Your SlideShare is downloading. ×
6 m i_ua_2014
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

6 m i_ua_2014

91,702
views

Published on

апр

апр

Published in: Education

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
91,702
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
20
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Î.Ñ. Іñòåð ÊÈЇÂ «ÃÅÍÅÇÀ» 2014 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ Ïіäðó÷íèê äëÿ 6 êëàñó çàãàëüíîîñâіòíіõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäіâ Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 1Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 1 28.05.2014 15:28:1228.05.2014 15:28:12
  • 2. ÓÄÊ 51(075.3) ÁÁÊ 22.1ÿ723 І-89 © Іñòåð Î.Ñ., 2014 © Âèäàâíèöòâî «Ãåíåçà», îðèãіíàë-ìàêåò, 2014ISBN 978-966-11-0431-9 І-89 Іñòåð Î.Ñ. Ìàòåìàòèêà : ïіäðó÷. äëÿ 6-ãî êë. çàãàëüíîîñâіò. íàâ÷. çàêë. / Î.Ñ. Іñòåð. — Ê. : Ãåíåçà, 2014. — 296 ñ. : іë. ISBN 978-966-11-0431-9. Ïіäðó÷íèê âіäïîâіäàє ÷èííіé ïðîãðàìі ç ìàòåìàòèêè, ñêëàäàєòüñÿ іç ÷îòèðüîõ ðîçäіëіâ, ùî ìіñòÿòü 54 ïàðàãðàôè, êîæíèé ç ÿêèõ óìіùóє äîñòàòíþ êіëüêіñòü äèôåðåíöіéîâà- íèõ âïðàâ. Äëÿ ïіäãîòîâêè äî êîíòðîëüíîї ðîáîòè ïåðåäáà- ÷åíî «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü». Íàïðèêіíöі ïіäðó÷- íèêà íàâåäåíî âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі, ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê òà âіäïîâіäі äî áіëüøîñòі âïðàâ. Äëÿ íàéáіëüø äî- ïèòëèâèõ є íèçêà öіêàâèõ і ñêëàäíèõ çàäà÷ ó ðóáðèöі «Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó». ÓÄÊ 51(075.3) ÁÁÊ 22.1ÿ723 Ðåêîìåíäîâàíî Ìіíіñòåðñòâîì îñâіòè і íàóêè Óêðàїíè (Íàêàç ÌÎÍ Óêðàїíè âіä 07.02.2014 № 123) Íàóêîâó åêñïåðòèçó ïðîâîäèâ Іíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàїíè. Å ê ñ ï å ð ò Òîðáіí Ã.Ì., ïðîâіäíèé ñïіâðîáіòíèê Іíñòèòóòó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàїíè, ïðîôåñîð, äîêòîð ôіçèêî-ìàòåìà- òè÷íèõ íàóê Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãі÷íó åêñïåðòèçó ïðîâîäèâ Іíñòèòóò ïåäàãîãіêè ÍÀÏÍ Óêðàїíè. Å ê ñ ï å ð ò Ãëîáіí Î.І., çàâіäóâà÷ ëàáîðàòîðії ìàòåìàòè÷íîї òà ôіçè÷íîї îñâіòè Іíñòèòóòó ïåäàãîãіêè ÍÀÏÍ Óêðàїíè, êàíäèäàò ïåäàãîãі÷íèõ íàóê, ñòàðøèé íàóêîâèé ñïіâðîáіòíèê Âіäïîâіäàëüíі çà ïіäãîòîâêó ïіäðó÷íèêà äî âèäàííÿ: Ãëàäêîâñüêèé Ð.Â., ãîëîâíèé ñïåöіàëіñò äåïàðòàìåíòó çàãàëü- íîї ñåðåäíüîї òà äîøêіëüíîї îñâіòè ÌÎÍ Óêðàїíè; Ïàíüêîâ À.Â., íàóêîâèé ñïіâðîáіòíèê Іíñòèòóòó іííîâàöіéíèõ òåõíîëîãіé і çìіñòó îñâіòè ÌÎÍ Óêðàїíè. Âèäàíî çà ðàõóíîê äåðæàâíèõ êîøòіâ. Ïðîäàæ çàáîðîíåíî Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 2Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_R.indd 2 28.05.2014 15:28:1328.05.2014 15:28:13
  • 3. 3 Øàíîâíèé øåñòèêëàñíèêó! Òè ïðîäîâæóєø âèâ÷àòè îäíó ç íàéäàâíіøèõ і íàéâàæ- ëèâіøèõ íàóê — ìàòåìàòèêó.  îâîëîäіííі ìàòåðіàëîì êóðñó òîáі äîïîìîæå öåé ïіäðó÷íèê. Âіí ñêëàäàєòüñÿ іç ÷îòèðüîõ ðîçäіëіâ, ùî ìіñòÿòü 54 ïàðàãðàôè. Ïіä ÷àñ âè- â÷åííÿ òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó çâåðíè óâàãó íà òåêñòè, âèäіëåíі æèðíèì øðèôòîì. Öå ìàòåìàòè÷íі îçíà÷åííÿ, òåðìіíè, ïðàâèëà, ìàòåìàòè÷íі çàêîíè. Ó ïіäðó÷íèêó òè ïîáà÷èø óìîâíі ïîçíà÷åííÿ. Îñü ùî âîíè îçíà÷àþòü: — òðåáà çàïàì’ÿòàòè; — çàïèòàííÿ äî âèâ÷åíîãî òåîðåòè÷íîãî ìàòåðіàëó; — âïðàâè äëÿ ïîâòîðåííÿ; — âïðàâè ïіäâèùåíîї ñêëàäíîñòі; — öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ. ×îðíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ’ÿ- çóâàííÿ â êëàñі, à áëàêèòíèì êîëüîðîì ïîçíà÷åíî íîìåðè âïðàâ äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ âäîìà. Óñі âïðàâè ðîçïîäіëåíî âіäïîâіäíî äî ðіâíіâ íàâ÷àëü- íèõ äîñÿãíåíü і âèîêðåìëåíî òàê: çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ïî÷àòêîâîãî ðіâíÿ; çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè ñåðåäíüîãî ðіâíÿ; çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè äîñòàòíüîãî ðіâíÿ; çі çíà÷êà ïî÷èíàþòüñÿ âïðàâè âèñîêîãî ðіâíÿ. Ïåðåâіðèòè ñâîї çíàííÿ òà ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷- íîãî îöіíþâàííÿ òè çìîæåø, ÿêùî ðîçâ’ÿæåø «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü ç òåìè». ßêùî òè öіêàâèøñÿ ìàòåìàòèêîþ, ìîæåø óäîñêîíà- ëþâàòè âìіííÿ, ðîçâ’ÿçóþ÷è ïðîòÿãîì íàâ÷àëüíîãî ðîêó çàäà÷і іç çіðî÷êàìè òà çàäà÷і ðóáðèêè «Öіêàâі çàäà÷і äëÿ ó÷íіâ íåëåäà÷èõ», à òàêîæ çàäà÷і ðóáðèêè «Äëÿ òèõ, õòî ëþáèòü ìàòåìàòèêó». Áàæàþ óñïіõіâ! Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 3Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 3 28.05.2014 15:47:4528.05.2014 15:47:45
  • 4. 4 ØÀÍÎÂÍІ Â×ÈÒÅËІ! Ïіäðó÷íèê ìіñòèòü âåëèêó êіëüêіñòü âïðàâ. Îáèðàéòå їõ äëÿ âèêîíàííÿ íà óðîêàõ òà ÿê äîìàøíі çàâäàííÿ çàëåæíî âіä ïîñòàâëåíîї ìåòè, ðіâíÿ ïіäãîòîâëåíîñòі ó÷íіâ, ñòóïåíÿ іíäèâіäóàëіçàöії íàâ÷àííÿ òîùî. Âïðàâè, ÿêі íå ðîçãëÿíó- ëè, ìîæíà âèêîðèñòàòè ïіä ÷àñ äîäàòêîâèõ, іíäèâіäóàëü- íèõ, ôàêóëüòàòèâíèõ çàíÿòü, à òàêîæ çàíÿòü ìàòåìàòè÷íî- ãî ãóðòêà. Äîäàòêîâі âïðàâè ó «Çàâäàííÿõ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü» ïðèçíà÷åíî äëÿ ó÷íіâ, ÿêі âïîðàëèñÿ ç îñíîâíèìè çàâäàí- íÿìè ðàíіøå âіä іíøèõ ó÷íіâ. Ïðàâèëüíå їõ ðîçâ’ÿçàííÿ â÷èòåëü ìîæå îöіíèòè îêðåìî. ØÀÍÎÂÍІ ÁÀÒÜÊÈ! ßêùî âàøà äèòèíà ïðîïóñòèòü îäèí ÷è êіëüêà óðîêіâ ó øêîëі, òî âèíèêíå íåîáõіäíіñòü îïðàöþâàòè öåé ìàòåðі- àë óäîìà. Òåîðåòè÷íó ÷àñòèíó êîæíîãî ïàðàãðàôà ïîäàíî ìàêñèìàëüíî ïðîñòîþ, çðîçóìіëîþ ìîâîþ, ñóïðîâîäæóþ÷è її äîñòàòíüîþ êіëüêіñòþ ïðèêëàäіâ. Òîìó ñïî÷àòêó íåîá- õіäíî çàïðîïîíóâàòè äèòèíі îçíàéîìèòèñÿ ç òåîðåòè÷íîþ ÷àñòèíîþ ïàðàãðàôà, ïіñëÿ öüîãî äàòè âіäïîâіäі íà çàïè- òàííÿ, ùî ïîäàíî ïіñëÿ íåї. Äàëі ñëіä ïðèñòóïèòè äî ðîçâ’ÿçóâàííÿ âïðàâ ç óðàõóâàííÿì ïðèíöèïó «âіä ïðîñòî- ãî äî ñêëàäíîãî». Ñàìå çà òàêèì ïðèíöèïîì ðîçìіùåíî âïðàâè ó êîæíîìó ïàðàãðàôі. Êðіì òîãî, âè ìîæåòå çàïðîïîíóâàòè äèòèíі äîäàòêîâî ðîçâ’ÿçàòè âäîìà âïðàâè, ÿêі íå áóëè ðîçâ’ÿçàíі íà óðîöі. Öå ñïðèÿòèìå êðàùîìó çàñâîєííþ íàâ÷àëüíîãî ìàòåðіàëó. Ùîá ïіäãîòóâàòèñÿ äî òåìàòè÷íîãî îöіíþâàííÿ, äèòèíі âàðòî ðîçâ’ÿçàòè «Çàâäàííÿ äëÿ ïåðåâіðêè çíàíü ç òåìè», ïîäàíі â ïіäðó÷íèêó. Öå äîïîìîæå ïðèãàäàòè îñíîâíі òèïè âïðàâ. Áàæàþ óñïіõіâ! Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 4Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 4 28.05.2014 15:47:4528.05.2014 15:47:45
  • 5. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 5Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 5 28.05.2014 15:47:4528.05.2014 15:47:45
  • 6. Ðîçäië 1 6 Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî a äіëèòüñÿ íà 1 і a. Îòæå, 1 і a — äіëüíèêè ÷èñëà à, ïðè÷îìó 1 — íàéìåíøèé äіëü- íèê, a — íàéáіëüøèé. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 18. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Äâà äіëüíèêè ÷èñëà 18 î÷åâèäíі: 1 і 18. Ùîá çíàéòè іíøі, áóäåìî ïåðåâіðÿòè ïіäðÿä óñі íàòó- ðàëüíі ÷èñëà, ïî÷èíàþ÷è ç 2. Îòðèìàєìî ùå ÷îòèðè äіëü- íèêè: 2, 3, 6 і 9. Îòæå, ÷èñëî 18 ìàє øіñòü äіëüíèêіâ: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Öåé ïåðåáіð ìîæíà ñêîðîòèòè, ÿêùî, çíàé- øîâøè îäèí äіëüíèê, çàïèñóâàòè âіäðàçó é іíøèé, ÿêèé є ÷àñòêîþ âіä äіëåííÿ ÷èñëà 18 íà çíàéäåíèé äіëüíèê. Òà- êèì ÷èíîì, îòðèìàєìî ïàðè: 1 і 18, 2 і 9, 3 і 6. Ïіä ÷àñ ïåðåáîðó їõ çðó÷íî çàïèñóâàòè òàê: 1 2 3 18 9 6. Íåõàé íà ñòîëі ëåæàòü êîðîáêè, â êîæíіé ç ÿêèõ çíà- õîäèòüñÿ 12 îëіâöіâ. Íå ðîçêðèâàþ÷è êîðîáîê, ìîæíà âçÿ- òè 12 îëіâöіâ, 24 îëіâöі, 36 îëіâöіâ, à îò 16 îëіâöіâ óçÿòè íå ìîæíà. Êàæóòü, ùî ÷èñëà 12, 24, 36 êðàòíі ÷èñëó 12, à ÷èñëî 16 íå êðàòíå ÷èñëó 12. Êðàòíèì íàòóðàëüíîìó ÷èñëó à íàçèâàþòü íà- òóðàëüíå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà à. Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî à ìàє áåçëі÷ êðàòíèõ. Íà- ïðèêëàä, ïåðøі ï’ÿòü ÷èñåë, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 12, òàêі: 12, 24, 36, 48, 60. Íàéìåíøèì ç êðàòíèõ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà є ñàìå öå ÷èñëî. Óçàãàëі, âñі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó à, ìîæíà îäåðæà- òè, ïîìíîæèâøè à ïîñëіäîâíî íà ÷èñëà 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., à ñàìå: a  1; à  2; à  3; à  4; à  5; à  6; à  7; ... Çàóâàæèìî, ùî ñëîâà «äіëèòüñÿ» і «êðàòíå» çàìіíþ- þòü îäíå îäíîãî. Íàïðèêëàä, âèðàçè «40 äіëèòüñÿ íà 8» і «40 êðàòíå ÷èñëó 8» ìàþòü îäèí і òîé ñàìèé çìіñò. Ïðèêëàä 2. Çíàéòè íàéìåíøå òà íàéáіëüøå ÷îòèðè- öèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 23. Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) 1000 — íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî. 1000 : 23  43 (îñò. 11). Òîìó 23  44  1012 — íàé- ìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 23. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 6Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 6 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 7. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 7 2) 9999 — íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî. 9999 : 23  434 (îñò. 17). Òîìó 23  434  9982 — íàéáіëüøå ÷îòèðè- öèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 23. ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü äіëüíèêîì äàíîãî íàòóðàëüíî- ãî ÷èñëà à? Íàçâè äіëüíèêè ÷èñëà 8. ßêå íàòó- ðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü êðàòíèì ÷èñëó à? Íàçâè ÷îòèðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 8. 1. Íàçâè òі ïàðè ÷èñåë, ó ÿêèõ ïåðøå ÷èñëî є äіëüíè- êîì äðóãîãî: 1) 2 і 8; 2) 3 і 5; 3) 14 і 7; 4) 5 і 18; 5) 10 і 50; 6) 1 і 2012. 2. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî äіëüíèêîì äðóãîãî: 1) 25 і 400; 2) 13 і 1613; 3) 123 і 3321. 3. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî äіëüíèêîì äðóãîãî: 1) 3 і 112; 2) 42 і 1050; 3) 37 і 1645. 4. Íàçâè ïàðè ÷èñåë, ó ÿêèõ ïåðøå ÷èñëî є êðàòíèì äðóãîìó: 1) 12 і 3; 2) 17 і 9; 3) 18 і 1; 4) 23 і 23. 5. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî êðàòíèì äðóãîìó: 1) 810 і 5; 2) 1036 і 45; 3) 4144 і 37. 6. Ïåðåâіð, ÷è є ïåðøå ÷èñëî êðàòíèì äðóãîìó: 1) 189 і 3; 2) 1051 і 6; 3) 3000 і 24. 7. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 12; 2) 19; 3) 27; 4) 36. 8. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà: 1) 15; 2) 23; 3) 28; 4) 40. 9. Çàïèøè ÷îòèðè ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó: 1) 8; 2) 10; 3) 19. 10. Çàïèøè ÷îòèðè ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó: 1) 6; 2) 11; 3) 23. 11. Òðåáà ïîäіëèòè ïîðіâíó ìіæ êіëüêîìà äіòüìè 24 öó- êåðêè. Ñêіëüêè ìîæå áóòè äіòåé? 12. ×è ìîæíà äàòè çäà÷ó 2 ãðí 25 êîï. ìîíåòàìè: 1) ïî 25 êîï.; 2) ïî 50 êîï.? 13. ×è ìîæíà 65 îãіðêіâ ðîçêëàñòè ïîðіâíó: 1) â 2 êîøèêè; 2) â 3 êîøèêè; 3) â 5 êîøèêіâ? 14. Çàïèøè âñі äâîöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 17. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 7Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 7 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 8. Ðîçäië 1 8 15. Çàïèøè âñі äâîöèôðîâі ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 13. 16. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñåë: 1) 8 і 12; 2) 20 і 30; 3) 13 і 26; 4) 7 і 15. 17. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñåë: 1) 4 і 9; 2) 15 і 10. 18. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є êðàòíå ÷èñëàì: 1) 2 і 5; 2) 3 і 6; 3) 9 і 12. 19. Âêàæè ÿêå-íåáóäü ÷èñëî, ùî є êðàòíå ÷èñëàì: 1) 3 і 7; 2) 8 і 12. 20. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 5, ïðè ÿêèõ ïî- äâіéíà íåðіâíіñòü 23 < x < 36 áóäå ïðàâèëüíîþ. 21. Çàïèøè çíà÷åííÿ ó, ùî є äіëüíèêàìè ÷èñëà 30, ïðè ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü 2 < ó < 14 áóäå ïðàâèëüíîþ. 22. Çàïèøè çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ ïîäâіéíà íåðіâíіñòü 4 < b < 17 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі: 1) êðàòíі ÷èñëó 3; 2) є äіëüíèêàìè ÷èñëà 36. 23. Çíàéäè: 1) íàéáіëüøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñ- ëó 115; 2) íàéìåíøå ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 12. 24. ßêà íàéìåíøà êіëüêіñòü ãîðіõіâ ïîâèííà áóòè â êîøè- êó, ùîá їõ ìîæíà áóëî ðîçêëàñòè íà êóïêè àáî ïî 6, àáî ïî 8, àáî ïî 9 ãîðіõіâ ó êîæíіé? 25. Íà êîîðäèíàòíîìó ïðîìåíі ïîçíà- ÷åíî ÷èñëî b (ìàë. 1). Ïîçíà÷ íà òà- êîìó ïðîìåíі ó çîøèòі òðè ÷èñëà, ÿêі êðàòíі ÷èñëó b. 26. Çíàéäè ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äîðіâíþє 2,4 ñì. Âèðàçè ïëîùó öüîãî êâàäðàòà ó ìì2. 27. Îêðóãëè: 1) 17,89 äî îäèíèöü; 2) 15,135 äî äåñÿòèõ; 3) 18,475 äî ñîòèõ; 4) 189,145 äî äåñÿòêіâ. 28. Äîâåäè, ùî äâà íàòóðàëüíèõ ÷èñëà a і b ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü: àáî a, àáî b, àáî a + b, àáî a – b äіëèòü- ñÿ íà 3. Ìàë. 1 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 8Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 8 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 9. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 9 2.2.Ознаки подільності на 10, 5 та 2 Ïðèïóñòèìî, ùî òðåáà äіçíàòèñÿ, ÷è äіëèòüñÿ ÷èñëî 137 146 íà 5. Äëÿ öüîãî ìîæíà âèêîíàòè äіëåííÿ é îäåð- æàòè âіäïîâіäü íà ïîñòàâëåíå çàïèòàííÿ. Àëå âіäïîâіäü ìîæíà çíàéòè çíà÷íî ïðîñòіøå, íå âèêîíóþ÷è äіëåííÿ, çà äîïîìîãîþ îçíàê ïîäіëüíîñòі. Ðîçãëÿíåìî äåÿêі ç íèõ. Áóäü-ÿêå íàòóðàëüíå ÷èñëî, ùî çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0, äіëèòüñÿ íà 10. Ùîá îäåðæàòè ÷àñòêó, äîñèòü ó äіëå- íîìó âіäêèíóòè öþ öèôðó 0. Íàïðèêëàä, 2730 : 10  273. Ïðè äіëåííі æ ÷èñëà 2734 íà 10 îäåðæèìî íåïîâíó ÷àñòêó 273 і îñòà÷ó 4 (òîáòî îñòàííþ öèôðó çàïèñó öüîãî ÷èñëà). Òîìó ÿêùî îñòàííÿ öèôðà â çàïèñó íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âіäìіííà âіä íóëÿ, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 10. Îòæå, ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 10: íà 10 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0. ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ áóäü-ÿêîþ іíøîþ öèô- ðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 10. Íà 5 äіëÿòüñÿ ëèøå ÷èñëà, ùî êðàòíі ÷èñëó 5, òîáòî ÷èñëà: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... Îñòàííüîþ öèô- ðîþ êîæíîãî ç öèõ ÷èñåë є àáî 0, àáî 5. Òîìó ìàєìî îçíà- êó ïîäіëüíîñòі íà 5: íà 5 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ öèôðîþ 0 àáî öèôðîþ 5. ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ áóäü-ÿêîþ іí- øîþ öèôðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 5. Íà 2 äіëÿòüñÿ ëèøå ÷èñëà, ùî êðàòíі ÷èñëó 2, òîáòî ÷èñëà: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... Çàïèñ ÷èñåë, êðàòíèõ ÷èñëó 2, çàêіí÷óєòüñÿ îäíієþ ç öèôð: 0, 2, 4, 6, 8. Öі öèôðè íàçèâàþòü ïàðíèìè öèôðàìè. Ðåøòó öèôð, òîáòî 1, 3, 5, 7, 9, íàçèâàþòü íåïàðíèìè öèôðàìè. Îòæå, ìàєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 2: íà 2 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, çàïèñ ÿêèõ çàêіí÷óєòüñÿ ïàðíîþ öèôðîþ. ßêùî çàïèñ ÷èñëà çàêіí÷óєòüñÿ íåïàðíîþ öèô- ðîþ, òî ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 2. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 9Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 9 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 10. Ðîçäië 1 10 Íàòóðàëüíі ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ íà 2, íàçèâàþòü ïàð- íèìè ÷èñëàìè, óñі іíøі íàòóðàëüíі ÷èñëà — íåïàðíèìè. Íàïðèêëàä, ÷èñëà 86, 104, 510, 78, 1112 — ïàðíі, à 87, 113, 2001, 405, 9999 — íåïàðíі. ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëè- òüñÿ âîíî íà 10 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 5 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 2 ÷è íі? ßêі öèôðè íàçèâàþòü ïàðíèìè, à ÿêі — íåïàðíèìè? ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ïàðíèìè, à ÿêі — íåïàðíèìè? Íàâåäè ïðèêëàä ïàðíèõ ÷è- ñåë, íåïàðíèõ ÷èñåë. 29. (Óñíî) Ñåðåä ÷èñåë 275, 96, 107, 95, 100, 512, 715, 2100, 109 íàçâè òі, ùî äіëÿòüñÿ íà 2; íà 5; íà 10. 30. (Óñíî) ßêі іç ÷èñåë 1002, 913, 714, 7008, 411, 1005, 676 є ïàðíèìè; ÿêі — íåïàðíèìè? 31. ßêі іç ÷èñåë 6538, 7780, 9835, 10 391, 15 932, 18 060, 44 445 äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10? 32. ßêі іç ÷èñåë 5866, 5075, 8160, 13 382, 15 047, 405 185, 80 407, 72 310 äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10? 33. Çàïèøè ïî òðè ÷îòèðèöèôðîâèõ ÷èñëà, ÿêі äіëÿòü- ñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10. 34. Çàïèøè ïî äâà ï’ÿòèöèôðîâèõ ÷èñëà, ÿêі äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10. 35. (Óñíî) Íàïðèêіíöі óðîêó ó÷íі çäàëè çîøèòè äëÿ êîí- òðîëüíèõ ðîáіò і çîøèòè äëÿ âïðàâ, óñüîãî 51 çîøèò. ×è âñі ó÷íі çäàëè îáèäâà çîøèòè? 36. Äîïèøè ïðàâîðó÷ äî ÷èñëà 37 òàêó öèôðó, ùîá öå ÷èñëî äіëèëîñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10. 37. Çàìіñòü çіðî÷êè ïîñòàâ òàêó öèôðó, ùîá ÷èñëî 519*: 1) áóëî ïàðíèì; 2) áóëî íåïàðíèì; 3) äіëèëîñÿ íà 5; 4) äіëèëîñÿ íà 10. 38. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 413 < x < 424 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі êðàòíі ÷èñëó 2. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 10Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 10 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 11. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 11 39. Çàïèøè çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 182 < b < 223 áóäå ïðàâèëüíîþ і ÿêі êðàòíі ÷èñëó 10. 40. Іç öèôð 0, 1, 5 і 8 ñêëàäè ïî òðè ÷îòèðèöèôðîâі ÷èñ- ëà, ÿêі äіëÿòüñÿ: 1) íà 2; 2) íà 5; 3) íà 10. (Öèôðè â çà- ïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ.) 41. ×è ìîæíà, âèêîðèñòîâóþ÷è ëèøå öèôðè 1 і 2, çàïèñàòè: 1) ÷èñëî, ùî äіëèòüñÿ íà 10; 2) ïàðíå ÷èñëî; 3) ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 5; 4) íåïàðíå ÷èñëî? 42. Âèêîðèñòîâóþ÷è êîæíó öèôðó îäèí ðàç, çàïèøè íàéáіëüøå: 1) ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 2; 2) ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 5; 3) øåñòèöèôðîâå ÷èñëî, ùî êðàòíå ÷èñëó 10. 43. Іç öèôð 2, 0, 5 і 7 óòâîðè âñі ìîæëèâі ÷îòèðèöèôðîâі ïàðíі ÷èñëà. (Öèôðè â çàïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ.) 44. Çíàéäè îá’єì і ïëîùó ïîâåðõíі êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 1,2 ñì. 45. Çàïèøè òðè ÷èñëà, êîæíå ç ÿêèõ: 1) áіëüøå çà 6,7, àëå ìåíøå âіä 6,9; 2) ìåíøå âіä , àëå áіëüøå çà 13. 46. Ïåðåâіð, ùî êîæíå іç ÷èñåë 6, 28, 496 äîðіâíþє ñóìі âñіõ éîãî äіëüíèêіâ, íå âðàõîâóþ÷è ñàìîãî ÷èñëà. (Òàêі ÷èñëà íàçèâàþòü äîñêîíàëèìè.) 3.3. Ознаки подільності на 9 та 3 Çàïèøåìî êіëüêà ïåðøèõ ÷èñåë, êðàòíèõ ÷èñëó 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, ... Î÷åâèäíî, ùî ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëó 9, ìîæå çàêіí- ÷óâàòèñÿ áóäü-ÿêîþ öèôðîþ. Òîìó ðîáèòè âèñíîâîê ïðî ïîäіëüíіñòü íà 9 çà îñòàííüîþ öèôðîþ çàïèñó íå ìîæíà. Çíàéäåìî ñóìó öèôð êîæíîãî ç êіëüêîõ ÷èñåë, ÿêі äі- ëÿòüñÿ íà 9, і ñóìó öèôð êîæíîãî ç êіëüêîõ ÷èñåë, ÿêі íå äіëÿòüñÿ íà 9. Ðåçóëüòàòè ïîäàìî ó âèãëÿäі òàáëèöі (äèâ. ñ. 12) òà ç’ÿñóєìî, ÿê ïîâ’ÿçàíà ïîäіëüíіñòü ñàìîãî ÷èñëà íà 9 іç ïîäіëüíіñòþ ñóìè éîãî öèôð íà 9. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 11Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 11 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 12. Ðîçäië 1 12 ×èñëî ×è äіëèòüñÿ ÷èñëî íà 9? Ñóìà öèôð ×è äіëèòüñÿ ñóìà öèôð íà 9? 1908 Òàê 18 Òàê 78 957 Òàê 36 Òàê 405 Òàê 9 Òàê 58 464 Òàê 27 Òàê 1205 Íі 8 Íі 15 478 Íі 25 Íі 5840 Íі 17 Íі 256 Íі 13 Íі Ñôîðìóëþєìî îçíàêó ïîäіëüíîñòі íà 9: íà 9 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ñóìà öèôð ÿêèõ äіëèòüñÿ íà 9. ßêùî ñóìà öèôð ÷èñëà íå äіëèòüñÿ íà 9, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 9. Ïîäіáíîþ äî öієї îçíàêè є îçíàêà ïîäіëüíîñòі íà 3: íà 3 äіëÿòüñÿ âñі òі íàòóðàëüíі ÷èñëà, ñóìà öèôð ÿêèõ äіëèòüñÿ íà 3. ßêùî ñóìà öèôð ÷èñëà íå äіëèòüñÿ íà 3, òî öå ÷èñëî íå äіëèòüñÿ íà 3. Ïðèêëàä. Ç’ÿñóâàòè, ÷è äіëèòüñÿ íà 3 ÷èñëî: 1) 2571; 2) 14 021. Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Ñóìà öèôð ÷èñëà 2571 äîðіâíþє 2 + + 5 + 7 + 1  15, ñóìà öèôð äіëèòüñÿ íà 3, òîìó ÷èñëî 2571 äіëèòüñÿ íà 3. 2) Îñêіëüêè ñóìà öèôð ÷èñëà 14 021, ùî äîðіâíþє 1 + + 4 + 0 + 2 + 1  8, íå äіëèòüñÿ íà 3, òî і ÷èñëî 14 021 íå äіëèòüñÿ íà 3. ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äі- ëèòüñÿ âîíî íà 9 ÷è íі? ßê çà çàïèñîì íàòóðàëüíî- ãî ÷èñëà âèçíà÷èòè, äіëèòüñÿ âîíî íà 3 ÷è íі? 47. (Óñíî) ßêі іç ÷èñåë 42, 217, 35, 1002, 8109 äіëÿòü- ñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 12Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 12 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 13. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 13 48. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: ×èñëî 12 352 45 981 2568 2583 15 875 Ñóìà öèôð ×è äіëèòüñÿ íà 3? ×è äіëèòüñÿ íà 9? 49. Çíàéäè ñóìó öèôð êîæíîãî іç ÷èñåë: 135, 207, 396, 1086, 12 002, 576. ßêі ç íèõ äіëÿòüñÿ: 1) íà 3; 2) íà 9? 50. Іç ÷èñåë 180, 2109, 541, 4590, 111 102, 7891 âè- ïèøè òі, ÿêі: 1) äіëÿòüñÿ íà 3; 2) äіëÿòüñÿ íà 9; 3) äіëÿòüñÿ íà 2 і íà 3; 4) íå äіëÿòüñÿ íà 3; 5) äіëÿòüñÿ íà 3, àëå íå äіëÿòüñÿ íà 9. 51. Іç ÷èñåë 582, 509, 450, 3105, 2017 âèïèøè òі, ÿêі: 1) äіëÿòüñÿ íà 3; 2) äіëÿòüñÿ íà 9; 3) äіëÿòüñÿ íà 3 і íà 2; 4) äіëÿòüñÿ íà 9 і íà 5. 52. ×è ìîæíà ñêëàñòè òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå íå ìіñòèòü îäíàêîâèõ öèôð і äіëèòüñÿ íà 3, іç öèôð: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 5; 3) 1, 0, 8? 53. ×è ìîæíà ç äàíèõ öèôð ñêëàñòè ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñ- ëî, ùî íå ìіñòèòü îäíàêîâèõ öèôð, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9: 1) 4, 6, 0, 9; 2) 9, 1, 2, 6? 54. ßêó öèôðó ïîòðіáíî ïіäñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá îòðèìàòè ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9: 1) 2*00; 2) *375; 3) 8*19? 55. ßêó öèôðó ïîòðіáíî ïіäñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá îòðèìàòè ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 3: 1) 28*1; 2) 4*5; 3) 1111*? 56. Çàïèøè çíà÷åííÿ x, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 3, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 45 < x < 57 áóäå ïðàâèëüíîþ. 57. Çàïèøè çíà÷åííÿ ó, ÿêі êðàòíі ÷èñëó 3, àëå íå êðàòíі ÷èñëó 9, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 116 < ó < 145 áóäå ïðàâèëüíîþ. 58. Ç äàíèõ öèôð óòâîðè, ÿêùî öå ìîæëèâî, îäíå òðèöèô- ðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 3, і îäíå òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà 9 (öèôðè â ÷èñëі ìîæóòü ïîâòîðþâàòèñÿ): 1) 5, 8; 2) 3, 6; 3) 1, 8. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 13Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 13 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 14. Ðîçäië 1 14 59. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî: 1) 5*7* äіëèëîñÿ íà 3 і íà 10; 2) 10 0** äіëèëîñÿ íà 9 і íà 10; 3) *0 00* äіëèëîñÿ íà 5 і íà 9; 4) 71** äіëèëîñÿ íà 3, íà 5 і íà 2. 60. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî: 1) 2*7* äіëèëîñÿ íà 3 і íà 5; 2) 20* 06* äіëèëîñÿ íà 2 і íà 9. 61. Çàïèøè íàéìåíøå ÷îòèðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ: 1) íà 2 і íà 3; 2) íà 5 і íà 9; 3) íà 3 і íà 10; 4) íà 2, íà 3 і íà 5. 62. Ïіäñòàâ çàìіñòü çіðî÷îê òàêі öèôðè, ùîá ÷èñëî 1*2* äіëèëîñÿ íà 15. (Çíàéäè âñі ìîæëèâі ðîçâ’ÿçêè.) 63. Ó÷åíü ïðî÷èòàâ 150 ñòîðіíîê, ùî ñòàíîâèòü êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі? 64. Çíàéäè ãðàäóñíó ìіðó êóòà ìіæ ñòðіëêàìè ãî- äèííèêà, êîëè âîíè ïîêàçóþòü: 1) 5 ãîä; 2) 6 ãîä; 3) 11 ãîä; 4) 14 ãîä. 65. Íà ñòîëі ëåæàòü 25 ñіðíèêіâ. Äâîє ãðàâöіâ ïî ÷åðçі áåðóòü 1 àáî 2 ñіðíèêè. Ïåðåìîæå òîé, õòî âіçüìå îñòàííіé ñіðíèê. ßê ìàє äіÿòè ïåðøèé ãðàâåöü, ùîá âèãðàòè? 4.4. Прості та складені числа ×èñëî 11 äіëèòüñÿ òіëüêè íà 1 і íà ñåáå. Іíøèìè ñëîâà- ìè, ÷èñëî 11 ìàє òіëüêè äâà äіëüíèêè: 1 і 11. Ó ÷èñëà 8 ÷îòèðè äіëüíèêè: 1, 2, 4 і 8. ×èñëî 18 ìàє øіñòü äіëüíè- êіâ: 1, 2, 3, 6, 9 і 18. Òàêі ÷èñëà, ÿê 8 і 18, íàçèâàþòü ñêëàäåíèìè ÷èñëà- ìè, à òàêі, ÿê 11, — ïðîñòèìè ÷èñëàìè. Íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ïðîñòèì, ÿêùî âîíî ìàє òіëüêè äâà ðіçíèõ äіëüíèêè: îäèíèöþ і ñàìå öå ÷èñëî. Íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ñêëà- äåíèì, ÿêùî âîíî ìàє áіëüøå äâîõ äіëüíèêіâ. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 14Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 14 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 15. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 15 ×èñëî 1 ìàє òіëüêè îäèí äіëüíèê: ñàìå ñåáå. Òîìó âîíî íå є àíі ïðîñòèì, àíі ñêëàäåíèì. Ïåðøèìè äåñÿòüìà ïðîñòèìè ÷èñëàìè є 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Íà ôîðçàöі ïіäðó÷íèêà íàâåäåíî òàáëè- öþ ïðîñòèõ ÷èñåë âіä 2 äî 997. Íàéìåíøå ïðîñòå ÷èñëî — 2, íàéáіëüøîãî ïðîñòîãî ÷èñëà íå іñíóє. ßêå ïðîñòå ÷èñëî ìè íå âçÿëè á, іñíóє áіëüøå çà íüîãî ïðîñòå ÷èñëî. Ïðîñòèõ ÷èñåë áåçëі÷. Ñåðåä ïðî- ñòèõ ÷èñåë ëèøå ÷èñëî 2 є ïàðíèì, óñі іíøі — íåïàðíі. ßê âèçíà÷èòè, ùî äàíå ÷èñëî є ïðîñòèì àáî ñêëàäåíèì? ßêùî ÷èñëî ìàє äіëüíèê, âіäìіííèé âіä 1 і ñàìîãî ñåáå, òî öå ÷èñëî ìàє áіëüøå äâîõ äіëüíèêіâ і òîìó є ñêëàäåíèì. Ïðèêëàä. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì є ÷èñëî 10 345? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Öå ÷èñëî є ñêëàäåíèì, áî ìàє äіëüíè- êîì ÷èñëî 5, âіäìіííå âіä 1 і 10 345. Áóäü-ÿêå ñêëàäåíå ÷èñëî ìîæíà ðîçêëàñòè íà äâà ìíîæíèêè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëüøèé çà 1 (íà- ïðèêëàä, 10 345  5  2069). Ïðîñòå ÷èñëî òàê ðîçêëàñòè íà ìíîæíèêè íå ìîæíà. À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå... Давньогрецький математик Евклід (бл. 356 — 300 до н. е.) довів, що простих чисел безліч і найбільшого простого числа не існує. Інший давньогрецький учений Ератосфен (бл. 276—194 до н. е.) запропонував спосіб для складання таблиці простих чисел. Цей спосіб назвали «решето Ератосфена». У чому він полягає? Знайдемо, наприклад, усі прості числа від 1 до 30. Для цього ви- пишемо їх підряд. Викреслюємо 1, яке не є простим числом. Далі підкреслюємо число 2, яке є простим, і викреслюємо всі числа, що кратні 2, тобто числа 4, 6, 8, ... Наступне незакреслене чис- ло 3, яке є простим. Підкреслюємо його і закреслюємо всі числа, кратні 3, тобто числа 6, 9, 12, ... Підкреслюємо наступне неза- креслене число 5, яке є простим, і т. д. Таким чином «висіяли» всі прості числа, що не перевищують число 30: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 15Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 15 28.05.2014 15:47:4628.05.2014 15:47:46
