«■

і

t-

w

w

w

.4

до збірника
A. Г. Мерзляка,
B. Б. Полонського,
Ю. М. Рабіновича,
М. С. Якіра

bo

ok
.o

Те іти н ...
В АР ІА Н Т 1

{2

1 . Д а н о : A B = ВС,

4) Д ано:

го

A D = ІЗС.

п а р а лело гр а м ,

ос

Д овести , щ о: Z A = ^ ...
iD = ВС. Н е х а й АВ = 4х (с м ),
fC = 5х ( с м ) , т о д і 2{4х + 5х) =

4 ) М аєм о

A B = CD = 7

І)

A D = В С = 7 ■ ...
1 ) Z M A B = 9 0 “ - 3 0 ° = 6 0 °:

20.

Z K A D = 9 0 ° - 3 0 ° = 6 0 °:
3 ) Z M A K = 6 0 ° + 3 0 ° + 6 0 ° = 1 5 0 °....
2) В В , - 4 см.

5. Р и с . 9.

ABFC і ^ E C , в
у м о в і), ВС - A D

Р озглян ем о

них

DE

BF

(я к

(п о

леж н і

с...
1
37.

Д ано:

ABCD —

д

п а р а лело гр а м ,

ZDAO

ZADO.

=

Д овести, щ о:
— прям о­

^

кутник.

ZAO D

1)

—

р ів ...
г
j)

Оскільки о м = 6 м , то A B = 1 2 см ;
ДАО-ß — рівнобедрений, оскільки
A f » FO, тобто BF і висота, і медіана,

Н ех...
1

2)

5 4 . Дано:
ABCD — ромб,
B FXAD ,

p
2

I
к

aj

<

S
s

z
Q

v5

PO

о

чотирикутника

BD — діагональ,
/LFBD - 42°...
[О

'DK

BK

Д ано:

CF

=

DK

DM

= M B , отже

ABCD

DK.

Н
_х

— квадрат,

AC ■

4 см .

П о д іл и м о п е р и м е т ...
1)
2)
3)

p
s

^ABC■, E F — с е р е д н я л і н і я , E F | AC;
AADC, P K — с е р е д н я л і н і я , P K | AC;
|
М а єм о...
г
1 ) AACD — п р я м о к у т н и й ,
ZCAD >= 9 0 ° - 5 2 ° = 3 8 °;
2 ) ZBCA = ZCAD ( я к в н у т р іш н і

О с к іл ь к и...
2 ) A M + M N + N D = AD.
A M + M N = A D - ND.

ВС

3) Н ехай

=

X

см , тоді

14 + 14 + л: + 14 + д: = 6 0 ,
2д: + 42 =...
ВС
ad

8
-

ВС.
ВС = X см ,
M N = х + 6,
A D = 8 + 2x,
Знай ти : A D і

см ,

Н ехай

14 с м .

Зн ай ти :
1)

Z.DAC

ZBCA...
Довести, що: M N = F K .

FK =

1)

т од і д у га u A m C = 360° - 1 2 4 ° = 2 3 6 °,

д в о е — прям окут­

В М = М О;
AA...
т

1) Z C -

1 8 0 ° - (3 6 ° + 7 8 °) “

180° - 114° -

2) u A S -

66°

UBC -

36°

UAC -

•'
S

6 6 °;
2 -

2 -

78° • ...
3 ) Z C = Z A = (1 8 0 ° -

7 8 °) : 2 = 1 0 2 ° :

ANOC — р ів н о б е д р е н и й ,
ZC = Z N = 5 1 °, ZNOC = 1 8 0 ° - 5...
J

гв со

1 ) Н а д о в іл ь н о м у п р о м е н і в ід к л а д е м о
7 р ів н и х в ід р із к ів ;
2) К ін е ц ь 7 -го в ...
142.

Д а н о : ABCD
BE, E F II CD.

AE =
fO

EF

Д овести, щ о;

— т р а п е ц ія ,

=

N N , — с е р е д н я л і н і я т...
¥
1 4 8 . Д а н о : ABCD — р ів н о б іч н а
т р а п е ц ія , M N — с е р е д н я л і н і я ,

D E ‘ = 64, D E =
Відповідь...
2 ) B O , : O O , = 2 : 1;

*

O O , = (1 2 ; 3 ) : 1 = 4 ( c m )
I

p
s

a:

Відповідь:
156.
BD —

4 см .

a

<u

і

8 см...
I ^ аавс

_

^ДА,В,С,
Н е х а й A , ß , = д:, т о д і A B = — л:.
э

"с л .
Нехай А ,В , =
тоді

ІХ-, Л,С , = 6л:; В,С, = ...
3 6 * = 12 • (4 - 5 Ä ); ЗЛ = 4 8* -

5 *;

4 ; Ä = 0 ,5 .

2 ) M TV -

0 ,5

5 “

2 .5 (с м ) ;

N F = 0 ,5

9 - 4 ,5 ( c...
х + х - 2 4 + х + 2 4 ‘^

М аем о:

Зх

180;

А О = 9 CM,

ВС

= 180; X = 60’ ; Z B , = 60‘ ;

/ Л , = 60" - 24- -

ZC,

3...
1 8 2 . Р и с . 39 .
Р о з г л я н е м о AABC і Д А ,В , С ,,

1 7 8 . Д ано:
М £ - 4 см ,
р
го

в них

Е К = 3 см ,
РЕ = ...
2 ) П е р е в ір и м о п р о п о р ц ій н іс т ь с т о р ін .

AD
АС
АЕ

=

/^С — с п іл ь н и й ;

AB

12

4.

AD

З’

ЛС...
АС = ^^48 = 4 S

2)

(с м ).

X

Відповідь:

p

194.
Д а н о : ABCD — т р а п е ц ія ;
AB = CD, ВС ^ 5 CM, A D = 13 с м ,
...
'ідповідь: 2Iw

3) ВС = 4

= 10 CM.

Oß =

10 : 2 = 5 (c m );

AD^ -

0£)^; A O ^ = 169 - 25 = 144;

= 12 (c m ); A C -

1...
X = 12 ;

1 ) AABD — п р я м о к у т н и й ;
AD^ = A ß 2 - BD‘; AD^ = 10 0
AD = 6.
2 ) ACBD — п р я м о к у т н и й ;
С Г ...
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
8 gdz geotz_m
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

8 gdz geotz_m

89,608

Published on

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
89,608
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
16
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "8 gdz geotz_m"

