.4
bo
ok
.o

ДО підручника

rg

ГЕН ЕТРШ

w

w

w

Г. П. Бевза,
В. Г. Бевз,
Н. Г. Владімірової
РОЗДІЛ I
НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
§ 1. Точки і прямі
А

14.
15.

7.

bo
ok
.

or
g

Пряма AB

w

w...
Практичне завдання

24.

Вправи для повторення

21 .
25.

А

А
Відрізок

.4

bo
ok
.

or
g

Точка

в

26. А

w

w

w

Прям...
28. P = 5 см + 7 см + 8,5 см = 20,5 см.
В ідп овідь: 20,5 см.
29. Р = 6 : 3 • 4 = 8 (см).
В ідп овідь: 8 см.

30.

Відрізі...
між точками В і С, отже, відрізок ВС
не лежить на промені AB.
51. а) Нехай CY = х дм, тоді А'С = (л: +
+ 1,3) дм і за умов...
N
Дана фігура містить 18 повних клітинок
і 16 неповних клітинок, отже, шукана
площа дорівнює

К

0,25 18 +0 ,2 5 ~ =4,5 +2...
82. Нехай ZAOM = іх °, тоді /МОВ = Кут КО М в чотири рази менше від
кута АОВ.
= Ьх°. Оскільки 4х = 25, то зс = 6,25, тоді
...
□

1

F С

F

2. а) ßC =-A C , тодіЛС = З ■ßC = З X
З

О

Ä

0 A

w » -v r

2

= 45°.
4. a)Z2 = (ZAO C-10°);2 = (50'’ -1 0...
Варіант 2
А
С
ß
AC = 2 - ВС = 2 - 4 = 8 (см);
AB =AC + ßC = 4 + 8 = 12 (см).
2. ZA05 = 2 • ZAOC = 2 • 50“ = 100

4. Нехай ...
1

а) Нехай ZBOC = х°,
тоді ZAOB =х° + 30°.
За теоремою про суму
о
суміжних кутів маемо
X + д: + 30 = 180.
Звідси 2х = 150...
123.

в.

А.


І
І й ...

**

с.
у
У
D

с

І /

g

Кути АВВ^ і ВВ^С не є суміжними,
бо вони мають спільну сторону ВВ^, але...
г) Нехай /ЛОВ = х°, тоді ZBOC =— =
x°
CKO
CTp
n
g
6
2 '
5
Зїї 18тг-3я 15it
= 0,4л-°і X + 0,4х = 180, звідси 1,4х = 9 n - —...
b   a ,c I a.
I

137.

^

Через точку A
можна провести
лише одну пряму,
перпендикуляр­
ну до прямої С,
тому, що існує
тіль...
a)ZAOB = 180° - гВО С = 180° - 40° =
= 140°,
гМ О В =- ZAOB =і ■
140° =70°.
2

153.

1 CM.M

2

В ідп овідь: 70°.

□_c

б)...
Відрізок прямої, перпендикулярний до
бісектриси кута, кінці якого знаходяться
на сторонах кута, ділиться бісектрисою
навпі...
w

w

w

.4
bo
ok
.o

rg

I
б) /11 + г і = (180° - Z5) + (180° - г 8 ) = б) АР I ВС, оскільки ZPAB + ZABC =
= 360“ - (Z5 +...
в) Оскільки Z12 = Z8, то b | с; оскільки
|
Z6 + Z3 = 180°, T b I a.
O I
183. Оскільки Z2 = Z8, TO 2 = Z6,
тоді a I b;
I
ос...
a) Нехай a | ft, тоді
|
= Z2, Z l = Z3
як вертикальні, отже, Z3 = Z2.

6) Нехай a I b, тоді Z l = Z2, Z3 =
I
= 180° - Z l ...
6) Оскільки AD I BC, тоді ZA + ZD =
I
= 180°. Враховуючи, що ZB = ZC, t o
ZA + ZC = 180°.

Оскільки AB I KP, то
I
+ Z2 = 1...
218. A

& Q Ö O
223.

Оскільки Aß I CD, T ZI = 65°, Z2 = 74°,
I
O
тоді ZAFB = 180° - ZI - Z2 = 180° - 65° - 74° = 180° - 1...
б) Твердження невірне, на рисунку
ZAOB і ZBOC — невертикальпі, проте
ZAOB = ZBOC = 90“.
в) Твердження вірне.

236.

241.

...
Тіні від непаралельних жердин AB і CD
відтворюється паралельними відрізками
AL і СК.

£i
■7

248.

в
6) Дві прямі, перпенд...
Типові задачі для контрольної роботи

1. А

В

а

В
АС =AB + ВС = 7,3 см + 3,7 см = 11 см;
АС =A B - ВС = 7.3 см - 3,7 см ...
тоді ZAOK + ZAOP = 180°, x + 36 + 2x ^
= 180, Здг = 144, X = 48. Отже, ^ О М =
= 48°, ZKOM = 180° - ZMOP = 180° - 48° = 13...
Варіант З
ZAOB=180°;1»° = 99°.
^В0С =1

8 25 ^

=8 Г .

В ід п о відь : 99° і 81°.
А
''107°

3.

А'

'Р
ZAOP = ZMOC = 48°,...
Тестові завдання №2
^ B O C ^ h ^ ^ =S2‘>30'.

3.

А

В

Правильна від­
повідь
Б
В
Б
Б
Г
В
В
В
Г
В

Номер завдання

В ідп ...
269. ЛВ + ßC = 26 - 10 = 16 (см),

275. А

а) ЛВ =І ^ = 4 (см), ßC =i ^ ^ = 12 (см);
4
4
16-3
16 5
=6 (см), ВС =— =10 (см)...
281.

288. А м

Оскільки М К I АС, то /.ВМК = ZBAC,
I
ZBKM = ZBCA — як відповідні кути
при цих паралельних прямих та січни...
Нехай у трикутника ABC кут С — пря­
мий, ZC = 90°, тоді ZA + ZB = 180° - ZC,
звідси ZA + Zß = 180° - 90° = 90°. Отже,
ZA +...
б) /ІОАВ =- гСАВ = і ■ = 40°;
80°
2
2
ZOBA =і гСВА =і ■ =20°:
40°
2

2

ZAOB = 180° - ZAOB - гОВА = 180° - 40° - 20° = 120...
Практичне завдання

311.

С

звідси АС = 2MN, 10 = 2MN, тоді MN =
= 5 (см).
В ідп овідь: 5 см.
в

315.

А
Бісектриси AL,, ...
331. К Т = BD = 3,8 см; ZT = ZB =
= 70“.
В ідп овідь: 3,8 см; 70°.
332. ZA = ZK = 60°, ZB = ZP = 60°.
ZC = 180° - 60° - 60...
341. в

А

Два кола можуть розділити площину
на три або чотири частини.

с р

D К

м

КТ = АС = 26 см.

с а)е с е с е о & ...
§ 12. Ознаки рівності трикутників
А

354.

BAD і CAD, то згідно з другою оз­
накою рівності трикутників ABAD =
= ACAD, тод...
AAOD =АСОВ за першою ознакою рівності
трикутників (АО = СО, DO = ВО, ZI =
=Z2 — як вертикальні). Із рівності три­
кутників...
ÄfiAL = ACAL за другою ознакою рівності

трикутників, оскільки AL — спільна
сторона; Z1 = Z2 — оскільки AL — бі­
сектриса ...
Варіант 2

4.

4.

Варіант 4
5
/1

1-

і

к

g

2. 180° - 120° - 57° = 3°.
В ідп овідь: 3°.
3. Нехай сторони трикутника до...
1 чп°
ZA = ^ ß =i2 — = 65°.
2
В ідп овідь: 65° і 65°.

б)

та
го
со
ф
L
Q
та
I

2.

ZB = 180° - ZA - ZC = 180° - 60° - 60°...
с

=

120 ° .

ш
<
и
ю

В ідп овідь: 120°.
В

390.

S
S
І
т
>ч
а
.5
с

а) 1-й випадок:
ZB = ZA + 30°, тоді
= 50°;
ZB = 50°...
Нехай ZB = 90°, тоді
ZA = ZC =1 5 5 1 ^ =50°.
2
a) AL — бісектриса кута A, тоді
Отже, кути дорівнюють 45°, 45° і 90°.
ZCAZ...
Нехай ВН — медіана і висота трикутника
ABC, тобто ZAHB = 90° і ЛЯ = СЯ.
М ЯВ =АСНВ за першою ознакою рівності
трикутників,...
Отже, якщо який-небудь кут рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то цей
трикутник рівносторонній.

Оскільки AB = ВС, то ...
ZA = ZC =

180°-36°

144'

2

2

= 72°.

Оскільки AK — бісектриса, то
^
72'
ZBAK = ZCAK =
= 36°.
2

Нехай /-С = 30°, тоді
...
Оскільки AB = CD і М — середина цих
відрізків, то AM = M B = CM = DM.
AACM = ADBM за першою ознакою
рівності трикутників {...
2-й випадок:
Z2 = 115°, тоді ZA = ZC = 180° - Z2 =
= 180°- 115° = 65°, ZB= 18 0°-65°-65° =
= 50°. Отже, кути трикутника до...
б) Оскільки висоти AJC, ВН, CL в рівносторонньому трикутнику є його медіанами,
а медіани рівні, то й висоти рівні, отже
АК...
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
7 gdz geo_b_2012_u
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

7 gdz geo_b_2012_u

33,310

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
33,310
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
18
Actions
Shares
0
Downloads
5
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "7 gdz geo_b_2012_u"