  • 16. Ðîçäië 1 16 Значним є внесок у вивчення простих чисел математиків П.Л. Чебишова (1821—1894), який довів, що між будь-якими на- туральними числами n і 2n – 2, де n > 3, завжди є принаймні одне просте число (наприклад, між числами 4 і 6 є просте число 5; між 5 і 8 — просте число 7; між 15 і 28 — просте число 17 і т. д.), та І.М. Виноградова (1891—1983), який встановив, що будь-яке непарне число, більше за 5, можна подати у вигляді суми трьох простих чисел, наприклад: 7  2 + 2 + 3; 9  3 + 3 + 3  2 + 2 + 5; 11  2 + 2 + 7  3 + 3 + 5 і т. д. ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü ïðîñòèìè? ßêі ÷èñëà íàçèâà- þòü ñêëàäåíèìè? ×îìó ÷èñëî 1 íå є àíі ïðîñòèì, àíі ñêëàäåíèì? Íàâåäè ïðèêëàäè ïðîñòèõ ÷èñåë, ñêëàäåíèõ ÷èñåë. 66. (Óñíî) Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, íàçâè ïðîñòі ÷èñëà, ÿêі: 1) ìåíøі âіä 37, àëå áіëüøі çà 20; 2) áіëüøі çà 78, àëå ìåíøі âіä 110. 67. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü òàáëèöåþ ïðîñòèõ ÷èñåë, ÿêі іç ÷èñåë ïðîñòі, à ÿêі — ñêëàäåíі: 197, 203, 239, 489, 563, 839, 871. 68. Âèçíà÷, âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, ÿêі іç ÷èñåë ïðîñòі, à ÿêі — ñêëàäåíі: 113, 137, 171, 251, 293, 403, 439, 501, 701. 69. Äîâåäè, ùî є ñêëàäåíèì ÷èñëî: 1) 7152; 2) 60 003; 3) 11 115; 4) 3819. 70. Äîâåäè, ùî є ñêëàäåíèì ÷èñëî: 1) 80 001; 2) 7315; 3) 12 340; 4) 738. 71. Çàïèøè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 24. Ïіäêðåñëè òі ç íèõ, ÿêі є ïðîñòèìè ÷èñëàìè. 72. Çàïèøè çàìіñòü çіðî÷êè òàêó öèôðó, ùîá áóëî ñêëàäå- íèì ÷èñëî: 1) 273*; 2) 5*39. 73. Çàïèøè çàìіñòü çіðî÷êè òàêó öèôðó, ùîá áóëî ñêëàäå- íèì ÷èñëî: 1) 987*; 2) 5*41. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 16Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 16 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 17. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 17 74. Íå âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, çàïè- øè: 1) óñі ïðîñòі ÷èñëà, áіëüøі çà 7 і ìåíøі âіä 20; 2) óñі ñêëàäåíі ÷èñëà, áіëüøі çà 50 і ìåíøі âіä 66. 75. Íå âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë, çíàéäè: 1) óñі ïðîñòі ÷èñëà x, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 37 < x < 60 є ïðàâèëüíîþ; 2) óñі ñêëàäåíі ÷èñëà ó, ïðè ÿêèõ íåðіâíіñòü 4 < ó < 21 є ïðàâèëüíîþ. 76. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì ÷èñëîì є äîáóòîê: 1) 13  1; 2) 15  1; 3) 7  11; 4) 1  2  67? 77. ×è ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òðèöèôðîâå ÷èñëî, âè- êîðèñòàâøè ëèøå îäèí ðàç êîæíó іç öèôð: 1) 4, 6, 8; 2) 1, 3, 5; 3) 0, 2, 5? 78. ×è ìîæíà çàïèñàòè ïðîñòå òðèöèôðîâå ÷èñëî, âèêî- ðèñòàâøè ëèøå îäèí ðàç êîæíó іç öèôð: 1) 0, 4, 5; 2) 1, 2, 0? 79. Ïðîñòèì ÷è ñêëàäåíèì є ÷èñëî, çàïèñàíå çà äîïîìîãîþ: 1) ï’ÿòíàäöÿòè îäèíèöü; 2) äâі òèñÿ÷і ÷îòèðíàäöÿòè ï’ÿòіðîê; 3) óñіõ äåñÿòè öèôð? 80. Âèäіëè öіëó òà äðîáîâó ÷àñòèíè ÷èñëà: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 81. Çíàéäè ïðîïóùåíі ÷èñëà òà ïðî÷èòàé ïðіçâèùå âèäàòíîãî ïèñüìåííèêà, ÿêèé íàðîäèâñÿ â Óêðàїíі. 82. Çíàéäè çðó÷íèé ñïîñіá äëÿ îá÷èñëåííÿ çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97 + 99; 2) 2 + 4 + 6 + ... + 98 + 100 – 1 – 3 – 5 – ... – 97 – 99. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 17Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 17 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 18. Ðîçäië 1 18 5.5.Розкладання чисел на прості множники Êîæíå ñêëàäåíå ÷èñëî ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó õî÷à á äâîõ ìíîæíèêіâ, âіäìіííèõ âіä îäèíèöі. Íàïðèêëàä, 330  10  33. ßêùî ñåðåä òàêèõ ìíîæíèêіâ є ñêëàäåíі ÷èñëà, òî їõ òàêîæ ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿäі äîáóòêó äâîõ ìíîæíèêіâ. Íàïðèêëàä, 330  10  33  (2  5)  (3  11)   2  3  5  11. Ñõåìàòè÷íî öå ìîæíà ïîäàòè òàê: ßêùî ñêëàäåíå ÷èñëî ïîäàíî ó âèãëÿäі äîáóòêó, âñі ìíîæíèêè ÿêîãî є ïðîñòèìè ÷èñëàìè, òî êàæóòü: ñêëàäå- íå ÷èñëî ðîçêëàëè íà ïðîñòі ìíîæíèêè. Íàïðèêëàä, 12   2  2  3; 150  2  3  5  5; 900  2  2  3  3  5  5 òîùî. Ðîçêëàäîì ïðîñòîãî ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè áóäåìî ââàæàòè ñàìå öå ÷èñëî. Ïðè ðîçêëàäàííі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè äîöіëüíî âèêîðèñòîâóâàòè îçíàêè ïîäіëüíîñòі íà 2, 3 òà 5. Ïðè ðîç- êëàäàííі áàãàòîöèôðîâèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè âè- êîðèñòîâóþòü ñõåìó, ïîäàíó â íàñòóïíîìó ïðèêëàäі. Ïðèêëàä 1. Ðîçêëàñòè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 420. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çàïèøåìî ÷èñëî 420 і ïðà- âîðó÷ âіä íüîãî ïðîâåäåìî âåðòèêàëüíó ðèñêó. Öå ÷èñëî äіëèòüñÿ íà 2, áî çàêіí÷óєòüñÿ öèô- ðîþ 0. Çàïèøåìî öåé äіëüíèê 2 ïðàâîðó÷ âіä ðèñêè, à ÷àñòêó 420 : 2  210 çàïèøåìî ïіä ÷èñëîì 420. Äàëі іç ÷èñëîì 210 âèêîíóєìî òå ñàìå: 210 : 2  105. ×èñëî 105 íå äіëèòüñÿ íà 2, áî çàêіí÷óєòüñÿ íåïàðíîþ öèôðîþ. Àëå 105 äіëèòüñÿ íà 3, áî ñóìà éîãî öèôð (1 + 0 + 5  6) äіëèòüñÿ íà 3. Ìàєìî 105 : 3  35. Äàëі 35 : 5  7. ×èñëî 7 — ïðîñòå, ïîäі- ëèâøè éîãî íà 7, îäåðæèìî 1. Ðîçêëàä çàêіí÷åíî. Îòæå, ñòîâï÷èê ÷èñåë ïðàâîðó÷ âіä ðèñêè ñêëàäàєòüñÿ ç ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ, äîáóòîê ÿêèõ äîðіâíþє 420, òîáòî 420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 1 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 18Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 18 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 19. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 19 420  2  2  3  5  7. Çàóâàæèìî, ùî äîáóòîê îäíàêîâèõ ìíîæíèêіâ ó ðîç- êëàäі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè ìîæíà çàìіíþâàòè ñòå- ïåíåì. Íàïðèêëàä, 420  22  3  5  7; 150  2  3  52; 1000  23  53 òîùî. Óòâîðþþ÷è âñі ìîæëèâі äîáóòêè çі çíàéäåíèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ ïî äâà, ïî òðè òîùî, îäåðæèìî âñі іíøі äіëü- íèêè ÷èñëà. Ïðèêëàä 2. Çíàéòè âñі äіëüíèêè ÷èñëà 84. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ðîçêëàäàєìî ÷èñëî 84 íà ïðîñòі ìíîæíèêè: 84  2  2  3  7. Äіëüíèêà- ìè ÷èñëà 84 є 1, ïðîñòі ÷èñëà 2, 2, 3, 7 òà âñі ìîæëèâі їõ äîáóòêè: ïî äâà: 2  2  4, 2  3  6, 2  7  14, 3  7   21; ïî òðè: 2  2  3  12, 2  2  7  28, 2  3  7  42; ïî ÷îòèðè: 2  2  3  7  84. Îòæå, äіëüíèêàìè ÷èñëà 84 є: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84. Ïîÿñíè, ùî îçíà÷àє ðîçêëàñòè ÷èñëî íà ïðîñòі ìíîæíèêè. 83. (Óñíî) ×è є ðîçêëàäîì íà ïðîñòі ìíîæíèêè äîáó- òîê: 1) 3  5; 2) 1  5; 3) 2  7  12; 4) 4  3  5? 84. (Óñíî) Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî: 1) 8; 2) 10; 3) 12; 4) 14; 5) 17; 6) 18; 7) 20; 8) 25; 9) 27; 10) 31. 85. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî: 1) 56; 2) 130; 3) 60; 4) 96; 5) 250; 6) 315; 7) 561; 8) 175; 9) 2240; 10) 1782. 86. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî: 1) 48; 2) 105; 3) 88; 4) 660; 5) 600; 6) 3003; 7) 2772; 8) 4900. 87. ×è äіëèòüñÿ ÷èñëî 2  2  2  3  17 íà: 1) 2; 2) 6; 3) 51? Ó ðàçі ïîçèòèâíîї âіäïîâіäі çíàéäè ÷àñòêó âіä äіëåííÿ. 84 2 42 2 21 3 7 7 1 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 19Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 19 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 20. Ðîçäië 1 20 88. Çíàéäè ÷àñòêó âіä äіëåííÿ: 1) ÷èñëà 2  3  7  19 íà ÷èñëî 2  7  19; 2) ÷èñëà 2  2  3  3  5  7 íà ÷èñëî 15. 89. Ó äåÿêó êіëüêіñòü êîøèêіâ, ÿêèõ ìåíøå íіæ 20, ðîç- êëàëè ïîðіâíó 85 ÿáëóê. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî êîøèêіâ і ñêіëüêè ÿáëóê ìіñòèâ êîæíèé êîøèê? 90. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 990 òà çíàéäè âñі éîãî äіëüíèêè. 91. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëî 700 òà çíàéäè âñі éîãî äіëüíèêè. 92. Çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè, ùîá ðіâíіñòü áóëà ïðà- âèëüíîþ: 7**  5  7  11  *. 93. Ïëîùà Іòàëії ðàçîì ç îñòðîâàìè ñòàíîâèòü ïðè- áëèçíî 309 500 êì2, à ïëîùà Óêðàїíè íà 95 % çà íåї áіëüøà. Çíàéäè ïëîùó Óêðàїíè. Ïîðіâíÿé îòðèìàíèé ðåçóëüòàò ç òî÷íèìè äàíèìè ïðî ïëîùó Óêðàїíè. 94. Âèêîíàé äії: 1) ; 2) 95. 1) Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ ïðîñòèõ ÷èñåë (äî 1000), çíàéäè âñі ïàðè ïðîñòèõ ÷èñåë, ó êîæíіé ç ÿêèõ äðóãå ÷èñëî áіëüøå çà ïåðøå íà 2. (Òàêі ïàðè ïðîñòèõ ÷è- ñåë íàçèâàþòü ÷èñëàìè-áëèçíþêàìè). 2) Âèêîðèñòîâóþ÷è êàëüêóëÿòîð, êîìï’þòåð àáî іíôîð- ìàöіþ â Іíòåðíåòі, ñïðîáóé çíàéòè ùå êіëüêà òàêèõ ïàð ÷èñåë, êîæíå ç ÿêèõ áіëüøå çà 1000. 6.6.Найбільший спільний дільник Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó. Çàäà÷à. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü îäíàêîâèõ ïîäàðóíêіâ ìîæíà ñêëàñòè, ìàþ÷è 32 öóêåðêè «Áіëî÷êà» і 24 öóêåð- êè «×åáóðàøêà», ÿêùî òðåáà âèêîðèñòàòè âñі öóêåðêè і ó êîæíîìó ïîäàðóíêó ìàþòü áóòè öóêåðêè äâîõ âèäіâ? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Êîæíå іç ÷èñåë 32 і 24 ìàє äіëèòèñÿ íà êіëüêіñòü ïîäàðóíêіâ. Òîìó ñïî÷àòêó âèïèøåìî âñі äіëü- Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 20Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 20 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 21. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 21 íèêè ÷èñëà 32: 1, 2, 4, 8, 16 і 32, à ïîòіì — óñі äіëüíèêè ÷èñëà 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 і 24. Ñïіëüíèìè äіëüíèêàìè (їõ ïіäêðåñëåíî) ÷èñåë 32 і 24 áóäóòü 1, 2, 4, 8, à íàéáіëüøèì — 8. Öå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì ÷èñåë 32 і 24. Îòæå, ìîæíà ñêëàñòè 8 ïîäàðóíêіâ, ó êîæíîìó ç ÿêèõ áóäå 4 öóêåðêè «Áіëî÷êà» (32 : 8  4) і 3 öóêåðêè «×åáó- ðàøêà» (24 : 8  3). Íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì êіëüêîõ íàòó- ðàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü íàéáіëüøå íàòóðàëüíå ÷èñëî, íà ÿêå äіëèòüñÿ êîæíå ç äàíèõ ÷èñåë. Íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë a і b ïîçíà÷àþòü òàê: ÍÑÄ (a; b). Äëÿ ïîïåðåäíüîї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè ÍÑÄ (32; 24)  8. Ó ðîçãëÿíóòіé çàäà÷і çíàéøëè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê íåâåëèêèõ ÷èñåë 32 і 24, çàïèñàâøè âñі äіëüíè- êè êîæíîãî ç íèõ. Òàêîæ äëÿ çíàõîäæåííÿ íàéáіëüøîãî ñïіëüíîãî äіëüíèêà (çîêðåìà, âåëèêèõ ÷èñåë) êîðèñòóþòü- ñÿ òàêèì ïðàâèëîì: íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê êіëüêîõ ÷èñåë äî- ðіâíþє äîáóòêó ñïіëüíèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ öèõ ÷èñåë. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÍÑÄ (630; 1470). Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ðîçêëàäåìî ÷èñëà 630 і 1470 íà ïðîñòі ìíîæ- íèêè і ïіäêðåñëèìî òі ç íèõ, ÿêі є ñïіëüíèìè â îáîõ ðîçêëàäàõ (à ñàìå 2, 3, 5 і 7): 630  2  3  3  5  7; 1470 2  3  5  7  7. Îòæå, ÍÑÄ (630; 1470)  2  3  5  7  210. Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ÍÑÄ (60; 140; 220). Ðîçâ’ÿçàííÿ. 60  2  2  3  5; 140  2  2  5  7; 220 2  2  5  11. Îòæå, ÍÑÄ (60; 140; 220)  2  2  5  20. 630 2 315 3 105 3 35 5 7 7 1 1470 2 735 3 245 5 49 7 7 7 1 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 21Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 21 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 22. Ðîçäië 1 22 Ìàєìî òàêå ïðàâèëî: ùîá çíàéòè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê êіëü- êîõ ÷èñåë, äîñòàòíüî: 1) ðîçêëàñòè äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè; 2) âèïèñàòè âñі ñïіëüíі ïðîñòі ìíîæíèêè â çíàéäåíèõ ðîçêëàäàõ і îá÷èñëèòè їõ äîáóòîê. ßêùî ñåðåä äàíèõ ÷èñåë є ÷èñëî, íà ÿêå äіëÿòüñÿ іíøі ç äàíèõ ÷èñåë, òî öå ÷èñëî і áóäå íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì äàíèõ ÷èñåë. Ïðèêëàä 3. Çíàéòè ÍÑÄ (8; 64; 320). Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè ÷èñëà 64 і 320 äіëÿòüñÿ íà 8, òî ÍÑÄ (8; 64; 320)  8. ßêùî ðîçêëàäè äàíèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè íå ìàþòü ñïіëüíèõ ìíîæíèêіâ, òî íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíèêîì öèõ ÷èñåë áóäå ÷èñëî 1. Äâà íàòóðàëüíèõ ÷èñëà, íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÿêèõ äîðіâíþє 1, íàçèâàþòü âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëàìè. Íàïðèêëàä, ÷èñëà 12 і 35 — âçàєìíî ïðîñòі, áî 12   2  2  3, 35  5  7 і ÍÑÄ (12; 35)  1. ×èñëà æ 15 і 18 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè, áî ìàþòü ñïіëüíèé äіëüíèê 3. À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå... Цікавий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел описав у своїй книзі «Начала» давньогрецький матема- тик Евклід (бл. 300 р. до н. е.). Для цього він ділив більше число на менше, менше — на одержану остачу, першу остачу — на другу і т. д. Остання відмінна від нуля остача й була шуканим НСД двох чисел. Цей спосіб отримав назву алгоритм Евкліда. Знайдемо, наприклад, за цим алгоритмом НСД (407; 148): Отже, НСД (407; 148)  37. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 22Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 22 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 23. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 23 ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéáіëüøèì ñïіëüíèì äіëüíè- êîì äâîõ ÷èñåë? ßê çíàéòè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê äâîõ ÷èñåë? ×èñëî à є äіëüíèêîì ÷èñëà b. ×îìó äîðіâíþє ÍÑÄ (à; b)? ßêі äâà ÷èñëà íàçèâà- þòü âçàєìíî ïðîñòèìè? 96. (Óñíî) ×è є ÷èñëî 5 ñïіëüíèì äіëüíèêîì ÷èñåë: 1) 30 і 25; 2) 48 і 15? 97. (Óñíî) Çíàéäè ñïіëüíі äіëüíèêè òà íàéáіëüøèé ñïіëü- íèé äіëüíèê ÷èñåë: 1) 2 і 4; 2) 6 і 15; 3) 8 і 18. 98. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë a і b, ÿêùî: 1) a  2  3  5  11 і b  2  3  11  13; 2) a  3  5  5  7 і b  5  5  19. 99. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë ñ і d, ÿêùî: 1) ñ  3  3  5  11 і d  3  5  11  13; 2) ñ  2  3  5  5 і d  3  5  7. 100. (Óñíî) ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà: 1) 6 і 9; 2) 7 і 8; 3) 9 і 12; 4) 4 і 11? 101. (Óñíî) Ñåðåä ÷èñåë 2, 7, 14 і 20 çíàéäè âñі ïàðè âçàєìíî ïðîñòèõ ÷èñåë. 102. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë: 1) 78 і 195; 2) 35 і 18; 3) 210 і 120; 4) 735 і 70; 5) 4, 24 і 32; 6) 36, 54 і 72. 103. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë: 1) 24 і 40; 2) 70 і 110; 3) 49 і 48; 4) 231 і 273; 5) 5, 25 і 45; 6) 150, 375 і 600. 104. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 105. Äîâåäè, ùî: 1) ÷èñëà 35 і 72 є âçàєìíî ïðîñòèìè; 2) ÷èñëà 209 і 171 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè. 106. Äîâåäè, ùî: 1) ÷èñëà 299 і 184 íå є âçàєìíî ïðîñòèìè; 2) ÷èñëà 26 і 45 є âçàєìíî ïðîñòèìè. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 23Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 23 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 24. Ðîçäië 1 24 107. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà: 1) 3 і 100; 2) 35 і 133; 3) 143 і 209; 4) 2010 і 2012? 108. ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà: 1) 7 і 48; 2) 21 і 161; 3) 66 і 455; 4) 2005 і 3005? 109. Çàïèøè âñі ïðàâèëüíі äðîáè çі çíàìåííèêîì 18, ó ÿêèõ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê — âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà. 110. Çàïèøè âñі íåïðàâèëüíі äðîáè іç ÷èñåëüíèêîì 20, ó ÿêèõ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê — âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà. 111. ßêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü îäíàêîâèõ ïîäàðóíêіâ ìîæ- íà ñêëàñòè, ìàþ÷è 60 öóêåðîê і 45 ÿáëóê, òàê, ùîá âè- êîðèñòàòè âñі öóêåðêè і ÿáëóêà òà ùîá êîæåí ïîäàðóíîê ìіñòèâ і öóêåðêè, і ÿáëóêà. 112. Ó ÿêó íàéáіëüøó êіëüêіñòü ìàãàçèíіâ ìîæíà ïîðіâíó ðîçïîäіëèòè äëÿ ïðîäàæó 108 DVD-äèñêіâ ç ìóëüòôіëüìà- ìè і 120 äèñêіâ іç ôіëüìàìè ïðî òâàðèí? Ïî ñêіëüêè äèñ- êіâ êîæíîãî æàíðó îòðèìàє êîæíèé ìàãàçèí? 113. Ó øîñòèõ êëàñàõ 24 õëîï÷èêè і 36 äіâ÷àòîê. Ó÷íіâ ïîäіëèëè íà ãðóïè äëÿ ïðèâіòàííÿ âåòåðàíіâ òàê, ùîá â óñіõ ãðóïàõ áóëà îäíàêîâà êіëüêіñòü äіâ÷àòîê і îäíàêîâà êіëüêіñòü õëîï÷èêіâ. Ñêіëüêîõ âåòåðàíіâ ïðèâіòàëè, ÿêùî їõ áіëüøå çà 7? 114.  îäíîìó ïîòÿçі 252 êóïåéíèõ ìіñöÿ, à â іíøîìó — 396 êóïåéíèõ ìіñöü. Ïî ñêіëüêè êóïåéíèõ âàãîíіâ ó êîæ- íîìó ïîòÿçі, ÿêùî â óñіõ êóïåéíèõ âàãîíàõ êіëüêіñòü ìіñöü є îäíàêîâîþ і їõ áіëüøå çà 20? 115. Іç 210 áіëèõ, 150 æîâòèõ і 90 ÷åðâîíèõ òðîÿíä íåîá- õіäíî ñêëàñòè îäíàêîâі áóêåòè òàê, ùîá ó êîæíîìó áóêåòі áóëè òðîÿíäè âñіõ òðüîõ êîëüîðіâ. ßêó íàéáіëüøó êіëü- êіñòü òàêèõ áóêåòіâ ìîæíà ñêëàñòè? Ïî ñêіëüêè òðîÿíä êîæíîãî êîëüîðó áóäå â êîæíîìó áóêåòі? 116. Øëÿõ âіä À äî  çàâäîâæêè 360 êì àâòîìî- áіëü ïðîїõàâ çà 4 ãîä, à ïîâåðíóâñÿ íàçàä — çà 5 ãîä. ßêà ñåðåäíÿ øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ çà âåñü ÷àñ ðóõó? 117. Àâòîìîáіëü їõàâ 2 ãîä çі øâèäêіñòþ 72,4 êì/ãîä і 3 ãîä çі øâèäêіñòþ 71,6 êì/ãîä. Çíàéäè ñåðåäíþ øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ çà âåñü ÷àñ ðóõó. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 24Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 24 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 25. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 25 118. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 8000 ãðí ïіä 15 % ðі÷íèõ. Ñêіëüêè ãðîøåé áóäå íà ðàõóíêó âêëàäíèêà ÷åðåç ðіê; ÷åðåç äâà ðîêè? 119. Çíàéäè îñòàííþ öèôðó ÷èñëà: 1) 52015; 2) 320; 3) 22000. 7.7. Найменше спільне кратне Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó. Çàäà÷à. ßêà íàéìåíøà öіëà êіëüêіñòü ìåòðіâ òêàíèíè ìàє áóòè â ñóâîї, ùîá її ìîæíà áóëî âñþ ðîçðіçàòè áåç îñòà÷і ïî 4 ì àáî ïî 6 ì? Ðîçâ’ÿçàííÿ. ×èñëî ìåòðіâ ó ñóâîї ïîâèííî äіëèòè- ñÿ і íà 4, і íà 6, òîáòî ïîâèííî áóòè êðàòíèì і ÷èñëó 4, і ÷èñëó 6. Çàïèøåìî ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ..., і ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Ñïіëüíèìè êðàòíèìè (їõ ïіäêðåñëåíî) ÷èñåë 4 і 6 áó- äóòü ÷èñëà 12, 24, 36, ..., íàéìåíøå ç ÿêèõ 12. Öå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 4 і 6. Îòæå, íàéìåíøà êіëüêіñòü ìåòðіâ òêàíèíè, ùî ìàє áóòè ó ñóâîї, äîðіâíþє 12 ì. Òîäі її ìîæíà ðîçðіçàòè ïî 4 ì íà 3 ÷àñòèíè (12 : 4  3) àáî ïî 6 ì íà 2 ÷àñòèíè (12 : 6  2). Íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì êіëüêîõ íàòó- ðàëüíèõ ÷èñåë íàçèâàþòü íàéìåíøå íàòóðàëüíå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà êîæíå ç äàíèõ ÷èñåë. Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷èñåë à і b ïîçíà÷àþòü ÍÑÊ (à; b). Îòæå, ìîæíà çàïèñàòè ÍÑÊ (4; 6)  12. Ó ðîçãëÿíóòіé çàäà÷і ìè çíàéøëè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå íåâåëèêèõ ÷èñåë 4 і 6, âèïèñàâøè ïîñïіëü êіëüêà êðàòíèõ öèõ ÷èñåë. Äëÿ âåëèêèõ ÷èñåë öåé ñïîñіá є ãðî- ìіçäêèì, òîìó íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàõîäÿòü іíàêøå. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÍÑÊ (30; 36). Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ðîçêëàäåìî äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæ- íèêè 30  2  3  5 і 36  2  2  3  3. Íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ìàє äіëèòèñÿ і íà 30, і íà 36. Òîìó âîíî ïîâèííî ìіñòèòè âñі ïðîñòі ìíîæíèêè і ïåðøîãî, і äðóãîãî ÷èñåë. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 25Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 25 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 26. Ðîçäië 1 26 Ðîçãëÿíåìî ðîçêëàä îäíîãî іç öèõ ÷èñåë, íàïðèêëàä 30 2  3  5, і ç’ÿñóєìî, ÿêèõ ïðîñòèõ ìíîæíèêіâ äðóãîãî ÷èñëà â öüîìó ðîçêëàäі íåìàє. Òàêèìè ìíîæíèêàìè áó- äóòü 2 і 3. Ñïðàâäі, â ðîçêëàäі 30  2  3  5 є îäèí ìíîæ- íèê 2 і îäèí ìíîæíèê 3, à â ðîçêëàäі 36  2  2  3  3 äâà ìíîæíèêè 2 і äâà ìíîæíèêè 3. Îòæå, ùîá çíàéòè ÍÑÊ (30; 36), òðåáà ðîçêëàä 30  2  3  5 äîïîâíèòè ìíîæ- íèêàìè 2 і 3, ÿêèõ íå âèñòà÷àє. Ìàєìî: ÍÑÊ (30; 36)  . Ùîá çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷è- ñåë, äîñòàòíüî: 1) ðîçêëàñòè äàíі ÷èñëà íà ïðîñòі ìíîæíèêè; 2) äîïîâíèòè ðîçêëàä îäíîãî ç íèõ òèìè ìíîæ- íèêàìè ðîçêëàäó äðóãîãî ÷èñëà, ÿêèõ íå âèñòà- ÷àє â ðîçêëàäі ïåðøîãî; 3) îá÷èñëèòè äîáóòîê çíàéäåíèõ ìíîæíèêіâ. Çà öèì ñàìèì ïðàâèëîì ìîæíà çíàéòè íàéìåíøå ñïіëü- íå êðàòíå òðüîõ і áіëüøå ÷èñåë. Òîäі ðîçêëàä îäíîãî іç öèõ ÷èñåë íà ïðîñòі ìíîæíèêè òðåáà äîïîâíèòè òèìè ïðî- ñòèìè ìíîæíèêàìè іíøèõ ÷èñåë, ÿêèõ íå âèñòà÷àє â éîãî ðîçêëàäі, òà îá÷èñëèòè äîáóòîê çíàéäåíèõ ìíîæíèêіâ. Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ÍÑÊ (42; 66; 90). Ðîçâ’ÿçàííÿ. 42  2  3  7; 66  2  3  11; 90  2  3  3  5. ÍÑÊ (42; 66; 90) . ßêùî îäíå ç äàíèõ ÷èñåë äіëèòüñÿ íà âñі іíøі, òî öå ÷èñëî і є їõ íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì. Ïðèêëàä 3. Çíàéòè ÍÑÊ (6; 9; 36). Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè ÷èñëî 36 äіëèòüñÿ ÿê íà 6, òàê і íà 9, òî ÍÑÊ (6; 9; 36)  36. Íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì äâîõ âçàєìíî ïðîñòèõ ÷èñåë áóäå äîáóòîê öèõ ÷èñåë. Íàïðèêëàä, ÍÑÊ (5; 8) 5  8  40. ßêå ÷èñëî íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë à і b? ßê çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå äâîõ ÷èñåë? ×èñëî m äіëèòüñÿ íà ÷èñëî n. ×îìó äîðіâíþє ÍÑÊ (m; n)? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 26Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 26 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 27. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 27 120. (Óñíî) ×è є: 1) ÷èñëî 56 ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 2 і 7; 2) ÷èñëî 48 ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 5 і 6? 121. Íàçâè êіëüêà ñïіëüíèõ êðàòíèõ ÷èñåë: 1) 5 і 2; 2) 4 і 8; 3) 3 і 7. 122. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë à і b, ÿêùî: 1) a  2  3  3  11 і b  2  3  7; 2) a  2  2  3  5  7 і b  2  3  3  3  5. 123. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë m і n, ÿêùî: 1) m  3  5  7 і n  2  3  5  13; 2) m  3  3  5  5  11 і n  3  5  7  11. 124. Äîâåäè, ùî äàíі ÷èñëà є âçàєìíî ïðîñòèìè, òà çíàéäè їõ íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå: 1) 7 і 9; 2) 8 і 39; 3) 25 і 42. 125. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë: 1) 15 і 18; 2) 16 і 24; 3) 48 і 72; 4) 350 і 420; 5) 12, 18 і 36; 6) 280, 360 і 840. 126. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë: 1) 12 і 10; 2) 16 і 21; 3) 110 і 160; 4) 540 і 306; 5) 15, 25 і 75; 6) 270, 324 і 540. 127. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ: 1) і ; 2) і ; 3) ; і ; 4) ; і . 128. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ: 1) і ; 2) ; і . 129. Äîâæèíà êðîêó áàòüêà 75 ñì, äîâæèíà êðîêó ñèíà 50 ñì. ßêó íàé- ìåíøó îäíàêîâó âіäñòàíü âîíè ìàþòü ïðîéòè, ùîá êіëüêіñòü êðîêіâ êîæíîãî äîâіðíþâàëà öіëîìó ÷èñëó? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 27Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 27 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 28. Ðîçäië 1 28 130. Âіä ïóíêòó À âçäîâæ äîðîãè âñòàíîâëåíî ñòîâïè ÷å- ðåç êîæíі 40 ì. Öі ñòîâïè âèðіøèëè çàìіíèòè іíøèìè і âñòàíîâèëè їõ íà âіäñòàíі 55 ì îäèí âіä îäíîãî. Çíàéäè âіä- ñòàíü âіä ïóíêòó À äî íàéáëèæ÷îãî ñòîâïà, ÿêèé áóäå âñòà- íîâëåíî íà ìіñöі ñòàðîãî. 131. Áàáóñÿ ìàє òðüîõ îíóêіâ. Ñåðãіé âіäâіäóє áàáóñþ êîæíі 4 äíі, Іâàí — êîæíі 5 äíіâ, Ïåòðî — êîæíі 6 äíіâ. Õëîïöі çóñòðіëèñÿ ó áàáóñі 1 ñі÷íÿ íåâèñîêîñíîãî ðîêó. ßêîãî ÷èñëà âîíè çóñòðіíóòüñÿ ó áàáóñі íàñòóïíîãî ðàçó? 132. Òðè òåïëîõîäè çäіéñíþþòü ðåãóëÿðíі ðåéñè ç Îäåñè. Îäèí ç íèõ ïîâåðòàєòüñÿ ÷åðåç 10 äіá, äðóãèé — ÷åðåç 12 äіá, òðåòіé — ÷åðåç 18 äіá. Òåïëîõîäè çóñòðіëèñÿ â îäåñü- êîìó ïîðòó â ïîíåäіëîê. ×åðåç ñêіëüêè äіá і â ÿêèé äåíü òèæíÿ âîíè çóñòðіíóòüñÿ â öüîìó ïîðòó çíîâó? 133. Îäíó æіíêó çàïèòàëè, ñêіëüêè êóð÷àò âîíà ïðèâåçëà íà áàçàð. Âîíà âіäïîâіëà, ùî їõ áіëüøå íіæ 115, àëå ìåí- øå íіæ 145 і ïðè öüîìó їõ ìîæíà ðîçäіëèòè ïî 4, ïî 6 і ïî 10. Ñêіëüêè êóð÷àò ïðèâåçëà æіíêà íà áàçàð? 134. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) (õ – 37,15)  5,1  245,82; 2) (37,5 + õ) : 1,2  43,5. 135. Çóñòðіëèñÿ øåñòåðî äðóçіâ і ïîòèñëè îäèí îä- íîìó ðóêè. Ñêіëüêè âñüîãî áóëî çäіéñíåíî ðóêîñòèñ- êàíü? 136. Ìîæíà äîâåñòè, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ íàòóðàëüíèõ ÷è- ñåë a і b âèêîíóєòüñÿ ðіâíіñòü ÍÑÄ (a; b)  ÍÑÊ (a; b)  a  b. Ïåðåâіð âèêîíàííÿ öієї ðіâíîñòі äëÿ òàêèõ ïàð ÷èñåë: 1) a  18; b  12; 2) a  15; b  17; 3) a  9; b  27. Завдання для перевірки знань № 1 (§ 1 — § 7) 1. ×è ïðàâèëüíî, ùî: 1) 4 є äіëüíèêîì ÷èñëà 20; 2) 14 є êðàòíèì ÷èñëó 3? 2. ßêі іç ÷èñåë 135, 290, 72, 112, 75 äіëÿòüñÿ: 1) íà 9; 2) íà 5? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 28Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 28 28.05.2014 15:47:4728.05.2014 15:47:47
  • 29. Ïîäiëüíiñòü íàòóðàëüíèõ ÷èñåë 29 3. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê òà íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë à і b, ÿêùî: à  2  2  3  5 і b   2  3  7. 4. Ðîçêëàäè íà ïðîñòі ìíîæíèêè ÷èñëà: 1) 36; 2) 150. 5. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê ÷èñåë 77 і 132. 6. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë 63 і 72. 7. ×è є ÷èñëà 3234 і 3575 âçàєìíî ïðîñòèìè? 8. Ó ÷èñëі 12 37* çàìіíè çіðî÷êó öèôðîþ òàê, ùîá óòâîðåíå ÷èñëî áóëî êðàòíèì ÷èñëó: 1) 2; 2) 3. Çíàéäè âñі ðîçâ’ÿçêè. 9. Åêñêóðñàíòè ìîæóòü ðîçìіñòèòèñÿ â ÷îâíàõ ïî 12 àáî ïî 16 ó êîæíîìó.  îáîõ âèïàäêàõ âіëüíèõ ìіñöü íå çàëèøèòüñÿ. Ñêіëüêè áóëî åêñêóðñàíòіâ, ÿêùî їõ áіëüøå íіæ 53, àëå ìåíøå çà 100? Äîäàòêîâі âïðàâè 10. Çíàéäè íàéáіëüøå ï’ÿòèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå áóäå êðàòíèì ÷èñëó 49. 11. Çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè òàê, ùîá ìíîæåííÿ áóëî âèêîíàíî ïðàâèëüíî: 1) * *  *  483; 2) * *  * *  385. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 29Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 29 28.05.2014 15:47:4828.05.2014 15:47:48
  • 30. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 30Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 30 28.05.2014 15:47:4828.05.2014 15:47:48