  1. 1. «■ і t- w w w .4 до збірника A. Г. Мерзляка, B. Б. Полонського, Ю. М. Рабіновича, М. С. Якіра bo ok .o Те іти н о іїма ії и ч і ц в їн rg ! ГЕОМІІРИ
  2. 2. В АР ІА Н Т 1 {2 1 . Д а н о : A B = ВС, 4) Д ано: го A D = ІЗС. п а р а лело гр а м , ос Д овести , щ о: Z A = ^ С . Z A в З р. ACBD ZB. 1 ) Р о з г л я н е м о ABCD а ш м енш е і ABAD, в н и х З найти: кути . D Z A = х°, Z B = Zx, + Zx = 1 8 0 °, Ах = 1 8 0 , х М а є м о ZA = ZC== 4 5 °, Н ехай A B = B C ,A D ^ DC тоді X (з а у м о в о ю ), го І а v5 гп B D — с п іл ь н а с т о р о н а . О т ж е , ABCD = ABAD Z ß = Z D = 45° 2 ) У р ів н и х т р и к у т н и к ів в ід п о в ід н і З найти: к ути . 1) Н е х а й ZA ZB 12Ä = 1 8 0 , Z4 = Z2, (з а у м о в о ю ). (U X ро н и р ів н і, а о т ж е A B = AD, CB = CD. 3. Н е м о ж н а , о с к іл ь к и с у м а в с іх к у т ів о п у к л о г о ч о т и р и к у т н и к а д о р ів н ю є 3 6 0 °. 4. К у т и в и з н а ч е н о н е в ір н о , о с к іл ь к и г А + Z B = 1 8 0 °, а г С + Z D = 1 8 5 °, 7 5 °, 6 . Р и с . 4. 1) Z A B D , Z A = 1 8 0 ° - (4 0 ° + 3 0 ° ) = 1 1 0 °, Z A = ZC = 1 1 0 °, 2 ) ZB== Z D = 7 0 °. Відповідь: 7 0 °, 7 0 °, 7 . He м о ж у т ь , APEF д о р ів н ю є 1 1 0 °, 1 1 0 °. о с к іл ь к и с у м а к у т ів 1 8 0 °, а с у м а к у т ів ч о ­ т и р и к у т н и к а — 3 6 0 °, т о д і в и х о д и т ь , щ о 5. ZD 1 ) Я к щ о од и н к у т п а р а л е л о г р а м а 4 6 °, = 1 8 0 °, а ц ь о г о б у т и н е м о ж е . ABCD — т о д р у г и й т е ж 4 6 °, а д в а ін ш і п о 1 8 0 ° - 8 . Д ано: - 46° “ п а р а лело гр а м , 1 3 4 °, о т ж е , 4 6 °, 4 6 °, 1 3 4 °, 134°. ^ ^ ВС на /п AB. А ' 'D З н а й т и : AB, ВС, CD, AD. О с к іл ь к и ABCD — п а р а л е л о г р а м , то AB = CD, A D = ВС. Н е х а й AB = X CM, т о д і В С = (д: + 6 ) см . М а є м о 2{х + д: + 6 ) = 5 6 , 2д; + 6 = 28, 2х = 2 2 , д; = 11 (с м ) , A B = C Ö = 11 см , 2 ) Я к щ о с у м а д в о х к у т ів 1 8 6 °, т о ц е Р = 56 см , п р о т и л е ж н і к у т и , т о д і к о ж е н д о р ів н ю є 6 см б іл ь ш е п о 1 8 6 ° : 2 = 9 3 ° , а д в а ін ш и х п о 1 8 0 ° - 9 3 ° = 8 7 °, 9 0 °, 9 3 °, 8 7 ° , 8 7 . 3 ) Д ано: ABCD — — п а р а л е л о г ■рам, рам, ß Н Г ! / Z B на 56° б іл ь ш е ZA. . Знай ти : кути . і, . ^ Н ех а й Z A = Z C = х °, тоді ZB = ZD д: + X + 56 = 2х = X + 5 6 °, 1 8 0 , 2х = 1 8 0 М а є м о Z A = Z C = 6 2 °, Z B ^ - Z D = 1 1 8 °. A D = В С = 11 + 6 = 17 (с м ). 9. Д а н о : ABCD — п а р а лело гр а м , - 56, = 1 2 4 °, л: = 6 2 °, Z A = 6 2 °, Z B = 6 2 ° + 5 6 ° = 1 1 8 °. 9 5 = 7 5 °, а ц ього бути не м ож е. w т S ь го S ,<и .4 bo ok .o 'Зо р ів н и х т р и к у т н и к ів в ід п о в ід н і ст о ­ w 2 X У 180, 15; Відповідь: Z A = Z C Z B -^ Z D ~ 1 0 5 °. - ADCA (з а д р у г о ю о з н а к о ю ). 2) k= Z ß = Z D = 1 5 ° ■ 7 = 1 0 5 °. w к І 1 = 7Ä, т о д і 5Ä + 7 * - 2 ) Z A = Z C = 15° Б' А С — с п іл ь н а с т о р о н а , о т ж е АВСА 'д = 5 *, rg Z3 - .ГО. Z A :Z B = b :7 . Z4. CB - C D . і ADCA, в н и х З = 1 3 5 °. п а р а лело гр а м , к у т и р ів н і, а т о м у Z A = ZC. 2 . Д а н о : .^1 = Z 2 , .^3 = Довести, що: A B = AD, = 45 ° Відповідь: 4 5 ° , 4 5 °, 1 3 5 °, 13 °. 5 ) Д а н о : ABCD — Ц__________________ .0 (з а т р е т ь о ю о з н а к о ю ). 1) Р о згля н е м о Л В С А з — Р = 12 6 с м , A B : В С = 4 : 5. А ол CD, AD. 1 ) О с к іл ь к и ABCD — п а р а л е л о г р а м , то A 3 ^ CD, A D = ВС. Н е х а й A B = CD, Знай ти : A B , В С ,
  3. 3. iD = ВС. Н е х а й АВ = 4х (с м ), fC = 5х ( с м ) , т о д і 2{4х + 5х) = 4 ) М аєм о A B = CD = 7 І) A D = В С = 7 ■ 5 = 3 5 ( c m ). 0 , а) ZCBD 4 = 2 8 (с м ); ZADB, = а 28° ^ 2 9 °, AD = B C ^ Р (О ІС к с. X A D , A B = ED, Z A = 6 0 , Р = 48 см , m CL <U B D — д іа г о н а л ь . С у м а к у т ів , я к і п р и л я г а ю т ь д о о д н іє ї повинна д о р ів н ю в а т и 1 8 0 °, на р и с у н к у 48° + 122° = 170° Знай ти : B D . 1 ) AABD, BE X A D , A E = &ABD AABD 1 8 0 °. ABCD — 1 , Д ано: 42, BE іа в п іл , 5 ^ 6 ; торони 7х = Д а н о : ABCD — п аралелограм , Д і а г о н а л і т о ч к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я i) 84, 14. LB = C D , 5 ^ 6; 1) 2 = 5 ) А В = C D = 6 З = 18 (с м ), = 6 4 = 2 4 (с м ). І* = 6 3 , X = 7; І) (Зх + 4х) х = 6; 126, ED, о т ж е , AB = BD, от ж е , — р ів н о б ед р ен и й — р ів н о б е д р е н и й A B = B D , а о с к іл ь к и Z A = 6 0 °, т о AABD — а р а лело гр а м , р ів н о с т о р о н н ій , A B = A D = B D ; M iB F — 2) AB = A D = X, Іс е к т р и с а . т о д і 4 ■ X = 4 8 , л: = 12 (с м ). [св е с т и , щ о : Відповідь: BD + ZB = — п а р а лело гр а м , то 1 8 0 °, о т ж е ВМ XAD, А ВЛ: X D C . Д овести, щ о: а Ч ^ ------------------ D ZM B Jf = ZBAD. 1 ) ААВМ — п р я м о к у т н и й . !) Р о з г л я н е м о Д А О В , у н ь о м у Z O A B + ZABO = 9 0 °, 2 , Д ано: /АОВ BF. отж е, AM X = 9 0 °, ABCD — В ____________ Е .р а л е л о г р а м , U ) = 12 с м , 1£ — б іс е к т р и с а . С EC. п ар алелогр ам , ZM BK ADlBC, ZBEA-, A E б іс е к т р и с а , т о /iDAE • Z B A E , о т ж е в &АВЕ ZBAE = ZBEA, Отже М В Е — р івн о бед р ен и й , AB = BE = w = З н а й т и : Z M B i? . f 8 ) £ С = 12 - 7 = 5 (CM). [Відповідь: BE = 7 ІЗ . см , _____ -А М 1 ) Z A + Z B = 1 8 0 °. Н е х а й Z A = jc°, EC = В Д ано: A B C D - В ZA : ZB BM 1AD, 5 см . Z B = (5 д :)°, т о д і --------------- С X + 5х = 180, бд: = 1 8 0 , л: = 3 0 °, Z B = ЗО • 5 = 1 5 0 °; 'З н а й т и : A B , В С , C D , A D . 1) Z 2 = Z 3 ( я к к у т и в н у т р іш н і р із В осторон н і при п а р а л е л ь н и х п р я м и х ААВМ — п р я м о к у т н и й , Z M B A = 9 0 ° - 3 0 ° = 6 0 °; 3 ) ZC B F = 6 0 °, т о д і Z M B F = 1 5 0 ° - (6 0 ° + Відповідь: Z M B F = 3 0 °. 2 ) Д а н о : ABCD — гЬС п а р а лело гр а м , л ар алелогр ам , 'ß M — б іс ек т р и с а , і Ш -.M A = :Z , / / / / І ЗА vi> = 8 4 c M . D і A D і с іч н ій ВМУ, | 2) Z 2 = Z 1 , о с к іл ь к и В М Іо т ж е АЛВМ — б іс е к т р и с а , — р ів н о б е д р е н и й ; н ехай D M = X см , A M = Зд: с м , т о д і ]А В = CD = A M = Зх, A D = ВС = 4х; 2) Z B A D = 3 0 °, ZABC = 1 5 0 °, A M ± В С ,А К X DC. З найти: ZM AK . к X X (О m 2 X 0 01 I T = ZBAD. 16. 1) Д ано: A B C D — = п а р а лело гр а м , w cm; , а ЗВІДСИ Z B A D = 90° - Z A B M О с к іл ь к и “ 7 Z C B X = 90° - Z C , а ле Z A = Z C (я к п р о т и л е ж н і к у т и п а р а л е л о г р а м а ). ZM B ^T = 90° - Z C B Jf ^ w (н а й т и : BE і ') ABCD — і) Z A B M - 90° - Z A , АСВК — п р я м о к у т н и й , 2 ) Z A B M = Z C B ä :, то д і Ш = 7 см , CDAE a = 12 с м . .4 bo ok .o 9 0 °, о с к і л ь к и б іс е к т р и с а д іл и т ь к у т и з в ід с и м а є м о , a п а р а лело гр а м , i(Z A + Zß ) = в п іл . I Ю m 1 5 . Д ано: A B C D - ABCD s rg ) О с к іл ь к и (О 6 0 ° ) = 3 0 °.
  4. 4. 1 ) Z M A B = 9 0 “ - 3 0 ° = 6 0 °: 20. Z K A D = 9 0 ° - 3 0 ° = 6 0 °: 3 ) Z M A K = 6 0 ° + 3 0 ° + 6 0 ° = 1 5 0 °. Відповідь: Z M B F = 3 0 °, ZM A C == 1 5 0 °. п р я м у, через прям у: 2) 1 7 . Д ано: ОС <u — п е р О — точка е т и н -А g. VO m О S АО ОС, = д іа г о н а л е й , т о в них о с к іл ь к и д іа г о н а л і т о ч к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл ; ZAO E = Z C O F ( я к в е р т и к а л ь н і), ZOAE = Z.OCF ( я к в н у т р іш н і і C D і с іч н ій АС), отж е, ААОЕ = ОЕ к ів , а о т ж е Д ано: = OF. &АВС — .4 bo ok .o 1 ) Б у д у є м о п а р а л е л о гр а м п о д вом сто­ А Знай ти : р о н а м і д іа г о н а л і 2) AAFB — P fbmk = 2 (B F + B M ), B M = K F = AF; 2 ) PfBMK = 2 • 6 = 12 (CM): Відповідь: 12 с м . 1) 19. 23. Z2, BD Z3 ACDB, в них Z2, B C ^ A D ,A B = CD-, w 3 ) О с к іл ь к и Z 3 = Z 4 , Z 1 = Z 2 ( а ц е в н у т ­ р із н о с т о р о н в і п р и п р я м и х AB CD і с і ч н ій BD, ВС і A D і с іч н ій BD, т о A B II CD, ВС II A D . О т ж е ч о т и р и к у т ­ н и к ABCD — п а р а л е л о г р а м . р іш н і н а м і к у т о м м іж н и м и : II і = Z 4 (з а у м о в о ю ), о т ж е , т р и к у т н и ­ 2) О тж е б ) В и кор и стовуєм о визначення п а р а ле­ AB AABD — с п іл ь н а с т о р о н а , Z 1 = к и р ів н і з а д р у г о ю о з н а к о ю ; а ) Б уд уєм о т р и к у тн и к по двом стор о­ лограм а ABCD — п ар а лело гр а м . 1) Р о зглян ем о d Z3 = Z4. Д овести, щ о: ч оти ри к утн и к 1 ) З а д в о м а с т о р о н а м и і к у т о м м іж ними: АС = 2т; ш уканий. Р и с . 6. Д ано: Z 1 = w h- F з а д р у г о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и ­ T a. п а р а лело гр а м а AB ACOF w I ■=r 0 (U 1 н а в п іл , о с к іл ь ­ ки р із н о - AB = ВС = 6 с м , K M II AB, K F II BC. (T 3 m 2 К д іл и т ь M N M N і A F — д іа г о н а л і AM FN. М 2 1 . Точка стор он н і при п а р а лель н и х п р я м и х 18. X DM = M F, EN = МК; DKFE — паралелограм 3) Чотирикутн ик р ів н о б е д р е н и й , oc 1 Е rg I F 2 ) О с к іл ь к и т о ч к а М — т о ч к а п е р е т и н у -D OF. AAOE і ACOF, 1) Р озглян ем о s проводим о D -у у ___________________ д іа г о н а л е й . iC проводим о теж ß_ Д овести , щ о: 0 £ = ro D і М К ІМ п а р а лело гр а м , точка a ABCD 1) Ч ерез точку DC, A D II ВС, трикутник 24. ^ A D = ВС, Z I = Z 2 . ABCD — п а р а л е л о г р а м , Р и с . 7. Д а н о : Д овести , щ о: добуд овуєм о д о п ар алелогр а м а. 2) і і 1 ) Р о з г л я н е м о Д В С Л і Д Д А С — в он и р ів ­ н і за п ер ш ою ознакою , о т ж е 2) ВС І AD, о с к іл ь к и Z I AB = = Z2 CD; ■ (а це в н у т р іш н і р із н о с т о р о в н і к у т и ); 3 ) О тж е, а ) д іл и м о д іа г о н а л і н а в п іл і б у д у є м о ААОВ за трьом а сторонам и: б ) д а л і добуд овуєм о до п а р а лелогр а м а . ABCD — п а р а лелогр а м . 2 5 . Р и с . 8. 1 ) &АВК = ACDK, А К = СЕ, В К = DE, т о д і і А Е = КС; і 2 ) О тж е, в чоти ри к утн и ка КС = А Е . КС II А Е , о т ж е АКСЕ — п а р а л е л о г р а м -