  1. 1. .4 bo ok .o ДО підручника rg ГЕН ЕТРШ w w w Г. П. Бевза, В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірової
  2. 2. РОЗДІЛ I НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ § 1. Точки і прямі А 14. 15. 7. bo ok . or g Пряма AB w w w .4 Через точку А можна провести десять прямих, мільйон прямих. С t AB. 13. к Пряму можна назвати KP або РТ, або КТ, або РК. або ТР, або ТК. а) На дві частини. б) На чотири або три частини.
  3. 3. Практичне завдання 24. Вправи для повторення 21 . 25. А А Відрізок .4 bo ok . or g Точка в 26. А w w w Прямокутник D Шість прямих. На 16 частин, 17 частин або 18 частин. 22. Лінійка викривлена, бо через дві різні точки можна провести лише одну пряму. Якби лінійка була правильна, то утворилася б одна пряма. 23. Якщо лінійка викривлена (вигну­ та), то можна побачити на її поверхні впадину або опуклість. В А L М
  4. 4. 28. P = 5 см + 7 см + 8,5 см = 20,5 см. В ідп овідь: 20,5 см. 29. Р = 6 : 3 • 4 = 8 (см). В ідп овідь: 8 см. 30. Відрізі:и АС і BD пе мають спільних точок, відрізки AC і СВ мають спільну точку С, відрізки АС і CD мають безліч спільних точок: відрізок ВС. 44. а)АВ=АХ +ХВ = 2,5 + ЗЛ =5,9 (см); б)АВ =АХ + ХВ = 5,3 + 4.2 = 9,5 (см); в) АВ =АХ +ХВ =2 - +6 - =9 (см). З з 45. а)М Р ^ K P - K M = 0,9 - 0,3 = = 0,6 (дм): б)М Р = К Р - КМ = 2,6 - 1,4 = 1,2 (дм); § 2. Відрізки та їх довжини А 38. А М .4 bo ok .o rg М — сер в) МР = К Р -К М =2 - - - ^ 2 - (дм). 6 6 З 46. ВС = ЛС + з = 5 + з = 8 (см); AB = ЛС + SC = 5 + 8 = 13 (см). 47. а) Оскільки ВС = AB +АС (3,8 см = =2,5 см + 1,3 см), то точки А, В, С лежать на одній прямій (точка А між точками В і су , б) оскільки ЛС АВ + ВС (4,9 дм 1,9 + 2,9 дм), то точки А, В, С не лежать на одній прямій, 4 8 . - • --------. ------------- . ----------------------- А в С К сл: = ЛС : 2 = 12 : 2 = 6 (см). 49. а) Оскільки АС > AB + ВС (6,3 см > w w w Відрізок ВС 42. 43. А > 2,3 см + 3,5 см), то точки А, В, С не можна так розташувати; б) оскільки АС < AB + ВС (6,8 см < < 5,1 см + 3,5 см), то точки А, В , С можна так розташувати; в) оскільки АС = AB + ВС (10,3 см = = 3,1 см + 7,2 см), то точки А, В, С можна так розташувати: вони лежать на одній прямій, причому точка В між точками А і С. в 50. а) Оскільки АС =АВ + ВС (13 см = = 9,2 см + 3,8 см), то точка В лежить між точками А і С, отже, відрізок ВС лежить на промені Aß; б) оскільки AB = АС + ВС (9,2 см = = 3,8 см + 5,4 см), то точка В лежить між точками А і В, отже, відрізок ВС лежить на промені AB; в) оскільки ВС = AB + АС (13,8 см = = 9,2 см + 4,6 см), то точка А лежить
  5. 5. між точками В і С, отже, відрізок ВС не лежить на промені AB. 51. а) Нехай CY = х дм, тоді А'С = (л: + + 1,3) дм і за умовою маємо х + х + 1,3 = = 4 ,8 . З від си 2 х = 3 ,5 ; х = 1 ,7 5 , тоді X + 1,3 = 1 ,7 5 + 1,3 = 3 ,0 5 . Отже, СУ = 1,75 дм, ХС = 3,05 дм. б) Н ехай ХС = X дм , тоді СУ = 2х дм і за умовою маємо х ■ 2х = 4,8. ¥ Звідси Зх =4,8; х= 1,6, тоді =2 х х 1,6 =3,2. Отже, ХС = 1,6 дм, СУ = 3,2 дм. в) Нехай ХС = X дм, СУ = Ьх дм, тоді за умовою маємо х + Ьх = 4,8. Звідси 6х = 4,8; X = 0,8, тоді 5х = 5 • 0,8 = 4. Отже, ХС = 0,8 дм, СУ = 4 дм. 52. І випадок (точка С лежить між точками А і В): С В А С В D CD = СВ + BD = (AB - АС + BD) = (10 - 3 ) + 4 = 11 (см). В ід п о в ід ь : З см або 9 см, або 11 см, або 17 см. 55. L а) б) К К Р к Р 56. Для побудови двометрового відрізка слід чотири рази відкласти відрізки півметровою лінійкою. 57. Якщо треба провішити пряму між двома точками, положення яких зада­ не, то спочатку в цих точках ставлять віхи, потім м іж ними встановлюють проміжну віху так, щоб дві початкові віхи закривали останню. rg А CD =AB - АС - BD = 10 -З - 4 = З (см). IV випадок: .4 bo ok .o ЛС = Aß - ВС = 10 - З = 7 (дм). II випадок (точка В лежить між точками А і С): А В С АС = Aß + ßC = 10 + З = 13 (дм). В ідп овідь: 7 дм або 13 дм. 53. І випадок (точка С лежить м іж точками А і D) 59. Вправи для повторення С D w В w w AD = AB + ВС + CD = 2ВС + CD = = 2 ■7 + 10 = 24 (м). II випадок (точка В лежить між точками А і С): АD В Є AD =ЛС - CÖ = 2ВС - CD = 2 • 7 - 10 =4 (м). В ідп овідь: 24 м або 4 м. 54. І випадок: D В С А CD = АС + CD = АС + (AB - BD)= З + + (10 - 4) = 9 (см). II випадок: Ъ С А В CD =АС +AB + ВЛ = 10 + З + 4 =17(см). III випадок: D В Д о в ж и н а всьо го к о л а дорівн ю є 2л ■4 = 8ті (см) » 25,12 см. Д о в ж и н а д у г и Л В до р івн ю є 8я : 4 = 2я (см )» 6,28 (см). 60. а) б) Два кола, розташовані на площіпіі, можуть розбити площину на три або чотири частини. 61. Оскільки куб має 12 ребер,то довжина одного ребра дорівнює 6 : 12 = 0,5 (м).
  6. 6. N Дана фігура містить 18 повних клітинок і 16 неповних клітинок, отже, шукана площа дорівнює К 0,25 18 +0 ,2 5 ~ =4,5 +2 =6,5 (см^). 73. 135' = 2°15'; 5000' = 83°20'. 74. 6П5' = 6 • 60' + 15' = 375'; 2° = 2 х X60' = 120'; 11,5° = 11,5 • 60' = 690'. 75. а)5°48' + 7°35' = 12°83' = 13°23'; б) 32П7' - 8°45' = 31°77' - 8°45' = 23°32'. 76. а)33°33' + 15°15' = 48°48'; б) 145°54' - 41°41' = 104°13'; в)123°45' + 54°32' = 177°77' = 178°17'; г) 44°14' - 14°44' = 43°74' - 14°44' = 29°30'. rg і 3. Кути та їх міри А .4 bo ok .o 67. А В А — вершина кута; ЛВ, АС — сторони кута. 68. 78. А w w О w А — вершина кута; AB, АС — сторони кута. 69. ----------- -------------- к р т Р — вершина кута; РТ, РК — сторони кута. /ЛВС не може бути розгорнутим, оскіль­ ки точки А, В і С ие л е ж а т ь н а одній прямій. К 10° 100° 60° 90° 100° 180“ 5° 50° 30° 45° 50° 90° ZAOB = ZAOC + ZCOB = 60' + ЗО' = 90 В 79. Промінь РМ не є внутрішнім променем кута КРТ, якщо ZKPT = 70°, ZKPM = =80°, оскільки ZKPT Ф АКРМ + ZMPT (70° * 80° + гМ Р Т ). Промінь РМ може бути внутрішнім променем кута К Р Т , якщ о Z K P T = = 70°, ZKPM = 20°, оскільки ZKPT = = ZKPM + ZMPT (70° = 20° + ZMPT, тоді ZMPT = 50°). 80. За 20 хв. годинна стрілка повернеть­ ся на кут 360° : 12 : З = 10°, а хвилинна стрілка — на кут 360° : З = 120°. За ЗО хв. годинна стрілка повернеться на кут 360° : 12 ; 2 = 15°, а хвилинна стрілка — на кут 360° : 2 = 180°. 81. За півгодини годинна стрілка повер­ неться на кут 360° : 12 : 2 = 15°, а хвилинна стрілка — на кут 360° : 2 =180°. За 5 хв. годинна стрілка повернеться на кут 360° : 12 : 12 = 2°30', а хвилинна стрілка на кут 360° : 12 = 30°.
  7. 7. 82. Нехай ZAOM = іх °, тоді /МОВ = Кут КО М в чотири рази менше від кута АОВ. = Ьх°. Оскільки 4х = 25, то зс = 6,25, тоді 5л: = 5 • 6,25 = 31,25. Отже, ZMOB = = 31,25° = 31° + 60' ■0,25 = ЗІ-Іб'. ZAOB = ZAOM + + ZM OB = 30° + + 60° = 90°. ZKOP =ZKOM + ZMOP = - ZAOM + 2 В rg ZAOB = ZMOB -/АОМ =60»-30“ = +- ZMOB = -(ZA OM +ZMOB) = 2 2 = 30°. -ZA OB =--9 0 ° =45°. 2 В ідп овідь : 90° або 2 30°. 88. Якщо ZAOM = 30°, тоді ZBOM = = ZAOM + 20° = 30° + 20° = 50°. А, М, ZAOB = ZA OM + + ZBOM = 30° + 50° = = 80°. .4 bo ok .o О А /ЛОМ = ZAOB - ZMOB = 120° - 60° = = 60°; ZA OB = Z B O M - ZAOM = 50° - 30° = = 20 ° . В ідповідь: 80° або 20°. w w М О А ZAOM = ZAOB + ZMOB = 120° + 60° = = 180°. В ідп овідь: 180° або 60°. ZKOM = ZAOB ZAOK - ZMOB = ■W 90° - 40° - 30° = , w 85. А К. 20 ° . О ZMOB = 2 • 40 = 80°: ZAOM = ZAOB - ZMOB = 150° - 80°= 70°. В ідп овідь: 70°, 40°. В Практичні завдання 86. 90. б) ZKOM = -ZAOM =-- Z A O B =-ZAOB. 2 2 2 4 'S / О В А О В
  8. 8. □ 1 F С F 2. а) ßC =-A C , тодіЛС = З ■ßC = З X З О Ä 0 A w » -v r 2 = 45°. 4. a)Z2 = (ZAO C-10°);2 = (50'’ -1 0 °): : 2 = 20°; ZI = 20° + 10° = 30°. В ідп овідь: 30°, 20°. б) АМОС = 10°, ZAOC = ZCOß = 2 10°= 20°; ZAOB = 2 ■ZAOC = 2 • 20° = 40°; ZMOß = ZMOC + ZCOB = 10° + 20° = = 30°. В ідп овідь: 40°, 30°. Самостійна робота 1 w w 94. А w Ялл.с=|5^со=|-3-4 =6 (см^). В ідп овідь: 6 см^. 95. 2 .4 bo ok .o 91. Оскільки площа квадрата 16 см^, тоді сторона квадрата дорівнює 4 см. Отже, периметр квадрата дорівнює 4 • 4 = 16 (см). 92. Д р у га сторона п р я м о к ут н и к а дорівнює 40 : 5 = 8 (см), тоді периметр прямокутника дорівнює 2 • (5 + 8) = = 2 • 13 = 26 см. 93. а)Точки А, В , С не л еж ать на одній прямій, оскільки АС Ф AB + АС (10 дм * 5 дм + 7 дм). б) Т очки А, В С л е ж а т ь н а одній п р я м ій , о с к іл ь к и В С = A B + АС (45 см = 35 см + 1 дм). в) Точки А, В, С лежать на одній прямій, оскільки AB = ВС + АС З 2 1 —дюйма = - дюйма +— дюйма ^4 З 12 х 5 = 1 5 ; ЛВ = | а С =| і 5 = 10. З З В ідп овідь: AB = 10, АС = 15. 6)AD =AB +BC +CD=AB + 2AB + 2AB = = 5АВ, тоді A B = A D :5 = 2 0 :5 = 4 ; ВС = CD = 2 • ЛВ = 2 • 4 = 8; B D = 2 ■ВС= 2 • 8 = 16. В ідп овідь: АВ =А BC =S.CD =8, BD = 16. , 3. а) Гострі; АОВ, COD, DOE, СОЕ, ВОС; прямі: АОС, BCD; тупі: AOD, АОЕ, ВСЕ. б) Z1 =-ZAOD =--9 0 “ =45'’; Z2 = Z1 = rg C(D) Варіант 1 1. ВС =A C - 2 = 6 - 2 = 4 ( c m ) ; AB =AC + ВС = 6 + 4 = 10 ( c m ) . 1 1 2 . ZBOC =- ZAOB =- •130° =65°. 2 2 3. О Задачі за готовими рисунками 1. a )B ,C ,N -, б )Л К , D, М . в)А В =і ^ = 4; SC =i2^ =6. 5 5 В ідп овідь: AB = 4, ВС = 6. В A C = A B -B C = 9 - 4 = 5 A ( c m ). В С AC = AB + ВС = 9 + 4 = 13 (см). В ідп овідь: 5 см або 13 см. 4. Нехай ZAOC = x°, тоді ZBOC = 3x°. Звідси X + 3x = 80, тоді 4x = 80; x = 20, звідси 3jc = 3 ■20 = 60. Отже, ZAOC = 20°, ZBOC = 60°. В ідп овідь: 20° і 60°.
  9. 9. Варіант 2 А С ß AC = 2 - ВС = 2 - 4 = 8 (см); AB =AC + ßC = 4 + 8 = 12 (см). 2. ZA05 = 2 • ZAOC = 2 • 50“ = 100 4. Нехай ZAOC = 2х°, тоді ZBOC = = Зд;°. За умовою задачі маємо 2зс + Зд: = = 100, звідси 5х = 100; х = 20. Отже, ZAOC = 2 • 20° = 40°, ZBOC = З х X 20° = 60°. В ідп овідь: 40°, 60°. 3. к 1. В ВС=ЛС + 3 = 4 + 3 = 7(см ); ЛВ + АС + ВС = 4 + 7 = 11 (см). 2. ZAOC =і ZAOB =і 60° = 30°. 2 2 3. Е 1. В ВС = АС : З = 9 : 3 = 3 (см); AB = АС + ßC = 9 + З = 12 (см). 2. ZAOB = 2 • ZBOC = 2 -40° = 80°. 3. к ------------------------ ----------- Р т КТ ^ K P + Р Т = Ь + 12 = 17 (см). К Г Р КТ = K P - Р Т = 1 2 - 5 = 7 (см). В ідп овідь: 17 см або 7 см. 4. Нехай ZAOC = х°, ZßOC = ж° + 30°. За умовою задачі маємо: д: + л + ЗО = = 120, звідси 2х = 90; л = 45. с Отже, ZAOC = 45°, ZBOC = 75°. В ідп овідь: 45°, 75°. .4 bo ok .o Варіант З Варіант 4 rg N М М К = NK + NM = 10 + 6 = 16 (см). К м N М К = N K - MN = 10 - 6 = 4 (см). В ідп овідь: 16 см або 4 см. 4. Нехай ZAOC = л;°, тоді ZBOC = = x° + 20°. Звідси д: + д: + 20 = 80, тоді 2х = 60; X = ЗО. Отже, ZAOC = 30“, ZBOC = 50°. В ідп овідь: 30°, 50°. w F ЕР = EF + FP = 7 + 3 = 10 (см). Ё Р F w w ЕР = EF - F O = 7 - 3 = 4 (см). В ідп овідь: 10 см або 4 см. Тестові завдання №1 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 завдання Пра­ вильна В В А А Б Г А В В Б віаповідь РОЗДІЛ II ВЗАЄМНЕ РОЗТАШУВАННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩ ИНІ § 4. Суміжні та вертикальні кути 104. В, ZAOB = 50°; ZCOB = 180° - ZAOB = 180° - 50° = 130°. ZAOB = 160°; ZBOC =180°д - ZAOß =180°- 60° = 20°. 106. а) 180° - ZABC = 180° - 34° = = 146°; б) 180° - ZABC = 180° - 111° = 69°; 3)180° - ZABC = 180° - 13°31' = = 166°47'; г) 180° - ZABC = 180° - 135°47' = 44°13'. Нехай ZCOB = ZAOB = 107. в = а, тоді за теоремою Ах про суму суміжних А кутів маємо: а + а = = 180°, тоді 2а = 180°; а = 90°. Отже, ZCOB = ZAOB = 90°.
