^длсм) ^ = 13 (см^). ß 3 0 7 . Дано: «лАвс = 98 см2; <ВМ — медіана: ВК : К М = 4 : 3 . ^ Знайти; О О '^äCKM '^йЛКМ * ' - 'w « = = 98 : 2 = 49 (см^): = 5л, = 28 (см^); w « ) S. w = 5л =^ = 21 (смЪ. w 2) S. ЦВідповідь; 28 см^, 28 см^, 21 см*, 21 см^ |:f308. Дано: ААВС; иЛМ — бісектриса; І = 4 : 7. Знайти: AB : AC. В / I.) A X 1 ВС; . Л ш с =^М С AK; L jj 5длл>с ^ M C -A K ^'ллвм ВМ AK = ^ В М - AK; MC ВМ 4 7■ За властивістю бісектриси кута ш АС {M b ab 7’ = 10>/2 (см^). 3 1 1 . Дано: ABCD — ромб; A B = A D = 25 см; А С - B D ^ 10 CM . Знайти: S . = ЗО - (10 + 4 + 3) = ЗО - 17 = 1) Sp = AB AC 1) S, D 2 Нехай BD = 2х, AC = 2х + 10. За властивістю діагоналей ромба Л С 1 BD, АО = ОС = X + Ь, ВО = OD = X. 2) AAOD — прямокутний. За теоремою Піфагора АІУ = АО‘ + OD^; 625 = (л: + 5)2 + л:^; х^ + ІОх + 2Ь + х^- 625 ■ 0; = 2х^ + ІОх - 600 =^0;х^+ 5 х - 300 = 0; Г> = 25 + 1200 = 1250; .4 bo ok .o 8) 4' Р fO Ql 31 0. ^ЛАСМ ~ 2 І и: с; го 2) rg Ь') і -5 + 35 ЗО , ^ ^— = -;г = 15; 2 2 — —35 5 Хі = ---------= -20 (бути не може). * Отже, BD = ЗО см, АС = 40 см. 3) S = - - - = 600 (см^). 2 і 3 1 2 . Дано: ABCD — ромб; AB : АС = Ь : 8. В BF = 24 см, так як висота ромба є діаметром. Знайти: А 1) Нехай AD = 5х, АС = 8x, тоді АО = ОС = 8х : 2 = 4х. 2) AAOD — прямокутний; OD = Ь ь х ^ -16х^ = 7 э ? = Зд:; BD = 6х. ^ ^ 8 х -6 х 2 3) S = 5л: 24; S = ■ = 2 4 д :^ Маємо: 24х^ = 5х ■ 24; х ~ 5.
    • I p П З к с; го a си 4)ЛХ» = 5 • 5 = 25 (см); S = 5 ■ 5 • 24 = 600 (см=^). В 3 1 3 . Дано: ABCD — ромб; В М X A D , D M = 7 см A M = 9 см. ■ / А М Знайти: S . 1) ААВМ — прямокутний; AB = 7 + 9 = 16 (см); ВМ = Vl6^ - 9^ = = V(16 + 9 )(1 6 -9 ) = V25-7 = 5ч/7; го 2) Sp = 16 ■буІ7 = 8 0 ^ (см^). I о. VO го о 3 1 4 . Дано: ABCD — паралелограм. Вказівка стор. 111. В_______________С 3 X T Iro .4 bo ok .o ■=r о < K O t! ^ 5д = ■ J p ( p - a ){ p - b )(p - c ); Р = A N = a sin 60° = £ t aS _ S + i' 3 + 2V3 + 1 4 ~ 4 + 2 -j3 ~ 2(2 + S ) 2■(2- У з) i2 + S ) { 2 - S ) _ 2■(2- ^/з) 4 -3 = 2(2->/3) = 4 - 2 n (CM^). /3 esi а+6 •Л; S, = і ^ - | ^ - 6 = 27-3 = 81 (смЪ- Л = 10Л; 4 (73 + i f 4 = З •7 •4 = 84 (см^). 3 1 9 . St p = ^ ^ 2^ 3) S;, 13 + 14 + 15 р = ------= 21; = V21- 6- 7- 8 = n 3 - 2 ' 3 ' 2 - 7 - 8 = / 3 1 8 . Stp = 1; £ + £ ^ = 1 ; 2 2 2) A N + A M = AB /з) =2; a = а + Ь+ с Зд = ^21(21 - 15)(21 - 14)(21 - 13) = 1) Нехай M N — a см, тоді A M = а (і + О С Q_ 1- = - 1 5 1 1 , 2 = 15-5.6 = 84(см^) 2 або II випадок за формулою Герона w I Дано: ABCD — квадрат; M N F K — квадрат; AB = 1 C M , Z A M N = 60*. Знайти: w 1 fO Ш 2 6) A M Вказівка стор. 111. w I rg ß M = Vl25,44 = 11,2; 315. 316. О С MC = 15 - ї ; 2) ААВМ — прямокутний; ßM * = І 32 3) ACBM — прямокутний; ßM^ = 142 - (15 - хУ; 4) 13^ = 14^ - (15 - х)^; 169 - д:“ = 196 - 225 + ЗОх 169 = ЗОд: - 29; 169 + 29 = ЗОд:; 198 = 30jc; X = 6,6 см; 5) ВМ^ = 169 - 43,56 = 125,44; 3 1 7 . AABC; AB = 13 см; ßC = 14 см; AC = 15 см. Знайти: ßM . 150 = ЮЛ; й = 15 (см). 320. Дано: ABCD — трапеція; AD - ßC = 9 C M , S - 92 см^ В М = 8 CM. М Знайти: ВС і AD. 1) ßC = д C M , AD = д: + 9. : 2) s = 8; 92 = (2x + 9) ■4; 23 = 2д: + 9; 2x = 14; д = 7 см; : ßC = 7 см; AD = 7 + 9 = 16 (см). Відповідь: 7 см і 16 см.
    • 1 I 3 2 1 . Дано: ВС = 8 см, AD = 14 см, Знайти: 1) CC, 1 AD; ßß, 1 AD; Z60‘; I АС = 8у/з см; ßß, = 6 — г с А п = зо‘. Знайти: S .„., 1) ДЛСС, — прямокутний; = Зл/З (см); Aß, = iX:, = 3 c m . 2) AD = 3 + 10 + 3 = 16 (c m ). 3) 5 л в с д = ^ ^ Т ^ -Зл/з = 13 3>/3 = '• Cq = і 8>/з = 4ч/з (см); 1 2) S = ^4^•4 ^/3 = 11•4^/3 = 44^/3(CM^). = 39х/з (смЪ. 1) Aß, = 6 (см): А В, С. г в , = ч/144 - 36 = чЯ08 = 6л/з (см); .4 bo ok .o 2) ДС,СГ> — прямокутний; rg 3 2 2 . а) Дано: г ABCD — трапеція. Знайти: S . 3 2 5 . Дано: ^ ^ ABCD — рівнобічна трапеція; A ß = C£»; S. c, ßC = 7 c m ; ^ a d = 25 c m ; AC X CB. Знайти: 7 j. O K 1) S = CCi = 16 CC,; 2 i 2) BB^LAD-, CC, X A D ; A ß , = DC, = (25 - 7) : 2 = 9, тоді AC, = 7 + 9 = 16 (см). 3) ДАС2) — прямокутний; CC, X A D ; CjD = V9 21 - 36 З = Vl89 - 108 = = >/8Ї = 9 (см); 3 )A D = 6 + 6 + 9 = 21 (см); •6л/з = 27 3>/3 = CCf = AC, C,D; CCf = 16 -9; CC, = 4 • 3 = 12 7 (c m ). 4- 4) 5лвсі) = - ^ - ^ 1 2 = 16 12 = = 81,УЗ (см^). = 192 (CM^). w w w б) Дано: ABCD — прямокутна трапеція; Bß, = С£» = 4 см, ZBAB, = ЗО-. і) Знайти: S. > В. 1) ААВВ^ — прямокутний; AB = 4 ■ 2 = 8 ( c m ) ; ВС = A B = 8 (см); AB^ = 8 - ^ = a S (c m ); 2) AD = 4>/3 + 8 = 4( 4 + 2) /3 |3) S =i± 8 ^ . 4 =8(4+ !s) (c m ); = (l6 + 4V3).2 = 326. Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; ВС = 22 см; A D = 50 см; ZAßC = ZCßD. Знайти: ß, C, 1) Z I = Z2 (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній BD). Z1 - Z3, отже, Z2 = Z3, а отже, ABAD — рівнобедрений; ВА = A D = 50 см. 2) Aß, = DC, = (50 - 22) : 2 = 14 (см). 3) AAßß, — прямокутний; ßß, = V50^ -14^ = >/б4 36 = (c m ^ ). : 3 2 4 . Дано: ABCD — трапеція; VßC = 10 c m ; ffAß = CD = 6 c m ; = 120’. А = 8 ■6 = 48 (см); 22 + 50 4) S = •48 = 72-24 = 1728 (см^). 3 2 7 . Дано: ABCD — прямокутна трапеція; AD = 50 см, AD - ßC = 14 см, CA — діагональ, Z.DCA = ZBCA = 46'.
    • 1 Знайти: го g VO ff) о S D C X 1 Г О C Q 2 I ■ 3 0 (U 1 = Дано: ABCD — прямокутна трапеція; ВС = 5у /3; DC “ 18 см, ZBCD = 150’. Знайти: S _ .„ . 1) ZD - 180* - 150“ = ЗО*; 1 1 CC, CD = i 18 =: 9 (см); ^ 2 2 4 /З DCi = 18 cos30° = 18 ~ = 9n/3; „ 5ч/з + 147з „ 19у/з ■9 _ 2) S = ^ 9 -— ^ - 3 2 9 . Дано: ABCD — прямо­ кутна трапеція; AD - ВС = 9 см, AC = 13 см, AB : CD = 4 : 5. Знайти: 1 )A D - ВС = C,ß = 9 см, отже C.D = 9 см. 2) Нехай СС, = 4fe, CD = 5ft, тоді 25ft* - 16ft* = 81; 9ft* = 81; ft* = 9; ft = 3. 3) AB = 3 • 4 = 12 ( c m ) . CD =3 ■ 5 = 15 ( c m ) . AABC — прямокутний. w w cc Q. B^D = Vl92 - 48 = >/І44 = 12 (см). 328. А Д = 5л/з + 9ч/з = 14>/3; ВС = ^AC^ - AB* = Vl69 -1 4 4 = -Д Е = = 5 (c m ). AD = AC, + C,D = 5 + 9 = 14 ( c m ) . _B C + AD 5 + 14 ^ AÜIJ - pa = 114(смЪ. 4л* = л:* + 48; Зж* = 48; д:* = 16; ж = 4; AB, = 4 ( c m ) ; C,D = AB, = 4 (см). ABDB,: ZBDB, = ЗО'; BD = 2BB, = 8>УЗ; ■ = 2150 (смЪВідповідь: 2750 см“ “. T 2 25 A D ^ A B ^ + B,D = 4 + 12 = 16 (см); ВС = B,D - C,D = 12 - 4 = 8 (см). 8+16 BC + AD •4л/з = BB] = ^ABCD - ■ rg I 3) ДАВВ,: ZBAB, = бО’. ZABB, = ЗО'; AB^^ x; A B ^ 2x; AB^ = AB* + BB*; = 48>/з (см*). oo k. o < го D В, А 1) ДАОС — рівнобедрений; CD = A D = 50 см, 2) Маємо: AD = 50, 50 - ВС = 14, ВС = 36 (см). .4 b с; m а (U w О С 330. Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; ВВ, = AD; ВВ, = 473; ZABC = 120-; AC — бісектриса кута A. Знайти:S т р. . 3 3 1 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; АС 1 BD. ^ А ВС ■AD = 8 см. Знайти: KF 1 AD. Доведемо, що K F = BC + AD &ABD = BDCA (AB = CD. A D — скілька, ZBAD = ZCDA), отже, Z.BDA = ZCAD. Звідси в AAOD гострі ■ кути рівні, отже &AOD — рівнобічний, причому ZODA = ZOAD = 45°, тоді OF = = FD -A D . 2 Аналогічно OK - ВС. Звідси в K F = ^ОК = 8 см. Отже, = 8 • 8 = 64 (см*). 3 3 2 . Дано: ABCD — трапеція; ВС = 4 см, BB, J. AD; BB, = 6 C M , ZABC = 120', ZDCB = 135“. 2 = BC + A D ■KF =
    • f Знайти: '' . /ВАВ, = 60" ■ZCDC, 4 5 "; ЗО': AB, = -AB-, ' 2 : ABi = x; AB = 2x; AB^ = A B ] + BB-, 4Ж » + 36: 3*2 = 36; = 12; x = I ДАВВ,: ZA5B, • 2-Д ; Aß, = 2^3 BC + AD (c m ). ZCC^B: CC, = C ,ö = 6 ^АЯСО cm : AD = Aß, + ■ + ß,C, + C,0 = 2>/з + 4 + 6 = 10 + ' + 2-7 з = CL =" 4 см. AÄ- = х: AB = AJC = ATß = = X + i-, А Р ~ A N - P N = X - A -, AABD: AB^ = AD^ + BD^; (x + 4)^ = = (X - 4)2 + 256: + 8x + 16 = д -8x + ;2 + 16 + 256: Ібд: = 256: x - 16: AD = 32 (cm): BC = 8 (cm). ( c m ). і „ ßC + А Л ■ Sabcd 2 ^ ~ BD-- 8 + 32 16 = dl 3 3 5. Дано: ABCD —рівнобічна трапеція: = 64sfs (см2) ro S ) = (7>/3 - 7) (см"). Нехай АА^ = д:; ÖABK: ZA B K = ЗО", тоді АВ = 2х: В К = ^ А В '^ -А К ^ ІГіЗЗЗ. Дано: ^АВСХ) — трапеція: JB - 15 см, C ЛО - 36 см, :'АВ - 13 см, CD - 20 см. ти: Проведемо СА II Aß , &CDF має сторони ‘C F - A B = 13 см: CD = 20 см; /Ч) = AD ВС = 36 - 15 = 21 (см). ;емо площу ACFD за формулою іна. S = ^27(27 - 13)(27 - 20)(27 - 21) = = xS S ^ = ^ £ ± ^ .B K = ^ ^ ^ ^ B K = " 2 ■x S i 6 iy f3 = 2 x ^ S ; x2 = 32: л: = 4>/2. Отже AB = CD .4 w w w >/27 14 7-6 = 126 (см^). f і [ Э другого боку = —СК ■FD; 1 2 6 » СК = Щ ^ = 12 (см). = 2>/2 = S j 2 (cm). 336. Дано: ABCD — трапеція; A ß = 26 cm, B________ С CD = 30 cm, A D - BC = 28 CM. Знайти:S A К M D Оскільки в трапецію можна вписати коло, то АВ + CD = ВС + AD; Дано: ABCD — рівнобічна їція: М О = ОК = OL = O N = 8 см, " 4 см. Аf в с ,^ т и : ХВ = В М як іізки дотичних, їдених з однієї до кола. / ( у / ) D N **■ В М = M C = А . К I 1 го m 2 I ‘з0 0 1 I т s н та сс Q. A D - B C = 28, I — Ш A D + В С = A ß + CD = 56; |334. ct - bo ok . І Відповідь: (Тл/з - ?) М^. I Q. VO m О or g і О С m O l ло, то АВ + CD = ВС + AD. „ ; 6) Sabcz) = 7 •(>/з - P (O = 320 (см2). ZAßC = 120‘. A K D Так, як в трапецію можно вписати ко­ щ ^ 4 + 10^+2ч/з . 6 = 42 + 6^/з (см^). X 2AD = 84; AD = 42 ( c m ); ВС = 14 (см). AR- + M D = AD - ВС = 42 - 14 - 28 (см); Нехай A K = X, тоді M D = 28 - x. AABK: BK^ ^ A B ‘ - AJP = 676 - *2; CAf2 = CD2 - MD2 = 900 - (x - 28)2; 676 - *2 = 900 - (784 - 56л: + *2); 56i ” 560; j: = 10; A/f = 10; О B K = V676 - 100 = ^/576 = 24 (см); 2<= 6 7 2 (C M ^). е*э
    • CD СК + K D = З + 12 = 1Ь (см); P N = LC = З (см): N D = PD - PN ^ = 1 2 - 3 = 9 (см). Оскільки в трапецію вписане коло, то ВС + AD = AB + CD; 337. p fD Дано: ABCD — прямо­ кутна трапеція; C/f = З см, K D ’- 12 (см). cr Знайти: Sт р . СК = Z.C, як відрізки дотичних, прове­ a qJT дених з однієї точки: ZC = СК = З (см). = AB + CD CN = 12 + 15 12 = = 162 (cm“*). В АР ІА Н Т 3 ос X I го m Q I 'or 0 (U 1 T s Iro 1 к CL 2 . Рис. 107. Дано: Z1 = Z2, Z3 ■ Z4. = Довести: Z5 = Z6, Z7 = Z8. 1) äBCD — рівнобедрений, оскільки Z3 = Z4, СА — висота і бісектриса, отже, Z5 = Z6. 2) ДВАО — рівнобедрений, Z1 = Z2, АС — висота і бісектриса, отже Z7 = Z8. 3. Не можна, оскільки сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника 360', два прямих — 180“, а два гострих — 180'. 4. Не правильно, оскільки ZA + ZD = 180“, а у нас 143' + 4 Г = 190'. 5. CJ N C Q rg 3) Дано: ZA менше ZB на 44". Знайти: кути. Нехай ZA = х’, Z B = X + 44", Z A + г В = 180", X + X + 44 = 180, 2х = 180 - 44, 2х = 136, д = 68", : ZA = ZC = 68‘, ZB = Z K = 68" -І- 44" = 112". Відповідь: 68", 68", 112'. 4) Дано: Z A i l l раз менше ZB. Знайти: кути. Нехай Z A = д:", Z B = (11х)‘, маємо X + 1 І Х = 180, ZA = ZC = 15", ZB== ZD=> 15" 11 = 165". Відповідь: 15", 15", 165", 165". 5) Дано: Z A : Z ß = 5 : 13. Знайти: кути. Нехай Z A = (5*)", ZB = (13Ä), тоді 5й 13Ä = 180, 18* = 180, ■ k = 10", Z A = ZC = 10" 5 = 50", Z B = Z D = 10" 13 = 130". Відповідь: 50", 50", 130", 130". .4 bo ok .o rn О 3 w VO 1. Дано: AB = CD, g AD = BC. Довести: ZA = ZC, Z S = ZD. • A 1) Проведемо діагональ BD і розгляне­ мо ДВО і ACDB, вони рівні за третьою ознакою рівності трикутника, отже, ZA = ZC. 2) АС — діагональ, ААВС = ACDA (за третьою ознакою рівності трикутників), отже, ZB = ZD. w I Q. w та iC s = 1) Дано: АВСО — В_______________ С паралелограм. Знайти: кути. Якщо ZA = 63', Г ~ 7 Z A = ZC = 63‘ : A^------------------ 'D /1В^ Z D -^ 180' - 63" = 117‘ . Відповідь: 63", 117", 117‘ . 2) Дано: Z A + ZC = 134". Знайти: кути. ZA = ZC = 134" : 2 = 67", г В = Z D = 180' - 67* = 113*. Відповідь: 6Г, 6Т, 113“, 113. 6 . Рис. 109. Знайти: кути паралелограма. 1) ZAOB = ZCOD = 70": 2) ACOD; ZCDO = 180" - (70" -f 20") = 90‘; 3) Z D = 40" + 90" = 130"; Z B = Z D ^ 130"; ZA = Z C = 180" - 130" = 50". Відповідь: 50", 130", 50", 130". 7. Чи може одночасно виконуватися Z A > Z K , ZB > Z M ? Ні, не може, оскільки ZA + ZB = 180, ZK + Z M = 180", ZA + Z B > Z K + Z M бути не може. „ ^ м а І 1
    • O . '• З н а й т и : с т о р о н и . 1)АВ ^ C D , A D = ВС, . ,од1 2(АВ + A D ) = 80, A ß + AD = 40. 2) Нехай AB = J C M , AD = д + 14. C : (g,Маємо: д; + д + 14 = 40, 2х = 26, : ■' X - 13 (см), AB = CD = І З C M , > іШ = ßC = 13 + 14 = 27 (см). 1 3 . Дано: ABCD — паралелограм; Р = ЗО см, A F і DF — бісектриси. Знайти: Aß, AD. В F г А D 1) AABF — рівнобедрений, AB = BF. 2) AFCD — рівнобедрений, FC = CD; j: + 2 -b д + 2д: = 30, бд: = 30, a: = 5, : 2дг = 10. Маемо A ß = CD = 5 см, AD = ßC = 10 CM . 1 4 . Дано: ABCD — паралелограм. Z ß = 120 , ß ______________ jc B M — бісектриса; A M = M D ; ZABD; BD = 5 c.M. Знайти: ^ M 1) Оскільки B M — бісектриса є і медіа­ ною, то AABD — рівнобедрений, A ß = = BD = 5 CM . 2) ZA = 60“, B M 1 AD, Z A B M = 30', .4 bo ok .o ^ 9> Дано: ABCD — В Г 'V паралелограм; грам; / У £ADAB = 4:3, / / i A D - A B = 4 см. . /----------------- Л 'D вайти: i l ) A D = 4Ä, A ß 3/г, тоді 4k - 3k = 4, *-4. ' a ) AD = 4 ■ 4 = 16 ( c m ) , •AB = 4 З = 12 ( c m ) . * ) P = 2(16 + 12) = 56 ( c m ) . ^Відповідь: 56 c m . 2) ZBEA = ZD A E (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній АЕ). 3) Маємо ZBAE — ZD A E, а отже, АЕ — бісектриси ZA. rg ES- Д®” °- a b c d — ft, паралелограм; J p - 80 C M , Ш/іВ на 14 с м --іівнше AD. АC '1 0 . a) ZCAD 20‘, ZCBD Ф 50"; 6) bBAD — рівнобедрений, SZ) ■ AD = BC, 7 # 8; = •) ДАВС — рівнобедрений, 9 ^ 10. Дано: ABCD — чотирикутник; , A N , CF — бісектриси; B M X A N , ± CF. івести: ABCD — паралелограм. В w w w 11. 1) &AKB - прямокутний, ■aCAB + ZA B K = 90“, тоді + Zß = 180“, ZA і Z ß — внутрішні [односторонні при прямих ВС і AD і січній Aß. Отже, ВС II AD. j;2) Аналогічно, Zß + ZC = 180“, отже A ß II CD. 8) А такий чотирикутник — парале­ лограм, отже, ABCD — паралелограм. 1 2 . Дано: ABCD — Паралелограм; іАВ = BE. Довести: !АЕ — бісектриса ZA. 1) ААВЕ — рівнобедрений, ^ В А Е = ZBEA. 27 С упер Г З, 8кл., к . t Д н ^ A M = - A ß = 2,5 (C M ), M D ■ 2,5; A ß = 5 ( c m ) , BC = A D — 5 CM . 3 ) P = 5 + 5-l -54 5 = 20 ( c m ) . Відповідь: 20 см. 1 5 . Дано: ABCD BM LA D , B N 1 DC. Знайти: Z M B N . паралелограм; ß 'N A M 1) &ABD і &DBC — рівнобедрені оскіль­ ки висоти є і медіанами A ß = BD = ВС, але ВС = AD, отже, AABD — рівносторонній, ZA = 60", Z A = ZC = 60“, ZADß = ZBDC = 60“. 2) Z M B D = Z N B D = 30 , отже Z M B N “ 60'. 1 6 . Дано: ABCD — паралелограм; Z ß на 50“ більше ZA. 1) Знайти: Z F A N , де AF 1 BC, A N X CD.