  • 31. Çâè÷àéíi äðîáè 31 Ðîçãëÿíåìî, íàïðèêëàä, ðіâíіñòü . Ó öіé ðіâíîñòі ç ëіâîї ÷àñòèíè îäåðæèìî ïðàâó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíà- ìåííèê äðîáó ïîìíîæèìî íà 2. Ñïðàâäі, . Äàëі ðîçãëÿíåìî ðіâíіñòü . Ó öіé ðіâíîñòі ç ëіâîї ÷àñòèíè îäåðæèìî ïðàâó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîäіëèìî íà 2, òîáòî . Ìàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó: çíà÷åííÿ äðîáó íå çìіíèòüñÿ, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå âіäìіííå âіä íóëÿ ÷èñëî. Íàïðèêëàä: ; . Ç ðіâíîñòі âèïëèâàє, ùî äðîáè і є ðіçíèìè çàïèñàìè îäíîãî é òîãî ñàìîãî ÷èñëà. Îñêіëüêè , òî äðîáè і є òàêîæ ðіçíèìè çàïèñàìè îäíîãî ÷èñëà. Äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà îäíå é òå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó. Ïðè öüî- ìó îäèí äðіá çàìіíþþòü íà іíøèé, ùî äîðіâíþє äàíîìó, àëå ïîðіâíÿíî ç íèì ìàє ìåíøі ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê. Ïðèêëàä 1. , äðіá ñêîðî÷åíî íà 2. Ïðèêëàä 2. , äðіá ñêîðî÷åíî íà 3. Äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðîáó íà їõ ñïіëüíèé äіëüíèê íàçèâàþòü ñêîðî÷åííÿì äðîáó. ßê ïðàâèëî, äіþ äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà äðî- áó íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî íå ïèøóòü і ïіñëÿ çíàêà ðіâíî- ñòі îäðàçó çàïèñóþòü ñêîðî÷åíèé äðіá. Ïðèêëàä 3. , àáî , äðіá ñêîðî÷åíî íà 4. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 31Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 31 28.05.2014 15:47:4828.05.2014 15:47:48
  • 32. Ðîçäië 2 32 Äðіá ìîæíà ñêîðîòèòè, ÿêùî éîãî ÷èñåëüíèê і çíàìåí- íèê ìàþòü ñïіëüíèé äіëüíèê, âіäìіííèé âіä 1. ßêùî ÷è- ñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó âçàєìíî ïðîñòі ÷èñëà, òî äðіá ñêîðîòèòè íå ìîæíà. Òàêèé äðіá íàçèâàþòü íåñêîðîòíèì äðîáîì. Íàïðèêëàä: , , . Ùîá ç äàíîãî äðîáó îäåðæàòè íåñêîðîòíèé äðіá, òðåáà ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê ïîäіëèòè íà їõ íàéáіëüøèé ñïіëü- íèé äіëüíèê. Ñêîðî÷óâàòè äðіá ìîæíà äâîìà ñïîñîáàìè. І ñïîñіá. Ïîñòóïîâî äіëÿ÷è ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà їõ âіäïîâіäíі ñïіëüíі äіëüíèêè, ïîêè íå îòðèìàєìî íåñêî- ðîòíèé äðіá. II ñïîñіá. Îäðàçó äіëÿ÷è ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà їõ íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê. Ïðèêëàä 4. Ñêîðîòèòè äðіá . Ðîçâ’ÿçàííÿ. І ñïîñіá. , ñïî÷àòêó ñêîðî- òèëè íà 2, ïîòіì íà 3. II ñïîñіá. ÍÑÄ (66; 78)  6, òîìó , ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê îäðàçó ñêîðîòèëè íà 6. Іíîäі çðó÷íî ïðè ñêîðî÷åííі äðîáó ðîçêëàñòè ÷èñåëü- íèê і çíàìåííèê íà êіëüêà ìíîæíèêіâ, à ïîòіì óæå ñêî- ðîòèòè. Ïðèêëàä 5. . Ñêîðîòèìî íà 3  3  5 і îòðèìàєìî . Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó. ×è çìі- íèòüñÿ çíà÷åííÿ äðîáó, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè íà 10; ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåí- íèê äðîáó ïîäіëèòè íà 2? Ùî íàçèâàþòü ñêîðî÷åí- íÿì äðîáó? ßêèé äðіá íàçèâàþòü íåñêîðîòíèì? 137. (Óñíî) Îáґðóíòóé ðіâíіñòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 32Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 32 28.05.2014 15:47:4828.05.2014 15:47:48
  • 33. Çâè÷àéíi äðîáè 33 138. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíà ðіâíіñòü: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ? 139. Çàïèøè òðè äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü . 140. Çàïèøè äâà äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü . 141. Ïîìíîæ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 3 òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) . 142. Ïîìíîæ ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 2 òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) . 143. Ïîäіëè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 2 òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) . 144. Ïîäіëè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà 3 òà çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâíîñòі: 1) ; 2) . 145. (Óñíî) Ñêîðîòè äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 146. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó , çíà- ìåííèêè ÿêèõ ìåíøі âіä çíàìåííèêà äàíîãî äðîáó. 147. Çàïèøè òðè äðîáè, ùî äîðіâíþþòü äðîáó , çíàìåí- íèêè ÿêèõ ìåíøі âіä çíàìåííèêà äàíîãî äðîáó. 148. Çàìіíè äðîáîì, çíàìåííèê ÿêîãî äîðіâíþє 36, êîæ- íèé ç äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 149. Çàìіíè äðîáîì, çíàìåííèê ÿêîãî äîðіâíþє 24, êîæ- íèé ç äðîáіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 150. Ñêîðîòè äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 33Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 33 28.05.2014 15:47:4828.05.2014 15:47:48
  • 34. Ðîçäië 2 34 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 151. Ñêîðîòè äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 152. Çíàéäè ÍÑÄ ÷èñåëüíèêà і çíàìåííèêà êîæíîãî ç äðî- áіâ òà ñêîðîòè äðîáè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 153. Âèïèøè ç ïîäàíèõ íèæ÷å äðîáіâ òі, ÿêі ìîæíà ñêîðî- òèòè, і ñêîðîòè їõ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 154. Âèïèøè äðîáè, ÿêі ìîæíà ñêîðîòèòè, і ñêîðîòè їõ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 155. Çàïèøè âіäñîòêè çâè÷àéíèì íåñêîðîòíèì äðîáîì: 1) 5 %; 2) 20 %; 3) 38 %; 4) 60 %. 156. Âіäíîâè çàïèñ: 1) ; 2) . 157. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷- íèé âіäðіçîê 24 êëіòèíêè çîøèòà. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷- êè ç êîîðäèíàòàìè: . ßêі ç öèõ òî÷îê çîáðàæóþòüñÿ íà êîîðäèíàòíîìó ïðî- ìåíі îäíієþ і òієþ ñàìîþ òî÷êîþ? Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâ- íîñòі. 158. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷- íèé âіäðіçîê 18 êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè ç êî- îðäèíàòàìè: Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 34Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 34 28.05.2014 15:47:4828.05.2014 15:47:48
  • 35. Çâè÷àéíi äðîáè 35 . ßêі ç öèõ òî÷îê çîáðàæóþòüñÿ íà êîîðäèíàòíîìó ïðî- ìåíі îäíієþ і òієþ ñàìîþ òî÷êîþ? Çàïèøè âіäïîâіäíі ðіâ- íîñòі. 159. Çàïèøè äåñÿòêîâèé äðіá ó âèãëÿäі çâè÷àéíîãî і ðåçóëüòàò, ÿêùî ìîæëèâî, ñêîðîòè: 1) 0,4; 2) 0,22; 3) 0,75; 4) 0,31; 5) 0,125; 6) 0,734. 160. Çàïèøè äåñÿòêîâèé äðіá ó âèãëÿäі çâè÷àéíîãî і ðå- çóëüòàò, ÿêùî ìîæëèâî, ñêîðîòè: 1) 0,2; 2) 0,18; 3) 0,25; 4) 0,47; 5) 0,375; 6) 0,832. 161. Äàé âіäïîâіäü ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó: 1) ÿêó ÷àñòèíó êіëîãðàìà ñêëàäàþòü: 40 ã, 120 ã, 750 ã; 2) ÿêó ÷àñòèíó ãîäèíè ñêëàäàþòü: 5 õâ, 12 õâ, 45 õâ; 3) ÿêó ÷àñòèíó ðîçãîðíóòîãî êóòà ñòàíîâèòü êóò, ãðà- äóñíà ìіðà ÿêîãî: 18, 45, 120? 162. Äàé âіäïîâіäü ó âèãëÿäі íåñêîðîòíîãî äðîáó: 1) ÿêó ÷àñòèíó ìåòðà ñêëàäàþòü: 25 ñì, 12 ñì, 80 ñì; 2) ÿêó ÷àñòèíó õâèëèíè ñêëàäàþòü: 10 ñ, 42 ñ, 40 ñ; 3) ÿêó ÷àñòèíó ïðÿìîãî êóòà ñêëàäàє êóò, ãðàäóñíà ìіðà ÿêîãî: 5, 12, 27? 163. Âèêîíàé äії і ðåçóëüòàò ñêîðîòè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 164. (Óñíî) Ñïî÷àòêó äðіá ñêîðîòèëè íà 2, ïîòіì — íà 3, à ïîòіì — íà 7 é îòðèìàëè íåñêîðîòíèé äðіá. Íà ÿêå ÷èñ- ëî ìîæíà áóëî îäðàçó ñêîðîòèòè äðіá? 165. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, çíàéäè x: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 166. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó, çíàéäè ó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 167. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 35Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 35 28.05.2014 15:47:4828.05.2014 15:47:48
  • 36. Ðîçäië 2 36 168. Äðіá ñêîðîòèëè íà 9 і îòðèìàëè . Çíàéäè çíà- ÷åííÿ à і b. 169. Äðіá ñêîðîòèëè íà 2 і îòðèìàëè . Çíàéäè çíà- ÷åííÿ õ і ó. 170. Ñêîðîòè äðіá (áóêâàìè ïîçíà÷åíî íàòóðàëüíі ÷èñëà): 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 171. Ïîðіâíÿé äðîáè: 1) і ; 2) і ; 3) 1 і ; 4) і 1; 5) і . 172. Çíàéäè: 1) ÍÑÊ (24; 36); 2) ÍÑÊ (80; 120); 3) ÍÑÊ (42; 91). 173. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 8 ñì і 12 ñì. Çíàéäè ïëîùó êâàäðàòà, ïåðèìåòð ÿêîãî íà 4 ñì áіëüøèé çà ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 174. Ìàëåíüêàêîðîáêàâìіùóє12îëіâöіâ,àâåëèêà— 18 îëіâöіâ. Âіäîìî, ùî Іðèíà ìîæå ðîçêëàñòè âñі ñâîї îëіâöі ÿê ó ìàëåíüêі êîðîáêè, òàê і ó âåëèêі. Ñêіëüêè îëіâöіâ ó Іðèíè, ÿêùî їõ áіëüøå íіæ 57, àëå ìåíøå íіæ 80? 175. 24 ñåðïíÿ 1991 ðîêó ïîçà÷åðãîâîþ ñåñієþ Âåðõîâ- íîї Ðàäè ÓÐÑÐ áóëî ïðèéíÿòî Àêò ïðîãîëîøåííÿ íåçà- ëåæíîñòі Óêðàїíè. Ñêіëüêè äíіâ ïðîéøëî ç öієї äàòè äî ñüîãîäíіøíüîãî äíÿ? 9.9.Найменший спільний знаменник дробів. Зведення дробів до спільного знаменника. Порівняння дробів Ìè âæå âìієìî ïîðіâíþâàòè äðîáè ç îäíàêîâèìè çíà- ìåííèêàìè: ç äâîõ äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè áіëüøèì є òîé, ó ÿêîãî áіëüøèé ÷èñåëüíèê. Íàïðèêëàä, , . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 36Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 36 28.05.2014 15:47:4928.05.2014 15:47:49
  • 37. Çâè÷àéíi äðîáè 37 À ÿê ïîðіâíþâàòè äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè? Ïðèêëàä 1. Ïîðіâíÿòè äðîáè і . Ðîçâ’ÿçàííÿ. Âèêîðèñòàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðî- áó і çâåäåìî äðîáè і äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. Ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ ìàє äіëèòèñÿ і íà 4, і íà 6, òîáòî âіí є ñïіëüíèì êðàòíèì ÷èñåë 4 і 6. Òàêèõ ñïіëüíèõ êðàòíèõ áåçëі÷: 12, 24, 36, 48, ... І äðіá , і äðіá ìîæíà çâåñòè äî çíàìåííèêіâ 12, 24, 36, 48, ... Íàéìåíøå ñïіëü- íå êðàòíå çíàìåííèêіâ äâîõ äðîáіâ (ó íàøîìó âèïàäêó — 12) íàçèâàþòü íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì. Îòæå, çâåäåìî äðîáè і äî çíàìåííèêà 12. Çíàéäåìî äëÿ öüîãî äîäàòêîâèé ìíîæíèê äëÿ êîæíîãî ç äðîáіâ, òîáòî ÷èñëî, íà ÿêå òðåáà ïîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíà- ìåííèê äðîáó, ùîá îäåðæàòè äðіá іç çíàìåííèêîì 12. Äëÿ öüîãî òðåáà íîâèé çíàìåííèê 12 ïîäіëèòè íà çíàìåííèêè äàíèõ äðîáіâ: 12 : 4  3 і 12 : 6  2. Äîäàòêîâèì ìíîæíè- êîì äëÿ äðîáó áóäå ÷èñëî 3, à äëÿ äðîáó — ÷èñëî 2. Äîäàòêîâі ìíîæíèêè çàïèøåìî ëіâîðó÷ íàä âіäïîâіäíèìè ÷èñåëüíèêàìè і ïіäêðåñëèìî їõ êîñîþ ðèñêîþ: і . Äàíі äðîáè çâåëè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. Ùîá çâåñòè äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà, äîñòàòíüî: 1) çíàéòè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííè- êіâ äàíèõ äðîáіâ, ÿêå é áóäå íàéìåíøèì ñïіëü- íèì çíàìåííèêîì; 2) çíàéòè äëÿ êîæíîãî äðîáó äîäàòêîâèé ìíîæíèê, ïîäіëèâøè íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíà- ìåííèê íà çíàìåííèêè äàíèõ äðîáіâ; 3) ïîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êîæíîãî äðîáó íà éîãî äîäàòêîâèé ìíîæíèê. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 37Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 37 28.05.2014 15:47:4928.05.2014 15:47:49
  • 38. 38 Ïіñëÿ çâåäåííÿ äðîáіâ і äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà ìîæåìî їõ ïîðіâíÿòè. Îñêіëüêè , à і , òî . Ùîá ïîðіâíÿòè äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè, äîñòàòíüî çâåñòè їõ äî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà і ïîðіâíÿòè îäåðæàíі äðîáè. Çâîäèòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà ìîæíà íå òіëüêè äâà äðîáè, à é òðè, ÷îòèðè і ò. ä. Ïðèêëàä 2. Çâåñòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè , і . Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàéìåíøèì ñïіëüíèì çíàìåííèêîì áóäå ÷èñëî 24, áî öå íàéìåíøå ÷èñëî, ÿêå äіëèòüñÿ íà âñі äàíі çíàìåííèêè. Îäåðæèìî: ; ; . ßêùî íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê çíàéòè âàæêî, òî çíàìåííèêè òðåáà ðîçêëàñòè íà ïðîñòі ìíîæíèêè. Ïðèêëàä 3. Çâåñòè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè і . Ðîçâ’ÿçàííÿ. 48  2  2  2  2  3; 60  2  2  3  5. ÍÑÊ (48; 60)  2  2  2  2  3  5  240. Òîäі і . Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çâåäåííÿ äðîáіâ äî íàéìåíøî- ãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. ×è ìîæíà äðіá çâåñòè äî çíàìåííèêà 25; äî çíàìåííèêà 27? ßê çíàéòè äîäàòêîâèé ìíîæíèê? ßê ïîðіâíÿòè äâà äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 38Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 38 28.05.2014 15:47:4928.05.2014 15:47:49
  • 39. Çâè÷àéíi äðîáè 39 176. (Óñíî) Çâåäè äî çíàìåííèêà 12 äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 177. Çâåäè äðіá äî çíàìåííèêà: 14, 21, 70, 700. 178. Çâåäè äðіá äî çíàìåííèêà: 10, 15, 50, 500. 179. Íàçâè íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê äðîáіâ: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 180. (Óñíî) Ïîðіâíÿé: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 181. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і ; 5) і ; 6) і ; 7) і ; 8) і . 182. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і ; 5) і ; 6) і ; 7) і ; 8) і . 183. Ïîðіâíÿé äðîáè: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 184. Ïîðіâíÿé äðîáè: 1) і ; 2) і ; 3) і ; 4) і . 185. Ùî áіëüøå: 1) ÷è ; 2) ÷è ? 186. Ùî ìåíøå: 1) ÷è ; 2) ÷è ; 3) ÷è ; 4) ÷è ? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 39Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 39 28.05.2014 15:47:4928.05.2014 15:47:49
  • 40. Ðîçäië 2 40 187. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè: 1) , і ; 2) , і ; 3) , і . 188. Çâåäè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà äðîáè: 1) , і ; 2) , і ; 3) , і . 189. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ äðîáè і ïðî÷èòàé ïðіç- âèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ïèñüìåííèêà: (Í), (Ê), (Ð), (Ô), (Î), (À). 190. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó çðîñòàííÿ äðîáè òà ïðî÷èòàé íàç- âó ïåðøîї ñòîëèöі Óêðàїíè: (Ð), (І), (Õ), (Â), (Ê), (À). 191. Íàêðåñëè êîîðäèíàòíèé ïðîìіíü, óçÿâøè çà îäèíè÷- íèé âіäðіçîê 16 êëіòèíîê. Ïîçíà÷ íà ïðîìåíі òî÷êè, ÿêèì âіäïîâіäàþòü ÷èñëà , , , , , . Çàïèøè öі ÷èñëà â ïîðÿäêó ñïàäàííÿ. 192. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ , і ðîçêëàäàííÿì їõ íà ïðîñòі ìíîæ- íèêè, à ïîòіì çâåäè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. 193. Çíàéäè íàéìåíøå ñïіëüíå êðàòíå çíàìåííèêіâ äðîáіâ , і ðîçêëàäàííÿì їõ íà ïðîñòі ìíîæíèêè, à ïî- òіì çâåäè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà. 194. Ðîçìіñòè â ïîðÿäêó ñïàäàííÿ: , , , , , . 195. Ïîðіâíÿé: 1) 0,675 і ; 2) 0,84 і . 196. Ïîðіâíÿé: 1) 0,32 і ; 2) 0,45 і . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 40Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 40 28.05.2014 15:47:4928.05.2014 15:47:49
  • 41. Çâè÷àéíi äðîáè 41 197. Îäèí ðîáіòíèê âèãîòîâëÿє 54 îäíàêîâі äåòàëі çà 7 ãîä, à äðóãèé — 23 òàêі ñàìі äåòàëі çà 3 ãîä. ßêèé ðîáіòíèê âèãîòîâëÿє áіëüøå äåòàëåé çà ãîäèíó? 198. Çíàéäè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ õ, ïðè ÿêèõ є ïðà- âèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1) ; 2) . 199. Çíàéäè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ ó, ïðè ÿêèõ є ïðà- âèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1) ; 2) . 200. Çíàéäè áóäü-ÿêèõ äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ: 1) áіëüøèé çà , àëå ìåíøèé âіä ; 2) áіëüøèé çà , àëå ìåíøèé âіä . 201. Çíàéäè áóäü-ÿêèõ äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëüøèé çà , àëå ìåíøèé âіä . 202. Âèêîíàé äії: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 203. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíî- ìó âèéøëè äâà ïîòÿãè. Øâèäêіñòü îäíîãî 58 êì/ãîä, à øâèäêіñòü äðóãîãî ñòàíîâèòü 90 % âіä øâèäêîñòі ïåðøîãî. Ïîòÿãè çóñòðіëèñÿ ÷åðåç 2,5 ãîä. Çíàéäè âіä- ñòàíü ìіæ ìіñòàìè. 204. Ïðè ÿêîìó íàéìåíøîìó òðèöèôðîâîìó íàòó- ðàëüíîìó çíà÷åííі x çíà÷åííÿ âèðàçó 157 + x є êðàò- íèì ÷èñëó 10? 205. ×è ìîæíà ç ïðÿìîêóòíèõ ïàðàëåëåïіïåäіâ, ëіíіé- íі âèìіðè ÿêèõ äîðіâíþþòü 1 ñì, 2 ñì і 3 ñì, ñêëàñòè êóá, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 5 ñì? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 41Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 41 28.05.2014 15:47:4928.05.2014 15:47:49
  • 42. Ðîçäië 2 42 Ìè âæå âìієìî äîäàâàòè і âіäíіìàòè äðîáè ç îäíàêîâè- ìè çíàìåííèêàìè: ; (a > b àáî a  b). Ùîá äîäàòè (âіäíÿòè) äðîáè ç ðіçíèìè çíàìåí- íèêàìè, äîñòàòíüî: 1) çâåñòè öі äðîáè äî íàéìåíøîãî ñïіëüíîãî çíàìåííèêà; 2) äîäàòè (âіäíÿòè) їõ çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ (âіäíіìàííÿ) äðîáіâ ç îäíàêîâèìè çíàìåííèêàìè. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ñóìó . Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ 30. Äîäàòêîâèé ìíîæíèê äëÿ ïåðøîãî äðîáó 5 (30 : 6  5), äëÿ äðóãîãî äðîáó 3 (30 : 10  3). Çàïèñóєìî: . ßê ïðàâèëî, ïіäêðåñëåíó ÷àñòèíó íå çàïèñóþòü. Òîäі çàïèñ ìàє âèãëÿä: . Ðåçóëüòàò äії ïðèéíÿòî çàïèñóâàòè íåñêîðîòíèì äðî- áîì, òîìó îòðèìàëè , ñêîðîòèâøè äðіá íà 2. Ïðèêëàä 2. Çíàéòè ðіçíèöþ . Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàéìåíøèé ñïіëüíèé çíàìåííèê öèõ äðîáіâ 24. Êîðîòêèé çàïèñ ðîçâ’ÿçàííÿ: . Òàê ñàìî ìîæíà äîäàâàòè і âіäíіìàòè òðè, ÷îòèðè і áіëüøå äðîáіâ. ßêùî ðåçóëüòàòîì îá÷èñëåííÿ є íåïðàâèëü- 10.10. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 42Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 42 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 43. Çâè÷àéíi äðîáè 43 íèé äðіá, òî çàçâè÷àé éîãî çàïèñóþòü ó âèãëÿäі ìіøàíîãî ÷èñëà. Ïðèêëàä 3. Îá÷èñëèòè: . Ðîçâ’ÿçàííÿ (ðîçãëÿíü ñàìîñòіéíî). . Äëÿ äîäàâàííÿ äðîáіâ ñïðàâäæóþòüñÿ ïåðåñòàâíà і ñïî- ëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ. ßê âèêîíàòè äîäàâàííÿ äâîõ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíà- ìåííèêàìè? ßê âèêîíàòè âіäíіìàííÿ äâîõ äðîáіâ ç ðіçíèìè çíàìåííèêàìè? 206. (Óñíî) Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 207. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 208. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 209. Ìàãàçèí ïåðøîãî äíÿ ïðîäàâ , à äðóãîãî — âñіõ ôðóêòіâ, ÿêі íàäіéøëè ç áàçè. ßêó ÷àñòèíó ôðóêòіâ ïðî- äàâ ìàãàçèí çà äâà äíі? 210. Îëÿ çà ïåðøèé äåíü ïðî÷èòàëà , à çà äðóãèé — âñієї êíèæêè. ßêó ÷àñòèíó êíèæêè Îëÿ ïðî÷èòàëà çà äâà äíі? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 43Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 43 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 44. Ðîçäië 2 44 211. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 212. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 213. Ïåðøîãî äíÿ äî øêîëè çàâåçëè âіä çàìîâëåíîї êіëü- êîñòі ïіäðó÷íèêіâ, à äðóãîãî — íà ìåíøå. ßêó ÷àñòèíó çà- âåçëè äðóãîãî äíÿ? ×è çàâåçëè âñі ïіäðó÷íèêè çà öі äâà äíі? 214. Ñåðãіé âèêîíàâ äîìàøíє çàâäàííÿ ç ìàòåìàòèêè çà ãîä, à íà âèêîíàííÿ äîìàøíüîãî çàâäàííÿ ç óêðàїíñüêîї ìîâè âèòðàòèâ íà ãîä ìåíøå. Ñêіëüêè ÷àñó âèòðàòèâ Ñåðãіé íà âèêîíàííÿ çàâäàíü ç öèõ äâîõ ïðåäìåòіâ ðàçîì? 215. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) . 216. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) . 217.  îäíîìó ãëå÷èêó ë ìîëîêà, à â äðóãîìó — ë ìîëîêà.  ÿêîìó ãëå÷èêó ìîëîêà áіëüøå і íà ñêіëüêè? 218. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) . 219. Îá÷èñëè: 1) ; 2) . 220. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 44Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 44 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 45. Çâè÷àéíi äðîáè 45 221. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . 222. Çà ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ óñієї âіäñòàíі, ÿêó ìàâ ïðîїõàòè, çà äðóãó ãîäèíó — óñієї âіäñòàíі, à çà òðåòþ — ðåøòó øëÿõó. ßêó ÷àñòèíó âñієї âіäñòàíі ïðîїõàâ àâòîìîáіëü çà òðåòþ ãîäèíó? 223. Íà ñíіäàíîê Âіííі-Ïóõ ç’їâ ë ìåäó, íà îáіä — ë, à íà âå÷åðþ — ðåøòó. Ñêіëüêè ëіòðіâ ìåäó ç’їâ Âіííі-Ïóõ íà âå÷åðþ? 224. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 225. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñ- òèâîñòі äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 226. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòè- âîñòі äîäàâàííÿ і âіäíіìàííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 227. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє ì. Îäíà ç éîãî ñòîðіí äîðіâíþє ì, à äðóãà — ìåíøà âіä ïåðøîї íà ì. Çíàéäè äîâæèíó òðåòüîї ñòîðîíè òðèêóòíèêà. 228. Ìàëþê ç’їäàє áàíêó âàðåííÿ çà 12 õâ, à Êàðëñîí — çà 8 õâ. 1) ßêó ÷àñòèíó áàíêè âàðåííÿ ç’їäàє êîæåí ç íèõ çà õâèëèíó? 2) ßêó ÷àñòèíó áàíêè âàðåííÿ âîíè ç’їäÿòü ðàçîì çà: 1 õâ; 2 õâ; 3 õâ? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 45Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 45 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 46. Ðîçäië 2 46 229. ×åðåç îäíó òðóáó áàñåéí íàïîâíþєòüñÿ çà 18 õâ, à ÷åðåç äðóãó — çà 24 õâ. 1) ×è íàïîâíèòüñÿ áіëüøå ÷âåð- òі áàñåéíó çà äâі õâèëèíè îäíî÷àñíîї ðîáîòè îáîõ òðóá? 2) ßêà ÷àñòèíà áàñåéíó çàëèøèòüñÿ íåçàïîâíåíîþ ÷åðåç äâі õâèëèíè îäíî÷àñíîї ðîáîòè äâîõ òðóá? 230. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèéøëè äâà ïîòÿãè. Âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè ïåðøèé ïîòÿã äî- ëàє çà 3 ãîä, à äðóãèé — çà 4 ãîä. 1) ßêó ÷àñòèíó âñüîãî øëÿõó ñòàíîâèëà âіäñòàíü ìіæ ïîòÿãàìè ÷åðåç ãîäèíó ïіñ- ëÿ їõ âèõîäó? 2) ×è âіäáóëàñÿ çóñòðі÷ ïîòÿãіâ, ÿêùî âîíè áóëè ó äîðîçі 2 ãîä? 231. ßê çìіíèòüñÿ ðіçíèöÿ, ÿêùî: 1) çìåíøóâàíå çáіëüøèòè íà , à âіä’єìíèê — íà ; 2) çìåíøóâàíå çìåíøèòè íà , à âіä’єìíèê — íà ? 232. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó: . 233. Ïåðèìåòð ðіâíîáåäðåíîãî òðèêóòíèêà 12,8 ñì. Äîâæèíà îäíієї ñòîðîíè ñòàíîâèòü ïåðèìåòðà, à äâі іíøі ñòîðîíè ðіâíі ìіæ ñîáîþ. Çíàéäè äîâæèíè ñòîðіí òðèêóòíèêà. 234. Ó ÷èñëі 20*06* çàìіíè çіðî÷êè öèôðàìè òàê, ùîá öå ÷èñëî äіëèëîñÿ íà 5 і íà 9 і íå äіëèëîñÿ íà 10. 235. 1) Ðîçìіñòè ó ðÿäêàõ âêàçàíі ïðіçâèùà âіäîìèõ ìàòåìàòèêіâ: Ïіôàãîð, Íüþòîí, Îñòðîãðàäñüêèé, Êîøі, Êðàâ÷óê, Âîðîíèé, Ñìîãîðæåâñüêèé òà ïðî÷èòàé ó âèäі- ëåíîìó ñòîâï÷èêó íàçâó ãåîìåòðè÷íîї ôіãóðè. 2) Çäîãàäàéñÿ, ó ÿêèõ ðÿäêàõ çàïèñàíî ïðіçâèùà óêðà- їíñüêèõ ìàòåìàòèêіâ. Ïåðåâіð ñâîþ çäîãàäêó çà äîïîìîãîþ Іíòåðíåòó àáî êíèæîê. Îçíàéîìñÿ ç áіîãðàôіÿìè öèõ ìàòå- ìàòèêіâ. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 46Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 46 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 47. Çâè÷àéíi äðîáè 47 11.11. Додавання і віднімання мішаних чисел Ïåðåñòàâíà òà ñïîëó÷íà âëàñòèâîñòі äîäàâàííÿ äàþòü ìîæëèâіñòü çâåñòè äîäàâàííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë äî äîäàâàííÿ їõ öіëèõ ÷àñòèí і äîäàâàííÿ їõ äðîáîâèõ ÷àñòèí. ßêùî ïðè äîäàâàííі äðîáîâèõ ÷àñòèí îòðèìóєìî íå- ïðàâèëüíèé äðіá, òî ó öüîìó ðàçі ç íüîãî âèäіëÿþòü öіëó ÷àñòèíó і äîäàþòü її äî öіëîї ÷àñòèíè, ÿêà âæå є. Ïðèêëàä 1. . ßê ïðàâèëî, ïðîìіæíі îá÷èñëåííÿ âèêîíóþòü óñíî і ðîçâ’ÿçàííÿ çàïèñóþòü êîðîòøå: . Ïðè âіäíіìàííі ìіøàíèõ ÷èñåë âèêîðèñòîâóþòü âëàñòè- âîñòі âіäíіìàííÿ ñóìè âіä ÷èñëà і ÷èñëà âіä ñóìè: à – (b + ñ)  (à – b) – ñ і (à + b) – ñ  (à – ñ) + b (ÿêùî à > ñ àáî à  ñ), à òàêîæ ïðèéîì âіäíіìàííÿ âіä íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ïðà- âèëüíîãî äðîáó. Ïðèêëàä 2. , àáî êîðîòøå: Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 47Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 47 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 48. Ðîçäië 2 48 . Ïðèêëàä 3. , àáî êîðîòøå: . Ïðèêëàä 4. . Ðîçãëÿíåìî ïðèêëàä, â ÿêîìó äðîáîâà ÷àñòèíà çìåíøó- âàíîãî ìåíøà çà äðîáîâó ÷àñòèíó âіä’єìíèêà. Ïðèêëàä 5. . Çâåäåìî äðîáîâі ÷àñòèíè äî ñïіëü- íîãî çíàìåííèêà: , . Îñêіëüêè äðîáîâà ÷àñòèíà çìåíøóâàíîãî ìåíøà âіä äðîáîâîї ÷àñòèíè âіä’єìíèêà, òî òðåáà âіä öіëîї ÷àñòèíè çìåíøóâàíîãî âçÿòè îäíó îäèíèöþ і ïåðåòâîðèòè її ó äðіá ç íåîáõіäíèì çíàìåííèêîì (ó íà- øîìó ïðèêëàäі öå çíàìåííèê 18). Äàëі: , àáî êîðîòøå: . ßê äîäàþòü ìіøàíі ÷èñëà і ÿêі âëàñòèâîñòі äîäàâàí- íÿ âèêîðèñòîâóþòü? ßê âèêîíóþòü âіäíіìàííÿ ìі- øàíèõ ÷èñåë і ÿêі âëàñòèâîñòі âèêîðèñòîâóþòü? 236. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 48Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 48 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 49. Çâè÷àéíi äðîáè 49 237. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 238. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 239. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 240. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 241. Ñòðі÷êó ðîçðіçàëè íà äâі ÷àñòèíè çàâäîâæêè ì і ì. ßêîþ áóëà äîâæèíà ñòðі÷êè? Íà ñêіëüêè äîâæèíà îäíієї ÷àñòèíè âèÿâèëàñÿ áіëüøîþ çà äîâæèíó äðóãîї? 242. Òóðèñòè çà ïåðøó ãîäèíó ïðîéøëè êì, à çà äðó- ãó — íà êì ìåíøå. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïîäîëàëè òó- ðèñòè çà äâі ãîäèíè? 243. Íà îäíîìó àâòîìîáіëі ò âàíòàæó, à íà іíøîìó — íà ò ìåíøå. Ñêіëüêè òîíí âàíòàæó íà îáîõ àâòîìîáіëÿõ ðàçîì? 244. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 245. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 49Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 49 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 50. Ðîçäië 2 50 246. Îá÷èñëè . 247. Çíàéäè çíà÷åííÿ ñóìè . 248. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 249. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 250. Âëàñíà øâèäêіñòü ÷îâíà äîðіâíþє êì/ãîä, à øâèäêіñòü òå÷ії — êì/ãîä. Çíàéäè øâèäêіñòü ÷îâíà çà òå÷ієþ і ïðîòè òå÷ії. 251. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 252. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 253. Êіò Ìàòðîñêіí âðàíöі íàäîїâ âіä êîðîâè ë ìîëîêà, â îáіä — íà ë ìåíøå, íіæ âðàíöі, à ââå÷åðі — ë. ßêèì âèÿâèâñÿ äåííèé íàäіé ìîëîêà? 254. Ó äâîõ ìіøêàõ ðàçîì êã áîðîøíà, ïðè÷îìó â ïåð- øîìó êã. Ó ÿêîìó ìіøêó áіëüøå áîðîøíà і íà ñêіëüêè? 255. Ìîòîöèêëіñò ïðîїõàâ çà äâі ãîäèíè êì, ïðè÷îìó çà ïåðøó ãîäèíó êì. Çà ÿêó ãîäèíó ìîòîöèêëіñò ïðî- їõàâ áіëüøó âіäñòàíü і íà ñêіëüêè? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 50Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 50 28.05.2014 15:47:5028.05.2014 15:47:50