  10. 10. 1 а) Нехай ZBOC = х°, тоді ZAOB =х° + 30°. За теоремою про суму о суміжних кутів маемо X + д: + 30 = 180. Звідси 2х = 150; х = = 75. Отже, ZBOC = с = 75°, ZAOB = 105°. А О В ідп овідь: 75 ' і 105°. б) Нехай ZAOB = х°, ZBOC = 2х’= . За теоремою про суму суміжних кутів маемо: х + 2х= 180. Звідси Зх = 180; х = = 60. Отже, ZAOB = 60°, ZBOC = 120°. В ідп овідь: 60° і 120°. 109. Ві а) Нехай ZAOB =4д:°, / ZBOC = 5л;°. І За теоремою про суму суміжних кутів О маємо: 4х +5х= 180. Звідси 9д: - 180; х = =20. Отже, ZAOB = =4 ■ =80°, ZBOC = 20° л а с = 5 X20° = 100°. В ідп овідь: 80° і 100°. б) Нехай ZAOB = 2x°, ZBOC = 3x°. За теоремою про суму суміжних кутів маємо: 2х + Зх = 180. Звідси 5х = 180; * =36. Отже, ZAOB =2 ■ =72°, ZBOC =З х 36° X 36° = 108°. В ідп овідь: 72° і 108°. 108. Л 110. / w w w /<45° П ZAOB + + ZCOD = 120°, тоді за теоремою про вертикальні кути маємо ZAOB = = ZCOD. Тоді ZX + Z l = 180°; ZI = 60° В ідп овідь: 60°. 112. уа) /О 113. Даний кут 10° 50° 60° 90° 120° 170° Вертикальний Суміжний 3 ним кут йому K VT 10° 170° 50° 130° 60° 120° 90° 90° 120° 60° 170° 10° 114. ZAOD ZAOB rg ZBOC ZDOC 66° 114° 66° 114° 45° 135° 45° 135° 97° 83° 97° 83° 141° 39° 141° 39° 3° 177° 3° 177° 50°51' 129°55' 50°51' 129°55' 33°33' 146°27' 33°33' 146°27° 80°51’ 99°9' 80°5Г 90°9' .4 bo ok .o Л ^ В ZBOC = 180° - 110° = 70°, ZAOD =70°. В ід п о в ід ь : 70°, 110°, 70°. в) Нехай ZAOB = п°, тоді ZDOC = п°, ZDOA = 180° - га°, ZBOC = 180° - п. В ідп овідь: 180° - п°, л°, 180° - п°. Нехай ZAOB = 50°, тоді ZCOD = 50°, D ZAOC = 180° - 50° = 130°, ZBOD = 130°. 115. а) Не можуть; б) не можуть; в) можуть; г) не можуть. 116. Нехай Z1 = Z2 = а, тоді Z3 = 180° - Z1 = = 180° - а, /4 = 180° - Z2 = 180° - а. Отже, Z3 = Z4. Всього утворилось 6 пар вертикальних кутів: ZAOB і ZDOF; ZBOC і ZFOK; Відповідь: 130°, 50°, 130°. ZCOD і ZKOA; ZAOC і ZDOK; ZBOD б) Нехай ZAOB = 110°, тоді ZDOC = 110°, і ZAOF-, ZBOK і ZCOF.
  11. 11. 123. в. А. І І й ... ** с. у У D с І / g Кути АВВ^ і ВВ^С не є суміжними, бо вони мають спільну сторону ВВ^, але дві інші сторони ВА і В^С не є доповняль­ ними променями. Міра кута, суміжного з кутом ABS| дорівнює 90°. 124. В. гЛ С oo k. or ^ 4 = Z.1 я к ВертИКЕІЛЬНІ, то ді Z1 + Z2 + Z3 = Z4 + Z2 + Z3 = 180“. а) Нехай Z1 = х“, тоді Z2 = дг° + 20°. Оскільки ці кути суміжні, т о X + х + + 20 = 180. Звідси 2х = 160, л: = 80. Отже, Z1=Z3 =180°, Z2 = Z4 = 80° + + 20° = 100°. Відповідь: 80°, 100°, 80°, 100°. б) Нехай Z1 = д:°, тоді Z2 = 2х°. Ос­ к іл ь к и ці ку т и суміжні, то зс + 2д: = 180. Звідси Зх = 180, X = 60. Отже, Z1 = Z3 = = 60°, Z2 = Z4 = 2 60° = 120°. В ідп овідь: 60°, 120°, 60°, 120°. в) Оскільки сума двох кутів не дорівнює 180°, то ці кути — вертикальні. Нехай Z1 + + Z3 = 100°, тоді Z1 = 100° : 2 = 50°, Z3 = = 50°, Z2 = 180° - 50° = 130°, Z4 = 130°. В ідп овідь: 50°,130°, 50°, 130°. а) ZAGB = 180° - ZBOC = 180° - 2ZM0C = = 180° - 2 - 30° = 120°: б) ZAOB = 180° - ZBOC = 80° - 2ZM0C = = 180° - 2 • 45° = 90°; в) ZAOB = 180° - ZBOC = 180° - 2ZM0C = = 180° - 2 ■60° = 60°. .4 b w w w 121. А /в Н ехай ZA OB — ш у к а н и й , то ді ZBOC + ZAOD = 110°, враховуючи, що ZBOC = ZAOD як суміжні кути до кута АОВ. Отже, ZBOC = ZAOD = 110°: 2 = 55°, тоді ZAOB = = 180° - 55° = 125°. В ідп овідь: 125°. 125. а)Нехай ZBOC = тоді ZAOB = = х° + 40°. Оскільки ці кути суміжні, то д; -н д: ч 40 = 180. Звідси 2х = 140, л: = 70. Отже, ZBOC = 70°, ZAOB = 110°, о в Нехай гМ О В = л:°, тоді ZAOM = л:° + 20°. Оскільки ці кути суміжні, то х + х + + 20 = 180. Звідси 2х = 160, х = 80. Отже, ZMOB = 80°, ZAOM = 80° + 20° = 100°. Нехай OK — бісектриса кута МОВ, ON — бісектриса кута АОМ, тоді ZNOK = ZNOM +ZMOK =- ZAOM + 2 ZMOB =-ZAOB =і . 110° = 55°. 2 2 В ідп овідь: 55°. б) Нехай ZBOC = д:°. тоді ZAOB = 5х Оскільки ці кути суміжні, то X + 5х = 180. Звідси 6х = 180, X = ЗО. Отже, ZBOC = = 30°, ZAOB = 150°, ZMOß =-ZAOß =і-150° =75°. 2 2 = 90°. В ідп овідь: 80°, 100°, 90°. В ідп овідь: 75°. в) Нехай ZAOB = 5х°, ZBOC = 4х°. то ді 5х + 4 х = 1 8 0 . З від си 9л: = = 180, X = 20. Отже, ZAOB = 5 • 20° = = 100°. ZBOC = 4 • 20° = 80°, 122. ZMOB =і ZAOB =і •100° = 50°. +-Z M O B = і 80° +- 1 0 0 ° = 40° +50° 2 2 2 2 о с В ідп овідь: 50°. 2 ID d LJ го
  12. 12. г) Нехай /ЛОВ = х°, тоді ZBOC =— = x° CKO CTp n g 6 2 ' 5 Зїї 18тг-3я 15it = 0,4л-°і X + 0,4х = 180, звідси 1,4х = 9 n - — =---=— (cM » 23,55 C '^ — ^) M. ^ A ^ = 180, х = 1 2 8 -. 130. S _ =^ =1 : ^ =0,64(CM ^). Ö Отже, ZAOB = 128“+--6 0 ' =128°48', Ü Задачі за готовими рисунками /МОВ = -■ ZAOB = - ■ 128°48' = 64°24'. 2 2 1. a)ZAOß і АВОЕ-, ZAOC і гСОЕ; ZAOD і ZI>0£; б) ZCOB = 180“ - ZI = 180° - 120° = 60°; В ідп овідь: 64°24'. Практичні завдання Z2 =i z c 0 ß = i-6 0 ° =30°, 2 126. 2 ZAOM = bo ok . or g = ZAOC + Z2 = 120° + 30° = 150°. В ідп овідь: 30° і 150°. 2. а) ZBOC =180° - ZI - Z2 = 1 8 0 °- 30° - 45° = 180° - 75° = 105°: ^ O C = = 180° - Z2 = 180° - 45° = 135°. В ідп овідь: 135° і 105°. 6)Z2 = 180° : 3 = 60°; ZI = 2Z2 = 2 x X 60°= 120°. В ідп овідь: 60° і 120°. Вправи для повторення .4 127. Нехай ребра кубів дорівнюють х см і 2х см, тоді їх об’єми дорівнюють х‘ см® і 8х^ см“, отже, відношення об’ємів w w w . дорівнює — 1- =1 . Площі поверхонь — О^ '8 Д кубів дорівнюють 6х^ см^ і 6 ■4х^ см^, отже, віднош ення площ поверхонь 6х^ 1 дорівнює ^ = 4 - В ідп овідь: 1:8; 1:4. 128. -1 129. ABCD — квадрат; AB І CD, ВС HAD; І AB1BC,BC1CD, CD±AD,AD1AB. в 3. a ) Z l =i S ° ! ^ = 70°, Z2 =H O :ii2 : = 110°. 2 В ідп овідь: 70° і 110°. 6)Z1 =1 ^ = 40°, Z2 =i ^ = 140°. 2 +7 2+7 В ідп овідь: 40° і 140°. 4. а) Z2 = 180° - ZI - Z3 =180° - 60° - 40° = 80°, Z4 = ZI = 60°, Z5 = Z2 = 80°, Z6 = Z3 = 40°. В ідп овідь: 80°, 60°, 80°, 60°. 6) ZKOP = ZKOC +ZCOP =I ZAOC + +- ZCOB = i(ZAOC +ZCOB) =і . 180° = 2 2 2 90°. D S к р у га = 9n CM ’ ^; § 5. Перпендикулярні і паралельні прямі А 135. Ь 1 а, С 1 а.
  13. 13. b a ,c I a. I 137. ^ Через точку A можна провести лише одну пряму, перпендикуляр­ ну до прямої С, тому, що існує тільки одна пряма, яка перпендикуляр­ на до даної прямої і проходить через дану точку. 138. AD/DC, a b ХВС-, AB I CD, AD f BC. I Г О m m 01 Ю го S X т ё: 'Е о .5 к S .4 bo ok .o rg КС LAB, DF LAB Ä-(-4: 0), C(0; -4 ), D(6; 0), F(0; 6). КС I FD. I "м M FL0B,M F =2 cm . 146. 139. с н X P H , с н ± к н , н в X КН , н в X PH, с н X K P , н в X K P, AB X к н, AB 1 PH, AB 1 KP, AC X KP. До прямої KP перпендикулярні відрізки АН, ВН, СН, AB, ВС. 140. Правильно. 141. в. 30° в о 147. м Я .30° w F w А 0 В В а 1ОБ, blO A ,aL b. 148. А М а w Не можна стверджувати, наприклад, промені AB і CD не перетинаються, проте вони не паралельні. б) т I п; I 142. а) а X 6; г) а 1 d; в) п L с; е) Ь I d. I д) т L c; 1. 143. С ✓ О L І 0 Ь В М К X ОА, MF L OB -, К М = = FM. 149. А к о ■ ^ і? В D ZAOM = ZAOC + ZCOM = 90° +- 9 0 ° = = 135“, ZMOD = ZDOB + ZBOM =90° + 150. м +--9 0 '’ =135°. 2 В ідп овідь: 135° і 135°. F не лежить на п р о м ен і O B , F лежить на прямій OB. А Vо I С тс о. fc О
  14. 14. a)ZAOB = 180° - гВО С = 180° - 40° = = 140°, гМ О В =- ZAOB =і ■ 140° =70°. 2 153. 1 CM.M 2 В ідп овідь: 70°. □_c б) zAOB =i 8 2 ! ^ =105°, г м о в =- ZAOB =і . 105° =52°30'. 2 154. 2 В ідп овідь: 52°30'. в) = 2 +3 Т Г -В e x ’ j. OA, х)л: X OB, CK = d x . =108°, г м о в = -ZA O B =і-180° = 54°. 2 2 В ідп овідь: 54°. rg г) ZAOß =i ^ ^ =135°, 1+ 3 ZMOß =- ZAOB =і-135° = 67°30'. 2 oo k. o 2 В ідп овідь: 67°30'. .4 b 151. a)Z C O M = ZAOM - ZAOC = = 130° - ZAOC = 130° - ZBOD = 130° - (180° - ZCOB) = 130° - (180° - 140°) = CK = D K C K = DK CK = = 130° - 40° = 90°. Отже, CD 1 MN. Відстані ВІД ТО ЧКИ бісектриси кута до б) ZCOM = ZAOC + ZMOB = ZAOC + сторін даного кута рівні. + ZAON = ZCON. Оскільки 156. А/ ZCOM і ZCON — суміжні, то w м ZCOM = ZCON =і ■ 180° =90°. w w 2 Отже, CD X MN. b ) ZCOM = ZAOM - ZAOC = 135° - ZAOC= =135°-izCO JV = 1 3 5 ° -i(1 8 0 ° - о F' в ZAOB = 60°, ZAOM = ZMOB = 30°. EF ± ОМ, ЕК = KF. 157. -ZCOM) = 135°-90° +|/^COM = =45° +і ZCOM. Оскільки ZCOM = 4b° +-Z CO M , то 2 ZCOM = 90°. Отже, CD 1 MW. 152. 2 см м J --- ----м О 3_____ С ZAOB = 80° ZAOB = 90° ZAOB = 120° ЕК = KF ЕК = K F ЕК = KF
  15. 15. Відрізок прямої, перпендикулярний до бісектриси кута, кінці якого знаходяться на сторонах кута, ділиться бісектрисою навпіл. 158. Цей кутник виготовлений непра­ вильно. г) 180“ і . f. , ZAOB =-z— f2. =180“ i | =180°~ =108°, 2 5 180° і ^ ZBOC =1 1 5 = 180° І | = 180° г = 72° З 5 2'^3 Практичні завдання В ідп овідь: 108° і 72°. 163. a ll Ь. Р 1 Р 2 ^2Р 1 +2 +3 +4 10’ 1 +2 +3+4 10 5 ’ РЗ ЗР_ Р -4 4Р 2Р 1 +2 +3+4 1 0 ’ 1 +2+ 3+ 4" 10 “ 5 ■ Р Р ЗР 2Р В гдповгдь: - . а) б) Вправи для повторення А М В 1L 18" .4 bo ok .o 160. D .. Р ЬР Р 4P В ідп овідь: —, — ; —, — . 6 18 6 18 161. Оскільки AB *А К + В К (7 см * З см + 5 см), то точка К не належить відрізку AB (точки А, В, К не лежать на одній прямій). А о с w чв гВО С = ^ ^ ^ ^ =120°. 1 +3 В ідп овідь: 60° і 120°. б) ZAOß = ГГГ' В ідп овідь: =60°, w а) ZAOß =i j ^ 1+4 = 36°, ZßOC =i ^ 2 ^ =144°. 1 +5 Відповідь:36° і 144°. в) ZAOß = i 5 5 ^ =80°, 4 +5 / :в о с = і^ 2 ^ = іо о ° . 4 +5 В ідп овідь: 80° і 100°. _ р 1 2 _Р. ^ w 162. Р-3 ЗР Р . 5Р . З Р ^ Р . 3+5+3+7“ 18 “ б ’ 1 8 ’ 18 “ б ’ rg а 1Ь . 159. 5 25 5 5 Р. Р. б’ 5 ’ 5’ —. 5 § 6. Ознаки паралельності прямих 170. а) Суміжні; б) в) г) д) е) відповідні; відповідні; внутрішні різносторонні; внутрішні односторонні; зовнішні односторонні. 171. ^2 = 180° - Z1 = 180° - 87° = 93°; Z4 = 180° - Z3 = 180° - 78° = 102°; Z5 = Z2 = 93“; Z6 = Z1 = 87°; Z7 = Z4 = = 102°; Z8 = Z3 = 78°. 172. a )Z l = Z6 = 90°; Z2 = 1 8 0 ° -Z l = = 180° - 90° = 90°; Z3 = 180° - Z7 = = 180° - 100° = 80°; Z4 = Z7 = 100°; Z5 = Z2 = 90°; Z8 = Z3 = 80°;