    • p fO О С I I ea ca Q X ■j о (L I X T K ro s 5 Q. t S О Ш CO 1 7 . Дано; ABCD — паралелограм; A M = CN. Довести: MiV — проходить через т. О. АО = ОС, " A M = CN, ZM AO = ZNCO, ААОМ = ACON (за першою ознакою рівності трикутників), М О = ON, отже, т. О розбиває пряму M N навпіл і M N проходить через т. О. J 2 0 . ACDB — шуканий паралелограм. Оскільки т. С С______________ Р будь-яка, то і па­ ралелограмів можна б у д у в а т и ________________ безліч. В А якщо С зафіксувати, то з точки мож­ на провести пряму, паралельну даній, тільки одну, отже, паралелограмів можна побудувати два, то вони будуть рівні ABCD і ACFB. D С F_ or g 3 2) Дано: Будуємо ААВС за стороною і двома кутами, проведемо A D Ц ВС, CD II AB, ABCD — шуканий паралелеграм. ß bo ok . M о .4 g. VO w I w ro a) Знайдемо кути паралелограма. Нехай ZBAD = х , ZABC = (jc + 50)*. Маємо jr + зс + 50 = 180, 2x = 130, X = 65", ZB AD = 65', ZABC = 115. б) ZFA D = 90‘ - 65" = 25", Z A D N = 180" - 115‘ = 65', ZNAD = 90" - 65’ = 25‘. b ) ZFAN = 25' + 65‘ + 25‘ = 115*. Відповідь: 115‘. 2) Знайти: Z M B K , де B M X AD, fix ’ 1 CD. а) ZCBK = 90" - 65" = 25"; б) ZMB/f = 90‘ - 25‘ = 65’. Відповідь: 65’. 18 . Дано: ААВС — рівносторонній; M N II АС, М К II ВС, M K C N — паралелограм. А * мкc^ = 60 см. Знайти: AB = ВС АС. 1) P«*c.v = (CN + СК) ■ 2: 60 = 2(CN + СК); CN + СК = ЗО (см). 2) M N = КС, AM BN — рівносторонній, М В -= B N = M N , отже ВС = CN + BN = ЗО (см). Відповідь: ЗО см. w к m Q. < U 1 9 . 1) Будуємо АЛОВ за двома сторо­ нами і кутом між ними, де сторони — половини діагоналей. 2) Добудовуємо до паралелограма, ABCD — шуканий, в ньому АС = d,, BD = d,, ZAOB = а. А В 2 1 . Через точку N провести пряму, через точку М провести пряму, через точку Р провести пряму, паралельну M F , через точку К провести пряму, паралельну KD ; ABCD — початковий паралелограм. B y_N
    • г 2 3 . Рис. 111. Дано: Z I = Z2, Z3 = Z4. Довести; ABCD — паралелограм. 1) Оскільки Z I = Z2, а це внутрішні різносторонні при прямих ВС і січній отже, ВС I I AD. 2) Z3 = Z4, отже, AB I I CD. • 3) В чотирикутнику ABCD сторони по* парно паралельні, отже, ABCD — па- 2) Нехай діагоналі паралелограма пе­ ретинаються в т. О, тоді М О = РО, ОТ = ON, отже, діагоналі T N і М Р пе­ ретинаються в точці і точкою перетину діляться навпіл. 3) Чотирикутник M N P T — паралело­ грам. ß р w w w .4 b oo k. o rg 2 7 . Рис. 115. Дано: ABCD Ір а л е л о г р а м . паралелограм A M = СК. А D 2 4 . Рис. 112. Дано: Z1 = Z2, АО = ОС. Довести: B M D K — паралелограм. Довести: ABCD — паралелограм. 1) Розглянемо AAMD і АСКВ, в них 1) Z1 = Z2 (це внутрішні різносторонСК = A M , за умовою, ZBCK = Z D A M ;яі при паралельних прямих ВС і AD і (як внутрішні), ВС = AD, ВС = AD (як ^січній BD), а отже, ВС ЦAD. протилежні сторони паралелограма). 2) Z.BCO — ZDAO як внутрішні різноAAMD = АСКВ (за першою ознакою сторонні при паралельних прямих ВС рівності трикутників). Отже, В К = D M . і A D і січній АС, гВ О С = ZAOD (як 2) ЛАВМ = ACDK (за першою озна­ іртикальні). кою), отже В М = KD. ■ '^) У д в о е і ABOD АО = ОС (за умовою) 3) А М В К = A K D M (за першою ознакою і два протилежних кута одного доріврівності трикутників), отже, Z B K M = Шоють двом прилеглим кутам другого = Z D M K (це внутрішні різносторонні ^икутника, отже, АВОС = ADOA (за при прямих В К і M D і січній М К ). другою ознакою рівності трикутників), 4) Маємо в чотирикутнику B M K D : отже ВО = OD. В К = D M , ВК II D M , отже, B M D K — і) Маємо в чотирикутнику ABCD діа­ паралелограм. гоналі перетинаються і точкою перети­ 2 8 . Рис. 116 ну діляться навпіл, отже, ABCD — па­ Дано: ABCD — паралелограм; М , N , Р, ралелограм. Т — середини сторін A S , ВС, CD і DA. 25. с. 113. Які з чотирикутників є паралелогра­ Дано: ABCD — паралелограм; мами. гВ М С = ZAN D . 1) SMKO, OKNZ, TSOO^, О р Ь Р , M N PT, Довести: A M C N — паралелограм. S M N Z , TSZP, КМТО^, KNPO^. іРозглянемо АВМС і ADNA, вони рів­ 2 9 . Рис. 117. ні, оскільки ВС = AD (як протилежні Дано: чотирикутник — ABCD; сторони паралелограм). Z B = Z D (як Z A = ZC; ZC + Z D = 180’. протилежні кути паралелограма). Довести: ABCD — паралелограм. 4 В М С = Z D N A (за умовою), а отже, 1) Оскільки ZC + Z B = 180", то Aß |CD. | і Z B C M = ZD A N . АВМС = ADNA (за 2 )Z A + Z D = 180“, отже, ZC + ZD = 180", другою ознакою рівності трикутників). отже, ВС II AD. 'Отж е, C M = A N , В М = D N , а отже, 3) Отже, ABCD — паралелограм. ^ і A M = CN, A M I I CN. £ 2) В чотирикутнику A M C N дві сторони * рівні і паралельні, отже, A M C N — паіралелограм. ї 26. Рис. 114. А Дано: ABCD — паралелограм. A N = СТ, iffiP = D M . {.Довести: M N P T — паралелограм. І 1) Оскільки A N = CT, то A T - CM, I Bp = D M , TO B M = DP. 3 0 . Рис. 118. Дано: ААВС = АА^В^С^; ВВ^ = 7 см, A jC = 8 CM. Знайти: АС,. 1) АВВ^А^ — паралелограм, оскільки Z A = ZA,, АА^ = ß ß j = 7 CM. 2) CßßjC, — паралелограм, оскільки ZC = ZC,, ßß, = СС, = 7 C M . 3) AC, = 7 -I- 8 -I- 7 = 22 (см).
    • Цей паралелограм — прямокутник. Рис. 119. Дано: ABCD — прямокутник; ZODA = 35'. Знайти: ZAOB. 1) AAOD — рівнобедрений, оскільки АО = DO, отже ZDAO = 35". 2) АЛОВ = 35' + 35" = 70" (як зовнішній кутДАОП). Відповідь: 70°. 33. Дано: ABCD — прямокут­ ник, ZBOA = 82‘ . Знайти: АВАО і ZDAO. 1) ААОВ — рівнобедрений: гВ А О = ZABO = (180- - 82’) : 2 = = 98" : 2 = 49‘ . 2) ZDAO = 90' - 49“ = 41". Відповідь: 41’, 49‘ . 34. bd = 5 ac . 5 2) Розглянемо AABK і ADCM, у них AB = CD (за умовою), BK = CM, ZA B K = Z D C M (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD і січній АС), отже, ААВК = ADCM (за першою ознакою рівності трикутників). 3 7 . Дано: ABCD — паралелограм; ААОВ, АВОС, яС ACOD і AAOD — рівнобедрені. Довести: ABCD — прямокутник. 1) Оскільки ААОВ — рівнобедрений, то АО = ВО, АВОС — рівнобедрений, ВО = ОС; ACOD — рівнобедрений, СО = OD; AAOD — рівнобедрений, OD = АО. 2) Маємо: АО = ВО = СО = DO, тоді BD = AC, отже, ABCD — прямокутник. .4 bo ok .o Дано: ABCD — прямокутний; ZBAO - ZDAO = 20". Знайти: ZAOB і ZAOD. Довести: AABK = ADCM. 1) B K = CM , оскільки BD = AC, rg 31 . 3 2. В к --------------- 5|С 38. w w А 1) ZDAO = д:’ , тоді ZBAO = (ж + 20)’ Маємо jc + л: + 20 = 90, 2д: = 70, л: = 35, ZDAO = 35", ZBAO = 55‘ . 2) ААОВ — рівнобедрений. ZBOA = 35- + 35- = 70". 3) ZAO D = 180- - 70" ПО'. Відповідь: 70', 110". ^ с Дано: ABCD — прямокутник; AD = 2 • AB, ВМ і CM — бісектриси. Довести: точка М належить AD. 1) ААВМ і ADCM — рівнобедрені; AB = A M , CD = D M , тоді A D = 2AB. отже, точка М належить AD. w 3 9 . Дано: ABCD а прямокутник; 35. Дано: ZAOB = 60", ABCD — паралело­ о м LAD , грам; ОА = ОА. АС = 8 см. Довести: ABCD — D М ....^ Ж ^ Знайти: ОМ . А D прямокутник. А' 1) AABO — рівнобедрений, а оскільки 1) ОА = ОС, OB = 0D (як діагоналі ZAOB = 6 0 ', то ДАВО — рівносторонній, паралелограма), але АО = OB, отже, АО = ВО = AB ^ 4 см. АО = OB = ОС = OD, а отже AC = BI). 2 ) ZBAO = 60", тоді Z O A M = 90" A якщо у паралелограма діагоналі рів­ - 60" = ЗО"; ААОМ — прямокутний, ні, то він прямокутник, отже, ABCD — о прямокутник. 36. Дано: ABCD — прямокутник: bk еч = Ъ bd , CM = - AC. 5 О М = | а Відповідь: О = І 2 4 = 2 ( c m ). см. 4 0 . Дано: ABCD — прямокутник; ^ABCD “ м , N , F І К — середини сторін прямокутника. Знайти: M F + N K .
    • 4) AADM, в ньому A M = AD = 4 см, Z60‘ ; отже, AADM — рівносторонній, D M = 4 CM. Відповідь: 4 см. 4 4 . Дано; ААВС — рівнобедрений; AB = ВС, В М — медіана, 1) Рлвс, = 2 (Aß + ßC); 4 2 • (Aß + ВС) = 36; AB + ВС * 2 ) M F ^ ВС, N K - AB, Ц о тж е M F + N K = 1 8 ( c m ) . ^ Відповідь: 18 см. 4 1 . Дано; ABCD — Д прямокутник; 1 AK = -A D , ВМ 18 (см). МК = і АС, 1 AB, ВС, КЕ = І с м . ________ Знайти; АС. А М С 1) В М 1 АС, В М = АЛГ, отже ДАМЛ — рівнобедрений, ZA = ZA B M = 45", тоді ZABC = 90". 2) Чотирикутник М К В Е — прямокут­ ник. К Е -= В М = 11 см, а АС = 2 • 11 = В М = ВС. = 22 (см). Знайти; ZBKC. 1) ACBM — прямокутний і рівнобедре- Відповідь: 22 см. 4 5 . Дано; ABCD — вий. Оскільки В М = ВС, отже ZB M C прямокутник; = Z B C M = 45'. ZBAC = 30“, &ВКС — прямокутний і рівнобедреD K X АС. й, оскільки СК = КВ з рівності АВАК і ACDK, отже ZB C K = ZCBAT = 45", Знайти; А К : АС. 1) ABAC — прямокутний; ВС = ^ АС, а /ІВХС = 90'. Відповідь: 90". BC = AD = ^A C . C D 2 Д . Дано; ААВС, 2) AAKD — прямокутний; ZA D K = ЗО’; ZA = 75', ZC = 15’ , ВЛГ — медіана, АК = I a D = ^ - A C = - A C , отже, 2 2 2 4 К - 2 см. І" a s : : АС = 1 ; 4. Інайти; АС. w .4 bo ok .o rg ± w w 1) Z B = 180" - (15 + 75") = 90". 2) ААВС — прямокутний, добудуємо го до прямокутника ABCD, тоді Й£) = АС, BD = 2ВК = 4 см. Відповідь: 4 см. І43. но; АС = 4 см, ААВС — прямокутний; г В ■ 90‘ , BD 1 АС, = ЛС = 16 см, ZDBC = 60', Af — середина AB. Знайти; D M . 1) ADBC — прямокутник; ZC = 90’ - 60’ = ЗО'. '.2) AB = І Л С = і 16 = 8 (см); A M = В М = 4 (см), ZBAD = 60', ZBDM = 90" - 60" - ЗО". 8) AADB — прямокутний, АО = І 2 а В = І - 8 = 4 (см). 2 46. Дано: ABCD — паралелограм; ZBAO + ZABO = 90‘ . Довести; ABCD — ромб. 1) Розглянемо ААОВ, в ньому ZBAO + + ZABO = 90". А ТЗ Отже, ZAOB = 90‘, ZBOC = 90". 2) Отже, АС X BD, отже, ABCD — ромб. 47. а) а = 90' - 25* = 65"; б) ZABC = 180" - 2 ■ 34‘ = 180' - 68' = = 112'; ZABC = ZADC = 112", ZBDC = 112‘ ; 2 = 56"; а = 56"; в) ZBCD = 180' - 136' = 44', ZC = ZA 4 8 . Рис. 121. Дано; ABCD — ромб; ZABO - ZBAO = 18‘. Знайти; кути ромба.