  • 51. Çâè÷àéíi äðîáè 51 256. Ìàâïî÷êà Àáó ïðèäáàëà òðè ÿùèêè áàíàíіâ. Ó ïåð- øîìó ÿùèêó êã áàíàíіâ, ó äðóãîìó — íà êã áіëüøå, íіæ ó ïåðøîìó, à â òðåòüîìó — íà êã ìåíøå, íіæ ó äðó- ãîìó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áàíàíіâ ïðèäáàëà ìàâïî÷êà Àáó? 257. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє äì, äðóãà — íà äì êîðîòøà âіä ïåðøîї, à òðåòÿ — íà äì äîâøà çà äðóãó. Çíàéäè ïåðèìåòð òðèêóòíèêà. 258. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòè- âîñòі äîäàâàííÿ: 1) ; 2) . 259. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 260. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 261. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 262. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 51Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 51 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 52. Ðîçäië 2 52 263. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі é îá÷èñëè: 1) ; 2) . 264. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі é îá÷èñëè: 1) ; 2) . 265. Îäíà ñòîðîíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє äì, à äðó- ãà — íà äì äîâøà. Çíàéäè ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 266.  îäíîìó ìіøêó áóëî êã áîðîøíà. Êîëè іç öüîãî ìіøêà ïåðåñèïàëè â äðóãèé ìіøîê êã, òî áîðîøíà â îáîõ ìіøêàõ ñòàëî ïîðіâíó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áîðîøíà áóëî â äðóãîìó ìіøêó ñïî÷àòêó? 267. Çà 3 ãîä âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ êì. Çà ïåðøі 2 ãîä âіí ïðîїõàâ êì, à çà îñòàííі 2 ãîä — êì. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ äîëàâ âåëîñèïåäèñò ùîãîäèíè? 268. Ñàøêî, Äìèòðî òà Ñåðãіé ðàçîì çіáðàëè êã ñóíèöü. Ñàøêî і Äìèòðî ðàçîì çіáðàëè êã ñóíèöü, à Äìèòðî і Ñåðãіé — êã ñóíèöü. Ïî ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñóíèöü çі- áðàâ êîæåí іç õëîïöіâ? 269. ßê çìіíèòüñÿ ñóìà äâîõ ÷èñåë, ÿêùî: 1) îäèí ç äîäàíêіâ çáіëüøèòè íà , à äðóãèé — íà ; 2) îäèí ç äîäàíêіâ çáіëüøèòè íà , à äðóãèé — çìåí- øèòè íà ? 270. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) 0,42 : 5 + 0,23; 2) (1,52  6 – 12,5)3. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 52Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 52 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 53. Çâè÷àéíi äðîáè 53 271. ßêå ÷èñëî òðåáà ïіäñòàâèòè çàìіñòü a, ùîá êî- ðåíåì ðіâíÿííÿ (õ + 5)  à  75 áóëî ÷èñëî 20? 272. ×èñëî à ïðè äіëåííі íà 5 äàє â îñòà÷і 2. ßêó îñòà÷ó ïðè äіëåííі íà 5 äàє ÷èñëî b, ÿêùî ñóìà à + b äіëèòüñÿ íà 5? 273. 1) Ó ÿùèêó, ùî çíàõîäèòüñÿ ó òåìíіé êіìíàòі, ëåæàòü 12 áіëèõ і 12 ÷îðíèõ øêàðïåòîê. ßêó íàéìåíøó êіëüêіñòü øêàðïåòîê òðåáà âçÿòè íàâìàííÿ, ùîá ñåðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëà ïàðà øêàðïåòîê îäíîãî êîëüîðó? 2) Ó êîðîáöі, ùî çíàõîäèòüñÿ ó òåìíіé êіìíàòі, ëåæàòü 12 ïàð êîðè÷íåâèõ і 12 ïàð ÷îðíèõ ðóêàâè÷îê. ßêó íàé- ìåíøó êіëüêіñòü ðóêàâè÷îê òðåáà âçÿòè íàâìàííÿ, ùîá ñå- ðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëà ïàðà ðóêàâè÷îê îäíîãî êîëüîðó? 12.12. Перетворення звичайних дробів у десяткові. Нескінченні періодичні десяткові дроби Ìè âæå âìієìî ïåðåòâîðþâàòè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè- ÷àéíі àáî ó ìіøàíі ÷èñëà, íàïðèêëàä: ; ; ; . Òàêîæ ìè âìієìî ïåðåòâîðþâàòè çâè÷àéíі äðîáè іç çíàìåííèêàìè 10, 100, 1000, ... ó äåñÿòêîâі, íàïðèêëàä, ; ; . Ùîá íàâ÷èòèñÿ ïåðåòâîðþâàòè çâè÷àéíі äðîáè ç іíøè- ìè çíàìåííèêàìè ó äåñÿòêîâі, íåîáõіäíî çãàäàòè, ùî çâè- ÷àéíèé äðіá є ÷àñòêîþ âіä äіëåííÿ ÷èñåëüíèêà íà çíàìåí- íèê. Îòæå, ùîá ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé, äîñòàòíüî ÷èñåëüíèê ïîäіëèòè íà çíàìåííèê. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 53Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 53 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 54. Ðîçäië 2 54 Íàïðèêëàä: ; ; . ßêùî íà äåñÿòêîâèé äðіá òðåáà ïåðåòâîðèòè ìіøàíå ÷èñëî, äîñòàòíüî ÷èñåëüíèê äðîáîâîї ÷àñòèíè ïîäіëèòè íà çíàìåííèê і äî óòâîðåíîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó äîäàòè öіëó ÷àñòèíó ìіøàíîãî ÷èñëà. Ïðèêëàä. Ïîäàòè ÷èñëî äåñÿòêîâèì äðîáîì. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè , òî . Ñïðîáóєìî ïåðåòâîðèòè äðіá íà äåñÿòêîâèé. Îòæå,  0,818181... Áà÷èìî, ùî äіëåííÿ íå çàêіí÷è- ëîñÿ, òîáòî îòðèìàëè íåñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé ïåðіîäè÷- íèé äðіá. À â óñіõ ïîïåðåäíіõ âèïàäêàõ ìè îòðèìóâàëè ñêіí÷åííі äåñÿòêîâі äðîáè. Öèôðè 8 і 1, ÿêі ñòîÿòü ïîðÿä ó çàïèñó íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî äðîáó і ïîâòîðþþòüñÿ áåçëі÷ ðàçіâ ïîñïіëü, óòâîðþþòü ïåðіîä íåñêіí÷åííîãî äå- ñÿòêîâîãî äðîáó. Öå çàïèñóþòü òàê: 0,818181...  0,(81) (÷è- òàþòü: «íóëü öіëèõ 81 ñîòà ó ïåðіîäі»). Îòæå,  0,(81). Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 54Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 54 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 55. Çâè÷àéíi äðîáè 55 ßê áà÷èìî, ïðè ïåðåòâîðåííі çâè÷àéíîãî äðîáó íà äåñÿò- êîâèé ìîæóòü óòâîðþâàòèñÿ ÿê ñêіí÷åííі, òàê і íåñêіí÷åííі äåñÿòêîâі äðîáè. Ñêіí÷åííі äðîáè óòâîðþþòüñÿ ëèøå òîäі, êî- ëè â ðîçêëàäі çíàìåííèêà íà ïðîñòі ìíîæíèêè íåìàє ïðîñ- òèõ ìíîæíèêіâ, êðіì 2 і 5.  іíøèõ âèïàäêàõ óòâîðþєòüñÿ íåñêіí÷åííèé ïåðіîäè÷íèé äåñÿòêîâèé äðіá. Íàïðèêëàä, äðіá ïåðåòâîðèòüñÿ â ïåðіîäè÷íèé äåñÿòêîâèé äðіá, áî 12  2  2  3, òîáòî â ðîçêëàäі є ìíîæíèê 3. Ïåðåêîíàєìîñÿ: (÷èòàþòü: «íóëü öіëèõ 41 ñîòà і 6 ó ïåðіîäі»). Äðіá ïåðåòâîðèòüñÿ â ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá, áî 20  2  2  5, òîáòî íå ìіñòèòü іíøèõ ïðîñòèõ ìíîæíè- êіâ, êðіì 2 òà 5. Ñïðàâäі, . Ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíі äðîáè ó äåñÿòêîâі ìîæíà é іí- øèì ñïîñîáîì: äîìíîæèòè ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê íà íå- îáõіäíó êіëüêіñòü äâіéîê àáî ï’ÿòіðîê òàê, ùîá êіëüêіñòü äâіéîê ó çíàìåííèêó äîðіâíþâàëà êіëüêîñòі ï’ÿòіðîê. Òîäі çíàìåííèê áóäå êðàòíèì ÷èñëó 10. Íàïðèêëàä: ; ; . À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå... У XVII ст. перетворенням звичайного дробу в десятковий зай- малися італійський математик Бонавентура Кавальєрі (1598— 1647), англійський математик Джон Валліс (1616—1703) та інші. У процесі нескінченного ділення чисельника звичайного дробу на його знаменник ці вчені отримали періодичні дроби. У XVIII ст. періодичні дроби також вивчалися німецьким вче- ним Йоганом Ламбертом (1728—1777) та видатним математиком, фізиком, механіком і астрономом Леонардом Ейлером (1707— 1783). Повну теорію періодичних дробів розробив на початку Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 55Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 55 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 56. Ðîçäië 2 56 XIX ст. видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаус (1777— 1855). Термін «період» для групи цифр, що нескінченно повторюють- ся, походить від грецького слова «періодис» — обхід, обертання по колу. ßê ïåðåòâîðèòè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé? ×è çàâæäè öå ïåðåòâîðåííÿ äàє ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá? ßêèé çàïèñ ÷èñëà íàçèâàþòü íåñêіí÷åííèì äåñÿòêîâèì ïåðіîäè÷íèì äðîáîì? Ó ÿêîìó âèïàä- êó çâè÷àéíèé íåñêîðîòíèé äðіá ìîæíà ïåðåòâîðèòè ó ñêіí÷åííèé äåñÿòêîâèé äðіá? 274. Ïðî÷èòàé: 0,5; 1,13; 0,(7); 3,1(2); 4,2(37). 275. Ïåðåâіð, ùî: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 276. Ïåðåâіð, ùî: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 277. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàä- êó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó): 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 278. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàäêó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó): 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 279. Ïåðåòâîðè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé і îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 56Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 56 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 57. Çâè÷àéíi äðîáè 57 280. Ïåðåòâîðè çâè÷àéíèé äðіá ó äåñÿòêîâèé і îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 281. Çàïèøè ó âèãëÿäі íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåðі- îäè÷íîãî äðîáó ÷àñòêó: 1) 5 : 99; 2) 19 : 11; 3) 43 : 12; 4) 12,5 : 27. 282. Çàïèøè ó âèãëÿäі íåñêіí÷åííîãî äåñÿòêîâîãî ïåðіî- äè÷íîãî äðîáó ÷àñòêó: 1) 10 : 9; 2) 7 : 15; 3) 44 : 6; 4) 25,4 : 11. 283. Ïîðіâíÿé äðîáè, çàïèñàâøè ïîïåðåäíüî çâè÷àéíі äðî- áè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1) і 0,18; 2) і 0,36; 3) і ; 4) і . 284. Ïîðіâíÿé äðîáè, çàïèñàâøè ïîïåðåäíüî çâè÷àéíі äðî- áè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1) і 0,88; 2) і 0,9; 3) і ; 4) і . 285. ×åðâîíó ñòðі÷êó, äîâæèíà ÿêîї 25 ì, ðîçðіçàëè íà 7 îäíàêîâèõ ÷àñòèí, à çåëåíó ñòðі÷êó, äîâæèíà ÿêîї 39 ì, ðîçðіçàëè íà 11 îäíàêîâèõ ÷àñòèí. Äîâæèíà ÿêîї ç îòðè- ìàíèõ ÷àñòèí áіëüøà: ÷åðâîíîї ÷è çåëåíîї? 286. Îêðóãëè äåñÿòêîâі äðîáè: 1) äî îäèíèöü: 2,73; 3,052; 7,5789; 2) äî äåñÿòèõ: 11,82; 0,4859; 11,2342; 3) äî ñîòèõ: 0,451; 12,499; 1,574. 287. 1) ×è є âçàєìíî ïðîñòèìè ÷èñëà 2012 і 2015? 2) Íàçâè òðè ÷èñëà, êîæíå ç ÿêèõ є âçàєìíî ïðîñòèì ç ÷èñëîì 2012 і ç ÷èñëîì 2015. 288. ×è ìîæíà ÷èñëî 1 ïîäàòè ó âèãëÿäі ñóìè äðîáіâ , äå a, b, c, d — íåïàðíі íàòóðàëüíі ÷èñëà? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 57Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 57 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 58. Ðîçäië 2 58 13.13. Десяткове наближення звичайного дробу Ïðè ïåðåòâîðåííі çâè÷àéíèõ äðîáіâ ó äåñÿòêîâі ìîæíà îòðèìóâàòè íåñêіí÷åííі ïåðіîäè÷íі äðîáè. Âèêîíóþ÷è îá- ÷èñëåííÿ ç òàêèìè äðîáàìè, çðó÷íî êîðèñòóâàòèñÿ їõ íà- áëèæåííÿìè, ÿêі îòðèìóþòü ïðè îêðóãëåííі íåñêіí÷åííèõ äðîáіâ äî ïåâíîãî ðîçðÿäó. Óòâîðþєòüñÿ ñêіí÷åííèé äåñÿò- êîâèé äðіá, ÿêèé íàçèâàþòü äåñÿòêîâèì íàáëèæåííÿì çâè÷àéíîãî äðîáó. ×èñëî, ÿêå óòâîðèëîñÿ ïіñëÿ îêðóãëåí- íÿ, òèì òî÷íіøå, ÷èì áіëüøå äåñÿòêîâèõ çíàêіâ ó éîãî íà- áëèæåííі. Ïðèêëàä 1.  1,58333... . Äåñÿòêîâі íàáëèæåííÿ öüîãî äðîáó òàêі: (îêðóãëåíî äî îäèíèöü); (îêðóãëåíî äî äåñÿòèõ); (îêðóãëåíî äî ñîòèõ); (îêðóãëåíî äî òèñÿ÷íèõ). Ùîá çíàéòè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè÷àéíî- ãî äðîáó, ÿêå îêðóãëåíå äî äàíîãî ðîçðÿäó, äî- ñòàòíüî: 1) âèêîíàòè äіëåííÿ äî íàñòóïíîãî ðîçðÿäó; 2) çíàéäåíèé ðåçóëüòàò îêðóãëèòè. Ïðèêëàä 2. Îêðóãëèòè äî òèñÿ÷íèõ і îá÷èñëèòè: 4,5(3) + + 7,(18). Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè 4,5(3)  4,5333…  4,533, à 7,(18)  7,1818  7,182, òî 4,5(3) + 7,(18)  4,533 + 7,182  11,715. Ùî ðîçóìіþòü ïіä äåñÿòêîâèì íàáëèæåííÿì çâè÷àé- íîãî äðîáó? ßê çíàéòè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ çâè- ÷àéíîãî äðîáó, ÿêå îêðóãëåíå äî äàíîãî ðîçðÿäó? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 58Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 58 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 59. Çâè÷àéíi äðîáè 59 289. Âіäîìî, ùî і . Çíàé- äè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ êîæíîãî ç öèõ çâè÷àéíèõ äðî- áіâ, îêðóãëåíå äî: 1) äåñÿòèõ; 2) ñîòèõ; 3) òèñÿ÷íèõ. 290. Âіäîìî, ùî . Çíàéäè äåñÿòêîâå íà- áëèæåííÿ öüîãî çâè÷àéíîãî äðîáó, îêðóãëåíå äî: 1) äåñÿòèõ; 2) ñîòèõ; 3) òèñÿ÷íèõ. 291. Çíàéäè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ äðîáó, îêðóãëåíå äî ñîòèõ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 292. Çíàéäè äåñÿòêîâå íàáëèæåííÿ äðîáó, îêðóãëåíå äî äåñÿòèõ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 293. Âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 43 êì çà 3 ãîä. Çíàéäè éîãî øâèäêіñòü. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî òèñÿ÷íèõ êì/ãîä). 294. Ïîїçä ïðîїõàâ 307 êì çà 6 ãîä. Çíàéäè éîãî øâèä- êіñòü. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ êì/ãîä.) 295. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ і îêðóãëè éîãî äî ñîòèõ: 1) 13õ  7; 2) 8 : õ  125; 3) 56õ  103; 4) 17 : õ  6. 296. Çíàéäè êîðіíü ðіâíÿííÿ і îêðóãëè éîãî äî ñîòèõ: 1) 19õ  25; 2) 7 : õ  57. 297. Ïëîùà ïðÿìîêóòíîї äіëÿíêè çåìëі 2730 ì2, à äî- âæèíà îäíієї çі ñòîðіí 55 ì. Çíàéäè äîâæèíó іíøîї ñòîðî- íè. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ ìåòðà.) 298. Îá÷èñëè âèñîòó ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî éîãî îá’єì äîðіâíþє 14 äì3, äîâæèíà — 3 äì, à øèðè- íà — 2,5 äì. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ äåöèìåòðà.) 299. Âåëîñèïåäèñò çà ïåðøó ãîäèíó ïðîїõàâ êì, çà äðóãó — êì, à çà òðåòþ — êì. Çíàéäè ñåðåäíþ øâèäêіñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà. (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî äå- ñÿòèõ êì/ãîä.) Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 59Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 59 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 60. Ðîçäië 2 60 300. Îêðóãëè ïåðіîäè÷íі äðîáè äî ñîòèõ і îá÷èñëè: 1) 2,(76) + 4,(5) – 3,(1); 2) 4,0(3) – 2,(7) – 0,(24). 301. Ñêîðîòè äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 302. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 303. ×è ìîæíà ÷èñëî 64 ïîäàòè ó âèãëÿäі ñóìè òðüîõ ïðîñòèõ ÷èñåë? Завдання для перевірки знань № 2 (§ 8 — § 13) 1. Ñêîðîòè äðіá: 1) ; 2) . 2. Çàïèøè äâà äðîáè, ÿêі äîðіâíþþòü äðîáó . 3. Ïîðіâíÿé äðîáè: 1) і ; 2) і . 4. Âèêîíàé äîäàâàííÿ: 1) ; 2) . 5. Âèêîíàé âіäíіìàííÿ: 1) ; 2) . 6. Ïåðåòâîðè ó äåñÿòêîâèé äðіá äàíå ÷èñëî (ó âèïàä- êó îòðèìàííÿ íåñêіí÷åííîãî äðîáó äіëåííÿ ïðèïèíè ïіñëÿ âèçíà÷åííÿ ïåðіîäó): 1) ; 2) . 7. Çíàéäè âñі íàòóðàëüíі çíà÷åííÿ b, ïðè ÿêèõ є ïðà- âèëüíîþ íåðіâíіñòü: 1) ; 2) . 8. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ, ïîïåðåäíüî ïåðåòâîðèâøè äå- ñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, àáî ìіøàíі ÷èñëà ó äåñÿòêîâі äðîáè: . 9. Çà ïåðøó ãîäèíó ðîçâàíòàæèëè îòðèìàíîãî âàí- òàæó, çà äðóãó — 25 %, çà òðåòþ — , à çà ÷åòâåðòó — Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 60Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 60 28.05.2014 15:47:5128.05.2014 15:47:51
  • 61. Çâè÷àéíi äðîáè 61 ðåøòó. ßêó ÷àñòèíó îòðèìàíîãî âàíòàæó ðîçâàíòàæèëè çà ÷åòâåðòó ãîäèíó? Äîäàòêîâі âïðàâè 10. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 11. Çíàéäè áóäü-ÿêі äâà äðîáè, êîæíèé ç ÿêèõ áіëü- øèé çà , àëå ìåíøèé âіä . 12. ßê çìіíèòüñÿ ñóìà òðüîõ äîäàíêіâ, ÿêùî îäèí ç íèõ çáіëüøèòè íà , äðóãèé — çáіëüøèòè íà , à òðå- òіé — çìåíøèòè íà 7,48? 14.14. Множення звичайних дробів Іñíóє áàãàòî çàäà÷, ïðè ðîçâ’ÿçóâàííі ÿêèõ òðåáà ìíî- æèòè çâè÷àéíі äðîáè. Ðîçãëÿíåìî îäíó ç òàêèõ çàäà÷. Çàäà÷à. Äîâæèíè ñòîðіí ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü äì і äì. Çíàéòè éîãî ïëîùó. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ùîá ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó, çàïèøåìî ñòî- ðîíè ïðÿìîêóòíèêà äåñÿòêîâèìè äðîáàìè. Ìàєìî: äì  0,3 äì; äì  0,43 äì і S  0,3  0,43  0,129 (äì2). Ïåðåòâîðèìî çíàéäåíèé äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé: 0,129 äì2  äì2. Öåé ñàìèé ðåçóëüòàò ìîæíà çíàéòè, íå ïåðåòâîðþþ÷è çâè÷àéíі äðîáè â äåñÿòêîâі. ßê áà÷èìî, ÷èñåëüíèê äðîáó äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ: 3  43, à çíàìåí- íèê — äîáóòêó çíàìåííèêіâ, à ñàìå: 10  100. Çíàéäåíèé äðіá і є äîáóòêîì äðîáіâ і . Ìàєìî: Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 61Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 61 28.05.2014 15:47:5228.05.2014 15:47:52
  • 62. Ðîçäië 2 62 . Äîáóòîê äâîõ çâè÷àéíèõ äðîáіâ — öå äðіá, ÷è- ñåëüíèê ÿêîãî äîðіâíþє äîáóòêó ÷èñåëüíèêіâ, à çíàìåííèê — äîáóòêó çíàìåííèêіâ äàíèõ äðîáіâ: . ßêùî ìîæíà, òî ðåçóëüòàò òðåáà ñêîðîòèòè, ïðè÷îìó ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê êðàùå ñêîðîòèòè ïåðåä îá÷èñëåí- íÿì їõ äîáóòêіâ, ùî ñïðîñòèòü îá÷èñëåííÿ. Ïðèêëàä 1. . ßêùî ñåðåä ìíîæíèêіâ є íàòóðàëüíå ÷èñëî, òî éîãî çà- ìіíþþòü äðîáîì іç çíàìåííèêîì 1. Ïðèêëàä 2. , àáî êîðîòøå: . ßêùî ñåðåä ìíîæíèêіâ є ìіøàíі ÷èñëà, òî їõ òðåáà ïå- ðåòâîðèòè â íåïðàâèëüíі äðîáè, à ïîòіì çàñòîñóâàòè ïðà- âèëî ìíîæåííÿ äðîáó íà äðіá. Ïðèêëàä 3. . ßêùî ç äâîõ ìíîæíèêіâ îäèí — çâè÷àéíèé äðіá, à äðó- ãèé ïîçíà÷åíî áóêâîþ, òî áóêâó çàïèñóþòü çà äðîáîì íà ðіâíі ðèñêè äðîáó. Íàãàäàєìî, ùî ïåðåä áóêâåíèì ìíîæ- íèêîì і ïåðåä äóæêàìè çíàê ìíîæåííÿ ìîæíà íå ïèñàòè. Íàïðèêëàä, çàïèñ îçíà÷àє äîáóòîê . Ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ùî âñі âèâ÷åíі ðàíіøå âëàñòèâîñ- òі ìíîæåííÿ (ïåðåñòàâíà, ñïîëó÷íà і ðîçïîäіëüíà) ñïðàâ- äæóþòüñÿ і äëÿ ìíîæåííÿ çâè÷àéíèõ äðîáіâ, à ñàìå: ÿêùî a, b, ñ – äðîáè, òî: Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 62Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 62 28.05.2014 15:47:5228.05.2014 15:47:52
  • 63. Çâè÷àéíi äðîáè 63 a · b  b · a, a · (b · c)  (a · b) · c, a · (b + c)  a · b + a · c, a · (b – c)  a · b – a · c. Êðіì òîãî, a · 0  0  a  0; à · 1  1 · à  à. Ïðèêëàä 4. Îá÷èñëèòè çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) ; 2) ; 3) . Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó і ñïî- ëó÷íó âëàñòèâîñòі, ìàєìî: . 2) Âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü, ìàєìî: . 3) Ïîäàìî ñïî÷àòêó ó âèãëÿäі ñóìè öіëîї òà äðîáî- âîї ÷àñòèí: , à ïîòіì çàñòîñóєìî ðîçïîäіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ. Ìàєìî: . ßê âèêîíóєòüñÿ ìíîæåííÿ äâîõ äðîáіâ і ÿê — ìíî- æåííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë? ßêі âëàñòèâîñòі ñïðàâäæó- þòüñÿ ïðè ìíîæåííі äðîáіâ? ßê çà äîïîìîãîþ ðîç- ïîäіëüíîї âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ ìîæíà ïîìíîæèòè ìіøàíå ÷èñëî íà íàòóðàëüíå ÷èñëî? 304. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 63Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 63 28.05.2014 15:47:5228.05.2014 15:47:52
  • 64. Ðîçäië 2 64 305. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 306. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 307. Çíàéäè ïåðèìåòð і ïëîùó êâàäðàòà, ñòîðîíà ÿêîãî äî- ðіâíþє ì. 308. (Óñíî) Îá÷èñëè, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâíó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 309. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 310. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 311. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 312. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 64Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 64 28.05.2014 15:47:5228.05.2014 15:47:52
  • 65. Çâè÷àéíi äðîáè 65 313. ßêèé øëÿõ ïîäîëàє ìîòîöèêëіñò çà ãîä, ÿêùî éîãî øâèäêіñòü 42 êì/ãîä? 314. 1 êã ïå÷èâà êîøòóє ãðí. Ñêіëüêè êîøòóє êã, êã, êã, êã öüîãî ïå÷èâà? 315. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 316. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 317. Çíàéäè îá’єì ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî éîãî âèìіðè äîðіâíþþòü: ñì, ñì, ñì. 318. Îá÷èñëè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî ñòîðîíè äîðіâíþþòü: 1) ñì і ñì; 2) äì і äì. 319. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 320. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 321. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâі äðîáè ó çâè÷àéíі, à ïîòіì îá- ÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 322. (Óñíî) Îá÷èñëè, çàñòîñîâóþ÷è ðîçïîäіëüíèé çàêîí ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 65Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 65 28.05.2014 15:47:5228.05.2014 15:47:52
  • 66. Ðîçäië 2 66 323. Çíàéäè ìàñó ìåòàëåâîї äåòàëі, îá’єì ÿêîї äîðіâíþє äì3, ÿêùî ìàñà 1 äì3 öüîãî ìåòàëó äîðіâíþє êã. 324. Ùîá ïîòðàïèòè â ãîñòі äî êðîêîäèëà Ãåíè, ×åáóðàøêà ïðîéøîâ ïіøêè êì òà ùå ïðîїõàâ íà àâòîáóñі ãîä çі øâèäêіñòþ êì/ãîä. ßêó âіäñòàíü ïîäîëàâ ×åáóðàøêà? 325. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâ- íó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) . 326. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåñòàâ- íó òà ñïîëó÷íó âëàñòèâîñòі ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) . 327. Ç îäíîãî ìіñòà îäíî÷àñíî â ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ âèїõàëè àâòîìîáіëü і ìіêðîàâòîáóñ. Øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ êì/ãîä, à øâèäêіñòü ìіêðîàâòîáóñà — êì/ãîä. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ íèìè ÷åðåç ãîä? 328. Ç îäíîãî ïîðòó îäíî÷àñíî â îäíîìó íàïðÿìі âèðóøèëè êàòåð і òåïëîõіä. Êàòåð ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ êì/ãîä, à òåïëîõіä — êì/ãîä. ßêà âіäñòàíü áóäå ìіæ íèìè ÷åðåç ãîä? 329. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïî- äіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 66Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 66 28.05.2014 15:47:5228.05.2014 15:47:52
  • 67. Çâè÷àéíi äðîáè 67 3) ; 4) . 330. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó, âèêîðèñòîâóþ÷è ðîçïî- äіëüíó âëàñòèâіñòü ìíîæåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 331. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) ; 3) . 332. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . 333. Ðîçêðèé äóæêè: 1) ; 2) ; 3) . 334. Ñïðîñòè âèðàç òà îá÷èñëè éîãî çíà- ÷åííÿ, ÿêùî . 335. Ñïðîñòè âèðàç òà îá÷èñëè éîãî çíà- ÷åííÿ, ÿêùî y  30; . 336. Ìàòè êóïèëà êã àïåëüñèíіâ çà öіíîþ ãðí çà êіëîãðàì òà êã ÿáëóê çà öіíîþ ãðí. Çà ÿêі ôðóêòè, àïåëüñèíè ÷è ÿáëóêà, ìàòè çàïëàòèëà áіëüøå і íà ñêіëüêè? 337. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ . 338. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 67Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 67 28.05.2014 15:47:5228.05.2014 15:47:52
  • 68. Ðîçäië 2 68 339. Íå âèêîíóþ÷è ìíîæåííÿ, ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ âèðàçіâ: 1) і ; 2) і ; 3) і . 340. Ïåðåòâîðè ó çâè÷àéíі äðîáè: 5 %; 7 %; 14 %; 20 %; 52 %; 100 %; 120 %. 341. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñì. Äâі ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü ñì òà ñì. Çíàéäè òðåòþ ñòîðîíó òðèêóòíèêà. ßê íàçèâàþòü òà- êèé òðèêóòíèê? 342. ßê çà äîïîìîãîþ âіäåð, ùî âìіùóþòü 5 ë і 7 ë, íàëèòè ç êðàíó â àêâàðіóì 6 ë âîäè? 15.15. Знаходження дробу від числа Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó, ùî çâî- äèòüñÿ äî çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà. Çàäà÷à 1. Ó êëàñі 30 ó÷íіâ, іç íèõ õëîïöі. Ñêіëüêè õëîïöіâ ó êëàñі? Ðîçâ’ÿçàííÿ. (Ìàë. 3). 1) 30 : 5  6 (ó÷.) — ñòàíîâèòü âіä 30 ó÷íіâ; 2) 6  2  12 (ó÷.) — ñòàíîâèòü âіä 30 ó÷íіâ. Îòæå, ó êëàñі 12 õëîïöіâ. Ðîçâ’ÿçàííÿ öієї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè іíàêøå: (ó÷.). Îòæå, êіëüêіñòü õëîïöіâ ó êëàñі ìîæíà çíàéòè, ÿêùî ïîìíîæèòè êіëüêіñòü óñіõ ó÷íіâ (30) íà äðіá . Ïðè ðîçâ’ÿ- çóâàííі çàäà÷і çíàéøëè äðіá âіä ÷èñëà 30. Ìàë. 3 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 68Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 68 28.05.2014 15:47:5228.05.2014 15:47:52