  16. 16. w w w .4 bo ok .o rg I б) /11 + г і = (180° - Z5) + (180° - г 8 ) = б) АР I ВС, оскільки ZPAB + ZABC = = 360“ - (Z5 + Z8) = 360° - 170° = = 93° + 87° = 180° і ZPAB і ZABC — внут­ рішні односторонні при прямих АР і ВС = 180°: Z2 + Z3 = Z5 + Z8 = 170; та січній AB. b)Z4 - Z5 = Z4 - Z2 = 10°. 173. а) а II с, ocKÜibKHZl + Z4 = Z1 + 178. в ТІ + Z8 = 50° + 130° = 180°: б) a j f c , оскільки Z6 Z3 = Z8: в) а I с, оскільки Z1 + Z4 = Z1 + Z7 = 180°: I А D г) а jfc . оскільки Z3 = 140° - 80° = 60° Оскільки AB ± AD, CD 1 AD, то і Z2 + Z3 = 140° + 60° * 180°. AB It CD. 174. а.) АС IIВМ. оскільки ZA = ZKBN = Оскільки ВС X AB, AD | AB, то | = 50° і кути А і КВ М — відповідні при ВС II AD. прямих АС і ВМ та січній AB. Отже, протилежні сторони прямокутника б) АС I ВМ, оскільки ZA = ZABM = 180° і лежать на паралельних прямих. I кути А і АВМ — внутрішні односторонні 179. . -с при прямих АС і ВМ та січній AB. в) АС I ВМ , оскільки ZBCA = ZKBM = I ZMBC і кути ВСА і МВС — внутрішні різносторонні при прямих АС і ВМ та січній ВС. Не завжди а | Ь, на рисунку Z1 = Z2, { г) А С^ВМ , саітт^А ВМ =Л т+ 50° = проте прямі а і Ь перетинаються. = 50° + 50° = 100° і ZA + ZABM = 100° + 2 + 50° = 150° * 180° і кути А і АВМ — 180. a)Zl =i « £ ^ =90°. внутрішні односторонні при прямих АС Z2 = 180° - Z1 = 180° - 90° = 90°. і ВМ та січній AB. В ідп овідь: 90° і 90°. К 175. 180° В А б) Z l = - =60°, Z2 = 60° • 2 = 120°. З г В ідп овідь: 60° і 120°. D с Р 1fin®. Я AB I CD, оскільки ZAKP + Z.KPC = в) Z2 =i ^ ^ = 96°, Z1 = 180° - Z2 = I 5 =90° + 90° = 180° і ці кути — внутрішні односторонні при прямих AB і CD та = 180° - 96° = 84°. В ідп овідь: 84° і 96°. січній KP. г) Z1 + Z4 = 160°: 180° - Z2 + Z4 = 176.С Р D 160°: Z2 - Z4 = 20°: ^2 - 0,6Z2 = 20°: 0,4Z2 = 20°: Z2 = 50°: ZI = 180° - Z2 = = 180°- 50° = 130°. к В В ідп овідь: 130° і 50°. AB I CD, оскільки /.ВКР + ZKPD = 181. а) О скільки Z4 = 180° - Z3 = I =89°39' + 90°21' = 180° і ці кути — внут­ 180° - 75° = 105°, Z1 = Z4 - 30° = рішні односторонні при прямих AB і CD = 105° - 30° = 75° і Z4 -І- Z1 = 105° -ь 75° та січній KP. = 180°, то а I Ь. I 177. б) Оскільки Z2 = 180° - Z1 = 180° - 60° = 120® = 120°, Z3 =- ^ =60°iZ 2 + Z3 = 120°-b в* -н 60° = 180°, то а I Ь. I а) АР I ВС, оскільки ZPAB + ZABC = I = 105° + 75° = 180° і ZPAB і ZABC — внут­ рішні односторонні при прямих АР і ВС та січній AB. 182. а) Оскільки Z3 = Z5, то а ЦЬ; Z5 = Z9, то Ь I с. I б) Оскільки Z2 = Z8, то 4 = Z6, тоді о I Ь; оскільки Z7 = Z9, то Ь Цс. I
  17. 17. в) Оскільки Z12 = Z8, то b | с; оскільки | Z6 + Z3 = 180°, T b I a. O I 183. Оскільки Z2 = Z8, TO 2 = Z6, тоді a I b; I оскільки Z8 = Z12, TO b Цc. 184. Д с + 10 + 13 = 30 (см). :S. =1^ =1.5. Р, 30 В ідп овідь: в 1,5 раза. 191.- Розташовані на площині коло і пряма можуть розділити площину на З або 4 частини. 192. с. Оскільки ZI = Z4, то ВС | KF-, | оскільки Z2 = Z5, TO AK | CD; | оскільки Z3 = Z6, TO AB ]| DF. Отже, кожна сторона ш естикутника паралельна протилежній стороні. 185. Z2 = 2 • Z1 = 2 • 60° = 120°, Z3 = = Z2 - 60° = 120° - 60° = 60°. Оскільки Z1 + Z2 = 60° + 120° = 180°, то а I Ь. I Оскільки Z1 = Z3, то с I d. I ZMOD=ZAOM-ZAOD=^%'‘-ZAOD=90'‘-ZCOB= = 90° - 70° = 20°. В ідп овідь: 90° і 20°. 186. b 193. м ZMOB =і ZAOB =- •180° = 90°; 2 oo k. o rg 2 / У b ± а, с 1 а, тоді Ь Цс. ZCOß =l .4 b 187. а- Oy w ZAOC = w w Оскільки Z1 = Z2, то о ЦЬ. 188. Якщо відповідні кути рівні, то прямі паралельні. H 2 ^ =^ 2 180°-90° 90° 2 2 =135°, =45°, ZCOB : ZAOC = 135° : 45° = 3. В ідп овідь: втричі. $ 7. Властивості паралельних прямих Практичне завдання 189. 198. Вправи для повторення 190. Pj = 12 CM + 15 см + 18 см = = 45 см. = (12 - 5) + (15 - 5) + (18 - 5) = 7 + 199. Z2 = Z4 = Z6 = = 55°, Z1 = Z3 = = Z5 = Z7 = = 180° - 55° = 125°. Z2 = Z1 = 50°, /З =Z4 = 180° - 50° = 130°.
  18. 18. a) Нехай a | ft, тоді | = Z2, Z l = Z3 як вертикальні, отже, Z3 = Z2. 6) Нехай a I b, тоді Z l = Z2, Z3 = I = 180° - Z l за властивістю суміжних кутів, тоді Z2 + Z2 = Z1 + (180° - Z1) = = 180°. Отже, Z2 + Z3 = 180°. 201. a)Z 6 = Z3 = Z8 = Z1 = 60°, Z5 = Z2 = Z4 = Z7 = 180° - 60° = 120°. 250° 6) Оскільки Z7 = Z2, то Z2 = Z5 =— = ~ =125°. Отже, Z5 = Z2 = Z4 = Z7 = 125°, Z1 = Z6 = Z3 = Z8 = 180° - 125° = 55°. =ZFBD. Оскільки AM і BN — бісектриси кутів FAC і FBD, то ZFAM = ZFBN. Оскільки ZFAM і ZFBN — відповідні кути при прямих AM і BN та січній FB і ZFAM = ZFBN, то AM | BN. | 205. 206. =115“; ZI = Z6 = Z3 = = Z8 = 65°, Z5 = Z2 = Z4 = Z7 = 115°. 202. А, Нехай а I ft, ZAOB =80°, ОМ — бісектриса I ZAOB, тобто ZMOB = 40°. Оскільки а | ft, ] то ZMOB = ZOCF = 40° як відповідні при паралельних прямих а і ft та січній CM. В ідп овідь: 40°. 207. w w w Нехай a I 6, пряма с перетинає пряму I о в точці А. Припустимо, що пряма с не перетинає пряму ft, тобто с I ft. Тоді через точку А I проходять дві прямі а і с, які паралельні прямій о, а це суперечить аксіомі Евкліда. Отже, пряма с перетинає і пряму 6. 203. Ь- .4 bo ok .o 180°+ 50° w 3 Оскільки Z1 і Z2 — відповідні і Z1 = = Z2, то а I ft. I Оскільки а I ft і кути З і 4 — відповідні, I то Z3 = Z4. Отже, якщо одна січна з двома прямими утворює рівні відповідні кути, то і будь-яка інша січна з цими прямими утворює рівні відповідні кути. ,) Z 1 =18°;F^ =65°, Z2 = ij rg 200., а, Ь , Ні, наприклад, прямі а і Ь не паралельні прямій с, проте а Цft. Нехай AM і BN — бісектриси відповідних кутів FAC і FBD. Оскільки а Ц то: FAC = Ь, л «^ Аі------ О скільки K P I АС і Z B K P = Z60°, ZBPK =80°, то ZKAC =ZBKP =60°, ZPCA = = ZBPK = 80°, ZAKP = 180° - ZBKP = = 180° - 60° = 120°, ZKPC = 180° - ZBPK = = 180° - 80° = 100°. В ідп овідь: 60°, 120°, 100°, 80°. 208. Нехай Z1 Z2. Припустимо, що а Цft, тоді Z1 = Z2, що суперечить умові. Отже, припущення невірне, а вірно, що а jf 6, тобто а і ft перетинаються.
  19. 19. 6) Оскільки AD I BC, тоді ZA + ZD = I = 180°. Враховуючи, що ZB = ZC, t o ZA + ZC = 180°. Оскільки AB I KP, то I + Z2 = 180°; ос­ кільки AC I KP, то /З + Z4 = 180°, тоді I Z1 + Z2 + Z3 + Z4 = 180° + 180° або Z1 + Z2 + Z3 + Z4 = 360°. Враховуючи, що Z2 + Z4 = 180°, маємо Z1 + Z3 + + 180° = 360° або Z1 + Z3 = 180°. Отже, ABAC = 180°. Оскільки через точку A можна провести лише одну пряму паралельну, прямій о, то дві інші прямі будуть перетинати пряму а. Отже, хоча б дві з даних трьох прямих перетинають пряму а. 210. Оскільки Z1 = Z3, то а ЦЬ. а) Оскільки а ЦЪ, то Z1 + Z4 = 180° 215. і Z4 - Z1 = 50°. Звідси 180°+ 50° - = 115°, Z4 =Z1 = = 65°, тоді Z3 = Z1 = 65°. , 'а Нехай ОА I DC, OB | DF, тоді ZI = Z3, I | Z3 = Z2, звідси ZI = Z2. Нехай OA I CD, OB | FD, тоді ZI = Z2, I | oo k. o В ідп овідь: 65°, 115°. б) Оскільки а I Ь, то Z5 = Z4 і Z4 = 3Z6, I А/ rg 209. . 180°-3 180°1 Z5 = --------------= 135 , Z6 = ---------------= 45 , 4 4 Z3 = Z6 = 45°, Z4 = Z5 = 135°. В ідп овідь: 45° і 135°. ТОДІ w w w .4 b 211. Оскільки ZB = ZC, TOAB | CD. Z3 -I- Z2 = 180°. Враховуючи, що ZI = | Оскільки AS I CÖ, TO ZA =ZO як внутрішні = Z2 = Z3, TO Z3 + ZI = 180°. I різносторонні кути при паралельних Отже, два кути з відповідно паралель­ прямих AB і CD та січній AD. ними сторонами рівні або сума їх мір 212. а) Оскільки AD II ВС, то ZA + Z5 = дорівнює 180°. = 180° як внутрішні односторонні кути при 216. Оскільки AB I CD, то Z4 = Z1 = I паралельних AD і CD та січній AB. = 70°. Z5 = Z2 = 50°, Z3 = 180° - Z1 б) Оскільки AD I CD, то ZB + ZC = 180° - Z2 = 180° - 70° - 50° = 60°. I я к внутрішні односторонні кути при В ідп овідь: 70°, 50°, 60°. паралельних AB і CD та січній ВС. Е_____ в) Оскільки ZA + AB = 180° і ZB -н ZC = 217. ■ 180°, тоді ZB = 180° - ZA; ZB = 180° = - ZC, звідси 180° - ZA = 180° - ZC, ттоді ZA = ZC. г) Оскільки ZA + ZB = 180° і ZA + ZD = = 180°, тоді ZA = 180° - Z B , ZA = = 180° - ZD, звідси 180° - ZB = 180° - ZD, Проведемо через точку с пряму MN, яка паралельна прямим AB і ІЗЕ. тоді ZB = ZD. Оскільки MN I AB, то ZNCB = ZABC = I 213. 1 )О с к іл ь к и AD II В С , то ді = 50°. ZB + ZA= 180°, ZC + ZD = 180°, звідси Оскільки MNIIED, то ZDCN =ZEDC = 36°. ZA = 180° - ZB, ZD = 180° - ZC. Оскільки Тоді ZBCD = ZBCN + ZNCD = 50° -іZB = ZC = a , тоді ZA = 180° - a , ZD = -н 36° = 86°. В ідп овідь: 86°. = 180° - a . Отже, ZA = ZD.
  20. 20. 218. A & Q Ö O 223. Оскільки Aß I CD, T ZI = 65°, Z2 = 74°, I O тоді ZAFB = 180° - ZI - Z2 = 180° - 65° - 74° = 180° - 139° = 41°. В ідп овідь: 41°. Практичне завдання в. / в А ABCDAßf^D^ — куб; А, В, С, D Aj, ß j. С,, Dj — вершини , куба; AB, ВС, C , A , A4,, ВВ,, CC,, D ,, Л,Б,, D D D ß,C,, C,D,, I>,A, — ребра куба; AC , BD A B ,, B C B , D C D B ^A C ^ ^ C ^ ,, ADDjA, — грані куба. 224. A I C , A I Dfi,, A | B D B B rg oo k. o ZI = Z2 = Z3 = Z4 = 60°: Z5 = Z6 = Z7 = Z8 = 180° - 60° = 120°. ВС I AD, ВС I ß,C ,, ВС I A jö ,, ß ß , I I I CC,, ß ß , I DD,, ß ß , I A 4,, DC A,ß„ I I DC I Ö ,C ,, A B I A ,0 ,, AZJ I B,C„ I I I A4, I CC,, AA, I DD„ CC, | DD,. I I | § 8. Теореми і аксіоми Вправи для повторення w w w .4 b 220. a)R = з см; d = 6 см; 6)R = 3,5 см; d = 7 см. 221. а)С = ncf = ІОя (см) « 31,4 (см); б)С = яс( = 0,1л (см) к 0,34 (см). 222. а) Пряма і коло можуть мати одну спільну точку, дві спільні точки і не мати спільних точок. ТУ ^ О б) Пряма і кут можуть мати одну спільну точку, безліч спільних точок і не мати спільних точок. а В в) Два кола можуть мати одну спільну точку, дві спільні точки і не мати спіль­ них точок. 233. Сума мір суміжних кутів дорівнює 180°. Якщо кути сум іж н і, то сума їх мір дорівнює 180°. Умова: кути суміжні. Висновок: сума їх мір дорівнює 180°. 234. “__________ Дві прямі, паралельні третій, пара­ лельні. Якщо о I с і 6 I с, то а I Ь. I I I 235. _1 а) Твердження невірне, на рисунку Z1 = Z2, але вони не вертикальні. В О