  5. 5. 2) В В , - 4 см. 5. Р и с . 9. ABFC і ^ E C , в у м о в і), ВС - A D Р озглян ем о них DE BF (я к (п о леж н і стор он и 'D, ZCBF -= = 3 1 . Ц е й п а р а л е л о гр а м м о ж е б у т и т іл ь к и про­ п р я м о к у т н и к о м , о с к іл ь к и т у п и м и к у т и п а р а лелогр а м а AADE (я к в н у т р іш н і •н осторон н і при п а р а лель н и х п р я м и х AD BD, ABFC = ADEC (з а ір ш ою о з н а к о ю ), о т ж е , CF = А Е ; AAFB = ACDE (з а п е р ш о ю о з н а к о ю ). СЕ; М а є м о в ч о т и р и к у т н и к а AFCE с т о ; і і с іч н ій н е м о ж у т ь б у т и , а т іл ь к и п р я м и м и . Р 32. S Р и с . 14. Д а н о : Знай ти : ZAO D - 7 0 °. О С ZCOD. ZCOD = 1 8 0 ° - 70 ° = 1 1 0 °; 2 ) ACOD — р ів н о б е д р е н и й , ZOCD = (1 8 0 ° - 1 1 0 ° ) : 2 - 3 5 °. Відповідь: ZOCD - 3 5 °. 1) іви п о п а р н о р ів н і, а т а к и й ч о т и р и - 33. ггн и к е п а р а л е л о г р а м . п рям окутник, ABCD Д ано: DP — п а р а лело гр а м , ВК Д ано: гЛ В В — В < S “ 3 2 °. Знай ти : — б іс е к т р и с и . ABCD а 0) X ZCOD. а. VO W B PD K — ААКВ Р о зглян ем о ACPD, в н и х Z A B K - ZC D P В К і D P п о д іл и л и (з а у м о в о ю ) і к іл ь к и б іс е к т р и с и ін і к у т и н а в п іл ); ZB A K = ZD C P ( я к в н у т р іш н і р із н о - «р о н н і при п ар алельн и х п р ям и х CD AB АС); ААКВ ■= ACPD ( з а д р у г о ю ік о ю ). О т ж е , В К - D P, A K - CP; АВСР = ADKA (з а п е р ш о ю о з н а к о ю ), гж е, ВР - DK; В ч о т и р и к у т н и к у B PD K с т о р о н и проі с іч н о ю Z C D O на 30° менше ZCOD. Знайти: ZCDO. 1) Нехай Z.CDO ~ ж°, тоді ZCDO - ( * - ( - ЗО); 2) ACOD — рівнобедрений. Маємо X + X + X + S O - 180, X «о S ’ о w .4 О тж е, 3 4 . Дано: ABCD — В к-------------------- я С прямокутник, bo ok . CD ( = п а р а лело гр а м . і w !е ж н і р ів н і, о т ж е в ін е п а р а л е л о г р а - D fß C F ] P 2) w ІМ. 8 . Р и с . 11 . о с к іл ь к и у н и х д іа г о н а л і FACD} :к ою п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл . !9. г в - Z B + Z C ~ 1 8 0 °. Д овести, щ о : ABCD — п а р а л е л о г р а м . ■ Z A - 1 8 0 ° - Z B , Z C = 1 8 0 ° - ZB , ) »гж е Z A ■ Z C , а це п роти леж н і кути; 8) О т ж е , ч о т и р и к у т н и к ABCD — пара- ■ е л о гр а м . . Р и с . 1 3 . Д а н о : Д А В С = Д А ,В ,С ,, , - 18 с м , A j C - іа й ти : ВВ^. ) АВВ^А, і Зл - 150, X - 50°. Відповідь: ZCDO = 50°. X т 3 5 . Рис. 15. Дано: АС і BD діаметри. Довести, що: ABCD — прямокутник. 1) ZABC = ZADC = 90° ZBCD = /Я А О = 90°) як вписані, як і опираються на діаметр. 2) Отже, протилежні кути рівні і дорів­ нюють по 90°, а такий паралелограм є прямокутником. Р и с . 12 . їа н о : Z A + 1 0 CM. BCC^Bj — п а р а лело гр а м и . :е, Л А , - С С , - (1 8 - 1 0 ) : 2 -= 4 (с м ); З or g ів ести , щ о : 1) ZCDO = 90° - 32° - 58°; 2) ADOC — рівнобедрений, ZCOD - 180° - 2 58° - 180° - 116° - 64°. Відповідь: ZCOD - 64°. 3 6 . Дано: ABCD — — -С прямокутник, A K -K D , В М - CN. Довести, що: К М - KN. 1) АКМА і UCND — вони прямокутні, А К — K D (за умовою), В М - CN, отже, A M - DN; 2) АКМ А ■ AKND (за двома катетами). ■ Отже, К М - KN.
  6. 6. 1 37. Д ано: ABCD — д п а р а лело гр а м , ZDAO ZADO. = Д овести, щ о: — прям о­ ^ кутник. ZAO D 1) — р ів н о б е д р е н и й , о с к іл ь к и АО = OD; ABCD — п р я ­ к у т и п р и о с н о в і р ів н і, о т ж е , 2) Тоді АС BD, = отж е, м окутник. іС 38. Д а н о : ABCD п рям окутн и к, АЕ DE A ß = І Ю = 12 см . — б іс е к т р и с а , = 42. СЕ. Д ано: ДАВС — СМ — м е д іа н а . Д овести , щ о: С М ^ -А В . 2 Д о б у д у є м о до п р я м о к у т н и к а С С , д іа г о н а л і, 3 9 . Д а н о : ABCD прям окутн и к, Р “ 4 4 см , O M 1A D , O K ± AB, О М - 5 см , 0 К ~ 7 см . 1) М М , = А В = 5 СМ = -А В . 2 43. Д ано: ДАВС — А К -В К , ______________ К Е II А С , K D і ВС. З н а й т и ; DE. С D А 1)Ocкiлькl^KEAC,KD^CE,^oKElBC, K D J. A C і DKEC — п р я м о к у т н и к , CK і D E — д іа г о н а л і п р я м о к у т н и к а . 2 ) А л е СК — є і м е д іа н о ю , о с к іл ь к и К — с е р е д и н а A ß , 2 = 10 (с м ); w - 2 • (1 0 -Ь 1 4 ) = 4 8 (с м ). CK = DE = ^ A B = i отж е. w ABCD - В прям окутник, Відповідь: O K J.AD, О М І. CD, ОМ - О К ^ Ь 44. 4 см . Д ано: ДАВС — п рям окутний, АС = В С = см , Р = 7 см . 12 см . З найти: Р ^ ^ „. AB ^ CD, A D = ВС. O K = X CM, т о д і AB О М = х + 5, т о д і A D = 2x + Знай ти : 1) нехай = 2х, 10 ; 2 ) З н аю ч и п ер и м етр, м аєм о + 2х+ 1 0 ) = 4 4 , 4д: -І- 10 = 2 2 , 4JC -= 1 2 , І = З (с м ); 1 ) CD = FE = BE, СЕ = D F = AD, т о д і CE + E F = 12 c m ; C 2) P „ „ = 12 • 2 = 24 ( c m ). Відповідь: 2 4 см . 45. 3 ) A B = 6 (с м ), Л / ) = 6 -І- 10 = 16 (с м ). Д а н о : ABCD п рям окутник, Відповідь: BF ± AC, 41. 6 с м , 16 см . ABCD — п р я м о к у т н и к , А К - ВК, Z.CKD = 9 0 °, Р = 36 см . З н а й т и : AB і CD. Д ано: = AB — M C ,, отж е A D ■= 8 с м , 2 ) Х Л :, = A D = 7 • 2 = 14 (с м ); 2 (2 i = прям окутний, w Зн ай ти : Д ано: A M - ВМ, СМ .4 bo ok .o BE — б іс е к т р и с а Z 5 . -А 1 ) AADE — п р я м о к у т н и й , ZD A E = ZA E D = 4 5 °, о т ж е , A D ~ DE; 2 ) в АВСЕ ВС = A D , о т ж е , В С = С £ , о т ж е , АВСЕ — р ів н о б е д р е н и й і п р я м о ­ к у т н и й , ZCBE = Z C £ ß - 4 5 °; 3 ) ZC B E = = 4 5 °, о т ж е BE — б і ­ с е к т р и с а ZB . 40. В п рям ок утний, Д овести, щ о: 3) 1 ) АВСК = &ADK (п о д в о м к а т е т а м ) ZA K D = гВ К С = (1 8 0 ° - 9 0 ° ) : 2 = 45°J 2 ) О т ж е , А К = AD, В К = СВ, А В = 2 ■ВС-, 3 ) Н е х а й ВС = X с м , т о д і AB = 2х см, м а є м о 2(х + 2х) = 3 6 , Зх = 1 8 , д: = 6 (с м ) ; ВС = A D = 6 с м , rg ABCD C P : A F = З : 1, ОМ - 6 CM. З найти: A C . — В, (с м ).
  7. 7. г j) Оскільки о м = 6 м , то A B = 1 2 см ; ДАО-ß — рівнобедрений, оскільки A f » FO, тобто BF і висота, і медіана, Н ехай 2) м аєм о 2 х + 7х = 90, ^ іж е А В “ В О “ 12 cm; а 8 ) В О = ОХ», ß Z ) = A C = 12 fi0noeidb: 46. 2 = 24 (с м ). ^ д а р а лелогр а м , j Д С — д іа г о н а л ь , ^ / -------------- j J = Z 7 )A C . »Довести, щ о : ZADO 9х = (7 х )° , = 9 0 , х = 10; ZDAO = 2 0 °, Z A D O = 7 0 °, ZD AB = 4 0 °, Z A D C = 1 4 0 °, о с к іл ь к и д іа г о н а л і є б іс е к т р и с а м и ; 4 0 °, ZB = ZD = 5 0 . Р и с . 17 . Д а н о : ABCD — B F 1 A D , DE L A B . Д о в е с т и , щ о : BF = DE. Р о з г л я н е м о A A B F і AADE. В 1 4 0 °. ром б, ZA них — A D (я к с т о р о н и р о м б а ). О т ж е , AADE (з а г іп о т е н у з о ю і г о с т р и м к у т о м ). О т ж е , BF = DE. AB =* Р о з г л я н е м о Z ß C A і Z Z M C , в о н и р ів ÜABF = ! в і я к в н у т р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и па^ | *лел ьн и х прямих ВС ZDAC = ABAC, ^ іл е і A D і с іч н ій А С , о т ж е , Д А В С — р ів - МОбедрений; ВС, але AB = CD, ВС = A D І а)АВ = (я к Ід р о т я л е ж н і с т о р о н и п а р а л е л о г р а м а ); я к щ о в п а р а л е л о г р а м і в с і ст о р о н и іні, т о в ін р о м б , о т ж е , 47. а) ABCD — р о м б. = 4 2 °; ZA B D = -Z A B C = 2) 2 &CBN — прям окутний, - 4 2 ° = 4 8 °, т о д і в і(1 8 0 ° - 52“) = і ptdnoeidb: а 1 2 8 » = 6 4 °. = 6 4 °. в ) Z A D C = 180° - 74° = 7 4 °, Оповідь: І AADC = гВ С А 3) 1 5 6 °, Оповідь: 2 4 °. w ABCD — р о м б , в, ZDAO = 2 0 °. В, Д а н о : ти : к у т и ром ба. А D {в ід п р я м и м к у т о м , т о AAOD — п р я м о | | (у тн и к . Н е х а й /.DAO = х°, т о д і ZADO = ом ба п ер ети н аю ться Відповідь: б іс е к т р и с а м и ZD AB = ZDCB = ZADC “ Z A B C = (3 5 ° | 4 у т ів , т о д і 7 0 °, І 4 0 . Д ано: І^ А О 35° • 2 = + 2 0 °) = 7 0 °, 7 0 °, 1 1 0 °, 1 1 0 °. ABCD — р о м б , -By? 2 4 °, 6 6 ° в них A B ZA = ZB == AABE і AADF, A D (я к ст о р о н и BE = D F = -В С ; 2 ААВЕ =• AADF (з а п е р ш о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів ), о т ж е 5 3 . Д ано: ABCD — р о м б , A E -A F . АЕ f l J ^ O i ) — прям окут- _ А &AEF F D р ів н о б е д р е н и й , А С є б іс е к т р и с о ю і в и с о т о ю ; 2 ) О тж е, AF. . А EF LAC . а г о н а л ь є б іс е к т р и с о ю , о т ж е , •а й т и : к ути ром ба. = Вк ----------- з »С Д овести , щ о: -я С р о м б а ), ( я к п р о т и л е ж н і к у т и р о м б а ), 1) Д А Е У — : ZADO - 2 : 7 . о с к іл ь к и 132° = 66° 5 2 . Д ано: ABCD — р о м б , BE = FC, CF = FD. 2) І2х =70, х = , ■ 110°. ШВ^повідь: 90° - д іа г о н а л і р о м б а є б іс е к т р и с а м и . ■ ( х + 2 0 )°, м а є м о (X + д: + 2 0 ) = 9 0 °, є ZC = 180° - 48° = 1) Р озглян ем о ) О с к іл ь к и д іа г о н а л і 3 5 °; Д іа г о н а л і ро м ба 90° - 48° = Д о в е с т и , щ о : A E == AF. w •= w = а = 1 8 0 ° - 1 5 6 ° = 2 4 °. Z D A O = - 4 8 ° = 24° 2 ZADO = I = а = і ■7 4 ° : 3 7 ° 3 7 °. з ,С = 1 3 2 °; .4 ^ D 1 0 6 °, ZD = Z B ~ bo ok . А 5 1 . Д ано: ABCD — р о м б , ВМ LAD, B N 1 DC, Z M B N = 4 8 °. A " З н а й т и : ZDAO, ZADO. 1 ) ZM B C = 9 0 °, о т ж е , ZC B N = or g 1) ї у (2 х )° , с п іл ь н и й , ц і т р и к у т н и к и п р я м о к у т н і, ^ ^ C Z ) — ром б. t) = 3) Z A ’^ ZC = 24 см . Д ано: A ß C ö - IB A C 2) ZDAO E F L АС. — АК д і­ для
  8. 8. 1 2) 5 4 . Дано: ABCD — ромб, B FXAD , p 2 I к aj < S s z Q v5 PO о чотирикутника BD — діагональ, /LFBD - 42°. X Знайти: кути ромба. 1) ^FBD — прямокутний, ZF DB = 90° - 42° = 48°, тоді ZADG = 48° 2 = 96°; 2) ZA = 180° - 96° = 84°. Відповідь: ZA = ZC = 84°, Z D - - Z B ~ 96°. П З 5 5 . Дано: ABCD — ромб, BF 1 AD, BD = 16 CM, A F -F D . Знайти: 1) кути ромба, 2) сторону ромба. а) Оскільки BF — є і висота, і медіана, то &ABD — рівнобедрений, AB = BD, але AB - AD, як сторони ромба, отже, ЛАВВ — рівносторонній. ZA - ZC = 60°, & Z B ~ Z D - 120 °; б) Оскільки AABD — рівносторонній, io A B = B D - 16 ( c m ). Відповідь: кути дорівнюють по 60° і 120°, а сторона 16 см. 5 6 . Рис. 18. Чотирикутник ОМСТ є ром­ бом, оскільки сторони у нього рівні. '3 - 5 7 . Дано: ABCD — паралелограм, АЕ і B F — бісектриси. В_________Е С ro S w X T w (U w m 2 X о ABEF — ром б. Z A + Z B ■= 1 8 0 , Д овести , щ о: s ’ Q. L 1 ) О с к іл ь к и т о | ( Z A + Z ß ) = 9 0 °; 59. Д ан о: п обудувати ром б. AABD 1) Б удуєм о за т р ь о м а стор он ам и , а п о т ім д о б у д о в у є м о ник ABDC 5 8 . Д а н о : ААВС, А К — б іс е к т р и с а , АО = OK, EF±AK . Д овести , щ о: __________ AE K F — ром б. А F . 1 ) ААЕО - Д А Р О (з а к а т е т о м А О і г о ­ с т р и м к у т о м ), о т ж е , ЕО = FO; ÜACD, чотирикут­ — ш ук а н и й ром б. 2) Н Н А F 60. В к а з ів к а с т о р . 1 0 5 (р и с . 1 6 5 ). 61. Д ано: ABCD В|с---------------„С — п рям окутник, АС X BD. Д овести , щ о: ABCD — квадрат. 1) ДАВС, В О 1 АС, АО = ОС, о т ж е , В О — м е д іа н а , а я к щ о в т р и к у т н и к а в и с о т а є і м е д іа н о ю , то Д А В С — р ів н о б ед р ен и й , о т ж е , AB 2) я кого М аєм о п рям окутник, у = ВС. всі с т о р о н и р ів н і, о т ж е , ц е к в а д р а т . 6 2. Д ано: ABCD — к в а д р а т , ^ і > - 36. OF, ОМ. З н ай ти : 1 ) A B = 36 : 4 = 9 (с м ); 2) OF = ^ 1 ОМ Відповідь: 2 ) Л А В О — п р я м о к у т н и й , о с к іл ь к и Z A O B - 9 0 °, м а є м о BE | A F , А Е 1 BF, а п а р а л е л о г р а м , у я к о г о д іа г о н а л і п е р ­ п ен д и к уля р и , е ром б, отж е, ABEF — ром б. кЭ 1 д іа г о н а л і к о ю п е р е т и н у д іл я т ь с я н а в п іл , а т а к о з« X £ F , отж е, A E K F — ром б. .4 bo ok .o к X 1 AEKF АК rg 5 У п е р е т и н а ю т ь с я п ід п р я м и м к у т о м і точ- =і- 9 = 4 ,5 (с м ). 4 ,5 с м . 6 3 . Р и с . 19. А К = СМ . Д ано: ABCD — Д овести , щ о: B M D K — ром б. ^АВК і &ADK, квадрат, 1) Р о згл я н е м о AB = AD в них АК — ZD A K , о с ­ ( я к с т о р о н и к в а д р а т а ). с п іл ь н а стор он а, ZB A K “ к і л ь к и д іа г о н а л ь є б іс е к т р и с о ю , о т ж е , ААВК • &ADK ( з а п е р ш о ю о з н а к о ю ), о т ж е , В К = DK-, 2) А н а л о г і ч н о , АВСМ ВМ = MD; 3 ) &АВК і АСВМ = ADCM, р ів н і, о т ж е , ВК отж е, = ВМ і