    • s X Q. VO m О 5 C C I 1 П З C O 2 X ■=r о О) X З" s I- 5 0 . Рис. 122. Дано: ABCD — ромб; C M ± AB, CK X AD. Довести: Z M C A = ZKCA. Розглянемо ААМС і ААКС: вони пря­ мокутні. АС — спільна гіпотенуза, ZM A C = ZKAC, оскільки діагональ АС є бісектрисою, отже ААМС = ААКС (за гіпотенузою і гострим кутом). От­ же Z M C A = ZKCA, що й треба було довести. 5 1 . Дано: ABCD — ромб; В К 1 AD, В М ± CD, K M = BK. Знайти: кути ромба. 1) А ВКМ — рівносторонній, Z K B M = Z B M K = Z B K M = 60". 2) ZCBK = 90", ZCBM = ЗО", ZBCM = 60". 3 )Z A = ZC=^ 60", ZABC = ZADC = 120". w пз a. 1 — LU 5 2 . Дано: 5 ------- £ _ C ABCD — ромб; ZPAC = ZNAC. Довести: BP = D N . e<s 53. Дано: гС ABCD — ромб; ВК 1 A D , В М 1 DC. Довести: К М X BD. 1) AKBD = AM BD (за гіпотенузою і го­ стрим кутом), отже, В К = В М , ZK B D = = ZM BD. 2) АК ВМ — рівнобедрений, BD — бісек­ триса, а отже, і висота, отже, B D 1 К М , що й треба було довести. 5 4 . Дано: тС ABCD — ромб; В К 1 A D , В М 1 DC, Z B M K = 48". _ _ _ _ _ Знайти: кути ромба. А К D 1) ВК = В М , А В К М - рівнобедрений; Z B K M = Z B M K = 48", Z K B M = 180" - 2 ■48" = 180" - 96" = 84". 2) Z C B M = 90" - 84" = 6 ", ZC = 90" - 6 = 84". " 3) ZC = Z A ^ 84", ZB = ZD = 96". Відповідь: 84", 84", 96", 96". rg го 4 9 . Дано: В ABCD — ромб; / о ZOAD : ZOXIA = 7 : 8 . Знайти: кути ромба. А 1) AAOD — прямокутний; ZO AD + ZO D A = 90". 2) Нехай ZOAD = Ik , ZO DA = bk, тоді 7Ä + 8А = 15*. 15ft = 90, ft = 6. 3) ZOAD = 6" • 7 = 42", Z A = 42" ■ 2 = 84‘ , ZO DA = 6" • 8 = 48", Z D = 48" • 2 = 96", оскільки діагоналі ромба є бісектрисами кута. 4) Z A = ZC = 84", Z B = Z D = 96". Відповідь: 54", 54", 126", 126". 2) ABPA і ADNA, в них AB = A D (33 умовою), А Р = A N (за умовою), ZB AP = = = ZD A N . АВРА = ADNA (за першою ознакою рів. ності трикутників), отже, В Р = DN. .4 bo ok .o Qj Ф w О С w p го 1) г л в о + ZBAO = 90‘. ZABO - ZBAO = 18". 2) ZAEO = 108", ZABD ■ 54", ZBAO = 90‘ - 54' = 36'. 3) ^ = ZC = 2 36" = 72*. 4) ZiJ = Z ß = 54“ ■ 2 = 108'. Відповідь: 72’, 72‘, 108‘, 108". А D 1)ДРАС=ДЛ^АС,оскількиАС— спільний, ZPAC = ZNAC (за умовою), а ZPCA = = ZN CA, оскільки AC — бісектриса ZC, маємо PC = C N ,A P = A N . 55. Дано: -Si rC ABCD — ромб; В К — бісектриса ZABD. A K = KD, AB = A D ^ 10 C M . A Знайти: 1) кути ромба; 2) BD. 1) Оскільки В К — є бісектрисою і ме­ діаною, то AABD — рівнобедрений, AB = BD = 10 см, але AB = AD, отже AABD — рівносторонній, Z A = ZABD = = ZAD B = 60". 2 )Z A = ZC=^ 60", Z ß = ZZ) = 60" ■2 = 120". Відповідь: 60", 60", 120", 120", 10 см. 56. Рис. 123. Дано: ДАВС = AA,ß,Cj, AB = ВС, А,В^ = ß.C.Визначити вид чотирикутника BMB^N. BMB^N — ромб, оскільки у нього діа­ гоналі ßß, і N M взаємно перпендику­ лярні, сторони рівні і паралельні по­ парно. 5 7 . Рис. 124. Дано: ABCD — прямокутник;
    • 58. Дано: ABCD — прямокутник; F — середина ПС; Е середина АО. щ Довести: M F K E — ромб. V л/ і 59. а) 1) ВР II M N ; ВС II M N ; В -і 60. 61. н D w h ----------' N A P а; 3) AB = а. w Дано; ABCD — ромб; ВС і АС — бісектриси кутів. Довести: ABCD — квадрат. 1) АВОС — рівнобедрений, ВО = ОС, ZBOC = 90'; AAOD — рівнобедрений, АО = OD, ZAOD = 90‘. 2) BD L A C , AB = ВС, отже, ABCD — квадрат. д ^ 62. Дано: ABCD — квадрат; М М і N — середини АВ ІВ С . M N = Ь см. Знайти: л 1) M B C N — прямокутник, M N = ВС = 5 см. 2) Рлмсо = 4 ■ 5 = 20 (см). Відповідь: 20 см. 2) О М = ON = OP = OOj, M P X NO^. 3) M P = PO^ = MO^ = N M , M P - NO^ отже, MNPO^ — квадрат. 6 4. Дано; ABCD — квадрат; AC = 6 cm; M , N , P, Q — середини сторін даного квадрата. Знайти: 1) ААКМ = ACFN (за гіпотенузою і гост­ рим кутом). Ц і трикутники рівнобедрені, N F = FC, М К = А К . 2 )A C = A K + K F + FC--‘ 6 (см), = 6 2 = 12 (см). Відповідь: 12 см. £ 65. Дано: ABCD — квадрат; В М = B N = D P = DQ, АС = 10 см. Знайти: л 1) M N P Q — прямокутник; Р = (M N + M Q ) ■ 2. 2) М К = K Q = AQ; N F = КС - FP. 3) AC = M N + AK" + FC = 10 cm; = 10 ■ 2 = 20 (CM). w , 2) ВС 1) A O ^ O B = OC = OD = ~A C . .4 bo ok .o 4 1 1) ABM F = АЕМ А (за другою ознакою рівності трикутників), M F = M E . 2) AFKC = ADKE (за другою ознакою рівності трикутників), F K = КЕ. 3) ABM F = ЛЕМА = AFKC = ADKE, отже, M F = F K = К Е = M E . 4) FE X М К , отже, M F K E — ромб. 6 3 . Рис. 126. Дано: ABCD — квадрат; М , N , Р, О^ — середини АО, ВО, ОС і OD. Довести: MNPO^ — квадрат. rg M N ± PO^. Довести: MPNO^ — ромб. В чотирикутнику MPNO^ — діагоналі взаємно перпендикулярні, M O = ON, PO = OO^, отже, MPNO^ — ромб. N D 6 6 . Дано: ABCD — прямокутник; 2AS = ВС, F і E — середини ВС і AD. Довести: M F K E — квадрат. • У / А / = FM . 2) FE І М К і FE квадрат. 6 7 . Дано: ABCD — квадрат; ZB C K = 2ZACK, Рлвсо “ 44 см. Знайти: КС. D K M , отже M FK E —
    • 6 8 . ABCD — квадрат. ABCD — квадрат. .4 b 7 0 . Дано: AB = 8 см, АС ■ 14 см, = FC = 18 см; М , N і F — середини сторін ААВС. . -------- р------Знайти: N F .M N і M F. 1) M N , N F і M F — середні лінії ААВС, =4 ; w M N = - А С = 4 -,N F = - A B ■ 1.8 2 2 2 w w M F = - В С = і 18 = 9. 2 2 Відповідь: 4 см, 9 см, 7 см. 7 1 . Дано: ААВС; = 48 см; М , N і F — середини середніх ліній ААВС; N .f. і М / , середні лінії. Знайти: 7 4 . Рис. 128. Дано: ABCD — ромб; F, Р, N — середини сторін ВС, CD, DA; AB = 5 cm; = 12 cm. Знайти: BD + AC. l ) A B = F M = 5 cm; F P = - BD, 2 P M = 1 AC, отже 2 - B D + - A C = 1 2 -5 = 7 2 2 B D + A C = 14 (C M ). Відповідь: 14 c m . 7 5 . Дано: AC 1 BD; M , F, К i P — середини сторін AB, ВС, CD і AD. Довести: М К = PF. 1) M F — середня лінія ААВС, PK — середня лінія AADC, Р К Ц АС, Р К = - АС, маємо M F = РК. 2 Pa.4 ,n,f, = 1 24 = 12 (см). 72. Дано: ААВС; = 68 см; 7VF : M N : M F = ов 2 Л А = ß,C.. Знайти: кути ААВС. С В, А 1) AßjAjC, — прямокутний, оскільки AjB, -L AjCj, оскільки Bfi^ - 2Ajßj, то ZAf^B ^ = ЗО", тоді ZA^Bfi^ = 60". 2) ДС|СВ, — прямокутний; Z A = ZCßjC, = ЗО’, Z B = 60‘ . Відповідь: ЗО", 60", 90‘ . 2) Відповідь: 12 см. = 4 : 6 : 7. c,|^___ MFAC, M F = ^A C . = - ■4 8 = 24 (см). 2 2) 7 3 . Дано: ААВС; A ,B ,,A ,C „ B , C ^ середні лінії ААВС; A , ß . lA , C . , oo k. o А ------------- 'J5 тоді AB = 8k, AC = 12*, ВС = 14*. Маємо: Sk + 12ft + 14Ä = 68; 34A = 68; A = 2; AB = 16 CM, AC = 24 cm, BC = 28 CM. Відповідь: 18 cm, 42 cm, 28 cm. rg (Т З 1) CD = AD = 44 : 4 = 11 (см). 2) AC — бісектриса /.BCD-, ZBCA = 45', ZACK = X , ZB C K = 2x, маємо: X + 2x = 45, 3x = 45. J = 15‘ , C тоді ZßCA: = 2 15" = ЗО*. 3) ZB C K = ZCK A = 30" (як внутрішні різносторонні при паралельних пря­ мих ВС і A D і січній СК). 4) ACKD — прямокутний. СК = 2CD = 2 11 = 22 (см). Відповідь: 22 см. ________________ Знайти: AB, ВС, AC. A F C Нехай N F = 4k, M N = 6k, M F = 7k, 3) M P = FK = |ß O . 4) Оскільки BD 1.АС, то і М Р J- РК, K F X M F , отже, A PM FK — прямокут­ ник, в прямокутнику діагоналі рівні, маємо М К = PF, що й треба було до­ вести. 7 6 . а) Якщо ABCD — квадрат і М , N , F, К — середини сторін, то M N F K — квадрат. ^
    • б) Дано: ABCD — чотирикутник; BD ± АС-, М , N , F, К — Мі середини сторін то M N F K — прямокутник. 7 7 . Дано: ABCD — В І чотирикутник; -АС = BD = 10 см; М , F, K , N — середини сторін ^ Знайти: FN. і 1) ААОВ; ZAOB = 60", І ЛО = ЛО = і -10 = 5 (см). f 2) ААОВ — рівносторонній; І AB = АО = ВО = 5 (см). ■3) M F K N — ромб, F M = AB = 5 (см). «Відповідь: 5 см. Дано: ^ ^ A,B,C.D^ — ромб. Повести: AC 1 BD. У ромба діаго|налі взаємно ^перпендикулярні, отже, AjCj -L а отже, АС -L BD, що й треба було Ідовести. w w w ?79 Дано: ABCD — паралелограм; ^^A C = 25; N F Ц BD AC, М К |AC, | FK I BD, M N II BD. ЬЗнайти: N K + F M . BC = ^ N K , CD = - M F , AD = - N K , B C = - M F 2 2 2 BC + CD + A D + BC = N K + M F ; N K + M F = 25 (cm). Відповідь: 25 см. 80. 83. 84. 85. He існує. He існує. He можуть. .4 bo ok .o |78. 82. Дано: ABCD — трапеція; ZB AD = 36", ZADC = 62’ . Знайти: Zß і ZC. 1) ZA + ZB = 180 , Z B = 180' - 36" = 144‘, 2) ZD + ZC = 180% ZC = 180" - 62" = 118". Відповідь: 144°, 118'. rg > І [ [ І [ ' 8 6 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; ßß, X AB; AB в 2 рази j. в, більше Bß,. Знайти: кути трапеції. 1) Д/lßß, — прямокутний; ßß, = g отже Z A = ЗО". 2) ZA = Z D = ЗО", Z B -= Z C = 180" - 30" = 150". Відповідь: ЗО", 150", 150", ЗО". D 8 7 . Дано: В ABCD — прямо­ кутна трапеція; ZC і З рази більше ZD . Знайти: кути трапеції. 1) ZA = Z ß = 90". 2) ZC + Z D ^ 180". Нехай Z D = л:', тоді ZC = (3jc)’, маємо x + Зх = 180, 4x = 180, д = 45", Z D = 45", ZC = 135". : Відповідь: 90", 90", 135", 45". 8 8 . Дано: ABCD — рівнобічна; ZACD = 90", cd =| ad ß_ . Знайти: кути трапеції. 1) отже ZCAD = ЗО", тоді ZADC = 60".
    • 89. Трапеція рівнобічна. ZA + ZC < Z D + Z B = 180". = 90. Рис. 129. Дано: ABCD — трапеція; A M і В М — бісектриси. Знайти: ZM B C -г ZM A D . 1) ZDAB + ZABC = 180’. Бісектриси ділять кути навпіл, отже, ZM B C + Z M A D = і 180“ = 90°. Відповідь: 90". 91. "з" о си X т •S . н та S О С о. 9 2. Дано: В_______ С ABCD — трапеція: ВС II AD, AC — бісектриса, AC = A D , ZACD = 70". Знайти; кути трапеції. 1) ACAD — рівнобедрений, тоді ZACD = ZADC = 70'. 2) ZDAC = 180" - 140" = 40", ZBAD = 40‘ 2 = 80’ . 3) ZA = 80", ZB = 180" - 80" = 100", ZC = 40" + 70" = 110'. 93. Дано; ABCD — трапеція; ZBCA = ZBDA. Довести; AB = CD. еч S 9 4. Дано; В_______ С ABCD — рівнобічна; ВВ^ X AD, ABj ; ß ,ö = 1 ; 2. Знайти; відношення основ ВС :A D . ^ 1) AABß, = /ЮСС, (за гіпотенузою і гострим кутом), отже, А|В| = C,D. 2) Тоді ß ,ö = В,С, 4 С,О, В,С, = С,£> = ВС. 3) Отже, ВС = k, AD = 3ft, а відношення * : З* = 1 : 3. 95. Дано; ^ ABCD — рівнобічна; ВС = 2 см, AD = 10 см, ВВ, X AD. Знайти: AB,, B ,ö. 1) Проведемо СС, X AD, ДАВВ, = ADCC, АВ^ = ÖC, = (10 - 2) ; 2= 4(см). 2) В,С, = ВС = 2 см, АВ| = 4 см, В ,0 = 4 - 2 = 6 (см). Відповідь: 4 см, 6 см. .4 bo ok .o X w го m 2 w X X w a: Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; AB = A D , ZAOD = 80‘. А Знайти; кути трапеції. 1) AAOD — рівнобедрений; ZOAD = AODA = (180" - 80") : 2 = 50". 2) ABAD — рівнобедрений; ZAB D = ZAD B = 50‘, отже, ZABC = 50" + 50" = 100", отже, Z B = ZC = 100', а ZA = Z D = 80". Відповідь: 80", 80", 100", 100". (як вертикальні), отже, ААОВ = ADOC (за першою ознакою рівності трикут­ ників), а отже, AB = CD. rg 2) АВСА = Z.CAD = 30", ZBCD = 90" + 30' = 120". Відповідь: ZA = Z D = 60‘, Z B = ZC = 120‘ . A D 1) д в о е і AAOD — рівнобедрені, ос­ кільки у них кути при основах рівні, отже, ВО = ОС, АО = OD. 2) Розглянемо ААОВ і ADOC, в них ВО = ОС, АО = DO, ZAOB = ZDOC 96. Дано: ABCD — рівнобічна: Z B = 120‘, ZCAD = ЗО", CD = AB = 8 CM. . D г Знайти; ВС і AD. ^ 1) ZBAC = ZCDA = 180" - 120" = 60". 2) ZCAC^ = ЗО', отже, ZBCA = ЗО', тоді ДАВС — рівнобедрений і ВС = AB = 8 см. 3) ADCC, — прямокутний, ДДСС, = 90 - 60" = ЗО , а тому C^D = - C D = - 8 = 4 (см). 2 2 4) АС, = ЛС, = 4 см; А 0 = 4- Ь8 + 4 = 16 (см). Відповідь: ВС = 8 см і A D = 16 см. 9 7 . Дано: ^ ABCD — трапеція; бісектриса AB = CD; BK = AB = 13 CM. Знайти: AD - ВС. А ^ D 1) ААВК — рівнобедрений, а оскільки у нього всі кути рівні, то він рівносторонній, AB = ВК = А К = 13 см. 2) Оскільки трапеція рівнобедрена, то ZA = ZD , Z D = Z K ,
    • § 98. Дано: ^ ABCD — рівнобічна трапеція; ^ . A B ’- A D ^ C D . Ä -------------------- D _ Довести: CA — бісектриса ZC. Ж 1) ДАОС — рівнобедрений, оскільки AD = ■ CD, тоді ZDCA = ZDAC (як кути при = основі в рівнобедреному трикутнику). 2) ZBCA = ZCAD (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і A D і січній АС), отже, ZBCA = ZDCA, а отже, СА — бісектриса ZBCD. ВС = - А С , отже, 2 ZBAC = ЗО", тоді А ZBCA = 60", а оскільки СА бісектриса, то ZBCD = 60" ■ 2 = 120”. 2) Z D + ZC = 180‘ ; = Z D = 180" - 120° = 60". Відповідь: 90", 90", 120“, 60". 102 . 1 0 3 . 1) MiV = l ^ 216 = 10,5Ь. 2 2^ 5& +166 2 104. = ^ = 13(cM); Дано: а : Ь = 5 : w .4 bo ok . 99. Дано: ^ ----------Р ABCD — трапеція; В К — бісектриса ZABC, СК — бісек триса ZBCD, А К AB = 5 см, CD = 7 см. Знайти: AD. 1) AABK — рівнобедрений, оскільки ZA K B = ZC B K = ZA BK, отже AB = A K = 5 C M . 2) dJDCK — рівнобедрений, оскільки ZD K C = ZB C K = ZDCK, D K = DC = 7 C M . Z ) A D = A K + D K = 5 + 7 = 12 (см). ^Відповідь: 12 см. 1) ЛАВС — прямо­ кутний; Z B = 90"; or g B K і CD і K D II ВС, # отже, KBCD — паралелограм; # DK = AC, тоді AD - ВС = AST = 13 (см). J. Відповідь: 13 см. В_______ С w w ■1 0 0 . Дано: ’ABCD — рівнобічна ■ трапеція; АС ± BD; ВС = 6 см; |А2) = 20см; а : М — середина ВС; N — середина AD. і Знайти: M N . 1) ZAOD + Z D = 90", ZBOC + ZC = 90". 2) АВОС — рівнобедрений; О М — висота і медіана, ВМ = MC = 6 : 2 = З (см). 3) AAOD — рівнобедрений; A/V = ND = 20 : 2 = 10 (см). 4) АВМО — рівнобедрений, В М = М О = З (см); &AON — рівнобедрений; A N = ON = “ 10 ( c m ) , отже, M N = З + 10 = 13 ( c m ) . 1 01 . Дано: ABCD — прямокутна трапеція; СА — бісектриса ZC; АС = 2ВС. Знайти; кути трапеції. а = 36; 7; M N = гб см; + Ö = 72 (см). Нехай а = 5h, Ь = 7к, тоді 5Ä -І- 7ft = 72; 12ft = 72; ft = 6 (cm); a = 6 • 5 = ЗО (cm); ft = 6 • 7 = 42 (cm). Відповідь: 30 cm, 42 cm. 2) a : 6 = 5 : 7; M N = n; a + b = 2n; I2k = 2n; k = - n ; 6 a= 6 - n ; b= - n . 6 5 7 Відповідь: —n; —n. 6 105. 6 1) M N = ^ ^ ; 2 M N = a + b. Якщо M N = 2a, to 4a = a -f fc; 3a = b; b .. MN a = —. Може, оскільки a = ------; 3 2 . ZM N .. b = -------. Маємо MN ZM N — +■ AM N 2 2) He може. MW = | ; ^ b 2 2 = MN; M 9^ Ä -------- + M N . ^ N 2 = M N ; M N = 2a.
    • ABCD — трапеція; M N — середня лінія; ВС : M N = 9 : 1 1 ; AD - ВС = 12 см. Знайти: ВС і AD. ^ 1) Нехай ВС = 9h, M N = 11 А, тоді 9k + AD BC + AD 11 * = MN = 2 2 ’ 22* = 9ft + AD; AD = 22k - 9k = 13* 2) 13* - 9* = 12; 4* = 12; * = 3 (cm); a d = 3 ■ 13 = 39 (cm); ßC = 3 ■ 9 = 27 (cm). Відповідь: 27 см, 39 см. 107. MN = 12 + 15 27 = Y = 13,5( cm). Відповідь: 13,5 cm 1 1 0 . Дано: AC 1 BD; M N — середня лінія; M N =AE. Довести: CE - AE. M N = rft; M N = AE. 2) F K = C£, але fJC = M N , отже, C£= AE, що Й треба було довести. .4 b oo k. o Дано: ^ ^ ABCD — трапеція; щ M N — середня лінія; AD : M N = 5 : 4 ; M N - ВС = 5 см. Знайти: ВС і AD. 1) Нехай AD = 5*, M N = 4*, Ьк + ВС BC + AD 4* = MN = 2 ’ ■■ ■ 2 8* = 5* + ВС; ВС = З*. 2) MW - ВС = 5; 4* - З* = 5; * = 5 (см). 3) ВС ■ 5 ■ З = 15 (см); = AD = 5 5 = 25 (см). Відповідь: 15 с.м, 25 см. 1) ZDAC = АВСА (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній СА), але ZBCA ■ ZACD = = = ZDAC, отже, AADC — рівнобедрений; DC = DA = 5ft, ВС = 4*. 2) Знаючи периметр, маємо 5ft + 5* + + 5ft + 4ft = 57; 19ft = 57; ft = 3 (cm). 3) BC = 3 4 = 12 (cm); AD = 3 5 = 15 (cm); rg 106. Дано: w w w 1 0 8 . Дано: ^ ABCD — трапеція; M N — середня лінія; Т M N = 11 см, L СС| і ßßj — висоти; А В^ С, DC. B f . : AB , = 2 : 4 : 1. Знайти; ВС і AB. 1) Нехай DC, = 2*, В,С, = 4*, Aß, тоді AD = 1ft + 4* + 2* ■ 7*, a ßC - ß,C, = 4*. ш 2) M N = ßC + A D 11 = 4 *+ 7* 22 = 11*; ft = 2. 3) BC = 2 • 4 = 8 (CM); AD = 2 ■ 7 = 14 (CM). Відповідь: 8 см, 14 см. 1 1 1 . Дано: ABCD — прямокутна трапеція; АС X CD; АС = 14 с.м; ZDAC : ZBAC = А = 2 : 1 ; M N — середня лінія. 1) Нехай ZDAC = 2*, ZBAC = *, тоді 2* + * = 90; З* = 90, * = ЗО’; ZBAC = 30‘, ZCAD = 60“. 2) ДАВС — прямокутний; АС = - ■14 = 7 (см). в с Л 3) AACD — прямокутний; Z D = 90 - 60‘ = ЗО ; AC = - A D ; AD = 2 • 14 = 28 (см). 7 + 28 35 = у = 17,5(см). 4) M N = Відповідь: 17,5 см. 112. 1) 360° і = 72°; 109. Дано: ABCD — рівнобічна; = 57 см; M N — середня лінія; BC:AD = 4:5; ^ СА — бісектриса. Знайти: M N — середню лінію. 2) 360112 = 240»; 3) ^ З = 135^ о 1 1 3 . Нехай одна дуга х, а друга X + 140, маємо X + X + 140 = 360', 2х = 220, д = 110‘, 110 + 140" - 250'. : Відповідь: ПО , 250 .