  21. 21. б) Твердження невірне, на рисунку ZAOB і ZBOC — невертикальпі, проте ZAOB = ZBOC = 90“. в) Твердження вірне. 236. 241. ßj с. с D D Дві прямі на площині називаються пара­ лельними, якщо вони не перетинаються. Не можна, на рисунку прямі AD і СС^ не перетинаються, проте не паралельні, бо вонй не лежать в одній площині. 242. а)Вірне. Якщо а = 5п, Ь -b k , с = 5m, тоді a -¥ b -¥ c = b n -^ b k -v Ьт = = 5(n + -I- Ä + m ) . б) Неправильне. Я кщ о 15 діли ться на 5 і 15 = 7 -І- З -І- 5, але числа 7, З не діляться на 5. rg Тверджения, обернене до теореми 1: якщо сума мір двох кутів дорівнює 180°, то вони суміжні. Це твердження невірне, отже, не є теоремою. На рисунку /ЛОВ + /.COD = 90°, проте ZAOB і /COD не є суміжними. 237. Якщо при перетині двох прямих січною рівні відповідні кути, то прямі па­ ралельні. Це твердження є теоремою. .с .4 bo ok .o 243. Твердження невірне. Оскільки на ри­ сунку AB I K P , ВС I PT, проте / I + I I + /2 = 180°. viV w w w 239. ZMON = /мас + ZCON =ZCON +ZNOD = = ZCOD = 180°. Отже, кут між бісектрисами двох вер­ тикальних кутів розгорнутий. Бісектриси двох суміжних кутів перпен­ дикулярні. a) Невірне. П рям а M N не є бісектрисою к у т а АОВ. ,в А Доведемо це. ZMON = ZMOB +/BON =-/ B O C + 2 +izA O ß= =-{ZBOC +ZAOB) = 2 2 =І^Л О С І180° = 90°. 2 б) Невірне. Промінь NM не є бісектрисою кута АОВ. 240. Так. Частина площини, обмежена двома променями із спільним початком, називається кутом. 2 Отже, ON X ОМ. 244. а)Дві прямі, паралельні третій, паралельні. Доведення наведене в § 7 (теорема 7). Твердження вірне, якщо прямі а, Ь, с не лежать в одній площині.
  22. 22. Тіні від непаралельних жердин AB і CD відтворюється паралельними відрізками AL і СК. £i ■7 248. в 6) Дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні. Доведення наведено в § 6 (наслідок із теореми 5). Якщо а, Ь, с не лежать в одній площині, то твердження неправильне, наприклад, на рисунку AAj X AD, АА, 1 A jßj, проте 245. а) Якщо ZA = ZB, ZB = ZC, то ZA=ZC. б) Якщо Aß = K P, K P = MT, то AB = = MT. rg 246. а) Нехай о ЦЬ, тоді Z3 = Z4. Оскільки Z1 = ZZ, Z2 = Z4 я к вертикальні і Z3 = Z4, то Z1 = Z2. Отже, зовнішні різносторонні кути рівні. б) Нехай а I Ь, тоді Z3 + Z4 = 180°. I Z1 + Z2 = (180° - Z3) + (180° - Z4) = = 360° - (Z3 + Z4) = 360° - 180° = 180°. Отже, сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. .4 bo ok .o 249. А а) Невірне, на рисунку ZA = ZKON, ZB = = ZNOM, ZC = ZMOP, проте кути KON і MOP не є суміжними. w w w б) Невірне, на рисунку ZA - ZKON, ZB = ZMOP, ZC = ZKON, проте кути АО 1 ОС, OB X OD. Оскільки ZAOB = ZAOC + ZCOB = 90° + А і С не вертикальні. + ZCOB, ZCOD = ZDOB + ZCOB = 90° + + ZCOB, тоді ZAOB = ZCOD. AO X ОС, OB X OD. ZKOB = ZKOC - ZBOC = 90° - ZBOC, ZCOD = ZBOD - ZBOC = 90° - ZBOC, звідси ZKOB = ZCOD. ZAOB + ZCOD = ZAOB + ZKOB = 180°. Отже, кути з відповідно перпендику­ в) Невірне, на рисунку прямі о і с лежать лярним сторонами рівні або їх сума в одній площині, прямі с і п лежать дорівнює 180°. в одній площині, проте прямі о і п не лежать в одній площині. Вправи для повторення 247. 250. Між точками А і В лежить безліч точок. 251. с . . D В
  23. 23. Типові задачі для контрольної роботи 1. А В а В АС =AB + ВС = 7,3 см + 3,7 см = 11 см; АС =A B - ВС = 7.3 см - 3,7 см = 3,6 см. А, 2. 5. о а) z B O C a ? g l - ^ ° = H 5 :.7 7 °3 0 -; ^ O c =1 8 0 !± 2 5 !.2 0 ^ = 102°30'; 6) ZßOC = i ^ ^ ^ =45°: 4 ZAOC =i ^ 5 ^ =135°. 4 В ідп овідь: а) 77°30' і 102°30'; 6) 45° і 135°. 6. а) Оскільки ZAMAT + ZCMAf= 113° + +67° = 180° і к у т AMN і CMN — внутрішні односторонні, то AB | CD. | б) Оскільки AB I CD, то ZAPK = ZDKP = I = 54°. В ідп овідь: 54°. rg Дві точки А і в , взяті на прямій а, ділять її на відрізок AB та два промені АС і BD. 252. DC, СВ, AB, АС, DB, В К , DK, РК, КТ, РТ. 253. Безліч ламаних, один відрізок, безліч дуг. 254. 1 дюйм^ = 2,5 • 2,5 = 6,25 см^ В ідп овідь: 6,25 см’’-. о*- в .4 bo ok .o 7. а) ZAOB = ZADK + /ЛОВ = 30° +40° = 70°; б) ZKOB = /ЛОВ - г л о к = 79° - 53° =26°; в) ZJrOA=^°°~ ^°°=3G°. = Z7 = 120°, Z3 = Z4 = Z6 = Z8 = = 180° - 120° = 60°. 8. А w w 3. А w В ідп овідь: а) 70°; б) 26°; в) 30°. Нехай Z1 + Z2 - 240°, тоді 240° Z1 = Z2 = =120°, Z1 = Z2 = Z5 = ZMBC =і ZABC =і •120° =60°; г к в с = -2 ZMBC =-2 •60° =30°; ZABK = ZABC - ZKBC = 120° - 30° = 90°. В ідп овідь: 30° і 90°. ю к Якщо ZAKO = ZOPB, то АК ЦРВ. Оскільки АК I РВ, то ZKAO = ZOBP I як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АК і ВР та січній AB. 4. ZZ = 45°, ZI = Z3 = 180° - 45° = 135°. В ідп овідь: 45°, 135°, 45°, 135°. К В Нехай ZAOM = х°, тоді ZAOK = х° + 36°,
  24. 24. тоді ZAOK + ZAOP = 180°, x + 36 + 2x ^ = 180, Здг = 144, X = 48. Отже, ^ О М = = 48°, ZKOM = 180° - ZMOP = 180° - 48° = 132°. В ідп овідь: 132°. 10. Розв’язан н я ц ієї задачі подано в № 204. Оскільки Z1 = Z3 і Z1 = Z2, то Z2 = Z3. Оскільки Z3 = Z2 і Z3, Z2 — відповід­ ні кути при прямих с і d та січній Ь, то с I d. I 4. м Задачі за готовими рисунками б) Проведемо CD I а, тоді CD | Ь. I | ZDCA = 180° - 150° = 30°: ZDCB = = 180° - 160° = 20°. Тоді ZC = ZACD + ZDCB = 30° + 20° = = 50°. В ідп овідь: 50°. w .4 b oo k. o а) Z3 = Z1 = 50° як вертикальні. Оскільки Z3 + /2 = 50° + 130° = 180° і Z2, Z3 — внутрішні односторонні, то а I Ь. I Оскільки Z1 : Z3 = З : 2 і Z3, Z3 = 72°, то Z1 = (72° ■ : 2 = 108° 3) б) Оскільки Z2 + Z3 = 72° + 108° = 180° і Z2, Z3 — внутрішні односторонні, то а I Ь. I 2. а) Оскільки Z2 = Z1 і Z1, Z2 — від­ повідні, то а I Ь. I Оскільки а I Ь, то Z4 = Z3 = 80° я к I відповідні кути. В ідп овідь: 80°. б )О скіл ьки Z3 + Z4 = 180° і Z 3, Z4 — вн утріш н і односторонні, то AD I ВС. Оскільки AD ЦВС, то Z1 = I = Z2 як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній AB. 3. а) Оскільки Z2 = Z3 і Z2, Z3 — внутрішні різносторонні, то ВМ I АС. I Оскільки ВМ А і Z1, Z4 — відповідні С кути при паралельних ВМ і АС та січній AB, то Z1 = Z4. с d а) Проведемо M F Ца, тоді M F ЦЬ. Z1 = AAOF як внутрішні різносторонні кути при паралельних а і MF та січній АО. Z2 = ZFOB як внутрішні різносторонні кути при паралельних Ь і MF та січній ВО. Тоді Z1 +Z2 =ZAOF +ZFOB =ZAOB =90°. Отже, Z1 -н Z2 = 90°. А rg 1. w w Самостійна робота 2 а— Д- б) Оскільки а I Ь, то Z1 = Z3 — як I відповідні кути при паралельних прямих а і Ь та січній с. Варіант 1 1. А" ZAOP = 180° - ZAOK = 180° - 50° = 130°. ZBOK = ZAOP = 130°. ZBOP = ZAOK = 50°. В ідп овідь: 130°, 50°, 130°. 2. о
  25. 25. Варіант З ZAOB=180°;1»° = 99°. ^В0С =1 8 25 ^ =8 Г . В ід п о відь : 99° і 81°. А ''107° 3. А' 'Р ZAOP = ZMOC = 48°, ZAOM = 180° - ZMOC = 180° - 48° = 132°, ZPOC = ZAOM = 132°. В ідп овідь: 48°, 132°, 132°. К Оскільки ZKAB + ZABC = 107° + 73° = = 180° і кути КАВ і ABC — внутрішні односторонні при прямих АК і ВС та січній AB, то АК II ВС. 2. в о а ZTX = гм хк = 65°, N в> w 2. 65° = .4 ZKXN = ZMXT =115°. В ідп овідь: 115°, 65°, 115°. w Варіант 4 В ідп овідь: 45° і 135°. А 'Ло2° В М С Оскільки ZMAB + ZABC = 102° + 77° = = 179° і кути МАВ і ABC — внутрішні односторонні при прямих AM і ВС та січній AB. то ЛМ XВС. О 1. ZA0C =18213 =135°. 3. ос Р В Оскільки ZAKP + ZKPB = 97° + 83° = = 180° і кути АКР і К РВ — внутрішні односторонні кути при прямих КА і РВ та січній K P, то АК ЦРВ. w І о S bo гмхт = 180° - гм хк = і80° = 115°, X т а 5 ok .o rg ZBOC =i 8 ° l l ^ =103°. 2 В ідп овідь: 77° і 103°. Z. К А 1. S S 'Е ZA0B =1 8 2 ^ =77°, Варіант 2 го C Q < и ю М D ZAMD = 180° - ZAMC = 180° - 35° = 145°, ZCMB = ZAMD = 145°, ZBMD = ZAMC = 35°. В ідп овідь: 145°, 145°, 35°. 2. CJ N
  26. 26. Тестові завдання №2 ^ B O C ^ h ^ ^ =S2‘>30'. 3. А В Правильна від­ повідь Б В Б Б Г В В В Г В Номер завдання В ідп овідь: ЭТ^ЗО' і 82°30'. К 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 м Оскільки АКАВ + ZABM = 123° + 58° = = 181° і кути КАВ і ЛЕМ — внутрішні односторонні при прямих АЛ і ВМ та січній AB, то А К ^ В М . ' РОЗДІЛ III ТРИКУТНИКИ 265. л rg 9. Трикутник і його елементи А .4 bo ok .o Nj 260. л: С АН — висота, AL — бісектриса, AM — медіана. w w 261. w КР, РТ, К Т — сторони ZPKT, г к т р . ZKPT - кути , = 3 + 4 + 5 = 12 (ом) М В Оскільки AN = NC = 5 см, — то ЛС = = 10 см. Оскільки ВМ = СМ = 7 см, — то ВС = = 10 см. Р ^ „ = АВ+ ВС+ ЛС = 15 + 14 + 10 = = 39 (см). В ідп овідь: 39 см. 266. Т ак. бо АА^ X ВС , ВВ^ ± АС, СС, 1А В. 267. - А 262. Трикутник і пряма, я к і розташовані на площині, можуть ділити площину на три або чотири частини. 263. Р = 3,8 + 4,5 + 7,5 = 15,8 (см) Трикутники і коло, я к і розташовані на площині, можуть ділити площину на три, чотири, п’ять, шість, сім і вісім частин. 268. На рисунку зображено 13 три­ кутників. В ідп овідь: 15,8 см. 264. 1)12 см • 2 = 24 см — периметр квадрата, 2) 24 см : 4 = 6 см — сторона квадрата. В ідп овідь: 6 см.
  27. 27. 269. ЛВ + ßC = 26 - 10 = 16 (см), 275. А а) ЛВ =І ^ = 4 (см), ßC =i ^ ^ = 12 (см); 4 4 16-3 16 5 =6 (см), ВС =— =10 (см); б) АВ = О О 1ß в) АВ =5С =— =8 (см): I) ßC =i ^ =ll(cMXAJ3 =i ^ =5((M)i В ідп овідь: а) AB = 4 см, ВС = 12 см; б) AB =6 см, ВС = 10 см; в) AB =ВС = 8 см; г) AB = 5 см, ВС =11 см. Можна, оскільки сторона квадрата дорівнює 1 дм, то досить вирізати трикутник AKD, у якого AD =АК = DK = 1 дм. 276. Так, існує, наприклад, трикутник зі сторонами 1 см, 499 см, 500 см. 277. Нехай а, Ь, с — сторони трикут24-4 ^ 24-5 ника, ТО а =- — 7 =24 (см), &= ДІ 3 -4 8 -4 rg 24-8 = 30(см); с =- -----= 48 (см). Звідси Р = 8 -4 . 270. = а + 6 + с = 24 + 30 +48 = 102 (см). В ідп овідь: 102 см. .4 bo ok .o Кожний трикутник можна розрізати на 2 т р и к у тн и к и , п т р и к у тн и к ів . На рисунку показано, як можна розрі­ зати довільний трикутник на 2, З і 4 трикутники. 271. 278. '•Мг Щ .' АН^ 1 ВС, ВН^ X АС, СЯз X АВ. 272. 279. в w w w Нехай JC CM — довжина третьої сторони трикутника, тоді 2х см і 1,5х см — довжини інших сторін трикутника. За умовою задачі маємо 2х - 1,5х = 2. Звідси 0,5х = 2, X = 4. Отже, сторони трикутн и ка дорівнюють 8 см, 6 см і 4 см. В ідп овідь: 8 см, 6 см, 4 см. 273. За умовою задачі сума другої і третьої сторін дорівнює 7 см, першої і третьої — 8 см, першої і другої — 9 см, тоді його периметр дорівнюватиме (7 см + 8 см + 9 см) : 2 = 12 см. В ідп овідь: 12 см. 274. Оскільки З " = 10 (дм), де а, Ь, с — довжини сторін, тоді Р = а + Ь + + с = З • 10 = ЗО (дм). В ідп овідь: ЗО дм. ^йЛВН '* ^tBHC ^ІАВС 2ВІЇ; 14 см + ■ + 18 см = 26 см + 2ВН, 2BH = 6 см, В Я = З см. В ідп овідь: З см. 280. Оскільки Р. = ТО АВ + ЛМ + + ВМ = ВС + МС + ВМ , тоді АВ+АМ = = ВС + MC. Враховуючи, щ о AM = MC будемо мати з рівності АВ + AM = ВС + + MC, що AB = ВС.