  • 69. Çâè÷àéíi äðîáè 69 Çàäà÷і íà çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà ðîçâ’ÿçóþòü äієþ ìíîæåííÿ. Ùîá çíàéòè äðіá âіä ÷èñëà, äîñòàòíüî ÷èñëî ïîìíîæèòè íà öåé äðіá. Çàäà÷à 2. Øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 12 ñì, à äîâ- æèíà ñòàíîâèòü øèðèíè. Çíàéòè äîâæèíó ïðÿìîêóòíèêà. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє (ñì). Çàäà÷à 3. Ó êíèæöі 140 ñòîðіíîê. Ïåðøîãî äíÿ ó÷åíü ïðî÷èòàâ 0,3 âіä óñієї êіëüêîñòі ñòîðіíîê. Ñêіëüêè ñòîðі- íîê ïðî÷èòàâ ó÷åíü ïåðøîãî äíÿ? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè , òî äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷і òðåáà ïîìíîæèòè 140 íà , òîáòî (ñ.). Îòæå, ïåðøîãî äíÿ ó÷åíü ïðî÷èòàâ 42 ñòîðіíêè. Òîé ñà- ìèé ðåçóëüòàò îòðèìàєìî, ÿêùî ïîìíîæèòè 140 íà 0,3: 140  0,3  42. Ðîçãëÿíåìî ÿê ìîæíà çàñòîñóâàòè öå ïðàâèëî äëÿ çíà- õîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà. Çàäà÷à 4. Òóðèñò ïîâèíåí ïðîéòè 12 êì. Çà ïåðøó ãî- äèíó âіí ïðîéøîâ 25 % öієї âіäñòàíі. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïðîéøîâ òóðèñò çà ïåðøó ãîäèíó? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çàïèøåìî 25 % äåñÿòêîâèì і çâè÷àé- íèì äðîáîì: 25 %  0,25  . Ïîìíîæèìî äàíå ÷èñëî íà öåé äðіá: 12  0,25  3, àáî . Îòæå, çà ïåðøó ãîäèíó òóðèñò ïðîéøîâ 3 êì. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çíàõîäæåííÿ äðîáó âіä ÷èñëà. ßê çíàéòè âіäñîòêè âіä ÷èñëà? 343. (Óñíî) Çíàéäè: 1) âіä 16; 2) âіä 7; 3) 0,4 âіä 100; 4) 30 % âіä 40. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 69Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 69 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 70. Ðîçäië 2 70 344. Îá÷èñëè: 1) âіä 24; 2) âіä 12; 3) 0,7 âіä 40; 4) 0,32 âіä 10; 5) 10 % âіä 27; 6) 20 % âіä 30. 345. Îá÷èñëè: 1) âіä 180; 2) âіä 15; 3) 0,5 âіä 10; 4) 0,47 âіä 100; 5) 50 % âіä 2; 6) 30 % âіä 40. 346. Ïåòðî çіáðàâ 40 ãðèáіâ, ç ÿêèõ — ìàñëþêè. Ñêіëü- êè ìàñëþêіâ çіáðàâ Ïåòðî? 347. Ìàñà áåãåìîòà 2000 êã, à ìàñà íîñîðîãà ñòàíîâèòü ìàñè áåãåìîòà. Çíàéäè ìàñó íîñîðîãà. 348. Ïëîùà îäíієї êіìíàòè 21 ì2, à ïëîùà äðóãîї ñòà- íîâèòü âіä ïëîùі ïåðøîї êіìíàòè. Çíàéäè ïëîùó îáîõ êіìíàò ðàçîì. 349. Ïîøòàðêà ìàє äîñòàâèòè àäðåñàòàì 96 ëèñòіâ, ïðè- ÷îìó êіëüêîñòі ëèñòіâ âîíà äîñòàâèëà äî îáіäó. Ñêіëüêè ëèñòіâ çàëèøèëîñÿ ïîøòàðöі äîñòàâèòè àäðåñàòàì? 350. Äâі áðèãàäè òðàêòîðèñòіâ çîðàëè 550 ãà çåìëі, ïðè- ÷îìó ïåðøà áðèãàäà âèêîíàëà öüîãî îáñÿãó. Ñêіëüêè ãåêòàðіâ çåìëі çîðàëà äðóãà áðèãàäà? 351. Çàïèøè çâè÷àéíèì äðîáîì: 1) 20 %; 2) %; 3) %; 4) %. Ðîçâ’ÿçàííÿ. 4) Îñêіëüêè 1%  , òî %  . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 70Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 70 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 71. Çâè÷àéíi äðîáè 71 352. Çàïèøè ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ äðіá: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 0,215; 5) 2,7; 6) 4,19. Ðîçâ’ÿçàííÿ. 3) Îñêіëüêè 1  100 %, òî . 353. Çàïèøè: 1) çâè÷àéíèì äðîáîì: 5 %; %; %; %; 2) ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ: ; ; ; 1,8. 354. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà 24 ñì, à øèðèíà ñòàíîâèòü 75 % äîâæèíè. Çíàéäè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà. 355. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà 25 ñì, à øèðèíà ñòàíîâèòü äîâæèíè. Îá÷èñëè ïåðèìåòð ïðÿìîêóòíèêà. 356. Çíàéêî ïðî÷èòàâ êíèæêè, ÿêà ìàє a ñòîðіíîê. Ñêëàäè âèðàç äëÿ çíàõîäæåííÿ êіëüêîñòі ñòîðіíîê, ÿêі ïðî÷èòàâ Çíàéêî, òà çíàéäè éîãî çíà÷åííÿ, ÿêùî a  180. 357. Çíàéäè: 1) âіä 0,35; 2) 0,24 âіä ; 3) 8,5 % âіä 34,6. 358. Çíàéäè: 1) âіä 0,27; 2) 0,36 âіä ; 3) 4,2% âіä 24,5. 359. Ìîðñüêà âîäà ìіñòèòü 7 % ñîëі. Ñêіëüêè ñîëі ìіñòèòü- ñÿ â 340 êã ìîðñüêîї âîäè? 360. Òîêàð ìàâ âèãîòîâèòè çà äåíü 200 äåòàëåé. Àëå âіí ïåðåâèêîíàâ çàâäàííÿ íà 5 %. Ñêіëüêè äåòàëåé âèãîòîâèâ òîêàð? 361. Íà áàçó ïðèâåçëè 2800 êã êàðòîïëі. Ç íèõ 45 % ïðè- âåçëè ïåðøîãî äíÿ, à ðåøòó — äðóãîãî. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ êàðòîïëі ïðèâåçëè ïåðøîãî äíÿ і ñêіëüêè äðóãîãî? 362. Ïіä ÷àñ ñóøіííÿ ÿáëóêà âòðà÷àþòü ñâîєї ìàñè. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ñóøåíèõ ÿáëóê âèéäå ç 240 êã ñâіæèõ? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 71Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 71 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 72. Ðîçäië 2 72 363. Çà òðè äíі çіáðàëè 532 êã íàñіííÿ ñîíÿøíèêà. Ó ïåðøèé äåíü çіáðàëè , ó äðóãèé — öієї ìàñè. Ñêіëü- êè êіëîãðàìіâ íàñіííÿ áóëî çіáðàíî â òðåòіé äåíü? 364. Òðè êîíäèòåðè âèãîòîâèëè 270 òîðòіâ. Ïåðøèé âè- êîíàâ öієї ðîáîòè, äðóãèé — , à òðåòіé — ðåøòó. Ïî ñêіëüêè òîðòіâ âèãîòîâèâ êîæåí êîíäèòåð? 365. Íà áàçі áóëî 270 ö êàðòîïëі. Ñïî÷àòêó âèâåçëè âіä öієї ìàñè, à ïîòіì — âіä òîãî, ùî çàëèøèëîñÿ. Ñêіëüêè öåíòíåðіâ êàðòîïëі ïіñëÿ öüîãî çàëèøèëîñÿ íà áàçі? 366. Âіä ñòðі÷êè äîâæèíîþ 40 ì ñïî÷àòêó âіäðіçàëè її äîâæèíè, à ïîòіì — 0,45 ðåøòè. Ñêіëüêè ìåòðіâ ñòðі÷êè âіäðіçàëè çà äðóãèé ðàç? 367. Àâòîìîáіëü çà 3 ãîä ïðîїõàâ 234 êì. Çà ïåðøó ãîäèíó âіí ïðîїõàâ öієї âіäñòàíі, çà äðóãó — 0,4 ðåøòè. ßêó âіäñòàíü ïðîїõàâ àâòîìîáіëü çà òðåòþ ãîäèíó? 368. Ùî áіëüøå: 18,7 % âіä 12,7 ÷è 12,7 % âіä 18,7? 369. ßêå іç ÷èñåë x àáî y є áіëüøèì (õ òà ó íå äîðіâíþþòü íóëþ), ÿêùî: 1) âіä x äîðіâíþє âіä y; 2) âіä x äîðіâíþє âіä y? 370. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ і âèêîíàé ïåðåâіðêó: 1) 3x  1; 2) x  13  1; 3) 0,2x  1. 371. Âèêîðèñòîâóþ÷è öèôðè 0, 1, 2, 3, 5, çàïè- øè íàéáіëüøå òà íàéìåíøå òðèöèôðîâі ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 3 òàê, ùîá öèôðè â êîæíîìó ÷èñëі íå ïîâòîðþ- âàëèñÿ. 372. Çíàéäè íåâіäîìі ÷èñëà òà ñêëàäè íàçâó ñòîëèöі єâðîïåéñüêîї äåðæàâè. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 72Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 72 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 73. Çâè÷àéíi äðîáè 73 16.16. Взаємно обернені числа Ðîçãëÿíåìî äðіá і ïîìіíÿєìî â íüîìó ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê ìіñöÿìè. Îòðèìàєìî äðіá . ßêùî òåïåð ïîìíîæèòè äðіá íà , òî îòðèìàєìî 1: . Òàêîæ îòðèìàєìî 1 ïðè ìíîæåííі 5 íà , íà òîùî. Äâà ÷èñëà, äîáóòîê ÿêèõ äîðіâíþє 1, íàçèâàþòü âçàєìíî îáåðíåíèìè. Ëåãêî çðîáèòè âèñíîâîê: ùîá çíàéòè äðіá âçàєìíî îáåð- íåíèé ç äàíèì çâè÷àéíèì äðîáîì, òðåáà ÷èñåëüíèê і çíà- ìåííèê äðîáó ïîìіíÿòè ìіñöÿìè (íàïðèêëàä, і — âçà- єìíî îáåðíåíі ÷èñëà, ìîæíà ãîâîðèòè іíàêøå: îáåðíåíèé äî ). ×èñëî, îáåðíåíå äî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà, — öå äðіá, ÷èñåëüíèê ÿêîãî 1, à çíàìåííèê — öå ñàìå íàòóðàëüíå ÷èñëî îáåðíåíèì äî ÷èñëà 13 є ÷èñëî . Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà: 1) ; 2) 1,3. Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Çàïèøåìî ó âèãëÿäі íåïðàâèëüíî- ãî äðîáó . Îáåðíåíèì äî ÷èñëà áóäå . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 73Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 73 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 74. Ðîçäië 2 74 2) . Îáåðíåíèì äî ÷èñëà 1,3 áóäå ÷èñëî . Ïðèêëàä 2. Çíàéòè çíà÷åííÿ äîáóòêó . Ðîçâ’ÿçàííÿ. . Ïðèêëàä 3. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ . Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè äîáóòîê ÷èñåë і x äîðіâ- íþє 1, òî x – îáåðíåíå äî ÷èñëà . Îòæå, x  . ßêі ÷èñëà íàçèâàþòü âçàєìíî îáåðíåíèìè? ßê çà- ïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî çâè÷àéíîãî äðîáó? ßê çàïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà? ßê çàïèñàòè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ìіøàíîãî ÷èñëà; äî äåñÿòêîâîãî äðîáó? 373. (Óñíî) 1) ßêå ÷èñëî є îáåðíåíèì äî îäèíèöі? 2) ×è іñíóє ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó íóëü? 374. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 6; 5) 17; 6) . 375. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé і çíàéäè îáåðíåíå äî íüîãî ÷èñëî: 1) 0,1; 2) 0,13; 3) 0,02; 4) 0,25; 5) 0,36; 6) 0,45. 376. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó: 1) ; 2) ; 3) 4; 4) ; 5) 0,2; 6) 0,24. 377. ×è áóäóòü âçàєìíî îáåðíåíèìè ÷èñëà: 1) і ; 2) 0,3 і ; 3) 0,2 і 0,5; 4) 0,125 і 8? 378. ×è áóäóòü âçàєìíî îáåðíåíèìè ÷èñëà: 1) і ; 2) 0,4 і ; 3) 5 і 0,2; 4) 0,7 і ? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 74Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 74 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 75. Çâè÷àéíi äðîáè 75 379. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1,8; 5) 2,55; 6) 7,38. 380. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå äî ÷èñëà: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 2,4; 5) 3,45; 6) 5,38. 381. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 0,8x  1. 382. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) 0,9x  1. 383. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) 0,4  (9,8  2,5). 384. (Óñíî) ×è ïðàâèëüíî, ùî: 1) äî êîæíîãî ÷èñëà іñíóє éîìó îáåðíåíå; 2) іñíóþòü ÷èñëà, îáåðíåíі äî ñàìèõ ñåáå? 385. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå: 1) ñóìі ÷èñåë і ; 2) ðіçíèöі ÷èñåë і . 386. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå: 1) ñóìі ÷èñåë і ; 2) ðіçíèöі ÷èñåë і . 387. Çíàéäè ÷èñëî, îáåðíåíå ÷èñëó: 1) ; 2) ; 3) ; 4) b; 5) ; 6) . 388. Ñïðîñòè âèðàç: 1) ; 2) ; 3) . 389. Ñêëàäè çàäà÷і çà ñõåìàìè òà ðîçâ’ÿæè їõ. Ñòðіëêà íàïðÿìëåíà äî áіëüøîãî ÷èñëà. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 75Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 75 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 76. Ðîçäië 2 76 390. ßê іç øåñòè ñіðíèêіâ ñêëàñòè 4 ðіâíîñòîðîííіõ òðèêóòíèêè çі ñòîðîíîþ, ùî äîðіâíþє äîâæèíі ñіðíèêà? 17.17. Ділення звичайних дробів Íàãàäàєìî, ùî äіëåííÿ — öå äіÿ, çà äîïîìîãîþ ÿêîї çà äîáóòêîì і îäíèì ç ìíîæíèêіâ ìîæíà çíàéòè äðóãèé ìíîæíèê. Îñêіëüêè , òî , îñêіëüêè , òî . Âèñëîâèìî ïðèïóùåííÿ: ùîá ïîäіëèòè ÷èñëî íà çâè÷àé- íèé äðіá, òðåáà ïîìíîæèòè éîãî íà ÷èñëî, îáåðíåíå äî äіëü- íèêà. Ñïðàâäі, і . Ïåðåâіðèìî íàøå ïðèïó- ùåííÿ ùå é íà òàêîìó ïðèêëàäі. Ïðèêëàä 1. Çíàéòè ÷àñòêó . Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çàìіíèìî äіëåííÿ ìíîæåííÿì íà ÷èñ- ëî, îáåðíåíå äî äіëüíèêà, à ïîòіì âèêîíàєìî ïåðåâіðêó: . Ïåðåâі ðêà. . ×àñòêîþ äâîõ äðîáіâ є äðіá, ùî äîðіâíþє äî- áóòêó äіëåíîãî íà äðіá, îáåðíåíèé äî äіëüíèêà: . Ðîçãëÿíåìî ùå îäèí ïðèêëàä. Ïðèêëàä 2. . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 76Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 76 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 77. Çâè÷àéíi äðîáè 77 ßêùî ñåðåä äàíèõ є ìіøàíі ÷èñëà, òî їõ òðåáà ïåðåòâî- ðèòè â íåïðàâèëüíі äðîáè і òіëüêè ïіñëÿ öüîãî âèêîíàòè äіëåííÿ. Ïðèêëàä 3. . ßêùî ñåðåä äàíèõ є íàòóðàëüíі ÷èñëà, òî їõ çàïèñóþòü ó âèãëÿäі äðîáó іç çíàìåííèêîì 1. Ïðèêëàä 4. . Ïðèêëàä 5. . Îñêіëüêè áóäü-ÿêå ÷èñëî, êðіì íóëÿ, ìàє îáåðíåíå ÷èñ- ëî, òî äіëåííÿ âèêîíóєìî áåç îáìåæåíü, êðіì äіëåííÿ íà íóëü. Íà íóëü äіëèòè íå ìîæíà! Ñôîðìóëþé ïðàâèëî äіëåííÿ äðîáіâ. ßê âèêîíó- þòü äіëåííÿ ìіøàíèõ ÷èñåë? ßê âèêîíóþòü äіëåí- íÿ, êîëè ñåðåä êîìïîíåíòіâ є íàòóðàëüíå ÷èñëî? 391. (Óñíî) Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 392. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 393. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 394. Çíàéäè çíà÷åííÿ ÷àñòêè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 77Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 77 28.05.2014 15:47:5328.05.2014 15:47:53
  • 78. Ðîçäië 2 78 395. Çíàéäè çíà÷åííÿ ÷àñòêè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 396. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 397. Îá÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 398. Ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà ì2. Çíàéäè éîãî äîâæèíó, ÿêùî øèðèíà äîðіâíþє ì. 399. Ñêіëüêè êîøòóє 1 ì òêàíèíè, ÿêùî ì êîøòóє ãðí? 400. Âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 12 êì çà ãîä. Çíàéäè éîãî øâèäêіñòü. 401. Ç äîñëіäíèöüêîї äіëÿíêè, ïëîùà ÿêîї ãà, çіáðàëè 300 ö ïøåíèöі. Ñêіëüêè öåíòíåðіâ ïøåíèöі â ñåðåäíüîìó çіáðàëè ç 1 ãà? 402. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî ; ; 18; . 403. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî ; ; . 404. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 405. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 406. Ñêіëüêè êîøòóє 2 êã öóêåðîê, ÿêùî çà êã çàïëà- òèëè 42 ãðí? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 78Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 78 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 79. Çâè÷àéíi äðîáè 79 407. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 14 äì, à øèðèíà — â ðàçà ìåíøà. Çíàéäè ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà. 408. Äîâæèíà ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà äîðіâíþє 12 ñì, øèðèíà — â ðàçà ìåíøà âіä äîâæèíè, à âè- ñîòà — â ðàçà ìåíøà âіä øèðèíè. Çíàéäè îá’єì ïðÿ- ìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà. 409. Îá’єì îäíієї êіìíàòè 48 ì3, à äðóãîї — â ðàçà ìåí- øèé. Çíàéäè îá’єì îáîõ êіìíàò ðàçîì. 410. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, à ïîòіì îá- ÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 411. Ïåðåòâîðè äåñÿòêîâèé äðіá ó çâè÷àéíèé, à ïîòіì îá- ÷èñëè: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 412. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè 210 êì ïîòÿã ïðîéøîâ çà ãîä. Íàçàä âіí éøîâ çі øâèäêіñòþ 50 êì/ãîä. Áіëüøîþ ÷è ìåíøîþ áóëà øâèäêіñòü ïîòÿãà íà çâîðîòíîìó øëÿõó? Ó ñêіëüêè ðàçіâ? 413. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє ñì, äðóãà і òðåòÿ — âіäïîâіäíî â òà ðàçà êîðîòøі âіä ïåðøîї. Çíàéäè ïåðèìåòð òðèêóòíèêà. 414. Îá÷èñëè: 1) ; 2) . 415. Îá÷èñëè: 1) ; 2) . 416. Ïåðøèé àâòîìîáіëü çà ãîä ïðîéøîâ 60 êì, à äðóãèé çà ãîä — 54 êì. ßêèé àâòîìîáіëü ìàâ áіëüøó øâèäêіñòü? Ó ñêіëüêè ðàçіâ? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 79Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 79 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 80. Ðîçäië 2 80 417.  îäíîìó ÿùèêó 16 êã ÿá- ëóê, ùî â ðàçà áіëüøå, íіæ ó äðóãîìó, і â ðàçà ìåíøå, íіæ ó òðåòüîìó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ÿáëóê ó òðüîõ ÿùèêàõ ðàçîì? 418. Îäèí ç ðîáіòíèêіâ ìîæå âèêîíàòè çàìîâëåííÿ çà 30 ãîä, à äðóãèé — çà 45 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí âîíè âè- êîíàþòü çàìîâëåííÿ, ïðàöþþ÷è ðàçîì? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè ïåðøèé ðîáіòíèê âèêîíóє çà- ìîâëåííÿ çà 30 ãîä, òî çà îäíó ãîäèíó âіí âèêîíóє çà- ìîâëåííÿ. Àíàëîãі÷íî, äðóãèé ðîáіòíèê âèêîíóє çà îäíó ãîäèíó çàìîâëåííÿ. Ïðàöþþ÷è ðàçîì, âîíè âèêîíà- þòü çà îäíó ãîäèíó òàêó ÷àñòèíó çàìîâëåííÿ: . Òîìó îáñÿã âèêîíàíîї ðîáîòè (ÿêèé ïðèéìàєìî çà 1) ðîáіòíèêè, ïðàöþþ÷è ðàçîì, âèêîíàþòü çà (ãîä). Âі äïîâіäü. 18 ãîä. 419. ×åðåç îäíó òðóáó áàñåéí ìîæíà íàïîâíèòè çà 6 ãîä, à ÷åðåç äðóãó — çà 12 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí íàïîâíèòüñÿ áàñåéí, ÿêùî îáèäâі òðóáè âіäêðèòè îäíî÷àñíî? 420. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 421. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 80Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 80 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 81. Çâè÷àéíi äðîáè 81 3) ; 4) . 422. Äâà âåëîñèïåäèñòè âèїõàëè îäíî÷àñíî ç îäíîãî ïóíê- òó ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ. Øâèäêіñòü îäíîãî ç íèõ 15 êì/ãîä, à äðóãîãî — â ðàçà ìåíøà. ×åðåç ñêіëüêè ãîäèí âіäñòàíü ìіæ íèìè áóäå 72 êì? 423. Àâòîáóñ і ëåãêîâèé àâòîìîáіëü ðóõàþòüñÿ íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó. Øâèäêіñòü ëåãêîâîãî àâòîìîáіëÿ 90 êì/ãîä, à øâèäêіñòü àâòîáóñà — ó ðàçà ìåíøà. ×åðåç ñêіëüêè ãîäèí âîíè çóñòðіíóòüñÿ, ÿêùî çàðàç ìіæ íèìè 168 êì? 424. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . 425. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . 426. ×îâåí ïðîïëèâ êì çà òå÷ієþ ðі÷êè çà ãîä. Íà ñêіëüêè áіëüøå ÷àñó áóäå òðèâàòè çâîðîòíèé øëÿõ, ÿêùî øâèäêіñòü òå÷ії ñòàíîâèòü êì/ãîä? 427. Ó äâîõ öèñòåðíàõ 120 ò íàôòè.  îäíіé ç íèõ íàôòè â ðàçà ìåíøå, íіæ ó äðóãіé. Ñêіëüêè òîíí íàôòè â êîæ- íіé öèñòåðíі? 428. Áàòüêî ñòàðøèé çà ñèíà â ðàçà, à ñèí ìîëîäøèé çà áàòüêà íà 26 ðîêіâ. Ñêіëüêè ðîêіâ áàòüêîâі і ñêіëüêè ñèíó? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 81Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 81 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 82. Ðîçäië 2 82 429. Äâîє áðàòіâ çáèðàëè ãðèáè, ïðè÷îìó ñòàðøèé áðàò çіáðàâ ó ðàçà áіëüøå ãðèáіâ, íіæ ìîëîäøèé. Ñêіëüêè ãðèáіâ çіáðàâ êîæåí ç áðàòіâ, ÿêùî ìîëîäøèé áðàò çіáðàâ íà 30 ãðèáіâ ìåíøå, íіæ ñòàðøèé? 430. Ïîðіâíÿé: 1) âіä 2 ö і âіä 1 ò; 2) 15 % âіä 6 äì і 4 % âіä 3 ì. 431. Çà òðè äíі çîðàëè 288 ãà çåìëі. Ïåðøîãî äíÿ çîðàëè 62,5 % öієї ïëîùі, à äðóãîãî — ðåøòè. Ñêіëüêè ãåêòàðіâ çåìëі çîðàëè òðåòüîãî äíÿ? 432. Ç öèôð 0, 1, 5, 7 óòâîðè âñі ìîæëèâі ÷îòèðè- öèôðîâі ÷èñëà, êðàòíі ÷èñëó 5 (öèôðè ó çàïèñó ÷èñëà íå ïîâòîðþþòüñÿ). ßêі ç öèõ ÷èñåë êðàòíі ÷èñëó 2? 433. Ó ñêіëüêè ðàçіâ ñõîäè íà 6-é ïîâåðõ äîâøі âіä ñõîäіâ íà 2-é ïîâåðõ öüîãî ñàìîãî áóäèíêó? 18.18. Знаходження числа за його дробом Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó, ùî çâîäèòüñÿ äî çíàõîäæåííÿ ÷èñ- ëà çà éîãî äðîáîì. Çàäà÷à 1. Ñåðãіé ïðî÷èòàâ 120 ñòîðіíîê. Öå ñòàíîâèòü êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Óìîâó çàäà÷і çîáðàæåíî íà ìàëþíêó 4. 1) 120 : 3  40 (ñ.) — ïðèïà- äàє íà êíèæêè; 2) 40  5  200 (ñ.) — óñüîãî ñòîðіíîê. Îòæå, ó êíèæöі 200 ñòîðіíîê. Ðîçâ’ÿçàííÿ öієї çàäà÷і ìîæíà çàïèñàòè іíàêøå: Ìàë. 4 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 82Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 82 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 83. Çâè÷àéíi äðîáè 83 (ñ.). Îòæå, êіëüêіñòü ñòîðіíîê ó êíèæöі ìîæíà çíàéòè, ÿêùî ïîäіëèòè ÷èñëî 120 íà äðіá . Ó çàäà÷і âіäîìî, ùî êíèæêè — öå 120 ñòîðіíîê, à òðåáà çíàéòè çàãàëüíó êіëüêіñòü ñòîðіíîê. Òîáòî âіäîìî, ñêіëüêè ñòàíîâèòü äðіá âіä ÷èñëà, à òðåáà çíàéòè ñàìå ÷èñ- ëî. Îòæå, ìàєìî çàäà÷ó íà çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðî- áîì. Ðîçâ’ÿçóþòü її äієþ äіëåííÿ. Ùîá çíàéòè ÷èñëî çà éîãî äðîáîì, äîñòàòíüî íà öåé äðіá ïîäіëèòè ÷èñëî, ÿêå éîìó âіäïîâіäàє. Çàäà÷à 2. Çà ïåðøó ãîäèíó âåëîñèïåäèñò ïðîїõàâ 16,8 êì, ùî ñòàíîâèòü âіäñòàíі âіä ñåëà äî ìіñòà. ßêà âіäñòàíü âіä ñåëà äî ìіñòà? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Âіäñòàíü âіä ñåëà äî ìіñòà äîðіâíþє (êì). Çàäà÷à 3. Æèòîì çàñіÿíî 1800 ãà, ùî ñòàíîâèòü 0,9 ïîëÿ. Çíàéòè ïëîùó âñüîãî ïîëÿ. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè , òî äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷і íåîáõіäíî ïîäіëèòè 1800 íà . Îòðèìàєìî: . Îòæå, ïëîùà âñüîãî ïîëÿ 2000 ãà. ßêùî 1800 ïîäіëèìî íà 0,9, îòðèìàєìî òîé ñàìèé ðåçóëüòàò: 1800 : 0,9  18 000 : 9  2000. Ðîçãëÿíåìî, ÿê ìîæíà çàñòîñóâàòè öå ïðàâèëî äëÿ çíà- õîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñîòêàìè. Çàäà÷à 4. Ó øêіëüíіé ìàòåìàòè÷íіé îëіìïіàäі âçÿëè ó÷àñòü 12 ó÷íіâ 6-ãî êëàñó, ùî ñòàíîâèòü 40 % âіä óñіõ ó÷íіâ êëàñó. Ñêіëüêè ó÷íіâ ó êëàñі? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 83Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 83 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 84. Ðîçäië 2 84 Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ùîá âіäïîâіñòè íà çàïèòàííÿ çàäà÷і, òðåáà çíàéòè òàêå ÷èñëî, 40 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 12. Çà- ïèøåìî 40 % äåñÿòêîâèì äðîáîì і çâè÷àéíèì äðîáîì: . Ïîäіëèìî íà öåé äðіá ÷èñëî, ÿêå éîìó âіäïîâіäàє: 12 : 0,4  30, àáî . Îòæå, ó êëàñі 30 ó÷íіâ. Ñôîðìóëþé ïðàâèëî çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî äðî- áîì. ßê ìîæíà çíàéòè ÷èñëî çà äåñÿòêîâèì äðîáîì і çà éîãî âіäñîòêàìè? 434. (Óñíî) Çíàéäè ÷èñëî, ÿêùî: 1) éîãî äîðіâíþє 8; 2) éîãî äîðіâíþє 7. 435. ßêà äîâæèíà âіäðіçêà, ÿêùî éîãî äîðіâíþє 8 ñì? 436. Áðèãàäà çà ïåðøèé äåíü çîðàëà 120 ãà, ùî ñòàíîâèòü ïîëÿ. Çíàéäè ïëîùó ïîëÿ. 437. Çíàéäè ÷èñëî: 1) ÿêîãî äîðіâíþþòü 72; 2) ÿêîãî äîðіâíþþòü 4,5; 3) 0,9 ÿêîãî äîðіâíþþòü 216; 4) ÿêîãî äîðіâíþþòü 8,4; 5) 36 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 27; 6) % ÿêîãî äîðіâíþþòü 11,7. 438. Çíàéäè ÷èñëî: 1) ÿêîãî äîðіâíþþòü 42; Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 84Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 84 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 85. Çâè÷àéíi äðîáè 85 2) ÿêîãî äîðіâíþþòü 1,8; 3) 0,8 ÿêîãî äîðіâíþþòü 60; 4) ÿêîãî äîðіâíþþòü 3,5; 5) 17 % ÿêîãî äîðіâíþþòü 153; 6) % ÿêîãî äîðіâíþþòü 9,4. 439. Ó êëàñі 12 õëîïöіâ. Öå ñòàíîâèòü âіä óñіõ ó÷íіâ êëàñó. Ñêіëüêè ó÷íіâ ó êëàñі? 440. Øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 24 ñì, ùî ñòàíîâèòü éîãî äîâæèíè. Çíàéäè ïåðèìåòð òà ïëîùó ïðÿìîêóòíèêà. 441. Ìàñà áîðîøíà, âèêîðèñòàíîãî äëÿ âèïіêàííÿ õëіáà, ñòàíîâèòü 75 % âіä çàãàëüíîї ìàñè âèïå÷åíîãî õëіáà. Ñêіëü- êè êіëîãðàìіâ õëіáà ìîæíà âèïåêòè ç 486 êã áîðîøíà? 442. Âèõіä áîðîøíà ïіä ÷àñ ïîìåëó ïøåíèöі ñêëàäàє 80 %. Ñêіëüêè ïøåíèöі òðåáà çìîëîòè, ùîá îòðèìàòè 40 ö ïøåíè÷íîãî áîðîøíà? 443. Òàðàñèêó 6 ðîêіâ, ùî ñòàíîâèòü 0,2 âіä âіêó éîãî áàòüêà. Ñêіëüêè ðîêіâ áàòüêîâі? 444. Ìàñà òîâàðó, çàïàêîâàíîãî â ÿùèêó, 20 êã, ùî ñòàíî- âèòü âіä ìàñè ÿùèêà ç òîâàðîì. Îá÷èñëè ìàñó ïîðîæ- íüîãî ÿùèêà. 445. Îäíà ñòîðîíà òðèêóòíèêà äîðіâíþє 18 ñì і ñòàíîâèòü âіä êîæíîї ç äâîõ іíøèõ ñòîðіí òðèêóòíèêà. Çíàéäè ïå- ðèìåòð òðèêóòíèêà. 446. Ó ïåðøîìó ÿùèêó 16 êã ÿáëóê, ùî ñòàíîâèòü ìàñè ÿáëóê, ÿêі çíàõîäÿòüñÿ ó äðóãîìó ÿùèêó, і ìàñè ÿáëóê, ÿêі çíàõîäÿòüñÿ ó òðåòüîìó ÿùèêó. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ ÿáëóê ó òðüîõ ÿùèêàõ ðàçîì? 447. Îäèí ç äîäàíêіâ äîðіâíþє 3,6, ùî ñòàíîâèòü 0,3 âіä їõ ñóìè. Çíàéäè äðóãèé äîäàíîê. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 85Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 85 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 86. Ðîçäië 2 86 448. Íà ìàðøðóò âèéøëî 63 àâòîáóñè, ùî ñòàíîâèòü 0,9 âіä óñіõ àâòîáóñіâ àâòîïàðêó. Ñêіëüêè àâòîáóñіâ íå âèéøëî íà ìàðøðóò? 449. Ó ïåðøó ãîäèíó àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 15 % âіä óñüî- ãî øëÿõó, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðîїõàòè 408 êì. ßêà äîâæèíà âñüîãî øëÿõó? 450. Çà ïåðøèé äåíü òóðèñò ïðîéøîâ óñüîãî øëÿõó, à çà äðóãèé — ðåøòó êì. ßêó âіäñòàíü ïðîéøîâ òóðèñò çà äâà äíі? 451. Çà ïåðøó ãîäèíó ìàéñòåð âèêîíàâ 0,2 óñüîãî çàìîâ- ëåííÿ, ïіñëÿ ÷îãî éîìó ùå çàëèøèëîñÿ âèãîòîâèòè 56 äå- òàëåé. Ñêіëüêè äåòàëåé ñòàíîâèëî çàìîâëåííÿ? 452. Òðè çàâîäè îòðèìàëè çàìîâëåííÿ íà âèãîòîâëåííÿ ìî- òîðіâ. Ïåðøèé çàâîä âèêîíàâ óñüîãî çàìîâëåííÿ, äðó- ãèé — 0,4 óñüîãî çàìîâëåííÿ, à òðåòіé — ðåøòó 280 ìî- òîðіâ. Ñêіëüêè ìîòîðіâ áóëî çàìîâëåíî òðüîì çàâîäàì ðàçîì? 453. Îïåðàòîð êîìï’þòåðíîãî íàáîðó ïåðøîãî äíÿ íàáðàâ ðóêîïèñó, ïіñëÿ ÷îãî éîìó çàëèøèëîñÿ íàáðàòè íà 10 ñòîðіíîê áіëüøå, íіæ âіí óæå íàáðàâ. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ìіñòèòü ðóêîïèñ? 454. Ïіñëÿ òîãî ÿê ó÷åíü ïðî÷èòàâ êíèæêè, âèÿâèëî- ñÿ, ùî éîìó çàëèøèëîñÿ ïðî÷èòàòè íà 60 ñòîðіíîê ìåíøå, íіæ âіí ïðî÷èòàâ. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі? 455. Ïåðøîãî äíÿ îëіéíÿ ïåðåðîáèëà îòðèìàíîãî íà- ñіííÿ ñîíÿøíèêó, äðóãîãî äíÿ — ðåøòè, ïіñëÿ ÷îãî òðå- Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 86Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 86 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 87. Çâè÷àéíi äðîáè 87 òüîãî äíÿ çàëèøèëîñÿ ïåðåðîáèòè 7,8 ò. Ñêіëüêè òîíí íà- ñіííÿ ñîíÿøíèêó íåîáõіäíî áóëî ïåðåðîáèòè çà 3 äíі? 456. Ïåðøîãî äíÿ òóðèñòè ïðîéøëè âñüîãî øëÿõó, à äðóãîãî äíÿ — 60 % ðåøòè. Òðåòüîãî äíÿ çàëèøèëîñÿ ïðîéòè îñòàííі 12 êì. Ñêіëüêè êіëîìåòðіâ ïîâèííі áóëè ïðîéòè òóðèñòè çà öі òðè äíі? 457. Çíàéäè äåÿêå òðèöèôðîâå ÷èñëî, ÿêå êðàòíå ÷èñëàì 3 і 7 і íå êðàòíå ÷èñëó 6. 458. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó: 1) ; 2) . 459. Ãðîøі, âêëàäåíі â àêöії ôіðìè «Àëüôà», ïðèíî- ñÿòü 20 % ùîðі÷íîãî ïðèáóòêó. Çà ñêіëüêè ðîêіâ âêëàäåíà ñóìà ïîäâîїòüñÿ? 19.19. Розв’язування вправ на всі дії зі звичайними та десятковими дробами 460. (Óñíî) Çáіëüøè íà êîæíå іç ÷èñåë: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 9; 6) . 461. (Óñíî) Çìåíøè íà êîæíå іç ÷èñåë: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) 2. 462. Çàïèøè çâè÷àéíèì íåñêîðîòíèì äðîáîì: 1) 0,13; 2) 0,2; 3) 1,5; 4) 1 %; 5) 7 %; 6) 40 %. 463. (Óñíî) Çáіëüøè ó 2 ðàçè êîæíå іç ÷èñåë: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 87Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 87 28.05.2014 15:47:5428.05.2014 15:47:54
  • 88. Ðîçäië 2 88 464. (Óñíî) Ñòîðîíà êâàäðàòà äîðіâíþє ì. Çíàéäè éîãî ïåðèìåòð. 465. ×èñëî çáіëüøè: 1) íà ; 2) ó 2 ðàçè. 466. ×èñëî çìåíøè: 1) íà ; 2) ó 2 ðàçè. 467. ×èñëî : 1) çáіëüøè íà ; 2) çìåíøè íà ; 3) çáіëüøè ó 3 ðàçè; 4) çìåíøè ó 2 ðàçè. 468. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) . 469. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) . 470. Êóïèëè êã àïåëüñèíіâ ïî ãðí çà êіëîãðàì і êàâóí çà ãðí. Ñêіëüêè âñüîãî çàïëàòèëè çà ïîêóïêó? 471. Îá÷èñëè øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ (ó êì/ãîä), ÿêèé çà 36 õâ ïðîїõàâ 42 êì. 472. Øâèäêіñòü àâòîìîáіëÿ 80 êì/ãîä. ßêó âіäñòàíü ïðî- їäå àâòîìîáіëü çà 45 õâ? 473. Îá÷èñëè: 1) ; 2) . 474. Îá÷èñëè: 1) ; 2) . 475. Âåðòîëіò çðîáèâ ïåðøó ïîñàäêó íà âіäñòàíі 92 êì âіä çëіòíîї ïëîùàäêè, ïðîëåòіâøè íàìі÷åíîãî ìàðøðóòó. Îá÷èñëè äîâæèíó âñüîãî ìàðøðóòó. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 88Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 88 28.05.2014 15:47:5528.05.2014 15:47:55
  • 89. Çâè÷àéíi äðîáè 89 476. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 477. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 478. Îá÷èñëè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî , . 479. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó , ÿêùî , . 480. Çíàéäè îá’єì і ïîâåðõíþ êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє äì. 481. Ó ìàãàçèí ïðèâåçëè 30 ÿùèêіâ ç áàíàíàìè. 12 ÿùè- êіâ ìіñòèëè ïî êã áàíàíіâ ó êîæíîìó, à ðåøòà — ïî 10,4 êã. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ áàíàíіâ ïðèâåçëè â ìàãàçèí? 482. Ó ìàãàçèí çàâåçëè 24 ÿùèêè ç öèòðóñîâèìè ôðóêòà- ìè: 10 ÿùèêіâ ç àïåëüñèíàìè ïî êã ó êîæíîìó, ðåø- òà ÿùèêіâ — ç ìàíäàðèíàìè ïî êã ó êîæíîìó. ×îãî áіëüøå — àïåëüñèíіâ ÷è ìàíäàðèíіâ — çàâåçëè ó ìàãàçèí? Íà ñêіëüêè êіëîãðàìіâ? 483. Çíàê ÿêîї äії ìîæíà ïîñòàâèòè çàìіñòü çіðî÷êè, ùîá íåðіâíіñòü áóëà ïðàâèëüíîþ: ? 484. Çíàéäè ìàñó ñêëà, ÿêùî éîãî äîâæèíà 80 ñì, øè- ðèíà ñòàíîâèòü 75 % äîâæèíè, à òîâùèíà 0,6 ñì. Ìàñà 1 äì3 ñêëà äîðіâíþє êã. 485. Äîâæèíà êіìíàòè 6 ì, øèðèíà ñòàíîâèòü 60 % äî- âæèíè, à âèñîòà — øèðèíè. Çíàéäè ìàñó ïîâіòðÿ â öіé êіìíàòі, ÿêùî ìàñà 1 ì3 ïîâіòðÿ äîðіâíþє 1,29 êã. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 89Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 89 28.05.2014 15:47:5528.05.2014 15:47:55
  • 90. Ðîçäië 2 90 486. Ïîëå ïðÿìîêóòíîї ôîðìè ìàє äîâæèíó 900 ì, à øè- ðèíà äîðіâíþє äîâæèíè. Ïøåíèöåþ çàñіÿíî ïîëÿ. Ñêіëüêè ãåêòàðіâ ïîëÿ çàñіÿíî ïøåíèöåþ? 487. Äîâæèíà ðі÷êè Ïіâäåííèé Áóã 806 êì, ùî ñòàíîâèòü âіä äîâæèíè Äíіïðà. Íà ñêіëüêè êіëîìåòðіâ äîâæèíà Äíіïðà áіëüøà çà äîâæèíó Ïіâäåííîãî Áóãó? Ó ñêіëüêè ðà- çіâ äîâæèíà Äíіïðà áіëüøà çà äîâæèíó Ïіâäåííîãî Áóãó? (Âіäïîâіäü îêðóãëè äî ñîòèõ). 488. Ñòîðîíè ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþþòü 0,8 ì і ì. Çíàé- äè ñòîðîíó êâàäðàòà, ïåðèìåòð ÿêîãî äîðіâíþє ïåðèìåòðó ïðÿìîêóòíèêà, і îá÷èñëè éîãî ïëîùó. 489. Âåëîñèïåäèñò 2 ãîä ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ êì/ãîä, à ïîòіì ùå 3 ãîä çі øâèäêіñòþ êì/ãîä. Çíàéäè ñåðåäíþ øâèäêіñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà íà âñüîìó øëÿõó. 490. Îá÷èñëè äâîìà ñïîñîáàìè (ïåðåòâîðèâøè äåñÿòêî- âèé äðіá ó ìіøàíå ÷èñëî àáî ïåðåòâîðèâøè ìіøàíå ÷èñëî ó äåñÿòêîâèé äðіá): 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 491. Îá÷èñëè äâîìà ñïîñîáàìè (ïåðåòâîðåííÿì ó ìіøàíå ÷èñëî àáî ïåðåòâîðåííÿì ó äåñÿòêîâèé äðіá): 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 492. (Іç êíèãè Àäàìà Ðіçå XVI ñò.) Òðîє îñіá âèãðà- ëè äåÿêó ñóìó ãðîøåé. Íà äîëþ ïåðøîãî ïðèïàëà öієї ñóìè, íà äîëþ äðóãîãî — , à íà äîëþ òðåòüîãî — 17 ôëî- ðèíòіâ. ßêèì áóâ óâåñü âèãðàø? 493. Îá÷èñëè: 1) ; 2) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 90Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 90 28.05.2014 15:47:5528.05.2014 15:47:55
  • 91. Çâè÷àéíi äðîáè 91 494. Îá÷èñëè: 1) ; 2) . 495. Іç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèїõàëè äâà àâòîáóñè і çóñòðіëèñÿ ÷åðåç ãîä. Îäèí ç íèõ ðóõàâñÿ çі øâèäêіñòþ êì/ãîä, à øâèäêіñòü äðóãîãî áóëà â ðà- çà ìåíøà âіä øâèäêîñòі ïåðøîãî. Çíàéäè âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè. 496. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 497. Âèêîíàé äії: . 498. (Áðàõìàãóïòà, Іíäіÿ, áë. 598—660.) Ñëîí, ñëîíèõà òà ñëîíåíÿ ïіäіéøëè äî îçåðà, ùîá íàïèòèñÿ âîäè. Ñëîí ìîæå âèïèòè îçåðî çà 3 ãîä, ñëîíèõà — çà 5 ãîä, à ñëîíå- íÿ — çà 6 ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí âîíè ðàçîì âèï’þòü îçåðî? 499. (Ñòàðîäàâíÿ Ãðåöіÿ, Ãåðîí À ëå êñàíä ðіé ñü êèé , І ñò. äî í. å.) Áàñåéí ìîæå çàïîâíèòèñÿ ÷åðåç ÷îòèðè ôîí- òàíè. ßêùî âіäêðèòè òіëüêè ïåðøèé ôîíòàí, áàñåéí çàïî- âíèòüñÿ çà äîáó, òіëüêè äðóãèé — çà äâі äîáè, òðåòіé — çà òðè äîáè, òіëüêè ÷åòâåðòèé — çà ÷îòèðè äîáè. Çà ÿêèé ÷àñ çàïîâíèòüñÿ áàñåéí, ÿêùî âіäêðèòè âñі ÷îòèðè ôîíòàíè? 500. ßêùî íåâіäîìå ÷èñëî çáіëüøèòè ó ðàçà, à ïîòіì äî óòâîðåíîãî ÷èñëà äîäàòè , òî îòðèìàєìî . Çíàéäè íåâіäîìå ÷èñëî. 501. ßêùî íåâіäîìå ÷èñëî çìåíøèòè â ðàçà, à ïîòіì âіä óòâîðåíîãî ÷èñëà âіäíÿòè , òî îòðèìàєìî . Çíàéäè íå- âіäîìå ÷èñëî. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 91Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 91 28.05.2014 15:47:5528.05.2014 15:47:55