    • 1 1 4 . 1) a = - ■38° = 19°; ї ’ 4) 5 = і 142° = 71' 3 ) y = - -9 0° = 45°; 226° = 113' 5) а , = і - 1 = І . ' 2 2 4 1 1 5 . 1) Дано: /ЛОВ = 152 . Знайти: ZA M B . 1) и А М В = 152‘, ■тоді u Aß = 360° — 152‘ = 208‘. . 2) / Л М В — вписаний, 119. /Л М В = і-2 0 8 ° = 104°. .4 bo ok .o 2) Дано: ZAM B = 73". Знайти: /ЛОВ. 1) u A ß = 2 73" = 143“; 2) u A M ß = 360* - 146" =’ 214’ 8) ZAOB — центральний; /ЛОВ = 214 або /ЛОВ = 146‘. 1 1 6 . Дано: AB — хорда; ,/Л М В - 63‘. Знайти: /ANB. /ЛМВ і / A N В — вписані і спираються йа одну і ту ж дугу AB, отже / А М В Відповідь: 63'. 1) /A N B jA M B = 2) uA?VS у 3) /А М В w w /A N B - 63‘ w 1 1 7 . Дано: AB — хорда; ZA N B - 82‘. Знайти: /А М В . — вписаний; 82- 2 = 164"; = 360" - 164’ = 196'; — вписаний, /Л М В = - 9 & ° = Ж . 2 Відповідь: 98‘. 1 1 8 . 1. Дано: /С = Знайти: /ЛОВ. і.) /С — вписаний, ■ отже uAS = 108"; 2) /ЛОВ — централь Ний, /ЛОВ = 108‘. ' Відповідь: 108'. Дано: ДАВС; Z A = 48", /С = 62-, О — центр описаного кола. Знайти: /ЛОВ, /ЛОС, /СОВ. 1) ußC = 48' 2) uAB = 62' 3) uAC = 360 - (9 6 ‘ + 124*) = 360- - 220" = 140" 4) /ЛОВ — вписаний, AOB = 124", j /ЛОС = 140", /СОВ = 96". Відповідь: 124", 140", 96". Р fö о: Q. О ) 5 < S X D. VO Г О о сс rg 2)ß=2 2. Дано: ААВС; /С = 136". Знайти: /ЛОВ. 1) uAB = 136' X X 2 = 272"; 2) uACS = 360" - 272" = 88"; 3) /ЛОВ — центральний, /ЛОВ = 88‘. 1 2 0 . ААВС — рівнобедрений, ЛВ = ВС, иЛС = 100". Знайти: /А, /В , /С. j 1) /ЛВС — вписаний; ZAßC = i 100° = 50°; 2 2) ZA = ZC ■ (180" - 50") = Відповідь: 50", 65", 65‘ . 121. Дано: A ß — хорда; '^АпВ : <jAmB = 5 : 13. Знайти: /AD B і / л е в . 1) Нехай uAnß = 5х; иЛтВ = ІЗх, тоді 5х + ІЗ х = 360, 18х = 360, X = 20; uAnß = 100', иЛт В = 260". 2) AADB — вписаний; сс І 1 го C Q 2 X ■=Г о 0 J X т S Iго к о. t] /ADB = - 100° = 50°; 2 / л е в — вписаний; ZACß = і -260° = 130°. 2 Відповідь: 50", 130". 1 2 2 . Дано: AB — хорда; ^АкВ = 260"; u ß M : u M A = 7 : 18. Знайти: /М В А . m
    • и А М ; Z M B A = - -72' = 36° Відповідь: 36'. 1 2 3 . Дано: < DE : < EF : DF = j j j = 2:9:7. е Знайти: кути ADEF. 1) Знайдемо градусну міру дуг. Нехай u D E = 2k, 'uEF = 9Л, ^ D F = 7k, тоді 2ft + 9Л + 7ft = 360, 18ft = 360, ft = 20"; < D E = 40", j = 180", u£)F = 140-. 2) Оскільки кути ADEF вписані, ZBOM — центральний, отже, ußM = 56'. 3) АСОМ — рівнобедрений, O N - ОС = Я; ZC = Z O N C = 59", тоді ZMOC = 180' - 59' ■2 = 180' - 118" = 62". 4) uAfiV = 180‘ - (56‘ + 62 ) = 180' - 118" = 62". Відповідь: 56‘ , 62‘ , 62‘. 1 2 7 . Дано: AABC — гострокут­ ний; A D 1 BC, B P ± AC, C N ± AB. Довести: -An ZKFB = ZMFB. 1) Z M F B — вписаний кут; Z M F B = і u BM-, 2 Z B F K = - < ^ BK. 2 2) u M ß = uBÄ-. .4 bo ok .o ZD = | - 180° = 90°; 2) АВОМ — рівнобедрений; OB = O M = R; Z B = Z B M O = 62", отже Z B O M = 180' - 124' -= 56"; rg 1) uAnB = 360' - 260" = lOO“. 2) Нехай u ß M = 7 х , А М = 18х, тоді 7х + 18х = 100; 25х = 100; х = 4; u A M = 4‘ • 18 = 72‘. 3) Z M B A — вписаний; спирається на 140° = 70°; /iiP = - •40° = 20° 2 Відповідь: 90", 70", 20". w w 1 2 4 . Рис. 130. Дано: A B — діаметр; Z A M N = 110‘. Знайти: ZABD. 1) Z A M B = 90', як вписаний, який спирається на діаметр. 2) Z B M N = Z A M N - ZAMB-, Z B M N = 110‘ - 90' = 20“. Відповідь: 20". w 1 2 5 . Рис. 121. Дано; A D — діаметр; ZCDA = 50"; ZB K C = 20*. Знайти: ZBAD. 1) иВС = 40‘ , uABC = 50 ■ 2 = 100', тоді uCD = 180' - 100" = 80". 2) uBCD = 40- + 80- = 120-. 3) ZBAD — вписаний, який спирається на дугу BCD, ZBAD = | 120° = 60°. Відповідь: 60*. 1 2 6 . Дано: ААВС — рівнобедрений; AB = ВС; Z B = 62‘ . Знайти: kjB M , ^ M N , <^NC. 1) vjßC = 180"; Z A = ZC = = (180‘ - 62") : 2 1 2 8 . Рис. 132. Дано: М К і E F — січні. Довести: Z M D K - ZECF . 1) Z M D C + Z C D K = ZMDK-, 2) Z E C D + Z D C F = ZECF. 3) Вписані кути вимірюються напівдугою, на яку вони спираються. 1 2 9 . 1. Дано: ААВС — рівнобед­ рений; A B = АС', Z B O C = 32“. Знайти: кути трикутника. 3^ 1) kjBC = 32", оскільки Z B O C — центральний, Z A = 16". 2) Z C = Z B - (180’ - 16") : 2 = = 164" : 2 = 82’ . Відповідь: 16", 82", 82". 2. Дано: ААВС — рівнобед­ рений; AB = ВС; ZBOC = 32“. Знайти: ААВС. 1) иСВ = 32"; ZBAC — вписаний; ZBAC = і 32° = 16°; 2 2) Z A = ZC = 16“ ■ 2 = 32“; Z B = 180“ - 32“ = 148“. Відповідь: 16“, 16“, 148". 1 3 0 . 1) Z A + ZC = 56" -Ь 124" = 180", можна описати коло;
    • Дано: ABCD — чотирикут­ ник; ZC = 38"; г В = 134". Знайти: ZA і Zß. 1) ZA + ZC = 180’; / А = 180‘ - 38‘ = 142‘; 2) ZB + ZD = 180’ ; ZB = 180' - 134" = 46‘. Відповідь: ZA = 142‘, ZB = 46‘. 1 3 2 . Дано: ZA ■ г В : ZC Z D = . - 4 : 9 : 13 : 8. )/LA + ZC = /.В + Z D , якщо Z A = 4А, ZB = 9fc, ZC = 13*!, ZD = 8Ä; + ZC = 4* + 13* = 17Ä; Z B + Z D = — 9A + 8fc = 17Ä, можна описати коло. 2) 6A + lOft 7Ä + 8Л, не можна. 180° 8 = 96°; ZC= 1 8 0 '-4 8 ‘ = 132'; 15ft Z D = 180* - 96‘ = 84‘ . Відповідь: 48', 96", 132", 84". Дано: w w w ано: ABCD — вписаний чотирикутник, AC — діаметр, ZCAD = 35’, iz A M D = 64‘. Ї Знайти: ZBAC. * 1) ДЛИМ; Z A D M = 180" - (35" + 64’) ■ * - ISO" - 99‘ = 8Г; 2) uAB = 81" • 2 = 162'; ' 3) uAßC = 180", uCß = 180' - 162" = 18‘; ? o: Q. O l < ro s I трапеція; AB = CD; Л В М = 5 см; P abcd = 56 см. Л ; Знайти: AD. А p D 1) ßC + AD = Aß + CD = 66 : 2 = 28 (cm); 2) B M = BN; CN = СЛГ, отже ßC = 5 + + 5 = 10 (cm). 3) AD = 28 - 10 = 18 (cm). Q. VO m О S 138. a C = 1 2 (cm ). 2 ) D K II AC; D K | M N , D — середня | лінія A M , отже, К — середина NC, D K — середня лінія трапеції A M NC; DK = ПЗ I Дано: AAßC; ZAßC = 90'; AC = 24 см; M N II AC; D K |AC; B M = MA; | M D = DA. Знайти: ZP. 1 )B M = M A i M N II AC, T o iB N = NC, отже, M N — середня лінія; MN = | X 1 m 2 .4 ZA = 134. 137. bo 1 3 3 . Z A + ZB + ZC + ZZ» = 360‘. 1) Нехай ZA = 4fe, маємо Z.B = Sk, г С = lift , АА + ZC = Z B + ZD ; 4* + lif t = 8ft + ZD; 15ft - 8ft = ZD, Z D = 7fe. 2j 180° 4ft ZA = = 48° 15ft 1 3 6 . Дано: І ABCD — трапеція; / AB = 5 CM, j CD - 11 см. jC--------------------ö У трапецію можна вписати коло. Знайти: Р^^со1) Оскільки у трапецію можна вписати коло, то A ß + CD = ВС + AD = 5 + 11 = = 16 (см). 2) / = 16 • 2 = 32 (см). > Відповідь: 32 см. N rg 131. Знайти: положення центра описаного кола. В С ok .o 2) Z B + Z D = 64' + 106" = 170', описати чотирикутник не можна, оскільки 170° * 180". 12 + 24 = 18 (см ). 4) ZBAC = - 18° = 9° 2 Відповідь: 9‘ . 3) А £ = £С = ß £ = 24 : 2 = 12 (см); ßZ- = = 12 : 2 = 6 (см). 4) ZP = “ 6 : 2 = З (cm). 1 3 5 . Дано: ABCD — рівнобічна;^ ZABC = 130’; ZBCD = 130"; ZA M B = 80*. 1 4 0 . Рис. 134. Дано: AA, = а; ßß^ = b; CC, = c; а < b < c; M — середина AB; N — середина ВС; M M , = NN^. Довести: 2b = а + C. ■=r 0 01 I T s Iro Q.
    • 2) M,W, — середня лінія; MjAfj = Г О т S I а VO м о q: Млг = 1 4 1 . Дано: ААВС — прямокут­ ний; Z B = 90‘; ZBAC = 30': AB = 44 см; М — середина ВС. Знайти: М К ± АС. В 1) М К X АС, B N 1 АС-, 2) ABAN — прямокутний, BN = і AB = 22 (см). 3) BN |МК, тоді M K = -M N MÄ- = - - 2 2 = 1 1( cm). о а; X т S Iго 7 + Q = 8 (см). w КЕ = Відповідь: 8 см. Q. S О oo + 2 ■ 6 = AS + 9; A S = З (см). ^ Відповідь: З см, 9 см. 1 4 4 . Дано: ААВС — прямокут­ ний; Z B = 90°, ZC = 60’, АС = 18 см, ВМ^ = М ,М , = М ,М ; ВМ — медіана. В Знайти: M^N^, M^N^. 1) ZC = 60", тоді ZA = ЗО' .4 bo ok .o X ‘з- Дано: ABCD — трапеція; ВС = 7 см; AD = 9 см; В М = MC; М К I ВС; M E II BD. Знайти: К Е. 1) A K = BK (за теоремою Фалеса). 2) СЕ = DE (за теоремою Фалеса), отже, К і Е — середини бічних сторін трапеції. 3) К Е — середня лінія; w го C Q 2 142. w X X 4) M jiVj = ^ і ВС = ^ А С = і -18 = 9 (см). Відповідь: 11 см. к ^ ; 2 ■ 8 = 7 + AD; 2 AD - 16 - 7 = 9 (см). rg CI L (cm ). 3) A M ^ N fi — трапеція; p го О С с; го а =7 g 143. Дано: mJ ABCD — трапеція; ЛГз/ AM = MM, = = М ,М , = М ^ з = = М^М, = M f i ; M N I AD; = AD; MjTV^ I AD; M^N^ |AD; I | M,W, II AD; M N = 8 cm, M^N^ = 4 cm. Знайти: ВС і AD. 1) Розглянемо MM^N^N — трапеція, оскількиоснови паралельні. Затеоремою Фалеса D N = N^N.^ = N ^ , = N,N^ = = N^C, отже M^N^ — середня лінія; 4+ 8 = 6 ( c m ). 2) В М = СМ = A M = 18 : 2 = 9 (см). 3) АВМС — рівносторонній; Z M = ZC B M = 60'. 4) Оскільки B M j = M jM j = MjM^ = 9 : 3 = 3 (см), то і М М , = N^N^ = = NjC = 9 : 3 = 3 (cm) (за теоремою Фалеса). 5) AM^MN^ — рівносторонній; M ,N , = З (cm). 6) AM^MN^ — рівносторонній; M^N^ = 3 - 2 = 6 (cm). Відповідь: З см, 6 см. 1 4 5 . Дано: ABCD — трапеція; ^ ВС = 6 см; N K = 5 см; M N — середня лінія. Знайти: AD. 1) ABAC; М — середина AB; М К II ВС, отже, за теоремою Фалеса, М — середина AB, М К *■ 5, оскільки МК = З см, тоді K N = 5 см. 2) AACD; K N — середня лінія, AD = 5 2 = 10 (см). Відповідь: 10 см. В______ р 1 4 6 . Дано: ABCD — трапеція; М К : ATN = З : 6; N K - М К = 20 см;^*=
    • МК МР 4 3 PN = KZ PN ’ 4 PN’ " 2 P N = 6 c m ; M N = 3 + 6 = 9 (c m ). Відповідь: 9 C M . 1 5 0 . Рис. 136. Дано: а І 6 II с; Z K N D ; NA^ = 5 см; AB = 8 см; -AjBj = 6 см; В^С^ - З см. Знайти: N A і ВС. 1) AB А ,В ,' NA = 2) AB Aß, 8-3 ^ , = —1 ^ = ВС = ----- = 4 (см). ВС ВіС, 6 Відповідь: 6 —см, 4 см. 1 5 1 . Рис. 137. Дано: k II І; Z M D P ; DA = 8 см; ВВ, = 9 см; A4, = 2DB. Знайти: АА,. oo k. or 1 4 7 . Дано: В______ С ABCD — трапеція; M N — середня лінія; РК ^ М Р + NK. Знайти: ВС : AD. 1) Оскільки M N — середня лінія, то Р — середина АС, К — середина BD (за теоремою Фалеса). .2) М Р — середня лінія ABAC; Оскільки відрізки пропорційні, то g M N — середня лінія. Знайти; ВС і AD. 1) AABC-, М — середина AB, М К | ВС, | отже, і К — середина АС за теоремою Фалеса. 2) Нехай М К = 3k, N K = Ik , тоді 7 k - 3 k = 20; 4k = 20; fe = 5. М К = 15 см; N K = 35 см. 3) М К — середня лінія AABC, ВС = 2 • 15 = ЗО (см). 4) AACD; K N — середня лінія; AD = 2 • 35 = 70 CM. Відповідь: ЗО см, 70 см. N K — середня лінія ABDC; М Р = і ВС; .4 b N K = -В С , отже М Р = N K . 2 3) нехай М Р = N K = X, тоді Р К = 2х; РЛГ = 2л: + л = Зх, тоді ВС = 2х, AD = бх, ВС : AD = 2л : = 1 : 3. Відповідь: 1 : 3 . в _________ С DA DB 8 DB 2DB A4, Ч BBl D B ‘ = 4 9 = 36; DB = 6 (см). Відповідь: 6 см. w w w 1 4 8 . Дано: ABCD — прямокут- Af на трапеція; ZBAC = ZDAC; M N — середня лінія; К М = З см; = 7 cm; CD = 10 см. Знайти: 1) ДАВС — прямокутний; ZBAC = 45", отже, і ZBCA = 45‘, отже, ВС = AB; К — середина АС, за теоремою Фалеса, отже, М К — середня лінія ДАВС; ВС = 6 (см). 2) K N — середня лінія AACD; AD = 7 2 = 14 (см). ■ 3) Р ^ ^ = 6 + 6 + 10 + 14 = 36 (см). Відповідь: 36 см. 1 4 9 . Рис. 135. Дано: т Цп; М К = 2 см; K Z = 4 см; . М Р = 3 см. Знайти: M N . 1 5 2 . Рис. 138. А Р : PC = 1 : 2. 153. ß M : M B, = 2 : 1. ^ 1 5 4 . Дано: AABC — рівносторонній; B N = 9 cm; B M ± AC, A M 1 BC. -A Знайти: OB, AO, ОС. 1) В рівносторонньому трикутнику висоти є бісектрисами і медіанами. Оскільки ДАВС — рівносторонній, то A M = B N = CK. 2) АО = OB = ОС = (9 : 3) ■ 2 = 6 (см). Відповідь: 6 см. 1 5 5 . Дано: ДАВС — рівнобедрений; AB = ВС; BN, CK — медіани; B M = 6 CM. Знайти: KF. -A 1) B N — медіана і висота, B N 1 AC, K F J. BC, отже, K F I B N і за теоремою I Фалеса F — середина A N .