  9. 9. [О 'DK BK Д ано: CF = DK DM = M B , отже ABCD DK. Н _х — квадрат, AC ■ 4 см . П о д іл и м о п е р и м е т р н а в п іл , а п о т ім щ е — квадрат, и: D А К } - ■4— 6 8 . Дано: Р . — ром б. н а в п іл і о д е р ж и м о В 2 стор он у квадрата. ос ABCD — квадрат ш уканий. 69. А D пьки CD — діагональ, то K F = CD, = CF = FD = D K = 4 . 2 = 2 (см). дповідь: 2 см. Дано: ' — рівнобед[ трикутник, М А 71. = З 4 = 12 (с м ). ІВ ів п о в ід ь : 12 см. О З 18 (с м ). П ер и м етр т р и к у т н и к а , верш ини я к о г о — с е р е д и н и с т о р ін д а н о г о т р и к у т ­ oo k. o Г, Дано: ZD — квадрат, 6 см, ІгА В Е : г.СВЕ = 2 : 1 . І9“ айти: |1) Нехай ZABE = 2 х , ^ ІСВЯ = X, тоді + x - Z x , Z x = 90°, X = 30°, 4ABE = 60°, ZAEß = 30°; 12) AABE — прямокутний, AB лежить ІКроти кута 30°, отже, AB = З см. m rg 2 S І Q. VD 2 = 14 (с м ) ; н и к а , б у д е — : 18 = 7 2. Д ано: ДАВС, Рлвсп = 6 0 с м , AB : ВС : АС = З = M N , NF, M F — 9 (с м ). X (О 5 : 7 m S сер ед н і л ін ії. .4 b w w w . Дано: ^ 'D — прямоаик, : і ВХ — бісекнси. овести, що: А 3£JC — квадрат, 40В = ZßO £ = 90°, отже, А Е 1 ВК, е, А В Е К — квадрат. го ? 2 = 12 (с м ) ; 7 3) AB = 9 С К = ВС (за умовою). F — рівнобедрений, - NF, N F ^ ^ M N ^ М К ; A M = М К , оскільки АА М К — рів!древий; } А М = M N = S N = 18 : З = 6 (см); = 6 4 = 24 (см). 'повідь: 24 см. N В к а з ів к а с т о р . 1 0 5 . (р и с . 1 6 6 ). 2) ВС = iN F K — квадрат, найти: D 7 0 . Д ано: йАВС — п р я м о к у т н и й , M N , NF, F M — сер ед н і л ін ії, N F = 6 CM, N M = 7 CM, M F = 9 CM. З н а й т и : A B , ВС. AC. jt 1 )Л С = 6 ’ 8 CM, с; (Г) о. Ш ____ , Знай ти : І MN, О NF, M F. 1) Р <и --Р 2 '- “ ^ 2 ) Н ехай NF =- = Зй, 2 X 60 = 30 (см); МК = 5Л. MN т = 7Л, т о д і 3Ä + 5ft + 7Ä = 15ft = ЗО, ft = 2 (с м ); 3) N F = МК = 5 М ЛГ = 7 2 З 6 (с м ), (О .З і 2 = 10 (с м ), 2 = 14 (с м ). Відповідь: 73. = 6 с м , 10 с м , 14 с м . Q. Я к щ о д в і с е р е д н і л і н і ї р ів н і, т о ц е р ів н о б е д р е н и й т р и к у т н и к . О 74. Р и с . 20 . 1 ) A , B , C , D , — п а р а л е л о г р а м , о с к іл ь к и А , В . , В ,С ,, C jD ,, Ö ,A , — с е р е д н і л і н і ї ; 2 ) і ’л . в . а д = 2 Відповідь: (2 + 3 ) = 10 (с м ) 10 см . 7 5 . Д ано: E .F , Р І К — ^ с е р е д и н и с т о р ін А В , ВС, CD, DA. Д овести , щ о: EF II РК . 1ГЭ
  10. 10. 1) 2) 3) p s ^ABC■, E F — с е р е д н я л і н і я , E F | AC; AADC, P K — с е р е д н я л і н і я , P K | AC; | М а єм о EF |AC, PK | AC, отж е, EF | PK. | | | 76. 1) Ч о т и р и к у тн и к , у я к о го вер­ ш и н а м и є с е р е д и н и с т о р ін д о в іл ь н о г о 1 ) А б В . С , — п а р а л е л о г р а м , о с к іл ь к и AB II А , В , , В В , II АС, о т ж е ВВ, = AC, AC чоти р и к утн и к а є п а р а лело гр а м . с; AC^BD 2 ) А я к щ о д іа г о н а л і р ів н і, т о ц е р о м б . і С — с е р е д и н и с т о р ін 7 7 . Д ано: ABCD — точки 80. чотирикутник, s I Q VO m О C£ FK , N F = - I X 1 <0 O Q 2 I ■ 3 0 Ш 1 АС — ш укан и й трикутник. (C M ), = і AMNK K F, AM KF лм ZDOC = 42° 1 3 8 °, 7 8 . Д ано: ABCD — п р я м о ­ T AB PN — II д іа г о н а л ь к С NB OPAN; ОС, w ZABC w M , N ,F ,K — = 1 4 3 °. А ------------------------ D w AABD — 1 ) Z A = 1 8 0 ° - 1 4 3 ° = 3 7 °; прям окутний, MK | | BD, о с к іл ь к и B D = 2 • 16 = 32 , 3) M NFK — MK ZAD B = 3 0 °, = і ■32 = 16 (c m ); II II , BC. in A , В, С Л .В .С .. 83. Я к щ о д в а п р о т и л е ж н і к у т и го с т р і, то ц е м ож е бути п а р а лело гр а м . 84. Н е м ож е. Н е м о ж у т ь , о с к іл ь к и 7 В, + з 5 + 2. ,С — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія , Д овести, щ о: cvi Z A = 3 7 °, ABCD BA, C .A , 180° - 32° = 1 4 8 °, 8 6 . Д ано: 7 9 . Д ано: AABC — т р и к у т н и к , B .Л . ZC = 85. ром б, = 4 • 16 = 64 ( c m ). B .C . ІІЛ С , 2) Z C = 1 4 8 °. NFBD, M K = ^ B D ; 2) BD = 2 ■AB, В.------------ С З найти: Z A . Z C . З н ай ти : 1) OD; Z A D C = 3 2 °, п рям окутника. ОС Q. Ц М К II P N , т о д і P M A N — п а р а л е л о г р а м , P N = М А, PAKN — п аралелограм , А К = P N , т о д і A M = AK . 82 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , Z A B D = 6 0 °, = 16 CM, N 3 ) Ч ер ез т о ч к у А п роведем о п р я м у 180° - = 4 2 °, Z M N F = 1 3 8 °. кутник, о 1) П роведем о А Р 2 = 1 (c m ): 3 ) Z B O C = Z A O D = 4 2 °, ZAOB = І 81. 2) ? Ш А , В, С в ід р із к а м и , M F | AB, М К Ц В С , З ’ єдн аєм о точк и == 2 ,5 (c m ); NM FK 2) т од і п роведем о .4 bo ok .o cc MK = AC; 2 N F = ^ -5 = 2,b NF F с т о р ін . D З н а й т и : а ) M F , FK , М К , N M ; б ) A N , /.F, /.К, Z M . 1) M N F K — п а р а л е л о г р а м , о с к іл ь к и МК, M N В А, В, С. AM FK д л я я кого А , В, С — с е р е д и н и с е р е д и н и с т о р ін . II К Д ано: А, В АА^В^С^. П обудувати АС = 5 с м , BD = 2 с м , /LAOD - 4 2 °, М , F ,K ,M — NF — п ар а лело гр а м . О тж е, rg fa С ,С , ВС = ^A.fi.^; 2 ) О тж е, A C = i ß q ; О С m Q <U AB = = В С ,; — с е р е д и н и с т о р ін т р и к у т н и к а CD, B F 1 AD , ZA B F = 1 7 °. AB = З н а й т и : к у т и т р а п е ц ії. 1) A A B F — - 17 ° - прям ок утн и й , Z A = 90° - 7 3 °, Z B = 9 0 ° -I- 1 7 ° = 1 0 7 °;
  11. 11. г 1 ) AACD — п р я м о к у т н и й , ZCAD >= 9 0 ° - 5 2 ° = 3 8 °; 2 ) ZBCA = ZCAD ( я к в н у т р іш н і О с к іл ь к и т р а п е ц ія р ів н о б іч н а , = = ZC= 7 3 °, 8 7 . Д ано: — прям окутна 1 0 7 °. в р із н о с т о р о н н і п р и п а р а л е л ь н и х ЛВСО в 5 р а з ів б іл ь ш и й к у т и т р а п е ц ії. 1) Н ехай ZD = х °, Х + Ь х = 1 8 0 , 6х = 2) г О = 3 0 °, Z C = (5х)°, ZC = м аєм о 1 8 0 , д: = 3 0 °; 8 8 . Д а н о : ABCD AB = CD, АВ^^ВС, /JBCA = 3 2 °. О с к іл ь к и т р а п е ц ія р ів н о б іч н а , т о к у т и ^ 1 ) Д А В С — р ів н о б е д р е н и й , AB -= В С , 2 ) О тж е, Z ß A D = 32° 2 = 6 4 °, 1 8 0 ° - 6 4 ° = 1 1 6 °, Z A = Z I » = 6 4 °. Д ----------- .С А D ZC = (x + 8 6 )° , 1 8 0 °, 2х = 18 0 - 86 , гС = ZD = 47° + + 8 6 ° = 1 3 3 °. Відповідь: ■= ZC. 2х, = 9 0 , ж = 3 0 °; о т ж е , ZC = 1 2 0 °, ABCD 23. Д а н о : AB = ZD ZA = 6 0 °, = 6 0 °. — т р а п е ц ія , CD. ZDAO = ZADO, ZBCO, ZADO = ZCBD (я к 1 ) A A O D — р івш )бедрен и й , ZDAO = ВС і AD 2) Р о зглян ем о АО = і с іч н и х АС і ВС), отж е, — рівнобедрен и й ; OD (з а д о в е д е н и м ), а АЛОВ ADOC, і у м о в о ю ), В О ZAOB = = ZDOC в них О С (з а (я к в ер­ п е р ш о ю о з н а к о ю р ів н о с т і т р и к у т н и к ів , а отж е, 4 7 °, 4 7 °, 1 3 3 °, 1 3 3 °. 9 0 . Р и с . 22 . Д а н о : ABCD — ВО і АО — б іс е к т р и с и . Д о в е с т и , щ о : ZAOB = 9 0 °. АВОС т и к а л ь н і), о т ж е , т р и к у т н и к и р ів н і за w 2 ) Z A = Z i ) = 4 7 °, Zx = 1 2 0 °, прямих w м а є м о д: + X + 86 = ZB = тоді в н у т р іш н і р ізн остор он н і п р и п а р а л е л ь н и х w 1 ) Н ехай Z A = х °, х°, = = 9 0 + д:, м а є м о 2дг + х + 9 0 = = 1 8 0 °, але ___________________ _ к у т и т р а п е ц ії. ZABC Д овести , щ о: 89 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія AB = CD, A C - Z A = 8 6 °. З найти: ZBAC 93. Рис. АО = OD. 6 4 °, 6 4 °, 1 1 6 °, 1 1 6 °. ZD, ZB ZB AD п р и о с н о в і р ів н і, Z A = Н ехай .4 bo ok .o Z ß C A = 3 2 °; = 9 4 , л = 4 7 °; А З н а й т и : к у т и т р а п е ц ії. кути т р а п е ц ії. 2х A B ^ C D = ВС, АС ± CD. в ___________ С _______________________ Відповідь: ZBAD = 38 ° + 3 8 ° = 7 6 °, а ZABC = 1 8 0 ° - 7 6 ° = 1 0 4 °. Відповідь: Z A = 7 6 °, Z B = 1 0 4 °, Z D = 5 2 °, ZC = 1 2 8 °. т р а п е ц ія , — т р а п е ц ія , З найти: ZB = ZC - + 3 8 ° = 1 2 8 °; 9 2 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а 1 5 0 °, = Z B = 9 0 °. ZßAC - АС), с іч н ій 3 ) Д А В С — р ів н о б е д р е н и й , Z.D. Знайти: ^ ВС і A D і ZBCD = 9 0 ° прямих отж е т р а п е ц ія , rg 2) т р а п е ц ія , AB = CD. 9 4 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія , 1 ) Z A + Z B = 1 8 0 °, а о с к іл ь к и AB = CD, В М ± AD. ВО Д овести, щ о: і АО — б іс е к т р и с и , т о ZBAO + ZABO 2) Тоді ZAOB = і 1 8 0 ° = 90 °; = 1 8 0 ° - 9 0 ° = 9 0 °. 9 1 . Д ано: ABCD — т р а п е ц і я АС 1 CD, Z D = 5 2 °, АВ = ВС. ^ З н а й т и : к у т и т р а п е ц ії. DM 1) тоді = ВС + AD AM -t- MN = AM D M = AD, ABCM = ADCN с т р и м к у т о м ), але а ВС, AM A D -В С опустим о CN X AD, (з а г іп о т е н у з о ю і го — = отж е, A D - M 'N ■ DN = ------ AM =
  12. 12. 2 ) A M + M N + N D = AD. A M + M N = A D - ND. ВС 3) Н ехай = X см , тоді 14 + 14 + л: + 14 + д: = 6 0 , 2д: + 42 = 6 0 , 2 х = 6 0 - 4 2 , . = m d a d J ^ -^ ^ 2AD - A D л-ВС отж е, а AM гл.ж DM= 2ж = 1 8 , х = 9 (с м ), 2 В С = 9 с м , A D = 14 + 9 = 2 3 (с м ). Відповідь: A D + BC 98. A D -В С AB = = ------ ^-------, -А В + ІЗС _ . . ,щ о и треба б у л о д о ­ AD = PABCD . „га 18 с м , AABC 1) С — Л Tx " р ів н о б е д р е н и й , о с к іл ь к и к у т и п р и о с н о в і р ів н і, о т ж е A B = т р а п е ц ія , ВС = X 2) Н ехай B M J. AD, ВС; см , т о д і 1 + 1 + 1 -1 -1 8 = 54, A M = З см , = 11 с м . Зх = 3 6 , jc Відповідь: _______ A D . ВС. 1 )A D = 3 + 11 = ^ З н ай ти : ^ 14 (с м ); A D -2 A M = 1 4 -6 = 8 (с м ). = 12 ( с м ) , В С = 12 с м . 12 с м . 9 9 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , В С I AD, В С = 7 см , .4 bo ok .o ВС - В ___________ ZA, = 54 CM. З найти: B C . 9 5 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а 2) — р ів н о б іч н а т р а п ец ія , CD, A C — б іс е к т р и с а в ес т и . MD 9 с м , 23 с м . ABCD Д ано: rg a n Відповідь: A D = 14 см, ВС ■ 8 см. = w 9 6 . Дано: В у ABCD — рівнобічна трапеція, AB = CD = 16 см, Z A - 6 0 ”, AD + BC ^ 3 8 CM. 1 1 м Знайти: AD. BC. 1) B M X AD, ЛАВМ — прямокутний, ZABM - 90° - 60° = 30°. отже, AB = i 2 2 16 = 8 ( c m ); w AW = i w 2) A M - DAT = 8 c m . Нехай ßC = x c m , тоді A D "-jc + 2 - 8 = x + 16, маємо X + ж + 16 = 38, 2j = 22, і = 11, c ВС = 11 ( c m ), a d = 38 - 11 = 27 (см). Відповідь: 11 см і 27 см. 9 7 . Дано: ABCD — рівнобічна трапеція, AB “ CD. В М — бісектриса, В М і CD. А Р “ 60 см, AB = 14 CM. Знайти: AD і ВС. 1) M BCD — паралелограм, В М •‘ CD = 14 см; 2) /LAMB = ZCBM = ZABM, отже /А М В — рівнобедрений, AB = A M = 14 см; -РдАвя = 16 с м . Зн ай ти : Р ^ „ . 1 ) B C D M — п а р а л е л о г р а м , ВС | D M , В М I CD, о т ж е В С = D M = 7 с м , В М = CD; 2) = AB + AAf + ВМ Рл^^ = А В + ВС + CD + 7 + A M + CD = AB + C D Відповідь: 3 0 с м . о с к іл ь к и 16 + + “ 16 с м , +A D = AB + 7 + AM 14 = ЗО (с м ); =16 cm. 1 0 0 . Д ано: ABCD — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія , AB = ВМ і ВС = CD, ВС II A D, ________ AD, -А М 10 с м , A D 16 с м . З найти: В М . 1) &AOD — ний; А О = 2) ABOC ний; 3) = i OF OD, O K 1 AD, O K = - AD; — 2 р ів н о б е д р е н и й , п р я м о к у т ­ X ВС, O f = -В С ; 2 ВМ = KF = | (A D + В С ) = ( 1 0 + 1 6 ) = 13 (с м ). Відповідь: 13 с м . 1 0 1 . Д ано: AB п р я м о к у т н и й , р ів н о б е д р е ­ ABCD — т р а п е ц ія , = C D , A C — б іс е к т р и с а к у т а С ,