  28. 28. 281. 288. А м Оскільки М К I АС, то /.ВМК = ZBAC, I ZBKM = ZBCA — як відповідні кути при цих паралельних прямих та січних AB і ВС; ZB — спільний. Отже, кути трикутника МВК відповідно дорівнюють кутам трикутника ABC. Нехай ОМ — бісектриса кута АОВ, ON — бісектриса кута ВОС, тоді ZMON = ZMOß +ZBON = - гАОВ + 2 -І- і 2 В ZBOC =(ZAOB ZBOC) =і 2 2 •1 0 0 ° = 50=' Вправи для повторення В ідп овідь: 50°. 282. і1 § 10. Сума кутів трикутника ^ я** ** ' 1 294. а) ^ ok .o Площа прямокутника дорівнює добутку сусідніх сторін, а площа квадрата — квад­ рату його сторони. rg S r< x b 283. 1 мм^, 1 см^, 1 дм^ 1 м^ 1 км^ =36°; ^ = 54° 2+Z+b 180° 5 =90°. 2-НЗ-І-5 В ідп овідь: 36°, 54°, 90°. bo 1 ар, 1 га. 2 +г+ь 284. 1 км2 = (1000 м)2 = 1 О О О О О О w w 285. .4 1 га = (100 м)2 = 10 О О м^ 1 ар = О = (10 м)2 = 100 w Так, із будь-яких рівних прямокутних трикутників можна скласти прямокутник, досить їх розмістити так, як показано на рисунку. 286. б ) і ^ = 15°; ^ 0 1 1 =75°; l-t-5 +б 1 +5-І-6 МОЇ® =90°. ІЧ-5-І-6 В ідп овідь: 15°, 75°, 90°. 180°-і „ . 2 2 3 180° — ^ = 1 8 0 ° - і =54°; 5 2 2 2 3 З 2 Щоб знайти площу прямокутного трикут­ ника, досить знайти півдобуток сторін, я к і утворюють прямий кут. 287. 20 га : 0,5 км = 10 О Ом^: 500 м = О = 20 м. В ідп овідь: 20 м. 2 2"^3 В ідп овідь: 54°, 54°, 72°. 295. А =
  29. 29. Нехай у трикутника ABC кут С — пря­ мий, ZC = 90°, тоді ZA + ZB = 180° - ZC, звідси ZA + Zß = 180° - 90° = 90°. Отже, ZA + Z.B = 90°. Таким чином, сума го­ стрих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. 30° 20° 90° 83° 95° 66 ° 54° В 70° 60° 45° 80° 35° 47° 72° 180° •З кутн ика -—-—г = 90°. Отже, даний 14* л +U трикутник прямокутний. 80° 100 ° 45° 17° 50° 67° 54° 302. гВСА = 180° - Zß - ZCAß = 180° - 30° - 45° = 105°. ZATCß = 180° - ZßCA = 180° - 105° = 75° В ідп овідь: 75°. oo k. or 297. а) Нехай перший і другий кут трикутника дорівнюють по д;°, тоді третій кут дорівнює х° + 30°. Тоді х + х + х + -н ЗО = 180, звідси Зх = 150, х = 50. Отже, кути трикутника дорівнюють 50°, 50°, 80°. В ідп овідь: 50°, 50°, 80°. б) Нехай перший кут трикутника дорів­ нює х°, тоді два інших кути дорівнюють х° - 20° і х° - 40°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо х + х - 20 + + X - 40 = 180. Звідси Зх = 240, х = 80, тоді л: - 20 = 80 - 20 = 60, х - 40 = 40. Отже, кути трикутника дорівнюють 80°, 60°, 40°. В ідп овідь: 80°, 60°, 40°. в) Нехай перший кут трикутника дорівX ® нює х°, тоді другий кут дорівнює — , 301. ZC = 180° - (ZA + ZB) = 180° - 100° = 80°; ZA = 180° - (Zß -і- ZC) = = 180° - 120° = 60°; ZB = 180° - АС - ZA = 180° - 60° = 120°. В ідп овідь: ZA = 60°, ZÖ = 40°, ZC =80°. g 296. 300. Знайдемо найбільший кут три- w .4 b 303. w w а третій — х° - 10°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то маємо — -І-дг-10 =180, тоді 2х + л: + 2* - 20 = 2 = 360, 5х = 380, X = 76. Отже, кути трикутника дорівнюють 76°, 38°, 66°. В ідп овідь: 76°, 38°, 66°. в LH л ZBCA = 180° - ZA - Zß = 180° - 30° - 60° = = 90°; ZACL =iz ß C A =і - 90° = 45°; 2 2 ZACH = 180° - ZA - ZH = 180° - 60° = = 90° = 30°; ZHCL = ZACL - ZACH = 45° - 30° = 15° В ідп овідь: 15°. 304. 298. Z1 = ZA -н ZB = 65° -(■65° = 130“. В ідп овідь: 130°. 299. Ні, не може, бо тоді кожен кут трикутника дорівнював би 180° - 100° = = 80°, а сума кутів трикутника дорівню­ вала б 80° • З = 240°, що неможливо. 2 У Г І, 7 клас сі Д а) ZACB = 180° -Z A -Z B = 180° - 40° =60°; ZACL =-ZACB = 2 2 60° = 30°; ZCLA = 180° - ZACL - ZCAL = 180° - 30° - 80° = 70°. В ідп овідь: 70°.
  30. 30. б) /ІОАВ =- гСАВ = і ■ = 40°; 80° 2 2 ZOBA =і гСВА =і ■ =20°: 40° 2 2 ZAOB = 180° - ZAOB - гОВА = 180° - 40° - 20° = 120°; ZLfiA = 180° - ZAOB = 180° - 120° = 60°. В ідп овідь: 60°. 305. в) ZI =ZA+ Zß = 100°; Z2 =Zß +ZC =130° Z3 = 360° - ZI - Z2 = 360° - 100° - 130° = = 130°. В ідп овідь: 100°, 130°, 130°. 307. я ,N ch ^ В а) ZACH = 180° -Z A -Z H = 180° - 30°- 90° = 60°; ZBCH = 180° - ZB - ZH = = 180° - 60° - 90° = 30°. В ідп овідь: 60° і 30°. w w w 306. .4 b oo k. o rg ZNCM = ZMCB (за умовою, бо CM — бісектриса кута NCB). ZCAB = ZCBA (за умовою). Оскільки ZNCB = ZA + ZB - 2ZB, тоді 2ZMCB = 2Zß, звідси ZMCB = ZB. Оскільки ZMCB і ZB — внутрішні різносторонні при прямих AB і СМ та січній А В Н I б) ZACH=180° -ZA-ZH =180° - 30“- 90”=60°; СВ і ZMCB = ZB, то AB I CM. ZCBH = 180° - Zß = 180° - 120° = 60°; 308. ZBCH = 180° - ZCBH -Z H = 180° - 60° - 90° = 30°. В ідп овідь: 60° і 30°. ZMNC = ZI + Z4 (бо ZMNC — зовнішній кут трикутника ADN)-, ZCMN = Z2 + Z5 (бо ZCMN — зовнішній кут трикутника ВЕМ). Оскільки ZMNC + ZCMN + Z3 = 180°, то Z1 + Z4 + Z2 + Z5 + Z3 = 180°. Отже, сума кутів А, В , С, D, Е п’ятикутної зірки дорівнює 180°. 309. Оскільки Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = Z5 = = Z6 = 45°, то Z5 + Z4 = Z3 + Z3 = = Z1 + Z6 = 90°, тоді Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + + Z5 + Z6 = 270°. б) ZI = 180° - 40° = 140°; Z2 = 180° - 120° = В ідп овідь: 70°. 310. Неправильно, бо ZA^ + ZB^ + = 60°; Z3 = 360° - ZI - Z2 = 360° - 140° + Z C * 180° (50°10' + 48°20' + 80°5') = - 60° = 160°. = 179°35' 5 180°). ^ В ідп овідь: 140°, 60°, 160°. а) ZI = 180° - 40° = 140°; Z2 = 180° - 50° = 130°; /З = 360° - Z l- Z 2 = 360° - 140° - 130° = 90°. В ідп овідь: 140°, 130°, 90°.
  31. 31. Практичне завдання 311. С звідси АС = 2MN, 10 = 2MN, тоді MN = = 5 (см). В ідп овідь: 5 см. в 315. А Бісектриси AL,, BL^, CL^ трикутника ABC перетинаються в одній точці L. С М Рблвс = 22 см, = 12 см, = = 16 см. О с к іл ь к и н + 2ВМ, то 12 + 16 = 22 + 2йМ, тоді 2BM = 12 + 16 - 22, 2ВМ = 6, ВМ = З (см). В ідп овідь: З см. Вправи для повторення М N 312. 2. ' * ' с " ’ MN =MC +CN=^-AC +^BC = 2 2 2 w 313. w В ідп овідь: w =І(А С +В С )Л Л В = | . Нехай Р, 314. ^І ЛВ С ~ ^ ^ A M ß N ’ ТОДІ AB + ВС + АС = 2 ■(M B + BN + MN); АВ + ВС + АС = 2МВ + 2BN + 2MN; AB ■ ВС+АС =АВ + ВС + 2MN; ¥ 2* 180° 2 Нехай Z1 ; Z2 =2 : з, тоді Z l =——— =72°; 2 +3 180®’3 Z2 =--------- =108°. Кути, утворені бі2+3 сектрисами цих кутів і січною, відно72»:2 36 2 сяться як 108°:2 54 З В ідп овідь: 2 : 3 . .4 bo ok .o Медіани AM,, ВМ^, СМ^ трикутника ASC перетинаються в одній точці М. rg 316. § 11. Про рівність геометричних фігур А 327. Ні, не можуть. Оскільки найменші сторони трикутників не рівні, то три­ кутники не можуть бути рівними. 328. Нехай пряма о, яка проходить через центр о кола, розбиває його на дві дуги. Ці дуги рівні. Щоб їх сумістити, досить одну дугу повернути навколо точки О на кут 180°. 329. Оскільки АКРТ = ААВС, то = = К Р + РТ + КТ =АВ + ВС +АС = З см + + 4 см + 5 см = 12 см. В ідп овідь: 12 см. 330. Сторони AB і А,С, не сумістяться. Сторони ВС і В,С, сумістяться. Медіани AM і А,М, сумістяться.
  32. 32. 331. К Т = BD = 3,8 см; ZT = ZB = = 70“. В ідп овідь: 3,8 см; 70°. 332. ZA = ZK = 60°, ZB = ZP = 60°. ZC = 180° - 60° - 60° = 60°. В ідп овідь: 60°, 60°, 60°. 333. AABC може дорівнювати UCPT, оскільки AB Ф KP. ZA0B =. ^ 5 2 ! ^ =75°; ZBOC =1 » ° 1 ± ^ = 105°. ZMÄ-P =i55^ = 105°; 7 +5 ZM KP =^ ^ ^ =7S°. 7 +5 Звідси ZAOB = ZPKN, ZBOC = ZMKP. 338. a) В 334. С N .4 bo ok .o Ці кути можна сумістити двома спо­ собами: 1-й спосіб: сторона ВА сп ів п ад ає зі стороною РК , сторона ВС збігається зі стороною РТ; 2-й спосіб: сторона ВА зб іга є ть с я зі стороною РТ, а сторона ВС збігається зі стороною РК. 335. Оскільки кути трикутникаЛ,В,С, дорівнюють: rg в w 180°.5^^0°; і ^ =60°; 5 +6 +7 5+6 +7 w 180°-7 =70° і ДА,В,С, — гострокутний, 5 +6 +7 D М 339. л D В К С Нехай AB = X см, тоді ВС = д: + З см. За умовою задачі: дг + дг + 3 + д: + д: + 3 = 34, тоді 4х = 28, х=7. w Отже, AB = 7 см, ВС = 10 см, =7 х X 10 = 70 (см*). Якщо площа п рям окутн и ка M N PK дорівнює 70 см‘ , то він може дорівнювати прямокутнику ABCD. Якщо площа прям окутника M N PK дорівнює 72 ом*, то він не може дорівнювати прямокутнику ABCD. то ААВС * AA,ß,Cj. 336. ZC = ZK = 60°, В ідп овідь: ZA = ZM = 40°; ZB = ZN = - 80°: ZC = ZK = 60°. Ъ 1. У 340. у •в с / о с м к N ААВС = ДАОС; ААВС * ACDK.
  33. 33. 341. в А Два кола можуть розділити площину на три або чотири частини. с р D К м КТ = АС = 26 см. с а)е с е с е о & ,с р б) в) Три кола можуть розділити п.пощину на чотири, п’я т ь , ш ість, сім , вісім частин. 348. S = яЛ^ = Т • 500^ = 250 000л (м^) = І = 25л (га). В ідп овідь: 26л га. 342. 4 rg 349. ZB -t- ZC = 180° -Z A = 180” - 70° = 110°. 110® -20° .4 bo ok .o АВ = ЕА; &ОВС = АОАЕ. 343. Вірно. Щоб впевнитися в цьому, досить виконати поворот квадрата (пря­ мокутника) навколо точки О на 180“, при цьому частини квадрата (прямокут­ ника) сумістяться. Практичне завдання 344. в о м і ON — бісектриси. ZOBC =і^ Л =- - 45° = 22°30'; w 2 5 =я -32 =9^ =28,26 (см^, С =2л •З =6л а 18,84 (смі w 345. w Вправи для повторення 2 ZOCB = і Z =і2 C 2 ZNOC = ZOBC + о с в г = 55°. В ідп овідь: 55°. =22°30' -н32°30' = 5 >к 350. 346. 65° = 32°30': A 1 ' Л с 1R0® ZA = ZB = ZC =^ ^ =60°. =— =— =1,8я =5,65 (см*). ”*■ 5 ' 5 » О о О а) б) AM, BN — бісектриси. 60° ZBAO = ZABO =— =30°: 2 ZBOM = ZBAO + ZABO = 30° + 30° = = 60°. В ідп овідь: 60°.