  • 92. Ðîçäië 2 92 502. Ó äâîõ ìіøêàõ ðàçîì áóëî 96 êã êàðòîïëі. Êîëè ç îáîõ ìіøêіâ ïðîäàëè êàðòîïëі ïîðіâíó, òî â ïåðøîìó ìіøêó çàëèøèëîñÿ êã, à â äðóãîìó — êã. Ñêіëü- êè êàðòîïëі áóëî ñïî÷àòêó â êîæíîìó ìіøêó? 503. (Ç Àêìèìñüêîãî ïàïіðóñó VI ñò.) Äåõòî âçÿâ іç ñêàðá- íèöі її âìіñòó. Ç òîãî, ùî çàëèøèëîñÿ, äðóãèé âçÿâ . Ïіñëÿ öüîãî ó ñêàðáíèöі çàëèøèëîñÿ 192 êîøòîâíîñòі. Ñêіëüêè êîøòîâíîñòåé áóëî ó ñêàðáíèöі ñïî÷àòêó? 504. Çíàéäè íàéáіëüøèé ñïіëüíèé äіëüíèê і íàé- ìåíøå ñïіëüíå êðàòíå ÷èñåë 660 і 528. 505. Ñêіëüêè ðіçíèõ òðèöèôðîâèõ ÷èñåë ìîæíà óòâîðèòè, âèêîðèñòîâóþ÷è öèôðè 3 і 7, ÿêùî öèôðè â ÷èñëі ìîæóòü ïîâòîðþâàòèñÿ? 506. Îá÷èñëè çðó÷íèì ñïîñîáîì: 1) ; 2) . 507. Ñêіëüêè іñíóє äâàíàäöÿòèöèôðîâèõ ÷èñåë, ñóìà öèôð êîæíîãî ç ÿêèõ äîðіâíþє 2? 508. Äåÿêå ÷èñëî çáіëüøèëè íà 25 %. Íà ñêіëüêè âіä- ñîòêіâ ïîòðіáíî çìåíøèòè îäåðæàíå ÷èñëî, ùîá îòðèìàòè ïî÷àòêîâå? Завдання для перевірки знань № 3 (§ 14 — § 19) 1. Âèêîíàé ìíîæåííÿ: 1) ; 2) . 2. Âèêîíàé äіëåííÿ: 1) ; 2) . 3. Âіä ìîòóçêè çàâäîâæêè 12 ì âіäðіçàëè її äîâæèíè. Ñêіëüêè ìåòðіâ ìîòóçêè âіäðіçàëè? 4. Çíàéäè äîáóòîê: 1) ; 2) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 92Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 92 28.05.2014 15:47:5528.05.2014 15:47:55
  • 93. Çâè÷àéíi äðîáè 93 5. Çíàéäè ÷àñòêó: 1) ; 2) . 6. ×îâåí ïðîïëèâ 32 êì, ùî ñòàíîâèòü âіä äîâæèíè ìàðøðóòó. ßêà äîâæèíà ìàðøðóòó? 7. Çíàéäè çíà÷åííÿ âèðàçó . 8. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ . 9. Ç äâîõ ìіñò îäíî÷àñíî íàçóñòðі÷ îäèí îäíîìó âèðó- øèëè äâà àâòîìîáіëі. Øâèäêіñòü îäíîãî ç íèõ 72 êì/ãîä, à øâèäêіñòü äðóãîãî — â ðàçà ìåíøà. ßêîþ áóäå âіä- ñòàíü ìіæ àâòîìîáіëÿìè ÷åðåç ãîä ïіñëÿ ïî÷àòêó ðóõó, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè 272 êì? Äîäàòêîâі âïðàâè 10. Çíàéäè òàêå çíà÷åííÿ a, ùîá áóëè âçàєìíî îáåðíå- íèìè ÷èñëà: 1) і ; 2) 1 і ; 3) 0,4 і . 11. Àíäðіé, Ïåòðî і Ñåðãіé ðàçîì êóïèëè ì’ÿ÷. Àíäðіé çàïëàòèâ âàðòîñòі ì’ÿ÷à. Ïåòðî — ðåøòè, à Ñåð- ãіé — 10,5 ãðí. Ñêіëüêè êîøòóâàâ ì’ÿ÷? 12. Çíàéäè äâà òàêèõ íåñêîðîòíèõ äðîáè, ùîá їõíÿ ðіçíèöÿ äîðіâíþâàëà їõíüîìó äîáóòêó. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 93Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 93 28.05.2014 15:47:5528.05.2014 15:47:55
  • 94. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 94Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 94 28.05.2014 15:47:5528.05.2014 15:47:55
  • 95. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 95 ñêîðî÷åííÿ) äîðîãè. Òîé ñàìèé ðåçóëüòàò îòðèìàëè á, ïîäіëèâøè 8 íà 10. . Ïðè ðîçâ’ÿçóâàííі çàäà÷і ìè çíàéøëè ÷àñòêè äâîõ ÷è- ñåë. Òàêі ÷àñòêè íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì äâîõ ÷èñåë. ×àñòêó äâîõ ÷èñåë íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì öèõ ÷èñåë. Âіäíîøåííÿ ïîêàçóє, ó ñêіëüêè ðàçіâ ïåðøå ÷èñëî áіëü- øå çà äðóãå àáî ÿêó ÷àñòèíó ïåðøå ÷èñëî ñêëàäàє âіä äðóãîãî. ßêùî äâі âåëè÷èíè âèìіðþþòüñÿ îäíієþ é òієþ ñàìîþ îäèíèöåþ, òî âіäíîøåííÿ їõ ÷èñëîâèõ çíà÷åíü íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì öèõ âåëè÷èí (âіäíîøåííÿ äîâæèí, âіäíîøåííÿ ìàñ, âіäíîøåííÿ ïëîù òîùî). Íàïðèêëàä, âіäíîøåííÿ 3 êã äî 8 êã äîðіâíþє . Ùîá çíàéòè âіäíîøåííÿ 1 ãîä äî 25 õâ, íåîáõіäíî ïðåäñòàâèòè 1 ãîä ó õâèëèíàõ: 1 ãîä  60 õâ; òîäі øóêàíå âіäíîøåííÿ äîðіâíþє . Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë ìîæíà çàïèñàòè äðî- áîì, à çíà÷åííÿ äðîáó íå çìіíþєòüñÿ, ÿêùî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó ïîìíîæèòè àáî ïîäіëèòè íà îäíå é òå ñàìå ÷èñëî, âіäìіííå âіä íóëÿ, òî âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë íå çìіíèòüñÿ, ÿêùî êîæíå іç ÷èñåë âіäíîøåííÿ ïîìíîæèòè àáî ïî- äіëèòè íà îäíå é òå ñàìå, âіäìіííå âіä íóëÿ, ÷èñëî. Ìàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü âіäíîøåííÿ. Ïðèêëàä 1. 20 : 16  5 : 4 (ïîäіëèëè êîæíå іç ÷èñåë âіäíîøåííÿ íà 4). Ïðèêëàä 2. Çàìіíèòè âіäíîøåííÿ âіäíîøåííÿì íà- òóðàëüíèõ ÷èñåë. І ñïîñіá. . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 95Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 95 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 96. Ðîçäië 3 96 II ñïîñіá. . Äëÿ äðîáó îáåðíåíèì є äðіá . Òîìó äëÿ âіäíîøåííÿ à : b àáî äðîáó âіäíîøåííÿ b : à àáî äðіá íàçèâàþòü îáåðíåíèì. Íàïðèêëàä, äëÿ âіäíîøåííÿ îáåðíåíèì є âіä- íîøåííÿ , à äëÿ âіäíîøåííÿ 19 : 12 îáåðíåíèì є âіäíî- øåííÿ 12 : 19. Ùî íàçèâàþòü âіäíîøåííÿì äâîõ ÷èñåë? Ùî ïîêà- çóє âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë? ßê çíàéòè âіäíîøåí- íÿ âåëè÷èí, ÿêі âèìіðþþòüñÿ îäíієþ і òієþ ñàìîþ îäèíèöåþ? Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü âіäíî- øåííÿ. 509. Çàïèøè âіäíîøåííÿ: 1) ÷èñëà 2 äî ÷èñëà 7; 2) ÷èñëà 15 äî ÷èñëà 8. 510. Çàïèøè âіäíîøåííÿ: 1) ÷èñëà 8 äî ÷èñëà 13; 2) ÷èñëà 17 äî ÷èñëà 9. 511. (Óñíî) Ñòîðîíè òðèêóòíèêà äîðіâíþþòü 4 ñì, 6 ñì і 7 ñì. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ íàéìåíøîї ñòîðîíè äî íàéáіëü- øîї. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ íàéáіëüøîї ñòîðîíè äî ñåðåä- íüîї çà çíà÷åííÿì ñòîðîíè. 512. Çíàéäè âіäíîøåííÿ ÷èñåë: 1) 12 äî 9; 2) 40 äî 105; 3) 4,2 äî 3,5; 4) äî . 513. Çíàéäè âіäíîøåííÿ ÷èñåë: 1) 15 äî 9; 2) 70 äî 90; 3) 7,2 äî 6,4; 4) äî . 514. Çíàéäè âіäíîøåííÿ âåëè÷èí: 1) 5 äì äî 4 äì; 2) 20 êã äî 12 êã; 3) 42 õâ äî 1 ãîä; 4) 4 ñì äî 12 ìì; 5) 800 ã äî 2 êã; 6) 1 ì2 äî 25 äì2. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 96Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 96 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 97. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 97 515. Çíàéäè âіäíîøåííÿ âåëè÷èí: 1) 3 êì äî 4 êì; 2) 18 ö äî 6 ö; 3) 100 ì äî 1 êì; 4) 1 ãîä äî 10 õâ; 5) 15 êã äî 250 ã; 6) 20 ñì2 äî 1 äì2. 516. Ó ñóïåðìàðêåò ïðèâåçëè 2,4 ö ãðóø òà 3,6 ö ÿáëóê. Ó ñêіëüêè ðàçіâ áіëüøå ïðèâåçëè ÿáëóê, íіæ ãðóø? ßêó ÷àñòèíó ïðèâåçåíèõ ôðóêòіâ ñêëàäàþòü ãðóøі; ÿáëóêà? 517. Çà êíèæêó çàïëàòèëè 12 ãðí, à çà áëîêíîò — 4 ãðí. Ó ñêіëüêè ðàçіâ êíèæêà äîðîæ÷à çà áëîêíîò? ßêó ÷àñòè- íó âàðòîñòі ïîêóïêè ñêëàäàþòü âàðòіñòü êíèæêè; âàðòіñòü áëîêíîòà? 518. Ñêîðîòè âіäíîøåííÿ: 1) 25 : 35; 2) 50 : 40; 3) . 519. Çíàéäè âіäíîøåííÿ, îáåðíåíå äî äàíîãî: 1) 6 : 12; 2) 15 : 6; 3) ; 4) . 520. Çàìіíè âіäíîøåííÿ äðîáîâèõ ÷èñåë âіäíîøåííÿì íàòóðàëüíèõ ÷èñåë: 1) ; 2) ; 3) 0,2 : 1,2; 4) . 521. Çàìіíè âіäíîøåííÿ äðîáîâèõ ÷èñåë âіäíîøåííÿì íà- òóðàëüíèõ ÷èñåë: 1) ; 2) ; 3) 1,8 : 0,4; 4) . 522. Âіäíîøåííÿ ÷èñëà õ äî ÷èñëà 16 äîðіâíþє . Çíàéäè ÷èñëî õ. 523. Âіäíîøåííÿ ÷èñëà 20 äî ÷èñëà a äîðіâíþє . Çíàéäè ÷èñëî a. 524. ßê çìіíèòüñÿ âіäíîøåííÿ à : b, ÿêùî ÷èñëî: 1) à çáіëüøèòè ó 2 ðàçè; 2) à çìåíøèòè ó 3 ðàçè; 3) b çáіëüøèòè ó 1,5 ðàçà; 4) b çìåíøèòè ó 5 ðàçіâ? 525. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 97Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 97 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 98. Ðîçäië 3 98 526. Ó êîðîáöі ëåæàòü 3 áіëі і 5 ÷îðíèõ êóëüîê. ßêó íàéìåíøó êіëüêіñòü êóëüîê òðåáà âèòÿãíóòè íàâìàííÿ ç êîðîáêè, ùîá ñåðåä íèõ îáîâ’ÿçêîâî áóëî: 1) äâі áіëі êóëüêè; 2) îäíà áіëà і îäíà ÷îðíà êóëüêè; 3) äâі ÷îðíі êóëüêè; 4) äâі êóëüêè îäíîãî êîëüîðó? 21.21. Пропорція. Основна властивість пропорції Âіäíîøåííÿ 12 : 3 і 20 : 5 ðіâíі, îñêіëüêè їõ çíà÷åííÿ äîðіâíþþòü 4. Òîìó ìîæíà çàïèñàòè ðіâíіñòü 12 : 3  20 : 5, àáî . Ðіâíіñòü äâîõ âіäíîøåíü íàçèâàþòü ïðîïîðöієþ. Ñëîâî «ïðîïîðöіÿ» ïîõîäèòü âіä ëàòèíñüêîãî proportio, ùî îçíà÷àє «ñïіâðîçìіðíіñòü», òîáòî ïåâíå âіäíîøåííÿ ÷àñòèí ìіæ ñîáîþ. Çà äîïîìîãîþ áóêâ ïðîïîðöіþ çàïèñó- þòü òàê: à : b  ñ : d, àáî . Öі ïðîïîðöії ìîæíà ïðî÷èòàòè òàê: «à, ïîäіëåíå íà b, äîðіâíþє ñ, ïîäіëåíîìó íà d», àáî: «âіäíîøåííÿ à äî b äî- ðіâíþє âіäíîøåííþ ñ äî d», àáî: «a âіäíîñèòüñÿ äî b, ÿê ñ âіäíîñèòüñÿ äî d». Ó ïðîïîðöії à : b  ñ : d, àáî , à і d íàçèâàþòü êðàé- íіìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöії, à b і ñ — ñåðåäíіìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöії: Íàäàëі áóäåìî ââàæàòè, ùî âñі ÷ëåíè ïðîïîðöії âіäìіí- íі âіä íóëÿ: à  0, b  0, ñ  0, d  0. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 98Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 98 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 99. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 99 Ðîçãëÿíåìî ïðîïîðöіþ . Âèêîðèñòàєìî îñíîâíó âëàñòèâіñòü äðîáó: ïîìíîæèìî ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðî- áó íà d, à ÷èñåëüíèê і çíàìåííèê äðîáó íà b. Ìàєìî: . Îòðèìàíі äðîáè є ðіâíèìè, âîíè ìàþòü ðіâíі çíàìåííè- êè, òîìó ðіâíèìè áóäóòü і їõ ÷èñåëüíèêè: à  d  ñ  b. Çàóâàæèìî, ùî à  d — öå äîáóòîê êðàéíіõ ÷ëåíіâ, à ñ  b — äîáóòîê ñåðåäíіõ ÷ëåíіâ ïðîïîðöії. Ïðèéøëè äî îñíîâíîї âëàñòèâîñòі ïðîïîðöії: ó ïðîïîðöії äîáóòîê êðàéíіõ її ÷ëåíіâ äîðіâíþє äîáóòêó ñåðåäíіõ: ad  bc. Ïðèêëàä 1. Ïåðåâіðèòè, ÷è є ðіâíіñòü ïðîïîð- öієþ. Ðîçâ’ÿçàííÿ. І ñïîñіá (çà îçíà÷åííÿì ïðîïîðöії). Îñêіëüêè 1,8 : 2  0,9 і 4,5 : 5  0,9, òî ðіâíіñòü є ïðîïîð- öієþ. II ñïîñіá (çà îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîðöії). Îñêіëüêè 1,8  5  9 і 2  4,5  9, òî ðіâíіñòü є ïðîïîðöієþ. Ïðèêëàä 2. Ïåðåâіðèòè, ÷è ìîæíà ç âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè 7  4  28, 2  13  26, à 28  26, òî ñêëàñòè ïðîïîðöіþ ç äàíèõ âіäíîøåíü íå ìîæíà. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ìîæíà çíàéòè її íåâіäîìèé ÷ëåí, ÿêùî âñі іíøі ÷ëåíè âіäîìі. Ïðèêëàä 3. Çíàéòè à ç ïðîïîðöії 4 : à  5 : 12. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ìàєìî: a  5  4  12, 5a  48, a  48 : 5, a  9,6. Ïðèêëàä 4. Ðîçâ’ÿçàòè ðіâíÿííÿ . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 99Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 99 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 100. Ðîçäië 3 100 Ðîçâ’ÿçàííÿ. Âèêîðèñòîâóþ÷è îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії, ìàєìî: 2x  5  4  3,5; 10õ  14; x  14 : 10; õ  1,4. Ðîçãëÿíåìî ïðîïîðöіþ , çâіäêè 4  12  8  6. Îñòàííþ ðіâíіñòü ìîæíà îäåðæàòè, î÷åâèäíî, і ç òàêèõ ïðîïîðöіé: (ïîìіíÿëè ìіñöÿìè ñåðåäíі ÷ëåíè çàäàíîї ïðî- ïîðöії); (ïîìіíÿëè ìіñöÿìè êðàéíі ÷ëåíè çàäàíîї ïðî- ïîðöії); (ïîìіíÿëè ìіñöÿìè ñåðåäíі òà êðàéíі ÷ëåíè çà- äàíîї ïðîïîðöії). Çâіäñè âèïëèâàє, ùî ñåðåäíі ÷ëåíè àáî (òà) êðàéíі ÷ëåíè ïðîïîðöії ìîæíà ìіíÿòè ìіñöÿìè. À ùå ðàíіøå...À ùå ðàíіøå... У IV ст. до н. е. загальну теорію пропорційності розглянули давньогрецькі вчені, зокрема Тестет та Евдокс. Цю теорію було детально викладено у п’ятій книзі «Начал» Евкліда. У сьомій книзі «Начал» Евклід виклав теорію відношень та пропорцій для цілих чисел. Так, зокрема, у її 19-му реченні Евклід доводить основну властивість пропорції. Також з пропорції a : b = c : d Евклід виводить такі: b : a = d : c; (a + b) : b = (c + d) : d; a : c = b : d; (a – b) : b = (c – d) : d; a : (a – b) = c : (c – d). Ùî òàêå ïðîïîðöіÿ? Ó ïðîïîðöії m : n  p : k íàçâè êðàéíі ÷ëåíè, ñåðåäíі ÷ëåíè. Ñôîðìóëþé îñíîâíó âëàñòèâіñòü ïðîïîðöії. ßêі ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíіâ ïðîïîðöії ìîæíà âèêîíóâàòè? 527. (Óñíî) ×îìó ðіâíіñòü є ïðîïîðöієþ? Íàçâè її êðàéíі ÷ëåíè і ñåðåäíі ÷ëåíè. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 100Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 100 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 101. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 101 528. (Óñíî) ×îìó ç âіäíîøåíü íå ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîöіþ? 529. Ó ïðîïîðöії 25 : 5  60 : 12 âêàæè êðàéíі ÷ëåíè, ñå- ðåäíі ÷ëåíè. 530. Çàïèøè ó âèãëÿäі ïðîïîðöії òâåðäæåííÿ: 1) 7, ïîäіëåíå íà 2, äîðіâíþє 14, ïîäіëåíîìó íà 4; 2) 2 âіäíîñèòüñÿ äî 3, ÿê 10 âіäíîñèòüñÿ äî 15; 3) âіäíîøåííÿ à äî 2 äîðіâíþє âіäíîøåííþ 3 äî 7. 531. Çàïèøè ó âèãëÿäі ïðîïîðöії òâåðäæåííÿ: 1) 2, ïîäіëåíå íà 5, äîðіâíþє 8, ïîäіëåíîìó íà 20; 2) âіäíîøåííÿ 4 äî 2 äîðіâíþє âіäíîøåííþ 6 äî 3; 3) x âіäíîñèòüñÿ äî 5, ÿê y âіäíîñèòüñÿ äî 7. 532. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ: 1) 11,2 : 3,2 і 15,75 : 4,5; 2) . 533. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç äà- íèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ: 1) 0,7 : 0,1 і 0,8 : 0,2; 2) . 534. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîð- öії, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ: 1) ; 2) . 535. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðîïîð- öії, ÷è ìîæíà ç äàíèõ âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ: 1) ; 2) . 536. Çíàéäè ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäíîøåííÿ і ñêëàäè ç íèõ ïðî- ïîðöії: 27 : 9; 5 : 15; 28 : 4; 4 : 12; ; 3 : 1. 537. Çíàéäè ðіâíі ìіæ ñîáîþ âіäíîøåííÿ і ñêëàäè ç íèõ ïðî- ïîðöії: 0,4 : 0,2; ; 7 : 70; . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 101Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 101 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 102. Ðîçäië 3 102 538. Çíàéäè íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії: 1) õ : 6  2 : 3; 2) . 539. Çíàéäè íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії: 1) õ : 4  5 : 25; 2) . 540. Ç ïðîïîðöії: 1) óòâîðè íîâó, ïîìіíÿâøè ìіñöÿìè êðàéíі ÷ëåíè; 2) óòâîðè íîâó, ïîìіíÿâøè ìіñöÿìè ñåðåäíі ÷ëåíè. 541. Ç ïðîïîðöії óòâîðè íîâі, ïåðåñòàâèâøè ìіñöÿ- ìè êðàéíі àáî ñåðåäíі ÷ëåíè. 542. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) ; 3) . 543. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 544. Âèêîðèñòîâóþ÷è ðіâíіñòü 4 · 5  2 · 10, çàïèøè óñі ìîæëèâі ïðîïîðöії. 545. Ç ÷èñåë 8, 4, 3 і 6 ñêëàäè ïðîïîðöіþ. 546. Çíàéäè âіäíîøåííÿ x äî y, ÿêùî: 1) ; 2) . 547. Ñêëàäè äâі ïðîïîðöії, äîáóòîê êðàéíіõ ÷ëåíіâ ÿêèõ äîðіâíþє 16. 548. Ïðè ÿêîìó çíà÷åííі ó є ïðàâèëüíîþ ïðîïîðöіÿ: 1) ; 2) ? 549. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 550. Âіäîìî, ùî . Äîâåäè, ùî: 1) ; 2) . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 102Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 102 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 103. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 103 Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) . Âіäíіìåìî îäèíèöþ âіä îáîõ ÷àñòèí ðіâíîñòі: ; ; . Ðіâíіñòü äîâåäåíî. 551. Äî ÷èñåë 10, 5 і 4 äîáåðè ÷åòâåðòå òàê, ùîá ìîæíà áóëî ñêëàñòè ïðîïîðöіþ (ðîçãëÿíü óñі âèïàäêè). 552. Âåëîñèïåäèñò, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 12 êì/ãîä, ïîäîëàâ âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëàìè çà 0,75 ãîä. Çà ÿêèé ÷àñ ïîäîëàє öþ âіäñòàíü ïіøîõіä, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 5 êì/ãîä? 553. Çàïîâíè òàêó òàáëèöþ â çîøèòі çà çðàçêîì: Âіäñîòêè Äåñÿòêîâèé äðіá Çâè÷àéíèé äðіá 25 % 0,25 75 % 0,8 150 % 2,4 554. 96 êîìàíä ãðàþòü ó áàñêåòáîëüíîìó òóðíіðі çà îëіìïіéñüêîþ ñèñòåìîþ, òîáòî íі÷èїõ íåìàє, êîìàíäà, ùî ïðîãðàє ìàò÷, – çі çìàãàíü âèáóâàє. Ñêіëüêè áóäå ïðîâåäå- íî ìàò÷іâ, ùîá âèÿâèòè ïåðåìîæöÿ? 22.22. Пряма пропорційна залежність Íåõàé 1 êã òîâàðó êîøòóє 8 ãðí. Âèçíà÷èìî âàðòіñòü, íàïðèêëàä, 2 êã, 4 êã, 5 êã, 0,5 êã, 10 êã öüîãî òîâàðó: Êіëüêіñòü òîâàðó, êã 1 2 4 5 0,5 10 Âàðòіñòü òîâàðó, ãðí 8 16 32 40 4 80 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 103Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 103 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 104. Ðîçäië 3 104 Êîæíîãî ðàçó ìàєìî ðіçíó âàðòіñòü òîâàðó, âîíà çàëå- æèòü âіä êіëüêîñòі ïðèäáàíîãî òîâàðó, à âіäíîøåííÿ âàð- òîñòі òîâàðó äî éîãî êіëüêîñòі є ÷èñëî ñòàëå. Âîíî äîðіâ- íþє âàðòîñòі 1 êã öüîãî òîâàðó (ó ãðèâíÿõ), òîáòî 8: . Äâі âåëè÷èíè, âіäíîøåííÿ âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ÿêèõ є ñòàëèì, íàçèâàþòü ïðÿìî ïðîïîðöіé- íèìè. Ç âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîðöіþ, íàïðèêëàä . Ïðÿìî ïðî- ïîðöіéíèìè âåëè÷èíàìè є: âàðòіñòü òîâàðó і éîãî êіëü- êіñòü; øëÿõ, ïðîéäåíèé òіëîì іç ñòàëîþ øâèäêіñòþ, і ÷àñ; ïåðèìåòð êâàäðàòà і äîâæèíà éîãî ñòîðîíè òîùî. Îñêіëüêè 1 êã òîâàðó êîøòóє 8 ãðí, à 2 êã êîøòóþòü 16 ãðí, òî ïîìі÷àєìî, ùî âäâі÷і áіëüøіé êіëüêîñòі òîâà- ðó âіäïîâіäàє óäâі÷і áіëüøà éîãî âàðòіñòü. Òîìó ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü: іç çáіëüøåííÿì (çìåíøåííÿì) çíà÷åíü îäíієї ç ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí ó êіëüêà ðàçіâ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè çáіëüøóєòüñÿ (çìåí- øóєòüñÿ) ó ñòіëüêè æ ðàçіâ. Çàäà÷і íà ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè ìîæíà ðîçâ’ÿ- çóâàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії. Çàäà÷à. Çà 2,5 ãîä àâòîìîáіëü ïðîїõàâ 170 êì. ßêó âіä- ñòàíü ïðîїäå àâòîìîáіëü çà 3,5 ãîä, ÿêùî øâèäêіñòü éîãî ðóõó є ñòàëîþ? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íåõàé çà 3,5 ãîä àâòîìîáіëü ïðîїõàâ õ êì. Çàïèøåìî óìîâó çàäà÷і ñõåìàòè÷íî: 2,5 ãîä — 170 êì; 3,5 ãîä — õ êì. Öþ ñõåìó ðîçóìіòèìåìî òàê: 2,5 ãîä âіäïîâіäàþòü 170 êì, à 3,5 ãîä âіäïîâіäàþòü x êì. Âіäñòàíü, ÿêó ïðî- їõàâ àâòîìîáіëü çі ñòàëîþ øâèäêіñòþ, і ÷àñ є âåëè÷èíàìè ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè: іç çáіëüøåííÿì ó ïåâíó êіëüêіñòü Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 104Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 104 28.05.2014 15:47:5628.05.2014 15:47:56
  • 105. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 105 ðàçіâ ÷àñó ðóõó ó ñòіëüêè æ ðàçіâ çáіëüøèòüñÿ âіäñòàíü, ÿêó ïðîїõàâ àâòîìîáіëü. Òîìó ìîæíà çàïèñàòè ïðîïîðöіþ: . Ìàєìî 2,5õ  170  3,5; ; õ  238 (êì).  іäïîâіäü. 238 êì. ßêі âåëè÷èíè íàçèâàþòü ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè? Íàâåäè ïðèêëàäè ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí. ßêó âëàñòèâіñòü ìàþòü ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè- ÷èíè? 555. (Óñíî) Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ ïðÿìî ïðîïîðöіé- íèõ âåëè÷èí çáіëüøèëîñÿ âòðè÷і. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè? 556. Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ ïðÿìî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí çìåíøèëîñÿ óäâі÷і. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè- ÷èíè? 557. (Óñíî) Çà êіëüêà îäíàêîâèõ çîøèòіâ çàïëàòèëè 12 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêі ñàìі çîøèòè, ÿêùî їõ áóäå: 1) ó 2 ðàçè áіëüøå; 2) ó 2 ðàçè ìåíøå? 558. (Óñíî) Çà êіëüêà îäíàêîâèõ áëîêíîòіâ çàïëàòèëè 16 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêó ñàìó êіëüêіñòü áëîêíîòіâ, êîæíèé ç ÿêèõ: 1) óäâі÷і äîðîæ÷èé; 2) óäâі÷і äåøåâøèé? 559. (Óñíî) ßêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè: 1) êіëüêіñòü ïðîäàíèõ êâèòêіâ і âèðó÷êà êàñè, ÿêùî öіíà êâèòêà є ñòàëîþ; 2) ìàñà ñòàëåâîãî áðóñêà і éîãî îá’єì; 3) ïëîùà êâàäðàòà і äîâæèíà éîãî ñòîðîíè; 4) ìàñà îäíîãî öâÿõà òà їõ êіëüêіñòü â îäíîìó êіëîãðàìі; 5) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ і îáñÿã âèêîíàíîї ðîáîòè, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ є îäíàêîâîþ; 6) äîâæèíà і øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà, ïëîùà ÿêîãî 100 ñì2? 560. ßêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè: 1) âіäñòàíü, ÿêó ïðîéøîâ òóðèñò, і ÷àñ ðóõó ïðè ñòàëіé øâèäêîñòі; 2) îá’єì êóáà і äîâæèíà éîãî ðåáðà; Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 105Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 105 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 106. Ðîçäië 3 106 3) êіëüêіñòü îäíàêîâèõ äåòàëåé òà їõ ìàñà ïðè ñòàëіé ìàñі îäíієї äåòàëі; 4) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ, ùî âèêîíóþòü ïåâíó ðîáîòó, і ÷àñ âèêîíàííÿ ðîáîòè? 561. (Óñíî) Âèçíà÷òå, ó ÿêèõ òàáëèöÿõ çàïèñàíî ïðÿìî ïðîïîðöіéíі âåëè÷èíè õ і ó. 1) õ 1 2 3 4 ó 4 8 12 16 2) õ 8 10 16 20 ó 4 5 8 12 3) õ 10 15 0,1 0,25 ó 1 1,5 0,01 0,025 4) õ 2 4 3 10 ó 10 20 27 90 562. Ùîá ïîøèòè 15 êîñòþìіâ, âèòðà÷àþòü 51 ì òêàíèíè. Ñêіëüêè ïîòðіáíî òêàíèíè, ùîá ïîøèòè 26 òàêèõ ñàìèõ êîñòþìіâ? 563. Çà 2 ãîä ìëèí çìîëîâ 13 ò çåðíà. Ñêіëüêè òîíí çåðíà ìîæíà çìîëîòè çà 6 ãîä, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ìëèíà є ñòà- ëîþ? 564. Ñòàëåâà êóëüêà îá’єìîì 4 ñì3 ìàє ìàñó 31,2 ã. ßêà ìàñà êóëüêè ç òàêîї ñòàëі, ÿêùî її îá’єì 6 ñì3? 565. Çà 1,5 ãîä òóðèñòè ïðîéøëè 5,1 êì. ßêó âіäñòàíü ïðîéäóòü òóðèñòè çà 2,5 ãîä, ÿêùî øâèäêіñòü їõ ðóõó є ñòàëîþ? 566. Çà 0,5 ë îëії çàïëàòèëè 7,6 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çà- ïëàòèòè çà 1,25 ë îëії? Ñêіëüêè îëії ìîæíà êóïèòè íà 22,8 ãðí? 567. Çà 0,4 êã êîâáàñè çàïëàòèëè 19,2 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà 0,6 êã òàêîї êîâáàñè? Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ òà- êîї êîâáàñè ìîæíà êóïèòè íà 36 ãðí? 568. Ç 10 êã ìîðñüêîї âîäè ìîæíà âèäîáóòè 0,7 êã ñîëі. Ñêіëüêè ìîæíà âèäîáóòè ñîëі ç 1 ò âîäè? 569. Ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà 40 ñì2. ßêîþ ñòàíå ïëîùà, ÿêùî øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà çàëèøèòüñÿ áåç çìіí, à äî- âæèíó: 1) çáіëüøèòè â 2,5 ðàçà; 2) çìåíøèòè â 5 ðàçіâ? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 106Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 106 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 107. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 107 570. Îá’єì ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåïіïåäà äîðіâíþє 60 ñì3. ßêèì ñòàíå îá’єì öüîãî ïàðàëåëåïіïåäà, ÿêùî éîãî äîâ- æèíó і øèðèíó çàëèøèòè áåç çìіí, à âèñîòó: 1) çáіëüøèòè âäâі÷і; 2) çìåíøèòè âòðè÷і? 571. Ìàñà 10 ì3 ïîâіòðÿ äîðіâíþє 13 êã. Çíàéäè ìàñó ïîâіòðÿ â êіìíàòі, äîâæèíà ÿêîї 5 ì, øèðèíà — 4 ì, à âèñîòà — 2,5 ì. 572. Çàëіçíà êóëüêà, îá’єì ÿêîї 10 ñì3, ìàє ìàñó 79 ã. Âè- çíà÷ ìàñó êóáà, ðåáðî ÿêîãî äîðіâíþє 5 ñì, ÿêèé âèãîòîâ- ëåíî ç òàêîãî ñàìîãî çàëіçà. 573. Çà òðè äíі çіáðàëè âðîæàé ç 15 % óñієї ïëîùі ïîëÿ. Ñêіëüêè äíіâ òðåáà ïðàöþâàòè ùå, ùîá çіáðàòè âðîæàé ç 55 % ïîëÿ, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі є ñòàëîþ? 574. Ðîçôàñóâàëè 0,9 ö êðóïè, ùî ñòàíîâèòü 46,8 % óñієї êðóïè, ùî çàâåçëè äî ìàãàçèíó. Ñêіëüêè êðóïè òðåáà ùå ðîçôàñóâàòè, ùîá âîíà ñòàíîâèëà 65 % ïðèâåçåíîї êðóïè? 575. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ, ÿêùî ìіæ âåëè÷èíà- ìè à і b іñíóє ïðÿìà ïðîïîðöіéíіñòü: à 9 10,2 4,2 99 b 1,4 4,5 19,7 576. Çà n êã äåÿêîãî òîâàðó çàïëàòèëè ñ ãðí. Âèçíà÷ öіíó êіëîãðàìà òîâàðó òà çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ: n, êã 7 10 3 c, ãðí 31,5 67,5 54 577. Ïðîòÿãîì òðüîõ ãîäèí 7 íàñîñіâ âèêà÷àëè 882 âіä- ðà âîäè. Ñêіëüêè âіäåð âîäè âèêà÷àþòü 4 òàêèõ íàñîñè çà 5 ãîä? 578. Äëÿ âîñüìè êîíåé íà 12 äíіâ çàãîòîâèëè 576 êã âіâñà. Ñêіëüêè êіëîãðàìіâ âіâñà ñëіä çàãîòîâèòè äëÿ äåâ’ÿòè êî- íåé íà 10 äíіâ çà òàêîї ñàìîї íîðìè ñïîæèâàííÿ? 579. Çíàéäè âіäíîøåííÿ: 1) 2 õâ äî 15 ñ; 2) 300 ì äî 12 êì; 3) 0,2 êã äî 300 ã; 4) 0,8 ì2 äî 12 ñì2. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 107Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 107 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 108. Ðîçäië 3 108 580. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ: 1) ; 2) . 581. 25 % îäíîãî ÷èñëà äîðіâíþþòü 40 % äðóãîãî. Çíàéäіòü âіäíîøåííÿ öèõ ÷èñåë. 582. Є îëіâöі ï’ÿòè êîëüîðіâ. Ñêіëüêè ðіçíèõ íàáîðіâ, ùî ìіñòÿòü ëèøå òðè îëіâöі ðіçíèõ êîëüîðіâ, ìîæíà ç íèõ ñêëàñòè? Ïðèïóñòèìî, ùî íàì íåîáõіäíî ðîçãëÿíóòè êàðòó (÷è ïëàí) äåÿêîї ìіñöåâîñòі (àáî áóäіâëі ÷è ïðåäìåòà). Íà êàð- òі (ìàë. 5) âñі ðîçìіðè çìåíøåíî â îäíó é òó ñàìó êіëü- êіñòü ðàçіâ. Ó ñêіëüêè ðàçіâ íàñïðàâäі ðîçìіðè áіëüøі, íіæ íà êàðòі, ïîêàçóє ìàñøòàá êàðòè. Íà ìàëþíêó 5 êàðòó âèêîíàíî â ìàñøòàáі 1 : 100 000. Öå îçíà÷àє, ùî âñі ðîçìіðè íàñïðàâäі â 100 000 ðàçіâ áіëü- øі, íіæ âіäïîâіäíі ðîçìіðè íà êàðòі. Íàïðèêëàä, ÿêùî íà êàðòі âіäñòàíü ìіæ ñåëàìè Êàëèíіâêà і ßáëóíåâå äîðіâ- íþє 4 ñì, òî íàñïðàâäі öÿ âіäñòàíü ñòàíîâèòü 4  100 000   400 000 ñì, òîáòî 4000 ì, àáî 4 êì. Ìàë. 5 23.23. Масштаб. Знаходження відстаней на карті Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 108Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 108 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 109. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 109 Âіäíîøåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà íà êàðòі (÷è ïëà- íі) äî äîâæèíè âіäïîâіäíîãî âіäðіçêà íà ìіñöå- âîñòі íàçèâàþòü ìàñøòàáîì êàðòè (÷è ïëàíà). Îòæå, ìàñøòàá çàïèñóєòüñÿ ÿê ÷àñòêà (íàïðèêëàä, 1 : 100, 1 : 2000, 1 : 1 000 000), äіëåíèì ÿêîãî є îäèíè- öÿ, à äіëüíèê ïîêàçóє, ó ñêіëüêè ðàçіâ ðåàëüíі ðîçìіðè áіëüøі, íіæ ðîçìіðè íà êàðòі (àáî ïëàíі). Òàê, ìàñøòàá 1 : 2000 îçíà÷àє, ùî îäíîìó ñàíòèìåòðó íà ïëàíі âіäïîâі- äàє 2000 ñì, òîáòî 20 ì íà ìіñöåâîñòі. Çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì, ðîçâ’ÿçóþòü íå òіëüêè ó ìàòåìàòèöі, à é ó ãåîãðàôії, ãåîäåçії òîùî. Öі çàäà÷і ìîæ- íà ðîçâ’ÿçóâàòè íà îñíîâі îçíà÷åííÿ ìàñøòàáó. Ïðèêëàä 1. Âіäîìî, ùî 100 ì — öå 1 ñì íà êàðòі. ßêèé ìàñøòàá öієї êàðòè? Ðîçâ’ÿçàííÿ. 100 ì  10 000 ñì. Òîìó ìàñøòàá 1 : 10 000. Ïðèêëàä 2. Ìàñøòàá êàðòè 1 : 100 000. Ìіæ ñåëàìè Âèøíåâå òà ßáëóíåâå âіäñòàíü 6 êì. ßêà âіäñòàíü ìіæ çî- áðàæåííÿìè öèõ ñіë íà êàðòі? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè 100 000 ñì  1 êì, òî 1 êì — öå 1 ñì íà êàðòі, òîìó âіäñòàíü 6 êì — öå 6 ñì íà êàðòі (ìàë. 5). Ïðèêëàä 3. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè 400 êì, à íà êàðòі öіé âіäñòàíі âіäïîâіäàє âіäñòàíü 10 ñì. ßêèé ìàñø- òàá öієї êàðòè? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îäíîìó ñàíòèìåòðó íà êàðòі âіäïîâіäà- þòü 400 : 10  40 êì, òîáòî 4 000 000 ñì. Òîìó ìàñøòàá êàðòè 1 : 4 000 000. Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ äîâæèíè âіäðіçêà íà êàðòі (÷è ïëàíі) äî äîâæèíè âіäïîâіäíîãî âіäðіçêà íà ìіñöåâîñ- òі є ÷èñëîì ñòàëèì, òî öі âåëè÷èíè — ïðÿìî ïðîïîðöіé- íèìè. Òîìó çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì, ìîæíà òàêîæ ðîçâ’ÿçóâàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії. Çàäà÷à. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі äî- ðіâíþє 280 êì. ßêà âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 1 : 4 000 000? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè ìàñøòàá êàðòè 1 : 4 000 000, òî 1 ñì íà êàðòі — öå 4 000 000 ñì  40 000 ì  40 êì íà ìіñöåâîñòі. Íåõàé âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè íà êàðòі äîðіâíþє õ ñì. Çàïèøåìî äàíі çàäà÷і ñõåìàòè÷íî: Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 109Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 109 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 110. Ðîçäië 3 110 1 ñì — 40 êì; õ ñì — 280 êì. Âіäñòàíü íà ìіñöåâîñòі ïðÿìî ïðîïîðöіéíà âіäñòàíі íà êàðòі. Ìàєìî ïðîïîðöіþ: , çâіäñè 40x  280, õ  7 (ñì). Âіäïîâіäü. 7 ñì. Ùî íàçèâàþòü ìàñøòàáîì êàðòè (÷è ïëàíà)? ßê çàïèñóþòü ìàñøòàá? Ùî îçíà÷àє ìàñøòàá, çàïè- ñàíèé íà êàðòі 1 : 10 000; çàïèñàíèé íà ïëàíі çå- ìåëüíîї äіëÿíêè 1 : 2000? ßêèìè ñïîñîáàìè ìîæ- íà ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç ìàñøòàáîì? 583. Ó ñêіëüêè ðàçіâ âіäñòàíü íà êàðòі ìåíøà âіä âіä- ñòàíі íà ìіñöåâîñòі, ÿêùî ìàñøòàá êàðòè: 1) 1 : 10 000; 2) 1 : 200 000; 3) 1 : 1 000 000? 584. Ñêіëüêîì êіëîìåòðàì íà ìіñöåâîñòі âіäïîâіäàє 1 ñì íà êàðòі ç ìàñøòàáîì: 1) 1 : 100 000; 2) 1 : 500 000; 3) 1 : 3 000 000? 585. Âèçíà÷ ìàñøòàá êàðòè (ïëàíó, ñõåìè), ÿêùî: 1) 1 ñì íà ñõåìі — 50 ì íà ìіñöåâîñòі; 2) 1 ñì íà ïëàíі — 1 êì íà ìіñöåâîñòі; 3) 1 ñì íà êàðòі — 120 êì íà ìіñöåâîñòі. 586. Âèçíà÷ ìàñøòàá êàðòè (ïëàíó), ÿêùî: 1) 1 ñì íà ïëàíі — 25 ì íà ìіñöåâîñòі; 2) 1 ñì íà êàðòі — 3 êì íà ìіñöåâîñòі. 587. Íà ïëàíі çåìåëüíîї äіëÿíêè âêàçàíî ìàñøòàá 1 : 1000. Âіäîìî, ùî âіäñòàíü ìіæ òî÷êàìè íà ïëàíі: 1) 1 ñì; 2) 2 ñì; 3) 4,5 ñì; 4) 13,7 ñì. Îá÷èñëè âіäïîâіäíі âіäñòàíі íà ìіñöåâîñòі. 588. Íà ïëàíі çåìåëüíîї äіëÿíêè âêàçàíî ìàñøòàá 1 : 2000. Âіäîìî, ùî âіäñòàíü ìіæ òî÷êàìè íà ïëàíі: 1) 1 ñì; 2) 2,6 ñì. Îá÷èñëè âіäïîâіäíі âіäñòàíі íà ìіñöåâîñòі. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 110Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 110 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 111. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 111 589. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 1 : 400 000, äîðіâíþє 3,7 ñì. Îá÷èñëè âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі. 590. Âèçíà÷ çà êàðòîþ (ìàë. 6) ïðèáëèçíó âіäñòàíü ìіæ ìіñ- òàìè: 1) Âіííèöÿ і Êèїâ; 2) Óæãîðîä і Õàðêіâ; 3) ×åðíіãіâ і Ñіìôåðîïîëü; 4) Ëóöüê і Äîíåöüê. 591. Âèêîíàé íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ і çíàéäè çà ìàëþí- êîì 5: 1) âіäñòàíü ìіæ ñåëèùàìè Êàëèíіâêà і Ñîñíіâêà; 2) âіäñòàíü ìіæ ñåëèùàìè Ñîñíіâêà òà ßáëóíåâå; 3) âіäñòàíü âіä ñåëèùà Âèøíåâå äî ñòàíöії. Ìàë. 6 592. Äîâæèíà êàáіíåòó ìàòåìàòèêè 8 ì, à øèðèíà 5 ì. Íàêðåñëè ïëàí êàáіíåòó â ìàñøòàáі 1 : 100. 593. Âèìіðÿé ëіíіéêîþ ðîçìіðè îáêëàäèíêè öüîãî ïіäðó÷- íèêà і íàêðåñëè її â çîøèòі, çìåíøèâøè ðîçìіðè â 5 ðà- çіâ. ßêèì áóäå ìàñøòàá öüîãî ìàëþíêà? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 111Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 111 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 112. Ðîçäië 3 112 594. Íà ìàëþíêó 7 çîáðàæåíî ïëàí çåìåëüíîї äіëÿíêè ïðÿìî- êóòíîї ôîðìè. Âèêîíàé íåîáõіäíі âèìіðþâàííÿ òà çíàéäè ïåðèìåòð і ïëîùó äіëÿíêè. 595. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòà- ìè äîðіâíþє 120 êì. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ çîáðàæåííÿìè öèõ ìіñò íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 800 000? 596. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè ×åðíіãіâ і Ñóìè äîðіâíþє 240 êì. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ çîáðàæåííÿìè öèõ ìіñò íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 3 000 000? 597. Ïіøîõіä âèðóøèâ іç ñåëèùà Êàëèíіâêà äî çàëіçíè÷- íîї ñòàíöії (êàðòà ìіñöåâîñòі íà ìàë. 5). Øâèäêіñòü ïіøî- õîäà äîðіâíþє 80 ì/õâ. Çà ñêіëüêè õâèëèí ïіøîõіä äіéäå äî ñòàíöії? 598. Âèêîðèñòîâóþ÷è êàðòó (ìàë. 6), çíàéäè âіäñòàíü âіä Æèòîìèðà äî Ïîëòàâè òà âèçíà÷, çà ñêіëüêè ïðèáëèç- íî ãîäèí ïðîїäå öþ âіäñòàíü àâòîìîáіëü, ùî ðóõàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 70 êì/ãîä. 599. Ñåðãіé, ùî ìåøêàє â ñåëèùі Âèøíåâå, éäå ïî äîðî- çі äî áàáóñі â ñåëèùå Êàëèíіâêà (äèâ. êàðòó íà ìàë. 5). Øâèäêіñòü Ñåðãіÿ äîðіâíþє 5 êì/ãîä. Ïіäіéøîâøè äî ñòàíöії, Ñåðãіé áóâ âèìóøåíèé ÷åêàòè 5 õâ, ïîêè ïðîéäå ïîòÿã. Ñêіëüêè ïðèáëèçíî ÷àñó áóâ ó äîðîçі Ñåðãіé? 600. Äîâæèíà ãàçîïðîâîäó 360 êì. Çîáðàçè âіäðіçêîì öåé ãàçîïðîâіä ó ìàñøòàáі 1 : 10 000 000. 601. Äîâæèíà çàëіçíèöі 480 êì. Çîáðàçè âіäðіçêîì öþ çà- ëіçíèöþ â ìàñøòàáі 1 : 8 000 000. 602. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі 126 êì, à íà êàðòі 10,5 ñì. Çíàéäè ìàñøòàá êàðòè. 603. Çàïîâíè òàáëèöþ. Рівне – Житомир Масштаб 1 : 4 000 000 1 : 5 000 000 Відстань на карті, см 4,5 9 Відстань на місцевості, км 180 180 Ìàñøòàá 1 : 2000 Ìàë. 7 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 112Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 112 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 113. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 113 604. Ïðîéøîâøè âіä äîìó äî øêîëè, Áóðàòіíî çðîáèâ 500 êðîêіâ. Äîâæèíà êðîêó Áóðàòіíî ñòàíîâèòü 0,7 ì. Çî- áðàçè âіäðіçêîì âіäñòàíü âіä äîìó äî øêîëè â ìàñøòàáі 1 : 10 000. 605. Ðóõàþ÷èñü çі øâèäêіñòþ 80 êì/ãîä, àâòîìîáіëü ïðî- їõàâ âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè À і  çà 1,5 ãîä. Çîáðàçè âіäðіç- êîì öþ âіäñòàíü ó ìàñøòàáі 1 : 5 000 000. 606. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè Ì і N íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 150 êì, à íà êàðòі — 2,5 ñì. Çíàéäè âіä- ñòàíü íà ìіñöåâîñòі ìіæ ìіñòà- ìè À і Â, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ íè- ìè íà öіé ñàìіé êàðòі äîðіâíþє 4,5 ñì. 607. Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè K і L íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 160 êì, à íà êàðòі — 3,2 ñì. Âèçíà÷ âіä- ñòàíü íà êàðòі ìіæ ìіñòàìè Ñ і D, ÿêùî âіäñòàíü ìіæ íèìè íà ìіñöåâîñòі äîðіâíþє 240 êì. 608. Ðîçìіðè äіëÿíêè ïðÿìîêóòíîї ôîðìè 16 ì і 10 ì. Íà- êðåñëè ïëàí äіëÿíêè â ìàñøòàáі 1 : 200. Çíàéäè ïëîùó äі- ëÿíêè òà ïëîùó ïëàíó äіëÿíêè. Ó ñêіëüêè ðàçіâ ïëîùà äі- ëÿíêè áіëüøà çà ïëîùó ïëàíó? Çðîáè âèñíîâêè. 609. Êëàñíó êіìíàòà íà ïëàíі ç ìàñøòàáîì 1 : 50 çîáðàæå- íî ïðÿìîêóòíèêîì ç ðîçìіðàìè 8 ñì і 12 ñì. Ñêіëüêè êі- ëîãðàìіâ ôàðáè íåîáõіäíî äëÿ òîãî, ùîá ïîôàðáóâàòè ïіä- ëîãó öієї êіìíàòè, ÿêùî íà 1 ì2 ïіäëîãè éäå 0,2 êã ôàðáè? 610. Âіäñòàíü íà êàðòі ìіæ ïóíêòàìè À і  äîðіâíþє 8,4 ñì, à ìіæ ïóíêòàìè  і Ñ — 7,2 ñì. Íà ìіñöåâîñòі âіä- ñòàíü ìіæ À і  äîðіâíþє 21 êì. Çíàéäè ìàñøòàá êàðòè òà âіäñòàíü ìіæ  і Ñ íà ìіñöåâîñòі. 611. Âіäñòàíü íà ìіñöåâîñòі ìіæ ïóíêòàìè À і  äîðіâíþє 6,4 êì, à ìіæ ïóíêòàìè  і Ñ — 4,8 êì. Ïðè öüîìó íà êàðòі âіäñòàíü ìіæ À і  äîðіâíþє 1,6 ñì. Çíàéäè ìàñøòàá êàðòè òà âіäñòàíü ìіæ  і Ñ íà êàðòі. 612. Íîðìè âèñіâó ïøåíèöі — 0,175 ò íà 1 ãà. Ñêіëüêè ïøåíèöі ïîòðіáíî äëÿ çàñіâó ïðÿìîêóòíîї äіëÿíêè, ðîçìіðè ÿêîї íà ïëàíі ç ìàñøòàáîì 1 : 20 000 äîðіâíþþòü 8 ñì і 6 ñì? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 113Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 113 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 114. Ðîçäië 3 114 613. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà îäíіé êàðòі äîðіâ- íþє 6,4 ñì, à íà іíøіé — 12,8 ñì. Ìàñøòàá ïåðøîї êàðòè 1 : 3 000 000. Çíàéäè ìàñøòàá äðóãîї êàðòè. Çðîáè âèñíîâîê. 614. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëèùàìè íà êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 20 000 äîðіâíþє 8 ñì. ßêîþ áóäå âіäñòàíü ìіæ öèìè ñåëèùàìè íà іíøіé êàðòі ç ìàñøòàáîì 1 : 10 000? Çðîáè âèñíîâîê. 615. Ùî îçíà÷àє ìàñøòàá: 1) 10 : 1; 2) 100 : 1? Ó ÿêèõ âèïàäêàõ çàñòîñîâóþòü öåé ìàñøòàá? 616. Äîâæèíà êðèëà êîìàõè, ÿêó íàìàëüîâàíî â ìàñ- øòàáі 50 : 1, äîðіâíþє 20 ñì. Çíàéäè äіéñíó äîâæèíó êðèëà. 617. Ïîáóäóé êóò MKN, ùî äîðіâíþє 80. Ïîçíà÷ íà ñòîðîíі KÌ òî÷êó D, à íà ñòîðîíі KN — òî÷êó Ñ. Ñïîëó÷è òî÷êè D і Ñ. Âèìіðÿé ñòîðîíè òðèêóòíèêà, ùî óòâîðèâñÿ, òà çíàéäè éîãî ïåðèìåòð. 618. Ñêіëüêîìà ñïîñîáàìè ìîæíà âèøèêóâàòè â îäèí ðÿä ÷îòèðüîõ ó÷íіâ? 619. Çíàéäè ïðіçâèùå âèäàòíîãî óêðàїíñüêîãî ïèñü- ìåííèêà: 1 2 3 4 5 6 24.24. Поділ числа у даному відношенні Ðîçãëÿíåìî çàäà÷і, â ÿêèõ âèìàãàєòüñÿ ïîäіëèòè ÷èñëî àáî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè ó äàíîìó âіäíîøåííі, òîáòî íà ÷àñ- òèíè, ïðîïîðöіéíі äåÿêèì ÷èñëàì. Òàêі çàäà÷і íàçèâàþòü çàäà÷àìè íà ïîäіë ÷èñëà ó äàíîìó âіäíîøåííі àáî çàäà÷à- ìè íà ïðîïîðöіéíèé ïîäіë. Çàäà÷à 1. Ñïëàâ ìàñîþ 30 êã ñêëàäàєòüñÿ іç çàëіçà і ìіäі, ÿêі âçÿòî ó âіäíîøåííі 3 : 2. Ñêіëüêè ó ñïëàâі çàëіçà і ñêіëüêè ìіäі? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 114Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 114 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 115. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 115 Ðîçâ’ÿçàííÿ. І ñïîñіá. (Ìàë. 8). Ìàñè çàëіçà і ìіäі âіä- íîñÿòüñÿ ÿê 3 : 2, òîáòî äî ñïëàâó âõîäèòü 3 ÷àñòèíè çàëіçà і 2 ÷àñòèíè ìіäі. Âñüîãî ìàєìî 3 + 2  5 (÷àñòèí). Îñêіëüêè ï’ÿòè ÷àñòèíàì âіäïîâіäàє 30 êã, òî íà îäíó ÷àñòèíó ïðè- ïàäàє 30 : 5  6 (êã). Òîäі çàëіçà ó ñïëàâі 6  3  18 (êã), à ìіäі 6  2 12 (êã). Ìàë. 8 Ìàë. 9 II ñïîñіá. (Ìàë. 9). Ïîçíà÷èìî ìàñó îäíієї ÷àñòèíè áóê- âîþ x. Îñêіëüêè çàëіçà âçÿòî òðè ÷àñòèíè, òî éîãî ó ñïëàâі õ + õ + õ  3õ (êã), à ìіäі âçÿòî äâі ÷àñòèíè, òîìó її ó ñïëàâі õ + õ  2õ (êã). Çà óìîâîþ ìàєìî ðіâíÿííÿ 3õ + 2õ  30. Òîäі 5õ  30. Îòæå, õ  6 (êã) — ìàñà îäíієї ÷àñòèíè, òîáòî 6  3  18 (êã) — âçÿòî çàëіçà, 6  2  12 (êã) — ìіäі. Âіäïîâіäü. 18 êã çàëіçà і 12 êã ìіäі. ×àñòî ÷èñëî àáî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè íåîáõіäíî ïîäіëèòè íà òðè і áіëüøå ÷àñòèí. Òàê, íàïðèêëàä, ÿêùî ÷èñëî òðåáà ïîäіëèòè íà òðè ÷àñòèíè, ïðîïîðöіéíî ÷èñëàì 2, 3 і 4, òî êàæóòü, ùî ÷èñëî òðåáà ïîäіëèòè ó âіäíîøåííі 2 : 3 : 4; ÿêùî âіäðіçîê òðåáà ïîäіëèòè ïðîïîðöіéíî ÷èñëàì 3, 7, 5 і 1, òî êàæóòü, ùî âіäðіçîê òðåáà ïîäіëèòè ó âіäíîøåííі 3 : 7 : 5 : 1. Çàäà÷à 2. Ìіæ ìàìîþ, òàòîì і їõíіì ñèíîì ïîäіëèëè ÿáëóêà ó âіäíîøåííі 2 : 1 : 3. Ñêіëüêè ÿáëóê îòðèìàëà ìàìà і ñêіëüêè òàòî, ÿêùî ñèí îòðèìàâ 12 ÿáëóê? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè òðüîì ÷àñòèíàì âіäïîâіäàþòü 12 ÿáëóê, òî íà îäíó ÷àñòèíó ïðèïàäàє 12 : 3  4 (ÿáëóêà). Îòæå, òàòî îòðèìàâ 4 ÿáëóêà, à ìàìà — 4  2  8 (ÿáëóê). Âіäïîâіäü. 4 ÿáëóêà — òàòî, 8 ÿáëóê — ìàìà. Ïîÿñíè õіä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 1 (І ñïîñіá і II ñïî- ñіá) òà çàäà÷і 2. 620. (Óñíî) Øàïîêëÿê і êðîêîäèë Ãåíà ãðàëè â òåíіñ. Êіëüêіñòü ïàðòіé, ÿêі âèãðàëà Øàïîêëÿê, âіäíîñèòüñÿ äî êіëüêîñòі ïàðòіé, ÿêі âèãðàâ Ãåíà, ÿê 1 : 3. Ñêіëüêè ïàð- òіé âèãðàëà Øàïîêëÿê, ÿêùî Ãåíà âèãðàâ 6 ïàðòіé? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 115Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 115 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 116. Ðîçäië 3 116 621. Êіëüêіñòü çàäà÷, ÿêі ðîçâ’ÿçàâ Þðêî, âіäíîñèòüñÿ äî êіëüêîñòі çàäà÷, ÿêі âіí íå ðîçâ’ÿçàâ, ÿê 1 : 2. Ñêіëüêè çàäà÷ ðîçâ’ÿçàâ Þðêî, ÿêùî éîìó çàëèøèëîñÿ ðîçâ’ÿçàòè 4 çàäà÷і? 622. Ïîäіëè: 1) ÷èñëî 21 íà äâі ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5; 2) ÷èñëî 48 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 3 : 7 : 2. 623. Ïîäіëè: 1) ÷èñëî 210 íà äâі ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 7 : 3; 2) ÷èñëî 104 íà òðè ÷àñòèíè ó âіäíîøåííі 2 : 5 : 6. 624. Ëàòóíü — öå ñïëàâ ìіäі і öèíêó, ìàñè ÿêèõ âіäíîñÿòü- ñÿ ÿê 3 : 2. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ øìàòêà ëàòóíі ïîòðіáíî 240 ã ìіäі. Ñêіëüêè òðåáà âçÿòè öèíêó, ùîá âèïëàâèòè òà- êèé øìàòîê ëàòóíі? 625. Ñïëàâ ìіñòèòü 3 ÷àñòèíè öèíêó і 4 ÷àñòèíè çàëіçà. Ñêіëüêè òðåáà âçÿòè öèíêó äëÿ òàêî- ãî ñïëàâó, ÿêùî çàëіçà âçÿòî 240 êã? 626. Äëÿ âèãîòîâëåííÿ ñîêó áåðóòü 3 ÷àñòèíè ôðóêòіâ і 5 ÷àñòèí âîäè. Ñêіëüêè ôðóêòіâ òðåáà âçÿòè, ùîá îòðèìàòè 96 êã ñîêó? 627. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 60 äì, à äîâæèíè ñòîðіí âіäíîñÿòüñÿ ÿê 6 : 5 : 4. Çíàéäè ñòîðîíè òðèêóòíèêà. 628. Ñòîðîíè òðèêóòíèêà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 4 : 7 : 8. Ñóìà íàéáіëüøîї і íàéìåíøîї ñòîðіí äîðіâíþє 36 ñì. Çíàéäè äî- âæèíó ñåðåäíüîї ñòîðîíè. 629. Ñòîðîíè òðèêóòíèêà âіäíîñÿòüñÿ ÿê 2 : 3 : 4. Ðіçíè- öÿ íàéáіëüøîї і íàéìåíøîї ñòîðіí äîðіâíþє 12 ñì. Çíàéäè ñòîðîíè òðèêóòíèêà. 630. Òðè áóäіâåëüíèêè, ÿêі ìàþòü îäíàêîâó ïðîäóêòèâ- íіñòü ïðàöі, âñòàíîâëþâàëè ïàðêàí ó çàìіñüêîìó áóäèíêó. Ïåðøèé ïðàöþâàâ 5 äíіâ ïî 6 ãîä ùîäíÿ, äðóãèé — 8 äíіâ ïî 5 ãîä ùîäíÿ, òðåòіé — 4 äíі ïî 7 ãîä ùîäíÿ. Çà âñòà- íîâëåíèé ïàðêàí їì çàïëàòèëè 3430 ãðí. Ïî ñêіëüêè ãðè- âåíü îòðèìàâ êîæåí áóäіâåëüíèê? 631. Íà ñïîðóäæåííі áóäèíêó ïðàöþâàëî òðè áðèãàäè. Ó ïåðøіé áðèãàäі 8 ðîáіòíèêіâ ïðàöþâàëî 10 äíіâ, ó äðó- ãіé 10 ðîáіòíèêіâ ïðàöþâàëî 9 äíіâ, ó òðåòіé 6 ðîáіòíè- Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 116Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 116 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 117. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 117 êіâ ïðàöþâàëî 12 äíіâ. Çà ðîáîòó âñі òðè áðèãàäè ðàçîì îòðèìàëè 31 460 ãðí. Ïî ñêіëüêè ãðèâåíü îòðèìàëà êîæíà áðèãàäà, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ îäíà- êîâà? 632. Ïîäіëè ÷èñëî 182 íà òðè ÷àñòèíè õ, ó і z òàê, ùîá õ : ó 2 : 1, ó : z  3 : 4. 633. Іç 25 ë ìîëîêà îòðèìóþòü 3 ë âåðøêіâ. Ñêіëü- êè âåðøêіâ îòðèìàþòü ç 35 ë ìîëîêà? Ñêіëüêè òðåáà ìîëîêà, ùîá îòðèìàòè 7,5 ë âåðøêіâ? 634. Ñïðîñòè âіäíîøåííÿ: 1) 875 : 1125; 2) . 635. Îäíієþ ç ðîáіò âіäîìîãî óêðàїíñüêîãî ìàéñòðà ìі- êðîìіíіàòþð Ìèêîëè Ñåðãіéîâè÷à Ñÿäðèñòîãî, є íàéìåíøà ó ñâіòі ñêðèïêà, äîâæèíà ÿêîї 3,45 ìì. Ñïðàâæíÿ äîâæè- íà ñêðèïêè äîðіâíþє 58—59 ñì.  ÿêîìó ìàñøòàáі (ïðè- áëèçíî) ìàéñòåð âèêîíàâ ñâîþ ìіêðîìіíіàòþðó? 25.25. Ймовірність випадкової події Ìè ÷àñòî ãîâîðèìî: «öå ìîæëèâî», «öå íåìîæëèâî», «öå ìàëîéìîâіðíî», «öå äîñèòü іìîâіðíî», «öå îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòüñÿ», «öüîãî íіêîëè íå áóäå». Óñі öі òâåðäæåí- íÿ íàé÷àñòіøå âæèâàþòü, êîëè ìîâà éäå ïðî ìîæëèâіñòü çäіéñíåííÿ ïåâíèõ ïîäіé. Ïðî ïîäії «ïіñëÿ 9 ãðóäíÿ íàñòàíå 10 ãðóäíÿ» і «ïіñëÿ íàãðіâàííÿ âîäè äî 100 Ñ âîíà êèïіòèìå» ìîæíà ñêàçàòè, ùî âîíè âіäáóäóòüñÿ çàêîíîìіðíî. Ïîäії «ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå 6 î÷îê», «ïðè ïіäêèäàííі ìîíå- òè âèïàäå ãåðá», «ó ïîøòîâó ñêðèíüêó ïðèéäå 2 ëèñòè» ìîæóòü âіäáóòèñÿ, à ìîæóòü і íå âіäáóòèñÿ. Òàêі ïîäії íà- çèâàþòü âèïàäêîâèìè. Âèïàäêîâà ïîäіÿ — ïîäіÿ, ÿêà çà îäíèõ і òèõ ñà- ìèõ óìîâ ìîæå âіäáóòèñÿ, à ìîæå íå âіäáóòèñÿ. Ïðèêëàä. Ó ÿùèêó çíàõîäÿòüñÿ ëèøå 5 áіëèõ і 5 ÷îð- íèõ êóëüîê. Ç íüîãî íàâìàííÿ âèéìàþòü îäíó êóëüêó. ßêі ç ïîäіé À, Â, Ñ, D ïðè öüîìó ìîæóòü âіäáóòèñÿ: À – âèéíÿòî áіëó êóëüêó;  – âèéíÿòî ÷îðíó êóëüêó; Ñ – âèéíÿòî çåëåíó êóëüêó; D – âèéíÿòî êóëüêó? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 117Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 117 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 118. Ðîçäië 3 118 Îñêіëüêè ç ÿùèêà ìîæíà âèéíÿòè ëèøå òå, ùî â íüî- ìó çíàõîäèòüñÿ, òî âèéíÿòè áіëó àáî ÷îðíó êóëüêó ìîæíà, à çåëåíó – íі. Ìîæíà òàêîæ ñòâåðäæóâàòè, ùî áóäü-ÿêèé ïðåäìåò, ÿêèé íàâìàííÿ âèéìàþòü ç ÿùèêà, áóäå êóëü- êîþ, áî òàì, êðіì êóëüîê, íі÷îãî íåìàє. Îòæå, ó âèùåíà- âåäåíîìó ïðèêëàäі ïîäії À і  ìîæóòü âіäáóòèñÿ, ïîäіÿ Ñ íå ìîæå âіäáóòèñÿ, à ïîäіÿ D îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòüñÿ. Ïîäіþ, ÿêà çà äàíèõ óìîâ îáîâ’ÿçêîâî âіäáóäåòü- ñÿ, íàçèâàþòü âіðîãіäíîþ. Ïîäіþ, ÿêà çà äàíèõ óìîâ íå ìîæå âіäáóòèñÿ, íà- çèâàþòü íåìîæëèâîþ. Ó ðîçãëÿíóòîìó ïðèêëàäі: ïîäіÿ D — âіðîãіäíà, à ïî- äіÿ Ñ — íåìîæëèâà. ßêùî âñі êóëüêè â ðîçãëÿíóòîìó ïðèêëàäі îäíàêîâі, òî éìîâіðíіñòü âèéíÿòè áóäü-ÿêó ç íèõ òàêà ñàìà, ÿê і éìîâіðíіñòü âèéíÿòè іíøó. Òàêі ñèòóàöії áóäåìî ðîçãëÿäà- òè é íàäàëі. Îñêіëüêè â ÿùèêó îäíàêîâà êіëüêіñòü áіëèõ і ÷îðíèõ êóëüîê, òî ìàєìî ðіâíі øàíñè íàâìàííÿ âèòÿãíóòè áіëó àáî ÷îðíó êóëüêó. Íіÿêèõ іíøèõ êóëüîê ó ÿùèêó íåìàє, òîìó ÿêùî âèòÿãóâàòè êóëüêè âåëèêó êіëüêіñòü ðàçіâ, ïіñ- ëÿ êîæíîãî ç ÿêèõ ïîâåðòàòè êóëüêó â ÿùèê, òî ìîæíà ñêàçàòè, ùî ïðèáëèçíî â ïîëîâèíі âèïàäêіâ áóäå âèòÿãíó- òî áіëó êóëüêó і â ïîëîâèíі âèïàäêіâ — ÷îðíó. ×èñëî 0,5 (ïîëîâèíà) — öå éìîâіðíіñòü âèïàäêîâîї ïîäії «âèéíÿòî áіëó êóëüêó». Éìîâіðíіñòü ïîäії À ïîçíà- ÷àþòü Ð(À) àáî p(À) (ïåðøà áóêâà ôðàíöóçüêîãî ñëîâà probabilite, ùî ïåðåêëàäàєòüñÿ ÿê ìîæëèâіñòü, éìîâіð- íіñòü). Îòæå, ìîæíà çàïèñàòè: Ð(À)  0,5 àáî p(À)  0,5 (÷èòàþòü: «éìîâіðíіñòü ïîäії À äîðіâíþє 0,5»). ßêùî ó çàäà÷і ðîçãëÿäàþòü ëèøå îäíó ïîäіþ, òî її éìîâіðíіñòü ìîæíà ïîçíà÷àòè Ð àáî p. Öþ éìîâіðíіñòü ìîæíà îäåðæàòè, ÿêùî êіëüêіñòü áі- ëèõ êóëüîê, òîáòî 5, ïîäіëèòè íà êіëüêіñòü óñіõ êóëüîê, òîáòî 10. Ìàєìî . Ìîæíà ñôîðìóëþâàòè îçíà÷åííÿ éìîâіðíîñòі: éìîâіðíіñòþ âèïàäêîâîї ïîäії À íàçèâàþòü âіäíî- øåííÿ êіëüêîñòі âèïàäêіâ, ùî ñïðèÿþòü ïîÿâі ïî- äії À, äî êіëüêîñòі âñіõ ðіâíîìîæëèâèõ âèïàäêіâ. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 118Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 118 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 119. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 119 Öå ìîæíà çàïèñàòè ôîðìóëîþ òàê: , äå ò — êіëüêіñòü âèïàäêіâ, ùî ñïðèÿþòü ïîÿâі ïîäії À, à ï — êіëüêіñòü âñіõ ìîæëèâèõ âèïàäêіâ. Ðîçãëÿíóòå îçíà÷åííÿ ùå ïðèéíÿòî íàçèâàòè êëàñè÷- íèì îçíà÷åííÿì éìîâіðíîñòі. Іíîäі éìîâіðíіñòü âèðàæàþòü ó âіäñîòêàõ, òîäі ó íàâå- äåíîìó ïðèêëàäі Ð(À)  50 %. Çàäà÷à 1. Ó ëîòåðåї 100 áіëåòіâ, ç íèõ 7 — âèãðàøíі. Çíàéäè éìîâіðíіñòü âèãðàøó (ïîäіÿ À); ïðîãðàøó (ïîäіÿ B) ïðè êóïіâëі îäíîãî áіëåòà. Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) . 2) Íåâèãðàø- íèõ áіëåòіâ: 100 – 7  93. Òîìó éìîâіðíіñòü ïðîãðàøó . Çàäà÷à 2. Ç êîðîáêè, ó ÿêіé çíàõîäÿòüñÿ òіëüêè 6 ÷åð- âîíèõ îëіâöіâ, íàâìàííÿ âèòÿãóþòü îëіâåöü. Çíàéäè éìî- âіðíіñòü òàêèõ ïîäіé: À — âèòÿãíóòî ÷åðâîíèé îëіâåöü;  — âèòÿãíóòî ñèíіé îëіâåöü. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïîäіÿ À є âіðîãіäíîþ â äàíèõ óìîâàõ, îñêіëüêè â êîðîáöі ëèøå ÷åðâîíі îëіâöі. Çíàéäåìî її éìî- âіðíіñòü: . Ïîäіÿ  â äàíèõ óìîâàõ íåìîæëèâà, îñêіëüêè â êîðîáöі íåìàє ñèíіõ îëіâöіâ (їõ êіëüêіñòü äîðіâ- íþє íóëü). Çíàéäåìî éìîâіðíіñòü ïîäії Â: . Ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî éìîâіðíіñòü âіðîãіäíîї ïî- äії äîðіâíþє 1, à éìîâіðíіñòü íåìîæëèâîї ïîäії äîðіâíþє 0. ßêó ïîäіþ íàçèâàþòü âèïàäêîâîþ? Íàâåäè ïðè- êëàä âèïàäêîâîї ïîäії. ßêó ïîäіþ íàçèâàþòü âі- ðîãіäíîþ, ÿêó — íåìîæëèâîþ? ßê çíàéòè éìîâіð- íіñòü âèïàäêîâîї ïîäії? ×îìó äîðіâíþє éìîâіðíіñòü âіðîãіäíîї ïîäії; íåìîæëèâîї ïîäії? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 119Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 119 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 120. Ðîçäië 3 120 636. Ñåðåä òàêèõ ïîäіé íàçâè âèïàäêîâі: 1) «ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå 5 î÷îê»; 2) «ïðè òåìïåðàòóðі, íèæ÷іé âіä 0 Ñ, âîäà çàìåðçíå»; 3) «êóïèâøè ëîòåðåéíèé áіëåò, âèãðàþòü 5 ãðí»; 4) «іì’ÿ íàâìàííÿ âèáðàíîãî øåñòèêëàñíèêà ïî÷èíà- єòüñÿ ç ëіòåðè À»; 5) «ïіñëÿ 31 ãðóäíÿ íàñòàíå 1 ñі÷íÿ». 637. (Óñíî) ßêі ç òàêèõ ïîäіé — âèïàäêîâі, âіðîãіäíі, íå- ìîæëèâі: 1) «âèãðàєòå ïàðòіþ â òåíіñ»; 2) «ñëîí íàâ÷èòüñÿ ðîçìîâëÿòè»; 3) «ïîòÿã Êèїâ—Ëüâіâ çàïіçíèòüñÿ»; 4) «ïîÿâà êіëüêîñòі î÷îê, ùî â ñóìі ìåíøà âіä 13, ïðè îäíî÷àñíîìó ïіäêèäàííі äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêіâ»; 5) «ïðè íàòèñêàííі êíîïêè äçâіíêà âіí íå ñïðàöþє»; 6) «ïіñëÿ ïîíåäіëêà íàñòàíå âіâòîðîê»; 7) «ïіñëÿ âіâòîðêà íàñòàíå ïîíåäіëîê»; 8) «ëþäèíà, ÿêó âè çóñòðіíåòå ñüîãîäíі, íàðîäèëàñÿ 29 âåðåñíÿ»? 638. ßêі ç òàêèõ ïîäіé — âèïàäêîâі, âіðîãіäíі, íåìîæëèâі: 1) «äâà ïîïàäàííÿ ïðè òðüîõ ïîñòðіëàõ»; 2) «íàâìàííÿ âèáðàíå òðèöèôðîâå ÷èñëî ìåíøå âіä 1000»; 3) «çàâòðà áóäå äîù»; 4) «ñüîãîäíі 30 ëþòîãî»; 5) «íàâìàííÿ âçÿòà ç ïîëèöі êíèæêà — «Ìàòåìàòèêà, 6»; 6) «ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå ãåðá àáî öèôðà»? 639.  îäíîìó ÿùèêó çíàõîäèòüñÿ 1 áіëà êóëüêà і 9 ÷îðíèõ, à â äðóãîìó — 5 áіëèõ і 5 ÷îðíèõ. Ç ÿêîãî ÿùèêà áіëüø іìîâіðíî íàâìàííÿ âèòÿãíóòè áіëó êóëüêó; ÷îðíó êóëüêó? 640.  îäíîìó ïàêåòі 20 öóêåðîê, ç ÿêèõ 3 øîêîëàäíі, à â äðóãîìó — 50 öó- êåðîê, ç ÿêèõ 25 øîêîëàäíèõ. Ç ÿêîãî ïà- êåòà ñëіä íàâìàííÿ âçÿòè öóêåðêó, ÿêùî âè õî÷åòå, ùîá âîíà áóëà øîêîëàäíîþ? 641. Ìàëþê і Êàðëñîí äîìîâèëèñÿ: ÿêùî ñòðіëêà âåðòóøêè (ìàë. 10) çóïèíèòüñÿ íà Ìàë. 10 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 120Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 120 28.05.2014 15:47:5728.05.2014 15:47:57
  • 121. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 121 áіëîìó ïîëі, òîðò ç’їäàє Êàðëñîí, ÿêùî íà çàôàðáîâàíî- ìó — Ìàëþê. Ó êîãî áіëüøå øàíñіâ ïîëàñóâàòè òîðòîì? 642. ×è є éìîâіðíîñòі ïîäіé ðіâíèìè: 1) ïîäіÿ À — ç äâàäöÿòè ï’ÿòè áіëåòіâ ç íîìåðàìè âіä 1 äî 25 âèòÿãíóòî áіëåò № 1 і ïîäіÿ  — ç äâàäöÿòè ï’ÿòè áіëåòіâ ç íîìåðàìè âіä 1 äî 25 âèòÿãíóòî áіëåò № 13? 2) ïîäіÿ Ñ — ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïà- äå ïàðíà êіëüêіñòü î÷îê і ïîäіÿ D — ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèïàäå íåïàðíà êіëüêіñòü î÷îê? 3) ïîäіÿ Ì – âèãðàòè ó ëîòåðåþ, êóïèâøè îäèí êâè- òîê, ó ÿêіé çі ñòà áіëåòіâ — 5 âèãðàøíèõ, і ïîäіÿ N — íå âèãðàòè â ëîòåðåþ, êóïèâøè îäèí êâèòîê, ó ÿêіé çі ñòà áіëåòіâ — 5 âèãðàøíèõ? 643. ×è ðіâíі éìîâіðíîñòі ïîäіé: 1) ïîäіÿ À — ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå ãåðá і ïî- äіÿ  – ïðè ïіäêèäàííі ìîíåòè âèïàäå öèôðà? 2) ïîäіÿ Ñ — âèòÿãíóòè áіëó êóëüêó ç ÿùèêà, ó ÿêîìó 7 áіëèõ і 3 ÷îðíі êóëüêè, і ïîäіÿ D — âèòÿãíóòè ÷îðíó êóëüêó ç ÿùèêà, ó ÿêîìó 7 áіëèõ і 3 ÷îðíі êóëüêè? 3) ïîäіÿ Ì — ó ìàéáóòíüîìó òè ñòàíåø êîñìîíàâòîì і ïîäіÿ N — ó ìàéáóòíüîìó òè íå ñòàíåø êîñìîíàâòîì? 644. Ó êîæíіé çі ñêðèíü (ìàë. 11) є ïî îäíіé çîëîòіé ìî- íåòі. Ç ÿêîї ñêðèíі íàâìàííÿ òðåáà âèòÿãíóòè ìîíåòó, ùîá ìîæëèâіñòü âçÿòè ñàìå çîëîòó áóëà íàéáіëüøîþ? 40 ìîíåò 10 ìîíåò 100 ìîíåò Ìàë. 11 645. Ó êîæíіé çі ñêëÿíèõ êóëüîê (ìàë. 12) є ïî îäíîìó âèãðàøíîìó ëîòåðåéíîìó áіëåòó. Ç ÿêîї êóëüêè òðåáà íà- âìàííÿ âçÿòè áіëåò, ùîá ìîæëèâіñòü âèãðàòè áóëà íàé- áіëüøîþ? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 121Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 121 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 122. Ðîçäië 3 122 20 áіëåòіâ 50 áіëåòіâ 5 áіëåòіâ Ìàë. 12 646. Íà çàïèòàííÿ âіêòîðèíè áóëî îòðèìàíî 120 ïðàâèëü- íèõ âіäïîâіäåé, ó òîìó ÷èñëі і òâîÿ. Äëÿ âèçíà÷åííÿ єäè- íîãî ïåðåìîæöÿ âåäó÷èé íàâìàííÿ âèòÿãóє êàðòêó. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñàìå òè îòðèìàєø ïðèç? 647. Ó çáіðíèêó çàâäàíü ÄÏÀ ç ìàòåìàòèêè çàïðîïîíîâàíî 25 âàðіàíòіâ. Ñåðãіé íå ðîçâ’ÿçàâ ëèøå îäèí âàðіàíò. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñàìå öåé âàðіàíò éîìó äіñòàíåòüñÿ ïіä ÷àñ äåðæàâíîї ïіäñóìêîâîї àòåñòàöії? 648. Ç êëàñó, ó ÿêîìó íàâ÷àþòüñÿ 25 ó÷íіâ, íàâìàííÿ âè- áèðàþòü îäíîãî. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî öå áóäå õëî- ïåöü, ÿêùî õëîïöіâ ó êëàñі 12? 649. Ó ÿùèêó — 1000 äåòàëåé, ç ÿêèõ 3 áðàêîâàíі. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèòÿãíóòà äåòàëü áðàêîâà- íà; íå áðàêîâàíà? 650. Íà ñêëàäі — 1000 êàëüêóëÿòîðіâ, ç ÿêèõ 7 áðàêîâà- íèõ. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíèé êàëü- êóëÿòîð є áðàêîâàíèì; є ÿêіñíèì? 651. Ó ëîòåðåї 25 âèãðàøíèõ áіëåòіâ і 175 áіëåòіâ áåç âè- ãðàøó. ßêà éìîâіðíіñòü âèãðàòè â öþ ëîòåðåþ, ïðèäáàâøè ëèøå îäèí áіëåò? 652. Ó ÿùèêó 15 çåëåíèõ і 25 ÷åðâîíèõ êóëüîê. ßêà éìî- âіðíіñòü ïîäії: 1) À — íàâìàííÿ âèòÿãíóòà ç ÿùèêà êóëüêà є çåëåíîþ; 2)  — íàâìàííÿ âèòÿãíóòà ç ÿùèêà êóëüêà є ÷åðâîíîþ? 653. Ó÷åíü ìàє 7 ìîíåò (ìàë. 13). Âіí íàâìàííÿ áåðå ìî- íåòó. ßêà éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì 5 êîï.; 2)  — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì, ìåíøèì âіä 25 êîï.; 3) Ñ — âçÿòî ìîíåòó íîìіíàëîì, áіëüøèì çà 25 êîï.? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 122Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 122 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 123. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 123 Ìàë. 13 654. Ó ãàìàíöі äÿäå÷êà Ñêðóäæà âіñіì êóïþð: ïî îäíіé íîìіíàëîì 1 ãðí, 2 ãðí, 5 ãðí, 10 ãðí, 20 ãðí, 50 ãðí, 100 ãðí, 200 ãðí. Âіí íàâìàííÿ âèéìàє îäíó êóïþðó. ßêà éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì 200 ãðí; 2)  — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì, ìåíøèì âіä 10 ãðí; 3) Ñ — âèéíÿòî êóïþðó íîìіíàëîì, áіëüøèì çà 10 ãðí; 4) D — âèéíÿòî êóïþðó ç ïàðíèì ÷èñëîì ãðèâåíü? 655. Íàâåäè ïî äâà ïðèêëàäè âèïàäêîâèõ, âіðîãіäíèõ, íåìîæëèâèõ ïîäіé. 656. Òðîє äðóçіâ ïðèéøëè â ãîñòі і ïîâіñèëè ñâîї êàïåëþ- õè íà âіøàëêó. Êîëè âîíè ðîçõîäèëèñÿ ïî äîìіâêàõ, òî êîæíèé âçÿâ îäèí êàïåëþõ íàâìàííÿ. ßêі ç òàêèõ ïîäіé âèïàäêîâі, íåìîæëèâі, âіðîãіäíі: 1) À — êîæåí âçÿâ ñâіé êàïåëþõ; 2)  — êîæåí âèéøîâ ç êàïåëþõîì; 3) Ñ — âñі îäÿãëè ÷óæі êàïåëþõè; 4) D — äâîє îäÿãëè ÷óæі êàïåëþõè, à îäèí — ñâіé; 5) Å — îäèí îäÿãíóâ ÷óæèé êàïåëþõ, à äâîє — ñâîї? 657. Ìàðіÿ çàïðîïîíóâàëà Ïåòðó òàêі ïðàâèëà ãðè: «Ïðè ïіäêèäàííі ãðàëüíîãî êóáèêà âèãðàє Ìàðіÿ, ÿêùî êіëü- êіñòü î÷îê, ÿêі âèïàëè, є äіëüíèêîì ÷èñëà 6, і âèãðàє Ïå- òðî, ÿêùî êіëüêіñòü î÷îê, ÿêі âèïàëè, íå є äіëüíèêîì ÷èñ- ëà 6». Ó êîãî áіëüøå øàíñіâ íà âèãðàø? 658. Ñêëàäåíî òàáëèöþ ñóìè î÷îê, ùî âèïàëà íà äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêàõ ïðè їõ îäíî÷àñíîìó ïіäêèäàííі. Çíàéäè éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 4; 2)  — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 11; 3) Ñ — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå ìåíøîþ âіä 4; 4) D — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå íàéáіëüøîþ ç óñіõ ìîæëèâèõ. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 123Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 123 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 124. Ðîçäië 3 124 І II 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1) Îñêіëüêè êіëüêіñòü óñіõ ìîæëèâèõ âèïàäêіâ 36 (n  36), à êіëüêіñòü âèïàäêіâ, ïðè ÿêèõ ñóìà î÷îê äîðіâíþє 4, âñüîãî 3 (m  3), òî 659. Âèêîðèñòîâóþ÷è òàáëèöþ äî № 658, çíàéäè éìîâіð- íіñòü ïîäії: 1) À — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ äîðіâíþâàòèìå 5; 2)  — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå áіëüøîþ çà 9; 3) Ñ — ñóìà î÷îê íà êóáèêàõ áóäå íåïàðíèì ÷èñëîì. 