    • .5 ИЯ лінія AABN, Ä'F = i - 9 = 4.5(cM). Відповідь: 4,5 см. 1 5 6 . 1) Дано: AABC; A K — бісектриса /.CAB-, AB = 10 cm; AC = 12 cm; BC = 1 1 CM. Знайти; BK і КС. ^ За властивістю бісектриси кута £ £ = — . Нехай КС = х-,В К = 1 1 - X. КВ AB = ^ : 10* = 12 (11 - X); 1 1 -х 10 Юд: = 132 - 12д:; Юх + 12j: = 132; 22л- = 132; X = 6; JfC = 6 см; ■ Ä^ß = 11 - 6 = 5 (см). Відповідь: 5 см, 6 см. 2) Дано: АС = 16 см, В К : КС = 4 : 9. Знайти: АС. За властивістю бісектриси кута, маємо 11 = 1 . .4 bo КС ~ АС ~ К С ’ АС 9’ 4АС = 16 9; АС = 36 (см). Відповідь: 36 см. 3) Дано: AB : АС = 5 : 3; ВК - КС ^ 4 CM. Знайти: ВС. Нехай КС = X CM, тоді BK - х + 4. w w AC ~ К С ’ З X ’ 5х = Зх + 12; 2х = 12; X = 6 (см); ВХ = 6 + 4 = 10 (см). Відповідь: 16 см. О Й -Ї 5 ^ ‘ (15 - x); 14л: + ІЗ х = 195; 2 І Х = 195; Ях = 65; д = — = 6 — (см ); : 9 9 1 5 7 . Дано; ЛАВС — прямокутний; Z A = 60"; A F ^ N F ^ = = M N = М Л = 6 cm; A M N F — ромб. Знайти: NC : NB. 1) ZA = 60"; Z ß = 30’ , тоді AC = ~ A B ; AB = 2AC. 14х = 13 АО = 6 і (см); 9 с о = 1 5- б і = 8 ^ (с м ). У у 159. Рис. 140. а) ДАВС - ДА,В,С,. AB АС 4 1) A jßj AjCj Ajßj 2. 5’ 2А.В , - 20; A,ß, - 10 (cm). 5 _ J + 4_ w Маємо: 1 5 8 . Дано: AABC-, AB = 13 cm; BC = 14 cm; AC = 15 CM. Знайти: АО і ОС. Центр півкола знаходиться на бісектрисі ZABC, отже, ВО — бісектриса, AB АО ^ маємо ---- = ------. Нехай АО = х, ВС ОС ok .o Маємо A ß - 12 + 6 = 18 (cm). 4) Діагональ A N ромба є бісектрисою, CJV АС CiV 9 1 отже. 18 2 ’ NB A B ’ NB Відповідь: CN : N B - 1 2. rg 2 )B N = (6 : 2) ■З = 9 (см), тодіK F — серед- 2) AC ßC 2 5 ß ,C ,’ 5 ß ,C i’ 2ß,C, = 25; ß,C, = 12,5 (cm). Відповідь: 10 см; 12,5 см. б) ДАВС - AAjßjCj. 1) AB A,ßi AC AjCi AB 6 12 8 ’ 12; A ß = 9 (cm). 8Aß = 6 BC 12ß,C, 12 11 ßiC, ’ 8 ß^q ’ ' 8 • 11; 3ß;C, = 22; 09 1 ß i C , = ^ = 7 -(cM ). 2) ACNF — прямокутний, CF = ^ N F ; Відповідь: 9 см; 7 і CF = 6 і = 3 (cm); AC = 6 + 3 = 9 (cm). см. 160. 3)ANBM — прямокутний; M N = ^B M ', in Дано: ДАВС ~ ДА,В^С,; AB : ВС : AC = 7 : 5 : 9; = 42 (см). BM = 6 Знайти: A,ßj; В^С^; А^С,. 2 = 12 (cm);
    • 1) Оскільки ДАВС - ДА,В;С|, то АС : А,С, = 2 : 5; АС = 2л:; А,С, = 5л:, тоді 2л: + 5лс = 56; 7л: = 56; л: = 8; АС = 16 см; AjCj = 40 см. 2) АС = 4л:; ВС = Зл:; AB = 2л:; ВС = А С А. С. 1) Оскільки ДАВС - ДA^BJC^, то і сто­ рони A,Cj : В,С, : A,Bj = 4 : 8 : 9 . Нехай А ,С, = 4jc; В,С, = Зх; A fi^ = 9л:; А ,С, = 24, отже 4л: = 24, л: = 6. 2) В,С; = 6 8 = 48 (см); А,В, = 6 9 = 54 (см). Відповідь: 48 см, 54 см. 162. Дано: ДАВС - ДА,В,С,; W : ■Рлл.ад = 2 : 5; АС + А.С, = 56; AB : ВС : АС = 2 : З : 4. Знайти: сторони трикутників. 1 = 8 CM. rg 163. Рис. 85. МК МА ME :2 ) 1) MN MF MN MF FA МА 3) N K '' M N ' М К ' ok .o .4 w w w 1 6 1 . Дано: ДАВС - ДА,В,С,; АС : ВС AB = 4 : 8 : 9; А,С^ = 24 см. Знайти: AjB,; BjCj. В = 12 (см); AB 10, 3) A,Cj = 4л:; 4х = 40; х А^В^ = 10 2 = 20 (см); В,С, = 10 З = ЗО (см). Відповідь: сторони одного трикутника дорівнюють 8 см, 12 см і 16 см, а другого 20 см, ЗО см і 40 см. МК FA bo 1) Оскільки AABC - ДА,В,С,, то Л ,В, : В,С, :Л ,С , = 7 : 5 : 9 . 2) Нехай А,В, = 7л:, В,С, = 5ї , A,С, = 9х, тоді 7х + 9х + 5х = 42; 21л: = 42; л: = 2 (см). 3) Л.В, = 2 7 = 14 (см); B,С, = 2 5 = 10 (см); А,С, = 2 ■ 9 = 18 (см). Відповідь: 14 см, 10 см, 18 см. 2. Дано: ДАВС - АА^В^С^; A B : ВС : : АС = 7 : 5 : 9; А,С, = 27 см. Знайти: А,В,; BjC,. 1) Оскільки ДАВС - AAjBjCj, то А,В, : В,С, : A,Cj = 7 : 5 : 9 ; A ,С, = 9л:; 9л: = 27; д = 3; : А;В, = З • 7 = 21 (см); B,С, = 3 - 5 = 1 5 (см). Відповідь: 15 см, 21 см. 3. А,В, = 28; AjB, = 7л:; 7л: = 28; ж = 4; ВС = 4 • 5 = 20 (см); АС = 4 9 = 36 (см). Відповідь: 20 см, 36 см. 4. А,С, + В^С, = 84 см. Знайти: А,В,; В^С^; А,С,. Нехай А;В, = ІХ-, Bfi^ = 5:е; A,С, = 9л:; 9л: + 5л: = 84; 14л: = 84; ж = 6 (см); А,В, = 6 • 7 = 42 (см); B,С, = 6 • 5 = ЗО (см); А,С, = 6 • 9 = 54 (см). Відповідь: 42 см, ЗО см, 54 см. 4) МА МК МК KN 1 6 4 . Дано: ABC D— трапеція; ВС = 4 см; ZB = 5 см; AB = 7 CM. Знайти: AD. 1 ) A Z = A B + ZB = 5 + 7 = 12 (см). 2) AAZD - hBZC, оскільки ВС |AD; В С ^ ^ . 4 5 = - ^ ; 5AD = 48; AD A Z ' AD 12’ АІЗ = ^ = 9,6(см). 5 Відповідь: 9,6 см. 1 6 5 . Дано: ABCD — трапеція; A M = 20 см; DC : СМ = З : 2. Знайти: AB. 1) ДАВС - /SAMD, оскільки ВС | AD і відрізки пропорційні, D M = Зд: + 2л ■ = AM 20 _ 5£, 2л:’ ВМ M C ’ ВМ 5ВМ = 40; В М = 8 (см). 5л:;
    • У рис. /.В = Z.D (за умовою), а /Л К В = ZC K D (як вертикальні). 2) A ß = 20 - 8 = 12 (см). Відповідь: 12 см. го О С a Ш го s I 9. VO Г0 о 3 1 6 6 . Рис. 142. Дано: AABC; M N C P — паралелограм; AC = 10 см, ВС = 12 см, M N = 3 см. Знайти: М Р . 1) АС II М Р , отже, відрізки пропорційні : ^ = ё£..^СР = M N ; ß P = 12 - З = 9; MP BP 10 10 9 = 12MP; 30 = 4M P; MP O f) МР = y = 7.5(cm). 1 го В, 167. Дано: AABC; DKFC — ромб; C f • 4 cm; BD = 3 cm. ■ Знайти: AC. С. А С А, 1) Оскільки Z A = ZA,, то ZC = ZCj, як кути при основі в рівнобедреному трикутнику. Отже, ААВС - AAjß^C, (за першою ознакою). AC 4+ 3 A C -6 6 7ЛС - 6AC = 42; AC Відповідь: 42 см. C Q 2 1 6 8 . Дано: AABC. A C = 10 C M . B D I A C ; ■ - ВХ» - 7 c m ; 3 0 M N F K — прямокутник; 01 M K : M N = 4 : 7 . I Знайти:сторони T s прямокутника. Iro 1) Нехай M K = ^ x ,M N = їх . w w I NF BP 4x AC BD t- 4x 10 К С 10 w Маемо: Q. 7(1 - X) ^ 7 ’ 10 7-Ix l- x _ 1 ’ 4x = 10(1 - x); 4x : 10 lOx; Ых ■ 10;. = -; 2) M N = - 7 = Ь(см ); = |-4 = ^ !!'ї e>j in — .4 bo ok .o I 1 7 0 . Дано: ААВС і рівнобедрені; Z A = ZA,. Довести: ААВС - АА^В^С^. В Відповідь: 7,5 см. 1) ZCAB, BC II K F , тому К ADFA - ABFN за першою ознакою ADNC - ABAC подібності; в) AABD - ААСВ, в них ZA B D = ZC, а ZA — спільний, отже, трикутники подібні за першою ознакою подібності трикутників. б) rg p = 2 ^ (C M ). Відповідь: 5 см; 2 — см. 7 1 6 9 . Рис. 143. а) ААВК ~ ACDK (за першою ознакою подібності трикутників). 1 7 1 . 1) Знайдемо кути ААВС. Нехай Z A = 5х, ZB = 12х; г С = 19 х, тоді 5х + 12д: + 19х = 180"; Збд: = 180"; х = Ь’; Z A = 25‘, ZB = 5 • 12 = 60‘ , Z C = 95’. 2) Знайдемо кути АА^В^С^. Нехай Z ß j = X, тоді ZAj - х - 35; а ZCj — X + 35. Маємо: х + х - 3 5 + х + 35 = 80; Зх = 180; д: = 60; Z ß j = 60", ZA, = 60‘ - 35’ = 25‘, ZC, = 60* + 35’ = 95‘. 3) Отже, кути ААВС дорівнюють кутам ДА,В,С,, вони подібні за першою озна­ кою подібності ААВС - ДА,Л,С,. 1 7 2 . Рис. 144. 1) Розглянемо ці трикутники, вони прямокутні, ZB C K = ZFD C (як внут­ рішні різносторонні при паралельних прямих ВС і A F і січній DC). 2) АСВК - ADCF за першою ознакою подібності трикутників. 1 7 3 . Дано: ABCD — паралелограм; AB = 16 c m ; В AB = 12 см; Bß, = 10 см; Гм В М J. CD. Знайти: В М . А В,
    • 1) ДАВВ, - ДСВМ, у них ZA = ZC (як протилежні кути паралелограма); Z B B A = ZB M C = 90 . 2) Маємо ВВ^ _ AB ВМ ВС ’ 10 ВМ І2 . 16’ 12ВМ = 10 ■ 16; ВО = 6 см, ОО = 20 - 6 = 14 (см). Відповідь: 4,5 см і 10,5 с.м; 6 см і 14 см. 1 7 6 . Дано: ABCD — трапеція; В М : M D ’= 1 : 3; Р К — середня лінія, P K = 8 см. в ______ С Знайти: ВС і АО. Р 174. ВС = 22 - х; BN ВС ’ 5(22 - х ) = 6х; 110 = A S = 10 c m ; в с = 22 - 10 5_ X 6 “ 22 - д ’ : П х ; х = 10; = 12 (см). w w w 1 7 5 . Дано: В С ABCD — трапеція; AD = 16 см, A B = 12 см, ВВ, = 10см, В М 1 CD. 1) АВОС і ADOA — подібні (за першою ознакою подібності), в них ZCBO = ZADO (як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній BD), ZBOC = ZDOA (як вер­ тикальні). Маємо: AD Нехай ОС = х; АО і АО = 15 - х; — = ; 14 1 5 - х 6(15 - х) = 4х; 90 - 6 х 4х; 90 = 20х; 90 ■= 4,5 (см); ОС ” 4,5 см; 20 АО = 15 - 4,5 = 10,5 ( C M ) . X = — 2) ВС AD ВО OD 00 = 20-у , 120 і -&у = Нехай ВО = у. 14 14^; = 20- у 20у - 2 А ВС + AD = 8 ■ 2 = 16 (см); АВМС ~ ADMA (за першою ознакою); ВС AD ВМ . Нехай ВС = х; AD = 16 - х. MD Маємо X = - ; Зх = 1 6 - х ; 4х = 16; 16-х 3 X = 4 (см); ВС = 4 см, AD = 12 см. Відповідь: 4 см, 12 см. В. 1 7 7 . Дано: ДАВС; гС А К = ZABC; СК = 4 см, / В К = 5 см. Знайти: АС. А~ ’ *С 1) Розглянемо ААСК і АВСА, в них ZC — спільний, ZCAK = ZA B K (за умовою), отже, ААСК ~ АВСА (за пер­ шою ознакою подібності трикутників); .4 bo ok .o Дано: ABCD — паралелограм; р I Л С ) = 44 см; В/ В М = 5 см; BN = 6 см. Знайти: A ß і ВС. А —ЛГ 1) 2 (ЛВ + ВС) = 44; АВ + ВС = 22 (с.м). 2) ДАВС - ДА,В,С, (за першою ознакою подібності трикутників); AB = х; rg Відповідь: 1 3 - см. 3 JC 1 2 0 ; у = 6; АС^ = 4 9 = 36; АС = 6 ом. Відповідь: 6 см. 1 7 8 . Дано: AB і CD — хорди; „ AM = 6 c m ; ‘ C M = 8 см; M D = 9 см. Знайти: AB. 1) За властивістю хорд (з подібності ДСМА і ABM D) С М ■M D = A M В М ; 8 - 9 = 6 ВМ; ВМ = 72 : 6 = 12 (см). 2) AB = 12 + 6 = 18 (см). Відповідь: 18 см. 1 7 9 . Дано: ОР = 12 см; Л = 15 см; AB = 18 (см). Знайти: А Р і РВ. 1) WP = 15 - 12 = З (см); Р М = 15 12 = 27 (см);
    • (18 - А Р ) = 81; = 81; - 18л: + 81 = 0; (х - 9)2 = 0; jc = 9; А Р = 9 c m ; ВР = 18 - 9 = 9 (см). Відповідь: 9 см і 9 см. ДАВС і ADBK. 1) ВЛ = 18 - 6 1 8 0 . Рис. 145. М Ю = M E ■M F ; 10^ = 12 ■M F ; 100 25 „ 1 , , М Р = — = - = 8 - (с м ). 1 8 5 . Рис. 147. ААВС - AAjBjC,, оскільки у них сторони Відповідь: 8-^ (см). З 186. 2) А Р ■я в = з • 27; А Р АР== X-, д:(18 - х ) = 81; 18х - AB AD BD BD ВС DC' 18 ^ = 1® = 2 10 9 Г rg Отже, AABD ~ ABDC (за третьою ознакою подібності трикутників). 187. .4 b w w w 1 8 3 . Дано: ААВС і AA,ß,Cj; ZB = ZB^; AB і 2,5 p. менше AjB^; ВС і 2,5 p. менше В,С,; AC + AjC, = 10,5 CM. Знайти: AC і A ,С, A CA. C, 1) ДАВС - AAjBjCj (за другою ознакою подібності трикутників). Отже ^ ^ = 2,5; А,С, = 2,5АС; АС = х; А,С, = 2,5л:. 2) Маємо X + 2,5л: = 10,5; 3,5л: = 10,5; л = 3; АС = З (см); А,С, = 7,5 (см). Відповідь: З см і 7,5 см. in Перевіримо пропорційність сторін: 1 8 2 . Рис. 146. ААВС - AAjß,Cj(3a другою ознакою). AB ZB ZB, У них ЛВі ßiC, 1 1 8 4 . Дано: ААВС; AB = 24 см; ВС = 18 см; В К = 16 см; ■ CD = 6 CM. Знайти: чи подібні . 6 7 8 1 пропорцшш - = - = _ = 1) Подібні, оскільки oo k. o 1 8 1 . Дано: АЕ — дотична, А К — січна; АЕ = 8 см, AF:FK=1 Знайти: FK. 1 )A F ^ х; F K = Z x ; A K = 4л; 2) АЕ^ = х іх ; 64 х = і , A F = 4 (см); 3) f a : = 4 ■ З = 12 (см). Відповідь: 12 см. 12 (см); 24 18 AB ВС — ф — ; отже, ААВС Ф■ BD В К ’ 12 16 не подібний ADBK. ЗО 50 35 5 ’ 4 2) — ^ 22; трикутники неподібні. 1 88 . Складемо відношення 24 : 32 : 36 = = 6 : 8 : 9 , трикутники подібні. 1 8 9 . Рис. 93. Дано: ААВС; AB = 9 см; АС = 10 см; ВС = 12 см; M B = 4 CM. Знайти; A M і A N . Довести: ABAC ~ ANAM. 1) ДВЛС ~ ANAM (за першою ознакою). MN AM 4 AM 10 ВС АС 12 40 = 12АМ; ЗАМ = 1 0 ; A M = — = з і (см); З з AN MN AN 3) ВС AB ■ 12 12 9 12А^ = 36; A N = з (см). Відповідь: З^с м; З см.^ 1 9 0 . Дано: ААВС — прямокутний; CD L A B ; A D = 9 см, BD = 25 CM. С J
    • 1 9 1 . Дано: ^АВС — прямокутний; АС = 12 см, CD ± AB, = 8 см. і Знайти; A B . С а АС^ = АВ AD; 144 = AB AB = 144 : 8; AB = 18 (см). ä Відповідь: 18см. ß 1 9 2 . Дано; йАВС— прямокутний; СІ» X Aß ; А Л = 6 см, BD = 24 см. Знайти; АС і ВС. 1) АС^ = АВ AD-, АВ = 6 + 24= ЗО; = ЗО 6 = 180; 2) В С ^ = А В АС = 730 • = 6ч/5; 6 BD; ВС = -JSO 24 = 193. 4) CCf =10 8; СС, = VsÖ = i-j3 (см). Відповідь: 2 см і 18 см — основи; 4n 5 CM — висота. / 196. Дано: ABCD — ро О М 1AD-, D M = 8 см; A M = 18 CM. А Знайти; АС і BD. АС ± B D .4 bo ok .o = V6 5 ■4 ■6 = 6 2^/5 = 12^/5. Відповідь: б-Уз см; 12-У5 АС 1 CD, АС, = 10 см, АВ = CD = 12 CM. Знайти; СС,, ВС, AD. 1) C,D = х; AD = 10 + х; C D ^ ^ A D C,D; 144 = х(10 + дг); д + Юх - 144 - 0; D, = 25 + 155 = 169; :^ д = -5 + 13 = 8 (см). е, 2) AD = 10 + 8 = 18 (см); 3) ßC = 10 - 8 = 2 (см). rg Знайти; CD. CD^ ~ 9 25; CD = 15 (см). Відповідь: 15 см. СМ . w Дано; В ААВС — прямокутний; С і> ± А В ; АС = 6 см, ■ BZ) = 5 CM . Знайти: A ß і ВС. 1) Нехай A D = X см, С' ЛС^ = АВ • AD-, 36 = (5 + X) х; Ж + 5х - 36 = 0; д:, = 4 (см); * = -9; 2) AD = 4 см, АВ = 9 см; 8) ВС^ = 9 5; ВС = -ДЕ = 3^5 (см). w [Відповідь: 9 см; ВС = 3-У5 см. w 1 9 4 . Дано: ABCD — рівнобічна; ВС = 12 см, AD = 20 см, АС 1 CD, СС, ± AD, % ВВ, 1 A D . Знайти: СС, і CD. ^ В, С, D 1) СС, = ßß,; CD = Aß; AABß, = ADCC,; AB, = DC, = (20 - 12) ; 2 = 4 (см); ЛС, = 12 + 4 - 16 (см); DC, - 4 см. 2) AACD — прямокутний; 1) АО = ОС як діагоналі ромба. ВО = OD 2) AAOD — прямокутний; AD = 8 + 18 = 26 (см); OD^ = AD M D = 26 ■8; OD = ч/іЗ-2-8 = 4^3 (CM). ßD = 2 4ч/ЇЗ = 8n (cm). /3 3) AO^ = 26 • 18; АО = Vl3 -2 18 = бчЯз (см); AC = 2 6n/i3 = 12V 13 (cm). Відповідь: 8%[з см; 12л/ЇЗ см. Відповідь: 8 см; 4:^ІЬ см. 1 9 7 . Дано; ABCD — рівнобічна трапеція; В М = 8 см, A M = 50 CM. Знайти; r = OF = OK-, ВС і AD. 1) AAOB — прямокутний; ОМ^ = 8 50 = 400; О М = 20 см. 2) A M = A K = 50; M B = BD = 8 (за властивістю дотичних, проведених з однієї точки). 3) ßC - 8 • 2 = 16 (cm); AD = 50 2 = 100 (cm). 1 9 5 . Дано: ABCD — бічна трапеція; 1 9 8 . 1) СС^ = 16 4 = 64; СС, = 8 (см). 3) C D ^=A D DC^ ; CD^ = 20 4 = 80 (см); CD = VSÖ = 4s/E ( c m ). = 10' + 24';