  34. 34. § 12. Ознаки рівності трикутників А 354. BAD і CAD, то згідно з другою оз­ накою рівності трикутників ABAD = = ACAD, тоді BD = CD. 361. D в Оскільки АО = ВО, СО = OD, ZAOC = Оскільки в трикутниках ABL і ACL маємо: = ZBOD (як вертикальні), то ДАОС = AB - АС (за умовою), ZBA1, = ZCAL = = ABOD (за першою ознакою рівності = 30° (бо AL — бісектриса), AL — спільна трикутників). сторона, то AABL = AACL. Із рівності трикутників маємо: 355. а) BL = LC; б) ZALB = ZCLB = ^ ^ = 90°, тобто AL X ВС. rg 362. в. Гі oo k. o Оскільки КМ =МР, ЕМ =MG, гК М Е = = ZPMF (як вертикальні), то АКМЕ = = APMF (за першою ознакою рівності трикутників), тоді КЕ = PF = 12 см. 356. Рівні згідно з першою ознакою рівності трикутників. 357. с Cl w w w .4 b у трикутниках ABÖ і CDB-. BD — спільна сторона; Z1 =Z2 (як внутрішні різносторонні кути при паралельних AB і CD та січній BD); Z3 = Z4 (як внутрішні різносторонні кути при паралельних ВС і AD та січній BD), тоді за другою ознакою рівності трикутників AABD = ACDB. Із рівності трикутників маємо: а) AB = CD; б) B C = A D ;b)Z A = ZC. Оскільки ZA = ZA,, ZB = Zß,, тоді ZC = 363. ЛАВС = АКТР за першою ознакою = ZC^ = 180° - ZA - ZB. Оскільки AC =AjC,, ZA - ZA,, ZC = ZC,, рівності трикутників, оскільки АВ =КТ, АС = К Р , ZA = ZK. TO згідно 3 другою ознакою рівності 364. PT =AB, оскільки ДАБС = АТРС трикутників ДАВС = ДА,В,С,. 358. Оскільки В М = MC (бо AM — за першою ознакою рівності трикутників медіана), М К =МА (за умовою), ZAMC - (AC = ТС — за умовою, ВС = PC — за = Z K M B (я к вертикальні), то згідно умовою, ZACB = ZTCP — як вертикальні з першою ознакою рівності трикутників кути). 365. А В = В М , о скіл ьки ААВС = ДАСМ = г л в м . 359. Рівні згідно з другою ознакою = АМВС за першою ознакою рівності трикутників (ВС — спільна сторона, рівності трикутників. АС = MC — за умовою, ZBCM = ZBCA — 360. за умовою). 366. Оскільки ZBAD = ZCAD (бо AD — бі­ сектриса), ZBDA = ZCDA (за умовою), AD — спільна сторона трикутників
  35. 35. AAOD =АСОВ за першою ознакою рівності трикутників (АО = СО, DO = ВО, ZI = =Z2 — як вертикальні). Із рівності три­ кутників маємо ZOßC = ZODC, ZOAD = = ZOCß, тобто ZABC = г л о с , ZBAD = = ZBCD. С Bl Li Cl a) Оскільки AABC = A A lß lC l, то AB = = A l ß l , ZB = Z B l, ZA = Z A l, тоді Z1 = Z2 =-^^ — як половини рівних 2 кутів ВАС і ß lA lC l. ABAL = Aß|A,L,, оскільки ВА = ß,A,, Z1 = Z2, ZB - ZB^. Із рівності цих трикутників маємо AL - A^L^. А oo k. or 368. С Аі 370. g AACO =ACDO за другою ознакою рівності трикутників (Z1 = Z2 — як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АС і BD та січній Aß; АО = OB — за умовою; Z3 = Z4 — як вертикальні). Із рівності трикутників випливає, що АС = BD = 8 см. Ві Ні Сі б)Оскільки AAßC = AAjßjC,, T0.4ß =A,ß,, ZB = Zß,, тоді ZI = Z2 = 90° - ZB. ABAH = ДВ|А,Я,, оскільки BA = ß,Aj, ZB = ZB^, ZI = Z2. Із рівності цих трикутників маємо АЯ =А^Н^. 371. ААВС = ACDE = AEFA за першою ознакою рівності трикутників (Aß = = ВС = CD =DE = EF = FA — за умовою, ZB = ZD = ZF — за умовою). Із рівності цих трикутників маємо АС = СЕ = ЕА. Отже, ААСЕ — рівпосторонній. 372. Оскільки AD = CF, тоді AÜ + DC = = DC + CF або AC = DF. Оскільки ZI = Z2, Z3 = Z4, тоді ZBCA = = ZEFD = 180° - ZI - Z3. AABC = ADEF за другою ознакою, ос­ кільки AC = DF, ZI = Z2 — за умовою, ZBCA = ZEFD — за доведенням. w w w .4 b ДАСО =ABDO за першою ознакою рівності трикутників, бо СО = DC — за умовою, АО = ВО — за умовою, Z1 = Z2 — як вертикальні. Із рівності трикутників випливає, що Z3 = Z4. Оскільки Z3 і Z4 — внутрішні різносторонні кути при прям их АС і BD та січній AB і Z3 = Z4, то АС I BD. I Аі 369. М С Bl Ml Cl Оскільки AABC = AAjßjCj, то Aß =A,ß,, ZB =Zßj, BC =B^C^, тоді BM =B^Mj (як половини рівних сторін ВС і ß,C,). АВАМ =Aß,AjM,, оскільки BA = В^А^, ZB = ZB^, BM = BjM j. Із рівності цих трикутників маємо AM = А^М^. Отже, медіани рівних трикутників, проведені до рівних сторін, рівні. 373. ^
  36. 36. ÄfiAL = ACAL за другою ознакою рівності трикутників, оскільки AL — спільна сторона; Z1 = Z2 — оскільки AL — бі­ сектриса кута А; /.BLA = ZCLA = 90°. Із рівності цих трикутників випливає, що AB = АС. 374. ААХВ = ААСХ за другою ознакою рівності трикутників (Aß — спільна сторона, Z1 = Z2 — за умовою, Z3 = =Z4 — за умовою). Із рівності цих три­ кутників випливає, що AX' =АС. 378. А D Прямокутник можна розрізати безліччю способами на дві рівні фігури. 379. rg з .4 bo ok .o За умовою задачі маємо 5х + 4х + 4,5х + = 28. 1 3 , 5 л : = 27, х = 2. Тоді сторони трикутника дорівнюють 10 см, 8 см і 1 0 см. Отже, трикутник має рівні сторони. w w + 1 в w 377. с в D А D а) б) Прямокутник можна двома способами розрі­ зати на два рівних прямокутники (а, б). в С Вправи для повторення 375. Нехай х° — менший кут, х° ч+40° — більший кут, тоді суміжні з ними к у т и до р івн ю ю ть 180° — х° і 180° - х° - 40° = 140° - х°. За умовою 180-л; задачі маємо 900 - 5х = 980 = 1 4 0 -х = 7х, 2х = 80, X = 40. Отже, шукані кути дорівнюють 40 ° і 80°. В ідп овідь: 40° і 80°. 376.Нехай одна сторона трикутника дорівнює 5х см, друга — 4х см, тоді 5х +4х третя сторона — - +1 =4,5л:4-І (см). в N с м — бісектриса кута А (Z1 = Z2), CN — бісектриса зовнішнього кута BCD (Z3 = Z4). Самостійна робота З Варіант 1 1. А м а 2. 180° - 35 - 68°= 77°. В ідп овідь: 77°. 3. Нехай сторони трикутника дорівнюють X см, (х - 3) см і (дг + 5) см. За умовою задачі маємо х + х - 3 + х + 5 = 35. Звідси Зх = 33, X = 11. Отже, сторони дорівнюють 11 см, 8 см і 16 см. В ідп овідь: 11 см,8 см і 16 см. 4. в ZMCN = Z1 + Z3 =і ZACB +і ZßCD = 2 2 = |(ZACß+ZßCZ)) =| l8 0 ° =90°. В ідп овідь: 90°. ДАВЯ = АСВН за першою ознакою рів­ ності трикутників, оскільки AB = ВС — за умовою, ВН — спільнасторона, Z1 = = Z2 (бо ВН — бісектриса кута В).
  37. 37. Варіант 2 4. 4. Варіант 4 5 /1 1- і к g 2. 180° - 120° - 57° = 3°. В ідп овідь: 3°. 3. Нехай сторони трикутника дорівнюють X м, (х - 8) см і (ж - 5) см. За умовою задачі маємо х + д г - 8 + д : - 5 = 50. Звідси З ї - 13 = 50, Зх - 63, X = 21. Отже, сторони дорівнюють 21 м, 13 м, 16 м. В ідп овідь: 21 м, 13 м, 16 м. А М с ААЗМ =АСВМ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки ВМ — спільна сторона, ZAMB = ZCMB = 90°, Z1 = /2 = = 90° - ZA = 90° - ZC. oo k. or А N С 2. 180° - 130° - 25° = 25°. В ідп овідь: 25°. 3. Нехай сторони трикутника дорівнюють JCм, 2зс см і (лс + 1) см. За умовою задачі маємо х + 2х + х + 1= 85. Звідси 4х = = 84, д: = 21. Отже, сторони дорівнюють 21 м, 42 м, 22 м. В ідп овідь: 21 м,42 м, 22 м. .4 b АКРМ = АТРМ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки Z1 = = Z2 (бо РМ — бісектриса), Р М — спільна сторона, ZKPM = Z.TMP = 90° (бо РМ — висота). Р w 4. 1. А. w w Варіант З В 2. М = 37°. 180° - 87° - 5 6 ° В ідп овідь: 37°. 3. Нехай сторони трикутника дорівнюють X см, — см, (х - 8) см. За К н т АКРН = АТРН за першою ознакою рівності трикутників, оскільки КН - = НТ (бо PH — медіана), PH — спільна сторона, /.КНР = ZTHP = 90° (бо PH — висота). Задачі за готовими рисунками 1. a ) z A =^ ^ ^ ^ l - ^ ^ ^ = 60 °.^ .5 = умовою задачі x +—+x - S =G2. Звідси 2х + х + 2 х - 1 6 = 124, 5х = 140, л: = 28. Отже, сторони дорівнюють 28 см, 14 см, 20 см. В ідп овідь: 28 см, 14 см, 20 см. В ідп овідь: 24°, 36°. го го C Q LD т X т > N Q. 5 Ъ З сс Q.
  38. 38. 1 чп° ZA = ^ ß =i2 — = 65°. 2 В ідп овідь: 65° і 65°. б) та го со ф L Q та I 2. ZB = 180° - ZA - ZC = 180° - 60° - 60° = = 60°. В ідп овідь: 60° і 60°. a ) Z ß =i § 5 ^ = 60°; 4 +5 Тестові завдання З ^^, =1 ^ =75°. 4 +5 В ідп овідь: 60° і 75°. б) Номер завдання 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ZßOC =1 8 0 °-ZOßC-ZOCB =180°- - і ZAßC - і ZACB = 180° - і (ZAßC + т > ч о. +ZACS) = 180° - і - 120° = 180° - 60° = 2 .д с = 120 ° . 4. Типові задачі для контрольної роботи .4 bo ok .o /ЛКС = 130° - Z2 = 130° - 40° = 90°; Z3 = 180° - ZAKC = 180° - 90° = 90°. В ідп овідь: 90° і 80°. 6)ZBAH = 90° - ZB = 90° - (180° - ZCAB - ZC) = 90° - (180° - 100°) = 10°. ZCAH = 90° - ZC = 90° - 50° = 40°. В ідп овідь: 10° і 40°. rg о 3 В ідп овідь: 120°. S Ü 3. а) ZAMC =130°-/1 =130°-30° =100°; L ь- Z4 = 180° - ZAMC = 180° - 100° = 80°. Правильна відповідь Б В Г Б В Г А Б Б В a) ZA = ZC =1 5 « = 5 0 ° ; 2 w w w Z1 = Z2 =— =25°. 2 ZAKC = 180° - ZC - ZI = 180° - 50° - 25° = 105°. В ідп овідь: 105°. 1. А MLH В 180° - 95° - 43° = 42°. В ідп овідь: 42°. 3. ZA = Z K = 40°, ZB = ZP^bO^, ZC = ZT = 180° - 70° - 50° = 60°. В ідп овідь: 70°, 50°, 60°. 2. 4. =12 см. В ідп овідь: 12 см. 5. AABM = ACBM за першою ознаксло рІБНості тр и к у тн и к ів (AB = ВС — AC = КС - AK = 11 см - 5 см = 6 см. за умовою, В М — спільна сторона, В ідп овідь: 6 см. ZABM = ZCBM — бо ВМ — бісектриса). 6 . К Із рівності трикутників маємо ZAMB = = ZCMB = 90°. ZAOM = 180° - 120° = 60°; ZOAM = 90° - ZAOM = 90° - 60° = 30°; ZC = ZA = S J = 2 • ZOAM = 2 ■30° = 60°. N *3 -
  39. 39. с = 120 ° . ш < и ю В ідп овідь: 120°. В 390. S S І т >ч а .5 с а) 1-й випадок: ZB = ZA + 30°, тоді = 50°; ZB = 50° + 30° = 80°. Отже, кути дорів­ нюють 50°, 50° і 80°. .4 bo ok .o 9. 387. 12 - 2 • 5 = 2 (см). В ідп овідь: 2 см. 388. (180° - 80°) : 2 = 100° : 2 = 50°. В ідп овідь: 50° і 50°. 389. 180° - 2 30° = 180° - 60° = rg AAOP = ABOK за першою ознакою рів­ ності трикутників, оскільки АО = OB — за умовою, OK =OP — за умовою, /ЛОР = = /.ВОК — як вертикальні. 7. ААВС = & AJCC за другою ознакою рівності трикутників, оскільки ZBAC = ZKAC — за умовою, Z.BCA = ZKCA — за умовою, АС — спільна сторона. Із рівності цих трикутників випливає, що AB = AK. 8. Знайдемо зовнішні кути трикутника, враховуючи, що їх сума дорівнює 360°. 360°-З 360°-7 =140°; =60°; 3+7+8 3+7+8 360°-8 =160°. 3+7 +8 Тоді кути трикутника дорівнюють: 180° - 60° = 120°, 180° - 140° = 40° 180° - 160° = 20°. В ідп овідь: 120°, 40°, 20°. w АСНВ = АСРА за другою ознакою рів­ ності трикутників, оскільки СН - СР — за умовою, ZC — спільний, ZCHB = = ZCPA - 90° — бо ВН і АР — висоти. Із рівності трикутників випливає, що АР = ВН. w w 10. А В 2-й випадок; ZB = ZA - 30°, тоді ^ = ^С =И 2 !± ^ =70°; З ZB - 70° - 30° = 40°. Отже, кути дорів­ нюють 70°, 70° і 40°. В ід п о в ід ь : 50°, 50°, 80° або 70°, 70°, 40°. С Оскільки ЛС = ВС І АР і ВН — медіани, то Aff = ЯС = Сі> = РВ. ААРС = АВНС за першою ознакою рів­ ності трикутників, оскільки СО = СН — за доведенням, АС = ВС — за умовою, ZC — спільний. § 13. Рівнобедрений трикутник А 386. Рд = 15 + 26 • 2 = 67 (см). В ід п о відь : 67 см. б) 1-й випадок: ZC = 2ZA = 2ZB, тоді о S к а.