660. Ó êîøèêó ëåæàòü 18 ÷åðâîíèõ, 8 çåëåíèõ і 4 æîâòèõ ÿáëóêà. Íàâìàííÿ âèáèðàþòü îäíå ÿáëóêî. Çíàéäè éìî- âіðíіñòü ïîäії: 1) À — ÿáëóêî çåëåíå; 2)  — ÿáëóêî æîâòå; 3) Ñ — ÿáëóêî ÷åðâîíå àáî çåëåíå; 4) D — ÿáëóêî íå ÷åðâîíå. 661. Ó êëàñі 9 ó÷íіâ — áðþíåòè, 14 — øàòåíè, 7 — áëîí- äèíè. Íàâìàííÿ âèáèðàєòüñÿ îäèí ó÷åíü. Çíàéäè éìîâіð- íіñòü ïîäії: 1) À — âèáðàíèé ó÷åíü — øàòåí; 2)  — âèáðàíèé ó÷åíü — áëîíäèí àáî øàòåí; 3) Ñ — âèáðàíèé ó÷åíü — íå áëîíäèí; 4) D — âèáðàíèé ó÷åíü — ðóäèé. 662. Ãðàëüíèé êóáèê ïіäêèäàþòü îäèí ðàç. ßêà éìîâіð- íіñòü ïîäії: 1) À — ç’ÿâèòüñÿ ÷èñëî, ùî є äіëüíèêîì ÷èñëà 8; 2)  — ç’ÿâèòüñÿ íå ìåíøå íіæ 5 î÷îê; 3) Ñ — ç’ÿâèòüñÿ íå áіëüøå ÿê 5 î÷îê; Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 124Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 124 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 125. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 125 4) D — ç’ÿâèòüñÿ ÷èñëî, ùî áóäå êâàäðàòîì íàòóðàëü- íîãî ÷èñëà? 663. Çàäà÷à Äàëàìáåðà. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ïðè äâîõ ïîñëіäîâíèõ ïіäêèäàííÿõ ìîíåòè õî÷à á îäèí ðàç âèïàäå ãåðá? 664. Ç íàòóðàëüíèõ ÷èñåë âіä 1 äî 30 ó÷åíü íàâìàííÿ íàçèâàє îäíå. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî öå ÷èñëî є äіëüíè- êîì ÷èñëà 30? 665. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíå íàòó- ðàëüíå ÷èñëî âіä 1 äî 12, áóäå äіëüíèêîì ÷èñëà 12 àáî ïðîñòèì ÷èñëîì? 666. Òè âèãðàєø, ÿêùî íàâìàííÿ âçÿòà ç êîðîáêè êóëü- êà — áіëà. ßêó ç êîðîáîê âèãіäíіøå âèáðàòè äëÿ ãðè, ùîá іìîâіðíіñòü âèãðàøó áóëà áіëüøîþ: ïåðøó — ó ÿêіé 12 áіëèõ êóëüîê і 36 ÷îðíèõ; äðóãó — ó ÿêіé 8 áіëèõ êóëüîê і 12 æîâòèõ; òðåòþ — ó ÿêіé ïîðіâíó áіëèõ, ÷îðíèõ òà æîâòèõ êó- ëüîê; ÷åòâåðòó — ó ÿêіé 7 áіëèõ êóëüîê, 4 æîâòі і 3 ÷îðíі? 667. Îäíî÷àñíî ïіäêèäàþòü òðè ìîíåòè. Çíàéäè éìîâіð- íіñòü ïîäії: 1) À — òіëüêè íà äâîõ ìîíåòàõ âèïàäå ãåðá; 2)  — íà òðüîõ ìîíåòàõ âèïàäå ãåðá; 3) Ñ — òіëüêè íà îäíіé ìîíåòі âèïàäå ãåðá; 4) D — íå âèïàäå æîäíîãî ãåðáà. 668. Çíàéäè íåâіäîìèé ÷ëåí ïðîïîðöії: 1) õ : 8  3 : 12; 2) . 669. Çà 1,4 êã öóêåðîê çàïëàòèëè 23,1 ãðí. Ñêіëü- êè ïîòðіáíî çàïëàòèòè çà 1,6 êã òàêèõ öóêåðîê? 670. Íàêðåñëè ðîçãîðíóòèé êóò ÀÂÑ і ïðîâåäè ïðîìіíü ÂÌ òàê, ùîá ãðàäóñíі ìіðè êóòіâ ÀÂÌ і ÌÂÑ âіäíîñèëèñü ÿê 11 : 7. 671. Íàìàëþéòå çàìêíåíó ëàìàíó ëіíіþ іç øåñòè ëà- íîê, òàêó, ùî êîæíó ñâîþ ëàíêó âîíà ïåðåòèíàє îäèí ðàç. ×è іñíóє òàêà ëàìàíà іç ñåìè ëàíîê? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 125Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 125 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 126. Ðîçäië 3 126 Завдання для перевірки знань № 4 (§ 20 — § 25) 1. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îçíà÷åííÿì, ÷è ìîæíà ç âіä- íîøåíü 8 : 4 і 12 : 6 ñêëàñòè ïðîïîðöіþ. 2. Ïåðåâіð, êîðèñòóþ÷èñü îñíîâíîþ âëàñòèâіñòþ ïðî- ïîðöії, ÷è ìîæíà ç âіäíîøåíü ñêëàñòè ïðîïîðöіþ. 3. Çà êіëüêà îäíàêîâèõ áëîêíîòіâ çàïëàòèëè 16 ãðí. Ñêіëüêè òðåáà çàïëàòèòè çà òàêі ñàìі áëîêíîòè, ÿêùî їõ áóäå: 1) ó 3 ðàçè áіëüøå; 2) ó 2 ðàçè ìåíøå? 4. Çíàéäè âіäíîøåííÿ: 1) 120 äî 80; 2) 250 ì äî 1 êì. 5. 10 ë ãàñó ìàþòü ìàñó 8,1 êã. ßêó ìàñó ìàþòü 25 ë ãàñó? 6. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ìіñòàìè íà êàðòі, ìàñøòàá ÿêîї 1 : 8 000 000, äîðіâíþє 2,5 ñì. Îá÷èñëè âіäñòàíü ìіæ öèìè ìіñòàìè íà ìіñöåâîñòі. 7. Ïåðèìåòð òðèêóòíèêà äîðіâíþє 150 äì, à äîâæèíè ñòîðіí éîãî âіäíîñÿòüñÿ ÿê 7 : 8 : 10. Çíàéäè äîâæèíè ñòî- ðіí òðèêóòíèêà. 8. Ó ÿùèêó 7 áіëèõ, 10 ÷îðíèõ і 3 çåëåíі êóëüêè. Íà- âìàííÿ âèéìàþòü îäíó êóëüêó. Çíàéäè éìîâіðíіñòü ïîäії: 1) À — âèòÿãíóòà êóëüêà — çåëåíà; 2)  — âèòÿãíóòà êóëüêà — íå ÷îðíà. 9. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ . Äîäàòêîâі âïðàâè 10. Âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëèùàìè íà îäíіé êàðòі äî- ðіâíþє 10 ñì, à íà іíøіé – 4 ñì. Ìàñøòàá ïåðøîї êàðòè 1 : 50 000. Çíàéäè ìàñøòàá äðóãîї êàðòè. 11. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî íàâìàííÿ âèáðàíå íà- òóðàëüíå ÷èñëî âіä 1 äî 18 áóäå äіëüíèêîì ÷èñëà 18 àáî ïðîñòèì ÷èñëîì? 12. Çíàéäè ÷èñëà à, b і ñ, ÿêùî âіäîìî, ùî à : b  2 : 3, à : ñ  , à ñóìà ÷èñåë b і ñ äîðіâíþє 26. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 126Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 126 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 127. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 127 26.26. Обернена пропорційна залежність Íåõàé ïëîùà ïðÿìîêóòíèêà äîðіâíþє 36 ñì2, à äîâ- æèíà і øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà є íàòóðàëüíèìè ÷èñëàìè. Äåÿêі ç ìîæëèâèõ çíà÷åíü äîâæèíè a і øèðèíè b ïîäàíî ó òàáëèöі. a, ñì 36 18 12 9 6 b, ñì 1 2 3 4 6 Êîæíîãî ðàçó ìàєìî ðіçíі çíà÷åííÿ äîâæèíè і øèðèíè ïðÿìîêóòíèêà, ïðîòå äîáóòîê öèõ çíà÷åíü є ñòàëèì ÷èñ- ëîì. Âîíî äîðіâíþє ïëîùі ïðÿìîêóòíèêà (ó ñì2), òîáòî ÷èñëó 36: 36  1  18  2  12  3  9  4  6  6  36. Äâі âåëè÷èíè, äîáóòîê âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü ÿêèõ є ñòàëèì, íàçèâàþòü îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè. Çàóâàæèìî, ùî ç âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí і çíà÷åííÿ, îáåðíåíîãî äî äðóãîї âåëè÷èíè, ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîðöіþ. Äіéñíî, âè- õîäÿ÷è, íàïðèêëàä, ç óìîâè 12  3  9  4, ìîæíà ñêëàñòè ïðîïîðöіþ . Öèì і ïîÿñíþєòüñÿ íàçâà îáåðíåíî ïðî- ïîðöіéíèõ âåëè÷èí. Îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè âåëè÷èíàìè є äîâæèíà і øèðèíà ïðÿìîêóòíèêà ïðè ñòàëіé ïëîùі ïðÿìîêóòíèêà; øâèäêіñòü òіëà і ÷àñ ïðè ñòàëîìó øëÿõó; êіëüêіñòü ðîáіò- íèêіâ і ÷àñ âèêîíàííÿ ðîáîòè, ÿêùî îáñÿã ðîáîòè є ñòàëèì òîùî. Ðîçãëÿíåìî äâà çíà÷åííÿ äîâæèíè ïðÿìîêóòíèêà a   18 ñì і a  9 ñì òà âіäïîâіäíі їì çíà÷åííÿ øèðèíè b  2 ñì і b  4 ñì. Óäâі÷і áіëüøîìó çíà÷åííþ äîâæèíè ïðÿìîêóòíèêà âіäïîâіäàє âäâі÷і ìåíøå çíà÷åííÿ éîãî øè- ðèíè. Ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî òå, ùî îáåðíåíî ïðî- ïîðöіéíі âåëè÷èíè ìàþòü òàêó âëàñòèâіñòü: Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 127Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 127 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 128. Ðîçäië 3 128 іç çáіëüøåííÿì (çìåíøåííÿì) çíà÷åííÿ îäíієї ç îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí ó êіëüêà ðàçіâ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè çìåíøóєòüñÿ (çáіëüøó- єòüñÿ) â òàêó ñàìó êіëüêіñòü ðàçіâ. Çâіäñè ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî ÿêùî âåëè÷èíè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíі, òî âіäíîøåííÿ çíà÷åíü îäíієї âåëè- ÷èíè äîðіâíþє îáåðíåíîìó âіäíîøåííþ âіäïîâіäíèõ çíà- ÷åíü іíøîї âåëè÷èíè. Äіéñíî, ó ðîçãëÿíóòîìó âèùå ïðèêëàäі âіäíîøåííÿ çíà÷åíü a  18 ñì і a  9 ñì äîðіâíþє îáåðíåíîìó âіäíî- øåííþ âіäïîâіäíèõ çíà÷åíü b  2 ñì і b  4 ñì: . Îòæå, çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі ç îáåðíåíîþ ïðîïîðöіéíîþ çà- ëåæíіñòþ, ÿê і çàäà÷і, ïîâ’ÿçàíі іç ïðÿìîþ ïðîïîðöіéíîþ çàëåæíіñòþ, ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè çà äîïîìîãîþ ïðîïîðöії. Çàäà÷à. 10 ðîáіòíèêіâ âèêîíóþòü ïåâíó ðîáîòó çà 12 ãîäèí. Ñêіëüêè ÷àñó çíàäîáèòüñÿ äëÿ âèêîíàííÿ òàêîї ðîáîòè øåñòè ðîáіòíèêàì, ÿêùî ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ îäíàêîâà? Ðîçâ’ÿçàííÿ. ×èñëî ðîáіòíèêіâ і ÷àñ âèêîíàííÿ äà- íîї ðîáîòè є âåëè÷èíàìè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè (ïðè îä- íàêîâіé ïðîäóêòèâíîñòі ïðàöі âñіõ ðîáіòíèêіâ). Íåõàé 6 ðîáіòíèêіâ âèêîíóþòü ðîáîòó çà x ãîä. Çàïè- øåìî óìîâó çàäà÷і ñõåìàòè÷íî: 10 ðîá – 12 ãîä 6 ðîá – x ãîä Äâîíàïðÿìëåíà ñòðіëêà ïðàâîðó÷ îçíà÷àє, ùî âåëè÷è- íè ó çàäà÷і îáåðíåíî (à íå ïðÿìî) ïðîïîðöіéíі, і «ïіäêà- çóє», ùî ïðè ñêëàäàííі âіäïîâіäíîãî ðіâíÿííÿ 12 і x òðåáà ïîìіíÿòè ìіñöÿìè. Îòæå, ìàєìî ðіâíÿííÿ . Çâіäñè 6x  10  12; 6x  120; x  20 (ãîä). Âіäïîâіäü. 20 ãîä. Íå áóäü-ÿêі äâі âåëè÷èíè є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè ÷è îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè. Íàïðèêëàä, ìàñà äèòèíè çáіëü- Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 128Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 128 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 129. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 129 øóєòüñÿ ïðè çáіëüøåííі її âіêó. Àëå öі âåëè÷èíè íå є ïðî- ïîðöіéíèìè, îñêіëüêè ïðè çáіëüøåííі óäâі÷і âіêó äèòèíè її ìàñà óäâі÷і íå çáіëüøóєòüñÿ. ßêі âåëè÷èíè íàçèâàþòü îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè? Íàâåäè ïðèêëàäè îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè÷èí. ßêó âëàñòèâіñòü ìàþòü îáåðíåíî ïðîïîðöіéíі âåëè- ÷èíè? 672. (Óñíî) Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîð- öіéíèõ âåëè÷èí çìåíøèëîñÿ â 6 ðàçіâ. ßê çìіíèëîñÿ çíà- ÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè? 673. Çíà÷åííÿ îäíієї ç äâîõ îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèõ âåëè- ÷èí çáіëüøèëîñÿ â 10 ðàçіâ. ßê çìіíèëîñÿ çíà÷åííÿ äðóãîї âåëè÷èíè? 674. (Óñíî) Ó÷åíü ìàâ äåÿêó ñóìó êîøòіâ і âèòðàòèâ óñþ íà 6 îäíàêîâèõ çîøèòіâ. Ñêіëüêè çîøèòіâ íà öі ãðîøі çìіã áè êóïèòè ó÷åíü, ÿêáè öіíà çîøèòà áóëà: 1) óäâі÷і ìåíøîþ; 2) óäâі÷і áіëüøîþ? 675. (Óñíî) Âèçíà÷, ÿêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіé- íèìè, ÿêі – îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè, à òàêîæ âåëè÷èíè, ÿêі íå є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè ÷è îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè: 1) êіëüêіñòü îäíîìàíіòíîãî êðàìó òà éîãî âàðòіñòü; 2) öіíà êðàìó òà éîãî âàðòіñòü; 3) öіíà êðàìó òà éîãî êіëüêіñòü ïðè ñòàëіé âàðòîñòі; 4) ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêіâ òà òðèâàëіñòü ðîáî- òè ïðè ñòàëіé êіëüêîñòі ðîáîòè; 5) êіëüêіñòü ðîáіòíèêіâ òà êіëüêіñòü âèêîíàíîї ðîáîòè ïðè ñòàëіé ïðîäóêòèâíîñòі; 6) âіê äèòèíè òà її çðіñò. 676. Âèçíà÷, ÿêі ç âåëè÷èí є ïðÿìî ïðîïîðöіéíèìè, à ÿêі – îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè: 1) øâèäêіñòü ðіâíîìіðíîãî ðóõó òà éîãî òðèâàëіñòü ïðè ñòàëіé äîâæèíі øëÿõó; 2) øâèäêіñòü ðóõó òà äîâæèíà ïðîéäåíîãî øëÿõó; 3) ÷èñåëüíèê òà çíà÷åííÿ äðîáó ïðè ñòàëîìó çíàìåí- íèêó; 4) çíàìåííèê òà çíà÷åííÿ äðîáó ïðè ñòàëîìó ÷èñåëüíèêó. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 129Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 129 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 130. Ðîçäië 3 130 677. (Óñíî) Âèçíà÷, â ÿêèõ òàáëèöÿõ âåëè÷èíè x і y є îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè. 1) x 1 2 3 4 2) x 1 2 3 4 y 6 3 2 1,5 y 10 20 30 40 3) x 6 3 12 10 4) x 0,25 0,1 2 4 y 4 8 2 3 y 8 20 1 0,5 678. ßêùî âàíòàæіâêà ïåðåâîçèòèìå çà ãîäèíó ïî 4 ò çåð- íà, òî âñå çåðíî çìîæå ïåðåâåçòè çà 10 ãîä. Ïðîòå âàíòà- æіâêà çà ãîäèíó ïåðåâîçèëà ïî 5 ò çåðíà. Çà ñêіëüêè ãîäèí áóëî ïåðåâåçåíî âñå çåðíî? 679. Äâà ïðÿìîêóòíèêè ìàþòü îäíàêîâó ïëîùó. Äîâæèíà îäíîãî ïðÿìîêóòíèêà 8 ñì, à øèðèíà 3 ñì. Çíàéäіòü äî- âæèíó äðóãîãî ïðÿìîêóòíèêà, ÿêùî éîãî øèðèíà äîðіâ- íþє 4 ñì. 680. Ïіøîõіä ïðîéøîâ âіäñòàíü ìіæ äâîìà ñåëàìè çà 1,5 ãîä çі øâèäêіñòþ 3,6 êì/ãîä, à íà çâîðîòíèé øëÿõ âè- òðàòèâ 2,4 ãîä. Ç ÿêîþ øâèäêіñòþ âіí ïîâåðòàâñÿ? 681. Є äâà ñóâîї òêàíèíè îäíàêîâîї âàðòîñòі. Ó ïåðøîìó ñóâîї 60 ì òêàíèíè çà öіíîþ 64,8 ãðí çà 1 ì. Ñêіëüêè êîøòóє 1 ì òêàíèíè ó äðóãîìó ñóâîї, ÿêùî â íüîìó 40 ì òêàíèíè? 682. Äâà øêіâè ç’єäíàíî ïðèâîäíèì ïàñîì (ìàë. 14). Äîâæèíà îáîäó ïåð- øîãî øêіâà 21 ñì, à äðóãîãî – 14 ñì. Ñêіëüêè îáåðòіâ çà õâèëèíó ðîáèòü ïåðøèé øêіâ, ÿêùî äðóãèé îáåðòà- єòüñÿ 600 ðàçіâ çà õâèëèíó? 683. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ, ÿêùî âåëè÷èíè a і b є îáåðíåíî ïðîïîðöіéíèìè. a 0,4 25 0,04 0,25 0,01 b 0,2 20 4 10 684. Ëіòàê çà êîæíі ãîäèíè ïðîëіòàє 270 êì, à âñþ âіä- ñòàíü ìіæ ìіñòàìè äîëàє çà 4,5 ãîäèíè. Íàçàä ëіòàê ïîâåð- Ìàë. 14 Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 130Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 130 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 131. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 131 òàєòüñÿ çі øâèäêіñòþ 405 êì/ãîä. Çà ñêіëüêè ãîäèí ëіòàê äîëàє çâîðîòíèé øëÿõ? 685. Âåëîñèïåäèñò çà êîæíі ãîäèíè ïðîїæäæàє 12 êì, à âñþ âіäñòàíü ìіæ ñåëàìè ïðîїõàâ çà 3,5 ãîä. Ïîâåðòàâñÿ âåëîñèïåäèñò çі øâèäêіñòþ 15 êì/ãîä. Ñêіëüêè ãîäèí âå- ëîñèïåäèñò ïîâåðòàâñÿ íàçàä? 686. Äëÿ ïåðåâåçåííÿ äåÿêîãî âàíòàæó 3 ìàøèíè âàí- òàæîïіäéîìíіñòþ 7,5 ò çäіéñíèëè ïî 8 ðåéñіâ. Ñêіëüêè òðåáà ìàøèí âàíòàæîïіäéîìíіñòþ 4,5 ò, ùîá íà ïåðåâåçåí- íÿ âàíòàæó çíàäîáèëîñÿ 10 ðåéñіâ? 687. Íàÿâíîãî çàïàñó ïàëüíîãî âèñòà÷èòü íà 10 äíіâ äëÿ 9 òðàêòîðіâ ïðè ðîáîòі ïî 7 ãîäèí íà äåíü. Íà ñêіëüêè äíіâ âèñòà÷èòü öüîãî çàïàñó ïàëüíîãî äëÿ 14 òàêèõ òðàê- òîðіâ, ÿêùî âîíè ïðàöþâàòèìóòü ïî 9 ãîäèí íà äåíü? 688. Çàïèøè çâè÷àéíі äðîáè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ, à ïîòіì ó âèãëÿäі âіäñîòêіâ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 689. Îïåðàòîð êîìï’þòåðíîãî íàáîðó ïëàíóâàâ çà äåíü íàáðàòè 20 ñòîðіíîê òåêñòó, àëå ïåðåâèêîíàâ ïëàí íà 15 %. Ñêіëüêè ñòîðіíîê íàáðàâ îïåðàòîð çà äåíü? 690. Ïîÿñíè, ÷îìó ÷èñëî є íàòóðàëüíèì ïðè áóäü-ÿêîìó íàòóðàëüíîìó çíà÷åííі n. 27.27. Відсоткове відношення двох чисел. Зміна величини у відсотках Ìè çíàєìî äâà âèäè çàäà÷ íà âіäñîòêè: çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà òà çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñî- òêàìè. Ðîçãëÿíåìî ùå çàäà÷і, ó ÿêèõ òðåáà çíàéòè, ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñêëàäàє îäíå ÷èñëî âіä іíøîãî, òîáòî âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë. Ìè âìієìî çíàõîäèòè âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë àáî âå- ëè÷èí. Íàïðèêëàä, âіäíîøåííÿ ÷èñëà 8 äî ÷èñëà 16 äî- ðіâíþє , à âіäíîøåííÿ 9 êã äî 5 êã äîðіâíþє Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 131Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 131 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 132. Ðîçäië 3 132 . Îñêіëüêè âіäíîøåííÿ ÷èñåë àáî âåëè÷èí є äðîáîì, éîãî ìîæíà âèðàçèòè ó âіäñîòêàõ, à ñàìå: ; . Êàæóòü, ùî ÷èñëî 8 ñêëàäàє 50 % ÷èñëà 16, à 9 êã ñêëàäàє 180 % âіä 5 êã. Ùîá çíàéòè âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë, äîñòàòíüî çíàéòè âіäíîøåííÿ öèõ ÷èñåë і ïî- ìíîæèòè éîãî íà 100 %. Ùîá äіçíàòèñÿ, ñêіëüêè âіäñîòêіâ îäíå ÷èñëî ñêëà- äàє âіä іíøîãî, äîñòàòíüî ïåðøå ÷èñëî ïîäіëèòè íà äðóãå і çíàéäåíó ÷àñòêó ïîìíîæèòè íà 100 %. Çàäà÷à 1. Ó êëàñі 30 ó÷íіâ, ç íèõ 27 âіäâіäàëè òåàòð. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіä ó÷íіâ êëàñó âіäâіäàëè òåàòð? Ðîçâ’ÿçàííÿ. . Çìіíó âåëè÷èíè ÷àñòî õàðàêòåðèçóþòü çà äîïîìîãîþ âіäñîòêіâ. Ðîçãëÿíåìî äâі çàäà÷і åêîíîìі÷íîãî çìіñòó. Çàäà÷à 2. Äî çíèæåííÿ öіí* ÌÐ3-ïëåєð êîøòóâàâ 400 ãðí, à ïіñëÿ çíèæåííÿ ñòàâ êîøòóâàòè 360 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çíèçèëàñÿ öіíà ÌÐ3-ïëåєðà? Ðîçâ’ÿçàííÿ. Çíàéäåìî ñïî÷àòêó, íà ñêіëüêè ãðè- âåíü çìåíøèëàñÿ öіíà ÌÐ3-ïëåєðà: 400 – 360  40 (ãðí). Âèçíà÷èìî, ñêіëüêè âіäñîòêіâ öÿ ðіçíèöÿ ñêëàäàє âіä ïî- ÷àòêîâîї öіíè ÌÐ3-ïëåєðà: . Îòæå, öіíà ÌÐ3-ïëåєðà çíèçèëàñÿ íà 10 %. Çàäà÷à 3. Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 800 ãðí, à ÷åðåç ðіê çàáðàâ 944 ãðí. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ðі÷íèõ íàðàõîâóє áàíê? * Ïîíÿòòÿ öіíà і âàðòіñòü, ÿêі òðàïëÿþòüñÿ ó äåÿêèõ çàäà- ÷àõ, ñïðèéìàé ÿê óìîâíі âåëè÷èíè, çðó÷íі äëÿ âèêîíàííÿ ìàòå- ìàòè÷íèõ îá÷èñëåíü. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 132Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 132 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 133. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 133 Ðîçâ’ÿçàííÿ. Ïðèáóòîê äîðіâíþє 944 – 800  144 (ãðí). Çíàéäåìî, ñêіëüêè âіäñîòêіâ öå ñòàíîâèòü âіä âêëàäó: . Îòæå, áàíê íàðàõîâóє 18 % ðі÷íèõ. Ùîá äіçíàòèñÿ, íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøè- ëàñü àáî çìåíøèëàñü ïåâíà âåëè÷èíà, äîñòàò- íüî çíàéòè: 1) íà ñêіëüêè îäèíèöü çáіëüøèëàñü àáî çìåíøè- ëàñü öÿ âåëè÷èíà; 2) ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü çíàéäåíà ðіçíè- öÿ âіä ïî÷àòêîâîãî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè. ßê çíàéòè âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë? ßê äіçíàòèñÿ, ñêіëüêè âіäñîòêіâ îäíå ÷èñëî ñêëàäàє âіä іíøîãî? ßê äіçíàòèñÿ, íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëü- øèëàñü àáî çìåíøèëàñü ïåâíà âåëè÷èíà? 691. (Óñíî) Ïîÿñíè îá÷èñëåííÿ: 1) 8 : 10  0,8  80 %; 2) 125 : 100  1,25  125 %. Ùî ïîêàçóє âіäïîâіäü? 692. (Óñíî) Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà 100 ñêëàäàє ÷èñëî: 1) 13; 2) 37; 3) 100; 4) 173? 693. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà 1000 ñêëàäàє ÷èñëî: 1) 150; 2) 100; 3) 250; 4) 1800? 694. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà ñêëàäàє éîãî: 1) ïîëîâèíà; 2) ÷âåðòü; 3) ï’ÿòà ÷àñòèíà; 4) äâàäöÿòà ÷àñòèíà? 695. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëà ñêëàäàє éîãî: 1) äåñÿòà ÷àñòèíà; 2) äâàäöÿòü ï’ÿòà ÷àñòèíà? 696. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü ÷èñëî 60 âіä ÷èñëà: 1) 100; 2) 120; 3) 300; 4) 20; 5) 48; 6) 5? 697. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ÷èñëî 40 ñòàíîâèòü âіä ÷èñëà: 1) 80; 2) 100; 3) 120; 4) 25; 5) 8? 698. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 3 âіä 5; 2) 12 âіä 8; 3) 4,5 âіä 22,5; 4) âіä ? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 133Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 133 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 134. Ðîçäië 3 134 699. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 12 âіä 16; 2) 10 âіä 8; 3) 1,6 âіä 2,5; 4) âіä ? 700. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 1 ì âіä 5 ì; 2) 250 ã âіä 1 êã; 3) 72 âіä ðîçãîðíóòîãî êóòà? 701. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü: 1) 4 êã âіä 5 êã; 2) 3 êì âіä 2000 ì; 3) 18 âіä ïðÿìîãî êóòà? 702. Ó êіíîòåàòðі 480 ìіñöü. Ïіä ÷àñ äåìîíñòðàöії ôіëü- ìó áóëî çàïîâíåíî 456 ìіñöü. ßêèé âіäñîòîê ìіñöü áóëî çàïîâíåíî? 703. Êîíòðîëüíó ðîáîòó ïèñàëè 25 ó÷íіâ. Òðè ðîáîòè â÷è- òåëü îöіíèâ íà «12». Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñêëàäàþòü 12-áàëü- íі ðîáîòè âіä çàãàëüíîї êіëüêîñòі ðîáіò? 704. Ðîáіíçîí Êðóçî ïðî÷èòàâ 90 ñòîðіíîê êíèæêè, ó ÿêіé âñüîãî 250 ñòîðіíîê. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ êíèæêè ïðî÷èòàâ Ðîáіíçîí Êðóçî? ßêèé âіäñîòîê êíèæêè éîìó çàëèøèëîñÿ ïðî÷èòàòè? 705. Ó êëàñі 32 ó÷íі, ç ÿêèõ 4 áóëè âіäñóòíі ó øêîëі ÷åðåç õâîðîáó. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ó÷íіâ áóëè âіäñóòíі ó øêîëі і ñêіëüêè âіäñîòêіâ áóëè ïðèñóòíі? 706. Âèçíà÷ âіäñîòîê âìіñòó ñîëі â ðîç÷èíі, ÿêùî â 700 ã ðîç÷èíó ìіñòèòüñÿ 56 ã ñîëі. 707. Çíàéäè âіäñîòîê âìіñòó çàëіçà â ðóäі, ÿêùî 40 ò öієї ðóäè ìіñòèòü 2,8 ò çàëіçà. 708. Ìàãàçèí çà äåíü ïðîäàâ 280 êã ÿáëóê і 120 êã ãðóø. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü ìàñà ïðîäàíèõ ÿáëóê âіä çà- ãàëüíîї ìàñè ïðîäàíèõ ÿáëóê і ãðóø? 709. Íà òðåíóâàííі ïіä ÷àñ âèêîíàííÿ øòðàôíèõ êèäêіâ áàñêåòáîëіñò 32 ðàçè âëó÷èâ ó êîøèê і 4 ðàçè íå âëó÷èâ. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ ñòàíîâèòü êіëüêіñòü âëó÷åíü âіä óñієї êіëüêîñòі øòðàôíèõ êèäêіâ (âіäïîâіäü îêðóãëè äî äåñÿòèõ âіäñîòêà)? 710. Ó çâ’ÿçêó ç áóäіâíèöòâîì íîâîãî ìіêðîðàéîíó ìàðø- ðóò àâòîáóñà ñòàâ äîâøèì íà 16 %. Çíàéäè äîâæèíó íîâî- ãî ìàðøðóòó, ÿêùî äîâæèíà ïîïåðåäíüîãî áóëà 15 êì. Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 134Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 134 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 135. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 135 711. Êіëüêіñòü íàñåëåííÿ ìіñòå÷êà çà ðіê çðîñëà íà 5 %. Ñêіëüêè íàñåëåííÿ ñòàëî â ìіñòå÷êó, ÿêùî ðіê òîìó â íüîìó ìåøêàëî 32 500 îñіá? 712. (Óñíî) Çíàéäè çìіíó âåëè÷èíè ó âіäñîòêàõ: 1) âіä 4 ö äî 6 ö; 2) âіä 10 êã äî 12 êã; 3) âіä 10 õâ äî 7 õâ; 4) âіä 100 ã äî 30 ã; 5) âіä 200 ì äî 180 ì; 6) âіä 30 ñ äî 36 ñ. 713. Çíàéäè ó âіäñîòêàõ çìіíó âåëè÷èíè: 1) âіä 45 ã äî 54 ã; 2) âіä 4,8 êì äî 3,6 êì; 3) âіä 1 ãðí äî 70 êîï.; 4) âіä 4000 êã äî 5 ò; 5) âіä 1 ãîä äî 30 õâ; 6) âіä 15 ö äî 3 ò. 714. Çíàéäè ó âіäñîòêàõ çìіíó âåëè÷èíè: 1) âіä 24 ã äî 18 ã; 2) âіä 3,2 ö äî 4,8 ö; 3) âіä 1 êã äî 1400 ã; 4) âіä 15 õâ äî 1 ãîä; 5) âіä 1 ò äî 1 ö; 6) âіä 1 ì 20 ñì äî 90 ñì. 715. Çàïîâíè â çîøèòі òàêó òàáëèöþ ùîäî âèâåçåííÿ îâî÷іâ ç ïîëÿ ïðîòÿãîì ÷îòèðüîõ äíіâ: Äíі Ïí Âò Ñð ×ò Óñüîãî Ìàñà îâî÷іâ, ò 60 42 240 Âіäñîòîê âіä çàãàëüíîї ìàñè, % 20 100 716. Ïðè îáðîáöі çàãîòîâêè її ìàñà çìåíøèëàñÿ âіä 1,2 êã äî 1,14 êã. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ìàñà çàãîòîâêè? 717. 1) Öіíà äåÿêîãî òîâàðó çðîñëà âіä 64 ãðí äî 80 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ ïіäâèùèëàñÿ öіíà? 2) Öіíà äåÿêîãî òîâàðó çíèçèëàñÿ âіä 80 ãðí äî 64 ãðí. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çíèçèëàñÿ öіíà? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 135Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 135 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 136. Ðîçäië 3 136 718. 1) Ïåðøîãî äíÿ ðîáіòíèê âèãîòîâèâ 120 äåòàëåé, à äðóãîãî äíÿ — 150 äåòàëåé. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çáіëüøè- ëàñÿ ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêà? 2) Ïåðøîãî äíÿ ðîáіòíèê âèãîòîâèâ 150 äåòàëåé, à äðó- ãîãî äíÿ — 120 äåòàëåé. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ïðîäóêòèâíіñòü ïðàöі ðîáіòíèêà? 719. Äî 160 ã 15-âіäñîòêîâîãî ðîç÷èíó ñîëі äîäàëè 40 ã âîäè. ßêèì ñòàâ âіäñîòêîâèé âìіñò ñîëі â íîâîìó ðîç÷èíі? 720. Äî ñïëàâó ìàñîþ 350 ã, ùî ìіñòèòü 60 % îëîâà, äî- äàëè 150 ã îëîâà. ßêèì ñòàâ âіäñîòêîâèé âìіñò îëîâà â íîâîìó ñïëàâі? 721. Äî çíèæåííÿ öіí òîâàð êîøòóâàâ 240 ãðí. Îá÷èñëè öіíó òîâàðó ïіñëÿ äâîõ ïîñëіäîâíèõ çíèæåíü, ÿêùî ïåðøå áóëî íà 10 %, à äðóãå — íà 5 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ çìåíøèëàñÿ ïî÷àòêîâà öіíà òîâàðó? 722. Öіíà òîâàðó áóëà 400 ãðí. Ñïî÷àòêó âîíà áóëà ïіäâè- ùåíà íà 15 %, à ïîòіì çíèæåíà íà 15 %. ×è çìіíèëàñÿ ïðè öüîìó öіíà òîâàðó? ßêùî çìіíèëàñÿ, òî ÿê і íà ñêіëü- êè âіäñîòêіâ? 723. Öіíó íà òîâàð, ùî êîøòóâàâ 200 ãðí, çíèçèëè íà 20 %. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ òðåáà ïіäíÿòè íîâó öіíó, ùîá îäåðæàòè ïî÷àòêîâó? 724. Õëîï÷èê êóïèâ äâі êíèæêè, ïåðøà ç ÿêèõ íà 10 % äåøåâøà âіä äðóãîї. Íà ñêіëüêè âіäñîòêіâ äðóãà êíèæêà äîðîæ÷à çà ïåðøó? 725. Ïіä ÷àñ ñóøіííÿ ãðèáè âòðà÷àþòü 89 % ñâîєї ìàñè. Ñêіëüêè ñóõèõ ãðèáіâ îòðèìàєìî іç 70 êã ñâіæèõ? 726. Äî îïåðàòîðà äîâіäêîâîãî öåíòðó áàíêó íà- äіéøëà äåÿêà êіëüêіñòü çâåðíåíü. Ïіñëÿ òîãî ÿê âіí îïðàöþâàâ 14 % âіä óñієї êіëüêîñòі, éîìó çàëèøèëîñÿ îïðàöþâàòè ùå 129. Ñêіëüêè âñüîãî çâåðíåíü íàäіéøî äî îïåðàòîðà? 727. ßêà éìîâіðíіñòü òîãî, ùî ñóìà î÷îê íà äâîõ ãðàëüíèõ êóáèêàõ, ïіäêèíóòèõ îäíî÷àñíî, áóäå äîðіâ- íþâàòè 8? 728. Ðîçâ’ÿæè ðіâíÿííÿ . Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 136Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 136 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 137. Âiäíîøåííÿ i ïðîïîðöi¿ 137 729. Ïîðіâíÿé çíà÷åííÿ òàêèõ âèðàçіâ: 1  2  3  ...  20 і 1 + 2 + 3 + ... + 1 000 000. 28.28. Відсоткові розрахунки Íàãàäàєìî, ùî âіäñîòêè ìîæíà çàïèñóâàòè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 12 %  0,12; 37 %  0,37; 119 %  1,19, àáî ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ äðîáіâ: ; ; . Ïðèãàäàєìî, ÿê ðîçâ’ÿçóєòüñÿ êîæíà ç òðüîõ òèïіâ çà- äà÷ íà âіäñîòêè. Çàäà÷à 1 (çíàõîäæåííÿ âіäñîòêіâ âіä ÷èñëà). Âêëàäíèê ïîêëàâ äî áàíêó 2500 ãðí. Áàíê íàðàõîâóє 12 % ðі÷íèõ. ßêèé ïðèáóòîê ìàòèìå âêëàäíèê ÷åðåç ðіê? Ðîçâ’ÿçàííÿ. І ñïîñіá. 1) 2500 : 100  25 (ãðí) — öå 1 %; 2) 25  12  300 (ãðí) — ïðèáóòîê âêëàäíèêà. II ñïîñіá. Îñêіëüêè 12 %  0,12, òî ïðèáóòîê âêëàäíèêà ìîæíà çíàéòè ÿê äðіá âіä ÷èñëà: 2500  0,12  300 (ãðí). Çàäà÷à 2 (çíàõîäæåííÿ ÷èñëà çà éîãî âіäñîòêàìè). Ó÷åíü ïðî÷èòàâ 63 ñòîðіíêè, ùî ñêëàäàє 35 % îáñÿãó êíèæêè. Ñêіëüêè ñòîðіíîê ó êíèæöі? Ðîçâ’ÿçàííÿ. І ñïîñіá. 1) 63 : 35  1,8 (ñ.) — öå 1 %; 2) 1,8  100  180 (ñ.) — ó êíèæöі. II ñïîñіá. 35 %  0,35, òî êіëüêіñòü ñòîðіíîê ìîæíà çíàéòè ÿê ÷èñëî çà éîãî äðîáîì: 63 : 0,35  180 (ñ.). Çàäà÷à 3 (âіäñîòêîâå âіäíîøåííÿ äâîõ ÷èñåë). Âіäñòàíü ìіæ ìіñòàìè äîðіâíþє 65 êì. Âåëîñèïåäèñò ïîäîëàâ 39 êì öієї âіäñòàíі. Ñêіëüêè âіäñîòêіâ âіäñòàíі ìіæ ìіñòàìè ïðî- їõàâ âåëîñèïåäèñò? Ðîçâ’ÿçàííÿ. . Ðîçãëÿíåìî áіëüø ñêëàäíі çàäà÷і. Çàäà÷à 4. Ïåðøèé ñìіòòєâîç âèâіç 32 % ñìіòòÿ, äðó- ãèé — 35 %, à òðåòіé — ðåøòó 2,64 ò. Ñêіëüêè òîíí ñìіò- òÿ âèâіç ïåðøèé ñìіòòєâîç і ñêіëüêè äðóãèé? Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 137Ister_Mat_P_6.ua_(067-10)_V.indd 137 28.05.2014 15:47:5828.05.2014 15:47:58
  • 138. Ðîçäië 3 138 Ðîçâ’ÿçàííÿ. Îñêіëüêè âåñü îáñÿã âèâåçåíîãî ñìіòòÿ ñêëàäàє 100 %, òî 100 % – (32 % + 35 %)  33 % — âèâіç òðåòіé ñìіòòєâîç, ùî ñêëàäàє 2,64 ò. Òîìó çàãàëüíèé îáñÿã âèâåçåíîãî ñìіòòÿ çíàéäåìî ÿê ÷èñëî çà éîãî äðîáîì, òîáòî äієþ äіëåííÿ: 2,64 : 0,33  8 (ò). Îòæå, ïåðøèé ñìіò- òєâîç âèâіç 8  0,32  2,56 (ò), à äðóãèé 8  0,35  2,8 (ò). Çàäà÷à 5. Ìàñà äâîõ êàâóíіâ ðàçîì 27 êã, ïðè÷îìó ìàñà äðóãîãî ñòàíîâèòü 80 % âіä ìàñè ïåðøîãî. Çíàéòè ìàñó êîæíîãî ç êàâóíіâ. Ðîçâ’ÿçàííÿ. Íåõàé ìàñà ïåðøîãî êàâóíà x êã, òîäі ìàñà äðóãîãî — õ  0,8  0,8õ (êã). Çà óìîâîþ çàäà÷і: õ + 0,8õ  27. Ðîçâ’ÿæåìî öå ðіâíÿííÿ: õ(1 + 0,8)  27; 1,8õ  27; õ  27 : 1,8; õ  15. Îòæå, ìàñà ïåðøîãî êàâóíà 15 êã. 0,8  15 12 (êã) — ìàñà äðóãîãî. ßêі òðè òèïè çàäà÷ íà âіäñîòêè òè çíàєø? Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 1 äâîìà ñïîñîáàìè. Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 2 äâîìà ñïîñîáàìè. Ïîÿñíè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і 3. 730. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ äðîáіâ: 1) 5 %; 2) 10 %; 3) 24 %; 4) 60 %; 5) 100 %; 6) 140 %. 731. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1) 7 %; 2) 15 %; 3) 30 %; 4) 100 %; 5) 170 %; 6) 380 %. 732. Çàïèøè âіäñîòêè ó âèãëÿäі çâè÷àéíèõ òà äåñÿòêîâèõ äðîáіâ: 1) 6 %; 2) 20 %; 3) 25 %; 4) 120 %; 5) 200 %; 6) 320 %. 733. Çíàéäè: 1) 15,5 % âіä 40; 2) 16 % âіä . 734. Çíàéäè: 1) 27,5 % âіä 60; 2) 35 % âіä . 735. Êóïóþ÷è â êðåäèò òåëåâіçîð, ùî êîøòóє 1400 ãðí, ïî- êóïåöü ìàє çàïëàòèòè ïåðøèé âíåñîê ó ðîçìіðі 30 % âіä âàðòîñòі. Ñêіë