  13. 13. ВС ad 8 - ВС. ВС = X см , M N = х + 6, A D = 8 + 2x, Знай ти : A D і см , Н ехай 14 с м . Зн ай ти : 1) Z.DAC ZBCA - ( я к в н у т р іш н і з а в л а с т и в іс т ю середн ьої л ін ії ^ -А р із в о с т о р о н н і п р и п а р а л е л ь н и х прямих ВС і AD, тоді ZDAC = т р а п е ц ії, м а є м о ZACD, ^ а о т ж е t^ADC — р ів н о б е д р е н и й , ad — = 14 см ; - 14 + 8 + 14 + 14 = 50 (с м ). 2) Відповідь: ad 2х = 103. Н ехай MN — Відповідь: + 8 + 2х (с м ), 17 7а + 4а 7 =-- -— = 2“ “ 24 с м . 8 см . 1 0 8 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія . F Z A -= Z B = 9 0 °, середня л ін ія тр а ­ а е/ — - — = — =8 ,5 6+11 MN = MN X A D = 8 + 16 = 24 (с м ). п е ц ії. б) ^ bc 4х = Зх + В, X = 8, ВС = 8 5 0 см . 1 0 2 . В к а з ів к а с т о р . 1 0 6 . а) ^ n CD (с м ); CM ±AD , AM : MD = 3 : 2 , F K — середня л ін ія . F K „ , M - D 12 см . Знай ти : В С і A D . Д ано: 10а - а + 105. (с м ); а + AD -— ^ Н е м о ж е б у т и , о с к іл ь к и а якщ о ,то&го 2M N = ВС + AD, w BC+AD M N < ВС, 2M N то ф 5 = 15 ( c m ). Відповідь: 5а, 5а = — w MN: В А ’^ а, M N = A D . A D - 9а. 3 = 9 ( c m ), BC = 3 AD = 3 7 + AD 2 2 - 7 - 1 5 3; 2) 11 = 109. ABCD В С + A Z ) = 19 ; т р а п е ц ія . АС — б іс е к т р и с а . ZBAC = ZDAC, M N — середня ZCBD йАВС — 1) MN. >= ZBCA = ZBAC, р ів н о б е д р е н и й , A B = В С ; 2 ) Н ехай В С = Зх, A D = AB = ВС = CD = Зх, 14я: - 1 6 8 . л: = 12 (с м ); 3 ) В С = 12 A B = 12 2. MN = 36 + 60 ВС - 1 6 с м , A D Відповідь: 16 см ABCD і 22 с м . ABCD Л В - МЛГ - 8 см . MN 2 4 8 см . Д ано: — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія . — т р а п е ц ія , середня л ін ія , 110. З = 3 6 (с м ). 5 = 6 0 (с м ). 2 = 2 • ВС, АС ± BD, FK — середня л ін ія . M ^ V IA D . 5х, м аєм о Ззс + 3jc + Зд: + 5ас = 1 6 8 , Відповідь: Д ано; А л ін ія . В С : A B = З : 5, Р = 1 6 8 см . B C + A D - 38; 2) Н е х а й В С - X CM. A D = X + 6 . т о д і * + * + 6 - 3 8 . 2jc = 3 2 . ї = 16 (с м ), 16 + 6 = 22 (с м ). 9 с м , 15 с м . Д ано: — р ів н о б іч н а Знайти: ВС + BD. 1 016. Д а н о : о : 6. Дан В С CD — Г ABCD — т р а п е ц ія , M N — с е р е д н я л і н і я , М /— V се о М/----------------- N M N - 19 с м . V / ADІ - В С - 6 с м . М -----З н а й т и : A D і ВС. BC + A D 107. MN — 12 = bo ok . i x ~ 2 ,x = w б) ABCM — прям о­ Zx, M D = 2x, BC + AD З ї + 5x о с к іл ь к и AD ^bx-, F K = BC + A D M N = --- ------ 22 - 1 + AD, A D ВС = кутник. Н ехай A M = .4 , а) AM, or g 1) 1 0 4 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , ВС - 7 с м . M N — се р ед н я л ін ія , M N - 11 с м . З н а й т и ; AD. _д-
  14. 14. Довести, що: M N = F K . FK = 1) т од і д у га u A m C = 360° - 1 2 4 ° = 2 3 6 °, д в о е — прям окут­ В М = М О; AAOD — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е ­ н и й A N = ON; н и й і р ів н о б е д р е н и й 2) M N = M O + ON = -B C + - A D = 3) 2 2 BC + AD 9 4 ° • 2 = 1 8 8 °, = 172° (о с к іл ь к и ц ен тр альн и й к у т ). = 4 2 °. ZADC. ZABC = ZADC (я к в п и с а н і, я к і опи раю ться на ^^^Г~~~~~~~~7С о д н у і т у с а м у д у г у ); Z A B C = Z A D C = 4 2 °. A B = 6 см , 14 см . 1 1 7 . Д ано: АС — с е р е д н ю л ін ію . Z A B C = 7 8 °. ВС 1 ) Z S A C ■ 3 0 °, — Хорда, or g MN = I A B = З (с м ): 3-1-14 17 2 Зн ай ти : ZADC. 2 Відповідь: 8 ,5 см . = 8 ,5 (с м ). 1) /yiDC = bo ok . MN = а) о А т С - Зн ай ти : т р а п е ц ія , 2) 2 ) Д а н о : Z A B C = 9 4 °. Знай ти : Z A O C . ZABC А С І AD, гВ А О = 1 2 0 “ , З н ай ти : 2 3 6 ° = 1 1 8 °; 2 1 1 6 . Д ано: 111. Д а н о : ABCD — р ів н о б іч н а AD = i ZABC = ZAOC M N = FK = — вписаний , отж е u A B C = 3 6 0 ° - 1 8 8 ° = 1 7 2 °, BC + A D 4 ) М аєм о ZABC kj ABC-, u A D C = 78° 2 = 1 5 6 °, u A B C = 360° - 156° = 204° 1 1 2 . Ц е н т р а л ь н и й к у т в и м ір ю є т ь с я 2) Z A D C = і д у г о ю , н а я к у в ін с п и р а є т ь с я . і 4 - = 3 0 0 °; 6 Відповідь: 1 0 2 °. 1 1 8 . 1) Д ано: Д А В С , Z C A S = 78° = 2 1 0 °. Зн ай ти : w 3 ) 360° ~ = 9 0 °; 2 ) 3 6 0 ° .4 1) 0 = 360° 2 0 4 ° = 1 0 2 °. ZBOC. ZCAB 1 1 3 . Н е х а й г р а д у с н а м ір а о д н іє ї д у г и О с к іл ь к и х°, вп и сан и й , (х w а др угої -І- 1 0 0 ), м а є м о р ів н я н н я 2х = 360 - 100, w л: -І- J -Н 1 0 0 = 3 6 0 , C 2х = 2 6 0 , X = 1 3 0 °. Г р а д у с н а м ір а о д н іє ї д у г и 1 3 0 °, а д р у г о ї 1 3 0 ° -І- 1 0 0 ° = 2 3 0 °. Відповідь: 114. 1 3 0 ° і 2 3 0 °. — иВС = 1 5 6 °, ZBOC — ц е н т р а л ь н и й , ZBOC = 1 5 6 °. то а 2 ) Д а н о : Z A = 1 2 8 °. В п и с а н и й к у т в и м ір ю є т ь с я п о л о ­ в и н о ю д у г и , н а я к у в ін с п и р а є т ь с я . Зн ай ти : ZBOC. 1) u C ß = 128° X х 2 = 2 5 6 °, 1 ) 4 8 ° •і = 2 4 °: 2 ) 1 2 6 ° і = 6 3 °; и С А В = 360° - 2 5 6 ° = 1 0 4 °; 3 ) 1 8 0 ° - - = 9 0 °; 4 ) 2 5 4 ° 5) а : 2 = - а . ■ ■ = 1 2 7°; 2 ) ZCOB ZBOC = — цен тр альн и й , 1 0 4 °. 1 1 9 . Д ано: ДАВС, О — ц ентр 1 1 5 . 1) Д ано: Z A O C = 1 2 4 °. Зн ай ти : ІЛ ZABC. гАВС = 124°, а) оп и сан ого к о ла, ZA ZB = ZAOB, ZBOC, ZAOC. = 3 6 °, Знай ти : 7 8 °.
  15. 15. т 1) Z C - 1 8 0 ° - (3 6 ° + 7 8 °) “ 180° - 114° - 2) u A S - 66° UBC - 36° UAC - •' S 6 6 °; 2 - 2 - 78° • 2 - 8) ZAO B - /ЛОС 1 3 2 °, 7 2 °, 1 5 6 °: 1 3 2 °, ZBOC rtJ - 7 2 °, К — 1 5 6 ° ( я к ц е н т р а л ь н і к у т и ). s 1 2 0 . Д а н о : Д А В С — р ів н о б е д р е н и й , А В = ВС, < BC = u A B j - иАС 3 8 °. Зх, kjBC - Ьх, 7х, т о д і Зх + 5х + 7х = “ 1 5 х “ 3 6 0 °, ААВС. З найти: к ути X= и В С - 24° 1) Z A = Z C = 2 4 °, u A ß = 2 4 ° 5 - a (U 360, З = 72°, 1 2 0 °, 24° • 7 - uAC - 1 6 8 °; 2 ) К у т и т р и к у т н и к а A B C є вп и сан и м и , = і ■3 8 ° = 19° 2 ( я к в п и с а н і к у т и ); отж е Z A = i u B C 2 = i - 1 2 0 ° = 60 °: 2 2 ) Z S = 1 8 0 ° - (1 9 ° + 1 9 ° ) 180° - 38° - 1 4 2 °. 1 9 °, 1 9 °. 1 4 2 °. ZC = iu A ß 2 1 2 1 . Д ано: AB — хорда, иАпВ : иАтВ - 5 : 7 . Л 1 ) З н а й д ем о гр а д у с н у иАпВ - 5х, KjAmB - 7х, т о д і 6х + 7 х - 12х, 12х = 3 6 0 °, X - 3 0 °, Н ехай uA/nß - р а є т ь с я н а д іа м е т р Відповідь: З найти: 2 1 0 °: w w 1 5 0 ° = 7 5 °. Відповідь: 122. 2 1 0 ° = 1 0 5 °; 1 0 5 °, 7 5 °. Д ано: иМ пЛГ - 1 4 0 °, ^KN = -5 :6 . ZNM K. >uMmN = 3 6 0 ° - OMÄ- : З н ай ти : 1) - 140° - 2) 3) 5 X 1 3 1 °. го ю 2 1 3 1 °. 1 2 5 . Р и с . 25 . Д а н о : Z D M K ~ 5 3 °, 1) ZADB = 2 AB; 90° + 41° - 7 - 2) ZAB C = і 2 О 3 6 0 ° , 8 4 ° , 3 6 °. 5 • 3 0 ° ■ 1 5 0 °, ■ 30° Ю 1 2 4 . Р и с . 24. 1 ) ZACB - 9 0 ° , я к в п и с а н и й , я к и й с п и ­ 2) z ix :a - м ір у д у г . отж е и А п 5 - s X Q. = i - 7 2 ° = 3 6 °. 2 .4 bo ok .o Відповідь: Знай ти : Z A B C і ZADB. Z B = і и А С = - ■1 6 8 ° = 8 4 °; 2 2 s rg - Відповідь: w ё 1 ) З н а й д е м о г р а д у с н у м ір у д у г . Н ехай и А В - CD — д іа м е т р . ZCDK. 0 (U 1 T s y^KD - 5 3 ° 2 “ 1 0 6 °; < C M K - 1 8 0 ° - 1 0 6 ° - 7 4 °; j ZC D K — вписани й, ZC D K ro = і • 7 4 ° = 3 7 °. 2 Відповідь: X ‘з- (Si 3 7 °. ААВС — р ів н о б е д р е н и й , AB - ВС, Z B ~ 7 8 °. З н а й т и : и Л М , u M N , yjNC. 1 2 6 . Д ано: 5 Q. L О 2 2 0 °: Ш <иМК - 5ж, а U Z K N ~ 6х, 5х + 6 х - 2 2 0 , 1 1 * - 2 2 0 , х - 2 0 , 2) Н ехай тоді oJiTN 3) 20° /йЯ М К = - 6 - 1 2 0 °; вп и сан и й , 1 2 0 ° = 6 0 °. 2 Відповідь: 6 0 °. 123. 1 ) J30 “ О С - O A f - AMOB — ZB = Z M 2) O N - Д; р ів н о б е д р е н и й , 7 8 °. о т ж е , - (7 8 ° + 7 8 ° ) - Д ано: UAJ5 : и В С : u A C = 3 : 5 : 7 . отж е, З н ай ти : к ути Д АВ С. ц ентральний; uBM - 180° - ZM OB 156° - 2 4 °, о с к іл ь к и - 18 0 ° 2 4 °. ZBOM - l£D
  16. 16. 3 ) Z C = Z A = (1 8 0 ° - 7 8 °) : 2 = 1 0 2 ° : ANOC — р ів н о б е д р е н и й , ZC = Z N = 5 1 °, ZNOC = 1 8 0 ° - 5° • 2 : 2 = 5 1 °, = 180° - = 1 0 2 ° = 7 8 °, о т ж е u iV C = 7 8 °; 4 ) u M i V = 1 8 0 ° - (2 4 ° + 7 8 '’) = 1 8 0 ° - 1 0 2 ° = 7 8 °. Відповідь: 2 4 °, 7 8 °, 7 8 °. 127. Д ано: AABC, CD L A B , точки с і F — 1 ) u A B = u ß C = (3 6 0 ° - 1 2 8 ° ) : 2 = — = 2 3 2 ° : 2 = 1 1 6 °; 2) ZCAB ZABC = = I ■1 1 6 ° = 5 8 °; д іа м е т р г іл ь в о п р о т и л е ж н і. 3 ) Z A C B = I • 1 2 8 ° = 6 4 °. Д овести, щ о: AD Д овести, щ о: АС — д іа м е т р и . т о ч к и В, С і D — л е ж а т ь і 6 4 ° , 5 8 °, 5 8 °. Задача має два розв’ зки. 1 3 0 . 1) Н е мож на, оскільки Z C + Z A ■■ 180°, = а у н ас 3 3 ° -І- 1 3 7° = 1 7 0 °, 1 8 0 ° ^ 1 7 0°; 2) М о ж н а , о с к іл ь к и , Z B -І- Z X » = 69 ° + 11 1 ° = 1 8 0°. 131. н а о д н ій п р я м ій . -D .----------------- - С Д ано: Z A = 1 1 9 °, ZB AD = 8 4 °, .4 bo ok .o 1 2 8 . Д ано: Відповідь: rg E F II AB. о с к іл ь к и CD ± 1) ZCDB = ZEDB AB; 2 ) ZCEF — вписаний , я к и й оп и р ається н а д іа м е т р CF, ZC E F = 9 0 °; 3 ) М а є м о Z E D B = Z D E F = 9 0 °, о т ж е , AB і EF. II ВС. ZD . 1 )Z A + Z B = 1 8 0 °, ZC = 1 8 0 ° - 1 1 9 ° = Зн ай ти : Z C і ■ ‘В 6 1 °; ZD = ZD 2 ) Z ß -I- Z D = 1 8 0 °, = 9 6 °. 180° - 8 4 °= = 9 6 °. Відповідь: Z C ААВС — п р я м о к у т н і, о с к і л ь ­ ZABC — в п и с а н і і о п и р а ­ ю т ь с я н а д іа м е т р и , о т ж е , ZD B C — р о з ­ г о р н у т и й , а о т ж е , т о ч к и В, С і D л е ­ 1) AABD ZAB D і і w w ки ж а т ь н а о д н ій п р я м ій . I ABC. ZAOB — ц е н т р а л ь н и й , о т ж е , k AB = 1 2 8 °; j 2 ) A ß = ВС, о т ж е , і и В С = 1 2 8 °; = 128° : 2 = 64° 5 2 °. 5 2 °, 6 4 °. ІП = ZBAC ZD AC = 2 3 °, = 5 2 °. Знай ти : I I випадок: AB A C — д іа м е т р і д іа г о н а л ь , ( я к в п и с а н і к у т и ), Д ано: 1 2 0 ° , Z C = 1 4 0 °, Z D =■ 6 0 °. 1 3 4 . Д ано: ABCD — в п и с а н и й чотирикутник, = 3 6 0 ° - 2 5 6 ° = 1 0 4 °; 2 - М о ж н а , о с к іл ь к и ZB = 3 ) u A C = 360° - 128° • 2 = ZABC = 1 0 4 ° : Відповідь: 6 4 °, 2) 18ä: = 3 6 0 ° , д: = 2 0 , Z A = 4 0 ° , 1) ZACB ZA -Н Z C = Z D + Ьіі + ЬкФЧН + 4А; 1 ) Н е х а й Z A = 2х, Z B = б л , Ix , т о д і 2 x + 6л: + 7jc -Ь Z D ■= 360°, 2x + Тх = 6x + Z D , 9ж - бзс = Z D , Z D = 3x 2) М а е м о 2x + 6x + 7x + 3x = 3 6 0 ° , • Зн ай ти : к ути ■= + Z C = 1 8 0 °, у н а с ZC = / трикутника ZBAC 5, 7, 8 , 4 , т о н е м о ж н а , о с к і л ь к и у в п и ­ сан ом у чоти р и к утн и к у 133. ААВС, AB = ВС, ZAOB = 1 2 8 °. Д ано: 4) = 6 1 °, 1 ) Я к щ о к у т и п р о п о р ц ій н і ч и с л а м 3Ä -І- 8Ä = 5ft + 6fe = l i f t . І випадок: w 129. 132. ВС, ZAOB = 1 2 8 °. З н ай ти : к у т и тр и к утн и к а . 1) ZAFD . ZBAC 5 2 °, < DC = j О с к іл ь к и ZDAC = = 2 3 °, т о u ß C - 4 6 °, 1 0 4 °,