  40. 40. Нехай ZB = 90°, тоді ZA = ZC =1 5 5 1 ^ =50°. 2 a) AL — бісектриса кута A, тоді Отже, кути дорівнюють 45°, 45° і 90°. ZCAZ, =— = — = 25°. 2-й випадок: 2 2 1яп° ? =72° ZA = 2ZC =ZB, тоді ZA = ZB= 6) AL — бісектриса кута A, тоді 5 180°'1 ZC =— — = 36°. Отже, кути дорівню­ ють 72°, 72° і 36°. В ід п о в ід ь : 45°. 45°, 90° або 72°, 72°, 36°. ZßAL =— =— = 25°. 2 2 b)AL — висота, тоді ZBAL = 90° - 80° = 10°, ZCAL = ZA - ZBAL = 50° - 10° = 40°. В ідп овідь: a) 25°; б) 25°; в) 40°. 394. а) о rg 50-2 = .4 bo ok .o 1+ 2 + 2 Нехай ААВС — рівнобедрений, AB = ВС. 1-й в’ипадок: /Л = ZC = 60°, тоді Z.B = = 180° - 60° - 60° = 60°. Отже, ДАВС — рівносторонній. 2-й випадок: ZB = 60°, тоді Z =Z =1 5 0 !^ =60°. A C 3 +3 +4 ^ ^ 2 0 1+ 2 + 2 (см). =15 (см), ^ °^ - = 15 (см). 3 +3 +4 50-4 = 20 (см). 3 +3+4 В ідп овідь: а) 10 см, 20 см, 20 см; б) 15 см, 15 см, 20 см. 395. с w w w Отже, ААВС — рівносторонній. Отже, якщо який-небудь кут рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то цей трикутник рівносторонній. б) (см). Нехай ZC = 30°, тоді Z =Z =i « ° : : ^ =l ^ =75°. A C Оскільки AB = ВС, то ZC = ZA. Оскільки A S = AC, то ZC = ZB. Оскільки ZC = ZA, ZC = ZB, то ZA = ZB = ZC. 393. ^ ZHBA = 90° - ZA = 90° - 75° = 15°. ZGAB = 90° - Zß = 90° - 75° = 15°. ZAOH = ZHBA + ZGAB = 15° + 15° = 30°. В ідп овідь: 30°. 396. в
  41. 41. Нехай ВН — медіана і висота трикутника ABC, тобто ZAHB = 90° і ЛЯ = СЯ. М ЯВ =АСНВ за першою ознакою рівності трикутників, оскільки ВН — спільна сторона, ЛЯ = СЯ, 2лН В = ZCHB = 90°. Із рівності цих трикутників маємо AB ВС, тобто ААВС — рівнобедрений. - 2BD; 2BD = 80 - 50; 2BD = ЗО; BD -- 15. В ідп овідь: 15 см. § 13. Рівнобедрений трикутник А 397. 386. = 15 + 26 • 2 = 67 (см). В ідп овідь: 67 см. 387. 12 - 2 ■5 = 2 (см). В ідп овідь: 2 см. 388. (180° - 80°) : 2 = 100° : 2 = 50°. В ідп овідь: 50° і 50°. 389. 180° - 2 • 30° = 180° - 60= = = 120 ° . 390. rg В ідп овідь: 120°. в oo k. o Нехай ВН — висота і бісектриса три­ кутника ABC, тобто /ЛНВ = ZCHB = 90°, гА ВН = ZCBH. ААНВ =АСНВ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки ВН — спільна сторона, ZAHB = гС Н В = 90°, ZABH = =ZCBH. Із рівності трикутників маємо AB = ВС, тобто ДАВС — рівнобедрений. 398. в 2 2 w Оскільки AK — бісектриса, то /А 79° ZBAK = ZCAK =— = — =3& '‘. 2 w w 2 пз 5«: S І зЁ: .5 'п о S ос а. О а) 1-й випадок: ZB = ZA + 30°, тоді .4 b Оскільки в трикутнику ЛВС AB = ВС і ZB = 36°, то са гп m ф ю З ZB = 50° -І- 30° = 80°. Отже, кути дорів­ нюють 50°, 50° і 80°. Оскільки в трикутнику ABJiT ZB = ZBAK, то В К = АК. ZAKC = 180° - Z C - ZCAK = 180° - 72° - 36° = 72°. Оскільки в трикутнику ЛКС ZAKC = = ZACK = 72°, ю А К = АС. Оскільки В К = А К ,А К = АС, то В К = =АК = АС. 2-й випадок: ZB = ZA - 30°, тоді 180°-І-30“ ZA = ZC = =70°; ZB = 70° - 30° = 40°. Отже, кути дорів­ нюють 70°, 70° і 40°. В ідповідь: 50°, 50°, 80° або 70°, 70°, 40°. З Х
  42. 42. Отже, якщо який-небудь кут рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то цей трикутник рівносторонній. Оскільки AB = ВС, то ZC = ZA. Оскільки AB = AC, то ZC = ZB. Оскільки ZC = ZA, ZC = ZB, то ZA = ZB= ZC. 393. ^ = 90=. .4 bo ok .o ZC =1 rg б) 1-й випадок: гС = 2ZA = 2Zß, тоді Отже, кути дорівнюють 45°, 45° і 90°. 2-й випадок: /Л = 2/С = ZB, тоді ^ = ^ 3 = 1 8 ^ =72°; w 391 w w ISO"’ *! /СС=— -— = 36°. Отже, кути дорівнюD ють 72°, 72° і 36°. В ід п о в ід ь : 45°, 45°, 90° або 72°, 72°, 36°. Нехай ZB = 90°, тоді 2 а) AL — бісектриса кута A, тоді ^CAL =^ 2 z ^ = z c = i 8 « l : :^ = 6 0 ° . 2 Отже, ААВС — рівносторонній. = 25°. 2 б) AL — бісектриса кута A, тоді ZBAL =^ =— = 25°. в) AL — висота, тоді ZBAL = 90° - 80°; = 10°, ZCAL = ZA - ZBAL = 50° - 10° : = 40°. В ідп овідь: a) 25°; 6) 25°; в) 40°. 394- a) Нехай ААВС — рівнобедреиий, AB = ВС. 1-й випадок: ZA = ZC = 60°, тоді ZB = 180" - 60° - 60° = 60°. Отже, ДАВС рівносторонній. 2-й випадок: ZB = 60°, тоді =^ ® ° '^ -= 2 0 1+ 2 + 2 = (CM). ? (cm ), 1 + = 20 (C M ). 2 -1-2 -V It' c , 1 tr ( , 6 ) 50*3 =15 (/ m ) 50-3 = 15 /c m ) 34-3 +4 a-f-3 +4 50-4 = 2 0 ( c m ). 3 +3 +4 В ід п о в ід ь : a) 10 c m , 20 6) 15 c m , 15 C M , 20 C M . c m , 20 c m ;
  43. 43. ZA = ZC = 180°-36° 144' 2 2 = 72°. Оскільки AK — бісектриса, то ^ 72' ZBAK = ZCAK = = 36°. 2 Нехай /-С = 30°, тоді =Z C =läO!z30!^1^^75o. /ІНВА = 90° - ZA = 90° - 75° = 15°. ZGAß = 90° - Zß = 90° - 75° = 15°. ZAOH = Ш ВА + /GAB = 15° + 15° = 30° В ідп овідь: 30°. 396. в 399. .4 bo ok .o Нехай ВН — медіана і висота трикутника ABC, тобто ZAHB = 90° і Af/ = СЯ. ЛАНВ =ACffB за першою ознакою рівності трикутників, оскільки ВН — спільна сторона. АН = СЯ, ZAHB = ZCHB = 90°. Із рівності цих тр и кутн и ків маємо AB = ВС, тобто ДАВС — рівнобедрений. rg ZA 2 Оскільки в трикутнику АВЛГ ZB = ZBAK, то В К = АК. ZAKC = 180° - Z C - ZCAK = 180° - 72° - 36° = 72°. Оскільки в трикутнику АКС ZAKC = = ZACK = 72°, то АК = АС. Оскільки В К = АК, АК = АС, то В К = = АК^АС. w w 397. Р^с = - 2SÖ. тоді 50 = 2 . 40 - 2BD-, 2BD = 80 - 50; 2BD = ЗО; BD = 15. В ідп овідь: 15 см. w Нехай ВН — висота і бісектриса три­ кутника ABC, тобто ZAHB = ZCHB = = 90°, ZABH = ZCBH. &АНВ =АСНВ за другою ознакою рівності трикутників, оскільки ВН — спільна сторона, ZAHB = ZCHB = 90°, ZABH = = ZCBH. Із рівності трикутників маємо AB = ВС, тобто ААВС — рівнобедрений. 398. в Нехай в трикутнику ABC АС = ВС, AL і BN — бісектриси трикутника. Доведемо, що AL = BN. Оскільки АС = ВС, то ZCAB = ZCBA, ZLAB = ZNBA. AALB = ABNA за другою ознакою рів­ ності трикутників (Aß — спільна сто­ рона, ZNAB = ZLBA, ZNBA = ZLAB). Із рівності цих трикутників випливає, що AL = BN. 401. Оскільки в трикутнику ABC AB = ВС і ZB = 36°, то с
  44. 44. Оскільки AB = CD і М — середина цих відрізків, то AM = M B = CM = DM. AACM = ADBM за першою ознакою рівності трикутників {AM = M B, CM = =MD, ZAMC =ZDMB — як вертикальні). Із рівності трикутників маємо: ZA = ZD, АС = DB. Оскільки ZA = /.D, АС = BD, AB = CD, то згідно з першою ознакою рівності трикутників маємо ААВС = ADCB. Випадок ZA ч- ZB = 60° неможливий. Отже, кути трикутника дорівнюють 30°, 30°, 120°. В ідп овідь: 30°, 30°, 120°. В 402. б) Нехай AB = ВС. Розглянемо два випадки. 1-й випадок: ZA + ZC = 150°, тоді в w w 403. .4 bo ok .o Нехай в трикутнику ABC AB =ВС =х, АС =у, = 2х + у . 1-й випадок: 2х + у - ЗО = X , 2х + у - 40 = у, тоді х + + І/ = ЗО, 2х = 40, х = 2 0 , у = 1 0 . Отже, AB = ВС = 20 см, AC = 10 см. 2-й випадок: 2х + у - ЗО = у , 2х + у - 40 = X , тоді 2х = = ЗО, X + у = 40, X = 15, і/ = 40 - 15 = 25. Отже, AB = ВС = 15 см, ВС = 25 см. В ідп овідь: 20 см, 20 см, 10 см або 15 см, 15 см, 25 см. ZA = ZC =i ^ =75°; 2 ZB = 180° - 2ZA = 180° - 150° = 30°. 2-й випадок: ZA + ZB = 150, тоді ZC = 180° - Z A - ZB = = 180° - 150° = 30°, ZA = ZC = 30°, ZB = = 150° - ZA= 150° - 30° = 120°. Отже, кути трикутника дорівнюють 75°, 75°, 30° або 30°, 30°, 120°. В ід п о в ідь : 75°, 75°, 30° або 30°, 30°, rg в w Припустимо, що ZA + ZB < 90°, тоді ZC < 90°, звідси ZA + ZB + ZC < 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника. Отже, припущення, що ZA + + ZB < 90° — невірне, а правильно, що ZA + ZB> 90°. а) Нехай AB = ВС, ZA + ZC = 60°, тоді ZA = ZC =— = 30", ZB = 1 S 0 ° - Z A 2 - ZC= 180° - 60° = 120°. 120 °. А С в) Нехай AB =ВС, Z1 = 15°, тоді ZB = = 180° - Z l = 180° - 15° = 165°, ZA = ZC =— = 7°30'. 2 Випадок Z2 = 15° неможливий. Отже, кути трикутника дорівнюють 7°30', 7°30', 165°. В ідп овідь: 7°30', 7°30', 165°. By .1 г) Нехай AB = ВС. Розглянемо два випадки. 1-й випадок: Z1 =115°, тоді ZB =180° - Z1 =180° - 115° = = 65°, /1 1 1 *© 4 ZA = ZC =— = = 57°30'. 2 2
  45. 45. 2-й випадок: Z2 = 115°, тоді ZA = ZC = 180° - Z2 = = 180°- 115° = 65°, ZB= 18 0°-65°-65° = = 50°. Отже, кути трикутника дорівнюють 57°30', 57°30', 65° або 65°, 65°, 50°. В ідп овідь: 57°30', 57°30', 65° або 65°, 65°, 50°. 405. а) Якщо основа і прилеглий до неї кут одного рівнобедреного трикутника дорівнюють основі і прилеглому до неї куту другого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні. Враховуючи, що AC = A,C, — за умо­ вою, ZA = ZA,, ZC = ZC,, TO за другою ознакою рівності трикутників ДАВС = = ДА,В,С,. в) Якщо бічна сторона і кут при основі одного рівнобедреного трикутника дорів­ нюють бічній стороні і куту при основі другого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні. В Ві .4 bo ok .o rg Нехай AB = ВС, A ,ß, = ß,C ,, AB =A^B^, ZA= ZA,. Оскільки AB = A^B^, AB = BC, A,B, = =B,C,, ToAB=A,B, = ßC = B,C,. Оскільки ZA = ZA,, ZA = ZC, ZA, = = ZC,, TO ZA = ZC = ZA, = ZC,, тоді ZB = ZB,. AABC = ДА,В,С, за першою ознакою рівності трикутників, оскільки AB = =А,В,, ВС = Л,С,. ZB = ZB,. w w w Нехай AB = ВС, А^В^ = В ,С,, АС = А,С,, ZA= ZA,. О скільки АС = А ,С , — за умовою, 406. Р = а + 2Ь. ZA = ZA, — за умовою, ZC = ZC, — 407. а ) 2 р - 2 6 ; бо ZC = ZA, ZC^ = ZA^ і ZA = ZA,, то ААВС = ДА,В,С, за другою ознакою рівності трикутників, б) Якщ о основа і прилеглий до неї кут одного рівнобедреного трикутни­ к а дорівнюють основі і прилеглому до неї к у т у другого рівнобедреного трикутника, то такі трикутники рівні. в Ві а) Нехай АВ = ВС= АС, тоді ZA =ZB = = ZC = 60°. AL, ВМ, CK — медіани, тоді AM = MC = = AL = CL^ = B K = AK. С Al AALC = ABMC = AAKC за першою оз­ Нехай AB = ВС, Л^В^ = B f^ , AC = A,С,, накою рівності трикутників, оскільки АС = ВС^А С. ZB = ZB,. LC = MC =AK, ZACL = ZBCM = ZJiTAC = Оскільки ZB = ZS, — за умовою, тоді = 60°. ZA, = ZC, = = ZA, =ZC,. 2 ZA - z c ^
  46. 46. б) Оскільки висоти AJC, ВН, CL в рівносторонньому трикутнику є його медіанами, а медіани рівні, то й висоти рівні, отже АК = ВН = CL. В 2-й випадок; ZA = ZC = Z1 = 40°, в) Оскільки бісектриси АХ, ВН , CL Z B ^ ZD= 100° + 40° = 140°. в рівносторонньому трикутнику є його Отже, кути чотирикутника дорівню­ медіанами, а медіани рівні, то і бісект­ ють 100°, 80°, 100°, 80° або 140°, 40°, 140°, 40°. риси рівні, отже АК = ВН = CL. В ідп овідь: 100°, 80°, 100°, 80° або 140°, 409. в 40°, 140°, 40°. rg Практичне завдання .4 bo ok .o 413. 410. 411. Вправи для повторення 414. А w 412. w w Вершини всіх рівнобедрених трикутників, я к і мають спільну основу, лежать на прямій, яка перпендикулярна основі і проходить через середину осно­ ви. 180°-100° =40°. Якщо ZDBC = 48° і BD — бісектриса кута ABC, то ZABC = 2 • 48° = 96°. В ідп овідь : 96°. 415. a ) i f ° ; ^ =120°; 1 - 1-2 1-й випадок; ZA = ZC = Z1 + Z3 = 80° ZB = ZU = 100°. 18012^ 2-1-3 і ^ 1 -1-2 =60°. 180-3^^„3„ 2-ьЗ В ідп овідь: а) 60° і 120°; б) 72° і 108°.

×