    • AB = n s Ö = 6>/5 (c m ) . /T II випадок Дано: ВС = 6 см; AB = 12 см. с = -Уюо + 576 = г/б76 = 26 (см); С = 26 см; 2) 0^ = 32 + 5^; = 9 + 25 = 34; AC = Vl44 - 36 = -Л о ё = sl36 З = С = ч/34 (см). = 6s/3 (c m ). 19 9 . 1) а = >/26^ - 10^ = >/36 16 = Відповідь: 6 / см або 6 см. %s /з = 6 ■4 = 24 (см); 204. 2^ = 6 а) V 6 4 -4 = n Ö = / CD = - 6 = n/81 - 36 = >У45; ^ 2) ABCD — прямокутний; = 2 5 (см). Л 2 0 1 . Дано: A ß = ßC = 12 C M , BD = 8 C M . Знайти: AC. 1) BD є і медіаною, AD = DC; 2) A D = Vl2^ - b - 2 = 3 (c m ); BD = Т Г б Т э = уі2Е = 5 ( c m ) . Відповідь: 5 см. в) 1) AACB — прямокутний; Aß2 = 25 -I- 64 = 89; 2) Aß“ = * 2-f. 89 = 2*2; *2 = — = 44,5; л: = ^44,5 = 6,6(см). 20 5 . (c m ); w 3) AC = 2 4уіЕ = 8уіЕ ( c m ) . ^ w 3 w 2 0 2 . Дано: ABCD — ромб; AB = А CM, Z B = 120'. _________ Знайти: AC і BD. А D 1) ZA = 60’; AABD — рівносторонній; AB = ßD = 4 c m . 2) AAOD — прямокутний; ßO = OZ) = 4 : 2 = 2 c m ; AO = V4^ -2^ = > / і6 -4 = 7Г2 = 2л/3(см); 3) AC = 2 2n 3 = 4ч/з (см). / Відповідь: 4[з см. 2 0 3 . І випадок Дано: ДАВС — прямо­ кутний; ßC = 6 C M , AC = 12 см. Знайти: Aß. Aß2 = 36 + 144 = 180; Дано: Д АВ С — прямокутний; 8 ^ = УІ20 -4 = a S Відповідь: SyfE c m . in BD = v/225-45 = n/i80 = 6 v/s. Відповідь: блУб см. б) 1) ß f 1 AD; CA = B F = 4 c m ; A F = Cß = 2 c m ; 2) ADßF — прямоІкутний; Ä BD^ = ß f 2 + D p 2 . d F = .4 bo ok .o 2 0 0 . Дано: ABCD — прямокут­ ник; BD = 34 см; A D : AB ^ 15 ■ 8. . Знайти: A D і AB. A'~ 1) Нехай A D = 15A, AB = 8A, тоді за теоремою Піфагора BD^ = АВ^ + A D “; 342= 225Ä^ + 64*2; 342= 2%W I l k = 34; A = 2. 2) AD = ßC = 2 15 = ЗО (см); A ß = CD = 2 8 = 16 ( c m ) . Відповідь: 30 см, 16 см. -ß сзс Рис. 149. 1) AACD — прямокутний; rg б ) а = Vs^ - АС : ßC = 12 : 5; A ß = 39 см. Знайти: AC; ßC. С 1) Нехай AC = 12д:; ВС = 5jc, тоді 392= 144^.2 25д:“; 39“ = 169x“; + 39 - ІЗх; д = 3; AC = 12 • З = 36 (см); : ßC = 5 • З = 15 (см). Відповідь: 15 см, 36 см. В 206. Дано: Д АВС — прямокутний; AB Ч ВС = 1 7 см, AB = 13 CM . Знайти: АС і ВС. С' Нехай АС = X см, тоді ВС = П - х. За теоремою Піфагора A ß “ = AC“ + ВС‘ 169 = х “ -І- (17 - ж)“; 169 = X“ -І- 289 - 34х + д:“; 2ж“ - 34д: -І- 289 - 169 = 0; 2х^ - 34х + 120 = 0; х“ - 17х -ь 60 = 0; X , = 5; д: , = 12. Відповідь: АС = 1 2 см, ВС = 5 см. 2 0 7 . Дано: ААВС — прямокутний; Z ß = 90", АС = 52 см, AB - 20 C M , В
    • A M — медіана. Знайти: A M . 1) ДАВС — прямокутний: ВС = л/б2^ - 20^ = V32 ■72 = = л/32 2 ■36 = 6 8 = 48 (см). 2) В М = MC = 42 : 2 = 24 (см). 3) AM AB — прямокутний; ДЛГ2 = ^ 2 + ^ 2 = 20^ + 24' АМ^ = 400 + 576 = 976; 1) AADC - прямокутний; AC2 = AD^ + CD2; AC^ = 64 + 36 = 100; AC = 10 C M . 2) ААВС — рівнобедрений, отже, В К є і медіаною, і висотою; АК- = Ä^C = 10 : 2 = 5 (см); В К X АС. 3) AABD — прямокутний. Нехай AB - X C M , тоді BD = (х - 5). Маємо: АВ^ = AD^ + ßD^; х‘ = 64 + ( х - 6 f; лг* = 64 + - 12л: + 36; 12д:= 100; х = — . З 4) ААВК — прямокутний; ВК^ - АБ2 - АК^; ВК^ = 'І 1 .з В К ^ = ^ -2 Ь = 400 = б | (с м ). 2 Відповідь: 6 —см. З 2 1 1 . Дано: ААВС; AB = CD; BD 1 AC; AB - BD = 2 CM , AC = 16 CM . Знайти: AB. A 1) AABD — прямокутний; A D = DC = 16 : 2 = 8 ( c m ) . 2) Нехай AB = X , тоді BD •= { x - 2) c m ; AB2 = AD^ + SD^; = 64 + (л: - 2У; x^ 64 + x^ - 4x + 4; 4x = 68; A = 17 ( c m ) . C Відповідь: AB = ВС = 17 см. .4 w w w І09. Дано: ААВС; В - 17 см, 25 см, Ю 1 АС, 1D : DC = 2 : 5. айти: АС. 1) Нехай AD = 2х, DC = 5х. 2) AABD — прямокутний; В/)2 = 172 _ 4^2 = 289 - 4хК ) ACBD — прямокутний; В£)^ = 25^ - (5*)^ = 625 - 2ЬхК |4) 289 - 4д;2 = 625 - 25*2; I “ 4i2 + 2Ьх^ = 625 - 289; 21х‘ = 336; ^ = 16; х = 4. ^ 6 AD = 8 см, DC = 20 см, ^) 4 С= 20 + 8 = 28 (см). А від п о від ь : 28 см. 2 1 0 . Дано: ААВС; |АВ = SC; AD 1 ВС; Ш к — медіана, 'A d = 8 cm . Cd = 6 C M . ^Лнайти: BK. і < і I Q. o m 9 rg ВАГ = ^ 6 25-225 Q. 0 1 s -25; bo 2 0 8 . Дано: ДАВС — прямокутний; СМ — медіана; СМ = 10 см; AB ВС - 4 C M . Знайти: AC, AB, ВС. 1) Оскільки В М — медіана, то гіпоте­ нуза AB = 2СМ = 2 • 10 = 20 (см). 2) Нехай ВС = X см, тоді АС = (х + 4) см. За теоремою Піфагора АВ^ - ВС‘ + АС^; 100 = х^ + {х + 4)"; :^ + + 8л: + 16 - 400 = 0; + 8лс - 384 = 0; х ‘ + 4х - 192 = 0; , = 4 + 192 = 196; = -2 + 14 = 12. 8) ВС = 12 см; ЛС = 12 + 4 = 16 см. ідповідь: 12 см, 16 см, 20 см. О С m ro ok .o A M = ^/9^ = ч/і6 -61 = 4л/бї (см). Відповідь: 4/бї см. P Г О 2 1 2 . Дано: ДАВС; AB = ВС; = 72 см, BD 1 АС, BD = 24 см. Знайти: AS, ВС, АС. 1 )А В + ВС + АС = = 72 см. Нехай AD = х; ------2 A ß + 2х = 72; ^ ^ AB + X ^ 36; AB = 36 - X . 2) AABD — прямокутний; АВ^ = BD^ + AD^; (36 - x f = 24^ + 1296 - 12x + *2 = 576 + д:^; 12x = 1296 - 576; 72x = 720; x = 10 ( c m ). 3) A S = 36 - 10 = 26 ( c m ) . Відповідь: 26 см, 26 см, 20 см. 3 О С X X s 2 X ‘З" о ш X т s н та к о. 2 1 3 . Дано: пряма І; AB і АС — похилі; AB = 22 CM , ZABD = 45", DC = >/82 см. in
    • Знайти: AC. А 1) ABAD — прямокутний і рівнобедрений; AD = BD = х; = 22^; = 484; _ = 242. В 2) ADAC — прямокутний; А О = AD^ + DC^-, АС^ = 242 + 82 = 324; AC = 18 (см). Відповідь: 18 см. 2 1 4 . I випадок Дано: AB = 10 см, ВС = 17 см, BD 11, BD = 8 см. Знайти: АС. Ä 1) ААВС — прямокутний; 1) Нехай BD = 9 X, DC = 16x; = AABD — прямокутний; AD" = 225 - 81д:^ 2) ACAD — прямокутний; AD" = 400 - 2bx 3) 225 - 8ІД:" = 400 - 225дг"; 225л-" - 8ІДГ" = 400 - 225; 144x" = 175; 12x = 5>/7; AD^ = 22 5 -8 1 2025 16 2 1 7 . Дано: ААВС — прямокут­ ний; A M = 5 C M , В М = 12 C M . Знайти: АС і ВС. rg .4 bo ok .o АМ = АК = 5 см ' 1) В М = BN = 2сы за властивістю CN = CK = X см дотичних, проведених з однієї точки. 2 ) AB = 5 + 12 = 17 c m ; ВС = (1 2 + х)-, AK = (5 + j : ) c m . За теоремою Піфагора АВ^ = АС" + ВС~; w 289 = (12 + х )" + (5 + х У ; 289 = 144 + 24х + х " + 25 + Ю х + л:"; w 12х" + 34д: + 169 - 289 = 0; 2 х" + 3 4х - 120 = 0; х " + 17х - 60 = 0; X , = - 2 0 ; X j = З (за теоремою Вієта). w in 3600-1575 16 AD = — = 1 1 - = 11,25 (см). 4 4 Відповідь: 11,25 см. ß V l7 ^ -8 ^ = V25 -9 = 5 3 = 15 (см); 3) AC = 6 + 15 = 21 (см). II випадок A D = 6 см, DC = 15 см, AC = 1 5 - 6 = 9 (см). Відповідь: 15 см або 9 см. 2 1 6 . Дано: AB і AC — похилі; AB = 15 см; AC = 20 см; BD : DC = 9 : 16; A D ± h. Знайти: AD. 12 ’ 9 175 175 = 225144 16 225 1 6 - 9 175 16 A D = VlOO - 64 = n/36 = 6 (см); 2) ADBC — прямокутний; 2 1 5 . Дано: AB і AC — похилі; BD = 5 см, DC = 9 см, A ß + AC = 28 см. Знайти: AB і AC. 1) Нехай AB = X см, AC = (28 - x ) CM . 2) AABD — прямокутний; AD2 = _ 25. 3) ACAD — прямокутний; AD^ = (28 - xY - 81. 4) - 25 = 784 - 56x - 82 + 56д: = 784 - 81 + 25; 56x = 728; X = 13 (см). 5) AB = 13 см, AC = 28 - 13 = 15 Відповідь: 13 см, 15 см. . 3 ) АС = 5 + З = 8 (см), ВС = 12 + З = 15 (см). Відповідь: 8 см і 15 см. 218. Дано: ААВС — прямокутний; A M = 2^/73 см; (c m ). N В М = 4ч/Гз см. Знайти: AB, АС і ВС. (f 1) Нехай ВС = 2х; АС = 2у, тоді CN = NB = х; СМ = М А = у. 2) АМВС — прямокутний; В М ^ = 4 х " + у"; 208 = 4 х " + у"; 1/" = 208 - 4х". 3 ) ДАСІУ прямокутний; AN'^ = 4у" + х ‘ , ‘ 292 = 4і/" + х "; 298 = 832 - 16х" + л":
    • 292 = 4 (208 - 4x=^) + x ‘; 15x‘ = 832 - 292; 15x^ - 540; x ^ = 36; X = 6 ( c m ) ; = 208 - 144 = 64; !/ = 8 ( c m ) . 4) AC = 16 C M , BC = 12 C M , AB^ = 256 + 144 = 400; AB^ = 400; AB = 20 ( c m ) . Відповідь: 12 см, 16 см, 20 см. 2 1 9 . Дано: &АВС; AC = ВС; ZC = 90'; A C - C M = 2 см; CM — медіана. Знайти: AB. 1) Нехай CM = д:, тоді AC = X + 2 (с.м), AB = 2х. 2) За теоремою Піфагора маємо (2хУ = {х + 2У + (х + 2)2; 4х^ = х^ + 4х + 4 + х^ + 4х + 4; 4х^ - 2*2 - 8д: - 8 = 0; 2д:2 - 8ж - 8 = 0; - 4л: - 4 = 0; 2 2 1 . Дано; ДАВС — рівнобедрений; AB = ßC; A M — бісектриса; ВО = 10 CM , OD = 6 CM . Знайти: AB = ВС, AC. 1 )B D X A C , BD і медіана, А A D = DC. 2) AABD — прямокутний; BD = 6 + 10 = 1 6 ( c m ) . За властивістю бісектриси кута маємо ВО OD AB AD’ 220. AB AD 5 3’ A B -^ ^ A D . 25 9 S ^ x ^ = 256; | x = 1 6 ; д: = і ^ 9 3 4 AC = 12 • 2 = 24 =256; = 12(см); (c m ); AB = I •12 = 20 ( c m ) . 3 Відповідь: 20 см, 20 см, 24 см. .4 3) Нехай AB = х см , ВС = - х . 5 За теоремою Піфагора маємо О 3a теоремою Піфагора AB* = В1У + AD*; w w w ВС = - А В . Э де 4 А В ~ Ь' I m тоді AB = - AD. 3 X, or g 3) Нехай AD = Дано: SABC — прямокутний; В М — бісектриса; A M = 25 CM , MC = 20 CM . Знайти: Aß, ВС і AC. 1) AC = 20 + 25 = 45 (см). 2) За властивістю бісектриси кута С М _^ _ А М ~ А В ’ 2Ь~ A B ’ s VO bo ok . Відповідь: 4 (і + І2) см. AB AD' 6 О С с; m Q. 0 1 Q. D, = 4 + 4 = 8; д = 2 + 2>/2 = 2 (і + Т г); гі AB = 2 •2 (і + л/г) = 4 (і + ч/2) (см). W P 2 2 2 . Дано: В ДАВС — рівнобедрений; AB = ВС = ЗО см; АС = 48 см, СМ — медіана. Знайти: СМ. ________ 1 )B D 1 A C ; a n d AD = DC = 48 : 2 = 24 ( c m ) . 2) AABD — прямокутний; О С I I та O Q Q X ‘з0 (U 1 T s Iта S 5 a. t; BD = -JaO^ - 24^ = V54 -6 = = ч/зЙ = 18 ( c m ) . 25 х ^ - ^ х ^ = 45^ 25 ^2 _ 16^2 ^ 2025; — д:^= 2025; 25 25 І * = 45; 5 45 5 = 75 (см); ВС = - ■75 = 60 (см). 5 : Відповідь: 45 см, 60 см, 75 см. 3) M N ± AC; BD X AC, отже, M N | BD | 1 за теоремою Фалеса A N = ND, отже, M N — середня лінія AABD; MN = I 18 = 9 ( c m ) ; A N = N D = - 24 = 12 ( c m ) . J i 4) CW = 24 + 12 = 36. 5) ACM N — прямокутний; in
    • СМ^ = 36^ + 02; CM" = 1296 + 81 = 1377; CM = Vl377 = V 81 1 7 = ЭлЛТ (см). 3) C D - = 400 - 256 = 144; C D = 12 Відповідь: 12 см. 2 2 6 . Д ано: A B C D — р івнобічна тра п ец ія; О Відповідь: 9ІЇ7 см. 2 2 3 . Дано: ABCD — рівнобічна: ЛС = 15 см; M N — середня лінія; M N = 8 см, ßß, = CCj — висоти. Знайти; СС,. Л/ = O N - 8 cm ; 8 8 СС, = Vl5^ - 8^ = V225 - 64 = >/Гбї (см). Відповідь: /і61 см. 6 20 (cm); C D = ч/і ^ + 12^ = V256 + 144 = = x/iÖÖ = 4) .4 CjD = VlO^ -8^ = VlOO - 64 = w w = v/Зб = 6 (см). 2) Нехай ßC = X CM , тоді AC, = (х + 6) см. ДАСС, — прямокутний. За теоремою Піфагора АС^ = A C f + CCf; w 289 = (х + 6)2 + 64; 289 - 64 = х^ + 12х + 36; 225 = х^ + 12х + 36; (х + 6)" = 225; х + 6 = 1 5 ; х = 1 5 - 6 = 9 (см). 3) ВС = 9 см, АІЗ = 6 + 9 + 6 = 21 (см). Відповідь: 9 см, 21 см. 2 2 5 . Дано: ß ААВС — прямокут­ ний; АС = 20 см, ВС = 1 5 см, CD LAB. Знайти: CD. 1) АВ^ = АС" + ßC^; С Aß" = 400 + 225 = 625; AB = 25 см. 2) AC^ = A B - AD-, 400 = 25AD; =^ = 16 ( c m ) . Нехай AC, = x, 25 тоді M C = 20 - X. a b = c d = 20 см. ВС + A D = A ß + CD = 40; A D - В С = 24. М аєм о 2 A D = 62; A D = 32 ( c m ) ; B C = 40 - 32 = (c m ). Відповідь: 20 см, 20 см, см, 32 см. 8 8 2 2 7 . Д ан о: О М — р адіус; AB X ОМ; OK : ОМ = 8 : 9 ; A B = 90 C M . Знайти: О М . 1) Оскільки А В Ю М , то А К = В К = 45 см. ■ 2 ) ОА: = А, ATM = 9ft, О М = 1 7*. 3 ) А О А К — п р я м ок утн и й ; О А " = A J f" - ОІС"; (17Л )" - ( й)" = 45"; 2 8 9 *" - 64А" = 45"; 225Л" = 45"; 15ft = 45; ft = З (см ). 4 ) О М = З 17 = 51 (см ). bo ok . 2 2 4 . Дано: ABCD — рівнобічна; АВ = СІ» = 10 см; ßß, = СС, = 8 см; АС = 7 см. Знайти: ВС і AD. ^ 1) ADCC, — прямокутний: = 24 : 2 = 12 (см ). 3) ДЛСС, — п р я м ок утн и й ; or g (c m ). 2) Нехай ВС = X, тоді Aß, = DC, = у; AD + ВС = і/ + X + 1 + X = 2x + 2і/ = 16; / X + і/ = 8; АС, = 8 см. 3) ДАСС, — прямокутний; ВО г = A D - В С = 24 см. Знайти: сторони трап ец ії. 1) M N = + = 16 C M . 2) A ß , + DC, = (A D - ß ,C ,) : 2 = ВС + AD -; ßC + AD = 16 1) M N = - ad ( c m ). 8 8 Відповідь: 51 см. 228. Д ано: О М = 10 см; 0 2 ,N см; M N = 15 см. Знайти: О О ,. 1) О М ± M N ; 0,JV 1 M N . П роведем о N K | ОО ,. | 2 ) A K M N — п р я м о к утн и й ; КМ = 10-2 = (см ); K N = V l5 ^ + = 8 8^ = ч/225 + 64 = = 17 (см ); Ä-N = 0 0 Відповідь: 17 см. 2 2 9 . Дано: АА, = З см, ßß, = 5см, А,В, = 6 см. Знайти: AB. 17 см. А В, М
    • 1) A^B^BM — прямокутник; В М = Л,В, = 6 c m ; А ,М = 5 см, тоді A M = 3 + 5 = 8 ( c m ) . 2) АМАВ — прямокутний. За теоремою Піфагора АВ^ = АМ^ + МВ А В ‘ = 36 + 64 = 100; A B = 10 ( c m ) . Відповідь: 10 см. 1) t g Z ß = ^ = 3|; 2) sinZß. Знайдемо гіпотенузу: Aß2 = 49 + 576 = 625; AB = 25 24 3) cos Z A = — . 25 230. ^ 2 3 5 . Дано: cos cm ; 2 а = -. О Знайти: sin а; tg а. 1) sin^ а + cos* а = 1; а) cos а = - ; 2 sin^a = l - - = - ; 9 9 б) cos а = —. 5 2) t g a = l i i l £ ; cos а tg a = 4 ^ = 4 3-2 2 or g 231. sina = — ; 3 Відповідь: sin а = — ; tg а 3 = — а) t g a = - ; б) t g a = 5. О bo ok . 2 3 6 . 1) tg30° + sin60° = ^ ------ І _ j v i f l 2 J sina = —; 6 w w 2 3 3 . Дано: ААВС — прямокутний; ВС = 12 см, AB = 37 CM . Знайти: 1) sinZß; 2) cosZß; 3) tgZA. ^ 1) sinZß; AB^ = BC^ + ЛС"; 372- 12^; AC = ^37^ -12^ = V49 25 = 7-5 = 35: sin Z ß = | | ; 22 4 3 4 2 ) ^ ^ ^ = sinZA; AB 24 - ; sin Z A = — ; 25 7 tg Z A = - , COSZA = 3) 12 tg Z ß = 2 3 8 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; A B = CD = 7 C M , ßC = 2 C M . AD = 8 C M . A B , Знайти: sinZCAD і cosZCAD. 35' Дано: ß ЛАВС — прямокутний; ßC = 7 C M , AC = 24 CM . Знайти; 1) tgZß; 2) sinZß; 3) cosZA. С і D Aß, = V25^ - 7^ = n /32 •18 = 4 •6 = 24 (C M ); cosZß; cos Z B = 37' 1 4' 2 3 7 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; ßßj ± AD; ß ß , = 7 CM , A ß = 25 CM . Знайти: sinZA; cosZA; tgZA. 1) AABB^ — прямокутний; 2) 234. = 6 ’ (^ ] ^ l 2 . .4 oN o w а) a c ^= “ +^ . 2) 2cosM 5°-cos-‘ 30° = 232. I 6 2
    • 1 1) AB, = DC, = (8 - 2) : 2 = З (см). 2) ADCCj — прямокутний; «з CD^ = CCf + DC^; CCf = 49 - 9 = 40; CC, = 2^^ЇÖ. 2) Нехай АС = л, ВС “ Зле; ■+ 9д:*; 4 = 10л*; AB* 3) ЛАСС, — прямокутний; AC, = 3 + 2 = 5 ( c m ) ; =1 AC^ = CCf + AC f = 40 + 25 = 65; AC = J65. 3) АС = 2 =^ л^ ■ УПЛП 4) sin ^C A i) = — ^ >Я0 2>/2. =^ . Відповідь: Відповідь: 2 3 9 . 1) =^ 2V 2 = sin^ Z A = 1 - 6 cm , .4 bo ok .o 3 1 Відповідь: З— см; 2 - с м . 4 4 w w Відповідь: 24 см; 6/Г5 см. 5) 2) Дано: ВС = 4 см, sin ZB = і . З w 6 ч AC = cos ZA;. 5 ^ ---а) 'a b ab 2-У2 3 ■ 2v/2 3 AB = Z-j2 AC AC 1 3) ---- = 8inZß; — = = —; ' ab ^ 3 AC = УІ2 (см). Відповідь: Зуі2 c m ; -^2 см. 3) Дано: AB = 2 см, tgZ A = 3. Знайти: AC, ВС. g Дано: AC = 5 см, cos ZA = Знайти: AB і ВС. Знайти: AB, AC. 1) cos* ZB + sin* Z B = 1; 12 = 2,/2AB; AB = (C M ); ЛС = Н . | Л . З І . , , = V6 5 • 9 2 = 3 ■2>/Ї5 = 6>Я5. AB = 3^ 4 = cos ZA; b) 6) ВС = V24 - 6^ = >/30 ■18 = * 2) 4 ^ = cos ZB; AB 4 (c m ); 1 /8 9 “ 9 si n Z A = - ; 7 3 AB AB = AC AB’ 1 6 ; A S = 24 4 “ AB ё 25 6) — = sin ZA; .AJj Знайти: ВС. AB. PSi 25 В cos ZB ; г/Го см; — см. — -v S / Дано: AC sin ZB ; >/їо (см). 4) Дано: ВС ^^З см, cos Z A = —. 5 Знайти: AB, AC. а) cos* Z A + sin* ZA = 1; sin ZB = —. 4 a) . ВС = ^ rg cosZC Ai) = ^ 10 УІЇО = 5 6) BC = ^ i ^ - 2 5 = ^ (c m ). 1000 9 10>^ 3. r ’ 1225 -2 2 5 9 (C M ). 1 ,2 10>/lÖ Відповідь: 1 1 - см; — -— см. З З 2. 6) Дано: AB = 10 см, tgZB Знайти: АС і ВС. 1) — = 2; АС = 2ВС. ВС