  17. 17. J гв со 1 ) Н а д о в іл ь н о м у п р о м е н і в ід к л а д е м о 7 р ів н и х в ід р із к ів ; 2) К ін е ц ь 7 -го в ід р із к у с п о л у ч а є м о з к ін ­ ц е м в ід р із к а , і п р о в о д и м о п р я м і, | А ^ ; = 1 0 4 ° + 4 6 ° = 1 5 0 °; 2 ) u A B = 1 8 0 ° - 4 6 ° = 1 3 4 °, = 1 3 4 ° : 2 = 6 7 °; 3 ) Ä A F X ), - ZA FD = 1 8 0 ° - (6 7 ° + 5 2 °) 3 ) В ід р із к и A B j = ß j-B j ~ ” = B , B j = B j,B , = В , В — р ів н і ( з а т е о р е ­ м о ю Ф а л е с а ). 180° - 119° = 6 1 ' Відповідь: 6 1 °. 1 3 5 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , A jf^ AB = CD, /CKD = ZAKB = 3 6 °. 1 3 9 . Р и с . 26. Д а и о : ABCD — п а р а лело гр а м , M i N — середини • ------- Знайти: п оло ж ен н я ц ен тр а к о л а , оп и сан ого н а в к о ло тр а п ец ії. 1 ) Z.CKD = 3 6 °. г А К О = 1 8 0 ° - 3 6 ° = 1 4 4 °; 2 ) П Ш ) = Z K D A = (1 8 0 ° - 1 4 4 °) : 2 = 1 8 °; гл и в AB і CD ZCAD 3 ) О тж е, = а д уги 4) = 1 8 °, Ц ен тр к о ла ле ж и т ь н а середині ___________________ с т о р ін ВС і A D . ^ N Д о в е с т и , щ о : АЕ = E F = FC. 1 ) /ШСР = &NAE, о с к іл ь к и D ZM C F = Z N A E , Z C A f F = ZA N E і M C = АЛГ (з а у м о в о ю ), о т ж е , АЕ = FC-, 2) B M D N — п а р а л е л о г р а м , о с к іл ь к и В С = 7 см , Л 9 см . rg 1 4 0 . Д а н о : А А , 1 Z, А А , = 5 с м , В В , X І, В В , = 9 с м , А С = В С . З н а й т и : С С ,. ^ f ^ ok .o 13 6. Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , ’ О В т р а п е ц ію м о ж н а д* З н ай ти : bo в п и сати к о л о . _____ Ы - б а б у л о д ов ести . б іл ь ш о ї осн ови . AD - В В М II N D , В М = N D ; 3 ) M F II BE, о т ж е CF - F E ( з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ). М а є м о CF = А Е ■ EF, щ о й т р е ­ р ів н і п о 3 6 °; О с к і л ь к и в т р а п е ц ію м о ж н а в п и с а т и + A D = AB + CD, + 9 ) = 3 2 ( c m ). Відповідь: 3 2 ом . 1 3 7 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія , А Л : = 8 см . З н ай ти : .4 ВС w к о ло, то Р = 2 (7 w I AADB ВС. А 8 w г 2) N 8 D т о A D + В С = A B + СХ) = 6 0 : 2 = ЗО (с м ); AK = AN = 8 D M = DN = 8 з а в л а с т и в іс т ю д о т и ч н и х , п р о в е д е н и х з о д н іє ї т о ч к и . A D = 16 (с м ); 3 ) В С = ЗО - 16 = 14 (с м ). Відповідь: 138. 14 с м . Д ано: а— в ід р із о к п о д іл и т и н а 7 р ів н и х частив. В. В. В. В, Д. В. В А^К = АА, сер едн я л ін ія ; У8 1 ) О с к іл ь к и в т р а п е ц ію в п и с а н е к о л о , 2) 1) = 5 см . Ч оти р и к утн и к A^B^BK — п р я м о к у т н а т р а п е ц ія , C ,F E i C^F = А^К = C F = b тоді СС, = 7 - 5 Відповідь: 9+5 —-— = 7 (с м ); CM, = 2 (с м ). 2 см . „ 1 4 1 . Д а н о : &АВС — п рям окутн ий , А С = ВС, A B = 12 CM, к M F ХАВ, М — середина А С . Знай ти : M F. С М 1 ) М К 1 А С , о т ж е , М К II В С , о т ж е A K = = B K = 12 : 2 = 6 ( с м ) ( з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ); 2 ) &АМК — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е ни й , A M = М К , ZA = 4 5 °, A F = K F = 6 : 2 ~ З (с м ) , tiA M F — п р я м о к у т н и й і р ів н о б е д р е н и й , A F = M F = З (с м ). Відповідь: З см .
  18. 18. 142. Д а н о : ABCD BE, E F II CD. AE = fO EF Д овести, щ о; — т р а п е ц ія , = N N , — с е р е д н я л і н і я т р а п е ц ії. 2х = М аєм о —CD. С Зх = 12, х = F П роведем о ß ß i EF В, II 145. D CD, F — середина с т о р о н и A B , (з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ) , о т ­ ж е, EF л ін ія рам . = EF = II ß ß , і ^ßßi (я к с е р е д н я ААВВ^), а л е BCDB^ — п а р а л е л о г ­ ВС II ß j D , ß ß , I CD, о т ж е , ß ß , = CD, EF = м аєм о X + 12 , 4 (с м ). 4, М М , — CD, 4 с м , 8 см . ABCD Д ано: — т р а п е ц ія , M N — середня о д е р ж а л и Л А В В ,. II ß ß j , о т ж е , т о ч к а 4х = N N , = 4 - 2 = 8 (с м ). Відповідь: А х + 12 В С В,_________ _ С л і н і я , MJC = 8 см , N ä : = 15 CM. Знай ти : В С і A D . А ß 1 ) M N II В С і M X II A D , X — с е р е д и н а A C (з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ); 2) Р озглян ем о ДАВС, МК — середн я л і н і я , о т ж е , В С = 2 • 8 = 16 (с м ); щ о й треба AACD, K N 3) Р озглян ем о — середн я б у л о довести. л і н і я , A D = 2 • 15 = ЗО (с м ) . 143. Відповідь: 16 с м , ЗО см . rg ABCD — т р а п е ц ія , AD = 10 с м , A M = M N ^ N F = FB, AD. MM Д ано: 146. Д ано: ABCD M N — середня NK - М К oo k. o ß C = 6 CM, — т р а п е ц ія , л ін ія , M N = 1 5 см , ß = З см . __________ j ; Знай ти : В С і A D . wN D 1 ) О с к іл ь к и M N II В С і M N ЦA D , т о ч к а А NN^ — D .4 b 1) с е р е д н я л і н і я т р а п е ц ії = 8 (CM): w ABCD, NN^ = 2 ) Р о з г л я н е м о т р а п е ц ію NBCN^ □С w w F F , — середн я л ін ія . 3 ) Р о з г л я н е м о т р а п е ц ію A / V N jZ ): 8 -П О = 9 (с м ). М — с е р е д и н а A B , т о т о ч к а ЛГ — с е р е ­ д и н а А С ( з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ); 2 ) Н е х а й M JC = X с м , т о д і X N = л: -І- З, + X + З = 1 5 , 2х = 1 2 , М К = 6 см , N J f = 9 см ; 3 ) ABAC, М К — с е р е д н я л і н і я , м аєм о X ВС = 6 4) 2 = 12 (с м ); AACD, K N AD = 9 — середня л ін ія , 2 = 18 (с м ). Відповідь: 147. 12 с м , 18 с м . Д ано: В С = 8 см , ABCD AD — т р а п е ц ія , = 12 см , M N — се р е д н я л і н і я , ß — Відповідь: 144. 7 с м , 8 с м , 9 см . Д ано: MC, О с к іл ь к и B N = N M = -----------------= M C , то і C M , ^ N, М, = M , N , = N , A (з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ). Н е х а й М М , = X , т о д і N N , = 2 j:, ф іг у р а .С A M M fi А D 1 ) Т о ч к а F є с е р е д и н о ю А С (з а т е о р е ­ м о ю Ф а л е с а ), M F — се р е д н я л ін ія ДВАС, M F = і - 8 З н а й т и : M M , , N W ,. ^ — FK. ААВС, A B = 12 с м , BN = N M = N N , II Aß, М М , II Aß. Знай ти : а: = 6, — т р а п е ц ія . = 4 (с м ); 2 ) F N — середн я л ін ія FN = і - 12 = 6 AACD, (с м ); 3 ) M F = N Ü l = 4 (с м ), о т ж е , j f F = 6 - 4 = 2 (CM). Відповідь: 2 см .
  19. 19. ¥ 1 4 8 . Д а н о : ABCD — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія , M N — с е р е д н я л і н і я , D E ‘ = 64, D E = Відповідь: 8 см . M F ^ 7 CM, F N = 9 с м , BD і CA — б іс е к т р и с и к у т ів 152. Р и с . 31 . Д ано: &АВС; DC-. В і С. Зн ай ти : BD = 8 (cm ). A F : f Z ) = 8 : 3. З найти: A E : 1) F — с е р е д и н а А С (з а т е о р е м о ю Ф а л е с а ), ЛАВС, M F — с е р е д н я л і н і я , 7 = 14 (с м ): 3 ) Z A B D = ZC B D , о с к іл ь к и B D — б і ­ с е к т р и с а ZB , Z C B D = ZA D B (я к в н у т ­ паралельних п р я м и х ВС і A D і с іч н ій B D ). О т ж е , ^B AD — ОС м аєм о— 6 8 (с м ). 0D А = - ; Р и с . 29 . Д а н о : і ßj C, = m Ц 5 CM, ; З н а й т и : A B , і BD. - ~ ; Ц п, A B = 4 с м , Cj ß, = 6 CM. w AB, AB 8 6 B C = 40, б' BC = — , 10. 6 ^ 6 1) П роведем о 20 BD 2 = 14З 1 5 1 . Р и с . з о . Д а н о : с | d, A D | D,£, = 16 с м , D E “ A Dj. З н а й т и : DE. AD, DE AD 16 І а 5BF : см . =■ 4 с м , 4FD-, FD = - BF; 4 2) CD Ix DF ■ f-> -X CK KE 5 5 ■ З найти: B M . BD = BC + C D = — + 8 = 1 D^E^ ’ DE = і 5 FD EF A M : MK-, B M :F M = 2 : U B M ^ і 2 = 8 ( c m ). Відповідь: 8 см . 3 ’ 3 2 2 = 6 - + 8 = 1 4 - ( c m ), 3 3 1 Відповідь: AB, = 3 - с м ; ^ 3 СК : КЕ. 1 5 4 . Д ано: A B = BC; B F і A K — м е д іа н и ; M F = А CM. 3 DE в ід н о ш е н н я CK KE w :Ё £ = 1 . ВС on 3) BE : ЕА 4 BD - . D C ^ b - . l . 4 w BjC i Г.ЗВС = 2 0 , 5 Р и с . 32 . м а є м о ----- *- = ------ ; ^ ^ В ^ CD C i£ »i’ 2) а б о А Б : £ С = 4 : 3. OD 1) З а в л а с т и в іс т ю п р о п о р ц ій н и х . . . . в ід р із к ів , ' D K II BE, о т ж е , о с к і л ь к и BD = DC, го і Е К ^ КС. Е К = Зх, т о д і ЕС = 6х. 3 ) М а є м о А Е : ЕС = 8 : 6, 2) BE АЕ 6 см . 8 CM, Ь З н ай ти : OD, O D = 6 (с м ). Відповідь: 150. і- C D = - 18 -і- 18 .4 86 = 6 FD Д ано: Р и с . 28. З а в л а с т и в іс т ю п р о п ор ц ій - . . . них в ід р ізк ів , АЕ 153. р ів н о б е д р е н и й , 18 (с м ); 4) - 18 + 14 + Відповідь: 6 8 см . 149 . т о д і за в л а с т и в іс т ю п р о п о р ц ій н и х в ід р із к ів JJ 3P R F А м аєм о ^ =— а 5BF = 4FD; bo ok . AS = AD - FE, 4 9 = 18 (с м ); р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и К С I FD = - B F ; 2 ) t^ C D , F N — с е р е д н я л і н і я , АГ» = 2 DK or g ВС = 2 EC. 1) П роведем о 1 5 5 . Д а н о : A B = ВС, M F 1 A C , M F = 6 см , A N , C M — м е д іа н и . З н а й т и : О О ,. 1) ДАВО , — прям о­ кутний; MF — серед­ н я л ін ія , т о д і ВО, = 6 2 = 12 (с м ). А CD DF’
  20. 20. 2 ) B O , : O O , = 2 : 1; * O O , = (1 2 ; 3 ) : 1 = 4 ( c m ) I p s a: Відповідь: 156. BD — 4 см . a <u і 8 см , ВС АС Відповідь: = 14 с м , 158. . А = 11 с м . (U s X Q AD A D = x; DC DC’ X _______ ; 126; см ; 7 ,5 см . 1 0 ,5 Д а н о : Д А В С ; А С = 1 3 ом , В С = 1 8 с м , A B = 2 1 CM. D Знай ти : А О і ОС. З а в л а с т и в іс т ю б іс е к т р и с и к у т а AB ВС 126; 1 2 * = 126 21 , x = — = y = 1 0 ,5 (C M ). DC, Зн ай ти : якщ о 7 • (18 - X ); 5 5x + 7 x = 1) Д ано: ДАВС; б іс е к т р и с а . AD AB ■= 7 _ = — ; 5x 1 8 -1 11 - x; 14x; 8 ■ (1 1 - Л ) = 14 “ 1 1 - x - x ) = Ix-, 4 (1 1 4 4 - 4at = Ю О 3 Відповідь: Ix ; H x = 44; ж = 4. М а є м о : — = -----3 x + 3 ta ca 2 X ■ 5 о 0» X ВС ос — 13 - JC , 21 х 18 ’ 18 6 л + 7ж = 7 АО “ 7 1 3 -J C 6 7х; З - 1 3 ; ІЗ д: = 7 1 3 ; * = 7; 7 ( c m ), о с = 6 (с м ). Відповідь: 159. 7 см , 6 см . Р и с . 3 3 . Д а н о : Д А В С - Д А ,В ,С ,. З н а й т и : н е в ід о м і с т о р о н и ц и х т р и к у т ­ З н ай ти : A B , В С , A C . а ) A C =• 9 + 15 = 2 4 (с м ). н и к ів . б ) Н ех а й A B = а см ; В С = 56 - а ; а ) Я к щ о т р и к у т н и к и п о д іб н і, т о а DC' ВС 5а - 3 8а = 3 _■ 9 ■ 56- а w ,0J AB ОС 6 х = 7• (1 3 - х ) ; б х = 7 а 3. (5 6 - а ) : 5а + З а = 3 ВС AB 5 ’ 15’ 56- а А ,В , ВС 5 6 ; а = 2 1 ; A B = 21 с м , АС _ В ,С , 56; w S 1 3 -ї 3 ) Д а н о : A B + В С = 56 см , A D = 9 см , D C ~ 15 с м . АО отж е м аєм о 2x + 6 = 3x; л: = 6 ; С Х » = 6 + 3 = 9 (с м ); jr (O X + 3. A C = 6 + 9 = 15 (с м ). В ід п о в ід ь : 15 с м . ВО; Н е х а й А О ■ де, т о д і w X X кута rg CD - A D = 3 CM. З н а й т и : AC. A D = X, т о д і CD = 2 X К Ц е н т р п ів к о л а л е ж и т ь н а б іс е к т р и с і 4 с м , 7 см . 2 ) Д а н о : A ß : В С = 2 : 3; .4 bo ok .o m 12 1Р = 16 (с м ) ; у ВС. 8 A jC ,’ 6 АС = ^ ; А С = 18 (с м ). В С = 56 - 21 = 35 (с м ). Відповідь: о AB - Відповідь: AB 21 с м , 3 5 с м , 2 4 с м . 1 57. Д ано: ДАВС; ADEF — ром б; С б ) 1) 21 с м , 48 “ В С = 18 с м , BE 2) і ЕС. А О с к іл ь к и ADEF F АЕ — ром б, то В — д іа г о н а л ь р о м б а є і б іс е к т р и с о ю Z A , . BE EC CM EC 18 - АС А ,В , AB AC X. М аєм о: 12 6 А іС , ’ А ,В , 8 ’ 1 2 А ,В ,; А , В , = 4 (с м ). ВС А С = 15 с м . Знай ти : 16 с м , 18 с м . АС . В ,С , А Л ’ 8 В С = 12 Відповідь: ВС 160. 8 ’ 6 6 ; В С = 9 (с м ). Д ано; = 9 см , SABC А^В^ = 4 см . - Д А ,В ,С ,; A B : А С : В С = 7 : 6: 3. З н а й т и : А , В , , А , С , , В ,С ,. - 18-X = Я1. 15’ 1) ід д ^ д сі= ® о с к іл ь к и Д А В С - т о А ,В , :А ,С , :В ,С , = 7 : 6 : 3 .
  21. 21. I ^ аавс _ ^ДА,В,С, Н е х а й A , ß , = д:, т о д і A B = — л:. э "с л . Нехай А ,В , = тоді ІХ-, Л,С , = 6л:; В,С, = Зх, ї х + &х + Зх = 8 ; 1 6 х = 8; ж = 0 ,5 ; A ,В , - 0 ,5 0 ,5 оА 3 - 2 ) Н е х а й A B = 3ft, A C = 7ft, В С = 8ft, 1 ,5 (с м ). 2 ) В ,С , = 6 с м ; В ,С , = 3ft, т о д і ft = 2; 7 = 14 (с м ); Л ,С , = 2 6 = 12 (с м ). т о д і A C = — -7 = 4 9 ( c m ); 3 3 )А ,В , = 2 8 ; 7ft = 2 8 ; ft = 4; = 4 6 = 24 (с м ); В ,С , = 4 • 3 - 4) А , В , 3 ) О ск іль к и Д АВ С - ДА,В|С,, то і сторони - В ,С , = 2 0 с м ; А , В , = 7ft; * = 5; A j B , = 5 • 7 B ,C , = 5 161. 35 ( c m ); 6 = 3 0 ( c m ); 3 » 15 ( c m ). Д а н о : Д А В С - Д А ,В , С ,; A C : A B : В С -= 4 : 6 : 7. З н а й т и : А , С ,, В , С ,. А ,В , : А ,С , :В ,С , = 3 : 7 : 8 . А , В , = З * , А ^ С , = 7ft, В ,С , Н ехай = 8ft, 15 т о д і A jC ] = — • 7 = 35 ( c m ); З .4 bo ok .o 5 С т о р о н и Д А В С д о р ів н ю ю т ь 21 с м , 4 9 CM, 56 CM. 12 (с м ). B jC j = 3ft, т о д і 7ft - 3ft =• 2 0 ; 4ft = 2 0 ; іЦ С , - 8 = 56 ( c m ). BC = ^ 3 rg Л ,В , - 2 7 = 1 5 ( с м ) ; А В = - 1 5 = 2 1 (с м ). 5 12 6 = 3 (с м ); B ,С , = 0 ,5 к x = 7 = 3 ,5 (с м ); Л ,С , - 7 7 М а е м о д: + - а: = 36 ; х + - jc = 36; 5 5 8 = 4 0 ( c m ). ВС = — З С т о р о н и ДА^В^С, д о р ів н ю ю т ь 15 см , 35 см , 40 см . В 163. Р и с . 34 . BD | СЕ, о т ж е , | Д ано: АСАЕ - ABAD ( з а п е р ш о ю о з н а к о ю ). АС w 1) 1) О с к іл ь к и Д А В С - ДА,В,С|, то і сторони w т р и к у т н и к а A A jB jC j в ід н о с я т ь с я я к 4 :6 :7 . w 2 ) Н е х а й с т о р о н а А , В , = 4ft, А , В , = 6Ä , С ,В , * - 3; А , С, = З С ,В , = З Відповідь: 7 - 7Л, т о д і 6ft = 18; 4 = 12 (с м ); 21 (с м ). 12 с м , 21 см . 3) AB СЕ BD АЕ AD АС AB BD СЕ ;4 ) AB АС AB :2 ) AD АЕ’ АР DE' 1 6 4 . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; A D = 12 см , АЕ = 15 с м , В £ = 5 см . Знай ти : В С . AAED і &ВЕС, в о н и ВС IIA D і в ід т и н а є AAED т р и к у т н и к АВЕС ~ AAED. 1 6 2 . Д а н о : Д А В С - Д А ,В ,С ,; 1) Р о зглян ем о ^алвс • -^д>цв,с, = 7 : 5 ; AB + = 36 ( c m ); AB . AC : ВС г : 7 : 8. п о д іб н і, о с к і л ь к и З н а й т и : A B , A C , В С , А , В , , А , С , , В ,С .. 2) в ід AD АЕ^ BE ВС В ВС = 12 5 12 _ I j ВС 5 ’ 4 (с м ). 15 Відповідь: 165. ' А I ) О с к іл ь к и С &АВС ~ АГ A A jB jC ,, 4 см . Д ано: ABCD — т р а п е ц ія ; A F = 10 с м , В С : A D = 2 : 5. Знай ти : A B . ВС ЦA D ,
  22. 22. 3 6 * = 12 • (4 - 5 Ä ); ЗЛ = 4 8* - 5 *; 4 ; Ä = 0 ,5 . 2 ) M TV - 0 ,5 5 “ 2 .5 (с м ) ; N F = 0 ,5 9 - 4 ,5 ( c m ) . ГО Відповідь: 4 ,5 с м ; 2 ,5 см . О С 1 6 9 . а ) Д А В £ - ä C D £ (з а п е р т о ю о з ­ н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). В н и х &AFD A jF = 10 C M , — = iC s о с к іл ь к и BF ВС = X, тоді AB - = 1 0 - 4 Відповідь: 6 с м . 168. BF AE’ AD 5 тоді |AD, | BC 5 x - 2 0 ; ;t - 4 ( c m ) ; 10 ГО ABFC, - BF = 4 CM , - 6 (с м ). Д а н о : AABC; A D E F — п а р а л е л о г р а м ; A B = 16 с м , A D = 12 C M , D E - S c m . о З н а й т и : AC. 1 ) О с к іл ь к и A D £ F — п а р а л е л о г р а м , т о BD 16 - AC DE’ 12 - 4 ( c m ) ; О С A C = 20 ( c m ) . го m 2 167. Д ано: ДАВС: А К РЕ — ром б; X X Відповідь: AB - З см . a. tl] S О отж е, озн а­ 170. 4 5 н и х Z C — с п іл ь н и й , у м о в о ю ). Д а н о : Д А В С і АА^В^С^ — р ів н о б ед - р е н і; A B - В С ; А , В , - В ,С ,; ZB = Z B ,. Д о в е с т и : Д Л В С - Д А ,В ,С ,. ß В. 16- А ААВС С а; С, — р ів н о б е д р е н и й , о т ж е к у т и п р и о с н о в і р ів н і, /Л - ZC - (1 8 0 " - ZB) : 2. 2 ) Д А ,В ,С , — р ів н о б е д р е н и й , w А К -К Р -Р Е ^ А Е , о т ж е к у т и п р и о с н о в і р ів н і, ZA, - ZC, - (1 8 0 ’ - Z B , ) : 2. 3 ) М а є м о , щ о в т р и к у т н и к а х р ів н і в ід п о в ід н і к у т и , о т ж е , в о н и п о д іб н і т о б т о с т о р о н у р о м ба . з а п е р ш о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і 1 ) О с к іл ь к и Д А С В - Д £ С Р , о с к і л ь к и т р и к у т н и к ів . w w oc Знайти: с п іл ь ­ п о д іб н і з а п е р ш о ю ABDC, в ZABC - ZB D C ( з а 1) 20 см . 6 см , AC - AC .4 b X ■=r 0 (U 1 T s K ro S diBED - ABAC, в н и х /.В — ZB EC = ZBAC ( з а у м о в о ю ), С кладаєм о 16 AC- ZDEC - ний. oo k. o BC - ADBE. AB п р о п о р ц ію б) в) ДАВС - тоді ДАВС - гіВЕА к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів . Р и с . 38 . DE II A C , Z C ( з а у м о в о ю ), а ( я к в е р т и к а л ь н і). трикутники g 3 ZA ' rg с; m Q (U / !А : г В X З н а й т и : ч и п о д іб н і т р и к у т н и к а ? Р Е II A B , я к с т о р о н и р о м б а , т о д і KP СК АВ~ СА' 2 ) Н е х а й Р Е = X , СЕ - З - X , м а є м о : 3 - х Зж = 18 - 6 * ; 9х - 18 ; 6 З ж = 2 (с м ); с т о р о н а р о м б а 2 с м . 168. Д а н о : Д А В С і Д А ,В ,С ,; : Z C = З : 5 : 7. Z B , н а 2 4 ' б іл ь ш е , н іж Z A , і н а 2 4 ' м е н ш е , н іж Z C ,. В Д ано: ДАВС; АС - 171. 12 с м ; B D 1AC ; B D - 4 см ; M N FK — п р я м о к у т н и к ; M N : N F - 5 : 9. Зн ай ти : M N і W . ^ 1 ) Д А В С ~ ANBF, о с к іл ь к и N F ЦА С . Н е х а й M N - 5Ä, N F - 9 k , B O - 4 ~ 5 * ; S ^ ^ В О . 9k AC 12 " BD ’ 4 - 5 fc . 4 ’ 1 ) З н айдем о к у т и ДАВС. Н ехай г А - 3k, Z B т о д і З * + 5ft + r ft ft - 12; Z A - - 5fc, Z C - 180; 1 5 * - 3 6 ', Z B - 6 0 ', Ik, 180; ZC ~ 8 4 '. 2 ) З н а й д е м о к у т и Д А ,В , С ,. Н е х а й Z B , ~ х ’ , т о д і Z A , = л: - 2 4 , а ZC, - X 24 .
  23. 23. х + х - 2 4 + х + 2 4 ‘^ М аем о: Зх 180; А О = 9 CM, ВС = 180; X = 60’ ; Z B , = 60‘ ; / Л , = 60" - 24- - ZC, 36-; = 6 см . Знайти: A D . = 60" + 24" = 8 4 ‘ . А 3 ) М а е м о , щ о в т р и к у т н и к а х в ід п о в ід н і к у т и р ів н і, о т ж е , ЛАВС ~ АА^В^С^ (з а AAOD (о с к іл ь к и в е р т и к а л ь н і), ZBCO 1) д в о е - D ZAOD ZDAO ( я к ZBO C “ п е р ш о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и ­ як к ів ). в н у т р іш н і р із н о с т о р о н н і п р и п а р а л е л ь ­ них прямих 172. Р и с . 37 . І Д о в е с т и : ААВЕ ~ ACBF. ABCD — п а р а л е л о г р а м , 1 ) О с к іл ь к и /А = (я к п р о т и л е ж н і к у т и п а р а л е вони ВС AD ААВЕ - ACBF (з а п е р ш о ю оз н а - І к о ю п о д іб н о с т і). ABCD — п а р а лело гр а м , ■ ЗО с м , 2 0 CM. Ь D кути .р а л е л о г р а м а . Р о з г л я н е м о < • (2 8 - X) см ; X 2 8 -х ’ Q. (2 8 - л ) = 1 0 ,8 х ; 2 8 - jc = 1,8л:; 2,8х; х = 10; ВО = 10 сэд; v5 , л 0 £ ) = 2 8 - 10 = 18 (с м ). = 1 0 ,8 с м ; 10 с м , 18 с м . X (О со І) У п о д іб н и х т р и к у т н и к ів в ід п о в ід н і 10 см . 70 Ь і: ± D C ; .4 = 1 0 (с м ). ABCD - п а р а л е л о г р а м ; см ; В __________________,С _____________ С В Д ано: • «с о 15 ЗО ВДГ = 4 с м ; ■1AD ; w 174. 20 ВК = , w 20 ВК дповідь: BE ВК’ w ^ «0 А F D 2 (AB + ВС) = 7 0 ; A B + В С = 35 ; ВС. AABF - АСВК (з а п е р ш о ю о з н а к о ю = 35 - ;іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). ВС ВК' 35-В С ВС MN = 2 , і BC + A D ß C -I- A D = 7 2 = 14 ( c m ). ВС ^ X ABOC - ADOA 2) Н ехай CM, A D - 3) (з а п ер ш ою озн ак ою 14 - * . п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). AD ВС' АО М аєм о ОС 2х; Ь 2 177. т го 1 4 -1 X 7д: = 2 8 ; л - В С = 4 с м , A D = 14 - 4 “ [ти: с т о р о н и п а р а л е л о г р а м а . аєм о 1) 5л: = 28 - ___________________ Віі’ ^ З с м . О 3 ААВК п е р ш о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і. .. . ВС AB m 1 7 6 . Д а н о : ABCD — т р а п е ц ія ; ВС ||AD; А О : О С - 5 : 2; M N — с е р е д н я л і н і я ; M N = 7 см . З н а й т и : ВС і AD. — в о н и п р я м о к у т н і, п о д іб н і ір о н и п р о п о р ц ій н і s S X 1 0 ,8 Q. (U ’ 1 0 ,8 (с м ). OD R _ 6 5 “ bo ok . а й т и ; BK. А К Z A = ZC я к п р о т и л е ж н і ACBF ВО OD’ Відповідь: AD ± CD, a d <J T or g Д ано: 6 28 = І = 15 см , '= ВС ’ 3 ) Н ех а й В О = ж см , . 2) Р о з г л я н е м о Д А В Е і &CBF — IB J? і с іч н ій А С ) . 9 СО bAD ^ 54; AD ^ f п р я м о к у т н і. В н и х г о с т р і к у т и р ів н і, І1 7 3 . AD і 2 ) М аем о то ї л о г р а м а ). 'о т ж е , ВС = ' 4 (с м ); 10 (с м ). Д ано: ДАВС; A B = З см , А С = 6 см , ZAB D ZBCA. A D і CD. Д А С В - AABD = Знай ти : 1) ^ З. (з а п е р ш о ю о з н а к о ю 4 ’ п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). 10 - 4 В С = З В С ; 7 В С = 1 4 0 ; Q - 2 0 (с м ); A B - дповідь: 175. - 3 5 - 2 0 = 15 (с м ). 2 0 с м , 15 с м . AB AD » АС' Z 6А2)-3.3; 1 ,5 (с м ). Д ано: 2 ) Х)С = 6 = 1 ,5 - 28 Відповідь: ABCD — т р а п е ц ія ; с м , СО ” 5 CM, б> 4 ,5 (с м ). 1 ,5 с м ; 4 ,5 с м . кП
  24. 24. 1 8 2 . Р и с . 39 . Р о з г л я н е м о AABC і Д А ,В , С ,, 1 7 8 . Д ано: М £ - 4 см , р го в них Е К = 3 см , РЕ = 2 с м . З н а й т и : EF. 47’,AB ^ 15 12 с м . С к л а д е м о в ід н о ш е н н я : AB _ 15 З . А ,В , 1) Р о згл я н е м о А М ЕР і AFEK. ВС 18 З В іС , 10 2 ’ 12 2' Ц і триО тж е, к у т н и к и п о д іб н і, ОСКІЛЬКИ як в п и с а н і, = j LK я к і оп и раю ться на одну А М Е Р - AFEK и ту ж д у гу , отж е, (з а п е р ш о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і). 2 ) М а є м о п р о п о р ц ію 12; ME А іВ і і к у т м іж н и м и р ів н и й . О т ж е , Д А В С - Д А ,В ,С , (з а д р у г о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). РЕ FE КЕ E F = 6 (с м ). 1 8 3 . Д ано: і Д А ,В ,С ,. AB А,Щ зо „ ВС . = ^ = 6; 5 В ,С , 7 ■ АС rg 1 7 9 . Д ано: А іС , =? - • ok .o В ід н о ш е н н я р ів н і, о т ж е , Д А В С - Д А ,В ,С , (з а третьою озн акою п о д іб н о с т і три­ к у т н и к ів ). D M в 2 p. CM . D M і CM. ААМС ~ ABM D (з а б іл ь ш е bo перш ою озн ак ою AM DM ■X, т о д і D M л CM ВМ = 2х, , = 3,5 ; A jC j Z A = Z A ,: = 3 .5 ; A jB , ВС + В , С , = 18. З н ай ти : В С і ß ,C ,. В .4 п о д іб н о с т і), о т ж е . CM АС 1 8 3 . Д а н о : Д А В С і Д А ,В ,С ,: З н ай ти : w 9 = д:*: і == 3 ; C M = З с м . 6 CM. З с м , 6 см . w тоді DM = Відповідь: Л 1 8 0 . Р и с . 38 . C A . w 1 ) Д А В С - Д А ,В ,С , (з а д р у г о ю о з н а к о ю ); А К = 4 см , А Е = 8 см . AF. АК^ = А Е ■A F; 16 = 8 ■AF; A F = 2 (с м ). Відповідь: 2 с м . Л Д ано: Знайти: О ААВС П е р е в ір и м о в ід н о ш е н н я в ід п о в ід н и х см . AB і CD — х о р д и , A M = 2 см , M B = 9 см , 2 J C — = 2х 9 ^ . М аєм о, щ о 2 В .С , в т р и к у т н и к а х с т о р о н и п р о п о р ц ій н і с т о р ін Відповідь: E F = 6 Н ехай см , 18 с м , А , В , = 10 см , В ,С , - к с: м (U ZB - ZB, = ВС = - ^ = 3 ,5 ; В С “ Г> /1 ’ * 2 ) М аєм о В С 3 ,5 В ,С .. » 1 1 + В ,С , = В ,С , = 1 8 ; 4 , 5 В ,С , “ 1 8 1 . Д ано: В С = 14 с м . М А — дотична, M C — с іч н а , ВС = 5 с м , С A M = 6 CM. З н а й т и : M B. 1 ) Н е х а й M B = X CM, т о д і M C М аєм о A M * = M C • M B; Відповідь: 1 8 ; 3 . 5 В ,С , + 1 8 ; В ,С , = 4 (с м ); 3 6 = (x: + 5 ) • i cm ; x^ = 4 , Відповідь: 4 с м . отж е jc, = - 9 ; + 5x - MB 14 с м і 4 см . 1 8 4 . Д ано: = 16 с м , ААВС; AB А С = 20 см , AD =■ x + 5. 36 = 0; = 4 (с м ). = 12 см , АЕ - 15 с м . З н а й т и : ч и п о д іб н і ДАВС і AADE? 1) Р озглян ем о AABC і в н и х Z A — с п іл ь н и й . AADF,