    • Нехай ВС = л, AC = 2x. 2) 100 = + 4x^; 100 = 5x^; x^ = 20; 1) BC = >/14^-8^ = V 196-64 = X = V m = 2n/5; = BC = 2л/5; AC Відповідь: 2fE см; 4/5 = 4ч/б. CM . Дано: ß йАВС — прямокутний; г с = 90‘, ZA = 44", = AB ZA; АВ = AC АС C S ZA O = tg ZA ; ВС = 12 w w 18,5 (см). w 11,8636 = 12 BC tg 68° 2) (c m ); AC = tg Z ß ; BC В 11 — = 4,444 = 4,4 2,475 3) Z ß = 90" - 68’ = 22'. Відповідь: 22', 12 см, д 4,4 см. 4) Дано: AB = 14 см, 'AC = 8 см. Знайти: ВС, ZA, ZB. (c m ); З 14 7 t g Z ß = — = - = 1,75; Z B = 6015'; ос Дано: AABC; A ß = ВС - 10 см; Z ß = 64‘, ßO J.AC. Знайти: AC, BD. 1) Z A - - ZC = = (180* - 64’) : 2 = 116‘ : 2 = 58‘. 2) AABD — прямокутний; B D = A B sin 58"; ßZ) = 10 0,848 = = 8,48 = 8,5 C M . 3) AX) = A ß ■cos 58"; AD = 10 • 0,5299 = 5,299 = 5,3 ( c m ) . 4) AC = 2 A ß = 2 ■ 5,3 - 10,6 ( c m ) . Відповідь: 10,5 см; 8,5 см. І 1 <0 ш 2 І 'zT 0 0 1 І т S ь го S тс о. }— ш 242. (c m ); BC = tg68°; 2) AC AC = S І ,9ю т О 1) A ß = V196 + 64 = = ч/Ш = 16,1 с м Q. й) 34*51', 58’9'. 241. ВС 11 = sin ZA; AB = AB sin 68° 11 0,9272 cm ; 5) Дано: AC = 14 см, ВС = 8 см. Знайти: AB, ZA, ZB . Z A = 90" - 60"15' = 2945'. Відповідь: 16,1 см; 6015'; 29*45'. tg 57- = 12 • 1,5399 = 18,4788 Відповідь: 22 см; 18,5 см; ЗЗ". 3) Дано: &АВС — прямокутний; ZA = 68‘; ВС = 11 см. Знайти: AB, AC. 1) Відповідь: BC = 2 I^ .4 bo ok .o АС - 7 ^ = COS ВС пз ос 3) ZA = 90” - 34'51' = 55"9'. ■ 8 CM . 12 ■22,03452 = 22 (см); 0,5446 8) (c m ). sin Zß = — = - = 0,5714; Zß = 34‘51'. 14 7 Знайти: ZB, АС, ВС. С*" 1) ZJ3 = 90' - 44" = 46‘; 2) ВС = AB ■sinZA = 8 ■ sin 44’ = - 8 0,6947 = 5,5576 = 5,56 (см). 3 )А С = А В - cosZA; АС = 8 • cos 44" - 8 ■ 0,7071 = 5,6568 = 5,66 (см). Відповідь: 46"; 5,56 см; 5,66 см. 2) Дано: АС = 12 см, /А = 57". Знайти: Z B , AB, ВС. 1) Z B = 90’ - 5 Г = 33’; 2) 2л/зЗ rg A B = 2) — = sin ZB; AB 2 4 0 . 1) і ч/ї32 Дано: AABC; A B ВС; AC = 4 см; : Z C = 52"; CK L A B . Знайти: AB, ВС, CK. 1) ААКС — прямо­ кутний: о Ш КС ■= sin52°; КС 4 sin 52* AC = 4 • 0,788 = 3,152 = 3,2 (см). 2) AABD — прямокутний; AD = DC = 2 см; AD ■= AB COS 52° СО
    • Задача має два розв’язки. -г лв = cos 52° з, 248 = 3,25 (см). 0,6157 Відповідь: Відповідь: AB = ВС = 3,25 см; КС = 3,2 см. ^ Дано: AD 1 I; AD = 16 см; АС I AB — похилі; __________ AACD = 60", ZABD = 30“. С D Знайти: AB, AC, BD, CD. 1) ADAB — прямокутний; A ß = 2 • AD = 2 16 = 32; = sin 60°; AC = 16 32 З2л/3 AC = З2л/3 cm ; B D = 16^3 cm ; 16ч/3 см; CD = —-— см. // w / w AD = 20 см; ZAB D = 45’; ZACß = 60’ . ■ Знайти: ВС. I I випадок с Э C, ß 1) ВС = CD + 5Х>; 2) ADAB — прямокутний; ZD AB = 45“, отже, A D = DB = 2 0 c m ; 3) AACD — прямокутний: w w = sin Zß; AC = С • sin a; 2) ВС - С ■c o s a. Відповідь: С ■ sin a; С ■cos a. 2) Дано: A ß = fc; Z A = ß. Знайти: Aß , ßC. AC = cos ß; A ß = ■ cosß Aß ( c m ); If.tg e o -; Відповідь: AB = 32 AC AB rg AC = 1б7з (см). .4 bo ok .o AD 1) прямокутний: 2) ДВАС -S ) або -------------- см. ® ß 2 4 5 . 1) Дано: AABC — прямокутний; ZC = 90': A ß = AC; Z ß = a. ^ Знайти: AC, ßC. 243. BD = AB cos 30° = 32 ~ 2 0 (3 , 20(3 + n /3) ßC = tgß; AC ßC = tgß. b btgß. cosß ’ 3) Дано: ВС = а; Z A = а. Знайти: Aß , AC. Відповідь: 1) — = sina; AB = — AB sin( 2) AC -tg a ; AC- “ tg a Q . O ’ Відповідь: ------ ; ----- . sin a tg a 246. Рис. 150. a) Знайти: Aß , ßC. 1) ADAC — прямокутний; AD = cos a; Aß “ AB = -------. cos а 2) AACB — прямокутний і рівнобедрений; AC = CB; ßC = 20 + 20уіЗ 20 (3 + >/з) 60 + 2 0 S а -Я Відповідь: ------ , cos а 2 cos а ( c m ). II випадок ßC, = 20 - 20S 2 0 (3 -S ) ( c m ). a -Я В С ^ A B - sin 45° = ----V = cosß 2 60- 2 0 J 3 б) Знайти: AB і ВС. 1) ADAC — прямокутний; AC = а ■cos а. 2) ABAC — прямокутний; A ß = AC • sin a = a cos a ■ sin
    • I ВС = AC ■cos a = a cos a • cos a = I »■ a cos^ a. I Відповідь: a cos a ■ sin a; a cos^ a. 2 4 7 . Рис. 151. FДано: AC = b; ZBAC = ß; ZFBC = a. I Знайти; AF. Ї 1) ACBF — прямокутний; ZABO = ZCBO = ^; 2 2 ) : ^ = tg& : BO 2 BD = 2b ^ te a ’ ^5£ AC = tgß; ЛС = ^ tg ß fr . Л В =^ - ; tg a tg ß АО „ s in 2 -b = Ь ( 1 - tg a tg ß ). tg a tg ß Відповідь; b ( 1 - tg a tg ß ). t g a tg ß 2 5 0 . Дано: ßC = 4 c m ; ^ • A D = 6 cm; ZB AD = 30'. і Знайти: ВВ^, AB. >00° D A ß , = С,Л C. D S. = (AD - ßC) : 2 = (6 - 4) : 2 = 1 (см), Aß , = 1 c m ; 2) AABBj — прямокутний; .4 bo ok .o 2 4 8 . ано: В ABCD — прямокут­ ник; A D = т; г л о о = а. найти: AB, BD. д i ) AAOD — рівнобедреяий; 2sin& 2 rg tg a tg ß -ZOAD = ZODA = (180° - a ) : 2 = 90° - 1 ; !) AABD — прямокутний; w w A B = A D tg 9 0 ° - - = m t g 9 0 ° - 2) 2; 9 0 °-2) w AB cos 90° a j2 2 . а sin — 2 Відповідь: AB = m ■tg 9 0 ° - 2 m BD . а sin — 2 t 9 . Дано: CD — ромб; ^= b-, ZABC = D вайти: AB, BD. Ä |,1) AABO — прямокутний, оскільки ■I B D ; AO = OC = ~ ; 2 1,28 C y n e p ГДЗ. 8кл., кн. 1 2 s in 2 BD = - Відповідь: AB = 3) A F = А С - CF = 2t g | ’ tg ß ’ ЛО . ß 3 ) — = s in - ; 2) AABC — прямокутний; .„ß tg ^ _ 2 tg | BC = BBi = A B ,- tg30° = AB = 2ßß, = ^ S Відповідь: — см: З ^ ( c m ); 3 3 CM. 2 3 V З см. 2 5 1 . Дано: ABCD — прямокут­ ник; A D II ßC; ВС = CD = 20 см; A ß 1 AD; А ZBCD = 120". Знайти: Aß, AD, ß ß, AC. 1) CC, ± AD; ACjCD — прямокутний; ZC,C£> = 120 - 90* = 30‘; Ciß = і Cß = і •20 = 10 (CM); 2 ^ ZCOC, = 90‘ - 30‘ = 60"; 4 /4 CCi = 20 •sin 60° = 20 ^ = l o S ( cm ); 2) AD = 20 -b 10 = 30 c m ; 3) AABD — прямокутний; A ß = CCi = 10^/з (cm); BD^ = Aß^; BD^ = 300 4 900 = 1200; -
    • 257. SD = 2 0 S (см): p О С a O I ДЛСС| — прямокутний; АС^ = + CCf: ЛС^ = 400 + 300 = 700; АС = 10>/7 (см). Відповідь: AB = 10-Уз см; AD = 30 см; BD = 2 0 7 з см ; 258. 252. <c I g. VO fO о 5 АС = lO s I l СМ. Р и с . 152. Дано: ABCD — трапеція; Z A = 30‘; Z D = 135’; AD = 14 c m ; c d = 2>/б CM. Знайти: ВС. 1) ZDÖ.C = 90"; ZD,DC = 135* - 90- = 45‘; DjC = D C •sin45'’ = 2>/б ~ ос X 1 ^ = tg30“; ABi X AB, = T I- a. fc S О .4 Маємо jc + x + 30 + j : + 1 0 + JC+20 = = 360; 4л: + 60 - 360; 4х = 360 - 60; 4х = 300; д = 75‘; Z B = 75‘; : Z A = 75‘ + ЗО" = 105‘; ZC = 75“ + 10" = 85‘ : 105 + 85 ZD = = 95° Відповідь: 2 (ІЗ + 4) CM. 259. 260. 253 . з однієї вершини можна провести (л - 3) діагоналі, всього можна провести п(п - 3) 2 Для десятикутника 10 - З = 7 (діаго^ 1 0 (1 0 -3 ) , . = 35 (діагона­ налеи). Всього ----лей). 254. 255. 900° 4° а = ^ ^ = 1 2 8 у . Не може найменший кут бути 136". 256. л = 3. Дано: X = 2700°. Знайти: л. І = 180"(п - 2); 180‘(л - 2) = 2700°; 18(л - 2) = 270, тоді діагоналей л - 2 = 1 5 ;л = 17 — сторін; 1 7 (1 7 -3 ) 17 14 — ---- - = — ^— = 119 (діагоналей). Відповідь: 17 сторін; 119 діагоналей. Не можна побудувати. І = 180‘(п - 21); 180" • (7 - 2) = 180" 5 = 900‘; ев = 1 + 20. Відповідь: 105", 75°, 85", 95". w fO S J + ЗО + д + 10 C : 4) BC = 2yj3 + S = 2{у[з + 4) ( c m ). w X 3) ß,D = 14 - 6 = 8 ( cm ); w Ш S = 180' • (4 - 2) = 360'. Нехай Z B = д :‘, тоді ZA = {х + 3)", ZC = (х + 10)'; ZD = = 2-3 = 6 (CM); ■j о = ч/Ї2; 2) ДАВВ, — прямокутний; «3 m 2 Z C більше на 10' Z B ; Z D = — -~ ^ 2 ^С Знайти: кути. В^ bo ok . DjC = DDi = л/Ї2 = 2>/3; Дано: ZA більше Z B на ЗО'; or g 4) а, = ЗЛ; а, = 5ft; а, = 4fe; 1 а, = 5ft; Oj = 3ft; а, = 4ft; I = 180‘(6 - 2) = 180* 4 = 720‘; 3ft + 5ft + 4ft + 5ft + 3ft + 4ft = 720; 24ft = 720; ft = 30; a, = a, = 30' 3 = 90‘; Oj = a, = 30“ ■ 5 = 150"; Oj = ttj = 30" 4 = 120‘. Відповідь: 90‘, 150', 120°, 150’, 90', 120". І = 180'(п - 2) = 180 п - 360‘, якщо /І, = л + 2, то X = 180' • п “ 180‘л. Сума збільшиться на 360'. 261 . Дано: 152 діагоналі. Знайти: л і X кутів. 1) = 152; п ^ - З п - 304 = 0; D = 9+ 4 304 = 9 + 1216 = 1225; 3 + 35 38 = 19 (сторін). 2 2 2) І = 180' (19 - 2) = 180" 17 = 3060'. Відповідь: 19 сторін; 3060'.
    • 262. 4) 4 • 2 = 8 ( c m ) ; M N = 8 см; M K = 2 9 = 18 ( c m ) . Відповідь: 8 см, 18 см. найти: Sj. = 5 =^ 2) S = Ä = 18(смЪ: 2 6 7 . Дано: ABCD — квадрат; = | = 18(CM^). ^AUCD ” Знайти: R. 1 )Л С = BD 263. Дано: ^ ijiß C D — прямокутS вик: CD = 10 c m ; I M C D = 60’ . .Знайти: a! 1) AACD — прямокутний; — = 1060°; CD 2R; AC' 4Д-’ 2) S = = 2R^; AD = 10 •л/3(см); Відповідь: R = Відповідь: 100-Уз см^. 264. = yff (cm). 2 2 6 8 . Рис. 1 5 3 . Довести: (a - ft)^ = + b‘ - 2ab. 1) S, = (a - 6)2; Sj = 6 • (a - ft); S, = 6^; = b{a - ft); S j = a^; = (a - ft)2 + 2 ft(o - b ) + bh 2) - b^ - 2 ft(a - b ) = { a - b f ; oo k. o ано: ABCD — прямокутник; A B : AD = 3 : 7 ; g _______________ r S - 96 cmK Внайти: AB і AD. 1) Нехай AB = 3x-, A D ~ 8x тоді , x S x = 96; ^ 34x‘ = 96: x^ = 4 ;x = 2. 2) AB = 2 3 = 6 ( c m ) ; AZ) = 2 8 = 16 (C M ). Відповідь: 6 см і 16 см. 2 rg 2) S = 10 • lOyfs = IOOn/з (cm^). X CM, w w w Дано: ABCD — прямокутник; I - 88 см^; ß ______________ ,C 3 CM Ш AD. Є айти: AB і AD. “ Д + 3, тоді С |*(л + 3) = 88; + Зл: - 88 = 0; - ll;x j= 8 . ^Відповідь: 8 см, 11 см. 1266. 269. Можуть. Наприклад: а = 4 , Ь = 5 , D = 4 5 = 20; Oj = 2 , Ь, = 1 0, S j = 2 10 = 2 0 . 270. .4 b 65. “ a ^ -b ^ - 2ab + 2b^ = (o - b f; (a - b)^ = + b^ - 2ab, що й треба було довести. S^, = A ß = 12 [M N : N K = 4T 9. |8найти: M N і N K . cm ; 1) Площа зменшиться в 9 р. а; 2 ) Площа збільшиться в разів. 271 . Площа збільшиться у 4 рази; Периметр зменшиться у 2 рази. 272. 2) 3) 4) 5) 1) Площа збільшиться у 4 рази. Площа зменшиться у 6 разів. Площа зменшиться у 9 разів. Площа збільшиться у 15 разів. Площа зменшиться у 1 8 разів. 273. Я. = 4а; S , = а» • ^ = 5; ^ 4Ь; S, = г.2 ; 11) M N = 4k; M K = 9k; ]2 )S ,, = 12 • 12 = 144 (cm'); 5 *) 4* 9ft = 144; 36ft2 = 144; >*‘ “ 4; fc = 2; 2 7 4 . Рис. 154. Дано: A ß - 12 см, ВС = 16 см. Знайти: 1) ДАВС — прямо­ кутний; 4 = Ж А NP М
    • 5ВВ,; 1) S = AD ВВ,; 40 ВВ, = 8 (см); 4DC; 2) S = CZ) • ВМ ; 40 DC = 10 (см). Відповідь: 8 см, 10 см. AC = >/144 + 256 = >/4ÖÖ = 20 (см). 2 )А С B P A B - ВС; В Р ^ 1 ^ = ^ = 9 ,6 (сг.). 20 5 3) Нехай N K a-,BR = 9,6 - а; KF BR а 9,6 - а 9,6а = 20(9,6 - а); 9,6а ■ 192 - 20а; = 29,6а = 192; а = 92 = 6,5 (см). 29,6 'М D 2) В М = ^ = ^ = 7,5 (см). 8 2 2) В М = 6. Знайти: ВВ,. 1) S = 8 6 = 48 (см); 4) S „ = 6,5 6,5 = 42,25 (см^). Відповідь: 42,25 см*. 2 7 5 . S, = с* - ь‘; а^. а 2) ВВ, = ^ = 4,8(см). X. or g або 2 8 3 . 1) Дано: ^ ABCD — паралело­ грам; AB = 8 см; AD = 10 см; ВВ, = 6 см. A B , Знайти; ВМ . 1) S = 10 • 6 = 60 (см); Задача мае два розв’язки. Відповідь: 7,5 см; 4,8 см. Ь 284. bo ok . 277. 278. = 14 ■ 8 = 112 (см*). 1) Ö і г; 2) в і Ö; 3) в і б і е; 5) б і ж; 6) г і ж. А) Дано: ABCD — паралелограм; ^ласо ” ^ менше AD. Знайти; ВВ,, AD. •Я 279. .4 S = 8 1 4 sin45° = 8 1 4 - ^ = Л = 56ч/2 (см=“). w Відповідь: 56^2 см^. w Sp. = (7>/2) •(7>/2) •sin 45» = w 280. В е; = 49 •2 ~ = 49^2 (см“ ). 281 . Дано: ABCD — паралелограм; S = 56 см*; В_______________ С A D = 8 см. Э ■ И 7 Знайти: ВВ,. іайти: / / 56і = 8 В В.; Z — I-----------------/ .о -В. ^ BBi = Y = 7 (см). Х> 2 8 5 . Дано: ABCD — паралелограм; AD = 25 см; AB = 7 см; BD 1 DC. Знайти: A D 1) AABD — прямокутний; BD = л/25“ - 7“ = V 6 2 5 -4 9 = Відповідь: 7 см. = 28 2. Дано: ABCD — паралелограм; “ 40 см*: ______ AD = 5 см, А В, В М ± CD; В М = 4 см. Знайти: ВВ, і CD. A B , ., л см, A D = (J + 4) см; с C ВВ, хЦх + 4) = 45; л:* + 4л: - 45 = 0; I , = 5; j:, = -9 ; ВВ, = 5 см, А£> = 5 + 4 = 9 (см). Відповідь: 5 см, 9 см. = 24 (C M ); 2) S = 7 ■ 24 = 168 Відповідь: 168 см*. Z) 286. О (C M * ). Дано: ABCD — паралелограм; -а С ^ABMN *^N C ‘ DM Довести: M N проходить через О.
    • 287. = - 10 3,5 = 5 3,5 = 3) AB = V64 + 225 = л/289 = 17 (см); CD = 2 60 17 120 , 1 , , - Ї 7 = 7 - ( см). Відповідь: 7 — см. 2 9 4 . Дано: ЛАВС; АС : СВ “ 2 : 5; АА, X ВС; ВВ, 1 АС. Знайти: ЛА, : ВВ,. = 17,5(см^). l)S ^ = | ß C A A i: S = ia Л; 92 = і а - 4 ; 2) 2а “ 92; а = 46 (см). . = i ^ 290. = АА^ ВВ, О •Ь f АС ВС 5 Відповідь: АА, : BBj = 2 : 5. = 2 r ,5 (c M ^ 1) а. б і е; 2) в, д і ж. 2 9 1 . 1) 5 = і а&8Іпа; 2 9 5 . Дано: ДАВС; ВС < АС; АА, 1 ВС; ВВ, X АС. Довести: АА, > ВВ,. j? .4 bo ok .o 289. S, = = ^ Л С ВВ,; ВС А А ^ = А С ВВ^; rg 288. 5 = і б - 5 з іп 60° = 1 5 — = і ^ ( с м ^ ) ; 2 2 2 5sinl35°: S = 15 sin45° = i ^ ( c M ^ ) . В w w 2 9 2 . Дано: ААВС; AB = ВС = 10 см, AC = 16 см. Знайти: S ^ . Л -------- Б" 1) B D X A C ; A D = DC = 16 : 2 = 8 (см). 2) AABD — прямокутний; B D = VlOO - 64 = ^ 1) ВВ,; 2) 2) 5 = і б w f Оскільки діагоналі ділять паралелограм на 4 рівновеликі трикутники, то N D пряма M N , яка ділить паралелограм на дві рівновели­ кі частини, проходить через точку перетину діагоналей. АА,; 3) АС ВВ, = ВС АА,. оскільки АС > ВС, то тоді ВВ, < АА,, що й треба було довести. 2 9 6 . Дано: ДАВС; A N , В М , CF — медіани. Довести: ДАОВ, ЛСОМ, ACON, ABON, ABOF, ÜAOF рівновеликі. Вм = 6 ( cm ): 3) S ^ c = ^ 1 6 -6 = 48(cM^. А Відповідь: 48 см*. 293. Дано: ЛАВС — прямокутний; ■ЛС = 15 см, ВС = 8 см, ■ CD1AB. Знайти: CD. С 1) «ЛАВС = ^ = 60 (смЪ: 1 рс 2) S ^ = - AB CD; CD = — ; А КМ С 1) ЛАВМ — рівновеликий АСВМ, оскільки A M • ВК; ВК. 2) ЛАСЕ і &BCF, ABAN і ACAJV — рівновеликі. 3) Отже, всі шість трикутників рівновеликі.