  25. 25. 2 ) П е р е в ір и м о п р о п о р ц ій н іс т ь с т о р ін . AD АС АЕ = /^С — с п іл ь н и й ; AB 12 4. AD З’ ЛС АЕ з ’ DC = 20 4 „ = — = — . О т ж е , в т р и к у т н и к а х сто15 З , р о н и п р о п о р ц ій н і, а т о м у в о н и п о д іб н і І з а д р у г о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т - # в и к ів ААВС - &ADE. 1 185. о з н а к о ю п о д іб н о с т і, о с к іл ь к и AB ВС АС А В і АСі А ,с , 186. ЬАВС Р и с . 41. і AD AADC 27 187. 9 см і 6 1 • н е п о д іб н і, о с к іл ь к и 9 ’ Cß 12 з ’ 9 ’‘ з ’ Д а н о: 1 ) 5 см , 8 см , 15 с м , 2 5 с м , 2 7 с м . 8 9 1 15 “ 24 ~ 2 7 “ з ’ 6АВС - A A j ß jC , (з а т р е т ь о ю о з н а к о ю п о д іб н о с т і т р и к у т н и к ів ). 2) 2 с м , 5 с м , 6 с м і 8 с м , 18 с м , 2 0 см . ^ С ІД А .В .С , з п о д іб н і. = 25 см ; w 1 8 8 . Д а н о : ААВС і AA^Bfi^; ■ ВС : АС = 5 : 7 : 9; А,В^ . :,С, = 3 5 с м ; А , С , = 4 5 с м . В w [а й т и : ч и п о д іб н і т р и к у т н и к и ? А С Л, С, ! ш а д е м о в ід н о ш е н н я с т о р ін 2 5 : 3 5 : 4 5 = 5 : 7 : 9 , о т ж е Д А В С - Д А ,В ,С , (з а п о д іб н о с т і т р и к у т ір е т ь о ю :к ів ). с 189. Д ано: ДАВС; 4С — 5 см , ВС = 6 с м , - 8 см , D £ , = 2 CM. Ь'айти: C D і С Я . ) Р о зглян ем о ААВ С AEDC, DC’ 5 ^ = 1 ,2 5 (с м ); 8 2) AB Z»£ С£ = ^ = ВС С£ ° = С £’ = | = 1.5(см). 1 9 0 . Дано: В ААВС — прямокутний; CD Х АВ, AD = 4 см, BD = 16 см. Знайти: CD. С" CD2 = A D BD; CD» - 4 CD = 8 ( c m ). Відповідь: 8 см. 1 9 1 . Дано: з ААВС — прямокутний; АС = 8 см, CDXAB, A D = 4 см. Знайти: AB. д А С ^ = А В AD; 64 = AB 4; AB = 16 ( cm). Відповідь: 16 см. .4 bo ok .o Ц е р е в ір и м о п р о п о р ц ій н іс т ь с т о р ін . 5 2 Р ос с; го Q. О) Відповідь: 1,25 см; 1,5 см. Р и с . 40. Д А В С - Д А ,В ,С , за т р е т ь о ю w * 5 AB АС _ D E ~ DC ’ < га І о. '< 5 т З rg = 1 9 2 . Дано: В ААВС — прямокутний; CDXAB, AD = 32 см; BD = 18 см. Знайти: АС і ВС. ^ 1) AB = 18 + 32 -= 50 ( cm). 2) AC" = AB AD; AC» - 50 ■32 1 6 0 0 ; AC = 40 ( c m ). 3) ВС» ■ AB BD; ВС* - 50 18 - 900; = ВС = ЗО (см). Відповідь: ЗО см, 40 см. 1 9 3 . Дано: В ААВС — прямокутний; CDLAB, ВС = 4 см, AD = 6 см. Знайти: АС і AB. С‘ 1) Нехай BD = J см, AB » 6 + X, C В С ^ ^ А В BD; 16 = (6 + х) х; л» + 6 C - 16 = О; BD - 2 см, J AB = 6 + 2 = 8 (см); = -8 , = 2. 2 ) АС ‘ = AB BD = S 6 = 48 (см); X ЛІ m S X ‘з0 <и 1 т <0
  26. 26. АС = ^^48 = 4 S 2) (с м ). X Відповідь: p 194. Д а н о : ABCD — т р а п е ц ія ; AB = CD, ВС ^ 5 CM, A D = 13 с м , AC 1 CD, CF 1 AD. З н а й т и : CD і CF. го о; с: го 4у[з 8 см ; &AOD — п рям окутний; A D = З + 12 = 15 (CM); см . AO^ A C = 2 - 6>/5 = 12n/5 ( c m ). 3) OD* = A D O D = 3>/5; M D = 15 • 3 = 4 5 ; B D = ö V s (с м ). Відповідь: AC = F 197. ABCD D 1 ) B M 1 A D ; BC = M F ^ b c m . 2 ) &ABM = ADCF (n o г іп о т е н у з і і г о с ­ т р о м у к у т у ) . A M = D F = (1 3 - 5 ) : 2 = = 4 ( c m ), = 4 + 5 = 9 (с м ). .ГИ ; С Я = 9 = 8 см , ВС і AD, - 4 = 36; 13 • 4 - 52; (с м ). Відповідь: CF = 6 см , т р а п е ц ія ; А С CD = 2л/ЇЗ см . ABCD — р ів н о б іч н а X CD, АС = з Т б ; С М 1 A D , Z )M - 4 CM. О М * - A M • MB-, ОМ 2) ВС, AD , CD. w 1 ) AACD — п р я м о к у т н и й : A C ^ ^ A D - AM-, A M ~ X. w X .4 И 0 01 т о д і A D = jc + 4 ; (з -У б ) д:, — ос АМ‘ - А М = АК В М —B N 9; aCj =■ 5. AM &ABN = 5 (с м ); = A D C M (з а г іп о т е ­ н у з о ю і г о с т р и м к у т о м ); AN = M D = 4 я к д о т и ч н і, п р о в е д е н і АК = 18 с м , Відповідь: 1 cm, 9 cm, 1 9 6 . Д ано: ABCD — р о м б ; О М 1 AD; M D = З CM, A M = 12 CM. I) АО = ОС ВО = OD н а лей ром ба. 2 = 3 6 (с м ), 3 6 с м і 16 с м , 12 с м . 1 ) С = г/36 + 6 4 = > / Г 0 0 = 1 0 ( с м ) ; С = V 1 6 + 49 = >/б5 (с м ). 199. 1 ) & = >/225 - 81 = >/Ї44 = 12 (с м ): 2 ) 6 = V 6 4 - 1 6 = V Ü = 4 ^ 3 (с м ). 2 0 0 . Д ано: ABCD — к в а д р а т , Знай ти : А С . 4 = 36 . CZ) = 6 ( c m ). DM = 9 З найти: A C і 9 ■ 16; A B = 5 CM. ( c m ); S C = 5 - 4 = 1 ( c m ). CD* = A D 6 cm. А С = л/25 -І- 25 = V m = = 5%/2 (с м ). В ______________ 201. Д ано: A B = В С = 7 см , A V 90 ‘ , 2 = 16 (с м ). Відповідь: 2) = (jc + 4 ) ■з:; A D = 4 + 5 = 9 (с м ). 2 ) ßJV X A D ; ВС = 8 198. 18 • 8 - + 4л: - 4 5 = 0 ; w 4 5 “ л:* + 4 л ; Z.OBA = 12 (с м ). B N = 8 с м , а A D = 18 'з- + A B - 8 + 18 = 26 (с м ); з о д н іє ї т о ч к и ; т s ZOAB а Д АО В — прям окутний: bo ok . Д ано: Ц е н т р к о л а з н а х о д и т ь с я в т о ч ц і п ер ет и ­ н у б іс е к т р и с , о т ж е , CD = ^l52 = 2-Дз 2 z _ ^ 1 ) Z D A ß + Z A B C = 1 8 0 '. СП* - A Z ) З найти: ВМ A M = 18 CM. ОМ. 6 ( c m ). 195. — р ів н о б іч н а т р а п е ц ія ; З найти: — п рям окутн и й: С Я “ AF CF - AF тод і AACD 12-75 с м ; B D = 6-v/s см. Д ано: or g 3) AM-, А О = ^/Ї8Ö = 6>/5; DJ <U A M АО^ = A D = 15 • 12 = 18 0; M ^ D BD. — із в л а с т и в о с т е й д іа г о - А С = 6 см , BD ± АС. З найти: B D . 1) О с к іль к и ДАВ С — А" р ів н о б е д р е н и й , т о A D = D C = З с м . 2) A A B D — п рям ок утний:
  27. 27. 'ідповідь: 2Iw 3) ВС = 4 = 10 CM. Oß = 10 : 2 = 5 (c m ); AD^ - 0£)^; A O ^ = 169 - 25 = 144; = 12 (c m ); A C - 12 • 2 = 24 (c m ). Відповідь: 207. ) A S = 5 CM, = іа й ти : A C . 8 с м , 10 с м . к Д ано: AM — i)A C 2 = 25 + 64 = 8 9 ; AM = >/89 ( c m ). о м е д іа н а , з = 5 см . Знай ти : A B . 1) A B = 5 CM, A C = 8 cm . 1 ) &AMC — п р я м о к у т н и й ; C M = M B = 6 : 2 = 3 ( c m ); AC‘ = AM^ - M C ‘ ; ВС. bo ok . = A C ^ - A B ^ ß C ^ = 64 - 25 = 39 ; = /39 ( c m ). A C ^ = 25 - 9 = 16 ; A C = 4 ( c m ). AABC 2) 42 . ВС. АВ = ^ І5 2 = Відповідь: X 2 -J T z (cm). 2/Гз CM. ’зо 2 0 8 . Д ано: AABC — п р я м о к у т н и й ; C M — м е д іа н а ; C M = 13 w = 5^/Г5 (c m ). w = 119 + 256 = 37 5; Зн ай ти : A D . 13. 49; DAC A C + B C = 60 - 2 6 ; A C + ß C = 34 . Н е х а й A C = X CM, CB^ AC^ BC = (3 4 - x ) см . З а т е о р е м о ю П іф а г о р а 26^ = - = 64 - 36 = 28 . хГ; + (3 4 - 6 7 6 = х^ + 1 1 5 6 - 6 8 х + х^; 2x2 _ б 8 х + 1 1 5 6 - 6 7 6 = 0; — п рям ок утний; D * = 2 8 - 21 = 7; (О 2 ) A C + B C + A S = 60 ; + 36 — п рям ок утний; IC^ = A B ^ - X т AC, BC, AB. 1 )A M = CM = B M AB = 2 6 CM. Z ) = 7 (c m ). ABAC ш cm. Знай ти : w AACB — п р я м о к у т н и й ; J2 = CB^ + AC^ AB^ = 9 ) &BA-D — п р я м о к у т н и й ; i)2 = AB^ + BD^ A D ‘ = 13 AD = ^ 2x2 _ б 8 х + 48 0 = 0; х2 - 3 4 х + 2 4 0 = 0; (c m ). = 2 8 9 - 2 4 0 = 4 9 ; X, = 17 + 7 = 24 , :05. ABC ан о: X j = 17 - 7 = 10 ; А С = 24 см , ВС — п рям ок утний; ^ : В С = 3 : 4; Д ано: А В = 10 см , q '---------------- -д :а й ти : A C і В С . ) Н ехай A C = Зх, ВС = JopeMOK) П іф а г о р а А В ^ = 2Ьх^-, 25х‘ = 10 с м , А В = 2 6 с м . 209. J = 20 cm . = 400; 5 Супер ГДЗ, 8кл., кн. 1 5х 4 х , т о д і за 16х^ + = 2 0 ; д: = 4. = В С = 15 см , BD 1 BD = АС, 8 см . Знай ти : АС. X (О C Q 2 І .4 ) CD = V l 4 4 - 2 5 = %/ГЇ9 (c m ); ACDB — п р я м о к у т н и й ; = C B ^ + BD^; ос — п рям ок утний; A B ^ = A C 2 + B C ^; A B ^ = 16 + 3 6 = 5 2 ; т р и к у т н и к ; A C = 12 см , ) = 5 с м , ß Z ) = 16 с м . = S T b 8 см , S Д АВ С — прям окутний; ВС = 6 с м , 8 CM. :а й ти : 8; В С A B = 10 см . Д ано: :04. Р и с . дЛВС — а ш = (х + 2) см , з а т е о р е м о ю П іф а г о р а А В ^ = ВС^ + АС^; {х + 2Y ^ х^ + 3 6 ; х‘ +4х + 4 х‘ ^ 36 ; AB 4x2 = 36 - 4; 4 х = 3 2 ; х = 24 CM. IC — п р я м о к у т н и й ; айти: ОС с: го AB - ВС = 2 см. Зн ай т и : AB і ВС. Н е х а й ВС = X с м , lO D — п р я м о к у т н и й ; 103. го А С = 6 см , .З н а й т и : A C . ’Ідповідь: 12 с м , 16 см . 2 0 6 . Д ано: Д АВ С — п рям окутний; = A D = 13 см , = 4 = 16 (см). Відповідь: см . l2. Д а н о : 'CD — р о м б ; BD 3 = 12 (см); 2) А С = 4 V 4 9 - 9 = V i Ö = 2ч/ГЇЇ (с м ). or g ßD = А ß
  28. 28. X = 12 ; 1 ) AABD — п р я м о к у т н и й ; AD^ = A ß 2 - BD‘; AD^ = 10 0 AD = 6. 2 ) ACBD — п р я м о к у т н и й ; С Г ) = 7 2 2 5 - 6 4 = л / Г б ї; - 64 = 36 ; А С = 12 213. AC = A D + DC = = 1 8 , 9 см . 1) 7 2 = 12 ( c m ); -1 5 ^ = V40 N 10 = 2 0 (с м ); п рям ок утний; AK = 20 см , + 16 = 160; п ерп ен ди куляру. Д ано: AD 4/Ї0. 1) ABAD bo BD = .4 w = w w (с м ); I I випадок DC AABD — п р я м о к у т н и й ; BD^ = АВ^ - AD^ = 25х‘ 12‘ = 16л:^ 12 = 4 х ,х = 3. — п рям окутний; V 1 6 9 - 2 5 = ч/Ї44 = 12 (с м ); 3 ) В С = 12 + 5 = 17 (с м ). 1 ) Н е х а й A B = 5x, A C = бд:, = ВС = З 5 = З • 6 = 18 (см). 4 5 °. 2) Л А О С — п рям окутний; З найти: A ß = В С , A C . AD ZACD = ВС. A D = CD = 5 A ' то MN, З н а й т и : в ід с т а н ь ВС, BD 1 AC, 1 = 5 см , А В = 13 с м , 2 1 1 . Д ано: Д А В С — р ів н о б е д р е н и й ; BD 1 A C , BD = 12 CM, AB : AC = 5 : 6. AD ok .o Відповідь: AC = з р із н и х б о к ів rg ч/їб0 = 4х/ЇЇЇ. Відповідь: К в ід о с н о в и AADC — п р я м о к у т н и й ; AC‘ = AD^ + DC^; AC^ ■= 144 AC = М / В 2 1 4 . I випадок AB і A C — п о х и л і A 2) 3) A B / о т ж е A C = 40 см . A D = V20^ - 1 6 ^ = V 3 6 -4 = 6 2) / — п рям ок утний; A K = V 25^ АСАК — — прям окутний; о с к іл ь к и АВАК 2) = 4 + 16 = 20 ( c m ). AB = / З найти: A C . AB^BC = AC = / N X M JV, = 15 с м , / 4 С Я - = .40- Зн ай ти : A C . AABD А ВК 2 1 0 . Д ано; 1) 2 = 24 (с м ). Д ано: А В = 25 с м , д AB = ВС, A D 1 ВС, CD = 4 с м , BD = 16 с м . = 12 с м . А В і А С — п о х и л і; АК = 6 + ч / їб ї = 6 + 1 2 ,9 = 1 8 ,9 (с м ). Відповідь: AD А В = 27 - 12 = 15 (с м ); = = Зд:. Ы х С і В з од н о го D. б о к у в ід BD DC = 12 см , = AD = 5 CM, В С = 12 - 5 = 15 (с м ), = 7 (с м ). 215. 15 см , Д ано: 15 с м , 18 см . А В і А С — п о х и л і, 2 1 2 . Д ано: ДАВС; AD BD AB = ВС, A C - A B = 2 CM. BD X АС, BD = 9 с м . Зн ай ти : ВС, AC. 2AD; AD = 27 AD = X см, AB ^ (27 - x ) 2 A D = 54 с м , A B + 2 ) Н ехай AABD (2 7 - x f = = x‘ + см . cm, М __________ ^ ^ 2 ) ABAD — п р я м о к у т н и й ; A D ^=A B ^ - BD^ = х ^ - 25 . 3 ) ACAD — п р я м о к у т н и й ; A D " = А С ^ - Z)C " = ( х + 2)2 - 8 1 . — п рям окутний. За т ео р ем о ю П іф а го р а А В ^ = AB і AC. 1 ) Н е х а й А В = х с м , А С = х + 2. 1 ) 2 А В + A C = 54 с м , A C = 2AB + = 5 CM, Ö C = 9 CM, = 54 с м ; Зн ай ти : A B , X MN, AD^ + BD^-, + 9x^; 729 - Ы х + x^ = 8 1 ; 72 9 - 81 = 54л:; 6 4 8 = 5 4 л ; 4 ) М а є м о : х " - 25 = х^ + 4 х + 4 - 81 ; 4 х = 5 2 ; X = 1 3 ; - 2 5 + 81 - 4 = 4 х ; А В = 13 с м , А С = 15 см .

×