    • S = i^ 297. p fO a: c: m O) < та S I Q. VO m С = 2 9 8 . Дано: AABC — рівнобедрений; AB = ВС; A ß X CB; CD = 2 c m ; BD = & c m . Знайти: А 1) AABD — прямокутний; ßA = 2 + 8 = 10 ( c m ) ; CD ^ 8 CD = V9 16 = 3 - 4 = 12 ( c m ) . 2) AB = 9 + 16 = 25 ( c m ) . 3) S = i X 1 го m 2 X 'rr о о» Відповідь: 150 см2. cm ; (c m ); 2) Яд = - ■10 • 6 = 30 (CM^). 2 ßiönoe/öb; 30 CM ^. 2 9 9 . Дано: ДАВС — рівнобедрений; AB = C5; BD ± AC; BD = 48 c m ; A B : AC = 2 5 : 14. Знайти: 1) AX) = DC = 14* : 2 = 7fe; AB = 25fe; 2)AB ^=AD ^ + BD^; 625k^ = 48^ + i9k^; 625*2 _ 49fc2 = 4g2. 576fc2 = 482; 24* = 48; ft = 2; 3) AC = 2 • 14 = 28 4) S = і •48 ■28 = 24 •28 = 672 (см^). w Відповідь: 672 см^. 30 0. Дано: ААВС — прямокутний: AB = 37 C M , AC + ВС = 47 см. Знайти: w Q. 3 0 2 . Дано: ДАВС — прямокутний; C M — бісектриса; A M = Ь cm ; В М = 20 C M . Знайти: С 1) За властивістю бісектриси кута 1) S = Нехай a = X, ^ l i = :d£. 20 “ В С ’ = ВС~ 4' АС = - ВС. Нехай ВС = х см , 4 AB = 15 + 20 = 35; 2) За теоремою Піфагора • х^; (- 3 5 " = ^ х ^ 35 = ^ х ; 16 35-4 = 28; ВС = 28; АС = - 28 = 21 (см). 4 O р1 Q 3) 5 = ^ ^ ^ = 14 -21 = 294 (см2). b = 4Т - X. 2) За теоремою Піфагора 37^ ^ х‘ + + (47 - хУ; 1369 = х‘‘ + 2209 - 94х + 2х^ - 94х + 2209 - 1369 = 0; 2х‘ - 94х + 840 = 0; х^ - 47х + 420 = 0; D = 2209 - 4 • 420 = 2209 - 1680; 2 А ^ _ ^ _ В М ~ ВС' АВ2 = АС2 + ВС2, 35^ = — 16 (C M ); w X т s tro 12 -25 = 150 (см2). .4 bo ok .o О С (см 2 ). 3 0 1 . Дано: ААВС — прямокутний; CD L A B ; AD = 9 см; BD = 16 C M . Знайти: 1) CD^ = AD - BD; О 3 = 210 Відповідь: 210 см“. С •^ А В "^ С Д ДО ЛО* Довести: ВС |AD. | 1) ДАВЛ і ДАС/) — рівновеликі; 2) /LA.BD = ZDAC = ZSCA, отже, ВС I AD. A D = sIlOO - 64 = л/36 = 6 ^ rg I Дано: В ABCD— чотирикутник; 2 3) Катети ДАВС 12 см і 35 см, тоді Відповідь: 294 см2. 3 0 3 . Дано: ААВС — прямокут­ ний; AB = 35 CM , ON = ОМ = г = 7 Знайти: S. CM. С з -; 14 + 35 = a + b ;a + b = 49. 2) Нехай a = x; b = 49 - X . За теоремою Піфагора A ß 2= a C^ + BC^;
    • 35* = ж + (49 - X)*; * 1225 = х ‘ + 2401 - 98д: + ж *; 2л:* - 98л: + 2401 - 1225 = 0; 2х^ - 98л: + 1176 = 0; л:* - 49л: + 588 = 0; D = 2401 - 4 • 588 = 2401 - 2352 = 49; ,^ = 4 9 - 7 ^ 5 6 ^ ' 2 2 ,^ = 4 9 - 7 ^ 4 2 ^ 2 ^ 2 2 3) Отже, катети трикутника 21 см і 28 см, тоді 28 21 S= = 14 •21 = 294 (см*). 1) S „ = 10 10 = 100 (см*); 1 = ö ' l ° - 2 = 10 (CM*): 2) 3) 5д^см=| 8 - а 0 - 6 ) = 4-4 = 16 4) S4ABM=| -6 10 = 30 5) ■ д = | - 8 - 3 - i - 8 1 = 1 2 - 4 = 8(cM*). 5 Відповідь: 8 см*. _ 2 2 S 8 > / з = ^ с - іе ; 2 ' 2 16> з = с(ч / з- l ) ; / 2 = 8г/з(>/з + і). 4 S (S + i); w AB = w (7 з - і)(7 з + і) 2) w ^ 8>/з(Уз + і ) >/з ^ 2 4 (ч/з+і) ^ 2 2 = 1 2 (7 з + і ). 1) 5д 4Вс = і а с ■В М = 42 (см^); «ЛАВІС = 1 1 АС ВМ; S ^ b c = -^ A C B M . 16л/з(>/з+ l ) .4 16>/з(>/з + і ) Л bo ok . 1 = ß or g 3 0 7 . Дано: ■ Л В = 42 см^; ^АС А Х : КС = 2 : 5 ; В М 1 АС. Знайти: і ,оді r = 3) S = ^>/3(v^ + i ) 1 2 ( n 3 + i ) ^ / = 2 ,/ 3 (> / 3 + l)l2 (v / 3 + l ) = 2) Отже: =у Відповідь: 12 см*; 30 см*. 3 0 8 . Дано: ДЛВС; АС = 10 см, C ß = 7 C M, CK — бісектриса. yf Знайти: 1) За властивістю бісектриси кута Ц =н . S^ck= = 24г/з (4 + 2% = 96> з + 48 •З = /3) / = 144 + 9 6 S = 48(3 + 2>/з) (см"). Рис. 158. Дано: ABCD — квадрат; AB = 10 см, ВК = 2 см, D M = 6 CM. Знайти: •2 = 12 (см*); ^ і л в с ~ I j ' • 5 = з о (см *). отже, З ^ ^ ^ Л = 24v^ (л/з + i f = 24^3 (з + 2 + і ) = >/з 305. (C M *). 3 0 6 . Рис. 159. Знайти: S^. 304. 1 Нехай AC = с; AB = - c ; BC = c — , 2 2 (C M * ); = 100 - (10 + 16 + 30) = 44 Відповідь: 294 см*. Рис. 157. Дано: Z ß = 90‘; B K = 4л/3; ZC = 30". Знайти: 1) ЛАВС — прямокутний. (C M * ); ^ЫСК '• 309. b K C M -, 10 : 7. 1) Ділимо сторону АС на 5 рівних частин і проводимо пряму В М . аК СМ-,
    • го 1) AAOD — прямокутний: ОМ* = 16 25; ОМ = 4 ■ 5 = 2) AD = 16 + 25 = 41 ( c m ) ; M N = 2 • 20 = 40 ( c m ) . 3) S_ = 41 • 40 = 1640 ( c m * ) . Відповідь: 1640 см*. 4 : 1 . 2) Ділимо сторону АС на 7 рівних частин, відділяємо З частини і проводимо пряму ВМ. А ■^ммвс ~ ^ 4. 310. 3 1 1 . Дано: ABCD — ромб; AB = 20 ом, А С - BD = S ом. Знайти: 1) Нехай BD = 2х, тоді АС = 2х + 8; ДО = ОС - л + 4; ВО = 0D = ж . 2) ДАОК — прямокутний; AD* = АО* + 0X1*: 2ж* + 8л: - 384 - 0; х^ + ^ х - 192 = 0; - 12; х, - -16. 3) BD - 24; АО = 32 (см). .. „ 24-32 = 32 12 = 384 (см*). АО = ОС за властивостями .4 1) ВО = 0 D 3 1 4 . Пряма АС — розбиває площу паралелограму навпіл. ■ Д В ~ Ті ^ABCD ’ тоді ^АС ^&ВАМ - Yq ^ABCD’ ^AMCD -Ч - 2 JQ ^ABCD Отже, Здддд, : - A cABCDJ^Q ^ - = 1 :4 . 315. '■^ л с = 1:ч/3; лм BN :M F = l - . S , A a сторона AC — спільна. bo ok . 3 1 2 . Дано: BD : АС = 12 АВ = Т І см. Знайти: 2 0 ( с м ). or g ® ЛДВМ • ^ ЛАМ ВС w w w АС 1 BD, діагоналей ромба; BD = 12ft, АС = 35ft. 2) AAOD — прямокутний; О С АО = ОС = — ft = 17,5ft; 2 ЛО = 0£» = 12ft : 2 = 6ft, тоді AD* = АО* + OD*; 74* = 36ft* + 306,25ft*; 74* = 342,25ft* = (18,5ft)*; 74 = 18,5ft; ft = 4 ( c m ) . 3) AC = 4 ■ 35 = 140 ( c m ) ; BD = 4 12 = 48 ( c m ) . 3 1 6 . Дано: ABCD — квадрат; ^ AKCM — рівносторонній; ca: = CM = Ä-M = 1. Знайти: їж о1 Js 1) ^ш ск = - • 1 1 sin 60° = — (cm*). 2) AMCD — прямокутний; Z D C M = 15‘; ^ D C M = 90’ - 15" = 75"; CB = 1 • sin 75* = 0,9659. 3) = 0,9659* = 0,93 (CM*). 3 1 7 . Дано: ДАВС; AB = З CM , ВС = 7 см. Знайти: 4) S = = 70 48 = 3360 ( c m * ) . tL Відповідь: 3360 c m * . см 1) S ^ c = ^ C B M = ^ S B M = 4BM. 3 1 3 . Дано: ABCD — ромб; О М LAD-, D M = 16 c m ; A M “ 25 c m . Знайти: S„. 2) AABM — прямокутний; A M = x; C M = 8 - X-, BM^ = 9 - X * . 3) ACMB — прямокутний; BM* = 49 - (8 - x)*. 4) 9 - X* = 49 - (64 - 1 6 i + X*): 9 - X * = 49 - 64 + 16x - X * ;
    • 9 - 49 + 64 = Ібд;; 24 = 16х; 1) ААВВ^ — прямокутний; . = | і = 1.5 (см ). ВВ, = 6 sin45“ = 6 - ^ = 3>/2 (см). 5) В М ‘ = 9 - 2,25 = 6,75; 7+9 5 М = 76.75 =2,6 (см). 6) S= 4 2,6 = 10,4 (см^). Відповідь: 10,4 см^. І Або за формулою Герона •3>/2 = 8 3^/2 = = 24>/2 (см^). 322. 3+7+8 „ р=_ ^ = 9; S = ^9(9 - 3)(9 - 7)(9 - 8) = 3>/б 2 1 = = 3-2>/з =6>/з = 6 1,732 = Рис. 160(a) а) дано: AB = 1 2 см; ВС = 7 см; CD = 10 см; Z A = 30‘ . ______ Знайти: ^ 1) ААВВ^ — прямокутний; D = 10,392 = 10,4(см2). 10 + 14 BBi =12 | = 6(см); 5 = 12-5 = 60 (см^). ABi =12 ^ Дано: äABCD — трапеція; S = 98 см^; ВС = 12 см; ВВ, 1 AD; ВВ, = 7см. Знайти: AD. BC + AD 2) ACjCD — прямокутний. .4 bo ok .o 1) S = CjD = 3) АХ) = 6лУз + 7 + 8 = (і5 + бТ з) (см). 12 + AD 7 + 15 + 6>/з , 22 + 6> з , / 4 )^ п .. = ------- --------- 6 = ^ ------- 6 = 196 = (12 + A D ) 7; 12 + AD = 196 12 + AD = 28; AD = 28 - 12 = 16. Відповідь: 16 см. = (22 + 6 S ) ■3 = (б6 + I S S ) (см^). w Відповідь: (б6 + 18л/з) см^. б) Дано: ВС = 3 см; w w Дано; ABCD — трапеція; ВС : AD = 1 : 4; 50 см^ C C .LA D -, СС, = 5 см. ^ Знайти: ВС і AD. 1) Нехай ВС = х; A D = 4л, тоді х + ix 5 = 50; (5л:) АВ = 4уІ2 см; ^ 5 = 100; 5jc = 20; ж = 4. 2) ВС = 4 см, AD - 4 4 - 16 (см). Відповідь: 4 см і 16 см. 3 2 1 . Дано: ABCD — трапеція; ВС = 7 см; AD = 9 см; ЛВ = 6 см; _ ^BAD = 45’. ^ Знайти: S. - 6^ = VlOO - 36 = = і/бї ( cm). BBj; 98 = 320. = 6г/з (см). rg 3 19. D Z A = 45*. Знайти: 1) ііАВВ^ — прямокутний; ВВ^ = AB sin 45° = 4>/2 •^ = 4 (см). 2) АВ^ = ВВ, = 4 см. 3 )A D = 4 + 3 = 7 (см). 4) S = •4 = 20 (см^). Відповідь: 20 см^. 323. Дано: ABCD — рівнобічна; ВС = ЗО см, A D = 40 см, АС = 37 см. Знайти: В В, ^ -31L с.
    • 1) ДАВВ, = ДДСС,; AB, = ІЗС, = (40- ЗО) : 2 = 5 (см), тоді AC, = 5 + ЗО = 35 (см). 2 ) ДАСС, — п р я м ок утн и й ; 2) Aß, = С,Х) - (10 - 4) : 2 = 6 : 2 ■3. 3) ADCC, — прямокутний; ССі = VlOO - 9 = >/9Ї (см). CCj = V372 - 35 = V(37 + 35)(37 - 35) = " = л/72-2 = VT44 = 12 ( c m ) . = 30 + 40 ' 12 = 70 = 420 6 (c m ^ ). 3 2 4 . Дано: ABCD — рівнобічна; ВС = 7 см, AB = CD ^ 10 cm, -----ZBAB. = 60-. Знайти: S^ . ^ 1) ДАВВ, — прямокутний; ßßi = 10 •sin 60° = 10 ~ = b S (cm); 3 )V - 1 ^ .1 2 2 ) A D = 5 + 7 + 5 = 17 ( cm). 3) 5 ^ , = і ^ - 5 л У з = 12 б 7 з = = боТз ( cm^). 3 2 5 . Дано: ABCD — рівнобічна; AC ± BD; ВС = 12 см, AD = 20 см. Знайти: . 1) Оскільки AC 1 BD, то 14 + 24 w 3) V w w BC+AD 2 12 + 20 12 + 30 = 16 ( c m ) . 16 = 16 16 = 256 ( cm’'). 3 2 6 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; ____ ßC = 4 c m , AD = 10 c m , A J3, Су u AC ділить ZC навпіл. Знайти: 1) Z.DAC = ZBCA ( я к внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній АС), але ZBCA = ZDCA, отже, AADC — рівнобедрений; АС = C D ’- 10 CM . = 30.6 3 2 8 . Дано: ABCD — прямокутна трапеція; A D = 24 см, A ß = 10 C M , Z D = 135‘. Знайти: S тр. . A C^ D * 1) CC, J. AD; A C fiD — прямокутний; C,D = CC, = 10 CM . 14 ( c m ) . 2) ßC^ 24 - 10 .4 bo ok .o ASj = AB ■cos 60° = 10 •і = 5 (cm). MN В______ Дано: ABCD — прямо­ кутна трапеція; A D - ВС = 6 см; D С, ВС = 12 см, А С — бісектриса ZA. Знайти: 1) Д АВС — прямокутний і рівнобедре­ ний; AB = ВС = 12 см. 2 ) A D - ВС = DC,; A D = ВС + DC^ = 12 + 6 = 18 ( c m ) . 327. rg 3) - М = 7>/9Ї (см^). = 10 = 19 10 = 190 (c m ^ ). 3 2 9 . Дано: ABCD — прямокутна трапеція; AB = 8 см, ■ CD = 17 C M , ВС : A D = 2 : 5. Знайти: S _ . А С, 1) д е ,CD — прямокутний; D C^D = Vl7^ -8^ = V(17 + 8 )(1 7 -8 ) = = V25 -9 = 5 -3 = 15 ( c m ) . 2) Нехай ßC = 2Й, AD = 5Ä, тоді DC, = bk - 2h = Zk, отже 3fe = 15, ft = 5 ( c m ) . 3) ßC = 5 ■ 2 = 10 ( c m ) ; A D = 5 5 = 25 ( c m ) . 4) S = 10 + 25 •8 = 35 4 = 140 (c m ^ ).
    • 33 0. ано: ABCD — рівнобічна; A B ^ C D -, В_ C C .LA D -, CC, = 7ч/з см; 5) AD = A B ,+ ß,C, + C,ß; 18 = 3C,Z) + C,D + 8; 4C,D = 10; C,0 = 2,5. / J a 2 0 °' /.BOA = 60". Знайти: 1) ZAOD — рівнобедрений; lA O D = ZODA = (180” - 120") : 2 = 30". CC L = tg30°; AC^ 2)AACCj — прямокутний; AC, = ^ ^ ^ = 21 (CM). 3 )A S , = DC. = ( A D - BC) : 2; BC + BC + 2АБ, = ßC + AD; 2SC + 2АБ, = 2(ßC + AB,). 4) SC + A D = 21 2 = 42 ( cm). ЗЗЗ.Дано: ABCD — трапеція; AB = 8 CM, A D = 22 CM, AB = 26 CM, CD = 28 CM. > Знайти; . 1) Проведемо CC, II Aß ; CM 1 DC^-, AC^CM — прямокутний; CC, = 26 см; C,£» - 22 - 8 = 14 ( c m ); CM^ = CCf - 88 BD, TO w 4) СМ'^ = 676 - = lO '' = 1 0 0 (CM^). w Дано: ABCD — трапеція; ZA = 30", Z D = 60", BC = 8 CM , AD = 18 CM . Знайти; CC, = 1 3 c q . 2) ДАВВ, — прямокутний; Bß, = Aßi tg30° = АЩ 'y ' 3) AC,CD — прямокутний; ^ Гf CC, = C,0 t g 60° = C ,ö V3. I 4) ßß, = CC,; Aß, ^ Aß, = 3C,D. 3 33 124-484 49 = C,ö>/3; 32 640 CM 5 )S = Q I 1Q .1) S,p. = - ^ s X Q. VO ro о s 49 8 + 22 X X (U 2 X 484 49 676 49 - 484 49 32 640 49 180,6 ’ 0 < D 1 T s H ro 25,8. 25,8 = 15 25,8 = 387 (см2) 3 3 4 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; В М = 9 см, A M = 16 CM. Знайти: 1) ААОВ — прямокутний; ОМ 1 AS; ОМ2 = 9 16; ОМ = З 4 = 12 (см). 2) PF = 24 см, AB = 6 + 9 = 25 см. 3) ßC + AD = AB + CÖ = 50 ( c m ). 4) S = Y R C O 22 ^ " 28 “ 7 ■ w 332. ro or g 676 - л2 = 784 - 196 + 28л - д:^; 28л = 676 - 588; 28л = 288; 2 MN^ Q. (U 3) 2 = - д = 282 _ (196 _ 28л: + x^); 6^ :2 676 - д = 282 _ (196 _ 28л: + л:2); ;2 .4 1 ß - iij bo ok . 3 3 1 . Дано: ABCD — рівнобічна; AC 1 BD, M N I AD, . M N = 10 CM Знайти: = cc 2) ADCM — прямокутний; СМ2 „ 282 _ Ц4 _ : 147>/з (см2). 2) (T3 = 13 •2,5л/3 = 32, 5n (CM^). /3 5) -тр а п .= у-7 7 з= 2 1 -7 л / з = 1) Оскільки AC P 6) CC, =2 ,5 ч/3(см); 24 = 50 12 = 600 (см^). a. О in
    • 33 5. Дано: ABCD — рівнобічна трапеція; = Ь0'І2 см*; Z A = 45'; B C + A D - 2АВ. Знайти: ВВ, 2) C M X AB-, CM = AB ^ 13 (см); M D = 21 - 7 = 14 (см). 3) Нехай M F = у; FD Ы - y. 4) Маємо 13^ - y ^ = 15‘ - (14 - уУ-, 169 - у* ” 225 - 196 + 28y - y^; 169 + 196 - 225 = 2Sy; 140 - 28y; i/ = 5. 5) CF = >/169-25 = -Л л і = 12 (см). 15 + 13 A B , D 1) ААВВ^ — прямокутний; 6 )S tp,= 2) - 2 ^ 50^2 = 3) ßßi 2 “ 2 ’ а = = 10 ” В‘ = 100; A ß = 10. 5sl2 ( c m ). с 336. Знайти: ^A3CDА D 1) ACOD — прямокутний, оскільки ZODC + ZOCD = 90', O M ± CD. Нехай C M - 4x; D M = 9л:; O M = r; AB = 2r; г = 24 : 2 = 12 (см). 2) О М ‘ = 4x 9x-, 12* = Збд:’'; 6x = 12; x = 2. 3) CM = 2 • 4 = 8 ( c m ) ; D M = 2 • 9 =- 18 ( c m ) ; CD = 8 + 18 = 26 ( c m ) . 4) Оскільки в трапецію вписано коло, то ВС + AD = AB + C D - 2 4 + 26 = 5 0 (см). w w w .4 bo ok .o Дано: ABCD — трапеція; . ' ly l 5 CD = 15 C M , / / AB = 13 C M , / M D ßC : AD = 1 : 3; А ВС + A D = AB + CD. Знайти: S . 1) Нехай BC = x ; A D = 3x, тоді л + Зд: = 15 + 13; 4х = 28; д: ” 7; ВС = 7; AD = 7 • З - 21. В _________С 3 3 7 . Дано: ABCD — прямокутна трапеція; C M ■M D = 4 : 9 . , AB = 24 CM . rg V2 ВВі = A B s in 4 5 ° = А В ~ . 12 = 1412 = 168 (CM=). 5) S =— 4 = 50 •12 = 600 (см*).